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ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERMDULO DE LGICA
MATEMTICA
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIAESCUELA DE CIENCIAS
BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERA
LGICA MATEMTICALGICA MATEMTICALGICA MATEMTICALGICA MATEMTICA
GE
ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERA GICA
MATEMTICA
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIAESCUELA DE CIENCIAS
BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERA
CIENCIAS BSICAS
LGICA MATEMTICALGICA MATEMTICALGICA MATEMTICALGICA MATEMTICA
EORFFREY ACEVEDO GONZLEZ
Medelln, 2012
1
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS
BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERA
LGICA MATEMTICALGICA MATEMTICALGICA MATEMTICALGICA MATEMTICA
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Lgica Matemtica
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Jaime Alberto Leal Afanador Rector
Dr. Roberto de Jess Salazar Ramos Asesor de Rectora
Vicerrector de Servicios a Aspirantes, Estudiantes y Egresados
Miguel Roberto Hernndez Saavedra
Dra. Elizabeth Vidal Arizabaleta Vicerrectora Acadmica y de
Investigacin
Dra. Gloria C. Herrera Snchez Vicerrectora de Medios y
Mediaciones Pedaggicas
Dr. Edgar Guillermo Rodrguez Vicerrector Vicerrectora de
Desarrollo Regional Comunitario
Gustavo Velsquez Quintana Decano Escuela de Ciencias Bsicas,
Tecnologa e Ingeniera
Magdalena Pinzn de Posada Vicerrectora de Relaciones
Internacionales Maribel Crdoba Guerrero Secretaria General
Jorge Eliecer Rondn Coordinador de Ciencias Bsicas
MDULO CURSO DE LGICA MATEMTICA PRIMERA EDICIN (EN EDICIN)
Copyrigth
Universidad Nacional Abierta y a Distancia
PROHIBIDA LA REPRODUCCIN Y PUBLICACIN PARCIAL O TOTAL DE ESTA
OBRA SIN AUTORIZACIN DE LA UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A
DISTANCIA UNAD
ISBN
2011
Centro Nacional de Medios para el Aprendizaje
Actualizacin, Edicin y Diagramacin Georffrey Acevedo Gonzlez
Medelln, Colombia. 9 de Mayo de 2012 (material en prensa)
Este material tiene como referencia principal el mdulo diseado
por la Dra. Nubia Janeth Galindo Patio en el ao de 1999 para la
Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD. Santa Fe de Bogot.
D.C. 1999
Portada: Aristteles segn un manuscrito de su Historia naturalis.
Roma 1457 (Cod. vindob. phil. gr.).
Medelln Colombia Mayo de 2012.
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MATEMTICA
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OH dicha de entender, mayor que la de imaginar o la de sentir!
Borges.
La teora del silogismo categrico es uno de los ms hermosos
descubrimientos del espritu humano Leibniz
Introduccin
Este mdulo est concebido para ser un curso introductorio a la
lgica Matemtica.
Antes de dar inicio al desarrollo de los temas del curso, y en
general, para toda actividad, es importante que nos interroguemos
por el origen y propsito de dicho conocimiento, Qu problemas busc
resolver el hombre mediante dicho conocimiento? Qu preguntas vamos
a contestar con el aprendizaje del curso? Qu competencias se espera
que el estudiante desarrolle? Por qu se consideran importantes
estas competencias? Por qu, siendo yo un estudiante de regencia de
farmacia, o un estudiante de ingeniera, o mejor an, un estudiante
de psicologa, debo tomar el curso de Lgica Matemtica?
Entre las competencias que debe tener un estudiante, se destaca
su capacidad para construir razonamientos deductivos e inductivos,
tal que le permitan verificar hiptesis as como generar nuevas, una
competencia necesaria, no slo para la investigacin cientfica, sino
necesaria para actividades como proponer argumentos vlidos en un
ensayo o para debatir ideas.
Se considera que la lgica matemtica acompaada de las
competencias lingsticas permite plantear las mejores soluciones a
diferentes tipos de problemas, al punto que son stas las
competencias que son evaluadas por universidades en todo el mundo
para determinar el acceso a programas de educacin superior.
La competencia lgico matemtica no hace referencia exclusiva a
operaciones con representaciones simblicas y ejercicios complejos.
En este curso aprenders cmo en nuestro lenguaje cotidiano hacemos
uso de los razonamientos lgicos deductivos e inductivos, siguiendo
unas estructuras bsicas que nos permiten afirmar que un
razonamiento es o no vlido.
Ya Platn en la Repblica nos propone que antes del estudio de una
ciencia social como lo es la filosofa era necesaria la preparacin
de la mente por medio del estudio de la geometra euclidiana, en la
cual el discpulo deba entrenarse haciendo demostraciones de
teoremas de la geometra, demostraciones que slo se logran siguiendo
una secuencia lgica de pasos ordenados.
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Lgica Matemtica
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Hoy, muchas instituciones educativas exigen a sus aspirantes a
cualquier programa acadmico, presentar pruebas de admisin que
pretenden evaluar las competencias tanto lingsticas como lgico
matemticas. Mediante estas evaluaciones, las instituciones
pretenden elegir entre todos sus aspirantes a aquellos que se
encuentren ms preparados para aprender. Esto es para comprender y
elaborar razonamientos lgicos deductivos e inductivos cada vez ms
complejos.
En este sentido, el curso de lgica matemtica es importante para
mejorar en la interpretacin y construccin de razonamientos lgicos
presentes tanto en el lenguaje cotidiano como en todas las reas
especializadas del conocimiento. Es por esta razn que el curso de
lgica matemtica es un curso transversal a todos los programas
acadmicos ofertados por la Universidad Nacional Abierta y a
Distancia UNAD.
Para leer el mdulo slo se requieren conceptos de conjuntos
numricos, y operaciones algebraicas bsicas. La intencin es que el
estudiante pueda aprender de este mdulo por s mismo, en este
sentido es un texto escrito ms para los estudiantes que para el
tutor.
En el curso de lgica matemtica, analizaremos diferentes
operaciones entre conjuntos, tales como unin, interseccin y
complemento, entre otras operaciones, que nos permitirn aclarar la
comprensin de las relaciones entre los conectivos lgicos usados en
el lenguaje natural, partiendo para ello de una representacin
grfica. A la par desarrollaremos las destrezas lgico matemticas,
dando solucin a problemas como ste:
De acuerdo con una encuesta virtual realizada a cincuenta
estudiantes de la UNAD, los amantes de la msica de Juanes son 15;
mientras que los que nicamente gustan de la msica de Shakira son
20, Cuntos son fanticos de los dos artistas si 10 de los
encuestados, entre los 25 que no son fanticos de Shakira, afirman
ser fanticos de Juanes?
Comprenderemos cmo trabajan los conectivos lgicos que usamos
diariamente en nuestro leguaje y que pocas veces nos detenemos a
analizar y a comprender, por ejemplo, nuestro amigo Boole afirma
que cuando gane su equipo predilecto har fiesta, pasado un tiempo
encontramos que Boole est festejando pero que su equipo predilecto
ha perdido Se est contradiciendo el amigo Boole con su afirmacin
inicial?, En este curso descubriremos y analizaremos el conectivo
lgico que ha usado Boole en su afirmacin para concluir sobre este
asunto.
Identificar los conectivos lgicos, las premisas y comprender su
funcin en el lenguaje nos permitir disear frases cada vez ms
complejas sin que se pierda la coherencia en la construccin
gramatical.
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MATEMTICA
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Posteriormente aprenderemos a simplificar expresiones complejas
o difciles de descifrar usando el lenguaje natural, para ello
utilizaremos leyes expresadas por medio de smbolos. Por ejemplo, al
expresar en lenguaje natural que es falso que Augustus no miente;
por medio de la lgica aprendemos a llegar a la simplificacin:
Augustus miente, utilizando leyes lgicas bsicas que nos permiten
validar la simplificacin hecha con un argumento ms all de la simple
intuicin.
Gracias al desarrollo informtico un estudiante de psicologa,
puede implementar una funcin lgica en una hoja de clculo como Excel
o Calc, que le permita obtener en segundos el resultado de la
aplicacin de un Test psicolgico a una poblacin. En general, gracias
a los principios bsicos de la lgica se pueden implementar funciones
de aplicacin en todas las reas del conocimiento.
Otra interesante aplicacin de la lgica es en el proceso de
validar nuestros argumentos. Por ejemplo, analicemos qu puede
concluirse de la siguiente afirmacin: si llueve hace fro,
posteriormente ocurre que hace fro, es entonces correcto concluir
que llueve?, Por medio de la lgica transformaremos esta expresin en
lenguaje simblico que posteriormente podremos analizar por medio de
una tabla de verdad y descubrir en qu caso especfico la conclusin
puede no derivarse de sus premisas.
En el mundo de la argumentacin siempre estamos utilizando unos
principios lgicos bsicos que estudiaremos en el curso de Lgica
Matemtica, permitindonos mejorar en la construccin de argumentos ms
fuertes, basados en los cimientos de la lgica.
Buen Viento y Buena mar.
Georffrey Acevedo Gonzlez.1
Agradecimientos
A los estudiantes y tutores del curso que han contribuido en
cada perodo con sus aportes, crticas y comentarios. A Jorge Eliecer
Rondn, Fuan Evangelista Gmez, Carlos Arturo Serrano y Euclides Daz
Arcos por sus aportes.
1Maestro en educacin del Instituto Tecnolgico de Monterrey.
Ingeniero electrnico de la Universidad de Antioquia. Docente
Ocasional de la Escuela de Ciencias Bsicas Tecnologas e Ingeniera
de la Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD- desde 1995.
www.georffrey.com [email protected]
[email protected]
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Lgica Matemtica
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CONTENIDO POR LECCIONES
Unidad 1 Principios de Lgica
Captulo 1 Introduccin a la lgica
Leccin No.1 Introduccin a la lgica Leccin No. 2 Proposiciones
Leccin No. 3 Conectivos lgicos fundamentales Leccin No. 4
Condicional y Bicondicional Leccin No. 5 Tablas de verdad
Captulo 2 Tautologa
Leccin No. 6 Tautologa Leccin No. 7 Proposiciones equivalentes
Leccin No. 8 Tautologa trivial y doble negacin Leccin No. 9
Implicacin directa, contraria, recproca y contrarrecproca Leccin
No. 10 Leyes de la lgica
Captulo 3 Cuantificadores y proposiciones categricas
Leccin No. 11 Cuantificadores Leccin No. 12 Proposiciones
categricas Leccin No. 13 Representacin de las proposiciones
categricas Leccin No. 14 Clasificacin de las proposiciones
categricas Leccin No. 15 Proposiciones contrarias, de contingencia
y subcontrarias
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Unidad 2 Razonamientos lgicos
Captulo 4 Razonamientos lgicos
Leccin No. 16 Razonamiento lgico Leccin No. 17 El mtodo
cientfico Leccin No. 18 Silogismos categricos Leccin No. 19 Validez
de un argumento Leccin No. 20 Prueba formal de validez
Captulo 5 Inferencias Lgicas
Leccin No. 21 Inferencia lgica Leccin No. 22 Leyes de inferencia
Leccin No. 23 Aplicacin de las leyes de inferencia Leccin No. 24
Demostracin directa e indirecta Leccin No. 25 La refutacin
Captulo 6 Argumentos Inductivos
Leccin No. 26 Argumento Inductivo Leccin No. 27 El problema de
la induccin Leccin No. 28 La analoga Leccin No. 29 La fuerza de los
argumentos Leccin No. 30 Analoga refutadora
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Lgica Matemtica
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CONTENIDO Introduccin 3 Contenido por lecciones 6 Contenido 8
Indice de tablas 10 Indice de figuras 11 Indice de ilustraciones..
13 Smbolos usados .. 14 Objetivo General.... 15 Conducta de
entrada..... 16 Actividad de reconocimiento.... 18 Informacin de
retorno ....... 25 Ejercicios propuestos 1 ....... 59
UNIDAD 1 Principios de Lgica Introduccin ....... 61 Justificacin
....... 61 Intencionalidades formativas ...... 62
1 Captulo 1: Introduccin a la Lgica
.....................................................................................
64 1.1 Contextualizacin Histrica de la Lgica
.................................................................................
63
1.2 Clasificacin de la lgica
..........................................................................................................
64
1.3 Propsito de la lgica
................................................................................................................
65
1.4 Lgica y Lingstica
..................................................................................................................
65
1.4.1 Lenguajes naturales y artificiales
..............................................................................................
66
1.5 Componentes del proceso semitico
.........................................................................................
69
1.6 Ramas de la semitica
...............................................................................................................
71
1.7 Proposiciones
............................................................................................................................
74
1.7.1 Representacin de las proposiciones
.........................................................................................
75
1.7.2 Clasificacin de las proposiciones
............................................................................................
79
1.7.3 Proposiciones Compuestas
........................................................................................................
79
1.8 Conectivos Lgicos
...................................................................................................................
82
1.8.1 Conjuncin:
....................................................................................................................
82 1.8.2 La disyuncin v
....................................................................................................................
86
1.8.3 La negacin ~
............................................................................................................................
90
1.8.4 El condicional
...............................................................................................................
92 1.8.5 El bicondicional
...........................................................................................................
94 1.9 Tablas de Verdad
.......................................................................................................................
98
1.9.1 Construccin de Tablas de Verdad
............................................................................................
99
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2 Captulo 2: Tautologa
..........................................................................................................
106 2.1 Tautologa
................................................................................................................................
107
2.2 Proposiciones equivalentes
.....................................................................................................
109
2.2.1 Tautologa trivial
.....................................................................................................................
111
2.2.2 Doble Negacin
.......................................................................................................................
111
2.3 Implicacin directa, contraria,recproca y contrarecproca
..................................................... 113
2.4 Leyes del algebra de proposiciones
.........................................................................................
115
3 Captulo 3: Cuantificadores y proposiciones categricas
.................................................. 116 3.1
Cuantificadores
........................................................................................................................
117
3.1.1 Cuantificador universal y existencial
......................................................................................
117
3.2 Proposiciones categricas
.......................................................................................................
120
3.2.1 Cualidad y cantidad de las proposiciones categricas
............................................................
121
3.3 Simbologa y diagramas para proposiciones categricas
........................................................ 123
3.3.1 Clasificacin de las proposiciones categricas
.......................................................................
129
3.4 Proposiciones contrarias, de contingenica y subcontrarias
..................................................... 133
3.4.1 Proposiciones contradictorias
..................................................................................................
133
3.4.2 Proposiciones contrarias
..........................................................................................................
135
3.4.3 Proposicin Contingente
.........................................................................................................
137
3.4.4 Proposiciones Subcontrarias
...................................................................................................
136
Ejercicios Propuestos Unidad 1. 140 Laboratorio Unidad 1..
154
UNIDAD 2 Razonamientos Lgicos
4 Captulo 4: Razonamientos lgicos
......................................................................................
157 4.1 Razonar
....................................................................................................................................
158
4.1.1 Razonamiento inductivo
..........................................................................................................
159
4.1.2 Razonamiento deductivo
.........................................................................................................
159
4.2 Silogismos categricos
............................................................................................................
165
4.3 Validez de un argumento
.........................................................................................................
172
4.3.1 Prueba formal de validez
.........................................................................................................
173
4.3.2 Prueba de invalidez
.................................................................................................................
173
5 captulo 5: Inferencias lgicas
..............................................................................................
178 5.1 Inferencias Lgicas
.................................................................................................................
179
5.1.1 Modus Ponens (M. P) o Modus Ponendo Ponens (MPP)
.................................................... 181
5.1.2 Modus Tollens (M.T) o Modus Tollendo Tollens (MTT)
...................................................... 185
5.1.3 Silogismo Hipottico (S: H)
....................................................................................................
187
5.1.4 Silogismo disyuntivo (S. D) o Modus Tollendo Ponens (MTP)
............................................. 189
5.1.5 Dilema constructivo (D.C)
......................................................................................................
191
5.1.6 Absorcin (Abs)
......................................................................................................................
191
5.1.7 Simplificacin (Simp.)
............................................................................................................
191
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Lgica Matemtica
10
5.1.8 Conjuncin (Conj)
...................................................................................................................
192
5.1.9 Adicin (Ad.)
..........................................................................................................................
192
5.2 La demostracin
......................................................................................................................
197
5.2.1 La demostracin directa
..........................................................................................................
197
5.2.2 La demostracin indirecta
.......................................................................................................
198
5.2.3 La demostracin por recursin
................................................................................................
199
5.2.4 La demostracin por refutacin
...............................................................................................
201
6 Captulo 6: Argumentos
Inductivos.....................................................................................
202 6.1 Argumento inductivo por analoga
..........................................................................................
205
6.1.1 Evaluacin de los argumentos analgicos
...............................................................................
207
Ejercicios propuestos Unidad 2.. 210 Laboratorio Unidad 2..
213
Referencias ....214
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MATEMTICA
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INDICE DE TABLAS
Tabla No. 1 Lenguaje Natural y Artificial
...............................................................................................
76 Tabla No. 2 Tabla de verdad de la conjuncin
.........................................................................................
86 Tabla No. 3 Tabla de vedad de la disyuncin
...........................................................................................
89 Tabla No. 4 Tabla de vedad de la negacin
..............................................................................................
90 Tabla No. 5 Tabla de vedad para el condicional
......................................................................................
93 Tabla No. 6 Tabla de vedad para el condicional
......................................................................................
96 Tabla No. 7 Valores de verdad de los conectivos lgicos
.........................................................................
98
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Lgica Matemtica
12
INDICE DE FIGURAS
Figura No. 1 Teorema de Pitgoras.
.......................................................................................................
68 Figura No. 2 Conjuncin
.........................................................................................................................
83 Figura No. 3 Disyuncin
..........................................................................................................................
88 Figura No. 4 Negacin
.............................................................................................................................
91 Figura No. 5 Ejemplo actividad de transferencia I -
...........................................................................
152 Figura No. 6 Ejemplo actividad de transferencia II -
..........................................................................
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INDICE DE ILUSTRACIONES
Imagen No. 1 . Scrates. Detalle de La escuela de Atenas - fresco
de Raffaello Sanzio (1511) ............. 67 Imagen No. 2. Pitgoras
(582 a.c).. Detalle. La escuela de Atenas - fresco de Raffaello
Sanzio (1511)68 Imagen No. 3 Euclides. Padre de la Geometra.
Detalle. La escuela de Atenas - fresco de Raffaello Sanzio (1511)
............................................................................................................................................
68
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Lgica Matemtica
14
Smbolos usados
Conjuntos:
Conjuntos:Conjuntos:
Conjuntos:
Conjunto universal Conjunto vaco
Operaciones entre conjuntos:
Operaciones entre conjuntos:Operaciones entre conjuntos:
Operaciones entre conjuntos:
Unin Interseccin Diferencia Diferencia simtrica Contenido en
No est contenido en
Relaciones entre elementos y conjuntos
Relaciones entre elementos y conjuntosRelaciones entre elementos
y conjuntos
Relaciones entre elementos y conjuntos
Pertenece a
No pertenece a
Conectivos lgicos:
Conectivos lgicos:Conectivos lgicos:
Conectivos lgicos:
Conjuncin Disyuncin , ~ Negacin
Implicacin
Equivalencia
Indicadores de relacin:
Indicadores de relacin:Indicadores de relacin:
Indicadores de relacin:
< Menor que
Menor o igual que > Mayor que
Mayor o igual que Diferente a
Conjuntos numricos:
Conjuntos numricos:Conjuntos numricos:
Conjuntos numricos:
Conjunto de nmeros naturales
Conjunto de nmeros enteros +
Conjunto de nmeros enteros positivos
Conjunto de nmeros enteros negativos
Conjunto de nmeros reales
Conjunto de nmeros complejos
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MATEMTICA
15
Objetivo General
Proporcionar al estudiante herramientas que le permitan
reconocer, elaborar y determinar la validez de razonamientos lgicos
tanto deductivos como inductivos.
Objetivos especficos
Desarrollar las competencias para expresar razonamientos lgicos
en lenguaje simblico.
Identificar y aplicar las diferentes leyes de la lgica en
procesos de argumentacin, al llevarlas al lenguaje natural.
Desarrollar competencias para la construccin de funciones lgicas
en programas de computacin, como las hojas de clculo o de lenguajes
de programacin.
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Lgica Matemtica
16
Para alcanzar un aprendizaje significativo, tres condiciones
importantes son necesarias: La significatividad psicolgica, la
significatividad lgica del material y la motivacin. Para tal fin,
se han estructurado las diferentes herramientas pedaggicas y
didcticas del curso en tres fases de aprendizaje: reconocimiento,
profundizacin y transferencia.
A continuacin daremos inicio a la fase de reconocimiento, en la
cual, partiremos de las experiencias previas de aprendizaje, ya
sean stas adquiridas en el estudio de un campo especfico del
conocimiento o adquiridas en el desarrollo de actividades
diferentes a las acadmicas.
Para lograr este objetivo se ha diseado una actividad didctica,
que dispone el ambiente para que por medio de algunas herramientas
y tcnicas, puedas objetivar esas experiencias previas alcanzadas en
tu mundo vital.
De esta manera, logrars pasar del mundo impensado de las
experiencias a la sistematizacin de las mismas, o de las
prenociones a las nociones. Es decir, se trata de un ejercicio de
motivacin para que te involucres en los procesos iniciales de
aprendizaje y actives tus estructuras cognitivas. Salazar
(2008)
Pero, ante todo, debemos contar con tu disposicin para el
aprendizaje. Para contribuir con el factor de la motivacin, se ha
dispuesto el primer OVA u objeto virtual de aprendizaje, el cual es
un audio en mp3 con algunos elementos que te motivar para el
desarrollo de las competencias del curso:
Audio1.MP3
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MATEMTICA
17
Cuntas horas debo dedicar al estudio del curso de lgica
matemtica?
El curso de lgica matemtica es un curso de dos crditos
acadmicos, por lo tanto un curso de dos unidades.
Un crdito acadmico corresponde a 48 horas de estudio, de las
cuales 12 horas son de acompaamiento tutorial y 36 horas son de
estudio independiente.
Esto significa que para matricular el curso de lgica matemtica
debers disponer de 72 horas de estudio independiente. Para un
perodo acadmico es de 16 semanas, y si consideramos 100 das en el
proceso, considerando las pausas activas, esto se traducir en un
promedio de una (1) hora diaria.
En ninguna otra metodologa como en la educacin a distancia,
debemos planear tan juiciosa gestin del tiempo. La invitacin es
para desarrollar un cronograma de organizacin de las actividades
acadmicas de acuerdo a los temas de cada curso y al tiempo
disponible.
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Lgica Matemtica
18
A continuacin daremos inicio a la fase de reconocimiento, en la
cual, partiremos de las experiencias previas de aprendizaje.
Recuerda que la disposicin frente al conocimiento es una condicin
para lograr un aprendizaje significativo:
1. Qu entiendes por lgica?
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________________________________________________________________________________________________________________________
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________________________________________________________________________________________________________
2. Podramos hacer un debate de ideas sin hacer uso de la lgica?
Analiza cundo hacemos uso de la lgica.
________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________
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3. Qu recuerdas de la evolucin histrica de la lgica?
________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________
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4. Analiza porqu es importante la competencia lgico matemtica
para apropiar nuevo conocimiento.
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MATEMTICA
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________________________________________________________________________________________________________________________
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5. En tus palabras, plantea la diferencia entre lenguaje
simblico y lenguaje natural
________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________
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6. Cul es tu definicin intuitiva de conjunto?
________________________________________________________________________________________________________________________
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7. Plantea varios ejemplos de conjuntos. Cmo describiras un
conjunto con una cantidad infinita de elementos?
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8. Cmo representas un conjunto? 1.
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9. Qu formas de determinar un conjunto conoces? 2.
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Lgica Matemtica
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10. Cmo definiras un conjunto finito, infinito, vaco, unitario,
universal? 3.
________________________________________________________________________________________________________________________
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11. Qu relacin conoces entre conjuntos y entre conjuntos y sus
elementos? Cmo se representan stas?
4.
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12. Cun son iguales dos conjuntos? Cundo son completamente
diferentes?
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13. Qu operaciones entre conjuntos conoces? 5.
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14. Qu conoces del lgebra de conjuntos? Cules leyes recuerdas?
Cmo haras una demostracin grfica de estas leyes? Cmo aplicaras el
principio de dualidad en estas leyes?
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________________________________________________________________________
15. En los siguientes cuatro diagramas sombrea las reas
correspondientes a la operacin: A unin B
U
c. d.
B A
U
A
B C
B A
U U
a. b.
B A
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Lgica Matemtica
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16. En los siguientes cuatro diagramas sombrea las reas
correspondientes a la operacin: A interseccin B
17. En los siguientes cuatro diagramas sombrea las reas
correspondientes a la operacin: A menos B
U
c. d.
B A
U
A
B C
B A
U U
a. b.
B A
U
c. d.
B A
U
A
B C
B A
U U
a. b.
B A
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MATEMTICA
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18. Propn una expresin de la cual puedas decir que es verdadera.
Cmo expresaras la negacin de la misma proposicin?
6.
________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________
19. Te has encontrado con un argumento que parece lgico, pero
que cuando lo analizamos detenidamente encontramos que no era tal?
A continuacin se propone plantearlo:
________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________________
20. Menciona las caractersticas comunes que encuentras en un
razonamiento
________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________________
21. Describe, cmo determinas la validez de un argumento
________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________
22. Entre dos personas inmersas en un debate. Cmo podramos
determinar que el argumento de uno es ms fuerte que el del
otro?
23.
________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________
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1. Qu entiendes por lgica? Desde Aristteles, se ha dado a la
lgica una relacin directa con el lenguaje natural, no obstante, en
su evolucin, la lgica ha apropiado unos smbolos y reglas de
inferencia que le han dado una estructura formal estricta, al punto
de hablar hoy de una Lgica Matemtica. As es como hoy decimos que la
lgica es una ciencia formal, que estudia la estructura de los
argumentos lgicos para determinar su validez.
6. Cul es tu definicin intuitiva de conjunto? Intuitivamente, un
conjunto es una coleccin de objetos bien definidos. Estos objetos
reciben el nombre de elementos o miembros del conjunto; se nombran
con letras maysculas y sus elementos con letras minsculas escrita
entre corchetes o llaves. Los conjuntos se representan grficamente
por medio de diagramas denominados diagramas de Venn-Euler o
simplemente, diagramas de Venn; en los cuales los conjuntos se
delimitan por crculos.
8. Cmo representas un conjunto? Una forma sencilla de visualizar
los conjuntos y las relaciones entre ellos, es mediante la
utilizacin de esquemas grficos llamados crculos de Euler o
diagramas de Venn. Estos esquemas estn compuestos por una regin
cerrada del plano (generalmente un rectngulo), la cual representa
el conjunto universal, y por uno o varios crculos que representan
los conjuntos a graficar.
Generalmente, los conjuntos se identifican con letras maysculas
y sus elementos con minsculas.
Para indicar que un elemento es un miembro de un conjunto, se
utiliza el smbolo (se lee pertenece a ) y
Para indicar que no est en el conjunto se utiliza el smbolo (se
lee no pertenece a)
SILVIAPINKResaltado
SILVIAPINKResaltado
SILVIAPINKResaltado
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sta es la representacin grfica:
9. Qu formas de determinar un conjunto conoces?
Bsicamente existen dos formas para determinar un conjunto, stas
son:
Por extensin Un conjunto est determinado por extensin cuando se
describe el conjunto nombrando cada uno de sus elementos. Por
ejemplo:
A = {2, 4, 6, 8} B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} C = {1, 3,
5, 7, 9, 11, 13, 17, 19,} D = {a, e, i, o, u }
Por comprensin Un conjunto est determinado por comprensin cuando
se nombra una propiedad, una regla o una caracterstica comn a los
elementos del conjunto. Por ejemplo:
C = {Nmeros impares menores que 10} D = {Vocales} B =
{Dgitos}
A
U
x A
x
U
x A
A x
Figura No. 1
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Lgica Matemtica
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Lenguaje:
E = {x R / 0 x < 9}, en este caso se utiliza un lenguaje muy
especfico, el cual se lee as:
E = E: gual al conjunto de x R: todos los nmeros reales /: tales
que (o que verifican que)
0 x < 9: Se lee: cero (0) es menor o igual a x, y, x a su vez
es menor que 9, tambin se puede leer: x mayor o igual a cero y
menor que nueve. Esta notacin se usa con mucha frecuencia para
describir intervalos, para escribir la solucin de una inecuacin o
para representar el dominio de una funcin real.
10. Cmo definiras un conjunto finito, infinito, vaco, unitario,
universal y de partes?
Conjuntos infinitos Existen conjuntos como por ejemplo:
A = {x R / 0 x < 9} Z = {x N / x es par}
Los cuales se leen: A = todos los nmeros reales mayores que cero
y menores que nueve. Z = todos los nmeros naturales que sean
pares.
Este tipo de conjuntos no se pueden expresar por extensin debido
a que nunca se terminara de escribir la lista de los nmeros reales
que pertenecen al conjunto A, o, los naturales que pertenecen a Z,
este tipo de conjuntos, reciben el nombre de INFINITOS;
Conjuntos finitos Mientras que otros conjuntos, como por
ejemplo:
C = {x / x es vocal} D = {x / x es dgito par}
Son ejemplos de conjuntos que estn formados por cierto nmero de
elementos distintos, estos conjuntos reciben el nombre de conjuntos
FINITOS.
Todos los conjuntos que se nombran por comprensin, se pueden
escribir por extensin?
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El anlisis anterior, permite dar respuesta a esta pregunta, se
sugiere buscar ms ejemplos que justifiquen la respuesta para que
sean analizados con el tutor y luego socializados en los equipos de
trabajo.
Conjunto Vaco
Un conjunto que carece de elementos se denomina conjunto vaco y
se simboliza as:
Naturalmente el conjunto forma parte de cualquier conjunto A,
por lo cual se puede afirmar que:
A
El conjunto (vaco) est contenido en el conjunto A.
EjemploEjemploEjemploEjemplo 1111::::
D = {x N / x x )
Este conjunto se lee: obviamente D es un conjunto que carece de
elementos, puesto que no existe ningn nmero natural que sea
diferente a s mismo.
U
A A =
Figura No. 2.
{ }
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Conjunto Unitario
Se denomina conjunto unitario al conjunto formado por un slo
elemento.
EjemploEjemploEjemploEjemplo 2222::::
E = {x / x es nmero primo par}
El nico nmero que cumple las dos condiciones (ser primo y a la
vez par) es el nmero 2, por lo tanto E = {2} se llama conjunto
unitario.
Conjunto Universal
Cuando se habla o se piensa en los conjuntos, es conveniente
establecer la naturaleza de sus elementos, por ejemplo:
Los elementos del conjunto A = {a, e, i} pertenecen al conjunto
de las vocales, V = {a, e, i, o, u}, es decir, A V, este conjunto V
constituye el universo del conjunto A, por esta razn se dice que V
es un conjunto Universal.
Similarmente, si A = {x N / x es primo} sus elementos son
elementos del conjunto de los nmeros naturales N, A N y en este
caso, N se constituye en el conjunto universal. Generalmente, el
conjunto universal se simboliza con la letra U.
U A
U = Conjunto Universal
A = {a,e,i}
U = V = {a,e,i,o,u} a
e i
o
u
Figura No. 4
U A
A = Conjunto Unitario A = {7}
7
Figura No. 3
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11. Qu relacin conoces entre conjuntos y entre conjuntos y sus
elementos? Cmo se representan stas?
Subconjuntos
Un conjunto A es un subconjunto de un conjunto B, si todo
elemento del conjunto A tambin es elemento del conjunto B.
Simblicamente esta relacin se expresa as:
A B (se lee A esta contenido en B)
Si todo elemento x que est en el conjunto A entonces x tambin
est en B, es decir:
A B si todo x A, entonces x B
Ejemplo 3:Ejemplo 3:Ejemplo 3:Ejemplo 3:
Si A = {x / x es dgito par} y B = {x / x es dgito}, claramente A
B ya que todo dgito par es dgito. Por extensin la situacin se
expresa as:
A = {2, 4, 6, 8} y B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Entonces A es un subconjunto de B.
B
A
U
AB xA xB
x
Figura No. 5
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Un resultado muy til e importante para nuestro curso consiste en
un razonamiento lgico acerca de la contenencia entre conjuntos, es
el siguiente:
Si A es un subconjunto de B y B es un subconjunto de C,
entonces, A es un subconjunto de C; simblicamente este enunciado se
escribe as:
S AB y B C, entonces, AC
Sigamos nuestra primera demostracin:
La demostracin es la siguiente:
S x A; entonces x B porque AB, pero x tambin est en C porque B
C; por lo tanto si xA, entonces xC y esto se cumple para todo
elemento x que est en A, debido a que el conjunto A esta contenido
en el conjunto B y B a su vez, est contenido en C; por consiguiente
queda demostrado que AC.
Si A, B y C son tres conjuntos no vacos que verifican las
condiciones AB y B C, qu se puede concluir de A con respecto a
C?
C U
AB BC ______
AC xA xB xC
A x
B
Figura No. 6
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12. Cun son iguales dos conjuntos? Cundo son completamente
diferentes?
El conjunto A es igual al conjunto B si ambos conjuntos tienen
los mismos elementos, es decir, si todos los elementos de A
pertenecen a B y si todos los elementos de B pertenecen al conjunto
A. La igualdad entre conjuntos se simboliza de la siguiente
forma:
A = B Si AB y BA
Ejemplo 4Ejemplo 4Ejemplo 4Ejemplo 4
Si M = {1, 3, 0, 2} y N = {2, 3, 0, 1}, claramente se observa
que M N y que N M, por lo tanto M = N.
Ejemplo 5Ejemplo 5Ejemplo 5Ejemplo 5
Si A = {x / x es dgito} y B = {x / x es dgito par}, se puede
observar que B A pero A B, por lo tanto el conjunto A no es igual
al conjunto B, lo cual se escribe, A B.
Figura No. 8
B U BA A B ______
A B 6
A
2 4
3 8
1 5
7
9
Figura No. 7.
B U
AB BA ______
B=A
1
A
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Conjuntos Completamente Diferentes o Disyuntos
Es importante destacar que cuando dos conjuntos son
completamente diferentes (no tienen ningn elemento en comn) reciben
el nombre de conjuntos disyuntos.
Ejemplo 6Ejemplo 6Ejemplo 6Ejemplo 6
Los conjuntos A = {x / x es dgito par} y B = {x / x es dgito
impar} no tienen ningn elemento en comn, es decir A y B son
disyuntos.
13. Qu operaciones entre conjuntos conoces?
As como las operaciones suma, resta, multiplicacin y divisin
estn definidas sobre los nmeros reales, tambin existen operaciones
definidas entre los conjuntos como la unin, interseccin,
complemento, diferencia, diferencia simtrica y producto cartesiano;
stas se estudiarn en las siguientes secciones.
Unin Si A y B son dos conjuntos no vacos, se define la unin
entre A y B como el conjunto de todos los elementos que pertenecen
al conjunto A o al conjunto B.
Simblicamente la unin se define as:
AUB = {x / xA, v , xB}, donde el smbolo v se lee o.
Para representar grficamente una operacin entre conjuntos, se
debe tener en cuenta la relacin que exista entre ellos, segn los
siguientes casos:
Figura No. 9.
B U
AB y BA y no hay elementos comunes
A
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Caso 1. Que los conjuntos no tengan ningn elemento en comn.
(conjuntos disyuntos).
La parte subrayada representa la unin entre los conjuntos A y
B.
Caso 2. Que los conjuntos tengan slo unos elementos en comn.
Figura No. 10. U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} A = {1,2,3,4} B =
{5,6,7}
AUB = {1,2,3,4,5,6,7}
AUB
A B U
A B U
8
9
3 2
4 1 5
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U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} A = {1,2,3,4,5,6} B = {5,6,7}
AUB = {1,2,3,4,5,6,7}
Figura No. 11
U A
B 8
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Caso 3. Que un conjunto este contenido en el otro
La parte sombreada indica la operacin:
Ejemplo 7Ejemplo 7Ejemplo 7Ejemplo 7
Si A U B = {x N / x es dgito par o dgito primo}, grficamente la
representacin de esta unin es:
La figura No.13 permite apreciar que el nico dgito que es a la
vez par y primo es el nmero 2; esto nos invita a la formulacin de
la siguiente operacin entre conjuntos:
Interseccin
Se define la interseccin entre dos conjuntos A y B como el
conjunto formado por todos los elementos que pertenecen
simultneamente al conjunto A y al conjunto B.
Simblicamente la interseccin se expresa as:
A B = {x / x A, , x B}
U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} A = {1,2,3,4,5,6,7} B = {5,6,7}
A U B = {1,2,3,4,5,6,7}
A U
8
9
3 2
4 1
B
5
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Figura No. 12
U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} A = {1,2,3,5,7,9} B = {2,4,6,8}
AUB = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Figura No. 13
U A B
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el smbolo se lee interseccin y el smbolo se lee i.
Caso 1. Que los conjuntos no tengan ningn elemento en comn.
(conjuntos disyuntos).
La parte subrayada representa la unin entre los conjuntos A y
B.
Se puede observar que cuando dos conjuntos no tienen elementos
comunes, su interseccin es vaca y los conjuntos se llaman
disyuntos, como ya se haba mencionado;
Caso 2. Que los conjuntos tengan slo unos elementos en comn
U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} A = {1,2,3,4,5,6} B = {5,6,7}
A B = {5,6}
U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} A = {1,2,3,4} B = {5,6,7}
A B = { }
A B U
8
9
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4 1 5
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Figura No. 14.
Figura No. 15
A B
U
8
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Caso 3. Que un conjunto este contenido en el otro.
La parte sombreada indica la operacin:
Podemos afirmar entonces que si A B, entonces. A B = A;
anlogamente se puede inferir que si B A, entonces, A B = B.
A continuacin se realiza la demostracin analtica para el caso 3
de la figura No. 16, la otra situacin si B A, entonces, AB = B, se
deja como ejercicio complementario, esta demostracin es muy similar
a la que se har a continuacin:
Si A B, por definicin de contenencia entre conjuntos se puede
afirmar que todo elemento xA, entonces xB; por definicin de
interseccin, stos elementos x forman el conjunto A B y como todos
estos son elementos de A, se puede concluir que A B = A.
A U
8
9
U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} A = {1,2,3,4,5,6,7} B = {5,6,7}
A B = {5,6,7} = B 3
2
4 1
B
5
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Figura No. 16
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Ejemplo 8Ejemplo 8Ejemplo 8Ejemplo 8
Hallar las intersecciones entre los tres conjuntos:
M = {x N / x es mltiplo de 2} N = {x N / x es mltiplo de 3} P =
{x N / x es impar}
Se pueden analizar las siguientes intersecciones:
1. M N = {6, 12, 18, 24, 36,}, escrito por comprensin es: M N =
{x N / x es mltiplo de 6}.
2. M P = , Qu elementos comunes hay entre los conjuntos M y N?:
no existe ningn nmero natural que sea mltiplo de 2 y a la vez
impar.
3. M = , El conjunto vaco est contenido en cualquier conjunto,
en particular en M, esto es M, luego se puede concluir que M =
.
4. M N P Para hallar la interseccin M N P, se puede encontrar la
interseccin de M con N y luego con el conjunto P, es decir, hay que
encontrar los elementos que estn en los tres conjuntos: M, N y
P.
En este caso M N = {xN / x es mltiplo de 6} y ste intersecado
con el conjunto P est formado por los mltiplos de 6 que son
impares, es decir,
M N P = {xN / x es impar y mltiplo de 6}, por extensin el
conjunto:
M N P = , pues no existe ningn nmero natural que sea a la vez
impar y mltiplo de 6.
Ve practicando: Te proponemos visitar el ejercicio propuesto
No.1
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Diferencia Segn los tres casos estudiados, se puede afirmar que
al comparar dos conjuntos no vacos, puede suceder que:
1. No tengan ningn elemento en comn, (conjuntos totalmente
diferentes). 2. Slo algunos elementos sean comunes (conjuntos
parcialmente diferentes o
parcialmente iguales) 3. Slo algunos elementos sean comunes 4.
Un conjunto este contenido en el otro 5. Tengan exactamente los
mismos elementos, (conjuntos iguales)
En los numerales 1, 2 y 3, se puede formar un conjunto con los
elementos que le faltan a un conjunto para ser igual a otro, este
conjunto as formado, se denomina diferencia entre conjuntos.
Si A y B son dos conjuntos no vacos, entonces se define la
diferencia entre A y B as:
{ }/ , ,A B x x A x B =
Esto se lee: A menos B, es el conjunto formado por los elementos
que estn en el conjunto A pero no en el B.
En la siguiente grfica, la parte sombreada representa la
diferencia entre los conjuntos A y B.
Caso 1. Que los conjuntos no tengan ningn elemento en comn.
(conjuntos disyuntos).
A B 8
9
U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} A = {1,2,3,4} B = {5,6,7}
A- B = A = {1,2,3,4} B- A = B = {5,6,7}
3 2
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Figura No. 18.
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Se puede observar que cuando dos conjuntos son diferentes, su
diferencia es vaca y los conjuntos se llaman disyuntos, como ya se
haba mencionado;
Caso 2. Que los conjuntos tengan slo unos elementos en comn
Caso 3. Que un conjunto este contenido en el otro
La parte sombreada indica la operacin.
En la figura 20, se puede observar que todos los elementos que
estn en B, estn en A (debido a que B A), por lo tanto no existe
ningn elemento que pertenezca a la diferencia B A y en consecuencia
B A = . Surge ahora, la siguiente inquietud:
Cul ser la diferencia entre A y B (A B) cuando B A?
U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} A = {1,2,3,4,5,6} B = {5,6,7} A-B =
{1,2,3,4}
A B U
8
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3 2
4 1
7
Figura No. 19
5 6
A U
8
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U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} A = {1,2,3,4,5,6,7} B = {5,6,7}
A- B = {1,2,3,4} B - A = { }
3 2
4 1
B
5
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Figura No. 20
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Ejemplo 8Ejemplo 8Ejemplo 8Ejemplo 8
Dados los conjuntos A = {x / x es un dgito} y B = {0, 2, 3, 7}
hallar A B y B A y hacer la representacin grfica.
Para efectuar estas operaciones se escriben los conjuntos por
extensin, as:
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y B = {0, 2, 3, 7}, entonces:
A B = {1, 4, 5, 6, 8, 9} y B A = ,
A U
U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} B =
{0,2,3,7}
A- B = {1,4,5,6,8,9} B-A = { }
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Figura No. 21
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Diferencia simtrica
Se define la diferencia simtrica entre dos conjuntos no vacos A
y B, como el conjunto formado por los elementos que pertenecen al
conjunto A o al conjunto B, pero no pertenecen simultneamente a
ambos conjuntos.
Simblicamente la diferencia simtrica entre A y B se escribe
as:
( ){ }/ , , ,A B x x A x B x A B=
En las siguientes grficas, la parte sombreada representa la
diferencia simtrica entre los conjuntos A y B.
Caso 1. Que los conjuntos no tengan ningn elemento en comn.
(conjuntos disyuntos).
Se puede observar que cuando dos conjuntos son diferentes, su
interseccin es vaca y los conjuntos se llaman disyuntos.
Caso 2. Que los conjuntos tengan slo unos elementos en comn.
A B 8
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U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} A = {1,2,3,4} B = {5,6,7}
A B = {1,2,3,4,5,6,7} B A = {1,2,3,4,5,6,7}
3 2
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Figura No. 22.
U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} A = {1,2,3,4,5,6} B = {5,6,7}
A B = {1,2,3,4,7} B A = {1,2,3,4,7}
Figura No. 23
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Caso 3. Que un conjunto este contenido en el otro
La parte sombreada indica la operacin:
Ejemplo 9Ejemplo 9Ejemplo 9Ejemplo 9
Si A = {x / x es una letra de la palabra INGENIERIA} y B = {x /
x es una letra de la palabra SISTEMAS}, entonces A B = {N, G, R, M,
S, T}.
Ejercicio 2: Te invitamos a desarrollar el ejercicio propuesto
No.2
Ejemplo 10Ejemplo 10Ejemplo 10Ejemplo 10....
Dados los conjuntos M = {1, 2, 3, 4} y N = {4, 5}, la diferencia
simtrica entre M y N es:
M N = {1, 2, 3, 5}, claramente se puede observar que el nmero 4,
no pertenece a la diferencia simtrica porque forma parte de la
interseccin entre M y N.
Ve practicando: Te invitamos a desarrollar el ejercicio
propuesto No.2
U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} A = {1,2,3,4,5,6,7} B = {5,6,7} A B =
{1,2,4} B A = {1,2,4}
A U
8
9 3
2 4 1
B
5 7 6
Figura No. 24
-
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MATEMTICA
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i
n
d
e
r e
t o
r n
o
Complemento
Si A es un conjunto no vaco, el complemento de A, simbolizado
por A, est formado por todos los elementos que no pertenecen al
conjunto A, es decir,
A = Ac = A* = ~A = A = A = {x / x A}
En la siguientes grficas, la parte sombreada representa el
complemento del conjunto A.
Caso 1. Que los conjuntos no tengan ningn elemento en comn.
(conjuntos disyuntos).
Caso 2. Que los conjuntos tengan slo unos elementos en comn
U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} A = {1,2,3,4} B = {5,6,7} A =
{5,6,7,8,9}
8
9
3 2
4 1 5
7 6
Figura No. 27.
A B
U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} A = {1,2,3,4,5,6} B = {5,6,7} A =
{7,8,9}
Figura No. 28
U
8
9
7
A B
4 1
3 2
6
5
-
Lgica Matemtica
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i
n
d
e
r e
t o
r n
o
Caso 3. Que un conjunto este contenido en el otro.
La parte sombreada indica la operacin.
Ejemplo 11Ejemplo 11Ejemplo 11Ejemplo 11
Al considerar el conjunto universal como el conjunto de los
estudiantes de Ingeniera de sistemas de la UNAD y A como el
conjunto de los estudiantes que estn en el primer semestre, el
complemento del conjunto A (A) ser el conjunto formado por todos
los estudiantes de ingeniera de sistemas de la UNAD que no cursan
primer semestre, esto es:
U = {x UNAD / x estudia ingeniera de sistemas}. A = {x Ingeniera
de sistemas / x Primer semestre}. A = {x Ingeniera de sistemas / x
Primer semestre}.
U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} A = {1,2,3,4,5,6,7} B = {5,6,7} A =
{8,9}
A U
8
9
3 2
4 1
B
5 7 6
A
-
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o
14. Qu conoces del lgebra de conjuntos? Cules leyes recuerdas?
Cmo haras una demostracin grfica de estas leyes? Cmo aplicaras el
principio de dualidad en estas leyes?
Propiedades de las operaciones entre conjuntos Las siguientes
cuatro propiedades, son vlidas para las operaciones de unin e
interseccin:
a. Leyes de idempotencia:
A U A = A A A = A
b. Leyes asociativas:
(A U B) U C = A U (B U C) (A B) C = A (B C)
c. Leyes conmutativas:
A U B = B U A A B = B A
d. Leyes distributivas:
A U (B C) = (A U B) (A U C) A (B U C) = (A B) U (A C)
Las siguientes propiedades estn relacionadas con los conjuntos
Universal U y vaco :
e. Leyes de identidad:
A U U = U A U = A A U = A A =
Propiedades con respecto al complemento
f. Leyes del complemento:
A U A' = U A A' = (A' )' = A ' = U
g. Leyes de DMorgan:
(A U B)' = A' B' (A B)' = A' U B'
-
Lgica Matemtica
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t o
r n
o
Representacin grfica de las leyes de conjuntos:
a) Leyes de idempotencia:
A U A = A A A = A
Qu obtenemos de interceptar el conjunto A con l mismo? Qu pasa
si unimos A con A? :
Figura No. 33 A unido con A es igual a A
A A A U =
A A A
A
U U U
A A A
Figura No. 33 A interceptado con A es igual a A
A A A =
A A A
A
U U U
A A A
-
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b) Leyes de identidad: A U U = U A U = A A U = A A =
Qu se obtiene de unir el conjunto A con el universo? :
Qu se obtiene de unir el conjunto A con el vaco? :
Figura No. 35 A unido con el vaco es igual al conjunto A
A U U U
U =
A
U = U U
Figura No. 34 A unido con el universo es igual al universo
A U
U U
-
Lgica Matemtica
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o
Qu tienen en comn A y el universo? Qu tiene en comn Juan con el
universo?
Qu tienen en comn A y el vaco? :
Figura No. 36 A y el universo tienen en comn el mismo conjunto
A
A
U U
=
A
U
Figura No. 37 El conjunto A y el vaco tienen en comn el vaci
A
U
=
U U
-
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c) Leyes del complemento:
A U A' = U A A' = (A' )' = A ' = U
Qu se obtiene de unir A con lo que no es A? Qu se obtiene si
Juan se une con el Universo?
Qu tienen comn A con lo que no es A?
Figura No. 38 Al unir el conjunto A con los elementos que no
estn en A se obtiene el universo
A U U U
U =
A
Figura No. 39 Los elementos de A con los que no estn en A no
tienen nada en comn
A U U U
=
A
-
Lgica Matemtica
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o
d) Leyes de D Morgan:
(A U B)' = A' B' (A B)' = A' U B'
La demostracin grfica de que (A U B)' = A' B' es la
siguiente:
En el primer conjunto representamos la unin entre A y B y en el
segundo los elementos que no estn en dicha unin, obteniendo el
trmino de la izquierda del teorema de DMorgan:
As hemos encontrado el rea que representa a la primera parte de
la igualdad, ahora representamos el trmino de la derecha; esperamos
obtener la misma rea sombreada:
Iniciamos por representar los elementos que no estn en A y los
elementos que no estn en B, la solucin corresponder a la
interseccin entre los dos conjuntos, es decir a los elementos que
ambos conjuntos tienen en comn:
U
8 9
7
A B
4 1 3
2 6
5
A U B
U
8 9
7
A B
4 1 3
2 6
5
(A U B)
Figura No. 41
9
A
U
8
7
A B
4 1
3 2
6
5
U
B 8 9
7
A B
4 1
3 2
6
5
U
A' B'
8 9
7
A B
4 1 3
2 6
5
Figura No. 40
-
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Ve practicando: Desarrolla el ejercicio propuesto No.4
Ve practicando: Desarrolla el ejercicio propuesto No.5
Principio de dualidad
Si se intercambian las operaciones unin (U) por interseccin (),
como tambin el conjunto universal (U) por el conjunto vaco (), en
cualquier razonamiento sobre conjuntos, el enunciado resultante se
llama DUAL del primero.
Ejemplo 12Ejemplo 12Ejemplo 12Ejemplo 12
Demostrar que el dual de;
(U U B) (A U ) = A es: ( B) U (A U) = A
Tomando la primera parte y por las leyes de identidad se tiene
que:
(U U B) (A U ) U A = A
Ahora, consideremos su dual y nuevamente aplicando las leyes de
identidad se tiene que:
( B) U (A U) U A = A
Con lo que queda demostrado.
-
Lgica Matemtica
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Ejemplo 13Ejemplo 13Ejemplo 13Ejemplo 13
Demostrar que el dual de
(A B) U (A B') = A es (A U B) (A U B') = A
En este caso se puede hacer la demostracin en forma grfica
as:
i) La primera parte se puede representar de la siguiente
forma:
Figura No.42 primera parte demostracin grfica de que (A B) U (A
B') = A
9
A
U
8
7
A B
4 1
3 2
6
5
U
B 8 9
7
A B
4 1
3 2
6
5
U
A B'
8
9
7
A B
4 1 3 2 6
5
9
A
U
8
7
A B
4 1
3
2
6
5
9
U
( A B' ) 8
7
A B
4 1
3
2 6
5
9
U
( A B ) 8
7
A B
4 1
3
2 6
5
U =
-
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Segunda parte: (A U B) (A U B') = A
La segunda parte se puede representar de la siguiente forma:
Queda demostrado que Tanto en la figura 42 como en la 43
obtenemos el mismo resultado: el conjunto A.
Figura No.43 segunda parte (A U B) (A U B') = A
9
A
U 8
7
A B
4 1
3 2
6
5
U
B
8
9
7
A B
4 1
3 2
6
5
A U B
8
9
U A
4 1
3
B
6
5
7 2
9
A
U 8
7
A B
4 1
3 2
6
5
=
9
U
( A U B )
8
7
A B
4 1
3 2
6
5
A U B
8
9
U A
4 1
3
B
6
5
7 2
-
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o
15. En los siguientes cuatro diagramas sombrea las reas
correspondientes a la operacin: A unin B
A B U
A B U
A
B
U
A
B
U C
-
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o
16. En los siguientes cuatro diagramas sombrea las reas
correspondientes a la operacin: A interseccin B
17. En los siguientes cuatro diagramas sombrea las reas
correspondientes a la operacin: A menos B
A B U
A B U
A
B
U
B
U C
A
A B U
A B U
A
B
U U
A
B C
-
Lgica Matemtica
56
Ejercicios propuestos de Reconocimiento:
Ejercicio propuesto 1:
Representa el ejemplo anterior mediante diagramas de Venn
Ejercicio propuesto 2:
Representa el ejemplo anterior mediante diagramas de Venn
U =
M =
N =
M N =
M P =
M N P =
M N U
Figura No. 17
P
U = A = B = A B = A B = A U B =
A B U
Figura No. 25
-
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Ejercicio propuesto 3:
Representa el ejemplo anterior mediante diagramas de Venn
Ejercicio propuesto 4:
Realiza la demostracin grfica del teorema de D Morgan para: (A
B)' = A' U B' para ello subraya el rea correspondiente.
Primera parte: representa en cada conjunto A, B y el complemento
de la interseccin entre A y B:
Segunda parte de la igualdad A' U B': representa en cada
conjunto A, B y la unin entre ambos conjuntos:
U = A = B = A B = A B = A U B =
A B U
Figura No. 26
U
9
______
8
7
A B
4 1
3 2
6
5
U
9
______
8
7
A B
4 1
3 2
6
5
9
______
8
7
A B
4 1
3 2
6
5
U
-
Lgica Matemtica
58
Compara ahora los resultados de la primera y segunda parte, Son
iguales?
Observa que las leyes que hemos recordado estn formuladas por
pares, lo cual verifica la naturaleza dual de la teora de
conjuntos.
Ejercicio propuesto 5:
A continuacin se plantean diez ejercicios de aplicacin de las
leyes de conjuntos, te proponemos hacer el ejercicio de
simplificarlos:
1) ( (A B)' ) 2) (A ) ( ( (B)' ) ) 3) (A' U A' ) U B' 4) (A )'
5) (A )'
6) (A U ) ' 7) (A A)' U (A' U A' ) 8) (A U A ) ' 9) (A A ) ' U
A' 10) ( (A ) U U )' A'
U
9
______
8
7
A B
4 1
3 2
6
5
U
9
______
8
7
A B
4 1
3 2
6
5
9
______
8
7
A B
4 1
3 2
6
5
U
-
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Introduccin
En esta unidad, partiremos de la contextualizacin histrica de la
lgica hacia la definicin de la unidad fundamental de la lgica la
proposicin. Aprenderemos a identificar y clasificar las
proposiciones, y estableceremos criterios e instrumentos de
comparacin entre los diferentes tipos de proposiciones.
Justificacin
Esta unidad es significativamente importante en la formacin de
cualquier profesional, desde la ptica de la necesidad de la
apropiacin de una fundamentacin conceptual bsica para fortalecer la
destreza en la identificacin de las proposiciones como elemento
fundamental de la lgica y la comprensin de la relacin biunvoca
entre el lenguaje simblico y el lenguaje natural. Estas
herramientas nos permitirn desarrollar las competencias para el
desarrollo de la segunda unidad, en donde, haciendo uso de lo
aprendido nos introduciremos en el anlisis de validez de los
razonamientos lgicos.
-
Lgica Matemtica
60
Intencionalidades formativas
Propsitos
Contribuir al desarrollo de habilidades de pensamiento en
estudiantes de diferentes programas que oferta la UNAD mediante la
activacin cognitiva de operaciones mentales que faciliten la
apropiacin de nociones, definiciones, axiomas y leyes que
constituyen fundamentos bsicos en teora de conjuntos.
Desarrollar en el estudiante habilidades de comunicacin en
contextos diversos mediante la articulacin de lenguajes icnicos,
simblicos o artificiales como el de la lgica proposicional para
dinamizar procesos de aprendizaje en diferentes campos del
saber.
Objetivos
Que el estudiante comprenda nociones, conceptos, definiciones y
operaciones bsicas que configuran la fundamentacin terica sobre
conjuntos mediante el estudio y anlisis de las fuentes documentales
propuestas articuladas a situaciones especficas donde es pertinente
su aplicacin.
Que el estudiante relacione expresiones del lenguaje simblico y
del lenguaje natural mediante anlisis comparativo e interpretacin
de la funcionalidad de las variables lgicas y operacionabiliadad de
los conectivos lgicos como elementos estructurales de la lgica
proposicional transcribibles a otras formas de comunicacin en
diferentes contextos del saber.
Metas
El estudiante presentar y sustentar informes de trabajo como
resultado del estudio y anlisis de los fundamentos de la teora de
conjuntos, en donde evidencie la utilizacin de nociones, conceptos,
definiciones y operaciones bsicas en el anlisis de situaciones
especficas por l definidas.
El estudiante plantear y formular expresiones lgicas en lenguaje
natural y lenguaje simblico como evidencia del anlisis comparativo
e interpretativo de la funcin que cumplen variables y conectores
lgicos como elementos estructurales de las expresiones lgicas en el
estudio de situaciones particulares propuestas para tal fin.
-
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61
Competencias
El estudiante comprende y aplica de manera suficiente nociones,
conceptos, definiciones, axiomas y leyes que fundamentan la teora
general de conjuntos en el estudio y anlisis de las fuentes
documentales referenciadas para dinamizar el proceso de aprendizaje
y en situaciones especficas donde es pertinente su
aplicabilidad.
El estudiante relaciona e interpreta expresiones del lenguaje
simblico y del lenguaje natural en la formulacin y representacin de
estructuras semnticas lgicas en trminos de variables y conectores
lgicos como elementos estructurales de la lgica proposicional
articulables a diferentes formas de comunicacin en diversos
contextos.
Captulos de la unidad:
Captulo 1: Introduccin a la lgica Captulo 2: Tautologas Captulo
3: Cuantificadores y crculos de Euler
-
Lgica Matemtica
62
CA
PT
UL
O 1
1 Captulo: Introduccin a la Lgica
Objetivo general
El propsito de este captulo es brindar al estudiante algunos
elementos del desarrollo histrico de la lgica matemtica y su
correspondiente
clasificacin. As como de brindar las herramientas para
identificar y construir
proposiciones lgicas.
Objetivos especficos
Realizar la clasificacin de la lgica
Reconocer el propsito de la lgica
Determinar la diferencia entre lenguaje natural y artificial
Analizar los componentes del proceso semitico
Distinguir las reas de la semitica
Identificar y construir proposiciones lgicas simples y
compuestas
Construir tablas de verdad
-
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MATEMTICA
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LLLeeecccccciiinnn NNNooo...111
IIInnntttrrroooddduuucccccciiinnn aaa lllaaa lllgggiiicccaaa
1.1 Contextualizacin Histrica de la Lgica
Concete a ti mismo ("gnosei seauton") es la frase que apareca en
el santuario del Dios Olmpico Apolo y que se atribuye a Tales de
Mileto (639 a.c), quien es considerado como el primer representante
de la filosofa occidental: tanto as como para reconocrsele como el
iniciador de la indagacin racional sobre el universo, a Tales de
Mileto se atribuye plantear explicaciones de la naturaleza sin
hacer referencia a lo sobrenatural.
Es as, como los precursores de la filosofa, llamados los
presocrticos, representaron una innovacin en el pensamiento, al
tratar de explicar las cosas por si mismas.
En el perodo Socrtico, los filsofos pasarn de preocuparse por
los temas de la naturaleza a ocuparse en el hombre. En este perodo
aparecen los sofistas, quienes profundizan en el arte de discutir,
a ellos debemos lo que en la lgica se denomina un sofisma,
argumentos que parecen vlidos pero que realmente no lo son.
Originalmente logos significa palabra o discurso, por lo que en
un principio se defini la lgica como la rama de la gramtica que se
ocupaba de ciertas formas de lenguaje.
Como la palabra es la expresin, o manifestacin del pensamiento y
el pensamiento racional es la base de la filosofa, puede decirse en
general, que la lgica es la ciencia del pensamiento racional; es
importante aclarar que la lgica no se ocupa del contenido de los
pensamientos sino de la manera o forma de los pensamientos.
En respuesta a la necesidad de construir argumentos, para
defender o refutar pensamientos de los dems, Aristteles,
considerado por los griegos El padre de la lgica, creo mtodos
sistemticos para analizar y evaluar dichos argumentos, para lo cual
desarroll la lgica proposicional estableciendo procedimientos para
determinar la verdad o falsedad de proposiciones compuestas.
El gran matemtico Gottfried Leibniz en 1646 fue el primero en
intentar reformar la lgica clsica, planteando que la dependencia
lgica entre proposiciones es demostrada reduciendo argumentos
complejos en simples, para lo cual propuso representar el
conocimiento en una forma que pudiera ser usado por un razonamiento
mecnico y a ste esquema (lgica simblica) lo llam una caracterstica
universal.2 2 Galindo Patio N. J. (1999). Lgica Matemtica.
Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD. Santa Fe de Bogot.
D.C. 1999
-
Lgica Matemtica
64
El proceso de la lgica continu en el siglo XIX. En 1847 el
matemtico ingls George Boole en compaa de Augustus de Morgan hizo
notar el parentesco entre las operaciones lgicas con las
matemticas, pues a partir de los operadores aritmticos de adicin,
multiplicacin y sustraccin crearon los operadores lgicos
equivalentes de unin, interseccin y negacin; adems formularon los
principios del razonamiento simblico y el anlisis lgico. A Boole se
le atribuye la invencin de las tablas de verdad para comprobar la
veracidad de proposiciones compuestas. 3
Este trabajo fue retomado por Bertrand Russell y Alfred
Whitehead en 1910 en su obra Principio Matemtico, quienes
codificaron la lgica simblica en su presente forma definindola como
la Ciencia de todas las operaciones conceptuales posib