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INTRODUZIONE AI MONOMI I monomi sono espressioni matematiche
costituite dal prodotto tra una parte numerica ed una parte
letterale, in cui la parte numerica del monomio è un qualsiasi
numero (positivo, negativo, intero, frazione, decimale finito,
decimale periodico, irrazionale,....), mentre la parte letterale è
costituita dal prodotto di potenze con base letterale ed esponente
intero positivo.
ATTENZIONE: prima cosa da ricordare. In un monomio compare solo
una delle 4 operazioni che conoscete: IL PRODOTTO o
moltiplicazione. Non ci sono addizioni "+" o sottrazioni "-". E, se
il monomio è scritto in forma normale (vedremo cosa vuol dire), non
può comparire neanche la divisione ":". Possiamo considerare I
monomi come i mattoncini della matematica su cui si fonda buona
parte dell'Algebra, perché servono a costruire oggetti un po' più
elaborati: i polinomi. Qui di seguito daremo tutte le definizioni
sui monomi che bisogna imparare sin da subito (per citarne una, la
definizione di monomi simili). Più avanti vedremo come bisogna
comportarsi nella pratica e come svolgere le varie operazioni con i
monomi.
DEFINIZIONE DI MONOMIO Un monomio è un'espressione matematica
che consiste in un prodotto di fattori qualsiasi, siano essi
numerici o letterali. I fattori letterali hanno per esponente un
numero naturale. Dunque gli esponenti che compaiono sulle
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lettere sono numeri naturali, ovvero interi e non negativi (cioè
può comparire anche lo zero) Un esempio?
4x2 II fattore numerico ( 4 ) prende il nome di coefficiente o
parte numerica, mentre il fattore letterale ( x2 ) costituisce la
cosiddetta parte letterale. La definizione di monomio presenta "tre
diversi ingredienti": 1) la parte numerica può essere costituita da
un qualsiasi numero; 2) la parte numerica deve essere moltiplicata
per la parte letterale; 3) nella parte letterale possono esserci
solamente moltiplicazioni. Non a caso il termine monomio deriva
dalla fusione delle parole greche monos = unica e nomé = legge,
giusto a sottolineare il fatto che l'unica legge che compare in
essi è il prodotto. Attenzione, non fatevi ingannare: le potenze
sono particolari moltiplicazioni in cui i fattori coincidono con la
base, quindi rientrano perfettamente nella regola della
definizione.
ESEMPI SUI MONOMI
La definizione è piuttosto semplice e non dovrebbe spaventarci,
ma per toglierci ogni possibile dubbio conviene vedere subito una
carrellata di esempi sui monomi:
3x2yz3
è un monomio in cui 3 è il coefficiente numerico mentre x2yz3 è
la parte letterale.
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3
-abc è un monomio che ha per coefficiente numerico -1 (che è un
numero relativo)
mentre abc è la parte letterale.
x2z
è ancora un monomio! Il coefficiente numerico è (che è un
numero
razionale) mentre la parte letterale è x2z
√ x
è un monomio con parte numerica √ (che è un numero irrazionale)
mentre la parte letterale è x
è un monomio! Anche se la parte letterale sembra non esserci, in
realtà è una
qualsiasi lettera con esponente zero, che quindi vale 1. Es.
x0z0. II
coefficiente del monomio è .
3a + bc
non è un monomio, perché l'espressione non si può scrivere come
prodotto tra una parte numerica e una parte letterale (compare il
segno "+").
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( 3 + 3 ) a2bc
è un monomio, perché compare un segno "+", ma solo nella parte
numerica. Non prendiamoci in giro. Quello è il monomio 6a2bc
"camuffato".
-abc-2 non è un monomio, perché l'esponente della lettera c è
negativo.
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non è un monomio, perché sfruttando la definizione di potenza
con esponente negativo possiamo riscriverlo nella forma 5xyz-1, da
cui si vede che l'esponente di z è negativo e quindi non è un
numero naturale.
4 √ yz non è un monomio perché equivale a 4x0,5yz, e l'esponente
di x non è intero. Attenzione: dai precedenti esempi abbiamo
scoperto che, in accordo con la definizione, i soli e semplici
numeri sono un caso particolare di monomi.
MONOMI RIDOTTI IN FORMA NORMALE Un monomio si dice ridotto in
forma normale se si scrive come prodotto di un solo fattore
numerico e di potenze letterali di basi diverse. Ad esempio:
3 x x y z
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non è ridotto in forma normale e per ridurlo in forma normale
dovremo moltiplicare in modo opportuno cosi da ottenere:
x2yz
Dunque, in un monomio ridotto in forma normale, la parte
numerica, col suo segno, deve comparire una sola volta, così come
le diverse lettere, ciascuna con il proprio esponente intero non
negativo. Inoltre non va indicato il segno del prodotto () in
quanto sottinteso. N.B.: probabilmente non lo troverete mai
scritto. Ma vi do un consiglio: scrivete sempre ciascun monomio con
le lettere che lo compongono, disposte in ordine alfabetico.
GRADO COMPLESSIVO DI UN MONOMIO E
GRADO DI UN MONOMIO RISPETTO A UNA LETTERA
Una volta capito cos'è un monomio scritto in forma normale,
interviene il concetto di grado di un monomio in senso generale e
di gradi di un monomio rispetto alle varie lettere: Grado del
monomio rispetto ad una lettera: è l'esponente della lettera
nel
monomio. Grado complessivo del monomio: è la somma degli
esponenti di tutte le
lettere che compaiono nel monomio.
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Non è affatto difficile determinare i gradi di un monomio, ma
purtroppo, per qualche strano motivo, a volte gli studenti hanno
difficoltà in merito. Riportiamo un semplice esempio:
x3yz2 è un monomio ridotto in formale, inoltre:
3 è il grado del monomio rispetto alla lettera x 1 è il grado
del monomio rispetto alla lettera y 2 è il grado del monomio
rispetto alla lettera z 3 + 1 + 2 = 6 è il grado complessivo del
monomio.
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Ho più volte ribadito il concetto, perchè molto importante,
basilare direi, nel programma futuro. Al monomio nullo (cioè "0")
non attribuiamo alcun grado, mentre i singoli numeri non nulli, -2,
-6, 5, 7, 1/2, -3/5, ecc. (che sono monomi se presi singolarmente)
hanno grado 0. Ora attenzione, dobbiamo introdurre alcuni concetti
fondamentali che ritorneranno ciclicamente nella vita di uno
studente.
MONOMI SIMILI
Dati due monomi ridotti in forma normale, chiamiamo monomi
simili due monomi che hanno la stessa parte letterale. Ad
esempio:
xy2z e -3xy2z sono monomi simili perché hanno la stessa parte
letterale, cosi come sono monomi simili:
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ab2 e ab2
MONOMI UGUALI
Dati due monomi ridotti in forma normale, definiamo monomi
uguali due monomi che hanno lo stesso coefficiente e la stessa
patte letterale, come ad esempio:
4xy2z e 4xy2z 4xy2z e (1 + 3) xy2z
MONOMI OPPOSTI Diciamo che due monomi in forma normale sono
monomi opposti se sono simili e se hanno i coefficienti numerici
opposti. Sono un esempio di monomi opposti:
4ab2 e - 4ab2 Impariamo per bene questi nuovi concetti perché
permettono di definire le operazioni con i monomi, di cui parleremo
in seguito.
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OPERAZIONI FRA I MONOMI Le operazioni tra monomi sono le
principali operazioni algebriche (somma, sottrazione, prodotto,
divisione, elevamento a potenza) riferite al calcolo letterale con
i monomi. Poco fa abbiamo gettato le basi teoriche e proposto tutte
le definizioni: ora che abbiamo spiegato cosa sono i monomi,
passiamo alla pratica e vediamo le regole per svolgere le
principali operazioni con i monomi.
COME SVOLGERE LE OPERAZIONI CON I MONOMI
Le operazioni tra monomi su cui ci concentreremo sono le
seguenti: 1) somma di monomi; 2) moltiplicazione tra monomi; 3)
potenza di un monomio; 4) divisione tra monomi. Per ciascuna di
esse presenteremo la regola di calcolo corredata da un esempio e da
un ulteriore approfondimento.
SOMMA ALGEBRICA DI MONOMI Diciamo sin da subito che è possibile
sommare solamente monomi simili. In particolare la somma di monomi
simili è un monomio che ha: come coefficiente numerico: la somma
dei coefficienti numerici dei
monomi della somma; come parte letterale: la stessa parte
letterale dei monomi di partenza. Se i
monomi non sono simili, non è possibile effettuare la somma e
lasceremo gli addendi così come sono scritti.
Esempio
xy + 3xy + xy - 2xy
i monomi che compongono l'espressione sono simili perché hanno
tutti la stessa parte letterale, quindi possiamo sommare i
coefficienti numerici:
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(1 + 3 + - 2) xy
Effettuiamo le operazioni all'interno delle parentesi tonde e
otteniamo:
xy = xy
Facile, no? Ripetiamo ancora una volta: "LA SOMMA TRA DUE MONOMI
È POSSIBILE SE E SOLO SE I MONOMI
SONO SIMILI, IN CASO CONTRARIO I TERMINI RIMARRANNO COSÌ COME
SONO".
Ad. esempio:
xy + 3xy + xy2 - 2xy = (1 + 3 - 2) xy + xy2 = 2xy + xy2
PRODOTTO TRA MONOMI Contrariamente con quanto succede con la
somma, il prodotto tra monomi è sempre possibile. Moltiplicare due
monomi tra loro vuol dire prendere il monomio che ha: coefficiente
numerico dato dal prodotto dei coefficienti numerici; parte
letterale data da tutte le lettere dei singoli monomi, ciascuna
con
esponente uguale alla somma degli esponenti delle singole
lettere.
La moltiplicazione tra monomi è più difficile a dirsi che a
farsi, fidatevi!
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Esempio:
2x3y 3xy2z Il monomio prodotto ha per coefficiente il prodotto
dei coefficienti
2x3y 3xy2z = 2 3...= 6... Ora calcoliamo la parte letterale del
monomio prodotto. Essa conterrà sicuramente le lettere x, y, z, ma
noi siamo interessati anche agli esponenti:
2x3y 3xy2z = 6x?y?z? Cosa dobbiamo mettere al posto dei punti
interrogativi? L'esponente della lettera x è dato dalla somma
dell'esponente della x presente nel primo fattore e quello della x
nel secondo fattore, quindi 3+1= 4:
2x3y 3xy2z = 6x4y?z? La lettera y avrà esponente 1+2=3 dove 1 e
2 sono rispettivamente l'esponente della lettera y presente nel
primo fattore e l'esponente della y nel secondo fattore:
2x3y 3xy2z = 6x4y3z? L'esponente di z è dato da 0+1=1 dove 0 e 1
sono gli esponenti della z nel primo e nel secondo monomio
fattore:
2x3y 3xy2z = 6x4y3z A ben vedere non abbiamo fatto nulla di
particolare, infatti abbiamo solamente applicato le proprietà delle
potenze.
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POTENZA DI UN MONOMIO
Per elevare alla potenza n-esima un monomio bisogna elevare a
potenza il coefficiente e moltiplicare per n gli esponenti dei
fattori letterali. In pratica si tratta di usare la proprietà per
le potenze di potenze. Esempio:
(-2x2yz)2 = (-2)2 (x2)2 (y)2 (z)2 = 4x4y2z2
DIVISIONE TRA MONOMI
La divisione tra monomi è leggermente più complicata rispetto
alle operazioni che abbiamo descritto finora, perché richiede la
condizione di divisibilità tra monomi (vedi prossimo paragrafo). Un
monomio (dividendo) si dice divisibile per un secondo monomio
(divisore) se esiste un ulteriore monomio (quoziente) che
moltiplicato per il secondo dà il primo. Che è un po' la
definizione che si da per i numeri interi: "Un numero intero
(dividendo) si dice divisibile per un secondo numero intero
(divisore) se esiste un ulteriore numero intero (quoziente) che
moltiplicato per il secondo dà il primo". 8, numero intero, è
divisibile per 2, numero intero, perché esiste un quoziente, ovvero
4, anch'esso intero, per cui 4 2 = 8. Da piccoli avevamo i numeri
interi. Adesso abbiamo di monomi. In pratica, con una minima
forzatura, il monomio è il numero intero dell'algebra
letterale.
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Con tale ipotesi possiamo definire la divisione tra due monomi
divisibili e diversi da zero. Essa è un monomio che ha:
coefficiente numerico dato dal quoziente (cioè dal risultato
della
divisione) dei coefficienti numerici; parte letterale data dal
rapporto (o divisione) delle lettere omonime tra
loro. Per gli esponenti ci si comporta ancora una volta
applicando le proprietà delle potenze. Stavolta vanno sottratti e
non sommati:
Esempio:
3x3y2z : (3xyz)
La parte letterale del monomio quoziente è 3:3=1, mentre la
parte letterale si ricava nel modo seguente:
3x3 y2 z : (3 x y2) = (3:3) x3-1 y2-2 z1-0 = 1 x2 y0 z1 = x2
z
CONDIZIONE DI DIVISIBILITÀ TRA MONOMI
Per dividere due monomi dobbiamo fare molta attenzione perché
non è sempre possibile farlo. L'argomento è un po' delicato ma se
prestate attenzione risulterà una passeggiata. Prendiamo due monomi
che chiameremo:
Per poter eseguire la divisione tra due monomi è necessario che
gli esponenti di ogni singolo elemento della parte letterale del
monomio dividendo siano maggiori o al massimo uguali alle potenze
delle lettere corrispondenti del monomio divisore.
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Se questa proprietà viene rispettata, il risultato della
divisione sarà un monomio che avrà: come parte numerica il
quoziente tra le parti numeriche dei due monomi; come parte
letterale quella che andrà a formarsi seguendo la regola della
divisione tra potenze (riportando la base e sottraendo gli
esponenti); Esempi sul quoziente di due monomi Esempio 1:
Esempio 2: la divisione
non è eseguibile in quanto il grado di a nel primo monomio è 3
che è minore di 4 (grado di a nel monomio divisore)
MCD E mcm TRA MONOMI Il MCD ed il mcm tra monomi sono
rispettivamente: il massimo comun divisore di due o più monomi; il
minimo comune multiplo tra due o più monomi.
Essi vengono definiti in modo del tutto analogo rispetto al caso
numerico. Prima di passare a parlare dei polinomi è bene imparare a
risolvere gli esercizi sul calcolo di MCD e mcm di monomi, in modo
da prendere confidenza con i monomi e con le operazioni tra
monomi.
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Vedremo come calcolare il massimo comun divisore di monomi e il
minimo comune multiplo di monomi; oltre a mostrare la regola
generale per il calcolo, proporremo alcuni esempi per entrambi i
casi. Naturalmente prima di procedere nella lettura è bene aver
presente in cosa consistono il MCD e il mcm di due o più numeri
(ripasso scuole medie).
MCD DI MONOMI
Il massimo comun divisore di due o più monomi è un qualsiasi
monomio di grado massimo che divide contemporaneamente tutti i
monomi dati! immaginiamo di avere due monomi. Per calcolarne il MCD
prenderemo:
come parte letterale, la parte letterale formata da tutte e sole
le lettere comuni ai monomi, elevate ciascuna al più piccolo
esponente che esse hanno nei singoli monomi. DUNQUE PRENDIAMO LE
LETTERE COMUNI COL MINORE ESPONENTE;
Per il coefficiente dobbiamo fare una piccola distinzione. Se i
coefficienti dei monomi sono interi, sceglieremo come coefficiente
del massimo comun divisore il massimo comun divisore dei
coefficienti dei monomi dati. Se invece i coefficienti dei monomi
non sono numeri interi, allora per convenzione si è soliti prendere
come coefficiente del massimo comun divisore 1. DUNQUE PRENDIAMO I
FATTORI (NUMERICI) COMUNI COL MINORE ESPONENTE; SE FRA I
COEFFICIENTI C'È QUALCHE FRAZIONE, ALLORA COME MCD DEI COEFFICIENTI
PRENDEREMO "1";
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Esempi sul MCD di monomi Vogliamo calcolare il massimo comun
divisore dei monomi:
3x2yz4 ; 18ax3y3z4 ; 6xy3z3
Le lettere comuni ai tre monomi sono x, y, z, ma quali esponenti
dobbiamo scegliere?
gli esponenti di x sono 2, 3 e 1: il più piccolo è 1; gli
esponenti di y sono 1, 3 e 3: il più piccolo è 1; gli esponenti di
z sono 4, 4 e 3: il più piccolo è 3.
Dunque il massimo comun divisore ha quindi come parte letterale
xyz3. I coefficienti dei monomi sono interi, quindi possiamo
determinare il massimo comun divisore tra 3, 18 e 6, scomponendoli
in fattori primi: 3 = 3; 18 = 2 32; 6 = 2 3
e, al solito, prendiamo i fattori comuni col minore esponente: 3
Abbiamo finito, perché abbiamo sia il coefficiente che la parte
letterale del monomio massimo comun divisore:
MCD (3x2yz4 ; 18ax3y3z4 ; 6xy3z3) = 3xyz3 Altro esempio:
Calcoliamo il massimo comun divisore tra i monomi:
- ax2y4 ; 3ay2 ; 2y3z
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In questo caso l'unica lettera in comune è y e l'esponente da
considerare è 2 perché è l'esponente minore. Il coefficiente del
MCD è invece 1 perché non tutti i coefficienti di partenza sono
numeri interi. Dunque:
MCD (- ax2y4 ; 3ay2 ; 2y3z) = y2
mcm DI MONOMI
Il minimo comune multiplo di due o più monomi è definito come un
qualsiasi monomio di grado minimo che sia divisibile per tutti i
monomi dati. Immaginiamo di avere due monomi. La regola per
determinarne il mcm è la seguente: la parte letterale del mcm si
determina prendendo le lettere comuni e
non comuni, prese una sola volta, con il massimo esponente.
DUNQUE PRENDIAMO LE LETTERE COMUNI E NON COMUNI COL MAGGIORE
ESPONENTE;
per il coefficiente del mcm, se i coefficienti dei monomi dati
sono interi, allora calcoleremo il loro minimo comune multiplo. Se
invece i coefficienti dei monomi non sono interi, allora prenderemo
come coefficiente del minimo comune multiplo il nostro amico 1.
DUNQUE PRENDIAMO I FATTORI (NUMERICI) COMUNI E NON COMUNI COL
MAGGIORE ESPONENTE; SE FRA I COEFFICIENTI C'È QUALCHE FRAZIONE,
ALLORA COME mcm DEI COEFFICIENTI PRENDEREMO "1";
Esempi sul mcm di monomi Qualche esempio giusto per comprendere
come applicare la regola di calcolo del mcm tra monomi. Calcoliamo
il minimo comune multiplo tra:
xy ; -2ax2y2 ; 3xy
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Per parte letterale, dobbiamo prendere le lettere comuni e non
comuni con il
massimo esponente, in questo caso: ax2y2. Come coefficiente
prenderemo il minimo comune multiplo tra 1, 2, 3 che è 6. Abbiamo
già finito:
mcm (xy ; -2ax2y2 ; 3xy) = ax2y2 Un altro esempio: Vogliamo
calcolare il mcm dei monomi:
x ; y ; - xyz2
La parte letterale del minimo comune multiplo è formata dalle
lettere comuni e non comuni prese con il massimo esponente, dunque
xyz2. Il coefficiente del minimo comune multiplo invece è 1 perché
i coefficienti dei monomi dati non sono interi.