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Mdulo Matemticas-grado Sptimo Docente: Franklin Garca Lloreda
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REA DE MATEMTICAS
GRADO SPTIMO
DOCENTE: FRANKLIN GARCA LLOREDA
PARA LEVANTAR EL TROFEO NECESITAMOS: DISCIPLINA + DEDICACIN +
DESEO
MDULO DE ESTUDIO DE MATEMTICAS
INSTITUCIN EDUCATIVA AQUILINO BEDOYA
ESTUDIANTE
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MDULO DE ENSEANZA DE MATEMTICAS
ENERO 09 DE 2015 Rev. N 4
1. ESTNDARES.
1.1. ESTNDARES DE LA ASIGNATURA.
Pensamiento numrico y sistemas numricos
Utilizo nmeros racionales, en sus distintas expresiones
(fracciones, razones, decimales o porcentajes) para resolver
problemas en contextos de medidas.
Justifico procedimientos aritmticos, utilizando las relaciones y
propiedades de las operaciones.
Resuelvo y formulo problemas cuya solucin requiere de la
potenciacin o la radicacin.
Establezco el valor absoluto de un nmero. Pensamiento espacial y
sistemas geomtricos
Resuelvo y formulo problemas usando modelos geomtricos.
Identifico caractersticas de localizacin de objetos en sistemas
de representacin cartesiana y geogrfica.
Clasifico polgonos en relacin con sus propiedades. Pensamiento
mtrico y sistemas de medidas
Utilizo tcnicas y herramientas para la construccin de figuras
planas y cuerpos con medidas dadas.
Calculo reas y volmenes a travs de composicin y descomposicin de
figuras y cuerpos.
Identifico relaciones entre unidades para medir diferentes
magnitudes. Pensamiento aleatorio y sistemas de datos
estadsticos
Reconozco la relacin entre un conjunto de datos y su
representacin.
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Uso representaciones grficas adecuadas para representar diversos
tipos de datos (diagramas de barras, diagramas circulares).
Uso medidas de tendencia central (media, mediana, moda) para
interpretar el comportamiento de un conjunto de datos.
Resuelvo y formulo problemas a partir de un conjunto de datos
presentados en tablas, diagramas de barras, diagramas
circulares.
1.2. ESTNDARES DE COMPETENCIAS CIUDADANAS.
1.2. ESTNDARES DE COMPETENCIAS CIUDADANAS.
Es atento y respetuoso ante la intervencin de las dems
personas.
Solicita con respeto atencin y colaboracin por parte de los dems
miembros de la comunidad.
Se reconoce como una persona de bien, de comportamientos y
decisiones racionales.
Es solidario y prestante con sus compaeros y dems miembros de la
comunidad. 1.3. ESTANDARES LABORALES
Establece juicios argumentados y define acciones adecuadas para
resolver una situacin determinada.
Cambia y transforma procesos con mtodos y enfoques
innovadores.
Observa, descubre y analiza crticamente deficiencias en
distintas situaciones para definir alternativas e implementar
soluciones acertadas y oportunas.
2. COMPETENCIAS.
2.1 COMPETENCIAS DE LA ASIGNATURA. 2.1.1. Interpretativa
Reconocer los diferentes mtodos usados para solucionar
situaciones algortmicas.
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Comprender los conceptos estudiados en cada conjunto numrico y
relacionarlos con situaciones reales.
Determinar si las soluciones que resultan al resolver algoritmos
y problemas tienen sentido en los contextos cotidianos que han sido
planteados.
: 2.1.2. Argumentativa
Justificar, utilizando modelos matemticos, las soluciones
planteadas a diferentes problemas.
Escribir en forma coherente, clara y concreta las conclusiones
de un hecho real en el cual se han usado algoritmos y conceptos
matemticos
2.1.3. Propositiva
Utilizar los conceptos matemticos para plantear y resolver
problemas en contextos cotidianos.
Inventar situaciones en las cuales tiene sentido proponer y
solucionar conceptos matemticos.
Aplicar los conceptos, algoritmos y representaciones aprendidos
en estadstica y probabilidad en la solucin de de situaciones de
contexto real.
2.2. COMPETENCIAS CIUDADANAS.
Participar de manera activa y racional frente a las decisiones
de carcter grupal e individual.
Resolver conflictos de manera pacifica y constructiva.
Comunicar sus ideas de manera abierta al cambio y asertiva.
2.3. COMPETENCIAS LABORALES.
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Identificar las situaciones cercanas a su entorno (casa, barrio,
colegio) que tienen diferentes modos de resolverse.
Escuchar la informacin, opinin y argumentos de otros sobre una
situacin.
Reconocer las posibles formas de enfrentar una situacin.
Seleccionar una de las formas de actuar posibles.
Asumir las consecuencias de sus decisiones.
Observar una situacin cercana a mi entorno (casa, barrio,
colegio) y registrar informacin para describirla.
Analizar las situaciones desde distintos puntos de vista
(padres, amigos, personas conocidas, entre otras).
Identificar los elementos que pueden mejorar una situacin
dada.
Inventar nuevas formas de hacer cosas cotidianas.
Analizar los cambios que se producen al hacer las cosas de
manera diferente.
3. LOGROS
COGNITIVOS PROCEDIMENTALES ACTITUDINALES
*identifica las caractersticas del conjunto de los nmeros
enteros * Reconoce las caractersticas de los nmeros racionales.
*reconoce las caractersticas generales de los polgonos *Relaciona
diferentes tipos de grficos
*Resuelve situaciones que involucren operaciones bsicas con
nmeros enteros *Resuelve situaciones que involucren operaciones
bsicas con nmeros racionales * Realiza problemas donde se
involucren las unidades de medida con las figuras geomtricas
*Realiza estudios estadsticos a una determinada situacin
problema
*Demuestra una adecuada actitud de escucha durante las
explicaciones. *cumple a cabalidad con las actividades propuestas.
*Trae los materiales necesarios para trabajar en clase *Participa
activamente en el desarrollo de la clase
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El camin de basura (reflexionemos) Con qu frecuencia permites
que la estupidez y la insensatez de otras personas cambien tu
estado de nimo? Te enfadas cuando otro conductor comete un error de
transito, un empleado te trata irrespetuosamente, cuando alguien se
burla de ti, o un jefe te exige injustificadamente ms trabajo de lo
que te corresponde hacer? Hace varios aos, como de costumbre sub a
un taxi para ir a mi trabajo, habamos entablado una conversacin con
el conductor y de repente, sin saber por qu otro automvil, se cruz
tan bruscamente, que para no causar una tragedia, el conductor del
taxi tuvo que girar el auto y frenar sbitamente. Milagrosamente no
ocurri nada, pero el conductor del vehculo que haba cometido la
imprudencia, se bajo bruscamente de su auto y comenz a gritar e
insultar al taxista. El taxista, a pesar de lo injusto de la
situacin, sonri, levant su mano y lo saludo muy amablemente
dicindole lo siento, que Dios le bendiga y que tenga un buen da y
luego sin decir nada ms retom la marcha. Sorprendido por esta
actitud, le pregunte: -Porque le ha respondido as, esa persona por
poco destruye su automvil y adems casi nos enva a los dos al
hospital. Entonces el taxista me dio una leccin que jams olvidar,
me dijo: -Muchas personas son como el camin de la basura. Estn
cargados de enojo, odio, frustracin, resentimiento... y ante
cualquier situacin aprovechan para descargarla. -Pero, porque lo
hacen ante una situacin como esta, si usted no le ofendi y solo fue
su culpa. -Lo hacen ante la primera oportunidad, porque necesitan
eliminar de su interior toda la basura acumulada, porque ya no hay
lugar para ms. Desde aquel da no he vuelto a permitir que los
camiones de basura, tomen el control de mis sentimientos y mucho
menos de mis reacciones. Aprend, que sonrerles a los insatisfechos,
malhumorados y frustrados es la mejor medicina que puede ayudarles
a cambiar su perspectiva de la vida. S amable con las personas
alteradas y entiende que estn librando su propia batalla. Pero
asegrate de no ser t, el lugar en el que descargan toda su
basura. T no eres un basurero
Pienso en lo grande que puedo ser, como resultado de un creador
perfecto, que
todo lo que hace es a su imagen y semejanza.
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4. PRUEBA DIAGNSTICA
Fecha Propuesta De La Actividad : Da ____ Mes ____ Ao ____ Hora
____ Fecha De Entrega De La Actividad : Da ____ Mes ____ Ao ____
Hora ____
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5. UNIDAD DE ENSEANZA APRENDIZAJE Y EVALUACION N 1
5.1. NMEROS ENTEROS
Duracin: Entre __________________ Y __________________
5.2 TABLA DE LOGROS
5.3 CONTENIDOS:
5.3.1 Conceptos de nmero entero
COGNITIVOS PROCEDIMENTALES ACTITUDINALES
Resuelve operaciones de adicin y sustraccin entre nmeros
enteros.
Comprende los pasos del proceso de resolucin de problemas.
Resuelve situaciones problemticas con nmeros enteros. Aplica
propiedades de las operaciones y relaciones entre nmeros
enteros.
Cumple a cabalidad con las actividades propuestas. Manifiesta
sentido de pertenencia por la institucin.
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5.3.2 El conjunto de los nmeros enteros
5.3.3 Representacin de los nmeros enteros en la recta
5.3.4 Valor absoluto de un nmero
5.3.5 Orden en el conjunto de los nmeros enteros
5.3.6 Adicin y sustraccin de nmeros enteros
5.3.7 Multiplicacin de nmeros enteros
5.3.8 Divisin de nmeros enteros
5.3.9 Polinomios con nmeros enteros
5.3.10 Potenciacin de nmeros enteros; propiedades
5.3.11 Radicacin de nmeros enteros; propiedades
NMEROS ENTEROS Los nmeros no positivos aparecieron por primera
vez en la India; en el libro de Brahmagupta (matemtico hind), en el
ao 628 de nuestra era. En l, se distingue entre bienes, deudas y la
nada. Es decir, los nmeros positivos, los nmeros negativos y el
cero. Los hindes representaban los nmeros negativos poniendo un
punto encima de las cifras. Ms tarde; los chinos utilizaron los
nmeros negativos pero los diferenciaban de los positivos
escribindolos de otra forma. Por ejemplo; escriban los nmeros
negativos de color rojo en contraposicin a los positivos que
aparecan de color rojo. De ah viene la expresin estar en nmeros
rojos, es decir, tener deudas.. En cursos anteriores se hizo un
estudio detallado del conjunto de los nmeros naturales, sus
elementos, las diferentes relaciones y las operaciones que se
definen entre ellas. Esta unidad estar dedicada a trabajar en torno
a otro de los conjuntos numricos, el de los nmeros enteros. EL
CONJUNTO DE LOS NMEROS ENTEROS
Los nmeros positivos {+1, +2, +3, +4, +5, . }, se llaman enteros
positivos y se representan con el smbolo +.
+ = {+1, +2, +3, +4, +5, . }
Los nmeros negativos { , 5, 4, 3, 2, 1} son llamados enteros
negativos y se representan con el smbolo .
= { , 5, 4, 3, 2, 1}
El nmero 0 pertenece al conjunto de los nmeros enteros y es el
nico que no se considera ni positivo ni negativo.
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, 5, 4, 3, 2, 1
, 5, 4, 3, 2, 1
Los nmeros negativos se usan en muchas situaciones cotidianas.
Usted seguramente habr odo expresiones como 3 grados centgrados
bajo cero cuando se habla de temperatura, 200 metros bajo el nivel
del mar cuando se habla de la profundidad de una mina, o nmeros
rojos cuando se habla de contabilidad. Todas esas expresiones hacen
referencia a nmeros negativos. Un nmero natural y su
correspondiente negativo son simtricos con respecto al cero: estn a
la misma distancia del cero.
A esa distancia le llamamos valor absoluto del nmero y la
representamos poniendo el nmero entre barras. Por ejemplo: |384| =
384 y |384| = 384 Estas expresiones se leen: el valor absoluto de
menos 384 es 384 y el valor absoluto de 384 es 384. Observe que el
valor absoluto siempre es positivo porque es una distancia.
REPRESENTACIN DE LOS NMEROS ENTEROS
En una rec ta hor izon ta l , se toma un pun to cua lqu ie ra
que se sea la como cero .
A su derecha y a d is tanc ias igua les se van sea lando los
nmeros pos i t i vos : 1 , 2 , 3 , . . .
A la izqu ie rda de l ce ro y a d is tanc ias igua les que las
an te r io res , se van sea lando los nmeros nega t ivos : 1 , 2 ,
3 , . . .
El conjunto de los nmeros enteros est formado por los enteros
negativos, el cero y los enteros positivos. As, se tiene que
= { , 5, 4, 3, 2, 1,0 ,1 ,2 ,3 ,4 ,5, . }
= {0} +
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ORDEN EN LOS NMEROS ENTEROS
Los nmeros en te ros es tn o rdenados. De dos nmeros represen
tados g r f icamente , es mayor a l que l es t s i tuado ms a la
derecha, y menor e l s i tuado ms a la i zqu ie rda.
CRITERIOS PARA ORDENAR LOS NMEROS ENTEROS
1 . Todo nmero nega t ivo es menor que ce ro.
7 < 0
2 . Todo nmero pos i t ivo es ma yor que ce ro.
7 > 0
3 . De dos en te ros nega t ivos es mayor e l que t iene menor
va lor abso lu to .
7 > 10 |7 | < |10 |
4 . De los en te ros pos i t i vos , es mayor e l que t iene
mayor va lo r abso lu to .
10 > 7 |10 | > |7 |
Actividad de apropiacin
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1. Escribe mayor o menor segn corresponda
7 ----- 5 4 ----- 3 8 ----- 5 2001 ----- 1987 2485 -----
1254
2. Dibuje sobre la lnea una recta numrica y represente el valor
absoluto de 3 y el valor absoluto de 3:
Recuerde que: |3|=3 y |3|=3
3. En cada inciso ordene los nmeros de menor a mayor y escriba
entre ellos el smbolo > o el smbolo
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4. En cada inciso ordene los nmeros de mayor a menor y escriba
entre ellos el smbolo > o el smbolo
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a) los nmeros 0, 10, 10, 20, 20, 30 y 30 b) los nmeros 27, 28,
29, 30, 31 c) Los nmeros 0, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4
8. Resuelve las siguientes situaciones utilizando el concepto de
nmero entero.
a) El lunes, Salom deba en la tienda de la esquina $4500, El
viernes siguiente deba $3450. Mejor o empeor su situacin? b) En
Bogot, el da 19 de enero estaban a 5 bajo cero, y el 20 del mismo
mes estaban a 7 bajo cero. Qu da fue ms alta la temperatura? c) El
buzo A baja a 70 metros bajo el nivel del mar, y el buzo B baja a
81 metros bajo el nivel del mar. Cul de los dos est ms cerca de la
superficie?
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d) El saldo de la empresa LEYMA, S.A. es de $12 807 en nmeros
rojos, y el de la empresa Marulo, S.A. es de 6 014 en nmeros
negros. Cul de las dos est en mejor situacin? (utilizando el
concepto de ganancia y prdida)
Valoracin Firma Del(a) Estudiante
EXPRSATE! Pinta sobre la madera un grafiti
SUMA Y RESTA DE NMEROS ENTEROS
S i los sumandos son de l mismo s igno, se suman los va lores
absolutos y a l resul tado se le pone e l s igno comn.
3 + 5 = 8
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(3) + (5) = 8
Si los sumandos son de d is t into s igno, se restan los va
lores absolutos (a l mayor le restamos e l menor) y a l resul tado
se le pone e l s igno de l nmero de mayor va lor absoluto .
3 + 5 = 2
3 + (5) = 2
PROPIEDADES DE LA SUMA DE NMEROS ENTEROS
1 . In terna :
E l resu l tado de sumar dos nmeros en te ros es o t ro nmero en
te ro .
a + b
3 + (5)
2 . Asocia t iva :
E l modo de agrupar los sumandos no va r a e l resu l tado .
(a + b) + c = a + (b + c )
(2 + 3 ) + (5) = 2 + [3 + (5) ]
5 5 = 2 + (2)
0 = 0
3 . Conmutat iva :
E l o rden de los sumandos no va r a la suma.
a + b = b + a
2 + (5) = (5) + 2
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3 = 3
4 . E lemento neutro :
E l 0 es e l e lemento neu t ro de la suma porque todo nmero
sumado con l da e l mismo nmero .
a + 0 = a
(5) + 0 = 5
5 . E lemento opuesto
Dos nmeros son opues tos s i a l sumar los ob tenemos como resu
l tado e l ce ro .
a + ( -a ) = 0
5 + (5) = 0
El opuesto de l opuesto de un nmero es igua l a l mismo
nmero.
(5) = 5
La resta de nmeros enteros se obt iene sumando a l minuendo el
opuesto de l sustraendo.
a b = a + (b)
7 5 = 2
7 (5) = 7 + 5 = 12
PROPIEDADES DE LA RESTA DE NMEROS ENTEROS
1 . In terna :
La resta dos nmeros enteros es o t ro nmero entero .
a b
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10 (5)
2 . No es Conmutat iva :
a b b a
5 2 2 5
Actividades de aplicacin
1. Resuelva las siguientes operaciones
13 386 = 103 505 =
265 1571 = 168 925 =
1397 6998 = 635 661 =
287 740 = 4481 6248 =
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561 870 = 81 99 =
50 566 = 4366 73637 =
2. Utiliza la ley de signos para resolver los siguientes
ejercicios
a) 32 + (4) = b) 60 + (42) + (71) c) 906 + (826) + (672) + (217)
= d) 784 + (64) + (4101) + (149) =
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3. Haga las siguientes sumas de nmeros enteros: RECUERDE QUE
NMEROS CON IGUAL SIGNO
SE SUMAN; Y AL RESULTADO SE LE COLOCA EL MISMO SIGNO
- 6291 - 15847 - 6874 + + + - 8497 - 65841 - 5412 6780 - 64587 -
32657 + + + 5845 25487 10201 - 587 - 698 - 695 + + - 658 - 658 -
987 g) +527 + (261) = i) +825 + (67) = h) 504 + (+480) = j) 658 +
(+861) =
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4. Desarrolla las siguientes sumas de nmeros enteros:
a) 27 + (19) + (+31) + (12) b) +82 + (7) + (+5) + (2) + (13) c)
608 + (+102) + (327) + (+14) + (1006) d) 248 + (624) + (26) +
(+879)
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Realiza un mapa conceptual de lo que has aprendido hasta el
momento
Valoracin Firma Del(a) Estudiante
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Escribe en el recuadro cuales han sido tus aportes al desarrollo
de la clase
PROFUNDIZACIN 1. Hacer las siguientes restas de nmeros
enteros:
EFECTOS DE LA AUSENCIA DE CARICIAS
El hambre de caricias no espera. El nio que somos durante toda
la vida, necesita sentir y saber satisfecha, razonable y
establemente, su insaciable HAMBRE DE CARICIAS. Entre los efectos
ms frecuentes de la privacin de caricias encontramos: 1) Disminucin
de oxgeno en la sangre. 2) Disminucin o aumento exagerados del
apetito. 3) Debilitamiento del sistema inmunolgico. 4) Lentitud del
tono muscular. 5) Tendencia a sufrir accidentes. 6) Enfermedades de
diversa ndole. 7) Desnutricin general. 8) Abulia depresin e ideas
de suicidio. 9) Anemia y falta de capacidad para rechazar
infecciones orgnicas. 10) Juegos psicolgicos mortales. 11) Depresin
o psicosis agudas. 12) La muerte.
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- 12321 - 2345 - 556 - 15487 - 9422 - 353 - 15487 - 9422 - 353 -
15321 - 2945 - 956 g) +119 (749) = i) +983 (54) = h) 7702 (+837) =
j) 714 (+608) =
Actividad de aplicacin 2. Santiago le debe $12 500 a Camila y
$13 000 a Miguel. La prxima quincena recibir $78 000 y
piensa pagarles.
a) Cunto debe pagar por sus deudas? b) Con cunto dinero se
quedar Santiago la prxima quincena?
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3. Camilo registra cada noche los ingresos y egresos que tuvo
ese da en su tiendita. En la tabla que se
muestra a continuacin aparecen los datos que anot la ltima
semana.
4. Resuelve los siguientes tems:
a) Complete la tabla anotando el saldo correspondiente a cada da
y el que se va acumulando al agregrselo al del da anterior. b) Con
qu saldo qued Camilo el martes por la noche? c) Qu da doa Camilo
comenz a tener un saldo positivo? d) Cunto pag Camilo esa
semana?
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e) Segn Camilo, la semana anterior a la que se muestra obtuvo
$150 ms de saldo, aunque tuvo que pagar 85 pesos ms. Cules fueron
en total la entrada y la salida de esa semana?
5. En la siguiente tabla se muestran las temperaturas observadas
en algunas ciudades a las 7, 15 y 22
horas del 11 da de enero de este ao. Considere la informacin de
la tabla para responder las
preguntas que se hacen a continuacin.
Ciudad 7 horas 15 horas 22 horas
Bogot -3o 7o -2o
Pasto -4o 0o -1o
Pereira 6o 20o 9o
Manizales 2o 13o 4o
Cali 18o 29o 21o
a) En cul ciudad se registr la temperatura ms baja a las 7 de la
maana? b) En cul ciudad se registr la temperatura ms baja a las 10
de la noche? c) Cunto aument la temperatura en cada ciudad entre
las 7 de la maana y las 3 de la tarde? d) Cunto disminuy la
temperatura en cada ciudad entre las 3 de la tarde y las 10 de la
noche?
6. Realice las siguientes sumas
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7. Realice las siguientes operaciones
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Actividades de apropiacin 8. Para cada una de las siguientes
situaciones, resuelva el problema y represente la solucin en una
recta numrica.
a) El submarino amarillo lleg a -134 metros en su primera
inmersin y despus se desplaz -75 metros ms. Cuntos metros debe
subir para volver a la superficie?
b) Ral le pag al tendero $34 500 y ste le dijo que ahora su
cuenta quedaba en $78 800 Cul era el saldo de Ral antes de hacer el
pago?
c) El lunes, la temperatura en Bogot era de 15 C, el martes
descendi seis grados, el mircoles descendi otros seis grados y el
jueves otros seis. Si el viernes aument un grado, qu temperatura
registraba el termmetro en Bogot ese da?
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d) Un caracol asciende por una pared de 10 metros de altura,
durante el da sube tres metros y en las noches se duerme se resbala
y desciende 2 metros, al cabo de cuantos das logra llegar a la
cima.
Valoracin Firma Del(a) Estudiante
La siguiente frase tiene poco sentido pero si reordenan las
letras de las palabras subrayadas aparecen las capitales de cuatro
pases.
SOLO SE LIBREN DE PISAR LA MORA
MULTIPLICACIN Y DIVISIN DE NMEROS ENTEROS Multiplicacin de
enteros Como los nmeros naturales, los nmeros enteros tambin se
pueden multiplicar. Esta operacin se realiza como si se tratara de
una multiplicacin de naturales y el signo del resultado o producto
se pone de acuerdo a la siguiente regla: Esta regla nos dice que:
Si se multiplican dos enteros positivos, el resultado es positivo.
Si se multiplican dos enteros negativos, el resultado tambin es
positivo. Si se multiplican un entero positivo y uno negativo, el
resultado es negativo. Esta regla es llamada LA LEY DE SIGNOS PARA
LA MULTIPLICACION REALIZA CON LOS SIGNOS RESPECTIVOS EL ENUNCIADO
DE LA LEY DE LOS SIGNOS
El producto de dos nmeros de igual signo siempre es positivo; El
producto de dos nmeros de distinto signo siempre es negativo.
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ESCRIBE UNA REFLEXION PARA TU FAMILIA. Veamos unos ejemplos:
8 x 20 = +360 12 x (-8) = -96 Nota: En los ejemplos anteriores
hemos utilizado el signo + para denotar a los enteros positivos
pero en general no se escribe el signo +. Cuando un nmero no tiene
escrito ningn signo, se entiende que se trata de un nmero positivo.
As, por ejemplo, podemos escribir tambin (-11) x (-15) = 165.
Escribe una ancdota que te haga sonrer cuando la recuerdas
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JUEGO
PUEDES ADIVINAR EL DA EN QUE NACI TU MEJOR AMIGO!!
VOY ADIVINAR EL DIA DE TU NACIMENTO TIENES QUE CONCENTRARTE Y
REALIZAR LAS SIGUIENTES OPERACIONES PRIMERO MULTLIPICA POR DOS (2)
EL DIA EN QUE NACISTE AHORA SUMALE CINCO (5) AL RESULTADO ANTERIOR
LO QUE TE D MULTIPLICALO POR 50 RESTALE 250 AL RESULTADO SUMALE EL
NUMERO QUE INDICA EL MES EN TUS CUMPLEAOS PREGUNTALE CUANTO LE DIO?
AHORA MIRA BIEN LO QUE DICE TU COMPAERO EJEMPLO SI EL TE CONTESTA
2007 PUES EL DIA DE TU CUMPLEAOS ES EL 20 DE JULIO, ES DECIR DIA 20
DEL MES 7
PRACTICALO ES DIVERTIDO
EL PRNCIPE DE LAS MATEMTICAS
Carl Friederich Gauss, llamado Prncipe de las Matemticas, domino
en el siglo XIX en matemticas, fsica y astronoma. Desde nio mostr
una prodigiosa habilidad con los nmeros. A los tres aos de edad,
corrigi un error que su padre haba cometido en el clculo de los
salarios de unos albailes que trabajaban para l. A los diez aos, su
maestro de escuela, que quera paz en clase, ordeno a los nios que
sumaran todos los nmeros del 1 al 100. El pequeo Gauss, casi
inmediatamente, escribi el resultado en el tablero 5050 Luego
explico con mucha sabidura como lo hizo.
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Divisin de enteros A partir de los ejemplos anteriores
encontramos las siguientes relaciones: Como 18 x 20 = 360, sabemos
que 360 20 = 18 y 360 18 = 20 Como (-11) x (-15) = 165, sabemos que
165 (-15) = -11 y 165 (-11) = -15 Como 12 x (-8) = -96, sabemos que
-96 (-8) = 12 y -96 12 = -8 Como (-5) x 14 = -70, sabemos que -70
14 = -5 y -70 (-5) = 14 Observa en estos ejemplos de divisiones,
cmo son los signos del dividendo, el divisor y el cociente (o
resultado de la divisin). La relacin entre estos signos se puede
expresar como sigue: Ahora veamos otros ejemplos de divisin de
enteros: -105 7 = -15 144 (-12) = -12 -256 -8 = + 32 (+320) (+32) =
+10
Actividades de apropiacin 1. Resuelva las siguientes
operaciones: a) 10 x (-14) i) -160 10 b) (-5) x (-8) j) -56
(-8)
Si el dividendo tiene el mismo signo que el divisor, el cociente
es positivo; Si el dividendo y el divisor tienen distinto signo, el
cociente es negativo.
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c) +12 x (+3) k) 420 (-7) d) (-11) x (+7) l) -99 (+11) e) -360 x
(-12) m) -2800 14 f) 1278 x (-556) n) 4032 (+56) g) -1356 x (-12)
o) -2992 (-88) h) -521 x (+15) p) 624 (-13) 2. En cada uno de los
siguientes incisos, indique si la operacin se puede efectuar o no.
Cuando se pueda efectuar, resulvala. a) 16 x 0 g) 0 18
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b) -1587 x 0 h) 0 (-76) c) 0 x (-51) i) 1 0 d) 0 x 1642 j) -567
0 e) 1 x 0 k) 0 0 f) 1 x 1 l) 1 1
3. Mara se qued sin dinero el da 22 y cobraba su prxima quincena
el da 30. Cuatro amigos le prestaron $12500 cada uno, y Mara se
termin de gastar ese dinero el da 29.
a) Cul era el saldo de Mara el da 30, antes de cobrar la
quincena?
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b) Si el da 30 cobr $143000, cul fue su saldo despus de pagar la
deuda
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ORDEN EN LAS OPERACIONES
1 . E fec tuar las operac iones en t re parntesis , corchetes y
l laves .
2 . Ca lcu la r las potenc ias y ra ces .
3 . E fec tuar los productos y cocientes .
4 . Rea l iza r las sumas y restas .
Operaciones combinadas
1 . Sin parn tes is
1 .1 Sumas y d i ferencias .
9 7 + 5 + 2 6 + 8 4 =
Comenzando por la i zqu ie rda , vamos efec tuando las operac
iones segn
aparecen .
= 9 7 + 5 + 2 6 + 8 4 = 7
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1 .2 Sumas, restas y productos .
3 2 5 + 4 3 8 + 5 2 =
Rea l izamos pr imero los productos po r tener mayor pr ior idad
.
= 6 5 + 12 8 + 10 =
E fec tuamos las sumas y restas .
= 6 5 + 12 8 + 10 = 15
1 .3 Sumas, restas , productos y d iv is iones .
10 : 2 + 5 3 + 4 5 2 8 + 4 2 16 : 4 =
Rea l izamos los productos y coc ientes en e l o rden en e l que
los
encon t ramos porque las dos operac iones t ienen la misma pr
ior idad .
= 5 + 15 + 4 10 8 + 8 4 =
E fec tuamos las sumas y restas .
= 5 + 15 + 4 10 8 + 8 4 = 10
1 .4 Sumas, restas , productos , d iv is iones y potencias.
2 3 + 10 : 2 + 5 3 + 4 5 2 8 + 4 2 2 16 : 4 =
Rea l izamos en p r imer lugar las potenc ias po r tener mayor
pr ior idad .
-
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= 8 + 10 : 2 + 5 3 + 4 5 2 8 + 4 4 16 : 4 =
Segu imos con los productos y coc ientes .
= 8 + 5 + 15 + 4 10 8 + 16 4 =
E fec tuamos las sumas y restas .
= 26
2 . Con parntes is
(15 4 ) + 3 (12 5 2 ) + (5 + 16 : 4 ) 5 + (10 2 3 )=
Rea l i zamos en p r imer lugar las operaciones contenidas en e
l los .
= (15 4 ) + 3 (12 10) + (5 + 4 ) 5 + (10 8 )=
Qui tamos parntes is rea l izando las operac iones .
= 11 + 3 2 + 9 5 + 2 = 18
3 . Con parntes is y corchetes
[15 (2 3 10 : 2 ) ] [5 + (3 2 4 ) ] 3 + (8 2 3 ) =
Pr imero operamos con las potenc ias, productos y coc ientes de
los
parntes is .
= [15 (8 5 ) ] [5 + (6 4 ) ] 3 + (8 6 ) =
Rea l izamos las sumas y restas de los parntes is .
-
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= [15 3 ] [5 + 2 ] 3 + 2=
En vez de poner co rche tes pondremos parn tes is d i rec
tamente :
= (15 3 ) (5 + 2 ) 3 + 2=
Operamos en los parntes is .
= 12 7 3 + 2
Mult ip l icamos .
= 84 3 + 2=
Restamos y sumamos .
= 83
Actividades de apropiacin
Resuelva las siguientes operaciones: a) (6 - 18) 3 g) 15 - (-20)
x (-5) + 2 b) 6 - 18 3 h) [15 - (-20)] x [(-5) + 2] c) 2 + 3 x 4 i)
-264 [(-11) -(-3)]
-
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d) (2 + 3) x 4 j) -264 (-11) - (-3) e) (12 + 8) (4 - 9) k) 301 +
(-301) x 49 - (-17) f) 12 + 8 4 9 l) [301 + (-301)] x [49 -
(-17)]
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POTENCIACIN DE NMEROS ENTEROS
Una potenc ia es una fo rma abrev iada de escr ib i r un
producto fo rmado por
va r ios fac tores igua les .
6 6 6 6 6 = 6 5
Base de una potenc ia
La base de una potenc ia es e l nmero que mult ip l icamos po r
s mismo, en
es te caso e l 6 .
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Exponente de una potenc ia
El exponente de una potenc ia ind ica e l nmero de veces que
mult ip l icamos la base , en e l e jemp lo es e l 5 .
La potenc ia de exponente natura l de un nmero entero es o t ro
nmero entero , cuyo va lo r absoluto es e l valor absoluto de la
potenc ia y cuyo s igno es e l que se deduce de la ap l icac in de
las s igu ientes reglas :
1 . Las po tenc ias de exponen te par son s iempre pos i t i vas
.
2 . Las po tenc ias de exponen te impar t ienen e l mismo s igno
de la base .
Propiedades
1 . a 0 = 1
2 . a 1 = a
3 . Producto de potenc ias con la misma base :
Es o t ra po tenc ia con la misma base y cuyo exponente es la
suma de los exponentes .
a m a n = a m + n
(2) 5 (2 ) 2 = (2) 5 + 2 = (2) 7 = 128
4 . Div is in de potenc ias con la misma base :
Es o t ra po tenc ia con la misma base y cuyo exponente es la
diferenc ia de los exponentes .
-
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a m : a n = a m n
(2) 5 : (2 ) 2 = (2) 5 2 = (2) 3 = 8
5 . Potencia de una potenc ia :
Es o t ra po tenc ia con la misma base y cuyo exponente es e l
producto de los exponentes .
(a m ) n = a m n
[ (2) 3 ] 2 = (2) 6 = 64
6 . Producto de potenc ias con el mismo exponente :
Es o t ra po tenc ia con e l mismo exponente y cuya base es e l
producto de las bases
a n b n = (a b ) n
(2) 3 (3 ) 3 = (6) 3 = 216
7 . Cociente de potenc ias con el mismo exponente :
Es o t ra potenc ia con e l mismo exponen te y cuya base es e l
coc ien te de las bases .
a n : b n = (a : b ) n
(6) 3 : 3 3 = (2) 3 = 8
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Un nmero e levado a 1 , es e l inverso de d icho nmero .
E jercic ios de potencias
Escr ibe en fo rma de una so la potenc ia :
1 3 3 3 4 3 =
2 5 7 : 5 3 =
3 (5 3 )4 =
4 (5 2 3 ) 4 =
5 (3 4 )4 =
6 [ (5 3 )4 ] 2 =
-
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50
7 (8 2 )3
8 (9 3 )2
9 2 5 2 4 2 =
10 2 7 : 2 6 =
11 (2 2 ) 4 =
12 (4 2 3 ) 4 =
13 (2 5 )4 =
14 [ (2 3 ) 4 ] 0 =
15 (27 2 ) 5 =
16 (4 3 ) 2 =
Rea l iza r las s igu ien tes operac iones con po tenc ias :
1 (2) 2 (2 ) 3 (2 ) 4 =
2 (8) (2 ) 2 (2 ) 0 (2) =
3 (2) 2 (2 ) 3 (2 ) 4 =
4 2 2 2 3 2 4 =
5 2 2 : 2 3 =
6 2 2 : 2 3 =
7 2 2 : 2 3 =
8 2 2 : 2 3 = 2
9 [ (2 ) 2 ] 3 (2 ) 3 (2 ) 4 =
10 [ (2 )6 : (2 ) 3 ] 3 (2 ) (2 ) 4 =
-
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Rea l iza r las s igu ien tes operac iones con po tenc ias :
1 (3) 1 (3 ) 3 (3 ) 4 =
2 (27) (3) (3 ) 2 (3 ) 0 =
3 (3) 2 (3 ) 3 (3 ) 4 =
4 3 2 3 4 3 4 =
5 5 2 : 5 3 =
6 5 2 : 5 3 =
7 5 2 : 5 3 =
8 5 2 : 5 3 =
9 (3) 1 [ (3 ) 3 ] 2 (3) 4 =
10 [ (3 )6 : (3 ) 3 ] 3 (3 ) 0 (3 ) 4 =
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RADICACIN DE NMEROS ENTEROS
Recordemos que la radicacin es la operacin inversa de la
potenciacin y se representa con el smbolo de la figura
siguiente. Es la operacin mediante la cual se busca un
nmero que multiplicado por s mismo 2, 3, 4 o ms
veces nos da el nmero propuesto. El signo de la
radicacin se llama radical.
Raz de un Numero
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La raz de un nmero es otro nmero que multiplicado
por s mismo dos o ms veces es igual al nmero dado.
Si el nmero se multiplica por s mismo 2 veces se
llama raz cuadrada, si se multiplica 3 veces, raz
cbica; 4 veces, raz cuarta, etc.
Los trminos que intervienen en la radicacin son: el ndice,
la cantidad subradical, el radical(smbolo de la radicacin y
la
raz (el resultado buscado).
La potenciacin y la radicacin son operaciones
respectivamente opuestas. En el cuadro de la parte inferior
encontrars la relacin entre la potenciacin y la radicacin
Eje rc ic ios
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RECAPITULACION Realice un mapa mental acerca del tema:
OPERACIONES CON ENTEROS Socialcelo con su equipo de trabajo y entre
todos realicen un mapa conceptual grupal para exponer ante el
grupo. AUTOEVALUACION - Debes tener en cuenta los conocimientos
previos. - Valora el grado de participacin que tuviste en las
actividades. - Ser objeto de evaluacin la presentacin ordenada y
limpia del PORTAFOLIOS, as como la bsqueda de informacin y el
aporte de materiales. - Valora el grado de adquisicin de nuevos
conocimientos.
ITEM A EVALUAR VALORACION
CONOCIMIENTOS PREVIOS
ACTITUD EN CLASE
PREPARACION DE LAS EVALUACIONES
ESTUDIO EN CASA
DESARROLLO DEL MODULO
PORTAFOLIO
ASISTENCIA Y PARTICIPACION
COMPETENCIAS DESARROLLADAS
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PREPARATE PARA PRUEBAS TIPO ICFES Selecciona entre las opciones
dadas solo una, la que consideres relaciona de manera ms
estructurada los conceptos matemticos con las condiciones
particulares de la situacin problema. Ncleo comn Los puntajes de un
juego de vdeo aparecen en la pantalla como nmeros positivos para
los aciertos y nmeros negativos para los errores. 1. En una serie
de cuatro juegos los puntajes de Lus fueron, en su orden: -18, -15,
-7, 2. Al mirarlos, podemos decir: A. Lus fue mejorando, porque los
puntajes estn ordenados de menor a mayor. B. El primer puntaje fue
el mejor, porque ese es el mayor de los cuatro nmeros.
TRASCENDAMOS EL CONOCIMIENTO
Este un espacio para reflexionar sobre la importancia
que tiene el cuidado del agua en nosotros como seres
humanos, nuestra familia, nuestra comunidad, nuestra
ciudad, nuestro pas y nuestro planeta,
.
-
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56
C. Cada vez que Lus jugo, tuvo un puntaje mejor que el anterior,
porque 2 es el mayor de los cuatro nmeros. D. Se ve que el puntaje
solo depende de la suerte, porque los cuatro nmeros no estn en
ningn orden. 2. En su primer juego Andrs y Jos tuvieron,
respectivamente, -7 y -8 puntos. Decidieron entonces apostar un
helado; ganara el que, en cualquiera de los tres juegos siguientes,
elevara mas su puntaje inicial. Sus puntajes fueron:
Para saber quin gan el helado: A. Miramos quin tuvo el puntaje
mayor. Andrs gan el helado porque en su mejor juego tuvo 9. B.
Miramos en cuantos puntos mejor cada uno. Como Jos mejor hasta 7 y
Andrs mejor hasta 9, Andrs gan el helado. C. Comparamos, para cada
uno, el puntaje mayor con el de su primer juego. Como Jos elevo su
puntaje en 15 puntos y Andrs en 16, Andrs gan el helado. D.
Revisamos cul de ellos comenz con un puntaje menor. Andrs gan
porque comenz con un puntaje menor que el de Jos. 3. El valor
absoluto de un nmero puede interpretarse como la distancia que
separa a cero en la recta numrica del punto que representa dicho
nmero. Segn lo anterior, el valor absoluto de un nmero negativo es:
A. Negativo, porque este es el signo del nmero y el valor absoluto
indica la posicin respecto a cero. b. Positivo, porque el valor
absoluto indica una distancia y las distancias siempre son
positivas. C. Positivo, porque el valor absoluto siempre es
positivo. D. No se puede saber; depende de cul sea el nmero entero
negativo. Ncleo de profundizacin El sbado 3 de febrero del ao 2001,
el diario El Tiempo publico la siguiente tabla, con algunas cifras
referidas al nmero de muertes por accidentes de trnsito en Bogot.
Muertes por accidentes de trnsito en Bogot Enero a diciembre 1999
2000
1999
2000
Diferencia entre 1999 y 2000
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Condicin de la vctima
Casos
%
Casos
%
Casos
% de variacin
Peatn
603
69
569
69
-34
-6%
Pasajero
76
9
64
8
-12
- 1 6%
Conductor
36
4
33
4
-3
-8%
Motociclista
90
10
57
7
-33
-37%
Ciclista
59
7
95
11
+ 36
+ 61%
Otros
8
1
10
1
+ 2
+ 25%
Total
872
100
828
100
-44
-5%
4. Los signos de las cifras de la penltima columna indican que:
A. Aunque en la mayora de los casos el nmero de muertos disminuy,
en el ao 2000 se presentaren ms vctimas entre los ciclistas que en
el ao 1999. B. En el ao 2000 murieron menos conductores y pasajeros
que en el ao anterior, pero murieron ms peatones y motociclistas.
C. La diferencia entre los valores de 1999 y los del ao 2000 es
negativa si muri menos gente en el 2000 y positiva si muri ms gente
por causa de los accidentes de trnsito. D. La diferencia entre los
valores de 1999 y los del ao 2000 es negativa si muri menos gente
en 1999 y positiva si muri ms gente por causa de los accidentes de
trnsito. 5. Los valores correspondientes al porcentaje de variacin
son tiles para concluir que: A. Las campaas para controlar el
exceso de velocidad en motocicleta han surtido efecto, pero el
estimulo al uso de la bicicleta debe ir unido a mas controles de
seguridad. B. Pese a las campaas educativas de la alcalda, durante
los dos aos han muerto ms ciclistas y motociclistas que peatones y
conductores. C. Los ciclistas y conductores de motos son los ms
imprudentes y por eso se ha incrementado el porcentaje de vctimas
en los dos casos. D. El menor porcentaje de variacin se obtuvo
entre los peatones y conductores. 6. En los siguientes frascos de
salsa se ha indicado, con un nmero entero negativo, cuntos meses
faltan para la fecha de vencimiento y, con un nmero entero
positivo, cuntos meses hace que el producto venci. Segn las
etiquetas:
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A
B
C
D
E
+ 4
-3
+ 2
0
- 7
A. Conviene comprar el frasco E porque su fecha de vencimiento
es la mas lejana. B. Conviene comprar el frasco B porque como - 3
es mayor que - 7 su fecha de vencimiento es la ms lejana. C.
Conviene comprar el frasco E porque - 7 es el que tiene mayor valor
absoluto. D. Conviene comprar el frasco D porque su fecha de
vencimiento coincide con la de compra. Selecciona entre las
opciones dadas solo una, la que consideres relaciona de manera mas
estructurada los conceptos matemticos con las condiciones
particulares de la situacin problema. Ncleo comn El nivel de una
represa ha descendido 12 cm diarios durante 5 das y luego descendi
8 cm diarios durante 4 das.
1. Para encontrar la modificacin total:
A. Adicionamos los dos descensos: (-12) 5 + (-8) 4 = (-92). El
nivel descendi 92 cm. B. Buscamos la diferencia entre el primer
descenso y el segundo: (- 60) - (- 32) = (- 28). El nivel descendi
28 cm. C. Como el descenso duro 9 das, multiplicamos cada valor por
9: (- 12) 9 + (- 8) 9 = (- 180). El nivel descendi 180 cm. D.
Adicionamos lo que baj los primeros 5 das con lo que baj los ltimos
4 das: (-12) 5 + (-8) 4 = 60-32 = 28. El nivel ascendi 28 cm. 2. A
partir del dcimo da el nivel de la represa comenz a subir 2 cm
diarios. En cuntos das habr recuperado el nivel inicial? A. Como
haba bajado 12 cm diarios durante 5 das, subiendo 2 cm diarios
recupera el nivel en 30 das. B. Como el descenso duro 9 das, se
necesitan otros 9 das para recuperar el nivel. C. Como el nivel baj
primero 60 cm y luego 32, cuento de 2 en 2 , hasta 92: 2+ 2+ 2+ 2+
.. + 2 = 92. El ascenso dura 46 das. D. Como el descenso total fue
60 cm + 32 cm = 92 cm, divido 92 por 2: 92-5-2 = 46. El ascenso
dura 46 das.
2. Un jugador de tiro al blanco recibe $ 500 por cada acierto y
paga $ 450 cada vez que no
acierta. Si de 30 tiros acierta 13, en qu situacin queda despus
del juego?
-
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A. No gana ni pierde porque el dinero perdido es exactamente
igual al dinero ganado. B. Le quedan $ 14 150 porque: 13- 500+
(-17) (-450) = 14 150 C. Gana $ 650 porque el nmero de aciertos es
mayor que el nmero de prdidas. D. Queda debiendo $ 1150 porque: 13
500 + 17 (-450) = -11 50 Ncleo de profundizacin 4. Juan Pablo
observa detenidamente las siguientes series de operaciones: 3x2 = 6
(- 3) x 2 = (- 6) 3x1 = 3 (- 3) x 1 = (- 3) 3x0 = 0 (- 3) x o = o 3
x (- 1) =-3 (- 3) x (- 1) = 3 3 x (-2) = (-6) (-3) x (-2) =6 3 x (-
3) = (- 9) (- 3) x (- 3) = 9 Al identificar un patrn de variacin,
concluye: A. Para conservar la regularidad que se observa en las
tablas, el producto de dos nmeros negativos debe ser positivo. B.
Al multiplicar respectivamente 3 y (- 3) por la misma serie de
nmeros, se obtienen series ordenadas en forma descendente. C. El
producto de nmeros enteros cumple la propiedad conmutativa. D. Cada
vez que se multiplican dos nmeros enteros, el producto ser mayor
que cualquiera de los factores. 5. La ciudad de Campo verde est
situada a orillas del ro Iguanas. Durante varios aos se ha medido
la temperatura del agua del ro a lo largo de los meses, y se ha
construido esta grfica que muestra los promedios:
Se conoce tambin que la temperatura mxima de supervivencia para
distintas especies de peces es:
-
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60
Trucha
15 C
Lucio
24 C
Carpa
32 C
Bagre
34 C
6. Cmo puede encontrarse la temperatura media del ro en el mes
de diciembre? A. Calculando la diferencia 15 - 7 = 8. La
temperatura es 8 C. B. Resolviendo el polinomio 15 + 12 + (-17)+ 7
= 17. La temperatura es 17 C. C. Restando 17-7 = 10. La temperatura
es 10 C. D. Calculando la diferencia entre los ascensos y los
descensos: (1 5 + 1 7) - (12 + 7) = 13. La temperatura es 13 C. 7.
En el mes de junio se celebra en Campo verde el torneo de pesca. Qu
especies de peces encontrarn los pescadores? A. Encontrarn
solamente truchas porque en junio la temperatura del agua es 12 C y
las truchas sobreviven a temperaturas menores de 15 C. B.
Encontrarn solo carpas y bagres porque la temperatura del agua en
junio no sobrepasa los 32C. C Encontrarn truchas y lucios, ya que
las temperaturas mximas que ests especies soportan son menores que
la temperatura del ro en el mes de junio. D. Encontrarn carpas y
bagres, porque son los peces que soportan temperaturas altas y
junio es el mes en que el agua est ms caliente. 8. Por un
comportamiento anormal del clima, en el ao 1994 hubo una variacin
de la temperatura del agua del ro, as: En marzo fue 3 grados ms
alta que el promedio para ese mes. En junio fue 5 grados ms baja
que el promedio para ese mes. En octubre fue 2 grados ms baja que
el promedio para ese mes. En diciembre fue 1 grado ms alto que el
promedio para ese mes. Cul fue la temperatura del ro en diciembre
de 1994? La expresin correcta para la pregunta es: A. 1 5 + 12 + 1
7 + 7 + (- 5) + (- 2) + 1 B. 15 + 12 + (-17) + 7 + 3 + (-5) + (-2)
+ 1 C. 15+(-12)+ 17+ (-7)+ 3 + 5 + 2 + 1 D. 15 + 12 + (-17) + 7 +
(-3) + 5 + 2 + (-1)
-
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Valoracin Firma Del(a) Estudiante
REFLEXIONEMOS Existe el mal? Ocurri en Alemania al inicio del
siglo 20. Durante una conferencia con varios universitarios, un
profesor de la Universidad de Berln, propuso un desafo a sus
alumnos con la siguiente pregunta: -Cre Dios todo lo que existe? Un
alumno respondi valientemente: -S, l cre todo lo que existe Pregunt
nuevamente el maestro: -Dios realmente cre todo lo que existe? -S
seor, respondi el joven. El profesor, dijo: -Si Dios cre todo lo
que existe, entonces Dios hizo el mal, ya que el mal existe! Y si
decimos que nuestras obras son un reflejo de nosotros mismos,
entonces Dios es malo, porque el creo el mal. El joven se call
frente a la respuesta del maestro, que se regocijaba de haber
probado, una vez ms, que la fe era un mito. Otro estudiante levant
la mano y dijo: -Puedo hacerle una pregunta, profesor? -Claro que
s, fue la respuesta del profesor. El joven se puso en pie y
pregunt: -Profesor, el fro existe? -Pero que pregunta es esa? Lgico
que existe, o acaso nunca sentiste fro? El muchacho respondi: -En
realidad, seor, el fro no existe. Segn las leyes de la Fsica, lo
que consideramos fro, en verdad es la ausencia de calor. Todo
cuerpo u objeto es factible de estudio cuando posee o transmite
energa; el calor es lo que hace que este cuerpo tenga o transmita
energa. El cero absoluto es la ausencia total de calor; todos los
cuerpos quedan inertes, incapaces de reaccionar, pero el fro no
existe. Nosotros creamos esa definicin para describir de qu manera
nos sentimos cuando no tenemos calor. -Y, existe la oscuridad?
Continu el estudiante. -Por supuesto que existe: Dijo el profesor.
-La oscuridad tampoco existe. La oscuridad, en realidad, es la
ausencia de luz. Respondi el estudiante respondi. La luz la podemos
estudiar, pero la oscuridad, no. A travs del prisma de Nichols, se
puede descomponer la luz blanca en sus varios colores, con sus
diferentes longitudes de ondas, pero eso es
Donde hubo fuego cenizas quedaron. Es difcil olvidar los hechos
cuando la persona se involucr
profundamente.
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62
imposible con la oscuridad. Cmo podemos saber cun oscuro est un
espacio determinado? Solo con base a la cantidad de luz presente en
ese espacio. Porque la oscuridad es una definicin utilizada por el
hombre para describir qu ocurre cuando hay ausencia de luz.
Finalmente, el joven pregunto nuevamente al profesor: -Seor El mal
existe? El profesor respondi: -Por supuesto, como afirm al inicio,
vemos robos, crmenes, violencia en todo el mundo. Esas cosas son
del mal. El estudiante, dijo: -No Seor, el mal no existe o por lo
menos no existe por s mismo. El mal es simplemente la ausencia del
bien De conformidad con los anteriores casos, el mal es una
definicin que el hombre invent para describir la ausencia de Dios
Dios no cre el mal. El mal es el resultado de la ausencia de Dios
en el corazn de los seres humanos. Es igual a lo que ocurre con el
fro cuando no hay calor, o con la oscuridad cuando no hay luz. El
joven fue aplaudido de pie por los dems alumnos y el maestro,
moviendo la cabeza, permaneci en silencio. El director de la
Universidad, se dirigi al joven estudiante y le pregunt: -Cul es tu
nombre? -Me llamo, ALBERT EINSTEIN
6. UNIDAD DE ENSEANZA APRENDIZAJE Y EVALUACION N 2
6.1. FRACCIONES DECIMALES
Duracin: Entre __________________ Y __________________
6.2 TABLA DE LOGROS
6.3 CONTENIDOS:
6.3.1 Sistema de numeracin
6.3.2 Clasificacin de nmeros decimales
6.3.3 Orden en los nmeros decimales
6.3.4 Adicin y sustraccin de nmeros decimales
6.3.5 Multiplicacin de nmeros decimales
6.3.6 Divisin de nmeros decimales
COGNITIVOS PROCEDIMENTALES ACTITUDINALES
Reconoce los nmeros decimales. Realiza conversiones de fraccin a
decimal.
Utiliza la representacin decimal de un nmero. Plantea y resuelve
situaciones aditivas y multiplicativas con nmeros decimales
Termina a tiempo la actividad en clase, optimizando su tiempo en
el colegio. Es responsable con sus compromisos acadmicos
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63
6.3.7 Ecuaciones que involucran nmeros decimales
PRECONCEPTUALIZACION Sistema de numeracin No siempre podemos
trabajar con unidades enteras. Con frecuencia tenemos que partir lo
que tenemos para usarlo. En esta leccin veremos una manera de
expresar partes de una unidad a travs del sistema de numeracin
decimal, que ya hemos empezado a estudiar. Recuerde que nuestro
sistema de numeracin es decimal porque agrupa de diez en diez las
unidades, decenas, etc.; y es posicional porque el lugar que ocupa
una cifra nos dice de qu tamao son los grupos que estamos contando.
Para contar cuntos grupos de cada tamao tenemos, este sistema
utiliza diez smbolos, que son los dgitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8, 9.
Para escribir partes de una unidad con el sistema decimal vamos
a partir la unidad en diez partes iguales; cada una de esas partes
se llama dcima. Si con una primera particin no podemos todava
expresar la cantidad que tenemos, partimos los pedacitos en diez
partes, etc. Veamos un ejemplo. Queremos expresar la cantidad de
rea que tenemos sombreada en la anterior figura, utilizando como
unidad el cuadrado R. El rea sombreada es una unidad y un trozo.
Para saber qu parte de la unidad es ese trozo, o sea lo que queda
en el segundo rectngulo, partimos el rectngulo en diez partes. Cada
una de esas rebanadas es un dcimo del rea. Tenemos 3 dcimos
sombreados y hay un pedazo sombreado que sobra, que es ms chico que
un dcimo. Para saber de qu tamao es el pedazo que nos falta medir,
partimos los dcimos en diez partes cada uno. El rectngulo nos queda
partido en 10 x 10 = 100 pedazos iguales, y cada uno de estos
pedacitos es un centsimo. Con siete de ellos, ahora s abarcamos
exactamente el rea sombreada. Sabemos entonces que toda esa rea es:
1 unidad, 3 dcimos y 7 centsimos.
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64
Para expresar en el sistema decimal una cantidad como la que
acabamos de obtener vamos a usar posiciones como en el caso de los
enteros. Primero ponemos un punto que sirve para separar los
enteros de las fracciones y que se llama punto decimal. A la
izquierda del punto escribimos los enteros como siempre. A la
derecha del punto escribimos la cantidad de pedazos que tenemos de
cada tamao empezando con los pedazos ms grandes, los dcimos, y
luego los centsimos. En nuestro ejemplo tenemos un entero, tres
dcimos y siete centsimos: entonces escribimos 1.37. Este nmero lo
podemos leer tambin como un entero treinta y siete centsimos.
Observe en el ltimo dibujo que los tres dcimos que contamos
inicialmente quedaron partidos en 30 centsimos. Por ejemplo,
trescientas cuarenta y dos unidades, 4 dcimos, 6 centsimos y 9
milsimos se escriben 342.469 y se lee trescientas cuarenta y dos
unidades cuatrocientos sesenta y nueve milsimos. Se puede seguir
partiendo tanto como se necesite; el nombre del orden dice en
cuntas partes se divide el entero. Observe que cada vez que
partimos en diez, obtenemos la cantidad de pedacitos multiplicando
por diez. Aqu vamos a multiplicar muchas veces por diez; conviene
entonces detenernos un momento para hacer un acuerdo de
notacin.
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65
Aunque no sepamos cmo se llaman las partes en que se divide el
entero, podemos dividir todas las veces que queramos en diez
partecitas. Se pueden escribir decimales con cualquier cantidad de
cifras. Por ejemplo, 890.3049586732, 1.22223349939392223, etc. Todo
lo que va a la derecha del punto decimal de un nmero se llama la
expansin decimal del nmero. Hay nmeros que tienen una expansin
decimal que no termina; se dice que tienen expansin decimal
infinita. Por ejemplo: 2.333.... Los puntos suspensivos en este
nmero significan que sigue 3 un nmero infinito de veces. Cuando la
expansin decimal de un nmero se acaba, aunque sea muy larga, se
dice que tiene expansin decimal finita. Por ejemplo: 2.33, 5.9833,
84.55555888883939222939, 29888.9393939222929399932221929292475751.
Esto ltimo no incluye a los ceros que se pueden agregar a la
derecha de la ltima cifra; por ejemplo, 6.7705000000 es un nmero
con expansin decimal finita, porque es igual a 6.7705.
Actividades de apropiacin
1. Escriba con notacin decimal los nmeros segn la escritura: a)
doce unidades doce centsimos b) cuarenta y siete dcimos c)
doscientos treinta y cinco milsimos d) dos unidades quince milsimos
e) ciento seis milsimos f) diecinueve milsimo g) cinco centsimos h)
cinco dcimos
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i) dos diezmilsimos j) ciento treinta centsimos k) diez mil
doscientas unidades, ochocientos veintisiete mil quinientos trece
millonsimos l) seis millones setecientas unidades, un milln
veintisiete mil once diezmillonsimos 2. Escriba la lectura correcta
de los siguientes nmeros: a) 354.7 e) 123.321 I) .00315 b) 32.007
f) 4702.0934 j) .772 c) 302.07 g) 2791.579 k) .039 d) 9.777 h)
0.550 l) .630038
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67
Valoracin Firma Del(a) Estudiante
Desde el avenimiento de la civilizacin las pirmides han
cautivado la imaginacin de los arquitectos y de los sacerdotes. Sin
embargo, unos y otros pudieron erigir estos monumentos religiosos
y/o fnebres gracias al concurso de los calculistas, es decir, de
los matemticos. En qu consiste? Hay que estudiar el "ejemplo", pues
all se encuentra la clave. El 136 de la cspide es la suma de 50 y
86; a su vez, 50 es la suma de sus dos nmeros inmediatos
inferiores: 18 y 32; y 32 es tambin la suma de sus dos nmeros
inmediatos inferiores: 7 y 25. Esa es la frmula, y ahora llene
usted todos los vacos, pero no tarde ms de 15 minutos en cada
pirmide. EJEMPLO
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68
Orden en los nmeros decimales Para saber si un nmero decimal es
mayor que otro comparamos primero los enteros. Si la parte entera
es mayor, el nmero es mayor. Por ejemplo, 134.123 es mayor que
67.987 porque 134 es mayor que 67; escribimos 134.123 > 67.987.
Otro ejemplo: 56.87954 es menor que 108.13 porque 56 es menor que
108; escribimos 56.87954 < 108.13. Si las partes enteras de dos
decimales son iguales, nos fijamos en los dcimos, que son las
fracciones decimales ms grandes. El nmero que tiene ms dcimos es ms
grande. Por ejemplo: 43.75 es mayor que 43.69; escribimos 43.75
> 43.69. 12.8 es mayor que 12.299; escribimos 12.8 > 12.299.
52.103 es menor que 52.4; escribimos 52.103 < 52.4. Si tanto la
parte entera como los dcimos de dos nmeros son iguales, nos fijamos
en los centsimos. El nmero que tiene ms centsimos es ms grande. Por
ejemplo: 3.12 es mayor que 3.11; escribimos 3.12 > 3.11. 98.567
es mayor que 98.5589; escribimos 98.567 > 98.5589. 47.547 es
menor que 47.06; escribimos 47.0547 < 47.06. 16.28 es mayor que
16.2, porque 16.2 = 16.20; escribimos 16.28 > 16.2. Este proceso
de comparacin se puede seguir siempre.
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A continuacin lo planteamos para todos los nmeros decimales:
Para saber si un decimal es mayor que otro, cuando sus partes
enteras son iguales, nos fijamos en la primera cifra de izquierda a
derecha en la que son distintos y el nmero que tiene esa cifra ms
grande es el mayor de los dos. Recuerde que si faltan cifras
decimales para poder hacer esta comparacin, siempre se pueden
agregar ceros a la derecha sin alterar el nmero, como en el ltimo
ejemplo. Tambin los nmeros decimales se representan en la recta
numrica, partiendo cada unidad del dibujo en diez, cada dcimo en
diez, etc. Por ejemplo: para representar en la recta el nmero 3.7,
dividimos la unidad que va de 3 a 4 en diez partes iguales y en la
sptima divisin estar 3.7.
Si queremos representar en la recta el nmero 12.43, dividimos en
diez partes el segmento que Va de 12 a 13, localizamos 12.4 y la
siguiente Divisin, 12.5; dividimos en diez partes el segmento Que
va de 12.4 a 12.5 y en la tercera divisin estar 12.43.
Como antes, en la recta numrica los nmeros son ms grandes
mientras ms se alejan del cero en la direccin del uno. Con el
dibujo en esta posicin, los nmeros son ms grandes si estn ms a la
derecha. En algunas ocasiones la recta numrica no se coloca en
posicin horizontal sino en posicin vertical, y la direccin del cero
hacia el uno es de abajo hacia arriba. En estos casos los nmeros
son ms grandes si estn ms arriba del cero y meros si estn abajo del
cero.
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Actividad 1. Realiza una recta en forma vertical y enumrala segn
lo que acabas de leer
2. En cada par de nmeros indique cul es el mayor:
a) 14.27 y 12.98 g) 126.44 y 126.4491 b) 364.846 y 325.787 h)
8.66 y 8.656 c) 90.13 y 90.95 i) 7.02 y 7.002 d) 6.328 y 6.32 j)
0.00637 y 0.0063 e) 51.1 y 51.01 k) 4.49 y 4.5
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f) 0.014 y 0.14 l) 87.3 y 87.03
3. En cada par de nmeros indique cul es el menor:
a) 50.4 y 30.43 g) 71.9 y 71.900 b) 46.793 y 46.79326 h) 0.0016
y 0.001 c) 518.628 y 192.475 i) 55.55 y 55.555 d) 6.57 y 4.75 j)
6.14 y 6.104 e) 59 y 59.9 k) 3.87 y 3.087 f) 28.2 y 28.02 l) 9.34 y
9.3040
4. Entre cada par de nmeros coloque el smbolo =, el smbolo >
o el smbolo < segn corresponda:
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5. Escriba un nmero:
a) Mayor que 2.1 b) mayor que 17.53 c) menor que 12.33 d) menor
que 0.01 e) mayor que 0.2194 y menor que 1 f) dos dcimos mayor que
2.5 g) un centsimo menor que 0.068 h) tres unidades y un dcimo
mayor que 1.42 i) dos dcimos y un centsimo mayor que 9.73 j) un
dcimo y un milsimo menor que 9.614
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6. Dibuje en rectas numricas los nmeros:
a) 1.5, 1.7, 1 y 2 b) 1.190, 1.195 y 1.2 c) 100, 50, 70 y 60 d)
8.88, 8.882 y 8.885 e) 22.43, 22.44 y 22.435 f 0.1, 0.01 y 0.05
7. Resuelve las situaciones problema
a) En una tienda de Estados Unidos cuesta US 2.50 un carrete de
hilo y en otra cuesta US 2.05. En cul tienda es ms barato el
hilo?
b) En una casa de cambio venden el dlar en US 10.49 y lo compran
seis centavos ms bajo. En cunto compran el dlar?
c) Para ir a trabajar, Don Luis puede usar dos rutas distintas.
En la primera ruta el recorrido es de 17.7 Km. y la segunda es dos
kilmetros y cinco dcimos ms corta.
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d) De cunto es el recorrido en la segunda ruta?
e) Don Pedro reparti un terreno entre sus dos hijos. El terreno
que le toc a Lupercio mide de frente 18
m. y 8 dcimos, y el que le toc a Gumesindo tiene un frente de 18
m. y 55 centsimos.
Exprese con nmeros decimales las medidas de los frentes de los
dos terrenos A quin le toc el terreno de mayor frente? Valoracin
Firma Del(a)
Estudiante
OPERACIONES CON NMEROS DECIMALES Las operaciones con nmeros
decimales son casi idnticas a las operaciones con nmeros naturales.
En esta leccin veremos cmo se hacen. Suma y resta con decimales
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Para sumar o restar nmeros decimales debemos fijarnos en sumar o
restar las cifras con el mismo valor posicional, es decir los
nmeros del mismo orden. Para hacer esto, alineamos los nmeros por
el punto decimal, sumamos o restamos como si fueran enteros y
ponemos el punto en el mismo lugar que est en los sumandos o en el
mismo lugar que est en el sustraendo y en el minuendo. Por ejemplo,
si queremos sumar 111.1, 123.45 y 87.76, los alineamos por el punto
decimal y los sumamos como si fueran enteros. El punto decimal
queda abajo de los puntos decimales de los sumandos en el
resultado. Restemos ahora estos mismos nmeros, es decir, restemos
123.45 menos 87.76. Alineamos los nmeros por el punto decimal, los
restamos como si fueran enteros y ponemos el punto decimal en el
resultado abajo del punto decimal del minuendo y del sustraendo.
Actividades de apropiacin Resuelva las siguientes operaciones con
nmeros decimales.
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Multiplicacin con decimales Para multiplicar nmeros decimales
multiplicamos como si fueran nmeros naturales pero, para colocar el
punto decimal en el resultado, contamos las cifras decimales de
cada factor y en el producto ponemos tantos decimales como la suma
de los que tienen los factores. Por ejemplo, si multiplicamos 32.5
por 2.14 vamos a multiplicar como si tuviramos 325 por 214 y al
resultado le ponemos el punto para que queden tres cifras decimales
porque en el primer factor tenemos una cifra decimal y en el
segundo factor tenemos dos cifras decimales:
En realidad lo que estamos haciendo en esta multiplicacin,
cuando la hacemos como si fueran enteros, es multiplicar por
mltiplos de 10. Para considerar a 32.5 como 325 estamos
multiplicando por 10, para considerar a 2.14 como 214 estamos
multiplicando por 100, en total hemos multiplicado por 1000. Para
que el resultado no nos quede multiplicado por 1000, tenemos que
dividirlo entre 1000. sa es la razn por la que pusimos las 3 cifras
decimales en el producto.
Actividades de apropiacin Haga las siguientes multiplicaciones
con nmeros decimales.
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Divisin con decimales En esta operacin s vamos a encontrar una
diferencia con lo que hemos hecho hasta ahora porque aqu s veremos
las situaciones en las que tenemos que partir la unidad. Veremos
sucesivamente diferentes casos. Para dividir un nmero decimal entre
un nmero natural, trabajamos como si los dos fueran enteros y en la
casita de la divisin ponemos el punto decimal arriba del punto del
dividendo. Por ejemplo, si queremos dividir 54.72 entre 3,
empezamos, como siempre, por el mayor orden, que aqu son las
decenas, seguimos con las unidades, colocamos el punto decimal en
el cociente y seguimos con los dcimos y los centsimos: Observe que
al hacer esta divisin repartimos las 5 decenas que tenemos en el
dividendo entre 3 y nos sobraron 2 decenas. stas las agregamos a
las cuatro unidades que ya tenamos. Dividimos las 24 unidades entre
3y no nos sobr nada. Repartimos los 7 dcimos que tenemos en el
dividendo entre 3 y nos sobr un dcimo. ste se lo agregamos a los 2
centsimos que tenamos. Dividimos los 12 centsimos entre 3 y no nos
sobr nada. Veamos otro ejemplo un poco distinto. Si queremos
dividir 13.5 entre 4, repartimos 13 entre 4 y nos sobra una unidad
que le agregamos a los dcimos que tenemos. Dividimos los 15 dcimos
entre 4 y nos sobran 3 dcimos. Como queremos seguir con el reparto,
partimos los 3 dcimos que sobraron en centsimos (frecuentemente
decimos que bajamos el cero) y dividimos esos 30 centsimos entre 4;
nos sobran 2 centsimos que partimos en milsimos. Quedan 20 milsimos
que repartimos entre 4 y ya no sobra nada. Al dividir 4 entre 3
obtuvimos un nmero en el que se repite una cifra decimal hasta el
infinito; en ese caso se repite el tres. En 1.333..., tenemos 3
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dcimos, 3 centsimos, 3 milsimos, etc. Este nmero que se repite
se llama perodo y para indicar su repeticin hasta el infinito
podemos escribirlo tres veces y poner puntos suspensivos o bien
poner una pequea lnea sobre l que indica lo mismo:
3.1...333.1 No siempre tenemos perodos con una sola cifra
decimal. Por ejemplo, si dividimos dos entre siete, tenemos que
partir los dos enteros en dcimos; nos que -dan 20 dcimos. Al
repartir van a tocar dos dcimos a cada uno de los 7 y sobran 6
dcimos. En el cociente tenemos que poner un punto decimal para
indicar que el resultado empieza en dcimos y, si queremos podemos
poner cero enteros. Para repartir los 6 dcimos que sobran, los
tenemos que partir en centsimos, tenemos as 60 centsimos entre 7,
toca a 8 y sobran 4 centsimos, que son 40 milsimos. Seguimos el
proceso como se ve enseguida. Observe que a partir de un cierto
lugar empiezan a repetirse los residuos y tambin empiezan a
repetirse las cifras del cociente. Por ms que sigamos haciendo la
divisin, se seguirn repitiendo los residuos y en el cociente se
repetirn las cifras 285714, este es ahora el perodo. Podemos
escribir el resultado de esta divisin repitiendo 3 veces el perodo
y poniendo puntos suspensivos o podemos poner sobre el perodo una
lnea para indicar esta repeticin hasta el infinito:
2857140. ...57142857140.28571428 7 2 Si queremos dividir por un
nmero con ms de una cifra se procede como con los nmeros naturales.
Por ejemplo, si queremos dividir 435.98 por 12 tomamos las dos
cifras del mayor orden
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del dividendo, que aqu forman 43 decenas, y vemos que s se puede
dividir ese nmero entre 12. Como 12 x 3 = 36, nos toca a 3 y sobran
43 - 36 = 7 decenas. Escribimos el 3 sobre el 3 de 43 y el residuo
abajo de este mismo nmero. Las 7 decenas que sobran se las
agregamos a las 5 unidades del dividendo y dividimos las 75
unidades entre 12. Nos toca a 6 unidades y sobran 3 porque 12 x 6 =
72 y 75 - 72 = 3. Ponemos en el resultado las 6 unidades y el punto
decimal y el residuo bajo el 5 del 75. Las 3 unidades que sobraron,
convertidas a 30 dcimos, se las agregamos a los 9 dcimos del
dividendo y dividimos los 39 dcimos entre 12, nos toca a 3 y sobran
3 dcimos. Agregamos los 3 dcimos sobrantes a los 8 centsimos que
tenemos y dividimos los 38 centsimos entre 12. Nos toca a 3
centsimos y sobran 2 centsimos. Si queremos seguir la divisin
partimos esos 2centsimos sobrantes en 20 milsimos y los dividimos
entre 12. Nos toca a 1 y sobran 8 milsimo. Se puede seguir la
divisin hasta donde queramos; aqu vamos a parar en el milsimo.
El mismo procedimiento se sigue si queremos dividir un nmero
decimal entre cualquier nmero natural. Para dividir un nmero
decimal entre otro nmero decimal el procedimiento es un poco
distinto y lo presentaremos despus de hacer una pequea observacin.
Observe que si dividimos un nmero entre otro obtenemos lo mismo que
si dividimos el primer nmero multiplicado por una potencia de diez
entre el segundo nmero multiplicado por la misma potencia de diez.
Por ejemplo, obtenemos el mismo resultado si dividimos 2.5 entre 3
que si dividimos 25 = 2.5 x 10 entre 30, o que si dividimos 250
entre 300, etc. Veamos ahora cmo se divide un nmero decimal entre
otro, por ejemplo 67.46 entre 2.3. Antes que nada observamos que el
divisor tiene una cifra decimal. Multiplicamos tanto el divisor
como el dividendo por diez para tener un nmero natural como divisor
y dividimos como antes. En este ejemplo tenemos que 2.3 x 10 = 23 y
que 67.46 x 10 = 674.6, as que la divisin ser 674.6 entre 23:
Realiza la divisin 674.623
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El cociente de estas dos divisiones es el mismo porque en la
segunda divisin el divisor y el dividendo son los de la primera
divisin multiplicada por diez. Si queremos dividir entre un nmero
con ms cifras decimales, multiplicamos el divisor y el dividendo
por un uno y tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor
para obtener en el divisor un nmero natural. Por ejemplo, para
dividir 46.75 entre 5.517 multiplicamos por 1000 los dos nmeros,
5.517 x 1000 = 5517 y 46.75 x 1000 = 46750, y dividimos 46750 entre
5517. Podemos hacer la divisin con la cantidad de cifras decimales
que queramos; aqu la hacemos hasta dcimos. Realiza la divisin:
467505517 Actividades de apropiacin 1. Encuentra el resultado de
las siguientes operaciones con nmeros decimales.
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2 . Rea l iza r las s igu ien tes o perac iones con nmeros dec
imales :
3 .6669 1000 =
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3 .6669 : 1000 =
0 .036 10 =
0 .036 : 10 =
0 .000012 10 000 =
123 .005 : 10 000 =
26 .36 10 000 =
2 .36 : 1000 =
0 .261 100 =
5 .036 : 10 =
3 . Resue lve las s igu ien tes d iv is iones de nmeros dec ima
les :
324 : 0 .018
12 .96 : 6
Valoracin Firma Del(a) Estudiante
RECAPITULACIN Realice un mapa conceptual acerca del tema: nmeros
decimales, Socialcelo con su equipo de trabajo y entre todos
realicen un mapa conceptual grupal para exponer.
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84
Una pldora de entretenimiento!
REFLEXIONEMOS.. Aborto
El padre es asmtico, la madre tuberculosa. Tienen cuatro hijos,
el primero es ciego, el segundo es sordo, el tercero muri y el
cuarto tiene tuberculosis. La madre est embarazada de nuevo.
Recomendaras el aborto en esta situacin?
Verde como el campo, campo no es, habla como hombre, hombre no
es.
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Si tu decisin es afirmativa, hubieras evitado que el mundo
conociera a Ludwig Van Beethoven. Un hombre blanco viola a una nia
negra de 13 aos y sta queda embarazada. Si fueras el padre de esta
joven. Le recomendaras el aborto? Si tu decisin es afirmativa, jams
hubiera nacido Ethel Walters, una de las cantantes negras ms
famosas de toda la historia. Un predicador y su esposa con graves
problemas econmicos (son realmente pobres) ya tienen 14 hijos.
Considerando su extrema pobreza. Recomendaras que la esposa
abortara su decimoquinto hijo? Si tu decisin es afirmativa, el
mundo no hubiera podido escuchar a John Wesley, uno de los
predicadores ms grandes de todos los tiempos. Una joven est
embarazada; no est casada y su prometido no es el pap del nio que
est esperando. Le recomendaras que abortara? Si tu decisin es
afirmativa, hubieras impedido que Mara trajera al mundo el regalo
ms precioso de toda la humanidad: JESS Las leyes de los hombres te
amparan, puedes ir a un hospital a practicarte un aborto, es muy
simple y adems nadie te va a preguntar nada, quizs ni tu nombre.
Pero considera: Dios sabe perfectamente que llevas vida dentro de
tu vientre. No mates a quien puede ser un regalo para toda la
humanidad 7. UNIDAD DE ENSEANZA APRENDIZAJE Y EVALUACION N 3
7.1. NMEROS RACIONALES
Duracin: Entre __________________ Y __________________
7.2 TABLA DE LOGROS
COGNITIVOS PROCEDIMENTALES ACTITUDINALES
Resuelve operaciones de adicin y sustraccin entre nmeros
racionales.
Comprende los pasos del proceso de resolucin de
Resuelve situaciones problemticas con nmeros racionales. Utiliza
las propiedades de las operaciones y relaciones entre
Demuestra una actitud de respeto a compaeros y docentes Su
disposicin en el aula permite apreciar inters y
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7.3 CONTENIDOS:
7.3.1 Concepto de nmero racional
7.3.2 Representacin fraccionaria de un nmero racional
7.3.3 Fracciones equivalentes
7.3.4 Representacin de los nmeros racionales en la recta
numrica
7.3.5 Expresin racional de un nmero racional
7.3.6 Adicin y sustraccin de nmeros racionales
7.3.7 Multiplicacin de nmeros racionales
7.3.8 Divisin de racionales en forma de fraccin
7.3.9 Potenciacin de nmeros racionales
7.3.10 Radicacin de nmeros racionales
7.3.11 Polinomios aritmticos con nmeros racionales
Fracciones equivalentes No siempre podemos trabajar con nmeros
decimales; con frecuencia nos conviene partir de otra manera lo que
tenemos para usarlo. Cuando partimos de distintas maneras a veces
necesitamos saber cunto tenemos en total. En esta leccin vamos a
trabajar sobre estos conceptos. Observe las siguientes figuras. En
ellas la unidad es el rectngulo A. Hemos partido la unidad en
diversas formas pero siempre en partes iguales. Cuando partimos la
unidad que tenemos en 2 partes iguales cada pedazo se llama mitad o
medio y la unidad queda partida en 2 mitades Esto lo
expresamos como 2
21 .
Si partimos la unidad en 3 partes iguales, cada parte se llama
tercio y la unidad queda partida en 3
tercios. Eso se expresa como 3
31
En el dibujo de abajo tambin hemos partido la unidad en sextos y
en cuartos. Abajo de cada dibujo pusimos la manera en que queda
partida la unidad y el nombre de las partes.
problemas. nmeros racionales. voluntad de trabajo.
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En la forma en que estamos expresando estas particiones el nmero
de abajo sirve para decir en cuntas partes iguales se fraccionaron
la unidad y el nmero de arriba para decir cuntas partes tomamos. De
estos nmeros, el de arriba se llama numerador (el que numera o
cuenta), y el de abajo denominador (el que da nombre), y la
expresin se llama completa fraccin o quebrado. En las figuras de
arriba son iguales el numerador y el denominador porque tomamos
todas las partes que forman la unidad. Para decir de qu tamao es un
trozo de la unidad con respecto al entero usamos la misma notacin.
Por ejemplo, en la figura siguiente tenemos las mismas particiones
que antes pero hemos marcado en G un medio, en H un tercio, en I
dos sextos, en J un medio y en K dos cuartos. Al pie de cada dibujo
hemos anotado cmo se escribe la parte sombreada. Observe que en las
figuras G, J y K se marc la misma cantidad de rea aunque la manera
de partir es distinta. En este caso se dice que tenemos fracciones
equivalentes y eso significa que expresan la misma cantidad. Lo
mismo sucede con las figuras H e I. En las figuras G y J tenemos
dos maneras de partir la unidad en dos partes iguales y en cada
figura marcamos un medio. En K tenemos la unidad partida en cuatro
partes iguales pero hemos tomado
dos de ellas y juntas tambin son la mitad del rectngulo; esto se
expresa como 4
2
2
1
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En las figuras H e I tenemos 6
2
3
1 pero hay muchas otras maneras de tener esa misma cantidad.
Observe las siguientes figuras en las que el rectngulo U es la
unidad; en ellas se ha marcado la misma cantidad de rea de muchas
maneras:
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En las figuras anteriores se ha marcado la tercera parte del rea
del rectngulo U con diversas fracciones. Estas fracciones son
equivalentes porque expresan la misma cantidad, un tercio:
Observe que podemos obtener todas estas fracciones de un tercio
multiplicando numerador y denominador por el mismo nmero:
24
8
83
81
3
1
12
4
43
41
3
1
6
2
23
21
3
1
x
x
x
x
x
x
Estas operaciones corresponden a obtener una particin ms fina,
de partes ms