MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 12 LES PRIVAT INSAN CERDAS - 1 - INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL MATEMATIKA 1 – Integral INTEGRAL TAK TENTU Sifat – sifat Integral INTEGRAL TERTENTU F(x) = adalah anti turunan f (x) a = batas bawah b = batas atas Sifat – sifat Integral Tertentu k = konstanta U = fungsi f (x) V = fungsi g (x) LUAS BIDANG DATAR ♣ Dibatasi Oleh Kurva dan Sumbu X 1. c x dx 2. c x f x f d ) ( ) ( 3. c ax dx a 4. c x n dx x n n 1 1 1 dengan n 1 5. c x n a dx x a n n 1 1 dengan n - 1 6. c n a b ax dx b ax n n ) 1 ( ) ( ) ( 1 dengan a 0 1. dx x f k dx x f k ) ( ) ( 2. dx x g dx x f dx x g x f ) ( ) ( ) ( ) ( 3. dx x g k dx x f k dx x g x f k ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( a F b F x F dx x f b a 1. b a a b k dx k ) ( 5. b a c b c a dx U dx U dx U 2. 0 a a dx U c b a 3. b a b a dx U k dx U k 6. b a b a b a dx V dx U dx V U 4. a b b a dx U dx U Y Y X X O O D 1 D 2 ) ( x f y ) ( x f y x = a x = b x = a x = b 1. b a dx x f D L ) ( ) ( 1 2. b a a b b a dx x f dx x f dx x f D L ) ( ) ( ) ( ) ( 2
31
Embed
MATEMATIKA - Insan Cerdas 12.pdf · 2015-08-13 · MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 12 LES PRIVAT INSAN CERDAS - 3 - INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 12 LES PRIVAT INSAN CERDAS - 1 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
MATEMATIKA
1 – Integral
INTEGRAL TAK TENTU
Sifat – sifat Integral
INTEGRAL TERTENTU
F(x) = adalah anti turunan f (x)
a = batas bawah
b = batas atas
Sifat – sifat Integral Tertentu
k = konstanta
U = fungsi f (x)
V = fungsi g (x)
LUAS BIDANG DATAR
♣ Dibatasi Oleh Kurva dan Sumbu X
1. cxdx
2. cxfxfd )()(
3. caxdxa
4.
cxn
dxx nn 1
1
1 dengan n 1
5.
cxn
adxxa nn 1
1 dengan n - 1
6. cna
baxdxbax
nn
)1(
)()(
1
dengan a 0
1. dxxfkdxxfk )()(
2. dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
3. dxxgkdxxfkdxxgxfk )()()()(
)()()()( aFbFxFdxxfb
a
1.
b
a
abkdxk )( 5.
b
a
c
b
c
a
dxUdxUdxU
2. 0a
a
dxU cba
3.
b
a
b
a
dxUkdxUk 6.
b
a
b
a
b
a
dxVdxUdxVU
4.
a
b
b
a
dxUdxU
Y Y
X
X
O
O D1
D2
)(xfy
)(xfy
x = a x = b
x = a x = b
1. b
a
dxxfDL )()( 1
2. b
a
a
b
b
a
dxxfdxxfdxxfDL )()()()( 2
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 12 LES PRIVAT INSAN CERDAS - 2 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
♣ Luas Antara Dua Kurva
VOLUME BENDA PUTAR
Mengelilingi Sumbu X Mengelilingi Sumbu Y
Volum Benda Putar Suatu Daerah Antara
Dua Kurva
Mengelilingi Sumbu X Mengelilingi Sumbu Y
PENGINTEGRALAN DENGAN SUBSTITUSI
INTEGRAL SUBSTITUSI TRIGONOMETRI
INTEGRAL PARSIAL
Hal yang perlu diperhatikan agar dvu dapat
diselesaikan adalah memilih bagian dv sehingga v dengan
mudah dapat diperoleh melalui pengintegralan dvv .
Y
X O x = a x = b
)(xfy
)(xgy
b
a
dxxgxfL )()(
Y Y
X
X
O
O
a b y = c
y = d
)(xfy )(ygx
dyygV
d
c
2
)( b
a
dxxfV2
)(
Y Y
X
X
O
O
a b
)(1 xfy
)(2 xgy
)(1 yfx
)(2 yfx
cy
dy
dxxgxfVb
a
)()( 22 dyygyfVd
c
)()( 22
1.
Cun
adxua nn 1
1; a & n
bilangan rasional n 1
2. Cuduu sincos
3. Cuduu cossin
4. Cuduu tansec 2
5. Cuanduuec cotcos 2
6. Cuduuu secsectan
7. Cuecduuecuan coscoscot
Fungsi
Integral
Substitusi
Dgn Hasil Substitusi
22 xa x = a sin cossin1 2 aa
22 xa x = a tan sectan1 2 ana
22 ax x = a sec tan1sec 2 aa
duvvudvu .
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 12 LES PRIVAT INSAN CERDAS - 3 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI
Latihan 1
1. Selesaikan tiap integral berikut ini!
a. dxx45 c. dxx4 3
b. dxx 3
1 d. dx
x 3 2
1
2. Tentukan tiap integral berikut ini!
a. dxxx )438( 23
b. dxx 2)1(
c. dxxxx )10412( 4711
d. dxxx )3()1(
3. Selesaikan tiap integral berikut ini!
a.
dxx
xx 2
14
b. dxxx 2)1(
c.
dx
xx
21
d. dxx
x
2
5 1
4. Selesaikan integral – integral berikut ini!
a. dxxx )12( c. dxx
xx
)1(
b. d. dxx
x
21
5. Misalkan 32)(' xxF dan F(1)=14, tentukan
fungsi F (x)!
6. Diketahui 443)(' 2 xxxF . Untuk x = 2 fungsi
F (x) bernilai 13. Tentukan fungsi F (x)!
7. Misalkan turunan kedua dari fungsi F (x) adalah
212)(" xxF . Jika F’(2)=20 dan F(1) = 4, carilah
fungsi F (x)!
8. Diketahui xxF 6)(" merupakan turunan kedua dari
F(x). Untuk x = 1 fungsi F (x) bernilai – 2,
sedangkan untuk x = - 1 fungsi F (x) bernilai – 6.
Tentukan fungsi F (x)!
9. Gradien garis singgung di setiap titik P (x, y) yang
terletak pada sebuah kurva adalah xdx
dy2 . Jika
kurva itu melalui titik (-1, 2), tentukan persamaannya.
10. Turunan kedua dari suatu persamaan kurva
ditentukan oleh 86" xy . Kurva tersebut
melalui titik (1, 6) dan gradien garis singgungnya
sama dengan 7. Tentukan persamaan kurva tersebut.
11. Sebuah benda bergerak dengan laju v m/det. Pada
saat t detik laju benda dinyatakan dengan persamaan
tv 10 . Pada saat t = 2 detik posisi benda
berada pada jarak 30 m dari titik asal. Tentukan
posisi benda s sebagai fungsi waktu t!
12. Sebuah bola bergulir pada sebuah bidang datar
dengan laju awal 4 m/det. Akibat gesekan dengan
bidang itu, bola mengalami perlambatan 2 m/det2.
Jika saat t = 0 posisi benda berada pada s = 0, berapa
jarak yang ditempuh bola dari awal sampai berhenti.
13. Kurva 1)( 2 xxfy didefinisikan dalam
interval [-1, 2]. Interval ini dibagi menjadi 6 sub-
interval, masing – masing dengan panjang yang sama.
Titik xi merupakan titik tengah dari sub-interval ke i.
Hitunglah jumlah Riemannnya!
14. Tunjukkan luas daerah tertutup yang dinyatakan oleh
tiap rumus berikut:
a. 3
0
dxx b.
2
0
)2( dxx
c. 2
1
2 dxx d.
2
1
2)1( dxx
dxx
x
12
1. Cxdxx cossin
2. Cxdxx sincos
3. Cxdxx tansec 2
4. Cxdxxec cotcos 2
5. Cxdxxx sectansec
6. Cecxdxxecx coscotcos
7. Cbaxdxbaxa
)cos()sin( 1
8. Cbaxdxbaxa
)sin()cos( 1
9. Cbaxdxbaxa
)tan()(sec 12
10. Cbaxdxbaxeca
)cot()(cos 12
11. Cbaxdxbaxbaxa
)sec()sec()tan( 1
12. Cbaxecdxbaxecbaxa
)(cos)(cos)cot(1
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 12 LES PRIVAT INSAN CERDAS - 4 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
15. Tuliskan rumus integral untuk menyatakan luas
daerah yang diarsir pada gambar berikut ini:
16. Dengan menggunakan hubungan
n
i
iin
b
a
xxfdxxf1
)(lim)( , hitunglah
integral tertentu 3
0
dxx .
17. Hitunglah tiap integral tertentu berikut:
a. 3
0
dxx b. 3
1
4 dx
c. 5
0
dxx d.
2
0
)1( dxx
e.
3
2
)2( dxx
18. Hitunglah nilai dari tiap integral tertentu berikut:
a. 1
0
4 dxx b.
3
1
2)1( dxx
c. dxx
3
1
2
1 d.
4
1
dxx
17. Hitunglah nilai tiap integral tertentu berikut:
a.
1
1
2 )1( dxx b.
3
1
2 )1( dxx
c.
1
3
2 )1( dxx
18. Hitunglah nilai tiap integral tertentu berikut:
a. 2
0
34 dxx b. 3
0
34 dxx
19. Hitunglah nilai tiap integral tertentu berikut:
a. 4
0
23 dxx b. 1
0
23 dxx
c. 4
1
23 dxx
22. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh:
a. kurva xxfy 2)( , sumbu X, dan garis –
garis x = 1 dan x = 2.
b. kurva xxxfy 63)( 2 , sumbu X, dan
garis – garis x = 0 dan x = 2.
23. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh:
a. kurva 42)( xxfy , sumbu X, dan garis –
garis x = 0 dan x = 2.
b. kurva xxxfy 2)( 2 , dan sumbu X.
24. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva
xxxfy 3)( dan sumbu X.
25. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x
dan kurva y = 3x dalam interval 21 x !
26. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x,
kurva y = 3x, dan garis x = 2.
27. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva
parabola 22 xy dan garis y = x.
28. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva
parabola xy 42 dan garis 434 yx .
29. Daerah yang dibatasi oleh garis 2 xy , sumbu
X, x = 0, dan x = 2 diputar 360o mengelilingi sumbu
X. Hitunglah volum benda putar yang terjadi.
30. Daerah yang dibatasi oleh parabola xy 42 , sumbu
X, dan garis x = 4 diputar mengelilingi sumbu X satu
kali putaran. Tentukan volum benda yang terjadi.
31. Daerah yang dibatasi oleh lingkaran 422 yx di
kuadran pertama, sumbu X, sumbu Y, diputar
mengelilingi sumbu X satu kali putaran. Hitunglah
volum benda putar yang terjadi.
32. Daerah yang dibatasi oleh garis y = 2x, sumbu Y, y =
1, dan y = 2, diputar 360o mengelilingi sumbu Y.
Hitunglah volum benda putar yang terjadi.
33. Hitunglah volum benda putar yang diperoleh jika
daerah yang dibatasi oleh parabola xy 42 , y = 1,
dan y = 4 diputar 360o mengelilingi sumbu Y.
34. Hitunglah volume benda putar yang terjadi, jika
daerah yang dibatasi oleh garis – garis y = x, y = 2x,
x = 1, dan x = 2, diputar sejauh 360o mengelilingi
sumbu X.
35. Tentukan volum benda putar yang diperoleh jika
daerah yang dibatasi oleh kurva parabola 12 xy
dan 3 xy , diputar mengelilingi sumbu X.
-2 O 1 2 X
Y
2
y = x + 2
-1 O 1 2 X
-1
Y 12 xy
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 12 LES PRIVAT INSAN CERDAS - 5 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
Latihan 2
1. Jika dxxxxf )12()( 2 dan f(1) = 0,
maka f(x) =………..
A. 3
123
3
1 xxx
B. 3
1
2
12
2
13
3
1 xxx
C. 3
1
2
12
2
13
3
1 xxx
D. 3
123
3
1 xxx
E. 3123
31 22 xxx
2. Hasil dari
dx
xx
21
adalah…….
A. Cx
xxx
2
183
B. Cx
xxx
2
182
C. Cx
xx
4
243
D. Cx
xx
4
242
E. Cx
xxx
4
242
3. Diketahui dttxf
x
c
2)( . Jika f(2) = - 19/3, maka
kurva itu memotong sumbu x pada……
A. (0, 0) D. (3, 0)
B. (1, 0) E. (19/3, 0)
C. (2, 0)
4. Sebuah benda bergerak dengan laju awal 4 m/det dan
perlambatan 2 m/det. Benda tersebut berhenti……..
A. 1 meter dari titik awal
B. 2 meter dari titik awal
C. 3 meter dari titik awal
D. 4 meter dari titik awal
E. 5 meter dari titik awal
5. Nilai dari
2
12
2 1dt
tt adalah………
A. 20
537 D.
20
540
B. 20
538 E.
20
541
C. 20
539
6. Jika )3
( 3
3
1
xxy , maka dx
dx
dy
2
1
2)(4 ..
A. 13/6 D. 16/3
B. 14/6 E. 17/6
C. 15/6
7. dx
x 4)32(
1 adalah………
A. Cx 3)32(6
1 D. C
x
3)32(
1
B. Cx 3)32(6
1 E. Cx 3)33(
C. Cx 3)32(
8. Turunan kedua fungsi f(x) adalah f”(x) = 6x + 8.
Garis singgung kurva fungsi f(x) di titik (1, 6) adalah
7. Fungsi f(x) tersebut adalah………
A. y = x3 + 4x
2 – 4x + 4
B. y = x3 + 4x
2 – 4x + 2
C. y = x3 + 4x
2 – 4x + 5
D. y = x3 + 4x
2 – 4x + 3
E. y = x3 + 4x
2 – 4x + 1
9. Luas daerah yang dibatasi kurva y = x2 – 2x + 1,
sumbu X, dan x = 2 jika dinyatakan dalam notasi
integral adalah…….
A.
2
0
2 )12( dxxx D.
2
2
2 )12( dxxx
B.
2
1
2 )12( dxxx E.
2
3
2 )12( dxxx
C.
2
1
2 )12( dxxx
10. Luas daerah yang dibatasi y = x3 – x dalam interval 0
x 1 dengan y = 0 adalah…….satuan luas
A. 1 D. 1/4
B. ½ E. 1/5
C. 1/3
11. Luas daerah yang dibatasi y2 = 4x dengan x = ¼
adalah…….satuan
A. 1/6 D. 1/3
B. 1/5 E. ½
C. ¼
12. Luas daerah yang dibatasi oleh garis y = 2x, garis
x = -2, garis x = 2 dan sumbu x adalah…….
A. 4 satuan luas D. 10 satuan luas
B. 6 satuan luas E. 12 satuan luas
C. 8 satuan luas
13. Luas daerah yang dibatasi oleh parabola
y = 3x2 + 4x + 1, sumbu x dan garis x = 2 sama
dengan……….
A. 18 D. 9274
B. 9 E. 18274
C. 18272
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 12 LES PRIVAT INSAN CERDAS - 6 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
14. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 2x – x2,
sumbu x, dan garis x = 3 sama dengan…….
A. 8 D. 4/3
B. 4 E. 0
C. 8/3
15. Luas daerah di kuadran I yang dibatasi oleh kurva y =
6 + 5x – x2, garis y = 4x dan sumbu y adalah………..
A. 1131 D. 13
21
B. 221 E. 15
32
C. 2465
16. Volum benda putar yang terjadi jika daerah yang
dibatasi y = x + 2, sumbu Y, dan sumbu X diputar
mengelilingi sumbu X sejauh 360o adalah…….satuan
isi.
A. 3
55 C.
3
53 E. 3
51
B. 3
54 D. 3
52
17. Daerah yang dibatasi oleh garis y = 3x – 1, x = 1,
dan x = 2 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360o,
maka isi benda putar adalah………
A. 10 D. 13
B. 11 E. 15
C. 12
18. Daerah yang dibatasi oleh y = x2 dengan sumbu x
untuk 0 x 2 diputar mengelilingi sumbu x sejauh
360o, maka isi benda putar yang terjadi sama
dengan……….
A. 5,2 D. 7,2
B. 6,4 E. 8,4
C. 6,8
19. Daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan y = 2x +
3 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360o maka isi
benda putar………..
A. 6021 D. 72
158
B. 6532 E. 72
151
C. 7041
20. Luas daerah yang dibatasi y = x2 dan y = x diputar
mengelilingi sumbu X sejauh 360o, maka isi benda
putar yang terjadi sama dengan……….
A. 15
2 D. 15
7
B. 15
4 E. 15
9
C. 15
6
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 12 LES PRIVAT INSAN CERDAS - 7 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
2 – Program Linier Suatu permasalahan dikatakan permasalahan program
linier, jika memenuhi :
- Tujuan (objektif) permasalahan yang akan dicapai
dalam bentuk program linier ax + by = z.
- Memiliki alternative pemecahan yang membuat nilai
fungsi tujuan menjadi optimum.
- Sumber-sumber yang tersedia dalam jumlah yang
terbatas dan pembatasan-pembatasan dari suber yang
tersedia dinyatakan dalam bentuk pertidaksamaan linier.
Permasalahan program linier secara umum dapat
dirumuskan :
a. Permasalahan program linier maksimasi
- Fungsi objektif maksimum : z = ax + by
- Syarat : 0,0.,....2,1, yxnieydxc iii
b. Permasalahan program linier minimasi
- Fungsi objektif minimum : z = ax + by
- Syarat : 0,0.,....2,1, yxnieydxc iii
Nilai optimum(memaksimalkan/meminimumkan) dari
masalah program linier, dapat diketahui dengan cara
menentukan titik pojok dari daerah hmpunan penyelesaian
sistem persamaan yang ada.
Cara menentukan nilai optimum fungsi objektif (fungsi
tujuan) :
a. Dengan metode uji titik pojok
Mencari titik-titik pojok (ekstrim) dari kendala lalu
mensubsitusikan ke bentuk fungsi objektif z = f(x, y)
= ax + by. Nilai terbesar merupakan nilai maksimum
dan nilai z yang terkecil merupakan nilai minimum.
b. Dengan garis selidik
(i) Gambar garis ax + by = ab yang memotong
sumbu X di titik (b, 0) dan memotong sumbu Y
di titik (0, a).
(ii) Tarik garis sejajar dengan ax + by = ab hingga
nilai z maksimum atau minimum, dengan
memperhatihan hal-hal berikut :
- Jika garis ax + by = k1 sejajar ax + by = ab
dan berada di paling atas atau paling kanan
pada daerah himpunan penyelesaian, maka z
= k1 merupakan nilai maksimumnya.
- Jika garis ax + by = k2 sejajar ax + by = ab
dan berada di paling bawah atau paling kiri
pada daerah himpunan penyelesaian, maka z
= k2 merupakan nilai minimumnya
Latihan
1. Gambarkan pada bidang Cartesius, himpunan
penyelesaian dari pertidaksamaan – pertidaksamaan
( x dan y )R
a. 42 yx c. 62 yx
b. 42 yx d. 62 yx
2. Tunjukkan pada bidang Cartesius, daerah himpunan
penyelesaian dari tiap sistem pertidaksamaan linear
berikut ini.
a. 0x dan 0y , dan 054 yx , untuk x dan y
R
b. 5x dan 5y , dan 12 yx , untuk x dan y
R 3. Mas Boi membeli 6 buku tulis dan 8 pensil disuatu
toku buku. Untuk itu mas Boi harus membayar Rp
6.900,00. Sedangkan si Iteung hanya membeli buku
tulis dan pensil masing – masing sebuah. Untuk itu ia
harus membayar Rp 1.050,00. Kalau harga sebuah
buku tulis dan sebuah pensil masing – masing x
rupiah dan y rupiah, buatlah model matematika untuk
persoalan itu.
4. Seorang siswa memilih jurusan IPA, jika memenuhi
syarat – syarat sebagai berikut.
a. Jumlah Nilai Matematika dan Fisika tidak kurang
dari 12.
b. Nilai masing – masing mata pelajaran itu tidak
boleh kurang dari 5
Buatlah model matematika yang dapat dipakai
sebagai patokan agar seseorang siswa boleh memilih
jurusan IPA.
8. Sebuah tempat parkir paling banyak hanya dapat
ditempati oleh 200 mobil sedan. Jika tempat itu
dipakai untuk parkir bis, maka 1 bis akan menempati
luas daerah yang sama jika dipakai parkir untuk 5
mobil sedan. Jika ditempat itu diparkir x bis dan y
mobil sedan , tentukan model matematikanya.
9. Sebuah industri kecil memproduksi dua jenis barang
A dan B dengan memakai dua mesin 1M dan 2M .
Untuk membuat barang A, mesin 1M beroperasi
selama 2 menit dan mesin 2M beroperasi selama 4
menit. Sedangkan untuk membuat barang B, mesin
1M beroperasi selama 8 menit dan mesin 2M
beroperasi selama 4 menit. Mesin 1M dan 2M
masing – masing beroperasi tidak lebih dari 8 jam tiap
hari. Keuntungan bersih untuk tiap barang A adalah
Rp 250,00 dan tiap barang B adalah Rp 500,00
Buatlah model matematika untuk masalah untuk
program linear itu, kalau keuntungan bersih yang
diharapkan sebesar – besarnya.
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 12 LES PRIVAT INSAN CERDAS - 8 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
10. Sebuah pabrik farmasi menyediakan dua jenis
campuran A dan B. Bahan – bahan dasar yang
terkandung dalam tiap kg campuran A dan campuran
B diperlihatkan pada tabel dibawah :
Bahan Dasar
Bahan -1 Bahan - 2
Campuran
A
Campuran
B
0,4 kg
0,8 kg
0,6 kg
0,2 kg
Dari campuran A dan B itu hendak dibuat campuran
C. Campuran C ini sekurang – kurangnya
mengandung bahan – 1 sebanyak 4 kg dan bahan 2
sebanyak 3 kg. Harga tiap kg campuran A adalah Rp
20.000,00 dan tiap kg campuran B adalah Rp
10.000,00.
Buatlah model matematika untuk masalah program
linear itu, kalau biaya total untuk membuat
campuran C diharapkan semurah – murahnya.
11. Sebuah pabrik memproduksi buku jenis polos dan
bergaris. Dalam satu hari pabrik itu paling banyak
memproduksi 1.000 buku. Dari bagian penjualan
diperoleh keterangan bahwa tiap hari terjual tidak
lebih dari 800 buku polos dan 600 buku bergaris.
Keuntungan tiap buku jenis polos adalah Rp 100,00
dan jenis bergaris adalah Rp 150,00.
( a ) Berapakah keuntungan bersih sebesar – besarnya
yang dapat diperoleh tiap hari?
( b ) Berapa banyak buku polos dan buku bergaris
yang harus diproduksi tiap hari?
12. Tentukan nilai maksimum bentuk objektif 2x + 3y
pada sistem pertidaksamaan:
x 0 , y 0 , dan x + y 6 , dengan x dan y R
dan menggunakan garis selidik.
13. Titik P, Q, R, S, dan T dalam gambar dibawah
merupakan titik – titik sudut yang pada daerah
himpunan penyelesaian dari suatu masalah program
linear. Dengan menggunakan garis selidik, tentukan
nilai optimum ( maksimum dan minimum) dari
bentuk objektif 2x + y.
14. Titik – titik O, A, B dan C dalam dalam gambar
berikut merupakan titik – titik sudut yang terletak
pada daerah himpunan penyelesaian dari suatu
masalah program linear. Dengan menggunakan garis
selidik, tentukan nilai maksimum bentuk objektif x +
2y
a). untuk x dan y R
b). untuk x dan y C
Latihan 2
Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat.
1. Nilai maksimum dari 4y – x dengan syarat:
xy 2
xy 23
202 xy
3 yx
adalah….
a. 32 d. 7
b. 28 e. 4
c. 19
2. Dalam himpunan penyelesaian pertidaksamaan 1x ,
2y , 6 yx , 1532 yx , nilai minimum dari
3x + 4y sama dengan….
a. 9 d. 12
b. 10 e. 13
c. 11
3. Nilai maksimum yxyxf 105),( didaerah yang
diarsir adalah…
A(8,0)
B (42
1 , 54
1 )
C(0,6)
Daerah Himpunan
Penyelesaian
4
4
6
Daerah himpunan
penyelesaian
P(2, 0) Q(5, 0)
R(6, 4)
S(3, 5)
T(0, 3)
Himpunan
Penyelesaian
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 12 LES PRIVAT INSAN CERDAS - 9 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
a. 60 d. 20
b. 40 e. 16
c. 36
4.
a. 42 yx , 3y , 0x ,
b. 42 yx , 3y , 0x , 0y
c. 42 yx , 3y , 0x , 0y
d. 4 yx , 3x , 0x , 0y
e. 4 yx , 3y , 0x , 0y
5. Daerah yang memenuhi penyelesaian dari:
6 yx
32 yx
062 yx adalah….
a. I d. IV
b. II e. V
c. III
6. Jika diketahui bahwa P = x + y dan Q = 5x + y maka
nilai maksimum dari P dan Q pada sistem
pertidaksamaan 0x , 0y , 122 yx , dan
122 yx adalah…
a. 8 dan 30 d. 6 dan 24
b. 6 dan 6 e. 8 dan 24
c. 4 dan 6
7.
Koordinat titik – titik didalam gambar dan
sepanjang sisi segitiga ABC dalam gambar di
atas, memenuhi pertidaksamaan…
a. 84 yx , 2443 yx , 126 yx
b. 84 yx , 2434 yx , 126 yx
c. 84 yx , 2443 yx , 126 yx
d. 84 yx , 2443 yx , 126 yx
e. 84 yx , 2443 yx , 126 yx
8. Nilai maksimum yxyxf 43),( didaerah yang
diarsir adalah…
a. 4
b. 2
14
c. 5
d. 6
e. 2
16
9. Untuk (x, y) yang memenuhi pertidaksamaan
632 yx ; 1025 yx ; 0x , 0y , nilai
maksimum obektif yxyxf 2),( adalah…
a. 3 d. 11
b. 7 e. tidak ada
c. 16
10. Suatu jenis roti I membutuhkan 100 gram tepung dan
25 gram mentega, roti jenis II membutuhkan 50 gram
tepung dan 50 gram mentega. Tersedia tepung 1,5 kg
dan mentega 1 kg. Jika x banyak roti I dan y banyak
roti II, supaya kita dapat membuat roti sebanyak
mungkin dari 2 jenis roti itu,maka pertidaksamaan
dalam x dan y yang memenuhi syarat tersebut
adalah…
a. 202 yx , 602 yx
b. 604 yx , 20 yx
c. 302 yx , 6032 yx
d. 202 yx , 4032 yx
e. 302 yx , 402 yx
Daerah Himpunan
Penyelesaian
Daerah himpunan
penyelesaian
2
6
Daerah Himpunan
Penyelesaian
1 3
1
2
1,5
- 3
3
6
6
I
II III
IV V
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 12 LES PRIVAT INSAN CERDAS - 10 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
11. Himpunan pemyelesaian dari sistem pertidaksamaan
402 yx , 402 yx , 0x , 0y terletak pada
daerah berbentuk..
a. trapesium d. segiempat
b. persegi panjang e. segilima
c. segitiga
12. Daerah yang diarsir adalah gambar himpunan
penyelesaian suatu program linear. Untuk soal ini
mana saja bentuk – bentuk dibawah ini mencapai
maksimum di A.
(1) 100x + 50y (2) 3x + 3y
(2) - 4x – 4y (4) 8x + 2y
Jawaban yamg benar adalah…
a. (1), (2), dan (3) d. (4) saja
b. (1) dan (3) e. semua benar
c. (2) dan (4)
13. Jika segiempat OPQR merupakan himpunan
penyelesaian program linear, maka maksimum fungsi
sasaran x – y pada tiap titik adalah…
a. (0, 0) d. (10, 0)
b. (0, 6) e. semua salah
c. (7, 9)
14. Seorang penjaja buah – buahan yang menggunakan
gerobak menjual apel dan pisang. Harga pembelian
apel adalah Rp1.000,00 tiap kg dan pisang adalah
Rp4.00,00 tiap kg. Modalnya hanya Rp25.000,00 dan
muatan gerobaknya tidak melebihi 400kg. Jika
keuntungan tiap kg apel 2 kali keuntungan tiap kg
pisang, maka untuk memperoleh keuntungan sebesar
mungkin pada setiap pembelian, pedagang itu harus
membeli…
a. 250 kg apel saja
b. 400 kg pisang saja
c. 170 kg apel dan 200 kg pisang
d. 100 kg apel dan 300 kg pisang
e. 150 kg apel dan 250 kg pisang
15. Rokok A yang harganya Rp 200,00 perbungkus dijual
dengan laba Rp40,00 per bungkus sedangkan rokok B
yang harganya Rp100,00 perbungkus dijual dengan
laba Rp30,00 perbungkus. Seorang pedagang rokok
yang mempunyai modal Rp80.000,00 dan kiosnya
maksimum dapat menampung 500 bungkus rokok,
akan memperoleh keuntungan sebesar – besarnya jika
ia membeli…
a. 300 bks rokok A dan 200 bks rokok B
b. 200 bks rokok A dan 300 bks rokok B
c. 250 bks rokok A dan 250 bks rokok B
d. 100 bks rokok A dan 400 bks rokok B
e. 400 bks rokok A dan 100 bks rokok B
16. Seorang pengusaha roti membuat dua jenis roti.
Setiap roti jenis I memerlukan 100 gram tepung dan
75 gram mentega, sedangkan setiap roti jjenis II
memerlukan 50 gram tepung dan 75 gram mentega.
Tepung yang tersedia adalahj 30 kg. Banyaknya roti
jenis I dan II masing – masing agar diperoleh laba
sebesar – besarnya adalah…
a. 100 dan 300 buah
b. 200 dan 200 buah
c. 150 dan 250 buah
d. 350 dan 250 buah
e. 175 dan 225 buah
17. Diberikan sistem pertidaksamaan linear berikut ini:
6 yx
3032 yx
x 0 , 0y ; x, y R
Bentuk objektif P = 150 x + 100y
maksPP :min
= …
a. 1 : 5 d. 4 : 5
b. 2 : 5 e. 1 : 3
c. 3 : 5
18. Sebuah kapal pesiar dapat menumpang 150 orang
penumpang. Setiap penumpang kelas utama boleh
membawa 60 kg bagasi dan penumpang kelas
ekonomi 40 kg. Kapal itu hanya dapat membawa
8000 kg bagasi. Jika banyak penumpang kelas utama
x dan banyaknya penumpang kelas ekonomi y, maka
sistem pertidaksamaan yang harus dipenuhi adalah…
a. 150 yx , 80023 yx , 0x , 0y
b. 150 yx , 40023 yx , 0x , 0y
c. 150 yx , 40023 yx , 0x , 0y
d. 150 yx , 40033 yx , 0x , 0y
e. 150 yx , 80033 yx , 0x , 0y
0 2 6
3
6
A
Daerah Himpunan
Penyelesaian
P(10, 0)
Himpunan
penyelesaian
R(0, 6)
Q(7, 9)
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 12 LES PRIVAT INSAN CERDAS - 11 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
19. Daerah yang diarsir adalah gambar himpunan
penyelesaian suatu masalahjj program linear. Bentuk
– bentuk dibawah ini mencapai minimum di Q.
(1) x + 3y (3) x + 4y
(2) 2x + 5y (4) 3x + y
Pernyataan yang benar adalah…
a. (1), (2), dan (3) d. (4) saja
b. (1) dan (3) e. semuanya benar
c. (2) dan (4)
20. Seorang penjahit membuat dua jenis pakaian untuk
dijual. Pakaian jenis I memerlukan 1m2
katun dan 3
m2
wool dan pakaian jenis II memerlukan 2 m2
katun dan 2 m2
wool. Bahan katun yang tersedia
adalah 80 m2
dan bahan wool yang tersedia 120m2
.
Apabila harga jual pakaian jenis I dan II masing –
masing adalah Rp120.000,00 dan Rp60.000,00 dan ia
memperoleh laba yang sebesar – besarnya, maka
banyak pakaian jenis I adalah…
a. 50 potong d. 20 potong
b. 40 potong e. 10 potong
c. 30 potong
(30, 0)
(0, 30)
P(45, 0)
R(0,40)
Q
Himpunan
Penyelesaian
MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 12 LES PRIVAT INSAN CERDAS - 12 -
INSAN CERDAS - KARENA KUALITAS, KAMI UNGGUL
3 – Matriks
Penjumlahan dan pengurangan dua matriks A dan B dapat
dilakukan apabila :
a. Ordo A = ordo B
b. A ± B = (aij) ± (bpq), untuk setiap i = p dan j = q
Bentuk umum matriks :
ijii
j
j
nm
aaa
aaa
aaa
A
...
............
...
...
21
22221
11211
Matriks A dapat ditulis sebagai A = (aij).i = 1,2, ….m dan j =