Es la parte de la mecánica que estudia el movimiento de los cuerpos sin considerar las causas que la producen. El movimiento es un cambio de posición en un determinado sistema de referencia, el cual generalmente se toma como fijo respecto al observador.
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Es la parte de la mecánica que estudia el movimiento de los cuerpos sin considerar las causas que la producen.
El movimiento es un cambio de posición en
un determinado sistema de referencia, el cual generalmente se toma como fijo respecto al observador.
Distancia recorrida Una partícula viaja de A a B a lo largo del camino
representado por la línea roja discontinua esta es la distancia que ha recorrido y es un escalar
Desplazamiento El desplazamiento es la línea negra continua de A a B El desplazamiento es independiente del camino que tomemos entre ambos puntos. El desplazamiento es un vector.
MOVIMIENTO EN UNA DIMENSIÓN.- Consideremos una partícula que se mueve de x1 a x2 :
X 0 x1 x2
t1 t2
Δx = x2 – x1 Desplazamiento:
Δx
Por estar solo en una dimensión, usaremos:
Δx = x2 – x1
Se define velocidad media (vm) como:
txvm ∆
∆=
12
12
ttxx
txvm −
−=
∆∆
=
O también:
(En m/s)
Gráfico posición vs. tiempo.- Este tipo de gráfico nos da una información más detallada del movimiento.
t
X
t1 t2
vm es igual a la pendiente de la recta entre dos puntos.
txvm ∆
∆=
Velocidad instantánea.- Está definida para un punto, se obtiene a partir de vm haciendo que Δt tienda a cero:
dtdx
txlímv
t=
∆∆
=→∆ 0 dt
dxv =
La derivada es igual a la Pendiente de la recta en un punto.
t
X
v1
v2=0
v3<0 (hacia la izquierda)
En el cual el móvil o partícula se mueve a lo largo de una línea recta; el movimiento se desarrolla con velocidad constante tanto en magnitud dirección o sentido. Se define como:
Al ser la velocidad cte se obtiene:
ctettxx
txv
if
if =−
−=
∆∆
=
No se puede mostrar la imagen en este momento.
No se puede mostrar la imagen en este momento.
No se puede mostrar la imagen en este momento.
( )ifi ttvxx −+=
Movimiento uniforme.- Como la velocidad es constante, el gráfico x vs. t tiene pendiente constante :
x
t
txvv m ∆
∆==
Δx
Δt Por lo tanto, la ecuación del M.R.U. es:
txv∆∆
=
Velocidad instantánea igual a velocidad media:
Este tipo de movimiento está definido por: Despejando obtenemos la siguiente relación: Para una aceleración constante, la velocidad
varia linealmente con el tiempo y la velocidad media es el valor de las velocidades final e inicial.
ivatv +=
( )ifm vvv −=21
El desplazamiento es igual a: Reemplazando
if xxx −=∆
( )tvvtvx fim +==∆21
( )tatvxx ii +=− 221
2
21 attvxx ii ++=
se tiene que: atvv i +=
Sea se tiene que . avt ∆
=
∆+=+=−=∆
avvvtvvxxx fifiif )(
21)(
21
−+=∆
avv
vvx iffi )(
21
xavv if ∆+= 222
Movimiento rectilíneo con aceleración constante (MRUV).- El gráfico correspondiente es: v
t
En este caso am=a :
12
12
ttvvaa m −
−==
Cambiando variables: v2 = vf v1 = v0 t2 = t t1 = 0
v0
vf
t
Aceleración media e instantánea.- Si la velocidad de un cuerpo cambia en el tiempo, el cuerpo tiene aceleración, se define aceleración media: t
vam ∆∆
= En m/s2
Se define aceleración instantánea:
dtdv
tvlíma
t=
∆∆
=→∆ 0
Ejm. gráfico:
v
t
dtdva =
La aceleración es igual a la pendiente de la recta tangente en un punto.
a1
a2=0
a3<0 (hacia la izquierda)
Consideremos una partícula que se mueve en el espacio:
t1
t2 r1
r2
r = xi + yj + zk Vector posición:
Desplazamiento:
Δr = r2 – r1
Δr
Velocidad media:
Vm = ---- Δr Δt
Velocidad Instantánea.- Se define como la derivada de la posición respecto al tiempo:
trlímv
t ∆∆
=→∆ 0
y
x dtdrv =
1v
2v
Generalmente el movimiento en el plano (o en el espacio) se analiza por separado en cada eje como si fuesen movimientos Independientes.
La posición de una partícula en coordenadas cartesianas está dada por la ecuación
Donde x, y , z esta en metros y t en segundos
a) Determinar el desplazamiento entre t = 0 y t = 1s
( ) ( ) ( )r x t i y t j z t k= + +
2( ) 5 6x t t= + ( ) 3y t t= ( ) 6z t =
Para t = 0
Para t = 1s
El desplazamiento es
0 5 6r i k= +
1 11 3 6r i j k= + +
1 0r r r∆ = −
(6 ) (3 )r m i m j∆ = +
La velocidad media
mrvt
∆=∆
6 3 (6 / ) (3 / )
1 0mi jv m s i m s j+
= = +−
Componentes de la velocidad en el plano.- Si se tiene la rapidez (módulo de la velocidad) y dirección:
=
X
Y1-tanvvθ
v = vXi + vYj
vX = v cos θ vY = v sen θ
| v | = v = √ (vX)2 + (vY)2
vX
vY
v
θ
Rapidez :
X
Y
i
j
Aceleración media:
tvam ∆
∆= En m/s2
• Aceleración instantánea:
dtdv
tvlíma
t=
∆∆
=→∆ 0
v1
v2
y
x
v1
v2
y
x
ma
1a2a
Calculo gráfico del desplazamiento.- Para hallar desplazamientos se puede usar los gráficos v – t.
a) Movimiento uniforme: v
t
v
Δx =v Δt
Δx =A
t1 t2
b) Movimiento con aceleración constante:
t1 t2
v
t
x
t
a
t
A1 - A2
Δx =A1 - A2 Desplazamiento:
Estos movimientos se conocen generalmente como “movimientos verticales en el vacío”. Es un movimiento ideal donde: Se desprecia la resistencia del aire. Estas condiciones hacen que la caída libre sea un caso especial de MRUV, donde la aceleración constante es la de la gravedad.
Movimiento en caída libre.- Es el movimiento vertical (de subida o bajada) donde el cuerpo, tiene aceleración instantánea igual a 9,8 m/s2 (hacia abajo).
Para el sistema de referencia mostrado, las ecuaciones del movimiento son:
gtvv f −= 0
20 2
1 gttvy −=∆
ygvv f ∆−= 220
2
y
x
a= - g = - 9,8 m/s2
vsalida= vllegada
tsubida tbajada
Vmáxima altura = 0
vsalida vllegada
tsubida = tbajada
Vmáxima altura = 0
∙∙∙ (1)
∙∙∙ (2)
∙∙∙ (3)
∙∙∙ (4)
∙∙∙ (5)
∙∙∙ (6)
Caída libre
Movimiento Vertical No se toma en cuenta la fricción del aire
Caso Particular del MRUV
Aceleración de la gravedad
Es el caso general de movimiento de proyectiles, se comunica al móvil una velocidad inicial V0 que forma un ángulo θ0 por encima (o por debajo) de la horizontal. El movimiento del objeto será la combinación de dos movimientos; en la dirección horizontal un M.R.U. y en dirección vertical un M.R.U.V. (fig)
tvxxytgtvyy OXOOYO +=++= 2
21
gtvv OYY +=
V0
V
Vy0
Vy
Vx0
-Vy V
Vx0
Vx0
θ0
H
R
y
x
M.R.U.
M R
U V
X
y
Vx0
Movimiento de proyectiles.- Es aquel en el que el cuerpo tiene una aceleración igual a la gravedad, y este describe una trayectoria parabólica:
v0Y= v0 senθ
v0X = v0 cosθ
v0
θ
X
Y v1Y
v0X
v1
v2 v2Y= -v1Y
v3 = v0X
v0
Ecuaciones del movimiento parabólico:
tvx X0=∆Movimiento horizontal:
tvx )cos( 0 θ=∆
Movimiento vertical:
gtvv yy −= 0
20 2
1 gttvy y −=∆
ygvv yy ∆−= 220
2
θsenvv y 00 =
El tiro horizontal se diferencia del tiro parabólico en que al inicio del movimiento el proyectil sólo presenta una velocidad horizontal, (Vx), debido a que no existe ángulo de inclinación. Por tanto no presenta velocidad vertical inicial, (Viy=0), lo que implica que Vx= Vix. Su gráfica característica se muestra en la figura.
Nota.- El alcance máximo horizontal se tiene cuando el ángulo de lanzamiento es 45°, por ejemplo, si tres proyectiles se lanzan con la misma rapidez inicial:
45°
X
Y
De las ecuaciones para x y y podemos obtener la ecuación de la trayectoria.
x = vx0t = v0 (cos θ0 )t
y = vy0t – ½gt2 = v0 (sen θ0)t – ½ gt2
00 cosθvxt =
2
000000 cos2
1cos
sen
−=
θθθ
vxg
vxvy
2
022
00 cos2
tan xv
gxy
−=
θθ Representa una parábola
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