ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP€¦  · Web viewCho p là một số nguyên tố, và các số tự nhiên m; n; q thoả mãn: . Chứng minh rằng: chia hết cho . Giải

ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢPI/ Lý thuyết1/ Quy tắc cộngMột công việc được hoàn thành bởi một trong n hành động. Nếu hành động 1 có m1 cách thực hiện, hành động 2 có m2 cách thực hiện,......., hành động thứ n có mn cách thực hiện; các cách thực hiện của hành động thứ k không trùng với bất kỳ cách nào của hành động thứ p. Vậy công việc đó được hoàn thành bởi m1+m2+...+mn cách thực hiện. ( )2/ Quy tắc nhânMột công việc được hoàn thành bởi một trong n hành động liên tiếp. Nếu hành động 1 có m1 cách thực hiện, ứng với mỗi cách thực hiện hành động 1 có m2 cách thực hiện hành động 2,......., ứng với mỗi cách thực hiện hành động thứ 1;2;...;n-1 có mn cách thực hiện hành động thứ n. Vậy công việc đó được hoàn thành bởi (m1.m2.....mn ) cách thực hiện. ( )3/ Chỉnh hợpCho tập hợp A gồm n phần tử; n 1. Một chỉnh hợp chập k các phần tử của A là một cách sắp xếp k phần tử khác nhau của A; .

Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử:

4/ Hoán vịCho tập hợp A gồm n phần tử; n > 0. Một hoán vị n phần tử của A là một chỉnh hợp chập n các phần tử của A (Hay một cách sắp xếp thứ tự các n phần tử của A).

Số các hoán vị n phần tử của A: 5/ Tổ hợpCho tập hợp A gồm n phần tử; n > 0. Một tổ hợp chập k các phần tử của A là một tập hợp con của A có k phần tử ; .

Số các tổ hợp chập k của n phần tử:

6/ Vài tính chất quan trọng của Pn; Ank; Cn

k

7/ Nhị thức Niu-tơn* Công thức Nhị thức Niu - tơn

(*)

Ta cũng có thể khai triển:

1

ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP

(**)

Từ công thức (*) ta có một số đẳng thức sau:

;

; ........

II/ Tài liệu tham khảo số 1Một số dạng toán sử dụng công thức tổ hợp và nhị thức Niu-tơn

( Trích Báo THTT – số 4/2008)DẠNG 1: BÀI TOÁN TÍNH TỔNG1/ Ví dụ 1: Rút gọn:

Nếu k<n thì ta có

Rút gọn suy ra: Nếu k = n thì

2/ Ví dụ 2: Tính S = Áp dụng công thức ta có: Vì vậy S = Suy ra 2S =

3/ Ví dụ 3: (Sử dụng phép tính đạp hàm) Tính

Xét đa thức f(x) = x(1+x)n = D=R Ta có

*** Lưu ý: Để tính các tổng Ta xét đa thức f(x) = x(1+x)n và chứng tỏ rằng S1=f’(a); xét đa thức g(x) = x(1+x)2n và chứng tỏ rằng 2S2=g’(a)+g’(-a); 2S3=g’(a)-g’(-a)4/ Ví dụ 4: ( Sử dụng phép tính tích phân)

Tính

Xét đa thức f(x) =

2

ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP

Suy ra

*** Lưu ý: Để tính các tổng

Hãy chứng tỏ rằng S =

Ta thường gặp bài toán với một trong hai cận của tích phân là 0 hoặc 1; -1. Trong một số trường hợp, ta phải xét đa thức g(x) = xk.(1+x)n với k = 1; 2; 3;....DẠNG 2: BÀI TOÁN CHỨNG MINH HỆ THỨC TỔ HỢP5/ Ví dụ 5: CMR

Ta có (x+1)n.(1+x)n = (x+1)2n (1) VT(1) = Từ đó suy ra hệ số của x2n trong khai triển VT(1) là : Còn hệ số của x2n trong khai triển ở VP(1) là . Vậy suy ra đpcm.

*** Lưu ý: Khi xét đẳng thức (x+1)n.(1+x)m = (x+1)n+m (2). Sử dụng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn để viết cả 2 vế thành đa thức của ẩn x, đồng nhất hệ số của các số hạng cùng bậc trong 2 vế, ta có thể viết ra được nhiều hệ thức về tổ hợp.DẠNG 3: BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH TỔ HỢP6/ Ví dụ 6: Giải phương trình

ĐK:

Với đk trên pt đã cho

*** Lưu ý: Khi giải pt tổ hợp ta làm như sau: đặt điều kiện cho ẩn số; sử dụng các công thức về hoán vị; chỉnh hợp; tổ hợp để biến đổi, rút gọn và giải pt; đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện của bài toán để kết luận. Tương tự như vậy khi giải bất phương trình....7/ Ví dụ 7: Tìm 3 số hạng liên tiếp lập thành một CSC trong dãy số sau:

Giả sử 3 số hạng liên tiếp trong dãy trên lập thành CSC là:

Vậy ba số hạng cần tìm là: và

3

ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢPDẠNG 4: BÀI TOÁN TÍNH HỆ SỐ CỦA ĐA THỨC8/ Ví dụ 8:

Tính số hạng không chứa x trong P(x) = biết n thỏa mãn: (1)

Từ (1) ta có:

Khi đó P(x) =

Số hạng không chứa x tương ứng với

Vậy số hạng phải tìm là: *** Lưu ý: Tính hệ số của số hạng chứa xp (p là một số cho trước) trong khai triển f(x) = (u(x)+v(x))n, ta làm

như sau: Viết f(x) = ; số hạng chứa xp ứng với g(k) = p; giải pt ta tìm được k. Nếu k là số

tự nhiên và nhỏ hơn hoặc bằng n thì hệ số phải tìm là ak. Nếu k hoặc k > n, thì trong khai triển không có số hạng chứa xp, hệ số phải tìm bằng 0.9/ Ví dụ 9: Tìm hệ số có giá trị lớn nhất của đa thứcP(x) = (2x+1)13 = a0.x13 + a1.x12 + ....+a12.x + a13

Ta có P(x) = (2x+1)13 =

Vậy an =

Xét bất pt: an-1 an

Vậy ta có an-1 an đúng khi n ;và dấu bằng không xảy ra;

suy ra

Ta được: a0 <a1<a2<a3<a4 và a4>a5>...>a13. Vậy max(an) = a4 = .*** Lưu ý: Để tìm hệ số có giá trị lớn nhất khi khai triển (ax+b)m thành đa thức, ta làm như sau: Tính hệ số của số hạng tổng quát an; giải bất pt: an-1 an với ẩn n; hệ số lớn nhất phải tìm ứng với số tự nhiên n lớn nhất thỏa mãn bất pt trên.

III/ Tài liệu tham khảo số 2Một cách khác giải quyết các bài toán liên quan đến nhị thức Niu – tơn

( Trích KNSK 2010 – GV: Lưu Hải Vĩnh – Trường THPT Ninh Giang)DẠNG 1: ÁP DỤNG CÔNG THỨC (I)Bài toán mở đầu: Tính tổng: (1)Giải

Cách giải thứ nhất: Chúng ta đã biết bài toán này được giải quyết theo phương pháp đạo hàm.

4

ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP Trước hết giáo viên cần hướng dẫn học sinh quan sát biểu thức cần tính để đưa ra nhị thức Niu - tơn thích hợp.

Cụ thể: Ta có Đạo hàm bậc nhất hai vế; suy ra: Cho x = 1 ta được: Từ đó suy ra: Cách giải thứ hai: Áp dụng công thức: ta được (2) Khi đó; từ (1) và (2) suy ra:

Cách giải thứ ba: Ta xác định số hạng tổng quát trong biểu thức cần tính; đó là: Theo công thức (1) ta có: Khi đó:

***Bình luận:

Cách giải thứ nhất khá phổ biến, mang tính chất truyền thống nhưng học sinh thường lúng túng khi đưa ra nhị thức Niu- tơn cần khai triển để áp dụng, nhất là đối với các tổng phức tạp hơn cần sử dụng đạo hàm bậc hai, bậc ba.... Mặt khác trong chương trình học: bài "Nhị thức Niu - tơn" học trước chương " Đạo hàm".

Cách giải thứ hai: không là cách giải tổng quát cho tất cả các bài tương tự. Cách giải thứ ba: Phù hợp với nội dung chương trình đang học. Tự nhiên hơn. Áp dụng được nhiều dạng bài tập tương tự, phức tạp hơn. Sau đây là một số bài tập được giải quyết nhờ công thức (I); (II).

Bài 1: Tính các tổng sau: a/ b/ c/

5

ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP

d/ e/

Giảia/ Bước thứ nhất, hướng dẫn học sinh xác định số hạng tổng quát trong tổng S1; cụ thể là: Theo công thức (I) ta có: Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ 1 đến n ta được:

Tương tự với các tổng còn lại;b/

c/

d/

6

ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢPe/

*** Nhận xét: Như vậy ta có thể tính tổng bất kỳ dạng:

Dựa vào đó người giáo viên có thể ra nhiều bài tập tương tự, để làm phong phú hơn bài giảng của mình, nhằm giúp học sinh hiểu bài hơn và áp dụng tốt vào các dạng bài tập tương tự.

Giáo viên có thể thay thế yêu cầu bài toán bởi các yêu khác, ví dụ như:chứng minh rằng, tìm các giá trị của n thoả mãn đẳng thức......

Nếu trong tổng cần tính xuất hiện biểu thức của k dưới dạng bậc hai hoặc bậc ba của k thì ta giải quyết như thế nào?

*** Từ công thức (I); ta suy ra các công thức sau: 1/ (IA) 2/ (IB) Chứng minh: 1/

2/ Tương tự (dành cho bạn đọc)Bài 2: Tính các tổng saua/ b/ c/ d/ Giảia/ Bước thứ nhất, ta cũng hướng dẫn học sinh xác định số hạng tổng quát trong tổng S6; cụ thể là: Theo công thức (IA) ta có: Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ 2 đến n ta được:

7

ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP

Tương tự với các tổng còn lại;b/

c/ Ta thấy số hạng tổng quát trong tổng trên là: Theo công thức (IA) ta có: Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ 2 đến n ta được: ( Do ) d/ Ta thấy số hạng tổng quát trong tổng trên là: Theo công thức (IA) ta có:

Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ 1 đến 2011 ta được:

Bài 3: Tính các tổng sau

8

ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP

a/ b/ c/ Giảia/ Bước thứ nhất, ta hướng dẫn học sinh xác định số hạng tổng quát trong tổng S10; cụ thể là: Theo công thức (IB) ta có: Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ 3 đến n ta được:

Tương tự với các tổng còn lại;b/ Ta thấy số hạng tổng quát trong tổng trên là: Theo công thức (IA) và (IB) ta có:

Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ 3 đến n ta được:

( ) c/ Ta thấy số hạng tổng quát trong tổng trên là: Theo công thức (IA) và (IB) ta có:

9

ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP

Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ 3 đến n ta được:

*** Nhận xét:

Như vậy ta có thể sử dụng các công thức (IA) và (IB) cho các tổng; trong đó có số hạng tổng quát dạng :

Tương tự như bài tập 1; giáo viên có thể thay thế yêu cầu bài toán bởi các yêu khác, ví dụ như:Chứng minh rằng, tìm các giá trị của n thoả mãn đẳng thức......

Và chúng ta đều nhận thấy rằng với cách giải các bài toán như trên giúp học sinh chủ động hơn trong quá trình lĩnh hội kiến thức; đồng thời giúp học sinh nhìn ra vấn đề tổng quát nhằm phát huy tính sáng tạo, chủ động của các em.

Bài 4*: ( Báo Toán học và tuổi trẻ số 380/ 2009) Chứng minh rằng:

a/

b/

Giải

a/

Ta dễ dàng nhận ra:

Theo công thức nhị thức Niu - tơn và áp dụng các công thức (I); (IA); (IB) ta có:

10

ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP

+/ (*)

(**)

Thay thế (*); (**); (***) vào biểu thức (1) ta đuợc;

.đpcm

( )

b/

Theo câu a/ và áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng: Khi đó; với mọi x [0; 1] thì:

( theo kết quả của phần a/ và (*))

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:

Bài 5**: ( Báo Toán học và tuổi trẻ số 393/ 2010) Cho p là một số nguyên tố, và các số tự nhiên m; n; q thoả mãn: . Chứng minh rằng: chia hết cho .

Giải Ta viết số tự nhiên n dưới dạng: với

Nếu thì . Điều này vô lí. Vì vậy

11

ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP

Khi đó theo công thức (I) : nên:

Do (k;p)=1 và là số nguyên dương nên ta suy ra:

Mà nên . Từ đó ta suy ra điều phải chứng minh. Bài 6***: ( Đề thi IMO năm 1980) Cho r là một số tự nhiên thoả mãn điều kiện: . Xét tất cả các tập con gồm r phần tử của tập hợp {1, 2, ..., n}. Mỗi tập con này đều có phần tử bé nhất. Gọi F(n,r) là trung bình cộng của

tất cả các phần tử bé nhất đó. Chứng minh rằng:

Giải Gọi G(n,r) là số trung bình cộng của các phần tử lớn nhất của các tập con đã nói ở đề bài. Khi đó ta có:

Từ (1) và (2) ta suy ra:

Mặt khác, do nên: Từ (3) và (4) ta có:

(5)

Theo công thức (I) nên áp dụng ta có

Khi đó:

Áp dụng (4) liên tiếp cho từng số hạng: ta được:

Thế (6) vào (5) ta được:

12

ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP*** Chú ý: Từ bài tập trên ta có thể rút ra số trung bình cộng G(n,r) và thiết lập một bài toán mới.**** BÀI TẬP TƯƠNG TỰI/ Đối với học sinh trung bình khá ta có thể ra các bài tập sau nhằm củng cố kiến thức và tạo sự hứng thú cho học sinh trong quá trình học tập.Bài 1: Chứng minh rằng Bài 2: (Đề thi ĐH khối A năm 2005)Tìm giá trị n thoả mãn hệ thức sau: Bài 3: Tìm n thoả mãn Bài 4: Chứng minh rằng Bài 5: Tính tổng a/ b/ c/ Bài 6: Chứng minh rằng Bài 7: Cho a > 0; . Hãy tính tổng a/ b/ c/ d/ II/ Một số bài tập nâng cao.Bài 1: Cho r là một số tự nhiên thoả mãn điều kiện: . Xét tất cả các tập con gồm r phần tử của tập hợp {1, 2, ..., n}. Mỗi tập con này đều có phần tử lớn nhất. Gọi G(n,r) là trung bình

cộng của tất cả các phần tử lớn nhất đó. Chứng minh rằng:

Bài 2: ( Đề thi IMO năm 1987) Cho S ={1;2;...;n}; . ta gọi p(k) là số các hoán vị của S có đúng k điểm cố định. Chứng minh

rằng:

DẠNG 2: ÁP DỤNG CÔNG THỨC (II)

Bài 1: Tính tổng

a/

b/

c/

13

ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP (Đề thi khối A năm 2007)

d/

e/

f/

Giải

a/

Bước thứ nhất, ta hướng dẫn học sinh xác định số hạng tổng

quát trong tổng S1; cụ thể là:

Theo công thức (II) ta có:

Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ 0 đến n ta được:

b/

Tương tự, ta hướng dẫn học sinh xác định số hạng tổng quát trong tổng S2 , cụ thể là:

Theo công thức (II) ta có:

Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ 1 đến n ta được:

c/

(Đề thi khối A năm 2007) Tương tự, ta hướng dẫn học sinh xác định số hạng tổng quát trong tổng S3 , cụ thể là:

Theo công thức (II) ta có:

14

ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP

Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ 1 đến n ta được:

Mặt khác: (Bạn đọc tự chứng minh)

d/

Tương tự, ta hướng dẫn học sinh xác định số hạng tổng quát trong tổng S4 , cụ thể là:

Theo công thức (II) ta có:

Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ 0 đến n ta được:

e/

Tương tự, ta hướng dẫn học sinh xác định số hạng tổng quát trong tổng S5 , cụ thể là:

Theo công thức (II) ta có:

Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ 0 đến n ta được:

f/

Tương tự, ta hướng dẫn học sinh xác định số hạng tổng quát trong tổng S6, cụ thể là:

15

ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP

Theo công thức (II) ta có:

Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ 0 đến n ta được:

Bài 2: Chứng minh rằng

a/

b/

c/ d/

Giải

a/

Tương tự, ta hướng dẫn học sinh xác định số hạng tổng quát trong tổng ở vế trái, cụ thể là:

Dựa theo công thức (II) ta biến đổi như sau:

Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ 0 đến n ta được:

16

ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP

b/

Tương tự, ta hướng dẫn học sinh xác định số hạng tổng quát trong tổng ở vế trái, cụ thể là:

Dựa theo công thức (II) ta biến đổi như sau:

Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ 0 đến n ta được:

.đpcm

c/

Tương tự, ta hướng dẫn học sinh xác định số hạng tổng quát trong tổng ở vế trái, cụ thể là:

Dựa theo công thức (II) ta biến đổi như sau:

Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ 0 đến n ta được:

(đpcm)

d/

17

ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP Tương tự, ta hướng dẫn học sinh xác định số hạng tổng quát trong tổng ở vế trái, cụ thể là:

Dựa theo công thức (II) ta biến đổi như sau:

Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ 1 đến n ta được:

(đpcm)

**** BÀI TẬP TƯƠNG TỰBài 1: Chứng minh rằng

a/

b/

c/

Bài 2: Tính tổng

a/

b/

c/

Bài 3*: Tính tổng

Bài 4: (Đề thi ĐH khối B năm 2003)

Tính:

Bài 5: (Đề thi ĐH khối B năm 2008)Chứng minh rằng

Bài 6: Tính

18

ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP Biết rằng:

Bài 7*: Chứng minh rằng

IV/ Bài tập theo dạngDẠNG 1: PT; BPT; HỆ PT TỔ HỢPBài 1: Giải phương trình

Bài 2: Giải bất phương trình

Bài 3: Giải hệ phương trình

Bài 4: Chứng minh rằng

DẠNG 2: XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG TRONG KHAI TRIỂN NHỊ THỨCBài 1:

a/ Tìm hệ số của số hạng chứa x4 trong

b/ Tìm hệ số của số hạng chứa x31 trong

c/ Tìm hệ số của số hạng chứa x43 trong

19

ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP

d/ Tìm hệ số của số hạng chứa x6.y2 trong

e/ Tìm số hạng không chứa x trong

f/ Tìm số hạng chứa x5 trong

Bài 2:

a/ Biết trong ( có hệ số của số hạng thứ 3 bằng 5. Tìm số hạng chính giữa.

b/ Cho , biết tổng hệ số của 3 số hạng đầu bằng 631. Tìm hệ số của số hạng chứa x5.

c/ Cho , biết tổng hệ số của 3 số hạng đầu bằng 79. Tìm số hạng không chứa x.

d/ Biết tổng các hệ số trong khai triển (1+x2)n bằng 1024. Tìm hệ số của số hạng chứa x12.

e/ Cho , biết . Tìm hệ số của số hạng chứa x8.

d/ Biết tổng các hệ số trong khai triển (1+2x)n bằng 6561. Tìm hệ số của số hạng chứa x4.Bài 3: a/ Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong (1+x+x2+x3)5

b/ Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong c/ Tìm hệ số của số hạng chứa x4 trong (1+2x+3x2)10.d/ Tìm hệ số của số hạng chứa x trong e/ Tìm hệ số của số hạng chứa x5 trong (x+1)10.(x+2)f/ Tìm hệ số của số hạng chứa x9 trong P(x) = (1+x)9+(1+x)10+....+(1+x)14

g/ Tìm hệ số của số hạng chứa x15 trong P(x) = (1+x)+2(1+x)2+........+20(1+x)20

h/ Tìm hệ số của số hạng chứa x5 .y3.z6.t6 trong (x+y+z+t)20

Bài 4 :a/ Cho (x2+1)n.(x+2)n có a3n-3 = 26n. Tìm n?b/ Cho có số hạng thứ tư bằng 20n và . Tìm n và x?

c/ Cho có tổng các hệ số bằng 512 và số hạng thứ 7 bằng 28.3n. Tìm n và x?

d/ Cho có số hạng chứa a;b có số mũ của a và b bằng nhau. Tìm số hạng đó.

Bài 5: Tìm số hạng có hệ số lớn nhất trong khai triển a/ (1+2x)30

b/ (

DẠNG 3: CHỨNG MINH MỘT ĐẲNG THỨC HOẶC TÍNH GIÁ TRỊ MỘT BIỂU THỨC.Bài 1: Chứng minh rằng Bài 2: CMR

20

ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP

Bài 4: CMR

Bài 5: CMR

Bài 6: CMR

21

ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP

Bài 7: CMR

DẠNG 4: BÀI TOÁN ĐẾM SỐ PHƯƠNG ÁNA/ LIÊN QUAN ĐẾN TẬP HỢP SỐ KHÔNG CÓ SỐ 0Bài 1: Cho A = {1;2;3;4;5;6;7}a/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau.b/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau; trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 4.c/ Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ số khác nhau.d/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau; trong đó có 3 chữ số chẵn và hai chữ số lẻ.e/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau; trong đó luôn có mặt chữ số 1;6.f/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau; trong đó luôn có mặt chữ số 1;6 đứng liền nhau.g/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số; chữ số 1 xuất hiện 3 lần; các chữ số còn lại xuất hiện không quá 1 lần.h/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số và tính tổng của các số tự nhiên đó.i/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số và tính tổng của các số tự nhiên đó.Bài 2: Cho A = {1;3;4;5;7}Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số và tính tổng của các số tự nhiên đó.Bài 3: Cho A = {1;2;3;4;5;6;7;8;9}a/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số sao cho chữ số đứng liền sau lớn hơn chữ số đứng liền trước.b/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau sao cho có 3 chữ số chẵn đứng liền nhau và 3 chữ số lẻ đứng liền nhau.c/ Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 3 chữ số khác nhau và không lớn hơn 789.B/ LIÊN QUAN ĐẾN TẬP HỢP SỐ CÓ CHỮ SỐ 0Bài 1: Cho A = {0;1;2;....;9}a/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số .b/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau.c/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau; trong đó có 3 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ.d/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau; trong đó có 3 chữ số chẵn đứng liền nhau và 3 chữ số lẻ đứng liền nhau.e/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau; trong đó có chữ số 5.f/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau; trong đó có chữ số 5 và 0.g/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau; trong đó có chữ số 5 và 0 đứng liền nhau.h/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số sao cho tổng các chữ số lẻ.i/ Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 6 chữ số khác nhau; trong đó luôn có mặt chữ số 4.k/ Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 5 và có 6 chữ số khác nhau.m/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau và lớn hơn 50.000n/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau; trong đó luôn có mặt 1;6 và hai chữ số này không đứng cạnh nhau.p/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau; trong đó có chữ số đứng liền sau lớn hơn chữ số đứng liền trước hoặc chữ số đứng liền sau nhỏ hơn chữ số đứng liền trước.

22

ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢPBài 2: Cho A = {0;1;2;3;5}a/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số; chữ số 0 có mặt hai lần; chữ số 2 có mặt 3 lần; các chữ số còn lại có mặt 1 lần.b/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số; chữ số 0 có mặt một lần; chữ số 2 và 3 có mặt 3 lần; các chữ số còn lại có mặt không quá 1 lần.c/ Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 3 và có 3 chữ số khác nhau.Bài 3:a/ Có bao nhiêu số tự nhiên lớn hơn 10 và nhỏ hơn 1000 mà mỗi chữ số kể từ chữ số thứ hai trở đi đều lớn hơn chữ số đứng liền trước nó.b/ Có bao nhiêu số tự nhiên lớn hơn 100 và nhỏ hơn 200 mà mỗi chữ số kể từ chữ số thứ hai trở đi đều không nhỏ hơn chữ số đứng liền trước nó.C/ LIÊN QUAN ĐẾN VIỆC SẮP XẾP NGƯỜI.Bài 1: Có 8 học sinh ( 4 nam; 4 nữ). Có bao nhiêu cách sắp xếp:a/ Xếp tùy ý vào một dãy bàn ghế có 8 vị trí.b/ Xếp vào hai dãy bàn đối diện nhau; mỗi hàng ghế 4 học sính sao cho cứ đối diện 1 nam là 1 nữ.Bài 2: Có 10 nam và 15 nữ. Chọn ra 6 người đi lao động. Hỏi có bao nhiêu cách nếua/ Chọn bất kỳb/ Chọn sao cho có đúng 2 nam.c/ Chọn sao cho có nhiều nhất 2 nam.d/ Chọn sao cho có 1 nhóm trưởng là nam.e/ Chọn sao cho có ít nhất 3 nam và có cả nữ.Bài 3: Có 6 nam và 9 nữ trong đó có bạn Hoa. Chọn ra 7 bạn đi lao động.a/ Có bao nhiêu cách chọn nếu trong đó không có mặt bạn Hoa.b/ Có bao nhiêu cách chọn nếu trong đó luôn có mặt bạn Hoa.Bài 4: Có 8 thầy dạy toán; 5 thầy dạy lý; 3 thầy dạy hóa. Cần chon ra 4 thầy đi dự hội nghị. Hỏi có bao nhiêu cách nếu:a/ Có đủ 3 mônb/ Có đúng 2 môn.Bài 5: Có 3 nhà toán học nam; 2 nhà toán học nữ; 3 nhà vật lý nam. Chọn một đoàn công tác gồm 3 người sao cho có cả nam và nữ, có cả toán và lý. Hỏi có bao nhiêu cách?Bài 6: Có 20 học sinh trong đó có 2 cán bộ lớp.Có bao nhiêu cách chọn ra 3 người đi dự đại hội sao cho có ít nhất một cán bộ lớp.Bài 7: Có ba nước tham gia hội nghị bàn tròn; mỗi nước cử 3 đại biểu.Có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho các đại biểu cùng một quốc gia thì ngồi gần nhau.Bài 8: Có 6 học sinh nam và 3 học sinh nữ xếp theo hàng dọc đi vào lớp.a/ Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho có đúng hai học sinh nam xếp xen kẽ 3 học sinh nữ.b/ Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho 6 học sinh nam đứng liền nhau.Bài 9: Một lớp có 40 học sinh; chia thành 4 nhóm; mỗi nhóm có 10 học sinh.a/ Có bao nhiêu cách?b/ Có bao nhiêu cách nếu 4 nhóm tham gia lao động tình nguyện ở 4 tỉnh miền núi.D/ LIÊN QUAN ĐẾN VIỆC SẮP XẾP ĐỒ VẬT.

23

ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP

II/ Bài tập tổng hợpBài 1: A-2002 Cho

Biết Cn3 = 5Cn

1; số hạng thứ 4 bằng 20n. Tìm n và x?Bài 2: D-2002 Tìm n biết: Bài 3: A-2003

Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển biết

Bài 4: B-2003

Tính S =

Bài 5: D-2003 Với ; gọi a3n-3 là hệ số của x3n-3 trong khai triển (x2+1)n.(x+2)n. Tìm n để a3n-3 = 26nBài 6 : A-2004 Tìm số hạng chứa x8 trong khai triển Bài 7: D-2004

Tìm số hạng không chứa x trong khai triển

Bài 8: A-2005 Tìm n biết: Bài 9: D-2005

Tính biết:

Bài 10: A-2006

Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong biết

Bài 11: A-2007

CMR:

Bài 12: B-2007 Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong (2+x)n biết Bài 13: D-2007 Tìm hệ số của số hạng chứa x5 trong : x(1-2x)5 + x2(1+3x)10

Bài 14: Tìm hệ số của số hạng chứa x3 trong biết

Bài 15:Tìm số hạng không chứa x trong khai triển

24

ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢPBài 16: D-2008 Cho . Tìm n?Bài 17: A-2008 Cho khai triển: (1+2x)n = a0 + a1x + a2x2 +......+ anxn.

Các hệ số a0; a1; ...;an thỏa mãn .

Tìm số lớn nhất trong các số: a0; a1; ...;an Bài 18: Tìm n thỏa mãn: Bài 19: B-2008

CMR

Bài 20: Tìm hệ số của số hạng chứa x4 trong (x3-9x2+23x-15)16

Bài 21: Tính S=

Bài 22: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển

Bài 23: CMR

Bài 24: CMR

Bài 25: Tính S= Bài 26: CMR khi n chẵn:

Bài 27:CMR:

Bài 28: Tìm hệ số của x3 trong khai triển (1-x-3x2)4

Bài 29: Giải phương trình Bài 30:CMR Bài 31: Tìm x biết và số hạng thứ 6 trong khai triển bằng 21Bài 32: Tìm số hạng hữu tỉ trong khai triển Bài 33: Tính S = Bài 34: Cho A có n phần tử ( ). Biết số tập con của A gồm 4 phần tử gấp 20 lần số tập con của A gồm 2 phần tử. Tìm k để số tập con của A gồm k phần tử lớn nhất.Bài 35: Tính

Bài 36: Tính S =

Bài 37: Rút gọn S=

Bài 38: Cho hệ số của x3 trong khai triển bằng 36. Tìm số hạng thứ 7.

Bài 39: Tính Bài 40: Tìm n để

25

ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢPBài 41: Tìm số lớn nhất trong các số Bài 42: Tìm n để lập thành cấp số cộng.Bài 43: Tìm hệ số của xn trong (1+2x+3x2+...+nxn)2

Bài 44: CMR Bài 45: Tìm số hạng có hệ số lớn nhất trong (1+2x)2010

Bài 46: Tính S =

Bài 47: Tính S =

Bài 48: Cho (1+x)n = a0 + a1x + ......+ anxn. Tìm n biết

Bài 49: Tìm n sao cho

Bài 50: Tìm hệ số của x10 trong khai triển (1+ +x3)10 ; với x .

Bài 51: CMR

Bài 52: Tìm n biết Bài 53: B-2004

Có 30 câu hỏi gồm 5 khó; 10 trung bình; 15 dễ. Lập một đề kiểm tra có 5 câu khác nhau; có đủ 3 loại và số câu dễ không ít hơn 2. Hỏi có bao nhiêu đề?

Bài 54: B-2005Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người (12nam; 3nữ). Hỏi có bao nhiêu cách phân công về 3 tỉnh miền núi, mỗi tỉnh 4 nam và 1 nữ.

Bài 55: D-2006Có 12 học sinh (5hs lớp A; 4 hs lớp B; 3 hs lớp C). Chọn 4 hs làm nhiệm vụ; không thuộc quá 2 trong 3 lớp trên. Có bao nhiêu cách chọn.

Bài 56: Từ 0;1;...;7. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau và số đó chia hết cho 5.Bài 57: Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 3 chữ số; mỗi chữ số nhỏ hơn chữ số đứng ngay liến trước.Bài 58: Cho 0;1;2;3;4;5.

a/ Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số trong đó phải có mặt số 0 và 3.b/ Lập được bao nhiêu số tự nhien có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 4.

Bài 59: Có bao nhiêu cách chia A gồm 10 phần tử thành 2 tập hợp con khác rỗng.Bài 60:

Có 20 học sinh; trong đó có 4 cặp sinh đôi. Chon ra 3 học sinh sao cho không có cặp sinh đôi nào. Hỏi có bao nhiêu cách?

Bài 61: Tìm các số tự nhiên chia hết cho 2 và có 5 chữ số sao cho chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước.

Bài 62: Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số từ 1;2;3;4;5;6; trong đó chữ số 1 và 6 có mặt 2 lần; các chữ số khác có mặt đúng 1 lần.

Bài 63: a/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số sao cho tổng của các chữ số là số chẵn.b/ Có bao nhiêu tập con khác rỗng có ít hơn 52 phần tử của A có 100 phần tử.

Bài 64: 26

ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢPTừ 0;1;...;7. Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 9 chữ số trong đó chữ số 6 có mặt 4 lần; các chữ số còn lại có mặt không quá 1 lần.

Bài 65: Tính tổng các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được lập từ 1;2;3;5;6;8.Bài 66: Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau nhỏ hơn 2158.Bài 67:

Có bao nhiêu số tự nhiên có 9 chữ số; trong đó có ba chữ số lẻ khác nhau; 3 chữ số chẵn khác nhau mà mỗi chữ số chẵn có mặt đúng 2 lần.

Bài 68: Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau; sao cho 2 chữ số kề nhau không cùng là chữ số lẻ.

Bài 69: Cho 0;1;...;7.Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn; có 6 chữ số khác nhau và luôn có mặt chữ số 4

Bài 70: Có 7 chiếc hộp như nhau; 10 viên bi như nhau. Có bao nhiêu cách đưa 10 viên bi vào 10 hộp sao cho:a/ mỗi hộp có ít nhất 1 viên.b/ bất kỳ (có hộp rỗng).

27