MODELOS MATEMATICOS DE SISTEMAS DINAMICOS
CAPITULO IIMODELOS MATEMTICOS DINMICOS
Introduccin.
El primer paso para el diseo de un sistema de control consiste
en obtener ecuaciones diferenciales para todas aquellas partes del
sistema que no varan. Comnmente, las componentes de un sistema de
control incluyen elementos elctricos, electrnicos, mecnicos y
electromecnicos. Este apartado intenta proporcionar una breve resea
de las ecuaciones que caracterizan a algunos de los componentes
comunes del sistema de control y sus conexiones. Muchos otros tipos
de elementos menos comunes, hidrulicos, trmicos, neumticos,
biolgicos y qumicos, pueden, en determinado momento, integrarse
tambin en un sistema de control.
2.1. Sistemas Mecnicos.
Enseguida se estudiarn los modelados de sistemas mecnicos. Como
puede resultar obvio, la ley que rige estos modelados es la Segunda
ley de Newton, la cual es aplicable a cualquier sistema mecnico. Un
mtodo sistemtico para obtener ecuaciones de arreglos como los
presentes es el siguiente:1. Se definen posiciones con sentidos
direccionales para cada masa del sistema.2. Se dibuja un diagrama
de cuerpo libre para cada una de las masas, expresando las fuerzas
que actan sobre ellas en trminos de posiciones de masa
A continuacin, mencionaremos algunos ejemplos importantes.
Sistemas mecnicos traslacionales. Considrese un sistema de
masa-resorte-amortiguador, montado en un carro como se muestra en
la figura. Obtendremos su modelo matemtico suponiendo que el
sistema est en reposo para un tiempo t < 0. En este sistema u(t)
es el desplazamiento del carro y se considera como nuestra entrada.
En t = 0, el carro se desplaza a velocidad constante y u es
constante tambin. La salida es el desplazamiento de la masa m que
est montada en el carro, y este desplazamiento se representa y(t),
medido con respecto al suelo.
u
mykb
CONTROL IING. QUIRINO JIMENEZ D.
1
Adems de la masa m, consideraremos otras constantes como k, que
es la constante del resorte; y B que es el coeficiente de
viscosidad. Al suponer que el resorte es lineal, la fuerza del
mismo es proporcional a y u.
La segunda ley de Newton establece que ma Fpresenta nos da
ma = Sum F, que aplicada al sistema
d 2 ymdt 2
b dydt
du k ( y u) dt
O bien
m d y b dy ky b du ku
dt 2dtdt2
Esta ultima ecuacin es el modelo matemtico buscado.
Sin embargo, en control nos interesa representar nuestros
modelados mediante una funcin de
transferencia. Si tomamos
d como D en la ecuacin anterior, tenemosdt
mD2y +bD(y u) +(y u) = 0
En la ecuacin anterior, aplicando la transformada de Laplace a
ambos miembros de la ecuacin nos quedaL (mD2y +bD(y u) +(y u) = 0
). De la definicin de funcin de transferencia, hemos eliminado las
derivadas de las funciones en t = 0, puesto que son nulas.
Finalmente se toma la relacin de Y(s) con respecto a U(s), para
obtener
(ms2 + bs k)Y(s) = (bs + k)U(s)
Funcin de transferencia = G(s) =
Y (s) U (s)
bs k ms2 bs k
El modelado anterior es uno de los ms frecuentes en el estudio
de ingeniera de control, por sus muchas aplicaciones. Sin embargo
se debe hacer notar que los modelos en que se usa la funcin de
transferencia tienen aplicacin nicamente en sistemas lineales
invariantes en el tiempo, puesto que la funcin de transferencia slo
est definida para dichos sistemas.
Un sismgrafo.Como segundo caso, consideremos un sistema detector
de vibraciones del suelo, el cual se representa a continuacin.
mxxokb
Como se puede observar, el arreglo de sus componentes es muy
similar al anlisis anterior. En la figura aparecen los siguientes
parmetros: x = desplazamiento del gabinete con respecto a la masa.
x0 = desplazamiento de la masa con respecto al espacio inercial. y
= x0 x = desplazamiento de la masa con respecto al gabinete.
El resto son las constantes consideradas anteriormente (k, b,
m), del resorte, el amortiguador y la masa.
Ahora, tomando la notacin del operador D, del ejemplo
antecedente, obtenemos el modelado del sistema; as tenemos:
0 = mD2x0 +bD(x0 x) + k(x0 x)0 = mD2(y + x) +bD(y) + ky(usando
la relacin y = x0 x)Aplicando la transformada de Laplace y
despejando Y(s) con respecto a X(s), nos queda finalmente:L (0 =
mD2(y + x) +bD(y) + ky)
Y (s) ms2
X (s)
ms2 bs k
2.2. Sistemas elctricos.
Anlisis de circuitos.Tal vez ya se est familiarizado con el
estudio de los componentes elctricos bsicos, como son la
resistencia, el capacitor y el inductor; y tal vez en menor grado,
con los amplificadores operacionales. Para el modelado de estos
sistemas se debe echar mano del anlisis de circuitos, que se basa
fundamentalmente en la aplicacin de las leyes de Kirchhoff. La
primera de ellas se conoce como ley de corrientes (ley de nodos),
establece que la suma algebraica de todas las corrientes que entran
y salen de un nodo es nula; la misma ley se puede enunciar de esta
manera: La suma de las corrientes que entran a un nodo es igual a
la suma de las corrientes que salen del mismo.
La segunda ley de Kirchhoff se conoce como ley de voltajes (ley
de mallas o lazos), y nos indica que la suma de los voltajes en una
malla del circuito elctrico el cero; tambin es usual representar la
segunda ley de este modo: La suma de las cadas de tensin a lo largo
de una malla del circuito, es igual a la suma de las elevaciones de
tensin en la misma malla. El sistema para encontrar las ecuaciones
diferenciales es muy sencillo, pues basta con encontrar las
ecuaciones de malla o de nodos, del circuito de que se trate. Las
corrientes y voltajes de cada elemento se escriben segn su
definicin en cada caso.
Circuito simple LCR.
Considrese un circuito serie LCR, como el mostrado en la figura,
en donde se indica una corriente de malla, y el voltaje de salida
es el voltaje del capacitor
LRiCvovi
Las unidades de resistencia, capacitancia e inductancia estn
dadas en Ohmios, henrys y faradios, respectivamente; la corriente y
los voltajes, estn en amperios y voltios, respectivamente.
Aplicando la ley de voltajes de Kirchhoff (LVK) a la malla donde
circula la corriente i, encontraremos las siguientes
ecuaciones:
L di dt Ri 1C
i dt vi
1C i dt vo
De nuevo, nos interesa ms obtener la funcin de transferencia, y
para ello aplicamos la transformada de Laplace a la ecuacin
anterior, sin olvidar que las derivadas obtenidas se eliminan por
ser iguales a cero, esto tomado de la definicin de Funcin de
Transferencia. Para ello tomamos como entrada el voltaje de la
fuente vi y como salida el voltaje vo y despejamos las dos
ecuaciones. De esta manera nos quedan las ecuaciones as
LsI (s) RI (s) I (s) V (s)
I (s) V (s)
Csi
CsoVo (s) 12Vi (s)LCs RCs 1Funcin de transferencia de elementos
en cascada.Al estudiar los sistemas retroalimentados, encontramos
que hay componentes que se cargan unos a otros, dicho de otro modo,
la entrada de un elemento del sistema es la salida de otro
componente del sistema. Podemos representar un arreglo muy similar
en el circuito elctrico que se muestra a continuacin, en el cual se
ubican dos mallas RC, con sus corrientes indicadas. De nuevo, vi es
la entrada y vo, el voltaje del capacitor 2, es la
salida.R1R2i1i2
vivo
C1C2
En el presente caso, la carga la produce la seccin de C2R2 sobre
la primera etapa del circuito R1C1. Aplicando LVK en las dos mallas
del circuito, encontramos el modelado matemtico en las siguientes
ecuaciones integro-diferenciales:
1(i1 i2 )dt R1i1 v1C
1
11y(i2 i1 )dt R2i2 CC
12
i2dt vo
Tomando las transformadas de Laplace de estas dos ecuaciones,
teniendo en cuenta que las condiciones iniciales son iguales a
cero, se obtiene
1 I (s) I12
(s)R I (s) V (s)
C1s
1 1i
1 I
(s) I (s)R I
(s) 1
I (s) V (s)
C1sC2 s212 22o
Eliminando I1(s) e I2(s) de las ecuaciones anteriores
encontramos finalmente nuestra funcin de transferencia entre Ei(s)
y Eo(s), que resulta ser
Vo (s) Vi (s)
1(R1C1s 1)(R2C2s 1) R1C2s
R1C1R2C2 s2
1(R1C1 R2C2 R1C2 )s 1
El presente anlisis indica que si dos circuitos RC estn
conectados en cascada, o sea, la salida de uno es la entrada del
otro, la funcin de transferencia, no es, como pudiera pensarse, el
producto de las funciones de transferencia que se obtendran al
analizar cada porcin del circuito total en forma independiente.
Esto se debe a que al hacer el modelado de forma independiente, se
supone que no hay efectos de carga en la salida, que es lo mismo
que decir que no se toma potencia alguna de la salida.
2.3. Sistemas anlogos.
Definicin.Dos sistemas fsicamente diferentes, pero que se
comportan de manera semejante, y por ende sus modelados matemticos
son semejantes, se dice que son sistemas anlogos. Esto implica que
una misma ecuacin puede describir a ms de un sistema.
Esta propiedad nos permite ciertas ventajas en el estudio de
sistemas fsicos, entre las que podemos contar:1. La solucin de la
ecuacin o ecuaciones, que describe a un sistema se puede aplicar a
otros sistemas de reas distintas, que estn descritos por la misma
ecuacin o ecuaciones.2. Esto nos permite manejar el estudio ms
fcilmente, puesto que hay sistemas ms simples para implementar en
el laboratorio (como el elctrico), que otros ms complicados y
costosos (como puede ser un sistema mecnico o hidrulico).
Por ser los ms comunes en nuestro curso de control,
presentaremos primordialmente las analogas entre sistemas mecnicos
y elctricos, teniendo presente que las analogas no se aplican
exclusivamente a estos dos sistemas. Se debe recalcar la
importancia que tiene el anlisis de circuitos en el modelado de
sistemas, y en la conversin de analogas entre un sistema y otro
diferente fsicamente. Es por ello que se debe hacer un repaso de
las tcnicas de anlisis de nodos y mallas, cuando se tienen
elementos almacenadores de energa (capacitores y bobinas).
Analoga mecnica elctrica.Analicemos los dos pares de figuras
representadas abajo y obtengamos las ecuaciones que los definen
fsicamente.
RLmkf(t)bx
Cie(t)
Las ecuaciones del sistema mecnico son
d 2 xmdt 2
dx bkx dt
f (t) .(a)
Para la red elctrica RCL en serie de la derecha, al aplicar LVK
obtenemos la ecuacin de malla escrita debajo:
L di Ri 1 idt e(t) .dtC
Expresando esta ecuacin respecto de la carga elctrica q, tenemos
finalmente
L d q R dq 1 q e(t) .(b)2
dt 2
dtC
Se observar que las ecuaciones (a) y (b) tienen exactamente la
misma forma, por lo que podemos concluir que son sistemas
anlogos.
Ahora comparemos la misma masa del dibujo anterior con una red
elctrica RCL en paralelo, como la que aparece en la figura mostrada
enseguida. En esta ocasin aplicaremos la ley de corriente de
Kirchhoff (LCK), lo que nos lleva a las siguientes expresiones
km
f(t)iRiLi(t)RLC
iC
xb
iL + iR + iC = is .
Cada corriente de la ecuacin de nodos anterior se expresa, segn
el elemento elctrico de que se trate, de la siguiente forma
i 1 edt ,L
L
i e ,RR
i C de .Cdt
Por lo que tenemos
1L edt
e C de Rdt
i(t)s .
El flujo magntico se relaciona con el voltaje mediante la
expresin. Sustituyendo nos queda, nos queda finalmente la ecuacin
siguiente.
d 21C
d1 i(t) .(c)
dt2
R dtL
Esta nueva ecuacin (c) tambin es idntica en cuanto a la forma, a
la ecuacin (a), por lo que concluimos nuevamente que el circuito
paralelo RCL tambin es anlogo al sistema amortiguador masa
resorte.
Haciendo anlisis similares a los anteriores nos queda que,
excepto las variables usadas, los sistemas de ecuaciones son
idnticos, lo que nos indica que estos cada uno de estos pares de
ecuaciones es anlogos. Los trminos semejantes en cada ecuacin se
denominan magnitudes anlogas. En la primera serie de ecuaciones la
analoga indicada se denomina fuerza voltaje (o analoga masa -
inductancia). En el segundo caso, la analoga se denomina fuerza
corriente, o analoga masa capacitancia. Las relaciones ya
encontradas se pueden resumir en la siguiente tabla.
Sistemas anlogos Mecnico Elctrico.
FuerzasVoltajesCorrientes
Masa mInductancia LCapacitancia C
Coeficiente de viscosidad bResistencia R1/R
Constante de resorte k1/C1/L
Desplazamiento xQFlujo magntico
DxCorriente iVoltaje e
Fuerza f(t)Voltaje e(t)Corriente i(t)
Esta tabla de identidades nos permitir convertir un sistema de
fuerzas en otro elctrico de voltajes o corrientes; o viceversa, un
sistema elctrico en uno mecnico
Para entender mejor cmo se usa esta tabla de conversiones,
consideremos el siguiente arreglo de dos masas suspendidas y
conectadas entre s por sistemas de resorte amortiguador.
m1m2k1b1x1k2b2x2k3
Primero, comenzaremos encontrando el modelado del sistema. De
nueva cuenta usamos la notacin D para representar. Luego entonces,
tenemos:
0 = m1D2x1 + b1Dx1 + k1x1 +b2D(x1 x2) + k2(x1 x2)(1)Tomando como
referencia la masa 1. Para la masa 2, nuestro modelado es:
0 = m2D2x2 + k3x2 +b2D(x2 x1) + k2(x2 x1).(2)Ahora procederemos
a aplicar la analoga para convertir este sistema mecnico en uno
elctrico, ms fcil de analizar. Primero usaremos la analoga fuerza
voltaje; refirindonos a la primera y segunda columnas de la tabla
anterior, tenemos las siguientes ecuaciones
0 L Di R i
q1 R (i
i )
1 (q q )
(1)
111 1C
1
2 12122
0 L Di q2 R (i
i )
1 (q q )
(2)C
222 2121CC
32
Sin embargo, como nos indica el nombre de esta analoga, nos
interesa indicar todos los elementos de esta ecuacin en trminos de
voltajes. Por lo que podemos tomar las relaciones elctricas entre
capacitancia y carga elctrica para obtener:
0 L Di R i 1
ti dt R (i
i ) 1
tC
(i i )dt
(1)
111 1C
0 11
2 12
0 122
0 L Di 1
ti dt R (i
i ) 1
tC
(i i )dt
(2)
220 2C
3
2 21
0 212
Una vez que tenemos las ecuaciones del sistema, podemos
representarla con su respectivo diagrama elctrico. Los siguientes
son los diagramas de las ecuaciones de mallas encontradas
anteriormente.
R1C1C3R2i1i2C2R2i1i2C2
L1L2
Ecuacin (1)
Ecuacin (2)
R1C1C3R2i2L1i1L2C2
Circuito resultante de dos mallas.
Ahora transformaremos el mismo circuito mecnico del ejemplo
anterior en su equivalente circuito elctrico definido por
corrientes (ecuaciones de nodos). Tomando las columnas 1 y 3 de la
tabla de conversiones entre sistemas mecnicos y elctricos
obtenemos
0 C De e1
1
1 (e
e )
1 (
)
111212RLRL
1122
aplicando la misma relacin entre flujo y el voltaje ( ddt
e ), nos queda la ecuacin
0 C D e
e1 1
te dt
1 (e
e ) 1
t(e e )dtL
(1) .
110 1RL
11
120 1222
De la misma forma, la ecuacin (2) del sistema mecnico tiene como
equivalenteR
0 C De 1
te dt
1 (e
e ) 1
tL
(e e )
(2)
220 2L
3
2102122
sus diagramas elctricos son los que a continuacin se
representanR
L2L2
L3e1e2R2L1C1R1Gnd e1e2R2C2Gnd
Ecuacin (1)Ecuacin (2)
L2
C1L3e1e2R2R1L1C2Gnd
Circuito resultante de dos nodos
2.4. Sistemas electromecnicos.
Servomotor de cd.Se conoce como servosistema (o servomecanismo)
al grupo general de sistemas de control en los que se integran los
elementos reguladores automticos y los servomecanismos. Un
servomotor es por tanto, cualquier sistema fsico en el que una o ms
magnitudes de entrada (mando) controlan, por medio de una funcin de
transferencia determinada, una o ms magnitudes de salida, las
cuales pueden poseer un nivel de potencia superior al de
entrada.
Un servomotor es el rgano motor que acciona los elementos
mecnicos en los servosistemas, en donde suele utilizarse como
elemento de salida para controlar la potencia suministrada a la
carga para controlar, en funcin de la seal elctrica recibid a la
entrada. Los servomotores se pueden accionar por medio de la fuerza
elctrica, hidrulica, neumtica, o una combinacin de las mismas. Nos
centraremos en los motores elctricos controlador por electricidad
de cd.
En los servomotores de cd, los bobinados de campo se pueden
conectar en serie con la armadura, o separados (o sea, con el
circuito magntico construido en forma independiente). En este ltimo
caso, cuando el campo es excitado por separado, el flujo magntico
es independiente de la corriente de la armadura. En algunos
servomotores de cd, el campo magntico es producido por un imn
permanente, y por lo tanto, el flujo magntico es constante; estos
servomotores se denominan de imn permanente. Los servomotores de cd
con campo magntico excitado de manera independiente, as como los de
imn permanente, pueden ser controlados por la corriente de la
armadura. Tal esquema de control de salida se llama control de
armadura de los servomotores de cd.
LaRaeaiaebTJb
If = constante
En el caso en que la corriente de la armadura se mantiene
constante y la velocidad se controla mediante la tensin del campo,
se dice que el motor de cd es controlado por campo. (Algunos
sistemas de control de velocidad usan motores de cd controlador por
campo). El requisito de mantener constante la corriente de la
armadura es poco ventajoso, es mucho ms fcil producir voltaje
constante. Las constantes de tiempo del motor de cd controlado por
campo son generalmente grandes en relacin con las constantes de
tiempo de motores controlador por armadura.
Un servomotor se puede controlar por medio de un controlador
electrnico, frecuentemente denominado servopropulsor, combinacin de
propulsor y motor. El servopropulsor controla el movimiento de un
servomotor de cd y funciona de diversos modos. Algunas de sus
caractersticas son el posicionado punto por punto, el seguimiento
de un perfil de velocidad, y la aceleracin programable. En los
sistemas de control de robot, en los sistemas de control numrico y
otros sistemas de control de posicin y de velocidad, es muy
frecuente emplear el controlador electrnico de movimiento que
emplea u propulsor de modulacin de ancho de pulso para controlar un
servomotor de cd.
Enseguida estudiaremos el control de la armadura de servomotores
de cd y el control electrnico de movimiento de servomotores de
cd.
Control de la armadura de servomotores de cd. Analizaremos el
siguiente esquema de un servomotor de cd controlado por armadura,
como el que aparece en el dibujo anterior. En ese mismo esquema
tenemos los siguientes parmetros:
Ra =resistencia de la armadura, en ohmios () La =inductancia de
la armadura, en henrios (H) ia =corriente de la armadura (amperios,
A)if = corriente del campo (A)ea = tensin aplicada en la armadura,
en voltios (V)eb= fuerza contra-electromotriz (V) = desplazamiento
angular del eje del motor, en radianes (rad)T = par desarrollado
por el motor, en Newton-metro (N-m)J = momento de inercia del motor
y carga con referencia al eje del motor, en kg-m2B = coeficiente de
viscosidad del motor, con carga referida al eje del motor, en
N-m/rad/seg
El par T desarrollado por el motor es proporcional a la
corriente de la armadura, y al flujo magntico en el entrehierro, el
que a su vez es proporcional a la corriente del campo. O bien donde
Kf es una constante. El par T se puede escribir entonces como
T = KfifKlia
Si la corriente del campo es constante , el flujo tambin es
constante, y el par es directamente proporcional a la corriente de
la armadura, de modo que
T = Kia
Donde K es una constante del par motriz. Ntese que si el signo
de la corriente se invierte , tambin se invierte el signo del par
T, los que se manifiesta en la inversin del sentido rotacin del eje
del motor.
Cuando la armadura est girando, se induce en ella una tensin
proporcional al producto del flujo por la velocidad angular. Para
un flujo constante, la tensin inducida ebes directamente
proporcional a la velocidad angular
d, odt
deb Kbdt
donde K es la constante de fuerza contraelectromotriz.
La velocidad de un servomotor de cd controlado por armadura, se
controla mediante la tensin de la armadura. (la tensin de la
armadura es la salida de un amplificador de potencia que no est
dibujado en el diagrama). La ecuacin diferencial del circuito de
armadura es entonces
L diaa dt Raia eb ea
La corriente de la armadura produce un torque que se aplica a la
inercia y la friccin
d 2Jdt 2 ddt
T Kia
Ahora aplicaremos la transformada de Laplace a las tres
ecuaciones anteriores y obtendremos
Kbs (s) Eb (s)(Las Ra )Ia (s) Eb (s) Ea (s)
(Js2 bs) (s) T (s) KIa
(s)
Considerando al sistema Ea(s) como la entrada y a (s) como la
salida, construimos un diagrama de bloques como el siguiente
Se notar que es un sistema retroalimentado . el efecto de la
fuerza contraelectromotriz es una retroalimentacin proporcional a
la velocidad del motor. Esta retroalimentacin incrementa el
amortiguamiento efectivo del sistema. Despejando de las
transformadas obtenidas, la funcin de transferencia es
(s) Ea (s)
La Js2
K (Lab Ra J )s2
(Rab KKb )s
Si la inductancia del circuito de la armadura es pequea,
generalmente se desprecia, por lo que nuestra funcin de
transferencia queda de esta forma
(s) Eb (s)
Km
s(Tms 1)
=Kms(Tms 1)
Donde Km = K/(Rab+KKa) = constante de ganancia del motorTm =
RaJ/(Rab+KKb) = constante de tiempo del motor
Con estos resultados obtenidos, el diagrama de bloques del
servomotor se reduce a
(s)Kms(Tms 1)Ea(s)
Control electrnico de movimiento de servomotores de cd.Hay
muchos tipos diferentes de controladores de movimiento electrnicos,
o servopropulsores, para servomotores. La mayor parte de los
servopropulsores se disean para controlar la velocidad del
servomotor. Con ello se mejora la eficiencia de operacin. En la
figura se presenta el esquema de un diagrama de bloques de un
servoposicionador de alta precisin con control de velocidad que
combina un servomotor y un servopropulsor. El servopropulsor est
diseado para lograr una velocidad del servomotor proporcional al
voltaje E1.
Sistema de control de posicin.Analizaremos el sistema de control
de posicin que aparece en el siguiente diagrama, en donde tenemos
los mismos parmetros del servomotor analizado con anterioridad y
otros nuevos, los cuales son
R =desplazamiento angular del eje de entrada, en radianes C
=desplazamiento del eje de salida, en radianesKa =ganancia del
potencimetro Kp =ganancia del amplificador N =relacin de
engranes
. Los elementos de los extremos son potencimetros conectados a
fuentes de voltaje, y un enlace entre la salida del servomotor y la
entrada al potencimetro c. Vamos a deducir su funcin de
transferencia de la misma forma como se hizo con el
servomotor..
Del anlisis del la figura tenemos las siguientes relaciones.
e (r c)KpE(s) (R(s) C(s))K p
ea eKaEa (s) E(s)Ka
Los diagramas de bloques de estas relaciones son
kpR(s)E(s)C(s)
kaE(s)Va(s)
El modelado del motor encontrado en el servomotor lo utilizamos
nuevamente, o sea
(s) Kaaaab
Ea (s)
L Js3 (L b R
J )s 2 (R b KK )
Y ahora utilizando una ltima que relaciona en nmero de engranes,
que es
(s)n = C(s)
Tenemos finalmente el diagrama de bloques que se muestra abajo,
y la funcin de transferencia final del sistema, que se obtiene
directamente al simplificar el diagrama mismo.
C(s)R(s) =
KKa Kp n
L Js3 + (L b R J)s2 (R +b +KK )saaaab
2.5. Sistemas de nivel de lquido.
Para simplificar el anlisis de sistemas de nivel de lquido,
haremos uso de los conceptos elctricos de resistencia y
capacitancia obviamente con su respectiva analoga para poder
describir las caractersticas dinmicas de esos sistemas en forma
simple. Esto nos har ver otra similitud entre un sistema hidrulico
y uno elctrico.
Resistencia y capacitancia en sistemas de nivel de
lquidos.Supngase que se tienen dos tanques con determinados niveles
de agua, y que dichos tanques estn conectados por una tubera corta.
Se define resistencia como la relacin entre la diferencia de nivel
de agua entre los tanques, necesaria para producir una variacin
unitaria en el gasto; o sea
R = (cambio en la diferencia de niveles, en metros, m)/(cambio
en el gasto, en m3/s)
Si consideramos el siguiente dibujo de un tanque con dos
vlvulas. Si tenemos un flujo laminar, la relacin entre el gasto en
estado estacionario y la presin hidrosttica en el mismo estado
estacionario al nivel de la restriccin laminar, es
Q = KH
Vlvula de control
Q +qoH +hQ + qiVlvula de carga
Capacitancia CResistencia R
DondeQ =gasto en el estado estacionario K =coeficiente, en
m2/s
H =presin hidrosttica, en estado estacionario.
Esta ley que rige el flujo laminar es anloga a la ley de
Coulomb, que establece que la corriente es directamente
proporcional a la diferencia de potencial, por lo que la
resistencia se define tambin como sigue
R dH H1dQQ
La resistencia al flujo laminar es anloga a la resistencia
elctrica. Si el flujo es turbulento, el gasto estacionario se da
porQ KH
DondeQ = K =gasto en el estado estacionario coeficiente, en
m2/s
H =presin hidrosttica, en estado estacionario.
La resistencia Rt (resistencia de flujo turbulento), se obtiene
de
R dHtdQ
como se hizo con anterioridad, tenemos
dQ 2 H
KdH
y tambin
dH 2 H 2dQK
HH 2H QQ
por lo que la resistencia de flujo turbulento queda
finalmente
R 2HtQ
El valor de la resistencia de flujo turbulento depende del gasto
y de la presin hidrosttica. Sin embargo, su valor se puede
considerar constante si las variaciones de la presin y del gasto
son pequeas, respecto al estado estacionario
Hay que hacer notar que en la prctica casi nunca se conoce el
valor del coeficiente K, el cual depende del coeficiente del flujo
y del rea de restriccin. En esos casos, la resistencia se obtiene
trazando la representacin hidrosttica de la presin hidrosttica en
funcin del gasto, basndose en valores experimentales, y midiendo la
pendiente de la curva en la condicin de operacin.
La capacitancia se define como la variacin en la cantidad del
lquido acumulado, necesaria para producir una variacin unitaria en
el potencial (presin hidrosttica). El potencial es la magnitud que
indica el nivel de energa del sistema. Esta relacin queda
C cambio en la cantidad del lquido acumulado, en m2
cambio en el nivel en m
Se notar que la capacitancia (m2) es diferente a la capacidad
(m3), ya que la primera representa el rea de la seccin de corte. Si
sta es constante, la capacitancia es constante para cualquier carga
hidrosttica.
Funcin de transferencia en sistemas de nivel. De la misma figura
usada para deducir la capacitancia y resistencia hidrostticas,
consideraremos las otras magnitudes que aparecen all, a saber
Q = gasto en el estado estacionario (antes de haber algn
cambio), en m3/sqi =pequea desviacin en el gasto de entrada,
respecto al valor del estado estacionario, en m3/sqo = pequea
desviacin en el gasto de salida, respecto al estado estacionario
(m3/s)H = nivel de carga en el estado estacionario, en mH = pequea
desviacin de la carga con respecto al nivel del estado
estacionario.
Si el flujo se considera lineal, el sistema se considera lineal,
de otro modo, tendra que linealizarse. Sin embargo, la ecuacin
diferencial se puede obtener del siguiente modo. El gasto de
entrada menos el gasto de salida durante el intervalo de tiempo dt
es igual a la cantidad de liquido acumulada en el tanque, lo que
nos produce que
C dh dt
(qi qo )
Por la definicin de resistencia, la relacin entre qo y h est
dada por
hqo R
Y la ecuacin diferencial del sistema es, para un valor constante
de R,
RC dhdt h Rqi
donde RC es la constante del sistema. Tomando la transformada de
Laplace de toda la ecuacin, con sus condiciones iniciales iguales a
cero, se obtiene
(RCs 1)H (s) RQ1 (s) .
Si se toma a qi como entrada y a h como la salida, la funcin de
transferencia queda como
H (s) Qi (s)
R.RCs 1
Por otro lado, si consideramos a qo como la salida, la funcin de
transferencia queda as
Qo (s) Qi (s)
1
RCs 1
,tomando en cuenta que
Q (s) H (s)oR
Con los resultados obtenidos del anlisis de un sistema de nivel
de lquido de un solo tanque, obtendremos la funcin de transferencia
de un sistema similar, con dos tanques con interaccin. O sea, la
salida del primer tanque es la entrada del segundo. En todo el
anlisis subsecuente se supondr que se tiene un flujo laminar en el
sistema. Las ecuaciones para este sistema son, entonces las
siguientesH1 +h1
H2 +h2
Q +q
Tanque 1
Tanque 2
R1R2
C1C2Q + q1
Q + q2
Sistema de nivel de lquido con interaccin.
C dh11 dt
(qi q1)Qi (s)1C1s
C1sH1(s) Qi (s) Q1 (s)H1 (s)
Q1(s)
R (h1 h2 )1
q1H1(s)1R1
H2 (s)
R H1 (s) H2 (s)Q1 (s)1
Q1(s)
Los grupos de ecuaciones anteriores nos dan la relacin de la
capacitancia y la resistencia para el primer tanque, as como su
interaccin con el tanque 2. en la extrema derecha se pueden
apreciar sus respectivos diagramas de bloques.
Q1(s)1C2 s
H 2 (s)
C dh22 dt
(q1 q0 )
C2sH2 (s) Q1 (s) Q2 (s)
Qo (s)
R h2 qo2
R2
H2 (s)Qo (s)
H2 (s)
Qo (s)
Las relaciones de resistencia y capacitancia para el segundo
tanque se definieron en las ecuaciones de arriba. En cada una de
las ecuaciones anteriores, las de la columna izquierda representan
la ecuacin diferencial; en el centro estn indicadas las
transformadas de Laplace para cada una de las ecuaciones, y, como
se mencion ya, su respectivo diagrama de bloques a la extrema
derecha. Al unir todos los diagramas de bloques de cada par de
ecuaciones, obtenemos el siguiente diagrama de bloques del sistema,
en donde se aprecian las relaciones descritas en la figura de los
dos tanques.1R2
Al simplificar, por el lgebra de bloques, tenemos finalmente la
funcin de transferencia, esta vez representada en un diagrama de
bloques.
Advirtase la semejanza entre esta ltima funcin encontrada y la
que se dedujo del anlisis de circuito elctricos en cascada.
Comparando ambos arreglos, se ve que el presente sistema es anlogo
al elctrico en cascada. En el sistema de nivel, la salida del
tanque 1 a travs de la primera vlvula de carga (R1), es la entrada
del segundo sistema del tanque 2.
Bibliografa
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Prentice-Hall. Mxico 1985.
Hostetter, G.; Savant C.; Stefani, R. SISTEMAS DE CONTROL.
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