1. Modelos Matemáticos Un modelo es producto de una abstracción de un sistema real: eliminando las complejidades y haciendo suposiciones pertinentes, se aplica una técnica matemática y se obtiene una representación simbólica del mismo. Un modelo matemático consta al menos de tres conjuntos básicos de elementos: Ø Variables de decisión y parámetros Las variables de decisión son incógnitas que deben ser determinadas a partir de la solución del modelo. Los parámetros representan los valores conocidos del sistema o bien que se pueden controlar. Ø Restricciones Las restricciones son relaciones entre las variables de decisión y magnitudes que dan sentido a la solución del problema y las acotan a valores factibles. Por ejemplo si una de las variables de decisión representa el número de empleados de un taller, es evidente que el valor de esa variable no puede ser negativo. Ø Función Objetivo La función objetivo es una relación matemática entre las variables de decisión, parámetros y una magnitud que representa el objetivo o producto del sistema. Por ejemplo si el objetivo del sistema es minimizar los costos de operación, la función objetivo debe expresar la relación entre el costo y las variables de decisión. La solución ÓPTIMA se obtiene cuando el valor del costo sea mínimo para un conjunto de valores factibles de las variables. Es decir hay que determinar las variables x1, x2,…, xn que optimicen el valor de Z = f(x1, x2,…, xn) sujeto a restricciones de la forma g(x1, x2,…, xn) £ b. Donde x1, x2,…, xn son las variables de decisión Z es la función objetivo, f es una función matemática. EJEMPLO 1.2.1: Sean X1 y X2 la cantidad a producirse de dos productos 1 y 2, los parámetros son los costos de producción de ambos productos, $3 para el producto 1 y $5 para el producto 2. Si el tiempo total de producción esta restringido a 500 horas y el tiempo de producción es de 8 horas por unidad para el producto 1 y de 7 horas por unidad para el producto 2, entonces podemos representar el modelo como:
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1. Modelos Matemáticos
Un modelo es producto de una abstracción de un sistema real: eliminando las complejidades
y haciendo suposiciones pertinentes, se aplica una técnica matemática y se obtiene una
representación simbólica del mismo. Un modelo matemático consta al menos de tres
conjuntos básicos de elementos:
Ø Variables de decisión y parámetros
Las variables de decisión son incógnitas que deben ser determinadas a partir de la solución
del modelo. Los parámetros representan los valores conocidos del sistema o bien que se
pueden controlar.
Ø Restricciones
Las restricciones son relaciones entre las variables de decisión y magnitudes que dan sentido
a la solución del problema y las acotan a valores factibles. Por ejemplo si una de las variables
de decisión representa el número de empleados de un taller, es evidente que el valor de esa
variable no puede ser negativo.
Ø Función Objetivo
La función objetivo es una relación matemática entre las variables de decisión, parámetros y
una magnitud que representa el objetivo o producto del sistema. Por ejemplo si el objetivo
del sistema es minimizar los costos de operación, la función objetivo debe expresar la
relación entre el costo y las variables de decisión. La solución ÓPTIMA se obtiene cuando el
valor del costo sea mínimo para un conjunto de valores factibles de las variables. Es decir
hay que determinar las variables x1, x2,…, xn que optimicen el valor de Z = f(x1, x2,…, xn)
sujeto a restricciones de la forma g(x1, x2,…, xn) £ b. Donde x1, x2,…, xn son las variables
de decisión Z es la función objetivo, f es una función matemática.
EJEMPLO 1.2.1: Sean X1 y X2 la cantidad a producirse de dos productos 1 y 2, los
parámetros son los costos de producción de ambos productos, $3 para el producto 1 y $5
para el producto 2. Si el tiempo total de producción esta restringido a 500 horas y el tiempo
de producción es de 8 horas por unidad para el producto 1 y de 7 horas por unidad para el
producto 2, entonces podemos representar el modelo como:
MinZ = 3X1 + 5X2 (Costo total de Producción)
Sujeto a (S.A):
8X1 + 7X2 £ 500 (Tiempo total de producción)
X1, X2>= 0 (Restricciones de no negatividad)
EJEMPLO 1.2.2: En una empresa se fabrican dos productos, cada producto debe pasar por
una máquina de ensamblaje A y otra de terminado B,antes antes de salir a la venta.El
producto 1 se vende a $60 y el otro a $50 por unidad. La siguiente tabla muestra el tiempo
requerido por cada producto:
Producto Maquina A Maquina B
1 2 H 3 H
2 4 H 2 H
Total disponible 48 H 36 H
Para representar el modelo de este problema primero se debe determinar las variables de
decisión: Sea Xi: La cantidad a fabricar del producto 1 y 2 (i=1,2), entonces X1: cantidad a
fabricar del producto 1, X2: cantidad a fabricar del producto2, luego el modelo quedaría de la
siguiente manera:
MaxZ = 60X1+ 50X2 (máximo ingreso por ventas)
S.A: 2X1+ 4X2 <= 48 (disponibilidad horas _maquina A)
3X1+ 2X2 <= 36 (disponibilidad horas _maquina B)
X1, X2 >= 0 (Restricciones de no negatividad)
2. Modelos de Simulación
La simulación es una técnica para crear modelos de sistemas grandes y complejos que
incluyen incertidumbre. Se diseña un modelo para repetir el comportamiento del sistema.
Este tipo de modelamiento se basa en la división del sistema en módulos básicos o
elementales que se enlazan entre sí mediante relaciones lógicas bien definidas (de la forma
SI / ENTONCES). El desarrollo de un modelo de simulación es muy costoso en tiempo y
recursos.
II. PROGRAMACION LINEAL
II.1 INTRODUCCION A LA PROGRAMACION LINEAL
1. INTRODUCION
La programación Lineal (PL) es una técnica de modelado matemático, diseñada para
optimizar el empleo de recursos limitados. La programación lineal se aplica exitosamente en
el ejercito, en la agricultura, la industria, los transportes, la economía, los sistemas de salud,
en el ejercito e incluso en los sistemas conductuales y sociales.
La utilidad de esta técnica se incrementa mediante el uso y disponibilidad de programas de
computadora altamente eficientes. De hecho la PL, debido a su alto nivel de eficiencia
computacional, es la base para el desarrollo de algoritmos de solución de otros tipos (más
complejos) de modelos de IO, incluyendo la programación entera, no lineal y estocástica.
2. MODELOS DE PROGRAMACION LINEAL
Para formular un problema de programación lineal se debe tener presente que la función
objetivo y todas las restricciones deben ser lineales y todas las variables deben ser continuas
(pueden asumir valores fraccionales).
2.1 SOLUCIÓN GRAFICA DE PL: Los modelos de PL que se resuelven por el método
geométrico o grafico solo son apropiados para casos en que el número de variables son a lo
más dos.
EJEMPLO 2.1.1: UN PROBLEMA DE MINIMIZACION (Contratación de Personal): El
departamento de control de calidad de la empresa Gerconsa S.A que fabrica autopartes,
desea contratar personal tanto senior como junior, para las inspecciones de sus productos.
El personal senior recibe por su jornada de 8hrs., $188y realiza su labor a una tasa promedio
de 30 inspecciones por hora, con un rendimiento del 99%.en cambio el personal junior,
recibe $150 por su jornada, realizando 25 inspecciones por hora, con un rendimiento del
95%.
La demanda diaria de inspecciones es de 1600 unidades y el personal senior a contratar, no
debe ser mayor que el personal júnior.
Si las ensambladoras aplican una multa de $5 por cada unidad defectuosa, ¿cuánto de
personal senior y júnior, se debe contratar?
SOLUCION:
La formulación del modelo al problema de minimización seria:
Sea Xi: Numero de personal a contratar (i = senior, j = junior o
i =1,2)
La función objetivo consistiría en minimizar los costos de salario y los de castigo por unidad
defectuosa
Z = Salario + Multa
Salario = 118×1+ 150×2
Multa = (30*8*0.01X1+ 25*8*0.05X2)*5
Luego la función objetivo es:
MinZ = 200X1+ 200X2 y sujeta a las restricciones:
30(8) X1+25(8) X2>=1600 (Demanda diaria)
X1<= X2 (Relación personal)
Finalmente el modelo se reduce a:
MinZ = 200X1 + 200X2
S.A.: 6X1+ 5X2 >=40 (1)
X1 - X2 <=0 (2)
X1, X2 >=0
Gráficamente y después de haber utilizado el amigable software TORA el problema quedaría
así:
Fig.2.1: Solución grafica (optima) al problema de contratación de personal
Este modelo pudo haberse resuelto fácilmente graficando en las coordenadas X1 y X2 y
hallando el punto de intersección común a ambas rectas. Se puede ver que la intersección de
1. Un agricultor dispone de 150 acres de tierra fértil para los cultivos A y B. El costo de A es de $40 el acre, mientras que el cultivo de B cuesta $60 el acre. El agricultor tiene un máximo de $7400 disponibles para trabajar la tierra. Cada acre del cultivo A necesita 20 horas de trabajo y cada acre del cultivo B, 25. El agricultor dispone de un máximo de 3300 horas de trabajo. Si espera lograr una ganancia de $150 por acre del cultivo A y $200 por acre del cultivo B, ¿cuántos acres de cada cultivo debe plantar para maximizar su ganancia?
El modelo asociado es:
1 2
1 2
1 2
1 2
max. 150 200
s.a .40 60 7400
20 25 3300
0, 0
z x x
x x
x x
x x
donde 1x es el número de acres del cultivo A y 2x es el número de acres del cultivo B.
Identifique el paso que se ha desarrollado en el problema anterior:
1. a) Formulación del modelo matemático2. b) Solución del modelo matemático3. c) Aplicación del modelo como solución del problema original
2. La compañía financiera Madison tiene un total de $20 millones asignados a préstamos para adquisición de casas y automóviles. En promedio, la tasa anual de recuperación para las casas es del 10% y del 12% para los autos. La gerencia ha estipulado que la cantidad total de préstamos hipotecarios tiene que ser mayor o igual a 4 veces la cantidad total de préstamos para autos. ¿Cuál es la cantidad total de los préstamos de cada tipo que debe realizar Madison para maximizar el monto de recuperación?
Por lo tanto la solución del modelo asociado obtenida por el método gráfico es: 16 millones en préstamos hipotecarios y 4 millones en préstamos para automóviles.
Identifique el paso que se ha desarrollado en el problema anterior:
1. a) Formulación del modelo matemático2. b) Solución del modelo matemático3. c) Aplicación del modelo como solución del problema original
3. Un fabricante de muebles tiene 6 unidades de madera y 28 horas disponibles, durante las cuales fabricará biombos decorativos. Con anterioridad, se han vendido dos modelos, de manera que se limitará a producir éstos. Estima que el modelo I requiere 2 unidades de madera y 7 horas del tiempo disponible, mientras el modelo II requiere 1 unidad de madera y 8 horas. Los precios de los modelos son $120 y $80, respectivamente. ¿Cuántos biombos de cada modelo debe fabricar si desea maximizar su ingreso en la venta?
El modelo asociado es:
1 2
1 2
1 2
1 2
max. 120 80
s.a . 2 6
7 8 28
0, 0
z x x
x x
x x
x x
donde 1x es el número de biombos del modelo I y 2x es el número de biombos del modelo II.
Identifique el paso que se ha desarrollado en el problema anterior:
1. a) Formulación del modelo matemático2. b) Solución del modelo matemático3. c) Aplicación del modelo como solución del problema original
4. Una compañía tiene una división que produce dos modelos de braseros, el A y el B. Para producir cada modelo A se necesitan 3 onzas de hierro forjado y 6 minutos de trabajo, mientras que para cada modelo B, 4 onzas de hierro forjado y 3 minutos de trabajo. La ganancia por cada modelo A es $2 y $1.50 por cada B. Si se dispone de 1000 onzas de hierro forjado y 20 horas de trabajo para la producción diaria de braseros, ¿cuántas piezas de cada modelo debe producir la división para maximizar las ganancias de la compañía?
Por lo tanto la solución del modelo asociado obtenida por el método gráfico es: 120 modelos de A y 160 modelos de B.
Identifique el paso que se ha desarrollado en el problema anterior:
a) Formulación del modelo matemáticob) Solución del modelo matemáticoc) Aplicación del modelo como solución del problema original
5. La compañía financiera Madison tiene un total de $20 millones asignados a préstamos para adquisición de casas y automóviles. En promedio, la tasa anual de recuperación para los primeros es del 10% y del 12% para los segundos. La gerencia ha estipulado que la cantidad total de préstamos hipotecarios tiene que ser mayor o igual a 4 veces la cantidad total de préstamos para autos. ¿Cuál es la cantidad total de los préstamos de cada tipo que debe realizar Madison para maximizar el monto de recuperación?
Por lo tanto la solución del modelo asociado por método gráfico es: 16 millones en préstamos hipotecarios y 4 millones en préstamos para automóviles, como los resultados cumplen con las condiciones del problema entonces la solución es factible.
Identifique el paso que se ha desarrollado en el problema anterior:
a) Formulación del modelo matemáticob) Solución del modelo matemáticoc) Aplicación del modelo como solución del problema original
6. Seleccione el método que se utiliza para obtener el máximo y el mínimo del siguiente modelo matemático:
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
4 3
s.a . 3 5 20
3 16
2 1
0, 0
z x x
x x
x x
x x
x x
1. a) Método Gráfico o Método Simplex2. b) Método de Máximo Descenso o Método de Dirección Conjugada3. c) Método de Multiplicadores de Lagrange o Método de Penalización
7. Seleccione el método que se utiliza para encontrar el máximo de la siguiente función:
1 2 1 2
2 21 2
( , )
s.a . 1
f x x x x
x x
a) Método Gráfico o Método Simplexb) Método de Máximo Descenso o Método de Dirección Conjugadac) Método de Multiplicadores de Lagrange o Método de Penalización
8. Seleccione el método que se utiliza para encontrar el máximo de la siguiente función:2 2
1 2 1 2 1 2( , )f x x x x x x
a) Método Gráfico o Método Simplexb) Método de Máximo Descenso o Método de Dirección Conjugadac) Método de Multiplicadores de Lagrange o Método de Penalización
9. Seleccione el método que se utiliza para encontrar la solución del siguiente modelo matemático:
1 2
1 2
1 2
1 2
max. 150 200
s.a. 40 60 7400
20 25 3300
0 0
z x x
x x
x x
x ,x
a) Método Gráfico o Método Simplexb) Método de Máximo Descenso o Método de Dirección Conjugadac) Método de Multiplicadores de Lagrange o Método de Penalización
10. Seleccione el método que se utiliza para encontrar la solución de la siguiente función:
1 2 1 2 3
2 2 21 2 3
( , )
s.a . 1
f x x x x x
x x x
a) Método Gráfico o Método Simplexb) Método de Máximo Descenso o Método de Dirección Conjugadac) Método de Multiplicadores de Lagrange o Método de Penalización