Modul Matematika Kelas X Trigonometri

MODULMATEMATIKA

KELAS XSEMESTER II

Muhammad Zainal Abidin PersonalBlog

SMAN 1 Bone-Bone | Luwu Utara |Sulsel

http://meetabied.wordpress.com

TRIGONOMETRI

Standar Kompetensi :

Menggunakan perbandingan fungsi, persamaan, dan identitas

trigonometri dalam pemecahan masalah.

Kompetensi Dasar :

Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan

teknis yang berkaitan dengan perbandingan, fungsi,

persamaan, dan identitas trigonometri.

Merancang model matematika dari masalah yang

berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan,

dan identitas trigonometri.

Menyelesaikan model matematika dari masalah yang

berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan,

dan identitas trigonometri, dan penafsirannya.

BAB I PENDAHULUAN

A. Deskripsi

Dalam modul ini anda akan mempelajari perbandingan

trigonometri (sinus, cosinus, tangen), penggunaan

perbandingan trigonometri, penentuan nilai perbandingan

trigonometri di berbagai kuadran, pengertian konsep

koordinat cartesius dan kutub, pengkonversian koordinat

cartesius dan kutub, aturan sinus dan cosinus,

penggunaan aturan sinus dan aturan cosinus, rumus

luas segitiga, penentuan luas segitiga. Di samping

itu anda juga mempelajari identitas trigonometri,

dan bentuk-bentuk persamaan trigonometri.

B. Prasyarat

Prasyarat untuk mempelajari modul ini adalahanda harus sudah mempelajari bentuk akar danpangkat, persamaan dan kesebangunan dua segitiga.

C. Petunjuk Penggunaan Modul

Untuk mempelajari modul ini, hal-hal yang perlu

anda lakukan adalah sebagai berikut.

1. Untuk mempelajari modul ini haruslah berurutan,

karena materi yang mendahului merupakan prasyarat

untuk mempelajari materi berikutnya.

2. Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan

kerjakanlah semua soal latihan yang ada. Jika

dalam mengerjakan soal anda menemui kesulitan,

kembalilah mempelajari materi yang terkait.

3. Kerjakanlah soal evaluasi dengan cermat. Jika

anda menemui kesulitan dalam mengerjakan soal

evaluasi, kembalilah mempelajari materi yang

terkait.

4. Jika anda mempunyai kesulitan yang tidak dapat anda

pecahkan, catatlah, kemudian tanyakan kepada guru

pada saat kegiatan tatap muka atau bacalah

referensi lain yang berhubungan dengan materi modul

ini. Dengan membaca referensi lain, anda juga

akan mendapatkan pengetahuan tambahan.

D. Tujuan Akhir

Setelah mempelajari modul ini diharapkan Anda dapat:1. Menemukan nilai perbandingan trigonometri untuk suatusudut,2. Menggunakan perbandingan trigonometri,3. Menentukan nilai perbandingan trigonometri di berbagai kuadran,4. Mengkonversikan koordinat cartesius dan kutub,5. Menggunakan aturan sinus dan aturan cosinus,6. Menentukan luas segitiga,

7. Menyelesaikan persamaan trigonometri,

BAB II PEMBELAJARAN

A. PERBANDINGAN TRIGONOMETRIA.1 Perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku

1. Panjang sisi-sisi suatu segitiga

Panjang sisi dihadapan sudut dinamakan aPanjang sisi dihadapan sudut dinamakan bPanjang sisi dihadapan sudut dinamakan cPanjang sisi-sisi sebuah segitiga siku-sikumempunyai hubungan c2 = a2 + b2

2. Besar sudut pada segitigaJumlah ketiga sudut dalam segitiga adalah

3. Perbandingan pada sisi-sisi segitiga

a. sin = =

b. cos

c. tan

d. cotg

e. sec

f. csc

a

b

c

B C

A

Dari perbandingan diatas diperoleh hubungan rumus :

Cotg

Sec

Csc

Contoh : Diketahui segitiga siku-siku ABC, siku-siku di C,panjang a = 4, b = 3.a. Tentukan panjang sisi cb. Tentukan nilai perbandingan trigonometri sudut

Jawab :

A.2 Perbandingan trigonometri untuk sudut khusus (00, 300, 450, 600, 900)

A C

B

3

c 4

300

Berdasarkan gambar diatas dapat ditentukan nilaiperbandingan trigonometri sudut-sudut khusus tersebutdalam tabel berikut ( lengkapi nilai-nilai yanglainnya)

00 300 450 600 900

Sin 0

Cos 1

Tan 0

Csc t.t 2Sec 1

Cotg t.t

Contoh : Tentukan nilai dari :1. Sin 00 + Csc 450 = 0 +

2. = 1

A.3 Nilai perbandingan trigonometri di berbagai kuadran1. Dikuadran I

Titik A(x,Y) dikuadran I

450

450

1

1

600

2

1

Absis positifOrdinat positif

2. Dikuadran IITitik A(-x,y) dikuadran IIAbsis negatifOrdinat positif

Diskusikan dengan teman anda, untuk tanda-tandaperbandingan trigonometri dikuadran yang lain yangditulis dalam tabel berikut.

I II III IVSin + + - -Cos + - - +Tan + - + -Csc + + - -Sec + - - +Cotg + - + -

A(x,y)

x

y

r

A(-x,y)

-x

y

r

Contoh :

Diketahui Sin = dikuadran II (sudut

tumpul). Tentukan nilai

Jawab : Sin , y = 3, r = 5, x =

Karena dikuadran II, nilai x = -4

Sehingga : Sec = , Csc , Cotg

TUGAS I1. Tentukan nilai-nilai perbandingan trigonometri sudut

pada tiap gambar berikut :a. b.

2. Jika p sudut lancip, tentukan nilai perbandingantrigonometri sudut p yang lain, jika salah satu nilaiperbandingan trigonometri sudut diketahui.

a. Cos p = 0,8

Kuadran ISemua +

Kuadran IISin & Csc

+

Kuadran IIITan & Cotg

Kuadran IVCos & Csc +

5

12

2

b. Cotg p = 23. Tentukan nilai dari :

a. Sin 600 cotg 600 + sec 450 cos 450

b. Tan 300 + cos 300

c. 2 sin 600 cos 450

4. Dani ingin menentukan tinggi pohon, pada jarak 10 mdari pohondengan sudut pandang 600, seperti gambarberikut. Tentukan tinggi pohon tersebut. ( tinggi dani155 cm)

A.4 Rumus perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut disemua kuadrana. Rumus di kuadran I

b. Rumus di kuadran II

atau

c. Rumus di kuadran III

atau

Tinggi pohonTinggi

dani10 m

600

d. Rumus di kuadran IV

atau

e Rumus sudut negatif

f.Rumus sudut lebih dari 3600

Contoh :Ubah ke sudut lancip, dan tentukan nilainya :a. Sin 1200 = Sin (900 + 300)

= Sin 300

=

Atau Sin 1200 = Sin (1800 – 600)

= Sin 600

=

b. Cos 2250 = Cos (2700 – 450) = -Sin 450

=

Atau Cos 2250 = Cos (1800 + 450)

= -Cos 450

=

c. Sin 7500 = Sin (2.3600 + 300) = Sin 300

=

d. Sin (-2250) = - Sin 2250

= - Sin(1800 + 450) = - (-sin 450)

=

TUGAS II1. Ubahlah ke sudut lancip, kemudian tentukan nilainya :

a. Cos 3300

b. Tan (-1200)c. Sin 4500

2. Tentukan nilai dari :a. Sin 3000 + Cos 5450

b. Cos 3900 + Sec 5700

c. Cotg 7500 + Tan (-600)3. Sederhanakan

a.

b.

c.

4. Buktikan bahwa

a.

b.

B. PERSAMAAN TRIGONOMETRI1. Sin x = Sin p

X1 = p + k.360 atau x 1 = p + k.2

X2 = (180 – p) + k.360 x2 = ( - p)+ k.2

2. Cos x = Cos pX1 = p + k.360 atau x1 = p + k.2

X2 = -p + k.360 atau x2 = -p + k.23. Tan x = Tan p

X1 = p + k.180 atau x1 = p + k.

Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian :a. Sin x = Sin 200 ; x1 = 20 + k.360 , untuk k = 0 x1 = 20

k = 1 x2 = 20 + 360 = 380 (tidak

memenuhi) X2 = (180 – 20) + k.360, untuk k = 0 x2 =

160 Jadi HP = {20, 160}b. 2 Cos x = ;

Cos x =

Cos x = Cos 30X1 = 30 + k.360 , untuk k = 0 x1 = 30

X2 = -30 + k.360 , untuk k = 0 x2 = - 30(tidak memenuhi)

K = 1 x2 = 330 HP = {30, 330}

TUGAS III1. Selesaikan persamaan berikut untuk

a. Cos x = Cos 50b. Sin x – ½ = 0c. 3 tan 2x + = 0d. 2 cos x.sin x = sin x

2. Tentukan himpunan penyelesaian untuk a. 2 sin x = - 2b. 2 tan 3x + 2 = 0c. 2 cos ½ x = 1

C. IDENTITAS TRIGONOMETRIIdentitas trigonometri adalah persamaan trigonometriyang berlaku untuk semua nilai pengganti variabelnya.Beberapa rumus dasar :1. Sin2x + Cos2x = 1

Sin2x = 1 – Cos2xCos2x = 1 – Sin2x

2. 1 + tan2x = sec2x1 = sec2x – tan2xTan2x = sec2x – 1

3. 1 + cotg2x = cosec2x1 = cosec2x – cotg2xCotg2x = cosec2x – 1

Contoh : 1. Buktikan bahwa 5 tan2x + 4 = 5 sec2x – 1

Jawab :5 tan2x + 4 = 5 (sec2x – 1) + 4

= 5 sec2x – 5 + 4 = 5 sec2x – 1 (terbukti)2. Buktikan bahwa 3 cos2x + 3 sin2x = 3

Jawab :3 cos2x + 3 sin2x = 3 (cos2x + sin2x)

= 3 . 1 = 3 (terbukti)

D. RUMUS SINUS DAN COSINUS1. Aturan Sinus

Perhatikan segitiga ABC berikut.

A B

C

ab

Berdasarkan segitiga ABC diatas, berlaku aturansinus sebagai berikut:

Contoh :1. Pada segitiga ABC, b = 1, .

Hitunglah c.Jawab :

=

=

=

=

2. Pada segitiga ABC diketahui sisi b = 65, sisi c =46. . Hitunglah

Sin C =

=

=

= = 41,1

2. Aturan CosinusPerhatikan segitiga ABC berikut ini :

c

Berdasarkan segitiga tersebut berlaku :

a2 = b2 + c2 – 2bc cos b2 = a2 + c2 – 2ac cos c2 = a2 + b2 – 2ab cos

Contoh :1. Diketahui segitiga ABC, AB = 8 cm, AC = 5 cm,

= 600.Hitung panjang BCJawab :a2 = b2 + c2 – 2bc cos A = 52 + 82 – 2.5.8. cos 60 = 25 + 64 – 80. ½ = 89 – 40 = 49a = 7 cm

E. LUAS SEGITIGA1.Luas segitiga dengan besar dua sisi dan satu sudutapit diketahui

A B

C

A B

C

ab

cD

L = ½ b.c. sin AL = ½ a.b. sin CL = ½ a.c. sin B

2. Luas segitiga dengan dua sudut dan satu sisi yangterletak diantara kedua sudut yang diketahui.

3. Luas segitiga dengan ketiga sisinya diketahui

s = ½ . Keliling Segitiga = ½ (a + b + c)

Contoh : 1. Hitunglah luas segitiga, dengan a = 5 cm, b = 8 cm.

Sudut C = 450

Jawab :

L = ½ a.b.sin C = ½ 5.8.sin 450

= 20. ½ = 10

2. Diketahui segitiga ABC dengan c = 5 cm,. Tentukan luasnya.

Jawab :

3. Hitung luas segitiga ABC, jika diketahui a = 3 cm, b= 4 cm, c = 5 cm.Jawab :s = ½ (a + b + c) = ½ (3 + 4 + 5) = 6

cm2

TUGAS IV

1. Hitunglah luas segitiga PQR, Jika diketahui p = 9 cm, r

= 6 cm,

2. ABCD merupakan jajaran genjang dengan AB = 10 cm, AD =

6 cm, dan AC = 14 cm. Hitung besar sudut B

3. Dua buah kapal meninggalkan pelabuhan dalam waktu yang

bersamaan. Kapal petama berlayar dengan arah 0400 dan

kecepatan 80 km/jam, sedangkan kapal kedua berlayar

dengan arah 1000 dengan kecepatan 90 km/jam. Berapa

jarak kedua kapal tersebut setelah berlayar selama 5

jam.

4. Hitunglah luas segienam beraturan yang dilukiskan pada

sebuah lingkaran yang jari-jarinya 10 cm dan berpusat

di O.

5. Dalam jajaran genjang ABCD diketahui AB = 10 cm, AD = 8

cm, BD = 12 cm. Hitunglah luas jajaran genjang

tersebut.

BAB III PENUTUP

Setelah menyelesaikan modul ini, anda berhak untuk mengikuti

tes untuk menguji kompetensi yang telah anda pelajari.

Apabila anda dinyatakan memenuhi syarat ketuntasan dari

hasil evaluasi dalam modul ini, maka anda berhak untuk

melanjutkan ke topik/modul berikutnya.

DAFTAR PUSTAKA

Tim Matematika SMA, 2004. Matematika 1 Untuk SMA Kelas X,

Jakarta :

PT. Galaxy Puspa Mega.

Sartono Wirodikromo, 2006. Matematika untuk SMA Kelas X,

Jakarta : Penerbit Erlangga.

MGMP Matematika Kota Semarang, 2007. LKS Matematika SMA /

MA, Semarang : CV. Jabbaar Setia.