Modelle zum Walzen von Flach- und Vollquerschnitten Von der Fakultät für Ingenieurwissenschaften, Abteilung Maschinenbau und Verfahrenstechnik der Universität Duisburg-Essen zur Erlangung des akademischen Grades eines Doktors der Ingenieurwissenschaften Dr.-Ing. genehmigte Dissertation von Christian Overhagen aus Essen Gutachter: Univ.-Prof. Dr. rer. nat. Johannes Gottschling Univ.-Prof. Dipl.-Ing. Dr. mont. Bruno Buchmayr Tag der mündlichen Prüfung: 2. November 2018
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Modelle zumWalzen von Flach- undVollquerschnitten
Von der Fakultät für Ingenieurwissenschaften,Abteilung Maschinenbau und Verfahrenstechnik der
Universität Duisburg-Essen
zur Erlangung des akademischen Grades
eines
Doktors der Ingenieurwissenschaften
Dr.-Ing.
genehmigte Dissertation
von
Christian Overhagen
aus
Essen
Gutachter: Univ.-Prof. Dr. rer. nat. Johannes GottschlingUniv.-Prof. Dipl.-Ing. Dr. mont. Bruno Buchmayr
Die vorliegende Arbeit liefert Weiterentwicklungen der Rechenverfahren für Walzprozesse von
Flach- und Vollquerschnitten.
Einleitend wird die Bedeutung der Walzverfahren mit aktuellen Auftragseingangszahlen von
Walzwerken in der Bundesrepublik Deutschland dargelegt. In den folgenden Kapiteln werden
die Grundlagen der Formänderungsberechnung, Stichplangestaltung und der Werkstoffmodel-
lierung mit Hilfe von Fließkurven behandelt.
Der nächste Teil ist der Modellierung der Walzverfahren für Flacherzeugnisse gewidmet. Zu-
nächst werden die elementaren Grundlagen des Walzspaltes wiederholt. Danach werden bereits
bekannte Modelle für den Walzvorgang von Flachquerschnitten diskutiert. Dabei werden die
Vor- und Nachteile einzelner Modelle aufgegriffen und Anwendungsbereiche aufgezeigt.
Aufbauend auf Ren, Tieu et al. [RTLD06] wird ein zweidimensionales Walzmodell für das
Warm- und Kaltwalzen von Flachquerschnitten entwickelt. Die Berechnung des Spannungs-
feldes in Längs- und Querrichtung basiert auf der Erweiterung des Streifenmodells mit einer
zweiten Differentialgleichung in Breitenrichtung. Das allgemeine Geschwindigkeitsfeld für das
Flachwalzen wird für den ebenen Fall, sowie für den dreidimensionalen Fall mit Breitung for-
muliert. Dabei wird jeweils parallelepipedische Umformung vorausgesetzt. Die Spannungs- und
Geschwindigkeitsmodelle werden kombiniert, so dass die berechnete Relativgeschwindigkeit
zur Bestimmung des Stoffflusses und der Reibschubspannungsverteilung auf der Kontaktfläche
verwendet werden kann.
Zur Berechnung der Temperaturverteilung im Walzgut wird ein zweidimensionales Modell auf
Basis der Methode der Finiten Differenzen formuliert, mit dem die Berechnung des Temperatur-
feldes im Walzgut während des Walzvorganges unter Berücksichtigung der Kantenauskühlung
möglich ist.
Für die bei allen kontinuierlichen Walzprozessen wichtige Problematik der zwischen den Gerüs-
ten im Walzgut entstehenden Längsspannungen wird ein Modell zur Berechnung dieser Span-
nungen aus den Walzendrehzahlen formuliert. Für breitungsfreie Walzprozesse kann das Modell
in linearisierter Form als Matrixinversion angewandt werden, da in diesen Fällen die Nichtlinea-
rität zwischen Drehzahlabweichungen und Längsspannungen nur schwach ausgeprägt ist. So ist
eine direkte Berechnung der wirkenden Längsspannungen aus Drehzahl- und Querschnittsab-
XX
weichungen möglich.
Um einen größeren Nutzen aus dem neuen Walzmodell ziehen zu können, werden Submodelle
für die Deformation der Arbeits- und Stützwalzen von Zwei- und Vierwalzengerüsten formu-
liert. Für die Abplattung der Arbeitswalzen wird ein Rechenverfahren auf Basis des Boussinesq-
Problems [Bou85] verwendet. Von Berger [Ber75] und Hacquin [HMG98] durchgeführte Be-
trachtungen zeigen, dass sich das Boussinesq-Modell für einen elastischen Halbraum auf die
Deformation einer zylindrischen Walze anwenden lässt. Auf dieser Basis erfolgt die Übertra-
gung auf die Vollzylindergeometrie der Walze. Damit kann die räumliche Walzendeformati-
on auf Basis der vom Walzmodell gelieferten zweidimensionalen Spannungsverteilung berech-
net werden, während in früheren Arbeiten [Ber75, Bei87] nur eindimensionale oder konstante
Walzkraftverteilungen berücksichtigt wurden.
Die Durchbiegung der Arbeits- und Stützwalzen wird unter Beachtung des Kontaktproblems
Arbeitswalze-Stützwalze mit Hilfe von Finiten Balkenelementen berechnet.
Zusätzlich zu den mechanischen Deformationen wird die thermische Walzenballigkeit berück-
sichtigt. Mit Hilfe der von Robinson und De Hoog [RDH96] vorgeschlagenen azimutalen Mitte-
lung wird ein zweidimensionales Finite-Differenzen-Verfahren in axialer und radialer Richtung
implementiert, welches zur Berechnung der instationären Entwicklung der thermischen Ballig-
keit der Arbeitswalzen angewandt wird. Dabei werden die tangential abhängigen Wärmeströme
in der Randschicht der Walze gemittelt betrachtet und somit eine zulässige Lösung für die Rand-
bedingungen der axialsymmetrischen Wärmeleitungsgleichung bestimmt.
Zusätzlich wird das Verschleißprofil der Arbeitswalzen mit Hilfe des Modells nach Castaeneda
[SETF14] berücksichtigt.
Unter Verwendung der entwickelten Teilmodelle werden technologische Maßnahmen zur Be-
einflussung des Walzgutdickenprofils diskutiert. Die geometrischen und mechanischen Ein-
flussmöglichkeiten von Walzenschliffen, Walzenrückbiegung und der CVC-Technologie wer-
den anhand von Rechenbeispielen aufgezeigt.
Die für die Planheitsberechnung wichtige Modellierung der lokalen Breitung bei Flacherzeug-
nissen wird aufgegriffen. Dazu wird sowohl ein phänomenologischer Ansatz sowie die plasto-
mechanische Modellierung des Planheitsproblems mit Hilfe der Methode der oberen Schranke
beschrieben, vgl. [Els04].
Die Breitung beim Walzen wird aufgrund ihrer technologischen Relevanz in einem eigenen
Kapitel behandelt. Verschiedene bekannte Breitungsgleichungen werden auf ihr Differential-
Zusammenfassung XXI
verhalten hin untersucht, um ihre Verwendbarkeit zur Berechnung der örtlichen Breitung zu
bewerten. Neben empirischen Breitungsmodellen wird ein vereinfachtes plastomechanisches
Breitungsmodell nach Domanti et al. [DMM95] in die Betrachtungen einbezogen.
Ein weiterer Teil der Arbeit ist Modellen zum Profilwalzen von Vollquerschnitten gewidmet.
Wichtige Kaliberformen und Vorgehensweisen zur Berechnung von Kaliberreihen werden dis-
kutiert.
Die bekannte Modellpalette wird um ein Modell für das Dreiwalzenverfahren erweitert. Dieses
Modell erlaubt erstmals die Berechnung der wichtigen statischen und kinematischen Größen
des Dreiwalzenverfahrens mit elementaren Rechenmethoden, so wie es beim Zweiwalzenver-
fahren schon seit Langem möglich ist. Das Äquivalenzverfahren nach Lendl wird systematisch
auf das Dreiwalzenverfahren übertragen und so die Berechnung von Profilwalzstichen im Drei-
walzenverfahren ermöglicht.
Das zum Flachwalzen entwickelte Modell zur Bestimmung von Längsspannungen in kontinu-
ierlichen Walzwerken wird in verallgemeinerter Form auf das Profilwalzen übertragen. Da beim
Profilwalzen die Breitung grundsätzlich von Längsspannungen abhängig ist, werden die nicht-
linearen Modellgleichungen numerisch gelöst.
Das Walzziehen wird als Sonderverfahren des Profilwalzens behandelt. Auf Basis des Momen-
tengleichgewichts wird gezeigt, wie die elementare Walztheorie auf das Walzziehen angewandt
werden kann. Damit wird eine Berechnung der Walz- und Ziehkräfte beim Walzziehen möglich.
Das Modell sagt für das Walzziehen die Existenz einer Fließscheide in der Nähe der Walzspalt-
mitte voraus.
Abschließend werden die Modelle auf technologische Walzprozesse angewandt. Zum Walzen
von Warmband wird rechnerisch gezeigt, welche Profil- und Planheitsabweichungen in einer
siebengerüstigen Fertigstaffel eines Warmbandwalzwerkes erwartet werden können. Die Mög-
lichkeiten der Einflussnahme auf die Produkttoleranzen mittels der CVC-Technologie werden
anhand von Rechenergebnissen diskutiert. Dabei werden sowohl mechanische, als auch thermi-
sche Einflüsse auf den Walzprozess in Betracht gezogen.
Die Betrachtung wird auf das Kaltwalzen ausgedehnt. Die Möglichkeit der Bandprofil- und
Planheitsbeeinflussung mit Hilfe gezielter Längsspannungen wird diskutiert.
Zum Profilwalzen wird mit Hilfe der ermittelten Rechenmodelle gezeigt, wie sich eine Kali-
brierung für eine Werkstoffpalette flexibel gestalten lässt. Die notwendigen Gerüstanstellungen
XXII
bei verschiedenen Walzgutwerkstoffen werden am Beispiel eines Stabstahlwalzwerkes gezeigt.
In einer weiteren Untersuchung werden die Möglichkeiten des Ausgleichs von Querschnitts-
fehlern mit Hilfe von Sizing-Systemen rechnerisch anhand von Layoutvarianten eines Stab-
stahlwalzwerks betrachtet. Dabei werden Zwei- und Dreiwalzensysteme diskutiert. Es zeigt
sich, dass die Sizing-Möglichkeiten im Zweiwalzenverfahren eingeschränkt sind, während sich
im Dreiwalzenverfahren größere Freiheiten und Ausgleichsmöglichkeiten ergeben. Zusätzlich
wird rechnerisch gezeigt, dass sich durch den Einsatz eines Dreiwalzenblockes vor dem Fertig-
block eines Drahtwalzwerkes der Walzprozess im Fertigblock positiv beeinflussen lässt, indem
ein gezieltes Sizing des Anstichquerschnitts vorgenommen wird.
Zum Walzen von Draht in Fertigblöcken wird das entwickelte Modell zur Bestimmung der
Längsspannungen in einem kontinuierlichen Walzprozess verwendet, um zu untersuchen wel-
che Längsspannungen sich während des Walzprozesses in einem Draht-Fertigblock mit festen
Drehzahlverhältnissen ergeben. Dabei werden die Auswirkungen verschiedener Störgrößen an-
hand von Temperatur-, Werkstoff- und Querschnittsschwankungen diskutiert.
Als Ergebnis der durchgeführten Arbeiten stehen Rechenmodelle für unterschiedliche Walz-
prozesse zur Verfügung, die eine gezielte und schnelle Simulation dieser Prozesse erlauben und
somit zur Prozessoptimierung, sowohl im Anlagenbau als auch bei Anlagenbetreibern zielfüh-
rend eingesetzt werden können.
Abstract
The presented thesis extends the calculation methods for rolling processes which are known
today.
Introductory remarks are given on the meaning of the rolling process for the manufacturing
industry, which are proven by updated production statistics from the German steel industry.
Further introductory chapters cover the fundamental principles of deformation calculation and
pass schedule design, as well as material modeling with the help of flow curve functions.
The next part deals with models for flat rolling processes. At first, the basic theory of the roll gap
is shown. After that, models for the rolling process which are known as of today are discussed.
Advantages and disadvantages of the models are shown and areas of application are given for
each of the models.
Based on Ren, Tieu et al. [RTLD06], a two-dimensional rolling model for flat sections is de-
veloped. The calculation of the stress field is based on an extension of von Karman’s equation
with a second ordinary differential equation in the lateral direction. The general velocity field
for flat rolling is developed for the plain strain case, as well as for the three-dimensional ca-
se with lateral spread. In each of the cases, parallelepipedic deformation is assumed. The stress
and velocity models are combined, as to use the calculated relative motion for a criterion of
shear stress distribution on the contact surface.
The calculation of the temperature distribution is accomplished by a finite difference model
in the vertical and lateral directions. With this model, the calculation of the two-dimensional
temperature field in the roll gap during and between rolling passes can be carried out.
For all continuous multi-stand rolling procedures, interstand tensions are an essential problem.
A model is developed, which allows the calculation of roll gap kinematics under the influence
of interstand tensions, as well as the direct calculation of interstand tensions for a given con-
figuration of roll speeds. For rolling processes in which lateral spread can be disregarded, the
linearized model can be easily applied as a matrix inversion technique.
To benefit from the new two-dimensional rolling model, submodels for work and backup roll
deformations are worked out for two- and four-high rolling stands. For the three-dimensional
roll flattening, a model based an Boussinesq’s problem [Bou85] is formulated. Equations due to
Berger [Ber75] and Hacquin [HMG98] are used for the calculation of roll flattening for a work
XXIV
roll of finite diameter. Therefore, roll flattening caused by a two-dimensional stress distribution
can be calculated including the interdependency of the stress and deformation distributions. In
different works, only one-dimensional or constant roll force distributions have been considered
[Ber75, Bei87].
The deflections of work and backup rolls are calculated using a finite beam element model,
taking into account the contact phenomena between those rolls.
In addition to the mechanical roll deformation effects, also thermal crown of the work rolls is
considered. A two-dimensional finite difference method is constructed for the nonsteady tem-
perature field evolution during a rolling procedure. Radial and axial heat fluxes are accounted
for with the finite difference model. Azimuthal averaging according to Robinson and De Hoog
[RDH96] is used to find the boundary conditions at the roll surface, taking tangential heat fluxes
in the surface-near areas into consideration. With this approach, the axisymmetric heat equation
is solved for the work roll under non-axisymmetric boundary conditions.
Additionally, work roll wear is considered as an important effect controlling the lateral thickness
profile of rolled flat products, using the model according to Castaeneda et al. [SETF14].
Employing the main rolling model and the submodels, influencing methods on the thickness
profile are discussed. Geometrical and mechanical influencing measures with work roll bending,
static roll cambers and the CVC technology are shown exemplarily.
The modeling of local spread in flat rolling is discussed, which is an important and very diffi-
cult topic for the flatness prediction of rolled products. At first, a phenomenological approach
is shown with a simple correction factor for local spread. For a physical method of flatness cal-
culation, an upper bound approach originally due to Elsen is employed with different friction
factors for hot and cold rolling [Els04].
Lateral spread in rolling is discussed in a dedicated chapter because of its high importance
for both flat and section rolling. A number of spread models are investigated in terms of their
differential behaviour, so the applicability of these models for spread prediction in the roll gap
can be evaluated. Empirical relations are used, as well as a simplified plasticity approach to the
lateral spread by Domanti et al. [DMM95].
The next chapter is dedicated to models for full section rolling. Important groove shapes and
methods for calculating full section passes are discussed.
A new rolling model for the three-roll rolling process is developed. This model allows the cal-
culation of stress distribution, roll force, torque and forward slip for flat passes, employing
Abstract XXV
elementary methods in the same way as it is done in the two-roll rolling process. Lendl’s equi-
valent pass method is transferred to the three-roll rolling process as to enable the systematic
calculation of section passes with any groove geometry.
The model for interstand tensions as developed for flat rolling is transferred to full section
rolling in a generalized manner. As lateral spread cannot be disregarded in section rolling and is
a function of the unknown interstand stresses, the linearized model cannot be applied. Instead,
the complete model system for section rolling is solved using a nonlinear optimization technique
to find the unknown interstand tensions.
As a special rolling technique, roll drawing of wire rod is dealt with. Based on the torque equi-
librium in the roll gap, it is shown how the elementary rolling theory can be used to construct
a model for roll drawing. With this new mechanical model, the roll force and drawing force
can be calculated. The model predicts the existence of a neutral point near the center of the
deformation zone.
In the final chapter, the models which were developed are applied to typical problems from
rolling mill practice.
In hot rolling of strips, a simulation of a finishing train of a wide hot strip mill is carried out. It
is shown, which thickness and flatness deviations can be expected unter certain circumstances.
The effect of thermal work roll crown is shown and how the CVC technology can help to reach
close tolerances in hot strip production.
For cold strip rolling, the impact of tensions on profile and flatness is shown by calculations, as
well as the effect of work roll bending to decrease thickness and flatness variations.
For full section rolling, it is shown how a pass design can be constructed in a flexible way, so
that a number of different materials can be rolled without change of the pass design, avoiding
rolling faults. This is shown for a bar mill as an example.
In another study for full section rolling, the possibilities of sizing and free size rolling are in-
vestigated by calculations for two different layout variants of a bar mill. It is shown that the
application of a three-roll sizing mill leads to a greater flexibility in section fault homogenizati-
on, compared to the two-roll sizing process.
Additionally, it is shown that the rolling process in a ten stand finishing block of a wire rod
mill can be stabilized when a defined entry cross section for the finishing block is produced by
means of three-roll sizing.
XXVI
Finally, the rolling process in a finishing block is analyzed more in detail. The model for in-
terstand tensions at section rolling is applied to the finishing block. It is shown how different
interferences such as temperature, cross section and material variations affect the rolling process
in the finishing block.
The result of the work carried out is a new set of rolling models which can be applied for
a targeted process simulation and optimization of rolling processes. The application range of
these models extends to both the mill building and the rolling mill industries.
1 Einleitung
1.1 Vereinbarungen
Um eine einheitliche Behandlung der Koordinatensysteme und der Spannungsdefinitionen zu
gewährleisten, werden für die vorliegende Arbeit die folgenden Definitionen getroffen:• Druckspannungen sind positiv definiert. Demnach ist eine Spannung 0 eine Druckspan-
nung, während eine Spannung 0 eine Zugspannung ist.
• Die Koordinatenachsen sind wie folgt definiert: : Horizontale Achse (Walzrichtung), :Laterale Achse (Breitenrichtung), : Vertikale Achse (Höhenrichtung)
• In Zylinderkoordinaten sind die Achsen wie folgt definiert: : Radiale Achse, : Axiale Ach-se, (iota): Tangentiale Achse
1.2 Das Walzen als Fertigungsverfahren
Das Walzen gehört gemäß DIN 8583 [DIN8583-1] zu den Druckumformverfahren innerhalb der
Fertigungsverfahren der Hauptgruppe 2 (Umformen). Es wird unterteilt in Längs-, Quer- und
Schrägwalzverfahren. Abbildung 1.2/1 zeigt diese drei prinzipiellen Walzverfahren für Profil-
querschnitte.
Beim Längswalzen wird die Querschnittsfläche des Walzgutes reduziert, während es sich ohne
Rotation um die eigene Längsachse durch den Walzspalt hindurchbewegt. Bei den Querwalzver-
fahren gibt es keine translatorische Bewegung des Walzgutes, jedoch rotiert es um seine eigene
Längsachse. Ein typisches Beispiel für diese Gruppe von Walzverfahren ist das Gewindewalzen
zur Schraubenherstellung. Bei den Schrägwalzverfahren sind die Walzen so angeordnet, dass
die Walzenachsen gegenüber der Walzgutachse geneigt sind. Bei diesen Verfahren liegt sowohl
eine translatorische, als auch rotatorische Bewegung des Walzgutes während der Umformung
vor.
In Bezug auf die Werkzeuggeometrie lassen sich die Walzverfahren weiter in Flach- und Pro-
filwalzverfahren unterteilen. Bei den Flachwalzverfahren haben die Werkzeuge in den Berüh-
rungsflächen mit dem Walzgut eine zylindrische oder kegelige Form, während bei den Profil-
walzverfahren eine kompliziertere aber stets axialsymmetrische Werkzeuggeometrie vorliegt.
Die Walzverfahren, die im Rahmen der vorliegenden Arbeit behandelt werden, gehören zu den
Längswalzverfahren für Flach- und Profilquerschnitte.
2 Die Bedeutung des Walzens
Abbildung 1.2/1: Walzverfahren. A) Längswalzen B) Querwalzen C) Schrägwalzen. a: Walzgut, b:Werkzeuge (Walzen)
1.3 Die Bedeutung des Walzens
Das Walzen hat insbesondere in der Stahlindustrie als Fertigungsverfahren eine herausragende
Bedeutung.
Abbildung 1.3/1 zeigt eine Übersicht der Weltrohstahlproduktion von 2005 bis 2016. Insbeson-
dere ab 2008 konnte sich China als weltweit führende stahlproduzierende Nation etablieren.
Viele Nationen, insbesondere die EU-Staaten und die USA erlitten durch die Wirtschaftskrise
2008 einen signifikanten Rückgang der Stahlproduktion im Jahr 2009. In den folgenden Jahren
hat die weltweite Rohstahlproduktion wieder ein hohes Niveau erreicht. Im Jahr 2016 wurden
auf der Welt mehr als 1,6 Milliarden Tonnen Rohstahl erzeugt.
Insgesamt wurden im Jahr 2016 in der Bundesrepublik Deutschland 42,1 Millionen Tonnen
Rohstahl hergestellt [Wir17]. Der weitaus größte Teil dieses produzierten Stahles wird in Walz-
werken weiterverarbeitet. Dies lässt sich anhand der Auftragseingänge der deutschen Walz-
werke zeigen, Abbildung 1.3/2. Im Jahr 2016 sind bei deutschen Walzwerken Aufträge für
Walzprodukte einer Produktionsmenge von insgesamt 38,2 Millionen Tonnen eingegangen, da-
von 22,8 Millionen Tonnen Flacherzeugnisse, 12,3 Millionen Tonnen Langerzeugnisse und 3,1
Millionen Tonnen Halbzeug. Bezogen auf die Rohstahlproduktion ist dies eine Weiterverarbei-
Tabelle 2.4/1: Streckgrad- und Banddickenverteilungen für drei Gewichtungsfaktoren
Daraus folgen drei Beispiele, die jeweils beide Grenzbedingungen nicht verletzen. Abbildung
2.4/2 zeigt die Verteilung der Streckgrade innerhalb der Grenzwerte für die drei Fälle. Tabelle
2.4/1 zeigt eine Übersicht über die berechneten Stichpläne.
1.15
1.2
1.25
1.3
1.35
1.4
1.45
1.5
1.55
1.6
1 2 3 4 5
λmax = 1.5385
λmin = 1.1765
Str
eckg
rad
λ i
Stichnummer i
fZ = 0.2fZ = 0.5fZ = 0.8
Abbildung 2.4/2: Berechnete Streckgradverteilung für das betrachtete Beispiel mit drei Gewichtungs-faktoren
3 Fließkurven metallischer Werkstoffe
3.1 Definition
Um die für einen Umformprozess notwendigen Spannungen, Kräfte und Momente berechnen zu
können, muss neben der Beschreibung der Formänderungen eine Grundlage zur Berechnung der
Fließspannung des umzuformenden Werkstoffes geschaffen werden. Die Fließspannung ist
diejenige mechanische Spannung, die bei einachsiger, reibungs- und schiebungsfreier Belastung
in einem Werkstoff wirken muss, um plastisches Fließen einzuleiten oder aufrecht zu erhalten
[HS78].
3.2 Einflussparameter auf die Fließspannung
Prinzipiell wird die Fließspannung eines bestimmen Werkstoffes als eine Funktion des Um-
formgrades , der Umformgeschwindigkeit· und der Temperatur behandelt, da diese Grö-
ßen einfach beschrieben werden können. Die weiteren Abhängigkeiten der Fließspannung vom
Wärmebehandlungszustand und der Formänderungsgeschichte des Werkstoffes werden mathe-
matisch nicht erfasst, sollen aber nicht vergessen werden. Außerdem ist die Fließspannung keine
Zustandsfunktion.
=
³
·
´(3.2/1)
Nach DIN 8583 [DIN8583-1] werden die Umformverfahren in Warm- und Kaltumformver-
fahren eingeteilt. Man spricht von Kaltumformung, wenn ein Werkstück ohne vorhergehende
Erwärmung umgeformt wird. Bei Warmumformung wird das Werkstück vor der Umformung
auf eine Temperatur erwärmt, die höher als die Raumtemperatur ist.
Außerhalb der Normung definiert die VDI-Richtline 3166, Blatt 1 [VDI3166-1] den Begriff
Halbwarmumformung wie folgt:
"Halbwarmumformen ist Umformen, vor dem das Rohteil nur so weit angewärmt wird,daß bei den gegebenen Umformbedingungen noch eine bleibende Verfestigung des Werk-stückstoffs eintritt."
Gl. (3.2/1) ist die gängige mathematische Beschreibung einer Warmfließkurve. Bei der War-
mumformung sind alle drei Parameter aus Gl. (3.2/1) von entscheidender Bedeutung, jedoch
16 Experimentelle Ermittlung von Fließkurven
überwiegen die Einflüsse der Umformgeschwindigkeit und der Temperatur den Einfluss des
Umformgrades.
Bei isothermer Kaltumformung ist eine vereinfachte Darstellung als Kaltfließkurve gemäß Gl.
(3.2/2) möglich. Bei den meisten metallischen Werkstoffen wird eine Geschwindigkeitsabhän-
gigkeit der Fließspannung bei Raumtemperatur nicht beobachtet. Per Definition bleiben bei
Will man die Voraussetzung des ebenen Formänderungzustandes aufgeben und die Spannungs-
verteilung auch in der Nähe der Walzgutkanten erfassen, bietet sich zunächst eine Formulierung
auf der Basis der allgemeinen Gleichgewichtsbedingungen und des Stoffgesetzes nach Levý und
von Mises an. Diese Grundgleichungen müssen durch sinnvolle Vereinfachungen auf eine lös-
bare Form gebracht werden. Eine derartige Lösung wurde von Rudisill und Zorowski [Rud66]
entwickelt.
Ein anderer Ansatz verfolgt die Erweiterung des Streifenmodells, indem der Spannungsgradient
in Querrichtung durch eine zweite gewöhnliche Differentialgleichung beschrieben wird. Dieser
Ansatz wurde von Ren, Tieu et al. [RTLD06] für das Kaltwalzen präsentiert.
22 Anforderungen an ein Prozessmodell für Vierwalzengerüste
Abbildung 4.1/1: Gleitlinienfeld für das Warmwalzen, eigene Berechnungen nach [DC73]
Als Erweiterung dieses Lösungsansatzes für das Warm- und Kaltwalzen mit nichtzylindrisch de-
formierbaren Walzenkonturen wird in der vorliegenden Arbeit ein neues Modell für das Flach-
walzen präsentiert. Dieses wird mit Teilmodellen für die thermischen und mechanischen Werk-
zeugbelastungen ergänzt, um ein Prozessmodell für das Flachwalzen zu erhalten.
4.2 Anforderungen an ein Prozessmodell für Vierwalzengerüste
Für eine zutreffende Beschreibung des Walzprozesses in einem Vierwalzengerüst sind verschie-
dene Teilmodelle zu berücksichtigen, wie Abbildung 4.2/1 zeigt.
Von zentraler Bedeutung sind die Spannungs- und Formänderungsverteilungen im Walzspalt.
Diese Parameter werden jeweils von untergeordneten Teilmodellen beeinflusst. Die Spannungs-
verteilung liefert Eingangsgrößen für die Berechnung der elastischen Walzendeformationen.
Diese beeinflussen direkt die Formänderungsverteilung, welche sich wiederum auf die Spa-
nnungsverteilung auswirkt. Weitere Abhängigkeiten können Abbildung 4.2/1 entnommen wer-
den.
4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 23
Abbildung 4.2/1: Gegenseitige Beeinflussung von Teilmodellen für die Modellierung des Walzprozessesin einem Vierwalzengerüst
Um die thermomechanische Kopplung zwischen den Spannungs- und Temperaturfeldern kor-
rekt zu beschreiben, muss eine zweidimensionale Temperaturberechnung über Breite und Hö-
he des Walzgutquerschnittes durchgeführt werden. Diese wird durch numerische Lösung der
Wärmeleitungsgleichung in kartesischen Koordinaten realisiert. Mit dieser Lösung kann die
Temperaturverteilung im Walzgut berechnet werden. Dabei wird durch Vorgabe entsprechender
Randbedingungen die externe Wärmeabfuhr und Wärmezufuhr durch Werkzeugkontakt, Was-
serkühlstrecken, Öfen und Induktionsheizstrecken berücksichtigt.
Zur Kinematik des Walzprozesses ist insbesondere die Einwirkung der im Walzgut wirkenden
Längsspannungen von großer Bedeutung. Die mathematische Beschreibung der Kopplung zwi-
schen Statik und Kinematik des Walzprozesses erfolgt hier, indem die Fließscheidenlage als
zentrale Größe begriffen wird.
Auf Basis der Linearisierung der im Walzspalt vorherrschenden nichtlinearen Zusammenhän-
ge wird ein Modell zur Berechnung der Längsspannungen beim Flachwalzen in mehrgerüstigen
Walzwerken konstruiert. Mit diesem Modell lassen sich beispielsweise die in einer siebenge-
rüstigen Fertigstaffel eines Warmbandwalzwerkes unter verschiedenen Einflüssen wirkenden
Längsspannungen berechnen.
24 Elementare Grundlagen des Walzspalts
Die beim Walzen auftretenden Lasten wirken nicht nur auf das Walzgut, sondern belasten
ebenso die Walzen und das Gerüst. Diese Werkzeuglasten führen zu elastischen Deformatio-
nen der Walzenoberflächen und zur Biegebelastung der Walzen. Während die Deformation
der Walzenoberfläche einen empfindlichen Einfluss auf die Spannungsverteilung und damit
die Walzkraft ausübt, hat die Walzendurchbiegung einen höheren Einfluss auf die Walzgut-
Dickenverteilung im Walzspalt und damit die Dicken- und Planheitstoleranzen des aus dem
Walzspalt austretenden Querschnitts. Für die elastischen Deformationen der Walzen werden
Modelle präsentiert, die auf der Theorie des elastischen Halbraums basieren. Die Walzendurch-
biegung wird mit Finiten Balkenelementen berechnet, da diese Modellierungstechnik die größte
Flexibilität erlaubt.
Zusätzlich werden die Walzen thermisch belastet. Dies führt zu einer thermischen Balligkeit,
die sich direkt auf das Dicken- und Planheitsergebnis des Fertigquerschnitts auswirkt. Zur Be-
rechnung des Walzentemperaturfelds wird die instationäre Wärmeleitungsgleichung in Zylin-
derkoordinaten axialsymmetrisch gelöst.
4.3 Elementare Grundlagen des Walzspalts
Bevor auf Modelle zur Berechnung der Spannungs- und Formänderungsverteilung eingegangen
wird, sollen einige wesentliche Grundlagen zur Geometrie und Kinematik des Walzprozesses
auf flacher Bahn wiederholt werden, die zum Verständnis der folgenden Abschnitte wichtig
sind.
4.3.1 Geometrie und Kinematik des Walzspalts
Beim Flach-Längswalzen wird ein Walzgut mit rechteckigem Querschnitt zwischen zwei ge-
genläufig rotierenden, zylindrischen Werkzeugen in seiner Dicke reduziert. Die Formänderung
findet im Zwischenraum zwischen den Walzen statt. Dieser Zwischenraum wird als Walzspalt
bezeichnet. Durch Reibschluss zwischen den Werkzeugen und dem Walzgut wird dieses durch
den Walzspalt hindurchtransportiert.
Abbildung 4.3/1 zeigt die Geometrie eines Walzspaltes in der Mittelebene des Walzgutes. Der
Walzspalt ist durch die Eintrittsebene −0, die Austrittsebene −0 und die Kontaktbögen
der Oberwalze − und Unterwalze 0 − 0 begrenzt. Die Begrenzungen der Umformzone
sind hier vereinfacht linear dargestellt. Der Koordinatenursprung wird in den Schnittpunkt der
Austrittsebene mit der Symmetrielinie des Walzgutes gelegt. Die horizontale Koordinate ist
4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 25
Abbildung 4.3/1: Zur Geometrie und Kinematik des Walzspalts, nach [SS83]
entgegen der Walzrichtung positiv orientiert. In der Austrittsebene gilt = 0, während die
Koordinate in der Eintrittsebene den maximalen Wert = annimmt. Die gedrückte Länge
lässt sich gemäß Gl. (4.3/1) bestimmen, wobei der zweite Term in der Wurzel für praktische
Walzfälle vernachlässigt werden kann.
=
r∆− ∆2
4(4.3/1)
≈√∆
Von weiterer wichtiger Bedeutung ist der Greifwinkel 0, der sich geometrisch gemäß Gl.
(4.3/2) ableiten lässt.
cos0 = 1− ∆
2(4.3/2)
26 Elementare Grundlagen des Walzspalts
Da die von den Walzen aus der Höhenrichtung verdrängten Stoffteilchen reibungsbehaftet in
x-Richtung abfließen müssen, existiert im Walzspalt eine Fließscheide an der Längskoordinate
= . Kennzeichen der Fließscheide ist, dass der Stofffluss von ihr weg gerichtet ist. Beim
axialsymmetrischen Stauchen eines Vollzylinders beispielsweise liegt die Fließscheide in der
Mitte des Querschnitts, so dass alle aus der Höhe von den Stauchbahnen verdrängten Stoffpar-
tikel nach außen wandern, wodurch eine Ausbreitung des Stauchkörpers im Einklang mit der
Konstanz des Volumens zustande kommt.
Beim Walzen ist das Fließen der einzelnen Stoffpartikel davon überlagert, dass die Walzen eine
rotatorische Bewegung vollführen, die in Komponenten in − und −Richtungen zerlegt wer-
den kann. Dies führt zur Einteilung des Walzspaltes in eine Voreilzone und eine Nacheilzone.
Die Nacheilzone besteht von der Eintrittsebene zur Fließscheidenebene, während der Bereich
zwischen der Fließscheidenebene und der Austrittsebene als Voreilzone bezeichnet wird. Für
die Relativgeschwindigkeit gilt
() = ()− cos () (4.3/3)
In den einzelnen Zonen gilt
()− cos 0 in der Nacheilzone für ≥ (Rückstau)
()− cos 0 in der Voreilzone für ≥ 0 (Voreilung)
= cos an der Fließscheide für =
Bezieht man den Wert der Relativgeschwindigkeit in der Austrittsebene auf die Walzenum-
fangsgeschwindigkeit, so erhält man die Voreilung des Walzvorgangs (Bildung der Horizon-
talkomponente durch cos vernachlässigt)
=1 −
(4.3/4)
Eine weitere wichtige Grundlage zur Kinematik des Walzprozesses ist die Konstanz des Volu-
menstroms, die sich wie folgt für die Eintritts- und die Austrittsebene formulieren lässt
00 = 11 (4.3/5)
4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 27
Auf dieser Grundlage lässt sich die Berechnung der Voreilung wie folgt entwickeln. Gl. (4.3/5)
gilt gleichermaßen für jede Ebene innerhalb der Umformzone und insbesondere für die Fließ-
scheidenebene. Damit lässt sich schreiben
11 = cos (4.3/6)
ist die Querschnittsfläche des Walzgutes an der Fließscheidenebene und kann bei einem
Flachquerschnitt wie folgt definiert werden
= ( ) = ( ) ( ) = [1 + 2 (1− cos )] ( ) (4.3/7)
Damit lässt sich die Voreilung wie folgt aus der Fließscheidenlage berechnen
=1 −
=
1cos − 1 (4.3/8)
Ekelund [Eke33] konnte eine empirische Gleichung für die Voreilung bestimmen
=3
4
∙22
µ2
1− 1¶¸
(4.3/9)
mit =
r∆
4− 1
∆
4
Diese Gleichung enthält mit Kenngrößen der Walzspaltgeometrie³
1
´, der Formänderung
(∆) und der Reibung () bereits viele wichtige Einflüsse auf die Voreilung. Einzig die Längs-
spannungen werden nicht erfasst.
4.3.2 Statik des Walzspalts
Da beim Walzen ein Reibschluss zwischen den Walzen und dem Walzgut vorliegt, ist ein Min-
destmaß an Reibung notwendig, um einen Walzprozess einzuleiten. Anhand der beim Grei-
fen des Walzgutes wirkenden Kräfte lässt sich zeigen, dass zwei entgegengesetzte horizontale
Kräfte am Walzgut angreifen. Die Horizontalkomponente der Normalkraft wirkt entgegen der
Walzrichtung und versucht das Walzgut am Eintritt in den Walzspalt zu hindern, während die
Horizontalkomponente der Reibkraft in Richtung der Fließscheide gerichtet ist und demzufolge
die Aufgabe einer einziehenden Kraft erfüllt.
Gemäß Abbildung 4.3/2 kann man deshalb das folgende Kräftegleichgewicht für den Zeitpunkt
des Greifens aufstellen
sin0 − cos0 = 0 (4.3/10)
28 Elementare Grundlagen des Walzspalts
Abbildung 4.3/2: Kräfte am Walzgut zum Zeitpunkt des Greifens, nach [SS83]
Das Greifen des Walzguts ist erfolgreich, wenn die einziehende Komponente größer ist als die
ausstoßende Komponente, d.h.
cos0 sin0 (4.3/11)
=⇒ tan0
Die Greifbedingung Gl. (4.3/11) stellt somit einen Zusammenhang zwischen dem Reibwert und
dem Greifwinkel her.
Auf Basis der Greifbedingung können Gleichungen für die mögliche Höhenänderung in einem
Walzstich ermittelt werden, wie im Folgenden gezeigt wird. Setzt man die Definition des Greif-
winkels Gl. (4.3/2) in Gl. (4.3/11) ein, dann folgt
cos (arctan)
µ1− ∆
2
¶(4.3/12)
4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 29
Als alternative Schreibweise gilt exakt
cos (arctan ()) =1p1 + 2
Damit lässt sich die Greifbedingung ohne Genauigkeitsverlust wie folgt schreiben
1p1 + 2
µ1− ∆
2
¶(4.3/13)
Schließlich kann man die folgende Bedingung für die absolute Höhenänderung ∆ formulieren,
wenn sicheres Greifen ermöglicht werden soll
∆ 2
Ã1− 1p
1 + 2
!(4.3/14)
Bei Abbruch der Reihenentwicklung des Cosinus nach einem Glied gilt als Näherung
arctan () ≈ (4.3/15)
cos (arctan ()) ≈ 1− 2
2(4.3/16)
Damit ergibt sich eine Näherungsgleichung für die Höhenänderung
∆ 2 (4.3/17)
Gl. (4.3/17) weicht bei größeren Reibwerten stark von der exakten Gleichung Gl. (4.3/14) ab
und ist nur für überschlägige Betrachtungen sinnvoll.
Wendet man das horizontale Kräftegleichgewicht Gl. (4.3/10) im Inneren des Walzspalts an und
integriert über die gesamte Kontaktlänge, dann folgtZ 0
0
sin
Z 0
0
cos (4.3/18)
Durch Lösung der Integrale folgt
1− cos0sin0
(4.3/19)
Dies ist die Durchziehbedingung
tan³02
´(4.3/20)
30 Elementare Grundlagen des Walzspalts
Die Durchziehbedingung ist schwächer als die Greifbedingung, daher wird ein gegriffenes
Walzgut normalerweise auch durch den Walzspalt hindurchgezogen. Gl. (4.3/20) wird nur in
Sonderfällen interessant, wenn kein ordnungsgemäßes Greifen möglich ist und die Einleitung
des Walzvorgangs durch externe Krafteinwirkung erzwungen werden muss.
4.3.3 Kraft- und Arbeitsbedarf von Walzvorgängen
Besonders wichtige Zielgrößen für den Walzprozess sind die Walzkraft , das Drehmoment
und die Leistung .
Die Walzkraft wird mit Hilfe der gedrückten Fläche und dem mittleren Umformwiderstand
definiert
= (4.3/21)
Der mittlere Umformwiderstand kann als Mittelwert der Normalspannungen aufgefasst werden,
die durch den von der Walze ausgeübten Druck überwunden werden müssen, um die notwen-
dige Formänderung in das Walzgut einzuleiten. Dies schließt auch Reibungs- und Schiebungs-
verluste ein. Mit Hilfe eines Umformwirkungsgrades kann man definieren
= 1
(4.3/22)
Die Größe
hat den Charakter eines Verlustbeiwertes bzw. reziproken Wirkungsgrades. Mit
Hilfe der im Walzspalt wirkenden Druckspannungsverteilung () gilt für die Walzkraft
=
Z
0
() +
Z 0
() (4.3/23)
Die physikalische Methode zur Berechnung des an den Walzen wirkenden Drehmomentes ist
die Integration der im Walzspalt wirkenden Reibschubspannungen mit dem Walzenradius als
Hebelarm.
=
Z
0
() −
Z 0
() (4.3/24)
Vereinfacht sind weitere Methoden denkbar wie die Hebelarmmethode nach Trinks, bei der
(physikalisch unpräzise) die gedrückte Länge als Hebelarm für die Walzkraft mit einem empi-
rischen Korrekturfaktor, dem Hebelarmbeiwert verwendet wird
= (4.3/25)
4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 31
Die Leistung steht wie folgt mit dem Drehmoment und der Winkelgeschwindigkeit in
Relation
= (4.3/26)
Die ideelle Umformleistung am Volumen ist außerdem
= · (4.3/27)
Mit Hilfe von Gl. (4.3/27) lässt sich eine Abschätzung für den Hebelarmbeiwert ermitteln.
ist das Volumen des sich im Walzspalt befindlichen Walzguts. Es kann wie folgt berechnet
werden
= (4.3/28)
Mit der integral mittleren Walzguthöhe im Walzspalt
=1
Z
0
()
=
µ1 +
1
3
2
¶≈ 2
31 +
1
30 (4.3/29)
Zur Berücksichtigung der Reibungs- und Schiebungsverluste kann man die mittlere Fließspan-
nung durch den mittleren Umformwiderstand ersetzen und erhält so die folgende Glei-
chung für die Gesamtleistung an beiden Walzen
=
µ2
31 +
1
30
¶ (4.3/30)
Auf diese Weise gelangt man außerdem zu einer alternativen Berechnungsweise des Drehmo-
mentes für beide Walzen
=
∙ 231 +
130
∆
¸(4.3/31)
In Anlehnung an die Hebelarmmethode nach Trinks lässt sich so der Hebelarmbeiwert wie
folgt abschätzen
= 2 (4.3/32)
mit =131 +
160
∆
32 Elementare Grundlagen des Walzspalts
Diese Ausführungen sollen deutlich machen, dass zur präzisen Bestimmung der Größen Walz-
kraft, Drehmoment und Leistung die Kenntnis der örtlichen Spannungsverteilung im Walzpro-
zess notwendig ist. Ohne diese Information sind nur einfache Näherungslösungen für Walzkraft
und Drehmoment möglich.
4.3.4 Reibung beim Walzen
Zur experimentellen Bestimmung des Reibwertes beim Walzen gibt es unterschiedliche Me-
thoden. Ekelund [Eke33] konnte auf der Basis von Greifversuchen feststellen, bei welchem
Greifwinkel ein Wechsel zwischen Erfüllung und Verletzung der Greifbedingung statt findet.
Diese Vorgehensweise hat Ähnlichkeit mit der Bestimmung des Reibwertes durch Anpassung
des Neigungswinkels einer schiefen Ebene. Zwischen dem limitierenden Greifwinkel 0max
und dem lokalen Reibwert 0 in der Eintrittsebene des Walzspalts gilt die Beziehung
tan (0max) = 0 (4.3/33)
Nach Versuchen mit unterschiedlichen Walztemperaturen, Walzgut- und Walzenwerkstoffen so-
wie Walzgeschwindigkeiten konnten unterschiedliche Autoren die folgende Gleichung für den
Reibwert beim Warmwalzen aufstellen [SS83]
= 123 (1 05− 0 0005 · ) (4.3/34)
Generell sind Abhängigkeiten des Reibwerts von der Walzgeschwindigkeit, der Walzguttem-
peratur, der Stichformänderung, der Werkstoffpaarung Walze-Walzgut und den Eigenschaften
einer Schmiermittel- und Zunderschicht zwischen Walzen und Walzgut bekannt. Nur wenige
der bekannten empirischen Modelle liefern verlässliche Informationen über diese Zusammen-
hänge.
Einige Autoren beschreiben den Reibwert über seinen Zusammenhang mit der Fließscheiden-
lage und der Voreilung. Basierend auf Arbeiten von Carlton, Edwards und Thomas gilt Gl.
(4.3/35) [Pan14].
=0 54
q0−1
1− 10475
q1
0−1
(4.3/35)
In Weiterentwicklung der Erkenntnisse über die Konstanz des Volumenstroms kann eine Metho-
de zur Messung des Reibwertes im Walzspalt entwickelt werden. Durch Messung der Voreilung
4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 33
des Walzprozesses lässt sich die Fließscheidenlage rechnerisch bestimmen. Die Konstanz des
Volumenstromes lässt sich für die Austritts- und die Fließscheidenebene wie folgt ausdrücken
11 = cos (4.3/36)
Mit der Voreilung ist diese Gleichung äquivalent zu
=1 −
=
1cos − 1 (4.3/37)
Die Querschnittsfläche in der Fließscheidenebene ist bei einem Flachquerschnitt
= ( ) = ( ) ( ) (4.3/38)
Gl. (4.3/37) kann daher auch wie folgt geschrieben werden
( ) = ( ) ( )
11cos − 1 (4.3/39)
Aus Gl. (4.3/39) ist ersichtlich, dass zur Bestimmung der Fließscheidenlage aus der Voreilung
die Kenntnis des örtlichen Breitungsverlaufes () erforderlich ist.
Bei Flachquerschnitten mit hohen -Verhältnissen, bei denen die Breitung für den Volumen-
strom vernachlässigt werden kann, ist die Bestimmung des Fließscheidenwinkels sehr einfach
möglich, da in diesen Fällen Gl. (4.3/39) analytisch gelöst werden kann. Gl. (4.3/39) vereinfacht
sich für diese Fälle zu
( ) = ( )
1cos − 1 (4.3/40)
mit () = 1 + 2 (1− cos )
Führt man in Gl. (4.3/40) die Vereinfachung cos ≈ 1 für kleine Fließscheidenwinkel ein
(Vernachlässigung des Neigungswinkels der Umformzone), dann gilt für den Fließscheiden-
winkel die einfache Gleichung
cos ≈ 1− 1
2(4.3/41)
Nach der Berechnung der Fließscheidenlage erfolgt die Ermittlung des Reibwertes mit Hilfe
eines Walzmodells. Dies erfolgt durch iterative Auswertung der von Karman’schen Differenti-
algleichung für den gesamten Walzspalt. In [HOM09] konnte beispielsweise mit diesem Ver-
fahren ein temperatur- und werkstoffabhängiger Reibwert beim Warmwalzen von Flachquer-
schnitten gefunden werden, wie Abbildung 4.3/3 zeigt.
34 Elementare Grundlagen des Walzspalts
0.18
0.19
0.2
0.21
0.22
0.23
0.24
0.25
0.26
0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4
Rei
bwer
t μ
Bez. Höhenänderung εh
ϑ=900°C; b/h=1ϑ=1200°C; b/h=1
ϑ=900°C; b/h=2ϑ=1200°C; b/h=2
Abbildung 4.3/3: Durch Voreilungsmessungen ermittelte Reibwerte beim Warmwalzen von Flachquer-schnitten [HOM09]
4.3.5 Profil und Planheit von Flacherzeugnissen
Ein rechteckiger Walzspalt existiert nur im theoretisch idealisierten Fall. Tatsächlich stellt sich
durch mechanisch und thermisch bedingte Deformationen der Walzen und des Walzgerüstes ein
ungleichmäßiges Dickenprofil ein.
Stellt man sich das Volumen eines zu walzenden Flachquerschnitts vor der Umformung aus
Streifen gleicher Länge zusammengesetzt vor, dann ergibt sich durch eine nicht-konstante Ver-
teilung der Höhenänderung eine Verteilung der Breitungs- und Streckungsanteile. Es gilt die
Volumenkonstanz mit
= 1 (4.3/42)
Diese Beziehung gilt gleichermaßen global für das gesamte Walzgutvolumen, wie auch für jedes
Teilvolumen (Streifen). Bei einem von der Querkoordinate y abhängigen Stauchgrad () kann
deshalb für die Verteilung des Streckgrades geschrieben werden
1
()= () () (4.3/43)
4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 35
Überschreiten die Streckungsdifferenzen innerhalb eines Querschnitts einen Schwellenwert, ist
mit der Ausbildung von Planheitsfehlern zu rechnen. Abbildung 4.3/4 zeigt die typischen Plan-
heitsfehler, die bei Flacherzeugnissen anzutreffen sind.
4.4 Bekannte Walzmodelle
Die mathematische Beschreibung der mechanischen Vorgänge in der Umformzone ist seit lan-
ger Zeit Gegenstand von Forschungsarbeiten. Zu Beginn des 20. Jahrhunderts war das Walzen
als industrielles Fertigungsverfahren für Flach- und Langprodukte bereits etabliert. Einzelheiten
über die während des Prozesses auftretenden, auf das Walzgerüst und das Walzgut wirkenden
Lasten sowie die Kinematik waren zu dieser Zeit noch nicht bekannt.
Die im folgenden Abschnitt beschriebenen Modelle basieren auf dem Streifenmodell der Ele-
mentaren Plastizitätstheorie. Dabei wird der Walzspalt in Streifenelemente infinitesimaler Län-
ge eingeteilt. Aus dem Kräftegleichgewicht am Streifenelement in horizontaler Richtung
lassen sich die Gleichungen zur Berechnung des Spannungsverlaufes im Walzspalt ableiten,
wie Abbildung 4.4/1 zeigt.
4.4.1 Ebener Formänderungszustand
4.4.1.1 Grundlegende Theorie und einfache Walzmodelle
Ein Meilenstein der Modellierung des Walzprozesses ist eine Arbeit von Theodore von Kar-
man aus dem Jahr 1925 [vK25]. Von Karman begründete das Streifenmodell, das später zur
Elementaren Plastizitätstheorie ausgebaut wurde. Ein Spannungsgradient in Querrichtung wird
generell ausgeschlossen und ein ebener Formänderungszustand vorausgesetzt. Ebenso wird von
parallelepipedischer Umformung ausgegangen.
Bei der Betrachtung der Kinematik des Walzspalts wurde die Existenz einer Fließscheide be-
reits hervorgehoben. Aufgrund der reibungsbedingten Relativbewegungen im Walzspalt ent-
stehen Reibschubspannungen , die den Relativbewegungen entgegengerichtet sind. An den
Fließscheiden erfahren sowohl Reibschubspannungen als auch Relativgeschwindigkeiten einen
Vorzeichenwechsel. Die Schubspannungen sind in einer Umgebung um die Fließscheide be-
tragsmäßig maximal und bei Überschreiten der Fließscheide unstetig. Die Relativgeschwin-
digkeiten bleiben beim Überschreiten der Fließscheide stetig differenzierbar und haben an der
Fließscheide den Wert Null.
36 Bekannte Walzmodelle
Abbildung 4.3/4: Typische Planheitsfehler bei gewalzten Flacherzeugnissen (Auszug), nach [Els04]
4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 37
Abbildung 4.4/1: Kräftegleichgewicht am Walzspalt in der xz-Ebene. A) Angreifende Kräfte; B) Zerle-gung in der Voreilzone; C) Zerlegung in der Nacheilzone, nach [SS83]
Von Karman berücksichtigte den Vorzeichenwechsel in den Reibschubspannungen an der Fließ-
scheide und erhielt die gewöhnliche Differentialgleichung Gl. (4.4/1) für den Verlauf der Hori-
zontalkraft = in horizontaler Richtung.
= 2 ( sin ()± cos ()) (4.4/1)
Siebel konnte unter vereinfachenden Annahmen eine Lösung dieser Differentialgleichung be-
stimmen [Sie31]. Er nahm unter Vernachlässigung der vertikalen Kräftezerlegung die Äquiva-
lenz der Vertikal- und Normalspannung an ( ≈ ) . Die Form des Kontaktbogens der Walze
näherte Siebel gemäß Gl. (4.4/2) durch eine Parabel an.
() = 1 +2
(4.4/2)
Mit diesen Vereinfachungen lässt sich Gl. (4.4/1) lösen und es werden die folgenden Gleichun-
gen für die Vor- und Nacheilzonen erhalten.
=2
1 +2
µ2
2+
¶(4.4/3)
=2
1 +2
µ2
2− + − 2
2
¶
38 Bekannte Walzmodelle
Abbildung 4.4/2: Von Orowan an Plastilin-Proben beobachtete inhomogene Formänderung im Walzgu-tinneren [Oro43]
Die Position der Fließscheide lässt sich durch Gleichsetzen von Gl. (4.4/3) wie folgt bestimmen
=
2
µ1− 2
2
¶(4.4/4)
4.4.1.2 Die Walztheorie nach Orowan
Auf dem Weg zu einer vereinfachungsfreien Lösung der allgemeinen Walztheorie beschrieb
Orowan im Jahr 1943 eine Methode, die Vereinfachung der geradlinigen Begrenzungen der Um-
formzone im Bereich des Walzspalteintritts aufzuheben [Oro43]. Er stellte anhand von Walz-
versuchen mit Probekörpern aus Plastilin fest, dass sich die Formänderung ins Walzgutinnere
hinein inhomogen verteilen muss, Abbildung 4.4/2. Mit seinem Modell des Walzprozesses ist
es möglich, die zweidimensionale Spannungsverteilung im Inneren des Walzguts zu berechnen.
Um ein Koordinatensystem zu konstruieren, mit dem sich diese Formänderungscharakteristik
erfassen lässt, zeichnete Orowan Kreisbögen in den Walzspalt, deren Mittelpunkte jeweils auf
der Symmetrielinie des Walzprozesses liegen und die unter einem rechten Winkel in die Wal-
zenoberflächen übergehen. Führt man für jeden Kreisbogen ein Polarkoordinatensystem ein,
dann wirken auf jedem Flächenelement eine innere Tangentialspannung , eine innere Radi-
alspannung und eine innere Schubspannung , wie in Abbildung 4.4/3 gezeigt ist.
Unter Zuhilfenahme dieser Modellvorstellung leitete Orowan die folgenden Gleichungen für
4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 39
Abbildung 4.4/3: Zweidimensionales Winkelkoordinatensystem im Walzspalt nach Orowan
die auf das Streifenelement wirkende Horizontalkraft bei Gleit- und Haftreibung ab.
() = ()
½ ()
∙1±
µ1
− 1
tan
¶¸− ( )
√3
¾(4.4/5)
() = ()
½ ()− ()√
3
∙ ( 1)∓ 1
2
µ1
− 1
tan
¶¸¾(4.4/6)
Ersetzt man () in Gl. (4.4/1) durch Gl. (4.4/5) oder Gl. (4.4/6), dann gelangt man zu dem
von Orowan entwickelten Walzmodell. Die Inhomogenitätsfunktion ( ) ist ein wichtiger
Teil dieses Modells. Sie ist wie folgt gegeben, wobei die Integrationsvariable der Polarwinkel
des Koordinatensystems innerhalb eines Bogens ist.
( ) =1
sin
Z
0
vuut"1− 2
µ
¶2#cos (4.4/7)
Abbildung 4.4/4 zeigt die numerisch berechnete Funktion ( ) gemäß Gl. (4.4/7) für
die Winkel 0 und 30. Für den Parameter gilt = 2
. Er beschreibt das Verhältnis
der beiden beim Walzen möglichen Reibgesetze zueinander. Bei sehr geringen Reibwerten gilt
40 Bekannte Walzmodelle
0.75
0.8
0.85
0.9
0.95
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
ωO
aO = τ/τmax
α=0°α=30°
Abbildung 4.4/4: Verlauf der -Funktion gemäß Gl. (4.4/7) in Abhängigkeit des Schubspannungsver-hältnisses für zwei Grenzwerte des Winkels
1, für den Fall der Haftreibung gilt = 1. Aus der Abbildung wird ebenso ersichtlich,
dass nur sehr schwach vom Winkel abhängt.
Orowan schlug bereits eine deutliche Vereinfachung der Gleichung Gl. (4.4/5) für das Kaltwal-
zen mit kleinen Winkeln vor, Gl. (4.4/8).
() ≈ () [ ()− ( ) ()] (4.4/8)
Beim Warmwalzen, bei dem sowohl große Winkel als auch Haftzonen auftreten, ist diese
Gleichung jedoch nicht anwendbar.
Die allgemeine Walztheorie nach Orowan besaß eine Komplexität, die zum Zeitpunkt ihrer Ent-
stehung eine Verwendung in der Rechenpraxis nicht möglich machte. In den folgenden Jahren
wurden vereinfachte Modelle veröffentlicht, um möglichst präzise Walzmodelle der Rechen-
praxis zugänglich zu machen.
4.4.1.3 Modelle zum Kaltwalzen
Die mechanischen Lasten, die während des Walzvorgangs auf die Arbeitswalzen mit dem Durch-
messer wirken, führen zu einer elastischen Abplattung, sodass der ursprüngliche Walzenradi-
us = 2
nicht erhalten bleibt. Modelle zur Berechnung der abgeplatteten Walzenform werden
an späterer Stelle der vorliegenden Arbeit detailliert betrachtet. An dieser Stelle soll auf die ein-
4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 41
fachste Berechnungsweise der Walzenabplattung nach Hitchcock [Hit35] hingewiesen werden.
Demnach vergrößert sich der unverformte Walzenradius zu einem abgeplatteten Walzenradi-
us 0. Für das Verhältnis 0 gilt
0
= 1 +
∆(4.4/9)
Beim Kaltwalzen von Blechen und Bändern sind die Vereinfachungen des Streifenmodells gut
erfüllt. Daher haben Walzmodelle in diesem Bereich schon früh eine hohe Beachtung in der Pra-
xis gefunden. Eine der wichtigsten Arbeiten ist das Modell nach Ford, Ellis und Bland [FEB51]
für das Kaltwalzen mit Längszügen. Für die Walzkraft und das Drehmoment gelten nach Ford,
Ellis und Bland Gl. (4.4/10) und Gl. (4.4/11).
=
µ1−
¶p0 (0 − 1)
r1−
(4.4/10)
(
Z Φ
0
¡1 + Φ2
¢2 arctan(Φ)Φ+
(1− ) 2 arctan(Φ0)Z Φ0
Φ
¡1 + Φ2
¢−2 arctan(Φ)Φ)
= 2[∆
µ1−
¶1
0 − 1(4.4/11)
(
Z Φ
0
¡1 + Φ2
¢2 arctan(Φ)ΦΦ+
(1− ) 2 arctan(Φ0)
Z Φ0
Φ
¡1 + Φ2
¢−2 arctan(Φ)ΦΦ) +
2(00 − 11)]
Die Integrale in diesen Gleichungen sind numerisch zu lösen, da für die allgemeine Funktion
() = arctan() keine Stammfunktion bekannt ist. Ford, Ellis und Bland gliederten diese
Integralgleichungen in Hilfsfunktionen 3 ( ) und 5 ( ) aus. Diese sind wie
42 Bekannte Walzmodelle
folgt gegeben
3 =
r1−
(
Z Φ
0
¡1 + Φ2
¢2 arctan(Φ)Φ+ (4.4/12)
(1− ) 2 arctan(Φ0)
Z Φ0
Φ
¡1 + Φ2
¢−2 arctan(Φ)Φ)
5 =1
0 − 1(
Z Φ
0
¡1 + Φ2
¢2 arctan(Φ)ΦΦ+ (4.4/13)
(1− ) 2 arctan(Φ0)
Z Φ0
Φ
¡1 + Φ2
¢−2 arctan(Φ)ΦΦ)
Da in den 1950er Jahren, vor der breiten Einführung frei programmierbarer Digitalrechner die
numerische Quadratur zur Bestimmung eines Integrals einen erheblichen Zeitaufwand bedeu-
tete, wurden diese Funktionen vorberechnet und die Ergebnisse in Schaubildern zur Verfügung
gestellt. Die verbleibenden Berechnungsgleichungen für Walzkraft und Drehmoment sind
= · ·µ1− 0
¶·p0 (0 − 1) · 3 (4.4/14)
= 2
∙∆
µ1− 0
¶· 5 +
2(0 − 1)
¸(4.4/15)
Für die verwendeten Parameter gilt
=
s0
1(4.4/16)
=1−
1−
Abbildung 4.4/5 zeigt die Abhängigkeit der Funktionen 3 und 5 von den Parametern ln ()
und für = 1 5.
Mit Hilfe des Kaltwalzmodells nach Ford, Ellis und Bland wurde bereits in den 1950er Jah-
ren die Berechnung der Walzkraft und des Drehmomentes unter Einschluss der elastischen
Walzenabplattung nach Hitchcock möglich. Das Modell liefert im Vergleich mit Messwerten
zuverlässige Ergebnisse, vgl. [MOD06].
4.4.1.4 Analytische Modelle zum Warmwalzen
Die Lösung nach Ford, Ellis und Bland enthält geometrische Vereinfachungen, die nur für das
Kaltwalzen sinnvoll sind. Ebenso ist die Annahme reiner Gleitreibung beim Warmwalzen unrea-
listisch. Um eine tragfähige Lösung für das Warmwalzen zu erhalten, führte Sims die Annahme
4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 43
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
f 3
Bez. Höhenänderung εh [%]
aR=1.5
ln bZ=−1.2ln bZ=−0.9
ln bZ=−0.6ln bZ=−0.3
ln bZ=0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
f 5
Bez. Höhenänderung εh [%]
aR=1.5
ln bZ=−1.2ln bZ=−0.9
ln bZ=−0.6ln bZ=−0.3
ln bZ=0
Abbildung 4.4/5: Funktionen f3 und f5 für = 15 und unterschiedliche Werte des Längszugparame-ters ln
44 Bekannte Walzmodelle
von reiner Haftreibung in die von Karman’sche Differentialgleichung ein [Sim54]. Unter dieser
Randbedingung lässt sich eine analytische Lösung für den Spannungsverlauf ableiten. Außer-
dem versuchte Sims, die Orowan’sche Inhomogenitätstheorie in das Modell einzubauen. Über-
trägt man die Näherungsgleichung Gl. (4.4/8) auf den Fall des Warmwalzens mit Haftreibung
mit =4, dann folgt
() = ()³ ()−
4
´(4.4/17)
Durch Gleichsetzen mit () = () () folgt
() = ()−
4 (4.4/18)
Gl. (4.4/18) kann als Fließbedingung verwendet werden, führt jedoch beim Warmwalzen zu
unrealistischen Ergebnissen. Unter bestimmten Voraussetzungen ergeben sich sogar Umform-
wirkungsgrade von mehr als 100%, d.h. , weil die Normalspannungen zu klein
abgeschätzt werden.
Lippmann und Mahrenholtz [LM67] stellten eine ähnliche Lösung für das Warmwalzen auf,
jedoch unter Verwendung der Fließbedingung nach Tresca. Das daraus folgende Warmwalz-
modell führt, gemessen am Rechenaufwand zu vergleichsweise präzisen Ergebnissen [MK97,
Ove05].
Für die Walzkraft gilt nach Lippmann und Mahrenholtz
= (4.4/19)
Der reziproke Wirkungsgrad enthält die Reibungsverluste und kann wie folgt angegeben
werden
=
+ 2
r1−
arctan
µr
1−
¶− 1 + (4.4/20)r
1
r1−
ln
à √1−
1− ¡1− 2
¢!Der bezogene Fließscheidenwinkel ist wie folgt gegeben
=
0=
r1−
tan
(1
2
r1
∙ −
+ ln (1− )
¸+1
2arctan
µr
1−
¶)(4.4/21)
4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 45
Für das Drehmoment beim Warmwalzen gilt nach Lippmann und Mahrenholtz
= 2∆
mit
=
r
1
r1−
µ1
2−
¶(4.4/22)
4.4.1.5 Numerische Modelle zum Warm- und Kaltwalzen
Mit der breiten Einführung von frei programmierbaren Digitalrechnern ab Anfang der 1970er
Jahre wurde es möglich, die Differentialgleichung des Streifenmodells vereinfachungsfrei nu-
merisch zu lösen. Dies wurde 1972 von Alexander aufgegriffen [Ale72]. Das von Alexander
beschriebene Lösungsverfahren besteht erstmals in einer mathematisch durchgängigen, verein-
fachungsfreien Lösung der Differentialgleichung des Streifenmodells.
Alexander formulierte die von Karman’sche Differentialgleichung nach Einführung der Reib-
gesetze Gleitreibung oder Haftreibung und der Kräftezerlegung am Streifenelement wie folgt
= 1 () () + 2 () für = (4.4/23)
= 1 () für =
√3
(4.4/24)
Für die auftretenden Hilfsfunktionen gilt
1 () = ±
cos()
h2()
+ 1cos()
i1∓ tan ()
(4.4/25)
2 () =
2()
2√3 () sin () +
2√3
()
1∓ tan ()
und
1 () =2√3 () [
2
()sin () (1± 1
2tan ())± (4.4/26)
(
()cos () +
1
cos2 ())] +µ
1± 12tan ()
¶2√3
()
46 Bekannte Walzmodelle
Für die Berechnung der Walzkraft und des Drehmomentes konnte Alexander die folgenden
Gleichungen bestimmen
= 0
Z 0
0
() cos
µ− 1
20
¶+ (4.4/27)
0[Z 0
() sin
µ− 1
20
¶−Z
0
() sin
µ− 1
20
¶]
= 0 (0 −)
Z 0
0
() sin
µ− 1
20
¶+ (4.4/28)
0Z 0
[0 ()−
(0 −) () cos
µ− 1
20
¶]−
0Z
0
[0 ()−
(0 −) () cos
µ− 1
20
¶]
Die von Alexander eingeführte numerische Vorgehensweise eröffnete weitere Möglichkeiten,
da man seit diesem Zeitpunkt nicht mehr auf analytische Lösungen der von Karman’schen Dif-
ferentialgleichung angewiesen ist, um die Zielgrößen zu berechnen. Insbesondere konnte das
inhomogene Walzmodell nach Orowan numerisch implementiert werden. Eine derartige Be-
trachtung wurde von Venter und Abd-Rabbo durchgeführt [VAR80b]. Die Formulierung der
von Karman’schen Differentialgleichung entspricht Gl. (4.4/23) und Gl. (4.4/24) mit den Funk-
tionen
1 () = ±2£20(cos− () sin)−
¤1−
³2∓ ()
´ − (4.4/29)
4√3
√3
()
2 () =4√3
( ) + (4.4/30)
2()√3
µ
+20
( ) sin
¶
4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 47
und
1 () =2√3()[
2 ·0()
sin
µ( )∓ 1
2()
¶+ (4.4/31)
∓ 12
± 0
()cos] +
+
µ( )∓ 1
2· ()
¶· 2√3
Die Geometriefunktion () ist wie folgt gegeben
() =1
− 1
tan(4.4/32)
Das Zulassen einer inhomogenen Horizontalkraftverteilung in vertikaler Richtung ermöglicht
außerdem die Berechnung der Spannungszustände im Inneren des Walzguts. Abbildung 4.4/6
zeigt die lokale Horizontalspannungsverteilung bei einem Warmwalzstich mit einer bezogenen
Höhenänderung von 40 %, einem Walzendurchmesser von 750 mm und einem Walzspaltver-
hältnis von = 3 beim Walzgutwerkstoff C55.
Statt der Formulierung gemäß Gl. (4.4/23) und Gl. (4.4/24) lässt sich die von Karman’sche Dif-
ferentialgleichung auch zur numerischen Berechnung der Horizontalkraft aufbereiten. Diesen
Ansatz verfolgt Freshwater [Fre96] und stellt die Differentialgleichungen wie folgt dar
= () () + () für Gleitreibung (4.4/33)
= () · () + () für Haftreibung
Wie Gl. (4.4/33) zeigt, teilen die Funktionen () und () das Differential
für Glei-
treibung in einen Teil (), der von der Horizontalkraft () unabhängig ist, und einen Teil
(), der mit () multiplikativ verknüpft ist. Für Haftreibung wird in gleicher Weise mit
den Funktionen () und () verfahren. Die Funktionen sind in Gl. (4.4/34) gegeben.
() =20 (sin± cos)
() 1± () () = 20()( )
(sin± cos)
1± () (4.4/34)
48 Bekannte Walzmodelle
50 100
150
200
100 50
150
200
Abbildung 4.4/6: Horizontalspannungsverteilung in MPa bei einem Warmwalzstich. Walzendurchmes-ser = 750; = 3; = 0 4;Werkstoff C55; Reibwert = 0 3
() =20
()sin () (4.4/35)
() = 20()½∙
( )∓ 12 ()
¸sin ()± 1
2· cos
¾
Dieses Modell enthält, genau wie das Modell nach Venter und Abd-Rabbo [VAR80b], die Oro-
wan’sche Inhomogenitätstheorie.
Den gleichen Ansatz verfolgt ein im selben Jahr von Yuen, Dixon und Nguyen veröffentlich-
tes Rechenmodell [YDN96]. Hier wird ( ) weiter vereinfacht. Näherungsweise wird
4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 49
0.75
0.8
0.85
0.9
0.95
1
1.05
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
ωO
aO = τ/τmax
Orowan α=0°Orowan α=30°
Yuen et al. α=0°Yuen et al. α=30°
Abbildung 4.4/7: Inhomogenitätsfunktion nach Orowan und vereinfachte Version von Yuen, Dixon undNguyen für Winkel von 0 und 30
angegeben
( ) =1
sin
Z
0
vuut"1− 2 ·µ
¶2#cos (4.4/36)
≈
2 · sin () ·½arcsin ()
+q1− 2
¾
Diese Näherung für weicht bei größeren Winkeln signifikant von der vereinfachungsfreien
numerischen Lösung der Integralgleichung ab, wie Abbildung 4.4/7 zeigt.
4.4.1.6 Modelle zum Kaltwalzen von Folien
Viele der bis hier behandelten Walzmodelle stellen Lösungen sowohl für Gleit-, als auch Haft-
reibung bereit. Berechnungen kann entnommen werden, dass Haftzonen um die Fließscheide
herum bevorzugt bei großen Walzspaltverhältnissen auftreten, vgl. [Ove11]. Die Haftreibung
hat jedoch auch eine Bedeutung beim Kaltwalzen, wenn sehr starke elastische Deformationen
der Walzenoberfläche auftreten. Dies wurde im Zusammenhang mit der Theorie des Kaltwal-
zens dünner Folien von Fleck, Johnson, Mear und Zhang [FJMZ92] untersucht und später von
Le und Sutcliffe [LS01] in ein numerisch stabiles Walzmodell umgesetzt. Das Gleichgewicht
50 Bekannte Walzmodelle
Abbildung 4.4/8: Einteilung des Walzspaltes in Zonen elastischer und plastischer Formänderung
am Streifenelement drückten Le und Sutcliffe wie folgt aus
()
+ ( − )
+ 2 () = 0 (4.4/37)
Eine genaue Betrachtung der Vorgänge im Walzspalt zeigt, dass die plastische Zone von elasti-
schen Zonen in der Ein- und Austrittsebene umgeben sein muss. Abbildung 4.4/8 zeigt schema-
tisch die Einteilung des Walzspaltes in elastische und plastische Zonen. Das bei der Koordinate
mit der Höhe 0 in den Walzspalt eintretende Walzgut wird zunächst elastisch deformiert,
bis an der Stelle zum ersten Mal die Fließbedingung erfüllt, und somit das plastische Fließen
eingeleitet wird.
Beim Eintritt in die plastische Nacheilzone 2 besitzt das Walzgut die Höhe 0 und wird im
Durchlauf durch die plastischen Zonen (2 und 3) auf die Endhöhe 1 reduziert, die an der
Stelle vorliegt. Während des Durchlaufs durch die elastische Rückfederungszone 4 erfolgt
die Entlastung auf eine Normalspannung von = 0. Diese Entlastung führt zur Rückfede-
rung der Walzguthöhe auf die entlastete Austrittshöhe 1, wobei 1 1. Der Abbildung
4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 51
4.4/8 können außerdem die Richtungen der in den einzelnen Zonen wirkenden Reibkräfte ent-
nommen werden. In den Zonen 1 und 2 sind diese in negativer x-Richtung (in Walzrichtung)
gerichtet, in den Zonen 3 und 4 entgegen der Walzrichtung (in positiver x-Richtung). Diese bei-
den Bereiche positiver und negativer Relativbewegung sind durch einen Vorzeichenwechsel in
den Reibkräften und der Relativgeschwindigkeit an der Fließscheide voneinander getrennt.
() = 0 (4.4/38)
() = 0
() = 1
() = 1
( ) =
Für jede der Zonen müssen Differentialgleichungen zur Berechnung der Spannungsverläufe
() und () angegeben werden. In der elastischen Eintrittszone (1) gilt
= − ∗
()
+
1−
2 ()
()(4.4/39)
= − +
()
− 2 ()
()
Für die Elastizitätsmodule der Band- und Walzenwerkstoffe gelten für den ebenen Verzerrungs-
zustand folgende Korrekturen
∗ =
1− 2; ∗ =
1− 2(4.4/40)
Das Ende dieser elastischen Zone wird erreicht, wenn die Fließbedingung zum ersten Mal erfüllt
wird, d.h. wenn gilt
= − (4.4/41)
Innerhalb der plastischen Gleitzonen ist eine einzige Differentialgleichung zur Berechnung von
und ausreichend, da der Zusammenhang zwischen diesen Spannungsgrößen direkt über
die Fließbedingung hergestellt werden kann. Innerhalb der plastischen Vor- und Nacheilzonen
gilt für die Veränderung der Normalspannung die folgende Differentialgleichung
=
()
()
+2 ()
()+
(4.4/42)
52 Bekannte Walzmodelle
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
200 250 300 350 400 450 500 550 600
C1
[−]
Elastizitätsmodul der Arbeitswalzen [kN/mm2]
Walzgut Stahl E=210 kN/mm2
Walzgut Aluminium E=70 kN/mm2
Abbildung 4.4/9: Abhängigkeit der Konstanten C1 von den Elastizitätsmodulen von Arbeitswalzen undWalzgut
Für die elastische Austrittszone gilt Gl. (4.4/39) mit umgekehrten Vorzeichen (Rückfederung
statt Kompression). Für die Reibschubspannung () werden auch beim Kaltwalzen von dün-
nem Band und Folien zwei Fälle unterschieden. Bei Vorliegen Coulomb’scher Gleitreibung gilt
= (4.4/43)
Das Auftreten der Haftreibung steht bei Folien in engem Zusammenhang mit der Verformung
der Arbeitswalzen. Le und Sutcliffe konnten die Differentialgleichung der Normalspannung und
die algebraische Gleichung für die Reibschubspannung wie folgt angeben
= −1
∗
(4.4/44)
() = −1∗
2
Die Konstante 1 folgt aus den elastischen Eigenschaften der Band- und Walzenwerkstoffe und
spielt eine Rolle für den Spannungsverlauf in der Haftzone.
1 =
µ2− 41−
− 1− 21−
∗∗
¶−1(4.4/45)
4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 53
In Abhängigkeit der Werkstoffpaarung Arbeitswalzen-Walzgut nimmt die Konstante 1 unter-
schiedliche Werte an, wie Abbildung 4.4/9 zeigt. Bei großen Werten von 1 ist das Auftreten
einer Haftzone gegenüber kleinen Werten von1 begünstigt.1 enthält nur die elastischen Kon-
stanten der Kontaktpartner. Im konkreten Anwendungsfall hängt das Auftreten einer Haftzone
und deren Ausdehnung von der Höhe der Schubspannungen im Walzspalt ab, die außerdem von
der Höhe des Reibwerts, dem Walzendurchmesser, der Fließspannung des Walzguts und den
Längsspannungen beeinflusst werden.
4.4.2 Dreiachsiger Formänderungszustand
Will man die Voraussetzung eines ebenen Formänderungszustandes aufheben und ein zweidi-
mensionales Walzmodell zur Berechnung der Spannungsverteilung auf der Kontaktfläche erlan-
gen, so sind unterschiedliche Vorgehensweisen mit entsprechenden Modellansätzen möglich.
Die im vorhergehenden Abschnitt beschriebenen Walzmodelle basieren auf den ursprünglich
von v. Karman formulierten vereinfachenden Annahmen der Elementaren Plastizitätstheorie,
insbesondere auf der Annahme eines ebenen Formänderungszustandes über die gesamte Walz-
gutbreite. Diese Annahme schließt jeden Spannungsgradient in Walzgutbreitenrichtung aus. Die
Rechenergebnisse dieser eindimensionalen Walzmodelle können daher nur für die Mittelebene
eines breiten Walzguts als gültig angesehen werden. Die Analyse der Spannungsverteilung in
der Nähe der Bandkanten oder der Entstehung lokaler Planheitsfehler ist mit diesen Modellen
prinzipiell nicht möglich.
Bereits in den 1960er Jahren versuchte man, schnelle zwei- und dreidimensionale Walzmodel-
le zu entwickeln. Einige grundlegende Betrachtungen zur Theorie räumlicher Umformvorgän-
ge lieferte zunächst Troost [Tro64]. Rudisill und Zorowski entwickelten ein dreidimensionales
Modell zum Warmwalzen von Band [Rud66]. Dieses basiert nicht auf der Elementaren Plastizi-
tätstheorie, sondern auf mathematischen Vereinfachungen der allgemeinen Gleichgewichtsbe-
dingungen, der Fließregel und der Fließbedingung.
Gl. (4.4/46) zeigt die von Rudisill ermittelte hyperbolische partielle Differentialgleichung für
die Horizontalspannungsverteilung in horizontaler und lateraler Richtung.
2
2− 2
2= ± 4√
3 ( ) ·
µ1
( )
¶(4.4/46)
54 Bekannte Walzmodelle
Rudisill konnte die Lösung dieser Differentialgleichung für die Vertikalspannung in der Vor-
und Nacheilzone wie folgt angeben
( ) = 4 sinh ()√3 cosh
¡
2
¢cosh ( )
+ (4.4/47)
cosh (− )
sinh¡
2
¢cosh ( )
cosh ()
− 4√3
r
1arctan
µ√1
¶+
und
( ) = 4 sinh ( ( − ))√3 cosh
¡
2
¢cosh ( ( − ))
+ (4.4/48)
cosh (− )
sinh¡
2
¢cosh ( ( − ))
cosh () +
4√3
r
1arctan
µ√1
¶+
= 2
ist die dimensionslose Vertikalkoordinate, und sind Rechengrößen, die nu-
merisch bestimmt werden müssen, bevor eine Berechnung der Spannungsverteilung gemäß Gl.
(4.4/47) und Gl. (4.4/48) erfolgen kann. und folgen aus den Randbedingungen in Abhän-
gigkeit der noch unbekannten und gemäß
=
³
8−
21
´ −
³ −
1
´sinh
2
sinh 2−
2
(4.4/49)
=
³
q1arctan
³√1
´+
8−
21
´
sinh¡
2
¢−
2
−³ − 0
12
1arctan
³√1
´´sinh
¡
2
¢sinh
¡
2
¢−
2
(4.4/50)
und folgen aus der Bedingung, dass der Vertikalspannungsverlauf vor und hinter der Fließ-
scheide gemäß Gl. (4.4/51) und Gl. (4.4/52) kontinuierlich sein muss.
() = () (4.4/51)
() =
()
(4.4/52)
4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 55
Rudisill schlug ein graphisches Verfahren zur Bestimmung von und vor. Heute ist die di-
rekte numerische Lösung von Gl. (4.4/51) zur Bestimmung von und sinnvoller. Der hohe
numerische Aufwand zur Bestimmung der Größen und schränkt die Einfachheit der
Anwendung dieses Modells ein. In der Rechenpraxis zeigt sich außerdem, dass das Modell nur
in einem eng umgrenzten Parameterbereich sinnvolle Ergebnisse liefert. Außerdem werden im
Vergleich zu Messwerten nur mäßig gute Ergebnisse erreicht, s. a. [Ove11].
4.5 Weiterführung zum zweidimensionalen Walzmodell für Flachquerschnitte
Das im Folgenden präsentierte Walzmodell lässt sich unter Vorgabe entsprechender Randbedin-
gungen für Reibung und Fließkurven sowohl für das Warm-, als auch das Kaltwalzen anwen-
den. Dazu werden die Betrachtungen des Streifenmodells zum ebenen Formänderungszustand
auf den allgemeinen dreidimensionalen Fall erweitert. Das Modell basiert in seinen Grundzü-
gen auf einer Arbeit von Ren, Tieu und anderen [RTLD06], wird hier jedoch allgemeiner für
das Warm- und Kaltwalzen mit beliebiger Walzendeformation formuliert. Auf diese Weise kann
die zweidimensionale Spannungsverteilung auf der Kontaktfläche zwischen Arbeitswalzen und
Walzgut in Längs- und Querrichtung berechnet werden.
4.5.1 Kräftegleichgewicht am Volumenelement im Walzspalt
Eine der Grundvoraussetzungen des Streifenmodells ist, dass der Werkstoff eben fließt und zwi-
schen einem Paar von Bahnen geführt wird [LM67]. Diese Voraussetzung des ebenen Werk-
stoffflusses führt dazu, dass das betrachtete Streifenelement eine finite Höhe , infinite Breite
→ ∞ und infinitesimale Länge hat. Das im Folgenden eingeführte Stabmodell verallge-
meinert diese Betrachtungen unter Auflösung der Voraussetzung des ebenen Werkstoffflusses.
Beim Übergang vom Streifenelement zum Stabelement wird die infinite Breite des Elementes
durch eine infinitesimale Breitenabmessung ersetzt. Das Stabelement hat nunmehr zwei in-
finitesimale Abmessungen und sowie eine endliche Höhenabmessung . Die Oberfläche
der Ober- oder Unterseite des Stabelementes entspricht einem Flächenelement der Kontakt-
fläche zwischen Arbeitswalze und Walzgut. Dieses Oberflächenelement ist im Raum doppelt
geneigt mit den Neigungswinkeln in horizontaler Richtung und in lateraler Richtung. Der
Flächeninhalt eines infinitesimalen Oberflächenelementes kann wie folgt angegeben werden
=
cos cos (4.5/1)
56 Weiterführung zum zweidimensionalen Walzmodell für Flachquerschnitte
Abbildung 4.5/1: Zweidimensionale Einteilung eines Walzspalts in Stabelemente (schematisch)
Mit derartigen Stabelementen kann die Geometrie eines Walzspaltes diskretisiert werden, bei
dem sowohl Ein-, als auch Austrittsquerschnitt nicht rechteckig sind. Abbildung 4.5/1 zeigt ein
solches Walzspaltvolumen beispielhaft. Sowohl der eintretende, als auch der aus dem Walzspalt
austretende Querschnitt weisen ein konvexes Dickenprofil auf.
Abbildung 4.5/2 zeigt die an einem Stabelement angreifenden Kräfte und ihre Zerlegungen in
Komponenten, die parallel zu den Koordinatenachsen wirken. Die Teilbilder A) und D) zei-
gen die in der xz- bzw. yz-Ebene angreifenden Kräfte, während die Teilbilder B), C), E) und
F) die Kräftezerlegung am Oberflächenelement für negative und positive Relativbewegungen
(entspricht Vor- und Nacheilung in der xz-Ebene, bzw. Querfluss in der yz-Ebene) illustrieren.
Formuliert man an einem Stabelement der infinitesimalen Länge und Breite die Kräfte-
gleichgewichte in den horizontalen und lateralen Richtungen, so folgen die Gleichungen
− − () + 2
cos
cos sin± 2
cos
cos cos = 0 (4.5/2)
in horizontaler Richtung, bzw.
− − () + 2
cos
cossin ± 2
cos
coscos = 0 (4.5/3)
in lateraler Richtung.
4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 57
Abbildung 4.5/2: Dreidimensionaler Walzspalt mit am Stabelement angreifenden Kräften
58 Weiterführung zum zweidimensionalen Walzmodell für Flachquerschnitte
Diese Gleichgewichtsbedingungen können als Differentialgleichungen in der folgenden Form
ausgedrückt werden
()
= 2
µ
sin
cos cos ±
cos
¶(4.5/4)
()
= 2
µ
sin
cos cos±
cos
¶(4.5/5)
Für den Sonderfall eines von unabhängigen (rechteckigen) Dickenprofils gilt ( ) = 0 In
diesem Fall geht Gl. (4.5/4) gemäß cos (0) = 1 in die Differentialgleichung des Streifenmodells
nach [vK25] über.
()
= 2
µ
sin
cos cos 0±
cos 0
¶(4.5/6)
= 2
µsin
cos±
¶= 2 ( tan± )
Zur Behandlung der Gleichungen Gl. (4.5/4) und Gl. (4.5/5) werden die Neigungswinkel und
mit Hilfe der lokalen Verteilung der Walzguthöhe ( ) ausgedrückt. Allgemein gilt
tan =1
2
(4.5/7)
tan =1
2
Aufgrund allgemeiner Rechenregeln [BS08] gilt für ∈ R
cos (arctan ()) =1√1 + 2
(4.5/8)
Wendet man diese allgemeine Beziehung auf Gl. (4.5/7) an, dann folgt
cos =1q
1 +¡12
¢2 (4.5/9)
cos =1r
1 +³12
´2Mit Gl. (4.5/9) können die Neigungswinkel und aus Gl. (4.5/4) und Gl. (4.5/5) eliminiert
werden, indem diese durch die partiellen Ableitungen von ( ) ausgedrückt werden. Die Ter-
me und können als auf das Stabelement wirkende bezogene Kräfte aufgefasst werden
4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 59
gemäß Gl. (4.5/10).
=
= (4.5/10)
=
=
Somit ergeben sich für die Veränderung von und in den x- und y-Richtungen die gewöhn-
lichen Differentialgleichungen Gl. (4.5/11) und Gl. (4.5/12).
=
s1 +
µ1
2
¶2± 2
s1 +
µ1
2
¶2(4.5/11)
=
s1 +
µ1
2
¶2± 2
s1 +
µ1
2
¶2(4.5/12)
Die zweidimensionale Walzguthöhenverteilung ( ) und deren partielle Ableitungen
und
werden später numerisch behandelt und sollen an dieser Stelle nicht weiter mathematisch
aufgelöst werden. Für eine zylindrische Walze gilt bei Annäherung des Kontaktbogens als Pa-
rabel
() ≈ 1 +2
(4.5/13)
≈ 2
Setzt man eine zylindrische Walzenkontur voraus, dann kann der Neigungswinkel der werk-
zeuggebundenen Oberfläche als Polarwinkel der Walze interpretiert und anstelle von als Ko-
ordinatenachse verwendet werden. Dies wurde in einer Vielzahl von Arbeiten getan [Oro43,
FEB51, Sim54, LM67, Ale72, VAR80b, Fre96]. Da das hier beschriebene Modell auch für
nichtzylindrisch verformte Walzen verwendet werden soll, wird als Koordinatenachse beibe-
halten.
Die Verteilung des lateralen Neigungswinkels ( ) stellt sich durch Überlagerung mehre-
rer Effekte ein (mechanische und thermische Walzenbelastung) und kann komplizierte Formen
annehmen.
4.5.2 Verteilung von Normal- und Schubspannungen
Abbildung 4.5/3 zeigt die an einem würfelförmigen Körper angreifenden Spannungen in den
rechtwinkligen Koordinatenachsen x, y und z. Auf die Walzspaltgeometrie übertragen ist
60 Weiterführung zum zweidimensionalen Walzmodell für Flachquerschnitte
Abbildung 4.5/3: An einem Körper angreifende Normal- und Schubspannungen in rechtwinkligen Ko-ordinaten
die in Walzrichtung wirkende Schubspannung, während die quer zur Walzrichtung wir-
kende Komponente bezeichnet. kann im betrachteten Problem zu Null gesetzt werden, da
an den freien Walzguträndern kein Reibungskontakt mit einem Werkzeug vorliegt und innere
Schubspannungen im Rahmen des Modells nicht betrachtet werden.
Wie bereits betrachtet wurde, ist die Kontaktfläche Walze-Walzgut im Raum mit den Winkeln
und geneigt. Das auf der Kontaktfläche wirkende Vektorfeld der Reibschubspannungen wird
wie folgt für Coulomb’sche Gleitreibung dargestellt
τR ( ) = [τRx τRy] (4.5/14)
=£ cos cos
¤Die Vektoren τRx und τRy sind die Projektionen des doppelt geneigten Schubspannungsvek-
tors τR in die xz- und yz-Ebenen. und in Gl. (4.5/11) und Gl. (4.5/12) sind die Beträge
dieser Vektoren. Für die kartesischen Schubspannungskomponenten nach Abbildung 4.5/3 gilt
die Komponentenzerlegung
= cos cos = (4.5/15)
= cos cos =
4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 61
Als abgekürzte Schreibweise wurde ein Neigungskorrekturfaktor definiert
= cos cos (4.5/16)
Zur Lösung des Problems fehlt die örtliche Verteilung der beiden Reibwertkomponenten ( )
und ( ). Zur Bestimmung von bzw. des Verhältnisses wird die Querflussge-
schwindigkeit als Relativgeschwindigkeit verwendet. Für die Relativgeschwindigkeiten in
den x- und y-Richtungen gilt
= − cos (4.5/17)
=
In [RTLD06] werden für die Reibwertkomponenten folgende Gleichungen vorgeschlagen
= 02
arctan
µ
¶(4.5/18)
= 02
arctan
µ
¶Für große Relativgeschwindigkeiten nähern sich und asymptotisch den vorgegebenen
maximalen Reibwerten 0 bzw. 0
lim→∞
= 0 (4.5/19)
lim→∞
= 0
Es kann angenommen werden
0 = 0 = (4.5/20)
Die Referenzkonstanten und haben den Charakter von Bezugsgeschwindigkeiten.
Mit ihnen ist die Abhängigkeit der Reibungskomponenten von den Relativgeschwindigkeiten
skalierbar. Abbildung 4.5/4 zeigt die Geschwindigkeitsempfindlichkeit des Reibwertes für un-
terschiedliche Empfindlichkeitsparameter in Abhängigkeit der bezogenen Relativge-
schwindigkeit .
Die simultane Lösung von Gl. (4.5/11) und Gl. (4.5/12) liefert die Verteilung der bezogenen
Horizontal- und Lateralkräfte ( ) und ( ). Diese liefern direkt keine Aussage über
die in der Kontaktfläche wirkenden Normalspannungen. Zudem müssen bereits zur Lösung der
Differentialgleichungen Aussagen über die Schubspannungsverteilung gemacht werden, wozu
62 Weiterführung zum zweidimensionalen Walzmodell für Flachquerschnitte
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
μ / μ
0
vrel/vu
vref/vu = 1vref/vu = 0.5vref/vu = 0.2
vref/vu = 0.1vref/vu = 0.05
Abbildung 4.5/4: Geschwindigkeitsempfindlichkeit der Reibwertes für unterschiedliche Empfindlichkeit-sparameter
die Verteilung der Normalspannung notwendig ist, vgl. Gl. (4.5/15). Zur Berechnung von
muss zunächst die Zerlegung der am Oberflächenelement wirkenden Kräfte in z-Richtung
betrachtet werden (vgl. Abbildung 4.5/2)
cos cos = cos cos ± sin± sin (4.5/21)
Die Doppelvorzeichen betreffen den Übergang zwischen positiver und negativer Relativbewe-
gung beim Überschreiten der Fließscheiden. Dies lässt sich auch mit Koeffizienten und
ausdrücken, dann gilt
cos cos = cos cos + sin+ sin (4.5/22)
und sind wie folgt definiert mit Hilfe der Relativgeschwindigkeiten in x- und y-Richtung
und der Heaviside-FunktionH () [Olv10]
= 2H ( − cos)− 1 (4.5/23)
= 2H ()− 1
Schließlich ergibt sich die folgende Gleichung für die Vertikalspannung aus Gl. (4.5/22)
4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 63
= + tan
cos +
tan
cos(4.5/24)
Setzt man für beide Reibschubspannungen das Coulomb’sche Reibgesetz ein, so folgt mit den
Reibwerten und
=
µ1 +
tan
cos +
tan
cos
¶(4.5/25)
Aufgelöst nach folgt
=
1 + tancos
+ tan cos
(4.5/26)
Mit Gl. (4.5/26) ist die Verknüpfung von mit allgemein gegeben. Die Winkel sind beim
Walzen von Band und Blech klein, da die Banddickenunterschiede in lateraler Richtung klein
sind gegenüber der Bandbreite ( ¿ ). Vereinfacht folgt die aus [Ale72] bekannte Gleichung
≈
1 + tan(4.5/27)
Für kleine Winkel könnte noch weiter vereinfacht werden [Sie31]
≈ (4.5/28)
4.5.3 Fließbedingung bzw. Hooke’sches Gesetz
Zur mathematischen Komplettierung des Modells fehlt die Verknüpfung der Vertikal- und Ho-
rizontalspannungen und . Dabei ist zu unterscheiden, ob sich das Walzgut elastisch oder
plastisch verhält.
4.5.3.1 Plastischer Zustand
Verhält sich das Walzgut plastisch, wird der gesuchte Spannungszusammenhang von einer
Fließbedingung hergestellt. Nach von Mises [vM13] gilt in allgemeiner Form bei isotropem
Werkstoffverhalten Gl. (4.5/29).
=
r1
2
£( − )
2 + ( − )2 + ( − )
2¤+ 3 ¡ 2 + 2 + 2¢
(4.5/29)
Setzt man die Reibschubspannungen nach Gl. (4.5/15) in Gl. (4.5/29) ein, dann folgt für die
Fließbedingung des Walzprozesses
=
r1
2
£( − )
2 + ( − )2 + ( − )
2¤+ 322 ¡2 + 2¢
(4.5/30)
64 Weiterführung zum zweidimensionalen Walzmodell für Flachquerschnitte
Die Lösung von Gl. (4.5/30) nach der Vertikalspannung liefert
=( + )
2± 12(42 + 3
¡2 − 2 − 2
¢− (4.5/31)
12 ()2 − 12 ¡¢2)12
Das Doppelvorzeichen in Gl. (4.5/31) ergibt sich aufgrund der quadratischen Gleichungsstruk-
tur von Gl. (4.5/29). Es gibt zwei Lösungen in Abhängigkeit der Konvention der Spannungsde-
finition, siehe S. 1. Hier gilt
= +
2+1
2
q42 + 3
¡2 − 2 − 2
¢− 12 ¡2 + 2¢
(4.5/32)
Die Bestimmungsgleichung für ist erneut nichtlinear, da in Gl. (4.5/32) vorkommt. Die
Lösung ergibt sich durch Einsetzen von Gl. (4.5/32) in Gl. (4.5/26) und Auflösen der Gleichung
nach . Es ergeben sich wieder zwei Lösungen aufgrund der Vorzeichenabhängigkeit von
. Um diese Problematik zu umgehen, ist die Vernachlässigung von Schubspannungen in der
Fließbedingung denkbar. Unter dieser Voraussetzung kann vereinfachend geschrieben werden
≈ +
2+1
2
q42 + 3
¡2 − 2 − 2
¢(4.5/33)
≈+2
+ 12
q42 + 3
¡2 − 2 − 2
¢1 +
tancos
+ tan cos
(4.5/34)
Zur Verknüpfung mit Gl. (4.5/11) kann die Horizontalspannung mit Hilfe der bezogenen
Horizontalkraft ausgedrückt werden
=
(4.5/35)
Mit Hilfe von Gl. (4.5/26) und Gl. (4.5/32) ist es möglich, Gl. (4.5/11) und Gl. (4.5/12) für die
plastischen Bereiche zu lösen.
4.5.3.2 Elastischer Zustand
Für die elastischen Bereiche am Walzspaltein- und austritt kann nicht auf die Kopplung der
Spannungsgrößen über die Fließbedingung zurückgegriffen werden, da sich der Werkstoff nicht
im plastischen Zustand befindet. Jedoch sind alle Gleichgewichtsbetrachtungen, Gl. (4.5/11),
Gl. (4.5/12) und Kräftezerlegungen Gl. (4.5/26) auch im elastischen Zustand gültig. An Stelle
der Fließbedingung muss im elastischen Bereich der Zusammenhang von und über das
Hooke’sche Gesetz hergestellt werden. Die von Le und Sutcliffe durchgeführten Betrachtungen
4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 65
[LS01] werden hier für den dreidimensionalen Fall weiterentwickelt. Für isotrope Werkstoffe
gilt [GHSW07]
= − 1[ − ( + )] (4.5/36)
= − 1[ − ( + )]
= − 1[ − ( + )]
Da in den elastischen Zonen keine plastische Dehnung vorliegt, kann die Gesamtdehnung mit
der elastischen Dehnung gleich gesetzt werden. Für das elastische Dehnungsinkrement kann
geschrieben werden
=
(4.5/37)
Gleichgesetzt mit Gl. (4.5/36) folgt
ln
µ
0
¶= − 1
[ − ( + )] (4.5/38)
Daraus folgt für die Vertikalspannung
= ( + )− ln
µ
0
¶(4.5/39)
In den elastischen Zonen wird Gl. (4.5/39) anstelle von Gl. (4.5/32) verwendet. Das Ende der
elastischen Kompressionszone am Walzspalteintritt ist erreicht, wenn die Fließbedingung Gl.
(4.5/30) für den vorliegenden Spannungszustand und die Anfangsfließspannung 0 erfüllt wird.
Das Ende der plastischen Formänderung liegt vor, wenn die Walzguthöhenfunktion eine waa-
gerechte Tangente hat, = 0.
4.5.4 Randbedingungen zur Lösung der Differentialgleichungen
Die Randbedingungen für die Lösung von Gl. (4.5/11) und Gl. (4.5/12) sind die vor den elasti-
schen Zonen anliegenden bezogenen Horizontalkräfte gemäß Gl. (4.5/40). Die Längsspannun-
gen und Querschnittshöhen müssen nicht über die y-Koordinate konstant sein, wie Gl. (4.5/40)
zum Ausdruck bringt.
( ) = − ()0 () (4.5/40)
(0 ) = − ()1 ()
66 Weiterführung zum zweidimensionalen Walzmodell für Flachquerschnitte
Die örtliche Verteilung der externen Längsspannungen () und () lässt sich proportional
zum vorliegenden Dickenprofil ausdrücken
() = 0
0 ()(4.5/41)
() = 1
1 ()
Die Randbedingung von Gl. (4.5/12) besteht im Verschwinden der Lateralkraft an der Walzgut-
kante
µ±
2
¶= 0 (4.5/42)
4.5.5 Numerisches Lösungsverfahren des Spannungsfelds
Um das Spannungsfeld auf dem zweidimensionalen Lösungsgebiet zu berechnen, müssen die
Differentialgleichungen Gl. (4.5/11) und Gl. (4.5/12) simultan gelöst werden. Dazu wird ein
rechteckiges Gitter verwendet. Da sich der vorliegende Spannungszustand in der Nähe der
Walzgutkanten sehr stark verändert, müssen die Knotenabstände in diesen Bereichen kleiner
gewählt werden als in der Mitte des Walzgutes. In x-Richtung wird jedoch eine äquidistan-
te Verteilung der Knotenpunkte verwendet. Insgesamt werden Knotenpunkte in x-Richtung
und Knotenpunkte in y-Richtung verwendet, so dass das Gitter = Knoten hat. Die
Punkte werden in x- und y-Richtung mit den diskreten Zählvariablen und bezeichnet. Die
Zählung beginnt in x-Richtung mit der Austrittsebene, ( = 1 entspricht = 0; = ent-
spricht = ) und in y-Richtung mit der Bandmitte ( = 1 entspricht = 0; = entspricht
= 2).
An den Walzgutkanten gilt die Randbedingung Gl. (4.5/42). Diese wird in folgender Form ge-
schrieben
( ) = 0 (4.5/43)
Mit Hilfe dieser Gleichungen wird zunächst Gl. (4.5/11) für die Walzgutkante in den elastischen
und plastischen Bereichen gelöst. Mit der daraufhin bekannten Verteilung von ( ) kann Gl.
(4.5/12) gelöst werden, um die Verteilung der Lateralkraft in der nächsten Ebene ( − 1)
Tabelle 4.7/1: Stichplan einer siebengerüstigen Fertigstaffel, Endwalzgeschwindigkeit: 10 m/s
Mit Hilfe des Modells kann untersucht werden, wie sich die Veränderung der Anstichdicke bei
gleich bleibenden Walzendrehzahlen auf die entstehende Längsspannungsverteilung auswirkt.
Das obere Teilbild A) von Abbildung 4.7/2 zeigt die Ergebnisse dieser Studie. Es zeigt sich,
dass bei einer Vergrößerung des Anstichquerschnittes die Zugspannungen abgebaut werden.
4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 97
Bei einem zu großen Anstichquerschnitt (hier ab 00 = 44 , was einem Dickenfehler von
+10% entspricht) besteht bereits die Gefahr, dass die Längsspannungen in den ersten Stichen
komplett abgebaut werden und kontinuierlich wachsende Schlingen entstehen.
Aus diesem Beispiel kann ebenso entnommen werden, dass sich ein solcher Fehler nicht nur
auf ein Gerüst auswirkt, sondern mehrere nacheinander liegende Gerüste beeinflusst, da die
Fließscheidenlagen der einzelnen Stiche durch die wirkenden Längsspannungen miteinander
gekoppelt sind.
Als weiteres Beispiel soll die Auswirkung einer fehlerhaft eingestellten Walzendrehzahl be-
trachtet werden. Im dritten Gerüst wird ein Drehzahlfehler von bis zu +0,5% eingebaut. Das
untere Teilbild B) von Abbildung 4.7/2 zeigt die Reaktion der Längsspannungen, wenn die
Drehzahl im 3. Gerüst zu hoch eingestellt wird. In der Folge wird sich der Zug zwischen F2
und F3, sowie auch F1 und F2 vergrößern, während sich die Zugspannungen zwischen den
weiteren Gerüsten abbauen. Auch in diesem Fall besteht die Gefahr der Schlingenbildung.
98 Kinematik von mehrgerüstigen kontinuierlichen Walzwerken
−0.35
−0.3
−0.25
−0.2
−0.15
−0.1
−0.05
0
0.05
1 2 3 4 5 6
Bez
. Län
gssp
annu
ng σ
1/k f
Stich
A) Auswirkungen der Anstichdicke
h0=34 mmh0=36 mm
h0=38 mmh0=40 mm
h0=42 mmh0=44 mm
−0.12
−0.1
−0.08
−0.06
−0.04
−0.02
0
1 2 3 4 5 6
Bez
. Län
gssp
annu
ng A
ustr
itt σ
1/k f
Stich
B) Auswirkungen eines Drehzahlfehlers im 3. Stich
0%0.1% (+0,09 rpm)
0.2% (+0,18 rpm)0.5% (+0,44 rpm)
Abbildung 4.7/2: Längszugverteilung in der Fertigstaffel eines Warmbandwalzwerks in Abhängigkeitder Vorbanddicke (oben) und Reaktion auf einen Drehzahlfehler (unten)
4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 99
4.8 Mechanische Beanspruchung von Walzen beim Flachwalzen
Die Walzen stehen als Werkzeuge im Walzgerüst unter Lasten durch die auf sie wirkenden
Kräfte und Momente. Die direkte Einwirkung der Druckverteilung des Walzspalts führt sowohl
zu einer Durchbiegung, als auch Querschnittsverformung der Arbeitswalzen.
Die Form der Kontaktfläche im Walzspalt beeinflusst die Spannungsverteilung sehr empfind-
lich.
Allgemein beeinflussen die Deformationen der Walzen das resultierende Dickenprofil des Walz-
produktes. Insbesondere bei breiten Flachprodukten wird außerdem die Planheit des Produktes
durch die Verteilung der Längsformänderung in Querrichtung definiert.
4.8.1 Die Berechnung der Walzenabplattung
Die Querschnittsverformung der Arbeitswalzen verändert die Form des Walzspaltes und übt
somit einen empfindlichen Einfluss auf die Spannungsverteilung im Walzgut aus. Man spricht
auch von einer Abplattung der Arbeitswalzen. Zur Berechnung der abgeplatteten Walzenkontur
im Kontaktbereich der Arbeitswalze mit dem Walzgut stehen prinzipiell mehrere Modelle zur
Verfügung, die von einer einfachen Betrachtung eines abgeplatteten Ersatzwalzenradius bis hin
zur dreidimensionalen Untersuchung des Walzenbelastungsproblems reichen.
4.8.1.1 Modell nach Hitchcock
Das einfachste und bis heute am breitesten eingesetze Modell geht auf Hitchcock [Hit35] zu-
rück. Es gilt für einen ebenen Verzerrungszustand der Walze. Das bedeutet, dass für jede aus
dem Walzenballen herausgeschnittene Scheibe der gleiche Deformationszustand angenommen
wird. Die tatsächlich auf die Arbeitswalze wirkende Spannungsverteilung wird durch eine hal-
belliptische ersetzt, die die gleiche gesamte Kontaktkraft (die Walzkraft) erzeugt. Abbildung
4.8/1 zeigt schematisch diese Spannungsverteilungen im Verhältnis zueinander.
Unter diesen Voraussetzungen bleibt die Kontur der herausgeschnittenen Walzenscheibe im
Kontaktbereich kreisförmig mit einem vergrößerten Walzenradius 0 Dadurch sind die
Modelle der klassischen Walztheorie, die unter der Voraussetzung einer kreisförmigen Walzen-
kontur gelten, weiterhin anwendbar. Aufgrund dieser Tatsache ist das Hitchcock’sche Abplat-
tungsmodell sehr einfach in bestehende Walzmodelle zu integrieren. Nach Hitchcock stellt sich
100 Mechanische Beanspruchung von Walzen beim Flachwalzen
Abbildung 4.8/1: Annäherung einer Spannungsverteilung im Walzspalt durch eine elliptische Ersatz-spannungsverteilung, nach [Cha06]
unter Einwirkung der Walzkraft der abgeplattete Walzenradius 0 gemäß Gl. (4.8/1) ein.
0 =
µ1 +
∆
¶mit =
16 (1− 2 )
(4.8/1)
Der Wert ist nur von den elastischen Eigenschaften des Walzenwerkstoffs abhängig und stellt
ein Maß für die Kontakt-Nachgiebigkeit der Walzenoberfläche dar. Für unterschiedliche Werk-
stoffe ergeben sich Werte gemäß Tabelle 4.8/1.
Walzenwerkstoff Elastizitätsmodul E [GPa] Querdehnzahl Ch10−5 2
Tabelle 4.8/1: Werte für C nach Hitchcock für verschiedene Walzenwerkstoffe
Aufgrund der gegenseitigen Abhängigkeit des abgeplatteten Walzenradius 0 und der Walzkraft
wird die Berechnung beider Größen iterativ durchgeführt. Von einer stabilen Konvergenz
kann bei Abplattungsverhältnissen 0 2 ausgegangen werden. Für größere Verhältnisse
4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 101
von 0 ist das Modell nicht sicher anwendbar, bzw. liefert keine zutreffenden Resultate. In
der Realität ergeben sich für diese Fälle starke Abweichungen von der als kreisbogenförmig an-
genommenen Werkzeugkontur. Je größer die Walzenabplattung wird, umso weiter weicht das
Modell von der Realität ab. Desweiteren ist das Modell auf den ebenen Verzerrungszustand in
den Walzen beschränkt, weshalb für eine präzise Beschreibung der Walzendeformation allge-
meinere Modelle notwendig sind.
4.8.1.2 Beschreibung der Arbeitswalzen als elastische Halbräume
In Anhang B.1 ab S. 297 wird die Berechnung der Abplattung eines elastischen Halbraums un-
ter der Einwirkung einer Lastverteilung beschrieben. Unter Vernachlässigung der Walzenkrüm-
mung kann dieses Modell auf die Walze angewandt werden. Zur Kopplung mit dem Walzmodell
ist die integrale Walzkraft nicht ausreichend, sondern die lokal auf die Walze wirkende Druck-
spannungsverteilung muss berücksichtigt werden.
Abbildung 4.8/2 zeigt schematisch, wie die wirkende Normalspannungsverteilung in einem
Walzprozess die Walzenoberfläche lokal deformiert. Bei hohen Kontaktspannungen, insbeson-
dere beim Kaltwalzen dünner Bänder weicht diese Kontur von der Kreisbogenform ab. Wie
Abbildung 4.8/2 entnommen werden kann, erzeugt die an der Fließscheide wirkende Span-
nungsspitze eine lokale Eindrückung der Walze. Bei sehr starken Deformationsfällen kann sich
eine ausgedehnte Transportzone ausbilden, in der das Walzgut ohne plastische Deformation in
Walzrichtung durch den Walzspalt transportiert wird.
Wie bei Hitchcock beginnt der Rechenablauf mit einer zylindrischen Walze und demzufolge
einer initialen Walzguthöhenverteilung nach Gl. (4.8/2).
0 () ≈ 1 +2
(4.8/2)
Diese Höhenverteilung wird numerisch nach abgeleitet um die Walzspaltsteigungsfunktion
zu finden, die im Walzmodell benötigt wird. Aus der Lösung des Walzmodells ergibt sich
eine erste Spannungsverteilung 1 ().
Für die Deformation der Walzenoberfläche gilt für eine dreieckige Spannungsverteilung (zur
102 Mechanische Beanspruchung von Walzen beim Flachwalzen
Abbildung 4.8/2: NichtzylindrischeWalzenabplattung (übertrieben) mit Auswirkungen auf die gedrückteLänge und die austretende Walzguthöhe durch elastische Rückfederung
4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 103
Herleitung siehe S. 297)
() = −1− 2
2
0
[(+ )2 ln
µ+
¶2+ (4.8/3)
(− )2 ln
µ−
¶2−
22 ln³
´2] +
Die Deformation für eine berechnete Spannungsverteilung wird durch Superposition dieser
dreieckigen Lastverteilungen gefunden.
Aus der Anwendung des oben beschriebenen Modells zur Berechnung der Walzenoberflächen-
deformation ergibt sich eine neue Höhenverteilung 1∗ (). Diese Veränderung der Höhenver-
teilung wird aus Gründen der numerischen Stabilität mit einem Unterrelaxationsfaktor 1
gedämpft. Allgemein gilt für die Höhenverteilung im k-ten Iterationsschritt Gl. (4.8/4).
() = −1 () + (1− )
∗ () (4.8/4)
In Zusammenhang mit der lokalen Walzenabplattung kann bei sehr starken Kontaktdrücken
zwischen Arbeitswalzen und Walzgut der Fall eintreten, dass sich die Walzen lokal so stark de-
formieren, dass in bestimmen Bereichen der Kontaktzone keine plastische Formänderung mehr
in das Walzgut eingeleitet werden kann (→ 0). In diesen Fällen überschreitet die Reibschub-
spannung den Grenzwert der Haftreibung. Die Berücksichtigung dieses Effektes im Walzmo-
dell führt zu einer weiteren Steigerung der Komplexität des Lösungsalgorithmus, so dass bei
extremen Walzbedingungen, wie sie beispielsweise beim Kaltwalzen von Folien auftreten, der
Rechenaufwand sehr hoch ist, vgl. [OM13].
Abbildung 4.8/3 zeigt als Beispiel eine Spannungsverteilung und Walzspaltgeometrie unter Last
für einen anspruchsvollen Folienwalzstich.
Eine vorverfestigte Folie einer Dicke von 0 = 0 022 wird auf eine Fertigdicke von 1 =
0 020 gewalzt. Die Umformung erfolgt in einem Zwanzigwalzengerüst mit einem Arbeits-
walzendurchmesser von = 30. Die mittlere Fließspannung beträgt = 1133 2 . Es
wirkt ein Rückwärtszug von 0 = 250
2 und ein Rückwärtszug von 1 = 350
2 bei einem
Reibwert von = 0 06.
104 Mechanische Beanspruchung von Walzen beim Flachwalzen
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4
Nor
mal
span
nung
[N
/mm
²]
Walzspaltkoordinate x [mm]
E=210000 N/mm2
E=∞
0.0195
0.02
0.0205
0.021
0.0215
0.022
−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4
Wal
zgut
höhe
[m
m]
Walzspaltkoordinate x [mm]
E=210000 N/mm2
E=∞
Abbildung 4.8/3: Spannungsverteilung undWalzendeformation für einen Folienwalzstich. Vergleich zwi-schen ideal starren Walzen und Stahlwalzen
4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 105
Durch die Ausbildung einer elastischen Transportzone wächst in diesen Fällen die Walzkraft
und die Belastung des Walzenwerskstoffs sehr stark an. Dies ist insbesondere im direkten Ver-
gleich zur unverformten Walze ersichtlich. Bildet man einen der gleichen gedrückten Länge
entsprechenden abgeplatteten Walzenradius, dann ergibt sich für den Fall der Stahlwalze ein
Verhältnis von 0 = 23 5.
4.8.1.3 Berechnung der dreidimensionalen Walzendeformation
Um die Ergebnisse der zweidimensionalen Spannungsverteilung im Walzspalt, die durch das
zweidimensionale Walzmodell zur Verfügung gestellt werden für die Berechnung der Walzen-
deformation nutzbar zu machen, ist eine dreidimensionale Behandlung des Walzenbelastungs-
problems notwendig.
Das Problem der dreidimensionalen Verformung der Oberfläche eines elastischen Halbraums
durch extern angreifende Lasten wurde bereits 1885 von Boussinesq [Bou85] behandelt. Die
Herleitung dieser Lösung ist in Anhang B.2 ab S. 300 zusammengestellt. Wendet man diese
Theorie auf die Deformation eines Walzenballens durch eine gegebene zweidimensionale Last-
verteilung an, dann lässt sich die dreidimensionale Deformation der Walze berechnen. Diese ist
nicht mehr an den ebenen Verzerrungszustand der Walze gebunden und kann auch die Effek-
te in der Nähe der Bandkanten beschreiben. Die Übertragung des elastischen Halbraums auf
die Zylindergeometrie der Walze erfolgt mit den von Berger [Ber75] und Hacquin [HMG98]
abgeleiteten Gleichungen.
Ähnlich der im vorausgegangenen Abschnitt beschriebenen Vorgehensweise wird die Walzen-
deformationsrechnung iterativ mit Hilfe sukzessiver Unterrelaxation iterativ an das Walzmodell
gekoppelt. Dabei wird ein Ausschnitt aus der Walzenoberfläche betrachtet, der in axialer Rich-
tung die gesamte Ballenlänge und in tangentialer Richtung eine überschätzte gedrückte Länge
umfasst. Diese Überschätzung des Kontaktbereichs ist notwendig, da zu Beginn der iterativen
Berechnung nicht bekannt ist, wie groß die gedrückte Länge durch Walzenabplattung werden
wird.
Tabelle 4.8/2 zeigt Berechnungsparameter für einen Kaltwalzstich, der mit Walzenabplattung
und Walzendurchbiegung (siehe nächstes Kapitel) berechnet wurde. Abbildung 4.8/4 zeigt die
berechneten Ergebnisse der Spannungsverteilung auf der Walzenoberfläche (oben) und der ra-
dialen Walzenoberflächendeformation (unten).
Die Spannungsverteilung ergibt sich aus dem Zusammenwirken von Walzenabplattung und
106 Mechanische Beanspruchung von Walzen beim Flachwalzen
−15−10−5 0 5 10 15
−600−400
−200 0
200 400
600
0
200
400
600
800
1000
x [mm]
y [mm]
Nor
mal
span
nung
σN
[N
/mm
2 ]
−15−10−5 0 5 10 15
−600−400
−200 0
200 400
600
−0.01 0
0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
x [mm]
y [mm]
Obe
rflä
chen
defo
rmat
ion
u R [
mm
]
Abbildung 4.8/4: Oben: Auf die Walzenoberfläche wirkende Spannungsverteilung; Unten: ResultierendeOberflächendeformation in radialer Richtung
Abbildung 4.11/6: Einstellbare Walzspaltprofile durch Arbeitswalzenrückbiegung (oben) und Auswir-kungen auf die Kontaktkraftverteilung zwischen Arbeits- und Stützwalze (unten)
4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 141
Für die Endlängen eines Streifens und der Bandmitte gilt dann mit den örtlichen Stauch-
und Breitgraden
1 =0
(4.12/3)
1 =0
Im Sinne eines eigenspannungsfreien Zustandes vor dem Walzvorgang sind die Anfangslängen
gleich, 0 = 0 = 0 und damit folgtµ∆
¶
=
µ
− 1¶
(4.12/4)
Der lokale Breitgrad ist eine Funktion des örtlichen Querflusses. Für eine Abschätzung kann
man anstelle der schwierig zu bestimmenden örtlichen Breitung einen empirischen Korrektur-
faktor einführen µ∆
¶
≈
µ− 1¶
(4.12/5)
Üblicherweise werden diese Streckungsunterschiede in I-Units angegeben. Eine I-Unit ent-
spricht einer Längsdehnung von 10 m/m Länge. Damit gilt für die relative Streckung des
Streifens in I-Units
=
µ
− 1¶· 105 (4.12/6)
≈
µ− 1¶· 105
Beim Kaltwalzen liegt in der Größenordnung von ≈ 0 01 [Rie89]. Da linear von
abhängt, führt dieser Parameter eine Niveauverschiebung des Planheitskennwertes durch.
Die qualitative Aussage des Modells bleibt bei freier Wahl von unverändert.
4.12.2 Plastomechanische Modellierung der Planheit
Um die Problematik der Planheitsberechnung einer plastomechanischen Vorgehensweise zu-
gänglich zu machen, kann die Methode der oberen Schranke verwendet werden. Elsen formu-
lierte ein Modell, in dem der Walzvorgang vereinfacht durch einen Flachstauchvorgang ersetzt
wird [Els04]. Die einzelnen Streifen werden als quaderförmige Stauchkörper beschrieben. Die
Wechselwirkung zwischen den einzelnen Streifen wird durch ein gegenseitiges Abscheren an
den Streifenkanten modelliert.
142 Modellierung der Planheit von Flachquerschnitten
Als unbekannter Parameter verbleibt der Breitungsanteil im Modell. Dieser beschreibt die
Dehngeschwindigkeit in Breitenrichtung in Relation zur Dehngeschwindigkeit in vertikaler
Richtung
= −··
(4.12/7)
Für = 0 ergibt sich der breitungsfreie Fall (ebene Umformung in der xz-Ebene). Der umge-
kehrte Sonderfall mit = 1 ist der streckungsfreie Fall (ebene Umformung in der yz-Ebene).
Für die ideelle Umformleistung am Volumen eines Streifens ergibt sich [Els04]
=
Z
· =
2√3
s22−
· +
·2
(4.12/8)
Die Reibleistung, die aufgrund des Oberflächenkontaktes zwischen Streifen und Werkzeug ab-
geführt wird, ist
=
Z
|| (4.12/9)
= √3
3 +
·2
3
6³ · −
´ lnà · − +
·
!
+3
³ · −
´26·
2
ln
à · +
| · − |
!
Mit
=
s·2
2 +
·2
2 −
2·
2
+
22
2(4.12/10)
Neben der Oberflächenreibung wird die Abscherung der einzelnen Streifen untereinander an
4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 143
den Seitenflächen berücksichtigt. Für die Scherleistung gilt
=
Z
|| (4.12/11)
=√
36·
2
[2· 2
s·2
2 +
22
2+
·3
3
3 ln
⎛⎜⎜⎝2 + 3
r·
2 +
2 2
2
· 3
⎞⎟⎟⎠+
3 ln
⎛⎝ · +
q·2
2 + 2
⎞⎠]Ein weiterer Anteil ist die Zugleistung . Durch an den Stirnflächen der Streifen aufgebrachte
Längsspannungen wird die Formänderung in vertikaler Richtung erleichtert. Für gilt
= || · (4.12/12)
Die obere Schranke der Umformleistung ist wie folgt gegeben
∗ = + + − (4.12/13)
Durch numerische Optimierung wird derjenige Breitungsanteil gesucht, der ∗ für die ge-
gebenen Parameter minimiert. Daraus kann aufgrund des vereinfachten Geschwindigkeitsfelds
des Flachstauchvorgangs der Breitgrad des Streifens direkt bestimmt werden
= exp− ln (4.12/14)
Diese Breitungsberechnung wird für alle Streifen durchgeführt. Aus den so bestimmten Breit-
graden und kann die unvereinfachte Version der Gl. (4.12/6) zur Anwendung kommen,
um die Längungsverteilung zu berechnen. Durch unterschiedliche Vorgaben des Haftreibungs-
beiwertes kann das Schrankenmodell sowohl für das Warm-, als auch das Kaltwalzen ange-
wandt werden.
5 Breitung beim Walzen
5.1 Streckungswirksamkeit und freie Formänderungen
Das Walzen ist ein Umformverfahren mit unvollständigem Formzwang, da eine freie Breitung
der Querschnitte stattfindet. Dies wird für das Walzen auf der Flachbahn anhand von Abbildung
5.1/1 verdeutlicht.
Abbildung 5.1/1: Verdrängte und wiedererscheinende Querschnittsansteile an einem rechteckigen Ein-und Austrittsquerschnitt beim Flachwalzen, nach [Mau05]
Der in vertikaler Richtung von den Walzen verdrängte Teil der Querschnittsfläche, die ver-
drängte Fläche fließt nicht vollständig in die Längsrichtung ab, sondern teilweise auch in
Breitenrichtung. Dies führt zur Breitung mit der wiedererscheinenden Fläche am Austritts-
querschnitt. Bei idealisiert rechteckigen Querschnitten gilt für diese Flächen (vgl. Abbildung
5.1/1)
= 0|∆| = 0 (0 − 1) (5.1/1)
= 1|∆| = 1 (1 − 0)
Um diese Verhältnisse in einer einzigen Größe zu erfassen, definiert man die Streckungswirk-
samkeit gemäß
= 1−
(5.1/2)
0 1
146 Ursachen der Breitung und empirische Breitungsgleichungen
Abbildung 5.1/2: Einteilung des Walzspaltes in Zonen zwei- und dreichasiger Formänderung
Wie Hill zeigen konnte, ist eine ganze Klasse von Geschwindigkeitsfeldern kinematisch zuläs-
sig, bei der die Breitungsfunktion () frei formuliert werden kann [Hil63]. Alleine die Bedin-
gung der Divergenzfreiheit des Geschwindigkeitsfeldes,
+
+
= 0 (5.1/3)
führt daher nicht zu einer Lösung für die Berechnung der Breitung.
Abbildung 5.1/2 zeigt schematisch einen Walzspalt für einen breitungsbehafteten Walzstich in
den xz- und xy-Ebenen. Neben der Einteilung in Vor- und Nacheilzonen ist in der xy-Ebene
die Einteilung der Zonen zwei- und dreiachsiger Formänderung zu erkennen. In den Randzo-
nen und 00 0 liegen dreiachsige Formänderungszustände vor; sie sind für die Breitung
verantwortlich. Demgegenüber herrschen in den inneren Zonen 00 (Nacheilzone) und
00 (Voreilzone) ebene Formänderungszustände. Die Linie 0 repräsentiert die Fließ-
scheide im Bereich ebener Formänderung. Die Fließscheide setzt sich in den äußeren Zonen
zur Walzgutkante krummlinig fort (in Abbildung 5.1/2 aus Gründen der Übersichtlichkeit nicht
eingezeichnet).
5.2 Ursachen der Breitung und empirische Breitungsgleichungen
Siebel [Sie31] versuchte die Ursache der Breitung mit der Hilfe von Fließwiderständen zu be-
schreiben. Nach dieser Modellvorstellung tritt der Stofffluss in den Richtungen auf, in denen
ihm die geringsten Fließwiderstände entgegenwirken. Der Quotient der Fließwiderstände in
5 Breitung beim Walzen 147
Breitenrichtung (y) und Längsrichtung (x) hängt wie folgt mit
zusammen
∼
für
1 (5.2/1)
Die von Siebel formulierte Modellvorstellung liefert eine qualitative Erklärung dafür und be-
schreibt eine abnehmende Breitung bei größer werdendem Seitenverhältnis 00
. Eine präzise
quantitative Modellierung der Breitung auf physikalischer Basis ist mit elementaren Methoden
bis heute nicht geglückt.
Statt dessen werden empirische oder empirisch-statistische Breitungsmodelle verwendet. Die-
se können mit einfachen Mitteln für einen bestimmten interessierenden Parameterbereich aus
den Ergebnissen systematischer Walzversuche ermittelt werden, so dass eine schnelle Brei-
tungsberechnung für Walzprozesse möglich wird, wenn die Datenbasis der zugrunge liegenden
experimentellen Ergebnisse alle vorkommenden Parametervariationen abdeckt.
5.3 Einflussfaktoren auf die Breitung
Die Breitung eines Walzvorgangs ist von verschiedenen Einflussparametern abhängig. Dieses
sind die Walzspaltgeometrie, die Reibung, der Walzgutwerkstoff, die Temperatur und die am
Walzspaltein- und austritt wirkenden Längsspannungen.
5.3.1 Geometrische Einflüsse
Die meisten empirischen Breitungsmodelle bewerten nur die geometrischen Parameter, nur we-
nige schließen zusätzlich die Reibung in ihre Betrachtung mit ein. Für die Einflüsse von Werk-
stoff, Temperatur und Längsspannungen auf die Breitung werden zusätzliche Korrekturmodelle
verwendet. Der Einfluss der Geometrie wird über das Walzspaltverhältnis , die bezogene
Höhenänderung und das Seitenverhältnis 00 beschrieben. Allgemein kann für die geome-
trischen Einflüsse auf die Breitenänderung ∆ eines Walzstiches geschrieben werden
∆ = ∆
µ0
0
¶(5.3/1)
5.3.2 Werkstoff- und Temperatureinfluss
Der scheinbare Werkstoff- und Temperatureinfluss auf die Breitung ist indirekt. Er ist auf Ver-
änderungen der Reibung und der Fließspannung des Walzguts in Abhängigkeit dieser beiden
148 Einflussfaktoren auf die Breitung
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
850 900 950 1000 1050 1100 1150
Δb /
Δh
Temperatur [°C]X8Cr17 (1.4016)
X10Cr13 (1.4006)C15 (1.0401)
18CrNi8 (1.5920)X5CrNi18.10 (1.4301)
Abbildung 5.3/1: Temperaturabhängiger Breitungskoeffizient ∆∆ für verschiedene Stähle nach[GG59]
Parameter zurückzuführen. Experimentelle Untersuchungen zum temperaturabhängigen Brei-
tungsverhalten unterschiedlicher Werkstoffe wurden bereits in den 1950er Jahren von Grosse
und Gottwald [GG59] durchgeführt. Um das Breitungsverhalten eines bestimmten Werkstoffs
mit einem Referenzwerkstoff zu vergleichen, führt man einen Breitungsfaktor ein
=∆∆¡
∆∆
¢
(5.3/2)
Nach Messungen liegen signifikante temperatur- und werkstoffbedingte Einflüsse auf das Brei-
tungsverhalten vor, wie Abbildung 5.3/1 am Beispiel für fünf verschiedene Werkstoffe zeigt.
Viele Werkstoffe zeigen bei einer bestimmten Temperatur ein Breitungsmaximum, so auch
die ferritischen Chromstähle X10Cr13 und X8Cr17, sowie der Kohlenstoffstahl C15. Ande-
re Werkstoffgruppen, wie beispielsweise austenitisch-rostfreie Stähle wie X5CrNi18.10 haben
kein Breitungsmaximum und kein ausgeprägt temperaturabhängiges Breitungsverhalten. Der
niedrig legierte Einsatzstahl 18CrNi8 hat ebenfalls kein Breitungsmaximum zwischen 900
und 1120 und gehört zu den wenigen Werkstoffen, die über einen weiten Temperaturbe-
reich eine geringere Breitung als der Referenzwerkstoff C15 aufweisen. Bei Temperaturen über
1050 ist zu beachten, dass aufgrund des bei 1030 auftretenden Breitungsmaximums die
Breitungsneigung von C15 rückläufig ist.
5 Breitung beim Walzen 149
5.3.3 Einfluss von Längsspannungen auf die Breitung
Insbesondere beim Profilwalzen beobachtet man, dass am Walzspalteintritt und Walzspaltaustritt
wirkende Längsspannungen die Breitung beeinflussen. Zugspannungen senken die Breitung,
während Druckspannungen, sofern diese ohne Ausknicken des Walzguts anwendbar sind eine
breitungsfördernde Wirkung haben.
Auf der Basis von Messungen, die von Treis und Nikkilä [Tre68, Nik77] durchgeführt wur-
den, konnten Mauk und Dobler ein Korrekturmodell für die Berücksichtigung der Längsspan-
nungen bei der Breitungsberechnung formulieren [Mau99]. Danach wird die Formänderung
in Längsrichtung eines Stiches in einen längsspannungsunbeeinflussten Umformgrad 0 und
einen längsspannungsbeeinflussten Umformgrad aufgeteilt. Für die Gesamtformänderung
gilt
= 0 + (5.3/3)
0 ist mit der Querschnittsfläche am Walzspalteintritt 0 und der rechnerischen Endquer-
schnittsfläche ohne Längsspannungseinfluss ∗1 wie folgt definiert.
0 = ln0
∗1(5.3/4)
Für die von den Längsspannungen abhängige Zusatzformänderung wird ein statistisches Modell
verwendet. hängt von der Längsspannung an der Eintrittsseite 0 quadratisch, aber von der
Längsspannung an der Austrittsseite 1 linear ab
= 1
µ0
¶2+ 2
µ0
¶+ 3
µ1
¶(5.3/5)
Die Koeffizienten werden wie folgt weiter unterteilt
= 1∆
0+2
0
0+3
für = 13 (5.3/6)
Die Regressionskoeffizienten wurden nach [Mau99] anhand von Messergebnissen gemäß
Tabelle 5.3/1 bestimmt.
5.4 Berechnung des lokalen Breitungsverlaufes im Walzspalt
Während zur Berechnung einfacher integraler Größen die Berechnung der Endbreite ausrei-
chend ist, wird bei der Betrachtung des Geschwindigkeitsfeldes auch der lokale Breitenverlauf
im Walzspalt benötigt.
150 Berechnung des lokalen Breitungsverlaufes im Walzspalt
Beim Vergleich des lokalen Breitgrades zeigt sich, dass das örtliche Breitungsverhalten der ein-
zelnen Modellansätze teilweise deutlich von einander abweicht. Insbesondere die Breitungsglei-
158 Breitungsberechnung mit plastomechanischen Methoden
chungen nach Wusatowski und Marini beschreiben ein mehr oder weniger lineares Anwachsen
der Walzgutbreite in der Nähe der Eintrittsebene, während die Ansätze nach Roux und Domanti
einen S-förmigen Breitungsverlauf beschreiben. Allen Ansätzen ist gemein, dass die Breitungs-
funktion einen weit auslaufenden Verlauf gegen Ende der Umformzone annimmt. Der Vergleich
des Differentials zeigt, dass die Berechnungsmethode nach Domanti die einzige ist, bei
der () einen rückführenden Steigungsverlauf am Ende der Umformzone hat. Bei allen
anderen Methoden ist monoton fallend zu Werten 0.
6 Modelle zumWalzen von Vollquerschnitten
6.1 Einleitung
Wie beim Walzen auf flacher Bahn wird auch beim Profilwalzen der Walzspalt durch den zwi-
schen den Walzen entstehenden Zwischenraum gebildet. Im Unterschied zum Flachwalzen ha-
ben die Walzen keine einfache zylindrische Form, sondern besitzen in die Umformbahnen ein-
geschnittene Kaliber.
Die geometrische Abfolge der Kaliber (auch Kalibrierung genannt) ist von wichtiger Bedeutung
für den Walzprozess. Eine Besonderheit der Walzverfahren für Vollquerschnitte gegenüber den
Flachwalzverfahren ist, dass es beim Walzen von Vollquerschnitten sinnvoll und möglich ist,
mehr als zwei Walzen gleichzeitig am Walzgut angreifen zu lassen. Ein wichtiges Beispiel
dafür ist das Dreiwalzenverfahren, auf dessen Modellierung in einem der folgenden Abschnitte
eingegangen wird.
6.1.1 Warmgewalze Vollquerschnitte
Abbildung 6.1/1 zeigt eine Übersicht über warmgewalzte Profilerzeugnisse, auch Langerzeug-
nisse genannt. Diese werden zunächst in die drei Gruppen Formstahl, Stabstahl und Walzdraht
aufgeteilt. Formstahl oder schwere Profile sind Langerzeugnisse mit einem Metergewicht von
60 kg/m oder mehr. Dazu gehören sowohl Doppel-T-Träger mit verschiedenen Flanschbreiten,
wie auch U-Profile, Grubenausbauprofile und Spezialprofile. Warmgewalzter Stabstahl wird in
Stangenform geliefert und hat Metergewichte von weniger als 60 kg/m. Stabstahl mit vollem
Querschnitt, zu dem die Produkte Rundstahl, Vierkant, Sechskant, Achtkant und Flachstahl
gehören wird von Stabstahl mit profilförmigem Querschnitt unterschieden. Dazu gehören U-
Profile, T-Profile, Winkelprofile, Wulstflachstahl und Spezialprofile als Stabstahl. Eine dritte
Gruppe der warmgewalzten Langerzeugnisse stellt Walzdraht dar, der als Vollquerschnitt re-
gellos zu Ringen aufgewickelt geliefert wird. Dieser wird sowohl mit rundem als auch nicht-
rundem Querschnitt geliefert, wobei Walzdraht mit Rundquerschnitten die weitaus größeren
Erzeugungsmengen ausmacht.
6.1.2 Kaltgewalzte Vollquerschnitte
Das Kaltwalzen von Profilerzeugnissen besitzt im Bereich der Weiterverarbeitung von Walz-
draht eine wichtige Bedeutung, da der Hartstoffverbrauch der Umformwerkzeuge wesentlich
160 Einleitung
Abbildung 6.1/1: Übersicht über warmgewalzte Langerzeugnisse
geringer ist als beim Gleitziehen. Die Werkzeugstandzeit ist daher beim Walzen höher als beim
Gleitziehen. Man kann deshalb davon ausgehen, dass in der Zukunft bei steigenden Hartstoff-
preisen die Walzverfahren in der Weiterverarbeitung an Bedeutung gewinnen werden.
Beim Kaltwalzen von Runddraht wird ein Rundquerschnitt eines bestimmten Durchmessers auf
einen kleineren Durchmesser umgeformt, wobei die in diesem Verfahren erreichbaren kleins-
ten Enddurchmesser deutlich unterhalb eines Millimeters liegen. Mehrgerüstige kontinuierliche
Walzanlagen werden mitunter in mehreren Durchgängen durchlaufen. Zwischenglühungen kön-
nen notwendig sein, um die Duktilität der Werkstoffe nach einem gewissen Umformgrad wieder
herzustellen.
Neben der Stichfolge Rund-Oval-Rund hat beim Kaltwalzen die RCS-Kaliberreihe (Round Cor-
nered Square) eine gewisse Bedeutung, bei der ein rundnaher Querschnitt ohne die Notwendig-
keit von Walzgutführungen produziert werden kann.
6 Modelle zum Walzen von Vollquerschnitten 161
Das Kaltwalzen von Flach- und Profildrähten hat insbesondere bei hochlegierten Werkstoffen
eine Bedeutung. Diese Werkstoffe sind durch eine hohe Anfangsfließspannung und nur geringe
Weiterverfestigung gekennzeichnet, wodurch Durchziehverfahren für ihre Weiterverarbeitung
weniger gut geeignet sind.
6.1.3 Walzziehen von Vollquerschnitten
Das Walzziehen bietet eine Alternative zum Kaltwalzen oder Düsenziehen, indem es die Eigen-
schaften beider Verfahren kombiniert. An die Stelle einer Ziehdüse treten, wie beim Kaltwalzen,
zwei hintereinander angeordnete Walzkaliber. Eine Ziehstufe wird durch zwei Walzziehstiche
ersetzt. Im Gegensatz zum Walzverfahren werden die Walzen nicht angetrieben, sondern die
rotatorische Bewegung der Werkzeuge wird durch Reibschluss mit dem hindurchgezogenen
Draht eingeleitet. Insofern ist das Walzziehen nicht den Druckumformverfahren, sondern wie
auch das Gleitziehen den Zug-Druck-Umformverfahren zuzurechnen.
Wie beim Kaltwalzen sind die Kontaktflächen beim Walzziehen geringer als beim vollumschlie-
ßenden Gleitziehen, was zur Verringerung der Reibleistung beiträgt. Wie später durch Modell-
rechnungen gezeigt werden wird, existiert beim Walzziehen wie beim Walzen eine Fließscheide
im Walzspalt, wodurch die Größe der wirkenden Schubspannungen begrenzt wird.
Beim Gleitziehen steigt dagegen die Reibschubspannung vom Anfang zum Ende der Umform-
zone kontinuierlich an. Aus diesen Bedingungen resultiert, dass die mechanische und thermi-
sche Werkzeugbelastung beim Gleitziehen höher ist als beim Walzziehen, was zu einem schnel-
len Verschleiß der Ziehwerkzeuge und damit einem hohen Verbrauch an kostenintensiven Hart-
stoffen führt. Hier bietet das Walzziehen gegenüber dem Gleitziehen entscheidende wirtschaftli-
che Vorteile. Beim Gleitziehen mit einer vollumschließenden Ziehdüse ist es dagegen einfacher,
enge Toleranzen des Produktes einzuhalten.
6.2 Zielgrößen für Modelle zum Profilwalzen
Die zunächst wichtigste Aufgabe von Modellen für das Profilwalzen ist die Ermittlung einer
Kalibrierung zur Herstellung eines Profils eines definierten Fertigquerschnittes aus einem defi-
nierten Anfangsquerschnitt mit einer bestimmten Anzahl von Walzstichen. Diese Abfolge von
Kalibern definiert die Werkzeuggeometrien des mehrstufigen Umformvorganges, der den An-
fangsquerschnitt schrittweise in den Endquerschnitt überführt. In Abhängigkeit der geometri-
schen Komplexität des zu erzeugenden Profils lassen sich Kalibrierungen in sogenannte regulä-
162 Grundgeometrien für Kaliber zum Profilwalzen
Abbildung 6.2/1: Systematische Einteilung von Kalibrierungen nach [Neu76]. A) Reguläre Kalibrie-rung; B) Einfach irreguläre Kalibrierung; C) Kompliziert irreguläre Kalibrierung
re, einfach-irreguläre und kompliziert-irreguläre Kalibrierungen einteilen [Neu76].
Wie Abbildung 6.2/1 zeigt, besitzen reguläre Kalibrierungen eine über die Profilbreite konstan-
te Höhenänderung und zwei Symmetrieebenen. Bei einfach irregulären Kalibrierungen hat die
Verteilung der Höhenänderung über die Profilbreite mindestens eine Symmetrieebene. Kom-
pliziert irreguläre Kalibrierungen, bei denen das Profil keine ausgeprägten Symmetrien besitzt,
finden bei der Herstellung von Spezialprofilen Anwendung. Abbildung 6.2/2 zeigt die Kalibrie-
rung einer Rillenschiene als Produktbeispiel für ein Formstahlwalzwerk mit hoher geometri-
scher Komplexität.
Im Folgenden werden die einfach-irregulären Kalibrierungen behandelt, die neben den Flach-
walzverfahren (dies sind der obigen Systematik zur Folge reguläre Kalibrierungen) die größte
Anwendungsbreite besitzen.
Neben den Aufgabenstellungen zur Neuauslegung von Kalibrierungen ist die Analyse und Op-
timierung bestehender Walzwerke und ihrer Kalibrierungen ein weiteres wichtiges Themenfeld.
Hierzu werden mathematische Modelle benötigt, welche die im Walzprozess wirkenden Effekte
in hoher Genauigkeit abbilden und bewertende Rückschlüsse zulassen. Dazu zählen Effekte der
elastischen Auffederung der Walzgerüste, Breitungseffekte unterschiedlicher Werkstoffe und
Längsspannungen im Walzgut zwischen den Gerüsten, sowie auch die Entwicklung des Tem-
peraturfeldes im Walzgut während und zwischen den einzelnen Umformschritten.
6.3 Grundgeometrien für Kaliber zum Profilwalzen
Für das Warmwalzen von Vollquerschnitten als Stabstahl und Draht werden unterschiedliche
6 Modelle zum Walzen von Vollquerschnitten 163
Abbildung 6.2/2: Kalibrierung für eine Rillenschiene als Beispiel einer kompliziert-irregulären Kali-brierung, nach [Mau08]
Kaliberreihen verwendet. Abbildung 6.3/1 zeigt beispielhaft die Kalibrierung eines Drahtwalz-
werks, bei der ein vorgewalzter Quadrat-Anstich von 80 mm Seitenlänge (Teilbild A) in 25
Stichen auf einen Rundquerschnitt von 5,5 mm Durchmesser ausgewalzt wird. Dabei wird zu-
nächst eine Raute-Quadrat-Kaliberreihe verwendet (Kaliber B bis I), an die sich Quadrat-Oval
(I bis P) und Rund-Oval-Kaliberreihen (Q bis Z) anschließen.
Abbildung 6.3/1 kann unter Anderem entnommen werden, dass die einzelnen Kaliberreihen aus
einer wechselnden Abfolge von Haupt- und Zwischenkalibern bestehen. So wechseln sich in
den Stichen B bis I ein Zwischenkaliber der Rautenform mit einem Hauptkaliber (Quadrat) ab.
In der folgenden Quadrat-Oval-Kaliberreihe werden als Zwischenkaliber Ovale anstatt Rauten
verwendet. In der finalen Rund-Oval-Rund-Kaliberreihe stellen die Rundkaliber die Haupt- und
die Ovalkaliber die Zwischenkaliber dar.
164 Grundgeometrien für Kaliber zum Profilwalzen
Abbildung 6.3/1: Kalibrierung eines Drahtwalzwerks mit Anstich 80 mm Quadrat auf 5,5 mm Rund.Nach [SP64]
6 Modelle zum Walzen von Vollquerschnitten 165
6.3.1 Kalibergeometrien zum Warmwalzen
In Abhängigkeit des zu erzeugenden Fertigquerschnittes werden unterschiedliche, parametri-
sierte Grundgeometrien zur Gestaltung der Kaliber verwendet. Die wichtigsten zur Herstellung
von Stabstahl und Draht sind die Rund-Oval-Kaliberreihe zur Herstellung von Rundquerschnit-
ten und die Raute-Quadrat-Kaliberreihe zur Herstellung von Quadratquerschnitten. Bei der Ver-
arbeitung quadratischer bzw. rechteckiger Anstichquerschnitte, die direkt aus einem Gießpro-
zess wie dem Stranggießen stammen, werden außerdem Kastenkaliber verwendet.
6.3.1.1 Oval- und Rundkaliber
Für Ovalkaliber gibt es drei übliche Geometrien, bei denen die Hauptrundung durch einen,
zwei oder drei Radien beschrieben wird. Für kleine Rundprofile mit Querschnittsflächen
700 2 werden Einradienovalkaliber verwendet. Ein solches Einradienovalkaliber zeigt Ab-
bildung 6.3/2.
Abbildung 6.3/2: Prinzipskizze eines Einradien-Ovalkalibers mit den bestimmenden geometrischenGrößen Radius R1, Radius R2, Walzspalt s, Höhe h , Breite b
Das Kaliber wird bestimmt durch seine Höhe h , Breite b und den Walzspalt s. Für den
Hauptradius 1 ergibt sich
1 =2 + 24
(6.3/1)
166 Grundgeometrien für Kaliber zum Profilwalzen
Abbildung 6.3/3: Prinzipskizze eines Zweiradien-Ovalkalibers mit den bestimmenden Größen Radien1, 2, 3, Walzspalt , Höhe , Breite
Abbildung 6.3/4: Vergleich von Formvariationen bei Zweiradien-Ovalkalibern
Bei größeren Querschnitten werden Mehrradienovalkaliber verwendet, um die Kantenbereiche
der Ovalprofile sorgfältiger einzuformen, vgl. [Mau08]. Abbildung 6.3/3 zeigt ein Zweiradie-
novalkaliber. Statt eines einzigen Hauptradius 1 werden hier zwei tangential ineinander über-
gehende Radien 1 und 3 verwendet.
Die Kaliberbreite b ergibt sich, indem der Radius 3 verlängert und mit der horizontalen Achse
zum Schnitt gebracht wird. Bei gegebener Kaliberbreite b und Kaliberhöhe h kann das Zwei-
radienovalkaliber durch Wahl des Radius 1 variiert werden. Abbildung 6.3/4 zeigt drei Zwei-
radienovalkaliber mit identischer Höhe und Breite, aber unterschiedlichen Verhältnissen der
Radien 1 und 3.
6 Modelle zum Walzen von Vollquerschnitten 167
Abbildung 6.3/5: Prinzipskizze eines Dreiradienovalkalibers mit den bestimmenden Größen Radien R1,R2, R3, R4, Breite b , Höhe h , Walzspalt s
Eine weitere Annäherung an die Form einer Ellipse ist möglich, indem ein weiterer Radius in
die Kaliberform mit einbezogen wird. Abbildung 6.3/5 zeigt das Dreiradienovalkaliber, das im
Bereich der Profilbildung drei Radien 1, 3 und 4 besitzt.
6.3.1.4 Kaliberformen für das Walzen im Dreiwalzenverfahren
Im Dreiwalzenverfahren werden, ebenso wie im Zweiwalzenverfahren verschiedene Kaliber-
geometrien eingesetzt.
Im Folgenden werden diese Kalibergeometrien mit ihren Konstruktionsprinzipien dargestellt
und Gleichungen zur Beschreibung der Geometrie entwickelt.
Eine wichtige Größe zur Beschreibung dieser Kaliber ist der Radius des Inkreises , der an die
Stelle der Kaliberhöhe der Zweiwalzenkaliber tritt, da er die Druckmaße des gewalzten Profils
bestimmt. Die einfachste Form eines Dreiwalzenkalibers ist das Flachkaliber, bei dem die drei
um jeweils 120 versetzt angeordneten Walzen flache Walzbahnen haben. Dieses Kaliber ist
im linken Teilbild von Abbildung 6.3/11 gezeigt. Um ein Drehen des Profils beim Kontakt mit
dem Kaliber zu behindern, können als Formvariante die Walzbahnen mit dem Radius 3 und
der Bombierung negativ bombiert ausgeführt sein, wie das rechte Teilbild von Abbildung
6.3/11 zeigt. Der Innenradius ist auf dem umschließenden, nicht bombierten Flachkaliber
definiert.
Abbildung 6.3/11: Flachkaliber für das Dreiwalzenverfahren. Links: nicht bombiertes Flachkaliber;Rechts: negativ bombiertes Flachkaliber
Für den Bombierungsradius 3 gilt
3 =42 +
¡2√3− 2¢28
(6.3/5)
Für die Kaliberbreite und die Breite am Walzballen dieser Flachkaliber können Gleichungen
6 Modelle zum Walzen von Vollquerschnitten 173
Abbildung 6.3/12: Nicht aufgeschnittene Kaliber für das Dreiwalzenverfahren. Links: nicht-exzentri-sches Kaliber; Rechts: exzentrisches Kaliber
gemäß Gl. (6.3/6) aus der Geometrie abgeleitet werden.
= 2 (6.3/6)
= 2−√3
2
Diese Breiten haben zwar für die Konstruktion der Kaliber keine wesentliche Bedeutung, der
Vergleich der Profilbreite mit der Kaliberbreite liefert jedoch einen wichtige Kenngröße zur
Beurteilung der Kaliberfüllung.
Um im Dreiwalzenverfahren Rundquerschnitte herstellen zu können, werden weitere Kaliber-
formen benötigt. Die einfachste Form sind nicht aufgeschnittene Kaliber, die in Abbildung
6.3/12 gezeigt werden. Das linke Teilbild zeigt ein nicht exzentrisches und nicht aufgeschnit-
tenes Rundkaliber, bei dem der Kaliberradius 1 dem Inkreisradius entspricht, = 1. Als
Vorkaliber werden exzentrische Kaliber verwendet, bei dem der Kaliberradius größer ist als der
Inkreisradius, 1 , wie das rechte Teilbild von Abbildung 6.3/12 zeigt.
174 Grundgeometrien für Kaliber zum Profilwalzen
Die Gleichungen für die Breiten dieses Kalibertyps sind wie folgt gegeben
=
r21 −
3
4(1 − )2 +
2− 1
2(6.3/7)
=
vuut21 −Ã√
3
2(1 − ) +
2
!2+
2− 1
2(6.3/8)
Für den Sonderfall ohne Exzentrizität mit = 1 vereinfachen sich diese Gleichungen wie
folgt
= 1 (6.3/9)
=
r21 −
2
4
Um dem Walzprozess Reserven für Breitungsschwankungen zur Verfügung stellen, werden wie
im Zweiwalzenverfahren auch im Dreiwalzenverfahren aufgeschnittene Kaliber verwendet. Au-
ßerdem lassen sich durch tangential aufgeschnittene Kaliber bessere Kontaktbedingungen rea-
lisieren.
Das linke Teilbild von Abbildung 6.3/13 zeigt ein tangential aufgeschnittenes Rundkaliber mit
dem Kaliberradius 1. Der Winkel wird zwischen den Verbindungslinien des Kreismittel-
punkts von 1 und den Endpunkten des Kreisbogens gemessen. Eine Variante dieser Kaliber-
form ist im mittleren Teilbild von Abbildung 6.3/13 gezeigt. Dieses sehr weit aufgeschnittene,
bzw. mit einem sehr kleinen Winkel ausgeführte Kaliber wird als Vorkaliber eingesetzt. Um
ähnlich wie beim Zweiwalzenverfahren Kanten des Profils zu vermeiden, die durch Breitung in
den tangentialen Aufschnittsbereich zustande kommen, kann man auch beim Dreiwalzenverfah-
ren ein mit einem zweiten Radius 3 aufgeschnittenes Kaliber verwenden. Dies ist im rechten
Teilbild von Abbildung 6.3/13 gezeigt.
Zur Herleitung der Gleichungen Bestimmung der Kaliberbreiten und der aufgeschnitte-
nen Dreiwalzenkaliber soll zunächst das aufgeschnittene exzentrische Einradienkaliber betrach-
tet werden, Abbildung 6.3/14.
Alle folgenden Definitionen gelten für die rechte der drei Walzen. Der Kreismittelpunkt 1 von
1 fällt nur im Sonderfall eines nicht-exzentrischen Kalibers für = 1 in den Kalibermit-
telpunkt. Allgemein gilt für die Koordinaten von 1
1 =
√3
2(−1) ; 1 =
2− 1
2(6.3/10)
6 Modelle zum Walzen von Vollquerschnitten 175
Abbildung 6.3/13: Nicht exzentrische aufgeschnittene Kaliber für das Dreiwalzenverfahren. Links: Auf-geschnittenes Einradien-Rundkaliber; Mitte: Weit aufgeschnittenes Rundkaliber als Vorkaliber; Rechts:Aufgeschnittenes Zweiradien-Rundkaliber
Abbildung 6.3/16: Gebräuchliche Formen von Round Cornered Square-Kalibern. Links: Form mit gera-dem Kalibergrund; Rechts: Form mit ausgerundetem Kalibergrund. h: Kaliberhöhe; h : Profilhöhe;b: Kaliberbreite; b : Breite des Kalibers in der Walze; R: Kaliberradius; s: Walzspalt; b: Innenbreite
Zur Bestimmung von und können die folgenden quadratischen Gleichungen formuliert
werden, deren Lösungen die gesuchten Kaliberbreiten sind
23 + ( − 3)2 = 23³
3 −
2
´2+ ( − 3)
2 = 23 (6.3/17)
Die Lösungen sind mit den obigen Definitionen
= 3 +q23 − 23 (6.3/18)
= 3 +
r23 −
³3 −
2
´26.3.2 Kalibergeometrien zum Kaltwalzen
Beim Kaltwalzen werden die vom Warmwalzen bekannten Kalibergeometrien für Oval- und
Rundkaliber gleichermaßen verwendet. Darüber hinaus werden RCS-Kaliber (Round Cornered
Square) verwendet. Diese lösen die Notwendigkeit einer sequentiellen Abfolge von Haupt- und
Zwischenkalibern auf und ermöglichen eine Walzung ohne Walzgutführungen, wodurch sowohl
die Kalibrierungssystematik als auch die Handhabung des Walzvorgangs vereinfacht wird.
6 Modelle zum Walzen von Vollquerschnitten 179
Abbildung 6.3/16 zeigt die gebräuchlichen Formen der RCS-Kaliber. Die erste Form mit ge-
radem Kalibergrund (linkes Teilbild) lässt sich als Kastenkaliber konstruieren und erlaubt die
Reduktion eines Querschnittes über eine systematische Stichfolge mit hohen Stichabnahmen.
Zur Produktion eines ziehfähigen Endquerschnitts wird in den letzen Stichen einer solchen
Abfolge üblicherweise mit dem RCS-Kaliber des zweiten Typs (rechtes Teilbild) ein rundna-
her Querschnitt eingeformt. Dieser Fertigquerschnitt kann mit einem oder wenigen Zügen im
Durchziehverfahren auf einen Rundquerschnitt fertig umgeformt werden.
6.4 Berechnung von Profilwalzstichen
Eine allgemeingültige schnelle Walztheorie für das Profilwalzen liegt bis heute nicht vor, da die
Modellierungsansätze für den Walzprozess bisher auf eindimensionale Betrachtungen begrenzt
waren. Lösungen auf Basis der Finite-Elemente-Methode für das Profilwalzen sind aufgrund
der hohen Anforderungen der Rechentechnik nicht immer sinnvoll. Zur Berechnung des Span-
nungsfelds beim Profilwalzen kann der Spannungsgradient in keiner der drei Raumrichtungen
vereinfacht werden. Während für das Flachwalzen technologisch tragfähige vereinfachte Ansät-
ze für den Spannungsverlauf in Walzgutdickenrichtung gemacht werden können, ist dies beim
Profilwalzen nicht möglich. Aus diesem Grund verwendet man Äquivalenzverfahren um einen
Profilstich auf einen äquivalenten Flachstich zurückzuführen. Die beim Profilwalzen besonders
wichtige Berechnung der Breitung erfolgt anhand eines äquivalenten Flachstichs, ebenso wie
die Berechnung des Kraft- und Arbeitsbedarfs. Dazu stehen verschiedene Äquivalenzverfahren
zur Verfügung.
Man unterscheidet generell Berechnungsverfahren, bei denen die Querschnittsflächen des äqui-
valenten Flachstichs mit denjenigen des wahren Profilstichs identisch sind, von denjenigen bei
denen diese Äquivalenz nicht gegeben ist. In den folgenden Abschnitten wird jeweils ein Be-
rechnungsverfahren stellvertretend für jede der beiden Gruppen näher untersucht.
6.4.1 Arbeitender Walzendurchmesser
Zur Berechnung der Endbreite 1 wird bei beiden Äquivalenzverfahren eine der vom Flach-
walzen bekannten Breitungsgleichungen angewandt. Dazu wird ein mittlerer Walzendurchmes-
ser benötigt, da der tatsächliche Walzendurchmesser bei einer nicht-regulären Kalibrierung in
180 Berechnung von Profilwalzstichen
Walzgut-Breitenrichtung veränderlich ist. Der arbeitende Walzendurchmeser folgt gemäß
= + 1 − (6.4/1)
Diese Definition ist von allgemeiner Gültigkeit für das Zwei- und das Dreiwalzenverfahren. Im
speziellen Fall des Zweiwalzenverfahrens gilt für die resultierende Höhe des Umformraums
1 = 0 +∆ (6.4/2)
Für diesen Fall kann für den arbeitenden Walzendurchmesser geschrieben werden
= + 0 +∆ − (6.4/3)
Auf die Besonderheiten zur Berechnung des arbeitenden Walzendurchmessers im Dreiwalzen-
verfahren wird an späterer Stelle eingegangen.
6.4.2 Flächenerhaltende Äquivalenzverfahren
Bei dieser Gruppe von Berechnungsverfahren sind die Querschnittsflächen beim realen Profil-
stich und dem äquivalenten Flachstich gleich. Es gilt
0 = 0 (6.4/4)
1 = 1
Ein wichtiger Vertreter dieser querschnittserhaltenden Äquivalenzverfahren ist das Verfahren
der maximalen Breite. Hier wird eine Mittelung der Ein- und Austrittshöhen vorgenommen, um
einen äquivalenten Flachstich zu ermitteln. Für die äquivalenten Walzguthöhen gilt
0 =0
0(6.4/5)
1 =1
1
Die Breiten 0 und 1 des äquivalenten Flachstiches sind mit den entsprechenden Breiten des
Profilstiches identisch. Da 1 und 1 voneinander abhängig sind, ist eine iterative Vorgehens-
weise erforderlich.
Aus dem Eintrittsprofil lässt sich 0 gemäß Gl. (6.4/5) berechnen. Die Fläche des Aus-
trittsprofils 1 muss im ersten Schritt durch Wahl einer geeigneten Anfangsbedingung für 1
6 Modelle zum Walzen von Vollquerschnitten 181
konstruiert werden. Mit diesem Wert erfolgt die Berechnung von 1. Mit Hilfe dieser beiden
Höhenwerte erfolgt die Breitungsberechnung für den Flachstich. Mit Hilfe der Endbreite 1 wird
die Fläche des Austrittsprofils 1 erneut konstruiert und die Höhe 1 berechnet. Diese Schrit-
te werden wiederholt, bis sich eine Konvergenz der Endbreite 1 einstellt. Da diese Methode
von hoher Nichtlinearität gekennzeichnet ist, ist oft eine Vielzahl von Iterationen erforderlich.
Anhand eines Beispiel für einen Stich Rund in Oval werden die Ergebnisse dieses Verfahrens
aufgezeigt. Der Flächeninhalt eines Einradien-Ovalprofils mit der Breite 1, der Höhe 1 und
des Radius 1 ist [Mau08]
1 = 11 − 211 + 1
r21 −
214+ 221 arcsin
µ1
21
¶(6.4/6)
Für die Höhe 1 des äquivalenten Flachstiches gilt in Kombination mit Gl. (6.4/5)
1 =11 − 211 + 1
q21 − 21
4+ 221 arcsin
³121
´1
(6.4/7)
Für die Einflussparameter der Breitenberechnung des Flachstichs gilt
1 = 0 +∆ (00 1 ) (6.4/8)
Die Breitungsberechnung nach Geuze beschreibt eine Proportionalität der Höhen- und Breiten-
änderung mit dem Proportionalitätsfaktor . Diese einfachste Breitungsgleichung kann nach der
Endhöhe 1 aufgelöst werden
1 = 0 + · (0 − 1) (6.4/9)
0 − 1 − 0
= 1
Durch Gleichsetzen von Gl. (6.4/7) und Gl. (6.4/9) erhält man
0 − 1 − 0
=
11 − 211 + 1
q21 − 21
4+ 221 arcsin
³121
´1
(6.4/10)
Die Lösung 1 von Gl. (6.4/10) ist die gesuchte Endbreite des Ovalprofils. Da die Profilfläche
1 nichtlinear von 1 abhängt, ist eine analytische Lösung nicht möglich. Eine weitere Nichtli-
nearität entsteht, wenn kompliziertere Breitungsgleichungen angewandt werden, die nicht nach
1 aufgelöst werden können. Gl. (6.4/10) muss daher numerisch gelöst werden.
182 Berechnung von Profilwalzstichen
Abbildung 6.4/1: Bestimmung der sich unter direktem Druck befindlichen Querschnittsteile nach Lendl;Links: Eintrittsprofil; Rechts: Austrittsprofil
6.4.3 Nicht-flächenerhaltende Äquivalenzverfahren
Bei den nicht-querschnittserhaltenden Verfahren ist die Äquivalenz der Profil- und Flachquer-
schnitte nicht gegeben. Beim Äquivalenzverfahren nach Lendl [Len48] werden zur Berechnung
des äquivalenten Flachstiches nur die Teilflächen des Ein- und Austrittsprofils verwendet, die
unter direkter Druckwirkung der Walzen stehen. Damit stehen die Profilflächen und Äquiva-
lenzflächen in folgendem Verhältnis
0 0 (6.4/11)
1 1
Abbildung 6.4/1 zeigt die Stichlage eines Ovalstiches mit eintretendem Rundprofil. Das Äqui-
valenzverfahren ist anwendbar, wenn sich insgesamt vier Schnittpunkte ergeben, davon je zwei
auf der Unter- und Oberwalze. Eine wichtige geometrische Größe ist die Schnittpunktsbreite
als der horizontale Abstand dieser Schnittpunkte. Die schraffierten Profilteile sind die Äquiva-
lenzflächen 0 und 1, die bei diesem Berechnungsverfahren auch als Lendlflächen 0
und 1 bezeichnet werden. Die Teilprofilfläche 0 ist die im linken Teilbild schraffierte, von
den Schnittpunkten mit dem Kaliber begrenzte Fläche des Eintrittsprofils. 1 ist die im rech-
ten Teilbild schraffierte entsprechende Teilfläche des Austrittsprofils. Ein zentraler Punkt dieses
Lösungsverfahrens ist, dass die Äquivalenzflächen von der Endbreite des Stiches unabhängig
sind. Die geometrisch bestimmten Querschnittsflächen 0 und 1 werden gemäß Gl. (6.4/12)
6 Modelle zum Walzen von Vollquerschnitten 183
in die Eintritts- und Austrittshöhen des äquivalenten Flachstichs umgerechnet.
0 =0
(6.4/12)
1 =1
Für ein Einradien-Ovalkaliber der Höhe 1 und des Radius 1 mit eintretendem Rundquer-
schnitt des Durchmessers 0 ergeben sich die Flächen 0 und 1 wie folgt [Mau08, Len48]
0 = 0 − 202+
r204− 24+ 2
204arcsin
µ
0
¶(6.4/13)
1 = 1 − 21 +
r21 −
24+ 221 arcsin
µ
21
¶(6.4/14)
Für die Endhöhe des äquivalenten Flachstichs gilt damit
1 =1 − 21 +
q21 − 2
4+ 221 arcsin
³21
´
(6.4/15)
Da diese Gleichung nicht von der Endbreite des Profils 1 abhängig ist, entfällt die Notwen-
digkeit einer iterativen Breitungsberechnung. Die Schnittpunktsbreite lässt sich unmittelbar
aus der Geometrie des Eintrittsprofils und des Kalibers bestimmen. Für den vorliegenden Fall
Rund in Oval gilt
= 2
vuut21 −
Ã11 − 21
4−21
1 − 21
!2(6.4/16)
6.4.4 Vergleich der Berechnungsverfahren
Im Folgenden werden die Ergebnisse der beiden vorgestellten Äquivalenzverfahren verglichen.
Dazu wird eine Kaliberreihe Rund-Oval-Rund mit zwei Hauptkaliberstufen, also vier Stichen
betrachtet. Ein Rundquerschnitt mit 0 = 50 wird auf einen Endquerschnitt von =
32 reduziert. Weitere Daten können Tabelle 6.4/1 entnommen werden.
Der Vergleich der errechneten Profilbreiten, die sich für beide Äquivalenzverfahren ergeben
ist in Abbildung 6.4/2 dargestellt. Die Breitungsberechnung für die äquivalenten Flachstiche
wurde mit der Breitungsgleichung nach Marini durchgeführt.
Weitere Rechenergebnisse können Tabelle 6.4/2 entnommen werden. Beim Äquivalenzverfah-
ren nach Lendl kommt die Schnittpunktsbreite als weiteres Ergebnis hinzu.
184 Berechnung von Profilwalzstichen
Gerüst Kalibertyp d h b R1 sG01 Einradien-Oval 400 mm 32,00 mm 73,3212 mm 50,00 mm 4,0 mmG02 Einradien-Rund 400 mm 40,00 mm 20,00 mm 30 4,0 mmG03 Einradien-Oval 400 mm 25,00 mm 58,0948 mm 40,00 mm 4,0 mmG04 Einradien-Rund 400 mm 32,00 mm 16,00 mm 30 4,0 mm
Tabelle 6.4/1: Kaliberdaten einer viergerüstigen Rund-Oval-Rund Kaliberreihe zum Walzen von 50 mmRund auf 32 mm Rund zum Vergleich zweier Äquivalenzverfahren
Abbildung 6.4/2: Vergleich der errechneten Profilbreiten für die Daten nach Tabelle 6.4/1. Breitungs-berechnung nach Marini.
Nach dem Ofenaustritt des Knüppels von 200x200 mm bei 1100 tritt dieser nach einer Lauf-
strecke von 12 m in einen Zunderwäscher ein. Hier erfolgt ein kurze, schroffe Abkühlung
der Knüppeloberfläche mit sofortiger Wiedererwärmung durch die im Querschnitt gespeicher-
te Energie. Der Knüppel legt weitere 16 m auf einem Isolierrollgang zurück. Dabei tritt ein
partieller Temperaturausgleich ein, die Oberflächentemperatur nähert sich der Kerntemperatur
an. Für einen vollständigen Ausgleich ist die Länge des Rollgangs jedoch zu gering bzw. die
Geschwindigkeit zu hoch.
194 Thermisches Modell für Rundquerschnitte
In der sechsgerüstigen Vorstraße wird der Querschnitt auf eine Abmessung von 110 mm Rund
ausgewalzt. Dieser Querschnitt verlässt das sechste Gerüst mit einer Geschwindigkeit von 2,0
m/s auf den freien Auslauf von 55 m Länge. Nutzt man diese Länge zu 90% aus, ist ein Knüp-
pelgewicht von 3550 kg möglich.
Der Anstich in der Zwischenstraße erfolgt mit einer Geschwindigkeit, so dass beim Endquer-
schnitt von 20 mm Rund eine Geschwindigkeit von 10 m/s erreicht wird. Dies entspricht einer
Produktionsleistung von 85 t/h bei endloser Walzung.
Die Kühlstrecke vor der Fertigstaffel dient der Einstellung einer homogenen Temperaturvertei-
lung für die Fertigwalzung, die bei Temperaturen nicht wesentlich über 900 erfolgt.
Dieses Beispiel zeigt, dass mit Hilfe des hier ermittelten Modells ein optimales Anlagenlayout
gefunden werden kann. Auch können Optimierungspotentiale in bestehenden Anlagenkonfigu-
rationen untersucht werden.
6 Modelle zum Walzen von Vollquerschnitten 195
6.7 Walzmodell für das Dreiwalzenverfahren
Das Dreiwalzenverfahren zur Herstellung von Vollquerschnitten ist historisch aus dem Streckre-
duzierwalzen von Rohren entstanden, bei dem schon in den 1950er Jahren Dreiwalzensysteme
eingesetzt wurden. Insofern sind in die Entwicklung des Dreiwalzenprozesses auch Erfahrun-
gen aus dem Rohrwalzen eingeflossen, wenn auch das Dreiwalzenverfahren für Vollquerschnitte
heute eine eigenständige Technologie darstellt.
Beim Dreiwalzenverfahren wird der Umformraum nicht durch zwei Walzen mit parallelen Ach-
sen, sondern durch drei jeweils um einen Winkel von 120 versetzt angeordnete Walzen ge-
bildet. Durch diese Form der Walzenanordnung ergeben sich viele Vorteile, insbesondere ist
im Gegensatz zum Zweiwalzenverfahren eine konzentrische Walzspaltanstellung möglich. Dies
führt auch dazu, dass moderne Kalibrierungssysteme zur Herstellung von Rundprofilen in sehr
engen Toleranzgrenzen bzw. einer breiten Abmessungspalette (sog. Free-Size-Rolling bzw. Si-
zing) einfacher implementiert werden können als im klassischen Zweiwalzenverfahren. Der
durch die Beteiligung von drei Walzen am Umformvorgang im Vergleich zum Zweiwalzenver-
fahren höhere Kontaktanteil am Profilumfang wirkt sich positiv auf die Streckungswirksamkeit
des Walzprozesses aus und bringt somit gewisse Vorteile für die Kalibrierungs- und Stichplan-
gestaltung mit sich.
Obwohl das Dreiwalzenverfahren bereits seit langer Zeit industriell etabliert ist, liegt noch kein
mechanisches Walzmodell für das Dreiwalzenverfahren vor.
Ein solches Modell soll in den folgenden Abschnitten entwickelt werden.
Zunächst werden die geometrischen Grundlagen für Flachstiche im Dreiwalzenverfahren einge-
führt, bevor auf die Berechnung des Spannungsfelds, der Breitung und des äquivalenten Flach-
stichs eingegangen wird.
6.7.1 Geometrie des Walzspalts
Im einfachsten Fall sind die Walzscheiben nicht kalibriert, sondern haben flache Walzbahnen.
Diese Geometrie ist in Abbildung 6.7/1 gezeigt.
Das für diesen Fall charakteristische aus dem Walzspalt austretende Profil ist ein Sechseck.
Dieses Sechseck ist die Grundform des Dreiwalzenverfahrens und korrespondiert direkt mit der
Grundform des Zweiwalzenverfahrens, dem rechteckigen Flachquerschnitt.
196 Walzmodell für das Dreiwalzenverfahren
Abbildung 6.7/1: Geometrische Bezeichnungen am Dreiwalzen-Flachstich
Abbildung 6.7/1 zeigt die im Folgenden verwendeten geometrischen Bezeichnungen eines Flach-
stich. Die Breite und Höhe werden jeweils vom Querschnittsmittelpunkt aus bis zur jeweili-
gen äußeren Körperabmessung (Druck oder Teilung) gemessen und haben einen theoretischen
Charakter, da diese Abmessungen nicht am Profil direkt gemessen werden können.
Diese Definition wurde gewählt, da keine geradlinige Messung zwischen zwei Walzen- oder
zwei Breitungsflächen möglich ist. Bei dieser Form der Werkzeuganordnung liegen sich stets
eine Walzen- und eine Breitungsfläche gegenüber. Die Querschnittsfläche eines solchen unre-
gelmäßigen Sechseckprofils kann mit diesen Größen wie folgt angegeben werden
=√3¡4− 2 − 2
¢(6.7/1)
Bei dieser Definition ist zu beachten, dass die Querschnittsbreite nicht der Kontaktbreite ent-
spricht. Im Dreiwalzenverfahren muss daher zusätzlich zur Querschnittsbreite die Kontakt-
breite definiert werden
=2√3(2− ) (6.7/2)
Diese Kontaktbreite beschreibt, welcher Anteil des Profils im Kontakt mit den Walzen ist und
ist daher auch von besonderer Wichtigkeit zur Berechnung des Kraft- und Arbeitsbedarfs und
der Breitung.
Das rechte Teilbild von Abbildung 6.7/1 zeigt die Umformzone im Schnitt in der xz-Ebene. Das
Walzgut tritt mit der Geschwindigkeit 0, der Höhe 0 und der Breite 0 in den Walzspalt ein.
6 Modelle zum Walzen von Vollquerschnitten 197
Nach der Umformung verlässt es den Walzspalt mit der Endhöhe 1, der Endbreite 1 und der
Geschwindigkeit 1. Die gedrückte Länge gibt die Länge der Umformzone als Projektion auf
die x-Achse an, während der Greifwinkel durch die Größe 0 gegeben ist. Für diese geometri-
schen Größen gelten folgende Gleichungen, die sich aufgrund der unterschiedlichen Definition
der Höhen und Breiten von den entsprechenden Definitionen des Zweiwalzenverfahrens unter-
scheiden.
=√2∆−∆2 (6.7/3)
cos (0) = 1− ∆
(6.7/4)
Der Verlauf der Walzguthöhe im Walzspalt ist in Abhängigkeit vom Winkel
() = 1 + (1− cos) (6.7/5)
Eine Näherung ist
() ≈ 1 +2
2(6.7/6)
Der Winkel kann wie folgt ausgedrückt werden
tan =
(6.7/7)
Das Verhältnis der von einer Walze gedrückten Fläche zur mittleren Profilfläche wird auch als
Walzspaltverhältnis bezeichnet. Dies ist auch im Dreiwalzenverfahren eine wichtige Größe zur
Charakterisierung der Umformzone und lässt sich allgemein wie folgt definieren
=
Z0
()
1
Z0
()
(6.7/8)
6.7.2 Berechnung von Formänderungen
Der in einem Stich erreichte Streckgrad ist wie folgt durch die Definition der Profilflächen
gegeben
=0
1=400 − 20 − 20411 − 21 − 21
(6.7/9)
198 Walzmodell für das Dreiwalzenverfahren
Im Unterschied zum Flachstich im Zweiwalzenverfahren ist das Dreiwalzen-Flachprofil kein
Parallelepiped. Man kann hier durchaus einen Breit- und Stauchgrad definieren,
=1
0(6.7/10)
=1
0
jedoch gilt nicht die Volumenkonstanz in der einfach Form. Mit den obigen Definitionen gilt
6= 1 (6.7/11)
Der Streckgrad lässt sich beim Dreiwalzenverfahren nicht linear in den Stauchgrad und Breit-
grad zerlegen. Der Umformgrad in Längsrichtung ist
= ln
µ0
1
¶(6.7/12)
Die Umformgeschwindigkeit im Dreiwalzenverfahren lässt sich wie folgt angeben
· () = −
()
0· ()2 ()
·
(6.7/13)
6.7.3 Berechnung des Spannungsfelds
Das im Folgenden formulierte mathematische Modell zur Berechnung des Spannungsfeldes
überträgt die Betrachtungen des Streifenmodells auf das Dreiwalzenverfahren, vgl. [vK25]. Die
Annahmen des Modells sind• Der Werkstofffluss wird zwischen drei rotierenden Werkzeugbahnen, den Walzen geführt
• Hexagonale Querschnitte bleiben hexagonal und verwölben sich nicht
• Alle Größen sind auf einem Querschnitt jeweils konstant und verändern sich nur beim Durch-schreiten des Walzspaltes in x-Richtung (normal zum Querschnitt)
• Breitung wird mit Hilfe von Breitungsgleichungen berücksichtigt
In Anlehnung an das Streifenmodell wird ein sechseckiges Volumenelement, das Hexagonele-
ment eingeführt, welches nur in x-Richtung infinitesimal ist und in allen anderen Richtungen
endliche Abmessungen hat. Das vom Streifenelement bekannte Kräftegleichgewicht kann sys-
tematisch auf das Hexagonelement übertragen werden. Abbildung 6.7/2 zeigt die Zerlegung der
von den Walzen in Richtung des Walzgutmittelpunktes wirkenden Druckkräfte in die kartesi-
schen Lateral- und Vertikalkomponenten.
6 Modelle zum Walzen von Vollquerschnitten 199
Abbildung 6.7/2: Einflussbereiche I,II,III der Walzen und Zerlegung der auf die Walzenflächen wirken-den Kräfte
Der Walzgutquerschnitt wird in drei gleich große Teilflächen I,II,III zerlegt. Jede dieser Teilflä-
chen steht unter direkter Druckwirkung einer der Walzen. Für die von der horizontalen Walze 1
ausgehenden Spannungen gilt
1 = cos± sin
1 = 0 (6.7/14)
An den Walzen 2 und 3 gilt
2 = 3 =
√3
2( cos± sin) (6.7/15)
2 = 3 =1
2( cos± sin)
Um die Fließbedingung für den gesamten Querschnitt formulieren zu können, wird eine arith-
metische Mittelung über die drei gleich großen Querschnittsteile durchgeführt.
200 Walzmodell für das Dreiwalzenverfahren
Abbildung 6.7/3: Wirkung innerer Druckspannungen im Dreiwalzenstich in den Profilteilen I, II und III
Bis hier sind die im Querschnittsinneren wirkenden Normalspannungen unberücksichtigt ge-
blieben. Insgesamt gilt für die mittleren Lateral- und Vertikalspannungen
=1√3( cos± sin) + inn (6.7/16)
=2
3( cos± sin) + inn
Die inneren Spannungskomponenten inn und ,inn sind die Komponenten der wirkenden in-
neren Druckspannung inn, siehe auch Abbildung 6.7/3. inn entspricht der Lateralspannung im
Streifenmodell, die dort auf Basis der Annahme ebener Formänderung als mittlere Hauptnor-
malspannung eliminiert wird.
Diese Betrachtung wird zunächst auf die horizontale Walze übertragen und danach auf die an-
deren Walzen angewandt. inn ist am Profilrand gleich Null. Für den von der horizontalen
Walze beeinflussten Profilteil I soll über den Teilquerschnitt gemittelt gelten
innI =1
4( + cos± sin) (6.7/17)
innI = 0
6 Modelle zum Walzen von Vollquerschnitten 201
Durch Drehung der Koordinatenachsen folgen für die Profilteile II und III die Gleichungen
innII = innIII =1
2innI =
1
8( + cos± sin) (6.7/18)
innIII = innIII =
√3
2innI =
√3
8( + cos± sin)
Für die mittleren inneren Spannungen auf dem Gesamtquerschnitt wird eine arithmetische Mit-
telung durchgeführt
inn =innI + innII + innIII
3
=1
6( + cos± sin) (6.7/19)
inn =innI + innII + innIII
3
=
√3
12( + cos± sin) (6.7/20)
Für die mittleren Vertikal- und Lateralspannungen gilt auf Basis von Gl. (6.7/16)
=
6+
µ1√3+1
6
¶( cos± sin)
=
√312
+
Ã2
3+
√3
12
!( cos± sin) (6.7/21)
Für die Fließbedingung nach Tresca gilt
= I − III (6.7/22)
Die Hauptnormalspannungen I II III sind in Gl. (6.7/22) ihrer Größe nach absteigend sor-
tiert. Vereinfachend werden als Hauptnormalspannungen angesehen. und lie-
gen in der gleichen Größenordnung. In den meisten Fällen ist . Damit folgt für die
Sortierung der Hauptnormalspannungen
I = =
√312
+
Ã2
3+
√3
12
!( cos± sin) (6.7/23)
II = =
6+
µ1√3+1
6
¶( cos± sin)
III =
202 Walzmodell für das Dreiwalzenverfahren
Abbildung 6.7/4: A) Am Hexagonelement angreifende Kräfte; B) Zerlegung der an der Belastungskantewirkenden Kräfte in der Voreilzone; C) Zerlegung in der Nacheilzone
Die Fließbedingung ist in der folgenden Form gültig
=
Ã2
3+
√3
12
!( cos± sin)−
Ã1−√3
12
!(6.7/24)
Durch Auflösen von Gl. (6.7/24) gilt für
= +
³1−
√312
´³23+√312
´cos
∓ tan () (6.7/25)
Für die Horizontalspannung gilt
=23+√312
1−√312
( cos± sin)−
1−√312
(6.7/26)
Um die Differentialgleichung des Walzspaltes für das Dreiwalzenverfahren zu entwickeln, wird
das Gleichgewicht am Hexagonelement betrachtet, Abbildung 6.7/4.
Die Abbildung 6.7/4 zeigt die am Hexagon in der xz-Ebene angreifenden Kräfte. Für das am
Profilquerschnitt angreifende Horizontalkraftinkrement gilt
= −− (−) + (6.7/27)
6 Modelle zum Walzen von Vollquerschnitten 203
Die Anteile der Normal- und Schubspannungen werden getrennt für die horizontale und die ge-
neigten Walzen betrachtet. Für die Horizontalkomponenten der Normal- und Schubkraftanteile
der horizontalen Walze gilt
1 = sin (6.7/28)
1 = ± cos
Für die Normal- und Schubkraftanteile der geneigten Walzen muss der Neigungswinkel der
angreifenden Kräfte von 30 berücksichtigt werden, vgl. Abbildung 6.7/2. Mit sin (30) = 12
ergibt sich
2 =1
2 sin() (6.7/29)
2 = ±12 cos()
Damit kann das komplette Kräftegleichgewicht in horizontaler Richtung wie folgt geschrieben
werden
+ 1 + 1 + 2 (2 + 2) = 0
−− (−) + 2 sin() ± 2 cos() + = 0
Daraus ergibt sich die folgende gewöhnliche Differentialgleichung für den Horizontalkraftgra-
dienten in horizontaler Richtung
()
= 2 ( tan± ) (6.7/30)
Diese Gleichung ist prinzipiell mit der von Karman’schen Differentialgleichung für das Zwei-
walzenverfahren identisch. Der einzige Unterschied besteht in der Berücksichtigung der Quer-
schnittsfläche mit der Kontaktbreite , die nicht als konstant aus der Gleichung gekürzt
wurde.
Bei Gleitreibung mit = ergibt sich
()
= 2 (tan± ) (6.7/31)
Die Fließbedingung für gilt bei Gleitreibung mit
204 Walzmodell für das Dreiwalzenverfahren
= +
³1−
√312
´³23+√312
´(1± tan) cos
(6.7/32)
Für die Entwicklung der Horizontalkraft gilt mit = und Gl. (6.7/32)
= 2
+
³1−
√312
´(tan± )³
23+√312
´(1± tan) cos
(6.7/33)
Der Winkel kann eliminiert werden, da die folgenden Relationen gültig sind
sin =
(6.7/34)
cos =1q
1 +¡
¢2tan =
Damit ergibt sich bei Gleitreibung die folgende gewöhnliche Differentialgleichung für die Ho-
rizontalkraft
= 2
+
³1−
√312
´ ¡±
¢³23+√312
´ ¡1±
¢1
1+( )2
(6.7/35)
Bei Haftreibung mit = √3
ergibt sich die Fließbedingung für zu
= +
³1−
√312
´³23+√312
´cos
∓√3tan () (6.7/36)
Für die Horizontalkraft bei Haftreibung gilt damit Gl. (6.7/37).
= 2
⎡⎣⎛⎝ +
³1−
√312
´³23+√312
´cos
∓√3tan ()
⎞⎠ tan ()±√3
⎤⎦ (6.7/37)
Durch numerische Lösung von Gl. (6.7/35) bzw. Gl. (6.7/37) folgt der Verlauf der Horizontal-
kraft im Walzspalt. Zur Bestimmung der Walzkraft muss diese gemäß der Fließbedingung in
die Normalspannung umgerechnet werden.
6 Modelle zum Walzen von Vollquerschnitten 205
Wie sich den obigen Gleichungen entnehmen lässt, ist die Kenntnis der örtlichen Querschnitts-
fläche () und der örtlichen Kontaktbreite () erforderlich, um die Spannungsverteilung
zu berechnen. Für den an der Stelle vorliegenden Profilquerschnitt () gilt
() =√3¡4 ()()− ()2 − ()2
¢(6.7/38)
Für die örtliche Kontaktbreite gilt aus der Geometrie
() = 2
à ()
√3
2−µ ()− ()
2
¶1√3
!(6.7/39)
Ist das Spannungsfeld bekannt, so erfolgt die Berechnung der Walzkraft durch Integration unter
Berücksichtigung der lokalen Breitung gemäß
=
Z0
() () (6.7/40)
Der mittlere Umformwiderstand ergibt sich genau wie beim Zweiwalzenverfahren zu
=
(6.7/41)
mit der gedrückten Fläche
=
Z0
() · (6.7/42)
Dementsprechend lässt sich auch hier ein Umformwirkungsgrad definieren.
=
(6.7/43)
Die Berechnung des Drehmomentes an einer Walze erfolgt durch Integration der in der Kon-
taktfläche wirkenden Schubspannungen nach
=
⎛⎝ Z
() () −Z0
() ()
⎞⎠ (6.7/44)
Die Antriebsleistung eines Dreiwalzengerüstes ergibt sich aus den Summenleistungen der drei
Walzen.
=3
(6.7/45)
206 Walzmodell für das Dreiwalzenverfahren
6.7.4 Äquivalenzverfahren
Die vom Zweiwalzenverfahren bekannte Vorgehensweise der Umrechnung eines Profilstiches
auf einen äquivalenten Flachstich zur Berechnung der Breitung und der Kräfteverteilung wird
beim Dreiwalzenverfahren beibehalten. Das Äquivalenzverfahren nach Lendl für den Zweiwal-
zenprozess kann mit geringen Anpassungen auch auf den Walzprozess im Dreiwalzenverfahren
angewandt werden. Abbildung 6.7/5 zeigt die Geometrie eines Walzstichs im Dreiwalzenver-
fahren für ein Vorprofil.
Abbildung 6.7/5: Äquivalenzflächen an einem Profilstich im Dreiwalzenverfahren
Die Äquivalenzfläche des in den Umformprozess eintretenden Profils wird mit 0bezeichnet,
während die Äquivalenzfläche des Kalibers mit 1bezeichnet wird. Diese Flächen werden
numerisch-geometrisch aus den Geometrien des eintretenden Profils und des Kalibers bestimmt.
Außerdem wird die Schnittpunktsbreite graphisch aus der Geometrie des Profils und des
Kalibers bestimmt. Um die Äquivalenzhöhen 0 und 1 zu bestimmen, werden die Durch-
dringungsflächen 0 und 1 mit Flächeninhalten von Fünfecken mit dem Basiswinkel 120
verglichen. Diese Flächen entsprechen den Äquivalenzflächen für einen Flachstich (Sechseck
zu Sechseck) Damit ergibt sich für die äquivalenten Ein- und Austrittshöhen des Profilstichs
6 Modelle zum Walzen von Vollquerschnitten 207
Abbildung 6.7/6: Bildung des Umformraums im Dreiwalzenverfahren durch charakteristische Anord-nung der Walzscheiben mit Walzspalt Null. Links: Flache Walzbahnen; Rechts: Kalibrierte Walzschei-ben
0 =03+
2
√3
12
(6.7/46)
1 =13+
2
√3
12
(6.7/47)
Zur Komplettierung des Äquivalenzverfahrens ist die Berechnung des arbeitenden Walzen-
durchmessers erforderlich.
Um die Berechnung des arbeitenden Walzendurchmessers auf das Dreiwalzenverfahren übertra-
gen zu können, muss zwischen dem Walzspalt und der Höhe des Umformraums unterschieden
werden. Der Walzspalt ist der Zwischenraum, der sich außerhalb der Kontaktzone zwischen
den unbelasteten Walzballen einstellt, während der Umformraum der zwischen den belasteten
Walzballen entstehende Zwischenraum ist, in dem die Umformung stattfindet.
Im Zweiwalzenverfahren sind bei einem Flachstich beide Begriffe identisch, da beide Walzbal-
len parallel zueinander sind. Dies ist beim Dreiwalzenverfahren aufgrund der Walzenanordnung
und der damit erforderlichen Neigung der Walzballenflanken nicht der Fall
Abbildung 6.7/6 illustriert diesen Unterschied und zeigt, wie die drei Walzscheiben innerhalb
eines Dreiwalzengerüstes angeordnet werden. In der hier gewählten Darstellung ist der Walz-
spalt = 0. Demnach berühren sich die unbelasteten Walzen ohne Zwischenraum im Bereich
208 Walzmodell für das Dreiwalzenverfahren
der Walzspalte. Trotzdem bildet sich ein dreieckiger Umformraum endlicher Größe, der teil-
weise vom Walzgut ausgefüllt werden kann.
An der Walzscheibe können unterschiedliche Durchmesser definiert werden, wie Abbildung
6.7/7 zeigt.
Der definierte Nenndurchmesser ist eine fiktive Abmessung, die an keiner Walzscheibe exis-
tiert. Er liefert eine Referenzgröße für den Durchmesser eines Walzenrohlings, der unabhängig
von dem in die Walzscheibe eingeschnittenen Kaliber ist.
Der Walzendurchmesser im Kalibergrund ist der kleinste an der Walze vorhandene Durch-
messer. Er definiert im Zusammenspiel aller drei Walzen den Innenradius des Kalibers. Der
Ballendurchmesser ist der größte an der Walzscheibe messbare Durchmesser und spielt eine
Rolle bei der Berechnung des arbeitenden Walzendurchmessers da er dem Ballendurchmesser
einer Flachwalze entspricht, wenn man die Systematik des Zweiwalzenverfahrens auf das Drei-
walzenverfahren anwendet. Der einzige Unterschied besteht darin, dass dieser Ballendurchmes-
ser beim Dreiwalzenverfahren nicht außerhalb des Kontaktbereichs beibehalten werden kann,
da die Walzspalte dort abgeschrägt ausgeführt werden müssen.
Abbildung 6.7/8 zeigt die Berechnung des arbeitenden Walzendurchmessers bei einem Profil-
stich mit einem vorliegenden Walzspalt 0 Ausgehend vom Ballendurchmesser erfolgt
die Berechnung des arbeitenden Walzendurchmessers gemäß
= + 1 − 1 (6.7/48)
Für den Fall einer unkalibrierten Flachbahn-Walzscheibe gilt
1 = 1 (6.7/49)
⇒ =
Es ist zu beachten, dass 1 und 1 unter Berücksichtigung weiterer höhenbeeinflussender
Effekte wie Walzspaltanstellung und Gerüstauffederung bestimmt werden.
Insgesamt liegt mit dem oben beschriebenen Äquivalenzverfahren eine Methode vor, die die
Übertragung eines Dreiwalzen-Profilstiches auf einen Flachstich ermöglicht. Dieser Flachstich
wird zur Berechnung der Breitung verwendet.
Das hier angewandte Äquivalenzverfahren nach Lendl ist nicht flächenerhaltend, das heißt
0 6= 0 und 1 6= 1, da bei der Berechnung der Äquivalenzhöhen 0 und 1 nur diejeni-
gen Teile der Profilflächen berücksichtigt werden, die unter direkter Druckwirkung der Walzen
6 Modelle zum Walzen von Vollquerschnitten 209
Abbildung 6.7/7: Wichtige Durchmesser als Walzscheiben für das Dreiwalzenverfahren. Links: Ka-librierte Walzscheibe; Rechts: Flachbahn. :Kabliergrunddurchmesser; :Ballendurchmesser; :Nenndurchmesser
210 Walzmodell für das Dreiwalzenverfahren
Abbildung 6.7/8: Zur Berechnung des arbeitenden Walzendurchmessers beim Dreiwalzenverfahren
stehen. Diese Betrachtungsweise ist zur Breitungsberechnung ausreichend, allerdings kommt es
bei Berechnungen der Kinematik und es Kraft- und Arbeitsbedarfes darauf an, die Volumenkon-
stanz genau zu erfüllen. Aus diesem Grund wird mit bekannter Endbreite ein anderer, flächen-
und breitenerhaltender äquivalenter Flachstich maximaler Breite eingeführt. Dieser entspricht
einem Flachstich, bei dem die Profilflächen 0 und 1 erhalten bleiben. Für die äquivalenten
Profilhöhen am Walzspalteintritt und Austritt gilt:
0 =1√3
µ2√30 −
q920 −
√30
¶(6.7/50)
1 =1√3
µ2√31 −
q921 −
√31
¶(6.7/51)
6.7.5 Breitungsberechnung und Streckungswirksamkeit
Die Frage der Breitungsberechnung stellt sich im Dreiwalzenverfahren ebenso wie im Zwei-
walzenverfahren. Da für das Dreiwalzenverfahren keine umfangreichen experimentellen Daten
6 Modelle zum Walzen von Vollquerschnitten 211
zur Breitung vorliegen, muss eine Methode gefunden werden, die zum Zweiwalzenverfahren
bekannten Daten auf das Dreiwalzenverfahren zu übertragen.
Ein zentraler Punkt ist, dass die durch die Walzen direkt hervorgerufene Querschnittsverdrän-
gung in Profil-Höhenrichtung auf zwei bzw. drei Walzen verteilt wird.
Abbildung 6.7/9: Vergleich geometrischer Größen der Breiten- und Höhenformänderung; A) Dreiwal-zenverfahren; B) Zweiwalzenverfahren
Abbildung 6.7/9 zeigt die Höhen- und Breitengeometrie von Flachstichen im Zwei- und Drei-
walzenverfahren. Die Höhen und Breiten und sind beim Zweiwalzenverfahren als absolute
Abmessungsänderungen zu verstehen, beim Dreiwalzenverfahren aber jeweils als Beitrag einer
einzigen Walze, vgl. Abbildung 6.7/1. Für die je Walze eingebrachte Höhenänderung gilt bei
den beiden Verfahren
∆02 =∆
2(6.7/52)
∆03 = ∆
Im Zweiwalzenverfahren berechnet sich die halbe Breitenänderung, also die Breitenänderung
in jedem der beiden Walzspalte in Abhängigkeit mehrerer Parameter (je nach verwendeter Brei-
tungsgleichung) zu
∆2
2= ∆0 =
1
2∆
µ0∆
0
0
¶(6.7/53)
Überträgt man diese Betrachtung auf das Dreiwalzenverfahren, so ergibt sich mit den einge-
212 Walzmodell für das Dreiwalzenverfahren
führten Definitionen für den Breitungsbeitrag jedes Walzspaltes
∆3 = ∆0 =1
3∆
µ20 2∆
0
0
¶(6.7/54)
Zur Berechnung der Streckungswirksamkeit bei allen Walzverfahren unterscheidet man im Ein-
klang mit Abbildung 6.7/9 die verdrängte Fläche , die wiedererscheinende Fläche und
eine unbeeinflusste Kern- oder Innenfläche (nicht schraffierter innerer Profilbereich in Ab-
bildung 6.7/9). Allgemein gilt für die Flächeninhalte der ein- und austretenden Profile 0 und
1
0 = + (6.7/55)
1 = +
Der Flächeninhalt ist die Fläche eines Walzprofils mit der Breite 0 und der Höhe 1
= (1 0) (6.7/56)
Die Streckungswirksamkeit ist die auf die verdrängte Fläche bezogene Differenz der wiederer-
scheinenden und verdrängten Flächen
= −
= 1−
Im Zweiwalzenverfahren gilt damit für die Streckungswirksamkeit
= 1−
= 1− ∆ 0
∆ 1(6.7/57)
Im Dreiwalzenverfahren ergeben sich die verdrängten und wiedererscheinenden Flächen wie
folgt
= (40 − 0 − 1)√3∆ (6.7/58)
= (41 − 0 − 1)√3∆
Damit ist die Streckungswirksamkeit für einen Flachstich im Dreiwalzenverfahren
6.7.6 Vergleichende Studien zum Zwei- und Dreiwalzenverfahren
Bekannte Walztheorien für das Zweiwalzenverfahren werden üblicherweise anhand von Para-
meterstudien verglichen, um die Einflüsse verschiedener Parameter auf die berechneten Ergeb-
nisse zu überprüfen, vgl. [Ove05, Ove11]. Im Folgenden werden die Modelle für das Zweiwal-
zenverfahren und das Dreiwalzenverfahren miteinander verglichen. Dazu muss eine Möglich-
keit gefunden werden, zu einem gegebenen Dreiwalzenstich einen äquivalenten Zweiwalzen-
stich zu berechnen. Als Anstichquerschnitte werden jeweils ein gleichmäßiges Sechseck und
ein Quadrat verwendet.
Haben das Quadrat und das Sechseck den gleichen Flächeninhalt, dann stehen die Seitenlänge
des Quadrats und der Innenradius des Sechsecks in folgendem Verhältnis
=
q2√3 ≈ 1 8612 (6.7/60)
Im Dreiwalzenverfahren gilt für den Streckgrad
=40− 20 − 2
41− 21 − 2(6.7/61)
Als Lösung dieser quadratischen Gleichung ergibt sich für die Endhöhe des flächengleichen
Zweiwalzenprofils mit dem Streckgrad
1 = 2±sµ
2 − 40 + 20
+ 32¶
(6.7/62)
Auf diese Weise lässt sich zu jedem Dreiwalzenstich ein flächen- und damit formänderungsä-
quivalenter Zweiwalzenstich konstruieren. Die Walzspaltverhältnisse der jeweils äqui-
valenten Zwei- und Dreiwalzenstiche sind nicht identisch, aber sehr ähnlich. Beim Dreiwalzen-
stich gilt für die gesamte gedrückte Fläche
= 3
Die Kontaktbreite hängt bei konstanter Profilbreite linear von der Profilhöhe im Walzspalt
ab gemäß Gl. (6.7/2)
() =2√3(2 − ) (6.7/63)
214 Walzmodell für das Dreiwalzenverfahren
Die mittlere Kontaktbreite kann integral wie folgt gewonnen werden
=2√
3 (0 − 1)
Z 0
1
2 −
=2√
3 (0 − 1)
∙20 − 1
220 − 21 +
1
221
¸=
4 − (0 + 1)√3
(6.7/64)
Aufgrund der linearen Abhängigkeit () ist diese Beziehung äquivalent zu
=0 + 1
2(6.7/65)
=4 − 0 − 1√
3
Mit der gedrückten Länge des Dreiwalzenverfahrens
=
q2 (0 − 1)− (0 − 1)
2 (6.7/66)
kann man für die gedrückte Fläche schreiben
= 3
q2 (0 − 1)− (0 − 1)
2 · 4 − 0 − 1√3
(6.7/67)
Der Innenradius des Anstich-Sechecks ist gleichzeitig dessen Höhe und Breite (siehe Definitio-
nen gemäß Abbildung 6.7/1, 0 = = ). Diese Größen lassen sich durch die Querschnitts-
fläche des Sechsecks ausdrücken
0 = =
s
2√3
(6.7/68)
Die gedrückte Fläche des Dreiwalzenverfahrens ist
3 = 3
q2 (0 − 1)− (0 − 1)
2 · 20 + (0 − 1)√3
(6.7/69)
Die gedrückte Fläche des Zweiwalzenverfahrens ist mit den Größen 00, 01 und 00 des Zweiwal-
zenstiches
2 = 200
s (00 − 01)−
(00 − 01)2
4(6.7/70)
6 Modelle zum Walzen von Vollquerschnitten 215
1.02
1.04
1.06
1.08
1.1
1.12
1.14
1.16
1.18
1.2
0 5 10 15 20 25 30 35
Rez
ipro
ker
Um
form
wir
kung
sgra
d
Bezogene Querschnittsänderung [%]
A)
DreiwalzenverfahrenZweiwalzenverfahren
0.28
0.3
0.32
0.34
0.36
0.38
0.4
0.42
0.44
0.46
0 5 10 15 20 25 30 35
Bez
ogen
e F
ließ
sche
iden
lage
xF/l
d
Bezogene Querschnittsänderung [%]
B)
DreiwalzenverfahrenZweiwalzenverfahren
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
−0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6
Rez
ipro
ker
Um
form
wir
kung
sgra
d
Zugdifferenz (σ1 − σ0)/kf
C)
DreiwalzenverfahrenZweiwalzenverfahren
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
−0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6
Sum
men
dreh
mom
ent [
kNm
]
Zugdifferenz (σ1 − σ0)/kf
D)
DreiwalzenverfahrenZweiwalzenverfahren
Abbildung 6.7/10: Vergleich des Zwei- und Dreiwalzenverfahrens anhand von Rechenergebnissen äqui-valenter Walzsstiche
216 Elastische Gerüstauffederung beim Profilwalzen
Aufgrund der obigen Definitionen ergeben sich geringe Unterschiede in den gedrückten Flächen
der als äquivalent betrachteten Stiche der beiden Walzverfahren. Diese Unterschiede können je
nach Formänderung zwischen 5% und 6% betragen.
Abbildung 6.7/10 A) und B) zeigt den Einfluss der bezogenen Querschnittsänderung auf den
reziproken Umformwirkungsgrad und die Fließscheidenlage. Die Wirkungsgrade sind im Drei-
walzenverfahren günstiger als im Zweiwalzenverfahren. Die Fließscheidenlage wird im Zwei-
walzenverfahren stärker durch die Formänderung beeinflusst als im Dreiwalzenverfahren.
Abbildung 6.7/10 C) und D) zeigt die Auswirkungen von reinen Vorwärts- oder Rückwärtszü-
gen auf die durch den reziproken Umformwirkungsgrad stellvertretend dargestellte Walzkraft
und das Drehmoment. Generell ist zu bemerken, dass sich Rückwärtszüge stärker auswirken als
Vorwärtszüge. Dieser Effekt ist beim Zweiwalzenverfahren schon seit langem bekannt und ist
darauf zurückzuführen, dass die Nacheilzone größer ist als die Voreilzone. Während die Wir-
kung auf die Walzkraft bei beiden Verfahren vergleichbar aber absolut verschoben ist, lässt sich
das Drehmoment im Dreiwalzenverfahren stärker durch Längszüge beeinflussen, als dies im
Zweiwalzenverfahren der Fall ist.
6.8 Elastische Gerüstauffederung beim Profilwalzen
Neben den im letzten Abschnitt beschriebenen Abweichungen von den Sollquerschnitten durch
Breitungsvariationen kommt es durch die elastische Kopplung zwischen dem Walzgut und den
Walzgerüsten zu einer Auffederung der Walzen und damit Vergrößerung des Umformraums.
Die Gesamtauffederung lässt sich in Anteile der Ständerdehnung, bei der sich die Lagerstellen
der Walzen verschieben, und der Verformung der Walzen selber aufteilen.
Die Walzenverformung setzt sich wiederum aus Querschnittsverformungen und Durchbiegun-
gen zusammen. Den größten Einfluss übt die Walzendurchbiegung aus.
Die effektive Vergrößerung des Walzspaltes lässt sich durch ein einfaches mechanisches Mo-
dell beschreiben, indem eine lineare Gerüstkennlinie vorausgesetzt wird. Die Steifigkeit des
Walzgerüstes ist durch eine einzige Zahl, den Gerüstmodul gekennzeichnet. Die aus dem
Walzspalt austretende Walzguthöhe 1 ergibt sich gemäß der Gagemeter-Gleichung Gl. (6.8/1)
aus der Walzkraft , dem Gerüstmodul und der Leerwalzspalteinstellung 0.
1 = 0 +
(6.8/1)
6 Modelle zum Walzen von Vollquerschnitten 217
Abbildung 6.8/1: Auswirkungen der elastischen Gerüstauffederung auf den Profilquerschnitt beim Pro-filwalzen in einer Rund-Oval-Kaliberreihe am Beispiel zweier aufeinander folgender Stiche
Beim Profilwalzen hat die Gerüstauffederung eine höhere Bedeutung als beim Flachwalzen, da
die Breitung hier einen wichtigeren Einfluss auf die entstehende Profilform ausübt und auch
von der Gerüstauffederung beeinflusst wird.
Abbildung 6.8/1 zeigt am Beispiel einer Stichfolge Rund-Oval-Rund die Einflüsse der Ge-
rüstauffederung. Wenn das Ovalkaliber auffedert, wird das Ovalprofil höher (augefederte Höhe
01 1). Gleichzeitig verringert sich dadurch die Stichabnahme, wodurch die Breitung ge-
ringer wird (Breite unter Auffederung 01 1). Das Ovalprofil tritt in Stichlage um 90 Grad
gedreht in das Rundkaliber ein. Hier tritt eine erneute Auffederung ein, die die Höhe des Rund-
profils erhöht.
Ab dem zweiten Stich hängt der in das Rundkaliber eintretende Ovalquerschnitt in der oben be-
schriebenen Weise von der Auffederung des Ovalkalibers ab. Desweiteren sind Breitungseffekte
zweier Arten zu unterscheiden.
Die Auffederung im betreffenden Kaliber selbst senkt die Stichabnahme und damit die Brei-
tenzunahme, d.h. mit größerer Auffederung des jeweiligen Kalibers wird die Breitung geringer
(Fehler 2. Art). Die Auffederung des davorliegenden Gerüstes beeinflusst direkt die Anfangs-
breite des aktuellen Stiches und wirkt sich damit linear auf die Endbreite aus (Fehler 1. Art).
In ähnlicher Weise wirkt sich die Gerüstauffederung beim Walzen im Dreiwalzenverfahren auf
die Profilquerschnitte aus, wie Abbildung 6.8/2 zeigt.
Aufgrund dieser Effekte ist davon auszugehen, dass ab dem zweiten Stich die Profile sowohl
218 Längsspannungen beim Walzen von Vollquerschnitten
Abbildung 6.8/2: Auswirkung der Gerüstauffederung auf die Profilquerschnitte im Dreiwalzenverfahrenanhand zwei aufeinander folgender Stiche
in Breiten- wie auch in Höhenrichtung durch Auffederung größer werden. Über mehrere Sti-
che kommt es zu einem Fortpflanzungseffekt der Querschnittsfehler. Modellseitig wird die Ge-
rüstauffederung durch Anwendung von Gl. (6.8/1) berücksichtigt. Zusammen mit der bereits
beschriebenen Walzkraft- und Breitungsberechnung und der numerischen Behandlung der Pro-
filgeometrien liegt damit ein Modellsystem vor, das die querschnittsbeeinflussenden Effekte
beim Walzen von Vollquerschnitten im Zwei- und Dreiwalzenverfahren abbildet und bei der
Analyse und Optimierung der Walzprozesse Anwendung finden kann.
6.9 Längsspannungen beim Walzen von Vollquerschnitten
Beim Profilwalzen von Vollquerschnitten wirken sich die Längsspannungen prinzipiell in der
gleichen Art und Weise auf den Walzprozess aus wie beim Flachwalzen.
Beim Profilwalzen trägt die Breitung einen wichtigeren Anteil zur Geometriebildung bei als
beim Flachwalzen. Auftretende Längsspannungen beeinflussen die Breitung derart, dass an den
Walzspalten angelegte Zugpspannungen die Breitung verringern. Davon geht eine Störung des
Volumenstroms aus, die begleitend zu den beim Flachwalzen bereits beschriebenen Voreilungs-
effekten den Walzprozess beeinflusst.
6 Modelle zum Walzen von Vollquerschnitten 219
Eine typische Aufgabenstellung ist die Berechnung der im Walzgut wirksamen Längsspannun-
gen bei einer vorgegebenen Kalibrierung und vorgegebenen Walzendrehzahlen. Bei Gerüsten
einer betrachteten Anordnung gibt es −1 zu bestimmende Längsspannungen mit vorgege-
benen Walzendrehzahlen b . Es werden zwischen jeweils zwei Gerüsten Drehzahlverhältnisse
gebildet in der folgenden Form
b = b+1b für = 1 − 1 (6.9/1)
Diese Drehzahlverhältnisse haben den Charakter von gedachten Getriebeübersetzungen. Mit
einer gewählten Anfangsbedingung für die Längsspannungen erfolgt die Nachberechnung der
Gerüstdrehzahlen. Über diese erste Iteration werden wieder Drehzahlverhältnisse gebildet,
=+1
für = 1 − 1 (6.9/2)
Diese beiden Drehzahlverhältnisse werden zueinander in Relation gesetzt
∗ =b (6.9/3)
Diese Verhältniszahlen haben die Bedeutung
∗ 1: Drehzahldifferenz zwischen Gerüst und + 1 ist zu groß (6.9/4)
∗ ≈ 1: Drehzahldifferenz zwischen Gerüst und + 1 ist zutreffend
∗ 1: Drehzahldifferenz zwischen Gerüst und + 1 ist zu klein
Wenn die Drehzahldifferenz zu groß ist, muss die Zugspannung zwischen den Gerüsten verrin-
gert werden. Ist die Drehzahldifferenz zu klein, muss die Zugspannung erhöht werden.
Die Berechnung der gesamten Stichfolge wird mit veränderten Längsspannungen so oft wie-
derholt, bis sich ∗ ≈ 1 für alle − 1 Längsspannungen einstellt. In vektorieller Darstellung
liegt der folgende nichtlineare Zusammenhang vor
F = i (σ)− bi (6.9/5)
Die Minimierung von F führt auf den gesuchten Vektor der Längsspannungen σ Im Rahmen
der oben beschriebenen iterativen Längsspannungsberechnung werden die direkten Auswirkun-
gen der Längsspannungen auf die Breitung in den Walzspalten ebenso berücksichtigt wie die
statischen Auswirkungen auf die Spannungsverteilung.
Tabelle 7.1/1: Grenzabmaße der Banddicke für kontinuierlich warmgewalztes Band aus weichen Stählenzum Kaltumformen, nach DIN EN 10051 (Alle Abmessungen in mm)
Die Dicke des Bandes darf an jedem Punkt gemessen werden, der mindestens 40 mm von der
absoluten Bandkante entfernt ist. Sind die Kanten des Erzeugnisses bereits nachbearbeitet wor-
Tabelle 7.1/4: Stichplan für eine siebengerüstige Fertigstaffel
550
600
650
700
750
800
850
900
950
1000
0 20 40 60 80 100 120
F1 F2 F3 F4
F5 F6 F7
Tem
pera
tur
[°C
]
Strecke [mm]Kern
Oberfläche BandmitteOberfläche Bandkante
Durchschnitt
Abbildung 7.1/2: Temperaturprofil der Warmbandwalzung in der siebengerüstigen Fertigstaffel mit ei-ner Referenztemperatur von 1000 30 m vor Einzug in die Fertigstaffel
232 Warmwalzen von Breitband
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
-1500 -1000 -500 0 500 1000 1500
b = 1800 mm
Rel
. Wal
zspa
ltpr
ofil
[m
m]
y [mm]
(A) Walzen isotherm
F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
-1500 -1000 -500 0 500 1000 1500
b = 1800 mm
Rel
. Wal
zspa
ltpr
ofil
[m
m]
y [mm]
(B) 5. Band
F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7
Abbildung 7.1/3: A) Entwicklung des Bandprofils ohne Eingriffe bei isothermen Walzen; B) Entwicklungdes Bandprofils beim 5. Band mit thermisch deformierten Walzen
Mit Hilfe der CVC-Technik lassen sich diese Profilveränderungen in engeren Grenzen halten,
wie Abbildung 7.1/5 für das 5. Band zeigt. Die hier eingesetzten CVC-Verschiebungen und
resultierenden Walzenballigkeiten sind in Tabelle 7.1/5 zusammengestellt.
In den letzten Stichen müssen die Änderungen des Dickenprofils möglichst klein gehalten wer-
den, da es sonst zu großen Planheitsfehlern kommt.
Dies zeigt Abbildung 7.1/6 am Beispiel der Warmbandwalzung nach Abbildung 7.1/3 (A). Hier
ist der normierte Querflussparameter als Funktion der Banddicke aufgetragen. Während
in den ersten Stichen noch nahezu alle Planheitsfehler durch Querfluss ausgeglichen werden
können, ist das Querflusspotential ab dem vierten Gerüst stark rückläufig. In den letzten Stichen
ist dieser Querfluss auf ein Minimum abgebaut, so dass sich eine Veränderung des Dickenprofils
7 Anwendungen beim Walzen von Flachquerschnitten 233
-0.7-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.1
0 0.1
-1500 -1000 -500 0 500 1000 1500
b = 1800 mm(a) 10. Band
Rel
. Wal
zspa
ltpro
fil [
mm
]
y [mm]F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7
-0.7-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.1
0 0.1
-1500 -1000 -500 0 500 1000 1500
b = 1800 mm
(b) 20. Band
Rel
. Wal
zspa
ltpro
fil [
mm
]
y [mm]F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7
Abbildung 7.1/4: Berechnete Bandprofile ohne Profil- und Planheitsbeeinflussung für das 10. und 20.Band
234 Warmwalzen von Breitband
-0.7-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.1
0 0.1
-1500 -1000 -500 0 500 1000 1500
b = 1800 mm(a) 5. Band mit zylindrischen Walzen
Rel
. Wal
zspa
ltpro
fil [
mm
]
y [mm]F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7
-0.7-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.1
0 0.1
-1500 -1000 -500 0 500 1000 1500
b = 1800 mm
(b) 5. Band mit CVC
Rel
. Wal
zspa
ltpro
fil [
mm
]
y [mm]F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7
Abbildung 7.1/5: Dickenprofile für das 5. Band im Vergleich ohne Profileingriffe und durch Verwendungdes gleichen CVC-Arbeitswalzenschliffs in allen Gerüsten mit unterschiedlich angepassten Verschiebun-gen
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
F1F2F3F4F5F6F7
ωP *
100
[%
]
Banddicke [mm]
Abbildung 7.1/6: Dimensionsloser Querflussparameter für die Warmbandwalzung nach Abbildung7.1/3 (A)
7 Anwendungen beim Walzen von Flachquerschnitten 235
Tabelle 7.1/5: Verwendete CVC-Verschiebungen für die durchgeführten Modellrechnungen
in diesen Stichen unmittelbar auf die Längungsverteilung und damit die Planheit auswirkt.
Die Auswirkungen der Dickenprofilveränderungen auf die Bandplanheit lassen sich mit Hilfe
der Streckungsverteilung über die Bandbreite veranschaulichen. Für die vorliegende Walzung
mit Unterstützung der CVC-Technologie zeigen dies die Rechenergebnisse nach Abbildung
7.1/7 und Abbildung 7.1/8.
Nach dem dritten Stich ist die Banddicke soweit reduziert, dass sich das Dickenprofil nicht
mehr ohne negative Auswirkungen auf die Planheit beeinflussen lässt. In den ersten Stichen
sind dagegen noch große Beeinflussungen des Dickenprofils möglich.
236 Warmwalzen von Breitband
−3.5−3
−2.5−2
−1.5−1
−0.5 0
0.5 1
1.5
−1000 −800 −600 −400 −200 0 200 400 600 800 1000
[I−
Uni
ts]
Gerüst F1, 5. Band
−40−20
0 20 40 60 80
100
−1000 −800 −600 −400 −200 0 200 400 600 800 1000
[I−
Uni
ts]
Gerüst F2, 5. Band
−100−50
0 50
100 150 200 250 300 350
−1000 −800 −600 −400 −200 0 200 400 600 800 1000
[I−
Uni
ts]
Gerüst F3, 5. Band
−100−50
0 50
100 150 200 250 300 350 400 450
−1000 −800 −600 −400 −200 0 200 400 600 800 1000
[I−
Uni
ts]
Gerüst F4, 5. Band
Abbildung 7.1/7: Verteilung der Streckungsunterschiede über die Bandbreite mit CVC-Eingriffen für dieersten drei Stiche, Dickenprofile nach Abbildung 7.1/5 (B)
7 Anwendungen beim Walzen von Flachquerschnitten 237
−200−100
0 100 200 300 400
−1000 −800 −600 −400 −200 0 200 400 600 800 1000
[I−
Uni
ts]
Gerüst F5, 5. Band
−600−500−400−300−200−100
0 100
−1000 −800 −600 −400 −200 0 200 400 600 800 1000
[I−
Uni
ts]
Gerüst F6, 5. Band
−600−500−400−300−200−100
0 100
−1000 −800 −600 −400 −200 0 200 400 600 800 1000
[I−
Uni
ts]
Gerüst F7, 5. Band
Abbildung 7.1/8: Verteilung der Streckungsunterschiede über die Bandbreite mit CVC-Eingriffen für dieStiche 5-7, Dickenprofile nach Abbildung 7.1/5 (B)
238 Kaltwalzen von Band
7.2 Kaltwalzen von Band
Ein großer Teil des warmgewalzten Bandes wird durch Kaltwalzen weiterverarbeitet. Dabei
wird die Banddicke mit einer bezogenen Höhenänderung von 0 4 in einem oder mehreren
Stichen weiter reduziert. Außerdem dient der Kaltwalzprozess der Einstellung der mechani-
schen und technologischen Eigenschaften des Bandes.
7.2.1 Maß- und Formtoleranzen für Kaltband
Maß- und Formtoleranzen für Kaltband sind in DIN EN 10140 [DINEN10131] für Bandbreiten
600 bzw. in DIN EN EN 10131 [DINEN10140] für Bandbreien ≥ 600 vor-
geschrieben. Im Folgenden wird Kaltband mit einer Bandbreite von = 800 betrachtet.
Dafür gelten die Grenzabmaße der Banddicke nach Tabelle 7.2/1.
Nenn-Banddicke Grenzabmaße bei Nennbreite Grenzabmaße bei Nennbreite (S) ≤ 1200 1200 ≤ 1500 1500 ≤ 1200 1200 ≤ 1500 1500
Tabelle 7.2/3: Walzkraft, Auffederungsanteile und berechnete Gerüststeifigkeit beim Kaltwalzen, Werk-stoff: C15
−0.6
−0.4
−0.2
0
−600 −400 −200 0 200 400 600
Rel
. Wal
zspa
ltpr
ofil
[m
m]
y [mm]
Arbeitswalzenrückbiegung +200 kN
G1 G2 G3 G4
Abbildung 7.2/2: Entwicklung des Dickenprofils für die Walzung nach Tabelle 7.2/2, wenn eine Rück-biegekraft von +200 kN in jedem Stich angewandt wird
7 Anwendungen beim Walzen von Flachquerschnitten 241
-0.4
-0.2
0
-600 -400 -200 0 200 400 600Rel
. Wal
zspa
ltpr
ofil
[m
m]
y [mm]σR/kf=0.05, σV/kf=0.10σR/kf=0.10, σV/kf=0.20σR/kf=0.20, σV/kf=0.40
σR/kf=0.30, σV/kf=0.60σR/kf=0.35, σV/kf=0.70
5.5 6
6.5 7
7.5 8
8.5 9
9.5
-400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400
Spe
z. W
alzk
raft
[kN
/mm
]
y [mm]σR/kf=0.05, σV/kf=0.10σR/kf=0.10, σV/kf=0.20σR/kf=0.20, σV/kf=0.40
σR/kf=0.30, σV/kf=0.60σR/kf=0.35, σV/kf=0.70
Abbildung 7.2/3: Beeinflussung des Dickenprofils (oben) und der Walzkraftverteilung (unten) durchLängsspannungen beim Kaltwalzen. h0 = 2 5; 1 = 1 4;Werkstoff C15
sind im Vergleich mit Abbildung 7.2/1 zu beurteilen. Die Balligkeiten des Bandes sind gene-
rell geringer. Auch die Dickenprofiländerungen werden abgebaut. Bei hohen Rückbiegekräften
muss darauf geachtet werden, dass die zulässige Biegespannung der Arbeitswalze nicht über-
schritten wird. Im vorliegenden Beispiel liegen die maximalen Biegespannungen in der Grö-
ßenordnung von 30 N/mm2.
7.2.3 Einfluss von Längsspannungen auf Profil und Planheit
Am Beispiel eines Einzelstiches werden die Auswirkungen von Längsspannungen auf das Di-
ckenprofil beim Kaltwalzen gezeigt. Beim Kaltwalzen werden hohe Längsspannungen bis zu
Größenordnungen von 70%-80% der Fließspannung angewandt. Insofern stellen Längsspan-
nungen eine Stellgröße dar, die zur Beeinflussung des Dickenprofils genutzt werden kann.
242 Kaltwalzen von Band
Abbildung 7.2/3 zeigt die Effekte fünf verschiedener Längsspannungskonfigurationen auf das
Dickenprofil und die Walzkraftverteilung für den ersten Stich nach Tabelle 7.2/2. Die Längs-
spannungen reichen von Werten von 5 % bzw. 10 % der Fließspannung an Ein- und Austritt
bis zu Werten von 35% bzw. 70%. Die Auswirkungen auf die Walzkraftverteilung sind deutlich
ausgeprägt, wie das untere Teilbild zeigt. Durchaus liegt auch eine Beeinflussung des Dicken-
profils vor (oberes Teilbild). Durch hohe Längsspannungswerte und die damit einhergehende
Absenkung der Walzspalt treten geringere Balligkeiten des Kaltbandes auf. Die Rückbeeinflus-
sung der Walzkraft durch die Veränderung der Banddickenverteilung ist in diesen Berechnungen
berücksichtigt.
Abbildung 7.2/4 zeigt, dass durch hohe Längsspannungen positive Auswirkungen auf die Plan-
heit erwartet werden können.
7 Anwendungen beim Walzen von Flachquerschnitten 243
−400−200
0 200 400 600
−500 −400 −300 −200 −100 0 100 200 300 400 500
[I−
Uni
ts]
σR/kf=0.05, σV/kf=0.10
−400−200
0 200 400 600
−500 −400 −300 −200 −100 0 100 200 300 400 500
[I−
Uni
ts]
σR/kf=0.10, σV/kf=0.20
−400−200
0 200 400 600
−500 −400 −300 −200 −100 0 100 200 300 400 500
[I−
Uni
ts]
σR/kf=0.20, σV/kf=0.40
−400−200
0 200 400 600
−500 −400 −300 −200 −100 0 100 200 300 400 500
[I−
Uni
ts]
σR/kf=0.30, σV/kf=0.60
−400−200
0 200 400 600
−500 −400 −300 −200 −100 0 100 200 300 400 500
[I−
Uni
ts]
σR/kf=0.35, σV/kf=0.70
Abbildung 7.2/4: Berechnete Streckungsverteilungen beim Kaltwalzen mit unterschiedlichen Längs-spannungen
244 Kaltwalzen von Band
7.2.4 Einfluss der Höhenänderung auf Profil und Planheit
Vergleicht man Stiche mit jeweils der gleichen Anfangs-Banddicke, aber unterschiedlichen
Enddicken, dann lassen sich auch hier Einflüsse auf Profil und Planheit feststellen. Ausgehend
von einer Anfangsbanddicke von 0 = 2 5mm wurden unterschiedliche bezogene Höhenände-
rungen von 8%, 16%, 24%, 32% und 40% untersucht.
Abbildung 7.2/5 zeigt die berechneten Dickenprofile und Walzkraftverteilungen. Ein deutlicher
Einfluss der Höhenformänderung auf das Dickenprofil ist erkennbar.
-0.3
-0.2
-0.1
0
-600 -400 -200 0 200 400 600
Rel
. Wal
zspa
ltpr
ofil
[m
m]
y [mm]εh = 8 %
εh = 16 %εh = 24 %εh = 32 %
εh = 40 %
0
1
2
3
4
5
6
7
-400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400
Spe
z. W
alzk
raft
[kN
/mm
]
y [mm]εh = 8 %
εh = 16 %εh = 24 %εh = 32 %
εh = 40 %
Abbildung 7.2/5: Einfluss der Höhenformänderung auf das Dickenprofil und die Walzkraftverteilung.Werkstoff C14, h0 = 2 5 mm
Abbildung 7.2/6 zeigt, wie sich die Streckungsverteilung in Abhängigkeit der bezogenen Hö-
henänderung verändert. Hier sind zwei sich entgegenwirkende Effekte zu beobachten. Durch
7 Anwendungen beim Walzen von Flachquerschnitten 245
−300
0
300
−500 −400 −300 −200 −100 0 100 200 300 400 500
[I−
Uni
ts]
εh = 8%
−300 0
300 600 900
−500 −400 −300 −200 −100 0 100 200 300 400 500
[I−
Uni
ts]
εh = 16%
−600−300
0 300 600 900
−500 −400 −300 −200 −100 0 100 200 300 400 500
[I−
Uni
ts]
εh = 24%
−300
0
300
600
−500 −400 −300 −200 −100 0 100 200 300 400 500
[I−
Uni
ts]
εh = 32%
−600−300
0 300 600 900
−500 −400 −300 −200 −100 0 100 200 300 400 500
[I−
Uni
ts]
εh = 40%
Abbildung 7.2/6: Auswirkung der bezogenen Höhenänderung auf die Streckungsverteilung beim Kalt-walzen
246 Kaltwalzen von Band
eine stärkere Veränderung des Dickenprofils, vgl. Abbildung 7.2/5 werden zunächst höhere
Planheitsfehler generiert, jedoch liegt bei größeren Formänderungen auch stärkerer Querfluss
vor, der die Planheitsfehler abbaut.
8 Anwendungen beimWalzen von Vollquerschnitten
In den folgenden Abschnitten wird die Anwendung der Modelle für Vollquerschnitte anhand
von typischen Kalibrierungs- und Optimierungsaufgabenstellungen gezeigt. Die erste Studie
umfasst flexible Kaliberreihen, die das Walzen unterschiedlicher Werkstoffe bei der Betrach-
tung des werkstoffabhängigen Breitungs- und Festigkeitsverhaltens erlauben. Dabei wird so-
wohl das Zwei-, als auch das Dreiwalzenverfahren behandelt. Im Rahmen einer weitere Studie
wird die Homogenisierung von Toleranzschwankungen entlang einer Walzader mit Hilfe von
Sizing-Kalibrierungen bei Walzdraht und Stabstahl behandelt. Im Rahmen der Walzdrahter-
zeugung nehmen Drahtfertigblöcke eine besondere Stellung ein, da deren Gerüste durch ein
Getriebesystem kinematisch aneinander gekoppelt sind und keine Veränderung der relativen
Drehzahlverhältnisse möglich ist. Mit Hilfe der im Rahmen dieser Arbeit beschriebenen Mo-
delle zur Längsspannungsberechnung wird gezeigt, in welcher Größenordnung sich während
des Walzbetriebs Längsspannungen aufbauen.
8.1 Flexible Kaliberreihen
8.1.1 Einleitung
Stabstahl nimmt unter den warmgewalzten Vollquerschnitten eine bedeutende Stellung ein und
wird in einem großen Portfolio von Abmessungen und Werkstoffen gefertigt. In diesem Zusam-
menhang treten häufig Toleranzschwankungen aufgrund des temperaturabhängigen Breitungs-
verhaltens auf.
Walzwerksbetreiber sind an Kalibrierungen interessiert, die mit möglichst wenigen Anpassun-
gen für unterschiedliche Werkstoffe verwendet werden können. Die vorliegende Studie zeigt
Wege auf, eine solche flexible Kalibrierung für unterschiedliche Werkstoffe zu ermitteln.
Das Ziel dieser Bemühungen ist beispielsweise für eine Rund-Oval-Rund-Kaliberreihe, dass
die Rundprofile bei allen zu walzenden Werkstoffen unverändert bleiben. Die Ovalkaliber sind
demnach so zu gestalten, dass die auftretenden Breitungsschwankungen durch Anstellung der
Ovalkaliber ausgeglichen werden können, ohne das Kaliberüberfüllungen und damit Walzfehler
auftreten.
Die Abbildung 8.1/1 zeigt beispielhaft anhand zwei Layoutvarianten mit unterschiedlichen Wal-
zendurchmessern, wie sich die Ovalprofile verändern müssen, um das folgende Rundprofil bei
unterschiedlichen Werkstoffen konstant zu halten. Beispielsweise müssen ausgehend von ei-
248 Flexible Kaliberreihen
Abbildung 8.1/1: Reaktion auf werkstoffabhängige Breitungseffekte durch Anstellung eines Ovalkali-bers für 16 mm Rund [OM11]. Walzendurchmesser 220 mm / 160 mm.
nem Kohlenstoffstahl C15 mit mittlerem Breitungsverhalten die Walzspalte der Ovalkaliber
beim stark breitenden ferritischen Chromstahl X8Cr17 geschlossen werden. Damit tritt eine ge-
ringere Ovalhöhe in den Rundstich ein, die dort mit stärkerer Breitung zum gleichen Rundprofil
führt. Für die Betrachtungen in Abbildung 8.1/1 wurde für jede Layoutvariante eine eigene Ka-
librierung ermittelt, diese wurde jeweils für alle gewalzten Werkstoffe eingesetzt.
Bei einem sehr schwach breitenden Werkstoff wie 18CrNi8 müssen demgegenüber die Ovalka-
liber geöffnet werden, damit das gleiche Rundprofil mit geringerer Breitung eingestellt werden
kann. Diesen Vorgehensweisen sind natürliche Grenzen gesetzt, wenn sich durch eine Überfül-
lung des zu stark geschlossenen Ovalkalibers Walzfehler ergeben, oder bei sehr stark geöffneten
Walzspalten keine ausreichenden Formänderungen mehr auftreten.
8.1.2 Parameter der Modellstudien
Im Rahmen der vorliegenden Untersuchung wird eine einadrige Walzwerksanordnung betrach-
tet, bei der ein Quadratquerschnitt von 160 mm Seitenlänge zunächst in zwölf Stichen auf einen
Rundquerschnitt von 37 mm Durchmesser reduziert wird. Dieser Zwischenquerschnitt wird in
8 Anwendungen beim Walzen von Vollquerschnitten 249
Tabelle 8.1/3: Hauptkaliberfolge für die Zweiwalzengerüste
Nachdem die Festlegung der Hauptkaliber erfolgt ist, müssen die Zwischenkaliber bestimmt
werden. Diese werden aufgrund bestimmter Bedingungen an die Hauptkaliber angepasst. Diese
Bedingungen sind:
• Alle Kastenkaliber werden zu 50% der Flankenbreiten ausgefüllt
• Alle Ovalkaliber werden zu 80% bis 85% der Breite des Kalibers in der Walze ausgefüllt
• Die Einradien-Rundkaliber werden zu 95% ausgefüllt
Diese Bedingungen sind zusammenfassend in Abbildung 8.1/2 für Kasten-, Oval-, und Rund-
profile gezeigt.
Abbildung 8.1/3 illustriert eine sinnvolle Kontaktbedingung beim Walzen eines Rundquerschnitts
mit d=98 mm im folgenden Mehrradien-Ovalkaliber. Im linken Bild ist der Rundquerschnitt zu
5% unterfüllt. In der Folge stellt sich eine linienhafte Berührung zwischen Rundquerschnitt und
Ovalkaliber ein. Im rechten Teilbild ist der Rundquerschnitt kreisförmig, was zu einer Punktbe-
rührung führt. Die Gefahr des Drehens des Profils besteht, wodurch ein Torsionsmoment in die
Walzader eingeleitet werden würde.
8 Anwendungen beim Walzen von Vollquerschnitten 251
Abbildung 8.1/2: Sinnvolle Kaliberfüllungen für Kasten-, Oval- und Rundkaliber
Abbildung 8.1/3: Vergleich von Kontaktbedingungen beim Anstich eines um 5% unterfüllten Rundquer-schnitts (Nennmaß 98 mm) im nachfolgenden Ovalstich (links) und mit einem Kreisquerschnitt (rechts)
252 Flexible Kaliberreihen
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
900 950 1000 1050 1100
Bre
itun
gsfa
ktor
fb
Temperatur [° C]
18CrNi8C15
X5CrNi18.10X8Cr17
Auslegung
Abbildung 8.1/4: Breitunngsfaktoren verschiedener Werkstoffe bei zu berücksichtigenden Temperaturenund konstruierter Auslegungswerkstoff
Werden unter Berücksichtigung des werkstoff- und temperaturabhängigen Breitungsverhaltens
die Zwischenkaliber unter Einhaltung der angegebenen Bedingungen für einen schwach brei-
tenden Werkstoff, beispielsweise 18CrNi8 bestimmt, ergeben sich bestimmte Zwischenkaliber.
Versucht man, ohne jede Veränderung über die gleiche Kalibrierung den stark breitenden Werk-
stoff X8Cr17 zu walzen, ergeben sich starke Überfüllungen der Rundkaliber, was sich insbe-
sondere beim Anstich im folgenden Dreiwalzenblock bemerkbar macht.
Für eine universelle Kalibrierung ist eine Flexibilität zu erreichen, so dass Breitungsschwankun-
gen durch Anstellung der Zwischenkaliber kompensiert werden. Das Ziel ist, Überfüllungen der
Rundkaliber zu vermeiden.
Diese Anstellvariationen führen zu veränderter Füllung der Zwischenkaliber. Welches Ausmaß
an Breitungsschwankungen durch Anstellung der Zwischenkaliber kompensiert werden kann,
ist ein Maß für die Flexibilität der Kaliberreihe.
Im Folgenden wird ein Auslegungswerkstoff konstruiert, der für den gesamten in den betrach-
teten Walzungen auftretenden Temperaturbereich ein mittleres Breitungsverhalten der unter-
schiedlichen Werkstoffe repräsentiert. Abbildung 8.1/4 stellt die Breitungsfaktoren bezogen auf
den Referenzwerkstoff C15 der betrachteten Werkstoffe im Temperaturbereich zwischen 900
C und 1100 C dar, sofern diese Temperaturen in den betrachteten Walzungen vorkommen.
8 Anwendungen beim Walzen von Vollquerschnitten 253
Tabelle 8.1/6: Notwendige Gerüstanstellungen für die Zwischenkaliber bei den untersuchten Werkstoffen
wirkenden Einflüsse. Entsprechend wird ein Rundprofil nur von dem davor liegenden Ovalka-
liber beeinflusst.
In der Realität findet diese Entkopplung in geringerem Ausmaß statt, da die Walzgerüste endli-
che Steifigkeiten haben. Um diesen Effekt zu demonstrieren, wird die angestellte Kaliberreihe
den elastischen Federungseffekten der Walzgerüste unterworfen.
Abbildung 8.1/5 zeigt die jeweils in den letzten Stich ein- und austretenden Profile für die
entsprechenden Werkstoffe. Bei der Beurteilung dieser Ergebnisse muss die durch Anstellva-
riationen und Breitungsverhalten der einzelnen Werkstoffe beeinflusste Form des Vorprofils in
Betracht gezogen werden.
Insgesamt zeigt die hier durchgeführte Studie, dass die Entwicklung einer Universalkalibrie-
rung für eine breite Werkstoffpalette möglich ist und dass die werkstoffbeeinflussten Breitungs-
effekte durch Veränderung der Gerüstanstellungen ausgeglichen werden können. Ein Dreiwal-
zenblock leistet einen weiteren wichtigen Beitrag zur Konstanthaltung der Querschnitte. Auf
die Möglichkeit des Querschnittsausgleichs mit Hilfe von Sizing-System wird in der folgenden
Studie näher eingegangen.
8.2 Sizing und Free-Size Rolling
Die Walzkraft übt einen wichtigen Einfluss auf die Profiltoleranz aus, da die Walzgerüste elas-
tisch auffedern. Jeder Walzstich hat die Möglichkeit die Querschnittsfehler des eintretenden
Profils auszugleichen, wird aber aufgrund seiner eigenen elastischen Auffederung gleichzeitig
neue Querschnittsfehler in das Profil einbringen.
8 Anwendungen beim Walzen von Vollquerschnitten 255
Abbildung 8.1/5: Ein- und Austrittsprofile des Fertigstichs, Nenndurchmesser 18 mm
Es ist aus Toleranzgründen notwendig, die Auffederungen der letzten Stiche gering zu halten.
In diesem Zusammenhang kommt einer degressiven Streckgradverteilung innerhalb einer Kali-
berreihe eine große Bedeutung zu.
Zusätzlich verfolgen moderne Kalibrierungskonzepte die Idee der Sizing-Technologie. Die Stich-
abnahmen in den letzten Gerüsten sind so gering, dass die neu eingetragenen Querschnittsfehler
gegenüber der Glättung der bereits vorhandenen Fehler vernachlässigbar sind.
Derartige Sizing-Kaliberreihen gibt es im Zwei- und im Dreiwalzenverfahren. Abbildung 8.2/1
zeigt beispielhaft eine solche Kalibrierung für den Fertigquerschnitt 20 mm (Kaltmaß) mit vier
Gerüsten im Duoverfahren. Diese Kalibrierung ist für einen mit Querschnittsfehlern behafteten
Anstichquerschnitt von 23,6 mm (Nennmaß warm) vorgesehen.
Das zweite Kaliber ist mit einem Tangentialwinkel von 50 weit aufgeschnitten und wird von
einem Ovalprofil gefüllt. Die Stichformänderung in diesem Stich liegt zwischen 10% und 15%.
Das daraus gewonnene Falschrund-Profil wird mit geringen Stichabnahmen 5% in den fol-
genden Stichen zu einem Rundquerschnitt umgeformt. Das Fertigkaliber ist als Zweiradien-
kaliber ausgebildet. Die letzten drei dargestellten Sizing-Kaliber werden in einer Kaliberreihe
256 Sizing und Free-Size Rolling
Abbildung 8.2/1: Kaliber des Duo-Sizing-Blockes (4 Stiche)
anstelle des Fertigkalibers eingesetzt, so dass zwei zusätzliche Gerüste benötigt werden.
8.2.1 Anlagenkonfigurationen und Kalibrierungen
Die Betrachtungen erfolgen anhand unterschiedlicher Layoutkonfigurationen für Stabstahl- und
Drahtwalzwerke.
Abbildung 8.2/2 zeigt die betrachteten Layoutvarianten.
Als erstes Beispiel dient ein einadriges Stabstahlwalzwerk, bei dem ein Anstichquerschnitt von
160x160 mm in 16 Gerüsten auf einen Endquerschnitt von 16 mm Rund ausgewalzt wird (Lay-
out 2 in Abbildung 8.2/2). In den ersten zwei Stichen werden Kastenkaliber eingesetzt, danach
folgt in den Gerüsten 3 bis 16 eine Rund-Oval-Rund – Kaliberfolge. Der aus dem Gerüst 04V
auslaufende Rundquerschnitt wird über einen isolierten Rollgang über eine Strecke von 60 m in
die Zwischenstraße geführt. Der Isolierrollgang dient zur Vergleichmäßigung des Temperatur-
gefälles im Querschnitt für den Anstich in der Zwischenstraße. Die Layoutvariante 2A ist die
konventionelle Walzung, bei der keine Sizing-Technologie eingesetzt wird. Als Variante dazu
8 Anwendungen beim Walzen von Vollquerschnitten 257
Abbildung 8.2/2: Betrachtete Layoutvarianten zum Sizing bei einem Drahtwalzwerk (1) und einem Stab-stahlwalzerk (2)
258 Sizing und Free-Size Rolling
Abbildung 8.2/3: Kalibrierung des in der Layoutvariante 2C verwendeten sechsgerüstigen Sizing-blockes im Dreiwalzenverfahren. Anstich 35 mm, Endquerschnitt 20 mm
wird das Layout 2B betrachtet, bei dem an die Stelle der letzten Hauptkaliberstufe ein vierge-
rüstiger Duo-Sizing-Block mit der Kalibrierung nach Abbildung 8.2/1 tritt.
Eine weitere Variante ist die Verwendung eines sechsgerüstigen Dreiwalzenblocks mit Nenn-
durchmessern der Walzen von 380 mm anstelle der Duo-Fertigstraße. Dies ist die Variante 2C.
Abbildung 8.2/3 zeigt die Kalibrierung des betrachteten Dreiwalzensystems.
Als weiteres Anlagenbeispiel wird ein Drahtwalzwerk mit 28 Gerüsten betrachtet (Layout 1 in
Abbildung 8.2/2). An die sechsgerüstige Vorstraße schließen sich zwei ebenfalls sechsgerüs-
tige Zwischenstraßen an. In den Gerüsten 15H bis 20V werden bereits Cantilever-Gerüste mit
Walzringdurchmessern von 208 mm eingesetzt, um eine hohe Streckungswirksamkeit bei gerin-
gen Walzkräften zu ermöglichen. Der zehngerüstige Fertigblock reduziert den aus Gerüst 18V
austretenden Querschnitt weiter bis auf Endabmessungen von 5,5 mm oder größer. Dies ist die
konventionelle Anordnung 1A des Drahtwalzwerks. Eine Alternative dazu ist die Layoutvari-
ante 1B, bei der vier Prefinisher durch einen fünfgerüstigen Dreiwalzenblock ersetzt werden.
8 Anwendungen beim Walzen von Vollquerschnitten 259
Tabelle 8.2/3: Zusammenfassung der Maßabweichungen bei einem auf 19.75 mm angestellten Kalibermit und ohne Sizing unter Berücksichtigung der Gerüstauffederung bei C55
Vergleicht man die Layoutvariationen 2A und 2B, so ergeben sich bei sonst gleichen Bedingun-
gen und einem Standardwerkstoff (hier C55) unter Wirkung der Gerüstauffederung deutliche
Unterschiede in den Querschnittsänderungen und den erreichbaren Toleranzen.
Zum Vergleich wird als Fertigkaliber für die konventionelle Walzung ein Zweiradienrund für
19,75 mm verwendet. Dies ist der kleinste Sizing-Querschnitt bei einem Nennquerschnitt von
20 mm. Die Anstellung des letzten Ovalkalibers wird so gewählt, dass sich unter Vernachlässi-
gung der Gerüstauffederung ein seitengleiches Rundprofil ergibt. Ebenso wird für den Sizing-
Block ein idealer Austrittsquerschnitt unter Vernachlässigung der Gerüstauffederung einge-
stellt.
Anschließend werden diese Konfigurationen der elastischen Gerüstauffederung unterworfen.
Abbildung 8.2/4 zeigt die bezogen auf das Nennmaß übertrieben dargestellten Maßabweichun-
gen für die aus der konventionellen Walzung und der Sizing-Walzung erhaltenen Querschnitte
im Vergleich zum idealen Kreis. Während das Walzergebnis der konventionellen Kalibrierung
deutliche Querschnittsfehler im Bereich der Walzspaltteilungen aufweist, liefert die Sizing-
Kalibrierung einen Querschnitt der nah am idealen Rundquerschnitt liegt.
Tabelle 8.2/3 fasst die Ergebnisse zum Duo-Sizing zusammen. Die Vorteile des Sizing-Verfahrens
sind hier sehr deutlich, sowohl in Bezug auf die Höhen- und Breitenabmessungen als auch auf
die Ovalität. Die Ovalität ist hier und in den folgenden Darstellungen als die größte Abweichung
von über den Profilumfang gemessenen Durchmessern definiert.
8 Anwendungen beim Walzen von Vollquerschnitten 261
Abbildung 8.2/4: Maßabweichungen des Fertigquerschnitts für einen Enddurchmesser von 19,75 mm.Vergleich von konventioneller Kalibrierung, Sizing-Kalibrierung und mathematischem Kreis. Skalie-rungsfaktor der Maßabweichungen: 5
262 Sizing und Free-Size Rolling
8.2.4 Effekte beim Walzen unterschiedlicher Werkstoffe
Verändert man die Drehzahlen der Walzgerüste nicht, so ergeben sich bei der Walzung eines
anderen Werkstoffs durch Fließspannungs- und Breitungsunterschiede Längsspannungen zwi-
schen den Gerüsten, die ihrerseits den Walzprozess und damit die Toleranz des Fertigquer-
schnittes beeinflussen. Dazu kommt, dass die so entstandenen Längsspannungen ihrerseits die
Gerüstauffederung und die Breitung beeinflussen.
Um dieses Verhalten anhand von Rechenbeispielen zu demonstrieren, wurde eine Drehzahlaus-
legung für das Layout 2A mit dem Standardwerkstoff C55 vorgenommen. Die gleichen Dreh-
zahlen werden für die Werkstoffe C15, X8Cr17 und XC5CrNi18.10 verwendet und die dann
entstehenden Längsspannungen mit ihren Auswirkungen berechnet.
Tabelle 8.3/2: Auslegungsdaten des zehngerüstigen Standardblocks für die Abmessung 5,5 mm mit Ge-triebeübersetzungen, Walzendrehzahlen, Nenndurchmessern, Arbeitenden Durchmessern, Geschwindig-keiten und Profilflächen. Auslegung ohne Voreilung mit = 1
werden. Es gilt die Konstanz des Volumenstroms gemäß Gl. (8.3/2).
= (8.3/2)
Auf dieser Basis kann die notwendige Querschnittsfläche jedes Profils berechnet und die Ka-
librierung ausgelegt werden. Die Geschwindigkeitsverteilung der Kaliberfolge ist im Rahmen
dieser vereinfachten Betrachtung im Vorhinein bekannt, da diese aus den vorgegebenen Getrie-
beübersetzungen des Fertigblockes folgt.
Tabelle 8.3/2 zeigt die Auslegungsdaten eines zehngerüstigen Drahtfertigblockes und die ar-
beitenden Walzendurchmesser, sowie Geschwindigkeiten und Profilflächen für die Abmessung
5,5 mm. Nach diesen ausgelegten Profilflächen ist die Kalibrierung zu gestalten und folgt im
vorliegenden Fall zu Abbildung 8.3/2.
8.3.3 Entstehung und Auswirkungen von Längsspannungen
In der Realität sind die Vorgänge in den einzelnen Gerüsten voneinander abhängig, da sich in
der Walzader zwischen den Gerüsten Längskräfte einstellen. Diese haben eine Rückwirkung
auf die Kinematik und Statik des Walzprozesses in allen Gerüsten haben.
Generell ist festzustellen, dass durch Längsspannungen die Lage der Fließscheide im Walzspalt
stark beeinflusst wird. Daraus ergeben sich sowohl Auswirkungen auf die Statik als auch auf
die Kinematik des Walzprozesses.
Die Walzkraft wird durch Längsspannungen generell verringert. Diese Beeinflussung ist durch
Rückwärtszug stärker als durch Vorwärtszug. Das Drehmoment sinkt durch Vorwärtszug, da
sich die Fließscheide in Richtung Walzspalteintritt verschiebt, wodurch sich die Voreilzone ver-
270 Walzen von Draht in Fertigblöcken
größert. Das Gleichgewicht der Reibkräfte im Walzspalt verschiebt sich daher und begünstigt
den negativen Anteil in der Voreilzone gegenüber dem positiven Anteil in der Nacheilzone. In
umgekehrter Weise führt Rückwärtszug zu einer Vergrößerung des notwendigen Drehmomen-
tes.
Eine durch Längsspannungen hervorgerufene Verschiebung der Fließscheidenlage in Richtung
des Walzspalteintritts führt zu einer Vergrößerung der Voreilung und damit zu einer Erhöhung
der Austrittsgeschwindigkeit, wenn die Walzenumfangsgeschwindigkeit konstant bleibt. Bleibt
dagegen die Austrittsgeschwindigkeit konstant, verringert sich die Walzenumfangsgeschwin-
digkeit und die Walzendrehzahl.
8.3.4 Auswirkungen von Längsspannungen in einem Drahtfertigblock
Die vereinfachte Betrachtung ohne Voreilung, Auffederung und Längsspannungen entspricht
nicht der Realität, da die Walzgerüste nicht unendlich steif sind und es damit stets zu Quer-
schnittsschwankungen gegenüber dem idealisierten Fall kommt. Nach der Kontinuitätsbedin-
gung bedingen diese Querschnittsschwankungen auch Geschwindigkeitsänderungen. Bei der
Walzung im Fertigblock können diese nicht durch Veränderung der Gerüstdrehzahlen ausge-
regelt werden, womit der Aufbau von Längsspannungen zwischen den Gerüsten eines Fertig-
blockes unvermeidlich ist. Dies wird anhand einer Simulationsrechnung für einen Standard-
Fertigblock für die stationäre Walzphase beim Werkstoff C15 gezeigt.
Betrachtet wird die Walzung der kleinsten Abmessung 5,5 mm in 10 Gerüsten aus einem An-
stichquerschnitt von 17 mm mit der Kalibrierung gemäß Abbildung 8.3/2.
Die Gerüstanstellungen sind entsprechend vereinfachten Auslegungsrechnungen gewählt. Die
örtliche Verteilung der Längsspannungen zwischen den Gerüsten wird in starkem Maße von
den Gerüstauffederungen beeinflusst. Für die Gerüste mit einem Walzendurchmesser von 208
mm wird eine Steifigkeit von 350 kN/mm angenommen, für die kleineren Gerüste mit einem
Walzendurchmesser von 158,8 mm wird eine Steifigkeit von 250 kN/mm angenommen.
Abbildung 8.3/4 zeigt die Gerüstauffederungen und Längsspannungen, die sich für diesen Walz-
vorgang ergeben.
Der Einfluss der gestuften Verteilung der bezogenen Querschnittsabnahme von 22% im Oval-
und 19% im Rundkaliber wirkt sich deutlich auf die Gerüstauffederungen und die Längsspan-
nungen aus, was zu einem charakteristischem Verlauf dieser Größen führt.
8 Anwendungen beim Walzen von Vollquerschnitten 271
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Ger
üsta
uffe
deru
ng [
mm
]
Gerüst
−50
−45
−40
−35
−30
−25
−20
−15
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Län
gssp
annu
ng A
ustr
itt σ
1 [N
/mm
²]
Gerüst
Abbildung 8.3/4: Gerüstauffederung und Längsspannungen beim Walzen von 5,5 mm aus 17 mm ineinem Standardblock, Werkstoff C15
272 Walzen von Draht in Fertigblöcken
8.3.5 Auswirkung von Störgrößen in einem Drahtfertigblock
Der reale Walzprozess ist dadurch gekennzeichnet, dass eine örtliche und zeitliche Homogenität
aller Prozessgrößen, insbesondere aber der Eigenschaften des Walzgutes nicht existiert. Im Fol-
genden werden daher anhand des Simulationsmodells die Auswirkungen von Temperatur- und
Querschnittsfehlern sowie variierenden Walzgutwerkstoffen auf die Prozessgrößen des Walz-
vorganges gezeigt.
Eine wichtige, direkt von den Längsspannungen beeinflusste Kenngröße ist die Umformwirk-
samkeit der Längsspannungen. Es gilt
=1
10(8.3/3)
Diese Kenngröße beschreibt, wie stark ein längsspannungsbeeinflusster Querschnitt von dem
Querschnitt im längsspannungsfreien Fall abweicht. Bei Zugspannungen ist 1, im zug-
freien Walzfall stellt sich = 1 ein. Beim Walzen mit Druckspannungen kann sich 1
ergeben.
Zunächst wird gezeigt, wie sich ein Temperaturfehler der in den Fertigblock einlaufenden
Walzader auf die Prozessgrößen des Walzvorganges auswirkt. Es wird ein Fertigblock betrach-
tet, der aus einem Nennquerschnitt von 22,5 mm Durchmesser in 8 Stichen einen Fertigquer-
schnitt von 9 mm Durchmesser walzt. Die Kalibrierung für diesen Fall kann Abbildung 8.3/3
entnommen werden. Die ersten beiden Gerüste des zehngerüstigen Fertigblockes werden in
diesem Fall nicht verwendet. Es ergeben sich die Längsspannungen und die damit verbundenen
Effekte nach Abbildung 8.3/5. Bei geringerer Temperatur ergeben sich höhere Längsspannun-
gen mit den entsprechenden Formänderungswirksamkeiten. Bei der höchsten Temperatur sind
die Längsspannungen am geringsten.
Abbildung 8.3/6 zeigt die Schwankung des auslaufenden Profilquerschnittes bei einer Variation
der Anstichtemperatur im Fertigblock um +/- 100 C. Die Ausgangssituation (A) erzeugt einen
Rundquerschnitt der Höhe 9,155 mm und der Breite 8,768 mm. Wenn die Anstichtemperatur
auf 1100 C ansteigt, fällt die Höhe des Fertigquerschnittes auf 9,137 mm ab und die Breite auf
8,644 mm (B). Der Querschnitt wird insgesamt kleiner. Fällt die Anstichtemperatur auf 900 C,
so erhält der Querschnitt eine Höhe von 9,174 mm und eine Breite von 8,894 mm.
Ebenso wie in der Anstichtemperatur können im in den Fertigblock einlaufenden Profilquer-
schnitt Schwankungen auftreten, insbesondere im Hinblick auf eine mehradrige Walzung vor
8 Anwendungen beim Walzen von Vollquerschnitten 273
−45−40−35−30−25−20−15−10
−5 0
1 2 3 4 5 6 7 8Län
gssp
annu
ng A
ustr
itt σ
1 [N
/mm
²]
Gerüstϑ0=1000°C ϑ0=1100°C ϑ0=900°C
0.97
0.975
0.98
0.985
0.99
0.995
1
1 2 3 4 5 6 7 8
f L [
−]
Gerüst
Abbildung 8.3/5: Temperatureinfluss auf die Längsspannungsverteilung in einem achtgerüstigen Walz-vorgang in einem Drahtfertigblock für 9 mm. 8 Stiche, Anstich 22,5 mm Rund
Abbildung 8.3/6: Temperatureinfluss auf den Fertigquerschnitt für 9 mm
274 Walzen von Draht in Fertigblöcken
−70−60−50−40−30−20−10
0 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Län
gssp
annu
ng A
ustr
itt σ
1 [N
/mm
²]
Gerüstd0=16,5 mm d0=17 mm d0=17,5 mm
0.93
0.94
0.95
0.96
0.97
0.98
0.99
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
f L[−
]
Gerüst
Abbildung 8.3/7: Einfluss des Anstichquerschnitts auf die Länggsspannungsverteilung im Fertigblockbei 5,5 mm
dem Fertigblock. Da sich dieser Effekt bei kleineren Abmessungen umso stärker auswirkt, wird
im Folgenden die Kalibrierung für die Abmessung 5,5 mm gemäß Abbildung 8.3/2 betrachtet.
Bereits kleine Änderungen des eintretenden Querschnitts verändern die Längsspannungsvertei-
lung sehr stark, wie Abbildung 8.3/7 zeigt.
Ausgehend von der Standardsituation mit einem Anstich von 17,0 mm führt der kleinere An-
stichquerschnitt von 16,5 mm zu größeren Längsspannungen und damit zu einem stärkeren
Längsspannungseinfluss auf die Formänderungen. In der Umkehrung führt ein größerer An-
stichquerschnitt zu einer Veränderung der Längsspannungsverteilung zu kleineren Zugspan-
nungen. Beim größten hier betrachteten Anstichquerschnitt entstehen bereits geringe Druck-
spannungen, die sich negativ auf die Betriebssicherheit des Fertigblockes auswirken.
Die Ergebnisse in Bezug auf die entstehenden Profilquerschnitte zeigt Abbildung 8.3/8. Ein zu
8 Anwendungen beim Walzen von Vollquerschnitten 275
Abbildung 8.3/8: Einfluss des Anstichquerschnitts auf den Fertigquerschnitt in einem zehngerüstigenDrahtfertigblock für 5,5 mm
kleiner Anstichquerschnitt (B) führt zu stärkeren Längszügen (siehe Abbildung 8.3/7), die die
Breite des Fertigprofils zusätzlich beeinflussen. Außerdem führen die stärkeren Längszüge zu
einer Verringerung der Gerüstauffederung, wodurch die Profilhöhe zusätzlich beeinflusst wird.
Insgesamt führt ein zu großer Anstichquerschnitt zu einem überfüllten Endkaliber und damit
fehlerhaften Walzprodukt.
Zusammenfassend kann festgehalten werden, dass mit Hilfe der entwickelten Modellsysteme
eine Abbildung des Walzprozesses beim Draht- und Stabstahlwalzen möglich ist. Das Sizing-
Verfahren wird im Zwei- und Dreiwalzensystem berücksichtigt. Die beim Walzen von Draht
entstehenden Längsspannungen werden ebenso modelliert, so dass eine Vorausberechnung der
zu erwartenden Querschnittsschwankungen für die entsprechenden Walzprozesse möglich ist.
Ausblick
Die im Rahmen der vorliegenden Arbeit entwickelten Modelle eröffnen neue Möglichkeiten
für die rechnerische Analyse von Walzprozessen. Im Folgenden soll der direkte Nutzen der
entwickelten Modelle dargelegt und Vorschläge für Folgearbeiten gegeben werden.
Nutzen der durchgeführten Arbeiten
Allgemein ist eine baldige Anwendung der Modelle in der Praxis wünschenswert, wo sie wich-
tige Beiträge zur Auslegung und Neuentwicklung von Walzprozessen leisten können.
Die Kombination der physikalischen Planheitsberechnung mit dem Walzmodell erlaubt eine lo-
kale Querflussanalyse. Mit Hilfe des Modells ist es möglich, die notwendigen Parameter von
Stellgliedern zur Profil- und Planheitsbeeinflussung zu bestimmen, um ein gefordertes Plan-
heitsergebnis zu erreichen. Dazu gehören Rückbiegekräfte, Walzenschliffkonturen und CVC-
Verschiebungen.
Mit Hilfe des Modells zur Temperaturprofilberechnung können Anlagenlayouts für moderne
Walzstrategien wie thermomechanisches Walzen entwickelt und optimiert werden, da die Ein-
flüsse der technologischen Parameter auf die Temperaturentwicklung modellseitig abgebildet
wird.
Zum Profilwalzen von Vollquerschnitten liegt ein Modell vor, das einerseits zur Auslegung,
aber andererseits zur Analyse bestehender Kaliberreihen verwendet werden kann. Die techno-
logischen Parameter der Gerüstauffederung, der Längsspannungen und des werkstoffabhängi-
gen Breitungsverhaltens werden dabei berücksichtigt. Durch die numerische Verarbeitung der
Profil- und Kaliberformen ist die größtmögliche geometrische Freiheit gegeben, um neue Kali-
berformen in das Modell zu integrieren.
Das Modell erlaubt die Analyse der Entstehung von Toleranzfehlern in der Walzader. Mit Hilfe
des Modells zur Längsspannungsberechnung liegt ein Werkzeug vor, mit dem das Zusammen-
spiel zwischen Gerüstdrehzahlen und Effekten auf die Toleranz der Walzprodukte abgebildet
werden kann. Damit können Regeln zur Beeinflussung der gewalzten Querschnitte durch eine
Kombination von Walzspalt- und Drehzahlveränderungen für verschiedene Walzprozesse erar-
beitet werden. Dies stellt einen wichtigen Schritt in der Weiterentwicklung der Walzprozesse
für Vollquerschnitte dar.
278
Vorschläge für weiteres Vorgehen
Im Folgenden sind einige offen gebliebene Punkte zusammengestellt, die Raum für Folgearbei-
ten bieten.
Das zweidimensionale Walzmodell ist in der dargestellten Form auf in Breitenrichtung symme-
trische Walzfälle begrenzt, wenngleich die Submodelle der Walzenbelastung unsymmetrische
Informationen verarbeiten können. Zur Erweiterung des Walzspaltmodells auf unsymmetrische
Anwendungsfälle ist die Bestimmung der linienhaften Fließscheide erforderlich. Dieser Schritt
wurde im Rahmen der vorliegenden Arbeit ausgespart.
Die Modellierung des Walzgerüstes wurde in der vorliegenden Arbeit nur für Zwei- und Vier-
walzengerüste durchgeführt. Eine Erweiterung des Modells auf Mehrwalzengerüste ist mit Hilfe
von dreidimensionalen Balkenelementen systematisch möglich. So kann das Modell beispiels-
weise für Anwendungsfälle beim Kaltwalzen mit Zwanzigwalzen- oder MKW-Gerüsten erwei-
tert werden.
Das Modell zur Bewertung von Einflüssen der Längsspannungen auf die Breitung ist empi-
rischer Natur und damit auf den mit Messwerten abgedeckten Parameterbereich beschränkt.
Dieser sollte im Rahmen einer experimentellen Arbeit auf Walzprozesse mit kleinen Formän-
derungen, die beim Sizing auftreten erweitert werden.
Die Validierung des Walzmodells für den Dreiwalzenvorgang ist ein weiterer wesentlicher Schritt.
Hierzu sind systematische Messungen von Walzkräften und Drehmomenten an einem Dreiwal-
zensystem erforderlich. Auch sollten Versuche zur Beeinflussung der Breitung durch Längs-
spannungen im Dreiwalzenverfahren durchgeführt werden.
Zum Walzziehen liegt ein mechanisches Modell für die Spannungsverteilung vor.
Da das vom Walzen bekannte Konzept einer Fließscheide auf das Walzziehen übertragen wurde,
erlaubt das Modell Vorhersagen der Voreilung.
Eine Validierung des Modells in Bezug auf die vorhergesagte Fließscheidenlage würde einen
weiteren wichtigen Schritt zur anwendungstauglichen Modellierung des Walzziehvorgangs leis-
ten. Dazu muss eine Methode zur Messung der Voreilung beim Walzziehen entwickelt werden.
Messungen der Walzendrehzahlen sind beim Walzziehen bisher unüblich. Dies ist ein wesent-
licher Schritt zur Klärung von offenen Fragestellungen beim Walzziehen.
Anhang A
Theorie und Numerik der Balkenbiegung
In den folgenden Abschnitten werden zunächst die Grundlagen der Balkentheorie erläutert, die
zum Verständnis der Untersuchungen der Walzendeformation notwendig sind. In weiteren Ab-
schnitten wird auf die numerische Lösung mit Hilfe von Finiten Balkenelementen eingegangen.
Abschließend wird anhand der Bernoulli- und Timoshenko-Biegebalken gezeigt, wie sich ein
Finites Balkenelement mit ortsveränderlichem Querschnitt konstruieren lässt. Dies ist beson-
ders bei der Beschreibung von komplizierten Walzengeometrien.
A.1 Balken ohne Schubeinfluss (Bernoulli)
Der Bernoulli-Balken entspricht der klassischen Biegetheorie. Auf Basis verschiedener Voraus-
setzungen kann eine gewöhnliche Differentialgleichung für die Biegelinie angegeben werden.
A.1.1 Voraussetzungen und Annahmen
Für den Bernoulli-Balken gelten die folgenden Annahmen• Die Länge des Balkens ist signifikant größer als die Höhe des Querschnitts bzw. der Durch-
messer,
• Querschnitte, die im unbelasteten Zustand senkrecht auf der neutralen Linie standen, stehenauch nach der Biegedeformation senkrecht auf der deformierten Balkenachse.
• Ebene Querschnitte bleiben eben.
• Die Biegeverformungen sind klein im Vergleich zur Länge des Balkens.
• Der Balken verhält sich isotrop elastisch nach dem Hooke’schen Gesetz.
A.1.2 Verformungen und Dehnungen
Betrachtet wird der in Abbildung A.1/1 gezeigte Balken, der durch ein konstantes Biegemoment
belastet wird.
Es gilt der folgende Zusammenhang zwischen dem Krümmungsradius und der Verschiebung
[MÖ14]
= ±
µ1 +
³
´2¶32³22
´ (A.1/1)
280 A.1 Balken ohne Schubeinfluss (Bernoulli)
Abbildung A.1/1: Verformter Biegebalken mit Krümmungsradien und Bogenlängen
Für kleine Durchbiegungen kann Gl. (A.1/1) vereinfacht werden. Es gilt
≈ ± 122
(A.1/2)
Die Längsdehnung einer Faser an der vertikalen Position ist mit den in Abbildung A.1/1
gegebenen Bogenlängen
() = ()−
(A.1/3)
Die Längen der Kreisbögen und () sind
= (A.1/4)
() = ( − )
Damit ergibt sich Gl. (A.1/5) für die Längsdehnung.
= −
= −
2
2(A.1/5)
A Theorie und Numerik der Balkenbiegung 281
Abbildung A.1/2: Gleichgewicht am Element eines Biegebalkens mit Biegemoment , Querkraft und Linienlast ()
A.1.3 Gleichgewichtsbedingungen am Biegebalken
Zur Bestimmung der Gleichgewichtsbedingungen betrachtet man ein Balkenelement mit der
infinitesimalen Länge welches durch die Linienlast () belastet wird, Abbildung A.1/2.
Das Kräftegleichgewicht in vertikaler Richtung liefert die folgende Differentialgleichung für
den Zusammenhang zwischen der Querkraft und der Streckenlast
+ = 0 (A.1/6)
Aus dem Momentengleichgewicht können die folgenden Zusammenhänge zwischen Momenten
und Querkräften ermittelt werden
=
(A.1/7)
=
2
2
Mit dem Hooke’schen Gesetz und Gl. (A.1/5) ergibt sich für die Spannungsverteilung
( ) = −2
2· (A.1/8)
Für das Schnittmoment an einer Stelle des Biegebalkens gilt der differentielle Zusammenhang
= − · (A.1/9)
282 A.2 Balken mit Schubeinfluss nach Timoshenko
Durch Integration ergibt sich das Schnittmoment zu
= − 2
2(A.1/10)
Durch zweimalige Differentiation erhält man die Differentialgleichung der Biegelinie
2
2
µ
2
2
¶= (A.1/11)
A.2 Balken mit Schubeinfluss nach Timoshenko
Der oben verwendete Ansatz entspricht der klassischen Biegetheorie des Euler-Bernoulli-Balkens,
der als schubstarr angesehen wird. Diese Betrachtung beruht auf der Hypothese, dass ursprüng-
lich zur Nullinie senkrechte stehende Querschnitte auch nach Eintreten der Deformation ihre
Orientierung nicht verändern. Eine allgemeinere Betrachtungsweise führt auf den schubwei-
chen Timoshenko-Balken.
A.2.1 Schubverzerrung
Für die Schubverzerrung eines Balkenelements mit den Verschiebungen und kann ge-
schrieben werden
=
+
(A.2/1)
A.2.2 Wirkende Schubspannungen und Schubkorrekturfaktor
Die Schubverzerrungen werden durch wirkende Querkräfte erzeugt. Die Querkräfte ergeben
sich durch Integration der an einer Stelle im Querschnitt des Biegebalkens wirkenden Schub-
spannungen. Beim Timoshenko-Balken nimmt man an, dass die Schubspannung auf der Quer-
schnittsfläche konstant ist. Diese Querkraft-Schubspannung folgt mit der Querkraft und
der Schub-Querschnittsfläche zu
=
(A.2/2)
Für die Schubquerschnittsfläche gilt mit dem Schubkorrekturfaktor
= (A.2/3)
A Theorie und Numerik der Balkenbiegung 283
Den Schubkorrekturfaktor kann man in Abhängigkeit der Querschnittsform durch eine Ar-
beitsbetrachtung bestimmen. Die Schubspannungsverteilung auf dem Querschnitt folgt zu
() = · () · () (A.2/4)
Es folgt die Herleitung für einen Rundquerschnitt, da dieser für das betrachtete Walzendurchbie-
gungsproblem maßgebend ist. Für die Querschnittsbreite () gilt bei einem Rundquerschnitt
mit dem Radius
() = 2√2 − 2 (A.2/5)
Das statische Moment () ergibt sich zu Gl. (A.2/6) [GHSW07].
() =
Z
· =
Z
2p2 − 2 (A.2/6)
=2
3
¡2 − 2
¢ 32
Damit lässt sich Gl. (A.2/4) zu Gl. (A.2/7) ausformulieren.
() =4
3
¡2 − 2
¢(A.2/7)
Der Formfaktor 43in Gl. (A.2/7) kann als Korrekturfaktor der Schubspannungsverteilung für
Rundquerschnitte aufgefasst werden. Um den Schubquerschnitt zu bestimmen, wird die
Schubarbeit mit der Deformationsarbeit des Querkraftschubs gleichgesetzt. Daraus erlangt man
die folgende Gleichung [GHSW07]
2
=
Z
2
(A.2/8)
Für den Rundquerschnitt folgt mit = () ·
2
=
Z
−
162 (2 − 2)2
922√2 − 2 (A.2/9)
Durch Lösen des Integrals und Auflösen der Gleichung nach erhält man die Schubfläche für
den Rundquerschnitt gemäß Gl. (A.2/10).
=9
102 =
9
10 (A.2/10)
Der Schubkorrekturfaktor hat damit für den Rundquerschnitte den Wert = 910
.
284 A.2 Balken mit Schubeinfluss nach Timoshenko
A.2.3 Zusammenhang von Durchbiegung und Neigung
Der Neigungswinkel eines verformten Querschnitts entspricht beim Timoshenko-Balken nicht
der ersten Ableitung der Durchbiegung. Es werden daher zwei unterschiedliche Winkel und
betrachtet, die gemäß Gl. (A.2/11) definiert sind.
=
(A.2/11)
=
−
Es gilt
= beim Bernoulli-Balken (A.2/12)
6= beim Timoshenko-Balken
Für die Längsdehnung des Timoshenko-Balkens gilt
= −
(A.2/13)
A.2.4 Stoffgesetz
Bei Berücksichtigung des Schubeinflusses wird das Hooke’sche Gesetz für den eindimensiona-
len Normalspannungszustand, aber außerdem für den reinen Schubspannungszustand formuliert
= (A.2/14)
=
A.2.5 Gleichgewicht und Biegelinie
Mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen am Balkenelement, vgl. Abbildung A.1/2 folgt der
Zusammenhang zwischen der Querkraft und der Neigung des Querschnitts
() = − 22
(A.2/15)
A Theorie und Numerik der Balkenbiegung 285
Abbildung A.3/1: Finites Balkenelement der Länge , belastet durch eine Linienlast () und die Mo-mente1 und2 an den Knoten (1) und (2)
Die Differentialgleichung der Biegelinie muss im Fall des Timoshenko-Balkens durch zwei
gekoppelte Differentialgleichungen beschrieben werden. Diese sind in Gl. (A.2/16) gegeben.
µ
¶+
µ
−
¶= 0 (A.2/16)
∙
µ
−
¶¸= − ()
A.3 Numerische Lösung mit Finiten Elementen
Die numerische Lösung der Differentialgleichungen Gl. (A.1/11) oder Gl. (A.2/16) mit Finiten
Balkenelementen wird im folgenden getrennt für die zwei verschiedenen Balkentypen beschrie-
ben.
A.3.1 Bernoulli-Balken
An den Knoten (1) und (2) des in Abbildung A.3/1 gezeigten Balkenelements liegen je zwei
Freiheitsgrade vor. Diese sind die Verschiebung und die Neigung =
. Für den Verlauf
dieser Größen über die Elementlänge werden die folgenden polynomischen Ansätze postuliert
() = 0 + 1 + 22 + 3
3 (A.3/1)
() =
= 1 + 22 + 33
2
286 A.3 Numerische Lösung mit Finiten Elementen
Für die Vertikalverschiebungen und Neigungen an den Knoten (1) und (2) gilt
1 = 0 (A.3/2)
1 = 1
2 = 0 + 1 + 22 + 3
3
2 = 1 + 22 + 332
Aus diesen Randbedingungen werden die Koeffizienten 0 bis 3 wie folgt bestimmt
0 = 1 (A.3/3)
1 = 1
2 = − 321 − 2
1 +
3
22 − 1
2
3 =2
21 +
1
21 −
2
32 +
1
22
Der Verschiebungsansatz nach Gl. (A.3/1) kann mit Formfunktionen geschrieben werden
Für den Timoshenko-Balken erfolgt diese Betrachtung getrennt für die Biegungs- und Schuban-
teile. Für den Biegeanteil gilt
k =
320
⎡⎢⎢⎣0 0 0 00 1 0 −10 0 0 00 −1 0 1
⎤⎥⎥⎦ (A.3/49)
Mit dem Polynom
= 41 + 312 + 2122 + 1
32 + 42 (A.3/50)
Für den Schubanteil der Steifigkeitsmatrix kann geschrieben werden
k =
12
⎡⎢⎢⎣1 2 −1 32 4 −2 6−1 −2 1 −33 6 −3 5
⎤⎥⎥⎦ (A.3/51)
mit ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣123456
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦ =⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1
1
1
34
12
14
14
12
34
610
310
110
110
310
610
320
15
320
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎣ 211222
⎤⎦ (A.3/52)
A.3.4 Spannungen und Dehnungen
Für die Belastungsanalyse der Walzwerkswalzen sind die wirkenden Biegespannungen von be-
sonderer Bedeutung.
Auf dem Bernoulli-Balkenelement gilt für die Längsdehnung in Abhängigkeit von und
296 A.3 Numerische Lösung mit Finiten Elementen
( ) = −2N ()
2u
= · 22 ( − 3)2
+
· 61 (3 − 2)3
−
· 62 ( − 2)3
+
· 21 (2 − 3)2
(A.3/53)
Daraus können zwei Gleichungen für die Dehnung an beiden Knoten bei = 0 und bei =
gewonnen werden
1 () =
µ61 − 62
2+41 + 22
¶(A.3/54)
2 () =
µ−61 + 622
− 21 + 42
¶Die Spannungen an der äußeren Randfaser ergeben sich nach
1 = 1
2
µ61 − 62
2+41 + 22
¶(A.3/55)
2 = 2
2
µ−61 + 622
− 21 + 42
¶Allgemein gilt für den Timoshenko-Balken
= −
= −µ1
1 +
2
2
¶(A.3/56)
Mit den linearen Formfunktionen ergibt sich
=
(1 − 2) (A.3/57)
Damit ist die Dehnung und Spannung auf einem Element jeweils konstant. Dies ergibt sich
aufgrund der linear gewählten Formfunktionen.
Mittelt man die Elementhöhen 1 und 2 arithmetisch, dann gilt
=1 + 2
2(1 − 2) (A.3/58)
Anhang BKontaktmechanische Grundlagen
Als Entwicklungsgrundlage der präsentierten Modelle zur Walzenbelastung werden im Folgen-
den die theoretischen Grundlagen der elastischen Kontaktmechanik dargestellt und die Herlei-
tungen der Modelle aufgezeigt. Die nächsten beiden Abschnitten behandeln die Modelle zur
Berechnung der Walzenabplattung im zwei- und dreidimensionalen Fall auf der Basis der De-
formation eines elastischen Halbraums.
In einem weiteren Abschnitt wird das Kontaktproblem zwischen zylindrischen Körpern behan-
delt, dass die theoretische Basis des Zusammenwirkens zwischen den Arbeits- und Stützwalzen
eines Walzgerüstes bereit stellt.
B.1 Linienbelastung eines elastischen Halbraums (ebener Fall)
Abbildung B.1/1: Elastische Deformation einer ursprünglich zur x-Achse parallelen Halbraumoberflä-che unter Einwirkung einer Streckenlast gemäß Gl. (B.1/13). Nach [Joh03]
Abbildung B.1/1 zeigt die Deformation der Oberfläche eines elastischen Halbraums durch eine
298 B.1 Linienbelastung eines elastischen Halbraums (ebener Fall)
konstante Streckenlast .
Unter der Voraussetzung eines ebenen Verzerrungszustandes soll die Verschiebung () der
Oberfläche unter der Wirkung einer beliebig verteilten Linienlast () berechnet werden. Zur
Lösung dieses Problems wird ein Polarkoordinatensystem eingeführt. Der Spannungszustand
wird mit Hilfe der Spannungspotentialfunktion Γ ( ) wie folgt ausgedrückt, s.a. [Bar10]
=1
22Γ
2+1
Γ
(B.1/1)
=2Γ
2
= −
µ1
Γ
¶Zur Erfüllung der Kompatibilitätsbedingungen muss die Spannungsfunktion biharmonisch sein,
d.h. Gl. (B.1/2) muss erfüllt sein
∇4Γ = 0 (B.1/2)µ2
2+1
22
2+1
¶µ2Γ
2+1
22Γ
2+1
Γ
¶= 0
Ein derart zulässiger Ansatz für die Spannungsfunktion ist beispielsweise nach [Joh03] für den
einfachsten Fall einer konzentrierten Normalkraft wie folgt mit einer Konstanten gegeben
Γ ( ) = sin (B.1/3)
Damit können die Normalspannungen in Polarkoordinaten wie folgt geschrieben werden
= 2
cos
(B.1/4)
= = 0
Die Konstante wird gefunden, indem die auf einem Halbkreis des Radius wirkenden Radial-
spannungen mit der externen Kraft ins Gleichgewicht gesetzt werden
− =
Z 2
−2 cos =
Z 2
−24 cos
2 = (B.1/5)
= −
= −2
cos
(B.1/6)
Mit Hilfe des Hooke’schen Gesetzes und nach Lösen der entstehenden Differentialgleichungen
findet man daraus die Verschiebungen in radialer und tangentialer Richtung
B Kontaktmechanische Grundlagen 299
= −1− 2
2 cos ln ()− (1− 2) (1 + )
sin + 1 sin + 2 cos (B.1/7)
=1− 2
2 sin ln () +
(1 + )
2 sin − (1− 2) (1 + )
cos +
(1− 2) (1 + )
sin + 1 cos − 2 sin + 3
Wenn der elastische Körper keine Neigung vollführt (die auf der z-Achse liegenden Punkte
verschieben sich nur vertikal) ist 1 = 3 = 0. An der Oberfläche gilt = ±2
und so
=±2= −(1− 2) (1 + )
(B.1/8)
=2= −=−
2=(1− )2
2 ln () +
Die hier verbleibende Konstante wird mit Hilfe einer bekannten Verschiebung an einem Punkt
auf der Oberfläche bei = 0 gewählt
=2= −=−
2= −(1− )2
2 ln
³0
´(B.1/9)
Rechnet man die Spannungsverteilung in kartesische Koordinaten um, dann folgt
= sin2 = −2
2
(2 + 2)2(B.1/10)
= cos2 = −2
3
(2 + 2)2
= sin cos = −2
2
(2 + 2)2
Es soll die Lösung für eine Linienlastverteilung () bestimmt werden. Hierzu wird in Gl.
(B.1/10) statt der Einzelkraft ein Kraftinkrement verwendet und über die Kontaktlänge
integriert. Daraus folgen die Spannungen
= −2
Z
−
() (− )2 £(− )2 + 2
¤2 (B.1/11)
= −23
Z
−
() £(− )2 + 2
¤2 = −2
2
Z
−
() (− ) £(− )2 + 2
¤2
300 B.2 Punktbelastung eines elastischen Halbraums
Für die Verschiebungen der Punkte an der Oberfläche des Halbraums werden die folgenden
allgemeinen Gleichungen gefunden
= −(1− 2) (1 + )
2
∙Z
− () −
Z
()
¸+ 1 (B.1/12)
= −2 (1− 2)
Z
− () ln (|− |) + 2
Für den einfachsten Fall einer konstanten Linienlast ergibt sich vertikale Verschiebung der
Oberflächenpunkte gemäß
() = −1− 2
"(+ ) ln
µ+
¶2+ (− ) ln
µ−
2¶#
+ (B.1/13)
Die Integrationskonstante folgt durch Nullsetzen der Deformation am bekannten Ende des
Deformationsbereichs bei =
Um eine Lösung für beliebige, nicht konstante Lastverteilungen numerisch zu finden, bedient
man sich der Superposition dreieckiger Lastverteilungen. Die entsprechende Gleichung für die
Verschiebung in -Richtung für eine dreieckige Spannungsverteilung mit dem Spitzenwert =
0 bei = 0 und dem Randwert = 0 bei = ± ist
() = −1− 2
2
0
"(+ )2 ln
µ+
¶2+ (− )2 ln
µ−
¶2− 22 ln
³
´2#+
(B.1/14)
B.2 Punktbelastung eines elastischen Halbraums
Im dreidimensionalen Fall verwendet man anstelle der Spannungs- eine Verschiebungspotenti-
alfunktion. Die Papkovich-Neuber-Lösung definiert das Verschiebungsfeld in Vektorschreib-
weise wie folgt mit dem Schubmodul und den Potentialfunktionen ψ (vektoriell) und (ska-
lar) [Bar10].
2u = −4 (1− )ψ +∇ (r ·ψ + ) (B.2/1)
Zur Entwicklung der Gleichung definiert man zunächst eine Lösung A, in der nur das skalare
Potential berücksichtigt wird. Für die vektorielle Potentialfunktion giltψ = 0. In kartesischen
B Kontaktmechanische Grundlagen 301
Koordinaten ergeben sich die Verschiebungskomponenten wie folgt
2 =
; 2 =
; 2 =
(B.2/2)
Die relative Volumendilatation ist hier Null, da harmonisch ist gemäß
2divu = ∇2 = 0 (B.2/3)
Für die elastischen Spannungs-Dehnungs-Beziehungen gilt das Hooke’sche Gesetz in der Lamé-
Schreibweise mit den Konstanten und
σ = 2ε + Spur (ε) I (B.2/4)
Zur Berechnung der Spannungen setzt man Gl. (B.2/2) in Gl. (B.2/4) ein und erhält
=2
2; =
2
2; =
2
2(B.2/5)
=2
; =
2
; =
2
;
Diese Lösung gilt nur für rotationsfreie Verschiebungsfelder.
Zur Ermittlung einer Lösung B werden alle Funktionen in Gl. (B.2/1) gleich Null gesetzt, bis
auf die z-Komponente von ψ. Damit ergeben sich die folgenden Verschiebungs- und Span-
nungskomponenten mit dem skalaren Verschiebungspotential =
2 =
; 2 =
; 2 =
− (3− 4) (B.2/6)
= 2
2− 2
= 2
2− 2
= 2
2− 2 (1− )
= 2
= 2
− (1− 2)
= 2
− (1− 2)
302 B.2 Punktbelastung eines elastischen Halbraums
Ähnliche Lösungen C und D können hergeleitet werden, indem die x- bzw. y-Komponenten
von ψ anstelle der z-Komponente berücksichtigt werden. Zur Komplettierung kann man eine
Lösung E für reine Rotationsprobleme (Torsion) bestimmen, vgl. [Bar10].
Durch geeignete Superposition dieser einzelnen Lösungen können die Spannungs- und Ver-
schiebungsfelder für einen allgemeinen dreidimensionalen elastischen Lastzustand bestimmt
werden.
Ein wichtiger Sonderfall ist das Boussinesq-Problem, bei dem ein elastischer Halbraum durch
Einwirkung einer Einzelkraft im Koordinatenursprung belastet wird [Bou85].
Zur Lösung dieses Problems ist prinzipiell eine Kombination aus den Lösungen A und B erfor-
derlich, und zwar der Art, dass die an der Oberfläche (bei z=0) wirkenden Schubspannungen
und verschwinden. Diese Bedingung wird von einem Potential erfüllt, das in der fol-
genden Weise definiert wird
= (1− 2); =
(B.2/7)
Für die Spannungs- und Verschiebungskomponenten ergeben sich in diesem Fall die Gleichun-
gen
2 = 2
+ (1− 2)
(B.2/8)
2 = 2
+ (1− 2)
2 = 2
2+ (1− 2)
Sowie die Spannungskomponenten
= 3
2+
2
2+ 2
2
2(B.2/9)
= 3
2+
2
2+ 2
2
2
= 3
3− 2
2
= 3
+ (1− 2) 2
= 3
2; =
3
2
In Gl. (B.2/9) ist wieder erkenntlich, dass = = 0 an der Oberfläche bei = 0.
B Kontaktmechanische Grundlagen 303
Das Verschiebungspotential wird in der folgenden Weise formuliert mit der Konstante
=
Z 0
−∞
q2 + 2 + ( − )2
= ln³p
2 + 2 + 2 + ´
(B.2/10)
ist singulär im Koordinatenursprung, aber harmonisch an allen anderen Stellen. Die Gleichun-
gen der Verschiebungs- und Spannungsfelder können aufgestellt werden, indem Gl. (B.2/10) in
Gl. (B.2/9) eingesetzt wird. Für die Verschiebungen ergeben sich die folgenden Gleichungen
( ) = −2³·2+ · − 2
2− 2
2
´(1 + )
(+ ) 3(B.2/11)
( ) = −2³·2+ · − 2
2− 2
2
´(1 + )
(+ ) 3
( ) = −2³ · − 2
2− 2
2
´(1 + )
3
+Um die Einzelkraft herum bildet sich ein axialsymmetrisches Spannungsfeld aus. Diese Bedin-
gung kann man sich zur Bestimmung der Konstante zunutze machen. In axialsymmetrischen
Zylinderkoordinaten muss erfüllt sein
= −2Z ∞
0
( ) (B.2/12)
= −63Z ∞
0
(2 + 2)52(B.2/13)
= −2 (B.2/14)
Damit ergibt sich
= −
2(B.2/15)
Damit können die Gleichungen für die Spannungen und Verschiebungen können wie folgt an-
gegeben werden
( ) =
4
µ
3− (1− 2)
(+ )
¶(B.2/16)
( ) =
4
µ
3− (1− 2)
(+ )
¶ ( ) =
4
µ2
3+2 (1− )
¶
304 B.2 Punktbelastung eines elastischen Halbraums
Die Komponenten des Spannungstensors lassen sich durch Bildung des Verzerrungstensors und
Anwendung des Hooke’schen Gesetzes berechnen. Für den obigen Fall einer einzelnen Nor-
malkraft gilt
( ) =
2
∙(1− 2)2 + 2
½³1−
´ 2 − 2
2 + 2+
2
3
¾− 3
2
5
¸(B.2/17)
( ) =
2
∙(1− 2)2 + 2
½³1−
´ 2 − 2
2 + 2+
2
3
¾− 3
2
5
¸ ( ) = −3
2
3
5
( ) =
2
∙(1− 2)2 + 2
½³1−
´
2 + 2−
3
¾− 3
2
5
¸ ( ) = −3
2
2
5
( ) = −32
2
5
Eine Variante des Boussinesq-Problems ist die Deformation einer Halbraumoberfläche, die statt
durch eine singuläre Einzelkraft durch eine auf einem Rechteck der Breite 2 und der Länge 2
konstante Normalspannung belastet ist. Dieses Problem wurde von Love behandelt [Lov82,
Joh03]. Für die Verschiebung der Halbraumoberfläche in vertikaler Richtung ( ) gilt
1− 2
= (+ ) ln
⎡⎣( + ) +q( + )2 + (+ )2
( − ) +q( − )2 + (+ )2
⎤⎦ (B.2/18)
+( + ) ln
⎡⎣(+ ) +q( + )2 + (+ )2
(− ) +q( + )2 + (− )2
⎤⎦+(− ) ln
⎡⎣( − ) +q( − )2 + (− )2
( + ) +q( + )2 + (− )2
⎤⎦+( − ) ln
⎡⎣(− ) +q( − )2 + (− )2
(+ ) +q( − )2 + (+ )2
⎤⎦Die obigen Lösungen gelten nur für einen elastischen Halbraum, d.h. bei Vernachlässigung
der Walzenkrümmung für eine Walze mit unendlichem Durchmesser. Nach [HMG98] wird die
Verschiebung der Walzenoberfläche wie folgt mit der Verschiebung im Walzenkern und einem
Korrekturterm korrigiert, um eine gültige Lösung für eine Walze mit endlichem Durchmesser
B Kontaktmechanische Grundlagen 305
zur erlangen. Bei einer im Punkt ( = 0 = 0 = 0) an der Walzenoberfläche angreifenden
Kraft gilt für die Oberflächenverschiebung in vertikaler Richtung
∗ ( ) = ( 0)− (0 ) +1 (0 )
(B.2/19)
mit der Vertikalspannung an der Walzenkernposition (0 ) aus Gl. (B.2/17) als
(0 ) = −32
3³p( − 0) + 02 +2
´5 (B.2/20)
Die Korrekturverschiebung im Walzenkern ist
(0 ) =
4
⎛⎜⎜⎜⎝ 2µq( − 0)2 + 02 +2
¶3 + 2 (1− )q( − 0)2 + 02 +2
⎞⎟⎟⎟⎠ (B.2/21)
Zur Berechnung der örtlichen Deformation der Walzenoberfläche wird in der vorliegenden Ar-
beit die Love-Lösung nach Gl. (B.2/18) angewandt. Dabei wird die Kontaktfläche in kleine
Rechtecke aufgeteilt. Für jedes Rechteck wird eine mittlere wirkende Druckspannung aus den
berechneten Spannungswerten der angrenzenden Gitterknoten verwendet. Die Korrekturen nach
Gl. (B.2/19) werden auf die Lösung angewandt.
B.3 Kontakt von zylindrischen Körpern
Das Kontaktproblem zwischen zwei Zylindern ist von besonderer Bedeutung für die gegensei-
tige Beeinflussung von Stütz- und Arbeitswalzen in Vier- und Mehrwalzengerüsten.
Abbildung B.3/1 zeigt zwei Kreisscheiben unterschiedlicher Radien 1 und 2 im gegensei-
tigen Kontakt. Im linken Teilbild ist der unbelastete Zustand zu sehen. Der Abstand zwischen
den Kreismittelpunkten ist hier = 1 + 2. Im rechten Teilbild ist die Situation bei einer
wirkenden diametralen Kraft dargestellt. Die Oberflächen der Kreisscheiben verformen sich.
Der beiden Körpern gemeinsame Kontaktflächenanteil ist hier durch die Kontaktbreite ge-
kennzeichnet. Der Abstand zwischen den Kreismittelpunkten verkleinert sich in diesem Fall auf
0 .
Betrachtet man einen Kreiszylinder der Länge und des Radius , dann erzeugt der Kontakt
des Zylinders mit einem anderen Körper eine Hertz’sche Spannungsverteilung gemäß
() =2
s1− 2
2(B.3/1)
306 B.3 Kontakt von zylindrischen Körpern
Abbildung B.3/1: Links: Zwei Kreiszylinder im kraftlosen Kontakt. Rechts: Mit diametraler Last
Nach Johnson [Joh03] sind im ebenen Verzerrungszustand die Horizontal- und Vertikalspan-
nungen in einem Punkt unterhalb der Oberfläche des Zylinders wie folgt gegeben
( ) =
Ã1
− 2 (
2 + 2
2)
2p2 + 2
+4
2
!(B.3/2)
( ) =
Ã1
− 2
2− − 2p
2 + 2
!
Für die Vertikaldehnung gilt
=1− 2
µ −
1−
¶(B.3/3)
Integriert man Gl. (B.3/3) von = 0 bis = , dann folgt die Eindrückung des Zylinders in
der Kontaktfuge zu
1 = 1− 2
µ2 ln
µ4
¶− 1¶
(B.3/4)
Behandelt man beide am Kontakt beteiligte Körper entsprechend, dann folgt die Gesamtabplat-
tung zu
=2
µ1− 211
ln
µ41
¶+1− 222
ln
µ42
¶−µ1− 2121
+1− 2222
¶¶(B.3/5)
B Kontaktmechanische Grundlagen 307
Unter der Verwendung der von Hitchcock eingeführten elastischen Konstanten der Kontaktpart-
ner
=16
1− 2
(B.3/6)
ist Gl. (B.3/5) äquivalent zu
=
µ1
8ln
µ41 ()
¶+
2
8ln
µ42 ()
¶− 1 + 2
16
¶(B.3/7)
Für die halbe Abplattungsbreite und den kombinierten Krümmungsradius der Kontaktpartner
gelten
=
r(1 + 2)12
4(B.3/8)
mit1
12=
1
1+1
2(B.3/9)
Aus diesen Gleichungen wird unmittelbar klar, dass die radialer Abplattung der Zylinder
eine nichtlineare Funktion der Kontaktkraft ist. Bildet man die Taylor-Reihe von () an
der Stelle 0, so folgt Gl. (B.3/10).
( 0) = 0+
( − 0)+
1
2
2
2( − 0)
2+1
6
3
3( − 0)
4++1
!
( − 0)
(B.3/10)
Der Abbruch der Reihe nach dem zweiten Glied führt auf die Linearisierung des Zusammen-
hangs in der Umgebung des Arbeitspunktes 0
( ; 0) ≈ 0 +
( − 0) (B.3/11)
Die Kontakt-Nachgiebigkeit von Gl. (B.3/7) führt auf
=1
8
"1 ln
Ã81p
12 (1 + 2)
!+ 2 ln
Ã82p
12 (1 + 2)
!− (1 + 2)
#(B.3/12)
Die Kontakt-Steifigkeit ergibt sich dann zu
=
=
µ
¶−1(B.3/13)
308 B.3 Kontakt von zylindrischen Körpern
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Kon
takt
stei
figk
eit c
k [k
N/m
m2 ]
Kontaktkraft f [kN/mm]
EAW = 175 kN/mm2
EAW = 220 kN/mm2
EAW = 310 kN/mm2
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Abp
latt
ung
[mm
]
Kontaktkraft f [kN/mm]
Abbildung B.3/2: Kontaktsteifigkeit und Abplattung beim Kontakt zweier zylindrischer Körper.1 = 750; 2 = 1500. 2 = 175 ;1 variiert
Abbildung B.3/2 zeigt den Kontaktsteifigkeits- und Abplattungsverlauf am Beispiel des Kon-
taktproblems der Walzenballen von Arbeits- und Stützwalze in einem Vierwalzengerüst für ver-
schiedene Elastizitätsmodule des Arbeitswalzenwerkstoffs. Der Ballendurchmesser der Arbeits-
walze beträgt = 750, der Ballendurchmesser der Stützwalze beträgt = 1500
Der Elastizitätsmodul des Stützwalzenballens beträgt in den Berechnungen = 175 2 .
Loo [Loo58b],[Loo58a] konnte eine Erweiterung der Kontaktmechanik nach Hertz mit verbes-
Abbildung 4.4/1 Kräftegleichgewicht am Walzspalt in der xz-Ebene. A)Angreifende Kräfte; B) Zerlegung in der Voreilzone; C)Zerlegung in der Nacheilzone, nach [SS83] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Abbildung 4.8/5 Walze als Biegenbalken auf zwei Stützen mit nicht-mittigangreifender Belastungskraft F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Abbildung 4.8/6 Beispielhafte Abmessungen einer Walze eines Zweiwalzenge-rüstes und Diskretisierung mit Finiten Balkenelementen . . . . . . . . 109
Abbildung 4.8/7 Geometrie der Arbeits- und Stützwalze eines Vierwalzengerüs-tes und Diskretisierung durch Finite Balkenelemente . . . . . . . . . . 111
Abbildung 4.8/8 Gemessener Walzenverschleiß in einem Gerüst F3 einesWarmbreitbandwalzwerks. Daten nach [SETF14] . . . . . . . . . . . . . 113
Abbildung 4.8/9 Berechneter Walzenverschleiß in den Gerüsten der Fertigstaffeleines Warmbandwalzwerks nach einer gewalzten Bandlängevon 88,3 km. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Abbildung 7.1/3 A) Entwicklung des Bandprofils ohne Eingriffe bei isothermenWalzen; B) Entwicklung des Bandprofils beim 5. Band mitthermisch deformierten Walzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
Abbildung 7.1/4 Berechnete Bandprofile ohne Profil- und Planheitsbeeinflussungfür das 10. und 20. Band . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
Abbildung 7.1/5 Dickenprofile für das 5. Band im Vergleich ohneProfileingriffe und durch Verwendung des gleichen CVC-Arbeitswalzenschliffs in allen Gerüsten mit unterschiedlichangepassten Verschiebungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
Tabelle 8.3/2 Auslegungsdaten des zehngerüstigen Standardblocks für dieAbmessung 5,5 mm mit Getriebeübersetzungen, Walzendrehzahlen,Nenndurchmessern, Arbeitenden Durchmessern, Geschwindigkeitenund Profilflächen. Auslegung ohne Voreilung mit = 1 . . . . . . . . . . . 269
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