- 1. ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIAMODULO
DE LOGICA MATEMTICA UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERA CIENCIAS BSICAS
LGICA MATEMTICAEORFFREY ACEVEDO GONZLEZ GEMedelln, 20121
2. Lgica MatemticaJaime Alberto Leal AfanadorRectorDr. Roberto
de Jess Salazar RamosAsesor de RectoraVicerrector de Servicios a
Aspirantes, Estudiantes y EgresadosMiguel Roberto Hernndez
SaavedraDra. Elizabeth Vidal ArizabaletaVicerrectora Acadmica y de
InvestigacinDra. Gloria C. Herrera SnchezVicerrectora de Medios y
Mediaciones PedaggicasDr. Edgar Guillermo RodrguezVicerrector
Vicerrectora de Desarrollo Regional ComunitarioGustavo
VelsquezDecano Escuela de Ciencias Bsicas, Tecnologa e
IngenieraVicerrectora de Relaciones InternacionalesMagdalena Pinzn
de PosadaMaribel Crdoba GuerreroSecretaria GeneralJorge Eliecer
RondnCoordinador de Ciencias BsicasMDULOCURSO DE LGICA
MATEMTICAPRIMERA EDICIN (EN EDICIN) CopyrigthUniversidad Nacional
Abierta y a DistanciaPROHIBIDA LA REPRODUCCIN Y PUBLICACIN PARCIAL
O TOTAL DE ESTA OBRA SINAUTORIZACIN DE LA UNIVERSIDAD NACIONAL
ABIERTA Y A DISTANCIA UNADISBN2011Centro Nacional de Medios para el
AprendizajeActualizacin, Edicin y Diagramacin Georffrey Acevedo
GonzlezMedelln, Colombia. 9 de Mayo de 2012 (material en
prensa)Este material tiene como referencia principal el mdulo
diseado por la Dra. Nubia JanethGalindo Patio en el ao de 1999 para
la Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD.Santa Fe de
Bogot. D.C. 1999Portada: Aristteles segn un manuscrito de su
Historia naturalis. Roma 1457 (Cod. vindob. phil. gr.).Medelln
Colombia Mayo de 2012.2 3. ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA
E INGENIERIAMODULO DE LOGICA MATEMTICAOH dicha de entender,mayor
que la de imaginar o lade sentir! Borges.La teora del silogismo
categricoes uno de los ms hermososdescubrimientos del esprituhumano
LeibnizIntroduccinEste mdulo est concebido para ser un curso
introductorio a la lgica Matemtica. Antes de dar inicio al
desarrollo de los temas del curso, y en general, para
todaactividad, es importante que nos interroguemos por el origen y
propsito de dichoconocimiento, Qu problemas busc resolver el hombre
mediante dicho conocimiento?Qu preguntas vamos a contestar con el
aprendizaje del curso? Qu competencias seespera que el estudiante
desarrolle? Por qu se consideran importantes estascompetencias? Por
qu, siendo yo un estudiante de regencia de farmacia, o un
estudiantede ingeniera, o mejor an, un estudiante de psicologa,
debo tomar el curso de LgicaMatemtica? Entre las competencias que
debe tener un estudiante, se destaca su capacidad paraconstruir
razonamientos deductivos e inductivos, tal que le permitan
verificar hiptesis ascomo generar nuevas, una competencia
necesaria, no slo para la investigacin cientfica,sino necesaria
para actividades como proponer argumentos vlidos en un ensayo o
paradebatir ideas.Se considera que la lgica matemtica acompaada de
las competencias lingsticaspermite plantear las mejores soluciones
a diferentes tipos de problemas. Al punto que sonestas las
competencias que son evaluadas por universidades en todo el mundo
paradeterminar el acceso a programas de educacin superior. La
competencia lgico matemtica no hace referencia exclusiva a
operaciones conrepresentaciones simblicas y ejercicios complejos.
En este curso aprenders cmo ennuestro lenguaje cotidiano hacemos
uso de los razonamientos lgicos deductivos einductivos, siguiendo
unas estructuras bsicas que nos permiten afirmar que un
razonamientoes o no vlido.Ya Platn en la Repblica nos propone que
antes del estudio de una ciencia socialcomo lo es la filosofa era
necesaria la preparacin de la mente por medio del estudio de
lageometra euclidiana, en la cual el discpulo deba entrenarse
haciendo demostraciones deteoremas de la geometra, demostraciones
que slo se logran siguiendo una secuencia lgicade pasos ordenados.3
4. Lgica Matemtica Hoy, muchas instituciones educativas exigen a
sus aspirantes a cualquier programaacadmico, presentar pruebas de
admisin que pretenden evaluar las competencias tantolingsticas como
lgico matemticas. Mediante estas evaluaciones, las
institucionespretenden elegir entre todos sus aspirantes a aquellos
que se encuentren ms preparadospara aprender. Esto es para
comprender y elaborar razonamientos lgicos deductivos einductivos
cada vez ms complejos. En este sentido, el curso de lgica matemtica
es importante para mejorar en lainterpretacin y construccin de
razonamientos lgicos presentes tanto en el lenguajecotidiano como
en todas las reas especializadas del conocimiento. Es por esta razn
que elcurso de lgica matemtica es un curso transversal a todos los
programas acadmicosofertados por la Universidad Nacional Abierta y
a Distancia UNAD. Para leer el mdulo slo se requieren conceptos de
conjuntos numricos, yoperaciones algebraicas bsicas. La intencin es
que el estudiante pueda aprender de estemdulo por s mismo, en este
sentido es un texto escrito ms para los estudiantes que para
eltutor. En el curso de lgica matemtica, analizaremos diferentes
operaciones entreconjuntos, tales como unin, interseccin y
complemento, entre otras operaciones, que nospermitirn aclarar la
comprensin de las relaciones entre los conectivos lgicos usados en
ellenguaje natural, partiendo para ello una representacin grfica. A
la par desarrollaremos lasdestrezas lgico matemticas, dando solucin
a problemas como ste: De acuerdo con una encuesta virtual realizada
a cincuenta estudiantes de laUNAD, los amantes de la msica de
Juanes son 15; mientras que los que nicamentegustan de la msica de
Shakira son 20, Cuntos son fanticos de los dos artistas si10 de los
encuestados, entre los 25 que no son fanticos de Shakira, afirman
serfanticos de Juanes?Comprenderemos cmo trabajan los conectivos
lgicos que usamos diariamente ennuestro leguaje y que pocas veces
nos detenemos a analizar y a comprender, por ejemplo,nuestro amigo
Boole afirma que cuando gane su equipo predilecto har fiesta,
pasadoun tiempo encontramos que Boole est festejando pero que su
equipo predilecto ha perdidoSe est contradiciendo el amigo Boole
con su afirmacin inicial?, En este cursodescubriremos y
analizaremos el conectivo lgico que ha usado Boole en su afirmacin
paraconcluir sobre este asunto.Identificar los conectivos lgicos,
las premisas y comprender su funcin en el lenguajenos permitir
disear frases cada vez ms complejas sin que se pierda la coherencia
en laconstruccin gramatical.4 5. ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS,
TECNOLOGIA E INGENIERIAMODULO DE LOGICA MATEMTICAPosteriormente
aprenderemos a simplificar expresiones complejas o difciles
dedescifrar usando el lenguaje natural, para ello utilizaremos
leyes expresadas por medio desmbolos. Por ejemplo, al expresar en
lenguaje natural que es falso que Augustus nomiente; por medio de
la lgica aprendemos a llegar a la simplificacin: Augustus
miente,utilizando leyes lgicas bsicas que nos permiten validar la
simplificacin hecha con unargumento ms all de la simple intuicin.
Gracias al desarrollo informtico un estudiante de psicologa, puede
implementar unafuncin lgica en una hoja de clculo como Excel o
Calc, que le permita obtener en segundosel resultado de la
aplicacin de un Test psicolgico a una poblacin. En general, gracias
a losprincipios bsicos de la lgica se pueden implementar funciones
de aplicacin en todas lasreas del conocimiento. Otra interesante
aplicacin de la lgica es en el proceso de validar
nuestrosargumentos. Por ejemplo, analicemos qu puede concluirse de
la siguiente afirmacin: sillueve hace fro, posteriormente ocurre
que hace fro, es entonces correcto concluirque llueve?, Por medio
de la lgica transformaremos esta expresin en lenguaje simblicoque
posteriormente podremos analizar por medio de una tabla de verdad y
descubrir en qucaso especfico la conclusin puede no derivarse de
sus premisas.En el mundo de la argumentacin siempre estamos
utilizando unos principios lgicosbsicos que estudiaremos en el
curso de Lgica Matemtica, permitindonos mejorar en laconstruccin de
argumentos ms fuertes, basados en los cimientos de la lgica.Buen
Viento y Buena mar.Georffrey Acevedo Gonzlez.1Agradecimientos a los
tutores del curso, y estudiantes Carlos Arturo Serrano, Euclides
Daz Arcos por suscomentarios.1Tutor de Ciencias Bsicas de la
Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD desde 1995.
Ingeniero Electrnico de la Universidad de Antioquia.Maestro en
educacin del Tecnolgico de Monterrey. www.georffrey.com
[email protected] [email protected] 6. Lgica
MatemticaCONTENIDO POR LECCIONESUnidad 1 Principios de Lgica
Captulo 1 Introduccin a la lgica Leccin No.1 Introduccin a la lgica
Leccin No. 2 Proposiciones Leccin No. 3Conectivos lgicos
fundamentales Leccin No. 4 Condicional y Bicondicional Leccin No.
5Tablas de verdad Captulo 2 Tautologa Leccin No. 6Tautologa Leccin
No. 7Proposiciones equivalentes Leccin No. 8Tautologa trivial y
doble negacin Leccin No. 9Implicacin directa, contraria, recproca y
contrarrecproca Leccin No. 10 Leyes de la lgica Captulo 3
Cuantificadores y proposiciones categricas Leccin No. 11
Cuantificadores Leccin No. 12 Proposiciones categricas Leccin No.
13 Representacin de las proposiciones categricas Leccin No. 14
Clasificacin de las proposiciones categricas Leccin No. 15
Proposiciones contrarias, de contingencia y subcontrarias6 7.
ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIAMODULO DE
LOGICA MATEMTICAUnidad 2 Razonamientos lgicosCaptulo 4
Razonamientos lgicosLeccin No. 16 Razonamiento lgicoLeccin No. 17
El mtodo cientficoLeccin No. 18 Silogismos categricosLeccin No. 19
Validez de un argumentoLeccin No. 20 Prueba formal de
validezCaptulo 5 Inferencias LgicasLeccin No. 21 Inferencia
lgicaLeccin No. 22 Leyes de inferenciaLeccin No. 23 Aplicacin de
las leyes de inferenciaLeccin No. 24 Demostracin directa e
indirectaLeccin No. 25 La refutacinCaptulo 6 Argumentos
InductivosLeccin No. 26 Argumento InductivoLeccin No. 27El problema
de la induccinLeccin No. 28 La analogaLeccin No. 29La fuerza de los
argumentosLeccin No. 30 Analoga refutadora 7 8. Lgica
MatemticaCONTENIDOIntroduccin 3Contenido por lecciones6Contenido
8Indice de tablas 10Indice de figuras 11Indice de ilustraciones..
13Smbolos usados .. 14Objetivo General.... 15Conducta de
entrada.....16Actividad de reconocimiento.... 18Informacin de
retorno ....... 25Ejercicios propuestos 1 ....... 59UNIDAD 1
Principios de LgicaIntroduccin ....... 61Justificacin .......
61Intencionalidades formativas ...... 62 1 Captulo 1: Introduccin a
la Lgica
.....................................................................................
64 1.1 Contextualizacin Histrica de la Lgica
.................................................................................
63 1.2 Clasificacin de la lgica
..........................................................................................................
64 1.3 Propsito de la lgica
................................................................................................................
65 1.4 Lgica y Lingstica
..................................................................................................................
65 1.4.1 Lenguajes naturales y artificiales
..............................................................................................
66 1.5 Componentes del proceso semitico
.........................................................................................
69 1.6 Ramas de la semitica
...............................................................................................................
71 1.7 Proposiciones
............................................................................................................................
74 1.7.1 Representacin de las proposiciones
.........................................................................................
75 1.7.2 Clasificacin de las proposiciones
............................................................................................
79 1.7.3 Proposiciones Compuestas
........................................................................................................
79 1.8 Conectivos Lgicos
...................................................................................................................
82 1.8.1 Conjuncin:
....................................................................................................................
82 1.8.2 La disyuncin v
....................................................................................................................
86 1.8.3 La negacin ~
............................................................................................................................
90 1.8.4 El condicional
...............................................................................................................
92 1.8.5 El bicondicional
...........................................................................................................
94 1.9 Tablas de Verdad
.......................................................................................................................
98 1.9.1 Construccin de Tablas de
Verdad............................................................................................
998 9. ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIAMODULO
DE LOGICA MATEMTICA2 Captulo 2: Tautologa
..........................................................................................................
1062.1
Tautologa................................................................................................................................
1072.2 Proposiciones equivalentes
.....................................................................................................
1092.2.1 Tautologa trivial
.....................................................................................................................
1112.2.2 Doble Negacin
.......................................................................................................................
1112.3 Implicacin directa, contraria,recproca y contrarecproca
..................................................... 1132.4 Leyes
del algebra de proposiciones
.........................................................................................
1153Captulo 3: Cuantificadores y proposiciones categricas
..................................................
1163.1Cuantificadores........................................................................................................................
1173.1.1 Cuantificador universal y existencial
......................................................................................
1173.2Proposiciones categricas
.......................................................................................................
1203.2.1 Cualidad y cantidad de las proposiciones categricas
............................................................
1213.3Simbologa y diagramas para proposiciones categricas
........................................................ 1233.3.1
Clasificacin de las proposiciones categricas
.......................................................................
1293.4Proposiciones contrarias, de contingenica y subcontrarias
..................................................... 1333.4.1
Proposiciones contradictorias
..................................................................................................
1333.4.2 Proposiciones contrarias
..........................................................................................................
1353.4.3 Proposicin Contingente
.........................................................................................................
1373.4.4 Proposiciones Subcontrarias
...................................................................................................
136Ejercicios Propuestos Unidad 1. 140Laboratorio Unidad 1..
154UNIDAD 2 Razonamientos Lgicos4 Captulo 4: Razonamientos lgicos
......................................................................................
1574.1
Razonar....................................................................................................................................
1584.1.1 Razonamiento
inductivo..........................................................................................................
1594.1.2 Razonamiento deductivo
.........................................................................................................
1594.2 Silogismos categricos
............................................................................................................
1654.3 Validez de un
argumento.........................................................................................................
1724.3.1 Prueba formal de validez
.........................................................................................................
1734.3.2 Prueba de invalidez
.................................................................................................................
1735 captulo 5: Inferencias lgicas
..............................................................................................
1785.1 Inferencias Lgicas
.................................................................................................................
1795.1.1 Modus Ponens (M. P) o Modus Ponendo Ponens (MPP)
.................................................... 1815.1.2 Modus
Tollens (M.T) o Modus Tollendo Tollens (MTT)
...................................................... 1855.1.3
Silogismo Hipottico (S: H)
....................................................................................................
1875.1.4 Silogismo disyuntivo (S. D) o Modus Tollendo Ponens (MTP)
............................................. 1895.1.5 Dilema
constructivo (D.C)
......................................................................................................
1915.1.6 Absorcin (Abs)
......................................................................................................................
1915.1.7 Simplificacin (Simp.)
............................................................................................................
1919 10. Lgica Matemtica5.1.8 Conjuncin (Conj)
...................................................................................................................
1925.1.9 Adicin (Ad.)
..........................................................................................................................
1925.2 La demostracin
......................................................................................................................
1975.2.1 La demostracin directa
..........................................................................................................
1975.2.2 La demostracin indirecta
.......................................................................................................
1985.2.3 La demostracin por recursin
................................................................................................
1995.2.4 La demostracin por
refutacin...............................................................................................
2016 Captulo 6: Argumentos
Inductivos.....................................................................................
2026.1 Argumento inductivo por analoga
..........................................................................................
2056.1.1 Evaluacin de los argumentos analgicos
...............................................................................
207Ejercicios propuestos Unidad 2.. 210Laboratorio Unidad 2.. 213
Referencias ....21410 11. ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E
INGENIERIAMODULO DE LOGICA MATEMTICAINDICE DE TABLASTabla No. 1
Lenguaje Natural y Artificial
...............................................................................................
76Tabla No. 2 Tabla de verdad de la conjuncin
.........................................................................................
86Tabla No. 3 Tabla de vedad de la disyuncin
...........................................................................................
89Tabla No. 4 Tabla de vedad de la negacin
..............................................................................................
90Tabla No. 5 Tabla de vedad para el condicional
......................................................................................
93Tabla No. 6 Tabla de vedad para el condicional
......................................................................................
96Tabla No. 7 Valores de verdad de los conectivos lgicos
.........................................................................
9811 12. Lgica Matemtica INDICE DE FIGURAS Figura No. 1 Teorema de
Pitgoras.
......................................................................................................
68 Figura No. 2 Conjuncin
.........................................................................................................................
83 Figura No. 3 Disyuncin
.......................................................................................................................
88 Figura No. 4 Negacin
.............................................................................................................................
91 Figura No. 5 Ejemplo actividad de transferencia I -
...........................................................................
152 Figura No. 6Ejemplo actividad de transferencia II -
...........................................................................
15312 13. ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E
INGENIERIAMODULO DE LOGICA MATEMTICA INDICE DE ILUSTRACIONESImagen
No. 1 . Scrates. Detalle de La escuela de Atenas - fresco de
Raffaello Sanzio (1511) ............. 67Imagen No. 2. Pitgoras (582
a.c).. Detalle. La escuela de Atenas - fresco de Raffaello Sanzio
(1511)68Imagen No. 3 Euclides. Padre de la Geometra. Detalle. La
escuela de Atenas - fresco de RaffaelloSanzio (1511)
............................................................................................................................................
6813 14. Lgica Matemtica Smbolos usados :sotnujnoC :sotnujnoC
:sotnujnoC :sotnujnoC Conjunto universal Conjunto vaco:sotnujnoc
ertne senoicarepO:sotnujnoc ertne senoicarepO:sotnujnoc ertne
senoicarepO:sotnujnoc ertne senoicarepO Unin Interseccin Diferencia
Diferencia simtrica Contenido en No est contenido ensotnujnoc y
sotnemele ertne senoicaleR Pertenece a No pertenece a:socigl
sovitcenoC:sovitcenoC Conjuncin Disyuncin,~ Negacin Implicacin
Equivalencia:nicaler ed serodacidnI:nicaler ed serodacidnI:nicaler
ed serodacidnI:nicaler ed serodacidnI< Menor que Menor o igual
que> Mayor que Mayor o igual que Diferente a:socirmun
sotnujnoC:socirmun sotnujnoC:socirmun sotnujnoC:socirmun sotnujnoC
Conjunto de nmeros naturales Conjunto de nmeros enteros+Conjunto de
nmeros enteros positivosConjunto de nmeros enteros negativos
Conjunto de nmeros reales Conjunto de nmeros complejos14 15.
ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIAMODULO DE
LOGICA MATEMTICAObjetivo GeneralProporcionar al estudiante
herramientas que lepermitan reconocer, elaborar y determinar la
validezde razonamientos lgicos tanto deductivos
comoinductivos.Objetivos especficosDesarrollar lascompetencias para
expresarrazonamientos lgicos en lenguaje simblico.Identificar y
aplicar las diferentes leyes de la lgica enprocesos de
argumentacin, al llevarlas al lenguajenatural.Desarrollar
competencias para la construccin defunciones lgicas en programas de
computacin,como las hojas de clculo o de lenguajes deprogramacin.
15 16. Lgica Matemtica Para alcanzar un aprendizaje significativo,
tres condiciones importantes son necesarias: La significatividad
psicolgica, la significatividad lgica del material y la motivacin.
Para tal fin, se han estructurado las diferentes herramientas
pedaggicas y didcticas del curso en tres fases de aprendizaje:
reconocimiento, profundizacin y transferencia. A continuacin
daremos inicio a la fase de reconocimiento, en la cual, partiremos
de las experiencias previas de aprendizaje, ya sean stas adquiridas
en el estudio de un campo especfico del conocimiento o adquiridas
en el desarrollo de actividades diferentes a las acadmicas. Para
lograr este objetivo se ha diseado una actividad didctica, que
dispone el ambiente para que por medio de algunas herramientas y
tcnicas, puedas objetivar esas experiencias previas alcanzadas en
tu mundo vital. De esta manera, logrars pasar del mundo impensado
de las experiencias a la sistematizacin de las mismas, o de las
prenociones a las nociones. Es decir, se trata de un ejercicio de
motivacin para que te involucres en los procesos iniciales de
aprendizaje y actives tus estructuras cognitivas. Salazar (2008)
Pero, ante todo, debemos contar con tu disposicin para el
aprendizaje. Para contribuir con el factor de la motivacin, se ha
dispuesto el primer OVA u objeto virtual de aprendizaje, el cual es
un audio en mp3 con algunos elementos que te motivar para el
desarrollo de las competencias del curso:Audio1.MP316 17. ESCUELA
DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIAMODULO DE LOGICA
MATEMTICACuntas horas debo dedicar al estudio del curso de lgica
matemtica?El curso de lgica matemtica es un curso de dos crditos
acadmicos, por lo tanto un cursode dos unidades.Un crdito acadmico
corresponde a 48 horas de estudio, de las cuales 12 horas son
deacompaamiento tutorial y 36 horas son de estudio
independiente.Esto significa que para matricular el curso de lgica
matemtica debers disponer de 72 horasde estudio independiente. Para
un perodo acadmico es de 16 semanas, y si consideramos100 das en el
proceso, considerando las pausas activas, esto se traducir en un
promedio deuna (1) hora diaria.En ninguna otra metodologa como en
la educacin a distancia, debemos planear tan juiciosagestin del
tiempo. La invitacin es para desarrollar un cronograma de
organizacin de lasactividades acadmicas de acuerdo a los temas de
cada curso y al tiempo disponible.17 18. Lgica Matemtica A
continuacin daremos inicio a la fase de reconocimiento, en la cual,
partiremos de las experiencias previas de aprendizaje. Recuerda que
la disposicin frente al conocimiento es una condicin para lograr un
aprendizaje significativo:1. Qu entiendes por lgica?
________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________2.
Podramos hacer un debate de ideas sin hacer uso de la lgica?
Analiza cundo hacemos uso de la lgica.
________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________3.
Qu recuerdas de la evolucin histrica de la lgica?
________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________4.
Analiza porqu es importante la competencia lgico matemtica para
apropiar nuevo conocimiento.
________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________18
19. ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIAMODULO DE
LOGICA
MATEMTICA________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
5. En tus palabras, plantea la diferencia entre lenguaje simblico y
lenguajenatural________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
6. Cul es tu definicin intuitiva de
conjunto?________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
7. Plantea varios ejemplos de conjuntos. Cmo describiras un
conjunto conuna cantidad infinita de
elementos?________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
8. Cmo representas un
conjunto?1.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
9. Qu formas de determinar un conjunto
conoces?2.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
19 20. Lgica Matemtica
________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________10.
Cmo definiras un conjunto finito, infinito, vaco, unitario,
universal? 3.
________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________11.
Qu relacin conoces entre conjuntos y entre conjuntos y sus
elementos? Cmo se representan stas? 4.
________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________12.
Cun son iguales dos conjuntos? Cundo son completamentediferentes?
________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________13.
Qu operaciones entre conjuntos conoces? 5.
________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________20
21. ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIAMODULO DE
LOGICA
MATEMTICA________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
14. Qu conoces del lgebra de conjuntos? Cules leyes recuerdas? Cmo
haras una demostracin grfica de estas leyes? Cmo aplicaras el
principio de dualidad en estas
leyes?________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
15. En los siguientes cuatro diagramas sombrea las reas
correspondientes a la operacin: A unin BUU AB B Aa.b.UU ABCBAc.d.
21 22. Lgica Matemtica 16. En los siguientes cuatro diagramas
sombrea las reas correspondientes a la operacin: A interseccin B
UUABB A a.b. UUA B CB A c.d. 17. En los siguientes cuatro diagramas
sombrea las reas correspondientes a la operacin: A menos B UUABB
Aa.b. UUABC BAc.d.22 23. ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E
INGENIERIAMODULO DE LOGICA MATEMTICA18. Propn una expresin de la
cual puedas decir que es verdadera. Cmoexpresaras la negacin de la
misma proposicin?6.
________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________19.
Te has encontrado con un argumento que parece lgico, pero que
cuandolo analizamos detenidamente encontramos que no era tal? A
continuacinse propone plantearlo:
________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________________20.
Menciona las caractersticas comunes que encuentras en un
razonamiento
________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________________21.
Describe, cmo determinas la validez de un argumento
________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________22.
Entre dos personas inmersas en un debate. Cmo podramos
determinarque el argumento de uno es ms fuerte que el del otro?23.
________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________23
24. Lgica Matemtica1. Qu entiendes por lgica?Desde Aristteles, se
ha dado a la lgica una relacin directa con el lenguaje natural,no
obstante, en su evolucin, la lgica ha apropiado unos smbolos y
reglas deinferencia que le han dado una estructura formal estricta,
al punto de hablar hoy de unaLgica Matemtica. As es como hoy
decimos que la lgica es una ciencia formal, queestudia la
estructura de los argumentos lgicos para determinar su validez.6.
Cul es tu definicin intuitiva de conjunto?Intuitivamente, un
conjunto es una coleccin de objetos bien definidos. Estos
objetosreciben el nombre de elementos o miembros del conjunto; se
nombran con letrasmaysculas y sus elementos con letras minsculas
escrita entre corchetes o llaves. Losconjuntos se representan
grficamente por medio de diagramas denominadosdiagramas de
Venn-Euler o simplemente, diagramas de Venn; en los cuales
losconjuntos se delimitan por crculos.retorno8. Cmo representas un
conjunto?Una forma sencilla de visualizar los conjuntos y las
relaciones entre ellos, es mediantela utilizacin de esquemas
grficos llamados crculos de Euler o diagramas de Venn.Estos
esquemas estn compuestos por una regin cerrada del plano
(generalmente unrectngulo), la cual representa el conjunto
universal, y por uno o varios crculos querepresentan los conjuntos
a graficar.deGeneralmente, los conjuntos se identifican con letras
maysculas y sus elementos conminsculas.InformacinPara indicar que
un elemento es un miembro de unconjunto, se utiliza el smbolo (se
leepertenece a ) yPara indicar que no est en el conjunto se utiliza
elsmbolo (se lee no pertenece a) 24 25. ESCUELA DE CIENCIAS
BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIAMODULO DE LOGICA MATEMTICAsta es la
representacin grfica:x AxA UUxA Ax Figura No. 19. Qu formas de
determinar un conjunto conoces?Bsicamente existen dos formas para
determinar un conjunto, stas son:retornoPor extensinUn conjunto est
determinado por extensin cuando se describe el conjuntonombrando
cada uno de sus elementos. Por ejemplo:A = {2, 4, 6, 8}B = {0, 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}deC = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19,}D =
{a, e, i, o, u }InformacinPor comprensinUn conjunto est determinado
por comprensin cuando se nombra una propiedad, unaregla o una
caracterstica comn a los elementos del conjunto. Por ejemplo:C =
{Nmeros impares menores que 10}D = {Vocales}B = {Dgitos}25 26.
Lgica MatemticaLenguaje:E = {x R / 0 x < 9}, en este caso se
utiliza un lenguaje muy especfico, el cual selee as:E = E: gual al
conjunto dex R:todos los nmeros reales/: tales que (o que verifican
que)0 x < 9:Se lee: cero (0) es menor o igual a x, y, x a su vez
es menor que 9,tambin se puede leer: x mayor o igual a cero y menor
que nueve. Estanotacin se usa con mucha frecuencia para describir
intervalos, paraescribir la solucin de una inecuacin o para
representar el dominio deuna funcin real.10. Cmo definiras un
conjunto finito, infinito, vaco, unitario, universal y de
partes?Conjuntos infinitosExisten conjuntos como por ejemplo: A =
{x R / 0 x < 9} Z = {x N / x es par}retornoLos cuales se leen: A
= todos los nmeros reales mayores que cero y menores quenueve.Z =
todos los nmeros naturales que sean pares.Este tipo de conjuntos no
se pueden expresar por extensin debido a que nunca seterminara de
escribir la lista de los nmeros reales que pertenecen al conjunto
A, o, losnaturales que pertenecen a Z, este tipo de conjuntos,
reciben el nombre de INFINITOS;deConjuntos
finitosInformacinMientras que otros conjuntos, como por ejemplo:C =
{x / x es vocal} D = {x / x es dgito par}Son ejemplos de conjuntos
que estn formados por cierto nmero de elementosdistintos, estos
conjuntos reciben el nombre de conjuntos FINITOS.Todos los
conjuntos que se nombran por comprensin, se pueden escribir
porextensin?26 27. ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E
INGENIERIAMODULO DE LOGICA MATEMTICAEl anlisis anterior, permite
dar respuesta a esta pregunta, se sugiere buscar msejemplos que
justifiquen la respuesta para que sean analizados con el tutor y
luegosocializados en los equipos de trabajo. Conjunto VacoUn
conjunto que carece de elementos se denomina conjunto vaco y se
simboliza as:UA { } A= Figura No. 2.retornoNaturalmente el conjunto
forma parte de cualquier conjunto A, por lo cual se puedeafirmar
que:AdeEl conjunto (vaco) est contenido en el conjunto
A.InformacinEjemplo 1:D = {x N / xx)Este conjunto se lee:
obviamente D es un conjunto que carece de elementos, puestoque no
existe ningn nmero natural que sea diferente a s mismo. 27 28.
Lgica MatemticaConjunto UnitarioSe denomina conjunto unitario al
conjunto formado por un slo elemento.U A A = Conjunto Unitario 7 A
= {7}Figura No. 3Ejemplo 2:E = {x / x es nmero primo par}El nico
nmero que cumple las dos condiciones (ser primo y a la vez par) es
elnmero 2, por lo tanto E = {2} se llama conjunto unitario.Conjunto
UniversalretornoCuando se habla o se piensa en los conjuntos, es
conveniente establecer la naturalezade sus elementos, por
ejemplo:Los elementos del conjunto A = {a, e, i} pertenecen al
conjunto de las vocales, V = {a,e, i, o, u}, es decir, A V, este
conjunto V constituye el universo del conjunto A, poresta razn se
dice que V es un conjunto Universal.deU U = Conjunto Universal A oA
= {a,e,i}Informacin a i eU = V = {a,e,i,o,u} uFigura No.
4Similarmente, si A = {x N / x es primo} sus elementos son
elementos del conjuntode los nmeros naturales N, A N y en este
caso, N se constituye en el conjuntouniversal. Generalmente, el
conjunto universal se simboliza con la letra U.28 29. ESCUELA DE
CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIAMODULO DE LOGICA
MATEMTICA11. Qu relacin conoces entre conjuntos y entre conjuntos y
sus elementos?Cmo se representan stas? SubconjuntosUn conjunto A es
un subconjunto de un conjunto B, si todo elemento del conjunto
Atambin es elemento del conjunto B.Simblicamente esta relacin se
expresa as:A B (se lee A esta contenido en B)Si todo elemento x que
est en el conjunto A entoncesx tambin est en B, es decir:A B si
todo x A, entoncesx BUBretorno AAB xxAxB Figura No. 5deEjemplo
3:InformacinSi A = {x / x es dgito par} y B = {x / x es dgito},
claramente A B ya quetodo dgito par es dgito. Por extensin la
situacin se expresa as: A = {2, 4, 6, 8} yB = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8, 9} Entonces A es un subconjunto de B.29 30. Lgica MatemticaUn
resultado muy til e importante para nuestro curso consiste en un
razonamientolgico acerca de la contenencia entre conjuntos, es el
siguiente:Si A es un subconjunto de B y B es un subconjunto de C,
entonces, A es unsubconjunto de C; simblicamente este enunciado se
escribe as:S A B y B C, entonces, ACUC A B B B C A ______ x AC xA
xB xC Figura No. 6retornoSigamos nuestra primera demostracin:La
demostracin es la siguiente:S x A; entonces x B porque A B, pero x
tambin est en C porque B C;depor lo tanto si xA, entonces xC y esto
se cumple para todo elemento x que est enA, debido a que el
conjunto A esta contenido en el conjunto B y B a su vez,
estcontenido en C; por consiguiente queda demostrado que A
C.InformacinSi A, B y C son tres conjuntos no vacos que verifican
las condiciones A B y B C,qu se puede concluir de A con respecto a
C?30 31. ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIAMODULO
DE LOGICA MATEMTICA 12.Cun son iguales dos conjuntos? Cundo son
completamente diferentes? El conjunto A es igual al conjunto B si
ambos conjuntos tienen los mismos elementos, es decir, si todos los
elementos de A pertenecen a B y si todos los elementos de B
pertenecen al conjunto A. La igualdad entre conjuntos se simboliza
de la siguiente forma:A = B Si A By B A U BA AB2 BA 14 ______ 35
B=A Figura No. 7.retornoEjemplo 4Si M = {1, 3, 0, 2} y N = {2, 3,
0, 1}, claramente se observa que M N y que N M,por lo tanto M =
N.Ejemplo 5Si A = {x / x es dgito} y B = {x / x es dgito par}, se
puede observar que B A perodeA B, por lo tanto el conjunto A no es
igual al conjunto B, lo cual se escribe, A B.InformacinU A 9 B 1BA
52 4 AB3 87 6 ______AB Figura No. 831 32. Lgica MatemticaConjuntos
Completamente Diferentes o DisyuntosEs importante destacar que
cuando dos conjuntos son completamente diferentes (notienen ningn
elemento en comn) reciben el nombre de conjuntos disyuntos.U A B1AB
y 7 5 B A y no hay elementos 9 comunes 2Figura No. 9.Ejemplo 6Los
conjuntos A = {x / x es dgito par} y B = {x / x es dgito impar} no
tienen ningnelemento en comn, es decir A y B son disyuntos.retorno
13. Qu operaciones entre conjuntos conoces?As como las operaciones
suma, resta, multiplicacin y divisin estn definidas sobrelos nmeros
reales, tambin existen operaciones definidas entre los conjuntos
como launin, interseccin, complemento, diferencia, diferencia
simtrica y productocartesiano; stas se estudiarn en las siguientes
secciones.deUninInformacinSi A y B son dos conjuntos no vacos, se
define la unin entre A y B como el conjuntode todos los elementos
que pertenecen al conjunto A o al conjunto B.Simblicamente la unin
se define as:AUB = {x / x A, v , x B}, donde el smbolo v se lee
o.Para representar grficamente una operacin entre conjuntos, se
debe tener en cuentala relacin que exista entre ellos, segn los
siguientes casos:32 33. ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E
INGENIERIAMODULO DE LOGICA MATEMTICACaso 1. Que los conjuntos no
tengan ningn elemento en comn. (conjuntosdisyuntos).La parte
subrayada representa la unin entre los conjuntos A y B. UU A A8 B
B3 2 6 71 495 AUB U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} Figura No. 10.A =
{1,2,3,4} B = {5,6,7} AUB = {1,2,3,4,5,6,7}retornoCaso 2. Que los
conjuntos tengan slo unos elementos en comn. U Ade BU =
{1,2,3,4,5,6,7,8,9} 2 8A = {1,2,3,4,5,6} 3 6 7B = {5,6,7}Informacin
4 5 1AUB = {1,2,3,4,5,6,7} 9Figura No. 1133 34. Lgica MatemticaCaso
3. Que un conjunto este contenido en el otro La parte sombreada
indica la operacin: U AB U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} 8A =
{1,2,3,4,5,6,7}326 7 B = {5,6,7}1 4 5 A U B = {1,2,3,4,5,6,7}
9Figura No. 12Ejemplo 7Si A U B = {x N / x es dgito par o dgito
primo}, grficamente la representacinde esta unin es: UAB U =
{1,2,3,4,5,6,7,8,9} 86A = {1,2,3,5,7,9}retorno 3 7 B = {2,4,6,8}1 5
24 AUB = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}Figura No. 13deLa figura No.13 permite
apreciar que el nico dgito que es a la vez par y primo es elnmero
2; esto nos invita a la formulacin de la siguiente operacin entre
conjuntos:InformacinInterseccinSe define la interseccin entre dos
conjuntos A y B como el conjunto formado portodos los elementos que
pertenecen simultneamente al conjunto A y al conjunto
B.Simblicamente la interseccin se expresa as:A B = {x / x A, , x B}
34 35. ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIAMODULO
DE LOGICA MATEMTICAel smbolo se lee interseccin y el smbolo se lee
i.Caso 1. Que los conjuntos no tengan ningn elemento en comn.
(conjuntosdisyuntos).La parte subrayada representa la unin entre
los conjuntos A y B. U8 BAU = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} A = {1,2,3,4}3 2
6 7B = {5,6,7}1 4 5A B={}9Figura No. 14.Se puede observar que
cuando dos conjuntos no tienen elementos comunes,
suretornointerseccin es vaca y los conjuntos se llaman disyuntos,
como ya se habamencionado; Caso 2. Que los conjuntos tengan slo
unos elementos en comndeUB U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}InformacinA 8A =
{1,2,3,4,5,6}3 2 6 7 B = {5,6,7}1 45A B = {5,6}9 Figura No. 15 35
36. Lgica MatemticaCaso 3. Que un conjunto este contenido en el
otro.La parte sombreada indica la operacin: UAB U =
{1,2,3,4,5,6,7,8,9} 28A = {1,2,3,4,5,6,7} 3 7 B = {5,6,7} 6 1 A B =
{5,6,7} = B 4 59 Figura No. 16Podemos afirmar entonces que si A B,
entonces. A B = A; anlogamentese puede inferir que si B A,
entonces, A B = B.retornoA continuacin se realiza la demostracin
analtica para el caso 3 de la figuraNo. 16, la otra situacin si B
A, entonces, AB = B, se deja como ejerciciocomplementario, esta
demostracin es muy similar a la que se har acontinuacin:Si A B, por
definicin de contenencia entre conjuntos se puede afirmar quedetodo
elemento x A, entonces x B; por definicin de interseccin,
stoselementos x forman el conjunto A B y como todos estos son
elementos deA, se puede concluir que A B = A.Informacin 36 37.
ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIAMODULO DE
LOGICA MATEMTICAEjemplo 8Hallar las intersecciones entre los tres
conjuntos:M = {x N / x es mltiplo de 2}N = {x N / x es mltiplo de
3}P = {x N / x es impar}Se pueden analizar las siguientes
intersecciones:1.M N = {6, 12, 18, 24, 36,}, escrito por comprensin
es:M N = {x N / x es mltiplo de 6}. 2. M P =,Qu elementos comunes
hay entre los conjuntos M y N?: noexiste ningn nmero natural que
sea mltiplo de 2 y a la vezimpar. 3. M = , El conjunto vaco est
contenido en cualquier conjunto, enparticular en M, esto es M,
luego se puede concluir queM=. 4. M N P Para hallar la interseccin
M N P, se puede encontrar la interseccin de M con N y luego con el
conjunto P, es decir, hay que encontrar los elementos que estn en
los tres conjuntos: M, N y P. En este caso M N = {x N / x es
mltiplo de 6} y ste intersecado con el conjunto P est formado por
los mltiplos de 6 que son impares, es decir, M N P = {x N / x es
impar y mltiplo de 6}, por extensin el conjunto: M N P = , pues no
existe ningn nmero natural que sea a la vez impar y mltiplo de 6.Ve
practicando: Te proponemos visitar el ejercicio propuesto No.1 37
38. Lgica MatemticaDiferenciaSegn los tres casos estudiados, se
puede afirmar queal comparar dosconjuntos no vacos, puede suceder
que: 1. No tengan ningn elemento en comn, (conjuntos totalmente
diferentes). 2. Slo algunos elementos sean comunes (conjuntos
parcialmente diferentes oparcialmente iguales) 3. Slo algunos
elementos sean comunes 4. Un conjunto este contenido en el otro 5.
Tengan exactamente los mismos elementos, (conjuntos iguales) En los
numerales 1, 2 y 3, se puede formar un conjunto con los elementos
que le faltan a un conjunto para ser igual a otro, este conjunto as
formado, se denomina diferencia entre conjuntos. Si A y B son dos
conjuntos no vacos, entonces se define la diferencia entre A y B
as:A B = { x / x A, , x B} Esto se lee: A menos B, es el conjunto
formado por los elementos que estn en el conjunto A pero no en el
B.retorno En la siguiente grfica, la parte sombreada representa la
diferencia entre los conjuntos A y B. Caso 1. Que los conjuntos no
tengan ningn elemento en comn. (conjuntos disyuntos).deA8 B U =
{1,2,3,4,5,6,7,8,9}Informacin A = {1,2,3,4}3 27 B = {5,6,7} 61 4A-
B = A = {1,2,3,4} 9 5 B- A = B = {5,6,7}Figura No. 18.38 39.
ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIAMODULO DE
LOGICA MATEMTICA Se puede observar que cuando dos conjuntos son
diferentes, su diferencia es vaca y los conjuntos se llaman
disyuntos, como ya se haba mencionado; Caso 2. Que los conjuntos
tengan slo unos elementos en comnU ABU = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}2 8A =
{1,2,3,4,5,6} 36 7B = {5,6,7} 1 45A-B = {1,2,3,4}9Figura No. 19Caso
3. Que un conjunto este contenido en el otroLa parte sombreada
indica la operacin.UretornoA BU = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}8A =
{1,2,3,4,5,6,7}32 67B = {5,6,7}145 9A- B = {1,2,3,4} B-A={}deFigura
No. 20InformacinEn la figura 20, se puede observar que todos los
elementos que estn en B,estn en A (debido a que B A), por lo tanto
no existe ningn elemento quepertenezca a la diferenciaB A y en
consecuencia B A = . Surge ahora, la siguiente inquietud:Cul ser la
diferencia entre A y B (A B) cuando B A? 39 40. Lgica
MatemticaEjemplo 8Dados los conjuntos A = {x / x es un dgito} y B =
{0, 2, 3, 7} hallarA B y B A y hacer la representacin grfica.Para
efectuar estas operaciones se escriben los conjuntos por extensin,
as:A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y B = {0, 2, 3, 7},
entonces:A B = {1, 4, 5, 6, 8, 9} y B A = ,UA U =
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 5B A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}B = {0,2,3,7} 6 3
79 8 12 0 A- B = {1,4,5,6,8,9}4 B-A = { }retornoFigura No.
21deInformacin 40 41. ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E
INGENIERIAMODULO DE LOGICA MATEMTICADiferencia simtrica Se define
la diferencia simtrica entre dos conjuntos no vacos A y B, como el
conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A o
al conjunto B, pero no pertenecen simultneamente a ambos conjuntos.
Simblicamente la diferencia simtrica entre A y B se escribe as: A B
= { x / x A, , x B, x ( A B )} En las siguientes grficas, la parte
sombreada representa la diferencia simtrica entre los conjuntos A y
B. Caso 1. Que los conjuntos no tengan ningn elemento en comn.
(conjuntosdisyuntos).A8B U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}A = {1,2,3,4} 3 2B
= {5,6,7}6 7retorno 1 4A B = {1,2,3,4,5,6,7}9 5B A =
{1,2,3,4,5,6,7} Figura No. 22.deSe puede observar que cuando dos
conjuntos son diferentes, su interseccin esvaca y los conjuntos se
llaman disyuntos.InformacinCaso 2. Que los conjuntos tengan slo
unos elementos en comn. U ABU = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} 8 A =
{1,2,3,4,5,6} 2 B = {5,6,7} 3 67 1 4 5 A B = {1,2,3,4,7} 9 B A =
{1,2,3,4,7}Figura No. 23 41 42. Lgica Matemtica Caso 3. Que un
conjunto este contenido en el otro La parte sombreada indica la
operacin:U AU = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} B8 A = {1,2,3,4,5,6,7} 2 67 B =
{5,6,7} 1 4 59 A B = {1,2,4}3 B A = {1,2,4}Figura No. 24 Ejemplo 9
Si A = {x / x es una letra de la palabra INGENIERIA} y B = {x / x
es una letra de la palabra SISTEMAS}, entonces A B = {N, G, R, M,
S, T}.Ejercicio 2: Te invitamos a desarrollar el ejercicio
propuesto No.2retorno 10. Ejemplo 10. Dados los conjuntos M = {1,
2, 3, 4} y N = {4, 5}, la diferencia simtrica entre M y N es: M N =
{1, 2, 3, 5}, claramente se puede observar que el nmero 4, node
pertenece a la diferencia simtrica porque forma parte de la
interseccin entre M y N.InformacinVe practicando: Te invitamos a
desarrollar el ejercicio propuesto No.242 43. ESCUELA DE CIENCIAS
BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIAMODULO DE LOGICA
MATEMTICAComplementoSi A es un conjunto no vaco, el complemento de
A, simbolizado por A, estformado por todos los elementos que no
pertenecen al conjunto A, es decir,A = Ac = A* = ~A = A = A = {x /
x A}En la siguientes grficas, la parte sombreada representa el
complemento delconjunto A.Caso 1. Que los conjuntos no tengan ningn
elemento en comn. (conjuntosdisyuntos). A 8 B U =
{1,2,3,4,5,6,7,8,9} A = {1,2,3,4}3 26 7 B = {5,6,7} A =
{5,6,7,8,9}retorno 14 9 5 Figura No. 27.Caso 2. Que los conjuntos
tengan slo unos elementos en comnde UInformacin A B 8 U =
{1,2,3,4,5,6,7,8,9} 2 A = {1,2,3,4,5,6}36 7 B = {5,6,7}1 45 A =
{7,8,9}9 Figura No. 2843 44. Lgica MatemticaCaso 3. Que un conjunto
este contenido en el otro.La parte sombreada indica la operacin.U =
{1,2,3,4,5,6,7,8,9} UA = {1,2,3,4,5,6,7} A A BB = {5,6,7}832 6A =
{8,9}17459Ejemplo 11Al considerar el conjunto universal como el
conjunto de los estudiantes deIngeniera de sistemas de la UNAD y A
como el conjunto de los estudiantes queestn en el primer semestre,
el complemento del conjunto A (A) ser el conjuntoformado por todos
los estudiantes de ingeniera de sistemas de la UNAD que
noretornocursan primer semestre, esto es:U = {x UNAD / x estudia
ingeniera de sistemas}.A = {x Ingeniera de sistemas / x Primer
semestre}.A = {x Ingeniera de sistemas / x Primer
semestre}.deInformacin44 45. ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS,
TECNOLOGIA E INGENIERIAMODULO DE LOGICA MATEMTICA14. Qu conoces del
lgebra de conjuntos? Cules leyes recuerdas?Cmo haras una
demostracin grfica de estas leyes? Cmoaplicaras el principio de
dualidad en estas leyes?Propiedades de las operaciones entre
conjuntosLas siguientes cuatro propiedades, son vlidas para las
operaciones de unine interseccin:a. Leyes de idempotencia:A U A =
AA A = Ab. Leyes asociativas: (A U B) U C = A U (B U C)(A B) C = A
(B C)c. Leyes conmutativas:A U B = B U AA B = B Ad. Leyes
distributivas:A U (B C) = (A U B) (A U C)retornoA (B U C) = (A B) U
(A C)Las siguientes propiedades estn relacionadas con los conjuntos
UniversalU y vaco :e. Leyes de identidad:de A U U = UA U =A A U =
AA = Propiedades con respecto al complementoInformacinf. Leyes del
complemento:A U A = UA A = (A ) = A = Ug. Leyes de DMorgan:(A U B)
= A B(A B) = A U B 45 46. Lgica MatemticaRepresentacin grfica de
las leyes de conjuntos:a) Leyes de idempotencia:A U A = AA A = A Qu
obtenemos de interceptar el conjunto A con l mismo? Qu pasa si
unimos A con A? : U UUAA AA U = A A AAA A Figura No. 33 A unido con
A es igual a AretornoUU U A A A A=AA A A A Ade Figura No. 33 A
interceptado con A es igual a AInformacin 46 47. ESCUELA DE
CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIAMODULO DE LOGICA MATEMTICA
b)Leyes de identidad:A U U = UA U =AA U = AA =Qu se obtiene de unir
el conjunto A con el universo? :UU UAUU=UFigura No. 34 A unido con
el universo es igual al universoQu se obtiene de unir el conjunto A
con el vaco? : U UUAAretornoU =Figura No. 35 A unido con el vaco es
igual al conjunto AdeInformacin 47 48. Lgica MatemticaQu tienen en
comn A y el universo? Qu tiene en comn Juan con eluniverso?U U UAA
=Figura No. 36 A y el universo tienen en comn el mismo conjunto AQu
tienen en comn A y el vaco? :U U U Aretorno = Figura No. 37 El
conjunto A y el vaco tienen en comn el vacideInformacin 48 49.
ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIAMODULO DE
LOGICA MATEMTICA c)Leyes del complemento: A U A = U A A= (A ) = A =
UQu se obtiene de unir A con lo que no es A? Qu se obtiene si Juan
se unecon el Universo? UU UAA U=Figura No. 38 Al unir el conjunto A
con los elementos que no estn en A se obtiene eluniversoretornoQu
tienen comn A con lo que no es A? U UUA Ade =InformacinFigura No.
39 Los elementos de A con los que no estn en A no tienen nada
encomn 49 50. Lgica Matemticad) Leyes de D Morgan: (A U B) = A B (A
B) = A U BLa demostracin grfica de que (A U B) = A B es la
siguiente:En el primer conjunto representamos la unin entre A y B y
en el segundo loselementos que no estn en dicha unin, obteniendo el
trmino de la izquierda delteorema de DMorgan:UUA BAB326732 6714 59
1 4 5988retornoA U B (A U B)Figura No. 40As hemos encontrado el rea
que representa a la primera parte de la igualdad,
ahorarepresentamos el trmino de la derecha; esperamos obtener la
misma rea sombreada:deIniciamos por representar los elementos que
no estn en A y los elementos que noestn en B, la solucin
corresponder a la interseccin entre los dos conjuntos, es decira
los elementos que ambos conjuntos tienen en comn:InformacinU U UA B
ABA B2 2 2 3 67 3 673 6 71 4 5 14 514 58 9 898 9ABA B Figura No. 41
50 51. ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIAMODULO
DE LOGICA MATEMTICA Ve practicando: Desarrolla el ejercicio
propuesto No.4 Ve practicando: Desarrolla el ejercicio propuesto
No.5Principio de dualidadSi se intercambian las operaciones unin
(U) por interseccin (), como tambinel conjunto universal (U) por el
conjunto vaco (), en cualquier razonamientosobre conjuntos, el
enunciado resultante se llama DUAL del primero.Ejemplo 12Demostrar
que el dual de;retorno (U U B) (A U ) = A es:( B) U (A U) =
ATomando la primera parte y por las leyes de identidad se tiene
que: (U U B) (A U )de U A= AAhora, consideremos su dual y
nuevamente aplicando las leyes de identidad setiene que:Informacin
( B) U (A U) UA= ACon lo que queda demostrado.51 52. Lgica
MatemticaEjemplo 13Demostrar que el dual de (A B) U (A B) = A es(A
U B) (A U B) = AEn este caso se puede hacer la demostracin en forma
grfica as: i) La primera parte se puede representar de la siguiente
forma: UUU AB AB A 8B 326 7 22 3 67 36 7 1 4 51 45 14 58 9 9 8 9 AB
A Bretorno UUUA B AB AB 222 3 67 36 7 36 7 4 545 451 11de 89 898
9(A B) U ( A B ) = AInformacinFigura No.42 primera parte
demostracin grfica de que (A B) U (A B) = A 52 53. ESCUELA DE
CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIAMODULO DE LOGICA
MATEMTICASegunda parte: (A U B) (A U B) = ALa segunda parte se
puede representar de la siguiente forma:U UUA8A 8A 8BB B 22 2 3 67
3 67 36 7 1 4 51 4 51 4 599 9 AB A U BU UU 8A8 A8A BB B 222 3 6 736
7 36 7 1 4 51 45 1 4599 9retorno(A U B) A U B = AFigura No.43
segunda parte (A U B) (A U B) = AdeQueda demostrado que Tanto en la
figura 42 como en la 43 obtenemos el mismoresultado: el conjunto
A.Informacin53 54. Lgica Matemtica15. En los siguientes cuatro
diagramas sombrea las reas correspondientes a laoperacin: A unin B
U U A BAB U U ABCB AretornodeInformacin54 55. ESCUELA DE CIENCIAS
BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIAMODULO DE LOGICA MATEMTICA 16. En
los siguientes cuatro diagramas sombrea las reas correspondientes a
la operacin: A interseccin BU U ABABU U A B CBAretorno17. En los
siguientes cuatro diagramas sombrea las reas correspondientes a
laoperacin: A menos B U U A B A BdeInformacin U U A B C B A55 56.
Lgica Matemtica Ejercicios propuestos de Reconocimiento: Ejercicio
propuesto 1: Representa el ejemplo anterior mediante diagramas de
VennU M N U= M= N= M N= M P=PMNP= Figura No. 17 Ejercicio propuesto
2: Representa el ejemplo anterior mediante diagramas de VennUAB U=
A= B= A B= AB = AUB=Figura No. 2556 57. ESCUELA DE CIENCIAS
BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIAMODULO DE LOGICA MATEMTICAEjercicio
propuesto 3:Representa el ejemplo anterior mediante diagramas de
VennUAB U = A = B= AB= AB = AUB=Figura No. 26Ejercicio propuesto
4:Realiza la demostracin grfica del teorema de D Morgan para: (A B)
= A U B paraello subraya el rea correspondiente.Primera parte:
representa en cada conjunto A, B y el complemento de la interseccin
entre A yB:U U U AB A BA B 2 223 67367 3 671 4 5 1 451 4 58 9 8 9
89 ____________ ______Segunda parte de la igualdad A U B:
representa en cada conjunto A, B y la unin entreambos conjuntos: 57
58. Lgica Matemtica U U U A BABAB2 223 673 6 73671 4 5 1 4 51 458 9
89 8 9____________ ______ Compara ahora los resultados de la
primera y segunda parte, Son iguales? Observa que las leyes que
hemos recordado estn formuladas por pares, lo cual verifica la
naturaleza dual de la teora de conjuntos. Ejercicio propuesto 5: A
continuacin se plantean diez ejercicios de aplicacin de las leyes
de conjuntos, te proponemos hacer el ejercicio de simplificarlos:1)
( (A B) ) 6) (A U ) 2) (A ) ( ( (B) ) )7) (A A) U (A U A )3) (A U A
) U B 8) (A U A ) 4) (A )9) (A A )U A5) (A )10) ( (A ) U U ) A58
59. ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIAMODULO DE
LOGICA MATEMTICAIntroduccinEn esta unidad, partiremos de la
contextualizacin histrica de la lgica hacia la definicin de
launidad fundamental de la lgica la proposicin. Aprenderemos a
identificar y clasificar lasproposiciones, y estableceremos
criterios e instrumentos de comparacin entre los diferentes tiposde
proposiciones.JustificacinEsta unidad es significativamente
importante en la formacin de cualquier profesional, desde laptica
de la necesidad de la apropiacin de una fundamentacin conceptual
bsica para fortalecer ladestreza en la identificacin de las
proposiciones como elemento fundamental de la lgica y lacomprensin
de la relacin biunvoca entre el lenguaje simblico y el lenguaje
natural. Estasherramientas nos permitirn desarrollar las
competencias para el desarrollo de la segunda unidad,en donde,
haciendo uso de lo aprendido nos introduciremos en el anlisis de
validez de losrazonamientos lgicos. 59 60. Lgica Matemtica
Intencionalidades formativas Propsitos Contribuir al desarrollo de
habilidades de pensamiento en estudiantes de diferentesprogramas
que oferta la UNAD mediante la activacin cognitiva de
operacionesmentales que faciliten la apropiacin de nociones,
definiciones, axiomas y leyes queconstituyen fundamentos bsicos en
teora de conjuntos. Desarrollar en el estudiante habilidades de
comunicacin en contextos diversosmediante la articulacin de
lenguajes icnicos, simblicos o artificiales como el de lalgica
proposicional para dinamizar procesos de aprendizaje en diferentes
camposdel saber. Objetivos Que el estudiante comprenda nociones,
conceptos, definiciones y operacionesbsicas que configuran la
fundamentacin terica sobre conjuntos mediante elestudio y anlisis
de las fuentes documentales propuestas articuladas a
situacionesespecficas donde es pertinente su aplicacin. Que el
estudiante relacione expresiones del lenguaje simblico y del
lenguajenatural mediante anlisis comparativo e interpretacin de la
funcionalidad de lasvariables lgicas y operacionabiliadad de los
conectivos lgicos como elementosestructurales de la lgica
proposicional transcribibles a otras formas decomunicacin en
diferentes contextos del saber. Metas El estudiante presentar y
sustentar informes de trabajo como resultado delestudio y anlisis
de los fundamentos de la teora de conjuntos, en dondeevidencie la
utilizacin de nociones, conceptos, definiciones y operacionesbsicas
en el anlisis de situaciones especficas por l definidas. El
estudiante plantear y formular expresiones lgicas en lenguaje
natural ylenguaje simblico como evidencia del anlisis comparativo e
interpretativo de lafuncin que cumplen variables y conectores
lgicos como elementos estructuralesde las expresiones lgicas en el
estudio de situaciones particulares propuestas paratal fin.60 61.
ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIAMODULO DE
LOGICA MATEMTICACompetencias El estudiante comprende y aplica de
manera suficiente nociones, conceptos,definiciones, axiomas y leyes
que fundamentan la teora general de conjuntos en elestudio y
anlisis de las fuentes documentales referenciadas para dinamizar
elproceso de aprendizaje y en situaciones especficas donde es
pertinente suaplicabilidad. El estudiante relaciona e interpreta
expresiones del lenguaje simblico y dellenguaje natural en la
formulacin y representacin de estructuras semnticaslgicas en
trminos de variables y conectores lgicos como elementos
estructuralesde la lgica proposicional articulables a diferentes
formas de comunicacin endiversos contextos.Captulos de la unidad:
Captulo 1: Introduccin a la lgica Captulo 2: Tautologas Captulo 3:
Cuantificadores y crculos de Euler 61 62. Lgica Matemtica1 Captulo:
Introduccin a la LgicaObjetivo general El propsito de este captulo
es brindar al estudiante algunoselementos del desarrollo histrico
de la lgica matemtica y su correspondienteclasificacin. As como de
brindar las herramientas para identificar y construirproposiciones
lgicas.Objetivos especficos CAPTULO 1Realizar la clasificacin de la
lgicaReconocer el propsito de la lgicaDeterminar la diferencia
entre lenguaje natural y artificialAnalizar los componentes del
proceso semiticoDistinguir las reas de la semiticaIdentificar y
construir proposiciones lgicas simples y compuestasConstruir tablas
de verdad62 63. ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E
INGENIERIAMODULO DE LOGICA MATEMTICALecciin No..1 IInttroducciin a
lla llgiicaLecc n No 1 n roducc n a a g ca1.1 Contextualizacin
Histrica de la LgicaConcete a ti mismo ("gnosei seauton") es la
frase que apareca en el santuario del DiosOlmpico Apolo y que se
atribuye a Tales de Mileto (639 a.c), quien es considerado como
elprimer representante de la filosofa occidental: tanto as como
para reconocrsele como eliniciador de la indagacin racional sobre
el universo, a Tales de Mileto se atribuye plantearexplicaciones de
la naturaleza sin hacer referencia a lo sobrenatural.Es as, como
los precursores de la filosofa, llamados los presocrticos,
representaron unainnovacin en el pensamiento, al tratar de explicar
las cosas por si mismas.En el perodo Socrtico, los filsofos pasarn
de preocuparse por los temas de la naturaleza aocuparse en el
hombre. En este perodo aparecen los sofistas, quienes profundizan
en el artede discutir, a ellos debemos lo que en la lgica se
denomina un sofisma, argumentos queparecen vlidos pero que
realmente no lo son.Originalmente logos significa palabra o
discurso, por lo que en un principio se defini la lgicacomo la rama
de la gramtica que se ocupaba de ciertas formas de lenguaje.Como la
palabra es la expresin, o manifestacin del pensamiento y el
pensamiento racionales la base de la filosofa, puede decirse en
general, que la lgica es la ciencia delpensamiento racional; es
importante aclarar que la lgica no se ocupa del contenido de
lospensamientos sino de la manera o forma de los pensamientos.En
respuesta a la necesidad de construir argumentos, para defender o
refutar pensamientosde los dems, Aristteles, considerado por los
griegos El padre de la lgica, creo mtodossistemticos para analizar
y evaluar dichos argumentos, para lo cual desarroll la
lgicaproposicional estableciendo procedimientos para determinar la
verdad o falsedad deproposiciones compuestas.El gran matemtico
Gottfried Leibniz en 1646 fue el primero en intentar reformar la
lgicaclsica, planteando que la dependencia lgica entre
proposiciones es demostrada reduciendoargumentos complejos en
simples, para lo cual propuso representar el conocimiento en
unaforma que pudiera ser usado por un razonamiento mecnico y a ste
esquema (lgicasimblica) lo llam una caracterstica universal.22
Galindo Patio N. J. (1999). Lgica Matemtica. Universidad Nacional
Abierta y a Distancia UNAD. Santa Fe de Bogot. D.C.1999 63 64.
Lgica Matemtica El proceso de la lgica continu en el siglo XIX. En
1847 el matemtico ingls George Boole en compaa de Augustus de
Morgan hizo notar el parentesco entre las operaciones lgicas con
las matemticas, pues a partir de los operadores aritmticos de
adicin, multiplicacin y sustraccin crearon los operadores lgicos
equivalentes de unin, interseccin y negacin; adems formularon los
principios del razonamiento simblico y el anlisis lgico. A Boole se
le atribuye la invencin de las tablas de verdad para comprobar la
veracidad de proposiciones compuestas. 3 Este trabajo fue retomado
por Bertrand Russell y Alfred Whitehead en 1910 en su obra
Principio Matemtico, quienes codificaron la lgica simblica en su
presente forma definindola como la Ciencia de todas las operaciones
conceptuales posibles, por esta razn la fundacin de la lgica formal
moderna se le atribuye a ellos. 4 1.2 Clasificacin de la lgica La
lgica se puede clasificar como lgica tradicional o no formal y
lgica simblica o formal: 1. Lgica tradicional o no formal. 2. Lgica
simblica o formal. En la lgica no formal o lgica tradicional se
considera la destreza para interpretar y distinguir un razonamiento
correcto de un razonamiento incorrecto como un producto de la
experiencia humana obtenida en la relacin con el mundo circundante.
En palabras de Galindo (1999), se consideran los procesos
psicobiolgicos del pensamiento lgico. La lgica como ciencia
constituye la lgica formal o simblica, la cual se encarga de
investigar, desarrollar y establecer los principios fundamentales
que siguen la validez de la inferencia; es considerada como uno de
los sistemas mediante el cual se llega a formas puras y rigurosas.
5 En el pensamiento simblico, las palabras se manipulan, segn las
reglas establecidas, como si fueran simples signos sin preocuparse
por su sentido. De all, que afirmemos que la lgica se ocupa de la
forma de los pensamientos y no de su contenido.Galindo Patio N. J.
(1999). Lgica Matemtica. Universidad Nacional Abierta y a Distancia
UNAD. Santa Fe de Bogot. D.C. 3,4,5 199964 65. ESCUELA DE CIENCIAS
BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIAMODULO DE LOGICA MATEMTICA1.3
Propsito de la lgica La lgica ofrece mtodos que ensean cmo formar
proposiciones, evaluar sus valores de verdad y determinar si unas
conclusiones se pueden deducir correctamente a partir de
proposiciones supuestas; adems, la lgica es una ciencia que se
interesa por las relaciones existentes entre las proposiciones, con
el fin de obtener precisin, claridad y generalidad en los
razonamientos. La precisin la logra mediante el uso de smbolos, los
cuales tienen como funcin primordial eliminar las ambigedades que
la estructura del lenguaje ordinario no puede evitar con facilidad.
La claridad y generalidad, la consigue en la medida en que el
usuario se familiariza con los elementos bsicos de un argumento
lgico, tanto en su representacin simblica como en su significado
para luego establecer un lenguaje simblico artificial, que le
permita simplificar argumentos lgicos complicados; de esta manera,
el smbolo permite concentracin sobre lo esencial de un contexto
dado, incrementando la fiabilidad con que se aplica el
conocimiento. 61.4 Lgica y Lingstica Por su origen y desarrollo
natural, han sido reconocidos dos tipos bsicos de lenguajes: los
lenguajes naturales y los lenguajes formales o artificiales. Los
lenguajes naturales no se establecieron a travs de ninguna teora,
entre ellos estn el castellano, el francs y el ingls. Las teoras y
gramticas de lenguajes naturales, fueron establecidas a posteriori,
es decir despus de que el lenguaje ya haba madurado. Los lenguajes
formales como las matemticas y la lgica, fueron desarrollados,
generalmente, a partir del establecimiento de una teora, la cual da
las bases para que a travs de dichos lenguajes se pueda desarrollar
la misma teora.6 Galindo Patio N. J. (1999). Lgica Matemtica.
Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD. Santa Fe de Bogot.
D.C.1999 65 66. Lgica MatemticaLos lenguajes naturales y formales
tienen puntos en comn, en principio, setiene la existencia de un
conjunto finito llamado alfabeto, el cual est constituidode smbolos
simples llamados comnmente letras. En los lenguajes naturales
setienen como ejemplos los alfabetos: latino, griego y rabe-persa,
entre otros. Enlos formales como la lgica se tiene el lxico del
clculo proposicional y depredicados.Mediante la concatenacin de las
letras del alfabeto se forman los monemas,fonemas o palabras que se
encuentran en el interior de un enunciado, de talforma que un
lenguaje se considera como un conjunto infinito de oraciones
oenunciados que se forman con palabras.En los sistemas formales los
enunciados del lenguaje consisten en una lista desmbolos, (lgicos o
matemticos) sujetos a diversas interpretaciones. En unlenguaje
formal, las palabras y las oraciones estn perfectamente definidas,
unapalabra mantiene el mismo significado prescindiendo del contexto
o de su uso.Los lenguajes formales son, por esto, necesariamente
exentos de cualquiercomponente semntico fuera de sus operadores y
relaciones, y es gracias a estaausencia de significado especial,
que los lenguajes formales pueden ser usadospara modelar una teora
de la ingeniera de sistemas, mecnica, elctrica, entreotras. 7 1.4.1
Lenguajes naturales y artificialesPodemos considerar el lenguaje
como un sistema de signos que expresan ideasy que se utiliza para
establecer comunicacin.El hombre se comunica y participa de este
proceso mediante el lenguaje naturalhumano; sin lenguaje, o con un
lenguaje rudimentario, el hombre estara limitadosocialmente.Cuando
el hombre aprende a nombrar todo lo que le rodea y luego es capaz
derelacionar el objeto solamente con su nombre, el lenguaje se
convierte ensmbolo, es decir, toma vida independiente del objeto,
de tal forma que se puedeafirmar que el lenguaje no slo es un
instrumento de comunicacin sino tambinde pensamiento; por lo tanto,
para el hombre el lenguaje es exterior e interior, 7Galindo Patio
N. J. (1999). Lgica Matemtica. Universidad Nacional Abierta y a
Distancia UNAD. Santa Fe de Bogot. D.C. 199966 67. ESCUELA DE
CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIAMODULO DE LOGICA MATEMTICA
pues le permite establecer comunicacin y mediante l acumula y
transmite sus experiencias utilizando los procesos de simplificacin
y generalizacin. De otra parte se puede ha hablar de lenguaje
natural o artificial. El lenguaje naturale artificial nace de una
organizacin espontnea de las capacidades lingsticas de una
comunidad, y se encuentra dotado de gran cantidad de signos,
sobresali sobresaliendo las vocales; mientras que el lenguaje
artificial se genera cuando una o ms l personas deciden usar signos
especiales para obtener mejor comunicacin, estableciendo reglas que
faciliten la op ratividad entre los signos; por ejemplo, el
operatividad lenguaje de la matemticas, de la fsica, qumica y de
otras ciencia. Este tipo de lenguaje posee gran cantidad de signos
y nace de la exigencia de conservar informacin por lo que se le
conoce como formas de comunicacin, que pueden ser escritas por
medio de conos, con lenguajes analgicos y digitales. 8Lenguaje
NaturalImagen No. 1 . Scrates. Detalle de La escuela de Atenas -
fresco de Raffaello Sanzio (1511)8 Galindo Patio N. J. (1999).
Lgica Matemtica. Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD.
Santa Fe de Bogot. D.C..1999 67 68. Lgica Matemtica Lenguaje
Artificialh2 h2 = a2 + b2 a2 b2 Figura No. 1 Teorema de Pitgoras.
Imagen No. 2. Pitgoras (582 a.c).. Detalle. La escuela de Atenas -
fresco de Raffaello Sanzio (1511) (1511H GKAFBCD LEImagen No.
3Euclides. Padre de la Geometra.Detalle. La escuela de Atenas -
frescode Raffaello Sanzio (1511)68 69. ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS,
TECNOLOGIA E INGENIERIAMODULO DE LOGICA MATEMTICA1.5 Componentes
del proceso semitico Iniciamos esta seccin asignndole el trmino
semitica a la ciencia que estudia los sistemas de signos, se
encarga de estudiar las condiciones de comunicabilidad y
comprensibilidad de un mensaje, ensea en qu consisten los signos y
cules son las leyes que los gobiernan. En el proceso semitico deben
tenerse en cuenta tres vertientes: el emisor, el receptor y el
contexto del mensaje. El emisor es quien inicia la comunicacin
enviando un mensaje al receptor; esta operacin implica un contexto
(aquello de lo que se habla), signos y por lo tanto un cdigo. La
funcin del signo consiste en comunicar ideas por medio de mensajes,
estos signos pueden ser naturales: el humo significa fuego, nubes
indicio de lluvia; o artificiales (smbolos): bandera, escudo; o
analgicos (icnicos): fotografas, esquemas, etc. El signo es el
vehculo de toda comunicacin y pensamiento. Sus caractersticas estn
determinadas por el lugar que el signo ocupa en el sistema y por
sus relaciones con los dems signos de dicho sistema. La funcin
esencial de los cdigos es evitar toda confusin entre el signo y el
mensaje. Si los signos se encuentran en una relacin lgica de
exclusin, de inclusin o de interseccin, se pueden presentar tres
tipos de cdigos:Exclusin:ABC 69 70. Lgica Matemtica Inclusin AB C
InterseccinAB CEl emisor debe codificar el mensaje de tal forma que
cuando el receptor reciba elmensaje y lo decodifique pueda
reconstruir su sentido a partir de los signos y delas relaciones
existentes entre ellos. 9 9Galindo Patio N. J. (1999). Lgica
Matemtica. Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD. Santa
Fe de Bogot. D.C. 199970 71. ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS,
TECNOLOGIA E INGENIERIAMODULO DE LOGICA MATEMTICA1.6 Ramas de la
semiticaActualmente se reconocen tres reas en el campo de la
semitica as: sintaxis,semntica y pragmtica.El primero en establecer
con claridad y divulgar esta clasificacin fue Morris en1938, quien
defini la pragmtica como el estudio de la relacin de los signoscon
los intrpretes, la semntica como el de las relaciones de los signos
conlos objetos a los que se aplican y la sintaxis como el de las
relaciones formalesentre los mismos signos. Galindo (1999)71 72.
Lgica Matemtica La lgica se clasifica en:1. Tradicional o no
formal: son los procesos psicobiolgicos del pensamiento lgico y
mtodos de inferencia, que permiten interpretar y distinguir el
razonamiento correcto del incorrecto mediante la experiencia
humana, ya sea por el conocimiento o por la observacin de su
entorno.2. Formal o simblica: Es la encargada de investigar,
desarrollar y establecer reglas de inferencia, que conducen a
formas puras y rigurosas de pensamiento. La lgica simblica,
manipula las palabras como signos, sin tener en cuenta su
sentido.La lgica pretende que sus razonamientos se caractericen
por:1. Precisin: mediante el uso de signos2. Claridad: en la medida
que el usuario se familiariza con los elementos bsicos de un
argumento lgico en su forma (representacin simblica) y su
significado.3. Generalidad: mediante el lenguaje simblico
artificial, el usuario, por una parte simplifica argumentos lgicos
complicados y por otra parte, establece reglas que le permiten
generalizar conceptos e incrementar la fiabilidad con que se aplica
el conocimiento.Lenguaje: Sistema de signos que expresan ideas y se
utilizan para establecercomunicacin.Lenguaje natural: Nace de las
capacidades lingsticas de una comunidad.Lenguaje artificial: Es
aquel que utiliza signos para obtener una comunicacin msprecisa y
clara.72 73. ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E
INGENIERIAMODULO DE LOGICA MATEMTICAAmigo estudiante, recuerda que
la motivacin es una de las tres condiciones para lograr
unaprendizaje significativo:1. Cmo se puede definir la lgica?2.
Elabore un resumen sinttico de la historia de la lgica?3. Mediante
un cuadro sinptico, clasifique la lgica con sus caractersticas
fundamentales4. Cul es el propsito de la lgica?5. Escriba y
explique las componentes del proceso semitico.6. Enuncie las ramas
de la semitica. 73 74. Lgica Matemtica Lecciin No..2
Proposiiciiones Lecc n No 2 Propos c ones 1.7 Proposiciones La
proposicin lgica constituye el elemento fundamental de la lgica.
Una proposicin lgica es un enunciado lingstico que debe cumplir con
la condicin de ser susceptible de poder ser verdadero o falso. Por
ejemplo: La temperatura ambiente es mayor de 20 grados es un
enunciado que puede ser Verdadero o Falso. La proposicin puede ser
verdadera o falsa en un momento dado, decimos entonces que, el
valor de verdad de una proposicin lgica es, por definicin,
verdadero o falso, y es representado por las letras V o F. El valor
de verdad de la proposicin de acuerdo a la relacin de su contenido
con la realidad no es el objeto de estudio de la lgica. Es por esta
razn que se afirme que la lgica habla de lo posible, pero no de lo
real. De esta manera, dada la proposicin hace fro, independiente de
las creencias de cualquiera o de la realidad de que est o no
haciendo fro, independiente del lenguaje o de la forma lingstica
usada como la temperatura est baja, la lgica slo se ocupa de la
posibilidad de ser verdadero o falso de la proposicin. De all que
se suela afirmar que la verdad lgica es una verdad formal, que no
tiene contenido. Observemos que las proposiciones se dan mediante
un enunciado lingstico, generalmente en la forma gramatical de
oracin enunciativa: Recordemos que la oracin enunciativa se
corresponde con los actos de habla declarativos, los cuales
comunican sin ms, un hecho: Juan es Colombiano. Estas expresiones
contienen un sujeto perfectamente definido o dado por el contexto,
un predicado y una conjugacin del verbo ser, observemos algunos
ejemplos:74 75. ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E
INGENIERIAMODULO DE LOGICA MATEMTICAEjemplos: Hoy es sbado Soy
estudiante de psicologa New York es llamada la capital del mundoDe
esta manera, podemos afirmar que la lgica se ocupa de las
proposiciones. Ms adelante,estudiaremos reglas que permiten la
transformacin de unas expresiones en otrasequivalentes, y veremos
cmo, de acuerdo a estas reglas o leyes lgicas, a partir del valor
deverdad de una o varias proposiciones logramos inferir la verdad o
falsedad de otrasproposiciones.1.7.1 Representacin de las
proposicionesLa lgica utiliza un lenguaje exacto que no da lugar a
imprecisiones, para tal fin toma comoelemento bsico de anlisis a la
proposicin, que no es otra cosa que una oracin dellenguaje
cotidiano con un significado mucho ms limitado; en tales
condiciones, se puedeconsiderar una proposicin como una excepcin
lingstica que tiene la propiedad de serverdadera o falsa. Galindo
(1999)Las proposiciones se representan simblicamente mediante el
uso de letras minsculas delalfabeto tales como p, q, r, s, ..., x,
y, z, las cuales reciben el nombre de letras o
variablesproposicionales; de esta forma, el lenguaje proposicional
se hace ms simple y exacto que ellenguaje natural. As, tambin se
logra simplificar la escritura de argumentos lgicoscomplicados,
creando un lenguaje simblico artificial, en donde se establece un
conjunto dereglas claras, bien definidas y que no presentan las
ambigedades ni vaguedades dellenguaje corriente o natural:Los
siguientes ejemplos ilustran cmo se pueden simbolizar las
proposiciones:Ejemplos:p : Hoy es sbadoq : Estudio filosofar :
Colombia es el pas con el mayor nmero de especies de aves delmundox
: 4 + 3 = 10 75 76. Lgica Matemtica En el lenguaje cotidiano se
encuentran expresiones como las siguientes: Ejemplos:Las rosas son
rojas y tienen espinas.La seleccin Colombia gano perdi?En el pas no
hay violencia.Si estudio lgica matemtica entonces podr determinar
la validez deun razonamiento lgico.4 es un nmero par si y slo si se
puede dividir por 2. Para la formacin de las oraciones del ejemplo
anterior se utilizaron las expresiones especiales: y, o, no, si
entonces, s y slo si, que sirvieron para unir o enlazar los
enunciados; denominamos a stas partculas o trminos de enlace "nexos
o conectivas", que establecen relaciones sintcticas como funcin de
coordinacin y subordinacin determinadas entre las proposiciones que
la integran; tal ocurre en la funcin de las conjunciones en las
oraciones compuestas de la lengua. Al igual que a las
proposiciones, tambin les asignamos un lenguaje simblico as: Tabla
No. 1 Conectivos Lgicos. Lenguaje Natural y ArtificialLenguaje
NaturalLenguaje Artificialy o no Si . entonces Si y slo si76 77.
ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIAMODULO DE
LOGICA MATEMTICAPartiendo del ejemplo anterior, podemos hallar la
notacin simblica de las expresionesplanteadas:Ejemplos:Expresin:
Las rosas son rojas y tienen espinas.Proposiciones:p : Las rosas
son rojasq : Las rosas tienen espinasNotacin simblica:
pq____________________________________________________________Expresin:
La seleccin Colombia gano perdiProposiciones:r: La seleccin
Colombia gans: La seleccin Colombia perdiNotacin simblica:
rs____________________________________________________________Expresin:
En el pas no hay violencia.Proposiciones:t : En el pas hay
violencia.Notacin simblica:
t____________________________________________________________ 77
78. Lgica Matemtica Expresin: Si estudio lgica matemtica
entoncespuedo determinar la validez de un razonamiento
lgicoProposiciones:x : Estudio lgica matemticay : Puedo determinar
la validez de un razonamiento lgicoNotacin simblica:x y
____________________________________________________________
Expresin: 4 es un nmero par si y slo si se puede dividir por
2.Proposiciones:u : 4 es un nmero parv : 4 es divisible por
2Notacin simblica:uv78 79. ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA
E INGENIERIAMODULO DE LOGICA MATEMTICA1.7.2 Clasificacin de las
proposicionesEn lgica se consideran y se simbolizan dos clases de
proposiciones: atmicas o simples ymoleculares o c