1 MODULUL 4N: (T) STABILITATEA SISTEMELOR DINAMICE NELINIARE ANALIZA STABILITATII CU AJUTORUL FUNCTIEI DE DESCRIERE. DETERMINAREA PARAMETRILOR CICLURILOR LIMITA. TEORIA STABILITATII IN SENS LIAPUNOV 1. Stabilitatea sistemelor neliniare continuale 2. Stabilitatea sistemelor neliniare discrete 3. Analiza calitativa a sistemelor neliniare prin metoda de liniarizare TEORIA STABILITATII IN SENS POPOV 1. Criteriul Popov pentru sisteme cu partea liniara stabila 2. Teorema Popov pentru cazul partii liniare instabile 3. Analiza stabilitatii absolute a starii de echilibru
32
Embed
MODULUL 4N: (T) STABILITATEA SISTEMELOR DINAMICE … · figura 1) cu reactie inversa, la care sistemul este decompozabil intr-un sistem liniar si un sistem neliniar. Consideram ca
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
1
MODULUL 4N: (T)
STABILITATEA SISTEMELOR DINAMICE NELINIARE
ANALIZA STABILITATII CU AJUTORUL FUNCTIEI DE
DESCRIERE.
DETERMINAREA PARAMETRILOR CICLURILOR LIMITA.
TEORIA STABILITATII IN SENS LIAPUNOV 1. Stabilitatea sistemelor neliniare continuale
2. Stabilitatea sistemelor neliniare discrete
3. Analiza calitativa a sistemelor neliniare prin metoda de liniarizare
TEORIA STABILITATII IN SENS POPOV 1. Criteriul Popov pentru sisteme cu partea liniara stabila
2. Teorema Popov pentru cazul partii liniare instabile
3. Analiza stabilitatii absolute a starii de echilibru
2
ANALIZA STABILITATII CU AJUTORUL FUNCTIEI DE
DESCRIERE.
DETERMINAREA PARAMETRILOR CICLURILOR LIMITA.
In cazul sistemelor de reglare automata neliniare (in special pentru sisteme cu actiune
de tip releu) functionarea normala a sistemului poate fi o functionare autooscilanta, caz in care
apare necesitatea stabilirii (cel putin) parametrilor de autooscilatie respectiv amplitudinea si
pulsatia de autooscilatie. Pentru cazul in care oscilatiile sunt nedorite apare necesitatea
elaborarii unor proceduri de sinteza a unor corectoare care sa permita eliminarea acestor
autooscilatii.
Sistem
liniar
Sistem
neliniar
x y
-
Fig. 1
Analiza pe care o propunem in continuare se va face pe o structura standard (vezi
figura 1) cu reactie inversa, la care sistemul este decompozabil intr-un sistem liniar si un
sistem neliniar.
Consideram ca partea liniara este caracterizata prin functia de transfer
)(
)()(
sD
sNsH =
Partea neliniara a sistemului considerat o presupunem in forma ( , )y f x x= , avand
coeficientii de liniarizare armonica ),('),,( AqAq .
In aceste conditii:
xsAq
Aqxdt
dAqxAqy
+=+=
),('),(
),('),(
unde s trebui privit ca operator de derivare (dt
ds = ). Pe de alta parte din dependenta liniara
obtinem:
ysNxsD −= )()(
In final metoda liniarizarii armonice permite caracterizarea sistemului functionand in circuit
inchis prin ecuatia:
0),('
),()()( =
++ xs
AqAqsNsD
In ipoteza ca A si sunt constante (o astfel de situatie ne intereseaza) coeficientii de
liniarizare armonica sunt constanti iar ecuatia diferentiala prezentata este o ecuatie diferentiala
liniara cu coeficienti constanti. Ecuatia caracteristica asociata acestei ecuatii diferentiale este
de forma:
'( , )( ) ( ) ( ) ( , )A
q AD N q A
= + +
3
Presupunem ca se genereaza un regim autooscilant cu amplitudinea pA si pulsatia p
si prin urmare tAtx pp sin)( = . O astfel de situatie impune ca sistemul liniar echivalent sa
fie la limita de stabilitate iar 0)( =D trebuie sa aiba radacini pur imaginare pj =2,1 .
))(Re( jS
))(Im( jS
0=p=
Fig. 2
Conform criteriului Cremer-Leonhard-Mihailov sistemul este la limita de stabilitate
daca hodograful ( )A j trece prin centrul sistemului de coordonate. Pulsatia la care are loc o
astfel de intersectie este tocmai pulsatia de autooscilatie (vezi figura 2).
Daca notam ( ) ( , ) ( , )A j U A jV A = + conditia ca hodograful sa treaca prin
origine este ca:
0),(
0),(
=
=
pp
pp
AV
AU
Prin solutionarea sistemului de ecuatii algebrice putem stabili analitic amplitudinea
ciclului limita pA precum si pulsatia acestuia p .
Evaluarea parametrilor ciclurilor limita poate fi facuta si printr-o reinterpretare a
criteriului de stabilitate Nyquist.
Vom defini functia de transfer aproximativa a partii neliniare in forma:
sAq
AqAsH n +=
),('),(),,(
Daca inlocuim js = obtinem caracterizarea frecventiala echivalenta pentru partea
nelini- ara a sistemului:
),('),(),( AjqAqAjH n +=
In conformitate cu criteriul Nyquist, sistemul liniarizat se afla la limita de stabilitate
daca hodograful sistemului functionand in circuit inchis trece prin punctul de coordonate
)0,1( j− .
Prin urmare trebui indeplinita conditia:
1),()( −= ppnp AjHjH
sau
),(
1)(
ppn
pAjH
jH
−=
4
In multe cazuri concrete functia de transfer echivalenta a partii neliniare este dependenta
exclusiv de amplitudine incat conditia de autooscilatie se simplifica:
)(
1)(
pn
pAH
jH −=
)( jH
)(
1
AHn
−
→
p =
Im
Re
Fig. 3
Ultima relatie permite o interpretare grafica si totodata poate oferi o metoda de
solutionare.
Ideea este de a trasa pe o aceeasi diagrama Im)(Re, hodograful asociat functiei de
transfer ce caracterizeaza partea liniara cat si hodograful asociat termenului
−
)(
1
AH n
.
Eventuala intersectie intre cele doua curbe remarca existenta unui ciclu limita. Pulsatia
p poate fi citita pe hodograf iar amplitudinea de autooscilatie pe graficul lui
−
)(
1
AH n
(vezi figura 3).
Metoda L.C. Goldfarb
Metoda a fost elaborata de L.C.Goldfarb in 1917 si permite evaluarea aproximativa a
pulsatiei si amplitudinii de autooscilatie a unui sistem automat in configuratie clasica.
Metoda se bazeaza pe interpretarea grafica a relatiei fundamentale anterior stabilite:
( )( )Aq
jH1
−=
Metoda se aplica astfel:
• intr-un acelasi sistem de axe de coordonate se traseaza hodograful asociat partii
liniare si graficul inversei functiei de descriere cu semn schimbat asociat partii
neliniare.
5
• la intersectia celor doua curbe citim pulsatia de autooscilatie pe ( )0 iar pe
curba ce prezinta inversul functiei de descriere cu semn schimbat citim
amplitudinea A de autooscilatie.
Exemplu
Metodele anterior prezentate privind posibilitatea determinarii aproximative a parame-
trilor regimurilor autooscilante vor fi prezentate pe un exemplu de sistem automat neliniar
decompozabil intr-un sistem cu caracteristica de tip releu ideal cu amplitudinea de comutatie
1c = in serie cu un sistem dinamic liniar cu functia de transfer:
4.0,6.0,sec100,)12(
)( 1
22===
++= −
Tk
sTsTs
ksH
Fig. 4
Schema de simulare este prezentata in figura 4. Singurul lucru pe care il remarcam
alaturi de intocmirea schemei de simulare este faptul ca in locul releului bipozitional fara
histerezis este utilizat un releu bipozitional cu histerezis dar setat astfel incat comutarile sa
aiba loc la eps ,unde eps reprezinta zeroul programului de simulare.
Rezultatele obtinute prin simulare sunt prezentate in diagrama din figura 5.
Intr-un exemplu prezentat anterior am stabilit ecuatia de liniarizare armonica pentru
caracteristica de releu ideal:
xA
cy
=
4
Ecuatia partii liniare este de forma:
( ) ykxsTsTs −=++ 1222
6
Fig. 5
Daca inlocuim y in ecuatia considerata obtinem o ecuatie diferentiala pentru care
ecuatia caracteristica este de forma:
2 3 2 4( ) 2A
k cs T s T s s
A
= + + +
Impunand conditiile criteriului CLM obtinem
3 2 4( ) 2 0A p p p p
p
k cj jT T j
A
= − − + + =
sau:
0
04
2
32
2
=+−
=
+−
pp
p
p
T
A
ckT
Solutionand sistemul de ecuatii algebrice obtinem unica solutie interesanta in
contextul problemei
5414.952
,sec67.16.0
11 1 =
==== −
TckA
Tpp
Pentru solutionarea aceleasi probleme cu ajutorul criteriului Nyquist va trebui sa
trasam pe o aceeasi diagrama Im)(Re, atat hodograful sistemului cat si graficul inversului
coeficientuluide liniarizare armonica cu semn schimbat.
In figura sunt prezentate diagramele de variatie pentru
AA
cAq
=
=
44)( si
4)(
1 A
Aq
−=−
.
7
Fig. 6
Aplicarea efectiva a criteriului Nyquist este mai dificila in privinta evaluarii valorilor
parametrilor de autooscilatie deoarece valorile lor sunt parametrii pentru curbele trasate si
deci nu se pot citi direct pe grafic valorile acestora. In acest sens procedura este puternic
dependenta de utilitarul pe care se face solutionarea.
Pentru solutionare, lucrand in Matlab 6.5 se aplica urmatoarea procedura:
1. Trasam caracteristica de tip hodograf pe un interval de variatie a pulsatiei
pentru a evidentia cu claritate intersectia cu )(
1
Aq− (axa reala in acest caz ),
2. Trasam caracteristica )(
1
Aq− pe o aceeasi diagrama.
3. Evaluam intersectia dintre hodograf si dreapta )(
1
Aq− .
4. In punctul de intersectie, pe hodograf, citim direct pulsatia 67.1=p si partea
reala a caracteristicii de tip hodograf ( ) 8.74)(Re −=pjH
5. Din dependenta ( )jHAq
(Re)(
1=− se determina 6.95=pA .
8
Fig. 7
Procedura de stabilire a parametrilor de autooscilatie pentru cazul analizat este
prezentata in figura 7.
9
TEORIA STABILITATII IN SENS LIAPUNOV
Problema stabilitatii sistemelor dinamice neliniare este mult mai delicata decat analiza
in cadrul liniar. Vom prezenta in acest paragraf cateva elemente fundamentale cu caracter
definitoriu si cateva teoreme ce lanseaza tehnici de evaluare a stabilitatii sistemelor dinamice
neliniare. In sfarsit, vom justifica in ce conditii analiza stabilitatii prin metode specifice
cadrului liniar asupra unui model liniarizat este relevanta in raport cu comportarea sistemului
initial neliniar.
1. Stabilitatea sistemelor neliniare continuale.
Consideram un sistem dinamic neliniar continual caracterizat matricial in forma:
),( xtfdt
dx= (1)
cu xRn, f - functie vectoriala continua in raport cu toate argumentele si admitand derivate
partiale continue in raport cu oricare din variabilele ).....,( 21 nxxx . In aceste conditii, este
satisfacuta teorema de existenta si unicitate. Fie o initializare oricare (t0, x0) pentru care
solutia ( ) ( )x t t= satisface 0 0( )t x = si pe care o consideram prelungibila la infinit. Prin
urmare consideram solutia )0( ) ,t definita pe t .
• Definitie. Solutia ( )t este stabila in sens Liapunov pentru t → , daca pentru
( ) 0, ( ) ( ) 0 astfel ca oricare solutie ( )i ix t= cu initializarea la 0t
satisfacand 0 0( ) ( ) , 1,i it t i n − va asigura
0( ) ( )i it t pe t t − si pentru ( ) 1,i n .
Interpretarea geometrica a definitiei este imediata: oricare traiectorie initializata
intr-o - vecinatate a lui x0, evolueaza intr-un - tub in jurul traiectoriei (t).
• Definitie. Solutia ( )t este instabila, daca exista 0 astfel incat pentru
0 pot stabili un moment de timp 1t t= astfel ca pentru cel putin un i k= ,
1 1( ) ( )k kt t − cu toate ca 0 0( ) ( ) , ( ) 1,i it t i n − .
• Definitie. Solutia ( )t se numeste asimptotic stabila daca sunt indeplinite
urmatoarele conditii:
i) solutia ( )t este stabila in sens Liapunov pentru t → ;
ii) exista un numar 0H , incat oricare solutie initializata la 0t t= cu
0 0( ) ( ) , 1,i it t H i n − asigura 0 0lim ( ) ( ) 0, ( ) 1,i it
t t i n →
− =
Daca H = putem spune despre sistemul dinamic ca este global
stabil.
Cadrul definitoriu prezentat precizeaza ca in cazul sistemelor dinamice neliniare
analiza stabilitatii este orientata pe o solutie si nu asupra sistemului.
10
Fig. 1
• Se poate demonstra, ca studiul stabilitatii oricarei solutii a sistemului (1) poate
fi redusa la studiul stabilitatii solutiei triviale ( ) 0 1,ix t i n a unui sistem
echivalent asociat
Fie o solutie ( ) ( ), 1,x t t i n= a sistemului (1).
Introducem schimbarea de variabila:
(t)
xn
x1
t t0
x10
xno
a)
(t)
Ex
xn
x1
t
b)
Ey
11
( ), 1,i iy x t i n= − (2)
Derivand in ambele parti obtinem:
( ) ( )1 1 1, ( ), , ( ) , ( ), , ( ) 1,ii n n i n
dyf t y t y t f t t t i n
dt = + + − (3)
Vom introduce sistemul de functii:
( ) ( ) ( )1 1 1 1, , , , ( ), , ( ) , ( ), , ( )i n i n n i nt y y f t y t y t f t t t = + + −
incat ecuatia (5) devine:
( )1 2, , , , 1,ii n
dyt y y y i n
dt= (4)
Evident ( ), 0,0, ,0 0i t si deci sistemul (4) admite solutia triviala ( ) 0iy t .
Sistemul (6) poarta numele de sistemul de ecuatii al traiectoriei perturbate.
Consideram spatiul solutiilor Ex al sistemului (1) si Ey asociat sistemului (4) (vezi
figura 1).
Conform (2), fiecarei curbe integrale din Ex ii va corespunde unic o curba integrala in
Ey. Traiectoriei ( ) , 1,i it x i n = ii va corespunde traiectoria asociata solutiei triviale
( ) 0iy t . Daca solutia ( ) 1,i ix t i n= este stabila in Ex atunci solutia ( ) 0 1,iy t i n
este stabila in Ey si reciproc.
Din acest motiv, studiul stabilitatii solutiei ( ) 1,i ix t i n= a sistemului original (1)
poate fi facuta analizand solutia trivial ( ) 0 1,iy t i n a sistemului echivalent asociat (4).
Solutia triviala ( ) 0 1,iy t i n este stabila in sens Liapunov daca pentru
( )0, 0 dependent de si t0 incat oricare solutie ( ) ( ) 1,i iy t t i n= care pentru
0t t= asigura 0( ) 1,i t i n satisface inegalitatea )0 0( ) ,i t pentru t t .
In cazul in care sistemul dinamic neliniar este invariant in timp, deci in cazul in care
functiile ( , ) 1,if t x i n nu contin explicit variabila timp solutiile sistemului algebric
neliniar.
( )1 2, , , 0 1,i nf x x x i n= (5)
fixeaza eventualele stari de echilibru ale sistemului analizat. Daca consideram ( **
2
*
1 ,...,, nxxx ) o
solutie a sistemului (5), propunem schimbarea de coordonate: **
222
*
111 ,, nnn xxyxxyxxy −=−=−= (6)
Analiza stabilitatii solutiei triviale pentru sistemul echivalent precizeaza stabilitatea
solutiei de echilibru ( **
2
*
1 ,...,, nxxx ) a sistemului initial considerat.
Odata fixat acest cadru definitoriu, vom prezenta in continuare cateva teoreme ce
permit evaluarea stabilitatii Liapunov pentru solutia triviala.
12
Teorema de stabilitatea Liapunov
Daca pentru sistemul dinamic neliniar
( )( )txfdt
tdx=
)( (7)
putem determina functia pozitiv definita V(x) a carei derivata in virtutea sistemului analizat
(7) este negativ semidefinita, atunci solutia triviala ( ) 0x t a sistemului (7) este stabila in
sens Liapunov.
Functia V(x) functia Liapunov spunem ca este pozitiv semidefinita (negativ
semidefinita) pe multimea G Rn daca V(x) 0 (V(x) 0) pentru () x G.
Spunem ca functia V(x) este pozitiv definita (negativ definita) pe G daca pentru
x G \ {0}, V(x) > 0 (V(x) < 0) si V(0) = 0.
Derivata functiei ( )V x in virtutea sistemului (7) va fi: