Modul Metode Numerik

MODUL METODE NUMERIK | 1

MODUL

METODE NUMERIK

MUSTAFA ALFIAN NAINGGOLAN

122406120

KC-1 ‘12

D3 TEKNIK INFORMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2014


KATA PENGANTAR

Segala sesuatu yang berawal dari keingintahuan dan proses pembelajaran akan

membuat seseorang menjadi semakin berilmu. Bagai ilmu padi, semakin berisi maka sebaiknya

ia semakin menunduk. Semakin banyak ilmu yang dimiliki, maka semakin memahami bahwa

semua ini hanya milik Tuhan semata. Segala yang dijalani, segala yang dialami, segala yang

dini’mati hanyalah kepunyaan Tuhan semata. Segala ujian yang dihadapi akan menambah ilmu

dan kemampuan yang dimiliki adalah semata untuk selalu mensyukuri nikmat Tuhan YME.

Kehilangan, kepunyaan hanyalah sebuah benda yang datang dan pergi. Manusia akan sangat

kaya dan sukses ketikaia menjadi berarti dan berilmu serta mempunyai akhlak yang mulia.

Alhamdulillah, berkat restu dari Allah SWT modul METODE NUMERIK ini telah

diselesaikan dengan baik. Materi pada modul ini mencakup seluruh materi yang ada sebagai

aplikasi pemrograman berbasis matematika.

Suatu kebanggaan bagi saya untuk dapat menyelesaikan modul ini serta

mengaplikasikannya sehingga dapat digunakan oleh mahasiswa. Semoga dengan adanya

modul ini dapat membantu kinerja mahasiswa dalam meraih yang terbaik di mata kuliah ini

khususnya, serta penyelesaian pembelajaran sebagai mahasiswa pada umumnya.

Medan, 10 April 2014

( Mustafa Alfian Nainggolan)


DAFTAR ISI

Kata Pengantar ........................................................................................... 2

Daftar isi ........................................................................................... 3

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang ............................................................................... 5

1.2 Rumusan Masalah ............................................................................... 6

1.3 Tujuan ............................................................................... 6

BAB 2 PEMBAHASAN

2.1 Matlab ............................................................................... 7

2.2 Penggunaan Matlab .............................................................................. 8

2.3 Fungsi-fungsi Yang Digunakan Matlab .......................................... 9

2.4 Matrik Dalam Matlab .................................................................. 9

2.4.1 Cara Membuat Matriks ...................................................... 9

2.4.2 Ukuran Matriks Dan Matriks Khusus .............................. 10

2.5 Operasi Perhitungan Matriks ...................................................... 12

2.5.1 Penjumlahan dan Penguran .......................................... 12

2.5.2 Perkalian Matriks .................................................................. 13

2.5.3 Persamaan Linear Dalam Matriks .......................................... 15

2.5.4 Transposisi Matriks Dalam Matriks ............................. 16


2.6 Metode Gauss Dalam Matlab ..................................................... 17

2.7 Metode Gauss Jordan Dalam Matlab ......................................... 18


BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Metode numerik adalah teknik di mana masalah matematika diformulasikan sedemikian

rupa sehingga dapat diselesaikan oleh pengoperasian aritmetika (Chapra dan Chanale,

1991).

Metode numerik adalah teknik -teknik yang digunakan untuk merumuskan masalah

matematika agar dapat diselesaikan hanya dengan operasi hitungan, yang terdiri dari

operasi tambah, kurang, kali dan bagi (Susila, 1994 ; Ibraheem dan Hisyam, 2003).

Terdapat banyak jenis metode numerik, namun pada dasarnya, masing -masing

metode tersebut memiliki karakteristik umum, yaitu selalu mencakup sejumlah kalkulasi

aritmetika.

Jadi metode numerik adalah suatu teknik untuk memformulasikan masalah

matematika sehingga dapat diselesaikan dengan operasi aritmetika yang terdiri dari

operasi tambah, kurang, kali dan bagi (Rochmad, 2011).

Apa guna mempelajari metode numerik? - Di samping itu menurut Rochmad (2011)

ada sejumlah alasan mengapa orang menggunakan metode numerik untuk memecahkan

masalah yang dihadapinya. Disini saya menggunakan aplikasi


1.2 Rumusan Masalah

Sesuai dengan latar belakang masalah di atas dapat di rumuskan menjadi beberapa masalah

sebagai berikut :

1. Bagaimana cara mempelajari metode numerik.

2. Bagaimana rumus-rumus yang ada pada metode numerik.

1.3 Tujuan

Tujuan mempelajari metode numerik adalah sebagai berikut:

1. Mengerti rumus-rumus yang ada pada metode numerik.

2. Dapat menguasai pelajaran metode numerik.

3. Bisa mengatasi masalah dalam penyelesaian pada persoalan metode numerik.


BAB 2

PEMBAHASAN

Metode numerik adalah teknik di mana masalah matematika diformulasikan sedemikian rupa

sehingga dapat diselesaikan oleh pengoperasian aritmetika (Chapra dan Chanale, 1991);

metode numerik adalah teknik -teknik yang digunakan untuk merumuskan masalah matematika

agar dapat diselesaikan hanya dengan operasi hitungan, yang terdiri dari operasi tambah,

kurang, kali dan bagi (Susila, 1994 ; Ibraheem dan Hisyam, 2003).

Terdapat banyak jenis metode numerik, namun pada dasarnya, masing -masing metode

tersebut memiliki karakteristik umum, yaitu selalu mencakup sejumlah kalkulasi aritmetika.

Jadi metode numerik adalah suatu teknik untuk memformulasikan masalah matematika

sehingga dapat diselesaikan dengan operasi aritmetika yang terdiri dari operasi tambah, kurang,

kali dan bagi (Rochmad, 2011).

2.1 MATLAB

MATLAB adalah singkatan dari MATrix LABoratory. Pertama kali dibuat untuk

mempermudah penggunaan dua koleksi subrutin pada pustaka FORTRAN yaitu: LINPACK

dan EISPACK, dalam menangani komputasi matriks. Sejak itu, MATLAB berkembang

menjadi sebuah sistem yang interaktif sekaligus sebagai bahasa pemrograman untuk keperluan-

keperluan ilmiah, komputasi teknis, dan visualisasi.

Elemen data dasar MATLAB adalah matriks. Perintah-perintah diekspresikan dalam

bentuk yang sangat mirip dengan bentuk yang digunakan dalam matematika dan bidang teknik.

Contoh persamaan b=Ax, dengan A, b, dan x matriks, ditulis: b=A*x. Untuk mendapat solusi

x dari A dan b, tulis: x=A\b. Tidak diperlukan penulisan program khusus untuk operasi-operasi

matriks seperti perkalian matriks atau invers matriks. Oleh karena itu bahasa MATLAB


menyelesaikan masalah tersebut memerlukan waktu lebih cepat dibanding waktu yang

dibutuhkan bahasa pemrograman tingkat tinggi lain.

Pada pertengahan tahun 1970, Cleve Moler dan beberapa rekan tergabung dalam suatu

team pengembangan software yang dibiayai oleh The National Science Foundation untuk

tujuan membuat subrutin-subrutin dalam pustaka FORTRAN yang dinamai LINPACK dan

EISPACK. LINPACK berisi koleksi subrutin untuk penyelesaian persamaan linear, sementara

EISPACK adalah koleksi subrutin untuk penyelesaian masalah nilai pribadi (eigenvalue). Baik

LINPACK maupun EISPACK pada prinsipnya merupakan program untuk komputasi matriks.

Dipenghujung tahun 1970, Cleve ingin dapat mengajarkan kepada mahasiswa materi

aljabar linear di Universitas New Mexico menggunakan LINPACK dan EISPACK tanpa harus

menulis rutin-rutin program dalam bahasa FORTRAN. Berdasar keinginan tersebut, Cleve

mulai menulis program untuk memberikan kemudahan akses interaktif pada LINPACK dan

EISPACK. Cleve menamakan programnya dengan MATLAB yang merupakan singkatan dari

MATrix LABoratory. Beberapa tahun kemudian, ketika Cleve berkunjung ke universitas lain

untuk berbicara, atau sebagai Visiting Professor, Cleve meninggalkan duplikasi MATLABnya

pada komputer di universitas tersebut. Hanya dalam satu atau dua tahun, MATLAB versi

pertama ini telah menjadi buah bibir pembicaraan orang, terutama yang berada dalam

komunitas matematika terapan.

Dari hasil kunjungan Cleve di Universitas Stanford, sekitar awal tahun 1983, John

Little, seorang engineer, menampilkan MATLAB dengan memperkenalkan penerapan

MATLAB yang potensial dalam bidang-bidang keteknikan. Karena itu, dalam tahun 1983,

Little, Moler, dan Steve Bangert membentuk team untuk mengembangkan MATLAB generasi

kedua. MATLAB versi ini dibuat menggunakan bahasa C dan terintegrasi dengan grafik. The

MathWorks, Inc. didirikan tahun 1984 untuk memasarkan dan melanjutkan pengembangan

MATLAB.

2.2 Penggunaan Matlab

Adanya toolbox yang disebut MuPAD, memungkinkan akses terhadap kemampuan aljabar

komputer atau komputasi teknis.

a. Komputasi matematik


b. Analisis data.

c. Simulasi dan pemodelan

d. Grafik-grafik perhitungan.

e. Manipulasi matriks

f. Pem-plot-an fungsi dan data

g. Implementasi algoritma

h. Pembuatan antarmuka pengguna / interface (visualisasi )

i. Peng-antarmuka-an dengan program dalam bahasa lainnya

2.3 Fungsi-Fungsi Yang Digunakan MATLAB

Fungsinya adalah sebagai berikut:

a. Fungsi matematika,

b. Fungsi fisika,

c. Fungsi statistic,

d. Fungsi visualisasi.

2.4 Matrik Dalam Matlab

2.4.1 Cara Membuat Matriks

Matriks, ialah sekelompok bilangan yang tersusun dalam matriks segi-empat 2-dimensi. Di

dalam MATLAB didefinisikan dengan jumlah baris dan kolomnya. Di MATLAB terdapat

pula matriks berdimensi 3, 4, atau lebih, namun dalam blok ini kita batasi hingga 3-dimensi

saja. Matriks didefinisikan dengan kurung siku ( [ ] ) dan biasanya dituliskan baris-per-baris.

Tanda koma (,) digunakan untuk memisahkan kolom, dan titik-koma (;) untuk memisahkan

baris.

Kita juga bisa menggunakan spasi untuk memisahkan kolom dan menekan Enter ke

baris baru untuk memisahkan baris. Ada tiga cara untuk menuliskan matrik pada matlab yaitu:

a. pembuatan matriks yang menggunakan tanda (;) untuk memisahkan antar baris.


b. pembuatan matriks yang menggunakan (enter) untuk memisahkan antar baris.

c. pembuatan matriks dengan cara masing-masing baris didefinisikan menggunakan variabel-

variabel yang diikuti tanda (;) kemudian variabel-variabel tersebut disatukan menggunakan

tanda (;) pada varibel baru.

Contoh cara 1 , misal ada matiks A yang berukuran 3×3, maka penulisannya pada matlab yaitu

A=[1 2 3;4 6 -7;2 8 4]. Contoh cara 2, matriksnya pake matriks yang udah ada di cara 1.

A=[1 2 3 4 6 -7 2 8 4] Ini adalah cara yang salah. Cara yang benar adalah sebagai

berikut:

A1=[1 2 3];

A2= [4 6 -7];

A3=[2 8 4];

A=[A1;A2;A3]

Hasilnya juga akan sama. Pada cara 3 ini bermanfaat jika matriksnya berukuran cukup besar

dan mengandung beberapa elemen yang sama.

2.4.2 Ukuran Matriks dan Matriks Khusus

Untuk mengetahui ukuran atau dimensi dari matriks yang ada, kita bisa gunakan command

size dan length. size umumnya digunakan untuk matriks 2-dimensi, sementara length untuk

vektor.

Contohnya:

>> size(matrix1)

ans =

3 3

Ukuran matrix1 ialah 3-baris 3-kolom (33). Kita juga bisa menyimpan keluaran

command dalam variabel baru. maka sintaks yang digunakan adalah:

contoh

>> [jml_baris,jml_kolom]=size(gabung5)

jml_baris =

3


jml_kolom =

6

Sementara itu, untuk menghitung jumlah elemen dari suatu matriks, kita pergunakan

command prod. Misalkan untuk matriks gabung5, jumlah elemennya ialah;

>> jml_elemen=prod(size(gabung5))

jml_elemen =

18

Matlab menyediakan berbagai command untuk membuat dan memanipulasi matriks

secara efisien. Di antaranya ialah command untuk membuat matriks-matriks khusus,

manipulasi indeks matriks, serta pembuatan deret.

Mari kita bahas terlebih dahulu mengenai matriks khusus. Berbagai matriks khusus

yang kerap kita pergunakan dalam perhitungan bisa dibuat secara efisien dengan command

yang telah ada di MATLAB.

untuk lebih jelas, perhatikan contoh berikut:

>> mat_1=5*ones(2,4)

mat_1 =

5 5 5 5

5 5 5 5

>> mat_2=zeros(2,4)

mat_2 =

0 0 0 0

0 0 0 0

>> mat3=[eye(4) ones(4)*-2]

mat3 =

1 0 0 0 -2 -2 -2 -2

0 1 0 0 -2 -2 -2 -2

0 0 1 0 -2 -2 -2 -2

0 0 0 1 -2 -2 -2 -2

>> bil_acak_uniform=rand(1,10)

bil_acak_uniform =

Columns 1 through 6

0.8147 0.9058 0.1270 0.9134 0.6324 0.0975

Columns 7 through 10

0.2785 0.5469 0.9575 0.9649


>> gaussian_noise=randn(5,1)

gaussian_noise =

-0.4326

-1.6656

0.1253

0.2877

-1.1465

Misalkan kita ingin membuat 20 buah bilangan acak gaussian dengan rata-rata = 5 dan

varians = 3. dengan sintaks sebagai berikut :

>> mu=5; %Nilai mean

varians=3; %Nilai variansi

>>bil_acak_gaussian= sqrt(varians)*randn(1,20) + mu

untuk hasil atau outputnya dapat pembaca mempraktekan sintaks tersebut.

2.5 Operasi Perhitungan Matriks

2.5.1 Penjumlahan Dan Pengurangan

Penjumlahan dua matriks, A+B, dan selisih dua matriks, A–B, terdefinisi jika A dan B

berukuran sama. Namun demikian, penjumlahan/pengurangan juga bisa dilakukan antara

matriks dengan skalar. Untuk jelasnya mari kita praktekkan contoh berikut ini.

>> A=[0 1;2 3];

>> B=[4 5;6 7];

>> Jumlah=A+B, Selisih=A-B, Tambah50=A+50

Jumlah =

4 6

8 10

Selisih =


-4 -4

-4 -4

Tambah50 =

50 51

52 53

2.5.2 Perkalian Matriks

Perkalian matriks, misalkan C = AB, terdefinisi jika jumlah kolom di A sama dengan jumlah

baris di B. Selain itu, perkalian juga bisa dilakukan antara matriks dengan skalar. Kita akan

lanjutkan contoh sebelumnya.

>> A,B

A =

0 1

2 3

B =

4 5

6 7

>> MultAB=A*B, MultBA=B*A

MultAB =

6 7

26 31


MultBA =

10 19

14 27

>> x=[3 2 1], y=[100;10;1]

x =

3 2 1

y =

100

10

1

>> z1=x*y, z2=y*x

z1 =

321

z2 =

300 200 100

30 20 10

3 2 1


2.5.3 Persamaan Linear Dalam Matriks

Kita sering menemui persamaan linier dengan beberapa variabel. Di dalam aljabar, solusi

persamaan tersebut bisa ditemukan, salah satunya dengan menggunakan matriks. Misalkan

kita tinjau sistem persamaan linier dengan variabel x1 dan x2 . Dalam bentuk matriks dapat

kita tuliskan menjadi :

Dalam MATLAB kita tuliskan:

>> A=[1 –2;12 5]; B=[32;7];

>> X=inv(A)*B

X =

6.0000

-13.0000

Sehingga kita dapatkan solusi x= 6 dan x = -13. Atau kita juga bisa mendapatkan

solusi tersebut dengan operator pembagian terbalik:

>> X=A\B

X =

6.0000

-13.0000

Sebagai bahan latihan, cobalah pembaca pecahkan persamaan linier dengan tiga

variabel berikut ini. (biar ga ngantuk, dan nambah pinter heheheh ( ^_~))

x + 2y + 3z = 2

4x + 5y + 6z = -5,5

7x + 8y – 9z = -49


2.5.4 Transposisi Matriks

Salah satu operasi yang penting dalam matriks ialah transposisi, dituliskan dalam MATLAB

dengan operator petik tunggal ( ‘ ) dan titik-petik ( .’ ). Operasi ini mempertukarkan baris

dan kolom dari suatu matriks.

>> Mat_riil=[1 0; 3 5], Mat_kompleks=[1+2i 3i; 1 2+3i]

Mat_riil =

1 0

3 5

Mat_kompleks =

1.0000 + 2.0000i 0 + 3.0000i

1.0000 2.0000 + 3.0000i

>> Transp_riil=Mat_riil’,Transp_kompleks=Mat_kompleks’

Transp_riil =

1 3

0 5

Transp_kompleks =

1.0000 – 2.0000i 1.0000

0 – 3.0000i 2.0000 – 3.0000i

>> Transp_riil2=Mat_riil.’

Transp_riil2 =


1 3

0 5

>> Transp_kompleks2=Mat_kompleks.’

Transp_kompleks2 =

1.0000 + 2.0000i 1.0000

0 + 3.0000i 2.0000 + 3.0000i

2.6 Metode Gauss Dalam Matlab

Metode gauss digunakan untuk mencari akar sistem persamaan linier. Metode eliminasi

Gauss adalah suatu metode untuk mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga

menjadi matriks yang lebih sederhana lagi. Dengan melakukan operasi baris sehingga matriks

tersebut menjadi matriks yang baris.

Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan

menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks

teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks baris, lakukan substitusi

balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.

Kelebihan dan Kekurangan

Metode ini digunakan dalam analisis numerik untuk meminimalkan mengisi selama eliminasi,

dengan beberapa tahap

Keuntungan :

a. menentukan apakah sistem konsisten

b. menghilangkan kebutuhan untuk menulis ulang variabel setiap langka

ebih mudah untuk memecahkan

Kelemahan :

a. memiliki masalah akurasi saat pembulatan desimal


Langkah-langkahnya adalah:

a. Ubah sistem persamaan linier menjadi bentuk matriks (berordo nx(n+1))

Berdasarkan bentuk persamaan linier point 5, maka bentuk matriksnya:

(

𝑎11 𝑎12 𝑎13 … 𝑎1𝑛 𝑏1𝑎21 𝑎22 𝑎23 … 𝑎2𝑛 𝑏2𝑎31…𝑎𝑛1

𝑎32…𝑎𝑛2

𝑎33…𝑎𝑛3

………

𝑎3𝑛 𝑏3… …

𝑎𝑛𝑛 𝑏𝑛)

(

𝑎11 𝑎12 𝑎13 … 𝑎1𝑛 𝑏10 𝑎22 𝑎23 … 𝑎2𝑛 𝑏2

0…0

0…0

𝑎33…0

……0

𝑎3𝑛 𝑏3… …


b. Melakukan reduksi baris di bawah diagonal utama sehingga nilainya adalah o

(nol)

a. Periksa terlebih dahulu pivot/poros. Poros 0; jika bernilai 0, maka baris

poros harus ditukar baris di bawahnya yang porosnya tidak nol

b. Pivot dimulai dari baris pertama kolom pertama

c. Lakukan reduksi baris pada baris berikutnya kolom pertama

d. Jika kolom pertama baris-baris di bawah baris poros sudah nol, maka cari

poros berikutnya

e. Lakukan reduksi terus menerus sesuai dengan poros yang telah ditetapkan

sampai nilai elemen di bawah diagonal utama menjadi nol (0)

c. Melakukan substitusi mundur (mulai dari baris paling bawah) untuk menentukan

nilai variabel

2.7 Metode Gauss Jordan Dalam Matlab

Salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier adalah

metode eliminasi Gauss-Jordan. Metode ini diberi nama Gauss-Jordan untuk menghormati

CarlFriedrich Gauss dan Wilhelm Jordan. Metode ini sebenarnya adalah modifikasi dari

metode eliminasi Gauss, yang dijelaskan oleh Jordan di tahun 1887.

Metode Gauss-Jordan ini menghasilkan matriks dengan bentuk baris eselon yang

tereduksi(reduced row echelon form), sementara eliminasi Gauss hanya menghasilkan matriks

sampai padabentuk baris eselon (row echelon form).

Selain untuk menyelesaikan sistem persamaan linier, metode eliminasi Gauss-Jordan

ini dapat. Metode Eliminasi Gauss : metode yang dikembangkan dari metode eliminasi, yaitu

menghilangkanatau mengurangi jumlah variable sehingga dapat diperoleh nilai dari suatu

variable yang bebas.


Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih

sederhana lagi. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss sehingga

menghasilkan matriks yang Eselon-baris. Ini juga dapat digunakan sebagai salah satu metode

penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks.

Metode ini digunakan untuk mencari invers dari sebuah matriks. Prosedur umum untuk

metode eliminasi Gauss-Jordan ini adalah:

1. Ubah sistem persamaan linier yang ingin dihitung menjadi matriks augmentasi.

2. Lakukan operasi baris elementer pada matriks augmentasi (A|b) untuk mengubah matriks

A menjadi dalam bentuk baris eselon yang tereduksi

Pengubahan dilakukan dengan membuat matriks yang elemen-elemennya adalah koefisien-

koefisien dari sistem persamaan linier.

Sedangkan langkah-langkah pada operasi baris elementer yaitu :

a. Menukar posisi dari 2 baris.

Ai ↔Aj

b. Mengalikan baris dengan sebuah bilangan skalar positif.

Ai = k*Aj

c. Menambahkan baris dengan hasil kali skalar dengan baris lainnya

Algoritma Metode Eliminasi Gauss adalah:

a. Masukkan matrik A, dan vektor B beserta ukurannya n

b. Buat augmented matrik [A|B] namakan dengan A

c. Untuk baris ke i dimana i=1 s/d n, perhatikan apakah nilai ai,i =0 :

Bila ya :

pertukarkan baris ke i dan baris ke i+k≤n, dimana ai+k ,i ≠0, bila tidak ada berarti perhitungan

tidak bisa dilanjutkan dan proses dihentikan dengan tanpa penyelesaian. Bila tidak : lanjutkan

4. Untuk baris ke j, dimana j = i+1 s/d n

Kelebihan dan Keuntungan :

Mengubah sistem persamaan linier yang ingin dihitung menjadi matriks augmentasi.

merupakan variasi dari eliminasi gauss dengan kebutuhan dapat mgenyelesaikan matriks invers


Eliminasi gauss digunakan untuk mencari akar sistem persamaan linier.

Langkah penyelesaian:

1. Ubah sistem persamaan linier menjadi bentuk matriks (berordo nx(n+1))

Berdasarkan bentuk persamaan linier point 5, maka bentuk matriksnya:

(

𝑎11 𝑎12 𝑎13 … 𝑎1𝑛 𝑏1𝑎21 𝑎22 𝑎23 … 𝑎2𝑛 𝑏2𝑎31…𝑎𝑛1

𝑎32…𝑎𝑛2

𝑎33…𝑎𝑛3

………

𝑎3𝑛 𝑏3… …


(

1 0 0 … 0 𝑏10 1 0 … 0 𝑏2

0…0

0…0

1…0

………

0 𝑏3… …

1 𝑏𝑛)

2. Melakukan operasi baris elementer, artinya membuat nilai elemen di bawah dan di

atas diagonal utama sehingga nilainya adalah o (nol)

a. Periksa terlebih dahulu pivot/poros. Poros = 1;

i. jika bernilai 0, maka baris poros harus ditukar baris di bawahnya

yang porosnya tidak nol

ii. jika bernilai 1,

1. kalikan baris poros dengan 1 𝑝𝑜𝑟𝑜𝑠⁄

2. kurangi baris poros dengan baris di bawahnya supaya poros

bernilai 1 (satu)

iii. jika bernilai < 0, maka kalikan dengan −1 𝑝𝑜𝑟𝑜𝑠⁄

b. Pivot dimulai dari baris pertama kolom pertama

c. Lakukan reduksi baris pada baris berikutnya kolom pertama

d. Jika kolom pertama baris-baris di bawah baris poros sudah nol, maka cari

poros berikutnya

e. Lakukan reduksi terus menerus sesuai dengan poros yang telah ditetapkan

sampai nilai elemen di bawah diagonal utama menjadi nol (0)

f. Dimulai dari baris terakhir cari pivot/poros yang nilainya tidak nol

g. Lakukan reduksi baris-baris yang berada di atas pivot/poros supaya nilai

elemennya menjadi nol (0) dan dikerjakan ke arah atas

h. Lakukan poin f s/d g sampai nilai di atas diagonal utama adalah nom (0)

i. Jika didapatkan matriks yang nilai elemen diagonalnya belum nol (0), maka

lakukanlah perkalian matriks tersebut dengan matriks kolom dengan tujuan

membuat nilai diagonal utama menjadi nol.


BAB 3

PENUTUP

3.1 Kesimpulan

Kesimpulan yang dapat kita ambil dari pembahasan-pembahasan diatas bahwa banyak cara

yang dapat digunakan dalam menyelesaikan suatu matriks. Dengan memahami metode-

metode yang ada kita dapat dengan mudah menyelesaikan suatu persoalan matriks.

3.2 Kata Penutup

Demikianlah yang dapat saya berikan dalam modul ini dan saya sadar masih banyak

kekurangan pada modul saya ini. Namun saya akan terus mencoba memperbaikinya, dan

semoga para pembaca dapat memaklumi kelemahan dan kekurangan saya. Terima Kasih.

Saya berharap kepada para pembaca sudi kiranya memberikan kritik dan saran yang

membangun kepada saya, demi sempurnanya modul ini dan penulisan modul di kesempatan-

kesempatan berikutnya. Semoga ini berguna bagi kita semua. Terima Kasih.


DAFTAR PUSTAKA

http://risqi.blog.com/files/2010/12/MODUL-MATA-KULIAH3.pdf

http://arisgunaryati.files.wordpress.com/2012/04/38897195-modul-metode-numerik.pdf

http://bisonerich-matlab.blogspot.com/2009/02/matlab-dasar.html

http://ilmukomputer.org/wp-content/uploads/2007/08/firman-dasarmatlab.pdf

http://risqi.blog.com/files/2010/12/MODUL-MATA-KULIAH3.pdf

http://arisgunaryati.files.wordpress.com/2012/04/38897195-modul-metode-numerik.pdf

http://bisonerich-matlab.blogspot.com/2009/02/matlab-dasar.html

http://ilmukomputer.org/wp-content/uploads/2007/08/firman-dasarmatlab.pdf

Modul Metode Numerik

Documents