Page 1
İÇİNDEKİLER
Bölüm 1: SAYILAR……………………………………………..………………….. 7
Bölüm 2: ÇARPANLARA AYIRMA…………………………………………… 73
Bölüm 3:ORAN ORANTI VE PROBLEM ÇÖZÜMLERİ….....………… 95
Bölüm 4: MODÜLER ARİTMETİK………………………………….......….. 123
Bölüm 5: POLİNOMLAR…………………………………………………......… 145
Bölüm 6: DİZİLER………………………………………………………….......... 161
Bölüm 7: 2.,3. DERECEDEN DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER 177
Bölüm 8: DENKLEM ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ………………………….. 205
Bölüm 9: SONLU MATEMATİK…………………………………………...... 227
Bölüm 10: GEOMETRİ…………………………………………………........… 285
Bölüm 11: ALIŞTIRMALARIN ÇÖZÜMLERİ………………………..…. 387
Bölüm 12: DENEMELER…………………………………………………....… 497
DENEME SINAVLARI CEVAP ANAHTARI.............……………........... 552
Page 3
Sayılar
8ALTIN NOKTA YAYINEVİ
Rakam
Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir.
{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } kümesinin elemanları onluk sayma sisteminin rakamlarıdır.
Sayı
Rakamların bir çokluk belirtecek şekilde bir araya getirilmesiyle oluşturulan ifadeye sayı
denir.
Sayı Kümeleri
1. Doğal Sayılar
N = { 0, 1, 2, 3, … } kümesine doğal sayılar kümesi ve bu kümenin her bir elemanına
da doğal sayı denir.
N = { 0, 1, 2, 3, … } kümesi neden doğal sayılar şeklinde adlandırılmıştır?
Bazı matematikçiler 0 (sıfır)ı doğal sayı kabul etmezler, neden?
2. Sayma Sayıları
N+ = { 1, 2, 3, … } kümesine sayma sayıları kümesi ve bu kümenin her bir elemanına
da sayma sayısı denir.
3. Tam Sayılar
Z = { …, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, … } kümesine tam sayılar kümesi ve bu kümenin her bir
elemanına da tam sayı denir.
Z+ = { 1, 2, 3, … } kümesine pozitif tam sayılar
Z– = { …, – 3, – 2, – 1 } kümesine negatif tam sayılar kümesi denir.
0 (sıfır) bir tam sayıdır, fakat pozitif ya da negatif değildir. Yani işaretsizdir. O halde,
Z = Z+ ∪ Z – ∪ {0} dır.
4. Rasyonel Sayılar
a ve b birer tam sayı ve a ile b aralarında asal olmak üzere b ≠ 0 için şeklinde
yazılabilen sayılara rasyonel sayı denir.
Q =
5. İrrasyonel Sayılar
Rasyonel olmayan sayılara irrasyonel sayı denir.
Qı = { şeklinde yazılamayan sayılara denir }
Page 4
Sayılar
9 ALTIN NOKTA YAYINEVİ
birer irrasyonel sayıdır.
sayı doğrusu üzerinde vardır. Fakat yerini rasyonel sayılar gibi tam olarak göstere-
meyiz. Onun için bu sayılara irrasyonel sayılar denir.
6. Reel (Gerçek) Sayılar
Rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayılar kümesinin birleşimi olan kümeye reel
(gerçek) sayılar kümesi denir.
Reel sayılar kümesi : R = Q ∪ Q′ şeklinde gösterilir.
Tam Sayı Çeşitleri
n ∈ Z olmak üzere, 2n ifadesiyle belirtilen sayılara çift sayı, 2n – 1 veya 2n + 1 ifade-
siyle belirtilen sayılara tek sayı denir. Tek sayılar T, çift sayılar Ç ile gösterilmek üzere;
T ± T = Ç T . T = T n ∈ Z+
T ± Ç = T T . Ç = Ç Tn = T
Ç ± Ç = Ç Ç . Ç = Ç Çn = Ç
Örnek
1 den 15 e kadar (15 dahil) olan sayıların çarpım tablosunda 225 çarpım bulunmaktadır.
Bu çarpımlardan kaç tanesi çifttir?
A) 113 B) 112 C) 146 D) 161 E) Hiçbiri
Çözüm (Cevap D)
{ 1, 2, 3, …, 15 } kümesinin 8. elemanı tektir. Buna göre 225 çarpımdan 8.8 = 64 tanesi
tektir. Çünkü T . T = T, T . Ç = Ç, Ç . Ç = Ç tir.
O halde 225 çarpımdan 225 – 64 = 161 tanesi çifttir.
Örnek
a bir tam sayı olmak üzere, aşağıdakilerden hangisinin sonucu daima tek sayıdır?
A) a2 + a B) a(a2 – 1) C) a2 + a + 2 D) a2 + a + 1 E) Hiçbiri
0
1
1
Page 5
Sayılar
10ALTIN NOKTA YAYINEVİ
Çözüm (Cevap D)
a bir tam sayı ise a2 + a = a (a + 1) olup ardışık iki tam sayının çarpımı her zaman çift
sayıdır.
a(a2 – 1) = a(a – 1) (a + 1) = (a – 1) a (a + 1) olup, ardışık üç sayının çarpımı daima çift
sayıdır. a2 + a + 2 yine çift sayıdır. a2 + a çift sayı olacağından, a2 + a + 1 tek sayıdır.
Örnek
İki basamaklı üç farklı doğal sayının toplamı kaç farklı değer alır?
A) 300 B) 270 C) 262 D) 261 E) 162
Çözüm (Cevap C)
Üç farklı iki basamaklı doğal sayının toplamının alabileceği en küçük değer
10 + 11 + 12 = 33 tür. 33 ten büyük her değer 97 + 98 + 99 = 294 e kadar yazılabilir.
O halde, iki basamaklı üç farklı doğal sayının toplamı 294 – 33 + 1 = 262 farklı değer alır.
Örnek
Toplamları 167 olan iki basamaklı dört farklı sayıdan en büyüğü kaç farklı değer alır?
A) 55 B) 56 C) 90 D) 91 E) 92
Çözüm (Cevap B)
İki basamaklı üç farklı sayı 10, 11, 12 olduğunda en büyük olan dördüncü sayı
167 – 33 = 134 olup üç basamaklı olduğundan, dört sayıdan en büyük olanı 99 olabilir.
İki basamaklı dört sayıdan en büyüğünün alabileceği en küçük değer ise, 40, 41, 42, 44
ten 44 tür. Buna göre { 44, 45, 46, …, 99 } kümesinin eleman sayısı 56 dır.
Örnek
α1, α2, α3, …, α19 sayıları 1, 2, 3, …, 19 sayılarının farklı dizilişleri olsun.
(α1 – 1)(α2 – 2) … (α19 – 19) çarpımının çift sayı olduğunu gösterelim.
Çözüm
{ 1, 2, 3, 4, …, 19 } kümesinin 19 elemanından 10 tanesi tek, 9 tanesi çifttir. 9 tek
ile 9 çift farklı şekilde gelse bile çarpanlardan bir tanesi kesin T – T = Ç olacaktır. O halde
(α1 – 1) (α2 – 2) … (α19 – 19) çarpımı çifttir.
Page 6
Sayılar
11 ALTIN NOKTA YAYINEVİ
Pozitif ve Negatif Sayılar
Sıfırdan büyük tam sayılara pozitif tam sayılar, sıfırdan küçük tam sayılara negatif tam sayılar
denir. Buna göre;
1. a > 0 ve b > 0 ise,
a + b > 0, a.b > 0 ve > 0
2. a < 0 ve b < 0 ise,
a + b < 0, a.b > 0 ve > 0
3. a > 0 ve b < 0 ise,
a.b < 0 ve < 0
4. a > 0 ve n ∈ R ise an > 0
5. a < 0 olmak üzere,
n tek (tam) sayı ise, an < 0
n çift (tam) sayı ise, an > 0
6. x ∈ R ve n ∈ Z ise x2n ≥ 0
Örnek
x ve y gerçek sayılar olmak üzere; (x + y – 4)2 + (y – 1)2 = 0 olduğuna göre, x – y farkı
kaçtır?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Çözüm (Cevap B)
(x + y – 4)2 + (y – 1)2 = 0 ise x + y – 4 = 0 ve y – 1 = 0 olmalıdır. Buna göre, y = 1
ve x = 3 tür. O halde, x – y = 3 – 1 = 2 dir.
Örnek
1 + 2 + 3 + ... + n = olduğunu gösterelim.
Page 7
Sayılar
12ALTIN NOKTA YAYINEVİ
Çözüm
1 + 2 + 3 + 4 + ... + n – 1 + n = A
n + n – 1 + n – 2 + n – 3 + ... + 2 + 1 = A
tersten yazıp taraf tarafa topladığımızda, her iki terimin toplamı n + 1 olup, n tane
n + 1 in toplamı n(n + 1) dir. Bu toplam;
2A = n(n + 1) olduğundan olur.
Örnek
1 + 3 + 5 + ... + 2n – 1 = n2 olduğunu gösterelim.
Çözüm
1 + 3 + 5 + ... + 2n – 1 toplamına tek terimlerden sonra çift sayıları ekler çıkartırsak
1 + 3 + 5 + ... + 2n – 1=1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 2n – 1 + 2n– 2 – 4 – 6 – ... – 2n
= – 2( 1 + 2 + 3 + ... + n )
= n( 2n + 1 ) –
= 2n2 + n – n2 – n = n2 bulunur.
Ardışık Sayılar
Belli bir kurala göre ard arda gelen sayı dizilerine (örüntüye) ardışık sayılar denir.
n bir tam sayı olmak üzere,
Ardışık tam sayılar; ..., n, n + 1, n + 2, ...
Ardışık çift sayılar; ..., 2n – 2, 2n, 2n + 4, ...
Ardışık tek sayılar; ..., 2n – 1, 2n + 1, 2n + 3, ...
7 nin katı olan ardışık sayılar; ..., 7n – 7, 7n, 7n + 7, 7n + 14, ...
Örnek
r ≠ 1 için,
1 + r + r2 + r3 + ... + rn–1 = olduğunu gösterelim.
Page 8
Sayılar
13 ALTIN NOKTA YAYINEVİ
Çözüm
1 + r + r2 + r3 + ... + rn–1 toplamına T deyip, bu toplamı önce –1 ile daha sonra r ile
çarpıp taraf tarafa toplayalım. Yani,
Not
2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1),
,dir.
Örnek
1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 100.101 toplamını bulalım.
Çözüm
1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 100.101=1(1 + 1) + 2(1 + 2) + 3(1 + 3) + .... + 100(1 + 100)
= 1 + 12 + 2 + 22 + 3 + 32 + ... + 100 + 1002
= 1 + 2 + 3 + ... + 100 + 12 + 22 + 32 + ... + 1002
= = 5050 + 50.101.67 = 343 400 bulunur.
Not
r : ilk terim
n : son terim
x : artış miktarı
olmak üzere, bir aritmetik dizinin terimleri
r + (r + x) + (r + 2x) + ... + n
olmak üzere, bu dizideki terim sayısı dir.
Page 9
Sayılar
14ALTIN NOKTA YAYINEVİ
Buna göre bu dizinin terimleri toplamı
r + (r + x) + (r + 2x) + ... + n = dir.
Örnek
1 den n ye kadar olan n tane doğal sayının kareleri toplamı,
T = 12 + 22 + 32 + ... + n2 dir.
Bu n tane doğal sayıdan her biri 1 arttırıldığında T kaç artar?
Çözüm
T nin her bir terimindeki n doğal sayısının bir arttırılmasıyla oluşan toplam A olsun.
Örnek
1 + 3 + 5 + ... + 2n – 1 = n2 olduğuna göre,
(2n + 1) + (2n + 3) + (2n + 5) + ... + (4n + 1)
toplamını n cinsinden hesaplayalım.
Çözüm
2n + 1 + 2n + 3 + ... + 2n + 2n + 1=
= (n + 1)2 + (n + 1)2n = n2 + 2n + 1 + 2n2 + 2n
= 3n2 + 4n + 1 dir.
Basamak ve Taban
Bir doğal sayının rakamlarının sayıda bulunduğu yere basamak, rakamların bulundukları
basamaklara göre yer aldığı değere basamak değeri, rakamın kaç birlikten meydana
geldiğini gösteren değere de bu rakamın sayı değeri denir.
Sayının gruplandırılarak sayılmasına taban denilir. Günlük hayatta sayarken gruplandırmayı
10’a göre yaptığımızda, buna onluk taban veya onluk sayma sistemi deriz.
Page 10
Sayılar
15 ALTIN NOKTA YAYINEVİ
Örnek
Onluk sayma sisteminde 2307 sayısının rakamlarının basamak ve sayı değerleri,
2307 Basamak değeri Sayı değeri
7x1 = 7 7x1 = 7
0x10 = 0 0x1 = 0
3x100 = 300 3x1 = 3
2x1000 = 2000 2x1 = 2
Örnek
Tahtaya soldan sağa doğru yazılı k tane rakamdan her seferinde 3 ü hariç diğerleri
silinerek tüm üç basamaklı sayılar elde edilebiliyorsa, k en az kaç olmalıdır?
A) 19 B) 20 C) 29 D) 30 E) 59
Çözüm (Cevap C)
Tüm üç basamaklı sayıları elde etmek için “0” hariç her rakam en az üçer defa yazılmalıdır.
111, 999 u elde etmek için her rakam en az üçer defa yazılıyor. Fakat 000 şeklinde üç
basamaklı sayı olmadığından “0” rakamını en az iki defa yazmak yeterlidir. O halde k tane
rakamdan her seferinde üçü hariç diğerleri silinerek tüm üç basamaklı sayıları elde etmek
için k en az 29 olmalıdır. Bu yazılış 123...90123...90123...9 şeklindedir.
Çözümleme
Bir sayının rakamlarının basamak değerleri şeklinde yazılmasına bu sayının çözümlenmesi
denir.
(1923)10 = 1.103 + 9.102 + 2.101 + 3.100
100 (bir)ler basamağı
101 (on)lar basamağı
102 (yüz)ler basamağı
103 (bin)ler basamağı
Örnek
2 x 3 + 4 x 5
ifadesinde, uygun şekilde parantezler yerleştirerek birçok farklı değer elde etmek
mümkündür. Yukarıdaki açıklamalar doğrultusunda verilen ifadeden kaç farklı değer elde
etmek mümkündür?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
Page 11
Sayılar
16ALTIN NOKTA YAYINEVİ
Çözüm (Cevap C)
1. (2 x 3) + (4 x 5) = 26
2. 2 x (3 + 4 x 5) = 46
3. 2 x (3 + 4) x 5 = 70
4. [ (2 x 3) + 4 ] x 5 = 50 değerleri elde edilebilir.
Sayı Tabanı
Sayı tabanı, sayma sisteminin diğer bir adıdır. Aslında sayı tabanı, paketleme sistemidir.
Elimizde birbirinin aynı 34 tane çikolata var. Bu çikolataları her dörtlüyü bir kutu yapacak
şekilde paketleyelim.
42.2 + 41.0 + 2 = (202)4 demektir.
t ≥ 2 ve t sayı tabanını göstermek üzere, t tabanında bir sayı yazılırken kullanılan rakam-
lar t tane olup 0, 1, 2, 3, ..., t – 1 dir.
t tabanındaki beş basamaklı sayının (abcde)t sayısının basamakları ve çözümlenmiş şekli,
(abcde)t = a.t4 + b.t3 + c.t2 + d.t1 + e.t0
t0 (bir)ler basamağı
t1 ler basamağı
t2 ler basamağı
t3 ler basamağı
t4 ler basamağı
t Tabanındaki Bir Sayının 10 Tabanında Yazılması
t tabanındaki bir sayı, bu tabana göre çözümlenip toplandığında elde edilen değer 10 ta-
banındaki karşılığıdır.
10 Tabanındaki Bir Sayının t Tabanında Yazılması
Verilen sayı, a0, a1, a2, ..., an t tabanında birer rakam olmak üzere,
tnan + tn–1an–1 + ...+ t1a1 + t0a0 şeklinde yazıldığında (anan–1an–2...a1a0)t demektir.
Page 12
Sayılar
17 ALTIN NOKTA YAYINEVİ
Örnek
x, y, z doğal sayılar olmak üzere, x + y + z = 99 denkleminin çözümü olan kaç farklı
(x, y, z) sıralı üçlüsü vardır?
(Sıralı üçlü demek (x, y, z) için (1, 2, 96), (2, 1, 96), (1, 96, 2), (96, 1, 2), (2, 96, 1),
(96, 2, 1) üçlülerinin farklı çözüm sayılmaları demektir.)
A) 99 B) 1010 C) 1100 D) 5050 E) 4950
Çözüm (Cevap D)
a, b doğal sayıları için a + b = 3 denkleminin çözümü olan dört farklı (a, b) sıralı ikilisi
vardır. a + b = n, n ≥ 1 için n + 1 tane (a, b) doğal sayı çözümikilisi vardır. Buna göre,
x + y + z = 99 denkleminde z = 99 için (x, y) çözüm ikilisi 1 tanedir. z = 98 için (x, y)
çözüm ikilisi 2 tanedir. Bu şekilde devam ettiğimizde z = 0 için (x, y) ikilisi 100 tane olup
bunların toplamı,
Buna göre, x, y, z doğal sayıları için x + y + z = n, n ≥ 1 denkleminin çözümü olan
(x, y, z) sıralı üçlülerinin sayısı;
Örnek
246 + 215 + 1 sayısı 2 tabanında yazıldığında kaç basamaklı bir sayı olur?
Çözüm
246 + 215 + 1 = 246.1 + 245.0 + ... + 216.0 + 215.1 + 214.0 + ... + 21.0 + 20.1
= (100...010...1)2 olup 47 basamaklıdır.
Örnek
Bir doğal sayının birler basamağındaki rakam silindiğinde elde edilen yeni sayı ilkine göre
2010 küçülüyor. Buna göre ilk sayının rakamları toplamı kaçtır?
A) 8 B) 10 C) 12 D) 14 E) 15
Çözüm (Cevap B)
Sayı dört basamaklı bir sayıdır. Buna göre sayımız abcd olsun.
1000a + 100b + 10c + d = 2010 + 100a + 10b + c
Page 13
Sayılar
18ALTIN NOKTA YAYINEVİ
900a + 90b + 9c + d = 2010 denkleminden 1< a < 3 olup a = 2 dir.
a = 2 ise 90b + 9c + d = 210
b = 2 ise 9c + d = 30 ve c = d = 3 tür.
Buna göre sayımız 2233 tür.
Örnek
S(n), n doğal sayısının rakamları toplamı olmak üzere,
S(n) + 3n = 2012
eşitliğini sağlayan kaç farklı n sayısı vardır?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
Çözüm (Cevap B)
Sayı abc gibi üç basamaklı bir sayıdır. Buna göre,
a + b + c + 3( 100a + 10b + c ) = 2012
a, b, c birer rakam olduğundan,
i) 5 < a < 7 ise a = 6 dır. a = 6 için,
301.6 + 31b + 4c = 2012
31b + 4c = 2012 – 1806 = 206
ii) 5 < b < 7 ise b = 6 dır. b = 6 için,
4c = 206 – 186 ve 4c = 20 ise c = 5
olup abc = 665 tir.
Örnek
p(n), n pozitif tam sayısının rakamları çarpımı olduğuna göre,
p(1) + p(2) + p(3) + ... + p(100)
toplamı kaçtır?
A) 2025 B) 2070 C) 2500 D) 4050 E) 5000
Çözüm (Cevap B)
p(1) + p(2) + p(3) + ... + p(10) = 1 + 2 + 3 + ... + 9 + 0 = 45
p(11) + p(12) + p(13) + ... + p(20) = 1.1 + 1.2 + 1.3 + ... + 1.9 + 2.0
= 1.( 1 + 2 + 3 + ... + 9 ) = 45
p(21) + p(22) + p(23) + ... + p(30) = 2.( 1 + 2 + 3 + ... + 9 ) = 2.45 olup,
p(1) + p(2) + p(3) + ... + p(100) için 45 + 1.45+ 2.45 + 3.45 + ... + 9.45 şeklinde bir
genelleme yaparak,
45 + 1.45+ 2.45 + 3.45 + ... + 9.45= 45.( 1 + 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 9 )
= 45.46 = 2070 bulunur.
Page 14
Sayılar
19 ALTIN NOKTA YAYINEVİ
Örnek
işleminin sonucu 3 tabanında yazıldığında, kaç tane basamağı 0 (sıfır) olur?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
Çözüm (Cevap A)
= 36 + 35 + 34 + 33 + 32 + 31 + 30 = (1111111)3 tür.
Örnek
x ve 5 sayı tabanları olmak üzere,
(3x1)5 + (123)xtoplamının sonucu 10 luk sistemde kaçtır?
A) 63 B) 106 C) 123 D) 136 E) 145
Çözüm (Cevap C)
(3x1)5 ten x < 5 ve (123)x ten x > 3 olmalıdır. Buna göre, x bir rakam olduğuna göre
x = 4 tür. O halde,
(341)5 + (123)4 sayıları tabanlarına göre çözümlendiklerinde,
= 52.3 + 51.4 + 50.1 + 42.1 + 41.2 + 40.3
= 96 + 27 = 123 bulunur.
Örnek
Bilgisayar klavyesindeki A ve B tuşları ile oynanan bir oyunda, tuşlardan birine bir defa
basma işine bir hamle deniyor. Oyuna başlandığında ekrana bir sayı geliyor. A tuşuna
basıldığında ekrandaki sayı 1 artıyor. B tuşuna basıldığında sayı 2 katı oluyor.
Bu iki tuşu kullanarak, oyuna başladığımızda ekrana gelen sayı 1 ise 200 sayısını elde
etmek için en az kaç hamle gerekir?
A) 5 B) 9 C) 13 D) 17 E) 20
Çözüm (Cevap B)
Soruyu çözmek için 200 den geriye doğru çarpmayı - bölme, 1 arttırmayı 1 eksiltme
olarak gidelim.
200 : 2 = 100
100 : 2 = 50
Page 15
Sayılar
20ALTIN NOKTA YAYINEVİ
50 : 2 = 25
25 – 1 = 24
24 : 2 = 12
12 : 2 = 6
6 : 2 = 3
3 – 1 = 2
2 : 2 = 1
şeklinde en az dokuz hamle ile 1 den başlayarak 200 sayısına verilen şartlar doğrul-
tusunda ulaşılabileceği görülmektedir.
Bu sorunun çözümü 200 sayısının 2 tabanında yazımı ile de çözülebilir.
Yine dokuz hamle bulunur.
Örnek
p(n), n pozitif tam sayısının 4 tabanında yazılımındaki rakamların çarpımı olsun (Çarpım
onluk sistemde yapılıyor. Örneğin 31 = (133)4 olup p(31) = 1.3.3 = 9 dur.) Buna göre,
p(1) + p(2) + p(3) + ... + p(254) + p(255)
toplamı aşağıdakilerden hangisidir?
A) 1496 B) 1554 C) 1572 D) 1596 E) 1624
Çözüm (Cevap B)
255 = (3333)4 olup bu sayı 4 tabanında yazılabilecek en büyük sayıdır. Buna göre, bir
basamaklı sayıların rakamları çarpımı
p(1) + p(2) + p(3) = 6 olur.
İki basamaklı sayılar için “0” bulunanları almaya gerek yoktur. Diğer sayıların rakamları
çarpımı ise,
( 1+ 2 + 3 )( 1 + 2 + 3 )
= 1.1 + 1.2 + 1.3 + 2.1 + 2.2 + 2.3 + 3.1 + 3.2 + 3.3
= 1.6 + 2.6 + 3.6 = 62 olur.
200 2
100
0
2
50
0
2
25
0
2
12
1
2
6
0
2
3
0
2
1
1
Page 16
Sayılar
21 ALTIN NOKTA YAYINEVİ
Bu şekilde devam ettirdiğimizde,
p(1) + p(2) + p(3) + ... + p(254) + p(255)
= 6 + 62 + 63 + 64 = 6.( 1 + 6 + 36 + 216 ) = 1554 bulunur.
Bölünebilme
a ve b ∈ Z ve b ≠ 0 olmak üzere, a = b.c olacak şekilde bir c ∈ Z varsa b, a yı böler-
veya a, b nin katıdır denir.
a = b.c ise b | a ( b böler a yı) şeklinde gösterilir.
a = b.c + r ve 0 ≤ r <|b|
Özellikler:
a, b, c tam sayılar olmak üzere,
1. a | a (Yansıma Özelliği)
2. a | b ve b | c ise a | c (Geçişme Özelliği)
3. a | b ve b ≠ 0 ise |a| ≤ |b|
4. a | b ve a | c ise ∀ x, y ∈ Z a | bx + cy
5. a | b ve a | b ± c ise a | c
6. a | b ve b | a ise |a| = |b|
7. a | b ve b ≠ 0 ise | b
8. a | b ve c ≠ 0 ancak ve ancak a.c | b.c
Not
0 ≤ r <|b|
• Bölme işleminde r = 0 ( a sayısı b ile tam bölünüyor ) ise b ve c, a sayısının
birer tam sayı bölenidir.
• 1 sayısı her tam sayının bölenidir.
a b
c
r
a b
c
r
Bölünen Bölen
Bölüm
Kalan
Page 17
Sayılar
22ALTIN NOKTA YAYINEVİ
• 0 sayısı hiçbir sayıyı bölemez. Kendisi hariç bütün tamsayılara bölünür ve bölüm
0 olur. 0 sayısı bütün sayıların tam katı ( 0 katı )dır.
• A ve B tam sayılarının x ile bölümünden kalanlar sırasıyla m ve n olsun;
i) A.B nin x ile bölümünden kalan ( m.n )
ii) At nin x ile bölümünden kalan mt , t ∈ Z+
iii) A ± B nin x ile bölümünden kalan ( m ± n ) dir.
Burada ( m.n ), m.t ve m ± n değerleri x ten küçük değilse, bu değerler x ile
tekrar bölünerek kalan bulunur.
A=11 sayısının 7 ile bölümünden kalan 4 olduğundan A2 + 6A nın 7 ile bölümünden
kalan 42 + 6.4 = 40 olup, 40 ın da 7 ile bölümünden kalan 5 tir.
Bölme Algoritması
Teorem: a, b ∈ Z ve b > 0 olmak üzere, a = b.q+ r ( 0 ≤ r <|b|) şartlarını sağlayan q
ve r tamsayıları vardır ve tektir.
Örnek
1, 2, 3, ..., 2010 sayılarının 7 ile bölümünden kalanlar toplamı kaçtır?
A) 21 B) 2009 C) 2010 D) 6027 E) 6028
Çözüm (Cevap E)
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 sayılarının 7 ile bölümünden kalanlar sırasıyla 1, 2, 3, 4, 5, 6, 0 dır.
Bunaların toplamı da 21 dir. 2010 a kadar sayıları 7 li gruplandırdığımızda
2010 = 7.287 + 1
olup aranan toplam 287.21 + 1 = 6028 dir.
Örnek
Şekildeki A, B, C, D, E sütunlarına A dan başlayarak sırasıyla her bir sütunda bir rakam
olacak şekilde 1, 2, 3, ..., 12, 13, ... sayılarının rakamları yazılıyor.
Buna göre, 2011 sayısını yazarken hangi sütun kullanılmamıştır?
A) A B) B C) C D) D E) E
A B C D E
1
6
0
1
.
.
2
7
1
3
.
.
3
8
1
.
.
.
4
9
1
.
.
.
5
1
2
.
.
.
Page 18
Sayılar
23 ALTIN NOKTA YAYINEVİ
Çözüm (Cevap C)
Önce “1, 2, 3, ..., 2010, 2011 sayılarını yazarken kaç tane rakam kullanılmıştır?” sorusu-
nun cevabını bulalım. Kullanılan toplam rakam sayısının 5 ile bölümünden kalan sütun nu-
marasını verecektir. 5 ile bölümünden 1 kalanını veren A, 2 kalanını veren B, 3 kalanını
veren C, 4 kalanını veren D ve 5 kalanını veren E sütunundadır. Buna göre 1 basamak-
lılarda 9 rakam, 2 basamaklılarda 90.2 = 180 rakam, 3 basamaklılarda
900.3 = 2700 rakam, 1000 ile 2011 arası (1000 ve 2011 dahil) 1012.4 = 4048 rakam
kullanılmış olup, bunların toplamı 189 + 2700 + 4048 = 6937 olup, bu sayının 5 ile
bölümünden kalan 2 dir. O halde C sütunu kullanılmamıştır.
Bölünebilme Kuralları
1. 2 ile Bölünebilme : Her çift sayı 2 ile bölünür. Tek sayının 2 ile bölümünden
kalan 1 dir.
2. 3 ile Bölünebilme : Rakamları toplamı üçün katı olan sayılar 3 ile bölünür.
3. 4 ile Bölünebilme : Sayının son iki basamağının belirttiği sayı dört ile bölüne-
bilen sayılar 4 ile bölünür.
4. 5 ile Bölünebilme : Birler basamağı 5 veya 0 olan sayılar 5 ile bölünür.
5. 6 ile Bölünebilme : Hem 2 ye hem de 3 e ( 2 ve 3 e) bölünebilen sayılar 6
ile bölünür.
6. 7 ile Bölünebilme :
i) Bir A sayısı için A = 10a + b olsun. a – 2b sayısı 7 ile bölünebiliyorsa A
da 7 ile bölünür.
ii) A = a7a6a5a4a3a2a1 yedi basamaklı sayısı için,
( a1 + 3a2 + 2a3) – ( a4 + 3a5 + 2a6) + a7 = 7k
k ∈ Z ise A sayısı 7 ile bölünür. Genel durum anan–1an–2...a1 için,
( a1 + 3a2 + 2a3) – ( a4 + 3a5 + 2a6) + ( a7 + 3a8 + 2a9) + ... şeklinde
yazılır.
7. 8 ile Bölünebilme : Sayının son üç basamağının belirttiği sayı 8 ile bölünüyorsa
sayı 8 ile bölünür.
8. 9 ile Bölünebilme : Rakamları toplamı 9 un katı olan sayılar 9 ile bölünür.
Page 19
Sayılar
24ALTIN NOKTA YAYINEVİ
9. 10 ile Bölünebilme : Birler basamağı 0 olan sayı 10 ile bölünür. Bir sayının
10 ile bölümünden kalan birler basamağındaki rakamdır.
10. 11 ile Bölünebilme : abcde beş basamaklı bir sayı olsun.
a b c d e → ( a + c + e ) – ( b + d ) = 11k
+ – + – +
( k ∈ Z ) ise abcde sayısı 11 ile bölünür.
Genel durum ise A = anan–1...a2a1 sayısı için
(a1
+ a3
+ a5
+ ...) – ( a2
+ a4
+ a6 + ...) = 11k ( k ∈ Z ) ise A sayısı 11 ile bölünür.
11. 13 ile Bölünebilme : A = 10a + b sayısı için a + 4b sayısı 13 ile bölünüyorsa
A sayısı 13 ile bölünür.
A = 10a + b için a – 5b 17 ile
a + 2b 19 ile
a + 7b 23 ile
bölünüyorsa A sayısı sırasıyla 17, 19 ve 23 ile bölünür.
Aralarında Asal Olma
İki sayının 1 den başka ortak pozitif tam sayı böleni yoksa iki sayı aralarında asaldır denir.
7 ile 5, 6 ile 5, 20 ile 21 aralarında asaldır.
Aralarında asal iki sayıdan her birine bölünebilen bir sayı, bu iki sayının çarpımına da
bölünür. Buna göre, Buna göre bir sayının 15 ile bölünebilmesi demek, bu sayının 3 ve
5 ile bölünebilmesi demektir. Çünkü 3 ile 5 aralarında asaldır.
Örnek
Beş basamaklı 1A56B sayısının 36 ile bölümünden kalan 23 olduğuna göre, A kaç farklı
değer alabilir?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Çözüm (Cevap B)
36 ile bölümünden 23 kalanını veren bir sayı 4 ile bölündüğünde 3 kalanını ve 9 ile
bölündüğünde 5 kalanını verir. Buna göre,
1A56B sayısının 4 ile bölümünden kalan 3 ise B = 3, 7 dir.
B = 3 için, 1A563 sayısının 9 ile bölümünden kalan 5 ise A = 8
B = 7 için, 1A567 sayısının 9 ile bölümünden kalan 5 ise A = 4 olur.
Page 20
Sayılar
25 ALTIN NOKTA YAYINEVİ
Örnek
n ∈ Z olmak üzere, n3 – n ifadesinin 3 ile bölündüğünü gösterelim.
Çözüm
n3 – n = n( n2 – 1 ) = ( n – 1 )( n )( n + 1 )
ardşık üç sayının çarpımı olduğundan bu çarpım 3 ile bölünür.
Not
Ardışık n tam sayının çarpımı n ile bölünür.
Örnek
ppp, qr ve kr sırasıyla üç ve iki basamaklı sayılardır.
p + q + k + r toplamı kaçtır?
A) 16 B) 17 C) 20 D) 21 E) 27
Çözüm (Cevap D)
ppp = 111.p = ( qr )( kr ) ise 111.p = 37.3.p = ( qr )( kr ) dir. 37.3.p = ( qr )( kr ) ise
qr = 37 için q = 3 ve r = 7 olur. Buradan p = 9, k = 2 bulunur. O halde,
p + q + k + r = 21 dir.
Örnek
1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 71.72 toplamının 71 ile bölümünden kalan kaçtır?
A) 0 B) 1 C) 37 D) 57 E) 70
Çözüm (Cevap A)
1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 71.72
= 1( 1 + 1 ) + 2( 1 + 2 ) + 3( 1 + 3 ) + ... + 71( 1 + 71 )
= 1 + 2 + 3 + ...+ 71 + 12 + 22 + 32 + ... + 712
=
toplamının 71 in katı olduğu görülmektedir. O halde, verilen toplamın 71 ile bölümünden
kalan “0” dır.
Page 21
Sayılar
26ALTIN NOKTA YAYINEVİ
Örnek
x2 – y2 = y – x + 24 denkleminin çözümü olan kaç farklı ( x, y ) doğal sayı ikilisi vardır?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
Çözüm (Cevap C)
( x – y )( x + y ) – ( y – x ) = 24
( x – y )( x + y + 1 ) = 24
1 24
3 8
24 1
8 3
x, y doğal sayı olduğundan x + y + 1 > 0 olacağından x – y > 0 olmalı. Bu da x > y ve
x + y + 1 > x – y olması demektir.
x – y = 1 ve x + y + 1 = 24 ise x = 12 ve y = 11
x – y = 3 ve x + y + 1 = 8 ise x = 5 ve y = 2 bulunur.
Not
a, b ∈ Z olmak üzere,
x – y = a
x + y + 1 = b
denklem sisteminin tam sayılarda çözümünün olabilmesi için a + b toplamı tek olmalıdır.
Çünkü,
x – y = a
x + y + 1 = b
2x = a + b – 1 dir.
Örnek
Rakamlarının ikisine birden bölünebilen iki basamaklı bütün sayıların toplamı kaçtır?
A) 495 B) 540 C) 630 D) 720 E) 900
Çözüm (Cevap C)
11, 22, 33, ..., 99 şeklindeki iki basamaklı tüm sayılar, rakamlarından ikisine birden bölünme
şartını sağlar. Bunların toplamı,
11 + 22 + 33 + ... + 99 = 11( 1 + 2 + 3 + ... + 9 )
Page 22
Sayılar
27 ALTIN NOKTA YAYINEVİ
= = 495 tir.
a ≠ b için ab iki basamaklı sayıda a | 10a + b ve b | 10a + b olmalıdır.
Buna göre, a | b ve b | 10a dan b = 2a veya b = 5a olmalıdır. Buradan,
a = 1 için b = 2 veya b = 5
a = 2 için b = 4
a = 3 için b = 6
a = 4 için b = 8
olup bu sayılar ve toplamı 12 + 15 + 24 + 36 + 48 = 135 tir.
Buna göre, soruda verilen şartı sağlayan iki basamaklı sayıların toplamı,
495 + 135 = 630 dur.
Asal Sayı
Kendisinden ve 1 den başka pozitif böleni olmayan 1 den büyük tam sayılara asal sayı
denir.
Asal olmayan 1 den büyük tam sayıya bileşik sayı denir.
• 1 den büyük bütün tam sayıların en az bir asal çarpanı vardır.
• Sonsuz çoklukta asal sayı vardır.
• n bileşik sayısı için, p ≤ ve p | n olacak şekilde bir p asal sayısı vardır.
• Asal sayılar 3k ± 1, 4k ± 1, k ∈ Z p > 3 için 6k ± 1 formundadır. Bu formda
olan her tam sayı asaldır diyemeyiz.
Not
Asal sayıların sonsuz çoklukta olduğunu Yunan matematikçi Euclid (Öklit) ispatladı.
Aşağıda 100 den küçük asal sayıları veren tablo ise Eratosthenes kalburu diye bilinir.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Page 23
Sayılar
28ALTIN NOKTA YAYINEVİ
Eratosthenes (M.Ö. 276 - 194) sayıları 1 den 100 e kadar yazdı. 2 nin 1 ve kendisinden
başka böleni olmadığından 2 asal sayıdır. Sonra tablodan 2 nin katları olanları eledi. 3
asal sayıdır. Daha sonra 3 ün katı olan sayıları eledi. Bu şekilde devam ettiğinde 100 den
küçük asal sayıları buldu.
Tabloda 100 den küçük 25 tane asal sayı vardır.
Örnek
347777743 sayısının asal sayı olmadığını gösterelim.
Çözüm
347777743 = 333333300 + 11111110 + 3333333
şeklinde yazarak 1111111 sayısına bölündüğünden ve bölüm 1 den büyük olacağından
asal sayı olamaz.
Örnek
Bir tam sayının karesinin k ∈ N için 4k veya 4k + 1 formunda olduğunu, yani tam kare
bir sayının 4 ile bölümünden kalanın 0 veya 1 olduğunu gösterelim.
Çözüm
n çift sayı ise, n = 2t, t ∈ Z olup n2 = 4t2 dir. Yani 4k formundadır.
n tek sayı ise, n = 2t + 1, t ∈ Z olup n2 = 4t2 + 4t + 1 = 4k + 1 formundadır.
Örnek
{ 102 + 1, 102 + 2, 102 + 3, ..., 106 + 1 } kümesinin kaç elemanı tam kare bir sayıdır?
A) 990 B)997 C) 1000 D) 9990 E) 9997
Çözüm (Cevap A)
102 + 1 = 101 olduğundan 101 den büyük en küçük tam kare sayı 112 dir. Bundan son-
raki tam kare sayılar 112, 122, 132, ... şeklinde (103)2 < (103)2 + 1 olacağından soruda ver-
ilen kümedeki tam kare sayılar;
A = { 112, 122, ..., 10002 } olup s(A) = 1000 – 11 + 1 = 990 dır.
Örnek
p, q, r asal sayılar olmak üzere, 15p + 7pq + qr = pqr eşitliğini sağlayan kaç farklı
(p, q, r) üçlüsü vardır?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Page 24
Çözüm (Cevap C)
15p + 7pq + qr = pqr ise p(15+7.q)=q.r(p-1) dir. p ile p-1 aralarında asal olduğundan
p | q veya p | r dir. Bu da p=q veya p=r demektir.
i) p = q ise,
15p + 7.p2 + p.r = p2.r dir ve burada denklemin her iki tarafı p ile bölünerek
15 + 7p = r (p-1) ve Bu da p=2, p=3, p=23 demektir.
p = 2 için r = 29 ve q=2
p = 3 için r = 18 asal sayı değildir.
p = 23 için r = 8 asal sayı değildir.
ii) p = r ise,15r + 7rq +qr = r2.q ise 15 + 8q = r.q dur. Buradan elde edilir.
q = 3 için r = 13 ve p=3
q = 5 için r = 11 ve p=5 tir.
Buna göre, soruda verilen durumu sağlayan
(p, q, r) = { (2, 2, 29), (11, 5, 11), (13, 3, 13} tür.
Örnek
Kaç farklı p asal sayısı için 2p + p2 ifadesinin sonucu yine bir asal sayıdır?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 3’ten çok
Çözüm (Cevap B)
p = 2 için 22 + 22 = 8 bir asal sayı değildir.
p = 3 için 23 + 32 = 17 bir asal sayıdır.
p > 3 için her asal sayı tektir.
21 in 3 ile bölümünden kalan 2
22 in 3 ile bölümünden kalan 1
23 in 3 ile bölümünden kalan 2...
Bir asal sayının 3 ile bölümünden kalan 2 veya 1 olup karesinin 3 ile bölümünden kalan
1 olacağından 2tek + p2 toplamı her zaman 3 ün katı olacağından p > 3 için 2p + p2
ifadesinin asal olmasını sağlayan p asal sayısı yoktur.
Sayılar
29 ALTIN NOKTA YAYINEVİ
Page 25
Sayılar
30ALTIN NOKTA YAYINEVİ
Not
1 den büyük her pozitif tam sayının en az bir asal çarpanı vardır.
π(x) : x pozitif reel sayısından büyük olmayan asal sayıların sayısıdır. Buna göre,
π(10) = 4 tür. Gerçekten bu sayılar;1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 sayılarından altı çizili olanlardır.
π(100) = 25 olduğunu Eratosthenes kalburunda görmüştük. π(11) = 5 olduğunu kolayca
söyleyebiiliriz.
Örnek
p, q, r asal sayı olmak üzere, p = q3 – r3 denklemini sağlayan kaç farklı (p, q, r) sayı
üçlüsü vardır?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 4’ten çok
Not
x3 – y3 = ( x – y )( x2 + xy + y2 ) ve x3 + y3 = ( x + y )( x2 – xy + y2 )
Çözüm (Cevap A)
p = ( q – r )( q2 + qr + r2 ) dir. p, q, r asal sayı olduğundan q2 + qr + r2 > 1 olacağın-
dan q – r = 1 olmalıdır.
Buna göre, q ve r ardışık iki sayıdır. Ardışık iki sayıdan ikisinin de asal olduğu durum
sadece 2 ile 3 tür. Bu da q = 3 ve r = 2 demektir. Bunlar denklemde yerine yazıldığında
p = 19 bulunur. Bu da verilen denklemi sağlayan ( p, q, r ) = ( 19, 3, 2 ) üçlüsünün bir
tane olması demektir.
Örnek
n ∈ N olmak üzere, p = n4 + 4 için p nin asal sayı olmasını sağlayan n sayısının bir
tane olduğunu gösterelim.
Not
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2, (x – y)2 = x2 – 2xy + y2 , x2 - y2 =(x – y)(x + y)
Çözüm
n4 + 4 = (n2)2 + (22) = (n2 + 2)2 – 4n
= (n2 + 2)2 – (2n)2 = ( n2 – 2n + 2 )( n2 + 2n + 2 ) dir.
p bir asal sayı ise, n2 – 2n + 2 = 1 veya n2 + 2n + 2 > 1 dir.
Buna göre n2 – 2n + 2 = 1 olmalıdır.
n2 – 2n + 2 = 1 ise n2 – 2n + 1 = 0 ve (n – 1)2 = 0 olup n = 1 dir.
Page 26
Sayılar
31 ALTIN NOKTA YAYINEVİ
n = 1 için p = 14 + 4 = 5 asal sayıdır.
Buna göre, p = n4 + 4 ifadesinin asal sayı olmasını sağlayan bir tek n değeri vardır.
Not
Bertrand Postulatı;
Her n > 1 doğal sayısı için n < p < 2n eşitsizliğini sağlayan en az bir p asal sayısı vardır.
Faktöriyel Kavramı
1 den n ye kadar olan ardışık sayma sayılarının çarpımına n! denir.
n! = 1.2.3. ... .n
0! = 1
1! = 1
2! = 2
3! = 1.2.3 = 6
4! = 1.2.3.4 = 24
5! = 1.2.3.4.5 = 120
• n! ∈ N olması için n ≥ 0 olmalıdır.
• 10! = 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10 olup 10! = 28.34.5.7
şeklinde asal çarpanlarının kuvvetlerinin çarpımı olarak yazılır..
Örnek
13! + 1 < p < 13! + 13 eşitsizliğini sağlayan kaç tane p asal sayısı vardır?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 13 E) 13!
Çözüm (Cevap A)
13! + 1 < p < 13! + 13 için,
p = 13! + 2 = 2.( 1.3.4...13 + 1) Asal değil
p = 13! + 3 = 3.( 1.2.4.5...13 + 1) Asal değil
p = 13! + 4 = 4.( 1.2.3.5...13 + 1) Asal değil..
p = 13! + 12 = 12.( 1.2.3.4...11.13 + 1) Asal değil
Buna göre, 13! + 1 < p < 13! + 13 eşitsizliğini sağlayan p asal sayısı yoktur.
10 2
5 2
2 2
1
10 3
3 3
1
Page 27
Sayılar
32ALTIN NOKTA YAYINEVİ
Bir Sayının Asal Çarpanlarına Ayrılması
p1, p2, p3, ..., pn asal sayılar ve α1, α2, α3, ..., αn ∈ N için,
A = p1α1 . p2
α2 . p3α3 ... pn
αn
şeklindeki yazmaya A doğal sayısının asal çarpanlarına ayrılmış biçimi denir.
1. A nın pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı,
p.b.s = (α1 + 1)(α2 + 1)(α3 + 1)...(αn + 1) dir.
2. A nın pozitif bölenlerinin negatifleri de A nın bölenleridir.
3. A nın pozitif tam sayı bölenlerinin toplamı,
dir.
Örnek
7200 sayısı asal çarpanlarına ayrıldığında, en büyük asal çarpanın üssü kaç olur?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Çözüm (Cevap B)
7200 = 9.8.100 = 9.8.25.4 = 25.32.52
olup en büyük asal çarpan 5 olduğundan üssü 2 dir.
Örnek
Tam kare sayı : Bir tam sayının karesi şeklinde ifade edilebilen sayıya tam kare sayı denir.
(Örneğin; 02, 4 = 22, 625 = 252 tam kare sayılardır.)
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi 1 den büyük tam kare bir sayının pozitif bölenlerinin
sayısı olabilir?
A) 1 B) 2 C) 4 D) 6 E) Hiçbiri
Çözüm (Cevap E)
Tam kare bir sayı; p1, p2, p3, ..., pn asal sayılar ve α1, α2, α3, ..., αn ∈ N olmak üzere,
A = p12α1 . p2
2α2 . p32α3 ... pn
2αn
asal çarpanlarına ayrılır. Buna göre, pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı
p = (2α1 + 1)(2α2 + 1)(2α3 + 1)...(2αn + 1) dir.
p nin tüm çarpanları tek sayı olduğundan çarpımın sonucu yine tek sayıdır. Yani 1 den
büyük tam kare bir sayının pozitif bölenlerinin sayısı 1 den büyük tek sayıdır.
Page 28
Sayılar
33 ALTIN NOKTA YAYINEVİ
Örnek
6 tane pozitif böleni olan en küçük doğal sayının rakamları toplamı kaçtır?
A) 3 B) 4 C) 9 D) 10 E) 12
Çözüm (Cevap A)
6 = 1.6 = 2.3 şeklinde çarpanlarına ayrılır.
25 = 32, 35 = 243, 22.31 = 12, 21.32 = 18 olup, 6 pozitif böleni olan en küçük sayı 12
olduğundan rakamları toplamı 3 tür.
Örnek
144 000 sayısının pozitif bölenlerinden kaç tanesi 8 ile bölünüp 9 ile bölünmez?
A) 20 B) 32 C) 40 D) 42 E) 84
Çözüm (Cevap C)
144 000 = 122.103 = 24.32.23.53 = 27.32.53 = 23. 3 (24.3.53)
şeklinde yazıp 24.31.53 sayısının pozitif bölenlerinin her birini 23 ile çarptığımızda elde
edilen sayılar 144 000 sayısının pozitif tam sayı böleni olup 8 ile bölünür fakat 9 ile bölün-
mez. Bu da (4 + 1)(1 + 1)(3 + 1) = 5.2.4 = 40 demektir.
Örnek
ifadesini tam sayı yapan x tam sayısının alabileceği değerler toplamı kaçtır?
A) 10 B) 15 C) 18 D) 30 E) 36
Çözüm (Cevap C)
243 = 35 olup her bir böleni tek sayıdır. Bu tek sayı bölenine 3 eklediğimizde çift sayı
olup 2 ile bölünür. Bu da demektir.
Bu durumu,
2x = 1 + 3 ise
2x = –1 + 3 ise
...
Page 29
Sayılar
34ALTIN NOKTA YAYINEVİ
şeklinde modellediğimizde, olup aynı şekilde diğer bölenler için de
elde edilecektir.
Burada 12 tane tam sayı böleni olduğundan 12 tane nin toplamı = 18 olacak-
tır.
Örnek
100 elemanlı bir kümenin 50 elemanlı alt kümelerinin sayısının 7 ile bölünmediğini
gösterelim.
Çözüm
100 elemanlı bir kümenin 50 elemanlı alt küme sayısı ∈ N dir.
100! sayısının içinde 16 tane 7 çarpanı ve 50! sayısının içinde 8 tane 7 çarpanı vardır.
∈ N dir.
7 ł A ve 7 ł B olduğundan 100 elemanlı bir kümenin 50 elemanlı alt küme sayısı 7 ile
bölünmez.
Örnek
a, b pozitif tam sayılar olmak üzere,
eşitliğini sağlayan kaç tane b sayısı vardır?
A) 4 B) 6 C) 7 D) 8 E) 14
Çözüm (Cevap D)
b! ve 4! pozitif tam sayılar olduğundan a nın da pozitif olması için b > 3 olmalıdır. b >
3 için b – 3 | 24 olmalıdır. Yani,
24 ün bölenleri kadar, b tam sayısı vardır.
Bunlar, b ∈ { 4, 5, 6, 7, 9, 11, 15, 27 } dir. O halde b pozitif tam sayısı 8 tanedir.
Page 30
Sayılar
35 ALTIN NOKTA YAYINEVİ
En Büyük Ortak Bölen (Ebob)
a ve b ikisi birden sıfır olmayan tam sayılar olmak üzere, a ve b sayılarından ikisini bir-
den bölen en büyük pozitif tam sayıya a ile b nin en büyük ortak böleni denir. ebob(a, b)
şeklinde gösterilir.
24 ve 48 in ortak bölenleri ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, ± 12 ve ± 24 olup, bunların en büyüğü
24 olduğundan ebob(24, 48) = 24 tür.
Not
a ve b ikisi birden sıfır olmayan tam sayıları için d ∈ Z+ olmak üzere,
1. d | a ve d | b
2. ∀ c ∈ Z, c | a, c | b ve c | d ise d sayısına a ile b nin en büyük ortak böleni
denir. ebob (a, b) = d şeklinde gösterilir.
ebob( 15, 81 ) = 3
ebob( 100,5 ) = 5
ebob( 17, 25 ) = 1
ebob( 0, 77 ) = 77
ebob( –6, –15 ) = 3
ebob( –17, 289 ) = 17
Aralarında Asal Olma
a ve b tam sayıları için ebob ( a, b ) = 1 ise a ve b aralarında asaldır denir.
a ve b aralarında asal ise ebob ( a, b ) = 1 dir.
Özellikler
a, b, c tam sayılar ve ebob(a, b) = d olmak üzere,
1.
2. ebob( a+b.c, b) = ebob( a, a.c+b) = ebob(a, b) = d
3. ebob (c.a, c.b) = c.ebob(a, b) = c.d
4. ebob(a, b) = 1 ise (a, b, c) = (a, c)
5. a1, a2, a3, ..., an sayıları 0 dan farklı tam sayılar olmak üzere,
ebob(a1, a2, a3, ..., an) = ebob(an–1, an) dir.
6. ebob(a, b) = 1 ve a | b.c ise a | c dir.
Page 31
Sayılar
36ALTIN NOKTA YAYINEVİ
Örnek
ebob(a, b) = 6 ve a + b = 96 olmasını sağlayan kaç farklı (a, b) doğal sayı ikilisi vardır?
A) 5 B) 8 C) 11 D) 16 E) 20
Çözüm (Cevap B)
ebob(x, y) = 1 olmak üzere ebob(a, b) = 6 olduğuna göre, a = 6x ve b = 6y şeklinde
yazabiliriz. Buna göre,
a + b = 6x + 6y = 96 ve x + y = 16 dır.
Bu da (x, y) ∈ { (1, 15), (3, 13), (5, 11), (7, 9), (9, 7), (11, 5), (13, 3), (15, 1)} dir.
Not
α1, α2, α3, ..., αn ve β1, β2, β3, ..., βn ∈ N
a = p1α1 . p2
α2 . p3α3 ... pn
αn ve b = p1β1 . p2
β2 . p3β3 ... pn
βn
şeklinde asal çarpanlarına ayrılıyorsa,
ebob(a, b) = p1min(α1,β1) .p2
min(α2,β2) ....pnmin(αn,βn) dir.
Not
m, n pozitif tam sayıları için mx + ny = ebob(m, n) denklemini sağlayan x, y tam sayıları
vardır.
Örneğin; 2x + 3y = 1 denklemini sağlayan x, y tam sayılarından biri sırasıyla 2, –1 dir.
Örnek
n ∈ Z olmak üzere, ebob(14n + 3, 21n + 1) = 1 olduğunu gösterelim.
Çözüm
(14n + 3, 21n + 1) = ( 14n + 3, –1(14n + 3) + 21n + 1)
= (14n + 3, 7n – 2)
= (14n + 3 – 2(7n – 2), 7n – 2)
= (7, 7n – 2) (7 ł 7n – 2 olduğundan)
= (7, 7n – 2) = 1 dir.
Örnek
, n ∈ N kesrini kısaltan (k ≠ 1) doğal sayısının rakamları toplamı kaçtır?
(AÜMO - 1999)
A) 5 B) 7 C) 9 D) 11 E) 15
Page 32
Sayılar
37 ALTIN NOKTA YAYINEVİ
Çözüm (Cevap D)
Verilen kesri kısaltan k ≠ 1 sayısı pay ve paydanın en büyük ortak böleni olan,
( 23n + 2, 11n + 3 ) = ( n – 4, 11n + 3 ) = ( n – 4, 47 ) = 47
sayısını bölmelidir. 47 asal ve k ≠ 1 olduğundan k = 47 olmalıdır. O halde 47 nin rakam-
ları toplamı 4 + 7 = 11 cevaptır.
Not
a, b, c birer tam sayı olmak üzere,
ax + by = c
şeklindeki denklemlere iki bilinmeyenli lineer diyafont denklemleri denir.
a, b, c ∈ Z a veya b sıfırdan farklı olmak üzere,
ax + by = c
denkleminin çözüm kümesinin olması için ebob(a, b) = d için d | c olmalıdır. Bu du-
rumda denklemin çözümü olan sonsuz çoklukta (x, y) tam sayı ikilisi vardır. Bu çözüm-
lerden biri (x0, y0) ise k ∈ Z olmak üzere,
dır.
Örnek
abc ve xyx üç basamaklı sayılar olmak üzere,
(abc)2 = abc + (xyx).1000
eşitliği sağlanıyorsa xyx sayısının rakamları toplamı kaçtır?
A) 4 B) 6 C) 7 D) 9 E) 12
Çözüm
(abc)2 – abc = (xyx).1000 eşitliğinden,
abc( abc – 1 ) = xyx.53.23
eşitliği elde edilir. ebob( abc, abc – 1 ) = 1 olacağından, abc ve abc – 1 den biri tek iken
diğeri çifttir. Yani biri 53 e bölünürken diğeri 23 e bölünür fakat 5 e bölünmez. 125, 375,
625, 875 sayılarından komşusu 8 e bölünebilen sayı 375 ve 675 tir.
625.624 = 390 000 ve 376.375 = 141 000
olup xyx sayısı 141 dir. Bu sayının rakamları toplamı da 6 dır.
Page 33
Sayılar
38ALTIN NOKTA YAYINEVİ
En Küçük Ortak Kat (Ekok)
a, b ∈ Z olmak üzere a ile b nin ortak katlarından en küçüğüne (k > 0) bu iki sayının
en küçük ortak katı denir. ekok(a, b) veya [a, b] şeklinde gösterilir.
4 ile 6 nın ortak katları; 12, 24, 36, 48, ... şeklinde olup bunların en küçüğü 12 olduğun-
dan ekok(4, 6) = 12 dir.
1. ekok(a, b) = c ise ekok(ta, tb) = tc
2. ebob(a, b) . ekok(a, b) = a.b dir.
Not
a ve b sayılarının asal çarpanlarına ayrılmış şekli,
a = p1α1 . p2
α2 . p3α3 ... pn
αn
b = p1β1 . p2
β2 . p3β3 ... pn
βn
olsun. Buna göre, ekok(a, b) = p1max(α1,β1) .p2
max(α2,β2) ....pnmax(αn,βn) dir.
Örnek
a,b,c pozitif tam sayıları için,
A = 3a + 1 = 5b + 3 = 7c + 5
eşitliği sağlandığına göre, A nın alabileceği üç basamaklı en büyük sayının rakamları
toplamı kaçtır?
A) 12 B) 14 C) 16 D) 18 E) 20
Çözüm (Cevap C)
A = 3a + 1 = 5b + 3 = 7c + 5
eşitliğinde her bir ifadeye 2 eklersek,
A + 2 = 3a + 3 = 5b + 5 = 7c + 7
olur. Buna göre A + 2; 3, 5, 7 ile bölünebilen bir sayıdır. 3, 5 ve 7 ile bölünebilen en
küçük sayı ekok(3, 5, 7) = 105 olacağından, aynı şekilde 3, 5 ve 7 ile bölünebilen üç
basamaklı en büyüksayı da 945 tir.
A + 2 = 945 ise A = 943 bulunur. A nın rakamları toplamı ise 16 dır.
Örnek
ekok(a, b) + ebob(a, b) = a + b + 3 denklemini sağlayan kaç tane (a, b) pozitif tam sayı
ikilisi vardır?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
Page 34
Sayılar
39 ALTIN NOKTA YAYINEVİ
Çözüm (Cevap A)
m, n ∈ Z olmak üzere ebob(a, b) = d için a = m.d ve b = n.d ise ebob(m, n) = 1 dir.
Buna göre, ekok(a, b) = m.n.d dir. O halde ekok(a, b) + ebob(a, b) = a + b + 3 dekle-
minden,
m.n.d + d = m.d + n.d + 3
elde edilir. Bu eşitlik,
m.d(n – 1) – d(n– 1) = 3
(n – 1)(m – 1).d = 3
şeklinde düzenlendiğinde; m, n, d ∈ Z+ olduğundan,
d = 1 için
n = 2 ve m = 4 aralarında asal değil
n = 4 ve m = 2 aralarında asal değil
d = 3 için
n = 2 ve m = 2 olup bunlar da aralarında asal olmadığından soruda verilen durumu
sağlayan (a,b) pozitif tam sayı ikilisi yoktur.
Örnek
a, b doğal sayılar olmak üzere, ebob(a, b) = 9 ve ekok(a, b) = 270 olduğuna göre bu
iki sayının toplamı aşağıdakilerden hangisi olamaz?
A) 279 B) 153 C) 117 D) 99 E) 108
Çözüm (Cevap E)
ebob(a, b) = 9 olduğundan ebob(m, n) = 1 olmak üzere, a = 9m ve b = 9n yazılabilir.
ebob(a, b).ekok(a, b) = a.b özelliği kullanılarak 9.270 = 9m.9n eşitliği elde edilir. Bu eşit-
likten m.n = 30 bulunur. Bu da,
m = 1 için n = 30
m = 2 için n = 15
m = 3 için n = 10
m = 5 için n = 6
olup bu sayılar aralarında asaldır. Bu değerleri yerine yazıp kontrol ettiğimizde a + b nin
108 olamayacağını görürüz.
Page 35
Sayılar
40ALTIN NOKTA YAYINEVİ
Örnek
ekok(a, b) + ebob(a, b) = a + b + 4 denklemini sağlayan kaç tane (a, b) pozitif tam sayı
çifti vardır?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
Çözüm (Cevap E)
ebob(a, b) = d olsun. Bu durumda ebob(m, n) = 1 olmak üzere, a = m.d ve b = n.d
yazılabilir. Buna göre, ekok(a, b) = m.n.d olacağından,
ekok(a, b) + ebob(a, b) = a + b + 4
denklemi d + m.n.d = m.d + n.d + 4 olur. Bu denklem d( m – 1)( n – 1) = 4 şeklinde
düzenlenebilir. Bu denkleme göre d = 1, 2, 4 olabilir. Bu durumlar ayrı ayrı incelenerek
çözüme gidilir.
d = 1 için m = 5 ve n = 2 veya m = 2 ve n = 5
d = 2 için m = 3 ve n = 2 veya m = 2 ve n = 3
d = 4 için çözüm olmadığından, problemde verilen denklemin pozitif tam sayı çözümleri;
(5, 2), (2, 5), (4, 6), (6, 4) olarak bulunur. O halde denklemin dört tane pozitif tam sayı
çözümü vardır.
Rasyonel Sayılar
a ve b aralarında asal olmak üzere; a, b ∈ Z, b ≠ 0, şeklinde yazılabilen sayılara ras-
yonel sayı denir.
şeklinde gösterilir. a ya rasyonel sayının payı, b ye ise pay-
dası adı verilir.
1. a ≠ 0 için,
2. tanımsızdır.
3. Basit kesir : Payı paydasından mutlak değerce küçük olan kesre basit kesir denir.
gibi. basit kesirdir.
4. Bileşik kesir : Payı paydasından mutlak değerce büyük veya paydasına eşit olan kesre
bileşik kesir denir. gibi. bileşik kesirdir.
Page 36
Sayılar
41 ALTIN NOKTA YAYINEVİ
5. Devirli Ondalık Sayı : Bir rasyonel sayı ondalıklı yazıldığında ondalık kısmındaki sayılar
belli bir rakamdan sonra tekrar ediyorsa, bu sayıya devirli ondalık sayı denir.
Örnek
0,1423423423... sayısına karşılık gelen kesri bulalım.
Çözüm
x = 0,1423423423... = denkleminden,
10x = 1,423423... ve 10000x = 1423,423423... elde edilir.
10000x – 10x = 1423,423423... – 1,423423... = 1422
bulunur. Buradan,
bulunur. Genel çözüm yöntemi bu şekilde olan devirli ondalık sayılar için, ondalık kısmına
göre,
şeklinde bir formül de kullanılmaktadır.
Rasyonel Sayılarda İşlemler
1. Toplama ve Çıkarma : Paydalar ekok larına eşitlenir.
2. Çarpma : Paylar paylarla, paydalar paydalarla çarpılır.
3. Bölme : Paydaki kesir aynen yazılır, paydadaki kesir ters çevrilip çarpılır.
Page 37
Sayılar
42ALTIN NOKTA YAYINEVİ
İşlem Önceliği
Rasyonel sayılarda işlem önceliği şu şekildedir:
1. Parantezler ve ana kesir çizgileri işleme yön verir.
2. Üslü işlemler varsa yapılır.
3. Çarpma ve bölme işlemleri varsa yapılır.
4. Toplama ve çıkarma işlemleri yapılır. (Çarpma - Bölme, Toplama - Çıkarma kendi
aralarında sıralamaya konulmamıştır.)
Rasyonel Sayılarda Sıralama
1. Paydaları eşit olan pozitif iki rasyonel sayıdan payı büyük olan diğerinden daha
büyüktür.
2. Payları eşit olan pozitif iki rasyonel sayıdan paydası büyük olan diğerinden daha
küçüktür.
3. rasyonel sayıları için ise dir.
Örnek
işleminin sonucu kaçtır?
A) B) C) 861 D) 1722 E) 1
Çözüm (Cevap D)
olup toplamdaki her bir kesrin değeri olduğundan, bulunur.
Page 38
Sayılar
43 ALTIN NOKTA YAYINEVİ
Örnek
işleminin sonucu kaçtır?
A) 1 B) C) D) E) 2
Çözüm (Cevap A)
bulunur.
Örnek
10 : 9 : 8 : 7 : 6 : 5 : 4 : 3 : 2 : 1 ifadesinin uygun yerlerine parantez(ler) konularak elde
edilebilecek en büyük sayı kaçtır?
A) 504 000 B) 57 600 C) 40 320 D) 44 800 E) 67 200
Çözüm (Cevap D)
bulunur.
Örnek
ifadesini tanımsız yapan x değerleri toplamı kaçtır?
A) 3 B) C) D) E)
Çözüm (Cevap D)
x = 3 için tanımsız olduğundan ifade tanımsız olur.
olup ifade ifadesinde için ifade tanımsız olur.
Page 39
Sayılar
44ALTIN NOKTA YAYINEVİ
olup ifadesi için tanımsız olur.
Buna göre ifadeyi tanımsız yapan x değerleri toplamı; bulunur.
Örnek
çarpımı aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) B) C) D) E)
Çözüm (Cevap E)
a2 – b2 = (a – b)(a + b) iki kare farkından;
bulunur.
Örnek
Yukarıda verilen işlem; m, n pozitif tam sayıları için, şeklinde yazıldığında m + n
toplamı kaç olur?
( m ve n, 1 den başka ortak pozitif böleni olmayan sayılardır.)
A) 35 B) 42 C) 53 D) 64 E) Hiçbiri
Page 40
Sayılar
45 ALTIN NOKTA YAYINEVİ
Çözüm (Cevap C)
Buradan elde edilir.
O halde m + n = 22 + 31 = 53 tür.
Örnek
n pozitif tam sayısı için,
toplamı bir tam sayı oluyorsa aşağıda n ile ilgili verilen bilgilerden hangisi yanlıştır?
A) n, 5 ile bölünür. B) n, 6 ile bölünür.
C) n, 8 ile bölünür. D)
E) n < 50
Çözüm (Cevap B)
olması için n = 40 olmalıdır. n = 40 olması durumunda “n, 6 ile bölünür”
ifadesi yanlış olur.
Page 41
Sayılar
46ALTIN NOKTA YAYINEVİ
Örnek
a, b, c ∈ Z+ ve
olduğuna göre a + b + c toplamı kaçtır?
A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11
Çözüm (Cevap C)
Buradan a = 3, b = 2 ve c = 4 bulunur. a + b + c = 3 + 2 + 4 = 9 dur.
Gerçek (Reel Sayılar)
Sayı ekseni üzerinde gösterilebilen sayılara gerçek (reel) sayı denir. Gerçek sayılar kümesi
rasyonel ve irrasyonel sayılar kümesinin birleşimidir. R = Q ∪ Qı
Her gerçek sayı, sayı doğrusunun yalnız bir noktasına karşılık gelir. Bu ifadenin karşıtı, sayı
doğrusu üzerindeki her bir noktaya karşılık gelen bir tek reel sayı vardır ifadesi de doğrudur.
Sayı doğrusunun sıfıra göre sağ tarafında bulunan gerçek sayılara pozitif gerçek sayılar, sol
tarafındakilere ise negatif gerçek sayılar denir.
Üslü İfadeler
a bir reel sayı ve n pozitif tam sayı olmak üzere, n tane a nın çarpımı olan,
ifadesine üslü ifade denir. an ifadesinde a ya taban, n ye de üs (kuvvet) denir.
Özellikler
1.
0–1–2–3 1 2 3 4
π
Page 42
Sayılar
47 ALTIN NOKTA YAYINEVİ
2. Özel durumlar dışında an ≠ n.a
3. a ≠ 0 olmak üzere, a0 = 1 dir.
4. 1n = 1
5. (an)m = an.m = (am)n
6.
7. x ∈ R+ için xn > 0
8. x ∈ R– için x2n > 0 ve x2n+1 < 0
9. (– a)2n = a2n
10. an.bn = (a.b)n , an.am = an+m
11. Üslü denklemler,
a. an = am ise n = m dir. ( a ≠ 0, a ≠ 1, a ≠ –1)
b.
c.
12. n ∈ N+, x, y ∈ R ve x, y ≠ 0 için,
a. 0 < x < y ise xn < xm
b. x > 1 ve n < m ise xn < xm
c. 0 < x < 1 ve n < m ise xn > xm
Örnek
Pınar, 319 un değerini hesap makinesinde doğru olarak 11a2261467 şeklinde hesapladı-
ğına göre a nın değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 6 E) 7
Page 43
Sayılar
48ALTIN NOKTA YAYINEVİ
Çözüm (Cevap D)
319 değeri 9 un katıdır. 11a2261467 sayısının rakamları toplamı 30 + a nın 9 un katı ol-
ması için a = 6 olmalıdır.
Örnek
Salih, bilgisayarında tüm doğal sayıların 7 kuvvetlerini yazdırarak 17, 27, 37, ... şeklinde
sıralatıyor. Bu dizilişte kaç sayı 521 ile 256 arasındadır ( 521 ile 256 dahil)?
A) 3 B) 8 C) 121 D) 132 E) Hiçbiri
Çözüm (Cevap D)
521 = (53)7 = 1257
256 = (28)7 = 2567 dir.
Buna göre, 521 ile 256 arasındaki sayılar 1257, 1267, ... , 2567 olup bunların sayısı
256 – 125 + 1 = 132 dir.
Örnek
4a.3b = 324 ve 2b.9a = 144 olduğuna göre, 2a + b toplamı kaçtır?
A) 2 B) 4 C) 5 D) 6 E) 12
Çözüm (Cevap D)
Verilen iki eşitliği taraf tarafa çarpalım, ( 4a.3b )( 2b.9a ) = 34.24.24.32
ise 62a.6b = 66 eşitliğinden 2a + b = 6 bulunur.
Örnek
a ve b reel sayılar olmak üzere, 5a = 7, 7b = 35 olduğuna göre, oranı kaçtır?
A) 1 B) 2 C) 3 D) E) Hiçbiri
Çözüm (Cevap D)
5a = 7 olduğuna göre, 7b = 35 = 5.7 de 7 = 5a yazarsak,
7b = 5.5a ve 7b = 5a+1
bulunur. 7 = 5a olduğuna göre 7b = 5a.b olup, 5a.b = 5a+1 elde edilir. Buna göre,
dir.
Page 44
Sayılar
49 ALTIN NOKTA YAYINEVİ
Örnek
a, b ∈ N ve a, b > 1 ise 1 ile 1000 arasındaki sayılardan kaç tanesi ab şeklinde yazıla-
bilir?(1000 dahil)
A) 25 B) 39 C) 40 D) 45 E) 49
Çözüm (Cevap C)
a, b ∈ N ve a, b > 1 olmak üzere, ab ifadesinde 1 < ab < 1000 için 1 < a < 32 ve
1 < b < 10 olur.
22, 23, ... , 29 : 8 adet
32, 33, ... , 36 : 5 adet
52, 53, 54 : 3 adet
62, 63 : 2 adet
72, 73, 102, 103, 112, ..., 312 : 22 adet (82, 92 ,162 , 252 , 272 sayılmıyor)
40 adettir. 4 ün kuvvetleri 2 nin kuvvetlerinde, 9 un kuvvetleri 3 ün kuvvetlerinde,
16 nın kuvveti 2 nin kuvvetinde ve 25 in kuvveti 5 in kuvvetinde geçmektedir.
Örnek
olduğuna göre, 5x kaçtır?
A) 3 B) 5 C) 10 D) 15 E) 20
Çözüm (Cevap D)
olduğuna göre, olup eşitliğinden 5x = 15 bulunur.
Örnek
Kaç farklı n pozitif tam sayısı için, 3n + 81 bir tam sayının karesine eşit olur?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
Çözüm (Cevap B)
n ≤ 4 için 3n + 81 sayısı tam kare bir sayı olamaz.
n > 4 için k pozitif tam sayı olmak üzere, n = 4 + k olsun. Buna göre,
3n + 81 = 34+k + 81 = 81(3k + 1)
Page 45
Sayılar
50ALTIN NOKTA YAYINEVİ
olur. 81(3k + 1) = a2 şeklinde bir tam kare ise 3k + 1 ifadesi de tam kare olmalıdır.
3k + 1 = t2 olsun. Bu durumda,
3k = (t – 1)(t + 1)
ise t – 1 ve t + 1 değerlerinden ikisi de 3 ün negatif olmayan kuvvetleridir. x ve y doğal
sayıları için k = x + y olmak üzere, t – 1 = 3x ve t + 1 = 3y olsun. Bu durumda,
3y – 3x = 2 ancak ve ancak y = 1 ve x = 0 için sağlanır. Bu da n = k + 4 = 5 demek-
tir.
Örnek
912 – 8 ifadesinin sonucu 9 tabanında yazıldığında elde edilen sayının rakamları toplamı
9 luk sistemde kaçtır?
A) 108 B) 81 C) 18 D) 801 E) Hiçbiri
Çözüm (Cevap A)
rakamlar toplamı (107)9 + (1)9 = (108)9
Örnek
(2 + 1)(22 + 1)(222 + 1)(223 + 1) ... (2299 + 1)
çarpımının sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2999 B) 2299 + 2 C) 22101 – 1 D) 22100 – 1 E) 2299 + 1
Çözüm (Cevap D)
x2 – y2 = (x + y)(x – y) özdeşliğini kullanarak,
A = (2 + 1)(22 + 1)(222 + 1)(223 + 1) ... (2299 + 1) eşitliğinin her iki yanını (2 – 1) ile
çarparsak,
(2 – 1)A = (2 – 1)(2 + 1)(22 + 1)(222 + 1)(223 + 1) ... (2299 + 1)
= (22 – 1)(22 + 1)(222 + 1) ... (2299 + 1)
= (222 – 1)(222 + 1) ... (2299 + 1)...
= (2299 – 1)(2299 + 1) = 22100 – 1 bulunur.
Page 46
DENEME SINAVLARI CEVAP ANAHTARI
SORU NO DENEME 1 DENEME 2 DENEME 3 DENEME 4 DENEME 5 DENEME 6 DENEME 7 DENEME 8 DENEME 9 DENEME 10
1 D D C D C D D D E C
2 C C D C E A C E D A
3 C C B D C C C D B C
4 D C C C C D A B B C
5 B B A A B D D D A B
6 B D B B B B C D C E
7 D A E B B E B C E A
8 C C E D B C E A C D
9 E D D B E D C D D B
10 B D B C E B B D D D
11 E E C B C E A E C B
12 E A D E C D B E A B
13 C C B B C D C B B A
14 C E E B E C C B A D
15 C D B A C C A E D C
16 D D D D D C B E D E
17 B B C A A E D D B C
18 B C A E C C C C D D
19 C A D B A D E C C B
20 E E D A A E E E A D
21 B E D E D E C C A C
22 C B B A D A C B A B
23 D D B D D B C A A E
24 B E C C A B E A A C
25 B C D B C D B A A A
26 B C B B A B A C B D
27 B B C B A D C B D D
28 A D C C C B B D E B
29 C C A A B C E D D A
30 A E B C C C A B D B
KAYNAKÇA
1. Andreescu T.; Feng Z., 102 Combinatorial Problems from the Training of teh USA IMO Team, Birkhauser. 2002 2. Andreescu T.; An-drica D., An Introduction to Diophantine Equations, GIL publishing House, 2002 3. Andreescu T.; Andrica D., Feng Z., 104 Number The-ory Problems From the Training of teh USA IMO Team, Birkhauser. 2006 4. Engel, A., Problem-Solving Strategies, Problem Books inMathematics, Springer, 1998 5. Çallıalp, F., Sayılar Teorisi, İstanbul, 1999 6. Balcı, M., İleri Matematik 1, Tümay Yayınları, 1996 7. Gürlü,Ö., Meraklısına Matematik, Zambak Yayınları, 2008 8. Rosen, H., Elementary Number Theory and Its Applications, Addison, 1992 9.Ulusal İlköğretim Matematik Olimpiyatı Sınavı Soru Kitapçıkları (1996 – 2011) 10. Ulusal Matematik Olimpiyatı Sınavı Soru Kitapçık-ları (1993 – 2011) 11. Akdeniz Üniversitesi Antalya Matematik Yarışması Soru Kitapçıkları, (1996 – 2011) 12. Şahin, Ramazan; Geometri1, Sürat Yayınları, İstanbul ,1997 13. Sarıgül, Ömer Esfer, Hasan Kılıçaslan; Suavi Tokerler; Geometri 2, MEB, Ankara, 2001 14. Cox-eter, H. S.; S. L. Greitzer; Geometry Revisited, The Mathematical Association of America, Washington, 1987 15. Posamentier, Alfred S.;Charles T. Saldind; Challenging Problems in Geometry, Dover Publications, New York, 1996 16. TITU Andreescu; Zuning Feng, Math-ematical Olimpiads. 1998–1999, Problems and Solutions From Around World, MMA, USA – 1999 17. Matematik Dünyası Dergileri,Türk Matematik Derneği.18. Karakaş, Halil İbrahim; İlham Aliyev, Sayılar Teorisinde Olimpiyat Problemleri ve Çözümleri, TübitakYayınları, Ankara 1996 19. Komisyon, Matematik 2, Fem Yayınları, İstanbul 1995 20. Çavdar, Ali; Algebra I, with Appilacions, Sürat Pub-lications, İstanbul 1997 21. Honsberger, Ross; From Erdos to Kiev, The Mathematical Association of America, Washington 1996 22.Chen, Chuan–Chong; Prenciples and Techniques in Combinatrorics World Scientific Publishing, 1992 23. The Contest Problem Book I,II, III, IV Anual High School Examinations, The Mathematical Association of America 24. Canadian Mathematical Competition Prob-lems; 1992 – 1997 25. American High School Mathematics Examinations (AHSME), 1992 – 2011 26. American Invitational Mathemat-ics Examinations (AIME), 1992 – 2011 27. www.mathlinks.ro