Modul 9 Metnum

Modul  9  Metode  Numerik   1    

MODUL  9  

SOLUSI  PERSAMAAN  LANJAR  :  METODE  DEKOMPOSISI  LU    

Jika   matriks   A   non   singular   maka   a   dapat   difaktorkan   (diuraikan   atau   didekomposisi  

menjadi  matriks  segitiga  bawah  (lower)  dan  matriks  segitiga  atas  U  (upper)  :  

𝐴 = 𝐿𝑈  

Dalam  bentuk  matriks,  pemfaktoran  ini  ditulis  sebagai  

𝑎!! 𝑎!" 𝑎!" … 𝑎!!𝑎!" 𝑎!! 𝑎!" … 𝑎!!𝑎!" 𝑎!" 𝑎!! … 𝑎!!⋮ ⋮

𝑎!! 𝑎!! 𝑎!! … 𝑎!!

=

1 0 0 … 0𝑙!" 1 0 … 0𝑙!" 𝑙!" 1 … 0⋮ ⋮𝑙!! 𝑙!! 𝑙!! … 1

𝑢!! 𝑢!" 𝑢!" … 𝑢!!0 𝑢!! 𝑢!" … 𝑢!!0 0 𝑢!! … 𝑢!!⋮ ⋮

0 0 0 … 𝑢!!

Pada  matriks  segitiga  bawah  L,  semua  elemen  diagonal  adalah  1,  sedangkan  pada  matriks  U  

tidak  ada  aturan  khusus  pada  elemen  diagonalnya.  

Sebagai  contoh,  matriks  3  x  3  di  bawah  ini  difaktorkan  menjadi  :  

2 −1 −10 −4 26 −3 1

=  1 0 00 1 00 0 1

2 −1 −10 −4 20 0 4

2   Modul  9  Metode  Numerik    

Sekali   A   difaktorkan   menjadi   L   dan   U   kedua   matriks   tersebut   dapat   digunakan   untuk  

menyelesaikan   Ax=b.   Metode   penyelesaian   Sistem   Persamaan   Linear   dengan   cara   ini  

dikenal   dengan   metode   dekomposisi   LU.   Metode   ini   dinamakan   juga   metode   metode  

pemfaktoran  segitiga  (triangular   factorization).  Metode  eliminasi  Gauss  merupakan  suatu  

dekomposisi  LU  dari  matriks  A.  

Penyelesaian  Ax  =  b  dengan  metode  dekomposisi  LU  adalah  sebagai  berikut  :  

Tinjau  sistem  persamaan  lanjar    

𝐴𝑥 = 𝑏  

Faktorkan  A  menjadi  L  dan  U  sedememikian  rupa,  sehingga    

𝐴 = 𝐿𝑈  

Jadi,  

𝐴𝑥 = 𝑏  

𝐿𝑈  𝑥 = 𝑏  

Misalkan    

𝑈𝑥 = 𝑦  

maka  

𝐿𝑦 = 𝑏  

Untuk  memperoleh  y1,y2  ,y3  ,  …yn  ,  digunakan  teknik  penyulihan  maju  (forward  substitution)  

:  

𝐿𝑦 = 𝑏   →  

1 0 0 … 0𝑙!" 1 0 … 0… … … … ⋮𝑙!! 𝑙!! 𝑙!! … 1

𝑦!𝑦!…𝑦!

=

𝑏!𝑏!…𝑏!

Modul  9  Metode  Numerik   3    

Dan   untuk  memperoleh   solusi   sistem  persamaan   linier   ,   x1,x2   ,x3   ,  …xn   ,   digunakan   teknik  

penyulihan  mundur  (backward  substitution)  :  

𝑈𝑥 = 𝑦   →

𝑢11 𝑢12 𝑢13 … 𝑢1𝑛0 𝑢22 𝑢23 … 𝑢2𝑛⋮ ⋮0 0 0 … 𝑢𝑛𝑛

𝑦1𝑦2…𝑦𝑛

=𝑏1𝑏2…𝑏𝑛

Jadi,   langkah   –   langkah   menghitung   solusi   sistem   persamaan   linier   dengan   metode  

dekomposisi  LU  dapat  diringkas  sebagai  berikut  :  

1. Bentuklah  matriks  L  dan  U  dari  A  

2. Pecahkan  Ly  =  b  ,  lalu  hitung  y  dengan  teknik  penyulihan  maju  

3. Pecahkan  Ux  =y  ,  lalu  hitung  x  dengan  teknik  penyulihan  mundur  

Sama   halnya   dengan   metode   matriks   balikan,   metode   dekomposisi   LU   akan   efektif   bila  

digunakan  untuk  menyelesaikan  sejumlah  sistem  persamaan  linier  dengan  matriks  A  yang  

sama  tetapi  dengan  b    berbeda-­‐beda.  Sekali  A  difaktorkan  menjadi  L  dan  U,  keduanya  dapat  

digunakan   untuk   menghitung   solusi   sejumlah   sistem   persamaan   linier   tersebut.   Metode  

dekomposisi   LU   merupakan   metode   yang   paling   popular   untuk   memecahkan   sistem  

persamaan  linier  :  

Terdapat  dua  metode  untuk  memfaktorkan  A  atas  L  dan  U  :  

1. Metode  LU  Gauss  

2. Metode  reduksi  Crout  

Pada  modul  ini  kita  akan  membahas  pemfaktoran  dengan  metode  LU  Gauss  saja.  

4   Modul  9  Metode  Numerik    

Pemfaktoran  dengan  metode  LU  Gauss  

Walaupun  tidak  ada  hubungannya  dengan  dekomposisi  LU,  metode  eliminasi  Gauss  dapat  

digunakan  untuk  memfaktorkan  A  menjadi  L  dan  U  (karena  itulah  metode  pemfaktoran  ini  

dinamakan  metode  LU  Gauss).    

Misalkan  matriks  A  berukuran  4  x  4  difaktorkan  atas  L  dan  U,  

𝐴 = 𝐿𝑈  

𝑎!! 𝑎!" 𝑎!" 𝑎!"𝑎!" 𝑎!! 𝑎!" 𝑎!"𝑎!" 𝑎!" 𝑎!! 𝑎!"𝑎!" 𝑎!" 𝑎!" 𝑎!!

=

1 0 0 0𝑚!" 1 0 0𝑚!" 𝑚!" 1 0𝑚!" 𝑚!" 𝑚!" 1

𝑢!! 𝑢!" 𝑢!" 𝑢!!0 𝑢!! 𝑢!" 𝑢!"0 0 𝑢!! 𝑢!"0 0 0 𝑢!!

Disini  digunakan  simbol  mij  ketimbang   lij   ,  karena  nilai   lij    berasal  dari  faktor  pengali  (  mij)  

pada  proses  eliminasi  Gauss.  Langkah-­‐langkah  pembentukan  L  dan  U  dari  matriks  A  adalah  

sebagai  berikut  :  

1. Nyatakan  A  sebagai  A=IA  

𝑎!! 𝑎!" 𝑎!" ⋯ 𝑎!!𝑎!" 𝑎!! 𝑎!" ⋯ 𝑎!!𝑎!" 𝑎!" 𝑎!! ⋯ 𝑎!!⋮𝑎!! 𝑎!! 𝑎!! ⋯ 𝑎!!

=

1 0 0 ⋯ 00 1 0 ⋯ 00 0 1 ⋯ 0⋮0 0 0 ⋯ 1

𝑎!! 𝑎!" 𝑎!" ⋯ 𝑎!!𝑎!" 𝑎!! 𝑎!" ⋯ 𝑎!!𝑎!" 𝑎!" 𝑎!! ⋯ 𝑎!!⋮𝑎!! 𝑎!! 𝑎!! ⋯ 𝑎!!

2. Eliminasikan  matriks  A  di   ruas  kanan  menjadi  matriks  segitiga  atas  U.  Tempatkan  

faktor  pengali  (mij)  pada  posisi  lij    di  matriks  I.  

3. Setelah   seluruh   proses   eliminasi   Gauss   selesai,   matriks   I   menjadi   matriks   L,   dan  

matriks  A  di  ruas  kanan  menjadi  matriks  U.  

Modul  9  Metode  Numerik   5    

Perhatikan   contoh   pemfaktoran  A   dengan  metode   ini,  masing-­‐masing   untuk   kasus   tanpa  

pivoting  dan  dengan  pivoting.  

Contoh  1  :  (tanpa  pivoting)  

Perhatikan  matriks  A  berikut  dengan  metode  LU  Gauss  :  

𝐴 =4 3 −1−2 −4 51 2 6

Penyelesaian  :  

𝐴 =4 3 −1−2 −4 51 2 6

=  1 0 00 1 00 0 1

4 3 −1−2 −4 51 2 6

Eliminasikan   matriks   A   di   ruas   kanan   menjadi   matriks   segitiga   atas   U   ,dan   tempatkan  

faktor  pengali  mij    pada  posisi  Iij    di  mariks  I.  

4 3 −1−2 −4 51 2 6

𝑅! − 24 𝑅!  

~𝑅! − 1

4 𝑅!  

4 3 −1−2 −4 51 2 6

Tempatkan  m21  =  -­‐2/4  =  -­‐0.5  dan  m31  =  ¼  =  0.25  ke  dalam  matriks  L  :  

𝐿 =  1 0 0

−0.5 1 00 𝑚!" 1

Teruskan  proses  eliminasi  Gauss  pada  matriks  A,  

4 3 −10 −2.5 4.50 1.25 6.25

𝑅! − 1.252.5 𝑅!  

~4 3 −10 −2.5 4.50 0 8.5

= 𝑈  

Tempatkan  m32  =  1.25/-­‐2.5  =  -­‐0.5  ke  dalam  matriks  L  :  

6   Modul  9  Metode  Numerik    

𝐿 =  1 0 0

−0.5 1 00.25 −0.5 1

Jadi,  

𝐴 =4 3 −1−2 −4 51 2 6

=1 0 0

−0.5 1 00.25 −0.5 1

4 3 −10 −2.5 4.50 0 8.5

Contoh  2  :  (dengan  pivoting)  

Faktorkan  matriks  A  berikut  :  

𝐴 =1 1 −12 2 1−1 1 1

                 𝑏 =151  

lalu  pecahkan  sistem  Ax  =  b  

Penyelesaian  :  

Eliminasikan   matriks   A   di   ruas   kanan   menjadi   matriks   segitiga   atas   U,   dan   tempatkan  

faktor  pengali  mij    pada  posisi  lij    di  matriks  I.  

1 1 −12 2 1−1 1 1

   𝑅! − 2 𝑅!  

~𝑅! − 1

1 𝑅!  

1 1 −10 0 30 2 0

Tempatkan  m21  =  2  dan  m31  =  1/1=  1  ke  dalam  matriks  L  :  

Modul  9  Metode  Numerik   7    

𝐿 =1 0 02 1 0−1 𝑚!" 1

Teruskan  proses  eliminasi  Gauss  pada  matriks  A.  Dalam  hal   ini  ada  pivoting  karena  calon  

pivot  bernilai  0,  sehingga  baris  kedua  dipertukarkan  dengan  baris  ketiga  :  

1 1 −10 0 30 2 0

 𝑅! ↔  𝑅!    1 1 −10 2 30 0 0

Jangan   lupa   juga   untuk   mempertukarkan   𝑅! ↔  𝑅!  pada   matriks   L,   kecuali   elemen  

diagonalnya    

𝐿 =1 0 02 1 0−1 𝑚!" 1

   𝑅! ↔  𝑅!    1 0 0−1 1 02 𝑚!" 1

Kemudian  ,  tukarkan  juga  𝑅! ↔  𝑅!  pada  vektor  b  ,    

𝑏 =151𝑅! ↔  𝑅!  

115      

Teruskan  proses  eliminasi  Gauss  pada  matriks  A  :    

𝑅! − 02 𝑅!  

1 1 −10 2 00 0 3

= 𝑈  

Tempatkan  m32  =  0/2  =  0  ke  dalam  matriks  L  :  

8   Modul  9  Metode  Numerik    

𝐿 =1 0 0−1 1 02 0 1

Jadi,  

𝐴 =1 1 −1−1 1 12 2 1

 =1 0 0−1 1 02 0 1

   1 1 −10 2 00 0 3

Berturut-­‐turut  dihitung  y  dan  x  sebagai  berikut  :    

𝐿𝑦 = 𝑏   →  1 0 0−1 1 02 0 1

𝑦!𝑦!𝑦!

=115  

y1,y2  ,dan  y3  ,  dihitung  dengan    teknik  penyulihan  maju  :    

𝑦!                                                      = 1    

−𝑦!  +  𝑦!                        =  1 →  𝑦! = 1+  𝑦! = 1+ 1 = 2  

2𝑦!  +  0𝑦! +  𝑦! = 5 →  𝑦! = 5−  2𝑦! = 3  

𝑈𝑥 = 𝑦   →  1 1 −10 2 00 0 3

𝑥!𝑥!𝑥!

=123  

x1,x2  ,dan  x3  ,  dihitung  dengan    teknik  penyulihan  mundur  :    

3𝑥!                                                      = 3   →  𝑥!    =  1  

2𝑥! +  0𝑥!                            = 2  →  𝑥!    =  1  

𝑥!  + 𝑥! +  𝑥!                = 1  →  𝑥!    =  1  

Jadi,  solusi  sistem  persamaan  lanjar  di  atas  adalah  x  =  (1,  1,  1)T.  

Modul  9  Metode  Numerik   9    

Referensi  :  

Materi  diambil  dari  buku  :  

Munir,  RInaldi.  2010.  Metode  Numerik.Bandung  :  Informatika.