-
Analele Universităţii “Constantin Brâncuşi” din Târgu Jiu, Seria
Inginerie, Nr. 2/2012
Annals of the „Constantin Brâncuşi” University of Târgu Jiu,
Engineering Series, Issue 2/2012
131
MODELAREA MATEMATICĂ A PROCESULUI “PENDUL INVERS
ROTATIV” Popescu Ion Marian, Şef.Lucr.dr.ing., Universitatea
“Cosntantin Brâncuşi” din Târgu-Jiu ABSTRACT: În această lucrare se
prezintă dezvoltarea unui model matematic ce aproximează procesul
real “Pendul Invers Rotativ”. Această dezvoltare va fi utilă în
proiectarea şi implementarea unui sistem de control a procesului
real, plecând de la realizarea practică a părţii mecanice, a
sistemului de achiziţie şi comenzi, a modelării procesului şi
proiectarea structurii şi algoritmului de reglare. Acest sistem
prezintă restricţii puternice de timp real şi totodată precizia
comenzii calculate trebuie să fie cât mai mare, datorită faptului
că sistemul are în plan vertical_Up un singur punct de echilibru
care este şi instabil. 1.Descrierea structurii procesului “Pendul
Invers Rotativ” Pendulul invers rotativ este utilizat în domeniul
sistemelor de control pentru a ilustra idea tehnologiei controlului
automat. Ca şi construcţie[1], este format dintr-un braţ acţionat
de un motor de c.c. ce se roteşte în plan orizontal şi are ataşat
la capăt pendulul propriu-zis care se roteşte într-un plan vertical
perpendicular pe braţul de acţionare, ca în Fig.1 şi Fig.2
MATHEMATICAL MODELING OF THE PROCESS “ROTARY INVERSED
PENDULUM” Popescu Ion Marian, Lecturer PhD. Eng. University
“Cosntantin Brâncuşi” of Târgu-Jiu
ABSTRACT: In this paper is presents the development of a
mathematical model that approximates the real 'Rotary inverted
pendulum ".This development will be useful in the design and
implementation of a real process control, based on the practical
realization of mechanical part of the data acquisition system and
control, process modeling and design of structure and control
algorithm.This system has strong restrictions also real time and
command precision calculated to be as high, because the system is
in vertical plane vertical_Up one equilibrium point which is
unstable. 1. The description process structure "Rotary Inversed
Pendulum" The rotary inversed pendulum is used in control systems
to illustrate the idea of automatic control technology. As
construction [1], consists of an arm driven by a DC motor which
rotates horizontally and has attached itself to the end pendulum
that rotates in a vertical plane perpendicular to the drive arm as
in Fig.1 and Fig.2
Fig.1. Pendulul în poziţie vertical_Up
Fig.1.Vertical_Up position of pendulum
-
Analele Universităţii “Constantin Brâncuşi” din Târgu Jiu, Seria
Inginerie, Nr. 2/2012
Annals of the „Constantin Brâncuşi” University of Târgu Jiu,
Engineering Series, Issue 2/2012
132
Mişcarea este iniţiată de rotirea braţului faţă de un capăt fix,
iar în punctul O şi punctul P sunt plasate 2 traductoare
potenţiometrice care furnizează pe cursor o tensiune proporţională
cu valoarea unghiului α -unghiul de rotaţie a braţului în plan
orizontal, şi β -unghiul de rotaţie în plan vertical şi
perpendicular pe braţ, al pendulului. Datorită faptului că pendulul
invers rotativ are 2 grade de libertate rotaţionale şi numai un
element de execuţie, acest sistem intră în categoria sistemelor
subacţionate. Motorul care realizează acţionarea este conectat
mecanic la braţul pendulului printr-un mecanism de roţi dinţate ca
în Fig.3.
Movement is initiated by rotating the arm from one end fixed,
and the point O and point P are placed two potentiometric
transducers that deliver a voltage proportional to the cursor angle
α -the angle of rotation of the arm in the horizontal plane and the
angle of rotation vertical and perpendicular to the arm of the
pendulum. Because reverse rotating pendulum has 2 rotational
degrees of freedom and only one element of execution, the system
falls into the category underactuated systems. D.C.motor that
performed the operation is mechanically connected to the arm with a
gear mechanism as in Fig.3.
Datele constructive ale sistemului sunt: Structural data of the
system are: ][radα -angle
Fig.3.Structura sistemului: 1-motorul de acţionare, 2-reductorul
mecanic,3-traductor poziţie braţ, 4-mecanismul de conectare
motor-potenţiometru-braţ,5-braţul de acţionare, 6-potenţiometrul
pentru poziţie pendul, 7-rulmenţi de susţinere pendul(2buc.),
8-pendul Fig.3. System structure: 1 the drive motor. 2 mechanical
gear. 3-position transducer arm. 4-connection mechanism motor
potentiometer arm. 5-arm drive, 6-potentiometer for position
pendulum. 7-pendulum support bearings (2buc.), 8-pendulum
Fig.2.Pendulul în poziţie vertical_Down
Fig.2. Vertical_Down position of pendulum
-
Analele Universităţii “Constantin Brâncuşi” din Târgu Jiu, Seria
Inginerie, Nr. 2/2012
Annals of the „Constantin Brâncuşi” University of Târgu Jiu,
Engineering Series, Issue 2/2012
133
][radα -unghiul dintre braţ şi axa orizontală ][radβ -unghiul
dintre pendul şi axa verticală
pentru poziţia vertical_Up ][radθ -unghiul dintre pendul şi axa
verticala
pentru poziţia vertical-Down [ ]20.006831 mkgJb ⋅= -momentul de
inerţie al
braţului faţă de punctul de acţionare [ ]20.002273 mkgJ p ⋅=
-momentul de inerţie al
pendulului faţă de punctul de sprijin ]/[0.008438 2 smkgCb ⋅=
-coeficient de
frecare vâscoasă pentru braţul pendulului ]/[0.007193 2 smkgCp
⋅= -coeficient de
frecare vâscoasă pentru pendul ][0.12 kgmp = -masa
pendulului
][32.0 ml = -lungimea pendulului ][25.0 mL = -lungimea
braţului
]/[8.9 2smg = -acceleraţia gravitaţională
uK -factor de amplificare pt. comanda PWM 0.11[Nm/A]=tK
-constanta cuplului motor
d]0.11[Vs/ra=bK -const. electromagnetică Ω= 3.2aR -rezistenţa
rotorică
between arm and the horizontal axis ][radβ - angle between the
pendulum and the
vertical axis for vertical_Up position ][radθ - angle between
the pendulum and the
vertical axis for vertical position_Down [ ]20.006831 mkgJb ⋅= -
moment of inertia of the
actuator arm to the point [ ]20.002273 mkgJ p ⋅= - moment of
inertia of the
pendulum to support ]/[0.008438 2 smkgCb ⋅= - Viscous
friction
pendulum arm ]/[0.007193 2 smkgCp ⋅= - Viscous friction
pendulum ][0.12 kgmp = - pendulum mass
][32.0 ml = - pendulum length ][25.0 mL = - arm's length
]/[8.9 2smg = - acceleration of gravity
uK - amplification factor for PWM command 0.11[Nm/A]=tK -
constant torque
d]0.11[Vs/ra=bK - electromagnetic constant Ω= 3.2aR - rotor
resistance
Fig.4.Poziţionarea potenţiometrelor pentru Braţ a)-vedere de
sus, si pentru Pendul b)-vedere din faţă
Fig.4. Potentiometers for positioning arm. a)-top view, and
Pendulum. b) front-view
-
Analele Universităţii “Constantin Brâncuşi” din Târgu Jiu, Seria
Inginerie, Nr. 2/2012
Annals of the „Constantin Brâncuşi” University of Târgu Jiu,
Engineering Series, Issue 2/2012
134
Datorită faptului că măsurarea celor 2 poziţii unghiulare se
realizează cu potenţiometre, trebuie ţinut cont de faptul ca
acestea au o “zonă de insensibilitate” cu lăţimea de 400, ca în
Fig.4. 2.Calibrarea sistemului fizic pentru dezvoltarea
corespunzătoare a modelului matematic
Domeniile de măsură pentru poziţia braţului sunt prezentate în
Fig.5. unde se prezintă şi convenţia pentru comanda motorului
stânga-dreapta.
Because the 2-position angle measurement is achieved by
potentiometers should be kept in mind that they have a "dead zone"
with a width of 400, as in Fig.4. 2.Physical system calibration for
proper development of the mathematical model As for the arm areas
are shown in Fig.5. and convention where the left and right engine
control.
Formula de calibrare conform măsurătorii, a unghiului format de
braţ faţă de o poziţie considerată 0, care va translata domeniul
[0..4095]unităţi CAN în domeniul [-2,73...2,73] radiani este
următoarea:
As measured calibration formula, the angle formed by the arm to
a position to 0, which will translate the [0 .. 4095] units in the
CAN[-2.73 ... 2.73] radians is:
73.24095
58.5−= −cititCAN
rad xα
Domeniile de măsură pentru pendul în cazul pendul_Up şi
pendul_Down sunt prezentate în Fig.6.
Measuring range for pendulum_Up and pendulum_Down are shown in
Fig.6.
Fig.5. Calibrarea domeniilor de măsură pentru poziţia braţului
şi convenţia pentru comanda motorului stânga-dreapta
Fig.5. Calibration measurement areas for the arm and convention
left and right engine control
-
Analele Universităţii “Constantin Brâncuşi” din Târgu Jiu, Seria
Inginerie, Nr. 2/2012
Annals of the „Constantin Brâncuşi” University of Târgu Jiu,
Engineering Series, Issue 2/2012
135
Braţul pendulului este acţionat de un motor de curent continuu
ce este alimentat cu o tensiune modulată PWM ca în Fig.7. Tensiunea
de alimentare a motorului Vm este
VKUKV uum 12⋅=⋅= . Practic, comanda primită de la sistemul de
achiziţie şi comandă, este mu VKu =⋅=12 care este transformată în
tensiune de alimentare a motorului în domeniul -12V…12V. Aplicând
legile lui Kirchoff avem:
The pendulum is actuated at one end by a DC motor that is
powered by a voltage modulated PWM as in Fig.7. Voltage of the
motor Vm can be considered to be
VKUKV uum 12⋅=⋅= . Basically, the command received from
acquisition and control system, is mu VKu =⋅=12 and it is converted
into DC voltage to motor in the domain -12V…12V. Applying
Kirchoff's laws we have:
Fig.6. Calibrarea domeniilor de măsură pentru poziţia pendulului
Fig.6. Measuring range for position calibration pendulum
-
Analele Universităţii “Constantin Brâncuşi” din Târgu Jiu, Seria
Inginerie, Nr. 2/2012
Annals of the „Constantin Brâncuşi” University of Târgu Jiu,
Engineering Series, Issue 2/2012
136
ba
aaam EdtdILRIV ++= (1)
unde: Ia - curentul în înfăşurarea rotorică; Ra-rezistenţa
înfăşurării rotorice; La - inductanţa înfăşurării rotorice;
Eb-tensiunea contraelectromotoare Tensiunea contraelectromotoare bE
este proporţională cu viteza de schimbare a fluxului
electromagnetic şi astfel este proporţională cu viteza unghiulară a
motorului, unde ţinem cont şi de relaţia (1):
where: Ia - current in the rotor winding; Ra -rotor winding
resistance; La - inductance of rotor winding; Eb -
for-electromotive tension
For-electromotive tension bE is proportional to the rate of
change of electromagnetic flow and thus is proportional to the
angular velocity of the engine, which take into account the
relation (1):
αα &bbb KdtdKE == (2)
unde bK - este constanta electromagnetică a motorului
where bK - is electromagnetic constant of the motor
Cuplul exercitat de motor mτ este direct proporţional cu
curentul prin înfăşurare:
If we consider the constant current, the torque motor mτ is
directly proportional to current through the motor winding:
atm IK=τ unde tK - este constanta de cuplu a motorului
Presupunând că efectul inductanţei înfăşurării rotorice La este
neglijabil, cuplul poate fi scris:
where tK - constant engine torque Assuming that the rotor
winding inductance effect La is negligible, the couple can be
written:
ατ &a
btm
a
t
a
bmtm R
KKVRK
REVK −=−= (4)
În relaţia (4), mVu = comandă pentru sistem şi vom avea:
In (4), mVu = is the control signal and we have:
ατ &a
bt
a
tm R
KKuRK
−= (5)
3.Modelarea matematică a procesului Datorită faptului că în
foarte multe abordări de principii de reglare a procesului “Pendul
Invers” din bibliografie [2], [3], [4], [5] se pleacă direct de la
un model matematic considerat cunoscut al procesului, am considerat
util să încerc detalierea completă a dezvoltării modelului
matematic. Se
3.Mathematical modeling of the process Because in many
approaches to process control principles "inverted pendulum" in the
bibliography [2], [3], [4], [5] going directly from a mathematical
model of the process considered known, we considered useful try
full details of the mathematical model development.
Fig.7.Structura sistemului de acţionare
Fig.7. Actuator System Structure
-
Analele Universităţii “Constantin Brâncuşi” din Târgu Jiu, Seria
Inginerie, Nr. 2/2012
Annals of the „Constantin Brâncuşi” University of Târgu Jiu,
Engineering Series, Issue 2/2012
137
impune precizarea că nu îmi asum faptul că acest model este unul
original şi nu a mai fost dezvoltat anterior de alţi autori, iar
dezvoltarea proprie vine în sprijinul înţelegerii personale în
totalitate a structurii acestui sistem, şi totodată constituie un
punct de plecare la dezvoltarea unor modele ulterioare care să ţină
cont şi de alte mărimi care în această abordare au fost neglijate,
cum sunt diferite tipuri de frecări, jocuri de tip luft la
reductorul motorului, etc.
The fact remains that not assume that this model is original and
has not been previously developed by other authors, and develop
their own personal understanding supports fully the structure of
the system, and also is a starting point to develop subsequent
models that take into account other sizes which have been neglected
in this approach, such as different types of friction type games
rebate from the engine gearbox etc.
Pornind de la Fig.1. a pendulului poziţionat în plan
vertical-Up, vom avea proiecţia mişcării pendulului în planul XOY
ca în Fig.8. Modelarea mişcării pendulului se va realiza folosind
ecuaţiile Euler-Lagrange. 3.1.Modelarea pendulului în poziţie
vertical-Up Energia cinetică a braţului este:
Based on Fig.1. the pendulum positioned vertically-Up, we have
projected motion in the plane XOY as in Fig.8. Pendulum motion
modeling will be done using Euler-Lagrange equations. 3.1. Modeling
pendulum in a vertical_Up position The kinetic energy of the arm
is:
2
21 α&bb JT = (6)
Energia potenţială a braţului este: Potential energy of the arm
is: 0=bV (7)
Determinarea energiei cinetice a pendulului, conform Fig.8.
presupune următoarele prelucrări pentru coordonatele vârfului
pendulului ( )111 ,, zyx :
Determination of the kinetic energy of the pendulum, as Fig.8.
processing involves the following tip coordinates of the pendulum (
)111 ,, zyx :
αβα sinsincos1 lLx += ; αβα cossinsin1 lLy −= ; βcos1 lz = (8)
Viteza vârfului pendulului de-a lungul axelor X,Y,Z este:
Pendulum peak speed along the axes X, Y, Z is:
βαββαααα cossinsincossin1 &&&& llLx ++−=
βαββαααα coscossinsincos1 &&&& llLy −+= (9)
ββ sin1 && lz −= Expresia pătratelor vitezei vârfului
este: Peak velocity squared expression is:
(10)cossin2sincossin2cossincossin2cossinsincossin
)cossinsincos(sin2)cossinsincos(sin
22
222222222222
222221
βαβαβααα
ββααβαβαββαααα
βαββααααβαββαααα
&&&
&&&&&
&&&&&&&
LlLllllL
llLllLx
−−
−+++=
=+−++=
Fig.8.Proiecţia mişcării pendulului în planul orizontal XOY
Fig.8. Pendulum motion in the horizontal plane projection
XOY
-
Analele Universităţii “Constantin Brâncuşi” din Târgu Jiu, Seria
Inginerie, Nr. 2/2012
Annals of the „Constantin Brâncuşi” University of Târgu Jiu,
Engineering Series, Issue 2/2012
138
)11(coscos2sincossin2
cossincossin2coscossinsincos
)coscossinsin(cos2)coscossinsin(cos
22
222222222222
222221
βαβαβααα
ββααβαβαββαααα
βαββααααβαββαααα
&&&
&&&&&
&&&&&&&
LlLl
lllL
llLllLy
−+
+−++=
=−+−+=
ββ 22221 sin&& lz = (12) Astfel vom avea: Thus we
have:
ββαβαβα
ββββαβββαα
cos2sin
sincos2cossin2222222
2222222222221
21
21
&&&&&
&&&&&&&&&
LlllL
lLlllLzyx
−++=
=+−++=++ (13)
Energia cinetică a vârfului pendulului este: The kinetic energy
of the pendulum peak is:
ββαβαβα
β
cossin21)(
21
21
)(21
21
2222222
21
21
21
2
&&&&&
&&&&
LlmlmlmJLm
zyxmJT
ppppp
ppp
−+++=
=+++= (14)
Energia potenţială a pendulului este: Potential energy of the
pendulum is: βcos1 glmgzmV ppp == (15)
Formăm Lagrangeanul sistemului: Lagrangean system: bbb VTL −= ;
ppp VTL −= ; pbpbpb VVTTLLL −−+=+= (16)
βββαβαβα
βββαβαβαα
coscossin21)(
21)(
21
coscossin21)(
21
21
21
2222222
22222222
glmLlmlmlmJLmJ
glmLlmlmlmJLmJL
ppppppb
ppppppb
−−++++=
=−−++++=
&&&&&
&&&&&&
Pentru coordonata generalizată α avem: For generalized
coordinate α we have:
0=∂∂αL
(17)
βββααα
cossin)( 222 &&&&
LlmlmLmJL pppb −++=∂∂
(18)
Folosind relaţia (18), vom avea: Using the relation (18), we
have:
βββββββαβααα
sincoscossin2sin)( 22222
&&&&&&&&&&
LlmLlmlmlmLmJLdtd
pppppb +−+++=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂ (19)
Ecuaţia Lagrange este: Lagrange equation is:
αταα=
∂∂
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂ LL
dtd
& (20)
unde ατ -este cuplul total care acţionează asupra axei de
rotaţie în direcţia creşterii lui α . Acesta reprezintă cuplul
exercitat de motor- mτ care trebuie să învingă cuplul de
frecare.
where ατ - is the total torque acting on the axis of rotation in
the direction of α increasing. This is the torque applied by the mτ
-motor torque must win friction.
αττα &bm C−= (21) unde bC - coeficientul de frecare vâscoasă
în jurul axei de rotaţie pentru unghiul α . Folosind relaţiile
(17),(19),(20),(21), prima ecuaţie de mişcare a braţului pendulului
devine:
where bC - coefficient of viscous friction about the axis of
rotation angle α . Using relations (17), (19), (20), (21), the
first equation of motion of the pendulum arm becomes:
-
Analele Universităţii “Constantin Brâncuşi” din Târgu Jiu, Seria
Inginerie, Nr. 2/2012
Annals of the „Constantin Brâncuşi” University of Târgu Jiu,
Engineering Series, Issue 2/2012
139
ατβββββαβββαα &&&&&&&&&&
bmpppppb CLlmlmLlmlmLmJ −=++−++ sincossin2cossin)(22222 (22)
Similar, pentru a 2-a coordonată generalizată β -unghiul
braţului avem:
Similarly, for a 2nd generalized coordinated β -arm angle we
have:
βββαββαβ
sinsincossin22 glmLlmlmL ppp ++=∂∂ &&& (23)
βαββ
cos)( 2 &&&
LlmlmJL ppp −+=∂∂
(24)
ββαβαββ
sincos)( 2 &&&&&&&
LlmLlmlmJLdtd
pppp +−+=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
(25)
Ecuaţia Lagrange devine: Lagrange equation becomes:
βτββ=
∂∂
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂ LL
dtd
& (26)
unde βτ -este cuplul total al pendulului care acţionează în
jurul axei de rotaţie. Considerăm:
where βτ -is the total torque acting on the pendulum axis of
rotation. Consider:
βτβ &pC−= (27) unde pC este coeficientul de frecare vâscoasă
a pendulului în jurul axei de rotaţie cu unghiul β . Folosind
relaţiile (23),(24),(25),(26),(27), obţinem a 2-a ecuaţie de
mişcare:
where pC is the viscous friction coefficient of the pendulum
about the axis of rotation with angle β . Using relations (23),
(24), (25), (26), (27), we obtain the equation of motion 2:
βτβββαββαββαβαβ =−−−+−+ sinsincossinsincos)(222
glmLlmlmLlmLlmlmJ ppppppp
&&&&&&&&&
ββββαββα &&&&&& pppppp CglmlmlmJLlm
−=−−++−⇒ sincossin)(cos222 (28)
Din relaţiile (22) şi (28) se obţin ecuaţiile de mişcare pentru
sistemul “Pendul Invers Rotativ”:
From relations (22) and (28) to obtain the equations of motion
for the "Rotary Inversed Pendulum":
(29)
sincossin)(cos
sincossin2cossin)(
222
22222
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=−−++−
−−=
=++−++
ββββαββα
αα
βββββαβββαα
&&&&&&
&&
&&&&&&&&&
pppppp
ba
bt
a
t
pppppb
CglmlmlmJLlm
CRKKu
RK
LlmlmLlmlmLmJ
3.2.Modelarea pendulului în poziţie vertical-Down Conform Fig.2.
unghiul θ este format de pendul şi verticala ce coboară din punctul
de sprijin. Acest unghi este folosit pentru modelul matematic
atunci când pendulul este în poziţia vertical_Down. Modelul
matematic al pendulului în poziţie vertical_Down, prin faptul că nu
diferă la nivelul parametrilor faţă de modelul pendulului în
poziţie vertical_Up, va fi folosit pentru testarea echivalenţei cu
modelul real,
3.2. Pendulum modeling vertical_Down position. According to
Fig.2. θ is the angle formed by the vertical pendulum and coming
down from anchorage. This angle is used for the mathematical model
when the pendulum is in the vertical_Down. The mathematical model
of the pendulum in place vertical_Down, by not differ from the
model parameters vertical_Up pendulum position will be used to test
equivalence with the real model as vertical_Down position, helps
balance point
-
Analele Universităţii “Constantin Brâncuşi” din Târgu Jiu, Seria
Inginerie, Nr. 2/2012
Annals of the „Constantin Brâncuşi” University of Târgu Jiu,
Engineering Series, Issue 2/2012
140
deoarece în poziţia vertical_Down, punctul staţionar de
echilibru ajută în sensul că se vor putea vizualiza în paralel cele
două evoluţii model şi proces, după o destabilizare, ele tind către
punctul staţionar. Relaţiile între θ şi β sunt:
stationary in the sense that they could two parallel view model
and process development as the destabilization, they tend to point
stationary. Relationship between θ and β are:
πθβ −= ; θπθβ cos)cos(cos −=−= ; θπθβ sin)sin(sin −=−= ; θβ
&& = ; θβ &&&& = (30) Substituim aceste
relaţii în prima ecuaţie de mişcare (29) şi se obţin ecuaţiile de
mişcare pentru sistemul “Pendul Invers Rotativ” în poziţia
vertical_Down:
Substituting these relations into the first equation of motion
(29) and obtain the equations of motion for the "Rotary Inversed
Pendulum" in vertical_Down position:
⎪⎩
⎪⎨⎧
−=+−++−=−++++
θθθθαθθαατθθθθθαθθθαα
&&&&&&
&&&&&&&&&&
pppppp
bmpppppb
CglmlmlmJLlmCLlmlmLlmlmLmJ
sincossin)(cossincossin2cossin)(
222
22222
unde înlocuim ατ &a
bt
a
tm R
KKuRK
−= : which replace ατ &a
bt
a
tm R
KKuRK
−= :
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=+−++
−−=
=−++++
θθθθαθθα
αα
θθθθθαθθθαα
&&&&&&
&&
&&&&&&&&&
pppppp
ba
bt
a
t
pppppb
CglmlmlmJLlm
CRKKu
RK
LlmlmLlmlmLmJ
sincossin)(cos
sincossin2cossin)(
222
22222
(31)
4.Liniarizarea sistemului în jurul unui punct staţionar de
funcţionare Cazul Pendul-Up:Pornind de la relaţiile (29) ce
reprezintă ecuaţiile pentru braţ şi pentru pendul în poziţia
vertical-Up, vom liniariza aceste ecuaţii în jurul unui punct
staţionar de funcţionare 00 , βα , caracterizat de următoarele
relaţii:
4.System linearization around a stationary operating point The
case Pendul_Up: Starting from relations (29) are the equations for
the pendulum arm in vertical_Up position, we linearize these
equations around a stationary operating point 00 , βα ,
characterized by the following relations:
)()( 0 tt ααα Δ+= ; )()( 0 tt βββ Δ+= (32) Poziţia 0α -este
unghiul unde trebuie ţinut braţul în plan orizontal şi implicit
pendulul să fie în echilibru vertical_Up. Astfel refαα =0 este
chiar mărimea de referinţă pentru sistem. Punctul staţionar
reprezentat de unghiul 0β este chiar unghiul reprezentat de
verticala ce trece prin punctul de sprijin al pendulului. Astfel
avem:
Position 0α -is the angle where the arm should be kept
horizontally and thus be in balance vertical_Up pendulum. Such
refαα =0 reference is right size for the system. Stationary point
0β represented the angle is right angle represented by the vertical
passing through the fulcrum of the pendulum. Thus we have:
⎩⎨⎧
Δ=Δ=
⇒⎩⎨⎧
Δ=Δ=
⇒⎩⎨⎧
Δ=Δ+=Δ+=
)()()()(
)()()()(
)()()()()(
0
0
tttt
tttt
ttttt
ββαα
ββαα
ββββααα
&&&&&&&&
&&&&
(33)
Pornind de la prima ecuaţie din (29) şi înlocuind relaţiile
(33), vom avea:
-
Analele Universităţii “Constantin Brâncuşi” din Târgu Jiu, Seria
Inginerie, Nr. 2/2012
Annals of the „Constantin Brâncuşi” University of Târgu Jiu,
Engineering Series, Issue 2/2012
141
ααβββββα
βββαα
&&&&&
&&&&&&
Δ−Δ−=ΔΔ+ΔΔΔΔ+
+ΔΔ−ΔΔ+Δ+
ba
bt
a
tpp
pppb
CRKK
uRK
Llmlm
LlmlmLmJ
sin)(cossin2...
...cossin)(
22
222
uRKC
RKKLlmlm
LlmlmLmJ
a
tb
a
btpp
pppb
=Δ+Δ+ΔΔ+ΔΔΔΔ+
+ΔΔ−ΔΔ+Δ+⇒
ααβββββα
βββαα
&&&&&
&&&&&&
sin)(cossin2...
...cossin)(
22
222
(34)
În relaţia (34) facem următoarele aproximări pentru unghiul
vertical al pendulului considerând variaţii mici βΔ în jurul
punctului staţionar 0β :
In (34) we make the following approximations for the vertical
angle of the pendulum considering small variations βΔ around the
stationary point
0β :
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=ΔΔ=Δ
⇒→Δ1cos
sin0
βββ
β (35)
Introducând relaţia (35) în (34), obţinem pentru prima ecuaţie
de mişcare:
Introducing relation (35) in (34), we obtain the first equation
of motion:
uRKC
RKKLlmlm
LlmlmLmJ
a
tb
a
btpp
pppb
=Δ+Δ+ΔΔ+ΔΔΔ+
+Δ−ΔΔ+Δ+⇒
ααββββα
ββαα
&&&&&
&&&&&&
22
222
)(2
)()( (36)
Neglijăm produse de forma: ..)(..)( Δ×Δ : Neglect products of
the form: ..)(..)( Δ×Δ :
uRK
RKKCLlmLmJ
a
t
a
btbppb =Δ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++Δ−Δ+⇒ αβα &&&&&)( 2 (37)
Analog, pornind de la a doua ecuaţie din (29) şi înlocuind
relaţiile (33), vom avea:
Similarly, from the second equation in (29) and substituting
relations (33), we have:
ββββαββα &&&&&& Δ−=Δ−ΔΔΔ−Δ++ΔΔ− pppppp
CglmlmlmJLlm sincossin)()(cos222 (38)
Neglijăm produse de forma: ..)(..)( Δ×Δ : Neglect products of
the form: ..)(..)( Δ×Δ : βββα &&&&& Δ−=Δ−Δ++Δ−
ppppp CglmlmJLlm )(
2
0)( 2 =Δ−Δ+Δ++Δ−⇒ βββα glmClmJLlm ppppp
&&&&& (39)
Ecuaţiile liniarizate în jurul unui punct staţionar de
funcţionare pentru sistemul pendul invers considerând poziţia
vertical-Up, obţinute prin relaţiile (37) şi (38) sunt:
Equations linearized around a stationary operating point for the
system, considering the position vertical_Up obtained by relations
(37) and (38) are:
-
Analele Universităţii “Constantin Brâncuşi” din Târgu Jiu, Seria
Inginerie, Nr. 2/2012
Annals of the „Constantin Brâncuşi” University of Târgu Jiu,
Engineering Series, Issue 2/2012
142
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=Δ−Δ+Δ++Δ−
=Δ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++Δ−Δ+
0)(
)(
2
2
βββα
αβα
glmClmJLlm
uRK
RKKCLlmLmJ
ppppp
a
t
a
btbppb
&&&&&
&&&&& (40)
Alegem variabilele de stare astfel încât să reprezinte chiar
mărimile fizice măsurate din proces, sub următoarea formă:
Choose state variables to represent physical quantities measured
in the process even under the form:
[ ] [ ]TTxxxxx ααββ ΔΔΔΔ== &&4321 (41) Introducem
relaţia (41) în relatia (40): Introducing relation (41) in relation
(40):
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−+++−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++−+
0)(
)(
2112
3
3132
glxmxCxlmJxLlm
uRKx
RKKCxLlmxLmJ
ppppp
a
t
a
btbppb
&&
&& (42)
Facem următoarele notaţii: We make the following notations:
glmhCflmJeRKd
RKKCcLlmbLmJa pppp
a
t
a
btbppb −==+==+=−=+= ;;;;;);(
22
Se înlocuiesc aceste notaţii în relaţia (42), şi se explicitează
variabilele de stare derivate 1x& şi 3x& în funcţie de
celelalte variabile de stare:
Replace these notations in (42), and derived explicit state
variables 1x& and 3x& by other state variables:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−−
−+
−−
−−=
−+
−−
−+
−=
⇒u
eabbdbex
eabbcbex
eabbhbx
eabbfbx
ueab
dbxeab
cbxeab
haxeab
fax
)()()()( 232222
12
2
3
23222121
&
&
(43)
Ataşăm sistemului (43) încă 2 ecuaţii pentru a obţine ecuaţiile
de stare complete:
Attached to the system (43) further 2 equations to get the full
state equations:
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=−
−−
+−
−−
−=
=−
+−
−−
+−
=
34
23222123
12
23222121
xx
ueab
dexeab
cexeab
hbxeab
fbx
xx
ueab
dbxeab
cbxeab
haxeab
fax
&
&
&
&
(44)
Relaţia (44), scrisă vectorial, are forma din relaţia (45) şi
reprezintă ecuaţiile de stare liniarizate în jurul punctului
staţionar:
Relation (44) has the form of equation (45) and equations of
state is linearized around the stationary point:
-
Analele Universităţii “Constantin Brâncuşi” din Târgu Jiu, Seria
Inginerie, Nr. 2/2012
Annals of the „Constantin Brâncuşi” University of Târgu Jiu,
Engineering Series, Issue 2/2012
143
u
eabde
eabdb
xxxx
eabce
eabhb
eabfb
eabcb
eabha
eabfa
xxxx
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−−
−−
−−=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
0
0
0100
00001
0
2
2
4
3
2
1
222
222
4
3
2
1
&
&
&
&
(45)
Testarea modelării procesului pendul-Up: Testarea modelului
matematic presupune simularea răspunsului sistemului liniar şi al
celui neliniar raportate la punctul staţionar considerat. Răspunsul
simulat al ecuaţiilor neliniare ale sistemului “Pendulul Invers
Rotativ” în poziţie vertical-Up, este prezentat în Fig.10.
Testing pendul_Up modeling process: Mathematical model testing
involves simulating the system response linear and nonlinear
reported to stationary point considered. Simulated response of
nonlinear equations of the "Rotary Inversed Pendulum" vertical_Up
position is shown in Fig.10.
Cazul Pendul_Down:În acelaşi mod, pornind de la ecuaţiile pentru
braţ şi pentru pendul în poziţia vertical_Down, acestea se vor
liniariza în jurul unui punct staţionar de funcţionare 00 ,θα :
The case Pendul_Down: Similarly, from the equations for the
pendulum arm and vertical_Down position, they will linearize around
a stationary operating point 00 ,θα :
Fig.10.Răspunsul simulat al ecuaţiilor neliniare ale sistemului
“pendulul invers rotativ” în poziţie vertcal-Up faţă de punctul
staţionar { }0;0;0;0 αααββ =Δ=Δ=Δ=Δ && Fig.10. Simulated
response of nonlinear equations of the system "Rotary Inversed
Pendulum" position vertcal_Up to stationary point { }0;0;0;0 αααββ
=Δ=Δ=Δ=Δ &&
-
Analele Universităţii “Constantin Brâncuşi” din Târgu Jiu, Seria
Inginerie, Nr. 2/2012
Annals of the „Constantin Brâncuşi” University of Târgu Jiu,
Engineering Series, Issue 2/2012
144
⎩⎨⎧
Δ=Δ=
⇒⎩⎨⎧
Δ=Δ=
⇒⎩⎨⎧
Δ=Δ+=Δ+=
)()()()(
)()()()(
)()()()()(
0
0
tttt
tttt
ttttt
θθαα
θθαα
θθθθααα
&&&&
&&&&
&&
&& (46)
Pornim de la prima ecuaţie a pendulului din relaţia (31), şi
înlocuind relaţiile (46) avem:
We start from the first equation of the pendulum from the
relation (31), and substituting relations (46) we have:
ααθθθθθα
θθθαα
&&&&&
&&&&&&
Δ−Δ−=ΔΔ−ΔΔΔΔ+
+ΔΔ+ΔΔ+Δ+⇒
ba
bt
a
tpp
pppb
CRKKu
RKLlmlm
LlmlmLmJ
sin)(cossin2...
...cossin)(
22
222
(47)
uRKC
RKKLlmlm
LlmlmLmJ
a
tb
a
btpp
pppb
=Δ+Δ+ΔΔ−ΔΔΔΔ+
+ΔΔ+ΔΔ+Δ+⇒
ααθθθθθα
θθθαα
&&&&&
&&&&&&
sin)(cossin2...
...cossin)(
22
222
(48)
În relaţia (48) aproximăm unghiul în poziţie vertical_Down al
pendulului:
In (48) vertical_Down approximate position angle of the
pendulum:
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=ΔΔ=Δ
⇒→Δ1cos
sin0
θθθ
θ (49)
Obţinem prima ecuaţie liniarizată: Obtain the first equation
linearized:
uRKC
RKKLlmlm
LlmlmLmJ
a
tb
a
btpp
pppb
=Δ+Δ+ΔΔ−ΔΔΔ+
+Δ+ΔΔ+Δ+⇒
ααθθθθα
θθαα
&&&&&
&&&&&&
22
222
)(2...
...)()( (50)
În relaţia (50), neglijăm produse de forma: ..)(..)( Δ×Δ , prima
ecuaţie de mişcare liniarizată pentru pendul în poziţia
vertical_Down devine:
In (50), neglecting products of the form: ..)(..)( Δ×Δ , the
first linearized equation of
motion for the pendulum position vertical_Down becomes:
uRK
RKKCLlmLmJ
a
t
a
btbppb =Δ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++Δ+Δ+ αθα &&&&&)( 2 (51)
În mod analog, pornim de la a doua ecuaţie: Similarly, we start
from the second equation: θθθθαθθα &&&&&&
Δ−=Δ+ΔΔΔ−Δ++ΔΔ pppppp CglmlmlmJLlm sincossin)()(cos
222 (52)
Neglijăm produse de forma ..)(..)( Δ×Δ : Neglect products of the
form: ..)(..)( Δ×Δ : θθθα &&&&& Δ−=Δ+Δ++Δ ppppp
CglmlmJLlm )(
2
0)( 2 =Δ+Δ+Δ++Δ⇒ βθθα glmClmJLlm ppppp &&&&&
(53) Ecuaţiile liniarizate pentru sistemul “Pendul Invers Rotativ”
în poziţia vertical_Down:
Linearized equations for the system vertical_Down position:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=Δ+Δ+Δ++Δ
=Δ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++Δ+Δ+
0)(
)(
2
2
θθθα
αθα
glmClmJLlm
uRK
RKKCLlmLmJ
ppppp
a
t
a
btbppb
&&&&&
&&&&& (54)
Alegem variabilele de stare de forma: Choose state variables of
the form:
[ ] [ ]TTxxxxx ααθθ ΔΔΔΔ== &&43*2*1 Relaţia (54) devine:
The relation (54) becomes:
-
Analele Universităţii “Constantin Brâncuşi” din Târgu Jiu, Seria
Inginerie, Nr. 2/2012
Annals of the „Constantin Brâncuşi” University of Târgu Jiu,
Engineering Series, Issue 2/2012
145
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++++
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++++
0)(
)(
*2
*1
*1
23
3*13
2
glxmxCxlmJxLlm
uRKx
RKKCxLlmxLmJ
ppppp
a
t
a
btbppb
&&
&& (55)
Facem următoarele notaţii: We make the following notations:
glmhCflmJeRKd
RKKCcLlmbLmJa pppp
a
t
a
btbppb ==+==+==+= ;;;;;);(
22
În continuare prelucrarea este identică cu prelucrarea (43), ca
şi în cazul pendul_Up.
Next processing is identical to processing (43), as in the case
pendul_Up.
⎩⎨⎧
=+++=++
⇒02113
313
hxfxxexbducxxbxa
&&
&&..........
2113
313⇒
⎪⎩
⎪⎨⎧
−−−=
=++⇒ x
bhx
bfx
bex
ducxxbxa
&&
&&
În urma prelucrării avem ecuaţiile de stare: After processing,
we have equations of state:
u
eabde
eabdb
xxxx
eabce
eabhb
eabfb
eabcb
eabha
eabfa
xxxx
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−−
−−
−−=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
0
0
0100
00001
0
2
2
4
3
*2
*1
222
222
4
3
*2
*1
&
&
&
&
(56)
Testarea modelării procesului pendul_Down: În acelaşi mod ca şi
la modelul pendulului în poziţia vertical-Up, şi pentru poziţia
vertical-Down testarea modelului matematic presupune simularea
răspunsului sistemului liniar şi al celui neliniar raportate la
punctul staţionar considerat. Răspunsul simulat al ecuaţiilor
neliniare ale sistemului “Pendulul Invers Rotativ” în poziţie
vertical_Down faţă de punctul staţionar este prezentat în
Fig.11.
Testing process modeling pendul_Down In the same way as the
pendulum model vertical_Up position, and position vertical_Down
testing involves simulating mathematical model of the system
response linear and nonlinear reported stationary point considered.
Simulated response of nonlinear equations of the "Rotary Inversed
Pendulum" vertical_Down position against stationary point is shown
in Fig.11.
-
Analele Universităţii “Constantin Brâncuşi” din Târgu Jiu, Seria
Inginerie, Nr. 2/2012
Annals of the „Constantin Brâncuşi” University of Târgu Jiu,
Engineering Series, Issue 2/2012
146
3.Concluzii Procesul “Pendul Invers Rotativ”, deşi la prima
vedere este doar o “jucărie”, datorită faptului că este un proces
instabil, neliniar, subacţionat, poate constitui o bază pentru
implementarea şi testarea în timp real a multor principii de
reglare. Sunt convins că un algoritm de reglare testat pe acest
sistem va genera multă experienţă de lucru cu algoritmul de reglare
respectiv, experienţă ce poate conduce la implementarea acelui
algoritm de reglare pe diverse alte procese reale, procese care nu
permit realizarea unei multitudini de teste pentru validarea
proiectării. Totodată, pe viitor poate fi continuată dezvoltarea
modelului matematic prin introducerea în modelul matematic a unor
diferite tipuri de frecări, luftul şi histerezisul de la motor, şi
astfel, în proiectarea algoritmului de reglare să se ţină cont şi
de aceste perturbaţii, analizându-se gradul de îmbunătăţire a
performanţelor. Practic, cea mai bună utilizare a celor 2
sisteme
3.Conclusions The "Rotary Inversed Pendulum", although at first
sight is just a "toy", because the process is unstable, nonlinear,
underactuated, can provide a basis for implementing and testing
real-time control of many principles. I am convinced that a control
algorithm tested on this system will generate a lot of experience
working with adjustment algorithm respectively, experience can lead
to the implementation of this control algorithm on various other
real processes, processes which not allow a variety of tests to
validate the design. However, the future can be further developed
mathematical model by introducing the mathematical model of
different types of friction, luft, and hysteresis of the motor, and
thus control algorithm design to take account of these
disturbances, analyzing the performance level. Basically, the best
use of the two systems is the
Fig.11. Simulated response of nonlinear equations of the system
"Rotary Inversed Pendulum" vertical_Down position against
stationary point
Fig.11.Răspunsul simulat al ecuaţiilor neliniare ale sistemului
“pendulul invers rotativ” în poziţie vertical-Down faţă de punctul
staţionar { }0;0;0;0 αααθθ =Δ=Δ=Δ=Δ &&
-
Analele Universităţii “Constantin Brâncuşi” din Târgu Jiu, Seria
Inginerie, Nr. 2/2012
Annals of the „Constantin Brâncuşi” University of Târgu Jiu,
Engineering Series, Issue 2/2012
147
este realizarea practică a unei comparaţii între răspunsurile
obţinute prin implementarea unor principii de reglare diferite, ce
pot duce la concluzii importante despre aplicabilitatea în diferite
clase de procese.
practical realization of a comparison between responses obtained
by implementing different control principles that can lead to
important conclusions about the applicability of the various
classes of processes.
BIBLIOGRAFIE
REFERENCES
[1] C. Ionete, E. Manole, D. Surlea, “xPC MULTITASKING CONTROL
FOR TWO QUANSER EXPERIMENTS”, 9th International Carpathian Control
Conference- ICCC’2008, Sinaia, România, 25-28 Mai 2008,
pag.263-266, ISBN 978-973-746-897-0 [2] H. Niemann, J. K. Poulsen,
“Design and analysis of controllers for a double inverted
pendulum”, ISA Transactions, Volume 44, Issue 1, January 2005,
Pages 145-163 [3] A. Siuka, M. Schöberl, “Applications of energy
based control methods for the inverted pendulum on a cart”,
Robotics and Autonomous Systems, Volume 57, Issue 10, 31 October
2009, Pages 1012-1017 [4] J. Sieber, B. Krauskopf, “Complex
balancing motions of an inverted pendulum subject to delayed
feedback control”, Physica D: Nonlinear Phenomena, Volume 197,
Issues 3-4, 15 October 2004, Pages 332-345 [5] J. Tang, G. Ren,
“Modeling and simulation of a flexible inverted pendulum system”,
Tsinghua Science & Technology, Volume 14, Supplement 2,
December 2009, Pages 22-26