Modul Matematika SMA i - · PDF filepengurangan, perkalian, ... Kerjakan soal-soal dalam cek kemampuan untuk mengukur sampai ... Memahami bilangan berpangkat pecahan i

Modul Matematika SMA i

Modul Matematika SMA i

Tim Penyusun :

Liya Nur Qori‟ah (1724143141)

Lusiana Dian Silviani (1724143146)

Masdain Rifa‟I (1724143153)

Muchamad Misbakhudin (1724143158)

Muhammad Eko Budi Rismanto (172143170)

Naela Nur Azizah (1724143178)

Niken Nur Fadilla (1724143182)

Nurma Ekyta Sari (1724143195)

Neti Wahyu H (1724143278)

Nurul Qomaria (1724143198)

Retno Fadilah (1724143207)

Roisatun Nisak (1724143218)

Sinta Kumalasari (1724143226)

Titis Nurul Hanifah (1724143245)

Ulfa Lailatu Khusnia (1724143250)

Ummiy Mitsla Khusnika (1724143257)

Ulil Hikmah (1724143253)

Yulya Elfrida Achmad (1724143269)

Yuyun Ridhowati (1724143272)

Tim Editor :

Muhammad Eko Budi Rismanto (1724143170)

Mochamad Misbakhudin (1724143158)

Modul Matematika SMA ii

KATA PENGANTAR

Matematika itu sebagai ilmu dasar yang dipakai di segala bidang ilmu

pengetahuan pada saat ini, yang telah berkembang sangat amat pesat baik dari

materi maupun kegunaannya. Oleh karena itu, kami akan mencoba membuat

sebuah modul, yang mana modul ini kami kaji dari bebrbagai buku-buku

Matematika SMA/MA kurikulum 2013.

Yang mana tujuan dari pembuatan modul ini adalah:

1. Mempersiapkan siswa agar mampu/berkompeten dalam menghadapi

perubahan kehidupan dan mempertahankan budaya bangsa dan era

globalisasi di masa yang akan datang

2. Menanamkan sifat dasar pola berfikir logis, sistematis, rasional, kritis,

cermat, tekun, jujur, efisien, dan efektif.

pada kesempatan ini penulis menyampaikam terima kasih yang sebesar-

besarnya kepada :

1. Ibu Dian Septi Nur Afifah, selaku dosen mata kuliah Kajian &

Pengembangan Bahan Ajar Matematika yang telah membimbing dalam

pelaksanaan dan penyusunan modul ini.

2. Kedua orang tua serta semua pihak yang telah membantu dalam

penyelesaian pembuatan modul ini.

Kami menyadari bahwa penyusunan modul ini masih jauh dari

kesempurnaan. Oleh karena itu, kami sebagai penyusun sangat menghargai kritik

dan saran kepada pembaca modul ini. Semoga apa yang kami samapaikan dari

modul ini bisa bermanfaat bagi para siswa sekalian.

Selamat belajar, para siswa! Pahami dan kuasailah semua konsep dasar

hingga dapat menjawab semua soal yang ada dalam modul ini. Jadi, kalian dapat

merasakan bahwa matematika itu indah, mudah, dan menyenangkan.

Tulungagung, Desember 2015

Penyusun

Modul Matematika SMA iii

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ................................................................................... ii

DAFTAR ISI .................................................................................................. iii

BAB I BENTUK PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA ................... 1

1.1 Pendahuluan ................................................................................. 2

1.2 Pembahasan .................................................................................. 7

1.2.1 Rencana Belajar Siswa .............................................. 7

1.2.2 Kegiatan Belajar 1...................................................... 7





1.3 Evaluasi ......................................................................................... 30

BAB II FUNGSI KUADRAT ....................................................................... 32

2.1 Pendahuluan ....................................................................................... 33

2.2 Pembahasan ........................................................................................ 38

2.2.1 Rencana Belajar Siswa ............................................... 38

2.2.2 Kegiatan Belajar 1 ...................................................... 38


2.3 Evaluasi ............................................................................................... 52

BAB III SISTEM PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINIER . 54

3.1.Pendahuluan ....................................................................................... 55

3.2.Pembelajaran ...................................................................................... 59

3.2.1 Rencana Belajar Siswa ............................................... 59





3.3.Evaluasi ............................................................................................... 83

BAB IV TRIGONOMETRI ......................................................................... 90

4.1 Pendahuluan ...................................................................................... 91

4.2 Pembahasan ....................................................................................... 96

Modul Matematika SMA iv

4.2.1 Rencana Belajr Siswa ................................................ 96

4.2.2 Kegiatan Belajar 1 ..................................................... 96




4.3 Evaluasi .............................................................................................. 125

BAB V LOGIKA ............................................................................................ 127

5.1 Pendahuluan ..................................................................................... 128

5.2 Pembahasan ...................................................................................... 133

5.2.1 Rencana Belajar Siswa ............................................. 133

5.2.2 Kegiatan Belajar 1 .................................................... 133



5.3 Evaluasi ............................................................................................. 153

BAB VI DIMENSI TIGA .............................................................................. 156

6.1 Pendahuluan ..................................................................................... 157

6.2 Pembahasan ...................................................................................... 162






6.3 Evaluasi ............................................................................................. 188

BAB VII STATISTIKA ................................................................................. 191

7.1 Pendahuluan ..................................................................................... 192

7.2 Pembahasan ...................................................................................... 199







Modul Matematika SMA v

7.3 Evaluasi ............................................................................................. 238

BAB VIII LINGKARAN ............................................................................... 243

8.1 Pendahuluan ..................................................................................... 244

8.2 Pembahasan ...................................................................................... 249






8.3 Evaluasi ............................................................................................. 283

BAB IX SUKUBANYAK ............................................................................... 285

9.1 Pendahuluan ..................................................................................... 286

9.2 Pembahasan ...................................................................................... 291




9.3 Evaluasi ............................................................................................. 314

DAFTAR PUSTAKA ..................................................................................... 316

LAMPIRAN

Modul Matematika SMA 1

BAB 1


1.1 PENDAHULUAN

1.1.1 Deskripsi

Dalam modul ini akan dipelajari tentang bilangan bulat pangkat

positif, negatif, pecahan, bentuk akar, merasionalkan penyebut bentuk

akar, dan logaritma, dimana di dalam modul ini akan dijelaskan

mengenai materi tersebut serta membantu siswa-siswi lebih memahami

akan materi itu.

1.1.2 Prasyarat

Dalam mempelajari modul ini, para siswa diharapkan telah

menguasai kompetensi sebelumnya yaitu dasar-dasar penjumlahan,

pengurangan, perkalian, dan pembagian bilangan real.

1.1.3 Petunjuk Penggunaan Modul

Untuk mempelajari modul ini, hal-hal yang perlu diperhatikan

antara lain adalah:

a. Pelajari daftar isi serta kedudukan modul dengan cermat dan teliti.

Karena dalam skema modul akan tampak kedudukan modul yang

sedang anda pelajari dengan modul-modul yang lain.

b. Kerjakan soal-soal dalam cek kemampuan untuk mengukur sampai

sejauh mana pengetahuan dan kemampuan yang telah anda miliki.

c. Apabila dari soal cek kemampuan telah anda kerjakan mendapat

score (nilai) 70, maka anda dapat langsung menuju Evaluasi untuk

mengerjakan soal-soal tersebut. Tetapi bila hasil jawaban tidak

mencapai nilai 70, maka anda harus mengikuti kegiatan

pembelajaran dalam modul ini.

d. Pahami setiap materi teori dasar yang akan menunjang dalam

penugasan suatu pekerjaan dengan membaca secara teliti.

e. Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakan semua soal

latihan yang ada. Jika dalam mengerjakan soal menemui kesulitan,

kembalilah mempelajari materi terkait.


f. Kerjakanlah soal evaluasi dengan cermat. Jika anda menemui

kesulitan dalam mengerjakan soal evaluasi maka kembalilah

mempelajari materi terkait.

g. Jika anda menemui kesulitan yang sulit dipecahkan, maka catatlah

dan kemudian tanyakan kepada guru saat kegiatan belajar mengajar

atau bacalah referensi lain yang berhubungan dengan materi yang

terkait.

1.1.4 Tujuan Akhir

Setelah melaksanakan seluruh kegiatan belajar dalam modul ini

diharapkan anda dapat :

a. Memahami bilangan bulat pangkat positif , negatif dan nol

b. Memahami sifat-sifat bilangan berpangkat bulat

c. Memahami bentuk akar

d. Memahami sifat-sifat bentuk akar

e. Menyederhanakan bentuk akar

f. Menghitung operasi aljabar bentuk akar

g. Merasionalkan penyebut bentuk akar

h. Memahami bilangan berpangkat pecahan

i. Mengenal pengertian logaritma

j. Mengenal penulisan dan cara membaca logaritma

k. Mengenal sifat-sifat logaritma

l. Menentukan nilai logaritma

m. Menyederhanakan bentuk logaritma dengan sifat logaritma

n. Menentukan logaritma suatu bilangan dengan menggunakan

kalkulator


1.1.5 Kompetensi

Kode Unit :

Judul Unit : Pangkat dan Akar

Uraian Unit : Uraian ini berlaku untuk materi tentang pangkat dan akar

Sub Kompetensi Indikator

1. Bilangan bulat pangkat

positif, negatif, nol,

dan pecahan

1.1 Pengertian pangkat bulat positif

1.2 Sifat-sifat operasi pangkat bulat positif

1.3 Pangkat bulat negatif dan nol

1.4 Pengertian bilangan pangkat pecahan

1.5 Penyelesaian operasi aljabar bilangan

pangkat pecahan

2. Bentuk akar 2.1 Mengenal dan memahami bentuk akar

2.2 Operasi penjumlahan dan pengurangan

bentuk akar

2.3 Operasi perkalian dan pembagian bentuk

akar

2.4 Merasionalkan penyebut bentuk akar

2.5 Menyederhanakan bentuk akar

3. Logaritma 3.1 Mengenal pengertian logaritma

3.2 Mengenal penulisan dan cara membaca

logaritma

3.3 Mengenal dan memahami sifat-sifat

logaritma

3.4 Menentukan nilai logaritma

3.5 Penyederhanaan bentuk loaritma dengan

menggunakan sifat logaritma

3.6 Menentukan logaritma suatu bilngan

dengan menggunakan kalkulator

Acuan Penilaian

1. Unit kompetensi ini dapat diujikan secara langsung kepada peserta didik

di kelas

2. Aspek-aspek kritikal yang dinilai

Mengenal bilangan pangkat positif, negatif, dan nol

Mengenal bentuk akar

Mampu menyelesaikan operasi aljabarnya

Mengenal dan memahami pengertian logaritma

Dapat menyederhanakan bentuk logaritma dengan sifat logaritma

3. Kompetensi yang harus dikuasai sebelumnya yaitu operasi aljabar

4. Sikap yang dituntut:

Mengerjakan dengan rapi dan bersih

Mengerjakan dengan ketelitian

Efisien dan optimal dalam mengerjakan

Bersikap positif dan terbuka terhadap penilaian hasil pekerjaan oleh atasan


1.1.6 Cek Kemampuan

Petunjuk:

Berilah tanda ( ), pada kolom Jawaban : Ya atau Tidak jawaban yang

anda pilih.

....................,............... 20......

No Pertanyaan Jawaban

Ya Tidak

1. Apakah anda mengetahui apa itu bilangan berpangkat bulat

positif, negatif, dan nol ?

2. Apakah anda mengetahui sifat-sifat bilangan berpangkat bulat ?

3. Apakah anda mengetahui bentuk akar ?

4. Apakah anda mengetahui sifat-sifat bentuk akar ?

5. Apakah anda mengetahui cara penyederhanaan bentuk akar ?

6. Apakah anda dapat menyelesaikan operasi aljabar bentuk akar ?

7. Apakah anda dapat merasionalkan penyebut bentuk akar ?

8. Apakah anda memahami bilangan berpangkat pecahan ?

9. Apakah anda mengetahui pengertian logaritma ?

10. Apakah anda mengenal dan memahami sifat-sifat logaritma ?

Skor (nilai)


Sifat Logaritma

Nilai

Eksponen dan

Logaritma

Pangkat Bulat Positif,

Negatif, Nol, dan Pecahan Bentuk Akar Logaritma

Sifat-Sifat

Bentuk

Akar

Operasi

Aljabar

Sifat-sifat

Pangkat

Bulat

Logaritma

Operasi

Aljabar

PETA KONSEP


1.2 PEMBAHASAN

1.2.1 Rencana Belajar Siswa

a. Pada setiap kegiatan belajar, pahamilah uraian tujuan kegiatan belajar,

agar mengetahui kemampuan apa yang akan dicapai pada setiap

kegiatan.

b. Peralatan dan bahan yang harus dibawa pada pertemuan atau tatap

muka berikutnya harus dibaca sebelum kegiatan dilaksanakan.

c. Sebelum melaksanakan kegiatan harus memahami terlebih dahulu

setiap langkah kerja yang dilaksanakan, apabila kurang jelas dapat

menanyakan kepada guru/instruktur.

d. Kerjakanlah setiap latihan dengan bersungguh-sungguh agar

kemampuan anda yang sebenarnya diketahui

1.2.2 Kegiatan Belajar I

1.2.2.1 Bilangan Berpangkat Bulat

A. Definisi Pangkat Bulat Positif

Perhatikan bentuk perkalian berikut.

32 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 25

81 = 3 x 3 x 3 x 3 = 34

Bentuk perkalian tersebut menurut perkalian faktor-faktor yang

berulang. Perkalian faktor-faktor yang berulang dapat dituliskan

dalam bentuk bilangan berpangkat bulat positif.

Definisi bilangan berpangkat bulat positif

Untuk ɑ bilangan real dan n bilangan bulat positif berlaku ɑn = ɑ

x ɑ x ɑ x ... x ɑ , dimana ɑ > 0, n > 0, dan ɑ € R. ɑn

dibaca “ɑ pangkat


n” disebut bilangan berpangkat (bilangan eksponen), ɑ disebut

bilangan pokok (basis), dan n disebut pangkat (eksponen).

B. Sifat-Sifat Bilangan Berpangkat Bulat Positif

Sifat pertama bilangan berpangkat adalah tentang pekalian

bilangan-bilangan berpangkat dengan bilangan pokok yang sama.

Untuk ɑ bilangan real, m dan n bilangan bulat positif berlaku

sifat: ɑm

x ɑn = ɑ

m+n

Untuk mengalikan bilangan-bilangan berpangkat dengan

bilangan pokok yang sama, tambahkan pangkatnya dan gunakan

bilangan pokok bersama.

Contoh:

65 x 6

3 = 6

8

65 x 6

3 = (6.6.6.6.6) x (6.6.6)

= (6.6.6.6.6.6.6.6)

65 x 6

3 = 6

8

Sifat kedua bilangan berpangkat adalah tentang pembagian

bilangan-bilangan berpangkat dengan bilangan pokok yang sama.


sifat: (ɑ𝑚

ɑ𝑛) = ɑ

m-n dengan ɑ ≠ 0

Untuk membagi bilangan-bilangan berpangkat, dengan bilangan

pokok yang sama, kurangkan pangkatnya dan gunakan bilangan

pokok bersama.

Contoh:

𝑥7

𝑥3 =

𝑥 .𝑥 .𝑥 .𝑥 .𝑥 .𝑥 .𝑥

𝑥 .𝑥 .𝑥

= 𝑥. 𝑥. 𝑥. 𝑥

𝑥7

𝑥3 = 𝑥4

Sifat ketiga adalah tentang suatu pernyataan yang mengandung

bilangan berpangkat diberi pangkat lain.


sifat: (ɑm

)n = ɑ

mxn


Contoh:

(53)2 = (5

3) (5

3)

= 53+3

= 56

Sifat keempat adalah tentang suatu perkalian yang diberi

pangkat.

(ɑ x b)m

= ɑ𝑚 b𝑚

Misalnya:

(2 x 3)5

= (2 x 3) . (2 x 3) . (2 x 3) . (2 x 3) . (2 x 3)

= (2 x 2 x 2 x 2 x 2) . (3 x 3 x 3 x 3 x 3)

= 25 x 3

5

Sifat kelima adalah tentang suatu pembagian yang diberi

pangkat.

Untuk ɑ dan b bilangan real, b ≠ 0, dan m adalah bilangan bulat

positif berlaku sifat: (𝑎

𝑏)m

= 𝑎𝑚

𝑏𝑚 dengan b ≠ 0

Suatu pembagian yang dipangkatkan adalah sama dengan

pembagian bilangan-bilangan itu setelah masing-masing

dipangkatkan.

Definisi bilangan berpangkat nol

Untuk ɑ ≠ 0, berlaku a0 = 1

Contoh:

80

= 1, (ab)0 = 1 untuk ɑ ≠ 0 dan b ≠ 0

Definisi bilangan berpangkat bulat negatif

Jika ɑ adalah bilangan real, ɑ ≠ 0, dan n bilangan bulat positif

maka ɑ-n

= 1

𝑎𝑛 atau

1

𝑎−𝑛 = ɑ

n

Contoh:

2−1 = 1

2

3−2 = 1

32 = 1

9


1.2.2.2 Rangkuman

1. Jika 𝒂 bilangan real dan n bilangan bulat positif maka ɑ𝒏

ditentukan oleh: ɑ𝒏 = 𝒂 × 𝒂 ×…× 𝒂, dengan 𝒂 disebut bilangan

pokok dan 𝒏 disebut pangkat.

2. Sifat-sifat bilangan berpangkat bulat

Untuk sebarang bilangan real 𝒂 dan 𝒃 serta sebarang bilangan

bulat m dan n berlaku :

ɑ𝒎 × 𝒂𝒏 = 𝒂𝒎+𝒏

(𝒂𝒃)𝒎 = 𝒂𝒎 × 𝒃𝒎

𝒂𝒎 𝒏 = 𝒂𝒎×𝒏

ɑ𝒎

ɑ𝒏= 𝒂𝒎−𝒏,𝒅𝒆𝒏𝒈𝒂𝒏 𝒎 > 𝑛 𝑑𝑎𝑛 𝑎 ≠ 0 0

𝒂

𝒃 𝒎

=𝒂𝒎

𝒃𝒎,𝒅𝒆𝒏𝒈𝒂𝒏 𝒃 ≠ 𝟎

𝒂𝟎 = 𝟏,𝒅𝒆𝒏𝒈𝒂𝒏 𝒂 ≠ 𝟎

𝒂−𝒏 =𝟏

𝒂𝒏,𝒅𝒆𝒏𝒈𝒂𝒏 𝒂 ≠ 𝟎

1.2.2.3 Tes Formatif

1. Sederhanakan hasil operasi bilangan berpangkat berikut :

a. 25 × 29 b. 35 × 36 c. 45×43

43

2. Dengan menggunakan sifat bilangan berpangkat, sederhanakan bentuk

berikut:

a. 4−3

4−2 b. 3−4 c. 𝑥3

𝑥3


1.2.2.4 Lembar Penilaian

Nama :

No. Absen :

Judul Tugas :

No. Kriteria Penilaian Rentang Nilai Nilai Prestasi

1. Benar cara maupun hasilnya 0 – 60

2. Benar cara, hasil salah 0 – 20

3. Benar hasil, cara salah 0 - 20

Jumlah Jumlah x 100%

Jumlah Nilai Akhir

Kesimpulan : Lulus / Tidak Lulus

…………….,………………..20…


1.2.3 Kegiatan Belajar 2

1.2.3.1 Bentuk Akar dan Pangkat Pecahan

a. Pemahaman Bentuk Akar

Pernyataan bentuk akar 𝑥𝑛

, dengan 𝑛 bilangan bulat yang lebih

besar daripada 1. Adapun n disebut indeks dan notasi disebut

tanda akar. Notasi untuk akar pangkat tiga ditulis 𝑥3

, sedangkan

notasi untuk akar kuadrat ditulis 𝑥2

atau lebih sering disingkat

dengan 𝑥 . selanjutnya akan dipelajari tentang bentuk akar kuadrat.

Suatu bilangan dikatakan sebagai bentuk akar kuadrat jika

bilangan yang terdapat di dalam tanda bukan bilangan kuadrat.

Beberapa bilangan kuadrat ditunjukkan pada tabel berikut.

Bilangan kuadrat Akar positif dari N

N 𝑁

0,16 0,4

0,36 0,6

1

4

1

2

1

64

1

8

0 0

1 1

4 2

9 3

16 4

25 5

36 6

49 7

64 8

81 9

100 10


b. Sifat-Sifat Bentuk Akar

Sifat-sifat bentuk akar memudahkan Anda untuk menyelesaikan

operasi aljabar yang melibatkan bentuk akar. Perhatikan sifat-sifat

bentuk akar berikut :

1. 𝑎2 = ɑ; ɑ ≥ 0

2. 𝑎 𝑥 𝑏 = 𝑎 x 𝑏; ɑ ≥ 0 dan b ≥ 0

3. 𝑎

𝑏 =

𝑎

𝑏; ɑ ≥ 0 dan b > 0

4. 𝑎𝑛𝑚

= 𝑎𝑚𝑛

c. Menyederhanakan Bentuk Akar

Untuk memudahkan penggunaan bentuk akar dalam operasi

aljabar, sebaiknya bentuk aljabar dituliskan dalam bentuk yang paling

sederhana. Penulisan bentuk akar dikatakan sederhana jika memenuhi

syarat-syarat sebagai berikut :

1. Tidak memuat faktor yang pangkatnya lebih dari satu.

Contoh:

𝑥 , x > 0

𝑥5 dan 𝑥3 bukan bentuk sederhana, bentuk sederhananya

adalah 𝑥2 𝑥 dan x 𝑥

2. Tidak ada bentuk akar pada penyebut

Contoh:

1

𝑥 bukan bentuk sederhana

1

𝑥 =

1

𝑥 𝑥

𝑥

𝑥

= 𝑥

𝑥 bentuk sederhana

3. Tidak mengandung pecahan

Contoh:

5

2 bukan bentuk sederhana


10

2 bentuk sederhana

d. Operasi Aljabar Bentuk Akar

Penjumlahan dan pengurangan

Bentuk aljabar hanya bisa dijumlahkan atau dikurangkan

pada variabel-variabel yang sejenis. Begitupula dengan

penjumlahan dan pengurangan bentuk akar, variabel-variabelnya

juga sejenis.

Jika p, q € R dan ɑ ≥ 0 maka:

p 𝑎 + q 𝑎 = (p + q) 𝑎

p 𝑎 - q 𝑎 = (p - q) 𝑎

contoh :

7𝑐 - 2 5 + 5 = (7-2+1) 5

Perkalian bentuk akar

Sebelumnya telah diketahui bahwa 𝑎𝑥𝑏 = 𝑎 x 𝑏 . sifat

tersebut tentu dapat dibalik menjadi 𝑎 x 𝑏 = 𝑎 𝑥 𝑏

Untuk p, q € R dan ɑ ≥ 0 dan b ≥ 0, berlaku:

p 𝑎 x q 𝑎 = (pq) 𝑎𝑥𝑏

Contoh:

2 2 x 5 3 = (2 x 5) 2 𝑥 3

= 10 6

Pembagian bentuk akar

Untuk ɑ, b € R dan ɑ ≥ 0 dan b > 0, berlaku :

𝑎

𝑏 =

𝑎

𝑏

Misal:

18

6 =

18

6 = 3


1.2.3.2 Rangkuman

1. Bentuk akar 𝑥𝑛

, dengan n bilangan bulat yang lebih besar daripada

1. Adapun n disebut indeks dan notasi disebut tanda akar.

2. Sifat-sifat bentuk akar sebagai berikut :

𝑎. 𝑎2 = ɑ ; ɑ ≥ 0

b. 𝑎 𝑥 𝑏 = 𝑎 x 𝑏 ; ɑ ≥ 0 dan b ≥ 0

𝑐. 𝑎

𝑏 =

𝑎

𝑏 ; ɑ ≥ 0 dan b > 0

𝑑. 𝑎𝑛 𝑚

= 𝑎𝑚𝑛

3. Syarat-syarat penyederhanaan bentuk akar, sebagai berikut :

1. Tidak memuat faktor yang pangkatnya lebih dari satu.

2. Tidak ada bentuk akar pada penyebut

3. Tidak mengandung pecahan

4. Operasi Aljabar Bentuk Akar

Penjumlahan dan pengurangan

Jika p, q € R dan ɑ ≥ 0 maka :

p 𝑎 + q 𝑎 = (p + q) 𝑎

p 𝑎 - q 𝑎 = (p - q) 𝑎

Perkalian bentuk akar

Untuk p, q € R dan ɑ ≥ 0 dan b ≥ 0, berlaku :

p 𝑎 x q 𝑎 = (pq) 𝑎𝑥𝑏

Pembagian bentuk akar

Untuk ɑ, b € R dan ɑ ≥ 0 dan b > 0, berlaku :

𝑎

𝑏 =

𝑎

𝑏



Untuk menguji pemahaman Anda kerjakan soal latian berikut.

1. Tentukan bentuk akar atau bukan.

𝑎. 8 b. 16

25

2. Sederhanakan bentuk akar berikut :

a. 12 b. 48 𝑥4𝑦13

3. Selesaikan operasi aljabar pada bentuk akar berikut

a. 5 2 + 32 - 3 8

b. 18

6


Nama :

No. Absen :

Judul Tugas :






Jumlah Nilai Akhir


……………….,……………..20…



1.2.4.1 Merasionalkan Penyebut

Merasionalkan penyebut 𝑎

𝑏 ; b > 0

Untuk merasionalkan penyebut dalam bentuk pecahan 𝑎

𝑏 ,

pecahan tersebut harus dikalikan dengan 𝑏

𝑏 . dengan demikian proses

merasionalkan penyebut dalam pecahan 𝑎

𝑏 adalah

𝑎

𝑏 =

𝑎

𝑏 x

𝑏

𝑏 =

𝑎

𝑏

𝑏

Merasionalkan penyebut 𝑐

𝑎± 𝑏 atau

𝑐

𝑎± 𝑏

Anda telah menggunakan sifat perkalian istimewa 𝑎 + 𝑏 𝑎 −

𝑏=𝑎2−𝑏2 atau 𝑎−𝑏𝑎+𝑏=𝑎2−𝑏2. Bentuk (𝑎−𝑏) disebut kawan dari

(𝑎 + 𝑏) dan (𝑎 + 𝑏) adalah kawan dari (𝑎 − 𝑏). Anda telah melihat

bahwa hasil kali dari pasangan sekawan seperti ini selalu

menghasilkan bilangan rasional. Sebagai contoh :

(ɑ + 𝑏) (ɑ - 𝑏) = (ɑ)2 - ( 𝑏 )

2 = ɑ

2 – b

( 𝑎 + 𝑏) ( 𝑎 - 𝑏) = ( 𝑎)2 - ( 𝑏 )

2 = ɑ

– b

Sekarang akan dijelaskan tentang merasionalkan penyebut yang

bentuk akarnya berupa jumlah atau selisih dari dua bilangan. Caranya

dengan mengalikan baik pembilang maupun penyebut dari pecahan

tersebut dengan pasangan bentuk sekawan.

Contoh:

𝑐

𝑎+ 𝑏 =

𝑐

𝑎+ 𝑏 𝑥

𝑎− 𝑏

𝑎− 𝑏 =

𝑐 (𝑎− 𝑏)

𝑎2 −( 𝑏 )2 =

𝑐 (𝑎− 𝑏)

𝑎2−𝑏

𝑐

𝑎− 𝑏 =

𝑐

𝑎− 𝑏 𝑥

𝑎+ 𝑏

𝑎+ 𝑏 =

𝑐 (𝑎+ 𝑏)

𝑎2 −( 𝑏 )2 =

𝑐 (𝑎+ 𝑏)

𝑎2−𝑏

1.2.4.2 Pangkat Pecahan

Definisi bilangan berpangkat pecahan

Untuk mengetahui definisi bilangan berpangkat pecahan,

pelajarilah uraian berikut. Misalnya :

3 = 3𝑎


( 3)2 = (3𝑎 )

2

3 = 32a

31 = 32𝑎

1 = 2 𝑎

𝑎 = 1

2

Jadi, 3 = (3)1

2

Hasil akhir tersebut menggambarkan definisi bilangan

berpangkat pecahan sebagai berikut:

Jika 𝑎 ≥ 0, m dan n bilangan bulat positif (bilangan asli) maka,

𝑎𝑚

𝑛 = 𝑎𝑚𝑛

atau 𝑎𝑚𝑛

=𝑎𝑚

𝑛

Catatan : 𝑎 boleh negatif jika n bilangan ganjil, sebagai contoh:

−13

= (−1)33 = -1

−325

= (−2)53 = -2

Akan tetapi, untuk bilangan genap diperoleh

−12

= −1

Sebelum mempelajari beberapa contoh soal, perlu Anda ketahui

bahwa sifat-sifat pada bilangan berpangkat bulat juga berlaku bagi

bilangan berpangkat pecahan.

Contoh:

Sifat 𝑎−𝑛 = 1

𝑎𝑛 berlaku untuk pangkat pecahan,

𝑎−1

3 = 1

𝑎13

𝑎−2

5 = 1

𝑎25

Demikian juga dengan sifat 1

𝑎−𝑛 = 𝑎𝑛

Contoh:

1

𝑎−12

= 𝑎1

2 , 1

𝑎−35

= 𝑎3

5

Merasionalkan penyebut 𝑎𝑚𝑛

, n bulat > 2

Pada bagian sebelumnya, Anda telah mempelajari cara

merasionalkan penyebut suatu pecahan yang memiliki bentuk 𝑎 ,


(𝑎 ± 𝑏 ), dan ( 𝑎 ± 𝑏 ). Bagaimanakah merasionalkan pecahan

yang penyebutnya memiliki bentuk 𝑎𝑚𝑛

(n bulat > 2), seperti 1

23 ,

4

𝑥5

, 7

𝑥3 , atau

7

1+𝑥3 ?

Pada prinsipnya, langkah-langkah merasionalkan pecahan yang

penyebutnya berbentuk 𝑎𝑚𝑛

; n > 2 adalah sebagai berikut:

1. Ubah penyebut 𝑎𝑚𝑛

ke pangkat 𝑎𝑚

𝑛

Contoh:

1

23 =

1

213 = 1

213

2. Kalikan pecahan tersebut dengan 𝑎𝑝𝑛

𝑎𝑝𝑛

sehingga penyebutnya

memiliki pangkat bulat positif terdekat ke 𝑎𝑚

𝑛

Contoh:

Pangkat bulat positif terdekat ke 21

3 adalah 21. Supaya penyebut

21

3 menjadi 23

3 = 21 maka 21

3 harus dikalikan dengan 22

3

Jadi, 1

213

= 1

213

x 2

23

223

= 2

23

213

+23

= 2

23

21 = 2

3

2 =

1

2 4

3

Contoh soal:

Sederhanakan pecahan berikut dengan merasionalkan

penyebutnya.

7

𝑥5 =

7

𝑥15

= 7

𝑥15

𝑥 𝑥

45

𝑥45

= 7

45

𝑥15

+45

= 7

45

𝑥1 = 7 𝑥45

𝑥


1.2.4.3 Rangkuman

1. Merasionalkan Penyebut

a. Merasionalkan penyebut 𝑎

𝑏 ; b > 0

𝑎

𝑏 =

𝑎

𝑏 x

𝑏

𝑏 =

𝑎

𝑏 𝑏

b. Merasionalkan penyebut 𝑐

𝑎± 𝑏 atau

𝑐

𝑎± 𝑏

𝑐

𝑎+ 𝑏 =

𝑐

𝑎+ 𝑏 𝑥

𝑎− 𝑏

𝑎− 𝑏 =

𝑐 (𝑎− 𝑏)

𝑎2 −( 𝑏 )2 =

𝑐 (𝑎− 𝑏)

𝑎2−𝑏

𝑐

𝑎− 𝑏 =

𝑐

𝑎− 𝑏 𝑥

𝑎+ 𝑏

𝑎+ 𝑏 =

𝑐 (𝑎+ 𝑏)

𝑎2 −( 𝑏 )2 =

𝑐 (𝑎+ 𝑏)

𝑎2−𝑏

2. Pangkat Pecahan

Jika 𝑎 ≥ 0, m dan n bilangan bulat positif (bilangan asli) maka,

𝑎𝑚

𝑛 = 𝑎𝑚𝑛

atau 𝑎𝑚𝑛

=𝑎𝑚

𝑛

Catatan : 𝑎 boleh negatif jika n bilangan ganjil

3. Merasionalkan penyebut 𝑎𝑚𝑛

, n bulat > 2

Langkah-langkah merasionalkan pecahan yang penyebutnya

berbentuk 𝑎𝑚𝑛

; n > 2 adalah sebagai berikut :

a. Ubah penyebut 𝑎𝑚𝑛

ke pangkat 𝑎𝑚

𝑛

b. Kalikan pecahan tersebut dengan 𝑎𝑝𝑛

𝑎𝑝𝑛

sehingga penyebutnya

memiliki pangkat bulat positif terdekat ke 𝑎𝑚

𝑛



1) Sederhanakan pecahan-pecahan berikut dengan merasionalkan

penyebutnya

𝑎.6

10 b.

4

5 3𝑥 ; x>0

2) Jika p = 2− 3

2+ 3 dan q =

2+ 3

2− 3 , hitunglah operasi berikut :

p + q

3) Ubahlah bentuk pangkat pecahan berikut ke bentuk akar paling

sederhana.

1.2.5 122

3 b. ɑ−3

2

4) Sederhanakan pecahan berikut dengan merasionalkan penyebutnya.

7

𝑥5


Nama :

No. Absen :

Judul Tugas :






Jumlah Nilai Akhir


………………,……………. 20…



1.2.5.1 Pengertian dan konsep logaritma

Logaritma adalah kebalikan dari perpangkatan. Jadi apabila

diketahui ax = b maka x dapat ditentukan dengan logaritma yang

berbentuk

X = alog b ↔ b = a

x

dimana: a disebut basis (0 < a < 1 atau a > 1)

b disebut numerus (b > 0)

x disebut hasil logaritma

Diskusi

Contoh:

Jika alog x = 3 dan

3alog y = 3, tentukan nilai

𝑦

𝑥

Penyelesaian:

Pada definisi logaritma diperoleh

alog x = 3 maka x = a

3

3alog y = 3 maka y = (3a)

3 = 27a

3

Jadi, 𝑥

𝑦=

27𝑎3

𝑎3 = 27

1.2.5.2 Sifat-sifat logaritma

Sifat dasar logaritma:

Logaritma merupakan invers dari perpangkatan. Oleh karena

itu terdapat 3 sifat dasar logaritma, yaitu: Misalkan a dan n

bilangan real, a > 0 dan a ≠ 1, maka :

1. alog a = 1

2. alog 1 = 0

3. alog a

n = n

Contoh:

1. alog a = x ⇔ a

x = a sehingga x = 1 atau

alog a = 1

2. alog 1 = y ⇔ a

y = 1. Karena a

0 = 1, maka y = 0

3. alog a

n = z ⇔ a

x = a

n sehingga z = n serta

alog a

n = n


Sifat 1

Untuk a, b, dan c bilangan real positif, a ≠ 1, dan b > 0,

berlaku

alog (b×c) =

alog b +

alog c

(Logaritma perkalian dua bilangan sama dengan jumlah

logaritma masing-masing bilangan)

Bukti:

Berdasarkan definisi, maka diperoleh :

alog b = x ↔ b = a

x

alog c = y ↔ c = a

y

Dengan mengalikan nilai b dan c maka :

b × c = ax × a

y ↔ b × c = 𝑎𝑥+𝑦

↔ alog (b×c) = x + y substitusi x dan y

↔ alog (b×c) =

alog b +

alog c terbukti

Contoh:

Jika 4log 3 = p,

4log 5 = q,

4log 8 = r, hitunglah:

4log 15 +

4log 64

Penyelesaian:

4log 15 +

4log 64 =

4log (3×5) +

4log (8×8)

= 4log 3 +

4log 5 +

4log 8 +

4log8

= p + q + r + r

= p + q + 2r

Sifat 2

Untuk a, b, dan c bilangan real dengan a > 0, a ≠ 1, dan b

> 0, berlaku:

alog

𝒃

𝒄 =

alog b –

alog c

(Logaritma dari pembagian dua bilangan sama dengan

logaritma bilangan yang dibagi dikurangi logaritma bilangan

pembagi)

Bukti:




x

alog c = y ↔ c = a

y

Dengan membagi b dan c, maka diperoleh :

𝑏

𝑐 =

𝑎𝑥

𝑎𝑦 ↔

𝑏

𝑐 = a

x-y

↔ alog

𝑏

𝑐 = alog a

x-y

↔ alog

𝑏

𝑐 = x – y substitusi x dan y

↔ alog

𝑏

𝑐 =

alog b –

alog c terbukti

Contoh:

Jika log 2 = 0,3010 hitunglah log 5!

Penyelesaian:

log 5 = 10

2 = log 10−log 2 = 1−0,3010 = 0,6990

Sifat 3

Untuk a, b, dan n bilangan asli, a > 0, b > 0, a ≠ 1, berlaku

alog b

n = n

alog b

(Logaritma suatu bilangan berpangkat sama dengan hasil

kali pangkat bilangan tersebut dengan logaritma bilangan itu

sendiri)

Bukti:

alog b

n =

alog 𝑏 × 𝑏 × 𝑏 × …× 𝑏

𝑛 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟

↔ alog b

n = 𝑎log b + 𝑎log b + 𝑎

log b + … +𝑎 log 𝑏

𝑛 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟

sifat 2

↔ alog b

n = n

alog b terbukti

Contoh:

5log 12

1

2 +

5log 2

Penyelesaian:

5log 12

1

2 +

5log 2 =

5log 12

1

2 × 2

= 5log 25

= 5

log 52 = 2



1. Nyatakan dalam bentuk logaritma yang ekuivalen :

a. 𝑎𝑛 = 𝑏 b. 3𝑥 = 𝑦

2. Nyatakan bentuk berikut menjadi bentuk pangkat :

a. log 𝑥 = 𝑛2 b. log𝑎 = 𝑦3

c. log 100 = 210 d. log 𝑎 = 52

3. Hitunglah nilai logaritma berikut :

a. 5log 625 b.

5log 0,2

4. Sederhanakan !

a. log 4 + log 5466 b. log 25 + log 4

c. log 7− log 2822 d. log 16 − log 422

e. 2 log 2 + 2 log 3 f. 2 log 5 − log 25


Nama :

No. Absen :

Judul Tugas :






Jumlah Nilai Akhir


……………….,…………….20…



1.2.6.1 Lanjutan Kegiatan Belajar 1, Mengenai Sifat-Sifat Logaritma:

Sifat 1

Untuk a, b, dan c bilangan real positif, a ≠ 1, b ≠ 1, dan c

≠ 1, berlaku

1. alog b =

𝒄𝒍𝒐𝒈 𝒃

𝒄𝒍𝒐𝒈 𝒂 atau

2. alog b =

𝟏

𝒃𝒍𝒐𝒈 𝒂

Bukti:

Berdasarkan definisi:


x

Ambil sebarang c bilangan real dan c ≠ 1 sedemikian

sehingga:

clog b =

clog a

x ↔

clog b = x

clog a

↔ x = 𝑐log 𝑏

𝑐log 𝑎 ingat sifat 3

↔ alog b =

𝑐log 𝑏

𝑐log 𝑎 terbukti

Karena c bilangan real dan c ≠ 1, maka dengan ketentuan

diatas dapat dipenuhi c = b sehingga diperoleh:

↔ alog b =

𝑏 log 𝑏

𝑏 log 𝑎

= 1

𝑏 log 𝑎 terbukti

Contoh:

Jika 3log 5 = p, tunjukkan bahwa :

5log 3 =

1

p

Penyelesaian:

5log 3 =

3log 3

3log 5=

1

p ambil 3 sebagai bilangan pokok baru.

Sifat 2

Untuk a, b, dan c bilangan real positif dengan a ≠ 1 dan

b≠1,

alog b ×

blog c =

alog c


Bukti:



x

blog c = y ↔ c = b

y

alog b ×

blog c =

alog a

x ×

blog b

y

↔ alog b ×

blog c =

alog b ×

blog b

y ingat c = b

y

↔ alog b ×

blog c = y

alog b ×

blog b sifat dasar log

↔ alog b ×

blog c = y

alog b ingat sifat 3

↔ alog b ×

blog c =

alog b

y ingat c = b

y

↔ alog b ×

blog c =

alog c terbukti

Contoh:

Hitunglah 2log 5 ×

5log 16

Penyelesaian:

2log 5 ×

5log 16 =

2log 16

= 2log 2

4 = 4

Sifat 3

Untuk a dan b bilangan real positif dengan a ≠ 1, berlaku

a. 𝒂𝒎 log bn =

𝒏

𝒎 ×

alog b

b. 𝒂𝒎 log bn =

alog b

Dimana m, n bilangan real dan m ≠ 1

Contoh:

Hitunglah 8

log 16 !

Penyelesaian:

8log 16 = 2

3log 24

= 4

3 × 2 log 2

= 4

3 × 1 =

4

3

1.2.6.2 Menentukan logaritma suatu bilangan dengan menggunakan

logaritma

Untuk menentukan nilai logaritma, pastikan kalkulator yang

anda gunakan adalah kalkulator Scientific. Berikut akan

dicontohkan cara menentukan nilai 2log 35 dengan menggunakan


kalkulator Scientific Casio fx-82ES. Anda cukup menekan tombol

berikut secara berurutan.

Tombol yang ditemukan Hasil Layar

log□ (□)

Log

log2 (35)

log2

2,564641508

Contoh:

Tentukan nilai dari log 7,8

Penyelesaian:

Untuk menentukan hasil logaritma dari log 7,8 maka tombol-

tombol yang ditekan adalah sebagai berikut:

Tombol yang ditekan Hasil layar

log (□

log2 (7.8)

log (7.8)

0,892094602

log▪□

=

5 3

2

Replay

log

7 . 8 )

=



1. Jika 2log 3 = a, nyatakan logaritma-logaritma berikut dalam bentuk a

a. 8log 3 b. 4

log 81 c. 8log 27

2. Sederhanakan !

a. plog 5 ×

5log y ×

ylog p b. 2

log 25 × 5log 16

c. 3log 16 × (

4log 9 +

4log 3) d. 9

log 3 × 3log 27

3. Diketahui 2log 3 = a, nyatakan dalam bentuk a dari logaritma berikut:

a. 2log 27 b. 8

log 9 c. 4log 9

4. Dengan menggunakan kalkulator tentukanlah!

a. log 4,186 b. log 4,2 c. log 0,096 d. log 103


Nama :

No. Absen :

Judul Tugas :






Jumlah Nilai Akhir


Tulungagung, Desember 2015


1.3 EVALUASI

1.3.1 Soal Evaluasi

1. Tentukan operasi dari bilangan-bilangan berikut:

a. 3𝑥4 x 𝑥2 b. (3ɑ3 𝑏2)4 c. (

𝑥6

𝑥2)3

2. Nilai dari ɑ2 𝑏3 𝑐−1

ɑ−2𝑏 𝑐2 untuk a = 2, b = 3, dan c = 5 adalah...

3. Bentuk sedehana dari bentu akar (3𝑥 + 5)9 , dengan 3𝑥 + 5 ≥ 0

adalah...

4. Bentuk sederhana dari (1− 2

1+ 2)2 adalah...

5. Ubahlah bentuk akar berikut ke bentuk pangkat

a. 2𝑥 𝑥34 b.

3𝑥2

𝑥23 , 𝑥 > 0

6. Sederhanakan bentuk akar berikut:

a. 8 + 2 15 b. 9 − 4 5 7. Hitunglah:

a. log 21 − log 210 b. log 25 − log 5

2

c. 3log 4,5 +

3log 6 d. 6

log 9 + 6log 8 –

6log 2

e. log 2 + log 10 – log 1

5 f. 3

log 45 – 9log 25

g. log 2 + 2 log 3 – log 18

8. Sederhanakan!

a. 2 log 3 + 2 log 3 b. 1

2 2log 16 −

1

3 2log 8

c. 5log 320 – 3

5log 4 d. 2l

og 24 – 8log 27

e. 5log 9 ×

9log 625 f. 5 log 5 + 2 log 2 – log 25

g. 8 log 8 – 2 log 2

9. Jika 5log

1

25 +

5log 125 = x, maka nilai x adalah...

10. Diketahui 3log 7 = a,

5log 2 = b, dan

2log 3 = c. Nyatakan logaritma

berikut dalam bentuk a, b, dan c

a. 7log 3 b. 4

log 5 c. 3log 2

11. Jika 3log 5 = p, tunjukkan bahwa

9log 5 =

1

4 p

12. Diketahui 2log 7 = a dan

2log 3 = b, maka nilai dari

6log 14 adalah...

13. Diketahui 3log 4 = p dan

3log 5 = q, maka nilai dari

3log 80 adalah...

14. Dengan menggunakan kalkulator, tentukan nilai logaritma berikut:

a. log 4,6 b. log 5,2 c. log 69,4 d. log 0,17


1.3.2 Lembar Penilaian

Nama :

Kelas :

No. Absen :

Judul Tugas :


Tes Formatif Evaluasi

1. Benar cara maupun

hasilnya 0 – 60


3. Benar hasil, cara salah 0 – 20

Jumlah

Jumlah Jumlah x 60 % Jumlah x 40%

Jumlah Nilai Akhir

Kesimpulan: Lulus/Tidak Lulus

...................., ......................Th.......


BAB 2


2.1 PENDAHULUAN

2.1.1 Deskripsi

Modul ini berisi tentang Fungsi Kuadrat yang meliputi

menggambar sketsa grafik fungsi kuadrat, membentuk fungsi kuadrat.

2.1.2 Prasyarat

Dalam melaksanakan modul ini diperlukan prasyarat telah

menguasai kompetensi yang ada pada modul-modul sebelumnya yaitu

koordinat kartesius, sistem linier dua variabel.


a. Pelajari daftar isi serta kedudukan modul dengan cermat dan teliti.



b. Kerjakan soal-soal dalam cek kemampuan untuk mengukur sampai


c. Apabila dari soal cek kemampuan telah anda kerjakan mendapat nilai

70, maka anda dapat langsung menuju Evaluasi untuk mengerjakan

soal-soal tersebut. Tetapi bila hasil jawaban tidak mencapai nilai 70,

maka anda harus mengikuti kegiatan pembelajaran dalam modul ini.

d. Perhatikan langkah-langkah dalam melakukan pekerjaan dengan benar

untuk mempermudah dalam memahami suatu proses pekerjaan.

e. Pahami setiap materi teori dasar yang akan menunjang dalam

penugasan suatu pekerjaan dengan membaca secara teliti. Kemudian

kerjakan soal-soal evaluasi sebagai sarana latihan.

f. Untuk menjawab test formatif usahakan memberi jawaban singkat,

jelas dan kerjakan sesuai dengan kemampuan anda setelah

mempelajari modul ini.

g. Bila terdapat penugasan, kerjakan dengan baik dan bilamana perlu

konsultasikan hasil tersebut pada guru / instruktur.

h. Catatlah kesulitan yang anda dapatkan dalam modul ini untuk

ditanyakan pada guru/instruktur pada saat kegiatan tatap muka.


Bacalah referensi lainya yang berhubungan dengan materi modul agar

anda mendapatkan tambahan pengetahuan.

2.1.4 Tujuan akhir


diharapkan anda dapat memiliki kemampuan:

1. Menggambar sketsa grafik fungsi kuadrat,

2. Membentuk suatu fungsi kuadrat.

2.1.5 Kompetensi

Kode Unit: MAT.FGS.SMA.1

Judul Unit: Menggambar dan membuat sketsa grafik fungsi kuadrat

Uraian Unit: Unit ini berlaku untuk pekerjaan menggambar sketsa grafik

fungsi kuadrat menggunakan peralatan dan perlengkapan

gambar manual

Sub Kompetensi Kriteria Unjuk Kerja

1. Melakukan persiapan

pekerjaan menggambar

grafik fungsi kuadrat.

1.1. Macam-macam bentuk grafik fungsi

kuadrat dan istilah dikenali dan

dipahami.

1.2. Peralatan dan perlengkapan gambar

yang dibutuhkan dipilih dan

disiapkan.

1.3. Media gambar yang dibutuhkan

dipilih dan disiapkan.

1.4. Peralatan dan perlengkapan gambar

diperiksa kondisinya, apabila ada

kerusakan diperbaiki.

1.5. Sumber gambar dipahami, apabila

tidak jelas tanyakan kepada atasan.

2. Menggambar titik potong

grafik dengan sumbu

koordinat

2.1. Sebuah garis lurus (vertikal) Y dan

sebuah garis tegak lurus pada Y

(horisontal) disebut X yang membagi

dua Y di sebuah titik (titik O)

digambar.

2.2. Garis X dibagi dengan ukuran yang

sama besar pada bagian kiri dan

bagian kanan.

2.3. Garis Y dibagi dengan ukuran yang

sama besar pada bagian atas dan

bagian bawah.

2.4. Garis X diberi tanda dengan beberapa

titik tambahan (misalnya titik P, Q, R,


dan seterusnya) pada bagian kanan.

2.5. Garis Y diberi tanda dengan beberapa

titik tambahan (misalnya titik 1, 2, 3,

dan seterusnya) pada bagian atas.

2.6. Buat pola (titik-titik) pada (P,4),

(Q,1), (,RO), (S,1), dan (T,4).

2.7. Pola (titik-titik) dihubungkan

sehingga membentuk sebuah kurva.

3. Membereskan pekerjaan 3.1. Hasil gambar diperiksa kesesuaian

dengan perintah.

3.2. Perakalatan dan perlengkapan

gambar dibersihkan dan disimpan

pada tempatnya.

3.3. Hasil gambar disimpan pada

tempatnya.


memahami fungsi

kuadrat.

4.1 Mengenali istilah fungsi kuadrat dan

dipahami.

4.2 Memahami bentuk-bentuk dan cara

penyelesaian fungsi kuadrat.

4.3 Memahami gambar yang telah

dipaparkan.

4.4 Sumber materi dipahami, apabila tidak

jelas ditanyakan kepada atasan.

5. Menyelesaikan latihan

soal bentuk-bentuk

fungsi kuadrat.

5.1. Menyusun fungsi kuadrat jika

grafiknya memotong sumbu 𝑿 di 𝒙𝟏,𝟎 dan 𝒙𝟐,𝟎 serta melalui

sebuah titik tertentu


grafiknya memiliki titik puncak

𝒙𝒑,𝒚𝒑 dan melalui sebuah titik

tertentu


grafiknya melalui tiga buah titik

𝒙𝟏,𝒚𝟏 , 𝒙𝟐,𝒚𝟐 ,𝒅𝒂𝒏 𝒙𝟑,𝒚𝟑 5.4. Menyusun fungsi kuadrat jika sketsa

grafiknya diketahui

6. Membereskan pekerjaan. 6.1. Hasil pekerjaan diperiksa

kesesuaiannya dengan perintah

6.2. Hasil pekerjaan disimpan pada

tempatnya

Prasyarat Untuk Kerja

1. Unit ini berlaku untuk menggambar sebuah sketsa grafik fungsi

kuadrat menggunakan peralatan dan perlengkapan gambar manual


yang dilakukan di studio gambar atau tempat lain.

2. Tersedia acuan untuk menggambar sketsa grafik fungsi kuadrat

3. Tersedia peralatan gambar yang meliputi:

Pensil atau rapido

Penggaris

Meja atau papan gambar

Media gambar berbagai jenis ukuran

4. Tersedia sumber informasi yang berupa:

Gambar dan sketsa grafik berbagai jenis fungsi

5. Unit ini berlaku untuk pekerjaan memahami fungsi kudrat dengan

penjelasan materi yang dilakukan didalam kelas atau di tempat

lain.

6. Tersedia contoh dari fungsi kuadrat.

7. Tersedia rumus-rumus fungsi kuadrat.

Acuan Penilaian

1. Unit kompetensi ini dapat diujikan secara langsung kepada peserta

uji di studio gambar maupun di tempat lain dengan standar

peralatan gambar yang sesuai.

2. Aspek kritikal yang dinilai:

Mengenali jenis-jenis fungsi dan grafiknya

Memahami cara menggambar sketsa grafik fungsi kuadrat

Mampu menggambar menggunakan peralatan dan perlengkapan

gambar manual

3. Kompetensi yang sebelumnya harus dikuasai

4. Pengetahuan pendukung yang dibutuhkan:

Menghitung titik potong grafik dengan sumbu koordinat

Menghitung sumbu simetri

Menghitung nilai maksimum dan minimum fungsi

Menghitung koordinat titik puncak

Berbagai dan jenis ukuran media gambar

Memahami fungsi kuadrat

Memahami bentuk-bentuk dan penyelesaian fungsi kuadrat

Memahami contoh fungsi kuadrat

Memahami gambar fungsi kuadrat

Berbagai dan jenis soal fungsi kuadrat


Bekerja dengan rapi dan bersih

Bekerja dengan ketelitian dan ketepatan ukuran

Menghargai produktifitas dalam bekerja

Efisien dan optimal dalam bekerja

Menghargai mutu hasil pada setiap langkah kerjanya

Bersikap positif dan terbuka terhadap penilaian hasil pekerjaan

oleh atasan


2.1.6 Cek Kemampuan

Petunjuk:

Berilah tanda (), pada kolom jawaban: Ya atau Tidak pada

jawaban yang anda pilih

No. Pertanyaan

Jawaban

Ya Tidak

1. Apakah anda mengenal bidang datar?

2. Apakah anda dapat menggambar bidang datar?

3. Apakah anda mengetahui tentang koordinat kartesius?

4. Apakah anda mengetahui tentang absis?

5. Apakah anda mengetahui tentang ordinat?

6. Apakah anda mengenal fungsi?

7. Apakah anda dapat memahami fungsi?

8. Apakah anda mengenal fungsi kuadrat?

9. Apakah anda dapat memahami fungsi kuadrat?

10. Apakah anda mengetahui tentang bentuk-bentuk fungsi

kuadrat?

11. Apakah anda dapat memahami gambar bentuk-bentuk

fungsi kuadrat?

Nilai

......................,................. 20...


2.2 PEMBAHASAN


1. Pada setiap kegiatan belajar, pahamilah uraian tujuan kegiatan belajar,

agar kamu mengetahui kemampuan apa yang akan dicapai pada setiap

kegiatan.

2. Peralatan dan bahan yang harus dibawa pada pertemuan atau tatap muka

berikutnya harus dibaca sebelum kegiatan dilaksanakan.

3. Sebelum melaksanakan kegiatan harus memahami terlebih dahulu setiap

langkah kerja yang dilaksanakan, apabila kurang jelas dapat menanyakan

kepada guru/instruktur.

4. Kerjakanlah setiap latihan dengan bersungguh-sungguh agar kemampuan

anda yang sebenarnya diketahui.


2.2.2.1 Domain, Kodomain, dan Range

a. Pengertian Domain, Kodomain, Range

Misalkan fungsi 𝑓 memetakan setiap anggota himpunan A ke

himpunan B.

1) Himpunan A disebut dengan daerah asal atau domain atau prapeta

fungsi 𝑓.

2) Himpunan B disebut dengan daerah kawan atau kodomain fungsi

𝑓.

3) Himpunan yang beranggotakan himpunan B yang dipasangkan

dengan anggota himpunan A disebut dengan daerah hasil atau

range atau peta fungsi 𝑓.


Perhatikan kembali pemetaan pada gambar ini

1

2

3

A

B

C

D

2.2.2.2 Rumus dan Bentuk Umum Fungsi Kuadrat

a. Pengertian Fungsi Kuadrat

Fungsi 𝑓 pada himpunan bilangan real ℝ yang ditentukan oleh

rumus 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, dengan 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ 𝑑𝑎𝑛 𝑎 ≠ 0

dinamakan fungsi kuadrat dengan peubah 𝑥. Grafiknya dinamakan

parabola dan persamaannya adalah 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐.

b. Bentuk Umum Fungsi Kuadrat

Bentuk umum fungsi kuadrat:

𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙+ 𝒄,𝒅𝒆𝒏𝒈𝒂𝒏 𝒂,𝒃, 𝒄 ∈ ℝ 𝒅𝒂𝒏 𝒂 ≠ 𝟎

2.2.2.3 Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat

a. Menggambar Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat

Untuk membuat sketsa grafik fungsi kuadrat 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 +

𝑏𝑥 + 𝑐 secara umum dapat ditempuh dengan langkah-langkah berikut:

1) Titik potong grafik dengan sumbu koordinat

a) Titik potong dengan sumbu X

Titik potong dengan sumbu 𝑋 diperoleh jika 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 0.

Dengan demikian, dapat didapatkan 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0. Absis

titik potong dengan sumbu 𝑋 diperoleh dari akar-akar

persamaan kuadrat tersebut. Banyaknya titik potong dengan

sumbu 𝑋 tergantung pada nilai diskriminannya, yaitu 𝐷 = 𝑏2 −

4𝑎𝑐.

i. Jika 𝐷 > 0, maka grafik memotong sumbu 𝑋 di dua titik

yang berbeda.

ii. Jika 𝐷 = 0, maka grafik menyinggung sumbu 𝑋.

iii. Jika 𝐷 < 0, maka grafik tidak memotong atau menyinggung

sumbu 𝑋.


b) Titik potong dengan sumbu Y

Titik potong dengan sumbu 𝑌 diperoleh jika 𝑥 = 0. Dengan

demikian, didapatkan 𝑦 = 𝑎(0)2 + 𝑏 0 + 𝑐 = 𝑐. Jadi, tititk

potong grafik 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 dengan sumbu 𝑌 adalah

(0,c) dan posisi titik potongnya dengan sumbu 𝑌 secara otomatis

bergantung pada nilai c.

(1) Jika 𝑐 > 0, maka grafik memotong sumbu 𝑌 positif.

(2) Jika 𝑐 = 0, maka grafik melalui titik pusat (0,0).

(3) Jika 𝑐 < 0, maka grafik memotong sumbu 𝑌 negatif.

2) Sumbu simetri

Sumbu simetri dari parabola 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 adalah 𝑥 =−𝑏

2𝑎.

3) Nilai maksimum atau minimum fungsi

Fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 mempunyai nilai minimum jika

𝑎 > 0 dan mempunyai nilai maksimum jika 𝑎 < 0. Nilai

maksimum atau minimum 𝑓(𝑥) ditentukan oleh rumus 𝑦 =−𝐷

4𝑎.

4) Koordinat titik puncak

Koordinat titik puncak parabola yang ditentukan oleh fungsi

𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 adalah 𝑃 −𝑏

2𝑎,−𝐷

4𝑎

Contoh:

Gambarlah grafik fungsi kuadrat 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 6𝑥 + 5

Jawab:

𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 6𝑥 + 5 → nilai koefisien 𝑎 = 1, 𝑏 = −6,𝑑𝑎𝑛 𝑐 = 5

1) Titik potong dengan sumbu koordinat

1. Titik potong dengan sumbu 𝑋 → 𝑦 = 0, maka

𝑥2 − 6𝑥 + 5 = 0

𝑥 − 1 𝑥 − 5 = 0

𝑥 = 1 atau 𝑥 = 5

Jadi titik potong grafik dengan sumbu 𝑋 adalah (1,0) dan

(0,5).

2. Titik potong dengan sumbu 𝑌 → 𝑥 = 0, maka

𝑦 = 𝑓 0 = 02 − 6 0 + 5 = 5


Jadi titik potong grafik dengan sumbu 𝑌 adalah (0,5).

2) Persamaan sumbu simetri 𝑥 =−𝑏

2𝑎=

−(−6)

2(1)= 3.

3) Nilai maksimum atau minimum fungsi

𝑦 =−𝐷

4𝑎=

−(𝑏2−4𝑎𝑐 )

4𝑎=

−( −6 2−4(1)(5)

4(1) =

−(36−20)

4 =

−16

4= −4


𝑥𝑝 ,𝑦𝑝 = −𝑏

2𝑎,−(𝑏2 − 4𝑎𝑐)

4𝑎

=

− −6

2 1 ,− −6 2−4 1 5

4 1

= 6

2,−16

4

= (3,−4)

b. Menggambar Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat secara Sederhana

Sketsa sederhana dari grafik fungsi kuadrat dapat dibentuk

dengan langkah-langkah sebagai berikut.

Langkah 1:

Tentukan beberapa anggota fungsi 𝑓, yaitu koordinat titik-titik

yang terletak pada grafik fungsi 𝑓. Titik-titik ini dapat kita tentukan

dengan memilih beberapa nilai 𝑥 bilangan bulat yang terletak

dalam daerah asalnya. Kemudian kita hitung nilai fungsi 𝑓,

sehingga terdapat beberapa pasangan koordinat titik (𝑥, 𝑓 𝑥 ).

Titik-titik pada fungsi 𝑓 itu biasanya akan lebih mudah jika kita

sajikan dengan menggunakan tabel atau daftar.

Langkah 2:

Gambarkan koordinat titik-titik yang telah kita peroleh pada

Langkah 1 pada sebuah bidang Cartecius.


Langkah 3:

Hubungkan titik-titik yang telah digambarkan pada bidang

Cartecius pada Langkah 2 dengan menggunakan kurva.

Untuk lebih jelas lagi mengenai sketsa grafik fungsi kuadrat

secara sederhana, berikut contoh-contohnya:

Contoh:

Gambarkan grafik fungsi kuadrat yang ditentukan dengan

persamaan 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 4𝑥 + 3, jika daerah asalnya adalah

𝐷 = 𝑥 −1 ≤ 𝑥 ≤ 5, 𝑥 ∈ ℝ .

Jawab:

Grafik fungsi kuadrat 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 4𝑥 + 3 adalah sebuah parabola

dengan persamaan 𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥 + 3.

Langkah 1:

Kita buat tabel atau daftaruntuk menentukan titik-titik yang terletak

pada fungsi 𝑓, yaitu beberapa pasangan koordinat titik 𝑥,𝑓(𝑥) .

𝑥 -1 0 1 2 3 4 5

𝑓(𝑥) 8 3 0 -1 0 3 8

Langkah 2:

Gambarkan titik-titik (-1,8), (0,3), (1,0), (2,-1), (3,0), (4,3), dan

(5,8) pada bidang Cartesius.

Langkah 3:

Hubungkan titik-titik pada langkah 2 tersebut dengan kurva,

sehingga diperoleh sketsagrafik fungsi

kuadrat 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 4𝑥 + 3, seperti

ditunjukkan pada gambar berikut.

Grafik fungsi kuadrat ini berbentuk

parabola.

1) Daerah asal fungsi tersebut

𝐷𝑓 = 𝑥 −1 ≤ 𝑥 ≤ 5, 𝑥 ∈ ℝ .

2) Daerah hasil fungsi tersebut adalah

𝐷𝑓 = 𝑦 −1 ≤ 𝑥 ≤ 8,𝑦 ∈ ℝ .


3) Pembuat nol fungsi itu adalah 𝑥 = 1 dan 𝑥 = 3.

4) Persamaan sumbu simetrinya 𝑥 = 2.

5) Nilai maksimum fungsi tersebut adalah -1, yaitu untuk 𝑥 = 2, titik

puncak minimum fungsi itu adalah (2,-1).

c. Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat secara Umum

Dengan memerhatikan tanda nilai 𝑎 dan nilai diskriminan

𝐷 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐, maka sketsa grafik fungsi kuadrat dapat dibagi dalam

dua kelompok seperti di bawah ini.

1) Untuk 𝑎 > 0, parabola terbuka ke atas (memiliki titik puncak

minimum).

(a) Jika 𝐷 < 0, parabola tidak memotong atau menyinggung

sumbu 𝑋. Secara aljabar dapat dikatakan nilai 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

dengan nilai 𝑎 > 0 dan 𝐷 < 0, selalu positif untuk setiap

𝑥 ∈ ℝ atau 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑓.

(b) Jika 𝐷 = 0, parabola memotong sumbu 𝑋 di satu titik. Dengan

kata lain, parabola menyinggung sumbu 𝑋. Secara aljabar

dapat dikatakan bahwa nilai 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 dengan nilai 𝑎 > 0

dan 𝐷 = 0, tidak pernah negatif untuk setiap 𝑥 ∈ ℝ.


(c) Jika 𝐷 > 0, parabola memotong sumbu 𝑋 di dua titik yang

berlainan.

2) Untuk 𝑎 < 0, parabola terbuka ke bawah dan memiliki titik puncak

maksimum

(a) Jika 𝐷 > 0, parabola memotong sumbu 𝑋 di dua titik yang

berlainan.

(b) Jika 𝐷 = 0, parabola memotong sumbu 𝑋 di satu titik.dengan

kata lain, parabola menyinggung sumbu 𝑋. Secara aljabardapat

dikatakan bahwa nilai 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, dengan nilai 𝑎 < 0 dan

𝐷 = 0, tidak pernah positifuntuk setiap 𝑥 ∈ ℝ.

(c) Jika 𝐷 < 0parabola tidak memotong atau menyinggung sumbu

𝑋. Secara aljabar dapat dikatakan nilai 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, dengan

nilai 𝑎 < 0 dan 𝐷 < 0, selalu negatif untuk setiap 𝑥 ∈ ℝ atau

𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑓.


2.2.2.4 Naskah Tes Formatif

1) Lukislah sketsa grafik dari fungsi 𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥 − 8 dengan terlebih

dahulu menentukan titik potong terhadap sumbu koordinat, sumbu

simetri, nilai maksimum atau minimum fungsi, dan titik puncak

fungsi!

2) Lukislah sketsa grafik dari fungsi 𝑦 = −𝑥2 − 2𝑥 + 3 dengan

menggunakan sketsa sederhana!


Nama :

No. Absen :

Judul Tugas :






Jumlah Nilai Akhir


………………,……………20…



2.2.3.1 Membentuk Fungsi Kuadrat

a. Menyusun fungsi kuadrat jika grafiknya memotong sumbu 𝑿 di

𝒙𝟏,𝟎 dan 𝒙𝟐,𝟎 serta melalui sebuah titik tertentu

Jika suatu grafik fungsi kuadrat y = ax2

+ bx + c memotong

sumbu X di titk 𝑥1, 0 dan 𝑥2, 0 , maka x1 dan x2 disebut pembuat

nol fungsi. Dengan demikian, fungsi kuadrat tersebut dapat dinyatakan

sebagai berikut.

𝑦 = 𝑎 𝑥 − 𝑥1 𝑥 − 𝑥2

Nilai 𝑎 dapat dinyatakan dengan mensubstitusikan nilai 𝑥 dan 𝑦

dari satu titik ke titik lain yang diketahui ke dalam persamaan di atas.

Contoh:

Tentukan rumus fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu 𝑋

di (2,0) dan (4,0), serta melalui titik (3,6)!

Jawab:

Grafik memotong sumbu 𝑋 di titik (2,0) dan (4,0), maka rumus

fungsi uadratnya adalah

𝑦 = 𝑎 𝑥 − 𝑥1 𝑥 − 𝑥2

= 𝑎 𝑥 − 2 𝑥 − 4

Karena grafik melalui titik (3,6), maka

6 = 𝑎 3− 2 3− 4

6 = 𝑎 1 −1 ⟹ 𝑎 = −6

Jadi, rumus fungsi kuadratnya 𝑦 = −6 𝑥 − 2 𝑥 − 4

𝑦 = −6𝑥2 + 36𝑥 − 48

b. Menyusun fungsi kuadrat jika grafiknya memiliki titik puncak

𝒙𝒑,𝒚𝒑 dan melalui sebuah titik tertentu

Jika grafik fungsi kuadrat melalui titik puncak 𝑥𝑝 ,𝑦𝑝 , maka

rumus fungsi kuadratnya dapat dinyatakan sebagai berikut.

𝑦 = 𝑎 𝑥 − 𝑥𝑝 2

+ 𝑦𝑝


Nilai 𝑎 dapat ditentukan dengan mensubstitusikan nilai 𝑥 dan 𝑦

dari titik lain yang dilalui grafik ke dalam rumus tersebut.

Contoh:

Tentukan rumus fungsi kuadrat yang grafiknya memiliki titik

puncak (-2,3) dan melalui titik (1,-6).

Jawab:

Dengan menggunakan rumus 𝑦 = 𝑎 𝑥 − 𝑥𝑝 2

+ 𝑦𝑝 untuk 𝑥𝑝 = −2

dan 𝑦𝑝 = 3, maka diperoleh

𝑦 = 𝑎 𝑥 − 𝑥𝑝 2

+ 𝑦𝑝

= 𝑎 𝑥 − −2 2

+ 3

= 𝑎 𝑥2 + 4𝑥 + 4 + 3

Karena grafik melalui titik (1,-6) maka

−6 = 𝑎 12 + 4 1 + 4 + 3

−6 = 𝑎 9 + 3

𝑎 = −1

c. Menyusun fungsi kuadrat jika grafiknya melalui tiga buah titik

𝒙𝟏,𝒚𝟏 , 𝒙𝟐,𝒚𝟐 ,𝒅𝒂𝒏 𝒙𝟑,𝒚𝟑

Rumus fungsi kuadratnya dapat dinyatakan sebagai berikut.

𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

Nilai 𝑎, 𝑏, dan 𝑐 dapat diperoleh dengan mensubstitusikan nilai

𝑥 dan 𝑦 dari ketiga titik tersebut ke rumus di atas sedemikian sehingga

diperoleh tiga buah persamaan dengan tiga variabel dan melakukan

operasi substitusi dan eliminasi pada persamaan-persamaan tersebut.

Contoh:

Tentukan rumus fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik-titik

(1,3), (4,0), dan (2,-2)!

Jawab:

Misalnya rumus fungsi kuadrat tersebut adalah

𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

Melalui titik (1,3), maka 3 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐

Melalui titik (4,0), maka 0 = 16𝑎 + 4𝑏 + 𝑐


Melalui titik (2,-2), maka −2 = 4𝑎 + 2𝑏 + 𝑐

Dengan metode eliminasi atau substitusi diperoleh 𝑎 =

2, 𝑏 = −11,𝑑𝑎𝑛 𝑐 = 12. Sehingga rumus kuadrat yang dicari

adalah 𝑦 = 2𝑥2 − 11𝑥 + 12.

d. Menyusun fungsi kuadrat jika sketsa grafiknya diketahui

Untuk menyusun fungsi kuadrat dari sebuah grafik yang

diketahui, caranya adalah dengan menerjemahkan data yang dapat

dibaca dari tampilan grafik.

Contoh:

Tentukan rumus fungsi kuadrat

yang grafiknya ditunjukkan pada

gambar di samping!

Jawab:

Dari gambar di samping terlihat

bahwa grafik mempunyai titik

puncak (4,0) dan melalui titik (0,-

2). Dengan demikian, kita dapat menggunakan rumus fungsi

kuadrat berikut.

𝑦 = 𝑎 𝑥 − 𝑥𝑝 2

+ 𝑦 𝑝

= 𝑎 𝑥 − 4 2 + 0

= 𝑎 𝑥 − 4 2

Karena grafik melalui titik (0,-2), maka

−2 = 𝑎 0− 4 2

−2 = 16𝑎

𝑎 = −1

8

Jadi, rumus fungsi kuadratnya adalah

𝑦 = −1

8 𝑥 − 4 2

𝑦 = −1

8𝑥2 + 𝑥 − 2

2.2.3.2 Penggunaan Fungsi Kuadrat

Banyak masalah nyata yang mempunyai model bebentuk

nilai maksimum atau minimum dari suatu fungsi kuadrat. Sebagian


dari masalah nyata dalam kehidupan sehari-hari yang brbentuk

demikian telah dibahas pada awal unit ini. Berikut ini adalah

contoh penggunaan fungsi kuadrat dalam pemecahan masalah.

Contoh:

Dua buah titik materi terletak dititik P dan Q pada sumbu x

dengan titik asal O diantara P dan Q. Jika titik P dan Q bergerak

sepanjang sumbu x sehingga untu setiap saat t, PO = t2

– 6t + 10

dan PQ = 3r2 – 14r +19, tentukqn jarak terdekat dari O ke Q.

jawab

Perhatikan bahwa PO dan PQ definit positif karena menyatakan

jarak dua titik. Jarak dari O ke Q adalah:

𝑂𝑄 = 𝑃𝑄 − 𝑃𝑂

= 3𝑡2 − 14𝑡 + 19 − 𝑡2 − 6𝑡 + 10

= 2𝑡2 − 8𝑡 + 9,

yang merupakan fungsi kuadrat. Kita akan menentukan nilai

minimum fungsi 𝑂𝑄 = 𝑓 𝑡 = 2𝑡2 − 8𝑡 + 9 = 2 𝑡 − 2 2 + 1.

Fungsi kuadrat ini mencapai minimum sebesar 1 satuan, yang

tercaai jika 𝑡 = 2. Jadi, jarak trdekat dari 𝑂 ke 𝑄 adalah 1 satuan

jarak.

𝑡2 − 6𝑡 + 10

3𝑡2 − 14𝑡 + 19

P

O

Q

x


2.2.3.3 Naskah Test Formatif

(1) Tentukan rumus fungsi kuadrat yang grafiknya memiliki titik puncak

(1,5) dan melalui titik (-1,1)!

(2) Tentukan rumus fungsi kuadrat yang memotong sumbu X di titik (-

3,0) dan (1,0) serta melalui titik (0,6)!

(3) Tentukan rumus fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik-titik

(1,2), (2,9), dan (3,22)!

(4) Nyatakan rumus fungsi kuadrat dari grafik berikut dalam bentuk

baku 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

(5) Untuk menarik minat, biro perjalanan Diamond menawarkan paket

wisata ke Bali dengan biaya Rp 800.000 per orang jika pesertanya

tidak lebih dari 100 orang. Jika pesertanya lebih dari 100 orang,

maka setiap peserta akan mendapat potongan harga sebesar

banyaknya kelebihan peserta dikalikan Rp 5.000,00. Tentukan

pemasukan terbesar biro perjalanan itu.



Nama :

No. Absen :

Judul Tugas :






Jumlah Nilai Akhir


………………,……………20…


2.3 EVALUASI

2.3.1 Soal evaluasi

1. Gambarlah sketsa grafik 𝐿 = 9 + 6𝑥 + 𝑥2 pada kertas berpetak, dengan

daerah asal 𝑥 −5 ≤ 𝑥 ≤ −1, 𝑥 ∈ ℝ

a. Tentukan terlebih dahulu titik potong terhadap sumbu koordinat,

sumbu simetri, nilai maksimum dan minimum fungsi, dan titik puncak

fungsi!

b. Gambar menggunakan sketsa sederhana!

2. Tentukan rumus fungsi kuadrat yang memenuhi ketentuan-ketentuan

berikut!

a. Memiliki titik puncak (-1,1) dan melalui (1,6)

b. Melalui titik (1,3), (2,3), dan (4,2)

3. Sebuah kebun berbentuk persegipanjang ingin dipagari dengan 100 meter

pagar kawat yang siap dipasang. Jika salah satu sisi kebun adalah tembok

yang tidak perlu dipagari, tentukan luas kebun terbesar yang dapat

dipagari kawat tersebut.


2.3.2 Lembar penilaian

Nama :...........................

Kelas :...........................

No. Absen :...........................

No. Tugas :..........................

Judul Tugas :...........................

No. Kriteria Rentang Nilai Nilai Prestasi


1. Kebenaran Cara 0 – 50

2. Kebenaran Hasil 0 - 30

3. Kebenaran gambar 0 - 10

4. Kerapian Gambar 0 - 10

JUMLAH 0 – 100

JUMLAH (jumlah X 60%) (jumlah X 40%)

Jumlah Nilai Akhir


...................., ......................Th........


BAB 3


3.1 PENDAHULUAN

3.1.1 Deskripsi

Modul ini berisi tentang Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan

Linear, akan diuraikan mengenai sistem persamaan linear dua variabel,

tiga variabel, sistem pertidaksamaan linier, dan merancang model

matematika yang berkaitan dengan sistem persamaan dan

pertidaksamaan linear.

3.1.2 Prasyarat

Dalam melaksanakan modul ini, siswa diharapkan telah

menguasai operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan

pembagian bilangan real.


Untuk mempelajari modul ini, hal-hal yang perlu anda lakukan

adalah sebagai berikut:

1. Pelajari daftar isi dengan cermat, karena daftar isi akan menuntun

anda dalam mempelajari materi ini.

2. Untuk mempelajari modul ini haruslah berurutan, karena materi yang

mendahului merupakan prasyarat untuk mempelajari materi

berikutnya.

3. Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah semua soal

latihan yang ada. Jika dalam mengerjakan soal anda menemui

kesulitan, kembalilah mempelajari materi yang terkait.

4. Kerjakanlah soal evaluasi dengan cermat. Jika anda menemui

kesulitan dalam mengerjakan soal evaluasi, kembalilah mempelajari

materi yang terkait.

5. Jika anda mempunyai kesulitan yang tidak dapat anda pecahkan,

catatlah, kemudian tanyakan kepada guru pada saat kegiatan tatap

muka atau bacalah referensi lain yang berhubungan dengan materi

modul ini. Dengan membaca referensi lain, anda juga akan

mendapatkan pengetahuan tambahan.


3.1.4 Tujuan Akhir

Setelah mempelajari modul ini diharapkan anda dapat:

1. Siswa dapat mengerti definisi dan macam-macam persamaan linear.

2. Siswa dapat memahami sistem persamaan linear dua variabel dan

aplikasinya

3. Siswa dapat memahami sistem persamaan linear tiga variabel dan

aplikasinya

4. Siswa dapat memahami sistem pertidaksamaan linier dua variabel

dan aplikasinya

5. Mengetahui metode untuk menyelesaikan SPLDV, SPLTV, dan

SPtLDV

6. Mengetahui ciri- ciri SPLDV, SPLTV, dan SPtLDV

7. Mengetahui perbedaan antara SPLDV, SPLTV, dan SPtLDV

8. Mengetahui definisi variabel

9. Siswa dapat menggambar grafik

3.1.5 Kompetensi

Kode Unit :

Judul Unit : Sistem Persamaan Linear

Uraian Unit : Unit ini berlaku untuk memecahkan masalah yang berkaitan dengan

sistem persamaan linear.


1. Memahami konsep sistem

persamaan linear dua dan tiga

variabel dan sistem

pertidaksamaan linier dua

variabel dan mampu

menerapkan strategi yang

efektif dalam menentukan

himpunan penyelesaiannya

serta memeriksa kebenaran

jawabnya dalam penyelesaian

soal matematika.

1.1. Menjelaskan karakteristik masalah otentik

yang penyelesaiannya terkait dengan model

matematika sebagai SPLDV, SPLTV, atau

SPtLDV

1.2. Menemukan ciri-ciri SPLDV, SPLTV dan

SPtLDV dari model matematika.

2. Menggunakan SPLDV,

SPLTV, dan SPtLDV untuk

menyajikan masalah

kontekstual dan menjelaskan

makna tiap besaran secara

lisan maupun tulisan.

2.1 Merancang model matematika dari

permasalahan otentik yang merupakan

SPLDV, SPLTV, atau SPtLDV

2.2 Menyelesaikan model matematika untuk

memperoleh solusi permasalahan yang


diberikan.

2.3 Menentukan jawaban serta menganalisis

model matematika

3. Membuat model matematika

berupa persamaan dua

variabel atau tiga variabel dan

sistem pertidaksamaan linier

dua variabel yang melibatkan

nilai mutlak dari situasi nyata

dan matematika, serta

menentukan jawab dan

menganalisis model sekaligus

jawabnya.

3.1. Menuliskan konsep SPLDV, SPLTV, dan

SPtLDV berdasarkan ciri yang ditemukan

dengan bahasanya sendiri.

3.1.6 Cek Kemampuan

Petunjuk :

Berilah tanda ( ), pada kolom Jawaban : Ya atau Tidak jawaban

yang anda pilih

N

No Pertanyaan

Jawaban

Ya Tidak

1. Apakah anda mengenal sistem persamaan linear?

2. Apakah anda mengenal macam-macam persamaan linear?

3. Apakah anda mengenal sistem persamaan linear dua variabel?

4. Apakah anda mengenal sistem persamaan linear tiga variabel?

5. Apakah anda mengenal sistem pertidaksamaan linier dua variabel?

6. Apakah anda mengetahui metode untuk menyelesaikan SPLDV,

SPLTV, atau SPtLDV?

7. Apakah anda mengetahui ciri- ciri SPLDV, SPLTV, dan SPtLDV?

8. Apakah anda memahami operasi bilangan?

9. Apakah anda mengetahui perbedaan antara SPLDV, SPLTV, dan

SPtLDV?

10. Apakah anda mengetahui definisi variabel?

Skore ( Nilai )

Tulungagung, November 2015


PETA KONSEP

Masalah

Otentik

Persamaan

Persamaan Linear Pertidaksamaan Linear

Sistem Pertidaksamaan Linear

Sistem Pertidaksamaan

Linear Dua Variabel

(SPtLDV)

Grafik SPtLDV

Sistem Persaamaan Linear

Sistem Persamaan Linear

Dua Variabel (SPLDV)

Eliminasi

Subsitusi

Eliminasi & Subsitusi

Metode Grafik

Determinan

Himpunan

Penyelesaian

SPLDV

Grafik

SPLDV

Sistem Persamaan Linear

Tiga Variabel (SPLTV)

Eliminasi

Subsitusi

Eliminasi & Subsitusi

Determinan

Himpunan

Penyelesaian

SPLTV


3.2 PEMBAHASAN

3.2.1 RENCANA BELAJAR SISWA

1. Pada setiap kegiatan belajar, pahamilah tujuan kegiatan belajar,

untuk mengetahui kemampuan siswa sejauh mana materi yang harus

dicapai.

2. Pada setiap kegiatan belajar buku panduan dan modul selalu dibawa

sebagai panduan siswa.

3. Sebelum dimulai mengerjakan latihan soal siswa harus memahami

secara baik konsep sistem persamaan linear.

4. Kerjakanlah latihan soal dengan baik dan sungguh-sungguh, jika

mengalami kesulitan mintalah bantuan guru maupun mentor anda.


3.2.5.1 Menemukan Konsep Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Banyak permasalahan dalam kehidupan nyata yang

menyatu dengan fakta dan lingkungan budaya terkait dengan sistem

persamaan linear. Permasalahan-permasalahan tersebut kita jadikan

bahan inspirasi dan menyusun model-model matematika yang

ditemukan dari proses penyelesaian. Model matematika tersebut

kita jadikan bahan abstraksi untuk membangun konsep sistem

persamaan linear dan konsep sistem persamaan linear dua variabel.

Cermatilah masalah berikut!

Kartu bergambar dapat dijadikan bahan inspirasi menemukan

konsep dan aturang yang terkait dengan sistem persamaan linear

melalui masalah yang dirancang.

Anto bermain kartu bergambar bersama temannya. Ketika

mereka selesai bermain, Budi, adiknya Anto mengumpulkaan


kartu-kartu tersebut. Kemudian ia asyik membangun rumah

bertingkat yang diberi nama rumah kartu. Susunan kartu untuk

setiap tingkatnya berbeda seperti gambar berikut:

Gambar 1.1 Rumah Kartu Bertingkat

Setelah Budi menyusun rumah kartu bertingkat, ia bertanya

dalam pikirannnya, bagaimnana hubungan antara banyak kartu dan

banyak tingkat rumah. Berapa banyak kartu yang dibutuhkan untuk

membangun rumah 30 tingkat? Dapatkah kamu membantu Budi

menyelesaikan masalah tersebut?

Sebelum kamu menyelesaikan masalah tersebut, kira-kira

apakah tujuan masalah tersebut dipecahkan terkait dengan materi?

Pikirkan strategi apa yang kamu gunakan. Agar pekerjaan kamu

lebih efektif, renungkan dan pikirkan pertanyaan berikut:

1) Informasi apa saja yang kamu temukan dalam masalah tersebut

2) Konsep apa saja yang terkait untuk menemukan hubungan

antara banyak tingkaat rumah dan banyak kartu yang digunakan

untuk setiap tingkatannya.

3) Bagaimana strategi kamu untuk menemukan banyak tingkat

rumah dan banyak kartu yang digunakan.

4) Misalkan t menyatakan banyak tingkat rumah dan k banyak

kartu yang dipakai untuk setiap tingkat. Dapatkah kamu

rumuskan aturan yang memasangkan banyak tingkat rumah

dengan banyak kartu yang digunakan?

5) Adakah kesulitan yang harus didiskusikan dengan teman atau

bertanya kepada guru untuk menentukan hubungan antara t dan

k?

6) Apakah aturan pemasangan yang kamu rumuskan untuk

memenuhi situasi penyusunan kartu pada gambar diatas.


7) Adakah sistem persamaan linear kamu temukan dari rumusan

hubungan antara banyak kartu dan banyak tingkat?

8) Dapatkah kamu menjawab permasalahan Budi? Berapa banyak

kartu yang digunakan untuk membangun rumaah kartu 30

tingkat?

Alternatif Penyelesaian

Berdasar gambar diatas, diperoleh informasi sebagai berikut:

Rumah kartu bertingkat 1 menggunakan kartu sebanyak 2 buah




Sehingga banyak tingkat dan banyak kartu dapat

dikorespondensikan satu-satu membentuk suatu relasi sama dengan

atau banyak kartu dapat dinyaatakan dalam banyak tingkat rumah.

Temukan aturan yang memasangkan banyak tingkat (t)

dengan banyak kartu (k)

Banyak tingkat rumah (t) Banyak kartu (k) Pola banyak kartu

1 2 1 + 1 + 0

2 7 4 + 2 + 1

3 15 9 + 3 + 3

4 26 16 + 4 + 6

Cermati pola bahwa bilangan 1,4,9,16 adalah kuadrat dari

bilangan 1,2,3,4 dan bilangan 1,2,3,4 adalah banyaknya tingkat

rumah. Apakah bilangan 0,1,3, dan 6 dapat dinyatakan dalam t2

dan

t?

Missal x dan y adalah bilangan yang akan ditentukan

dikaitkan dengan banyak kartu dan banyak tingkat rumah yang

dinyatakan dalam persamaan berikut:

k = x t2

+ y t …………………………………………… (persamaan-a)


Cermati kembali gambar 1.1! untuk mendapatkan model

matematika berupa dua persamaan linear dengan variabel x dan y

yang saling terkait.

Untuk t = 1 dan k = 2 diperoleh persamaan x + y = 2

Untuk t = 2 dan k = 7 diperoleh persamaan 4x + 2y = 7

Dengan demikian kita peroleh dua buah persamaan linear dua

variabel, yaitu:

x + y =………………….………………………… (persamaan-1)

4x + 2y = ………………………………………… (persamaan-2)

Cara menentukan himpunan penyelesaian dari dua persamaan

linear tersebut dengan berbagai metode yaitu : eliminasi, subsitusi,

eliminasi dan subsitusi, serta metode grafik)

Nilai x dan y dapat ditentukan sebagai berikut

x + y = 2 x 4 4x + 4y = 8

4x + 2y = 7 x 1 4x + 2y = 7

2y = 1 y = 1

2

x + y = 2 x 2 2x + 2y = 4

4x + 2y = 7 x 1 4x + 2y = 7

-2x = -2 x = 3

2

Diperoleh himpunan penyelesaiannya adalah {( 1

2,

3

2)}

Evaluasi hasil yang diperoleh, apakah hasil yang diperoleh

adalah solusi terbaik.

k = x t2

+ y t dengan nilai x = 1

2 dan y =

3

2

2 = 3

2 (1)

2 +

1

2 (1) (pernyataan benar)

7 = 3

2 (2)

2 +

1


15 = 3

2 (3)

2 +

1


26 = 3

2 (4)

2 +

1



Dapat disimpulkan, aturan pengaitan banyak tingkat dengan

banyak kartu yang digunakan untuk membangun rumah kartu

adalah k = x t2

+ y t dengan nilai konstanta x = 1

2 dan y =

3

2

Tentukan banyak kartu yang digunakan membuat rumah

kartu dengan 30 tingkat!

Untuk t = 30 diperoleh k = 3

2 t

2 + 1

2t =

3

2 (30)

2 + 1

2(30)

k = 3

2 (900)

+ 15 = 1365 cara

jadi, banyak kartu yang dibutuhkan membangun rumah kartu

bertingkat dengan 30 tingkat adalah 1365 kartu.

3.2.5.2 Bentuk umum Sistem persamaan linear dengan Dua variabel /

SPL 2 variabel

222

111

cybxa

cybxa

x dan y adalah variabel

Rccbbaa 212121 ,,,,,

Cara menyelesaikannya dengan:

a. Metode Eliminasi

b. Metode Substitusi

c. Metode Campuran Eliminasi dan Substitusi

d. Metode Grafik

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian dari SPL berikut

273

2

yx

yx

1. Eliminasi

273

2

yx

yx

1

3

x

x

273

633

yx

yx

4y = 8

y = 2


273

2

yx

yx

1

7

x

x

273

1477

yx

yx

4x = 16

x = 4

2. Substitusi

Dari persamaan (1) y = x – 2 disubstitusikan ke persamaan

(2) diperoleh

3x – 7(x – 2) = -2

3x – 7x + 14 = -2

-4x = -16

x = 4

Untuk x = 4 disubstitusikan ke persamaan (1)

4 – y = 2

y = 4 – 2

= 2

3. Campuran Eliminasi dan Substitusi

273

2

yx

yx

1

3

x

x

273

633

yx

yx

4y = 8

y = 2

y = 2 disubstitusikan ke persamaan (1)

x – 2 = 2

x = 4

4. Grafik

x – y = 2

3x – 7y = -2

-2

2

(4,2)


Dengan grafik dapat dilihat :

a. Jika kedua garis berpotongan pada satu titik (himpunan

penyelesainnya tepat satu anggota)

b. Jika kedua garis sejajar, tidak mempunyai himpunan

penyelesaian

c. Jika kedua garis berhimpit (himpunan penyelesaiannya

mampunyai anggota tak terhingga)


1. Nilai x dan ya berturut-turut yang memenuhi persaman x + 3y

= 1 dan 2x - y = 9 adalah…

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 3x +

7y = -1 dan x - 3y = 5 dengan metode gabungan eliminasi dan

subsitusi.


Nama :

No. Absen :

Judul Tugas :

No. Kriteria Penilaian Rentang

Nilai

Nilai Prestasi





Jumlah Nilai Akhir


………………,……………20…



3.2.5.1 Menemukan konsep sistem persamaan linear tiga variabel

Dengan cara analog kita akan menemukan konsep sistem

persamaan linear tiga variabel melalui penyelesaian masalah-

masalah nyata. Perbedaan sistem persamaan linear dua variabel

dengan sistem persamaan linear tiga variabel terletak pada banyak

variabel yang akan ditentukan nilainya.

Cermati masalah berikut!

Suatu ketika Pak Wayan mendapat pesanan membuat 3

ukiran patung dan 1 ornamen rumah dari seorang turis asal Belanda

dengan batas waktu pembuatan diberikan selama 5 bulan. Pak

Wayan dan Putu dapat menyelesaikan keempat jenis ukiran di atas

dalam waktu 7 bulan. Jika Pak Wayan bekerja bersama Gede,

mereka dapat menyelesaikan pesanan dalam waktu 6 bulan. Karena

Putu dan Gede bekerja setelah pulang sekolah, mereka berdua

membutuhkan waktu 8 bulan untuk menyelesaikan pesanan ukiran

tersebut. Dapatkah pesanan ukiran diselesaikan, sesuai batas waktu

yang diberikan?

Sebelum kamu menyelesaikan masalah, manfaatkan

pengetahuan dan ketrampilan yang sudah kamu miliki untuk

menemukan aturan, hubungan, dan struktur-struktur yang belum

diketahui. Dalam menyelesaikan diatas langkah penyelesaiannya

tersirat dalam beberapa pertanyaan berikut:

1. Bagaimana kamu menentukan kecepatan Pak Wayan, Putu, dan

Gede bekerja menyelesaikan satu unit pesanan ukiran tersebut?

2. Dapatkah kamu menentukan hubungan tiap-tiap kecepatan

untuk menyelesaikan pekerjaan dalam bentuk persamaan?

3. Apa yang kamu temukan dari hubungan-hubungan tersebut?

Adakah kaitannya dengan pengetahuan yang kamu miliki

dengan melakukan manipulasi dengan aljabar?


4. Adakah variabel yang harus kamu tentukan nilainya?

Bagaimana caranya , apakah prinsip analogi (cara yang mirip)

dapat digunakan ketika kamu menentukan nilai variabel pada

sistem persamaan dua variabel?

5. Bagaimana hubungan antara konsep jarak dan kecepatan dalam

menentukan lamanya waktu yang digunakan untuk

menyelesaikan suatu pekerjaan.

6. Adakah jawaban permasalahan yang kamu temukan?


Diketahui

Pesanan pembuatan ukiran patung dan ornamen rumah

dengan batas waktu 5 bulan.

Waktu yang dibutuhkan membuat patung dan ornamen :

Pak Wayan dan putu : 7 bulan

Pak Wayan dan Gede : 6 bulan

Putu dan Gede : 8 bulan

Ditanya : waktu yang diperlukan bila ketiganya

bekerja bersama-sama

Misalkan: Waktu yang dibutuhkan (bulan) Pak Wayan adalah x

Waktu yang dibutuhkan (bulan) Putu adalah y

Waktu yang dibutuhkan (bulan) Gede adalah z

Berarti pekerjaan yang dapat diselesaikan pak Wayan,

Putu dan Gede dengan waktu x,y,z masing-masing 1

𝑥 ,

1

𝑦

dan 1

𝑧 bagian pekerjaan.

Bila Pak Wayan dan Putu bekerja bersama dalam satu bulan

dapat menyelesaikan 1

𝑥+

1

𝑦 bagian pekerjaan. Karena Wayan

dan Putu membutuhkan 7 bulan menyelesaikan pekerjaan, maka

hal ini dapat di maknai

7 1

𝑥 + 7

1

𝑦 = 1 →

1

𝑥 +

1

𝑦 =

1

7 …………..………. (persamaan-1)


Bila Pak Wayan dan Gede bekerja bersama dalam satu bulan

dapat menyelesaikan 1

𝑥+

1

𝑧 bagian pekerjaan. Karena Wayan

dan Gede membutuhkan 6 bulan menyelesaikan pekerjaan.

Maka hal ini dapat dimaknai

6 1

𝑥 + 6

1

𝑧 = 1 →

1

𝑥 +

1

𝑧 =

1

6………………….. (persamaan-2)

Bila Putu dan Gede bekerja bersama dalam satu bulan dapat

menyelesaikan 1

𝑦+

1

𝑧 bagian pekerjaan. Karena putu dan Gede

membutuhkan 8 bulan menyelesaikan pekerjaan, maka hal ini

dapat dimaknai

8 1

𝑦 + 8

1

𝑧 = 1 →

1

𝑦 +

1

𝑧 =

1

8…………………. (persamaan-3)

a) Temukan tiga persamaan linear yang saling terkait dari

persamaan 1,2 dan 3 di atas!

b) Misalkan p = 1

𝑥 , q =

1

𝑦 , dan r =

1

𝑧

c) Tentukan nilai p, q, dan r dengan memilih salah 1 metode

yang telah dipelajari sebelumnya. Sebegai alternatif pilihan

adalah metode campuran eliminasi dan subsitusi.

Dengan menerapkan metode eliminasi pada persamaan-1

dan 2 diperoleh

7p + 7q = 1 x 6 42p + 42q = 6

6p + 6r = 1 x 7 42p + 42r = 7 -

42q – 42r = -1 ……(persamaan-4)

Dengan menerapkan metode eliminasi pada persamaan-3

dan 4 diperoleh

8p + 8r = 1 x 42 336q + 336r =42

42q - 42r = -1 x 8 336q – 336r = -8 -

672r = 50

r = 50

672

r = 50

672 disubsitusikan ke persamaan 8q + 8r = 1 diperoleh q =

34

672

q = 34

672 disubsitusikan ke persamaan 7p + 7q =1 diperoleh p =

62

672


sebelumnya telah kita misalkan :

p = 1

𝑥 dan p =

62

672 → x =

672

62 = 10,8

q = 1

𝑦 dan q =

34

672 → y =

672

34 = 19, 76

r = 1

𝑧 dan r =

50

672 → z =

672

50 = 13,44

Karena x,y, dan z berturut-turut menyatakan waktu yang

dibutuhkan Pak Wayan, Putu, Gede menyelesaikan 1 set

pesanan ukiran. Jika bekerja secara individual, maka Pak Wayan

dapat menyelesaikan sendiri pesanan dalam waktu 10,84 bulan,

Putu dapat menyelesaikan sendiri pesanan dalam waktu 19,76

bulan, dan 1 Gede dapat menyelesaikan sendiri pesanan dalam

waktu 13,44 bulan.

Jadi waktu yang diperlukan Pak Wayan dan kedua

anaknya untuk menyelesaikan 1 set pesanan ukiran patung dan

ornamen, jika mereka bekerja secara bersama-sama adalah

t = 1

62

672+

34

672+

50

672

t = 672

146

t = 4,6

karena waktu yang diberikan turis adalah 5 bulan, maka

ternyata pekerjaan (pesanan) tersebut dapat diterima atau

dipenuhi.

3.2.5.2 Bentuk Umum Sistem persamaan linear dengan Tiga variabel /

SPL 3 variabel

3333

2222

1111

dzcybxa

dycybxa

dzcybxa

x, y, z adalah variabel

Rdddcccbbbaaa 321321321321 ,,,,,,,,,,,


Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari SPL berikut :

72

52

3

zyx

zyx

zyx

Dengan Metode campuran Eliminasi dan Substitusi :

Misal dimulai dengan mengeliminasi z

(1) dan (2)

52

3

zyx

zyx +

3x + 2y = 8 ..............................(4)

(2) dan (3)

72

52

zyx

zyx

x - y = -2 ............................(5)

(4) dan (5)

3x + 2y = 8 x 1 3x + 2y = 8

x - y = -2 x 3 3x - 3y = -6

5y = 14 , y = 14

5

3x + 2y = 8 x 1 3x + 2y = 8

x - y = -2 x 2 2x - 2y = -4 +

5x = 4 , x = 4

5

x = 4

5 dan y =

14

5 disubstitusi ke persamaan (1) :

x + y – z = 3

4

5 +

14

5 – z = 3

18

5 – z = 3

z = 18

5 – 3

z = 3

5 ,Jadi HP : {

4

5,

14

5,

3

5 }



1. Tentukan hubungan penyelesaian dari sistem persamaan berikut.

2x – y + z = -1

3x + 2y – z = 10

-4x – y – 3z = -3


Nama :

No. Absen :

Judul Tugas :






Jumlah Nilai Akhir


………………,……………20…



3.2.5.1 Aplikasi Sistem Persamaan Linear Dua Variabel dan Tiga

Variabel

Banyak permasalahan dalam keseharian yang dapat

diselesaikan dengan sistem persamaan linear. Untuk

menyelesaikannya terjemahkan soal-soal berupa cerita atau

informasi ilmiah ke dalam model matematika yang berbentuk

sistem persamaan linear, baik dua variabel maupun tiga variable.

Untuk memahaminya perhatikan contoh berikut.

Contoh 1

Pak Yudi membeli tiket masuk tempat rekreasi sebanyak 2

lembar untuk dewasa dan tiga lembar untuk anak-anak dengan arga

Rp 315.000,00. Joko membeli 3 lembar tiket untuk dewasadan 1

lembar untuk anak-anak dengan harga Rp 280.000,00. Jika

Andhika membeli 1 lembar tiket untuk dewasa dan 2 lembar untuk

anak-anak dengan menggunakan selembar uang Rp 100.000,00.

Berapakah uang kembalian yang diterima Andhika?

Penyelesaian

Misalnya, harga 1 lembar tiket untuk dewasa = x rupiah

harga 1 lembar tiket untuk anak-anak = y rupiah

Maka diperoleh sistem persamaan

2x + 3y = Rp 315.000,00 …….. (1)

3x + y = Rp 280.000,00 …….. (2)

Eliminasikan persamaan (1) dan (2):

Subsitusikan persamaan (3) ke persamaan (1), sehingga

diperoleh

Jadi, harga 1 lembar tiket untuk dewasa adalah Rp 75.000,00.

Harga 1 lembar tiket untuk anak-anak adalah Rp 55.000,00.

2x + 3y = Rp 315.000,00 │x 3│→ 6x + 9y = 945.000

3x + y = Rp 280.000,00 │x 2│→ 6x + 2y = 560.000 -

7y = 385.000 , y = 55.000 ……. (3)

2x + 3y = 315.000

2x + 2(55.000) = 560.000

2x = 150.000

x = 75.000


Uang kembalian yang diterima andhika adalah = 2(100.000) –

75.000 + 55.000

= 200.000 – (75.000 + 110.000)

= 200.000 – 185.000

= 15.000 rupiah

Contoh 2

Sepuluh tahun yang lalu, umur Ita adalah dua kali umur Tika.

Lima tahun kemudian, umur Ita adalah satu setengah kali umur

Tika. Berapakah umur Ita sekarang?

Penyelesaian:

Misalnya: umur ita sekarang = x tahun

Umur Tika sekarang = y tahun

Sistem persamaan dari permasalahan di atas adalah:

x – 10 = 2(y-10) → x – 2y = -10 … (1)

x – 5 = 3

2 (y – 5) → 2x – 3y = -5 … (2)

dengan metode eliminasi diperoleh :

x – 2y = -10 │x 3│ → 3x – 6y = -30

2x – 3y = -5 │x 2│ → 4x - 6y = -10 -

-x = -20

x = 20

jadi umur Ita sekarang adalah 20 tahun.


Sebuah toko kelontong menjual dua jenis beras sebanyak 50

kg. Harga 1 kg beras jenis I adalah Rp 6.000,00 dan jenis II adalah

Rp 6.200,00/kg. Jika harga beras seluruhnya Rp 306.000,00 maka

tentukan jumlah beras jenis I dan beras jenis II yang dijual.



Nama :

No. Absen :

Judul Tugas :


Nilai

Nilai Prestasi





Jumlah Nilai Akhir


………………,……………20…



3.2.5.1 Sistem Pertidaksamaan Linier Dua Variabel.

a. Pengertian Sistem Pertidaksamaan Linier Dua Variabel.

Gabungan dau atau lebih dari pertidaksamaan linier akan

membentuk suatu sistem yang dikenal dengan istilah Sistem

Pertidaksamaan Linier. Dalam hal ini tidak adannya ketentuan bahwa

banyaknya variabel yang harus sama dengan banyaknya

pertidaksamaan.

Pertidaksamaan linier dua variabel adalah sebagai kalimat

terbuka matematika yang memuat dua variabel, dengan masing-

masing variabel berderajat satu dan dihubungkan dengan tanda

ketidaksamaan. Lambing pertidaksamaan yang sering digunakan

seperti berikut:

1) >, berarti: lebih besar atau tidak kurang dari atau (+)

2) <, berarti: lebih kecil atau tidak lebih dari atau (-)

3) ≥, berarti: lebih besar sama dengan atau tidak kurang dari (+)

4) ≤, berarti, lebih kecil sama dengan atau tidak lebih dari (-)

Selidiki, apakah gabungan pertidaksamaan linier berikut

merupakan sistem pertidaksamaan linier dua variabel?

1. 8x + 4y ≤ 18 dan -2x + 4y ≥ -8

Penyelesaian:

1. 8x + 4y ≤ 18 dan -2x + 4y ≥ -8 merupakan pertidaksamaan

linier dalam variabel x dan y, sehingga keduannya dapat

membentuk sistem pertidaksamaan linier dua variabel.

b. Garis Batas Daerah Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Linier

Ada langkah-langkah yang harus diperhatikan dalam

menggambar garis batas penyelesaian dari petridaksamaan linier dua

variabel, dengan masing-masing variabel berderajat satu dan

dihubungkan dengan tanda ketidaksamaan.

Contoh

1.1


Garis batas daerah penyelesaikan pertidaksamaan linier

sering berupa:

a. Sumbu x (y = 0) b. Sumbu y (x = 0)

c. Sumbu x (y = k) d. Sumbu y (x = k)

e. y = mx ; m > 0 f. y = mx ; m < 0

g. ax + by = ab dengan

a, b > 0 dan a, b < 0

h. ax + by = ab dengan a dan

b berbeda tanda

y

X (y =

0) 0 0

x

Y (x =

0)

y = k (k < 0)

x

y = k (k > 0)

0

y

X

y

0

X = h (h < 0) X = h (h > 0 )

y

a

0 b x

a>0, b<0

y

x -b

-a

b

a

a>0, b<0

0

y

x 0

y = mx;

m>0

y

Y=mx;

m<0

x 0


Untuk menentukan garis batas daerah penyelesaian pada diagram

kartesius dilakukan langkah-langkah sebagai berikut.

Langkah 1

Menggambar garis dengan persamaan 4x + 3y = 400 dan garis x + y =

125. Agar kita lebih muda menggambar garis ini, lebih baik kita cari

dahulu titik potong dengan sumbu x yang terjadi jika y = 0 dan titik

potong dengan sumbu y yang terjadi jika x = 0.

Untuk garis 4x + 3y = 400, jika y = 0, maka x = 100

jika x = 0, maka y = 133,3

maka garis 4x + 3y = 400 memotong sumbu y di titik (0, 133,3) dan

memotong sumbu x di titik (100, 0).

Untuk garis x + y = 125, jika y = 0 maka x = 125

jika x = 0 maka y = 125

maka garis x + y = 125 memotong sumbu y di titik (0, 125) dan

memotong sumbu x di titik (125, 0)

Langkah 2

Menentukan daerah penyelesaian pertidaksamaan 4x + 3y ≤ 400 dan x

+ y ≤ 125. Daerah penyelesaikan pertidaksamaan 4x + 3y ≤ 400. Jika

garis 4x + 3y = 400 digambar pada diagram kartesius maka garis

tersebut akan membagi dua daerah, yaitu 4x + 3y < 400 dan 4x + 3y >

400. Selanjutnya kita selidiki daerah mana yang menjadi daerah

penyelesaian dari pertidaksamaan 4x + 3y ≤ 400, dengan cara

mengambil sembarang titik misalnya P(x,y) pada salah satu daerah,

kemudian mensubtitusikan titik tersebut ke pertidaksamaan 4x + 3y ≤

400. Jika pertidaksamaan terseut bernilai benar maka daerah yang

memuat titik P(x,y) merupakan daerah penyelesaian. Jika bernilai

salah maka daerah tersebut bukan daerah penyelesaian pertidaksamaan

4x = 3y ≤ 400. Dengan cara yang sama maka daerah penyelesaian

pertidaksamaan x + y ≤ 125 juga dapat diketahui.


Langkah 3

Mengarsir daerah yang merupakan daerah penyelesaian masing-

masing pertidaksamaan. Daerah yang diarsir dua kali merupakan

daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linier.

Setelah melakukan langkah 1, 2 dan 3 diatas, maka daerah

penyelesaian sistem pertidaksamaan dapat digambarkan sebagai

berikut.

Gambarlah garis bidang cartesius, himpunan penyelesaian dari

sistem peryidaksamaan dibawah berikut, x≥0, y≥0, 2x+3y≤12, untuk

x,y ∊ R.

Penyelesaian:

Gambarlah garis dengan persamaan x =

0, y = 0, dan 2x + 3y = 12. Kemudian

ambit titik (1,2) sebagai titik uji. Untuk

x ≥ 0 maka 1 ≥ 0 adalah benar. Jadi,

belahan bidang yang memuat titik (1,2)

merupakan himpunan penyelesaian x≥0.

Untuk y ≥ 0 maka 2 ≥ 0 adalah benar.

Jadi, belahan bidang yang memuat titik

(1,2) merupakan himpunan penyelesaian y ≥ 0. Untuk 2x + 3y ≤ 12,

maka 2(1) + 3(2) ≤ 12 ⇔ 8 ≤ 12 adalah benar. Jadi, belahan bidang

y

x 10

0

12

5

12

5

133,3

Gambar 1.1 daerah penyelesaian untuk

sistem pertidaksamaan linier

Contoh

1.2

y

2x + 3y = 12 4

0 6 x


yag memuat titik (1,2) merupakan himpunan penyelesaian 2x + 3y ≤

12. Himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan x≥0, y≥0 dan

2x+3y≤12 adalah irisan dari himpunan penyelesaian x ≥ 0, dan

himpunan penyelesaian y ≥ 0, dan himpunan penyelesaian 2x+3y≤12

sehingga himpunan penyelesaian diperlihatkan pada daerah yang

direster pada gambar di samping.


3.2.5.2 Rangkuman

a. Sistem pertidaksamaan linier adalah himpunan petidaksamaan

linier yang saling terkait dengan koefisien variabelnya bilangan-

bilangan real.

b. Sistem pertidaksamaan linier dua variabel adalah satu sistem

pertidaksamaan linier yang memuat dua variabel denga koefisien

bilangan real.

c. Penyelesaian sistem pertidaksamaan linier dua peubah adalah

himpunan semua pasangan titik (x,y) yang memenuhi sistem

pertidaksamaan linier tersebut.

d. Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linier adalah daerah

tempat kedudukan titik-titik yang memenuhi sistem pertidaksamaan

linier tersebut.

e. Menentukan garis pembatas suatu pertidaksamaan linier dua

variabel.

1). Persamaan garis lurus yang memotong sumbu koordinat di titik

(0,a) dan (b,0) adalah: ax + by = ab.

2). Persamaan garis lurus yang melalui dua titik, yaitu A(x1,y1) dab

B(x2, y2) ditentukan oleh:

y−y1

y2−y1 =

x− x1

𝑥2−𝑥1 atau y =

𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1 𝑥 − 𝑥1 + 𝑦1

0 b

a

X

y

Ax + by =

ab


3.2.5.3 Tugas Latihan

Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut ini dengan benar!

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linier

a. 2x + 5y ≥ 20 !

b. 4x – 3y < 12 !

c. 5x + 3y ≤ 15 !

2. Selidiki, apakah himpunan pertidaksamaan linier berikut

merupakan sistem pertidaksamaan linier dua variabel?

a. a – 5b ≥ 9 dan 5a – b ≤ 5 !

b. x + y ≤ 12, y ≥ 4, dan x ≥ 0 !

c. x + 2y ≥ 10 dan m – p ≤ 8 !

3. Jika diberikan sistem pertidaksamaan linier seperti berikut ini,

𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 ≥ 𝑐1 𝑑𝑎𝑛 𝑥 ≥ 0, 𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 ≥ 𝑐2 𝑑𝑎𝑛 𝑦 ≥ 0

a. Syarat apakah yang harus dipenuhi agar sistem memiliki

solusi tunggal?

b. Syarat apakah yang harus dipenuhi agar sistem tidak

memiliki solusi?



Jawablah pertanyaan dibawah ini dengan benar dan tepat!

1. Selidiki, apakah pertidaksamaan berikut termasuk persamaan linier

dua variabel. 2x + y ≤ 6 dan x – 2y ≥ -4!

2. Gambarah diagram cartesius dari himpunan penyelesaian sistem

pertidaksamaan x ≥ 2, y ≥ 3, 2x + y ≥ 8, untuk x, y ∊ R!

3. Arsirlah daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan 3x + y ≥ 3, x,

y ∊ R pada sistem koordinat cartesius.


Nama :

No. Absen :

Judul Tugas :






Jumlah Nilai Akhir


………………,……………20…


3.3 EVALUASI

3.3.1 Soal Evaluasi

1) Penyelesaian sistem persamaan 3x –2y= 12 dan 5x + y = 7 adalah x = p

dan y = q. Nilai 4p + 3q adalah . . .

a. 17 c. -1

b. 1 d. - 17

2) Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan x – 2y = 10 dan 3x +

2y = -2 adalah . . . .

a. {(-2, -4 )} c. {(2, -4)}

b. {(-2 ,4)} d. {(2, 4)}

3) Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier 2y – x = 10 dan 3x

+ 2y = 29 adalah . .

a. {(7, 4)} c. {(-4, 7)}

b. {(7,-4)} d. {(4, 7)}

4) Jika 2x + 5y = 11 dan 4x – 3y = -17, Maka nilai dari 2x – y = . . . .

a. -7 c. 5

b. -5 d. 7

5) Asep membeli 2 kg mangga dan 1 kg apel dan ia harus membayar

Rp15.000,00, sedangkan Intan membeli 1 kg mangga dan 2 kg apel

dengan harga Rp18.000,00. Berapakah harga 5 kg mangga dan 3 kg

apel?

a. Rp 28.000 c. Rp 39.000

b. Rp 34.000 d. Rp 41.000

6) Selisih umur seorang ayah dan anak perempuannya adalah 26 tahun,

sedangkan lima tahun yang lalu jumlah umur keduanya 34 tahun.

Hitunglah umur ayah dan anak perempuannya dua tahun yang akan

datang.

a. 37 tahun dan 11 tahun c. 36 tahun dan 10 tahun

b. 35 tahun dan 11 tahun d. 39 tahun dan 11 tahun

7) Asti dan Anton bekerja pada sebuah perusahaan sepatu. Asti dapat

membuat tiga pasang sepatu setiap jam dan Anton dapat membuat


empat pasang sepatu setiap jam. Jumlah jam bekerja Asti dan Anton 16

jam sehari, dengan banyak sepatu yang dapat dibuat 55 pasang. Jika

banyaknya jam bekerja keduanya tidak sama, tentukan lama bekerja

Asti dan Anton.

a. 9 jam dan 8 jam c. 8 jam dan 9 jam

b. 9 jam dan 7 jam d. 7 jam dan 9 jam

8) Tentukan himpunan penyelesaian dari:

3x + 4y – 3z = 3

2x – y + 4z = 21

5x + 2y + 6z = 46

a. {(2, 3, 5)} c. {(4, 3, 5)}

b. {(1, 3, 5)} d. {(3, 3, 5)}

9) Himpunnan penyelesaian sistem persamaan

2x + 5y + 4z = 28

3x – 2y + 5z = 19

6x + 3y – 2z = 4 adalah …

a. {(1, 3, 4)} c. {(1, 2, 4)}

b. {(2, 3, 4)} d. {(1, 4, 5)}

10) Tentukan himpunan penyelesaian dari:

2x + 3y – z = 20

3x + 2y + z = 20

x + 4y + 2z = 15

a. {(5, 3, -2)} c. {(5, 2, -1)}

b. {(5, 3, -1)} d. {(5, 1, -1)}

11) Gambarlah daerah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan dari

x – y ≥ 0, x + y ≥ 4 adalah….

a. c.

4

4 0 x

y

4

4 0 x

y


b. d.

12) Daerah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan dari x – y ≥ 0,

x + y ≥ 4, y ≥ 0 adalah….

a. c.

b. d.

13) Daerah yang diarsir adalah gambar himpunan penyelesaian sistem

pertidaksamaan dari x ≥ 0, y ≥ 0 ….

A. x + y ≤ 6, y ≥ 2

B. x + y ≤ 6, y ≤ 2

C. x + y ≤ 6, y – 2 ≥ 0

D. x + y ≤ 6, y – 2 ≤ 0

4

4 0 x

y

4

4 0 x

y

4

4 0 x

y

4

4 0 x

y

4

4 0 x

y

4

4 0 x

y

2

0

6

6 x

y


14) Daerah yang diarsir adalah himpunan penyelesaian pertidaksamaan dari

x ≥ 0, y ≥ 0 ….

A. y ≤ 4, y – x ≥ 5, y – 2x ≤ 8

B. y ≤ 4, y + x ≤ 5, y + 2x ≤ 8

C. y ≤ 4, y + x ≥ 5, y + 2x ≤ 8

D. y ≤ 4, 5y + 5 x ≥ 0, y – 2x ≤ 8

15) Koordinat titik-titik di dalam dan sepanjang segitiga ABC pada gambar

berikut ini memenuhi sistem pertidaksamaan….

A. 4x + y ≥ 8, 3x + 4y ≤ 24, x + 6y ≥ 12

B. 4x + y ≥ 8, 3x + 4y ≥ 24, x + 6y ≥ 12

C. 4x + y ≥ 8, 3x + 4y ≤ 24, x + 6y ≤ 12

D. 4x + y ≤ 8, 3x + 4y ≤ 24, x + 6y ≥ 12

16) Himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan 5x + 3y ≥ 15, x +

2y ≥ 6, x ≥ 0, y ≥ 0 mempunyai …. Buah titik sudut.

A. I

B. II

C. III

D. IV

17) Himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan 2x + y ≤ 4, x + 3y

≥3, x, y ∊ C dinyatakan oleh daerah….

A. I

B. II

C. III

D. IV

4 x

0 5

4

5

8

y

C

B A

x 12 8 2 0

2

6

8

y

IV II

I

I

I

I

0 3 2

1

4

x

y


18) Himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan 2x + y ≤ 40, x + 2y

≤ 40, x ≥ 0, dan y ≥ 0 brbentuk….

A. Persegi panjang

B. Segi empat

C. Trapezium

D. segitiga

19) Makanan x mengandung 4 unit vitamin A dan 2 unit vitamin B per

kilogram. Makanan y mengandung 4 unit vitamin A dan 6 unit Vitamin

B per kilogram. Makanan-makanan tersebut akan digunakan untuk

membuat makanan campuran yang mengandung sekurang-kurangnya

28 unit vitamin A dan 24 unit vitamin B. model matematika yang dapat

disusun dari masalah di atas adalah…

A. x + y ≥ 7, x + 3y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0, x, y ∊ C

B. x + y ≥ 7, x + 3y ≥ 12, x ≥ 0, y ≥ 0, x, y ∊ C

C. x + y ≤ 7, x + 3y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0, x, y ∊ C

D. x + y ≤ 7, x + 3y ≥ 12, x ≥ 0, y ≥ 0, x, y ∊ C

20) Seorang pedagang cat akan membeli barang dengan paling banyak 20

kaleng cat ukuran besar dan kecil. Harga sebuah cat kaleng besar

Rp20.000,00 dan sebuah cat kaleng kecil Rp10.000,00, sedangkan uang

yang tersedia adalah Rp250.000,00. Jika banyaknya cat kaleng besar

yang dibeli dimisalkan x buah dan cat kaleng kecil dimisalkan y buah,

maka model matematikanya adalah….

A. X + y ≥ 20, 2x + y ≤ 25, x ≥ 0, y ≥ 0, x, y ∊ C

B. X + y ≤ 20, 2x + y ≤ 25, x ≥ 0, y ≥ 0, x, y ∊ C

C. X + y ≥ 20, 2x + y ≥ 25, x ≥ 0, y ≥ 0, x, y ∊ C

D. X + y ≤ 20, 2x + y ≥ 25, x ≥ 0, y ≥ 0, x, y ∊ C

21) Kotak tempat barang dengan seorang penjual minuman kaleng paling

banyak membuat minuman sebanyak 60 kaleng. Ia membeli minuman

jenis A seharga Rp1.500,00/kaleng dan minuman jenis B seharga

Rp1.750,00/kaleng. Ia hanya mempunyai modal Rp200.000,00. Jika

banyaknya minuman kaleng jenis A dinyatakan dengan x buah dan


minuman jenis B y buah, maka model minuman matematikanya

adalah…

A. X + y ≤ 60, 6x + 7y ≤ 800, x ≥ 0, y ≥ 0, x, y ∊ C

B. X + y ≤ 60, 6x + 7y ≥ 800, x ≥ 0, y ≥ 0, x, y ∊ C

C. X + y ≥ 60, 6x + 7y ≤ 800, x ≥ 0, y ≥ 0, x, y ∊ C

D. X + y ≥ 60, 6x + 7y ≥ 800, x ≥ 0, y ≥ 0, x, y ∊ C

22) Jika x ≥ 0, y ≥ 0 dan daerah himpunan penyelesaian adalah daerah III,

maka sistem pertidaksaman yang memenuhi adalah….

A. Y ≥ 2x, 2y ≥ x, 2x + y ≤ 4, x + y ≥ 4

B. Y ≤ 2x, 2y ≥ x, 2x + y ≤ 4, x + y ≥ 4

C. Y ≤ 2x, 2y ≤ x, 2x + y ≤ 4, x + y ≥ 4

D. Y ≥ 2x, 2y ≤ x, 2x + y ≤ 4, x + y ≥ 4

23) Jika daerah himpunan penyelesaian adalah daerah I, maka daerah itu

memenuhi sistem pertidaksamaan….

A. X – 2y ≥ -2, 4x + 3y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0

B. X – 2y ≤ -2, 4x + 3y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0

C. X – 2y ≥ -2, 4x + 3y ≥ 12, x ≥ 0, y ≥ 0

D. X – 2y ≤ -2, 4x + 3y ≥ 12, x ≥ 0, y ≥ 0

24) Jika himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan merupakan daerah

1 dan III, maka sistempertidaksamaan itu adalah….

A. X ≥ 0, y ≤ 1, (x + y – 4)(x + 2y – 6) ≤ 0

B. y ≥ 0, x ≥ 1, (x + y – 4)(x + 2y – 6) ≤ 0

y

4

0 2 4

I II

III

I

V x

I

V

III

I

I I

y

4

1

-2 0 3 x

y

I V

II III

iii I

V

4

3

4 6

1

0 x


C. X ≥ 0, y ≥ 1, (x + y – 4)(x + 2y – 6) ≤ 0

D. y ≥ 0, x ≤ 1, (x + y – 4)(x + 2y – 6) ≤ 0

25) Himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan dari x + y ≥ 4, x + 2y ≤

6, dan y ≥ 1 ditunjukkn oleh…

A. I

B. II

C. III

D. IV


Nama :...........................

Kelas :...........................

No. Absen :...........................

No. Tugas :..........................

Judul Tugas :...........................

No. Kriteria Rentang

Nilai

Nilai Prestasi


1. Kegiatan belajar 1 0 – 30



4. Evaluasi 0 – 100

JUMLAH 0 – 100


Jumlah Nilai Akhir


..............................,.......................20....

y

I V

II III

iii I

V

4

3

4 6

1

0 x


BAB 4


4.1 PENDAHULUAN

4.1.1 Deskripsi

Dalam modul ini anda akan mempelajari perbandingan

trigonometri (sinus, cosinus, tangen), penggunaan perbandingan

trigonometri, penentuan nilai perbandingan trigonometri di berbagai

kuadran, pengkonversian koordinat cartesius dan kutub, aturan sinus

dan cosinus, penentuan luas segitiga, rumus trigonometri jumlah dan

selisih dua sudut

4.1.2 Prasyarat

Prasyarat untuk mempelajari modul ini adalah anda harus sudah

mempelajari bentuk akar dan pangkat, persamaan dan kesebangunan

dua segitiga, dan sudut-sudut istimewa.


1. Pelajari daftar isi serta skema modul dengan cermat, karena daftar isi

dan skema akan menuntun anda dalam mempelajari modul ini dan

kaitannya dengan modul-modul yang lain.

2. Untuk mempelajari modul ini haruslah berurutan, karena materi yang

mendahului merupakan prasyarat untuk mempelajari materi

berikutnya.

3. Perhatikan langkah-langkah dalam melakukan pekerjaan dengan

benar untuk memudahkan pemahaman dalam suatu proses pekerjaan.

4. Kerjakann soal-soal pada cek kemampuan intuk mengukur

kemampuan anda sebelum mempelajari modul ini.

5. Apabila dari soal cek kemampuan yang telah anda kerjakan

mendapat score ≥ 70, maka anda dapat langsung menuju Evaluasi

untuk mengerjakan soal-soal tersebut. Tetapi bila hasil jawaban

mendapat nilai < 70, maka anda harus mengikuti kegiatan


6. Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah semua soal

latihan yang ada. Jika dalam mengerjakan soal anda menemui



7. Kerjakan soal-soal yang terdapat dalam modul sesuai dengan

kemampuan anda dalam memahami modul ini.

8. Kerjakanlah soal evaluasi dengan cermat. Jika anda menemui



9. Jika anda mempunyai kesulitan yang tidak dapat anda pecahkan,



modul ini. Dengan membaca referensi lain, anda juga akan


4.1.4 Tujuan Akhir

Setelah mempelajari modul ini diharapkan Anda dapat:

1. Menemukan nilai perbandingan trigonometri untuk suatu sudut,

2. Menggunakan perbandingan trigonometri,

3. Menentukan nilai perbandingan trigonometri di berbagai kuadran,

4. Mengkonversikan koordinat cartesius dan kutub,

5. Menggunakan aturan sinus dan aturan cosinus,

6. Menentukan luas segitiga

7. Menggunakan rumus trigonometri jumlah dan selisih sudut,

8. Menyelesaikan persamaan trigonometri

9. Memahami pengertian koordinat kutub dan koordinat cartesius

10. Mengkonversikan koordinat cartesius ke koordinat kutub

11. Mengkonversikan koordinat kutub ke koordinat cartesius

12. Menentukan luas segitiga

13. Menyelesaikan masalah Menggunakan aturan sinus dan kosinus

14. Menyelesaikan masalah menggunakan rumus trigonometri jumlah

dan selisih dua sudut


4.1.5 Kompetensi

Kode Unit

Judul Unit : Trigonometri (jam)

Uraian Unit :


1. Menentukan dan

menggunakan nilai

perbandingan trigonometri

suatu sudut.

1.1 Perbandingan trigonometri suatu sudut ditentukan dari sisi-

sisi segitiga siku-siku.

1.2 Perbandingan trigonometri dipergunakan dalam

menentukan panjang sisi dan besar sudut segitiga siku-siku.

1.3 Sudut-sudut diberbagai kuadran ditentukan nilai

perbandingan trigonometrinya.

2. Mengkonversi koordinat

cartesius dan kutub

2.1 Koordinat cartesius dan koordinat kutub dibedakan sesuai

pengertiannya.

2.2 Koordinat cartesius dikonversi ke koordinat kutub atau

koordinat kutub ke koordinat cartesius sesuai prosedur dan

rumus yang berlaku.

3. Menggunakan aturan sinus

dan cosines

3.1 Aturan sinus digunakan untuk menentukan panjang sisi

atau besar sudut pada suatu segitiga.

3.2 Aturan cosinus digunakan untuk menentukan panjang sisi

atau besar sudut pada suatu segitiga

4. Menentukan luas suatu

segitiga

4.1 Luas segitiga dihitung dengan menggunakan rumus luas

segitiga

5. Menggunakan rumus

trigonometri jumlah dan

selisih dua sudut

5.1 Rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut

digunakan untuk menyelesaikan soal-soal yang terkait

6. Menyelesaikan persamaan

trigonometri

6.1 Persamaan trigonometri dihitung penyelesaiannya

7. Mengkonversi koordinat

cartesius dan kutub

7.1 Koordinat cartesius dan koordinat kutub dibedakan sesuai

pengertiannya

7.2 Koordinat cartesius dikonversi ke koordinat kutub atau

koordinat kutub ke koordinat cartesius sesuai prosedur dan

rumus yang berlaku

8. Menentukan luas suatu

segitiga

8.1 Luas segitiga dihitung dengan menggunakan rumus luas

segitiga

Acuan Penilaian

1. Unit kompetensi ini dapat diujikan secara langsung kepada peserta uji.

2. Aspek-aspek kritikal yang dinilai:

Mampu mengkonversikoordinat cartesius dan kutub

Memahami rumus trigonometri jumlah dan selisih sudut

3. Kompetensi yang harus dikuasai sebelumnya:

Bentuk akar dan pangkat, persamaan dan kesebangunan dua segitiga, dan sudut-sudut istimewa

4. Pengetahuan yang harus dibutuhkan:

Mengetahui rumus perbandingan

Mampu menemukan kuadran

Mengenal istilah unsur dalam trigonometri


Memahami sisi-sisi dalam segitiga


Bekerja dengan ketelitian dan kecermatan


Memperhatikan langkah-langkah dalam suatu proses

Bersikap positif dan terbuka terhadap penilaian pekerjaan oleh atasan

4.1.6 Cek Kemampuan


yang anda pilih

No Pertanyaan Jawaban

Ya Tidak

1. Apakah anda dapat menggunakan rumus perbandingan ?

2. Apakah anda dapat mengukur sudut suatu segitiga ?

3. Apakah anda mengenal atusan sinus dan cosinus ?

4. Apakah anda dapat menentukan kuadran ?

5. Apakah anda mengetahui luas segitiga ?

6. Apakah anda dapat membedakan antara koordinat kutub dan

cartesius ?

7. Apakah anda dapat menghitung besar sudut ?

8. Apakah anda dapat menghitung panjang sisi pada sebuah segitiga ?

9. Apakah anda mengenal istilah unsur dalam trigonometri ?

10. Apakah anda mengetahui yang dimaksud koordinat kutub ?

11. Apakah anda mengetahui yang dimaksud koordinat cartesius ?

Skore (Nilai)

Tulungagung, 2 November 2015


Trigonometri

Perbandingan Trigonometri suatu sudut

Mengkonversi

Koorinat Cartesius

Koordinat Kutub

Aturan sinus dan cosinus

Luas Segitiga

Jumlah dan Selisih Dua Sudut

PETA KONSEP


4.2 PEMBAHASAN


1) Pada setiap kegiatan belajar, pahamilah uraian tujuan kegiatan belajar,

agar mengetahui kemampuan apa yang akan dicapai pada setiap kegiatan.

2) Peralatan dan bahan yang harus dibawa pada pertemuan atau tatap muka


3) Sebelum melaksanakan kegiatan harus memahami terlebih dahulu setiap



4) Kerjakanlah setiap latihan dengan bersungguh-sungguh agar kemampuan

anda yang sebenarnya diketahui


4.2.2.1 Perbandingan Trigonometri dalam Segitiga Siku-siku

Gambar 1.1 merupakan gambar segitiga siku-siku di C, dengan

panjang AB=c, panjang AC= b, panjang BC= a, ∠𝐵𝐶𝐴 =

𝑎,∠𝐴𝐵𝐶 = 𝛽, dan ∠𝐴𝐶𝐵 = 90°. Sisi AC dan BC merupakan sisi

siku-siku, sedangkan sisi AB disebut sisi miring (hipotenusa).

Gambar 1.1:

Bardasarkan ganbar diatas diperoleh perbandingan panjang sisi-sisi

segitiga berikut.

1) 𝐵𝐶

𝐴𝐵=

𝑎

𝑐= sin𝛼 (sinus sudut 𝛼) dan

𝐴𝐶

𝐴𝐵=

𝑏

𝑐= sin𝛽 (sinus sudut

𝛽)


BC dan AC masing-masing merupakan sisi-sisi didepan sudut 𝛼

dan sudut 𝛽, sedangkan AB merupakan sisi miring segitiga

ABC.

2) 𝐴𝐶

𝐴𝐵=

𝑏

𝑐= cos𝛼 (cosinus sudut 𝛼) dan

𝐵𝐶

𝐴𝐵=

𝑎

𝑐= cos𝛽 (cosinus

sudut 𝛽)

AC dan BC masing-masing merupakan sisi siku-siku yang

mengapit sudut 𝑎 dan sudut 𝛽, sedangkan AB merupakan sisi

miring segitiga ABC.

3) 𝐵𝐶

𝐴𝐶=

𝑎

𝑐= tan𝑎 (tangen sudut 𝑎) dan

𝐴𝐶

𝐵𝐶=

𝑎

𝑏= tan𝛽 (tangen

sudut 𝛽)

BC dan AC masing-masig merupakan sisi-sisi didepan sudut 𝑎

dan sudut 𝛽, sedangkan AC dan BC masing-masing merupakan

sisi siku-siku yang mengapit sudut 𝑎 dan sudut 𝛽.

4) 𝐵𝐶

𝐴𝐶=

𝑎

𝑐= 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑎 (cosecan sudut 𝑎) dan

𝐴𝐵

𝐴𝐶=

𝑐

𝑏= 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝛽

(cosecan sudut 𝛽).

Jadi, 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑎 =1

sin 𝑎 dan 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝛽 =

1

sin 𝛽

5) 𝐴𝐵

𝐴𝐶=

𝑐

𝑏= sec𝑎 (secan sudut 𝑎) dan

𝐴𝐵

𝐵𝐶= sec𝛽 (secan sudut 𝛽).

Jadi, sec𝑎 =1

cos 𝛼 dan sec𝛽 =

1

𝑐𝑜𝑠𝛽

6) 𝐴𝐶

𝐵𝐶=

𝑏

𝑎= cot 𝑎 (cotangen sudut 𝑎) dan

𝐵𝐶

𝐴𝐶=

𝑎

𝑏= cot𝛽

(cotangen sudut 𝛽)

Jadi, cot 𝑎 =1

tan 𝑎 dan cot𝛽 =

1

tan 𝛽

Contoh:

Tentukan nilai-nilai perbandingan trigonometri berikut.

a. sin 𝑎 b. tan 𝑎 c. cos 𝑎 d. cosec 𝑎

e. cot 𝑎 f. cos 𝛽 g. sec 𝛽 h. sin 𝛽


Penyelesaian:

a) Sin 𝑎 =𝐵𝐶

𝐴𝐵=

3

5

b) Tan 𝑎 =𝐵𝐶

𝐴𝐶

AC= 52 − 32 = 16= 4.

Tan 𝑎 =3

4

c) Cos 𝑎 =𝐴𝐶

𝐴𝐵=

4

5

d) Cosec 𝑎 =1

sin 𝑎=

𝐴𝐵

𝐵𝐶=

5

3

e) Cot 𝑎 =1

tan 𝑎=

𝐴𝐶

𝐵𝐶=

4

3

f) Cos 𝛽 =𝐵𝐶

𝐴𝐵=

3

5

g) Sec 𝛽 =1

𝑐𝑜𝑠 𝐵=

𝐴𝐵

𝐵𝐶=

5

3

h) Sin 𝛽 =𝐴𝐶

𝐴𝐵=

4

5

4.2.2.2 Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Istimewa

Sudut-sudut istimewa yang akan dijelaskan pada materi ini adalah

sudut yang besarnya 0°, 30°, 45°, 60°, 𝑑𝑎𝑛 90°. Perbandingan

trigonometri sudut-sudut istimewa adalah sebagai berikut:

B. sudut

Trigono 0° 30° 45° 60° 90°

sin𝑎 0 1

2

1

2 2

1

2 3

1

cos 𝑎 1 1

2 3

1

2 2

1

2

0

tan𝑎 0 1

3 3

1 3 Tak

terdefinisi

4.2.2.3 Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Berelasi

Sumbu koordinat membagi bidang koordinat Cartesius menjadi

empat bagian (kuadran). Suatu sudut 𝑎 pada bidang Cartesius

dikelompokan menjadi empat kuadran yaitu:

Kuadaran I : 0° < 𝑎1 < 90° 𝑎𝑡𝑎𝑢 0 < 𝑎1 <𝜋

2


Kuadran II : 90° < 𝑎2 < 180° 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝜋

2< 𝑎2 < 𝜋

Kuadran III : 180° < 𝑎3 < 270° 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝜋 < 𝑎3 <3𝜋

2

Kuadran IV : 270° < 𝑎4 < 360° 𝑎𝑡𝑎𝑢 3𝜋

2< 𝑎4 < 2𝜋

a) Perbandingan trigonometri sudut di kuadran I

Sebuah titik P(x,y) terletak pada kuadran I. Jika ∠𝐴𝑃𝑂 = 𝜃,

maka

sin𝛼 =𝑦

𝑟 sin𝜃 =

𝑥

𝑟

cos 𝑎 =𝑥

𝑟 cos 𝜃 =

𝑦

𝑟

tan𝑎 =𝑦

𝑥 tan𝜃 =

𝑥

𝑦

Karena 𝜃 = 90° − 𝑎, diperoleh sebagai berikut ini,

sin 90° − 𝑎 = cos𝑎

cos 90°− 𝑎 = sin𝑎

tan 90°− 𝑎 = cot 𝑎

O


b) Perbandingan trigonometri sudut di kuadarn II

Pada kuadran II, relasi sudut 𝑎 dapat dinyatakan dengan

(90° + 𝑎) atau (180° − 𝑎). Perhatikan gambar, titik P(x,y)

dicerminkan terhadap sumbu Y sehingga diperoleh titik P (-x,y)

yang terletak di kuadran II. Jika ∠𝑃𝑂𝐵 = 𝑎 dan ∠𝐴𝑂𝑃 = 90° +

𝑎, maka Δ𝑃𝑂𝐵 diperoleh:

sin𝑎 =𝑥

𝑦 cos 𝑎 =

𝑦

𝑟 tan𝑎 =

𝑥

𝑦

Dan dari Δ𝐴𝑂𝑃 diperoleh :

sin 90° + 𝑎 =𝑦

𝑟

cos 90° + 𝑎 =−𝑥

𝑟

tan 90° + 𝑎 =𝑦

−𝑟= −

𝑦

𝑟

Sehingga, diperoleh hubungan sebagai berikut.

sin 90° + 𝑎 =𝑦

𝑟= cos 𝑎

cos 90° + 𝑎 = −𝑥

𝑟= − sin𝑎

tan 90° + 𝑎 = −𝑦

𝑥= − cot𝑎


Perhatikan gambar, titik P(x,y) dicerminkan terhadap sumbu Y

sehingga diperoleh titik P(-x,y) yang terletak pada kuadran II.

Jika ∠𝐴𝑂𝑃 = 𝑎 𝑑𝑎𝑛 ∠𝐴𝑂𝑃 = (180° − 𝑎) , maka dari Δ𝐴𝑂𝑃

diperoleh:

sin𝑎 =𝑦

𝑟 cos 𝑎 =

𝑥

𝑟 tan𝑎 =

𝑦

𝑥

Dan dari Δ𝐴𝑂𝑃 diperoleh:

sin 180 − 𝑎 =𝑦

𝑟= sin𝑎

cos 180 − 𝑎 = −𝑥

𝑟= − cos 𝑎

tan 180 − 𝑎 = −𝑦

𝑟= − tan𝑎

Perhatikan bahwa jika 𝑎 ada di kuadran II, 90° < 𝑎 < 180°,

maka

Trigonometri sin𝑎 cos 𝑎 tan𝑎

Tanda + − −

c) Perbandingan trigonometri sudut di kuadran III

Perhatikan gambar, titik P(x,y) dicerminkan terhadap titik asal

O(0,0) sehingga diperoleh titik P‟(-x,-y) yang terletak pada

kuadran III. Jika ∠𝐴𝑂𝑃 = 𝑎 dan ∠𝐴𝑂𝑃′ = 180° + 𝑎, maka dari

Δ𝐴𝑂𝑃 diperoleh:

sin𝑎 =𝑦

𝑟 cos 𝑎 =

𝑥

𝑟 tan𝑎 =

𝑦

𝑥

Dan dari Δ𝐴𝑂𝑃′ diperoleh:

sin 180 + 𝑎 =−𝑦

𝑟= −

𝑦

𝑟

cos 180 + 𝑎 =−𝑥

𝑟= −

𝑥

𝑟


tan 180 + 𝑎 =−𝑦

−𝑥=𝑦

𝑥

Sehingga diperoleh hubungan sebagai berikut.

sin 180 + 𝑎 = −𝑦

𝑟= − sin𝑎

cos 180 + 𝑎 = −𝑥

𝑟= − cos𝑎

tan 180 + 𝑎 =𝑦

𝑟= tan𝑎

Selain menyatakan perbandingan trigonometri pada kuadran III

sebagai (180° + 𝑎), juga dapat dinyatakan sebagai (270° + 𝑎).

Perhatikan gambar, titik P‟(-x,-y) terletak pada kuadran III. Jika

∠𝑃𝑂𝐵 = 𝑎 𝑑𝑎𝑛 ∠𝐴𝑂𝑃′ = 270° − 𝑎, maka dari Δ𝑃𝑂𝐵

diperoleh:

sin 𝑎 =𝑥

𝑟 cos 𝑎 =

𝑦

𝑟 tan𝑎 =

𝑥

𝑦


sin 270° − 𝑎 =−𝑦

𝑟= −

𝑦

𝑟

cos 270° − 𝑎 =−𝑥

𝑟= −

𝑥

𝑟

tan 270 − 𝑎 =−𝑦

−𝑥=𝑦

𝑥

Sehingga, didapat hubungan sebagai berikut:

sin 270° − 𝑎 = −𝑦

𝑟= − cos 𝑎

cos 270° − 𝑎 = −𝑥

𝑟= − sin 𝑎

tan 270° − 𝑎 =𝑦

𝑥= cot𝑎


Perhatikan bahwa jika 𝑎 ada di kuadran III, 180° < 𝑎 < 270°,

maka

Trigonometri sin 𝑎 cos 𝑎 tan𝑎

Tanda − − +

d) Perbandingan trigonometri sudut di kuadran IV

Perhatikan gambar. Titik P(x,y) dicerminkan terhadap sumbu X

sehingga diperoleh titik P‟(x,-y) terletak pada kuadran IV. Jika

∠𝑃𝑂𝐵 = 𝑎 𝑑𝑎𝑛 ∠𝐴𝑂𝑃′ = 270° + 𝑎, maka dari Δ𝑃𝑂𝐵

diperoleh:

sin𝑎 =𝑥

𝑟 cos 𝑎 =

𝑦

𝑟 tan𝑎 =

𝑥

𝑦


sin 270° + 𝑎 =−𝑦

𝑟= −

𝑦

𝑟

cos 270° + 𝑎 =𝑥

𝑟

tan 270° + 𝑎 =−𝑦

𝑥= −

𝑦

𝑟

Sehingga, di dapat hubungan sebagai berikut:

sin 270 + 𝑎 = −𝑦

𝑟= − cos 𝑎

cos 270 + 𝑎 =𝑥

𝑟= sin𝑎

tan 270 + 𝑎 =−𝑦

𝑥= −

𝑦

𝑥

Sehingga, didapat hubungan sebagai berikut.

sin 270° + 𝑎 = −𝑦

𝑟= − cos 𝑎

cos 270° + 𝑎 = sin𝑎

tan 270° + 𝑎 = − cot 𝑎


Selain dengan (270° + 𝑎), juga dapat menyatakan perbandingan

trigonometri pada kuadran IV dengan 360° − 𝑎 𝑑𝑎𝑛(−𝑎).

Perhatikan gambar:

Titik P(x,y) dicerminkan terhadap sumbu X sehingga diperoleh

P‟(x,y) pada kuadran IV.

Jika ∠𝐴𝑂𝑃 = 𝑎 dan ∠𝐴𝑂𝑃′ = 360° − 𝑎, maka dari ∆𝐴𝑂𝑃

diperoleh:

sin 𝑎 =𝑦

𝑟 cos 𝑎 =

𝑥

𝑟 tan𝑎 =

𝑦

𝑥

Dan dari ∆𝐴𝑂𝑃′ diperoleh:

sin 360° − 𝑎 =−𝑦

𝑟= −

𝑦

𝑟

cos 360° − 𝑎 =𝑥

𝑟

tan 360 − 𝑎 =−𝑦

𝑥= −

𝑦

𝑥

Sehingga didapat hbungan sebagai berikut.

sin 360 − 𝑎 = −𝑦

𝑟= − sin 𝑎

cos 360° − 𝑎 =𝑥

𝑟= cos 𝑎

tan 360° − 𝑎 = −𝑦

𝑥= − tan 𝑎

Perhatikan bahwa jika 𝑎 ada di kuadran IV, 270° < 𝑎 < 360°,

maka

Trigonometri sin𝑎 cos 𝑎 tan𝑎

Tanda − + −


4.2.2.4 Rangkuman

Identitas trigonometri merupakan suatu persamaan yang

didalamnya terdapat perbandingan trigonometri. Adapun cara

membuktikan persamaan tersebut adalah dengan menguraikan ruas

kiri persamaan sehingga hasil uarainnya sama dengan ruas kanan

atau sebaliknya. Ada perbandingan segitiga siku-siku, sudut-sudut

istimewa dengan rumus yang sudah dijelaskan diatas.


1. sec 300°

Jawab:

sec 300° = sec 360° − 60° 𝑘𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛 𝐼𝑉

= sec 60° =1

cos 60°=

11

2

= 2



Nama :

No. Absen :

Judul Tugas :


Nilai

Nilai Prestasi





Jumlah Nilai Akhir


…………….,………………..20…



4.2.3.1 Koordinat Cartesius dan Koordinat Kutub

Secara singkat koordinat Cartesius adalah suatu titik yang

digambar pada sumbu x dansumbu y, terdiri dari absis (nilai x) dan

ordinat (nilai y), ditulis P(x,y).

Atau Koordinat Cartesius adalah letak suatu titik yang

mempunyai absis x , ordinat y.

Koordinat kutub adalah koordinat yang digambar pada sumbu

x dan y, terdiri dari nilai r 𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2 dan sudut θ., yaitu sudut

yang dibentuk oleh garis OP dan OX , ditulis P(r, θ). Atau dapat

diringkas lagi Koordinat Kutub adalah letak suatu titik yang

disajikan dalam bentuk r dan α.

Koordinat cartesius ke koordinat kutub atau koordinat kutub ke

koordinat cartesius sesuai prosedur dan rumus yang berlaku.

Y

O

P(x,y)

X

r

θ

Y

O

P(x,y

)

X


Hubungan koordinat kartesius dengan koordinat kutub

diperlihatkan oleh gambar berikut ini.

Dari gambar di atas diperoleh hubungan jika pada koordinat

kartesius titik P (x,y) diketahui maka koordinat kutub P (r,θ) dapat

ditentukan dengan menggunakan rumus sebagai berikut.

Dengan demikian, apabila koordinat kartesius P (x,y) dinyatakan

menjadi koodinat kutub dapat dinyatakan dengan:

Jika koordinat kutub titik P (r, θ) diketahui maka koordinat

kartesius titik P (x, y) dapat ditentukan dengan menggunakan

rumus sebagai berikut.

Dengan demikian, apabila koordinat kutub P (r, θ) dinyatakan

menjadi koodinat kartesius dapat dinyatakan dengan rumus:

Y

P(r,θ)

r

O x X

θ

𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2

tan𝜃 = 𝑥

𝑦 ↔ 𝜃 = arctan

𝑦

𝑥

𝑃 = 𝑥2 + 𝑦2, arctan𝑦

𝑥

sin𝜃 =𝑦

𝑟→ 𝑦 = 𝑟 sin𝜃

cos 𝜃 =𝑥

𝑟→ 𝑥 = 𝑟 cos𝜃

𝑃(𝑟 cos 𝜃, 𝑟 sin 𝜃)


4.2.3.2 Rangkuman

1. Koordinat Cartesius adalah letak suatu titik yang mempunyai absis x ,

ordinat y.

2. Koordinat Kutub adalah letak suatu titik yang disajikan dalam bentuk

r dan α.

3. Koorinat Cartesius ditulis dengan P(x,y)

4. Koordinat kutub ditulis dengan P(r, θ)

5. apabila koordinat kartesius P (x,y) dinyatakan menjadi koodinat kutub

dapat dinyatakan dengan: 𝑃 = 𝑥2 + 𝑦2, arctan𝑦

𝑥

6. Jika koordinat kutub titik P (r, θ) diketahui maka koordinat kartesius

titik P (x, y) dapat ditentukan dengan menggunakan rumus sebagai

berikut : sin𝜃 =𝑦

𝑟→ 𝑦 = 𝑟 sin 𝜃 dan cos 𝜃 =

𝑥

𝑟→ 𝑥 = 𝑟 cos𝜃

7. apabila koordinat kutub P (r, θ) dinyatakan menjadi koodinat kartesius

dapat dinyatakan dengan rumus:𝑃(𝑟 cos 𝜃, 𝑟 sin 𝜃)


1) Apa yang di maksud dengan Koordinat Kutub

2) Apa yang dimaksud dengan koordinat cartesius

3) Jika diketahui koordinat kutub (6√3, 60°),

Tentukan koordinat cartesiusnya.

4) Jika diketahui koordinat kutub titik (-4,4)

Tentukan koordinat kutub nya.

5) Tentukan koordinat Kutub jika diketahui koordinat Cartesiusnya

adalah P ( -23 , -2 )



Nama :

No. Absen :

Judul Tugas :






Jumlah Nilai Akhir


………………,……………20…



4.2.4.1 Luas Suatu Segitiga

Sebelum menghitung Luas segitiga, tentunya kita harus

mengetahui rumus luas segitiga terlebih dahulu.

Luas Δ ABC = 1

2 × 𝑎𝑙𝑎𝑠 × 𝑡𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖

= 1

2× 𝐴𝐵 × 𝐶𝐷

Untuk menghitung luas segitiga dapat dilakukan dengan

berbagai cara.

1. Menentukam luas segitiga, jika diketahui besar sudut dan

panjang dua sisi yang mengapit sudut itu.

Misalkan pada ΔABC yang diketahui adalah besar sudut A dan

kedua sisi yang mengapit sudut itu, yakni sisi AB dan AC, maka

rumus luasnya ditentukan sebagai berikut:

Luas Δ ABC = 1

2 × 𝑎𝑙𝑎𝑠 × 𝑡𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖

= 1

2× 𝐴𝐵 × 𝐶𝐷

= 1

2× 𝑐 × 𝑏 sin 𝑎 (karena CD = b. sin𝑎)


Luas Δ ABC = 1

2𝑏. 𝑐. sin 𝑎

Dengan cara analogi yang sama diperoleh juga :

Luas Δ ABC = 1

2𝑎. 𝑏. sin𝛽

Luas Δ ABC = 1

2𝑎. 𝑏. sin 𝛾

Ketiga Rumus Segitiga di atas dapat ditulis juga :

2. Menentukan luas segitiga, jika diketahui panjang ketiga sisinya.

Perhatikan Δ ABC di bawah ini :

Jika sebuah segitiga diketahui panjang ketiga sisinya,

sedangkan sudut-sudutnya tidak diketahui, maka luas segitiga

itu dapat dihitung dengan Formula Hero.

Misalkan pada Δ ABC di atas diketahui AB = c, AC = b, dan

BC = a, maka rumus luasnya diperoleh dari rumus luas Δ ABC

= 1

2 𝑏. 𝑐. sin𝐴 , dengan mengganti nilai sin𝐴 dengan bentuk

cosinus yang diambil dari rumus cos𝐴 = 𝑏2+𝑐2+𝑎2

2.𝑏 .𝑐

Berdasarkan rumus sin2 A = 1 – cos

2 A diperoleh:

↔ sin2 A = (1 + cos A) (1 - cos A)

↔ sin2 A = 1 +

𝑏2+𝑐2+𝑎2

2𝑏𝑐 1−

𝑏2+𝑐2+𝑎2

2𝑏𝑐

↔ sin2

A = 2𝑏𝑐

2𝑏𝑐+

𝑏2+𝑐2−𝑎2

2𝑏𝑐

2𝑏𝑐

2𝑏𝑐−

𝑏2+𝑐2−𝑎2

2𝑏𝑐

↔ sin2 A =

(𝑏+𝑐)2−𝑎2

2𝑏𝑐

𝑎2−(𝑏−𝑐)2

2𝑏𝑐

Luas Δ ABC = 1

2b. c. sin A

Luas Δ ABC = 1

2a. c. sin B

Luas Δ ABC = 1

2a. b. sin C


↔ sin2 A =

𝑏+𝑐+𝑎 (𝑏+𝑐−𝑎)

2𝑏𝑐

𝑎+𝑏−𝑐 (𝑎−𝑏+𝑐)

2𝑏𝑐

Misalkan keliling ΔABC adalah 2s, berarti 2s = a + b + c, maka

bentuk (b+c+a) = 2s – 2a; (a + b + c) = 2s – 2c; dan (a – b + c) =

2s – 2b. Sehingga persamaan di atas dapat ditulis:

↔ sin2 A =

2𝑠(2𝑠−2𝑎)

2𝑏𝑐

2𝑠−2𝑐 (2𝑠−2𝑏)

2𝑏𝑐

↔ sin2 A =

2𝑠 ( 𝑠−𝑎)(𝑠−𝑏)(𝑠−𝑐)

(𝑏𝑐 )2

↔ sin2 A =

2

𝑏𝑐 𝑠 𝑠 − 𝑎 𝑠 − 𝑏 (𝑠 − 𝑐)

Dari bentuk rumus luas Δ ABC = 1

2𝑏. 𝑐. sin𝐴, diperoleh

rumus baru yang disebut Rumus Hero ( Hero’s Formula ).

Yaitu:

3. Menentukan luas segitiga, jika diketahui besar dua sudut dan

panjang sisi yang terletak diantara kedua sudut itu.

Dari rumus luas Δ ABC = 1

2𝑏. 𝑐. sin𝐶 dan rumus sinus

𝑎

sin 𝐴 =

𝑏

sin 𝐵 =

𝑐

sin 𝐶 diperoleh hubungan sebagai berikut:

𝑎

sin 𝐴 =

𝑏

sin 𝐵 ↔ a sin B = b sin A ↔ b =

𝑎 sin 𝐵

sin 𝐴, sehingga:

Luas Δ ABC = 1

2 𝑎 sin 𝐵

sin 𝐴.𝑎. sin𝐶 atau Luas Δ ABC =

1

2 𝑎2 sin 𝐵.sin 𝐶

sin 𝐴

Dengan cara yang sama, diperoleh juga rumus luas

sebagai berikut:

Luas Δ ABC = 𝑠 𝑠 − 𝑎 𝑠 − 𝑏 (𝑠 − 𝑐)

dimana s = 𝑎 +𝑏+𝑐

2

Luas Δ ABC = 1


sin 𝐴

Luas Δ ABC = 1

2 𝑏2 sin 𝐴.sin 𝐶

sin 𝐵

Luas Δ ABC = 1

2 𝑐2 sin 𝐴.sin 𝐵

sin 𝐶


4.2.4.2 Rangkuman

1. Menentukam luas segitiga, jika diketahui besar sudut dan panjang dua

sisi yang mengapit sudut itu. Dapat dihitung menggunakan rumus

1

2𝑏. 𝑐. sin𝑎

2. Menentukan luas segitiga, jika diketahui panjang ketiga sisinya. Dapat

dihitung menggunakan rumus 𝑠 𝑠 − 𝑎 𝑠 − 𝑏 𝑠 − 𝑐

3. Menentukan luas segitiga, jika diketahui besar dua sudut dan panjang

sisi yangterletak diantara kedua sudut itu. Dapat dihitung

menggunakan rumus 1


sin 𝐴


1. Diketahui sebuah segitiga ABC, jika a = 6 cm, b = 9 cm, dan sudut C

= 300

Hitunglah luas segitiga ABC.

2. Diketahui segitiga KLM, jika diketahui panjang sisi KL = 9 cm, KM =

13 cm, dan LM = 10 cm.

Hitunglah keliling segitiga KLM.

3. Diketahui sebuah segitiga ABC, jika < A = 250

dan < B = 350 .

Sedangkan panjang sisi c = 5 cm.

Hitunglah luas segitiga ABC.



Nama :

No. Absen :

Judul Tugas :






Jumlah Nilai Akhir

Kesimpulan: Lulus / Tidak Lulus

………………,……………20…


𝐴 𝐷 𝐶

𝐸

𝐵

𝑐

𝑎

𝛽

𝛾

a


4.2.5.1 Menggunakan Anturan Sinus dan Cosinus

Kita tentu telah mengetahui bahwa suatu bangun segitiga

memiliki tiga buah sudut dan tiga buah sisi serta jumlah besar

ketiga sudut segitiga adalah 180°. Dalam sub bab ini akan

dipelajari hubungan ketiga titik sudut dan ruas sisi segitiga yang

akan membentuk aturan sinus dan aturan kosinus.

1. Aturan Sinus Dalam Suatu Segitiga

Perhatikan gambar dibawah ini. Dalam ∆ 𝐴𝐵𝐶 ditarik garis

tinggi BD dan AE

Pada ∆ 𝐴𝐵𝐷 :

Sin 𝛼 = 𝐵𝐷

𝐴𝐵→ 𝐵𝐷 = 𝑐 sin𝛼… (1)

Pada ∆𝐶𝐵𝐷 ∶

sin 𝛾 =𝐵𝐷

𝐵𝐶→ 𝐵𝐷 = sin𝛼 sin 𝛾 … 2

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh:

c sin𝛼 = 𝛼 sin 𝛾, atau 𝑎

sin 𝛼 =

𝑐

sin 𝛾 ... (3)

Pada ∆𝐶𝐴𝐸:

sin 𝛾 = 𝐴𝐸

𝐶𝐴→ 𝐴𝐸 = 𝑏 sin 𝛾 … (4)

Pada ∆𝐴𝐵𝐸:

Sin 𝛽 = 𝐴𝐸

𝐵𝐴→ 𝐴𝐸 = 𝑐 sin𝛽 … 5

Dari persamaan (4) dan (5) diperoleh :


𝑏 sin 𝛾 = 𝑐 sin𝛽

𝑏

sin 𝛽=

𝑐

sin 𝛾… 6

Dari persamaan (3) dan (6) diperoleh :

𝑎

sin 𝛼=

𝑏

sin 𝛽=

𝑐

sin 𝛾

Persamaan tersebut disebut aturan sinus dalam suatu segitiga.

2. Aturan Kosinus Dalam Suatu Segitiga

Jika dalam suatu segitiga diketahui dua sisi dan sudut apit

dari kedua sisi itu maka sisi ketiga dapat juga dicari

menggunakan aturan kosinus, selain aturan sinus. Sehingga pada

setiap segitiga ABC berlaku aturan kosinus :

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 . cos 𝑎

𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2𝑎𝑏 . cos𝛽

𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 . cos 𝛾

Bukti:

Pada ∆𝐴𝐵𝐶 jika AD = x maka BD = c – x.

Pada ∆𝐴𝐷𝐶 berlaku :

𝐶𝐷2= 𝑏2- 𝑥2 ... (1)

Pada ∆𝐵𝐷𝐶 berlaku :

𝐶𝐷2= 𝑎2 − 𝑐2 − 𝑥2 … (2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh hubungan =

𝑏2 − 𝑥2 = 𝑎2 − (𝑐 − 𝑥)2

𝑏2 − 𝑥2 = 𝑎2 − 𝑐2 + 2𝑐 𝑥 − 𝑥2

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑐𝑥 … (3)

Pada ∆𝐴𝐷𝐶 berlaku cos 𝛼 = 𝑥

𝑏 maka x = b cos𝛼.

Sehingga persamaan (3) menjadi:

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑐 𝑏 cos𝛼

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 cos𝛼

Jadi,

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐. cos𝛼

Dengan cara yang sama dapat dibuktikan:


𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2𝑎𝑐. cos𝛽

𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏. cos𝛽

4.2.5.2 Rumus Trigonometri Jumlah dan Selisih Sudut

1. Sin (𝜶 ± 𝜷)

Perhatikan gambar berikut :

Pada gambar diatas, O adalah titik pusat lingkaran luar segitiga

ABC, diket ∠BAC = 𝛼, ∠ACB = 𝛾, dan panjang sisi AB = c, BC

= a, dan AC = b serta jari-jari OA= 1

2.𝛼 + 𝛽 < 𝜋.

Pada ∆𝐴𝐷𝑂 siku-siku di D:

OA = 1

2. AD =

𝑐

2, dan ∠𝐴𝑂𝐷 = 𝛾

Maka:

Sin 𝛾 = 𝐴𝐷

𝑂𝐴 =

𝑐

21

2

Sin 𝛾 = c

Sehingga dengan cara yang sama diperoleh, sin 𝛼 =

𝑎, sin𝛽 = 𝑏

Pada ∆𝐴𝐸𝐶, EA=b cos 𝛽, dan pada ∆𝐵𝐸𝐶, EB = 𝛼 cos 𝛽

EA + EB =

c = b cos 𝛼 + 𝛼 cos 𝛽

𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = 𝜋 → 𝛾 = 𝜋 − (𝛼 + 𝛽)

Sehingga:

Sin (𝛼 + 𝛽) = sin(𝜋 − 𝛼 + 𝛽 = 𝑠𝑖𝑛 𝛾 = 𝑐

Sin (𝛼 + 𝛽) = 𝑏 cos 𝑎 + 𝑎 cos𝛽

= sin 𝛽 cos 𝑎 + sin𝑎 cos𝛽

b 𝑎

𝑟

┐ ┐ 𝛼

𝛾

𝜷

A B

o

E D

C

o


Jadi

Sedangkan untuk rumus sin (𝛼 − 𝛽), dapat dilakukan dengan

mensubtitusikan bentuk (𝛼 − 𝛽) = 𝑎 + (−𝛽).

Sin (𝛼 − 𝛽) = sin [𝑎 + (− 𝛽)]

= sin 𝑎 cos −𝛽 + cos 𝑎 sin(−𝛽)

= sin 𝑎 cos𝛽 − cos 𝑎 sin𝛽

Jadi

2. Cos (𝒂± 𝜷)

= +

∠ACB = 𝜋

2− 𝑎 + 𝛽

= 𝜋

2− (𝑎 − 𝛽)

Luas ∆𝐴𝐵𝐶 = luas ∆𝐴𝐷𝐶 + luas ∆𝐵𝐷𝐶

1

2𝑎𝑏 sin(

𝜋

2− (𝑎 − 𝛽)) =

1

2𝑎𝑏 cos 𝑎 cos 𝛽 +

1

2𝑎𝑏 sin 𝑎 sin 𝑏

Jadi,

𝐴 𝐷 𝐵

𝐶

𝑎 𝑏

𝐷

𝐶

𝑎 cos𝛽

𝑏 cos𝑎 𝐴

Sin (𝛼 + 𝛽) = sin𝑎 cos𝛽+ cos 𝑎 sin𝛽

Sin (𝛼 − 𝛽) = sin 𝑎 cos 𝛽 − cos 𝑎 sin 𝛽

Cos 𝑎 − 𝛽 = cos𝑎 cos𝛽 + sin𝑎 sin𝛽

D

C

𝑏 sin 𝑎

𝑎 sin𝛽

𝑎


Rumus cos 𝑎 − 𝛽 dapat juga didapat dari gambar dibawah ini

(i) (ii)

Pada gambar (i), misalkan titik A(1,0). Jika 𝛼 𝑑𝑎𝑛 𝛽

menentukan letak titik B (𝑥1,𝑦1), C (𝑥2,𝑦2) dan D (𝑥3,𝑦3) pada

lingkaran, maka 𝑥1,2+𝑦1

2= 1 untuk i = 1,2,3, misalnya, kita

asumsikan bahwa 0<𝛽∠𝑎 < 2𝜋, maka:

𝑥1, = cos𝛽, 𝑦1 = sin𝛽

𝑥2, = cos (𝑎 − 𝛽),𝑦2 = sin( 𝑎 + 𝛽)

𝑥3, = cos 𝑎, 𝑦3 = sin𝑎

Pada gambar (ii), panjang busur AC = panjang busur BD,

sehingga panjang tali busur AC dan BD sama panjang.

𝐴𝐶 = |𝐵𝐷|

(𝑥2 − 1)2 + (𝑦2 − 0)2 = 𝑥3 − 𝑥1 2 + (𝑦3 − 𝑦1)2

𝑥2 2 − 2𝑥2 + 1 + 𝑦2

2= 𝑥3 2 − 2 𝑥1𝑥3 + 𝑥1

2 + 𝑦32 − 2𝑦1𝑦3 + 𝑦1

2

(𝑥2 2 + 𝑦2

2)+ 1 - 2 𝑥2 = (𝑥3 2 + 𝑦3

2)+( 𝑥1 2 + 𝑦1

2)− 2𝑥1 𝑥3 −

2𝑦1𝑦3 𝑐𝑜𝑠2 𝑎 − 𝛽 + 1− 2 𝑥2 =(𝑐𝑜𝑠 2𝑎 + 𝑠𝑖𝑛2𝑎) + 𝑐𝑜𝑠2𝛽 +

𝑠𝑖𝑛2−2 𝑥1𝑥3−2𝑦1𝑦3

1+1-2𝑥2 = 1 + 1 − 2 𝑥1𝑥3 − 2𝑦1𝑦3

𝑥2 = 𝑥3𝑥1 + 𝑦3𝑦1

Dengan mensubtitusikan nilai-nilai 𝑥1, 𝑦1, 𝑥2, 𝑥3 dan 𝑦3 diperoleh:

C (𝑥2,𝑦2)

D (𝑥3,𝑦3)

𝛽 𝑎 − 𝛽

B (𝑥1,𝑦1)

A(1,0)

𝑎

O

𝑌

cos (𝑎 − 𝛽) = cos𝑎 cos 𝛽+sin𝑎 sin 𝛽

O

D(𝑥3,𝑦3)

C(𝑥2,𝑦2)

B(𝑥1,𝑦1)

𝑌

𝐴(1,0)


Untuk mendapatkan rumus cos (𝑎 − 𝛽), dapat dilakukan dengan

mensubtitusikan (𝛼 + 𝛽) = 𝑎 − (−𝛽).

cos (𝑎 − 𝛽)= cos 𝑎 − (− 𝛽)

= cos 𝑎 𝑐𝑜𝑠 − 𝛽 + sin𝑎 sin(− 𝛽)

= cos 𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝛽 + sin 𝑎 (− sin 𝛽)

Contoh:

Tunjukkanlah bahwa cos 90° + A = − sin𝐴

cos 90° + A = cos 90° cos𝐴 − sin 90° sin𝐴

= 0. cos A − 1. sin𝐴 = − sin𝐴

Jadi , cos 90° + A = − sin𝐴

3. Tan (𝒂± 𝜷)

Rumus-rumus penjumlahan sinus dan kosinus yang telah

kita peroleh sebelumnya, dapat kita gunakan untuk menemukan

rumus penjumlahan tangen, seperti berikut ini:

𝑡𝑎𝑛(𝛼 + 𝛽) =sin (𝛼+𝛽)

cos (𝛼+𝛽)

= sin 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝛽 +cos 𝑎 sin 𝛽

cos 𝑎 cos 𝛽−sin 𝑎 sin 𝛽

=

sin 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝛽 +cos 𝑎 sin 𝛽

cos 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝛽

cos 𝑎 cos 𝛽−sin 𝑎 sin 𝛽

cos 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝛽

=

sin 𝑎 cos 𝛽

cos 𝑎 cos 𝛽+

cos 𝑎 𝑠𝑖𝑛𝛽

cos 𝑎 cos 𝛽

cos 𝑎 cos 𝛽

cos 𝑎 cos 𝛽+

sin 𝑎 sin 𝛽

cos 𝑎 cos 𝛽

=

sin 𝑎

cos 𝑎+

sin 𝛽

cos 𝛽

1−sin 𝑎

cos 𝑎.sin 𝛽

cos 𝛽

= tan 𝑎+tan 𝛽

1−tan 𝑎 𝑡𝑎𝑛𝛽

Jadi,

cos (𝑎 + 𝛽)= cos 𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝛽- sin𝑎 sin𝛽

𝑡𝑎𝑛 𝛼 + 𝛽 = tan𝑎 + tan𝛽

1− tan𝑎 tan𝛽


Sedangkan untuk 𝑡𝑎𝑛(𝛼 − 𝛽), dengan mensubtitusikan bentuk

𝛼 − 𝛽 = 𝑎 + (−𝛽) ke persamaan di atas diperoleh:

tan 𝛼 − 𝛽 = tan[𝑎 + −𝛽 ]

= tan 𝑎+tan 𝛽

1−tan 𝑎 tan (−𝛽) , ingat tan (-𝛽) = − tan𝛽

= tan 𝑎−tan 𝛽

1+tan 𝑎 tan 𝛽

Jadi,

4.2.5.3 Persamaan Trigonometri

Untuk 𝑘 ∈ 𝐵 dengan 𝐵 merupakan himpunan bilangan bulat,

diperoleh persamaan berikut:

a. Jika sin 𝑥 = sin𝑎,𝑚𝑎𝑘𝑎:

𝑥1 = 𝑎 + 𝑘. 360°

𝑥2 = 180° − 𝑎 + 𝑘. 360°

b. Jika cos 𝑥 = cos 𝑎,𝑚𝑎𝑘𝑎:

𝑥1 = 𝑎 + 𝑘. 360°

𝑥2 = −𝑎 + 𝑘. 360°

c. Jika tan 𝑥 = tan 𝑎,𝑚𝑎𝑘𝑎:

𝑥 = 𝑎 + 𝑘. 180°

d. Jika 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝑥 = 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝑎,𝑚𝑎𝑘𝑎:

𝑥 = 𝑎 + 𝑘. 180°

tan 𝛼 − 𝛽 =tan𝑎 − tan𝛽

1 + tan𝑎 tan𝛽


4.2.5.4 Rangkuman

a. Aturan sinus dan kosinus

Aturan sinus

𝒂

𝒔𝒊𝒏 𝒂=

𝒃

𝒔𝒊𝒏 𝜷=

𝒄

𝒔𝒊𝒏 𝜸

Aturan kosinus

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 cos 𝑎

𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2𝑎𝑐 cos𝛽

𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 cos 𝛾

b. Rumus jumlah dan selisih sudut

Sin (𝜶 ± 𝜷)

Sin (𝛼 + 𝛽) = sin𝑎 cos𝛽+ cos 𝑎 sin𝛽

Sin (𝛼 − 𝛽) = sin 𝑎 cos 𝛽 − cos 𝑎 sin 𝛽

Cos (𝒂 ± 𝜷)

cos (𝑎 − 𝛽) = cos 𝑎 cos 𝛽+sin𝑎 sin 𝛽

cos (𝑎 + 𝛽)= cos 𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝛽- sin𝑎 sin𝛽

Tan (𝒂 ± 𝜷)

𝑡𝑎𝑛 𝛼 + 𝛽 = tan 𝑎+tan 𝛽

1−tan 𝑎 tan 𝛽

tan 𝛼 − 𝛽 =tan 𝑎−tan 𝛽

1+tan 𝑎 tan 𝛽

c. Persamaan trigonometri

Jika sin 𝑥 = sin𝑎,𝑚𝑎𝑘𝑎:

𝑥1 = 𝑎 + 𝑘. 360°

𝑥2 = 180° − 𝑎 + 𝑘. 360°

Jika cos 𝑥 = cos 𝑎,𝑚𝑎𝑘𝑎:

𝑥1 = 𝑎 + 𝑘. 360°

𝑥2 = −𝑎 + 𝑘. 360°

Jika tan 𝑥 = tan𝑎,𝑚𝑎𝑘𝑎:

𝑥 = 𝑎 + 𝑘. 180°

Jika 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝑥 = 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝑎,𝑚𝑎𝑘𝑎:

𝑥 = 𝑎 + 𝑘. 180°



1. Diketahui segitiga ABC, dengan panjang AC= 25 cm, sudut A= 60°,

dan sudut C= 75°, jika sin 75°= 0,9659. Tentukan panjang BC dan AB

2. Bentuk sederhana dari cos 20°. Cos 40°+ sin 20°. Sin 40°

3. Hitunglah nilai dari sin 42° cos 12°- cos 42° sin 12°.

4. Tunjukkanlah bahwa cos 90° + A = − sin𝐴

5. Hitunglah tanpa menggunakan kalkulator atau tabel trigonometri

tan 80°+tan 55°

1−tan 80° tan 55°

6. Tentukanlah besarnya x dalam interval 0°≤ 𝑥 ≤ 360°, yang

memenuhi persamaan 2, sin 𝑥 = 3


Nama :

No. Absen :

Judul Tugas :






Jumlah Nilai Akhir


………………,……………20…


4.3 EVALUASI

4.3.1 Soal evaluasi

1. sin 135°

2. cos 210°

3. tan 315°

4. sec 300°

5. cos(−60°)

6. Dalam ΔPQR diketahui panjang PQ = 10 cm dan PR =8 cm. Jika luas

ΔPQR itu sama dengan 30 cm2, hitungah besar sudut P.

Penyelesaian

7. Nyatakan (4,135°) ke dalam koordinat cartesius

8. Nyatakan koordinat cartesius ( 3,1 ) ke daam koordinat kutub.

9. Sebuah rumah akan direnovasi atapnya. Direncanakan kontruksi

atapnya memiliki kuda-kuda berbentuk segitiga seperti gambar dibawah

ini. Tentukan panjang kedua bagian luar kuda-kuda lainnya yang belum

diketahui

8 m

30° 45°

10. Pada segitiga 𝐴𝐵𝐶 diketahui ∠𝐴 = 60°, 𝑏 = 10 𝑐𝑚, dan c = 16 cm.

Hitunglah panjang sisi 𝑎

a...?

b=10 cm

60°

c= 16 cm

11. Diket sin (A+B) = 3

4 dan sin (A-B)=

1

2 .

Hitunglah sin A cos B


12. Dengan menggunakan segitiga siku-siku dibawah ini, tunjukkan

cos 𝑎 + 𝛽 = cos 𝑎 + cos𝛽 + sin𝑎 + sin𝛽, jika 𝑎= 90° dan 𝛽= 30°.

2

1

30°

3

13. Diket tan𝑎 = 1

2 dan tan𝛽 =

1

3 , 𝑎 dan 𝛽 sudut lancip. Hitunglah:

𝑎. tan( 𝑎 + 𝛽) 𝑏. tan( 𝑎 − 𝛽)


Nama :...........................

Kelas :...........................

No. Absen :...........................

No. Tugas :..........................

Judul Tugas :...........................





3. Kegiatan belajar 3 0 - 10

4. Evaluasi 0 - 100

JUMLAH 0 – 100


Jumlah Nilai Akhir


..............................,.......................20....


BAB 5


5.1 PENDAHULUAN

5.1.1 Deskripsi

Modul ini berisi tentang Logika Matematika SMA dan di

dalamnya membahas materi-materi meliputi pernyataan, kalimat

terbuka, serta ingkarannya; pernyataan majemuk; pernyataan majemuk

bersusun.

5.1.2 Prasyarat

Dalam melaksanakan pembelajaran menggunakan modul ini

diperlukan prasyarat telah menguasai materi sebelumnya yaitu aljabar.


1. Bacalah modul ini dengan teliti dan cermat, serta pamahi benar-

benar seluruh informasi yang termuat di dalamnya.

2. Isilah cek kemampuan yang terdapat di akhir Bab I ini. Pastikan

apakah anda termasuk kategori orang yang harus mempelajari modul

ini atau kategori orang yang tidak lagi mempelajari modul ini karena

telah menguasainya.

3. Laksanakan semua tugas-tugas yang terdapat dalam modul ini agar

kompetensi anda berkembang dengan baik.

4. Setiap mempelajari suatu materi, anda harus memulainya dengan

menguasai pengertian-pengertian dalam uraian materi tersebut.

Setelah itu melaksanakan tugas-tugas serta mengerjakan lembar

latihan.

5. Dalam mengerjakan lembar latihan, anda tidak diperbolehkan

melihat kunci jawaban terlebih dahulu sebelum anda menyelesaikan

lembar latihan tersebut.

6. Cocokkan jawaban anda dengan kunci jawaban setelah anda selesai

mengerjakan lembar latihan tersebut. Hitung nilai yang anda peroleh,

agar anda mengetahui tingkat kemampuan anda.

7. Catatlah kesulitan yang anda temukan pada modul ini, kemudian

tanyakan pada guru pada saat Kegiatan Belajar Mengajar. Dan


bacalah referensi lain tentang materi dalam modul ini agar

pengetahuan anda semakin bertambah.

5.1.4 Tujuan Akhir

Setelah anda mempelajari seluruh kegiatan belajar di dalam

modul ini diharapkan anda:

1. Dapat memberikan contoh tentang pernyataan.

2. Dapat memberikan contoh kalimat terbuka.

3. Dapat menentukan negasi pernyataan.

4. Dapat memberikan contoh pernyataan majemuk.

5. Dapat memberikan contoh pernyataaan majemuk bersusun.

6. Dapat menentukan invers dari suatu implikasi.

7. Dapat menentukan konvers dari suatu implikasi.

8. Dapat menentukan kontraposisi dari suatu implikasi.

9. Dapat memahami pernyataan berkuantor.

10. Dapat menggunakan modus ponens untuk menarik kesimpulan

dalam kehidupan sehari-hari.

11. Dapat menggunakan modus tolens untuk menarik kesimpulan

dalam kehidupan sehari-hari.

12. Dapat menggunakan silogisme untuk menarik kesimpulan dalam

kehidupan sehari-hari.


5.1.5 Kompetensi

Kode Unit :

Judul Unit : Logika Matematika SMA

Uraian Unit : Unit ini berlaku untuk pelajaran matematika bab Logika SMA

materi Pernyataan, Kalimat terbuka, serta Ingkarannya;

Pernyataan majemuk.


1. Pernyataan, kalimat

terbuka, serta

ingkarannya.

1.1 Memahami pengertian pernyataan, kalimat

terbuka, serta ingkarannya.

1.2 Mampu membedakan pernyataan, kalimat

terbuka, serta inkarannya.

2. Pernyataan majemuk. 2.1 Memahami pengertian Pernyataan majemuk.

2.2 Menentukan nilai kebenaran dari konjungsi.

2.3 Menentukan nilai kebenaran dari disjungsi.

2.4 Menentukan nilai kebenaran dari implikasi.

2.5 Menentukan nilai kebenaran dari biimplikasi.


menentukan konvers,

invers, dan

kontraposisi dari

sebuah pernyataan

3.1 Istilah konvers, invers, dan kontraposisi

dipahami

3.2 Pernyataan yang disajikan dipahami, apabila

kurang jelas dapat ditanyakan kepada

pembimbing atau tutor

4. Pernyataan Berkuantor 4.1 Menentukan nilai kebenaran dari pernyataan

berkuantor.

5. Penarikan kesimpulan 5.1 Menggunakan prinsip logika matematika yang

berkaitan dengan pernyataan majemuk dan

pernyataan berkuantor dalam penarikan

kesimpulan.

Acuan Penelitian

1. Unit kompetensi ini dapat diujikan secara langsung kepada peserta uji di

sekolah maupun di tempat lain yang sesuai denan standarnya

2. Aspek-aspek kognitif yang dinilai:

Mengenali pernyataan, kalimat terbuka serta ingkarannya

Dapat menentukan nilai konjungsi, disjungsi, dan biimplikasi

Menentukan pernyataan yang setara dengan pernyataan majemuk

Penggunaan prinsip-prinsip logika matematika yang berkaitan dengan

pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor dalam penarikan kesimpulan

dan pemecahan masalah


Memahami pengertian konvers, invers, dan kontraposisi dari implikasi serta

menentukannya. Mampu menarik kesimpulan dari sebuah pernyataan.

4. Kompetensi yang harus dikuasai sebelumnya:

Paham dan mengerti akan pernyataan dan kalimat terbuka serta ingkarannya

dan pernyataan majemuk.



Bekerja dengan ketelitian dan ketepatan waktu



5.1.6 Cek Kemampuan

Petunjuk:

Isilah kolom di bawah ini dengan jawaban Ya atau Tidak

No Pernyataan Ya Tidak

1. Apakah anda telah memahami pengertian

pernyataan ?

2. Apakah anda telah memahami kalimat terbuka ?

3. Dapatkan anda menentukan negasi dari

pernyataan ?

4. Apakah anda telah memahami pernyataan

majemuk ?

5. Apakah anda telah memahami pernyataan

majemuk bersusun ?

6. Dapatkah anda menentukan konvers dalam

logika matematika?

7. Dapatkah anda menentukan invers dalam logika

matematika?

8. Dapatkah anda menentukan kontraposisi dalam

logika matematika?

9. Apakah anda memahami pernyataan berkuantor?

10. Apakah anda dapat menarik kesimpulan

menggunakan modus ponens?


menggunakan modus tolens?


menggunakan silogisme?

Catatan!

Jika anda menjawab “Tidak” pada salah satu pernyataan di

atas, maka pelajarilah materi pada modul ini.

Apabila anda menjawab “Ya” pada semua pernyataan di

atas, maka lanjutkanlah dengan mengerjakan tugas, tes formatif dan

evaluasi yang ada pada modul ini.


PETA KONSEP

LOGIKA MATEMATIKA

KALIMAT

KALIMAT TERBUKA

KALIMAT TERTUTUP

KALIMAT BERKUANTOR

KUANTOR UNIVERSAL

KUANTOR EKSISTENSIAL

INGKARAN/NEGASI

OPERATOR LOGIKA

KONJUNGSI

DISJUNGSI

IMPLIKASI

KONVERS

INVERS

KONTRAPOSISI

BIIMPLIKASI

PENARIKAN KESIMPULAN

MODUS PONENS

MODUS TOLLENS

SILOGISME


5.2 PEMBAHASAN


a. Pada setiap kegiatan belajar, pahamilah uraian tujuan kegiatan belajar,


b. Sebelum melaksanakan kegiatan harus memahami terlebih dahulu setiap



c. Kerjakanlah setiap latihan dengan bersungguh-sungguh agar kemampuan



Kegiatan Belajar 1: Pernyataan, Kalimat Terbuka dan Pernyataan

Majemuk.

5.2.2.1 Pernyataan dan Kalimat Terbuka

a) Pernyataan

Pernyataan adalah kalimat yang dapat ditentukan “benar” atau

“salah” saja oleh semua orang.

Contoh:

Bilangan 2 kurang dari 10.

Ikan dapat terbang.

Kedua kalimat diatas merupakan pernyataan karena kalimat

pertama bernilai benar dan kalimat kedua bernilai salah.

Suatu kalimat merupakan bukan pernyataan jika kalimat

tersebut tidak dapat ditentukan “benar” atau “salah”nya

atau mengandung nilai relatif.

Contoh:

Rumah itu bagus.

X + 3 = 5


Kedua kalimat diatas merupakan bukan pernyataan karena

pada kalimat pertama bagus itu relatif. Bagus menurut orang

yang rumahnya sederhana, tetapi bagi orang yang rumahnya

megah merupakan hal yang biasa. X + 3 = 5 merupakan

bukan pernyataan karena bila x di ganti dengan 2 maka

pernyataan ini merupakan pernyataan yang benar, sedangkan

bila x di ganti dengan 5 maka 5 + 3 = 5 menjadi pernyataan

yang salah.

Pernyataan dilambangkan dengan sebuah huruf kecil,

misal p, q, r, dan sebagainya. Pernyataan yang benar memiliki

nilai kebenaran benar (B) sedangkan pernyataan salah memiliki

nilai kebenaran salah (S).

b) Kalimat Terbuka

Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat

ditentukan nilai kebenarannya karena masih mengandug peubah

(variabel). Jika peubah tersebut diganti dengan suatu konstanta

dalam semestanya, akan dihasilkan suatu pernyataan.

Contoh:

5p – 10 = 15, p ∈ A

X adalah bilangan prima

Jika p diganti dengan 5, maka kalimat tersebut menjadi

pernyataan 25 – 10 = 15, dan pernyataan ini bernilai benar.

Sedangkan jika p diganti dengan 3, maka akan terbentuk

pernyataan 15 – 10 = 25 yang bernilai salah. Jika x diganti

dengan bilangan 2, maka pernyataan 2 adalah bilangan prima

merupakan pernyataan bernilai benar. Sedangkan jika x

diganti 1, maka pernyataan 1 adalah bilangan prima

merupakan pernyataan yang salah.

c) Ingkaran (negasi)

Ingkaran (negasi) suatu pernyataan adalah suatu

pernyataan baru yang dibentuk dari suatu pernyataan awal

sehingga nilai kebenarannya berubah. Ingkaran pernyataan p


atau negasi p dinyatakan dengan “ p ”. dari definisi dapat

dibuat tabel kebenaran sebagai berikut :

p p

B

S

S

B

Sering kali dalam menentukan negasi dengan

menambahkan kata “bukan” atau “tidak benar” pada kalimat

pernyataan. Sesungguhnya penambahan pada pernyataan semula

tidaklah cukup. Untuk menentukan ingkaran atau negasi yang

efektif dari pernyataan yang bervariasi, dapat menggunakan

tabel berikut:

Pernyataan Ingkaran atau Negasi

Semua ...

Ada / beberapa ...

Sama dengan (=)

Lebih dari (>)

Lebih dari atau sama dengan (≥)

Kurang dari (<)

Kurang dari atau sama dengan (≤)

Ada / beberapa ... tidak ...

Semua ... tidak ...

Tidak sama dengan (≠)

Kurang dari atau sama dengan (≤)

Kurang dari (<)

Lebih dari atau sama dengan (≥)

Lebih dari (>)

Contoh:

p : Hari Senin tidak ada tes kompetensi logika matematika

p : Hari Senin ada tes kompetensi logika matematika

p : Semua hewan berkaki empat

p : Ada hewan yang tidak berkaki empat

5.2.2.2 Pernyataan Majemuk dan Negasinya

Pernyataan majemuk adalah suatu pernyataan baru yang

diperoleh dari penggabungan beberapa pernyataan tunggal dengan

kata hubumg kalimat tertentu. Kata hubung yang dimaksud yaitu

dan, atau, tetapi, jika ..., maka ..., ... jika dan hanya jika ..., dan

lain-lain.

a) Konjungsi

Konjungsi adalah penggabungan dua pernyataan dengan

menggunakan kata hubung “dan” membentuk sebuah kalimat


majemuk. Konjungsi dilambangkan dengan notasi “⋀”. Jika p

dan q dua pernyataan, maka p ⋀ q (dibaca: p dan q). Berikut

contoh kalimat konjungsi.

p : Saham adalah surat berharga.

q : Saham diperjualbelikan di bursa efek.

p ∧ 𝑞 : Saham adalah surat berharga dan dijualbelikan di bursa

efek.

Kata hubung “dan” dalam konjungsi dapat diganti dengan

kata tetapi, sehingga, walaupun, maupun, dan kemudian selama

artinya tetap sama. Suatu konjungsi tidak diharuskan adanya

hubungan antara komponennya.

Suatu konjungsi bernilai benar jika kedua pernyataan

tunggalnya bernilai benar.

Konjungsi dapat disusun dalam sebuah tabel kebenaran

seperti berikut:

P q p ∧ q

B

B

S

S

B

S

B

S

B

S

S

S

Contoh :

p : persegi memiliki empat sisi. ( B )

q : 2 + 3 = 6 ( S )

p ∧ q : persegi memiliki empat sisi dan 2 + 3 = 6 ( S )

b) Disjungsi

Disjungsi adalah gabungan dua pernyataan yang

menggunakan kata penghubung logika “atau” sehingga

membentuk dua pernyataan majemuk. Kata penghubung “atau”

dalam logika matematika dilambangkan dengan “ ⋁ ”. Disjungsi

dua pernyataan p dan q dapat dituliskan “p ∨ q” dan dibaca ”p

atau q”. Dalam kehidupan sehari-hari, kata “atau” dapat berarti

salah satu atau kedua-duanya, dapat pula berarti salah satu tetapi


tidak kedua-duanya. Misalnya, 2 adalah bilangan prima atau

genap. Pernyataan ini dapat diartikan dua, yaitu: (1) hanya

bilangan prima saja atau genap saja, (2) juga bilangan genap dan

prima.

Disjungsi bernilai benar apabila paling sedikit satu dari

keduanya bernilai benar.

Disjungsi dapat disusun dengan tabel kebenaran sebagai berikut:

P q p ∨ 𝑞

B

B

S

S

B

S

B

S

B

B

B

S

Contoh:

p : ada 7 hari dalam satu minggu. ( B )

q : Jakarta adalah ibukota Jawa Timur. ( S )

p ∨ 𝑞 : ada 7 hari dalam seminggu atau Jakarta adalah ibukota

Jawa Timur.( B )

c) Implikasi

Implikasi adalah gabungan dua pernyataan p dan q

sehingga membentuk pernyataan majemuk dengan

menggunakan kata penghubung “jika..., maka...”. Implikasi dua

pernyataan p dan q dapat ditulis “p → q” dan dibaca “jika p

maka q”. Pernyataan p dinamakan anteseden atau hipotesis,

sedangkan pernyataan q dinamakan konsekuen atau kesimpulan.

Perhatikan contoh berikut :

p : 23 = 8

q : 11 adalah bilangan prima.

p → q : jika 23 = 8, maka 11 adalah bilangan prima.

Implikasi bernilai salah jika p bernilai benar dan q

bernilai salah, dalam hal lain implikasi bernilai benar.


Implikasi dapat disusun dengan tabel kebenaran sebagai berikut:

P q p → 𝑞

B

B

S

S

B

S

B

S

B

S

B

B

Contoh:

p : ada hewan berkaki empat. ( B )

q : ayam berkaki empat. ( S )

p → 𝑞 : jika ada hewan berkaki empat, maka ayam berkaki

empat. ( S )

d) Biimplikasi

Biimplikasi adalah gabungan dua pernyataan majemuk

dengan kata hubung “...jika dan hanya jika...”. Biimplikasi dua

pernyataan p dan q dapat ditulis “p⟷q” dibaca p jika dan hanya

jika q, yang berarti “jika p maka q dan jika q maka p”.

Biimplikasi bernilai benar, jika keduanya mempunyai nilai

kebenaran yang sama (semua benar atau semua salah). Jika

nilai kebenaran keduanya tidak sama maka pernyatan bernilai

salah.

Dapat disusun dengan tabel kebenaran sebagai berikut :

P q p ⟷ 𝑞

B

B

S

S

B

S

B

S

B

S

S

B

Contoh:

p : 5 < 1 ( S )

q : 32 > 9 ( S )

p ⟷ 𝑞 : 5 < 1 jika dan hanya jika 32 > 9 ( B )

e) Negasi Konjungsi


Negasi harus menyangkal keadaan sebenarnya. Perhatikan

pernyataan “saya suka buah dan tidak suka sayur”. Sehingga

negasinya “saya tidak suka buah atau saya suka sayur”.

Pernyataan di atas dapat ditulis dalam logika matematika.

p : saya suka sayur

q : saya tidak suka sayur

p ∧ 𝑞 : saya suka buah dan tidak suka sayur

Maka ~ (𝑝 ∧ 𝑞) : saya tidak suka buah atau saya suka sayur.

≡ ~ 𝑝 ∨ ∼ 𝑞

Pernyataan ~ (𝑝 ∧ 𝑞) ekuivalen dengan ~ 𝑝 ∨ ∼ 𝑞. Jadi secara

umum, negasi pernyataan p ∧ 𝑞 adalah ~ 𝑝 ∨ ∼ 𝑞. Dapat ditulis:

~ (𝑝 ∧ 𝑞) ≡ ~ 𝑝 ∨ ∼ 𝑞

f) Negasi Disjungsi

Perhatikan pernyataan berikut !

p : Rani pergi ke sekolah

q : Rani bermain di rumah Ima

p ∨ 𝑞 ∶ Rani pergi ke sekolah atau bermain di rumah Ima

Keadaan yang dinyatakan disjungsi diatas adalah Rani

melakukan salah satu atau kedua kegiatan tersebut. Yaitu Rani

pergi ke sekolah atau bermain di rumah Ima. Ingkaran

pernyataan ini adalah”Rani tidak pergi ke sekolah dan tidak

bermain di rumah Ima” yang menyatakan Rani tidak melakukan

satu pun dari kegiatan di atas. Secara umum, negasi dari

pernyataan p ∨ 𝑞 adalah ~ 𝑝 ∧ ∼ 𝑞 atau ditulis:

~ (𝑝 ∨ 𝑞) ≡ ~ 𝑝 ∧ ∼ 𝑞

g) Negasi Implikasi

Perhatikan implikasi berikut !

p : matahari bersinar cerah

q : hari ini tidak hujan

p → 𝑞 : jika matahari cerah, maka hari ini tidak hujan.


Keadaan yang dinyatakan implikasi di atas adalah jika

matahari bersinar cerah terjadi, maka hari ini tidak terjadi hujan.

Ingkaran (negasi) pernyataan yang bertentangan dengan

pernyataan ini adalah “matahari bersinar cerah dan hari ini

hujan”. Secara umum, negasi pernyataan p → 𝑞 adalah 𝑝 ∧ ∼ 𝑞

atau di tulis:

~ (𝑝 → 𝑞) ≡ 𝑝 ∧ ∼ 𝑞

h) Negasi Biimplikasi

Pernyataan bersyarat ganda seperti “sudut suatu segitiga

sama besar jika dan hanya jika segitiga itu sama sisi” merupakan

pernyataan berimplikasi. Bagaimana negasi dari suatu

pernyataan biimplikasi ?

Secara umum, negasi pernyataan p ↔ 𝑞 adalah ~ 𝑝 ↔ 𝑞

atau 𝑝 ↔ ∼ 𝑞, dapat ditulis :

~ 𝑝 ↔ 𝑞 ≡ ~ 𝑝 ↔ 𝑞

Atau

~ 𝑝 ↔ 𝑞 ≡ 𝑝 ↔ ∼ 𝑞

Bentuk ekuivalen lain dari negasi suatu implikasi adalah

~ 𝑝 ↔ 𝑞 ≡ 𝑝 ∧ ∼ 𝑞 ∨ (𝑞 ∧ ~ 𝑝)


5.2.2.3 Rangkuman

Gabungan dua pernyataan tunggal yang menggunakan kata

penghubung “dan” sehingga terbentuk pernyataan majemuk disebut

konjungsi.

Disjungsi adalah gabungan dua pernyataan yang menggunakan kata

penghubung logika “atau” sehingga membentuk dua pernyataan

majemuk.

Implikasi adalah gabungan dua pernyataan p dan q sehingga

membentuk pernyataan majemuk dengan menggunakan kata

penghubung “jika..., maka...”.

Biimplikasi adalah gabungan dua pernyataan majemuk dengan kata

hubung “...jika dan hanya jika...”.

Dua pernyataan dikatakan ekuivalen apabila kedua pernyataan

tersebut mempunyai nilai kebenaran yang sama.


5.2.2.4 Tes formatif

Kerjakan soal berikut, jangan melihat kunci jawaban ketika kalian

mengerjakan!

1. Diantara kalimat berikut, tentukan mana yang merupakan kalimat

pernyataan dan kalimat terbuka !

a. 2x + 5 = 21

b. Setiap orang membutuhkan oksigen untuk bernafas.

c. 5 – 2 + 1 > 0

d. Jumlah sudut-sudut dalam segitiga adalah 180.

e. p adalah bilangan prima kurang dari 20.

2. Jika diketahui pernyataan p bernilai benar dan q bernilai salah,

tentukan nilai kebenaran dari ~ (𝑝 ∧ ~ 𝑞) !

3. Jika Semarang ibu kota Jawa Tengah, maka x2 – 3x – 28 = 0.

Tentukan nilai x agar implikasi bernilai benar!

4. Diketahui pernyataan berikut:

p : saya lulus ujian

q : semua keluarga berbahagia

r : saya melanjutkan ke Perguruan Tinggi Negeri

t : saya bekerja

Tentukan pernyataan berikut ini

a. ~ 𝑝 → ~ 𝑡

b. ~ 𝑞 ↔ ~ 𝑟



Nama :

No. Absen :

Judul Tugas :


Nilai

Nilai Prestasi





Jumlah Nilai Akhir


………………,……………20…



5.2.3.1 Konvers, Invers, dan Kontraposisi

Seperti yang telah Anda pelajari pada modul sebelumnya, dua

buah pernyataan atau lebih dapat dibentuk menjadi suatu kalimat

majemuk. Pernyataan-pernyataan majemuk yang menggunakan

kata hubung " → " (jika ... maka ...) adalah implikasi, konvers,

invers, dan kontraposisi, yang didefinisikan sebagai berikut.

Jika p dan q adalah suatu pernyataan maka pernyataan majemuk

a) 𝑞 → 𝑝 disebut konvers dari 𝑝 → 𝑞

b) ~𝑝 → ~𝑞 disebut invers dari 𝑝 → 𝑞

c) ~𝑞 → ~𝑝 disebut kontraposisi dari 𝑝 → 𝑞

Hubungan antara implikasi-implikasi tersebut dapat

ditunjukkan dengan diagram dibawah ini.

Konvers

Kontraposisi

Invers Invers

Konvers

Dengan menggunakan tabel kebenaran, kita dapat melihat

nilai kebenaran dari masing-masing pernyataan baru tersebut.

Tabel kebenaran itu ialah sebagai berikut.

𝑝 𝑞 ~𝑝 ~𝑞 𝑝 → 𝑞 𝑞 → 𝑝 ~𝑝 → ~𝑞 ~𝑞 → ~𝑝

B B S S B B B B

B S S B S B B S

S B B S B S S B

S S B B B B B B

𝑝 → 𝑞 𝑞 → 𝑝

~𝑞

→ ~𝑝

~𝑝

→ ~𝑞


Dengan memperhatikan nilai kebenaran pada tabel di atas,

dapat disimpulkan sebagai berikut:

a) Implikasi ekuivalen dengan kontraposisinya, yaitu:

𝑝 → 𝑞 ≡ ~𝑞 → ~𝑝

b) Konvers suatu implikasi ekuivalen dengan inversnya yaitu:

𝑞 → 𝑝 ≡ ~𝑝 → ~𝑞

Contoh soal:

1. Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari implikasi

“Jika harga BBM naik, maka harga kebutuhan sehari-hari

naik“.

Pemecahan:

Konvers: Jika harga kebutuhan sehari-hari naik, maka

harga BBM naik

Invers: Jika harga BBM tidak naik, maka harga

kebutuhan sehari- hari tidak naik

Kontraposisi: Jika harga kebutuhan sehari-hari tidak naik,

maka harga BBM tidak naik

2. Tentukan pernyataan yang senilai dari pernyataan berikut:

a. Jika saya rajin belajar, maka semua pelajaran sekolah

dapat saya ikuti dengan baik.

b. ~𝑝 → (𝑞 ∧ 𝑟)

c. (𝑝 → 𝑞) → 𝑟

Pemecahan:

Diketahui bahwa nilai kebenaran implikasi sama dengan

nilai kebenaran kontraposisinya. Sehingga pernyataan

yang senilai dengan implikasi adalah kontraposisinya.

a. Jika ada pelajaran sekolah yang tidak dapat saya ikuti

dengan baik, maka saya tidak rajin.

b. ~𝑝 ∧ 𝑟 → ~ ~𝑝 atau ~𝑞 ∨ ~𝑟 → 𝑝

c. ~(~𝑟) → ~ 𝑝 → 𝑞 atau 𝑟 → (𝑝 ∧ ~𝑞)


5.2.3.2 Pernyataaan Berkuantor

Pernyataaan berkuantor ialah pernyataan yang melibatkan

kata yang menyatakan jumlah anggota semesta pembicaraan untuk

mewakili suatu sistem atau keadaan. Adapun kuantor yang kita

kenal adalah kuantor universal dan kuantor eksistensial. Agar Anda

dapat memahaminya, perhatikan uraian berikut ini.

a) Kuantor Universal (∀)

Dibaca: untuk semua, untuk seluruh, untuk setiap, tanpa

kecuali. Dimisalkan 𝑝(𝑥) adalah suatu kalimat

terbuka, pernyataan ∀𝑥,𝑝(𝑥) dibaca “untuk setiap 𝑥

berlaku 𝑝(𝑥)“

b) Kuantor Eksistensial (∃)

Dibaca: ada, beberapa, terdapat. Jika dimisalkan 𝑝(𝑥)

adalah suatu kalimat terbuka maka ∃𝑥, 𝑝(𝑥) dibaca “untuk

beberapa 𝑥 berlaku 𝑝(𝑥)“

Negasi kalimat berkuantor universal adalah kalimat

berkuantor eksistensial, sedangkan negasi kalimat berkuantor

eksistensial adalah kalimat berkuantor universal. Jika terdapat

kalimat kuantor universal ∀𝑥 𝑝(𝑥) dan kalimat berkuantor

eksistensial ∃𝑥 𝑝(𝑥) negasi dari keduanya ditulis sebagai

berikut:

~ ∀𝑥 ,𝑝 𝑥 ≡ ∃𝑥 , ~𝑝(𝑥)

~ ∃𝑥 ,𝑝 𝑥 ≡ ∀𝑥 , ~𝑝(𝑥)

Contoh soal:

Tentukan ingkaran dari pernyataan “ada pohon yang daunnya

meranggas“

Pemecahan:

Misalnya: 𝑥 = pohon dan 𝑝 𝑥 = daunnya meranggas.

Kalimat tersebut dilambangkan dengan ∃𝑥,𝑝(𝑥).

Ingkarannya: ~ ∃𝑥 ,𝑝 𝑥 ≡ ∀𝑥 , ~𝑝(𝑥) dapat dibaca “tidak

ada pohon yang daunnya meranggas“ ekuivalen dengan “Semua

pohon daunnya tidak meranggas“.


5.2.3.3 Rangkuman

Jika p dan q adalah suatu pernyataan maka pernyataan majemuk

𝑞 → 𝑝 disebut konvers dari 𝑝 → 𝑞

~𝑝 → ~𝑞 disebut invers dari 𝑝 → 𝑞

~𝑞 → ~𝑝 disebut kontraposisi dari 𝑝 → 𝑞

Ada dua macam kuantor, yaitu kuantor universal dan kuantor

eksistensial. Kuantor Universal ∀ , dibaca: untuk semua, untuk seluruh,

untuk setiap, tanpa kecuali. Kuantor Eksistensial ∃ , dibaca: ada,

beberapa, terdapat. Negasi kalimat berkuantor universal adalah kalimat

berkuantor eksistensial, sedangkan negasi kalimat berkuantor eksistensial

adalah kalimat berkuantor universal.


1. Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari implikasi berikut:

a) Jika 2 + 4 > 5, maka 5 merupakan bilangan prima.

b) Jika saya pergi ke dokter, maka saya sakit.

c) Jika harga turun, maka permintaan naik.

2. Tentukan pernyataan yang senilai dari pernyataan berikut.

a) Jika saya rajin belajar, maka semua pelajaran sekolah dapat saya

ikuti dengan baik.

b) ~𝑝 → 𝑞 ∧ 𝑟

c) (𝑝 → 𝑞 → ~𝑟

3. Tentukan negasi dari kalimat ”Setiap siswa SMA terpelajar”!



Nama :

No. Absen :

Judul Tugas :






Jumlah Nilai Akhir


………………,……………20…



5.2.4.1 Penarikan Kesimpulan

Pernyataan-pernyataan yang digunakan untuk menarik suatu

kesimpulan diasumsi-kan benar terjadi dan disebut premis.

Kesimpulan dapat bernilai valid (sah) dan ada juga yang tidak valid

tergantumg dari premis-premis penyusunnya. Untuk menentukan

sah atau tidaknya suatu kesimpulan, kita dapat menggunakan ketiga

prinsip berikut, yaitu modus ponens, modus tollens, dan silogisme.

a) Modus Ponens

Modus ponens adalah argumentasi

atau penarikan kesimpulan yang disajikan

dalam bentuk sebagai berikut.

Modus ponens menyatakan apabila

diketahui “jika 𝑝 maka 𝑞" benar, dan

𝑝 benar, disimpulkan 𝑞 benar.

b) Modus Tollens

Modus tollens adalah argumentasi

yang disajikan dalam bentuk sebagai

berikut.

Modus tollens menyatakan apabila

diketahui “jika 𝑝 maka 𝑞“ benar dan 𝑞

tidak benar, disimpulkan 𝑝 tidak benar.

c) Silogisme

Silogisme adalah argumentasi yang

disajikan dalam bentuk sebagai berikut.

Silogisme menyatakan benar apabila “jika

𝑝 maka 𝑞“ benar dan “jika 𝑞 maka 𝑟“

benar, disimpulkan “jika 𝑝 maka 𝑟“ benar.

Premis 1 : 𝑝 → 𝑞

Premis 2 : 𝑝

Konklusi : 𝑞


Premis 2 : ~𝑞

Konklusi : ~𝑝


Premis 2 : 𝑞 → 𝑟

Konklusi : 𝑝 → 𝑟


Contoh soal:

Tentukan kesimpulan yang sah dari premis-premis berikut!

a. Jika irigasi tidak lancar, maka tanaman padi kekurangan air.

b. Jika tanaman padi kekurangan air, maka petani gagal panen.

c. Petani tidak gagal panen.

Pembahasan:

𝑝 : irigasi tidak lancar

𝑞 : tanaman padi kekurangan air

𝑟 : petani gagal panen

(a) : 𝑝 → 𝑞

(b) : 𝑞 → 𝑟

(d) : ∴ 𝑝 → 𝑟

(c) : ~𝑟

∴ ~𝑝

Jadi, kesimpulannya adalah “irigasi lancar“

5.2.4.2 Rangkuman

Penarikan kesimpulan

Modus ponens Modus tollens silogisme

𝑃1 :𝑝 → 𝑞

𝑃2 : 𝑝

∴ ∶ 𝑞

𝑃1 : 𝑝 → 𝑞

𝑃2 : ~𝑞

∴ ∶ ~𝑝

𝑃1 : 𝑝 → 𝑞

𝑃2 : 𝑞 → 𝑟

∴ ∶ 𝑝 → 𝑟



1) Tentukan kesimpulan yang sah dari premis berikut!

a) 𝑃1 : Jika terjadi kecelakaan, maka jalan macet

𝑃2 : jika jalan macet, maka banyak yang terlambat

b) 𝑃1 : jika harga barang naik, maka permintaan barang turun

𝑃2 : jika permintaan barang turun, maka produksi barang

turun

c) 𝑃1 : jika 𝑛 bilangan ganjil, maka 𝑛2 bilangan ganjil

𝑃2 : jika 𝑛2 bilangan ganjil, maka 𝑛2 + 1 bilangan genap

2) Selidikilah argumen di bawah ini, sah atau tidak dengan menggunakan

tabel kebenaran.

𝑎. 𝑃1 : jika Santi rajin belajar, maka ia akan menjadi pintar

𝑃2 : Santi pintar

∴ : Santi rajin belajar

𝑏. 𝑃1 : jika di Indonesia tidak ada korupsi, maka semua

penduduknya tidak miskin

𝑃2 : ada penduduk Indonesia yang miskin

∴ : di Indonesia masih ada korupsi

3) Selidikilah argumen di bawah ini, sah atau tidak dengan menggunakan

tabel kebenaran.

𝑎. 𝑃1 : 𝑝 → 𝑞

𝑃2 : ~𝑞

∴ : 𝑝

𝑏. 𝑃1 : 𝑝𝑞 ∨

𝑃2 : 𝑝

∴ : ~𝑞



Nama :

No. Absen :

Judul Tugas :






Jumlah Nilai Akhir


………………,……………20…


5.3 EVALUASI

5.3.1 Soal Evaluasi

Kerjakanlah soal-soal berikut ini dengan teliti dan benar !

1. Nyatakan kalimat-kalimat berikut merupakan kalimat terbuka atau

pernyataan. Jika pernyataan nyatakan nilai kebenaranya : x + 2 = x – 2

dan 2(x + 1)+ 3 = 2x +5 !

2. Tuliskan negasi dari pernyataan 2 bilangan prima dan 2 + 3 sama

dengan 5 !

3. Tentukan nilai kebenaran dari 3 bilangan prima atau 5 bilangan genap

dengan disjungsi !

4. Tentukan nilai kebenaran dari 6 bilangan prima dan 3 bilangan ganjil

dengan konjungsi !

5. Tentukan nilai kebenaran jika 2 + 3 = 5 , maka 4 + 5 = 7 dengan

implikasi !

6. Tentukan nilai kebenaran 2 + 2 = 4 ↔ 3 + 4 = 8 !

7. Buatlah tabel kebenaran dari ~ p → ~ q !

8. Tentukan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan x ganjil ↔2x genap !

9. Salin dan lengkapilah tabel kebenaran dari tabel berikut :

P Q q → 𝑝 [p ∨ (𝑞 → 𝑝)] ∼[p ∨ (𝑞 → 𝑝)]

B B

B S

S B

S S

10. Jika p bernilai benar, q bernilai benar, dan r bernilai salah. Tentukan

nilai kebenaran pernyataan berikut !

a. p ∨ 𝑞 → 𝑟

b. ~ 𝑝 ∨ [(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑟]

11. Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari setiap pernyataan

implikasi berikut:


a) Jika biaya sekolah gratis, maka semua penduduk Indonesia pandai

b) Jika Badu siswa SMA, maka ia lulusan SMP

c) Jika Carli siswa yang pandai, maka ia lulus tes

d) Jika Ali seorang anggota MPR, maka ia seorang anggota DPR

12. Diketahui premis-premis berikut:

Premis 1 : Jika hari ini hujan maka saya tidak pergi

Premis 2 : Jika saya tidak pergi maka saya nonton sepak bola

Kesimpulan yang sah dari penarikan kedua premis tersebut adalah….

13. Tentukan negasi (ingkaran) dari pernyataan-pernyataan berikut:

a) p : Semua dokter memakai baju putih saat bekerja.

b) p : Semua jenis burung bisa terbang.

c) p : Semua anak mengikuti ujian fisika hari ini.



Nama :...........................

Kelas :...........................

No. Absen :...........................

No. Tugas :..........................

Judul Tugas :...........................






4. Evaluasi 0 - 100

JUMLAH 0 – 100


Jumlah Nilai Akhir


..............................,.......................20....


BAB 6


6.1 PENDAHULUAN

6.1.1 Deskripsi

Modul ini membahas Dimensi Tiga, yang mana berisi materi

tentang konsep jarak, titik, garis, bidang, serta bangun-bangun ruang.

6.1.2 Prasyarat

Dalam mempelajari modul ini diperlukan prasyarat telah

menguasai bilangan pangkat dan bentuk akar, unsur-unsur bangun datar

dan bangun ruang serta materi-materi sebelumnya yang masih

berkaitan.


Untuk mempelajari modul ini, hal-hal yang perlu Anda lakukan


1. Pahami daftar isi serta kedudukan modul dengan cermat dan teliti.



2. Kerjakan soal-soal dalam cek kemampuan untuk mengukur sampai


3. Apabila dari soal cek kemampuan yang telah anda kerjakan

mendapat score ≥ 70, maka anda dapat langsung menuju Evaluasi

untuk mengerjakan soal-soal tersebut. Tetapi bila hasil jawaban

mendapat nilai < 70, maka anda harus mengikuti kegiatan


4. Dalam mempelajari materi yang ada pada modul ini harus berurutan,

materi yang mendahului merupakan prasyarat untuk mempelajari

materi berikutnya.

5. Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, kemudian kerjakanlah

semua soal latihan untuk menunjang pemahaman Anda tentang

materi ini. Jika dalam mengerjakan soal latihan Anda menemui



6. Kerjakanlah soal evaluasi dengan cermat. Jika Anda menemui



7. Jika Anda mempunyai kesulitan yang tidak dapat Anda pecahkan,



modul ini. Dengan membaca referensi lain, Anda juga akan


6.1.4 Tujuan Akhir

Setelah mempelajari modul ini diharapkan Anda dapat:

1. Menentukan kedudukan titik

2. Menentukan jarak antara titik dan titik

3. Menentukan jarak titik ke garis

4. Menentukan jarak titik ke bidang

5. Menentukan jarak antara dua garis dan dua bidang yang sejajar

6. Menentukan sudut antara dua garis dalam ruang dimensi

7. Menentukan sudut antara garis dan bidang dalam ruang dimensi tiga

8. Menentukan sudut antara dua bidang dalam dimensi ruang


6.1.5 Kompetensi

Judul Unit: Dimensi Tiga (3 jam pelajaran)

Uraian Unit: unit ini berlaku untuk menentukan kedudukan dan jarak,

yang melibatkan titik, garis, dan bidang dalam ruang dimensi tiga.


1. Menentukan kedudukan

titik

1.1 Memahami pengertian titik.

1.2 Mampu menentukan kedudukan

antara dua titik dalam ruang dimensi

tiga.


antara titik dan garis dalam ruang

dimensi tiga.


antara titik dan bidang dalamruang

dimensi tiga.

2. Menentukan jarak 2.1 Mampu menentukan jarak antara

titik dan titik.

2.2 Mampu menentukan jarak titik ke

garis.

2.3 Mampu menentukan jarak titik ke

bidang.

3. Menentukan jarak antara

dua garis dan dua bidang

yang sejajar

3.1 Memahami pengertian dua garis

yang sejajar.

3.2 Mampu menentukan jarak antara dua

garis yang sejajar.

3.3 Memahami pengertian dua bidang

yang sejajar.

3.4 Mampu menentukan jarak antara dua

bidang yang sejajar.

4. Menentukan besar sudut

antara garis dengan bidang

dan dua bidang dalam ruang

dimensi tiga

4.1 Menentukan sudut antara dua garis

dalam dimensi tiga

4.2 Menentukan sudut antara garis

dengan ruang dalam dimensi tiga

4.3 Menentukan sudut antara bidang

dengan bidang dalam dimensi

ruang

Acuan Penilaian



Mampu menentukan kedudukan titik, garis dan bidang dalam ruang

dimensi tiga.

Mampu menentukan jarak dari titik ke garis dan dari titik ke bidang

dalam ruang dimensi tiga.


Memahami pengertian titik, garis dan bidang.

Mengenal istilah-istilah yang ada pada macam-macam bangun ruang.

Mampu menghitung menggunakan bilangan pangkat dan bentuk akar.



Tepat dalam mengerjakan perintah yang diberikan

Memaksimalkan pekerjaan dalam menggunakan waktu yang ditentukan

Disiplin dan teliti dalam mengerjakan setiap perintah yang diberikan

Bersikap positif dan terbuka terhadap penilaian hasil pekerjaan oleh

guru.

6.1.6 Cek Kemampuan

Petunjuk:


yang anda pilih

No. Pertanyaan Jawaban

Ya Tidak

1. Apakah anda dapat menentukan kedudukan titik?

2. Apakah anda dapat menentukan jarak antara titik dan

titik?

3. Apakah anda dapat menentukan jarak antara titik ke

garis?

4. Apakah anda dapat menentukan jarak titik ke bidang?

5. Apakah anda dapat menentukan jarak antara dua garis

dan dua bidang yang sejajar

Skore ( Nilai )

....................,............... 20......


PETA KONSEP

DIMENSI TIGA

JARAK TITIK, GARIS, DAN

BIDANG

KEDUDUKAN TITIK

JARAK TITIK DAN TITIK

JARAK TITIK DAN GARIS

JARAK TITIK DAN BIDANG

JARAK DUA GARIS DAN DUA BIDANG YANG SEJAJAR

SUDUT PADA BANGUN RUANG

SUDUT ANTARA DUA GARIS DALAM RUANG

SUDUT ANTARA GARIS DAN BIDANG PADA BANGUN

RUANG

SUDUT ANTARA DUA BIDANG DALAM BANGUN RUANG


6.2 PEMBELAJARAN


1. Pada setiap kegiatan belajar, pahamilah uraian tujuan kegiatan belajar,


2. Kerjakanlah setiap latihan dengan bersungguh-sungguh agar kemampuan



6.2.2.1 Tujuan Kegiatan Belajar 1:

Dapat menentukan kedudukan titik

6.2.2.2 Uraian Materi

Untuk mengetahui kedudukan titik, tentunya kalian harus

mengetahui pengertian titik terlebih dahulu. Sebagai ilustrasi

perhatikan gambar berikut.

Gambar 1.1

Pada gambar 1.1 di samping

terdapat bintang. Salah satu bintang

tersebut merupakan contoh dari titik.

Titik tersebut tak terhingga kecilnya.

Jadi apa yang dimaksut dengan titik? Titik adalah sesuatu

yang tidak memiliki ukuran (tak berdimensi) dan hanya ditentukan

oleh letaknya. Titik digambarkan dengan simbol noktah (•) dan

biasanya diberi nama dengan huruf kapital, misalnya A,B, P,Q,R

dan S.


Kedudukan titik dapat dibedakan menjadi dua, yaitu

kedudukan titik terhadap garis dan kedudukan titik terhadap

bidang.

a) Kedudukan titik terhadap garis ada dua kmungkinan, yaitu

sebuah titik bisa terletak di luar garis atau pada garis, jika:

1. Melalui sebuah garis dan sebuah titik diluarnya, dapat dibuat

tepat satu bidang.

Gambar 1.2

2. Melalui tiga buah titik yang tidak segaris, dapat dibuat tepat

satu bidang.

Gambar 1.3

b) Titik terletak pada bidang dan di luar bidang

Titik A adalah titik yang terletak pada

bidang, dan titik B adalah titik yang

terletak di luar bidang.

Gambar 1.4

A

A

C

B

B

A


Contoh :

Diketahui sebuah kubus ABCD.EFGH seperti gambar berikut.

Bidang DCGH sebagai wakil bidang

U. Tentukan :

titik-titik sudut kubus yang terletak

pada bidang U dan di luar bidang U.

Gambar 1.5

Penyelesaian :

titik-titik sudut kubus yang terletak pada bidang U adalah

titik-titik C,D,G, dan H.

titik-titik sudut kubus yang terletak di luar bidang U adalah

titik-titik A,B,F, dan E.

6.2.2.3 Rangkuman

1. Titik adalah sesuatu yang tidak memiliki ukuran (tak berdimensi)

dan hanya ditentukan oleh letaknya.

2. Titik terletak pada garis jika titik itu dilalui oleh sebuah garis,

dan terletak di luar garis jika titik itu tidak dilalui oleh garis.

3. Titik terletak pada bidang jika titik itu dilalui oleh sebuah bidang,

dan berada di luar bidang jika titik itu tidak dilalui oleh bidang.

E

H

C

B A

U D

F

G


6.2.2.4 Test Formatif

1. Perhatikan gambar kubus berikut!

Gambar 1.6

Sebuah kardus berbentuk kubus ABCD.EFGH. Segmen atau ruas garis

AB sebagai wakil garis g. Tentukan:

a. Titik sudut kubus yang terletak pada garis g!

b. Titik sudut kubus yang berada di luar garis g!

2. Perhatikan kubus ABCD.EFGH pada Gambar 1.6. Terhadap bidang

DCGH, tentukanlah:

a. titik sudut kubus apa saja yang terletak pada bidang DCGH!

b. titik sudut kubus apa saja yang berada di luar bidang DCGH!

3. Diketahui kubus ABCD.EFGH, BC mewakili garis k, DE mewakili

garis l, dan AG mewakili garis m. Sebutkan titik-titik sudut kubus

yang:

a. Terletak pada garis k,

b. Berada di luar garis k,

c. Terletak pada garis l,

d. Terletak pada garis m,

e. Berada di luar garis m.

4. Diketahui kubus KLMN.PQRS, bidang KLMN mewakili bidang 𝛼,

bidang KLQP mewakili bidang 𝛽, dan bidang KMRP mewakili

bidang 𝛾. Sebutkan titik-titik kubus yang :

a. Terletak pada bidang 𝛼,

b. Berada di luar bidang 𝛼,

c. Terletak pada bidang 𝛽,

d. Berada di luar bidang 𝛽,

H

E

A B

C D

G

F

g


e. Terletak pada bidang 𝛾,

f. Berada di luar bidang 𝛾.

5. Pada limas segiempat T.ABCD. Sebutkan titik sudut yang :

a. Terletak pada bidang alas ABCD

b. Terletak di luar bidang alas ABCD

c. Terletak pada garis BC

d. Terletak diluar garis TB


Nama :

No. Absen :

Judul Tugas :






Jumlah Nilai Akhir


………………,……………20…




Dapat menentukan jarak antara titik dan titik.

Dapat menentukan jarak titik ke garis.

Dapat menentukan Jarak Titik ke Bidang.


Untuk memahami jarak titik ke titik, titik ke garis dan titik ke

bidang, coba perhatikan ilustrasi berikut.

Ada tiga buah ukuran pintu yang dapat

dilewati. Pintu tersebut dapat dilewati

oleh orang yang berukuran tinggi,

sedang dan kecil. Jarak kayu pada daun

pintu yang diukurpun berbeda sesuai

yang melewati.

Nah......bagaimana cara mengukurnya agar memperoleh ukuran

yang tepat, pastinya keduanya harus saling tegak lurus.

1) Jarak antara titik dan titik

Jarak antara titik dan titik biasa juga disebut jarak antara

dua titik. Jarak antara dua titik adalah panjang garis yang

menghubungkan kedua titik tersebut. Untuk menghitung jarak

antara dua titik sering difunakan rumus phytagoras, dalil

steward, kesebangunan, dan trigonometri. Perhatikan gambar

Gambar 2.1


2.2. Jarak P dan Q dapat dihitung dengan membuat segitiga

siku-siku dan menggunakan rumus Phytagoras.

PQ = 𝑂𝑃2 + 𝑂𝑄2.

Gambar 2.2

2) Jarak titik ke garis

Seperti diuraikan di awal bab ini, kalian pasti sudah

mengetahui kedudukan titik terhadap garis. Terdapat dua

kemungkinan titik pada garis, yaitu titik terletak pada garis atau

titik berada di luar garis. Titik dikatakan terletak pada garis, jika

titik tersebut dilalui oleh garis. Dalam hal ini, jarak titik ke garis

adalah nol. Dari Gambar 2.3, kita dapat melihat bahwa titik A

dan B terletak pada garis l. Titik A dan titik B dikatakan sebagai

titik yang segaris atau kolinear.

Gambar 2.3

Jika sebuah titik berada di luar garis, maka ada jarak

antara titik ke garis itu. Jarak antara titik P dan garis g adalah

panjang ruas garis penghubung titik P dengan proyeksi titik P

pada garis g.

Gambar 2.4

P

O

Q

A B

l

P

P3 P1 P4 P2 H

g


Pada Gambar 2.4 P1 pada g. Jika dari titik P ditarik ruas

garis PP1 dengan P1 pada g dan PP1 ⊥ g, maka P1 disebut

proyeksi titik P pada g. Pada gambar tersebut titik P1 adalah

proyeksi titik P pada garis g karena PP1 ⊥ g dan P1 pada g. Jadi

jarak antara titik P dan garis g adalah PP1.

3) Jarak titik ke bidang

Jika sebuah titik berada di luar bidang, maka ada jarak

antara titik ke bidang itu. Jarak titik ke bidang merupakan

panjang ruas garis yang ditarik dari suatu titik sampai memotong

tegak lurus suatu bidang. Jarak titik A ke bidang 𝛼 (titik A

berada di luar bidang 𝛼) dapat digambarkan dengan

menggunakan langkah-langkah berikut:

Buatlah garis g melalui titik A dan tegak lurus bidang 𝛼.

Garis g menembus bidang 𝛼 di titik Q.

Ruas garis AQ merupakan jarak titik A ke bidang 𝛼 yang

diminta.

Proses di atas dapat divisualisasikan dengan gambar ruang

sebagaimana diperlihatkan pada gambar 2.5.

Gambar 2.5

Contoh:

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm.

Hitunglah jarak antara:

a. Titik A ke H

A

g

Q

𝛼


b. Titik A ke P (P adalah perpotongan diagonal ruang)

c. Titik A ke garis CE

d. Titik A ke bidang BCGF

e. Titik A ke bidang BDHF

Penyelesaian :

Gambar 2.6

a. Jarak titik A ke H = AH

AH = 22 DHAD

= 100100

= 200

= 210 cm

b. Jarak titik A ke P = AP

AP = ½ AG

= 32

10cm

c. Jarak A ke CE = AK

Gambar 2.7

A

F

P

R

10 cm B

C

G H

E

D

E

A C

G K


Pada segitiga siku-siku CAE

L CAE = ½.AC.AE = ½.CE.AK

63

10

3

210

310.2

1

10.210.2

1

.310.210.210.2

1

AK

AK

AK

AK

d. Jarak titik A ke bidang BCGF = AB = 10 cm

e. Jarak titik A ke bidang BDHF = AR (R titik tengah garis

BD)

AR = ½ AC = ½ 210 = 25 cm

6.2.3.3 Rangkuman

1. Jarak antara titik dan titik biasa juga disebut jarak antara dua

titik. Jarak antara dua titik adalah panjang garis yang

menghubungkan kedua titik tersebut.

2. Jarak antara titik dengan garis merupakan panjang ruas garis

yang ditarik dari titik tersebut tegak lurus terhadap garis itu.

3. Jarak titik ke bidang merupakan panjang ruas garis yang ditarik

dari suatu titik sampai memotong tegak lurus suatu bidang.



1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Titik P pada

perpanjangan DC sehingga CP = ½ DC. Titik Q pada pertengahan EH.

Hitunglah jarak dari P ke Q !

2. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 5 cm. Titik P

pertengahan rusuk CG. Hitunglah jarak :

a. Titik A ke garis BC

b. Titik A ke garis FG

c. Titik C ke garis FH

d. Titik P ke garis CD

e. Titil P ke garis BF

f. Titik P ke garis BD

3. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Hitunglah jarak B

ke garis EG !

4. Diketahui balok ABCD.EFGH dengan AB = 10 cm, AD = 8 cm, dan

AE = 6 cm. Titik O adalah titik potong diagonal-diagonal bidang alas

AC dan BD. Hitunglah jarak:

a. Titik A ke bidang BCGF

b. Titik A ke bidang CDHG

c. Titik A ke bidang EFGH

d. Titik O ke bidang ABFE

e. Titik O ke bidang BCGF

f. Titik O ke bidang EFGH

5. Bidang alas limas tegak T.ABCD berbentuk persegi panjang. AB = 4

cm, BC = 3 cm, dan TA = TB = TC = TD = 6,5 cm. Hitunglah:

a. Panjang AC

b. Jarak titik puncak T ke bidang alas A



Nama :

No. Absen :

Judul Tugas :






Jumlah Nilai Akhir


………………,……………20…




Dapat menentukan jarak antara dua garis dan dua bidang yang sejajar


Dua garis dikatakan sejajar jika kedua garis itu terletak pada

sebuah bidang dan tidak mempunyai titik persekutuan. Misalkan

diketahui garis g dan garis h sejajar. Jarak antara garis g dan garis h

yang sejajar adalah jarak antara sebuah titik pada salah satu garis

ke garis lainnya. Pada bidang O, garis g // h (Gambar 3.1). Titik P,

A, dan B pada garis g. Titik P1, A1 dan B1 berturut-turut adalah

proyeksi titik P, A dan B di g pada h. Jarak antara g dan h adalah

PP1 = AA1 = BB1. Untuk setiap titik An, n ≠ 1, dan An pada h, maka

∆AAnA1 siku-siku di A1. Akibatnya AA1 ≤ AAn. Dengan kata lain,

AA1 adalah yang terpendek di antara penghubung A dengan setiap

titik pada garis h.

Jadi AA1 adalah jarak antara garis g dan h. Dengan cara sama

dapat dibuktikan, bahwa PP1 dan BB1 merupakan jarak antara garis

g dan h yang sejajar.

Gambar 3.1

Sedangkan jarak antara dua bidang yang sejajar adalah jarak

salah satu titik pada suatu bidang terhadap bidang lain, atau

sebaliknya. Misalnya, Balok PQRS.TUVW pada Gambar 3.2,

semua rusuk pasangan rusuk yang sejajar pasti sama panjang.

Misalnya, rusuk PQ sejajar dengan RS, yang terletak pada bidang

PQRS.

g

h

O

B P A

A1 P1 B1


H

E

A B

C D

G

F

k

𝛼

Gambar 3.2

Lebih lanjut, bidang PSTW sejajar dengan bidang QRVU, dan

jarak antara kedua bidang tersebut adalah panjang rusuk yang

menghubungkan kedua bidang.

Rusuk PQ memotong rusuk QU dan QR secara tegak lurus, maka

sudut segitiga PQR adalah 90°.

Contoh :

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm.

Gambar dan hitunglah jarak antara garis AE dan garis BF.

Penyelesaian:

Garis AE dan garis BF merupakan dua garis yang sejajar. Jarak

antara garis AE dan BF dapat digambarkan sebagai berikut:

Buat bidang 𝛼 yang melalui garis AE dan garis BF. Bidang 𝛼

diwakili oleh bidang ABFE.

Garis k yang tegak lurus terhadap garis AE dan garis BF

dapat dipilih garis AB atau garis EF.

Panjang ruas garis AB merupakan jarak antara garis AE dan

garis AF sebagaimana diperlihatkan pada gambar 3.3.

Gambar 3.3

P Q

R S

T U

V W

𝛼


Jadi, jarak antara garis AE dan garis BF yang sejajar sama

dengan panjang rusuk AB = 6 cm.

6.2.4.3 Rangkuman

1. Dua garis dikatakan sejajar jika kedua garis itu terletak pada

sebuah bidang dan tidak mempunyai titik persekutuan.

2. Jarak antara garis g dan garis h yang sejajar adalah jarak antara

sebuah titik pada salah satu garis ke garis lainnya.

3. Jarak antara dua bidang yang sejajar adalah jarak salah satu titik

pada suatu bidang terhadap bidang lain, atau sebaliknya.


1. Diketahui kubus PQRS.TUVW dengan panjang rusuk 5 cm. Titik A

adalah titik tengah RT. Hitunglah jarak antara titik V dan titik A!

2. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Gambar

dan hitunglah jarak antara garis AE dan garis CG !

3. Diketahui balok ABCD.EFGH dengan panjang rusuk-rusuk AB = 5

cm, BC = 4 cm, dan AE = 3 cm. Hitunglah jarak antara garis AE dan

bidang BCGF.

4. Dengan menggunakan balok yang sama seperti soal nomor 3,

hitunglah jarak antara bidang ABCD dan bidang EFGH.

5. Dengan menggunakan kubus yang sama seperti soal nomor 2,

hitunglah jarak antara garis AE dan garis GH.



Nama :

No. Absen :

Judul Tugas :






Jumlah Nilai Akhir


………………,……………20…



6.2.5.1 Sudut antara garis dengan garis

Sebelum mempelajari sudut antara garis dengan garis, apakah

kalian masih ingat materi sebelumnya tentang kedudukan dua

garis?

Kedudukan antara dua garis ada empat yaitu :

Dua garis saling berimpit

Dua garis saling berpotongan

Dua garis saling bersilangan

Setelah mengingat materi tersebut,kita bisa mempelajari

tentang sudut antara dua garis,lakukan kegiatan berikut !!!

Kegiatan 1

1. Siapkan dua lidi, kemudian sejajarkan atau himpitkan kedua lidi

tersebut seperti gambar dibawah ini

g

h

Perhatikan gambar diatas,berapakah besar sudut yang dibentuk

pada garis tersebut?

2. Siapkan dua lidi, kemudian usahakan dengan kondisi silang

berpotongan seperti gambar dibawah ini:

Perhatikan gambar diatas!

Adakah sudut yang terbentuk?

Berapakah besar sudut yang dibentuk pada garis tersebut?

g


3. Setiapkan dua lidi,kemudian usahakan kondisinya saling

berpotongan seperti gambar di bawah ini:

Perhatikan gambar diatas!!

Adakah sudut yang terbentuk?

Berapakah besar sudut yang dibentuk pada garis tersebut?

Solusi Cerdas

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. titik P

pertengahan rusuk DC. Carilah :

a. Cosinus sudut antara garis AH dan garis HP !

b. Sinus sudut antara garis AH dan BE !

Jawab :

a. Panjang garis AH = 42 HP = 25 AP = 25

Dalam segitiga AHP, sudut alfa adalah sudut antara garis

AH dan HP.

AP2 + AH

2 = HP – 2 AH.HP cos

(25)2 = (2)

2 + (25)

2 – 2 (42).25.cos

20 = 32 + 24 – 1610.cos

cos = 36

16 10 =

1

510

P

g’

g

h‟

h


Jadi nilai dari cosinus sudut antara garis AH dan garis HP

= 1

510

b. Tarik garis dari BG yang sejajar AH, garis asal sejajar

dapat dipindahkan. Sudut antara garis BE dan garis AH

sama dengan sudut garis BE dan BG. Dalam ∆𝐸𝐵𝐺, sudut

𝛽 adalah sudut antara garis BE dan BG, ∆𝐸𝐵𝐺 adalah

segitiga sama sisi, jadi 𝛽 = 60° sin 60° = 1

23. Jadi

nilai dari cosinus sudut antara garis BE dan AH = 1

23

Catatan

1. Dua buah garis di katakana berhimpit jika kedua garis itu

mempunyai tak hingga banyaknya titik persekutuan (lebih

dari satu titik persekutuan)

2. Dua buah garis dikatakan sejajar jika kdua garis itu terletak

pada sebuah bidang dan tidak mempunyai titik persekutuan

3. Dua garis dikatakan bersilangan jika kedua garis tersebut

tidak terletak pada satu bidang

Tugas Mandiri

1. Diketahui sebuah kubus ABCD.EFGH yang mempunyai

rusuk 4cm,hitunglah besar sudut antara berikut

a. Rusuk DE dan rusuk HF

b. Rusuk AH dan rusuk BF

c. Rusuk DE dan rusuk BG

E

D

A G

B A

F

H

C


6.2.5.2 Sudut Antara Garis dan Bidang

Pada bagian sub bab ini akan dibahas besar sudut antara garis

dengan bidang. Masih ingatkah kalian dengan kedudukan antara

garis dengan bidang.

Kedudukan antara garis dengan bidang ada tiga yaitu :

Garis terletak pada bidang

Garis sejajar bidang

Garis menembus bidang

Setelah mengingat materi tersebut,kita bisa mempelajari tentang

kedudukan garis dengan bidang, lakukan kegiatan berikut untuk

mengetahui besar sudut antara garis dengan bidang.

Kegiatan 2

1. Letakkan sebuah lidi diatas buku tulis seperti gambar

berikut

Perhatikan kondisi tersebut

Adakah sudut diantara garis dan bidang?

Berapakah sudutnya?

2. Letakkan lidi diatas buku, hingga tidak ada titik yang

bertemu.

Seperti di bawah ini



Berapakah sudutnya?

g

g


3. Letakkan sebuah lidi sampai menembus buku, seperti

gambar di bawah ini

g



Berapakah sudutnya?

Solusi Cerdas

Diketahui bidang alas dari limas T.ABCD beerbentuk persegi

panjang dengan AB = 12, AD = 5 cm dan

TA=TB=TC=TD=7cm

a. Hitunglah panjang AC dan tinggi limas TO

b. Hitunglah sin (TA,alas ABCD)

Jawab :

Penyelesaian :

a. AC = (𝐴𝐵)2 + (𝐵𝐶)2

AC = (12)2 + (5)2

AC = 169 = 13

Tinggi limas TO :

TO = (𝑇𝐶)2 + (𝑂𝐶)2

TO = (7)2 − (6,5)2

TO = 49 – 42,25 = 6,75 =2 3

3

b. Sudut antara rusuk TA dengan bidang alas ABCD adalah

TAO, sebab proyeksi TA pada bidang alas ABCD adalah


AO.TAO adalah segitiga siku-siku di O,sehingga sin

TAO = 𝑇𝑂

𝑇𝐴 =

2 3/3

7 =

33

14

Catatan

A. Proyeksi suatu garis ke suatu bidang merupakan himpunan

titik-titik yang proyeksi nya ke bidang tersebut dari titik –

titik pada garis ersebut.

B. Proyeksi garis ke suatu bidang adalah garis, jika bukan maka

garis dan bidang tersebut saling tegak lurus

C. Sudut antara garis g dan bidang 𝛼 dilambangkan dengan

(g, 𝛼)

Latihan Soal

T.ABCD adalah limas tegak beraturan dengan alas

berbentuk las 4m, dan rusuk tegak 8m, hitunglah cosinus sudut

antara garis TQ dan bidang alas dengan Q titik tengah AD

B

C D

P Q

T

8 m

A

4 m


0

T

6.2.5.3 Sudut antara dua bidang

Masih ingatkah materi sebelumnya tentang kedudukan bidang

dengan bidang

Kedudukan antara bidang dengan bidang ada 3 yaitu:

Dua bidang yang saling berhimpit

Dua bidang yang saling berpotongan

Dua bidang yang sejajar

Setelah mengingat materi tersebut, perhatikan gambar dibawah ini

Anda mengetahui bahwa dan 𝛽 berpotongan,dengan garis

potongnya adalah (,𝛽). Dari titik A pada dibuat garis AT

(,𝛽) dan dari titik B pada 𝛽 dibuat garis BT (,𝛽).

Sudut yang terbentuk oleh garis AT dan garis BT (ATB ) adalah

sudut antara dua bidang yang berpotongan (sudut antara bidang

dan bidang 𝛽). ATB disebut sudut tumpuan, besarnya 0 derajat

sampai 90 derajad. Adapun bidang ATB (bidang 𝛾) disebut sebagai

bidang tumpuan. Jika ATB = 0° maka 𝛼 DAN 𝛽 berimpit, jika

ATB 90 maka dan 𝛽 saling tegak lurus

Solusi Cerdas

Bidang empat beraturan T.ABCD dengan panjang rusuk 6cm.

Hitunglah besar sudut antara sudut bidang TAB dengan bidang alas

ABC

Jawab :

Diketahui : rusuk bidang segi empat 6cm

Ditanyakan : besar sudut antara bidang TAB dengan bidang alas

ABC

B

𝛽

(,𝛽) A

(𝛽,)


Penyelesaian :

ΔTPB siku-siku di P,BT = 6 cm dan PB = 3 cm,sehingga :

TP = TB2 – PB

2

TP = 62 – 3

2

TP = 27 = 33

ΔPBC siku-siku di P,BC = 6 cm dan PB = 3 cm,sehingga

PC = BC2 – PB

2

TC = 62 – 32

TC = 27 = 33

Menggunakan rumus kosinus pada ΔTPC diperoleh :

TC2 = TP

2 + PC

2 - 2.PC.TP. cos sudut TPC

Cos TPC = 27+27−36

54 =

18

54 =

1

3

Dari cos TPC = 1

3 dioeroleh diperoleh TPC = 70,5

Catatan

1. Sudut yang dibentuk oleh bidang dan bidang jika bidang

yang satu sejajar atau terletak pada bidang yang lain maka

sudut yang terbentuk adalah 0°

2. Sudut antara dua bidang yang berpotongan (sebuuah

garis pada bidang pertama dan sebuah garis pada bidang yang

lainnya) garis-garis itu tegak lurus terhadap garis potong antara

kedua bidang tersebut.

B

A

C

T

P


Latihan Soal

Pada limas segi emapat T.ABCD, bidang alas ABCD

berbentuk persegi panjang dengan AB=8cm,BC=6cm, dan

TA=TB=TC=TD=13 cm. sudut adalah sudut antara bidang

TBC dengan alas bidang ABCD,hitunglah besar sudut ∝

6.2.5.4 Tes Forrmatif

1. Suatu kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 10cm. Tentukan jarak antara

bidang BDE dengan bidang CFG?

2. Tentukan jarak titik C ke garis HF pada kubus ABCD.EFGH yang

panjang rusuknya 5?

3. Pada kubus ABCD.EFGH apakah AC proyeksi DG pada bidang

ABCD

A

T

B

C D



Nama :

No. Absen :

Judul Tugas :






Jumlah Nilai Akhir


………………,……………20…


6.3 EVALUASI

6.3.1 Soal Evaluasi

1) Diketahui kubus ABCD.EFGH. Tentukan :

a. Titik yang berada pada garis DF (skor 5)

b. Titik yang berada di luar bidang BCHE (skor 5)

c. Garis yang sejajar dengan CF (skor 5)

2) Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Hitunglah

jarak antara : (skor

a. Titik H ke garis AC (skor 4)

b. Titik B ke garis AG (skor 4)

c. Garis AE dan CG (skor 4)

d. Garis AB dan CDHG (skor 4)

e. Bidang HFC dan DBE (skor 4)

3) Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a = 6 cm. Tentukan

jarak titik C ke bidang AFH ! (skor 25)

4) Diketahui limas dengan alas berbetuk persegi panjang, dengan AB = 5

cm, AD = 7 cm, TA = TB = TD = 17 cm. Hitung jarak titik T ke bidang

ABCD ! (skor 25)

5) Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm. Hitunglah

jarak antara:

a. AE ke CG (skor 10)

b. ABCD dan EFGH (skor 5)

6) Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH. jarak titik A ke C adalah

6cm

D

G A

B A

F

H

C

E


7) ABCD.EFGH adalah sebuah kubus, jika 𝛼 adalah sudut antara diagonal

AG dan rusuk AD,maka cos 𝛼 ……..

8) Garis a tegak lurus dengan bidang A, garis b tegak lurus dengan bidang

B. Jika c adalah garis potong A dan B maka ….

9) Pada balok ABCD.EFGH jika dipotong menurut bidang ABGH dan

bidang CDEF akan diperoleh….

10) Manakah yang disebut sebagai bidang frontal…

D

G A

B A

F

H

C

E

D

G A

B A

F

H

C

E



Nama :...........................

Kelas :...........................

No. Absen :...........................

No. Tugas :..........................

Judul Tugas :...........................






4. Evaluasi 0 - 100

JUMLAH 0 – 100


Jumlah Nilai Akhir


..............................,.......................20....


BAB 7


7.1 PENDAHULUAN

7.1.1 Deskripsi

Modul ini berisi teori tentang Statistika biasanya dibagi dalam

beberapa aspek diantaranya yaitu penyajian data, ukuran pemusatan,

ukuran letak data, dan ukuran penyebaran data. Tetapi dalam modul

hanya akan membahas tentang Penyajian data dan materi materi dasar

tentang statistika.

7.1.2 Prasyarat


menguasai kompetensi yang ada pada modul-modul tentang mencari

dan menghitung data pada kompetensi sebelumnya, juga harus

membaca mengenai data, populasi, dan sampel. jadi sebelum

menghitung data kita harus tau mengenai data apa yang harus dihitung

dan dihitung dengan menggunakan apa.


1. Pelajari daftar isi serta kedudukan modul dengan cermat dan

teliti.Karena dalam skema modul akan tampak kedudukan modul

yang sedang anda pelajari dengan modul-modul yang lain.

2. Kerjakan soal-soal dalam cek kemampuan untuk mengukur sampai


3. Apabila dalam cek kemampuan dapat mengerjakan dengan lancar

maka dapat dilanjutkan evaluasi, lebih baik jika dapat menjawab

setidaknya 7 soal atau lebih.

4. Dalam mencari dan menghitung data, anda harus memahami data

apa yang akan anda hitung dan menggunakan penyajian data apa.

5. Pahami setiap materi teori dasar yang akan menunjang dalam



6. Untuk menjawab test formatif usahakan memberi jawaban singkat,



mempelajari modul ini.lebih baik jika lengkap beserta rumus dan

proses jawabanya.

7. Bila terdapat penugasan, kerjakan dengan baik dan bilamana perlu

konsultasikan hasil tersebut pada guru / instruktur.

8. Catatlah kesulitan yang anda dapatkan dalam modul ini untuk

ditanyakan pada guru/instruktur pada saat kegiatan tatap muka.

Bacalah referensi lainya yang berhubungan dengan materi modul

agar anda mendapatkan tambahan pengetahuan.

9. Modul ini bersangkutan antara materi saru dengan materi yang

lainya, jadi disarankan untuk membaca dari awal.

7.1.4 Tujuan Akhir


diharapkan anda dapat memiliki kemampuan mencari dan menyajikan

data dengan cermat dan tepat. Dan dapat menggambar grafik, tabel, dan

diagram dengan bagus. karena data statistik sangat dibutuhkan dalam

kehidupan sehari-hari. Disamping itu ada beberapa tujuan pembelajaran

yang diantarannya yaitu:

1. Tujuan Aspek Sikap

Dengan mengikuti kegiatan yang ada di modul ini anda

diharapkan:

a. Memiliki motivasi untuk terus belajar aktif secara mandiri

b. Memiliki kemampuan bekerja sama melalui diskusi kelompok

c. Memiliki tanggung jawab sosial dengan menghasilkan

pemahaman diantara semua anggota kelompok

2. Aspek Pengetahuan

Dengan memahami isi dan materi di dalam modul ini anda

diharapkan

a. Dapat menentukan rata-rata, modus, median dari suatu data

b. Memiliki kemampuan dalam menentukan kuartil, desil, presentil

suatu data

c. Dapat menentukan jangkauan, jangkauan antar kuartil, simpangan

kuartil, simpangan rata-rata, ragam, dan simpangan baku


d. Menyelesaikan masalah dalam kehidupan sehari-hari yang

berkaitan dengan statistika

3. Aspek Keterampilan

Dengan mempelajari modul ini anda diharapkan :

a. Memiliki kemampuan dalam menyajikan data tunggal maupun

kelompok

b. Kemampuan menentukan hasil penghitungan data dari data

tunggal dan data kelompok

Mampu membuat kesimpulan serta fungsi dari

pembelajaran data-data dalam statistika

7.1.5 Kompetensi

Kode Unit :

Judul unit : STATISTIKA Menyajikan Data (12 jam)

Uraian unit : Unit ini berlaku untuk pekerjaan menyajikan suatu data

menggunakan alat tulis menulis dan penggaris.



memahami tentang

pengertian dasar statistika.

a. mengenal apa itu statistika

b. mengenal apa itu data

c. mengenal data menurut cara

memperolehnya

d. mengenala data menurut sifatnya

e. mengenal apa itu data tungggal

f. mengenal apa itu data kelompok

2. Melakukan penghitungan

data tunggal dengan

berbagai bentuk penyajian

data.

a. Menghitung data dengan penyajian data

dalam bentuk tabel

b. Menghitung data dengan penyajian data

dalam bentuk diagram garis

c. Menghitung data dengan penyajian data

dalam diagram lingkaran

d. Menghitung data dengan penyajian data

dalam diagram batang

3. Melakukan penghitungan

data kelompok dengan

berbagai bentuk penyajian

data

a. Menghitung data dengan penyajian data

dalam bentuk tabel

b. Menghitung data dengan penyajian data

dalam bentuk diagram(histogram)


4. Melakukan pengolahan

data dengan konsep

ukuran pemusatan

a. Mengalisis data dan menentukan mean dari

data tunggal dan kelompok

b. Memahami dan menentukan nilai median

dari suatu data tunggal dan kelompo

c. Menghitung median dari suatu data tunggal

dan kelompok


data dengan konsep

ukuran letak data

a. Memahami, mengenali pengertian, konsep

serta rumus kuartil suatu data tunggal dan

kelompok

b. Memahami, mengenali pengertian, konsep

serta rumus desil suatu data tunggal dan

kelompok

c. Memahami, mengenali pengertian,konsep

serta rumus presentil suatu data tunggal dan

kelompok


data dengan konsep

penyebaran data

a. Memahami dan mengenali pengertian,

konsep serta rumus jangkauan suatu data

tunggal maupun kelompok

b. Memahami dan mengenali pengertian,

konsep serta rumus jangkauan antarkuartil

suatu data tunggal maupun kelompok

c. Memahami dan mengenali pengertian,

konsep serta rumus simpangan kuartil suatu

data tunggal maupun kelompok

d. Memahami dan mengenali pengertian,

konsep serta rumus simpangan rata-rata

suatu data tunggal maupun kelompok

e. Memahami dan mengenali pengertian,

konsep serta rumus ragam suatu data

tunggal maupun kelompok

f. Memahami dan mengenali pengertian,

konsep serta rumus simpangan baku suatu

data tunggal maupun kelompok

7. Mencari data dan

menyajikan dalam bentuk

data statistika dan

mengolah data dalam

konsep ukuran pemusatan,

ukuran letak data, dan

penyebaran data

a. Mendiskusikan materi yang telah

didapatkan

b. Bekerja sama dalam menyajikan data

c. Memahami dan meneliti data yang telah

dibuat

d. Mengambil kesimpulan dari data-data serta

pengolahan yang telah dilakukan


Persyaratan Unjuk Kerja

1. Unit ini berlaku untuk pekerjaan mencari dan menyajikan suatu data

dengan menggunakan data yang telah ada, atau data yang telah dicari

sebelumnya, yang dapat dilakukan di sekolah atau tepat lain.

2. Tersedia acuan untuk mencari dan menyajikan suatu data dalam berbagai

bentuk.

3. Disini tidak membutuhkan peralatan apapun, tetapi jika kita mencari data

dengan menggunakan grafik atau diagram maka dibutuhkan penggaris

ataupun jangka agar pekerjaan menjadi lebih rapi.

4. Tersedia sumber informasi yang berupa

buku yang menyangkut mengenai statistika dalam mencari dan menyajikan

data, disarankan untuk buku yang terpercaya.

Acuan Penilaian

1. Unit kompetensi ini dapat diujikan secara langsung kepada peserta uji di

sekolah maupun di tempat lain dengan standar buku pegangan yang sesuai.


Mengenali istilah statistika dan sejenisnya

Memahami cara mencari dan menghitung data

Mampu menggambar sesuai dengan penyajian data


Mengenali langkah-langkah dalam menentukan data

Menunjukkan pemahaman tentang data yang akan dihitung

Menghitung menggunakan pecahan, desimal, persen

Mempelajari tentang diagram, grafik, dan tabel.

Dapat mencari data di lapangan.



Bekerja dengan ketelitian dan penghitungan dengan benar

Menghargai produktifitas dalam bekerja



Mengutamakan proses daripada hasil.


Teliti dalam menghitung dan menggambar


7.1.6 Cek Kemampuan

Petunjuk :


yang anda pilih


Ya Tidak

1. Apakah anda mengenal tantang statistika?

2. Apakah anda mengenal tentang data?

3. Apakah anda dapat menggambar lingkaran?

4. Apakah anda dapat menggambar tabel?

5. Apakah anda mengetahui tentang diagram?

6. Apakah anda dapat menggambar diagram garis?

7. Apakah anda mengetahui tentang data tunggal?

8. Apakah anda mengetahui cara mengurutkan data?

9. Apakah anda mengetahui perbedaan data tunggal dan

data kelompok ?

10. Apakah anda dapat menghitung tentang data

kelompok?

11. Apakah anda dapat menggambar grafik?

12. Apakah anda mengetahui tentang frekuensi ?

13. Apakah anda mengetahui tentang penulisan interval ?

14. Apakah anda mengenal statistika deskriptif ?

Skore ( Nilai )

....................,...............20.......


PETA KONSEP

STATISTIKA

Penyajian data

Pengenalan

Apa itu statistika

Apa itu data

mengenal data menurut

cara memperolehnya

mengenala data menurut

sifatnya

mengenal apa itu data

tungggal

Mengenal apa itu data

kelompok

Data tunggal

Bentuk tabel

Bentuk diagram

(histogram)

Data tunggal

Bentuk tabel

Bentuk diagram


7.2 PEMBELAJARAN


1) Pada setiap kegiatan belajar, pahamilah uraian tujuan kegiatan belajar,


2) Peralatan dan bahan yang harus dibawa pada pertemuan atau tatap muka


3) Sebelum melaksanakan kegiatan harus memahami terlebih dahulu setiap



4) Kerjakanlah setiap latihan dengan bersungguh-sungguh agar kemampuan

anda yang sebenarnya diketahui

7.2.2 Kegiatan belajar 1

7.2.2.1 Mengenal dasar-dasar Statistika

Dasar-dasar Statistika, sebelum kita mempelajari tentang

penyajian datakita harus mengetahui dulu tentang dasar-dasar

mengenai statistika. Antarilain adalah:

a. Pengertian statistika

Statistika dalam pengertian sebagai ilmu dibedakan

menjadi 2 yaitu:

1). Statistika deskriptif (perian) mempunyai tujuan untuk

mendeskripsikan atau memberi gambaran objek yang

diteliti sebaimana adanya tanpa menari kesimpulan atau

generalisasi. Dalam deskriptif ini dikemukakan cara-cara

penyajian data dalam bentuk tabel, diagram, mean, modus,

median, serta simpangan baku.

2). Statistika inferensial(induktif) mempunyai tujuan untuk

penarikan kesimpulan, sebelum menarik kesimpulan


dilakukan suatu dugaan yang dapat diperoleh dari statistika

deskriptif.

Dari pengertian diatas dapat disimpulkan bahwa statistika

adalah ilmu pengetahuan dengan cara-cara pengumpulan,

penyajian, pengolahan, analisis data serta penarikan kesimpulan.

b. Pengertian data

Setiap kegiatan yang berkaitan dengan statistik, selalu

berhubungan dengan data. Menurut kamus besar bahasa

indonesia pengertian data adalah keterangan yang benar dan

nyata. Data adalah bentuk jamak dari datum, datum adalah

keterangan atau informasi yang diperoleh dari satu pengamatan

sedangkan data adalah segala keterangan atau informasi yang

dapat memberikan gambaran tentang suatu keadaan.

c. Data menurut cara memperolehnya

1). Data primer, data yang dikumpulkan lansung oleh peneliti

(suatu organisasi atau perusahaan). Contoh: pemerintah

melalui biro pusat statistik melakukan sensus penduduk

tahun 1980 untuk memperoleh data penduduk di negara

Indonesia.

2). Data sekunder, data yang dikutip dari sumber lain.

Contoh: suatu perusahaan memperoleh data dari laporan

yang ada dari biro pusat statistik.

d. Data menurut sifatnya

1) Data kualitatif, data yang tidak dalam bentuk angka.

Contoh: mutu barang di supermarket “X” bagus atau jelek.

2). Data kuantitatif, data dalam bentuk angka.

Contoh: data hasil ulangan mata pelajaran matematika siswa

kelas 6 di SD Turban adalah 6,7,6,7,8,9,8,..

e. Data tunggal

Data tunggal merupakan data yang berkuantitas kecil dan

suatu statistik, disebut sebagai data tunggal jika data tersebut


hanya memuat sartu variabel data yang ingin kita ketahui dari

objek populasi.

Beberapa Cntohnya adalah :data nilai ulangan siswa, dat

tinggi siswa, dan data tingkat keuntungan suatu usaha. Penyajian

data yang akan dibahs dalam modul ini tabel, diagaram, grafik.

f. Data kelompok

Jika data tunggal yang kita hitung menjadi semakin

banyak maka dalam penyajianya akan kurang efektif dan efisien.

Oleh karena itu untuk dapat lebih menyederhanakan penyajian

data dilakukan dengan mengelompokan data dalam interval

kelas tertentu.

7.2.2.2 Menghitung data tunggal dengan berbagai bentuk penyajian

data

a. Penyajan data dalam bentuk tabel

setidaknya ada dua cara menyajikan data dalam

bentuk tabel yaitu :

1. Daftar baris-kolom

2. Daftar distribusi frekuensi

Daftar baris kolom

Seorang pengawas dari departemen nasional ditugaskan

untuk mendata banyak anak-anak yang bersekolah di desa

suka hati tahun 2006 atau 2007. Dia mencatat ada 1.562

anak bersekolah di tingkat SD yang terdiri dari 687 laki-laki

dan 875 perempuan , 1.451 di tingkat SMP yang terdiri atas

592 Laki-laki dan 859 perempuan, 1.118 di tingkat SMA

yang terdiri dari 576 laki-laki dan 542 perempuan, dan ada

443 anak di tingkat SMK yang terdiri ats 216 laki-laki dan

227 perempan.

Dia akan membuat laporan mengenai data ini, bentuk data

mentah seperti di atas akan menyulitkan untuk dibaca. Dia

menyajikan data dalam bentuk yang lebih mudah dibaca,

yaitu tabel.


Banyak siswa desa suka hati menurut tingkat sekolah dan jenis

kelamin tahun 2006/2007

Tingkat

sekolah

Banyaknya siswa

Jumlah siswa Laki-laki perempuan

SD 687 875 1.562

SMP 592 859 1.451

SMA 576 542 1.118

SMK 216 227 443

Total 2.071 2.503 4.574

Daftar distribusi frekuensi

Berkut ini adalah daftar nilai ulangan matematika dari 48

siswa kelas XI E yang tertera pada rapor

7 6 7 6 6 8 6 7 7 6 6 6 6 4 7 7

6 7 8 6 7 7 7 6 7 7 7 5 5 6 7 6

7 6 6 6 7 6 5 7 7 6 6 8 8 7 6 6

Misalkan X1 = 4, X2 = 5, X3 = 6, X4 = 7, X5 = 8

f1 adalah frekuensi dari X1, atau banyaknya yang

bernilai 4, => f1 = 1










data di atas bisa dirangkum dalam tabel

Nilai (Xi) Frekuensi (fi)

X1 4 1

X2 5 3

X3 6 21

X4 7 19

X5 8 4

Total 𝑓𝑖

7

𝑖

= 40

Tabel ini disebut daftar distribusi data tunggal atau

daftar distribusi frekuensi tunggal. Jumlah total frekuensi

selalu sama dengan ukuran data

Dari penyajian data diatas diperoleh banyak kegunaan

penyajian data dalam bentuk tabel, antara lain data terlihat

rapi sehingga memudahkan dalam pengolahan data.

b. Penyajian data dalam bentuk diagram

1. Diagram Garis

Pada penyajian data kali ini kita akan belajar

menyajikan data dengan diagram garis. Sebenarnya diagram

garis dapat dikatakan sebagai diagram yang digambarkan

berdasarkan satu waktu, biasanya waktu yang digunakan

dalam bulan atau tahun. Untuk membuat diagaram garis kita

membutuhkan dua sumbu.

Berikut adalah contoh diagram garis untuk kurs

rupiah terhadap dollar AS dari tanggal 8 januari sampai 12

januari tahun 2007.

Cara membuat diagram garis cukup mudah, ikuti tiga

langkah berikut :

a) Letakkan data pada sumbu horizontal dengan jarak yang

sama, dan nilai jumlah pada sumbu vertikal.

b) Tentukan nilai data yang bersesuaian

c) Hungkan dua data yang bertetangga dengan garis lurus


9,530 9,515 9,560 9,558 9,635

8,530 8,515 8,560 8,558 8,635

7,500

8,000

8,500

9,000

9,500

10,000

08-Jan 09-Jan 10-Jan 11-Jan 12-Jan

kurs uang kertas asing

Kurs uang kertas asing

Kurs jual

Kurs beli

Melalui grafik diatas kita dapat dengan mudah

membaca hasil data nilai tukar rupiah dibandingkan dengan

menggunakan tabel. Misalnya, kita dapat dengan mudah

menentukan nilai tukar kurs rupiah tertinggi ataupun

terendah dan pada saat kapan hal itu terjadi .

Dari masalah dan kegiatan diatas dapat kita nyatakan

bahwa diagram garis adalah suatu penyajian data statistik

dengan menggunakan garis-garis lurus yang terhubung

dengan komponen-komponen pengamatan. Diagram garis

biasanya digunakan untuk data tentang keadaan dan

perkembangan. Biasanya data bersifat kontinu pada ukuran

satuan. Misalnya, kecepatan mobil dalam suatu perjalanan,

nilai tukar rupiah, dan pertumbuhan jumlah penduduk pada

suatu daerah.

2. Diagram Lingkaran

Penyajian data dalam bentuk diagram lingkaran

didasarkan pada sebuah lingkaran yang dibagi-bagi dalam

beberapa bagian sesuai dengan macam data dan

perbandingan frekuensi macam-macam data yang disajikan.


beras

terigu

kacang tanah

kedelai

Contoh membuat diagaram lingakaran:

Data bahan pangan di KUD Usaha Jaya

Langkah-langkah dalam membuat diagram lingkaran


a) Ubah nilai data absolut ke dalam bentuk persentase untuk

masing-masing data.

b) Tentukan juring sudut dari masing-masing data yang ada

dengan rumus

𝑗𝑢𝑟𝑖𝑛𝑔 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝑑𝑎𝑡𝑎 𝑥 =𝑓𝑟𝑒𝑘𝑢𝑒𝑛𝑠𝑖 𝑑𝑎𝑡𝑎 𝑥

𝑓𝑟𝑒𝑘𝑢𝑒𝑛𝑠𝑖 𝑠𝑒𝑙𝑢𝑟𝑢 𝑕 𝑑𝑎𝑡𝑎× 360°

c) Buat sebuah lingkaran dengan menggunakan jangka, ukuran

lingkaran jagan terlalu besar dan jangan terlalu keci.

d) Masukan data yang pertama dengan menggunakan busur

derajat dimulai dari titik tertinggi.

e) Masukan data-data lainya kedalam lingaran sesuai juring

susut data yang telah dihitung sesuai dengan arah jarum jam.

f) Setiap data yang terdapat dalam lingkaran, hendaknya diberi

arsir atau warna yang berbeda.

g) Masing-masing data yang ada dalam lingkaran masing-

masing diberi identitas.

(a) Nama data disertai prsentasenya, atau

(b) Nilai persentasenya saja, sedangakan nama data

dicantumkan ada catatan tersendiri yang terletak dilar

lingkaran disertai dengan arsir atauwarna yang sesuai

seperti yang terdapat di dalam lingkaran.


0

20

40

60

80

100

1 2 3 4 5 6

jum

lah

sis

wa

jumlah siswa di SD sari mulyo

3. Diagram batang

Diagram batang adalah diagram berdasarkan data

berbentuk kategori. Diagram ini banyak digunakan untuk

membandingkan data maupun menunjukan hubungan suatu

data dengan data keselruhan. Diagram ini menyajikan

datanyan dalam bentuk batang. Sebuah batang menunjukan

jumlah tertentu dari data

Langkah-langkah dasar dalam pembuatan digram batang

1) Buat sumbu mendatar dan sumbu tegak yang saling

tegak lurus

2) Sumbu mendatar dibagi menjadi beberapa bagian skala

yang sama, demikian pula sumbu tagaknya: skala pada

sumbu mendatar dengan skala pada sumbu tegak tidak

perlu sama.

3) Jika diagram batang dibuat tegak, maka sumbu mendatar

menyatakan keterangan atau fakta mengenai kejadian,

sumbu tegak menyatakan frekuensi keterangan

4) Jika digram batang dibuat horizontal , maka sumbu tegak

menyatakan keterangan atau fakta mengenai peristiwa.

Sumbu mendtar menyatakan frekuensi keterangan.

5) Tunjukan satu batang untuk mewakili frekuensi data

tertentu

6) Arsir atau warnai batang yang memenuhi frekuensi data

7) Variasi diagram batang, dapat dibuat sesuai keahlian

guru.

Contoh diagram batang :


0 20 40 60 80 100

1

2

3

4

5

6

jumlah siswa

kela

s

Atau

7.2.2.3 Rangkuman

a. Penyajan data dalam bentuk tabel setidaknya ada dua cara menyajikan

data dalam bentuk tabel yaitu :

Daftar baris-kolom

Daftar distribusi frekuensi

b. diagram garis adalah suatu penyajian data statistik dengan

menggunakan garis-garis lurus yang terhubung dengan komponen-

komponen pengamatan. Diagram garis biasanya digunakan untuk data

tentang keadaan dan perkembangan. Biasanya data bersifat kontinu

pada ukuran satuan.

c. Penyajian data dalam bentuk diagram lingkaran didasarkan pada

sebuah lingkaran yang dibagi-bagi dalam beberapa bagian sesuai

dengan macam data dan perbandingan frekuensi macam-macam data

yang disajikan

d. Diagram batang adalah diagram berdasarkan data berbentuk kategori.

Diagram ini banyak digunakan untuk membandingkan data maupun

menunjukan hubungan suatu data dengan data keselruhan. Diagram

ini menyajikan datanyan dalam bentuk batang



1. Rara ditugaskan guru untuk melakukan suvey data terhadap

keuntungan penjualan barang atau jasa selama stu tahun melalui buku

koperasi sekolah. Data yang diperoleh sebagai berikut (dalam satuan

ribu rupiah):

Keuntungan penjualan buku tulis, pensil, ballpoint, keping cd, tinta

printer, makanan ringan, kertas hvs, kertas folio, minuman ringan dan

air mineral, seragam sekolah, buku olahraga, seragam olahraga, buku

bacaan, majalah, komik, dan fotocopy secara berturut turut adalah

400, 300, 550, 200, 325, 540, 350, 450, 750, 900, 500, 600, 300, dan

525. Sajikan dalam bentuk tabel. Dan carilah 5 keuntungan tertinggi.

2. Ayah beni bekerja di Amerika dan telah pulang ke Indonesia. Ia ingin

menukarkan uang hasil tabungan selama bekerja agar dapat dipakai di

tanah air untuk memenuhi kebutuhan mereka. Iapun mengamati harga

beli dan harga jual mata uang dollar Amerika selama beberapa hari.

Berikut hasil pencatatan nilai tukarrupiah terhadap dollar yang

diamati.

Tabel nilai tukar rupiah

Tanggal 5 juli 6 juli 7 juli 8 juli 9 juli 10

juli

Kurs

jual

9.050 9.124 8.967 9.110 9.089 9.075

Kurs

beli

9.175 9.012 9.045 9.020 9.006 8.985

Ubahlah tabel dalam bentuk diagram garis garis dan tentukan di

tanggal berapakah nilai tukar rupiah tertinggi dan terendah!

3. Sebuah toko handphone mencatat penjualan produk smartphone yang

dijual dalam kurun waktu sebulan.

Jenis HP Tipe I Tipe II Tipe III Tipe IV Tipe V Tipe VI

Banyak Penjualan 35 25 20 40 10 50

Gambarkan data penjualan smartphone dari tabel berikut ke dalam :

a) diagram lingkaran

b) diagram batang



Nama :

No. Absen :

Judul Tugas :


Nilai

Nilai

Prestasi

1 Benar cara, Hasil, Maupun

gambar

0 - 55

2 Cara Benar, hasil benar, gambar

salah

0 – 15

3 Cara benar, hasil salah, gambar

benar

0 - 15

4 Cara salah, hasil benar, gambar

benar

0 - 15


Jumlah akhir


……………,……………..20…



7.2.3.1 Menghitung data kelompok dengan berbagai bentuk penyajian

data

1) Penyajian data dalam bentuk tabel

Disini akan disinggung mengenai peyajian dat dalam

bentuk tabel pada data berkelompok. Perhatikan data ulangan

matematika berikut :

32 45 55 60 65 70 74 85 40 50

56 62 68 71 80 90 44 55 60 65

35 50 56 61 66 70 78 85 42 54

58 65 68 72 82 95 68 74 84 95

Jika kita buatkan daftar distribusi frekuensi untuk data ini,

maka akan diperoleh data yang sangat panjang, terdiri dari 40

baris. Untuk menyiasati hal ini kita kita perkenalkan

peringkasan data alternatifyang disebut daftar distribusi

frekuensi berkelompok. Pada daftar distribusi frekuensi

berkelompok kiat menghitung frekuensi yang berkait dengan

pengamatan berkelompok, bukan pengamatan tunggal.

Nilai Frekuensi

32 1

35 1

...... .....

90 1

95 2


Data ulangan harian matematika biasa kita tampilkan

dalam daftar distribusi frekuensi kelompok. Kelompok-

kelompok di kolom panling kiri misalnya 30-39, disebut kelas.

Nilai turus Frekuensi

30-39 II 2

40-49 IIII 4

50-59 IIII III 8

60-69 IIII IIII I 11

70-79 IIII II 7

80-89 IIII 5

90-99 III 3

Total 40

Berikut adalah beberapa istilah pada daftar distribusi

frekuensi berkelompok

1) Kelas

Data di ats dikelompokan ke dalm kelas-kelas

Kelas pertama adalah 30-39, memuat niali-nilai 32 dan 35

Kelas kedua adalah 40-49, memuat nilai-nilai 40, 42, 44, 45

dst.

2) Banyaknya kelas

Adalah banyaknya kelompok dalam tabel, data diatas

dikelompokan menjadi 7 kelompok. Dikatakan bahwa

banyak kelas = 7.

Atau dengan rumus k = 1 + (3,3) × log n

3) Batas kelas

Adalah nilai ujung yang terdapat pada kelas. Niali ujung

bawah (nilai yang terkecil dari kelas) disebut batas bawah,

dan nilai ujung atas (niali terbesar dari kelas) disebut batas

atas.

Pada data di atas, kelas bawah pertama adalah 30, batas

atasnya adalah 49 dan seterusnya.

4) Tepi kelas

Untuk data yang diperoleh dari hasil pengukuran dengan

ketelitian sampai satuan terdekat, tepi kelasnya adalah

Tepi bawah = batas bawah – 0,5


Tepi atas = batas atas + 0,5

Pada data di atas kelas pertama adalah 30-39

Batas bawah adalah 30 = tepi bawahnya 30 - 0,5 = 29,5

Batas atasnya adalah 39 = tepi atasnya 39 + 0,5 = 39,5

Tepi bawah kelas pertama = 29,5 dan tepi atasnya = 39,5

Dengan cara yang sama diperoleh , tepi bawah kelas = tepi

bawah kelas kedua adalah 39,5 dan tepi atasnya adalah

49,5.

5) Lebar kelas

Lebar kelas di sebut juga panjang kelas atau interval kelas,

yaitu selisih tepi atas dan tepi bawah kelas

Pada data di atas lebar kelas pertama = 39,5 – 29, 5 = 10

dan lebar kelas kedua 49,5 – 39, 5 = 10 . saat membuat

daftar distribusi ,frekuensi data berkelompok , sebaiknya

lebar setiap kelasnya sama.

Atau dengan rumus , Panjang kelas = 𝑗𝑎𝑛𝑔𝑎𝑘𝑎𝑢𝑎𝑛

𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑘𝑒𝑙𝑎𝑠

Perlu di cermati Bahwa pembentukan kelas interval tersebut

harus memuat semua data. Jika ada 1 data yang tidak

tercakup pada interval kelas maka terdapat kesalahan dalam

mendistribusikan data.

6) Titik tengah kelas

Titik tengah suatu kelas merupakan niali yang dianggap

mewakili kelas itu. Titik tengah kelas disebut juga nilai

tengah kelas atau rataan kelas.

Titik tengah kelas = 1

2 (batas bawah kelas + batas atas kelas)

dari tabel diatas dapat kita ketahui

titik tengah kelas pertama = 1

2 ( 30 + 39 ) = 34,5

titik tengah kelas kedua = 1

2 ( 40 + 49 ) = 44, 5

titik tengah kelas ketiga = 54, 5


dengan titik tengah Xi, maka daftar distribusi frekuensi

dapat dinyatakan sebagai berikut

Kelas Xi Frekuensi (fi)

30-39 34,5 2

40-49 44,5 4

50-59 54,5 8

60-69 64,5 11

70-79 74,5 7

80-89 84,5 5

90-99 94,5 3

Total 40

2) Penyajian Penyajian data dalam bentuk diagram (histogram)

Data pada tabel distribusi frekuensi dapat disajikan dengan

menggunakan histogram. Prinsip penyajiannya hampir sama

dengan menyajikan diagram batang yaitu meggambarkan grafik

batang yang sama lebar namun tidak terputus-putus. Variabel

pengamatan berupa interval-interval kelas yang sama panjang

dihubungkan dengan nilai pengamatan berupa frekuensi. Maka

dengan tabel distribusi frekuensi di atas dapat disajikan

histogram berikut ini.

Misalkan kita memiliki daftar distribusi frekuensi nilai

ulangan umum bahasa indonesia seperti berikut :

Nilai ulangan Frekuensi

50 – 59 27

60 – 69 31

70 – 79 25

80 – 89 23

jumlah 100


Dari pembahasan di atas dapat dinyatakan bahwa

histogram adalah jenis grafik batang yang digunakan untuk

menampilkan data numerik yang telah disusun dalam

interval yang sama.

7.2.3.2 Rangkuman

1. Pada daftar distribusi frekuensi berkelompok kiat menghitung

frekuensi yang berkait dengan pengamatan berkelompok, bukan

pengamatan tunggal

2. Data pada tabel distribusi frekuensi dapat disajikan dengan

menggunakan histogram. Prinsip penyajiannya hampir sama

dengan menyajikan diagram batang yaitu meggambarkan grafik

batang yang sama lebar namun tidak terputus-putus.

27

31

2523

0

5

10

15

20

25

30

35

50 -59 60 - 69 70 - 79 80 - 89

fre

kue

nsi

kelas interval

data nilai siswa


7.2.3.3 Tes formatif

1. Hasil Ujian semester mata pelajaran matematika terhadap 80 siswa

dinyatakan sebagai berikut. 38 90 92 85 76 88 78 74 70 48 61 83 88

81 82 72 83 87 81 82 48 90 92 85 76 74 88 75 90 97 93 72 91 67 88

80 63 76 49 84 61 83 88 81 82 60 66 98 93 81 80 63 76 49 84 79 80

70 68 92 81 91 56 65 63 74 89 73 90 97 75 83 79 86 80 51 71 72 82

70

Dari data di atas sajikan data dengan :

a. Dengan tabel distribusi frekuensi

b. Histogram


Nama :

No. Absen :

Judul Tugas :


Nilai

Nilai

Prestasi

1 Benar cara, Hasil, Maupun

gambar

0 – 55

2 Cara Benar, hasil benar, gambar

salah

0 – 15

3 Cara benar, hasil salah, gambar

benar

0 – 15

4 Cara salah, hasil benar, gambar

benar

0 – 15


Jumlah akhir


…………….,………………20….



7.2.4.1 Materi pembelajaran

Dalam materi pembelajaran kelas X, Anda telah mempelajari

cara mengumpulkan data satistik dan menyajikannya dalam

berbagai bentuk dan diagram. Penyajian data seperti ini hanya

memberikan gambaran menyeluruh, tetapi belum cukup digunakan

untuk pengambilan keputusan tertentu. Ada beberapa cara atau hal

yang ditonjolkan dalam menceritan data. Mean atau yang sering

disebut sebagai rata-rata, median yang merupakan nilai tengah dari

data yang telah diurutkan , dan modus yaitu data yang sering

muncul merupakan nilai yang menggambarkan tentang pemusatan

nilai-nilai dari data yang diperoleh dari suatu peristiwa yang telah

diamati. Itulah sebabnya mean, median, dan modus disebut sebagai

ukuran pemusatan.

7.2.4.2 Rata-rata/ rataan hitung/ mean

Rataan adalah rata-rata nilai data. Rataan paling sering sering

dijadikan ukuran pusat data kuantitatif. Kita bagi pembahasan

menjadi dua :

1) Rata –rata data tunggal

Rataan data tunggal merupakan jumlah nilai semua data dibagi

ukuran data tersebut :

Keterangan :

𝑥𝑖 : data ke-i

n : banyaknya data

Contoh

Tentukan Mean dari data berikut :

6 8 5 7 6 3 2 4 8

Penyelesaian :

Mean (𝑥 ) = 2+3+4+5+6+7+8+8

9 = 5,4

𝑥 =𝑥1 + 𝑥2 +⋯+𝑥𝑛

𝑛= 𝑥𝑖𝑛𝑖=1

𝑛


2) Rataan data kelompok

Seperti telah anda ketahui, mean / rataan adalah jumlah seluruh

data dibagi dengan banyak data dibagi dengan banyak data,

Rumus rataan / mean :

Keterangan: 𝑥𝑖 : data ke-i

𝑓𝑖 : frekuensi data ke-i

𝑥 =𝑓1𝑥1 + 𝑓2𝑥2 +⋯+𝑓𝑛𝑥𝑛

𝑓1 + 𝑓2 +⋯+ 𝑓𝑛= 𝑓𝑖𝑥𝑖𝑛𝑖=1

𝑓𝑖𝑛𝑖=1

Tentukan rataan hitung dari data berkelompok berikut :

Nilai Frekuensi

1 - 50 4

51 - 100 7

101 - 150 10

151 - 200 16

201 – 250 30

251 - 300 13

Penyelesaian :

nilai

Titik

tengah

(xi)

Frekuensi

(fi)

xi fi

1 – 50 25,5 4 102

51 – 100 75,5 7 528,5

101 – 150 125,5 10 1.225

151 – 200 175,5 16 2.808

201 – 250 225,5 30 6.767

251 – 300 275,5 13 3.581,5

Total ∑ fi = 80 ∑xi fi =

15.040

Dari table diperoleh ∑ fi = 80 dan ∑xi fi = 15.040 ,

maka

𝑥 = 15.040

80 = 188

Jadi, rataanya adalah 188


Menentukan Mean dengan menggunakan

Rataan Sementara : Untuk menghitung rataan/ mean pada

data kelompok juga dapat dihitung dengan menggunakan rataan

sementara ( xs) dengan rumus berikut :

Keterangan :

𝑑𝑖 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑠

𝑥 𝑠: rataan sementara

𝑥 = 𝑥 𝑠 + 𝑓𝑖𝑑𝑖𝑛𝑖=1

𝑓𝑖𝑛𝑖=1

𝑥 = 𝑥 𝑠 + 𝑓𝑖𝑑𝑖𝑛𝑖=1

𝑓𝑖𝑛𝑖=1

Contoh :

Tentukan rataan hitung/mean data kelompok berikut dengan

menggunakan rataan sementara :

Nilai Frekuensi

1 - 50 4

51 - 100 7

101 - 150 10

151 - 200 16

201 – 250 30

251 - 300 13

Penyelesaian :

Misalkan kita pilih rataan sementara (𝑥 𝑠 ) = 225,5 yang

merupakantitik tengah kelas dengan frekuensi terbesar, sehingga

diperoleh table :

nilai

Titik

tengah

(xi)

Frekuensi

(fi)

xi - 𝑥 𝑠 fi (xi - 𝑥 𝑠)

1 – 50 25,5 4 -200 -800

51 – 100 75,5 7 -150 -1050

101 – 150 125,5 10 -100 -1000

151 – 200 175,5 16 -90 -800

201 – 250 225,5 30 0 0

251 – 300 275,5 13 50 650

Total ∑ fi = 80 ∑ fi (xi - 𝑥 𝑠) = −3000

Rataan hitung adalah :

= 225,5 + −3000

80

= 188

Hasil ini sama persis dengan cara sebelumnya.


a. Median

Median adalah nilai tengah data setelah diurutkan. Median

merupakan salah satu statistic yang digunakan untuk ukuran

pemusatan data. Salah satu unggulan median daripada rataan

adalah kemudahan menentukannya (tidak banyak perhitungan)

dan tidak tergantung pada nilai-nilai yang ekstrim.

1) Median data tunggal

Jika banyaknya data ganjil, maka 𝑀𝑒 = 𝑋𝑛+1

2

Jika banyaknya data genap, maka 𝑀𝑒 =𝑋𝑛

2+𝑋𝑛

2+1

2

Keterangan: Me : Median

n : Banyaknya data

𝑥𝑛 : data ke-n

2) Median data kelompok :

Contoh

Tentukan median dari data berikut:

a) 3,5, 7, 4, 9, 8, 7, 9, 6

b) 4, 8, 8, 6, 9, 8, 7, 3

Penyelesaian :

a) Data diurutkan menjadi: 3, 4, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 9. Karena

datanya sebanyak ganjil, maka mediannya adalah

𝑋9+1

2

= 𝑋5 = 7.

b) Data diurutkan menjadi: 3, 4, 6, 7, 8, 8, 8, 9. Karena

datanya sebanyak genap, maka median = 𝑋8

2

+𝑋82

+1

2=

𝑋4+𝑋5

2=

7+8

2= 7,5

𝑀𝑒 = 𝑇𝐵𝑀𝑒 +

12𝑛 − 𝐹𝑘

𝑓𝑀𝑒 𝑙


Keterangan: Me : median

𝑇𝐵𝑀𝑒 : tepi bawah kelas median

l : panjang kelas median

n : banyaknya data

𝐹𝑘 : frekuensi kumulatif sebelum

kelas median

𝑓𝑀𝑒 : frekuensi kelas median

Contoh

Tentukan median dari data yang dinyatakan dalam daftar distribusi

frekuensi berikut :

Data Frekuensi

40 – 49 5

50 – 59 14

60 – 69 16

70 – 79 12

80 – 89 3

Penyelesaian :

Data Frekuensi Frekuensi kumulatif

kurangdari

40 – 49 5 5

50 – 59 14 19

60 – 69 16 35

70 – 79 12 47

80 – 89 3 50

Kelas

Median


12𝑛 − 𝐹𝑘

𝑓𝑀𝑒 𝑙

𝑀𝑒 = 59,5 +

12 50 − 19

35 . 10

Ukuran data (n) = 50 (genap)

Berarti median terletah anta data ke-25 dan data ke-26. Kedua data

tersebut terletak di kelas 60 – 69.

Berdasarkan data diatas, dapat diketahui:

𝑇𝐵𝑀𝑒 = 59,5 , 𝐹𝑘 = 19 , l= 10, 𝑓𝑀𝑒 = 35

𝑀𝑒 = 61,21


b. Modus

Pada sebuah kelompok data, modus adalah nilai yang

paling sering muncul, yaitu nilai yang memiliki frekuensi paling

tinggi.

1) Modus data tunggal

Contoh:

Tentukan modus dari data berikut:

50, 45, 64, 70, 50, 69, 75, 70, 70, 80.

73, 50, 65, 68, 66, 65, 73, 90.

35, 42, 48, 50, 52, 55, 60.

44, 46, 51, 51, 44, 46.

Jawab:

Untuk mempermudah, data diurutkan terlebih dahulu

menjadi:

45, 50, 50, 64, 69, 70, 70, 70, 75, 80 sehingga

modusnya adalah 70

50, 65, 65, 66, 68, 73, 73, 90 sehingga modusnya adalah

65 dan 73

35, 42, 48, 50, 52, 55, 60 data tersebut tidak memiliki

modus

44, 44, 46, 46, 51, 51 data tersebut tidak memiliki

modus

2) Modus data kelompok

𝑀𝑜 = 𝑇𝐵𝑀𝑜 + 𝑑1

𝑑1 + 𝑑2 𝑙

Keterangan:

Mo : modus

𝑇𝐵𝑀𝑜 : tepi bawah kelas modus

l : panjang kelas modus

𝑑1: selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas

sebelumnya


𝑑2: selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas

sesudahnya

Contoh:

Tentukan modus data berikut.

Data F

65-67 2

68-70 5

71-73 13

74-76 14

77-79 4

80-82 2


𝑑1+𝑑2 𝑙

= 73,5 + 1

1+10 3

= 73,5 +3

11

= 73,5 + 0,27

= 73,77

Kelas modus


7.2.4.3 Rangkuman

Statistik deskriptif ditujukan untuk “menceritakan” data.

Ada tiga ukuran pemusatan data yang biasa digunkan yaitu

Mean, modus, median

Rataan (Mean) data tunggal

Rataan data kelompok

Modus nilai yang paling sering muncul

Modus data kelompok

Median nilai tengah data setelah data diurutkan

Median data tunggal

Median data kelompok


𝑑1 + 𝑑2 𝑙

𝑀𝑒 = 𝑋𝑛+12


12𝑛 − 𝐹𝑘

𝑓𝑀𝑒 𝑙

𝑥 =𝑥1 + 𝑥2 +⋯+𝑥𝑛

𝑛

= 𝑥𝑖𝑛𝑖=1

𝑛

𝑥 =

𝑓1𝑥1 + 𝑓2𝑥2 +⋯+𝑓𝑛𝑥𝑛𝑓1 + 𝑓2 +⋯+ 𝑓𝑛

= 𝑓𝑖𝑥𝑖𝑛𝑖=1

𝑓𝑖𝑛𝑖=1



Kerjakan dan diskusikan soal-soal berikut dengan anggota kelompok.

1. Nilai matematika Ani adalah sebagai berikut: 6, 8, 9, 7, 10. Nilai rata-

rata dari nilai matematika Ani tersebut adalah…

2. Tentukan rata-rata data berikut!

Nilai 4 5 6 7 8

F 3 7 12 14 4

3. Rata-rata nilai ulangan 30 siswa adalah 7. Jika ditambahkan nilai

ulangan susulan 5 siswa diperoleh rata-rata 6,8. Maka rata-rata nilai 5

siswa tersebut adalah…

4. Tentukan median dari data berikut:

a) 3,5, 7, 4, 9, 8, 7, 9, 6

b) 4, 8, 8, 6, 9, 8, 7, 3


Nama :...........................

Kelas :...........................

No. Absen :...........................

No. Tugas :..........................

Judul Tugas :...........................


Tes Formatif

1. Kebenaran jawaban 0 – 60

3. Kelengkapan

pengerjaan

60 - 100

JUMLAH 0 – 100

JUMLAH (jumlah X 100%)

Jumlah Nilai Akhir


...................., ......................Th.....



7.2.5.1 Materi Pembelajaran

a. Kuartil

Konsep membagi dua menjadi dua bagian yang sama

banyak (median) dapat diperluas menjadi berapa pun bagian yang

sama banyak. Misalkan menjadi kuartil. Kuartil membagi data

menjadi empat bagian sama banyak. Kuartil ada tiga yaitu kuartil

bawah (Q1), kuartil tengah (Q2) atau median, dan kuartil atas

(Q3). Ingat bahwa kuartil bisa ditentukan jika data telah terurut.

1) Kuartil data tunggal

𝑄𝑖 = 𝑋𝑖 𝑛+1 4

Keterangan: 𝑄𝑖 : kuartil ke-i


𝑛: banyaknya data

Contoh Soal 6 :

Dari data berikut: 3,5, 7, 4, 6, 8, 9, 8, 7, 9, 6, 5. Tentukan kuartil

bawah dan kuartil atasnya.

Penyelesaian :

Data diurutkan terlebih dahulu: 3, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9

Kuartil bawah (𝑄1) = 𝑋1 12+1

4

= 𝑋13

4

= 𝑋3 +1

4 𝑋4 − 𝑋3

= 5 + 1

4 5 − 5

= 5

Kuartil atas (𝑄3) = 𝑋3 12+1

4

= 𝑋39

4

= 𝑋9 +3

4 𝑋10 − 𝑋9

= 8 + 1

4 8 − 8

= 8


2) Kuartil data kelompok

𝑄𝑖 = 𝑇𝐵𝑄𝑖 +

𝑖4𝑛 − 𝐹𝑘

𝑓𝑄𝑖 𝑙

Keterangan: 𝑄𝑖 : kuartil ke-i

𝑇𝐵𝑄𝑖 : tepi bawah kelas kuartil ke-i

l : panjang kelas kuartil ke-i

n : banyaknya data

𝐹𝑘 : frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil

ke-i

𝑓𝑀𝑒 : frekuensi kelas kuartil ke-i

Contoh Soal :

Tentukan kuartil bawah data berikut:

Data F

65-67 2

68-70 5

71-73 13

74-76 14

77-79 4

80-82 2

Letak kuartil atas (𝑄3) adalah pada data ke 3.40

4=

30 yaitu pada kelas ke-4.

𝑄3 = 𝑇𝐵𝑄3+

3

4𝑛−𝐹𝑘

𝑓𝑄3

𝑙.

= 73,5 + 3

440−20

14 3

=73,5 + 10

14 3

= 73,5 + 2,1

= 75,6

b. Desil dan Presentil

Desil data kelompok ditentukan dengan rumus berikut.

Kelas kuartil atas

𝐷𝑚 = 𝑏𝑚 +

𝑚10𝑛 − 𝐹𝑘𝑘𝑠𝑑

𝑓𝐷𝑚 𝑙


Keterangan :

m = 1, 2, 3, …, 9

b = tepi bawah kelas desil ke-m

n = ukuran data

fkksd = frekuensi kumulatif kurang dari sebelum kelas

desil ke –m

fDm = frekuensi dari kelas desil ke-m

l = panjang kelas

Sedangkan untuk rumus Presentil data kelompok adalah sebagai

berikut :

Keterangan :

m = 1, 2, 3, …, 99

b = tepi bawah kelas desil ke-m

n = ukuran data

fkksp = frekuensi kumulatif kurang dari sebelum kelas

presentil ke –m

fPm = frekuensi dari kelas presentil ke-m

l = panjang kelas

𝑃𝑚 = 𝑝𝑚 +

𝑚100 𝑛 − 𝐹𝑘𝑘𝑠𝑝

𝑓𝑃𝑚 𝑙


𝐷𝑚 = 𝑏𝑚 +

𝑚10𝑛 − 𝐹𝑘𝑘𝑠𝑑

𝑓𝐷𝑚 𝑙

𝐷𝑚 = 39,5 +

110 50− 0

5 10

𝐷𝑚 = 49,5

Contoh

Berat badan (kg) Frekuensi

40 – 49 5

50 – 59 14

60 – 69 16

70 – 79 12

80 – 89 3

Total 50

Tentukan D9 dan P30

Penyelesaian :

Berat badan (kg) Frekuensi Frekuensi kumulatif

40 – 49 5 5

50 – 59 14 19

60 – 69 16 35

70 – 79 12 47

80 – 89 3 50

Total 50

Ukuran data (n) = 50

Untuk D1

1

10 . 50 = 5, kelas D1 adalah 40 – 49, maka b1 = 39,5 ; fkksd =

0 ; fD1 = 5, l = 10 maka

𝑃𝑚 = 𝑝𝑚 +

𝑚100𝑛 − 𝐹𝑘𝑘𝑠𝑝

𝑓𝑃𝑚 𝑙

𝑃𝑚 = 49,5 + 15 − 5

14 10

Untuk P30

30

100 . 50 = 15, kelas P30 adalah 50 – 59, maka b30 = 49,5 ;

𝐹𝑘𝑘𝑠𝑝 = 5 ; fD30 =14 ; l =10 maka :

Pm = 56,64


7.2.5.2 Rangkuman

a. Kuartil

Kuartil untuk data tunggal

Kuartil untuk data kelompok

b. Desil dan Presentil

Rumus desil untuk data kelompok

Rumus presentil untuk data kelompok


1. Tentukan kuartil bawah dan atas dari data : 2,2,3,4,5,6,8,8

2. Dari data berikut: 3,5, 7, 4, 6, 8, 9, 8, 7, 9, 6, 5. Tentukan kuartil

bawah dan kuartil atasnya.

𝑄𝑖 = 𝑋𝑖 𝑛+1 4

𝑄𝑖 = 𝑇𝐵𝑄𝑖 +

𝑖4𝑛 − 𝐹𝑘

𝑓𝑄𝑖 𝑙

𝐷𝑚

= 𝑏𝑚 +

𝑚10 𝑛 − 𝐹𝑘𝑘𝑠𝑑

𝑓𝐷𝑚 𝑙

𝑃𝑚

= 𝑝𝑚 +

𝑚100

𝑛 − 𝐹𝑘𝑘𝑠𝑝

𝑓𝑃𝑚 𝑙



Nama :...........................

Kelas :...........................

No. Absen :...........................


Tes Formatif

1. Kebenaran

jawaban

0 – 60

2. Kelengkapan

pengerjaan

0 – 40

JUMLAH 0 – 100

JUMLAH (jumlah X

100%)

Jumlah Nilai Akhir


...................., ......................Th.......



7.2.6.1 Ukuran Penyebaran Data

a. Jangkauan

Jangkauan (J) = 𝑥𝑚𝑎𝑘𝑠 − 𝑥𝑚𝑖𝑛 ( untuk data tunggal)

J = nilai tengah kls tertinggi – nilai tengah kls terendah

…(untuk data kelompok)

Jangkauan interkuartil (H) = 𝑄3 − 𝑄1

Jangkauan semi interkuartil/ simpangan kuartil (𝑄𝑑) = 1

2 𝑄3 −

𝑄1

Langkah (L) = 3

2 𝑄3 − 𝑄1

b. Simpangan rata-rata (SR)

1) Simpangan rata-rata data tunggal

𝑆𝑅 =1

𝑛 𝑥𝑖 − 𝑥

𝑛

𝑖=1

Keterangan:

SR : simpangan rata-rata

n : banyaknya data


𝑥 : rata-rata

Contoh:

Tentukan simpangan rata-rata data berikut: 9, 7, 5, 6, 8

Jawab:

Data diurutkan terlebih dahulu menjadi 5, 6, 7, 8, 9. Kemudian

ditentukan rata-ratanya:

𝑥 =5 + 6 + 7 + 8 + 9

5= 7

𝑆𝑅 =1

5 5− 7 + 6− 7 + 7− 7 + 8− 7 + 9− 7

= 1

5 2 + 1 + 0 + 1 + 2 =

6

5


2) Simpangan rata-rata data kelompok

𝑆𝑅 = 𝑓𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥 𝑛𝑖=1

𝑓𝑖𝑛𝑖=1

Keterangan:

SR : simpangan rata-rata



𝑥 : rata-rata

Contoh:

Tentukan simpangan rata-rata dari data pada table berikut:

Nilai Frekuensi

2

3

4

5

6

7

8

2

4

5

8

11

6

4

Jawab:

Ditentukan terlebih dahulu rata-ratanya:

Nilai

(𝒙𝒊) Frekuensi

(𝒇𝒊) 𝒇𝒊.𝒙𝒊 𝒙 𝒙𝒊 − 𝒙 𝒇𝒊 𝒙𝒊 − 𝒙

2

3

4

5

6

7

8

2

4

5

8

11

6

4

4

12

20

40

66

42

32

5,4 3,4

2,4

1,4

0,4

0,6

1,6

2,6

6,8

9,6

7

3,2

6,6

9,6

10,4

Total 40 216 53,2

Rataan hitung: 𝑥 = 𝑓𝑖𝑥𝑖𝑛𝑖=1

𝑓𝑖𝑛𝑖=1

=216

40= 5,4

Simpangan rata-rata: 𝑆𝑅 = 𝑓𝑖 𝑥𝑖−𝑥 𝑛𝑖=1

𝑓𝑖𝑛𝑖=1

=53,2

40

= 1,33


c. Varians (𝒔𝟐)

1) varians data tunggal

𝑠2 = 𝑥𝑖 − 𝑥

2𝑛𝑖=1

𝑛

Keterangan:

𝑠2: varians

n : banyaknya data


𝑥 : rata-rata

2) varians data kelompok

𝑠2 = 𝑓𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥

2𝑛𝑖=1

𝑓𝑖𝑛𝑖=1

Keterangan:

𝑠2: varians



𝑥 : rata-rata

d. Simpangan baku (s)

1) Simpangan baku data tunggal

𝑠 = 𝑥𝑖 − 𝑥 2𝑛𝑖=1

𝑛

Keterangan:

𝑠 : simpangan baku

n : banyaknya data


𝑥 : rata-rata

Contoh:

Tentukan ragam dan simpangan baku dari data: 2,3,6,8,11

Jawab:

𝑥 =2 + 3 + 6 + 8 + 11

5= 6

𝑠2 = 𝑥𝑖−𝑥

2𝑛𝑖=1

𝑛


=1

5 (2− 6)2 + (3− 6)2 + (6 − 6)2 + (8− 6)2 +

11−6 2

=1

5 16 + 9 + 0 + 4 + 25

=54

5

𝑠 = 54

5=

3

5 30

Jadi, ragam 54

5 dan simpangan baku

3

5 30

2) Simpangan baku data kelompok


2𝑛𝑖=1

𝑓𝑖𝑛𝑖=1

Keterangan:

𝑠: simpangan baku



𝑥 : rata-rata

Contoh:

Tentukan ragam dan simpangan baku dari data berikut:

Nilai Frekuensi

141-147

148-154

155-161

162-168

169-175

176-182

183-189

2

7

12

10

9

7

3


Jawab:

Dengan menentukan rata-rata terlebih dahulu,

Nilai Frekuen

si (𝒇𝒊) Titik

tengah

(𝒙𝒊)

𝒇𝒊.𝒙𝒊 𝒙𝒊 − 𝒙 (𝒙𝒊 − 𝒙 )𝟐 𝒇𝒊(𝒙𝒊 − 𝒙 )𝟐

141-147

148-154

155-161

162-168

169-175

176-182

183-189

2

7

12

10

9

7

3

144

151

158

165

172

179

186

288

1057

1896

1650

1548

1253

558

-21

-14

-7

0

7

14

21

441

196

49

0

49

196

441

882

1372

588

0

441

1372

1323

jumlah 50 8250 5978

Diperoleh rata-rata 𝑥 = 𝑓𝑖𝑥𝑖𝑛𝑖=1

𝑓𝑖𝑛𝑖=1

=58250

50= 165

Ragam

𝑠2 = 𝑓𝑖 𝑥𝑖−𝑥

2𝑛𝑖=1

𝑓𝑖𝑛𝑖=1

=5978

50=

2989

25

Simpangan baku

𝑠 = 2989

25=

1

5 2989


7.2.6.2 Rangkuman

a. Jangkauan

b. Simpangan rata-rata

e. Varians (𝒔𝟐)

varians data tunggal

𝑠2 = 𝑥𝑖 − 𝑥

2𝑛𝑖=1

𝑛

varians data kelompok


2𝑛𝑖=1

𝑓𝑖𝑛𝑖=1

f. Simpangan baku (s)

Simpangan baku data tunggal

𝑠 = 𝑥𝑖 − 𝑥 2𝑛𝑖=1

𝑛

Simpangan baku data kelompok


2𝑛𝑖=1

𝑓𝑖𝑛𝑖=1

Jangkauan (J) = 𝑥𝑚𝑎𝑘𝑠 − 𝑥𝑚𝑖𝑛 ( untuk data

tunggal)

J = nilai tengah kls tertinggi – nilai tengah kls

terendah …(untuk data kelompok)

Jangkauan interkuartil (H) = 𝑄3 − 𝑄1

Jangkauan semi interkuartil/ simpangan

kuartil (𝑄𝑑) = 1

2 𝑄3 − 𝑄1

𝑆𝑅 =

𝑓𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥 𝑛𝑖=1

𝑓𝑖𝑛𝑖=1



1. Simpangan rataan hitung data 10, 10, 9, 8, 8, 7, 7, 6, 6, 5 adalah ....

2. Simpangan rataan hitung data x1, x2, ... , x10 adalah 2,29. Jika setiap

data ditambah satu maka simpangan rataan hitungnya adalah ....

3. Jika jangkauan data 1, 2, 3, 3, 3, 4, 4,x sama dengan rataan

hitungnya maka nilai x adalah ....

4. Simpangan baku dari data 3, 6, 6, 2, 6, 2,1, 1, 5, 3 adalah ....


Nama :...........................

Kelas :...........................

No. Absen :...........................

Judul Tugas :...........................


Tes Formatif

1. Kebenaran jawaban 0 – 60

2. Kelengkapan pengerjaan 60 - 100

JUMLAH 0 – 100

JUMLAH (jumlah X 100%)

Jumlah Nilai Akhir


...................., ......................Th....


7.3 EVALUASI

7.3.1 Soal evaluasi

1. Data nilai tukar rupiah terhadap dolar AS dari tanggal 18 Februari

2008 sampai dengan 22 Februari 2008 ditunjukkan oleh table

berikut:

Tanggal 18/2 19/2 20/2 21/2 22/2

Kurs beli Rp. 9.091 Rp. 9.093 Rp. 9.128 Rp. 9.123 Rp. 9.129

Kurs jual Rp. 9.181 Rp. 9.185 Rp. 9.220 Rp. 9.215 Rp. 9.221

nyatakan dalam diagram garis !

2. Pelajar di desa karang anyar yang ikut kerja bakti desa pada hari

libur sebagai berikut:

Pendidikan Jumlah

SD

SMP

SMA/SMK

Perguruan tinggi

10 orang

30 orang

21 orang

20 orang

Jumlah penduduk 81 orang

nyatakan dalam diagram lingkaran !

3. Banyaknya lulusan SMA X dari tahun 2000-2004 dinyatakan dalam

table berikut:

Tahun 2000 2001 2002 2003 2004

Jumlah lulusan 20 40 50 70 100

nyatakan dalam diagram batang !

4. Diketahui data sebagai berikut

Kelas Frekuensi

35 – 44 15

45 – 54 17

55 – 64 18

65 – 74 25

75 – 84 10

Jumlah 85

Nyatakan dalam bentuk histogram !


Data berikut untuk soal nomor 5 – 8

Nilai ulangan harian matematika dari 14 orang siswa yang diambil

secara acak adalah 7, 5 , 8 , 6 , 7 , 8 , 7 , 7 , 7 , 9 , 5 , 8 , 6 , 8

5. Nilai rata-rata ulangan harian matematika adalah ….

6. Median dari data tersebut adalah ….

7. Modus data diatas adalah ….

8. Jangkauan data tersebut adalah ….

9. Dari data : 5 , 6 , 9 , 6 , 5 , 8 , 6 , 9 , 6 , 10

Dapat disimpulkan …

10. Nilai rata-rata, median dan modus dari data 6, 4, 5, 8, 8, 4, 7, 6, 6

berturut-turut adalah ….

11. Perhatikan gambar berikut!

Berat badan siswa pada suatu kelas disajikan dengan histogram

seperti pada gambar. Rataan berat badan tersebut adalah ….

12. Modus dari data pada histogram diatas adalah ….

13. Kuartil atas dari histogram tersebut adalah ….

14. Desil ke-4 (D4) dari data pada histogram diatas adalah ….

15. Diketahui data : 3 , 7 , 5 , a , 6 , 4 , 6 , 9 , 6 , 4

Jika rata-rata data tersebut adalah 6 maka nilai a = ….


16. rata-rata hitung untuk data pada histogram berikut adalah 48. dengan

demikian nilai x = ….

Data berikut untuk soal nomor 17 – 18!

Hasil suatu penelitian adalah sebagai berikut:5 , 5 , 14 , 7 , 10 , 7 , 12

, 9 , 6.

17. Kuartil bawah dari data diatas adalah ….

18. Kuartil atas dari data diatas adalah ….

19. Desil ke-8 (D8) dari data berikut adalah ….

Nilai Frekuensi

41 – 45 7

46 – 50 12

51- 55 9

56 – 60 8

61 - 65 4

Data berikut untuk soal nomor 20– 25!

Tabel distribusi frekuensi

Data Frekuensi

20 – 24 6

25 – 29 10

30 – 34 2

35 – 39 5

40 – 44 4

45 – 49 3


20. Nilai rata-rata dari tabel diatas adalah ….

21. Modus dari tabel diatas adalah ….

22. Median dari tabel diatas adalah ….

23. Kuartil atas dari tabel diatas adalah ….

24. Kuartil bawah dari tabel diatas adalah ….

25. Simpangan kuartil dari tabel diatas adalah ….

26. Tentukan simpangan baku dari data : 4 , 8 , 5 , 9 , 10 , 6

27.

Nilai 5 6 7 8 9

Frekuensi 4 8 5 M 2

Jika nilai rata-rata dari data tersebut adalah 7, maka nilai M = …

28. Suatu keluarga mempunyai 3 orang anak. anak termuda berumur x

tahu. dua anak yang lain berumur x + 2 dan x + 7. bila rata-rata

hitung umur mereka adalah 24 tahun, maka anak termuda berumur

…

29. Lima kelompok siswa masing-masing terdiri dari 10 , 8 , 12 , 11 , 9

orang menyumbang korban bencana alam. raa-rata sumbangan

masing-masing kelompok adalah Rp 7.000,-, Rp 6.000,-, Rp

10.000,00,-, Rp 8.000,-, dan Rp 5.000,-. rata-rata sumbangan tiap

siswa seluruh kelompok adalah ….

30. Nilai rata-rata ujian Sejarah dari 20 siswa adalah 7,8, jika digabung

dengan 12 siswa maka nilai rata-rata menjadi 7,5. nilai rata-rata dari

12 siswa tersebut adalah ….

31. Nilai rata-rata kimia dalam suatu kelas adalah 6,5. jika ditambah

nilai siswa baru yang besarnya 9 maka rata-rata menjadi 6,6. banyak

siswa semula dalam kelas tersebut adalah ….

32. Perhatikan tabel berikut

Nilai Ujian 4 5 6 7 8

Frekuensi 2 5 8 11 4

Siswa dinyatakan lulus ujian matematika jika nilai ujiannya lebih

tinggi dari nilai rata-rata kelas.

Dari tabel diaas jumlah siswa yang lulus adalah ….


33. Nilai rata-rata sekelompok siswa yang berjumlah 50 siswa adalah 64.

Jika seorang siswa yang mendapat nilai 88,5 tidak dimasukkan

dalam perhitungan rata-rata nilai sekelompok siswa, maka nilai rata-

rata menjadi ….

34. Pada ulangan matematika diketahui nilai rata-rata kelas adalah 58.

jika rata-rata nilai matematika untuk siswa putra adalah 65,

sedangkan untuk siswa putri rata-ratanya 54, maka perbandingan

jumlah siswa putri dan putra pada kelas tersebut adalah ….


Nama :...........................

Kelas :...........................

No. Absen :...........................

Judul Tugas :...........................




hasilnya 0 – 60



Jumlah


Jumlah Nilai Akhir


....................,......................Th.......


BAB 8


8.1 PENDAHULUAN

8.1.1 Deskripsi

Modul ini berisi teori tentang lingkaran meliputi persamaan

lingkaran serta garis singgung lingkaran.

8.1.2 Prasyarat


menguasai kompetensi yang ada pada modul sebelumnya meliputi

koordinat kartesius, aljabar, persamaan kuadrat, dan phitagoras.


1) Pelajari daftar isi serta kedudukan modul dengan cermat dan

teliti.Karena dalam skema modul akan tampak kedudukan modul

yang sedang anda pelajari dengan modul-modul yang lain.

2) Kerjakan soal-soal dalam cek kemampuan untuk mengukur sampai


3) Apabila dari soal cek kemampuan telah anda kerjakan mendapat

score (nilai) 70, maka anda dapat langsung menuju Evaluasi untuk

mengerjakan soal-soal tersebut. Tetapi bila hasil jawaban tidak

mencapai nilai 70, maka anda harus mengikuti kegiatan


4) Perhatikan langkah-langkah dalam melakukan pekerjaan dengan

benar untuk mempermudah dalam memahami proses pembelajaran.

5) Pahami setiap materi teori dasar yang akan menunjang dalam



6) Untuk menjawab test formatif usahakan memberi jawaban singkat,


mempelajari modul ini.

8.1.4 Tujuan Akhir


diharapkan anda dapat memiliki kemampuan :


1) Mampu menemukan konsep persamaan lingkaran yang berpusat di

titik tertentu.

2) Mampu menemukan persamaan garis singgung lingkaran dalam

berbagai bentuk.

3) Mampu menyelesaikan masalah aktual dalam menentukan

persamaan garis singgung lingkaran menggunakan diskriminan.

4) Mampu mengaplikasikan konsep lingkaran dalam menyelesaikan

masalah

8.1.5 Kompetensi

Kode Unit:

Judul Unit : LINGKARAN (12 jam)

Uraian Unit : Unit ini berlaku untuk pekerjaan menyusun serta menentukan

persamaan lingkaran dan garis singgung lingkaran.


1. Menyusun persamaan

lingkaran yang memenuhi

persyaratan yang ditentukan

1.1. Menemukan konsep lingkaran yang berpusat di

titik (0,0) dan (a,b) melalui pemecahan masalah

otentik.

1.2. Menentukan pusat dan jari-jari lingkaran yang

persamaannya diketahui.

1.3. Menentukan persamaan lingkaran yang

memenuhi kriteria tertentu.

1.4. Menentukan posisi dan jarak suatu titik terhadap

lingkaran

2. Menentukan persamaan garis

singgung pada lingkaran

dalam berbagai situasi

2.1 Melukis garis yang menyinggung lingkaran dan

menentukan sifat-sifatnya.

2.2 Merumuskan persamaan garis singgung yang

melalui suatu titik pada lingkaran.

2.3 Menentukan persamaan garis singgung yang

melalui titik di luar lingkaran.

2.4 Merumuskan persamaan garis singgung yang

gradiennya diketahui.


Acuan Penilaian



Memahami berbagai konsep tentang persamaan lingkaran dan garis singgung nya.

Mampu mencari persamaan dan garis singgung lingkaran dari berbagai pusat lingkaran

yang diketahui.

3. Kompetensi yang harus dikuasai sebelumnya meliputi koordinat kartesius, aljabar,

persamaan kuadrat, dan phitagoras.


Mengenali elemen-elemen sebuah lingkaran (segmen, busur, garis singgung, dsb)

5. Menunjukkan pemahaman tentang koordinat kartesius, aljabar, persamaan kuadrat, dan

phitagoras.


Bekerja dengan mandiri dan kreatif

Bekerja dengan ketelitian dan ketepatan

Memunculkan rasa ingin tahu dan bekerja keras

Efisien dan optimal dalam kegiatan pembelajaran




8.1.6 Cek Kemampuan

Berilah tanda ( ), pada kolom Jawaban : Ya atau Tidak pada

jawaban yang anda pilih


Ya Tidak

1. Apakah anda mengetahui rumus persamaan lingkaran yang

berpusat di o (0,0) ?

2. Apakah anda dapat menyebutkan persamaan lingkaran yang

berpusat (a,b)?

3. Apakah anda mengetahui hubungan garis dengan lingkaran?

4. Apakah anda dapat menentukan persamaan garis singgung

lingkaran melalui suatu titik pada lingkaran ?

5. Apakah anda dapat menentukan persamaan garis singgung dengan

gradien m ?

6. Apakah anda dapat menetukan persamaan garis singgung yang

melalui titik P (x1,y1) diluar lingkaran ?

7 Apakah anda mampu menyelesaikan masalah nyata dan

mengidentifikasinya dalam model matematika berupa persamaan

lingkaran ?

Skore ( Nilai )

....................,........20....


PETA KONSEP

Lingkaran

Persamaan garis

singgung lingkaran Tempat kedudukan

titik pada lingkaran

Persamaan

lingkaran

Pusat di

(a,b) jari-jari

r

Melalui

sebuah titik

di luar

lingkaran

Pusat di

(a,b) jari-

jari r

Pusat di (0,0)

jari-jari r

Pusat di (0,0)

jari-jari r

Pusat di

(0,0) jari-jari

r

Pusat di

(0,0) jari-jari

r

Bentuk

umum

Gradien m Gradien m

Melalui (x,y)

pada

lingkaran

Melalui (x,y)

pada

lingkaran


8.2 PEMBAHASAN


8.2.1.1 Menemukan Konsep Persamaan Lingkaran

Lingkaran adalah sebuah bangun datar yang sering digunakan

sebagai alat bantu dalam menjelaskan ilmu pengetahuan lain

maupun dalam berbagai penyelesaian masalah kehidupan sehari-

hari.

Pada bab ini akan dibahas tentang lingkaran dan beberapa hal

dasar yang pada akhirnya membantu kita untuk menemukan konsep

tentang lingkaran itu sendiri.

Masalah 1

Gunung Sinabung di Kabupaten Karo, Sumatera Utara kembali

meletus sekitar pukul 12.00 WIB hari Selasa tanggal 17

September 2013. Material yang dikeluarkan lebih banyak

dibanding letusan pertama dua hari lalu. Akibat letusan ini

banyak warga yang mengungsi. Pemerintah setempat pun

memberikan peringatan agar masyarakat yang berada pada

radius 3 km dari puncak gunung Sinabung harus segera

mengungsi dan daerah tersebut harus bebas dari aktivitas dan

dikosongkan untuk sementara. Bantulah pemerintah kabupaten

Karo untuk menentukan daerah mana saja masyarakatnya harus

mengungsi. (Petunjuk: Gunakan Peta Kabupaten Karo)



Pertama kali yang dilakukan adalah membuat radius (jari-jari)

sepanjang 3 km dari titik pusatnya yaitu puncak Gunung

Sinabung. Setelah itu tariklah secara melingkar dan terbentuklah

sebuah lingkaran. Berdasarkan daerah lingkaran yang dibuat

tersebut ternyata terdapat beberapa desa yang penduduknya

harus mengungsi karena berada pada daerah radius 3 km yaitu

Desa Simacem, Bekerah, Sigaranggarang, dan Kutatonggal di

Kecamatan Naman Teran, serta Desa Sukameriah di Kecamatan

Payung.

Definisi 1

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada suatu

bidang yang berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu.

Masalah 2

Misalkan Gambar 9.1 pada Masalah 9.1 dipindahkan ke bidang

koordinat cartesius dan gunung Sinabung berpusat di P(0, 0) dan

jari-jarinya r = 3. Misalkan salah satu desa yaitu Sigaranggarang

berada pada titik S(x, y) pada lingkaran tersebut, tentukanlah

persamaan lingkaran tersebut!

Gb 1: peta kabupaten kairo


Sifat 1

Persamaan lingkaran yang berpusat di P(0, 0) dan memiliki jari-jari

r adalah x2 + y2 = r2 Atau dengan kata lain Jika L adalah

himpunan titik-titik yang berjarak r terhadap titik P(0, 0) maka L

{(x, y) | x2 + y2 = r2}

Contoh. 1

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(0, 0)

dengan jari-jari sebagai berikut:

a. 3 b. 4 c. 5 d. 6


a. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(0, 0) dengan

panjang jari-jari 3 adalah x2 + y

2 = 3

2 ⇔ x

2 + y

2 = 9

Alternatif Penyelesaian:

jarak titik S(x, y) ke titik P(0, 0) dapat ditentukan

dengan rumus:

|PS| = (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2

Diketahui bahwa jari-jarinya adalah r dan PS = r,

maka

r = (𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 0)2

(𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 0)2 = r

Kuadratkan kedua ruas sehingga diperoleh

(x – 0)2 + (y – 0)2 = r2 ⇔ x2 + y2 = r2

(x – 0)2 + (y – 0)2 = r2 ⇔ x2 + y2 = r2

Diketahui bahwa r = 3, maka diperoleh

x2 + y2 = 32 ⇔ x2 + y2 = 9

Gb.2: lingkaran pusat P(0,0) dan jari-

jari=3


b. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(0, 0) dengan

panjang jari-jari 4 adalah x2

+ y2 = 4

2 ⇔ x

2 + y

2 = 16

c. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(0, 0) dengan


2 = 5

2 ⇔ x

2 + y

2 = 25

d. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(0, 0) dengan


2 = 6

2 ⇔ x2 + y

2 = 36

Masalah 3

Misalkan gambar pada masalah 1 dipindahkan ke bidang

koordinat Kartesius dan gunung Sinabung berpusat di P(a, b)

dan jari-jarinya r = 3 Misalkan salah satu desa yaitu Sukameriah

berada pada titik S(x, y), tentukanlah persamaan lingkaran

tersebut!


Jarak titik S(x, y) ke titik P(a, b)

adalah |PS| = (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2

Diketahui bahwa jari-jarinya adalah r dan PS = r, maka

r = (𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 0)2

(𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 0)2 = r

Dikuadratkan kedua ruas maka diperoleh

(x – a)2 + (y – b)

2 = r

2

Berdasarkan informasi diketahui bahwa r = 3, maka diperoleh

(x – a)2 + (y – b)

2 = 32 ⇔ (x – a)

2 + (y – b)

2 = 9

Sifat 2

Persamaan lingkaran yang berpusat di P(a, b) dan memiliki jari-jari

r adalah (x – a)2 + (y – b)2 = r2 Atau dengan kata lain Jika L

adalah himpunan titik-titik yang berjarak r terhadap titik P(a, b)

maka L {(x, y) | (x – a)2 + (y – b)2 = r2}

Gb.3: lingkaran pusat P(a,b)

dilalui titik S(x,y)


Contoh 2

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (2, 2) dan

berjari-jari r = 2.

Alternatif penyelesaian

(x – a)2 + (y – b)

2 = r

2

a = 2; b = 2; c = 2

⇔ (x – 2)2

+ (y – 2)2 = 2

2

⇔ (x – 2)2 + (y – 2)

2 = 4

Jadi persamaan lingkaran yang berpusat di

(2, 2) dan berjari-jari r = 2 adalah

(x – 2)2 + (y – 2)2 = 4

Contoh 3

Tentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran berikut!

a. (x – 2)2 + (y + 2)

2 = 4

b. (x + 2)2 + (y + 2)

2 = 9

c. (x + 2)2 + (y – 2)

2 = 16

d. (x + 2)2

+ y2

= 16


a. (x – 2)2 +

(y + 2)2

= 4

⇔ (x – 2)2 + (y + 2)

2 = 2

2

a = 2; b = –2; r = 2

lingkaran tersebut berpusat di titik (2, – 2) dan berjari-jari 2

b. (x + 2)2

+ (y + 2)2 = 9

⇔ (x + 2)2 + (y + 2)

2 = 3

2

a = –2; b = –2; r = 3

Lingkaran tersebut berpusat di titik (–2, –2) dan berjari-jari 3

Gb.4: lingkaran pusat

(2,2) dan r=2


1. Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang berjarak sama terhadap titik tertentu.

2. Persamaan lingkaran adalah sebagai berikut

a. Persamaan lingkaran yang berpusat di P(0, 0) dan memiliki jari-jari r adalah x2 + y2 + r2

b. Persamaan lingkaran yang berpusat di P(a, b) dan memiliki jari-jari r adalah (x – a)2 + (y – b)2 = r2

c. (x + 2)2 + (y – 2)2 = 16

⇔ (x + 2)2 + (y – 2)2 = 42

a = –2; b = 2; r = 4

Lingkaran tersebut berpusat di titik (–2, 2) dan berjari-jari 4

d. (x + 2)2 + (y – 2)2 = 16

⇔ (x + 2)2 + (y – 2)2 = 42

a = –2; b = 2; r = 4

Lingkaran tersebut berpusat di titik (–2, 2) dan berjari-jari 4

8.2.1.2 Kesimpulan


Dari persamaan berikut, manakah yang merupakan

persamaan lingkaran?

a. x + y – 9 = 0

b. x2 + y

2 – 2x + 5y + 4xy - 4 = 0

c. x2 + 9y

2 + 6x - 8y = 25

d. x2

+ y2

- 6x + 5y – 9 = 0



Nama :

No. Absen :

Judul Tugas :






Jumlah Nilai Akhir


…………….,………………..20…



8.2.2.1 Bentuk Umum Persamaan Lingkaran

Pada pembahasan sebelumnya telah dibahas tentang konsep

persamaan lingkaran yaitu :

a. Lingkaran yang berpusat di P(0, 0) dan berjari-jari r

persamaannya adalah

x2 + y

2 = r

2

b. Lingkaran yang berpusat di P(a, b) dan berjari-jari r

persamaannya adalah

(x – a)2 + (y – b)

2 = r

2

Jika diperhatikan kedua bentuk persamaan lingkaran tersebut,

maka dapat langsung diketahui titik pusat lingkaran dan panjang

jari-jarinya. Persamaan tersebut dinamakan bentuk baku persamaan

lingkaran.

Kegiatan 1

Jabarkanlah persamaan (x – a)2 + (y – b)

2 = r

2.


Untuk menyelesaikan persoalan di atas, maka kamu harus

mengingat kembali tentang operasi bentuk aljabar yang telah

kamu pelajari sebelumnya.

Contoh 1

Berdasarkan kegiatan 2.1, diperoleh persamaan a2 + b

2 – r

2 = C

dengan –a = A; –b = B, tentukanlah nilai r.

Alternatif peyelesaian

Karena a2 + b

2 – r

2 = C dan –a = A; –b = B, maka r

2 = A

2 + B

2 –

C2 ⇔ r = ± 𝐴2 + 𝐵2 − 𝐶


Contoh 2

Berdasarkan kegiatan 2.1 diperoleh persamaan x2 + y

2 + 2Ax +

2By + C = 0, ubahlah persamaan tersebut ke dalam persamaan

bentuk baku persamaan lingkaran!


x2

+ y2 + 2Ax + 2By + C = 0

⇔ x2

+ y2

+ 2Ax + 2By = –C

⇔ (x2

+ 2Ax + A2)– A

2 + (y

2 + 2By + B

2)– B

2 = –C

⇔ (x + A)2 + (y + B)

2 = A

2 + B

2 = –C

⇔ (x + A)2 + (y + B)

2 = 𝐴2 + 𝐵2 − 𝐶 2

Berdasarkan penyelesaian Latihan 2 diperoleh bahwa persamaan

(x + A)2 + (y + B)

2 = 𝐴2 + 𝐵2 − 𝐶 2

adalah persamaan

lingkaran yang berpusat di titik P(–A, –B) dan berjari-jari r =

𝐴2 + 𝐵2 − 𝐶

Sifat 3

Bentuk umum persamaan lingkaran adalah x2 + y

2 + 2Ax +

2By + C = 0 dengan titik pusat P(–A, –B) dan berjari-jari dengan r

= 𝐴2 + 𝐵2 − 𝐶 dengan A, B, C bilangan real dan A2 + B

2 ≥ C

Pertanyaan Kritis

1. Berdasarkan Fakta 1 diperoleh bahwa r = 𝐴2 + 𝐵2 − 𝐶 .

Bagaimana jika A2 + B

2 = 0? Apa yang kamu peroleh?

2. Mengapa C2 ≤ A

2 + B

2


Contoh 3

Tentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran yang memiliki

persamaan x2 + y

3 + 10x – 8y + 25 = 0, lalu gambarkan lingkaran

tersebut dalam bidang Kartesius!


x2 + y

3 + 10x – 8y + 25 = 0

A = –5; B = 4, dan C = 25

Titik Pusat (–5, 4)

Jari-jari lingkaran

r = 𝐴2 + 𝐵2 − 𝐶

r = (−5)2 + 42 − 25

8.2.2.2 Rangkuman

Gb.5: Lingkaran x2 + y3 + 10x – 8y +

25 = 0

Bentuk umum persamaan lingkaran adalah x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 dengan

titik pusat P(–A, –B) dan berjari-jari dengan r = 𝐴2 + 𝐵2 − 𝐶 dengan A, B,

C bilangan real dan A2 + B2 ≥ C



1. Misalkan pada bidang koordinat Kartesius desa Sigaranggarang

terletak pada titik (3, -1), desa sukameriah terletak pada titik (5, 3),

dan desa Kutatonggal terletak pada titik (6, 2) yang terkena dalam

radius daerah yang penduduknya harus mengungsi. Tentukanlah letak

gunung Sinabung (titik pusat) dan radiusnya!


Nama :

No. Absen :

Judul Tugas :






Jumlah Nilai Akhir


…………….,………………..20…



8.2.3.1 Materi

1. Pengertian Lingkaran

Dari gambar diatas, titik O adalah pusat lingkaran. Titik A,

B, C, D terletak pada lingkaran, maka OA = OB = OC = OD

adalah jari-jari lingkaran = r.

2. Persamaan Lingkaran yang Berpusat di P (0,0) dan A (a,b)

a. Persamaan Lingkaran Berpusat di Titik P(0,0)

Jika titik S berada pada lingkaran yang berpusat di P

(0,0) maka berlaku PS adalah jari-jari lingkaran, dengan


menggunakan rumus jarak dari titik P(0,0) ke titik S(x,y)

diperoleh :

𝑃𝑆 = 𝑟 = 𝑥 − 0 ² + (𝑦 − 0)²

𝑟² = 𝑥 − 0 ² + (𝑦 − 0)²

𝑟² = 𝑥² + 𝑦²

Jadi persamaan lingkaran yang berpusat di P(0,0) dan

berjari-jari r adalah :

Untuk lebih memahami tentang cara menentukan

persamaan lingkaran berpusat di P(0, 0), pelajarilah contoh

soal berikut.

Contoh soal :

Tentukan persamaan lingkaran, jika diketahui :

1. pusatnya O(0, 0) dan berjari-jari12

2. pusatnya O(0, 0) dan melalui (7, 24)

Penyelesaian :

1. Lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan r = 12 maka

persamaanya :

𝑥² + 𝑦² = 𝑟²

⟺ 𝑥2 + 𝑦2 = 122

⟺ 𝑥2 + 𝑦2 = 144

Jadi persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan r

= 12 adalah 𝑥2 + 𝑦2 = 144

2. Lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan melalui (7, 24)

maka jari-jari r = 𝑥2 + 𝑦2 = 72 + 242 =

49 + 576 = 625 = 25 jadi persamaan lingkaran

𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2


yang berpusat di titik O(0,0) melalui (7, 24) adalah

𝑥2 + 𝑦2 = 25

b. Persamaan Lingkaran Berpusat di Titik A(a,b)

Jika titik A(a, b) adalah pusat lingkaran dan titik B(x, y)

terletak pada lingkaran, maka jari-jari lingkaran r sama

dengan jarak dari A ke B.

𝑟 = 𝑗𝑎𝑟𝑎𝑘 𝐴 𝑘𝑒 𝐵

𝑟² = (𝐴𝐵)²

= 𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 ² + (𝑦 𝐵 − 𝑦𝐴)²

= 𝑥 − 𝑎 ² + (𝑦 − 𝑏)²

Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat di (a, b) dan berjari-

jari r adalah:

Untuk memahami tentang persamaan lingkaran berpusat di

titik A(a, b), perhatikan contoh soal berikut.

𝑥 − 𝑎 ² + 𝑦 − 𝑏 ² = 𝑟²


Contoh soal :

Tentukan persamaan lingkaran, jika diketahui pusatnya (-

2,3) dan berjari-jari 5

Penyelesaian :

Pusat (-2, 3), r =5

Persamaan lingkaran : 𝑥 − −2 ² + 𝑦 − 3 ² = 5²

𝑥 + 2 ² + 𝑦 − 3 ² = 25

𝑥² + 4𝑥 + 4 + 𝑦²− 6𝑦 + 9 = 25

𝑥² + 𝑦² + 4𝑥 − 6𝑦 + 13 = 25

𝑥² + 𝑦² + 4𝑥 − 6𝑦 − 12 = 25

3. Menentukan Pusat dan Jari-jari Lingkaran yang

Persamaanya diketahui

Berdasarkan persamaan lingkaran dengan pusat (a, b) dan

berjari-jari r adalah:

𝑥 − 𝑎 2 + 𝑦 − 𝑏 2 = 𝑟2

𝑥²− 2𝑎𝑥 + 𝑎² + 𝑦²− 2𝑏𝑦 + 𝑏² = 𝑟²

𝑥² + 𝑦²− 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑎² + 𝑏² = 𝑟²

𝑥² + 𝑦²− 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑎² + 𝑏²− 𝑟² = 0

Jika −2𝑎 = 2𝐴,−2𝑏 = 2𝐵 𝑑𝑎𝑛 𝑎² + 𝑏² = 𝐶, maka

diperoleh bentuk umum persamaan lingkaran :

𝑥² − 𝑦² + 2𝐴𝑥 + 2𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 , dimana pusatnya

(−𝐴,−𝐵) dan jari-jari lingkaran

𝑟 = 𝑎² + 𝑏² − 𝐶² 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑟 = 𝐴² + 𝐵²− 𝐶


Untuk lebih memahaminya, pelajarilah contoh berikut :

Contoh soal 1

Tentukan koordinat pusat dan panjang jari-jari lingkaran

apabila diketahui persamaan lingkaran sebagai berikut.

𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 − 6𝑦 − 15 = 0

Penyelesaian :

𝑥² + 𝑦²− 2𝑥 − 6𝑦 − 15 = 0

𝑥² + 𝑦² + 2𝐴𝑥 + 2𝐵𝑦 + 𝐶 = 0

Maka diperoleh :

2𝐴 = −2 2𝐵 = −6 𝐶 = −15

𝐴 = −1 𝐵 = −3

𝑟 = 𝐴² + 𝐵²− 𝐶

= −1 ² + −3 ²− (−15)

= 1 + 9 + 15 = 25 = 5

Jadi ,pusat lingkaran (1, 3) dan jari-jari lingkaran = 5

Contoh soal 2

Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik (3, -1), (5,

3), dan (6 , 2) kemudian tentukan pula pusat lingkaran dan

jari-jari lingkaran.

Penyelesaian :

Persamaan lingkaran adalah 𝑥² + 𝑦² + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0


Melalui (3 ,-1) maka :

𝑥² + 𝑦² + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0

3² + −1 ² + 𝑎. 3 + 𝑏. −1 + 𝑐 = 0

9 + 1 + 3𝑎 − 𝑏 + 𝑐 = 0

3𝑎 − 𝑏 + 𝑐 + 10 = 0 …… (1)

Melalui (5, 3) , maka :

𝑥2 + 𝑦2 + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0

5² + 3² + 𝑎. 5 + 𝑏. 3 + 𝑐 = 0

25 + 9 + 5𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 = 0

5𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 + 34 = 0 …… (2)


𝑥2 + 𝑦2 + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0

6² + 2² + 𝑎. 6 + 𝑏. 2 + 𝑐 = 0

36 + 4 + 6𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 = 0

6𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 + 40 = 0 …… (3)

Dari persamaan (1) dan (2) :

3𝑎 − 𝑏 + 𝑐 + 10 = 0

5𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 + 34 = 0

−2𝑎 + −4𝑏 + 0− 24 = 0

𝑎 + 2𝑏 + 12 = 0 …… (4)



5𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 + 34 = 0

6𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 + 40 = 0

−𝑎 + 𝑏 − 6 = 0

𝑎 − 𝑏 + 6 = 0 …… (5)


𝑎 + 2𝑏 + 12 = 0

𝑎 − 𝑏 + 6 = 0

3𝑏 + 6 = 0

𝑏 = −2

b = - 2 disubtitusikan ke persamaan (5) :

𝑎 − 𝑏 + 6 = 0

𝑎 + 2 + 6 = 0

𝑎 + 8 = 0

𝑎 = −8

a = - 8 ,b = - 2 disubtitusikan ke persamaan (1) :

3𝑎 − 𝑏 + 𝑐 + 10 = 0

3(−8)− (−2) + 𝑐 + 10 = 0

−24 + 2 + 𝑐 + 10 = 0

𝑐 = 12

Jadi persamaan lingkaran adalah :

𝑥² + 𝑦² + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0


𝑥² + 𝑦²− 8𝑥 − 2𝑦 + 12 = 0

Maka diperoleh :

2𝐴 = −8 2𝐵 = −2 𝐶 = 12

𝐴 = −4 𝐵 = −1

𝑟 = 𝐴² + 𝐵²− 𝐶

= −4 ² + −1 ²− 12

= 16 + 1 − 12 = 5

Jadi, pusat −𝐴,−𝐵 = (4,1) dan jari-jari 𝑟 = 5

8.2.3.2 Rangkuman

1. Lingkaran adalah tempat kedudukan atau himpunan titik - titik yang

berjarak sama terhadap suatu titik tertentu.

2. Persamaan lingkaran yang berpusat di P(0,0) dan berjari-jari r adalah

𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2

3. Persamaan lingkaran yang berpusat di (a, b) dan berjari-jari r adalah

𝑥 − 𝑎 2 + 𝑦 − 𝑏 2 = 𝑟2

4. Bentuk umum persamaan lingkaran 𝑥²− 𝑦² + 2𝐴𝑥 + 2𝐵𝑦 + 𝐶 = 0

dimana pusatnya (−𝐴,−𝐵) dan jari-jari lingkaran

𝑟 = 𝑎2 + 𝑏2 − 𝐶2 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑟 = 𝐴2 + 𝐵2 − 𝐶



Kerjakan soal-soal dibawah ini secara tepat !

1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(0, 0) dengan

jari-jari sebagai berikut:

a. 3 b. 5

2. Tentukan persamaan lingkaran, jika diketahui pusatnya (4, 5) dan

menyinggung sumbu X.

3. Tentukan persamaan lingkaran, jika diketahui pusat (5, 2) dan melalui

(-4, 1).

4. Tentukan koordinat pusat dan panjang jari-jari lingkaran apabila

diketahui persamaan lingkaran sebagai berikut.

2𝑥2 + 2𝑦2 − 4𝑥 + 3𝑦 = 0


Nama :

No. Absen :

Judul Tugas :






Jumlah Nilai Akhir


…………….,………………..20…



8.2.4.1 Kedudukan Titik dan Garis Terhadap Lingkaran

a. Kedudukan Titik 𝑨 𝒙,𝒚 Terhadap Lingkaran 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒓𝟐

Berdasarkan gambar diatas persamaan lingkaran adalah

𝑥2 + 𝑦2 = 25

Untuk titik A (2,-1) jika disubtitusikan dalam persamaan

lingkaran 𝑥2 + 𝑦2 = 25 , maka diperoleh

2² + −1 ² = 4 + 1 = 5 ⟹ 5 < 25

Artinya titik (2,-1) terletak didalam lingkaran 𝑥2 + 𝑦2 = 25

Untuk titik B (5,0) jika disubtitusikan dalam persamaan


5² + 0² = 25 + 0 = 25 ⟹ 25 = 25

Artinya titik (5,0) terletak pada lingkaran 𝑥2 + 𝑦2 = 25

Untuk titik C (5,4) jika disubtitusikan dalam persamaan


5² + 4² = 25 + 16 = 41 ⟹ 41 > 25

Artinya titik (2,-1) terletak diluar lingkaran 𝑥2 + 𝑦2 = 25

sehingga dapat disimpulkan bahwa :

1. Titik 𝑃 𝑥,𝑦 terletak di dalam lingkaran, jika berlaku

𝑥2 + 𝑦2 < 𝑟2

2. Titik 𝑃 𝑥,𝑦 terletak pada lingkaran, jika berlaku 𝑥² + 𝑦² = 𝑟²

3. Titik 𝑃 𝑥,𝑦 terletak diluar lingkaran, jika berlaku 𝑥2 + 𝑦2 > 𝑟2


Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal berikut :

Contoh soal

Tentukan posisi titik-titik berikut terhadap lingkaran 𝑥² +

𝑦² = 𝑟²

1. 𝐴 3,1

2. 𝐵 −3,4

Penyelesaian :

1. A 3,1 ⟹ 𝑥² + 𝑦² = 3² + 1² = 9 + 1 = 10 < 25

Jadi A(3, 1) terletak didalam lingkaran 𝑥² + 𝑦² = 𝑟²

2. 𝐵 −3,4 ⟹ 𝑥2 + 𝑦2 = −3 2 + 42 = 9 + 16 = 25 =

25

Jadi titik B(-3, 4) terletak pada lingkaran 𝑥² + 𝑦² = 𝑟²

b. Kedudukan Titik 𝑨(𝒙,𝒚) Terhadap Lingkaran 𝒙 − 𝒂 ² +

𝒚 − 𝒃 ² = 𝒓²

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut :

Contoh soal :

Tentukan posisi titik-titk berikut terhadap lingkaran 𝑥2 +

𝑦2 − 6𝑥 + 8𝑦 = 0

1.𝐴(0,0) 2.𝐵(2,1)

Penyelesaian :

1. 𝐴 0,0 ⟹ 𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 + 8𝑦 = 0 + 0− 6.0 + 8.0

= 0 + 0 + 0 + 0 = 0

Jadi titik 𝐴 0,0 terletak pada lingkaran

𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 + 8𝑦 = 0

𝑥 − 𝑎 ² + 𝑦 − 𝑏 ² < 𝑟²

𝑥 − 𝑎 2 + 𝑦 − 𝑏 2 = 𝑟

𝑥 − 𝑎 ² + 𝑦 − 𝑏 ² > 𝑟

1. Titik 𝐴(𝑥,𝑦) terletak didalam lingkaran, jika berlaku

2. Titik 𝐴 𝑥,𝑦 terletak pada lingkaran, jika berlaku

3. Titik 𝐴(𝑥,𝑦) terletak di luar lingkaran, jika berlaku


2. 𝐵 2,1 ⟹ 𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 + 8𝑦 = 2² + 1² − 6.2 + 8.1

= 4 + 1 − 12 + 8 = 1 > 0

Jadi titik 𝐵 2,1 terletak pada lingkaran

𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 + 8𝑦 = 0

c. Posisi Garis Terhadap Lingkaran

Misalkan g garis dengan persamaan y = ax + b dan L

lingkaran dengan persamaan x2 + y

2 = r

2 Kedudukan garis g

terhadap sebuah lingkaran ditentukan oleh nilai diskriminan

𝐷 = 1 + 𝑎² 𝑟²− 𝑏², yaitu:


Contoh soal :

Diberikan sebuah garis 2x + y = 2 dan lingkaran x2 + y

2 = 9,

selesaikanlah sistem persamaan linear-kuadrat tersebut!

Kemudian tentukan nilai diskriminannya.

𝐵(𝑥2 ,𝑦2) Y

X 0

Y

X

0

Y

X 0

𝐴(𝑥𝑎 ,𝑦𝑏)

𝐴(𝑥1 ,𝑦1)

(i) (ii) (iii)

g


Penyelesaian :

2𝑥 + 𝑦 = 2 ⟺ 𝑦 = 2 − 2𝑥 …… (1)

𝑥² + 𝑦² = 5 …… (2)

Subtitusikan persamaan 1 ke 2

𝑥2 + 2− 2𝑥 2 = 5

⟺ 𝑥2 + 4− 8𝑥 + 4𝑥2 = 5

⟺ 5𝑥2 − 8𝑥 − 1 = 0

Sehingga selesaian dari sistem persamaan linear-kuadrat

tersebut adalah 5x2 – 8x – 1 = 0, dengan nilai diskriminan

𝐷 = 𝑏²− 4𝑎𝑐 = −8 ²− 4 5 −1 = 64 + 20 = 84


8.2.4.2 Rangkuman

1. Kedudukan titik 𝐴 𝑥,𝑦 Terhadap Lingkaran 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2

a. Titik 𝑃 𝑥,𝑦 terletak di dalam lingkaran, jika 𝑥2 + 𝑦2 <

𝑟2

b. Titik 𝑃 𝑥,𝑦 terletak pada lingkaran, jika berlaku

𝑥² + 𝑦² = 𝑟²

c. Titik 𝑃 𝑥,𝑦 terletak diluar lingkaran, jika berlaku

𝑥2 + 𝑦2 > 𝑟2

2. Kedudukan titik 𝐴 𝑥,𝑦 Terhadap lingkaran 𝑥 − 𝑎 2 +

𝑦 − 𝑏 2 = 𝑟2

a. Titik 𝐴(𝑥,𝑦) terletak didalam lingkaran, jika berlaku

𝑥 − 𝑎 ² + 𝑦 − 𝑏 ² < 𝑟²

b. Titik 𝐴 𝑥,𝑦 terletak pada lingkaran, jika berlaku

𝑥 − 𝑎 2 + 𝑦 − 𝑏 2 = 𝑟

c. Titik 𝐴(𝑥,𝑦) terletak di luar lingkaran, jika berlaku

𝑥 − 𝑎 ² + 𝑦 − 𝑏 ² > 𝑟

3. Kedudukan garis g terhadap sebuah lingkaran ditentukan oleh

nilai diskriminan 𝐷 = 1 + 𝑎² 𝑟²− 𝑏², yaitu:

a. D > 0 ⇔ garis g memotong lingkaran di dua titik yang

berlainan

b. D = 0 ⇔ garis g menyinggung lingkaran

c. D < 0 ⇔ garis g tidak memotong maupun menyinggung

lingkaran



Kerjakan soal-soal dibawah ini secara tepat !

1. Tentukan posisi titik 𝐶 5,−6 terhadap lingkaran 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2

2. Tentukan posisi titik 𝐶(3,−2) terhadap lingkaran

𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 + 8𝑦 = 0

3. Diberikan sebuah garis –x + y = 3 dan lingkaran x2 + y

2 = 5 ,

selesaikan-lah sistem persamaan linear-kuadrat tersebut! Kemudian

tentukan nilai diskriminannya.


Nama :

No. Absen :

Judul Tugas :






Jumlah Nilai Akhir


…………….,………………..20…



8.2.5.1 Persamaan Garis Singgung

1. Persamaan Garis Singgung melalui Suatu Titik pada

Lingkaran berpusat P(0, 0) dan berjari-jari r

Misalnya titik A(x1, y1) terletak pada sebuah lingkaran yang

berpusat di O(0, 0) dan berjari-jari r yaitu, x2

+ y2 = r

2.

Asumsikan x1 ≠ 0 dan y1 ≠ 0 Gradien garis PA adalah 𝑚𝑜𝑝 =𝑦1

𝑥1 ,

garis singgung g tegak lurus dengan garis PA. Gradien garis g

adalah 𝑚𝑔 = −1

𝑚𝑜𝑝= −

1𝑦1𝑥1

= −𝑥1

𝑦1. Akibatnya, persamaan garis

singgung g adalah :

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚𝑔 𝑥 − 𝑥1

⟺ 𝑦 − 𝑦1 = −𝑥1

𝑦1 𝑥 − 𝑥1

⟺ 𝑦 − 𝑦1 𝑦1 = −𝑥1 𝑥 − 𝑥1

⟺ 𝑦𝑦1 − 𝑦12 = −𝑥1𝑥 + 𝑥1

2

⟺ 𝑦𝑦1 + 𝑥1𝑥 = 𝑥12 + 𝑦1

2

Karena A(x1, y1) terletak pada lingkaran x2 + y

2 = r

2, maka

diperoleh x12 y1

2 r. Jadi, persamaan garis singgung lingkaran

yang berpusat di titik P(0, 0) dan berjari-jari r yang melalui titik

A(x1, y1) pada lingkaran x2 + y

2 = r adalah x1x + y1y = r

2

P(0,0

)

r

X

g

A(𝑥1 ,𝑦1)

Y



Contoh soal

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang melalui

titik (2, 0) dengan pusat P(0,0) dan berjari-jari 3

Penyelesaian :

Persamaan lingkaran dengan pusat (0, 0) dan berjari-jari 3

adalah x2 + y

2 = 9 Persamaan garis singgung lingkaran x

2 + y

2

= 9 yang melalui titik (2, 0) adalah

𝑥1𝑥 + 𝑦1𝑦 = 𝑟2

⟺ 𝑥1𝑥 + 𝑦1𝑦 = 9

⟺ 𝑥 2 + 𝑦 0 = 9

⟺ 2𝑥 − 9 = 0

Jadi persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat (0, 0)

dan berjari-jari 3 adalah 2x – 9 = 0

2. Persamaan Garis Singgung melalui Suatu Titik pada

Lingkaran berpusat P (a, b) dan berjari-jari r

Misalkan titik 𝐴(𝑥1,𝑦1) terletak pada lingkaran 𝑥 − 𝑎 ² +

𝑦 − 𝑏 ² = 𝑟². Gradient garis PA adalah 𝑚𝑃𝐴 =𝑦1−𝑏

𝑥1−𝑎

Garis singgung 𝑔 tegak lurus garis PA, sehingga gradien garis

singgung 𝑔 adalah 𝑚𝑔 = −1

𝑚𝑃𝐴=

𝑥1−𝑎

𝑦1−𝑏

Persamaan garis singgung 𝑔 adalah


𝑦 − 𝑦1 𝑚𝑔 𝑥 − 𝑥1

⟺ 𝑦− 𝑦1 = −𝑥1−𝑎

𝑦1−𝑏 𝑥 − 𝑥1

⟺ 𝑦 − 𝑦1 𝑦1 − 𝑏 = − 𝑥1 − 𝑎 𝑥 − 𝑥1

⟺ 𝑦𝑦1 − 𝑦𝑏 − 𝑦1𝑦1 + 𝑦1𝑏 = − 𝑥1𝑥 − 𝑥1𝑥1 − 𝑎𝑥 + 𝑎𝑥1

⟺ 𝑦𝑦1 − 𝑦𝑏 − 𝑦1𝑦1 + 𝑦1𝑏 = −𝑥1𝑥 + 𝑥1𝑥1 + 𝑥𝑎 − 𝑥 1𝑎

⟺ 𝑥1𝑥 − 𝑥𝑎 + 𝑥1𝑎 + 𝑦𝑦1 − 𝑦𝑏 + 𝑦1𝑏 = 𝑥12 + 𝑦1

2

Karena 𝐴(𝑥1,𝑦1) terletak pada lingkaran 𝑥 − 𝑎 ² + 𝑦 − 𝑏 ² =

𝑟², maka diperoleh :

(𝑥1 − 𝑎)² + (𝑦1 − 𝑏)2 = 𝑟2

⟺ 𝑥12 − 2𝑥1𝑎 + 𝑎2 + 𝑦1

2 − 2𝑦1𝑏 + 𝑏2 = 𝑟2

⟺ 𝑥12 + 𝑦1

2 = 𝑟2 + 2𝑥1𝑎 − 𝑎2 + 2𝑦1𝑏 − 𝑏

2

Subtitusikan 𝑥12 + 𝑦1

2 = 𝑟2 + 2𝑥1𝑎 − 𝑎2 + 2𝑦1𝑏 − 𝑏

2 ke

persamaan garis singgung di atas diperoleh,

𝑥1𝑥 − 𝑥𝑎 + 𝑥1𝑎 + 𝑦𝑦1 − 𝑦𝑏 + 𝑦1𝑏 = 𝑟2 + 2𝑥1𝑎 − 𝑎2 +

2𝑦1𝑏 − 𝑏2

⟺ 𝑥1𝑥 – 𝑥𝑎 + 𝑥1𝑎 + 𝑎2 + 𝑦𝑦1 – 𝑦𝑏 + 𝑦1𝑏 +

𝑏2 = 𝑟2

⟺ 𝑥 − 𝑎 𝑥1 − 𝑎 + 𝑦 − 𝑏 𝑦1 − 𝑏 = 𝑟2

Jadi persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di titik

𝑃(𝑎, 𝑏) dan berjari-jari r yang melalui titik 𝐴 𝑥1,𝑦1 pada

lingkaran

𝑥 − 𝑎 ² + 𝑦 − 𝑏 ² = 𝑟² adalah

𝑥 − 𝑎 𝑥1 − 𝑎 + 𝑦 − 𝑏 𝑦1 − 𝑏 = 𝑟²

Contoh soal

Persamaan garis singgung yang melalui titik (𝑥1 − 𝑦1)

pada lingkaran 𝑥 − 𝑎 ² + 𝑦 − 𝑏 ² = 𝑟² adalah 𝑥 −

𝑎 𝑥1 − 𝑞 + 𝑦1 − 𝑏 = 𝑟²


Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang melalui

titik (2, 4) dengan persamaan lingkarannya adalah (x – 1)2 +

(y – 2)2 = 5.

Penyelesaian :

Persamaan garis singgung lingkaran (𝑥 – 1)² + (𝑦 – 2)² =

5 yang melalui titik (2, 4)

𝑥 − 𝑎 𝑥1 − 𝑎 + 𝑦 − 𝑏 𝑦1 − 𝑏 = 𝑟2

⟺ 𝑥 − 𝑎 𝑥1 − 𝑎 + 𝑦 − 𝑏 𝑦1 − 𝑏 = 5

⟺ 𝑥 − 1 + 2− 1 + 𝑦 − 2 4− 2 = 5

⟺ 𝑥 − 1 1 + 𝑦 − 2 2 = 5

⟺ 𝑥 − 1 + 2𝑦 − 4 = 5

⟺ 𝑥 + 2𝑦 = 0

Jadi persamaan garis singgung lingkaran (x – 1)2

+ (y – 2)2 =

5 adalah x + 2y = 0

3. Persamaan Garis Singgung Lingkaran melalui Suatu Titik

di Luar Lingkaran

Misalkan titik A(x1, y1) terletak di luar lingkaran. Terdapat dua

garis singgung lingkaran yang melalui titik A(x1, y1) ,

Langkah-langkah untuk menentukan persamaan garis

singgungnya adalah sebagai berikut:

1. Misalkan gradien garis singgung yang melalui titik A(x1, y1)

adalah m sehingga diperoleh persamaan.


2. Dari langkah 1 substitusikan nilai y = mx – mx1 + y1 ke dalam

persamaan lingkaran, sehingga diperoleh persamaan kuadrat

dalam variabel x, kemudian tentukan nilai diskriminannya,

dari persamaan kuadrat tersebut.

3. Karena garis singgung itu merupakan garis lurus dan

menyinggung lingkaran akibatnya nilai diskriminan nol,

Setelah itu carilah nilai m. Selanjutnya nilai m tersebut

substitusikan ke persamaan y = mx – mx1 + y1 sehingga

diperoleh persamaan-persamaan garis singgung tersebut.

Contoh soal

Tentukanlah persamaan garis singgung lingkaran dengan

pusat P(0, 0) dan berjari-jari 5 yang melalui titik (7, 1).

Penyelesaian :

Titik (7, 1) berada di luar lingkaran x2

+ y2 = 25 sebab jika

titik (7, 1) disubstitusikan ke persamaan lingkaran tersebut

diperoleh

72 + 12 = 50 > 25

Persamaan lingkaran dengan pusat P(0, 0) dan berjari-jari 5

adalah x2

+ y2

= 25

Garis yang melalui titik (7, 1) dengan gradient m, memiliki

persamaan

y = mx – mx1 + y1

⇒ y = mx –7m + 1

Subtitusikan nilai 𝑦 = 𝑚𝑥 − 7𝑚 + 1 ke persamaan lingkaran

𝑥² + 𝑦² = 25 , diperoleh

𝑥2 𝑚𝑥 − 7𝑚 + 1 2 = 25

⟺ 𝑥2 +𝑚2𝑥2 − 49𝑚2 + 1 − 14𝑚2𝑥 + 2𝑚 − 14𝑚 = 25


⟺ 1 +𝑚2 𝑥2 + 2𝑚 − 14𝑚2 𝑥 + −49𝑚2 − 14𝑚 −

24=0

Selanjutnya di tentukan nilai diskriminan 𝐷 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐

𝐷 = 2𝑚− 14𝑚2 2 − 4 1 +𝑚2 49𝑚2 − 14𝑚 − 24

= 4𝑚2 − 56𝑚3 + 196𝑚4 − 4(49𝑚2 − 14𝑚 − 24 +

49𝑚4 − 14𝑚3 − 24𝑚2

= 4𝑚2 − 56𝑚𝑚3 + 1196𝑚4 − 196𝑚2 + 56𝑚 + 96 −

196𝑚4 − 56𝑚3 + 96𝑚²

= 4𝑚² + 96𝑚²− 196𝑚2 + 56𝑚 + 96

Syarat 𝐷 = 0

−96𝑚2 + 56𝑚 + 96 = 0

⟺ 96𝑚2 + 56𝑚 + 96 = 0

⟺ 12𝑚2 − 7𝑚 − 12 = 0

⟺ 4𝑚 + 3 3𝑚 − 4 = 0

⟺𝑚 = −3

4 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑚 =

4

3

Sehingga diperoleh persamaan garis singgung

3𝑥 − 4𝑦 − 25 = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 4𝑥 − 3𝑦 − 25 = 0


8.2.5.2 Rangkuman

1. Persamaan garis singgung yang melalui titik (x1, y1) pada lingkaran x2

+ y2 = r

2 adalah x1x + y1y = r

2

2. Persamaan garis singgung yang melalui titik (𝑥1 − 𝑦1) pada lingkaran

𝑥 − 𝑎 2 + 𝑦 − 𝑏 2 = 𝑟2 adalah 𝑥 − 𝑎 𝑥1 − 𝑞 + 𝑦1 − 𝑏 = 𝑟2

3. Langkah-langkah untuk menentukan persamaan garis singgung di luar

lingkaran adalah sebagai berikut:

a. Misalkan gradien garis singgung yang melalui titik A(x1, y1) adalah

m sehingga diperoleh persamaan.

b. Dari langkah 1 substitusikan nilai y = mx – mx1 + y1 ke dalam

persamaan lingkaran, sehingga diperoleh persamaan kuadrat dalam

variabel x, kemudian tentukan nilai diskriminannya, dari persamaan

kuadrat tersebut.

c. Karena garis singgung itu merupakan garis lurus dan menyinggung

lingkaran akibatnya nilai diskriminan nol, Setelah itu carilah nilai

m. Selanjutnya nilai m tersebut substitusikan ke persamaan y = mx

– mx1 + y1 sehingga diperoleh persamaan-persamaan garis singgung

tersebut.


1. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik

(0,4) dengan pusat P(0,0) dan berjari-jari 3

2. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik (2,3)

dengan persamaan lingkarannya adalah (x – 1)2 + (y – 2)

2 = 4.



Nama :

No. Absen :

Judul Tugas :






Jumlah Nilai Akhir


…………….,………………..20…


8.3 EVALUASI

8.3.1 Soal Evaluasi

1. Pusat dan jari-jari lingkaran dengan persamaan x2

+ y2 + 4x – 6y – 12 =

0 adalah…

2. Lingkaran x2

+ y2 + 4x + by – 12 = 0 melalui titik (1,7). Pusat ligkaran

itu adalah…

3. Diketahui ligkaran 2x2

+ 2y2 – 4x + 3py – 30 = 0 melelui titik (-2,1).

Persamaan lingkaran yang sepusat tetapi panjang jari-jarinya duakali

panjang jari-jari lingkaran tadi adalah…..

4. Tentukan persamaan lingkaran, jika diketahui :

a. pusatnyaO(0, 0) danberjari-jari12

b. pusatnyaO(0, 0) danmelalui (7, 24)

5. Tentukan persamaan lingkaran, jika diketahui:

a. pusatnya (-2,3) danberjari-jari5

b. pusatnya (5, 2) danmelalui (-4,1)

c. pusatnya (4, 5) danmenyinggungsumbu X.

6. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan melalui

titik A(3,4)

7. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di P(4, 3) dan r = 6

8. Lingkaran x2 + y

2 + 4x + by – 12 = 0 melalui titik (1, 7), tentukan pusat

lingkaran tersebut !

9. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran x2 + y

2 – 6x + 8y – 24 = 0

10. Tanpa menggambar pada bidang kartesius tentukan posisi titik A(1,2)

terhadap lingkaran x2 + y

2 + 6x – 2y + 3 = 0

11. Diberikan titik A(6, 8) dan L x2 + y

2 = 49. Hitunglah jarak terdekat

titik A ke lingkaran L !

12. Tentukan posisi garis y= 3x + 2 terhadap Lx2 + y

2 + 4x – y + 1= 0

13. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran : L (x + 3)2 + (y – 2)

2

= 58 di titik B(0, 9)

14. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran (x + 2)2 + (y – 1)

2 =4

yang sejajar dengan garis 3x + 4y – 1 = 0


15. Tentukan persamaangaris singgung lingkaran L x2 + y

2 – 2x + 6y + 5

= 0 yang tegak lurus garis x + 2y = 5


Nama :...........................

Kelas :...........................

No. Absen :...........................

Judul Tugas :...........................




hasilnya 0 – 60



Jumlah


Jumlah Nilai Akhir


....................,......................Th.......


BAB 9


9.1 PENDAHULUAN

9.1.1 Deskripsi

Modul ini berisi tentang suku banyak yang meliputi pengertian,

rumus umum, nilai suku banyak,danoperasi antar suku banyak.

9.1.2 Prasyarat

Dalam mempelajari modul ini diperlukan prasyarat yakni

memahami konsep aljabar, pemfaktoran.


a. Mempelajari daftar isi serta kedudukan modul dengan cermat dan

teliti.

b. Kerjakan soal-soal dalam latihan untuk mengukur seberapa jauh

anda menguasai materinya.

c. Apabila dari soal tes formatif anda mendapat score (nilai) 75 maka

anda dapat menuju evaluasi. Apabila anda mendapat score (nilai)

skurang dari 75 maka anda harus mengikuti kegiatan belajar.

d. Perhatikan langkah-langkah dalam mengerjakan soal latihan dengan

benar untuk mempermudah pemahaman anda tentang materi yang

disampaikan.

e. Pahami konsep dan rumus-rumus yang terdapat dalam modul dengan

teliti untuk mempermudah anda dalam mengerjakan soal latihan.

f. Untuk menjawab soal latihan usahakan jawaban singkat, jelas sesuai

kemampuan anda.

g. Bila anda mengalami kesulitan dalam mempelajari dan memahami

modul ini, catatlah kemudian mintalah bantuan kepada guru maupun

mentor anda.

9.1.4 Tujuan Akhir

1. Setelah siswa mempelajari modul ini siswa diharapkan dapat

memahami pengertian suku banyak.

2. Setelah siswa mempelajari modul ini siswa diharapkan dapat

memahami pembagian teorema sisa suku banyak.


3. Siswa mampu memahami rumus-rumus yang berkaitan dengan suku

banyak dan teorema fektor suku banyak.

4. Siswa mampu memahami akar-akar pada suku banyak.

5. Siswa mampu menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan suku

banyak.

6. Dalam kegiatan belajar mengajar siswa terlibat aktif dan dapat

bertanggung jawab memberi saran, kritik, dan dapat bekerjasama

dengan siswa lainnya.

9.1.5 Kompetensi

Kode Unit:

Judul Unit: Suku Banyak (6 x 45 menit)

Uraian Unit: Unit ini berlaku untuk menentukan Nilai Suku Banyak dengan

berbagai cara.


1. Pengertian dan rumus umum

Suku Banyak.

1.1. Memahami pengertian Suku Banyak.

1.2. Memahami rumus umum Suku

Banyak.

1.3. Mengerjakan soal-soal dengan baik

yang berkaitan dengan rumus umum

Suku Banyak.

2. Nilai Suku Banyak. 2.1.Memahami Nilai Suku Banyak

dengan cara substitusi.

2.2.Memahami Nilai Suku Banyak

dengan cara skema.

2.3.Menentukan Nilai Suku Banyak

dengan carasubstitusi dan skema.

3. Operasi Antar – Suku

Banyak

3.1.Memahami penjumlahan Suku

Banyak.

3.2.Menyelesaikan soal yang berkaitan

dengan penjumlahan SukuBanyak.

3.3.Memahami pengurangan Suku

Banyak


dengan pengurangan Suku Banyak.

3.5.Memahami perkalian Suku Banyak.


dengan perkalian Suku Banyak.

3.7.Memahami pembagian Suku Banyak


dengan pembagian Suku Banyak.

4. Pembagian teorema pada

Suku Banyak.

4.1. Memahami Teorema Sisa Suku

Banyak.

4.2. Memahami pembagian Teorema


Sisa pada Suku Banyak.

4.3. Mengerjakan soal-soal dengan baik

yang berkaitan dengan pembagian

Teorema Sisa Suku Banyak.

5. Teorema Faktor 5.1.Memahami pengertian Teorema

Faktor Suku Banyak.

5.2.Menentukan faktor-faktor Suku

Banyak

5.3.Mengerjakan soal-soal yang

berkaitan dengan Teorema Faktor.

6. Akar-akar Suku Banyak 6.1.Memahami Fungsi Derajat Tiga akar-

akar pada suku banyak.

6.2.Memahami Fungsi Derajat Empat

pada Suku Banyak.

6.3. Mengerjakan soal-soal yang

berkaitan dengan Fungsi Derajat

Akar-akar pada Suku Banyak.‟

Acuan Penilaian

1. Uji kompetensi ini dapat diujikan secara langsung kepada pesertauji.

2. Aspek-aspek kritikal yang dinilai

Mampu memahami rumus-rumus Suku Banyak.

Mampu mengerjakan soal dengan baik yang berkaitan dengan Suku

Banyak.

3. Sikap yang dituntut

Siswa mampu mengerjakan soal dengan tepat dan teliti.


9.1.6 Cek Kemampuan

Petunjuk:

Berilah tanda (√) pada kolom jawaban Ya atau Tidak.

No. Pertanyaan Ya Tidak

1. Apakan anda mengenal Suku Banyak?

2. Apakah memahami pembagian Teorema suku

banyak?

3. Apakah anda memahami rumus-rumus Suku

Banyak dan Teorema faktor suku banyak?

4. Apakah anda memahami Akar-akar pada Suku

Banyak?

5. Apakah anda dapat menyelesaikan soal-soal yang

berkaitan dengan Suku Banyak?

6. Apakah dalam kegiatan belajar mengajar anda

termasuk siswa yang aktif?

Score(Nilai)

…………..,………..20….


PETA KONSEP


9.2 PEMBAHASAN


1. Pada setiap kegiatan belajar, pahamilah tujuan kegiatan belajar, untuk

mengetahui kemampuan siswa sejauh mana materi yang harus dicapai.

2. Pada setiap kegiatan belajar buku panduan dan modul selalu dibawa

sebagai panduan siswa.

3. Sebelum dimulai mengerjakan latihan soal siswa harus memahami

secara baik rumus-rumus Suku Banyak.

4. Kerjakanlah latihan soal dengan baik dan sungguh-sungguh, jika

mengalami kesulitan mintalah bantuan gurumaupun mentor anda.


9.2.2.1 Pengertian Suku Banyak

Suku Banyak /polinom adalah bentuk suku-suku dengan banyak

terhingga yang disusun dari variable dan konstanta. Suatu Suku

Banyak berderajat n secara umum dapat dinyatakan dalam bentuk

berikut:

dengan

𝑎𝑛 ,𝑎𝑛−1 ,𝑎𝑛−2,…𝑎0merupakan konstanta dan disebut koefisien

suku,

𝑎𝑛 ≠ 0,𝑛 ∈ 𝐶

𝑎𝑛𝑥𝑛disebut suku utama,

𝑎0 disebut suku tetap atau konstanta,

𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥

𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑥𝑛−2 +⋯+ 𝑎1𝑥+ 𝑎0


𝑎𝑛disebut konstanta utama.

Pangakat tertinggi variable x pada suku banyak yang bersangkutan

disebut derajat suku banyak.Penulisan suku banyak biasanya

disusun menurut pangkat turun dari variabel tersebut. Pangkat yang

tertinggi diletakkan pada urutan paling depan, sedangkan yang

berpangkat lebih kecil berada disebelah kanannya. Perhatikan

beberapa bentuk berikut untuk mengenali suku banyak.

a. 𝑥2 − 3𝑥 + 2, merupakan suku banyak berderajat 2 dengan

koefisien𝑥2 adalah 1,

koefisienx adalah -3,

konstanta atau suku tetap adalah 2.

b. 5𝑥3 + 3𝑥 − 2,merupakan suku banyak berderajat 3, dengan

koefisien𝑥3 adalah 5

koefisien𝑥2 adalah 0

koefisienx adalah 3

konstanta atau suku tetap adalah -2.

c. 4, merupakan suku banyak berderajat 0, dengan konstanta atau

suku tetap 4.

d. 𝑥 + 7𝑥2 − 2𝑥 + 5, bukan merupakan suku banyak karena

pangkat pada suku pertama bukan bilangan bulat non negative.

e. 2

𝑥+ 𝑥2 + 4, bukan merupakan suku banyak karena pangkat pada

suku pertama bukan bilangan bulat non-negatif.

Contoh:

Susunlah bentuk berikut menurut pangkat turun dari variabel x,

dan tentukan derajatnya:

a. 1 − 7𝑥 + 𝑥3 − 6𝑥2 = 𝑥3 − 6𝑥2 − 7𝑥 + 1(berderajat 3)

b. 4 − 3𝑥 + 2𝑥 − 3 2 = 4− 3𝑥 + 2𝑥 − 3 2𝑥 − 3

= 4 − 3𝑥 + 4𝑥2 − 12𝑥 + 9

= 4𝑥2 − 15𝑥 + 13 (berderajat 3)


2𝑥2−5𝑥−7

2𝑥−7=

2𝑥−7 (𝑥+1)

2𝑥−7 = x + 1 (berderajat 1)

9.2.2.2 Nilai Suku Banyak

Suatu Suku Banyak berderajat n secara umum dapat dinyatakan

dalam bentuk berikut:


𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑥𝑛−2 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0

untuk𝑎𝑛 ≠ 0,𝑛 ∈ 𝐶.

Nilai suku banyak f(x) untuk x=k adalah f(x).

Nilai suku banyak langsung dapat ditentukan dengan metode

substitusi langsung dan metode skema.

a) Metode Substitusi Langsung

Cara substitusi langsung adalah cara paling alamiah untuk

menghitung nilai f(x) karena mudah untuk dilakukan.

Substitusikan nilai k pada x (mengganti nilai x oleh k), lalu

lakukan perhitungan (pangkat, tambah, kali, kurang) untuk

mendapatkan f(x).

Misalkan suku banyak:

𝑓 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥

𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑥𝑛−2 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0

untukx=k, maka nilai suku banyak dinyatakan oleh:

𝑓 𝑘 = 𝑎𝑛𝑘𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑘

𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑘𝑛−2 +⋯+ 𝑎1𝑘 + 𝑎0

Contoh:

1. Tentukan nilai f(3) jika diketahui f(x)=2x3-5x

2+3x+4

Solusi: f(3)= 2x3-5x

2+3x+4

=33 − 3.1 + 5

=27 – 9 + 5

2. Diketahui suku banyak f(x)=𝑥3 − 𝑥2 − 2𝑥. Tentukan nilai k

yang memenuhi f(x)=0

Solusi:

Jika f(x)= , maka𝑘3 − 𝑘2 − 2𝑘 = 0

↔ 𝑘(𝑘2 − 𝑘 − 2) = 0


↔ 𝑘 𝑘 + 1 𝑘 − 2 = 0

↔𝑘 = 0,𝑘 = −1atau k = 2

Jadi, f(x)= 0 jika k=0, -1 atau 2

b) Metode Skema

Metode skema adalah cara mengubah suku banyak melalui

perhitungan langkah demi langkah dengan skema.

Misalkan: 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑

Akan ditentukan nilainya untuk x = k, maka:

𝑓 𝑘 = 𝑎𝑘3 + 𝑏𝑘2 + 𝑐𝑘 + 𝑑

= 𝑎𝑘2 + 𝑏𝑘 + 𝑐 𝑘 + 𝑑

= 𝑎𝑘 + 𝑏 𝑘 + 𝑐 𝑘 + 𝑑

Jadi, f(k) = 𝑎𝑘 + 𝑏 𝑘 + 𝑐 𝑘 + 𝑑

Langkah-langkah diperolehnya f(k) diatas:

1. Kalikan a dengan k lalu hasilnya ditambah dengan b,

diperoleh ak+b.

2. Kalikan ak+b dengan k lalu hasilnya tambah dengan c,

diperoleh (ak+b)k+c.

3. Kalikan (ak+b)k+c dengan k lalu hasilnya tambah dengan d

diperoleh [(ak+b)k+c]k+d yang merupakan nilai dari x= k.

Secara skema:

k a b c d

ak ak2+bk ak

3+bk

2+ck +

a ak+b ak2+bk+c ak

3+bk

2+ck+d=f(k)

keterangan: tanda berarti dikalikan dengan k.

1 2

3


Contoh:

Tentukan nilai f(3) jika diketahui f(x)=2x3-5x

2+3x+4 dengan

cara skema. Bandingkan hasilnya dengan cara substitusi.

Tulislah koefisien-koefien variable x berurutan pangkat

tertinggi sampai terendah:

3 2 -5 3 4

6 3 18 +

2 1 6 22=f(3)

Jadi, nilai f(3)=22

Keterangan: tanda berarti dikalikan 3

Dengan cara substitusi:

𝑓 3 = 2. 33 − 5. 32 + 3.3 + 4

= 54 − 45 + 9 + 4

= 22.

Ternyata hasil cara skematik dan cara substitusi sama.

9.2.2.3 Operasi Antar Suku Banyak

a. Penjumlahan dan pengurangan suku banyak

Penjumlahan dan pengurangan suku bayak f(x) dengan g(x)

dapat ditentukan dengan cara penjumlahan dan pengurangan

suku-suku sejenis dari kedua suku banyak itu:

Misalkan:

f(x) suku banyak berderajat m


g(x) suku banyak berderajat n

Maka f(x) ± g(x) adalah suku banyak berderajat maksimum m

atau n.

Contoh:

Diketahui dua persamaan suku banyak f(x) dan g(x) yakni

𝑓 𝑥 = 𝑥4 + 𝑥2 + 2dan 𝑔 𝑥 = 𝑥3 + 2𝑥2 + 𝑥 + 1.

Tentukanlah

a. f(x) + g(x) serta derajatnya.

b. f(x) - g(x) serta derajatnya.

Solusi:

a. 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 = (𝑥4 + 𝑥2 + 2) + (𝑥3 + 2𝑥2 + 𝑥 + 1)

= 𝑥4 + 𝑥3 + 3𝑥2 + 𝑥 + 3 , dan berderajat 4

b. 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 = (𝑥4 + 𝑥2 + 2)− (𝑥3 + 2𝑥2 + 𝑥 + 1)

= 𝑥4 − 𝑥3 − 𝑥2 − 𝑥 − 1,dan berderajat 4

b. Perkalian Suku Banyak

Operasi perkalian suku banyak dilakukan menggunakan sifat

distributive perkalian, yaitu dengan mengalikan setiap suku dari

suku banyak dengan semua suku dari suku banyak lainnya.

Misalnya: f(x) dan g(x) masing-masing suku banyak berderajat

m dan n maka:

f(x).g(x) adalah suku banyak berderajat maksimum (m+n).

Contoh:

Diketahui dua persamaan suku banyak f(x) dan g(x) yakni

𝑓 𝑥 = (𝑥2 − 1)dan 𝑔 𝑥 = 𝑥3 − 2𝑥2 + 1. Tentukan

f(x).g(x) serata derajatnya.

Solusi:

𝑓 𝑥 .𝑔 𝑥 = 𝑥2 − 1 . (𝑥3 − 2𝑥2 + 1)

= 𝑥5 − 2𝑥4 − 𝑥3 + 3𝑥2 − 1, dan memiliki derajat 5


c. Kesamaan Suku Banyak

Perhatikanlah dua suku banyak f(x) dan g(x) dalam bentuk

umum sebagai berikut:


𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑥𝑛−2 +⋯+ 𝑎2𝑥

2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0

𝑔 𝑥 = 𝑏𝑛𝑥𝑛 + 𝑏𝑛−1𝑥

𝑛−1 + 𝑏𝑛−2𝑥𝑛−2 +⋯+ 𝑏2𝑥

2 + 𝑏1𝑥 + 𝑏0

Misalkan f(x) sama dengan g(x) (ditulis f(x) ≡ g(x)) maka dapat

kita nyatakan sebagai berikut.

Pengertian kesamaan suku banyak di atas dipakai untuk

mengetahui koefisien-koefisien tak tentu suatu bentuk al jabar,

yaitu koefisien yang belum diketahui bentuk nilainnya.

Contoh:

Tentukan nilai p dari kesamaan suku banyak (𝑥 − 1)2 ≡

𝑥 − 2 𝑥 + 3 + 2𝑝

Solusi:

(𝑥 − 1)2 ≡ 𝑥 − 2 𝑥 + 3 + 2𝑝

𝑥2 − 2𝑥 + 1 ≡ 𝑥2 + 𝑥 − 6 + 2𝑝

Berdasarkan sifat kesamaan suku banyak diperoleh:

−2𝑥 + 1 = 𝑥 − 6 + 2𝑝

2𝑝 = −3x+7

𝑝 =−3𝑥+7

2

𝑎𝑛 = 𝑏𝑛 ,𝑎𝑛−1 = 𝑏𝑛−1,… ,𝑎2 = 𝑏2,𝑎1 = 𝑏1


d. Pembagian Suku Banyak

Seperti pada bilangan, pada operasi pembagian suku banyak

juga berlaku hubungan: yang dibagi,pembagi, hasil bagi, dan

sisa pembagi.

Hubungan tersebut secara matematis ditulis:

f(x) = suku banyak yang dibagi → berderajat m.

p(x) = pembagi → berderajat n

h(x) = hasil bagi → berderajat (m – n)

S = sisa pembagian → berderajat (n – 1)

1) Pembagi berbentuk (x – k)

Pembagian suku banyak f(x) oleh pembagi (x – k)

memberikan hasil bagi h(x) dan sisa pembagian S atau f(k).

hubungan tersebut dinyatakan:

Pembagian suku banyak oleh (x – k) dapat dilakukan

dengan cara pembagian biasa dan pembagian horner.

a. Cara pembagian Biasa.

Misalkan suku banyak 𝑓 𝑥 = 𝑥3 + 3𝑥2 + 3𝑥 + 6

dibagi dengan (x – 2).

𝑥2 + 5𝑥 + 13

(x – 2) 𝑥3 + 3𝑥2 + 3𝑥 + 6

Pembagi 𝑥3 + 2𝑥2 -

5𝑥2 + 3𝑥 + 6

5𝑥2 − 10𝑥 -

13x + 6

13x – 26 -

32→sisa pembagian

𝑓 𝑥 = 𝑝 𝑥 .𝑕 𝑥 + 𝑆

𝑓 𝑥 = 𝑝 𝑥 .𝑕 𝑥 + 𝑓(𝑘)


Pembagian di atas dapat ditulis:

𝑥3 + 3𝑥2 + 3𝑥 + 6 = (x – 2)(𝑥2 + 5𝑥 + 13)+ 32.

Hasil bagi, h(x) = 𝑥2 + 5𝑥 + 13

Sisa pembagaian = f(2)= 32.

b. Cara pembagian horner

Pembagian suku banyak 𝑓 𝑥 = 53 − 14𝑥 + 3 oleh (x

– 2)

x=2 5 0 -14 3

10 20 12 +

5 10 6 15 = f(2)

Koefisien-koefisien hasil bagi

Hasil bagi, 𝑕(𝑥)= 5𝑥3 − 10𝑥 + 6 (perhatikan

koefisiennya)

Sisa pembagian, 𝑓(𝑥)= 15

Persamaan dasarnya:

5𝑥3 − 14𝑥 + 3 = (x – 2) 5𝑥3 − 10 + 6 + 15

2) Pembagi berbentuk (ax+b)

Bentuk pembagian (𝑎𝑥 + 𝑏) dapat diubah menjadi

𝑥 +𝑏

𝑎 . Jika 𝑓(𝑥) dibagi 𝑥 +

𝑏

𝑎 maka hasil banginya

𝑕(𝑥) dan sisa pembagian 𝑓 −𝑏

𝑎 . Hubungan tersebut

dinyatakan:

𝑓 𝑥 = 𝑥 +𝑏

𝑎 .𝑕(𝑥)𝑓 −

𝑏

𝑎

Karena 𝑥 +𝑏

𝑎 =

1

𝑎(𝑎𝑥 + 𝑏), maka diperoleh:

𝑓 𝑥 =1

𝑎 𝑎𝑥 + 𝑏 .𝑕 𝑥 + 𝑓 −

𝑏

𝑎

𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏 .𝑕(𝑥)

𝑎+ 𝑓 −

𝑏

𝑎

Atau


Dengan:

𝑓 𝑥 = suku banyak yang dibagi.

𝑎𝑥 + 𝑏 = pembagi.

𝑕(𝑥)

𝑎 = hasil bagi

𝑓 −𝑏

𝑎 atau S = sisa pembagian

Hasil bagi dan sisa pembagian dapat ditentukan dengan

cara horner.

Jika bentuk pembagi 𝑎𝑥 + 𝑏 maka k = −𝑏

𝑎

Jika bentuk pembagi 𝑎𝑥 − 𝑏 maka k = 𝑏

𝑎

Contoh:

Tentukan hasil bagi dan sisa pada pembagian (3𝑥3 −

𝑥2 + 7𝑥 + 12)oleh (3𝑥 + 2). Nyatakan pula

persamaan dasar pembagiannya.

Solusi:

Nyatakan ulang pembagi: 3〱 + 2 sebagai 𝑥 −

(−2

3)) sehingga a = 3 dan k = −

2

3

−2

3 3 -1 7 12

-2 2 -6 +

3 -3 9 6

Hasil bagi 𝑕(𝑥)

𝑎 =

3𝑥2−3𝑥+9

3= 𝑥2 − 𝑥 + 3, sisa = f(k)=6

Jadi, 3𝑥3 − 𝑥2 + 7𝑥 + 12= (𝑥2 − 𝑥 + 3) (3𝑥 + 2)+6

3) Pembagi berbentuk (𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒄 + 𝒄)

Suku banyak f(x) dengan pembagian berbentuk 𝑎𝑥2 +

𝑏𝑥 + 𝑐 (a≠0) dapat dilakukan dengan cara bersusun

pendek dan cara horner.

1. Cara bersusun pendek

Jika suku banyak f(x) berderajat m dan pembaginya

berderajat n maka diperoleh:

Hasil bagi berderajat (m – n)


Sisa pembagian berderajat (n – 1)

2. Cara sintetik (horner)

Pembagian 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 dapat difaktorkan menjadi

𝑎𝑥 − 𝑘1 (𝑥 − 𝑘2)

Langkah-langkah jika f(x) dengan 𝑎𝑥 − 𝑘1 𝑎𝑥 − 𝑘2

a. Bagilah 𝑓 𝑥 dengan 𝑎𝑥 − 𝑘1 maka diperoleh hasil

bagi 𝑕1(𝑥) dan sisa 𝑓 𝑘1

𝑎 maka 𝑓 𝑥 =

𝑎𝑥 − 𝑘1 .𝑕1 𝑥 + 𝑓 𝑘1

𝑎 .

b. Selanjutnya bagilah 𝑕1 𝑥 dengan 𝑥 − 𝑘2 ,

diperoleh hasil bagi 𝑕2(𝑥)dan sisa pembagian 𝑓(𝑘2)

maka 𝑕1 𝑥 = 𝑥 − 𝑘1 .𝑕2 𝑥 + 𝑓(𝑘2) .

c. Diperoleh persamaan suku banyak:

𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 − 𝑘1 𝑎𝑥 − 𝑘2 .𝑕2 𝑥 + 𝑎𝑥 −

𝑘1.𝑓(𝑘2+𝑓𝑘1𝑎]

Hasil bagi = 𝑕2 𝑥

Sisa pembagian = 𝑎𝑥 − 𝑘1 .𝑓(𝑘2 + 𝑓 𝑘1

𝑎 ]

Contoh:

Tentukan hasil bagi dan sisa pada pembagian

𝑓 𝑥 = 3𝑥4 − 2𝑥3 − 10𝑥2 + 7𝑥 + 1oleh(𝑥2 − 𝑥 −

2)

Solusi:

(𝑥2 − 𝑥 − 2)difaktorkan menjadi 𝑥 − 2 (𝑥 + 1)

Tahap 1:

3𝑥4 − 2𝑥3 − 10𝑥2 + 7𝑥 + 1dibagi dulu dengan

𝑥 − 2 .

2 3 -2 -10 7 1

6 8 -4 6 +

3 4 -2 3 7


𝑕1 𝑥 = 3𝑥3 + 4𝑥2 − 2𝑥 + 3

𝑓 𝑘1

𝑎 = 𝑓 2 = 7

Jadi, 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 2 (3𝑥3 + 4𝑥2 − 2𝑥 + 3) + 7..(1)

Tahap 2:

3𝑥3 + 4𝑥2 − 2𝑥 + 3dibagi dengan (𝑥 + 1), maka:

−1 3 4 -2 3

-3 -1 3 +

3 1 -3 6

𝑕2 𝑥 = 3𝑥2 + 𝑥 − 3

𝑕2 𝑘1 = 𝑕1 −1 = 6

Jadi, 3𝑥3 + 4〱2− 2𝑥 + 3 = (3𝑥2 + 𝑥 −

3) 𝑥 + 1 + 6…….2.

Tahap 3:

Substitusikan 2 ke 1

3𝑥4 − 2𝑥3 − 10𝑥2 + 7𝑥 + 1

= 𝑥 − 2 (3𝑥2 + 𝑥 − 3 𝑥 + 1 + 6) + 7

= 𝑥 − 2 𝑥 + 1 3𝑥2 + 𝑥 − 3 + 6 𝑥 − 2 + 7

= 𝑥2 − 𝑥 − 2 3𝑥2 + 𝑥 − 3 + (6𝑥 − 5)

Jadi, hasil bagi adalah 3𝑥2 + 𝑥 − 3 dan sisa adalah

+(6𝑥 − 5)


9.2.2.4 RANGKUMAN

1. Rumus Umum Suku Banyak:


𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑥𝑛−2 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0

dengan

𝑎𝑛 , 𝑎𝑛−1 ,𝑎𝑛−2,…𝑎0merupakan konstanta dan disebut koefisien suku,

𝑎𝑛 ≠ 0,𝑛 ∈ 𝐶.

2. Nilai Suku Banyak

a. Metode Substitusi

Substitusikan nilai k pada x (mengganti nilai x oleh k), lalu

lakukan perhitungan (pangkat, tambah, kali, kurang) untuk

mendapatkan f(x).


𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑥𝑛−2 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0

untukx=k, maka nilai suku banyak dinyatakan oleh:

𝑓 𝑘 = 𝑎𝑛𝑘𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑘

𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑘𝑛−2 +⋯+ 𝑎1𝑘 + 𝑎0

b. Metode Skema

k a b c d

ak ak2+bk ak

3+bk

2+ck +

a ak+b ak2+bk+c ak

3+bk

2+ck+d=f(k)

keterangan: tanda berarti dikalikan dengan k.

3. Operasi Antar Suku Banyak

a. Penjumlahan dan Pengurangan Suku Banyak

Penjumlahan dan pengurangan suku bayak f(x) dengan g(x) dapat

ditentukan dengan cara penjumlahan dan pengurangan suku-suku

sejenis dari kedua suku banyak.

f(x) suku banyak berderajat m

g(x) suku banyak berderajat n


Maka f(x) ± g(x) adalah suku banyak berderajat maksimum m atau

n.

b. Perkalian Suku Banyak

f(x) dan g(x) masing-masing suku banyak berderajat m dan n

maka:

f(x).g(x) adalah suku banyak berderajat maksimum (m + n).

c. Kesamaan Suku Banyak

f(x) sama dengan g(x) (ditulis f(x) ≡ g(x)) maka dapat kita

nyatakan sebagai berikut.

𝑎𝑛 = 𝑏𝑛 ,𝑎𝑛−1 = 𝑏𝑛−1,… ,𝑎2 = 𝑏2,𝑎1 = 𝑏1

d. Pembagian

Rumus umum pembagian suku banyak:

𝑓 𝑥 = 𝑝 𝑥 .𝑕 𝑥 + 𝑆

f(x) = suku banyak yang dibagi → berderajat m.

p(x) = pembagi → berderajat n

h(x) = hasil bagi → berderajat (m – n)

S = sisa pembagian → berderajat (n – 1)



1. Tentukan derajat suku banyak berikut beserta dengan koefisien-

koefisien dan konstanta yang ada pada suku banyak berikut:

14𝑏 − 25𝑏5 − 20𝑏3 + 3𝑏2

2. Susunlah setiap bentuk suku banyak berikut ini menurut pangkat

turun dari variabel y.

a. (9𝑦2 − 9) + (8𝑦 + 7𝑦2 − 5)

b. (2𝑦2 + 9) − (3𝑦2 − 7)

3. Manakah yang merupaan suku banyak dari bentuk berikut:

a. 1

𝑎+ 𝑎2

b. 𝑥 + 1 𝑥 − 1 (𝑥 + 2)

4. Dengan cara substitusi tentukan nilai dari:

a. 𝑓(3), jika f(x)=2𝑥3 − 9𝑥2 + 2𝑥 − 5

b. 𝑓(1

2), jika 𝑓 𝑥 = 8𝑥3 − 6𝑥 + 3

5. Dengan cara skema tentukan nilai dari:

a. 𝑓(4), jika 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 5𝑥2 + 3𝑥 − 4

b. 𝑓 −2 , jika 𝑓 𝑥 = 4𝑥3 − 3𝑥 + 7

6. Diketahui 𝑓 𝑥 = 2𝑥4 − 𝑥3 + 7𝑥 − 1 dan 𝑔 𝑥 = 𝑥4 − 7𝑥3 − 𝑥 +

2 tentukanlah 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥) dan derajatnya.

7. Diketahui 𝑓 𝑥 = 2𝑥3 − 𝑥2 + 1 dan 𝑔 𝑥 = (𝑥2 + 𝑥)2 tentukan

𝑓 𝑥 .𝑔(𝑥) dan derajatnya.

8. Tentukan nilai konstanta p dari kesamaan 𝑥2 + 4𝑥 − 1 ≡

𝑥 + 1 𝑥 + 2 + 3𝑝

9. Tentukan hasil bagi dan sisa pada pembagian (𝑥 3 + 4𝑥2 − 3𝑥 + 1

oleh (𝑥 + 3)

10. Tentukan hasil bagi dan sisa pada pembagian (6𝑥2 + 𝑥 − 8) dibagi

oleh 2𝑥 − 3



Nama :

No. Absen :

Judul Tugas :






Jumlah Nilai Akhir


…………….,………………..20…



9.2.3.1 Pembagian Teorema Sisa

Berdasarkan pembagian suku banyak f(x) dengan pembagi seperti

(x - k), (ax - b),dan a𝑥2+ bx + c maka dapat diturunkan teorema

sisa berikut.

a. Pembagi Bentuk (x – k)

1) Jika suku banyak f(x) dibagi (x – k) maka sisanya S = f(k).

2) Jika suku banyak f(x) dibagi (x + k) maka sisanya S = f(-k).

b. Pembagi Bentuk (ax -b)

a. Jika suku banyak f(x) dibagi (ax -b) maka sisanya S = f 𝑏

𝑎

b. Jika suku banyak f(x) dibagi (ax + b) maka sisanya S = f –

𝑏

𝑎

c. Pembagi Bentuk a𝑥2+ bx + c atau (x - a)(x - b)

a. Jika suku banyak f(x) dibagi (x - a)(x - b) maka sisanya S =

(x - a) . h1 (b) + f(a).

b. Jika suku banyak f(x) dibagi (ax - b)(x - c) maka sisanya S =

(ax - b) . h1 (c) + f 𝑏

𝑎 .

c. Jika suku banyak f(x) dibagi (x - a) sisanya S1 dan jika dibagi

(x - b) sisanya S2 maka suku banyak f(x) jika dibagi (x - a)(x

– b) sisanya : S(x) = px + q

Subtitusi x = a dan x = b diperoleh:

P = 𝑠1−𝑠2

𝑎−𝑏 dan q =

𝑎𝑠2−𝑏𝑠1

𝑎−𝑏 .

d. Habis Dibagi (x - a)

Jika suku banyak f(x) habis dibagi (x - a) maka sisanya S = 0

atau f(a) = 0.

Contoh:

Jika f(x) dibagi dengan (x - 2) sisanya 24, sedangkan jika f(x)

dibagi (2x-3) sisanya 20. Jika f(x) dibagi dengan (x - 2)( 2x - 3)

sisanya adalah….


Pembahasan:

f(x) dibagi dengan (x - 2) sisanya 24 maka f(2) = 24

jika f(x) dibagi (2x-3) sisanya 20 maka f 3

2 = 20

f(x) dibagi dengan (x - 2)( 2x – 3) maka sisanya S(x) = px + q.

untuk x = 2 f(2) = 2p + q = 24

untuk x = 3

2 f(

3

2 ) =

3

2 p + q = 20 −

1

2p = 4 p= 8

Untuk p = 8 maka 2(8) + q = 24 q = 8

Jadi, s (x) = px + q = 8x + 8.

1. Pengertian Teorema Faktor.

a. Suku banyak f(x) mempunyai faktor (x – a ), jika dan hanya

jikaf(a)= 0.

b. Jika suku banyak f(x) berlaku f(a)= 0, f(b)= 0 dan f(c) = 0

maka f(x) habis dibagi (x - a)(x - b)(x - c).

c. Jika (x - a) adalah faktor dari f(x) maka x = a adalah akar dari

f(x).

2. Menentukan Faktor-faktor Suku Banyak.

a. Jika suku banyak f(x) = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥

𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑥𝑛−2 +

⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0 dan (x - k) merupakan faktor dari f(x) maka

nilai k yang mungkin adalah faktor-faktor dari 𝑎0.

b. Dengan cara mencoba-coba, subtitusikan x = k pada f(x). Jika

f(x) = 0 maka nilai(x - k) merupakan faktor dari f(x),

sebaliknya jika f(x) ≠ 0 maka (x - k) bukan faktor dari f(x).

c. Jika f(x) faktornya (x - k) maka hasil baginya misalnya h(x)

dapat dicari faktornya lagi seperti langkah 1 dan 2.

Contoh:

Salah satu faktor suku banyak p(x) = 𝑥4 − 15𝑥2 − 10𝑥 + 𝑛

adalah (x + 2). Faktor lainnya adalah.....


Pembahasan:

p(x) = 𝑥4 − 15𝑥2 − 10𝑥 + 𝑛

(x + 2) faktor dari p(x), maka p(-2) = 0

X = -2 1 0 -15 -10 n

-2 4 22 -2 +

1 -2 -11 12 n-24 = 0

h1(x) = 𝑥3 − 2𝑥2 − 11𝑥 + 12

nilai k yang mungkinadalah faktor bilangan dari𝑎0 = 12.

Yaitu: ±1, ±2, 3±, 4±, 6±, ± 12.

Dengan cara mencoba-coba bilangan diatas ditemukan faktor

dari h1(x) adalah (x - 1) atau k = 1.

X = 1 1 -2 -11 12

1 -1 -12 +

1 -1 -12 0 = f(1)

Maka (x - k) atau x = 1 merukan faktor dari p (x) karena p (1)

= 0

h2(x)=𝑥2 − 𝑥 − 12

bentuk𝑥2 − 𝑥 − 12 dapat difaktorkan menjadi (x + 3)(x - 4)

sehingga𝑥4 − 15𝑥2 − 10𝑥 + 24 = (x + 2)(x - 1)(x + 3)(x +

4).

Jadi, faktor lainnya dari f(x) adalah (x - 4).

9.2.3.2 Akar-akar Suku Banyak

A. Fungsi Derajat Tiga

Jika x1, x2, dan x3 akar-akar suku banyak 𝑎𝑥3 − 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑

= 0 maka berlaku:


x1 + x2 +x3 = − 𝑏

𝑎

x1x2 + x1x3 + x2x3 = 𝑐

𝑎

x1 . x2. x3 = − 𝑑

𝑎

B. Fungsi Derajat Empat

Jika x1, x2, x3, x4 akar-akar suku banyak 𝑎𝑥4 + 𝑏𝑥3 + 𝑐𝑥2 +

𝑑𝑥 + 𝑒 = 0 maka berlaku:

x1 + x2 + x3 + x4 = − 𝑏

𝑎

x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 +

x3x4 = 𝑐

𝑎

x1x2x3 + x1x3x4 + x1x2x4 + x2x3x4

= − 𝑑

𝑎

x1 . x2. x3. x4 = 𝑒

𝑎


9.2.3.3 Rangkuman

Teorema sisa

Persamaan dasar pada pembagian suku banyak

f(x) = g(x) . h (x) + s(x)

dengan f(x) = suku banyak berderajat n

g(x) = pembagi berderajat m, m<n

h(x) = hasil bagi berderajat (n – m )

s(x) = sisa

Jika suku banyak f(x) dibagi (x – k ), maka sisanya adalah

f(k)

Jika suku banyak f(k) dibagi (ax + b), maka sisanya adalah

𝑓 − 𝑏

𝑎

Jika suku banyak f( x) dibagi (x – a )(x – b ), maka sisanya

adalah[ (x – a ). h(b) + f(a)].

Jika suku banyak f(x) dibagi (x – k )(ax – b ), maka sisanya

adalah [(x – k ). h 𝑏

𝑎 +f(k) ]

Teorema factor

Persamaan dasar pada pembagian suku banyak

f(x) = g(x) . h (x) + s(x)

jika s(x) = 0, maka g(x) merupakan factor dari f(x).

(x – k ) merupakan factor dari suku banyak f(x) jika dsan

hanya jika s(x) = f(x) = 0

Akar –akar Suku Banyak.

Untuk fungsi berderajat tiga:

x1 + x2 +x3 = − 𝑏

𝑎

x1x2 + x1x3 + x2x3 = 𝑐

𝑎

x1 . x2. x3 = − 𝑑

𝑎


untuk fungsi berderajat empat:

x1 + x2 + x3 + x4 = − 𝑏

𝑎

x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4 = 𝑐

𝑎

x1x2x3 + x1x3x4 + x1x2x4 + x2x3x4 = − 𝑑

𝑎

x1 . x2. x3. x4 = 𝑒

𝑎 .


1. Suku Banyak 𝑥4 − 2𝑥3 − 3𝑥 − 7 dibagi dengan (x – 3)

(x + 1), sisanya adalah……..

2. Jika p(x) = 𝑥4 + 5𝑥3 + 9𝑥2 + 13𝑥 + 𝑎 dibagi dengan

(x+ 3) bersisa 2 maka p (x) dibagi (x + 1) akan

bersisa…..

3. Suku Banyak 𝑥4 − 3𝑥3 − 5𝑥2 + 𝑥 − 6 dibagi dengan

𝑥2 − 𝑥 − 2 sisanya adalah….

4. Suku banyak f(x) = 3𝑥3 − 13𝑥2 + 8𝑥 + 12 dapat

dinyatakan dala bentuk perkalian faktoe-faktor

liniernya menjadi......

5. Himpunan penyelesaian dari persamaan 𝑥3 − 4𝑥2 +

𝑥 + 6 = 0 adalah…..

6. Tunjukkan bahwa (x – 2 ) merupakan factor dari

3𝑥3 + 2𝑥2 − 19𝑥 + 6, lalu tentukan factor-faktor yang

lain.

7. Misalkan diketahui persamaan 2𝑥3 − 6𝑥2 − 8𝑥 +

20 = 0 mempunyai akar-akar x1,x2,x3.



Nama :

No. Absen :

Judul Tugas :

No. Kriteria

Penilaian Rentang Nilai

Nilai Prestasi


1.

Benar cara

maupun

hasilnya

0 – 60

2. Benar cara,

hasil salah 0 – 20

3. Benar hasil,

cara salah 0 – 20

Jumlah Jumlah x 60% Jumlah x 40%

Jumlah Nilai Akhir

Kesimpulan: Lulus / Tidak Lulus

....................,......................Th.......


9.3 EVALUASI

9.3.1 Soal Evaluasi

1) Susunlah setiap bentuk suku banyak 𝑥2 − 3𝑥 + 5 − 𝑥3 menurut

pangkat turun dari variabel x dan sebutkan derajatnya.

2) Tentukan koefisien𝑥4 dari suku banyak (3𝑥2 + 1)2 + 𝑥(2𝑥 − 3)

3) Dengan menggunakan cara substitusi, tentukan nilai dari f(-3), jika

𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 8𝑥 − 3

4) Dengan menggunakan cara substitusi, tentukan nilai setiap suku banyak

untuk nilai x yang diberikan.4𝑥2 − 6𝑥 + 2, untuk 𝑥 =1

2

5) Dengan menggunakan cara skema, tentukan nilai dari f(-5), jika

𝑓 𝑥 = 2𝑥4 + 8𝑥3 − 𝑥2 − 19𝑥 + 8

6) Dengan menggunakan cara horner, tentukan nilai setiap suku banyak,

untuk nilai x yang diberikan16𝑥3 − 4𝑥 + 6, untuk 𝑥 =1

2

7) Tentukan x yang menjadikan suku banyak berikut bernilai nol.𝑓 𝑥 =

𝑥3 + 2𝑥2 − 8𝑥

8) Tentukan nilai dibawah ini.

a. Jika diketahui𝑓 𝑥 = 3𝑥2 + 5𝑥2 − 𝑎𝑥 + 8 mempunyai nilai f(-2)=

26, tentukan nilai a.

b. Diketahui 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑘 − 9, jika f(1) = - 6 dan f(3)= 6

tentukan nilai dari (𝑎 − 𝑏)2.

9) Suku banyak 3𝑥3 + 7𝑥2 + 𝑎𝑥 − 6 dibagi 𝑥 + 2 sisanya 16. Tentukan

nilai a.

10) Bila 2𝑥3 + 𝑥2 + 4𝑥 + 4 dan 2𝑥3 + 3𝑥2 − 5𝑥 + 𝑝 dibagi 2𝑥 − 3

mempunyai sisa yang sama, tentukan nilai p.

11) Tentukan sisa pada pembagian (𝑥3 − 2㔂 + 7) oleh (x + 2 ).

12) Tentukan sisa pada pembagian(4𝑥3 − 2𝑥2 + 3) oleh (2x – 3 ).

13) Suku banyak (6𝑥3 + 7𝑥2 + 𝑝𝑥 − 24 habis dibagi oleh 2x- 3 . tentukan

nilai p=….

14) Suku banyak f(x) jika dibagi (x + 2) mempunyai sisa 14 dan dibagi (x –

4 ) mempunyai sisa -4 . tentukan sisanya jika f(x) dibagi (𝑥2 − 2𝑥 − 8).


15) Tentukan k sehingga suku banyak (2𝑥4 − 9𝑥3 + 5𝑥2 + 𝑘𝑥 − 4)

mempunyai factor (x – 4 ).


Nama :...........................

Kelas :...........................

No. Absen :...........................

Judul Tugas :...........................




hasilnya 0 – 60



Jumlah


Jumlah Nilai Akhir


....................,......................Th.......


DAFTAR PUSTAKA

Alisah, Erawati dan M,Idris.2009. Buku Pintar Matematika.Jogyakarta :

Mitra Pelajar

Estien, Yazid.2013,Matematika SMA dan MA.Yogyakarta:Andi.

Fathurin Zen, 2014. ‚„„Trigonometri„„.Bandung: Alfabeta

Fitriana, Stalis. 2004. Matematika Semester 3. Jakarta : Erlangga

Kanginan, Marthen. 2014. Matematika 1 untuk SMK/SMA Kelas X

Kelompok Wajib. Bandung: Grafindo Media Pratama.

Kasmina dan Toali. 2013. Matematika untuk SMK/MAK Kelas X. Jakarta:

Erlangga.

Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. 2013. Matematika untuk

SMA/MA kelas X. Jakarta: Politeknik Negeri Media Kreatif

Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. 2014. Matematika: Buku

Guru/Kementerian

Kementrian pendidikan dan kebudayaan, Matematika : Buku Guru /

Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan untuk SMA/MA/SMK/MAK

Kelas XI, Jakarta : 2014

Kementrian pendidikan dan kebudayaan, Matematika : Buku Siswa untuk

SMA/MA/SMK/MAK Kelas XI, Jakarta : 2014

Kuntarti, Sri Kurnianingsih dan Sulistiyono.2007.Matematika SMA dan

MA.Jakarta:Esis.

Martono, Koko dan Eryanto, R. dan Noor, Firman Syah. 2008.

Matematika dan Kecakapan Hidup Untuk SMA Kelas X. Bekasi: Ganeca

exact.

Marwanta dkk..2009. Matematika SMA Kelas X. Jakarta: Yudhistira.

Noormandiri, 2006. „„ Matematika 2006“.Jakarta: Penerbit Erlangga.

Pendidikan dan Kebudayaan. Balitbang : Pusat Kurikulum dan Perbukuan,

Kemdikbud.

Rosihan dan Indriyastuti.2013 ”Prespektif Matematika 1”.Solo.PT Tiga

Serangkai Pustaka Mandiri

Sharma, S N, 2014. Matematika 1 A. Jakarta: Yudhistira

Sukino, 2013, Matematika Jilid 1B untuk SMA/MA Kelas X Semester 2,

Jakarta: Erlangga

Sulistiyono. 2006. Matematika SMA. Jakarta : Erlangga

Sunardi Hari Subagyo, 2011. „„ Mathematics“.Jakarta: PT Bumi Aksara

Tim MGMP Matematika Kab Tulungagung.2013.Matematika SMA dan

MA.Tulungagung.


Tung, Khoe Yau. 2012. Pintar Matematika SMA Kelas X IPA untuk

Olimpiade dan Pengayaan Pelajaran. Yogyakarta: C.V ANDI OFFSET.

Widyantini. 2004. STATISTIKA. Yogyakarta : Widyaiswara.

Winokromo, Sartonp.2007. Matematika untuk SMA kelas X KTPS

2006.Jakarta : Erlangga

Wirodikromo, Sartono. 2006. Matematika Jilid 1 untuk Kelas X. Jakarta:

Erlangga.

Yuana, Rosihan Ari dan Indriyastuti. 2013. Perspektif Matematika 1 untuk

Kelas X SMA dan MA Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu Alam.

Solo: PT Tiga Serangkai Pustaka Mandiri.

Zaelani, Ahmad, dkk. 2006, Matematika SMA dan MA. Bandung: Yrama

Widya Zen, Fathurin. 2014. Trigonometri. ALFABETA : Bandung


KUNCI JAWABAN

Kunci 1.2.2.4

1. a. 25 x 29 = 25+9 → menggunakan sifat pertama

= 214

b. 35 x 36 = 35+6 → menggunakan sifat pertama

= 311

c. 45 𝑥 43

42 = 45+3

42 → menggunakan sifat pertama

= 48

42

=48−2 → menggunakan sifat kedua

= 46

2. a. 4−3

42 = 1

42 x 1

43 → pangkat bulat negatif

= 1

42 𝑥 43

= 1

42+3 → sifat pertama

= 1

45

b. 3−4 = 1

34

= 1

81 → pangkat bulat negatif

c. 𝑥3

𝑥3 = 𝑥3 . 𝑥−3

= 𝑥3+(−3) → sifat pertama

= 𝑥0 →aturan pangkat nol

= 1

Kunci 1.2.3.3

1. a. 8 = 4 𝑥 2

= 4 x 2

= 2 2 → bentuk akar

𝑏. 16

25 =

16

25


= 4

5 →bukan bentuk akar

2. a. 12 = 4 𝑥 3

= 4 x 3

= 2 3

b. 48 𝑥4𝑦13 = 16 𝑥 3 𝑥4 . (𝑦12 𝑦1 )

= 16 𝑥4𝑦12 . 3𝑦

= 4𝑥2𝑦6 3𝑦

3. a. 5 2 + 32 - 3 8

= 5 2 + 16 𝑥 2 – 3 . 4 𝑥 2

= 5 2 + 4 2 – 3 . 2 2

= 5 2 + 4 2 - 6 2

= (5 + 4 - 6) 2

= 3 2

b. 18

6 =

18

6

= 3

Kunci 1.2.4.4

6. a. 6

10 =

6

10 x 10

10

= 6 10

10

= 3

5 10

b. 4

5 3𝑥 =

4

5 3𝑥 x 3𝑥

3𝑥

= 4 3𝑥

5 . 3𝑥

= 4

15𝑥 3𝑥

7. p + q = 2− 3

2+ 3 +

2+ 3

2− 3

= 2− 3 2− 3 + 2+ 3 2+ 3

2+ 3 2− 3

= (2− 3)2+(2+ 3)2

(2)2− ( 3)2


= 4−4 3 +(4+4 3+3)

4−3

= 14

1 = 14

8. a. 122

3 = (22 𝑥 3)2

3

= 22 𝑥 2

3 x 3

2

3

= 24

3 x 32

3

= 243 x 323

= ( 233 x 213

) x 93

= 2 x 23

x 93

= 2 183

b. ɑ−3

2 = 1

ɑ32

= 1

ɑ1 𝑥 ɑ12

= 1

ɑ ɑ x ɑ

ɑ

= 1

ɑ 𝑥 ɑ ɑ =

1

ɑ2 ɑ

4. 7

𝑥5 =

7

𝑥15

= 7

𝑥15

x 𝑥

45

𝑥45

= 7𝑥

45

𝑥55

= 7𝑥

45

𝑥1

= 7 𝑥45

𝑥

Kunci 1.2.5.3

1. Nyatakan dalam bentuk logaritma yang ekuivalen :

a. 𝑎𝑛 = 𝑏

Penyelesaian : an = b ↔

alog b = n


b. 3𝑥 = 𝑦

Penyelesaian : 3x = y ↔ 3log y = x

2. Nyatakan bentuk berikut menjadi bentuk pangkat :

a. 2log x = n

Penyelesaian : 2log x = n ↔ x = 2

n

b. 3log a = y

Penyelesaian : 3log a = y ↔ a = 3

y

c. 10log 100 = 2

Penyelesaian : 10

log 100 = 2 ↔ 100 = 102

d. 2log a = 5

Penyelesaian : 2log a = 5 ↔ a = 2

5

3. Hitunglah nilai logaritma berikut :

a. 5log 625

Penyelesaian :

Misal : 5log 625 = x ↔ 5

x = 625

x = 4

b. 5log 0,2

Penyelesaian :

Misal : 5log 0,2 = x ↔ 5x

= 0,2 x = 0,4

4. Sederhanakan !

a. 6log 4 +

6log 54

Penyelesaian : 6log 4 +

6log 54 =

6log (4×54) =

6log 216 =

6log 6

3 = 3

b. log 25 + log 4

Penyelesaian : log 25 + log 4 = log 25×4


c. 2log 7 –

2log 28

Penyelesaian : 2log 7 –

2log 28 =

2log

7

28

= 2log

1

4 =

1

22 = 2-2

= 2

d. 2log 16 –

2log 4

Penyelesaian : 2log 16 –

2log 4 =

2log

16

4

= 2log 4 =

2log 2

2 =2

e. 2 log 2 + 3 log 3

Penyelesaian : 2 log 2 + 3 log 3 = log 22 + log 3

3 = log 4 + log 9 = log 4×9 =

log 36 = log 62 = 2

f. 2 log 5 – log 25

Penyelesaian : 2 log 5 – log 25 = log 52 – log 25 = log 25 – log 25 = log

25

25 =

log 1

Kunci 1.2.6.3

1. Jika 2log 3 = a, nyatakan logaritma-logaritma berikut dalam bentuk a :

a. 8log 3

Penyelesaian : 8log 3 =

log 3

log 8=

log 3

log 23 = log 3

3 log 2=

1

3 2log 3 =

1

3 𝑎

b. 4log 81


log 81

log 4 =

log 34

log 22 = 4 log 3

2 log 2=

4

2 2log 3 = 2a

c. 8log 27


log 27

log 8=

log 33

log 23 = 3 log 3

3 log 2 =

2log 3 = a

2. Sederhanakan !

a. plog 5 ×

5log y ×

ylog p

Penyelesaian : gunakan sifat logaritma yang ke-5

plog 5 ×

5log y ×

ylog p =

plog p

b. 2log 25 × 5log 16



2log 25 ×

5log 16 =

2log 25 ×

5log 16 =

2log 5 ×

5log 4 =

2log 4 =

2log 2

2 = 2

c. 3log 16 × (4log 9 +

4log 3)

Penyelesaian : gunakan sifat logaritma yang ke-5 dan ke-1

3log 16 × (

4log 9 +

4log 3) =

3log 4 (

4log 9×3) =

3log 4 (

4log 27) =

3log 4 (

4log 3

3) =

3log 4 ×

4log 3 =

3log 3 = 1

d. 9log 3 ×

3log 27


9log 3 ×

3log 27 =

9log 27 = 32

log 33 = 3

3. Diketahui 2log 3 = a, nyatakan dalam bentuk a dari logaritma berikut :

a. 2log 27


2log 27

2log 2 =

2log 33

2log 2 =

32log 3

1 =

3𝑎

1 = 3a

b. 8log 9


log 9

log 8 =

2log 32

2log 23 =

22log 3

32log 2

= 2𝑎

3

c. 4log 9


log 9

log 4 =

2log 32

2log 22 =

22log 3

22log 2

= 2𝑎

2

4. Dengan menggunakan kalkulator tentukanlah !

a. log 4,186 = 0,621...

b. log 4,2 = 0,623...

c. log 0,096 = -1,017...

d. log 103 = 2,012...

Kunci 1.3.1

1. a. 3𝑥4 x 𝑥2 = 3 (𝑥4+2)

= 3𝑥6

b. (3ɑ3 𝑏2)4 = 34 x (ɑ3)

4 x (𝑏2)

4

= 81 x ɑ3 𝑥 4 x 𝑏2 𝑥 4

= 81 ɑ12 𝑏8

2. ɑ2 𝑏3 𝑐−1

ɑ−2𝑏 𝑐2 = ɑ2+2 x 𝑏3− 1 x 𝑐−1−2

= ɑ4 x 𝑏2 x 𝑐−3


= ɑ4 x 𝑏2

𝑐3

= 24 x 32

53

= 16 (9)

125

= 144

125

3. (3𝑥 + 5)9 = (3𝑥 + 5)8 𝑥 (3𝑥 + 5)1

= (3𝑥 + 5)8 x (3𝑥 + 5)

= (3𝑥 + 5)4 (3𝑥 + 5)

4. (1− 2

1+ 2)2 =

1+2−2 2

1+2+2 2

= 3−2 2

3+2 2 x

3−2 2

3−2 2

= 32−2 3 2 2 + 2 2

2

(3)2− 2 2 2

= 9−12 2+8

9−8

= 17 - 12 2

5. a. 2𝑥 𝑥34 = 2𝑥1 (𝑥

3

4)

= 2𝑥3

4

b. 3𝑥2

𝑥23 = 3𝑥2

𝑥34

= 3𝑥4

3

6. a. 8 + 2 15 = 5 + 3 + 2 5 𝑥 3

= 5 + 2 5 𝑥 3 + 3

= ( 5 + 3 )2

= 5 + 3


b. 9− 4 5 = 5− 4 5+ 4

= ( 5 − 2)2

= 5 − 2

7. Hitunglah :

a. log 21 − log 210

b. log 25 − log 5

2

c. 3log 4,5 + 3log 6

d. 6log 9 + 6log 8 –

6log 2

e. log 2 + log 10 – log 1

5

f. 3log 45 – 9log 25

g. log 2 + 2 log 3 – log 18

8. Sederhanakan !

a. 2 log 3 + 2 log 3

b. 1

2 2log 16 −

1

3 2log 8

c. 5log 320 – 3 5log 4

d. 2log 24 – 8log 27

e. 5log 9 ×

9log 625

f. 5 log 5 + 2 log 2 – log 25

g. 8 log 8 – 2 log 2

9. Jika 5log

1

25 +

5log 125 = x, maka nilai x adalah...

10. Diketahui 3log 7 = a,

5log 2 = b, dan

2log 3 = c. Nyatakan logaritma berikut dalam

bentuk a, b, dan c

a. 7log 3

b. 4log 5

c. 3log 2

11. Jika 3log 5 = p, tunjukkan bahwa

9log 5 =

1

4 p

12. Diketahui 2log 7 = a dan

2log 3 = b, maka nilai dari

6log 14 adalah...

13. Diketahui 3log 4 = p dan

3log 5 = q, maka nilai dari

3log 80 adalah...

14. Dengan menggunakan kalkulator, tentukan nilai logaritma berikut :

a. log 4,6

b. log 5,2


c. log 69,4

d. log 0,17

Kunci 2.2.2.4

1) 𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥 − 8 → nilai koefisien 𝑎 = 1, 𝑏 = 2,𝑑𝑎𝑛 𝑐 = −8

(a) Titik potong dengan sumbu koordinat

(i) Titik potong dengan sumbu 𝑋 → 𝑦 = 0, maka

𝑥2 + 2𝑥 − 8 = 0

𝑥 + 4 𝑥 − 2 = 0

𝑥 = −4 atau 𝑥 = 2

Jadi titik potong grafik dengan sumbu 𝑋 adalah (-4,0) dan (2,0)

(ii) Titik potong dengan sumbu 𝑌 → 𝑥 = 0, maka

𝑦 = 0 2 + 2 0 − 8

𝑦 = −8

Jadi, titik potong grafik dengan sumbu 𝑌 adalah (0,-8)

(b) Sumbu simetri 𝑥 =−𝑏

2𝑎=

−(2)

2(1)= −1

(c) Nilai minimum fungsi 𝑦 =−𝐷

4𝑎=

− 𝑏2−4𝑎𝑐

4𝑎=

−36

4= −9

(d) Koordinat titik puncak

(𝑥𝑝 ,𝑦𝑝) = −𝑏

2𝑎,−(𝑏2−4𝑎𝑐 )

4𝑎

= − 2

2 1 ,−(22−4(1)(−8)

4 1

= −1,−9

2) 𝑦 = −𝑥2 − 2𝑥 + 3

(i) Pasangan koordinat titik 𝑥,𝑓(𝑥)


𝑥 -3 -2 -1 0 1

𝑓(𝑥) 0 3 4 3 0

(ii) Gambar titik-titik (-3,0), (-2,3), (-1,4), (0,3), (1,0)

(iii) Hubungkan titik-titik pada (ii) dengan kurva

Kunci 2.2.3.3

(1) Dengan menggunakan rumus 𝑦 = 𝑎 𝑥 − 𝑥𝑝 2

+ 𝑦𝑝 untuk 𝑥𝑝 = 1 dan 𝑦𝑝 = 5, maka

diperoleh

𝑦 = 𝑎 𝑥 − 𝑥𝑝 2

+ 𝑦𝑝

= 𝑎 𝑥 − 1 2 + 5

= 𝑎 𝑥2 − 2𝑥 + 1 + 5

Karena grafik melalui titik (-1,1) maka

1 = 𝑎 −1 2 − 2 −1 + 1 + 5

1 = 𝑎 4 + 5

𝑎 = −1


𝑦 = −1 𝑥2 − 2𝑥 + 1 + 5

𝑦 = −𝑥2 + 2𝑥 + 4

(2) Grafik memotong sumbu X di titik (-3,0) dan (1,0), maka rumus fungsi kuadratnya

adalah

𝑦 = 𝑎 𝑥 − 𝑥1 𝑥 − 𝑥2

= 𝑎 𝑥 − 3 𝑥 − 1

= 𝑎 𝑥 + 3 𝑥 − 1

Karena grafik melalui titik (0,6) maka

6 = 𝑎 0 + 3 0− 1


6 = 𝑎 3 −1

𝑎 = −2


𝑦 = −2 𝑥 + 3 𝑥 − 1

𝑦 = −2𝑥2 − 4𝑥 + 9

(3) Misalnya rumus fungsi kuadrat tersebut adalah y = ax2 + bx + c

melalui titik (1,2), maka 2 = a + b + c (i)

melalui titik (2,0), maka 0 = 4a + 2b + c (ii)

melalui titik (3,-1), maka -1 = 9a + 3b + c (iii)

dengan metode eliminasi dan substitusi diperoleh 𝑎 =1

2, 𝑏 = −

7

2,𝑑𝑎𝑛 𝑐 = 5.

Sehingga rumus kuadrat yang dicari adalah y = 1

2x

2 −

7

2𝑥 + 5.

(4) Dari gambar diperoleh titik puncak (3,0) dan melalui (0,9). Sehingga kita dapat

menggunakan rumus 𝑦 = 𝑎 𝑥 − 𝑥𝑝 2

+ 𝑦𝑝

= 𝑎 𝑥 − 3 2 + 0

= 𝑎 𝑥 − 3 2


9 = 𝑎 0− 3 2

9 = 𝑎 −3 2

9 = 9𝑎

𝑎 = 1


y = 1 (x – 3)2

y = x2 – 6x +9

(5) Misalkan, banyaknya peserta wisata adalah x orang. Bila x > 100, maka setiap

peserta wisata akan membayar sebesar (800 – 5(x – 100)) ribu rupiah.

Besarnya pemasukan biro perjalanan untuk x orang dalam ribuan rupiah adalah f(x)

= x(800 – 5(x – 100)) = -5x2 +1300x = -5(x – 130)

2 + 84500.

Nilai maksimum fungsi ini tercapai bila x = 130 orang dengan setiap peserta wisata

membayar sebesar Rp 650.000,00 dan pemasukan terbesar biro itu adalah Rp

84.500.000,00.

Kunci 2.3.1


1. 𝐿 = 9 + 6𝑥 + 𝑥2 → nilai koefisien 𝑎 = 1,𝑏 = 6,𝑑𝑎𝑛 𝑐 = 9

1) Titik potong dengan sumbu koordinat

a. Titik potong dengan sumbu 𝑋 → 𝑦 = 0, maka

9 + 6𝑥 + 𝑥2 = 0

𝑥 + 3 𝑥 + 3 = 0

𝑥 = −3 atau 𝑥 = −3

Jadi, titik potong grafik dengan sumbu 𝑋 adalah (-3,0) dan (-3,0)

b. Titik potong dengan sumbu 𝑌 → 𝑥 = 0, maka

𝑦 = 9 + 6 0 + (0)2

𝑦 = 9

Jadi, titik potong grafik dengan sumbu 𝑌 adalah (0,9)

2) Sumbu simetri 𝑦 =−𝑏

2𝑎=

−(6)

2(1)= −3

3) Nilai minimum 𝑦 =−𝐷

4𝑎=

− 𝑏2−4𝑎𝑐

4𝑎=

− (6)2−4 1 (9)

4(1)= 0


𝑥𝑝 ,𝑦𝑝 = −𝑏

2𝑎,− 𝑏2−4𝑎𝑐

4𝑎

= −6

2 1 ,−

6 2−4 1 9

4 1

= −3,0

2. Sketsa grafik secara sederhana

(i) (𝑥,𝑓 𝑥 )


𝑥 -5 -4 -3 -2 -1

𝑓(𝑥) 4 1 0 1 4

(ii) Gambar titik-titik (-5,4), (-4,1), (-3,0), (-2,1), dan (-1,4) pada bidang cartesius.

(iii) Hubungkan titik-titik pada (ii) dengan kurva

3. Rumus fungsi kuadrat

a. Dengan menggunakan rumus 𝑦 = 𝑎(𝑥 − 𝑥𝑝)2 + 𝑦𝑝 untuk

𝑥𝑝 = −1 dan 𝑦𝑝 = 0

𝑦 = 𝑎 𝑥 − 𝑥𝑝 2

+ 𝑦𝑝

= 𝑎 𝑥 − −1 2

+ 0

= 𝑎 𝑥 + 1 2

= 𝑎(𝑥2 + 2𝑥 + 1)


6 = a(12 + 2(1) + 1)

6 = 4a

a = 3/2


𝑦 =3

2(𝑥2 + 2𝑥 + 1)

𝑦 =3

2𝑥2 + 3𝑥 +

3

2

b. Misalnya rumus fungsi kuadrat tersebut adalah 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

melalui titik (1,3), maka 3 = a + b + c (i)

melalui titik (2,3), maka 3 = 4a + 2b + c (ii)

melalui titik (4,2), maka 2 = 16a + 4b +c (iii)


dengan metode eliminasi atau substitusi diperoleh 𝑎 = −1

12, 𝑏 =

1

4,𝑑𝑎𝑛 𝑐 =

17

6.

Sehingga rumus kuadrat yang dicari adalah 𝑦 = −1

12𝑥2 +

1

4𝑥 +

17

6

4. Misalkan, ukuran kebun adalah 𝑥 × 𝑦 meter, maka bagian kebun yang akan dipagari

adalah 2x + y meter. Karena panjangnya pagar kawat adalah 100 meter, maka 2x + y =

100 yang menghasilkan y = 100 – 2x.

Luas kebun adalah xy, yang dapat dinyatakan sebagai fungsi kuadrat

L(x) = x(100 – 2x)

= -2x2 + 100x

= -2(x – 25)2 +1250.

Nilai maksimum fungsi ini tercapai bila x = 25 meter, yang menghasilkan y =100 – 50

= 50 meter, dengan luas terbesar L(25) = 1250 meter persegi.

Kunci 3.2.2.2

1. x + 3y = 1 x 1 x + 3y = 1

2x - y = 9 x 3 6x – 3y = 27 +

7x = 28

x = 4

x + 3y = 1 x 2 2x + 6y = 1

2x – y = 9 x 1 2x – y = 9 +

7y = -7

y = -1

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(4, -1)}

2. x + 7y = -1 x 1 3x + 7y = -1

x - 3y = 5 x 3 3x – 9y = 15 - 16y = -16

y = -1

subsitusikan nilai y = -1 ke persamaan x – 3y = 5 sehingga diperoleh x – 3(-1) = 5

x + 3 = 5

x = 2


Jadi Himpunan penyelesaiannya adalah {(2,-1)}

Kunci3.2.3.3

1. 2x – y + z = -1…… (1)

3x + 2y – z = 10….. (2)

-4x – y – 3z = -3 …. (3)

Dari persamaan (1) dan (3), eliminasikan variabel x.

2x – y + z = -1 │x 2│→ 4x – 2y + 4z = -2

-4x – y–3z =-3│x 1│→-4x – y – 3z = -3 +

-3y + z = -5 … (4)

Dari persamaan (2) dan (3), eliminasikan variabel x.

3x + 2y – z = 10 │x 4│→ 12x + 8y – 4z = 40

-4x – y – 3z = -3│x 3│→-12x - 3y – 9z = -9 +

5y – 13z = 31 … (5)

Kemudian, eliminasi variabel y dari persamaan (4) dan (5)

-3y + z = -5 │x 5 │→ -15y + 5z = -25

5y – 13z = 31 │x 3│→ 15y – 39z = 93 +

34z = 68

z = -2

subsitusikan nilai z = -2 ke persamaan (4) sehingga diperoleh y =1

subsitusikan nilai z = -2 dan y = 1 ke persamaan 1 sehingga diperoleh x = 2

jadi himpunan penyelesaiannya adalah {(2,1,-2)}


Kunci 3.2.4.2

1. Kita misalkan jumlah beras jenis I = x dan jumlah beras jenis I = y, maka:

x + y = 50

6000x + 6200y = 306000

Selanjutnya, selesaikan dengan menggunakan salah satu metode penyelesaian,

misalnya dengan metode cepat, maka:

=> y = (1 . 306000 – 50 . 6000)/(1 . 6200 – 1 . 6000)

=> y = (306000 – 300000)/(6200 – 6000)

=> y = 6000/200

=> y = 30

Substitusi nilai y = 30 ke persamaan x + y = 50, maka:

=> x + y = 50

=> x + 30 = 50

=> x = 50 – 30

=> x = 20

Dengan demikian, jumlah beras jenis I dan beras jenis II yang dijual adalah 20 kg dan

30 kg.

Kunci 3.2.5.3

1. 2x + y ≤ 6 dan x – 2y ≥ -4 merupakan pertidaksamaan linier dalam variabel x dan y,

sehingga keduanya dapat membentuk sistem pertidaksamaan linier dua variabel.

2.

2x + y = 8

X 0 4


Y 8 0

Titik (0, 8) (4, 0)

3.

3x + y = 3

x 0 1

y 3 0

titik (0, 3) (1, 0)

Pertidaksamaan 3x + y ≥ 3

Tanda didepan variabel y adalah +

Tanda ≥ berarti +

Perkalian tanda + . + = + (atas)

Arsir di atas garis pembatas (3x + y = 3)

Kunci 3.3.1

0 4 2

3

8

y

x

2x + y =

8

Y =

3

X = 2

3x + y = 3

0

3

1 X

y

3x + y = 3

0

3

1 X

y


1) C 6) A 11) D 16) C 21) A

2) C 7) B 12) A 17) B 22) B

3) D 8) A 13) C 18) C 23) B

4) A 9) C 14) B 19) C 24) C

5) D 10) B 15) A 20) B 25) C

Kunci 4.2.3.3

1. Koordinat Cartesius adalah letak suatu titik yang mempunyai absis x , ordinat y.

2. Koordinat Kutub adalah letak suatu titik yang disajikan dalam bentuk r dan α.

3. Penyelesaian :

koordinat kutub ⇒koordinat kartesius

(r , α) ⇒ ( x , y )

𝑟 = 6 3 ; 𝛼 = 60°

(Karena α sudut di kuadran I, maka x positif f dan y positif)

𝑥 = 𝑟 cos𝛼

𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝛼

⇒ 6 3 𝑥 𝑐𝑜𝑠 60°

⇒ 6 3 𝑥 1

2

⇒ 3 3

𝑦 = 𝑟 sin𝛼

𝑦 = 𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝛼

⇒ 6 3 𝑥 𝑠𝑖𝑛 60°

⇒ 6 3 𝑥 1

2 3

⇒ 3 𝑥 3

⇒ 9

sehingga koordinat kartesiusnya ialah ( 3 3 , 9)

4. penyelesaian :

(x,y)⇒ (r, α)


x = -4, y=4

(karena x negatif dan y positif, maka α sudut di kuadran II)

𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2

⇒ −42 + 42

⇒ 32

⇒ 4 2

tan𝛼 =𝑥

𝑦

⇒4

−4

⇒ −1

karena 𝛼 sudut di kuadran II, maka : 𝛼 = (180− 45)° = 135°

maka koordinat kutubnya ialah ( 4 2, 135°)

5. P ( -23 , -2 )

𝑟 = 22 )2()32(

= 412

= 4

𝑇𝑎𝑛 𝛼 = 32

2

= 33

1

= 2100 karena ada dikuadran III

jadi koordinat kutup titik P adalah ( 4 , 2100 )

Kunci 4.2.4.3

1. Gunakan rumus Luas Δ ABC (L) = 1

2𝑎. 𝑏. sin𝐶

↔ L = 1

2× 6 × 9 × sin 300

↔ L = 1

2× 6 × 9 ×

1

2

↔ L = 13,5 cm2


2. Keliling segitiga KLM (2s) = ( 9 + 13 + 10 ) cm = 32 cm atau s = 16 cm.

↔ Luas Δ KLM = 𝑠 𝑠 − 𝑎 𝑠 − 𝑏 (𝑠 − 𝑐)

↔ Luas Δ KLM = 16 16− 9 16− 13 (16− 10)

↔ Luas Δ KLM = 16 × 7 × 3 × 6

↔ Luas Δ KLM = 2016 ≅ 44,9 cm2

3. Dengan rumus Luas Δ ABC = 1

2𝑐2 sin 𝐴 sin 𝐵

sin 𝐶 diperoleh

↔ Luas Δ ABC = 1

252 sin 250 sin 350

sin 1200

↔ Luas Δ ABC = 121

2 0,4226 (0,5736)

0,8660

↔ Luas Δ ABC = 12,5 ( 0,2799)

↔ Luas Δ ABC ≅ 3,499 cm2

Kunci 4.2.5.5

1. Maka besar sudut B adalah

∠B = 180°- (∠A+∠C)

∠B = 180°- (60°+75°)

∠B = 180°- 135°

∠B = 45°

2. cos 20°. Cos 40°+ sin 20°. Sin 40° = cos (20°-40°)

= cos (-20°)

= cos 20°

3. Gunakan rumus Sin (𝛼 − 𝛽)

sin 42° cos 12°- cos 42° sin 12°= sin (42°- 12°) = sin 30° = 1

2

4. cos 90° + A = cos 90° cos𝐴 − sin 90° sin𝐴

= 0. cos A− 1. sin𝐴 = − sin𝐴

Jadi , cos 90° + A = − sin𝐴

A

C

25 cm

60°

75°

a

A


5. tan 80°+tan 55°

1−tan 80° tan 55° = tan (80°+55°)

= tan 135°

= tan (180°-45°)

= - 45°

= -1

Jadi, nilai tan 80°+tan 55°

1−tan 80° tan 55° adalah -1

6. 2 sin𝑥 = 3

sin𝑥 =1

2 3

sin 𝑥 = sin 60°

𝑥1 = 60° + 𝑘. 360° → 𝑘 = 0

Maka :

𝑥1 = 60°

𝑥1 = 180°− 𝑎 + 𝑘. 360° = 180°− 60° + 𝑘. 360°

Untuk k= 0 → 𝑥2 = 120°

Jadi, 𝑥1 = 60°, 𝑥2 = 120°

Kunci 4.3.1

1. sin 135° = sin 180°− 45° = sin 45° =1

2 3

2. cos 210° = cos 180° + 30° = − cos 30 ° = −1

2 3

3. tan 315° = tan 360°− 45° = − tan 45° = −1

4. sec 300° = sec 360°− 60° = sec 60° =1

cos 60°=

11

2

= 2

5. cos −60° = cos 60° =1

2

6. Luas ΔPQR =1

2𝑃𝑄.𝑃𝑅 sin𝑃

=1

2 10 8 𝑠𝑖𝑛 𝑃

= 40 sin𝑃


Karena luas ΔPQR diketahui sama dengan 30 cm2, maka diperoleh hubungan :

40 sin𝑃 = 30

↔ sin𝑃 =3

4= 0,75

↔ 𝑃 = 48,5 atau 𝑃 = 180°− 48,6° = 131,4°

Jadi, besar sudut P = 48,6° atau sudut P = 131,4°

7. Diketahui : 𝑟 = 4, 𝛼 = 135°

Maka 𝑥 = 𝑟 cos𝛼

= 4 cos 135°

= 4 cos(180− 45) °

= 4 (− cos 45°)

= 4 (−1

2 2)

= −2 2

𝑦 = 𝑟 sin𝛼

= 4 sin 135°

= 4 sin(180− 45) °

= 4 sin 45°

= 4 (1

2 2)

= 2 2

Jadi, koordinat cartesiusnya adalah (−2 2 , 2 2 )

8. Diketahui : x = 3 , y = 1

Maka 𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2

= 32 + 12

= 9 + 1

= 10

tan𝛼 =𝑦

𝑥

=1

3


𝛼 = 𝑎𝑟𝑐1

3

= 18,43°

Jadi, koordinat kutub nya ialah ( 10, 18,43°)

9. dalam ∆𝐴𝐵𝐶

𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = 180°

30° + 45° + 𝛾 = 180°

𝛾 = 180°

𝑎

sin 𝑎 =

𝑏

𝑠𝑖𝑛𝛽

8

sin 30°=

𝑏

sin 45°

81

2

= 𝑏

1

2 2

b = 11,313 m

𝑎

sin 𝑎 =

𝑐

sin 𝛾

8

sin 30° =

𝑐

sin 105°

81

2

= 𝑐

0,9659

c = 15,455 m

jadi, panjang bagian lauar kuda-kuda atap tersebut adalah 11,313 dan 15,455 m.

10. diketahi ∠A= 60°, b=10 cm, c= 16 cm. Maka dengan aturan kosinus diperoleh:

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐. cos𝐴

= 102+162-2 x 10 x 16 x cos 60°

= 100+256-320 1

2


= 100+256-160

𝑎2 = 196

𝑎 = 14

Jadi 𝑎 = 14

11. sin (A+B)= sin A cos B + cos A sin B = 3

4

sin (A - B)= sin A cos B – cos A sin B = 1

2 +

2 sin A cos B = 3

4 +

1

2

2 sin A cos B = 5

4

sin A cos B = 5

8

jadi, sin A cos B = 5

8

12. Ruas kiri= Cos (𝛼 − 𝛽) = cos (90− 30)°= cos 60° =1

2

Ruas kanan= cos𝑎 cos𝛽 + sin𝑎 sin𝛽 = cos 90° cos 30° + sin 90° sin 30°

= (0 x 1

2 3) + (1+

1

2)

= 1

2 = ruas kiri

Jadi, berlaku bahwa cos 𝑎 − 𝛽 = cos𝑎 cos𝛽 + sin𝑎 sin𝛽 untuk 𝑎 dan 𝛽 = 90°

13. tan 𝑎 + 𝛽 = tan 𝑎+tan 𝛽

1−tan 𝑎 tan 𝛽=

1

2+

1

3

1−1

2

1

3 +

1

2+

1

3

1−1

6

=

5

65

6

= 1

tan 𝑎 − 𝛽 = tan 𝑎−tan 𝛽

1+tan 𝑎 tan 𝛽=

1

2−

1

3

1+1

2

1

3 +

1

2−

1

3

1+1

6

=

1

67

6

= 1

7

Kunci 5.2.2.4

1. a. Kalimat terbuka, karena ada variabel x. Variabel harus diganti dengan angka agar

dapat dinyatakan sebagai pernyataan.


b. Pernyataan, karena benar setiap orang membutuhkan oksigen untuk bernafas.

c. Pernyataan, karena 5 – 2 + 1 = 4 jadi pernyataan 5 – 2 + 1 > 0 bernilai salah.

d. Pernyataan, karena jumlah sudut dalam segitiga adalah 180 jadi pernyataan bernilai

benar.

e. Kalimat terbuka, karena ada variabel p. Variabel p harus diganti dengan angka agar

dapat dinyatakan sebagai pernyataan

2. Diketahui:

p = benar

q = salah

Ditanya: Nilai kebenaran dari ~ (𝑝 ∧ ~ 𝑞) ?

Jawab: ~q = benar

𝑝 ∧ ~ 𝑞 = 𝐵 ∧ 𝐵

= B

~ 𝑝 ∧ ~ 𝑞 = 𝑆

3. Hipotesis dari implikasi adalah Semarang ibu kota Jawa Tengah (p) bernilai benar.

Agar implikasi tersebut bernilai benar, kesimpulan (q) juga harus bernilai benar.

Sehingga,

x2 – 3x - 28 = 0

(x - 7)(x + 4) = 0

x = 7 atau x = -4

4. Diketahui :

p : saya lulus ujian

q : semua keluarga berbahagia

r : saya melanjutkan ke Perguruan Tinggi Negeri

t : saya bekerja

Ditanya :

a. ~ 𝑝 → ~ 𝑡

b. ~ 𝑞 ↔ ~ 𝑟

Jawab :


~ 𝑝 : saya tidak lulus ujian

~ 𝑞 : beberapa keluarga tidak berbahagia

~ 𝑟 : saya tidak melanjutkan ke Perguruan Tinggi Negeri

~ 𝑡 : saya tidak bekerja

a. ~ 𝑝 → ~ 𝑡

Jika saya tidak lulus ujian maka saya tidak bekerja.

b. ~ 𝑞 ↔ ~ 𝑟

Beberapa keluarga tidak berbahagia jika dan hanya jika saya tidak melanjutkan ke

Perguruan Tinggi Negeri.

Kunci 5.2.3.4

1) a) Konvers 𝑞 → 𝑝 : jika 5 merupakan bilangan prima, maka 2 + 4 > 5

invers ~𝑝 → ~𝑞: jika 2 + 4 ≤ 5, maka 5 bukan merupakan bilangan prima

kontraposisi ~𝑞 → ~𝑝: jika 5 bukan merupakan bilangan prima, maka 2 + 4 ≤

5.

b) p = saya pergi ke dokter

q = saya sakit

Konvers 𝑞 → 𝑝 : jika saya sakit, maka saya pergi ke dokter.

Invers ~𝑝 → ~𝑞: jika saya tidak pergi ke dokter, maka saya tidak sakit.

Kontraposisi ~𝑞 → ~𝑝: jika saya tidak sakit, maka saya tidak pergi ke dokter.

c) p = harga turun

q = permintaan naik

Konvers : Jika permintaan naik, maka harga turun.

Invers : Jika harga tidak turun, maka permintaan tidak naik

Kontraposisi : Jika permintaan tidak naik, maka harga tidak turun

2) diketahui bahwa nilai kebenaran implikasi sama dengan nilai kebenaran

kontraposisinya. Sehingga pernyataan yang senilai dengan implikasi adalah

kontraposisinya

a. jika ada pelajaran sekolah yang tidak dapat saya ikuti dengan baik, maka saya

tidak rajin.


𝑏. ~ 𝑞 ∧ 𝑟 → ~ ~𝑝 atau (~𝑞 ∨ ~𝑟) → 𝑝

𝑐. ~ ~𝑟 → ~(𝑝 → 𝑞) atau 𝑟 → (𝑝 ∧ ~𝑞)

3) Misalkan: x = siswa SMA p(x) = terpelajar

Oleh karena itu, kalimat ”Setiap siswa SMA terpelajar” dapat ditulis dalam kalimat

kuantor ∀𝑥,𝑝 𝑥 . Negasi dari ∀𝑥,𝑝 𝑥 adalah ∃𝑥 , ~𝑝 𝑥 . Berarti, negasi dari

”Setiap siswa SMA terpelajar” adalah ”Terdapat siswa SMA yang tidak terpelajar”.

Kunci 5.2.4.3

1. Kesimpulan yang sah dari premis berikut

a) 𝑃1 : Jika terjadi kecelakaan, maka jalan macet

𝑃2 : jika jalan macet, maka banyak yang terlambat

∴ : jika terjadi kecelakaan, maka banyak yang terlambat

b) 𝑃1 : jika harga barang naik, maka permintaan barang turun

𝑃2 : jika permintaan barang turun, maka produksi barang turun

∴ : jika harga barang naik, maka produksi barang turun

c) 𝑃1 : jika 𝑛 bilangan ganjil, maka 𝑛2 bilangan ganjil

𝑃2 : jika 𝑛2 bilangan ganjil, maka 𝑛2 + 1 bilangan genap

∴ : jika 𝑛 bilangan ganjil, maka 𝑛2 + 1 bilangan genap

2. a) Tabel nilai kebenaran pernyataan majemuk ((𝑝 → 𝑞) ∧ 𝑞) → 𝑝.

𝑝 𝑞 𝑝 → 𝑞 ( 𝑝 → 𝑞) ∧ 𝑞 ((𝑝 → 𝑞) ∧ 𝑞) → 𝑝

B B B B B

B S S B B

S B B B S

S S B S B

Dengan tabel kebenaran diketahui bahwa ((𝑝 → 𝑞) ∧ 𝑞) → 𝑝 bukan tautologi.

Maka penarikan kesimpulan di atas tidak sah atau tidak valid.


b) Tabel nilai kebenaran pernyataan majemuk ((~𝑝 → ~𝑞) ∧ 𝑞) → 𝑝.

𝑝 𝑞 ~𝑝 ~𝑞 ~𝑝 → ~𝑞 ~𝑝 → ~𝑞 ∧ 𝑞 ((~𝑝 → ~𝑞)

∧ 𝑞) → 𝑝

B B S S B B B

B S S B B S B

S B B S S S B

S S B B B S B

Dengan tabel kebenaran diketahui bahwa ((~𝑝 → ~𝑞) ∧ 𝑞) → 𝑝 adalah

tautology. Maka penarikan kesimpulan di atas sah atau valid.

3. a) Tabel nilai kebenaran pernyataan majemuk ((𝑝 → 𝑞) ∧ ~𝑞) → 𝑝.

𝑝 𝑞 ~𝑞 𝑝 → 𝑞 (𝑝 → 𝑞) ∧ ~𝑞 ((𝑝 → 𝑞) ∧ ~𝑞) → 𝑝

B B S B S B

B S B S S B

S B S B S B

S S B B B S

Dengan tabel kebenaran diketahui bahwa ((𝑝 → 𝑞) ∧ ~𝑞) → 𝑝 bukan tautologi.


b) Tabel nilai kebenaran pernyataan majemuk ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑝) → ~𝑞.

𝑝 𝑞 ~𝑞 𝑝 ∨ 𝑞 ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑝) ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑝)→ ~𝑞

B B S B B S

B S B S B B

S B S B S B

S S B B S B

Dengan tabel kebenaran diketahui bahwa ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑝) → ~𝑞 bukan tautologi.


Kunci 5.3.1

1. Termasuk pernyataan


Untuk x + 2 = x – 2 :

Karena untuk setiap nilai x , x + 2 = x – 2 bernilai salah , maka x + 2 = x– 2

merupakan pernyataan bernilai salah

Untuk 2(x + 1)+ 3 = 2x +5 :

Karena untuk setiap nilai x , 2(x + 1)+ 3 = 2x +5 bernilai benar, maka 2(x+ 1)+ 3 =

2x +5 merupakan pernyataan bernilai benar.

2. Diketahui:

2 bilangan prima dan 2 + 3 sama dengan 5

Ditanya : negasi pernyataan ?

Jawab :

p : 2 bilangan prima

q : 2 + 3 sama dengan 5

∼ 𝑝 : 2 bukan bilangan prima

∼ 𝑞 ∶ 2 + 3 tidak sama dengan 5

∼∧ ∶ ∨

Sehingga negasi pernyataannya menjadi, “2 bukan bilangan prima atau 2 + 3 tidak

sama dengan 5”.

3. Diketahui:

3 bilangan prima atau 5 bilangan genap

Ditanya : nilai kebenaran ?

Jawab :

bilangan prima atau 5 bilangan gena

B ∨ S

Disjungsi bernilai benar apabila paling sedikit satu dari keduanya bernilai benar.

Jadi,”3 bilangan prima atau 5 bilangan genap” bernilai benar.

4. Diketahui :

6 bilangan prima dan 3 bilangan ganjil


Jawab :

6 bilangan prima dan 3 bilangan ganjil

S ∧ B

Suatu konjungsi bernilai benar jika kedua pernyataan tunggalnya bernilai benar.

Jadi, “6 bilangan prima dan 3 bilangan ganjil” bernilai salah.


5. Diketahui :

jika 2 + 3 = 5 , maka 4 + 5 = 7


Jawab :

p : 2 + 3 = 5 ( B )

q : 4 + 5 = 7 ( S )

Implikasi bernilai salah jika p bernilai benar dan q bernilai salah, dalam hal lain

implikasi bernilai benar. Jadi, p → 𝑞 bernilai salah.

6. Diketahui :

2 + 2 = 4 ↔ 3 + 4 = 8


Jawab :

2 + 2 = 4 ↔ 3 + 4 = 8

B B

Biimplikasi bernilai benar, jika keduanya mempunyai nilai kebenaran yang sama

(semua benar atau semua salah). Jadi, 2 + 2 = 4 ↔ 3 + 4 = 8 bernilai benar.

7. Tabel kebenaran dari ~ p → ~ q

8. Diketahui :

x ganjil ↔2x genap


Jawab :

p : x ganjil, berarti p = (1, 3, 5, ... )

q : 2x genap, berarti q = (2, 3, 10, ...)

Biimplikasi bernilai benar, jika keduanya mempunyai nilai kebenaran yang sama

(semua benar atau semua salah). Karena p ≠ 𝑞, maka pernyataan p ↔ 𝑞 bernilai

salah.

p Q ~ 𝑝 ~ 𝑞 ~ p → ~ q

B

B

S

S

B

S

B

S

S

S

B

B

S

B

S

B

B

B

S

B


9.

p Q q → 𝑝 [p ∨ (𝑞 → 𝑝)] ∼[p ∨ (𝑞 → 𝑝)]

B B B B S

B S B B S

S B S S B

S S B B S

10. Diketahui :

p bernilai benar, q bernilai benar, dan r bernilai salah.

Ditanya : nilai kebenaran

a. p ∨ 𝑞 → 𝑟

b. ~ 𝑝 ∨ [(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑟]

Jawab :

a. p ∨ 𝑞 → 𝑟 ≡ B ∨ 𝐵 → 𝑆

≡ B ∨ S

≡ B

b. ~ 𝑝 ∨ 𝑝 ∨ 𝑞 ∧ 𝑟 ≡ 𝑆 ∨ 𝐵 ∨ 𝐵 ∧ 𝑆

≡ 𝑆 ∨ ( B ∧ 𝑆)

≡ 𝑆 ∨ 𝑆

≡ 𝑆

11. a) Konvers : Jika semua penduduk Indonesia pandai, maka biaya sekolah gratis

Invers : Jika biaya sekolah tidak gratis, maka semua penduduk Indonesia tidak

pandai.

Kontraposisi : Jika semua penduduk Indonesia tidak pandai, maka biaya sekolah

tidak gratis.

b) Konvers : Jika Badu lulusan SMP, maka ia siswa SMA

Invers : Jika Badu bukan siswa SMA, maka ia bukan lulusan SMP

Kontraposisi : Jika Badu bukan lulusan SMP, maka ia bukan siswa SMA

c) Konvers : Jika Carli lulus tes, maka ia siswa yang pandai

Invers : Jika Carli siswa yang tidak pandai, maka ia tidak lulus tes

Kontraposisi : Jika Carli tidak lulus tes, maka ia siswa yang tidak pandai.

d) Konvers : Jika Ali seorang anggota DPR , maka ia seorang anggota MPR


Invers : Jika Ali bukan seorang anggota MPR, maka ia bukan seorang anggota

DPR

Kontraposisi : Jika Ali bukan seorang anggota DPR , maka ia bukan seorang

anggota MPR

12. p = hari ini hujan

q = saya tidak pergi

r = saya nonton sepak bola

premis 1 : p → q

premis 2 : q → r (modus silogisme)

Kesimpulan: p → r

13. Jika hari ini hujan maka saya nonton sepak bola

Pernyataan yang memuat kata "Semua" atau "Setiap" negasinya memuat kata

"Beberapa" atau "Ada" seperti berikut: a) ~p : Ada dokter tidak memakai baju putih

saat bekerja.

Kunci 6.2.2.4

1. a. Titik A,B

b. Titik D,C,E,F,G,H

2. a. Titik D,C,G,H

b. Titik A,B,E,F

3. a. Titik B,C

b. Titik A,D,E,F,G,H

c. Titik D,E

d. Titik A,B,C,F,G,H

e. Titik A,G

f. Titik B,C,D,E,F,H

4. a. Titik K,L,M,N


b. Titik P,Q,R,S

c. Titik K,L,Q,P

d. Titik M,N,R,S

e. Titik K,M,R,P

f. Titik L,Q,S,N

5. a. Titik A,B,C,D

b. Titik T

c. Titik B dan C

d. Titik A,C,dan D

Kunci 6.2.3.4

1.

Gambar 2.8

Jarak dari P ke Q adalah 2 14 cm

2. a. Jarak titik A ke garis BC adalah AB = 5 cm

b. Jarak titik A ke garis FG adalah AF = 5 2 cm

c. Jarak titik C ke garis FH adalah CO = 5

2 6 cm

d. Jarak titik P ke garis CD adalah PC = 5

2 = 2

1

2 cm

e. Jarak titik P ke garis BF adalah PQ = CB = 5 cm

f. Jarak titik P ke garis BD adalah PR = 5

2 3 cm.

3. Jarak B ke garis EG = 2 6 cm

4. a. jarak titik A ke bidang DCGF adalah AB = 10 cm, sebab AB tegak lurus bidang BCGF.

C P

A

E Q

H G

B

R D

F


b. jarak titik A ke bidang CDHG adalah AD = 8 cm, sebab AD tegak lurus bidang CDHG.

c. jarak titik A ke bidang EFGH adalah AE = 6 cm, sebab AE tegak lurus bidang EFGH.

d. jarak titik O ke bidang ABFE adalah OP = 1

2 PQ =

1

2 (8) = 4 cm.

e. jarak titik O ke bidang BCGF adalah OR = 1

2 SR =

1

2 (10) = 5 cm.

f. jarak titik O ke bidang EFGH adalah OT = AE = 6 cm, sebab OT tegak lurus bidang

EFGH.

5. a. panjang AC = 5 cm

b. jarak titik puncak T ke bidang alas ABCD adalah TO = 6 cm.

Kunci 6.2.4.4

1. Jarak antara titik V dan titik A adalah 5 3

2 cm.

2. jarak antara garis AE dan garis CG yang sejajar sama dengan panjang diagonal bidang AC =

6 2 cm.

Gambar 3.4

3. Jarak antara garis AE dan bidang BCGF yang sejajar itu sama dengan panjang rusuk AB = 5

cm.

4. Jarak antara bidang ABCD dan bidang EFGH sama dengan panjang rusuk AE = 3 cm.

5. Jarak antara garis AE dan garis GH yang bersilangan tegak lurus sama dengan panjang

rusuk EH = 6 cm.

Kunci 6.3.1

1) a. Titik yang berada pada garis DF adalah titik D dan F.

H

E

A B

C D

G

F

k

6 cm


b. Titik yang berada di luar bidang BCHE adalah titik A, B, F dan G.

c. Garis yang sejajar dengan CF adalah garis DE.

2) a. Jarak titik H ke garis AC = 3 6 cm.

b. Jarak titik B ke garis AG = 3 5 cm.

c. Jarak garis AE dan CG = 6 2 cm.

d. Jarak garis AB dan CDHG = 6 cm.

e. Jarak bidang HFC dan DBE = 3 2 cm.

3) Jarak titik C ke bidang AFH = 4 3 cm.

4) Jarak antara titik T ke bidang ABCD = 16,45 cm.

5) a. Jarak AE ke CG = AC = 10 3 cm.

b. Jarak ABCD dan EFGH = AE = 10 cm.

6) 32

7) 1

2 2

8) b Tegak lurus a

9) Empat buah prisma segitiga sama sisi

10) ABEF dan DCGH

Kunci 6.2.5.4

1. 10

3 3

2. 5

2 6

3. 𝑏𝑢𝑘𝑎𝑛

Kunci 7.2.2.4

1. Jika data tersebut kita daftarkan tanpa menggunakan label barang maka kita dapat

menggunakan tabulasi kolom, diperoleh tabel sebagai berikut:

Data keuntungan barang/jasa koperasi sekolah

Jenis Barang/Jasa Jumlah Keuntungan (Satuan Ribu Rupiah)

Buku tulis 400

Pensil 300

Ballpoint 550

Keping CD 200

Tinta printer 325


Makanan ringan 710

Kertas hvs 350

Kertas folio 600

Minuman ringan dan air mineral 750

Seragam sekolah 900

Seragam olahraga 500

Buku bacaan 600

Majalah/komik 300

Fotocopy 525

Total 7010

Bagaimana jika data yang ada lebih banyak?

Dengan bantuan pelabelan pada setiap jenis pada setiap jenis barang/jasa akan membantu

dan lebih memudahkan kita dalam menyajikan data yang banyak serta dalam berbagai

bentuk tabel, sehingga dengan data berlabel diperoleh dat berikut ini (satuan ribu rupiah) :

Data keuntungan barang/jasa menggunakan label

Jenis barang/jasa keuntungan

1 400

2 300

3 550

4 200

5 325

6 710

7 350

Jenis barang/jasa keuntungan

8 400

9 300

9 550

10 200

11 325

12 710

13 350

14 525

Dari penyajian tabel diatas oleh 5 jenis barang dengan keuntungan tertinggi, yakni:

Data barang/jasa dengan keuntungan tertinggi

No Jenis barang/jasa Jumlah keuntungan

1 Seragam sekolah 900

2 Minuman ringan dan air mineral 750

3 Makanan ringan 710

4 Buku catatan 600

5 Kertas folio 600


2. Kita akan membuat diagram garis terlebih dahulu, dengan cara yang sudah di pelajari

Kurs jual

Kurs beli

Dari diagram di atas diperoleh data sebagai berikut:

Harga kurs jual tertinggi Rp. 9.124 berada di tanggal 6 juli dan terendah Rp. 8.967

berada di tanggal 7 juli.

Harga kurs jual tertinggi Rp. 9.175 berada di tanggal 5 juli dan terendah Rp. 8.985

berada di tanggal 10 juli.

3. Dari data di atas diperoleh data penjualan smartphone adalah 180 unit.

1) Untuk menggambarkan diagram lingkaran biasanya digunakan dalam dua bentuk

yakni bentuk derajat dan bentuk persentase. Dalam bentuk persentase kita

menghitung lebih dahulu besar persentase tiap bagian data penjualan smartphone

terhadap seluruh penjualan yakni 100%. Sama halnya dengan sudut pusat lingkaran

terlebih dahulu menghitung tiap sudut lingkaran yaitu 360˚. Atau dihitung dengan

menggunakan cara yang telah diajarkan diatas. Dengan pembulatan desimal maka

besar persentase dan besar sudut lingkaran tiap bagian data penjualan smartphone

adalah:

Tipe Handphone

Banayak Penjualan

Persentase Sudut Pusat Lingkaran

Tipe I 35 35

180× 100% = 19%

35

180× 360° = 70°

Tipe II 25 25

180× 100% = 14%

35

180× 360° = 50°

8,800

8,900

9,000

9,100

9,200

05-Jul 06-Jul 07-Jul 08-Jul 09-Jul 10-Jul

nila

i tu

kar

kurs uang kertas asing


Tipe III 20 20

180× 100% = 11%

35

180× 360° = 40°

Tipe IV 40 40

180× 100% = 22%

35

180× 360° = 80°

Tipe V 10 10

180× 100% = 6%

35

180× 360° = 20°

Tipe IV 50 50

180× 100% = 28%

35

180× 360° = 100°

Dengan memperoleh besaran persentase tiap bagian pada data penjualan smartpone

tersebut maka bentuk diagram lingkaran dalam bentuk persentase adalah sebagai

berikut.

Untuk diagram lingkaran dengan besaran sudut kamu selesaikan sebagai latihan.

Dengan demikian dapat dinyatakan bahwa diagram lingkaran adalah penyajian data

statistik dengan menggunakan gambar yang berbentuk lingkaran yang pada bagian-

bagian dari daerah lingkaran menunjukan juring atau persentase dari keseluruhan.

2) dari data tersebut kita juga dapat menggambarkan diagram batang. Prinsip penyajian

diagram batang relatif sama dengan diagram garis. Setelah menghubungkan variabel

pengamatan dengan nilai pengamatan dapat dibentuk grafik batang dengan lebar

Tipe I19%

Tipe II14%

Tipe III11%Tipe IV

22%

Tipe V6%

Tipe IV

28%

Banyaknya Penjualan Smartphone


yang sama dan setinggi atau sejauh nilai data pengamatan. Dengan data penjualan

smartphone di atas dapat disajikan diagram batang sebagai berikut.

= banyak penjualan

Kunci 7.2.3.3

1. Yang pertama harus mengurutkan data terlebih dahulu

38, 48, 48, 49, 51, 56, 60, 61, 61 63, 63, 63, 65, 66,

67, 68, 70, 70, 70, 70, 71, 72, 72, 72, 73, 74, 74, 74,

81, 81, 81, 81, 82, 82, 82, 82, 83, 83, 83, 83, 84, 84,

84, 84, 85, 85, 86, 87, 88, 88, 88, 88, 88, 89, 90, 90,

90, 90, 91, 91, 92, 92, 92, 93, 93, 97, 97, 98,

a) Jangkauan Data = 98 – 38 = 60

banyak kelas = 1 + (3,3) × log 80

= 1 + (3,3) × (1,903)

= 7,28 ≈ 7

Jadi 80 data di atas akan dibagi menjadi 7 kelas interval.

Panjang Kelas = 𝑗𝑎𝑛𝑔𝑎𝑘𝑎𝑢𝑎𝑛

𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑘𝑒𝑙𝑎𝑠 =

60

7 = 8,57 ≈ 9

Tabel Distribusi Frekuensi

Kelas Frekuensi

35

2520

40

10

50

0

10

20

30

40

50

60

Tipe 1 Tipe 2 Tipe 3 Tipe 4 Tipe 5 Tipe 6

banyak penjualan smarphone


38 – 46 1

47 – 55 5

56 – 64 7

65 – 73 12

74 – 82 25

83 – 91 22

92 – 100 8

Jumlah 80

b) Dengan data di atas kita dapat menggambar histogram sebagai berikut

Kunci 7.2.4.4

1. 𝑥 =6+8+9+7+10

5=

40

5= 8

Jadi rata-rata nilai matematika Ani adalah 8.

2. Dengan cara langsung

1

57

12

2522

8

0

5

10

15

20

25

30

38-46 47-55 56-64 65-73 74-82 83-91 92-100

fre

kuen

si

kelas interval

data nilai siswa


Nilai 4 5 6 7 8

f 3 7 12 14 4 𝑓𝑖𝑛𝑖=1 = 40

𝒇𝒊𝒙𝒊 12 35 72 98 32 𝑓𝑖𝑥𝑖𝑛𝑖=1 =249

𝑥 = 𝑓𝑖𝑥𝑖𝑛𝑖=1

𝑓𝑖𝑛𝑖=1

=249

40= 6,225

Sehingga rata-rata data tersebut adalah 6,225

Dengan menggunakan rataan sementara (𝑥 𝑠 = 7)

Nilai (𝒙𝒊) 4 5 6 7 8

𝒇𝒊 3 7 12 14 4 𝑓𝑖𝑛𝑖=1 = 40

𝒙𝒊 − 𝒙 𝒔 -3 -2 -1 0 1

𝒇𝒊(𝒙𝒊 − 𝒙 𝒔) -9 -14 -12 0 4 𝑓𝑖(𝑥𝑖 − 𝑥 𝑠)

𝑛

𝑖=1

= −31

Sehingga 𝑥 = 𝑥 𝑠 + 𝑓𝑖(𝑥𝑖−𝑥 𝑠)𝑛𝑖=1

𝑓𝑖𝑛𝑖=1

= 7 +−31

40

= 7−0,775

= 6,225

3. 6,8 =𝑥 1 .𝑓1+𝑥 2 .𝑓2

𝑓1+𝑓2

6,8 =7.30+𝑥2 .5

30+5

6,8 .35 = 210 + 5. 𝑥2

238 = 210 + 5. 𝑥2

5. 𝑥2 = 238− 210

5. 𝑥2 = 28

𝑥2 =28

5= 5,6

Jadi, rata-rata lima anak tersebut adalah 5,6.

4. Data diurutkan menjadi: 3, 4, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 9. Karena datanya sebanyak ganjil, maka

mediannya adalah 𝑋9+1

2

= 𝑋5 = 7.

Data diurutkan menjadi: 3, 4, 6, 7, 8, 8, 8, 9. Karena datanya sebanyak genap, maka

median = 𝑋8

2+𝑋8

2+1

2=

𝑋4+𝑋5

2=

7+8

2= 7,5


Kunci 7.2.5.3

1. Karena data sudah URUT, maka tinggal mencari :

1 3

1 3

2, 2, 3 , 4 , 5, 6, 8 , 8

Q Me Q

2 3 6 8Q 2,5 Q 7

2 2

2. Data diurutkan terlebih dahulu: 3, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9

Kuartil bawah (𝑄1) = 𝑋1 12+1

4

= 𝑋13

4

= 𝑋3 +1

4 𝑋4 − 𝑋3

= 5 + 1

4 5 − 5

= 5

Kuartil atas (𝑄3) = 𝑋3 12+1

4

= 𝑋39

4

= 𝑋9 +3

4 𝑋10 − 𝑋9

= 8 + 1

4 8− 8

= 8

Kunci 7.2.6.3

1. SR = 1

𝑛 |𝑥𝑖 − 𝑥 |𝑛

𝑖=1

𝑥 = 10+10+9+8+8+7+7+6+6+5

10 =

76

10

= 7,6

𝑆𝑅 = 2 10−7,6 + 9−7,6 +2 8−7,6

10 +

+ 2 7−7,6 +2 6−7,6 + 5−7,6

10

= 2 2,4 +1,4+2 0,4 +2 0,6 + 2 1,6 +2,6

10

= 14

10 = 1,4


2. 𝑆𝑅1 = 2,29

𝑆𝑅2 = 2,29 ×10 + 10

10

= 22,9+10

10 =

32,9

10 = 3,29

3. 𝑥 − 1 = 20+𝑥

8

8𝑥 − 8 = 20 + 𝑥

7𝑥 = 28

𝑥 = 4

4. 𝑥 = 3+6+ 6+ 2+ 6+ 2+1+ 1+ 5+ 3

10 = 3,5

S = 𝑥𝑖− 𝑥 2𝑛𝑖=1

𝑛−1

= 3 6− 3,5 2+ 2 2− 3,5 2+2 1− 3,5 2+ 2 3− 3,5 2+ 5− 3,5 2

10−1

= 3 2,5 2+ 2 −1,5 2+2 − 2,5 2+ 2 −0,5 2+ 1,5 2

9

= 18,75+ 4,5+12,5+ 0,5+2,25

9 =

38,5

9 =

6,204

3 = 2,068

= 2,1

Kunci 7.3.1

1. Berikut adalah penyataan dalam diagram garis


2. Sudut SD = 10

180× 100% = 5 %

Sudut SMP = 30

180× 100 % = 16, 5%

Sudut SMA/SMK = 21

180× 100% = 11,5 %

Sudut perguruan tinggi = 20

180× 100% = 11%

3. Dari data di atas dapat kita peroleh diagram batang sebagai berikut :

5%

16.50%11.50%

11%

DATA PELAJAR

sudut SD

sudut SMP

sudut SMA/SMK

perguruan tinggi


4. Dari data di atas kita dapat kita buat histogram sebagai berikut:

5. Rata-rata = 7 + 5 + 8 + 6 + 7 + 8 + 7 + 7 + 7 + 9 + 5 + 8 + 6 + 8

14 =

98

14 = 7

6. Median = 7 + 7

2 = 7

7. Modus = 7

8. Jangkauan = 9 – 5 = 4

9. Mean = 5 + 6 + 9 + 6 + 5 + 8 + 6 + 9 + 6 + 10

10 = 7

Median = 6

Modus = 6

10. Mean = 6 + 4 + 5 + 8 + 8 + 4 + 7 + 6

9 = 6

Median = 6+6

2= 6

Modus = 6

11. Rata-rata = 4(52) + 6(57) + 8(62) + 10(67) + 8(72) + 4(77)

40 =

2.600

40 = 65 kg

12. Mo = 64,5 + 2

2+2 5 = 64,5 + 2,5 = 67

13. Kuartil atas = 3

4 x 40 = 30

𝑄3 = 𝐿3 + 3

4 𝑓−𝑓𝐾3

𝑓𝑄3

𝑖

1517 18

25

10

0

5

10

15

20

25

30

35 - 44 45 - 54 55 - 64 65 - 74 75 - 84

fre

kue

nsi

kelas interval

banyak data


= 69,5 + 3

4.40−28

8 5

= 69,5 + 1,25

= 70,75

14. 𝐷4 = 𝐿4 + 4𝑥𝑛

10−𝑓𝑘

𝑓 𝑥𝑐 = 59,5 +

4𝑥40

10−10

8 𝑥5 = 63,25

15. 6 =3 + 7 + 5 + a + 6 + 4 + 6 + 9 + 6 + 4

10

a = 10

16. 38(5) + 43(x) + 48(10) + 53(8) + 58(4)

27+𝑥 = 48

1.326 + 43 x = 48 ( 27 + x )

1.326 + 43 x = 1.296 + 48 x

5x = 30

x = 6

17. Data setelah diurutkan:

5 6 7 7 8 9 10 12 14

𝑄1 𝑄2 𝑄3

Kuartil bawah = 6 + 7

2 = 6,5

18. Kuartil atas = 10 + 12

2 = 11

19. 𝐷8 = 𝐿8 + 8𝑥𝑛

10−𝑓𝑘

𝑓 𝑥𝑐 = 55,5 +

8𝑥40

10−28

8 𝑥5 = 58

20. Nilai rata-rata = 6(22) + 10(27) + 2(32) + 5(37) + 4(42) + 3(47)

30 =

960

30 = 32

21. Modus

Mo = 𝐿 + 𝑑1

𝑑1+𝑑2 𝑖 = 24,5 +

4

4+8 5 = 24,5 +

4

12 5 = 26,2

22. Media

𝑄2 = 𝐿2 + 1

2 𝑓−𝑓𝐾2

𝑓𝑚𝑒𝑑 𝑖

= 24,5 + 1

2.30−6

10 5

= 24,5 +9

10. 5

= 29

23. Kuartil atas


𝑄3 = 𝐿3 + 3

4 𝑓−𝑓𝐾3

𝑓𝑄3

𝑖

= 34,5 + 3

4.30−18

5 5

= 34,5 + 4,5

= 39

24. Kuartil bawah

𝑄1 = 𝐿1 + 1

4 𝑓−𝑓𝐾1

𝑓𝑄1

𝑖

= 24,5 + 1

4.30−6

10 5

= 24,5 + 0,75

= 25,25

25. Simpangan kuartil

𝑄𝑑 = 1

2(𝑄3 − 𝑄1) =

1

2(39− 25,25) = 6,875

26. Rata-rata data tersebut adalah 7

sehingga diperoleh ragam S2, yaitu

S2 = 1

6 4− 7 2 + 8− 7 2 + 5 − 7 2 + 9− 7 2 + 10− 7 2 + 6 − 7 2

= 1

6 (9 + 1 + 4 + 4 + 9 + 1)

= 4,67

S = 4,67 = 2,16

27. 5(4) + 6(8) + 7(5) + 8(M) + 9(2)

19 +𝑀 = 7

121 + 8 M = 7 ( 19 + M)

121 + 8 M = 133 + 7M

M = 12

28. x + (x + 2) + (x + 7)

3 = 24

3x + 9 = 24 . 3

3x = 72 – 9

x = 21

29. 10(7.000) + 8(6.000) + 12(10.000) + 11(8.000) + 9(5.000)

50 =

371

50= 7.420

30. 𝑥 =𝑥 1 .𝑓1+𝑥 2 .𝑓2

𝑓1+𝑓2


7,5 =7,8.20+𝑥 2 .12

20+12

7,5 =156+𝑥 2 .12

32

240 = 156 + 𝑥 2 . 12

12 𝑥 2 = 84

𝑥 2 = 7

31. 𝑥 =𝑥 1 .𝑓1+𝑥 2 .𝑓2

𝑓1+𝑓2

6,6 =6,5.𝑓1+9 .1

𝑓1+1

6,6 𝑓1 + 6,6 = 6,5.𝑓1 + 9 . 1

0,1 𝑓1 = 2,5

𝑓1 = 25

32. Rata-rata = 𝑥 = 4(2) + 5(5) + 6(8) + 7(11) + 8(4)

30 =

8 + 25 + 48 + 77 + 32

30 =

190

30 = 6,3

Siswa dinyatakan lulus ujian matematika jika nilainya lebih besar dari 6,3.

Jadi, jumlah siswa yang lulus adalah 11 + 4 = 15 siswa

33. Nilai total kelompok = 50 x 64 = 3.200

Nilai rata-rata 49 siswa = 3.200−88,5

49 = 63,5

34. Misal:

Jumlah siswa laki-laki = a

Jumlah siswa perempuan = b

65𝑎+54𝑏

𝑎+𝑏= 58

65a + 54 b = 58a + 58b

7a = 4b

b : a = 7 : 4

Kunci 8.2.1.3

i. 1. x + y – 9 = 0

Bukan persamaan lingkaran karena x dan y berpangkat 1

ii. x2 + y2 – 2x + 5y + 4xy - 4 = 0

bukan persamaan lingkaran karena memuat suku 4xy

iii. x2 + 9y2 + 6x - 8y = 25

bukan persamaan lingkaran karena koefisien x2 tidak sama dengan koefisien y2

iv. x2 + y2 - 6x + 5y – 9 = 0


Merupakan Persamaan Lingkaran

Kunci 8.2.2.3

Persamaan lingkaran adalah 𝑥² + 𝑦² + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0

Melalui (3 ,-1) maka :

𝑥² + 𝑦² + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0

3² + −1 ² + 𝑎. 3 + 𝑏. −1 + 𝑐 = 0

9 + 1 + 3𝑎 − 𝑏 + 𝑐 = 0

3𝑎 − 𝑏 + 𝑐 + 10 = 0 …… (1)


𝑥2 + 𝑦2 + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0

5² + 3² + 𝑎. 5 + 𝑏. 3 + 𝑐 = 0

25 + 9 + 5𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 = 0

5𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 + 34 = 0 …… (2)


𝑥2 + 𝑦2 + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0

6² + 2² + 𝑎. 6 + 𝑏. 2 + 𝑐 = 0

36 + 4 + 6𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 = 0

6𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 + 40 = 0 …… (3)


3𝑎 − 𝑏 + 𝑐 + 10 = 0


5𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 + 34 = 0

−2𝑎 + −4𝑏 + 0− 24 = 0

𝑎 + 2𝑏 + 12 = 0 …… (4)


5𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 + 34 = 0

6𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 + 40 = 0

−𝑎 + 𝑏 − 6 = 0

𝑎 − 𝑏 + 6 = 0 …… (5)


𝑎 + 2𝑏 + 12 = 0

𝑎 − 𝑏 + 6 = 0

3𝑏 + 6 = 0

𝑏 = −2

b = - 2 disubtitusikan ke persamaan (5) :

𝑎 − 𝑏 + 6 = 0

𝑎 + 2 + 6 = 0

𝑎 + 8 = 0

𝑎 = −8

a = - 8 ,b = - 2 disubtitusikan ke persamaan (1):

3𝑎 − 𝑏 + 𝑐 + 10 = 0

3(−8)− (−2) + 𝑐 + 10 = 0

−24 + 2 + 𝑐 + 10 = 0

𝑐 = 12


Jadi persamaan lingkaran adalah :

𝑥² + 𝑦² + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0

𝑥² + 𝑦² − 8𝑥 − 2𝑦 + 12 = 0

Maka diperoleh :

2𝐴 = −8 2𝐵 = −2 𝐶 = 12

𝐴 = −4 𝐵 = −1

𝑟 = 𝐴² + 𝐵² − 𝐶

= −4 ² + −1 ²− 12

= 16 + 1− 12 = 5

Jadi, pusat −𝐴,−𝐵 = (4,1) dan jari-jari 𝑟 = 5

Kunci 8.2.3.3

1. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(0, 0) dengan

a. panjang jari-jari 3 adalah x2 + y2 = 32 ⇔ x2 + y2 = 9

b. panjang jari-jari 5 adalah x2 + y2 = 52 ⇔ x2 + y2 = 25

2. Pusat (4, 5) dan menyinggung sumbu X ⟶ jari-jari lingkaran 5

Persamaan lingkaran :

𝑥 − 4 ² + 𝑦 − 5 ² = 5²

𝑥²− 8𝑥 + 16 + 𝑦² − 10𝑦 + 25 = 25

𝑥² + 𝑦²− 8𝑥 − 10𝑦 + 41 = 25

𝑥2 + 𝑦2 − 8𝑥 − 10𝑦 + 16 = 0

3. pusatnya (5, 2) dan melalui (-4,1)

r = 5− −4 ² + (2− 1)²

= 5 + 4 ² + (2− 1)²


= 9² + 1² = 81 + 1 = 82


𝑥 − 5 ² + 𝑦 − 2 ² = ( 82)²

𝑥²− 10𝑥 + 25 + 𝑦2 − 4𝑦 + 4 = 82

𝑥2 + 𝑦2 − 10𝑥 − 4𝑦 + 29 = 82

𝑥² + 𝑦²− 10𝑥 − 4𝑦 − 53 = 0

4. Dari persamaan

2𝑥² + 2𝑦²− 4𝑥 + 3𝑦 = 0

𝑥² + 𝑦²− 2𝑥 + 11

2𝑦 = 0

𝑥² + 𝑦² + 2𝐴𝑥 + 2𝐵𝑦 + 𝐶 = 0

Maka diperoleh :

2𝐴 = −2 2𝐵 = 11

2 𝐶 = 0

𝐴 = −1 𝐵 =3

4

𝑟 = 𝐴² + 𝐵²− 𝐶 = −1 ² + 3

4 ²− 0 = 1 +

9

16=

25

16=

5

4

Jadi pusat lingkaran 1,−3

4 , dan jari-jari lingkaran =

5

4

Kunci 8.2.4.3

1. 𝐶 5,−6 ⟹ 𝑥2 + 𝑦2 = 52 + −6 = 25 + 36 = 61 > 25

Jadi titik C(5, -6) terletak di luar lingkaran 𝑥² + 𝑦² = 𝑟²

2. 𝐶 3,−2 ⟹ 𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 + 8𝑦 = 3² + (−2)²− 6.3 + 8(−2)

= 9 + 4 − 18 − 16 = −21 < 0

Jadi titik 𝐶 3,−2 terletak pada lingkaran 𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 + 8𝑦 = 0

3. –x + y = 3 ..............................(1)

x2 + y2 = 5........................(2)

Berdasarkan persamaan (1) dan (2) diperoleh:


x2 + y2 = 5

⇔ x2 + (3 + x)2 = 5

⇔ x2 + 9 + 6x + x2 = 5

⇔ 2x2 + 6x + 4 = 0

⇔ x2 + 3x + 2 = 0

Sehingga selesaian dari sistem persamaan linear-kuadrat tersebut adalah

x2 + 3x + 2 dengan nilai diksriminan

𝐷 = 𝑏²− 4𝑎𝑐 = 3 2 − 4 1 2 = 9− 8 = 1

Kunci 8.2.5.3

1. Persamaan lingkaran dengan pusat (0, 0) dan berjari-jari 5 adalah x2 + y2 =

25 Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 25 yang melalui titik (0,4)

adalah

𝑥1𝑥 + 𝑦1𝑦 = 𝑟2

⟺ 𝑥1𝑥 + 𝑦1𝑦 = 25

⟺ 𝑥 0 + 𝑦 4 = 25

⟺ 4𝑦 − 25 = 0

Jadi persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat (0, 0) dan berjari-

jari 5 adalah 4y – 25 = 0

2. Persamaan garis singgung lingkaran (𝑥 – 1)² + (𝑦 – 2)² = 4 yang melalui

titik (2, 3)

𝑥 − 𝑎 𝑥1 − 𝑎 + 𝑦 − 𝑏 𝑦1 − 𝑏 = 𝑟2

⟺ 𝑥 − 𝑎 𝑥1 − 𝑎 + 𝑦 − 𝑏 𝑦1 − 𝑏 = 4

⟺ 𝑥 − 1 + 2− 1 + 𝑦 − 2 3− 2 = 4

⟺ 𝑥 − 1 1 + 𝑦 − 2 1 = 4

⟺ 𝑥 − 1 + 𝑦 − 2 = 4

⟺ 𝑥 + 𝑦 = 7

Jadi persamaan garis singgung lingkaran (x – 1)2 + (y – 2)2 = 4 adalah x + y

= 7


Kunci 8.3.1

1. x2 + y2 + 4x – 6y – 12 = 0

A = 4, B = -6, C = -12

Pusat = (-1

2 𝐴, -

1

2 𝐵)

= (-2, 3)

r = −1

2 𝐴2 +−

1

2 𝐵2 − 𝐶

= 4 + 9− (−12)

= 25

= 5

2. x2 + y2 + 4x + by – 12 = 0 melalui titik (1,7)

(1)2 + (7)2 + 4(1) + b(7) – 12 = 0

7b = -42

b = -6

untuk b = -6 => x2 + y2 + 4x + by – 12 = 0

A = 4, B = -6

Pusat = (-1

2 𝐴, -

1

2 𝐵)

= (-2,3)

3. 2x2 + 2y2 – 4x + 3py – 30 = 0 melalui (-2, 1)

2(-2)2 + 2(1)2 – 4(-2) + 3p(1) – 30 = 0

3p = 12

P = 4

Persamaan lingkaran menjadi:

2x2 + 2y2 – 4x + 12py – 30 = 0 melalui (-2, 1) (dibagi 2)

x2 + y2 – 2x + 6py – 15 = 0

∴ pusat (1,-3) dan r1 = 1 + 9− (−15) = 5

Persamaan lingkaran baru dengan pusat (1,-3) dan r = 2r1 = 10 adalah

(x – a)2 + (y - b)2 = r2

(x – 1)2 + (y - 3)2 = 102

x2 + y2 – 2x + 6y – 90 = 0

4. a Pusat (-2, 3), r =5



𝑥 − −2 ² + 𝑦 − 3 ² = 5²

𝑥+ 2 ² + 𝑦 − 3 ² = 25

𝑥² + 4𝑥 + 4 + 𝑦²− 6𝑦 + 9 = 25

𝑥² + 𝑦² + 4𝑥 − 6𝑦 + 13 = 25

𝑥² + 𝑦² + 4𝑥 − 6𝑦 − 12 = 25

b. Pusat (5, 2) dan melalui (-4, 1)

r = 5− −4 ² + (2− 1)²

= 5 + 4 ² + (2− 1)²

= 9² + 1² = 81 + 1 = 82


𝑥 − 5 ² + 𝑦 − 2 ² = ( 82)²

𝑥²− 10𝑥 + 25 + 𝑦2 − 4𝑦 + 4 = 82

𝑥2 + 𝑦2 − 10𝑥 − 4𝑦+ 29 = 82

𝑥² + 𝑦²− 10𝑥 − 4𝑦 − 53 = 0

5. Pusat di O(0, 0) dan melalui titik A(3, 4) Karena melalui titik A(3, 4) maka

nilai r2 ditentukan dari x2 + y2 = r2 diperoleh nilai r2 = 32 + 42 r2 = 25.

Jadi persamaan lingkarannya adalah x2 + y2 = 25.

6. berpusat di P(4, 3) dan r = 6 maka diperoleh a = 4 dan b = 3 Persamaan

Lingkaran : 222 )()( rbyax

(x – 4)2 + (y – 3)2 = 62

(x – 4)2 + (y – 3)2 = 36

7. Subtitusi (1, 7) ke lingkaran x2 + y2 + 4x + by – 12 = 0 diperoleh :

12 + 72 + 4.1 + b.7 – 12 = 0


7b = – 42 b = – 6

Pusat :

2,

2

BA = (– 2, 3)

8. Lingkaran : x2 + y2 – 6x + 8y – 24 = 0 diperoleh A = – 6, B = 8 dan C = – 24

Pusat:

2,

2

BA = (3, – 4)

Jari – jari = CBA

22

22

r = )24()4(3 22

9. Titik A(1, 2) dan L x2 + y2 + 6x – 2y + 3 = 0

Subtitusi A(1, 2) ke L x2 + y2 + 6x – 2y + 3 = 0

diperoleh 12 + 22 + 6.1 – 2.2 + 3 = 10 > 0. Jadi titik A(1, 2) terletak di luar

Lingkaran x2 + y2 + 6x – 2y + 3 = 0.

10. Mula-mula kita harus mengetahui posisi titik A terhadap lingkaran L dengan

cara mensubtitusi titik A(6, 8) ke L x2 + y2 = 49, diperoleh:

A(6, 8) x2 + y2 = 49

62 + 82 = 100 > 49

jadi titik A berada diluar lingkaran.

Jarak terdekat = AP – r = 22 )08()06( – 7 = 3

Jadi jarak terpendek titik A ke lingkaran L adalah 3 satuan panjang.

11. Subtitusi garis y = 3x + 2 ke L x2 + y2 + 4x – y + 1 = 0, diperoleh:

x2 + (3x + 2)2 + 4x – (3x + 2) + 1 = 0

10x2 + 13x + 3 = 0,

sehingga nila a = 10, b = 13 dan c = 3

Nilai D = b2 – 4ac = 169 – 4.10.3 = 49 > 0

Karena diperoleh D > 0 maka garis y = 3x + 2 memotong ligkaran L di dua

titik yang berlainan.

12. Persamaan garis singgung lingkaran (x + 3)2 + (y – 2)2 = 58 di titik B(0, 9)

berarti


x1 = 0 y1 = 9, a = - 3 b = 2 r2 = 58

PGS (x1 – a)(x – a) + (y1 – b)(y – b) = r2

(0 + 3)(x + 3) + (9 – 2)(y – 2) = 58

3x + 7y – 63 = 0

Jadi persamaan garis singgungnya adalah 3x + 7y – 63 = 0.

13. L (x + 2)2 + (y – 1)2 = 4 yang sejajar dengan garis 3x + 4y – 1 = 0, berarti

a = – 2, b = 1 r = 2

Gradien garis 3x + 4y – 1 = 0 adalah m1 = 3

4 . Syarat dua garis sejajar m1

= m2. Jadi m2 = 3

4 .

PGS 21)( mraxmby

y – 1 = 3

4 (x + 2) 2

9

161

y – 1 = 3

4 (x + 2) 2

9

25

y – 1 = 3

4 (x + 2)

3

10

3y – 3 = – 4x – 8 10

4x + 3y = 3 – 8 + 10 atau 4x + 3y = 3 – 8 – 10

4x + 3y = 5 atau 4x + 3y = – 15

Jadi persamaan garis singgungnya adalah 4x + 3y – 5 = 0 atau 4x +

3y + 15 = 0.

14. L x2 + y2 – 2x + 6y + 5 = 0 yang tegak lurus garis x + 2y = 5

Dari L x2 + y2 – 2x + 6y + 5 = 0 , diperoleh

A = – 2 B = 6 C = 5

Pusat lingkaran = (1, -3) dan r = 591 = 5

Dari x + 2y = 5 diperoleh m1 = 2

1 , karena tegak lurus maka


m1. m2 = – 1, diperoleh m2 = 2

PGS 21)( mraxmby

y + 3 = 2(x – 1) 5 221

y + 3 = 2x – 2 5

2x – y – 5 5 = 0

Jadi persamaan garis singgungnya adalah 2x – y = 0 atau

2x – y – 10 = 0

Kunci 9.2.2.5

1. 14𝑏 − 25𝑏5 − 20𝑏3 + 3𝑏2

−25𝑏5 − 20𝑏3+3𝑏2 + 14𝑏(berderajat 5)

Koefisien 𝑏5 = - 25

Koefisien 𝑏3= - 20

Koefisien 𝑏2= 3

Koefisien 𝑏= 14

2. a. (9𝑦2 − 9) + (8𝑦 + 7𝑦2 − 5)

= 9𝑦2 + 7𝑦2 + 8𝑦 − 9− 5

= 16𝑦2 + 8𝑦 − 14

b. (2𝑦2 + 9)− (3𝑦2 − 7)

= 2𝑦2 − 3𝑦2 + 9 + 7

= −𝑦2 + 16

3. a. Bukan suku banyak

b. 𝑥 + 1 𝑥 − 1 (𝑥 + 2)

= 𝑥3 + 𝑥 − 2 (suku banyak)

4. a. 𝑓 𝑥 = 2𝑥3 − 9𝑥2 + 2𝑥 − 5

𝑓 3 = 2 3 3 − 9 3 2 + 2 3 − 5

= 2.27− 9.9 + 6 − 5


= 54− 81 + 6− 5

= −26

b. 𝑓 𝑥 = 8𝑥3 − 6𝑥 + 3

𝑓 1

2 = 8𝑥3 − 6𝑥 + 3

= 8(1

2)3 − 6

1

2 + 3

= 8.1

8− 6.

1

2+ 3

= 1− 3 + 3

= 1

5. a. 4 1 -5 3 -4

4 -4 18 +

1 -1 -1 -8= f(4)

Jadi nilai f(4)= -8

b. -2 4 0 -3 7

-8 16 -26+

4 -8 13 -19=f(-2)

Jadi nilai f(-2)=-19

6. 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 = (2𝑥4 − 𝑥3 + 7𝑥 − 1) + (𝑥4 − 7𝑥3 − 𝑥 + 2)

= 3𝑥4 − 8𝑥3 + 6𝑥 + 1dan berderajat 4.

7. 𝑓 𝑥 .𝑔 𝑥 = (2𝑥3 − 𝑥2 + 1). (𝑥4 + 2𝑥3 + 𝑥2)

= 2𝑥7 + 3𝑥6 + 2𝑥3 + 𝑥2

8. 𝑥2 + 4𝑥 − 1 ≡ 〱 + 1 𝑥 + 2 + 3𝑝

𝑥2 + 4𝑥 − 1 ≡ 𝑥2 + 3𝑥 + 2 + 3𝑝

Berdasarkan sifat kesamaan suku banyak diperoleh:

𝑥 = 3 + 3𝑝

3𝑝 = 𝑥 − 3

𝑝 =𝑥−3

3

9. -3 1 4 -3 1


-3 -3 18+

1 1 -6 19

Hasil baginya adalah (𝑥2 + 𝑥 − 6) sisanya adalah 19.

10. 3

2 6 1 -8

9 15 +

6 10 7

Hasil bagi 𝑕(𝑥)

𝑎=

6𝑥+10

2= 3𝑥 + 5.

sisa = f(k) = 7

Jadi, 6𝑥2 + 𝑥 − 8 = 3𝑥 + 5 2𝑥 − 3 + 7

Kunci 9.2.3.4

1. Jika f(x) = 𝑥4 − 2𝑥3 − 3𝑥 − 7 dibagi (x – 3) (x + 1),

f(3) = 34 − 2.33 − 3.3− 7 = 11

f(-1) = −14 − 2 −1 3 − 3(−1)− 7 = -1

f(3) = 3p + q = 11

f(-1) = -p + q = -1-

4p = 12

P = 3

Untuk p = 3, maka : 3 (3) + q = 11

q = 2

jadi, S(x) = px + q = 3x + 2

2. P(x)=𝑥4 + 5𝑥3 + 9𝑥2 + 13𝑥 + 𝑎 dibagi dengan (x + 3) bersisa 2.

x=-3 1 5 9 13 a

-3 -6 -9 -12 +

1 2 3 4 a-12 = 2

a = 14

jadi diperoleh a = 14

p(x) = 𝑥4 + 5𝑥3 + 9𝑥2 + 13𝑥 + 14 dibagi (x + 1)


x= -1 1 5 9 13 14

-1 -4 -5 -8 +

1 4 5 8 6 = f(-1)

Jadi, jika p(x) dibagi (x + 1) sisanya adalah 6.

3. f(x) = 𝑥4 − 3𝑥3 − 5𝑥2 + 𝑥 − 6 dibagi 𝑥2 − 𝑥 − 2

𝑥2 − 2𝑥 − 5

𝑥2 − 𝑥 − 2 𝑥4 − 3𝑥3 − 5𝑥2 + 𝑥 − 6

𝑥4 − 𝑥3 − 2𝑥2 +

−2𝑥3 − 3𝑥2 + 𝑥 − 6

−2𝑥2 + 2𝑥2 + 4𝑥

−5𝑥2 − 3𝑥 − 6

−5𝑥2 + 5𝑥 + 10 -

-8x – 16 (sisanya)

4. Pembahasan:

f(x)= 3𝑥3 − 13𝑥2 + 8𝑥 + 12, suku tetapnya adalah 𝑎0 = 12.

Nilai-nilai faktor k yang mungkin adalah faktor bulat dari𝑎0 = 12.

Yaitu: ±1, ±2, 3±, 4±, 6±, ± 12.

Untuk k= 1,diperoleh

f(x) = 3.13 − 13.12 + 8.1 + 12

= 3– 13 +8 +12

= 10

Jadi, (x - 1) bukan faktor dari f(x)

Untuk k = -1,

f(x) = 3.−13 − 13.−12 + 8.−1 + 12

= -3 – 13 – 8 + 12

= - 12


Jadi, (x + 1) faktor dari f (x).

Untuk k = 2

f() = 3.23 − 13.22 + 8.2 + 12

= 24 – 52 + 16 + 12

= 0

Jadi, (x - 2) faktor dari f(x).

5. Pembahasan.

fx) = 𝑥3 − 4𝑥2 + 𝑥 + 6 = 0

factor dari 6 yaitu : ±1, ±2, 3±, 6±.

Dengan cara mencoba-coba diperoleh f(x) = 0 untuk x = -1.

X = - 1 1 -4 1 6

-1 5 -6 +

1 -5 6 0 = f(-1)

h(x) = 𝑥2 − 5𝑥 + 6

bentuk𝑥2 − 5𝑥 + 6 dapat difaktorkan menjadi (x – 2 )(x – 3 ).

Sehingga bentuk persamaannya:

𝑥3 − 4𝑥2 + 𝑥 + 6 = 0

(x + 1 )(𝑥2 − 5𝑥 + 6) = 0

(x + 1 )(x – 2 )(x – 3 )= 0

x = -1 atau x= 2 atau x = 3

jadi HP = {-1, 2, 3}.

6. Pembahasan

Jika f(2) = 0 maka (x – 2 ) merupakan factor dari suku banyak f(x) = 3𝑥3 + 2𝑥2 − 19𝑥 +

6

2 3 2 -19 6

6 16 -6 +

3 8 -3 0

Ternyata f(2) = 0, maka (x – 2 ) merupakan factor dari 3𝑥3 + 2𝑥2 − 19𝑥 + 6 sehingga

3𝑥3 + 2𝑥2 − 19𝑥 + 6 =(3𝑥2 + 8𝑥 − 3)(x–2) =

(3x – 1 )(x + 3 )(x – 2 )


Jadi, (3x – 1 ), (x + 3 ), (x – 2 ), dan perkalian antar factor (asal derajat tak lebih dari tiga)

merupakan factor-faktor dari 3𝑥3 + 2𝑥2 − 19𝑥 + 6.

7. Pembahasan:

(a= 2, b = -6, c= -8 dan d = 20)

a) x1 + x2 +x3 = − 𝑏

𝑎 = −

−6

2 = 3

b) x1x2 + x1x3 + x2x3 = 𝑐

𝑎 =

−8

2 =-4

c) x1 . x2. x3 = − 𝑑

𝑎 = −

−20

2 = 10

Kunci 9.3.1

1) a. 𝑥2 − 3𝑥 + 5− 𝑥3 = −𝑥3 +−𝑥2 − 3𝑥 + 5

2) (3𝑥2 + 1)2 + 𝑥(2𝑥 − 3)

= 3𝑥2 + 1 3𝑥2 + 1 + (2𝑥2 − 3𝑥)

= (9𝑥4 + 3𝑥2 + 3𝑥2 + 1) + (2𝑥2 − 3𝑥)

= 9𝑥4 + 8𝑥2 − 3𝑥 + 1f

= Koefisien x4 = 9

3) 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 8𝑥 − 3

𝑓 −3 = (−3)3 − 8 −3 − 3

= −27 + 24− 3

= 6

Jadi f(-3) = 6

4) 4𝑥2 − 6𝑥 + 2

= 4(1

2)2 − 6

1

2 + 2

= 1− 3 + 2

= 0

5)

-5 2 8 -1 -19 8

-10 10 -45 320 +

2 -2 9 -64 328= f(-5)


6) 𝑓 1

2 = 16𝑥3 − 4𝑥 + 6,

= 16(1

2)3 − 4

1

2 + 6

= 16 1

8 − 2 + 6

= 2 − 2 + 6

= 6

7) Misalkan menggunakan x = 2

2 1 2 -8

2 8 +

1 4 0 = f(2)

8) a.𝑓 −2 = 3(−2)2 + 5(−2)2 − 𝑎 −2 + 8

26 = 12 + 20 + 2𝑎 + 8

26 = 40 + 2𝑎

26− 40 = 2𝑎

−14 = 2𝑎

−7 = 𝑎

b. 𝑓 1 = 13 − 𝑎(1)2 + 𝑏 1 − 9

−6 = 1− 𝑎 + 𝑏 − 9

𝑎 − 𝑏 = 1 + 6− 9

𝑎 − 𝑏 = −2....................(1)

𝑓 3 = 33 − 𝑎(3)2 + 𝑏 3 − 9

6 = 27− 9𝑎 + 3𝑏 − 9

9𝑎 − 3𝑏 = 27− 9− 6

9𝑎 − 3𝑏 = 12...............(2)

Dari persamaan 1 dan 2 kita eliminasi.

𝑎 − 𝑏 = −2 x3 3𝑎 − 3𝑏 = −6

9𝑎 − 3𝑏 = 12 x1 9𝑎 − 3𝑏 = 12

−6𝑎 = -18

𝑎 = 3


3− 𝑏 = −2

3 + 2 = 𝑏

𝑏 = 5

(𝑎 − 𝑏)2 = (3− 5)2

= 4

9) -2 3 7 a -6

-6 -2 4 - 2a +

3 1 -2+a -2-2a= 16

-2 – 2a = 16

-2a = 18

a = −18

2= 9

Jadi, a = 9

10) 3

2 2 1 4 4

3 6 15 +

2 4 10 19

3

2 2 3 -5 p

3 9 6 +

2 6 4 p + 6 = 19

6 + p = 19

p = 19-6

p = 3

Jadi, p = 3


11) (x – 2 ) = (x- (-2) ), sisa adlah s = f(-2)

Cara subtitusi:

f(-2) = 𝑥3 − 2𝑥 + 7

= (−2)3 − 2 −2 + 7

= -8 +4+7

= 3

Jadi, sisanya adalah 3

12) f(x) = 4𝑥3 − 2𝑥2 + 3 dibagi oleh (2x – 3 )

2x – 3 = 2 (x - 3

2 )

3

2 4 -2 0 3

6 6 9 +

4 4 6 12

Jadi sisanya adalah 12.

13) Jika f(x) = 6𝑥3 + 7𝑥2 + 𝑝𝑥 − 24habis dibagi (2x – 3 ) maka f(3

2 ) = 0.

3

2 6 7 p -24

9 24 (36 +3

2 𝑝)+

6 15 24 +p 3

2 𝑝 + 12 = 0

P = -8

Jadi, nilai p adalah -8.

14) Pembagi (𝑥2 − 2𝑥 − 8). = (x + 2 )(x – 4 )

Misalkan s(x) = px + a

Untuk x = -2, maka f(-2) = -2p + q = 14

Untuk x = 4, maka f(4) = 4p +q +-4

Dari persamaan 1 dan 2 diperoleh:

-2p + q = 14

4p +q = -4 -

-6 + 0 = 18


-6p = 18

p = -3

untuk p = -3, maka 4p + q = -4

4(-3)+ q = -4

q = 8

jadi, sisanya adalah px + q = -3x + 8

15) (2𝑥4 − 9𝑥3 + 5𝑥2 + 𝑘𝑥 − 4) mempunyai factor (x – 4 ), maka f(4)= 0

4 2 -9 5 k -4

8 -4 4 4(k + 4) -4 +

2 -1 1 (k + 4) 4 (k + 4) – 4

Agar f(4) = 0 maka 4(k + 4) – 4 = 0

4k + 16 – 4 = 0

4k + 12 = 0

K = -3

Jadi nilai k = -3

Modul Matematika SMA i - · PDF filepengurangan, perkalian, ... Kerjakan soal-soal dalam cek kemampuan untuk mengukur sampai ... Memahami bilangan berpangkat pecahan i

Documents