NEJKRATŠÍ CESTY MEZI VŠEMI UZLY

TI 8.1

NEJKRATŠÍ CESTYMEZI VŠEMI UZLY

Nejkratší cesty - kap. 7

TI 8.2

Nejkratší cesty mezi všemi uzly

Seznámíme se s následujícími pojmy:

• matice w-délek, matice w-vzdáleností, matice předchůdců

• Floydův-Warshallův algoritmus

• Johnsonův algoritmus, přehodnocení hran

Skripta kap. 7, str. 123 – 138

Nejkratší cesty – kap. 7

TI 8.3

Jak zjistíme nejkratší cesty mezi všemi páry uzlů ?

Označme |U| = n

Pro nezáporné ohodnocení hran lze uvažovat

O(n2 . lg n + n . |H|) Fibonacci-ho halda

n x Dijkstra ... O(|H| . n . lg n) binární halda

O(n3) fronta jako sekvenční seznam

A pro záporné ohodnocení hran n x Bellman-Ford ... O(n2 . |H|) ~ O(n4) !?

? Jde to lépe ? ANO !

Nejkratší cesty - kap. 7

TI 8.4

Graf G reprezentujeme maticí w-délek W (vychází z matice sousednosti V a zahrnuje současně délky hran w):

0 pro i = j

wij = w(ui, uj), i j, (ui,uj)H

+ jinak

Cesty a matice - odst. 7.1

Výsledky získáme ve formě

matice w-vzdáleností D = [ dij ] : dij = dw(ui,uj)

Doplňující informace o samotných cestách ukládáme do

matice předchůdců P = [ pij ]

pij = nil ... i=j nebo neexistuje cesta ui uj,

uk ... uk je předchůdce uj na cestě ui uj

TI 8.5

Algoritmus Floyda-Warshalla

Floyd-Warshall - odst. 7.2

Základní myšlenka:

postupně rozšiřujeme povolené vnitřní uzly minimálních cest:

, {u1}, {u1, u2},..., {u1, u2, ..., uk},..., {u1, u2, ..., un}

cesta P : ui uj s vnitřními uzly z {u1, u2, ..., uk}

dij(k) - délka minimální cesty P

dij(0) = wij ui

uk

uj

{u1, u2, ..., uk-1}

dij(k) = min (dij

(k-1) , dik(k-1) + dkj

(k-1))

dij(n) = dij

TI 8.6

Algoritmus Floyda-Warshalla

1 D(0) W

2 for k 1 to n {

3 for i 1 to n {

4 for j 1 to n {

5 dij(k) min (dij

(k-1) , dik(k-1) + dkj

(k-1))

6 } } }

7 return D(n)


!!! Časová složitost : O(n3) !!!

? A co paměťová složitost ?

?A co, když chceme znát cesty, ne jen vzdálenosti ?

TI 8.7

Výpočet matice předchůdců:

pij(0) = nil pro i=j nebo wij=

i jinak (tedy pro (ui,uj) H)

pij(k) = pij

(k-1) pro dij(k-1) dik

(k-1) + dkj(k-1)

pkj(k-1) pro dij

(k-1) > dik(k-1) + dkj

(k-1)


Reflexivně-tranzitivní uzávěr grafu (relace)

W = V + E

dij(k) = dij

(k-1) (dik(k-1) dkj

(k-1))

TI 8.8

Kontrolní otázky

1. Podobně jako je při provádění Floyd-Warshallova algoritmu možné počítat matici P předchůdců uzlů na nejkratších cestách, je možné také počítat matici Q následníků uzlů na nejkratších cestách. Určete pravidlo, podle něhož se nastaví počáteční hodnoty prvků qij

(0) této matice, a pravidlo pro přechod od (k-1)-ní ke k-té iteraci hodnot qij.

2. Dalším rozšířením Floyd-Warshallova algoritmu zajistěte, aby po ukončení výpočtu byl znám počet hran na nejkratších cestách mezi všemi uzly (opět ve formě matice označené např. R). (Návod: Inspirujte se řešením obdobného problému pro algoritmus Dikstrův a Bellman-Fordův.)

3. Zdůvodněte, proč je provádění Floyd-Warshallova algoritmu možné všechny iterace matice D(k) uchovávat v jediném poli. (Návod: Ověřte, že vnitřní dva cykly nemění hodnotu prvků v k-tém řádku a k-tém sloupci, na nichž závisí hodnoty prvků v nové iteraci.)

4. Jak se při použití Floyd-Warshallova algoritmu zjistí případná existence záporných cyklů v grafu?


TI 8.9

Johnsonův aloritmus

Úvaha: (označíme |U|=n)Pro řídké grafy (|H|<<O(n2)) je O(|H|.n) lepší než O(n3)

takže O(n.(|H| + n.lg n)) je lepší než O(n3)

Idea: n x Dijkstra (+ Fib. heap), ale co s w(h) < 0 ??

Johnson - odst. 7.3

Přehodnocení w w' takové, že

• pro každé u,v je cesta u v minimální podle w' minimální také podle w

• w'(u,v) 0

TI 8.10

? Jak najít přehodnocení w' , které bude zachovávat minimálnost cest?

Johnson - odst. 7.3

V: Nechť je pro graf G = H, U s ohodnocením hran w: H R dána funkce h: U R. Nechť je ohodnocení w' pro každou hranu (u,v) dané vztahem

w'(u,v) = w(u,v)+h(u)-h(v)

Potom pro cestu L: u v platí, že L je minimální podle w, právě když je minimální podle w'.

D: platí w'(L) = w(L)+h(u)-h(v) cesta minimální pro w je minimální i pro w' a naopak

Zbývá nalézt vhodné h, aby bylo w'(u,v) 0 !!!

TI 8.11

Úprava G na G':• přidáme uzel s: U' = U {s}

a hrany H = H {(s,u): u U}, w(x) = 0 pro nové hrany x

0

0

0

0

v

u

Johnson - odst. 7.3

• položíme h(u)=d(s,u) ... platí h(v) h(u) + w(u,v), tedyw'(u,v) = w(u,v) + h(u) - h(v) 0 !!!

s

TI 8.12

Johnsonův algoritmus1 G G'2 Bellman-Ford(G',w,s) pokud false STOP 3 for každý uzel uU { h(u) d(s,u) }4 for každou hranu (u,v)H { 5 w'(u,v) w(u,v) + h(u) - h(v)6 for každý uzel uU {

7 Dijkstra(G, w', u)

8 for každý uzel vU {

9 d(u,v) d'(u,v) - h(u) + h(v)

10 }

11 }

Johnson - odst. 7.3

O(n.|H|)

O(n2.lg n + n.|H|)(pro Fib. heap)

O(n.|H|.lg n) pro binární heap

TI 8.13

0

-2

-1

0

0

-2/0 3/12/3 3/1

3/3

4/4

1/0

-1/0

6/74/4

h(u) = min (0, délka nejkratší cesty s u)

w'(u,v) = w(u,v) + h(u) - h(v)

Johnson - odst. 7.3

s

0

0

0

0

0

TI 8.14

Algebraické souvislosti

Floyd-Warshall:

dij(k) = min (dij

(k-1) , dik(k-1) + dkj

(k-1))

Algebraické souvislosti - odst. 7.4

dvojoperace min, +označíme ,

?Jaké vlastnosti musí tyto operace mít, aby to fungovalo?

efekt složení dvou spojení u v v x

efekt kombinování alternativních spojení u v

TI 8.15

Polookruh

PP = P, , , 0, 1 :

a (b c) = (a b) c P, , 0 a 0 = 0 a = a je komutativnía b = b a monoida a = a idempotence

a (b c) = (a b) c P, , 1 a 1 = 1 a = a je monoida 0 = 0 a = 0 s nulovým prvkem

a (b c) = (a b) (a c) distributivnost(b c) a = (b a) (c a) zleva a zprava


Teď přijde trochu matematiky, podrobněji viz skripta ...

TI 8.16

Uzavřený polookruh:

a1 a2 a3 ... je definováno pro lib. a1, a2, a3, ... a je

• asociativní, komutativní, idempotentní a navíc

• distributivní vůči


Kdy máme mnoho spojení? Když máme cykly!

Uzávěr c* = 1 c (c c) (c c c) ...0* = 1, c c* = c* c, c* = 1 (c* c), ...

Příklady polookruhů

R+ {}, min, +, , 0 a* = min (0, a, a+a, a+a+a, ...) = 0

R {, -}, min, +, , 0 a* = 0 nebo - (pro a<0)

TI 8.17

Řešení obecné úlohy o spojeních

Máme jednoduchý OG G = H,U a ohodnocení

: H P , (h) 0, kde PP = P, , , 0, 1 je polookruh. Doplníme ohodnocení o

(u,v) = 0 pro (u,v) H.

Spojení L = u1,u2,...,uk ohodnotíme pomocí jeho hran

(L) = (u1,u2) (u2,u3) ... (uk-1,uk)

takže platí (L1 L2) = (L1) (L2)

(L1 L2 ... Lr) = (L1) (L2) ... (Lr)

Rozšíříme i na množiny spojení {Li}iI mezi stejnými uzly

({Li}iI) = iI (Li)


TI 8.18

F-W algoritmus zobecníme, aby pro všechna u,v U počítal

suv = L : uv (L)

Předpokládáme U = {1,2, ...|U|}, L(i,j,k) - všechna spojení z i do j s vnitřními uzly pouze z množiny {1,2,...,k}.

Postupně se počítají

sij(k) = L L(i,j,k) (L)

pomocí rekurence

sij(k) = sij

(k-1) (sik(k-1) (skk

(k-1))* skj(k-1) )

a počátečního nastavení

sij(0) = (i,j) pro i j, sij

(0) = 1 (i,j) pro i=j


Ta trocha matematiky pokračuje ...

TI 8.19

Zobecněný F-W algoritmus

Floyd-Warshall-G(G, )

1 for i1 to n {

2 for j 1 to n { sij(0) (i,j) }

3 sii(0) 1 (i,i)

4 }

5 for k 1 to n {

6 for i 1 to n {

7 for j 1 to n {

8 sij(k) sij

(k-1) (sik(k-1) (skk

(k-1))* skj(k-1) )

9 } } }

8 return S(n)

za co je tam ta 1 ???


TI 8.20

Pro polookruhR+ {}, min, +, , 0 a* = min (0, a, a+a, a+a+a, ...) = 0 uzávěrový činitel (skk

(k-1))* odpadá

sij(k) = sij

(k-1) (sik(k-1) skj

(k-1) )

Pro polokruhR {, -}, min, +, , 0 a* = 0 nebo - (pro a<0) hodnota (skk

(k-1))* je - pokud spojení z u do v prochází

cyklem < 0

P = 0,1, max, . , 0, 1 a*=1 - nejspolehlivější spojení

P = Rk, max, min , rmin, rmax - spojení s maximální

propustností

Rk je konečná množina reálných čísel


A tohle je několik výsledků ...

TI 8.21

Kontrolní otázky

1. Jak je třeba definovat operace a a nosič (tj. množinu P) v odpovídajícím polookruhu, aby zobecněný Floyd-Warshallův algoritmus určil počet různých spojení mezi jednotlivými dvojicemi uzlů.


NEJKRATŠÍ CESTY MEZI VŠEMI UZLY

Documents