ANNO ACCADEMICO 2011 - 20 12 1 CORSO DI “MECCANICA DELLE TERRE”LEZIONE 7 ST A TI DI DEFORMAZIONE, ANALISI LIMITE E SPINT A DELLE TERRE Prof. Ing. Geol. Eugenio CastelliDipartimento di Ingegneria Civile ed Architettura Università degli studi di Trieste
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La risoluzione del problema del mezzo plastico perfetto richiede che, nel rispetto del criterio di resistenza e
delle assegnate condizioni al contorno, siano soddisfatte:
I. le equazioni di equilibrio,II. le equazioni di congruenza
III. la legge costitutiva del materiale.
L'analisi dell'equilibrio plastico presenta talvolta delle difficoltà notevoli che vengono superate adotatndo la
teoria della plasticità perfetta ed utilizzando due teoremi fondamentali che portano a soluzioni approssimate,
ma teoricamente corrette e che derivano dall'applicazione del principio dei lavori virtuali ai sistemi continui.
I metodi dell'analisi limite per un materiale rigido plastico, isotropo e omogeneo, permettono la ricerca,
mediante un metodo cinematico e un metodo statico, di un limite superiore e di un limite inferiore del carico
di rottura; questi sono basati su due teoremi.
I. I1 teorema del limite superiore dice che, se viene fatta una stima del carico di collasso analizzando un
meccanismo di deformazione cinematicamente ammissibile, la stima sarà uguale o maggiore del valore
corrispondente alla soluzione esatta. Cioè, se si individua un meccanismo di collasso plastico tale che il
lavoro svolto dalle forze esterne Le uguagli il lavoro fatto dalle tensioni interne Li, avviene la rottura e leforze esterne costituiscono un limite superiore dei carichi di collasso reale.
II. Il teorema del limite inferiore stabilisce che, se è possibile trovare un complesso di forze esterne che
sia in equilibrio con uno stato di tensioni interne tale che non violi in nessun punto il criterio di rottura
del materiale, allora la rottura non può avvenire e le forze esterne costituiscono un limite inferiore dei
Se analizziamo la situazione della spinta su una parete rigida verticale, addossata ad un mezzo plastico con
un metodo statico facendo l'ipotesi che la parete non alteri la distribuzione delle tensioni che si avrebbe in sua
assenza, cioè la parete si comporta come il volume del mezzo mancante per ricostruire il semispazio.
Se consideriamo il piano di Mohr, le tensioni verticali e orizzontali sono tensioni principali, poiché per
l'ipotesi fatta non possono esservi tensioni tangenziali sulla superficie di contatto tra il muro e la parete equindi nelle condizioni iniziali si ha la relazioneσh0 = K 0σvo con K 0 in genere inferiore a 1.
Nell'ipotesi di uno spostamento δh della parete verso
l'esterno, la tensione orizzontale σh = σ3 (tensione principale minore) si riduce mentre si mantiene
costante quella verticale σv = σ1 (tensione principale
maggiore); il valore minimo della tensione orizzontale
viene raggiunto quando il cerchio tocca la retta limite
e in questo caso si ha la tensione in condizioni di
Le ipotesi fatte nei due casi per le condizioni al contorno sono identiche e l'energia dissipata nello
scorrimento coincide con quella dissipata in una deformazione plastica e uniforme del cuneo.
Quanto finora visto per le situazioni di una parete rigida verticale con la determinazione dello stato
tensionale associato è stato risolto da Rankine nel 1857, quando ancora non si conoscevano i teoremi dellimite inferiore e superiore, e gli stati di equilibrio plastico attivo e passivo sono anche detti di Rankine.
La teoria di Rankine considera una massa seminfinita limitata da una superficie orizzontale e formata da
materiale che obbedisce alla relazione di rottura di Coulomb ed esamina le due situazioni per cui una parte
della massa possa espandersi o possa essere compressa orizzontalmente fino a che ogni elemento all'interno
della parte interessata dal fenomeno, possa raggiungere la rottura.
La condizione di rottura è soddisfatta per ogni superficie inclinata di un angolo 45°-Φ/2 rispetto alla
direzione della tensione principale maggiore; con massa seminfinita, limitata da una superficie
orizzontale e sollecitata solo dalla gravità, le tensioni principali e i piani corrispondenti, come si è già
visto, sono quelli verticali e orizzontali; con l'espansione la tensione principale maggiore è quella
verticale mentre con la compressione è quella orizzontale e la rottura si raggiunge con piani dislittamento inclinati di 45°+Φ/2 rispetto all'orizzontale nel primo caso e di 45°-Φ/2 rispetto
all'orizzontale nel secondo caso e le tensioni a rottura per l'elemento della massa interessata sono quelle
già indicate con le relazioni precedenti.
La teoria di Rankine fa parte delle soluzioni con linee di scorrimento nella massa a rottura, linee che
Quanto finora detto vale nell'ipotesi che la parete si comporti come il volume mancante per ricostruire il
semispazio e quindi rappresenti il comportamento di una massa di sabbia seminfinita sottoposta a una
espansione o a una compressione uniforme.
In uno stato di sabbia reale queste condizioni possono essere riprodotte solamente per un processo geologicocon movimenti dovuti a forze tettoniche. In realtà, invece, il movimento di un muro di sostegno può produrre
un cambiamento negli sforzi nella sabbia solo nelle vicinanze della causa disturbatrice, mentre il resto della
sabbia rimane in equilibrio elastico. Pertanto stati locali di equilibrio plastico possono essere prodotti da
differenti processi di deformazione; gli sforzi corrispondenti nella zona plastica e la forma della zona stessa
dipenderanno principalmente dal tipo di deformazione e dalla ruvidezza della superficie di contatto tra terra e
struttura.
Sono state così proposte varie teorie e soluzioni riguardanti la spinta delle terre per le diverse ipotesi
che si possono formulare e per le diverse situazioni che si possono presentare.
Coulomb ha suggerito, per il calcolo dei muri di sostegno, un metodo basato sullo studio dell'equilibrio limite
globale del sistema, formato dal muro e dal prisma di terreno omogeneo retrostante il muro, e coinvolto nella
rottura nell'ipotesi di parete ruvida.
Per ciascuna posizione della linea BC si ha un valore di R e fra tutti i valori di R vi è un massimo P. Questo
valore massimo è quello della spinta attiva delle terre.
Il problema è quindi risolto utilizzando le equazioni dell'equilibrio delle forze e assicurando una condizione
di massimo.
Coulomb ammette che la linea di scorrimento che delimita il
cuneo sia retta; egli considera un muro di sostegno delimitatoverso il terrapieno dalla parete rettilinea AB e traccia una retta
ipotetica di scorrimento BC.
Suppone poi che:1. il terreno sia incoerente (ΦK0, c=0) ed omogeneo
2. la superficie non sia caricata.
I1 cuneo ABC è allora sottoposto all'azione di tre forze:
1. il peso W del terreno,
2. la reazione risultante Q delle forze di attrito lungo la linea di
slittamento
3. la reazione R del muro sul terreno stesso.
La risultante di queste tre forze deve essere nulla perché il cuneo sia in equilibrio; W è noto come pure ledirezioni di R e Q (R deve fare un angolo δ con la normale al paramento e Q un angoloΦ con la normale alla
linea di slittamento). Quindi è possibile determinare R.
Coulomb ha risolto il problema anche analiticamente ed ha ottenuto l'equazione:
Per δ = 0°, α = 90° e β = 0° la spinta di Coulomb coincide con quella di Rankine; comunque si è visto ancheche K a dedotto con il metodo di Coulomb differisce poco dai valori ricavati con soluzioni analitiche esatte.
con:
e la componente normale Pan sul paramento del muro vale:
La formula sopraindicata è piuttosto gravosa e la soluzione
analitica per superfici variamente inclinate diventa praticamente
proibitiva.I1 problema può essere risolto con dei metodi grafici tra i quali
sono da ricordare quelli di Poncelet, Culmann e Rebhan.
Il metodo di Coulomb è stato applicato anche alla spinta passiva che si esercita su pareti ruvide,
pervenendo, sempre con l'ipotesi che la superficie di slittamento sia piana, a formule simili a quelle
viste per la spinta attiva.
L'errore che si fa con l'ipotesi di superficie piana è però a favore della rottura, in quanto conduce a
valori in eccesso di K p e quindi della spinta passiva, che di solito agisce da forza stabilizzante. Sel'angolo di attrito col muro è piccolo allora la superficie di slittamento si avvicina abbastanza ad un
piano, ma se δ è notevole l'errore è grande.
Per Φ=δ=30°, β=0 (riempimento orizzontale) e α = 90° (muro verticale) il valore della spinta
passiva trovata con Coulomb è del 30% superiore a quella corrispondente a superfici di
slittamento curve.
Addirittura per Φ=δ= 40° si ha con Coulomb Kp = 92,3 e con superfici curve Kp = 17,5.Per δ = 0 il valore di Coulomb coincide con quello di Rankine.
Caso di un muro che sostenga un riempimento formato da sabbia asciutta per l'altezza H1 e immersa per
l'altezza H2 e sulla cui superficie orizzontale agisca un sovraccarico uniformemente ripartito q.
L'angolo di attrito interno sia Φ, eguale per sabbia asciutta ed immersa, e il peso di volume della sabbia
asciutta sia γd. Si è già visto che si deve tener conto dell'effetto della pressione neutrale sugli sforzi
effettivi della sabbia assegnando alla sabbia immersa il peso di volume immerso γ’. Quindi, fino alla profondità H1, la spinta sul muro è rappresentata, con acqua ferma, dal triangolo ABC; alla profondità
z', sotto la falda con acqua in quiete, la pressione verticale vale σv = γdH1+z’γ’ e quindi quella
orizzontale è data da:
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La spinta totale è data dall'area ABDEC. Bisogna poi aggiungere la spinta dell'acqua 1/2 γwH22
rappresentata da LMN. Il sovraccarico q fa aumentare la pressione verticale σz ad ogni profondità di q e
quindi la pressione orizzontale aumenta di:
e la spinta corrispondente al sovraccarico è data dall'area FGIH.
Altra soluzione a cui viene spesso fatto riferimento è quella riportata da Navfac 1982 e che fornisce i valoridi K a e K p per parete verticale, superficie del terreno inclinata, al variare di β / Φ nell'ipotesi di superficie discorrimento formata da una spirale logaritmica.