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Avaliao do mdulo de elasticidade longitudinal em peas
estruturais de Pinus Caribaea
Atualmente, a norma tcnica NBR 7190/1997 (Projeto de Estruturas
de Madeira) no faz referncia a ensaios que visem determinao das
propriedades de rigidez e resistncia em peas de dimenses
estruturais de madeira serrada, restringindo-se esta anlise a
corpos-de-prova de pequenas dimenses e isentos de defeitos. O
presente trabalho tem como objetivo, apresentar uma metodologia
alternativa de clculo para a determinao do mdulo de elasticidade
longitudinal em peas estruturais de madeira serrada, baseada no
Mtodo dos Elementos Finitos, juntamente com uma tcnica de otimizao.
Os resultados encontrados para as madeiras Pinus caribaea mostram
que a metodologia proposta pela norma brasileira pode tambm ser
empregada em peas de dimenses estruturais maiores.
Palavras-chave: Madeira serrada. Mtodo dos Elementos Finitos.
Mtodo dos Mnimos Quadrados.
The current standard NBR 7190/1997 (Project of Timber
Structures) makes no reference to tests for determining the
stiffness and strength in parts of structural lumber; restricting
the analysis to bodies-of-tests with small dimensions and without
defects. This paper presents an alternative method to determine the
longitudinal modulus of elasticity in timber beams, based on the
Finite Element Method, as well as the Inverse Analysis Method with
an optimization technique. Results show that the methodology
proposed by the Brazilian standard can also be applied to pieces of
structural dimensions.
Key words: Lumber. Finite element method. Least squares
method.
* Universidade Federal de So Joo del-Rei (UFSJ). Departamento de
Engenharia Mecnica (DEMEC). Laboratrio de Mecnica Computacional
(LMC). Engenharia de estruturas e Mecnica Computacional.
** Universidade Federal de So Joo del-Rei (UFSJ). Departamento
de Engenharia Mecnica (DEMEC). Materiais e Estruturas.***
Universidade Estadual Paulista "Jlio Mesquita Filho" (Unesp).
Departamento de Engenharia Agrcola. Madeira e seus
Derivados.**** Universidade Estadual de Gois - UEG. Unidade
Universitria de Ipameri. Madeira e derivados.
Avaliao do mdulo de elasticidade longitudinal em peas
estruturais de Pinus CaribaeaAssessment of longitudinal modulus of
elasticity in structural elements of Pinus Caribaea timber
beams
Andr Luis Christoforo*Fbio de Paiva Cota**Tlio Hallak
Panzera**
Claudenir Facincani Franco***Vitor Correa de Mattos
Barreto****
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Introduo
A madeira uma matria-prima naturalmente resistente e
relativamente leve. Sua importncia e versatilidade contribuem para
o seu emprego em vrios setores da atividade humana: nas construes
civis, rurais, nas indstrias do setor moveleiro entre outras. O seu
emprego como elemento estrutural no Brasil tem crescido ao longo
dos ltimos anos em virtude das pesquisas realizadas, com o objetivo
de torn-la um material mais competitivo em relao a outros materiais
empregados na construo de estruturas, tais como o ao e o
concreto.
Almejando o desenvolvimento tecnolgico, a NBR 7190/1997 (Projeto
de Estruturas de Madeira), da Associao Brasileira de Normas Tcnicas
(ABNT) est sendo reformulada a fim de analisar e melhor
caracterizar as propriedades fsico-mecnicas da madeira e dos
sistemas estruturais nos quais esse material empregado, com o
intuito de se viabilizarem condies mais adequadas para o
dimensionamento do mtodo no mbito dos estados limites.
Os esforos realizados por pesquisadores para o desenvolvimento
tecnolgico a partir do conhecimento mais preciso das propriedades
da madeira, fundamentam-se na busca por torn-la um material mais
confivel como elemento estrutural, diminuindo-se assim as
incertezas ou at preconceitos por parte dos profissionais da
construo civil com relao sua aplicao.
Para o dimensionamento de estruturas, independentemente dos
materiais empregados, o mdulo de elasticidade mostra-se uma varivel
imprescindvel no projeto. No entanto a sua determinao, segundo a
NBR 7190/1997, restrita a corpos de prova de pequenas dimenses, e
isentos de defeitos, e se baseia no ensaio de flexo esttica a trs
pontos (Figura 1) com o uso da Equao 1, sendo F um incremento de
fora (F50%- F10%), um incremento de deslocamento(50%- 10%), EM o
mdulo de elasticidade Longitudinal, L o vo-livre entre apoios e I o
momento de inrcia da seo transversal.
Figura 1 - Ensaio de flexo esttica segundo a norma NBR
7190/1997
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Avaliao do mdulo de elasticidade longitudinal em peas
estruturais de Pinus Caribaea
Em se tratando do clculo do mdulo de elasticidade, um resultado
de grande relevncia apresentado no trabalho de Rocco Lahr (1983),
que, tendo avaliado a influncia da relao L/h (razo entre o
comprimento da pea e sua altura) na determinao do mdulo de
elasticidade em peas de madeira serrada, constatou que para razes
L/h 21 as deformaes oriundas do cisalhamento podem ser desprezadas.
Esse resultado valida as hipteses sobre a Teoria de Vigas de
Bernoulli utilizada no desenvolvimento da Equao 1, alm do emprego
do ensaio de flexo esttica a trs pontos.
Uma pesquisa experimental comparando valores de mdulo de
elasticidade obtidos em corpos de prova isentos de defeitos e em
peas serradas de dimenses estruturais foi realizada por Batista et
al. (2000). De trs espcies estudadas, duas (Eucalipto e Cambar)
apresentaram resultados obtidos nos ensaios de corpos de prova
considerados fiis aos obtidos para as peas de dimenses estruturais.
Entretanto, o mesmo no pde ser afirmado para a espcie Cupiba, que
apresentou, para os modelos reduzidos, valores cerca de 30%
inferiores aos modelos estruturais.
Pesquisadores como Pigozzo et al. (2000) estudaram aspectos como
o melhor vo-livre para ensaios de flexo em peas estruturais, o
nmero de pontos a serem ensaiados em cada pea, a preciso dos
valores obtidos e a estimativa do custo desses ensaios para
pequenas empresas. Citam que o processo de classificao no consiste
em separar as peas livres de defeitos, mas ao contrrio, permitir o
maior nmero de defeitos em cada grupo de modo que no
desclassifiquem as peas para o uso que se queira.
Min et al. (2004) avaliaram a resistncia e a rigidez de postes
de madeira da espcie Eucalyptus citriodora comparando os resultados
com os obtidos em corpos de prova isentos de defeitos. Os
resultados encontrados mostram que os valores de mdulo de
elasticidade so superiores para elementos estruturais nos ensaios
de flexo e inferiores nos ensaios de compresso paralela; j os
valores obtidos para a resistncia foram superiores para as peas
estruturais em ambos os ensaios.
Este trabalho tem como objetivo, apresentar uma metodologia
alternativa de clculo, baseada no Mtodo dos Elementos Finitos (MEF)
aliada ao Mtodo dos Mnimos Quadrados e ao Mtodo de Newton (com
aproximao quadrtica) para a determinao do mdulo de elasticidade
longitudinal (E) em peas estruturais serradas de madeira Pinus
caribaea, de maneira a se verificarem as diferenas entre os valores
de elasticidade encontrados pelo mtodo de clculo aqui proposto com
os fornecidos pela norma NBR 7190/1997 adaptada para peas de
dimenses estruturais.
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Materiais e Mtodos
Para a determinao do mdulo de elasticidade longitudinal foram
utilizadas 24 peas de madeira Pinus caribaea de dimenses 6cm x 16cm
x 200cm, respeitando-se a relao L/h21, sendo h=6cm.
O mdulo de elasticidade longitudinal neste trabalho avaliado
segundo dois modelos matemticos de clculo, em ambos faz-se o uso do
esquema estrutural de flexo esttica a trs pontos e de forma no
destrutiva. Para o primeiro, o valor de elasticidade obtido por
intermdio da Equao 1 (EM) e, para o segundo, como forma alternativa
de clculo, prope-se que o valor do mdulo de elasticidade efetivo
(Eef ) seja determinado de acordo com o esquema estrutural de
ensaio ilustrado pela Figura 2.
Figura 2 - Ensaio alternativo para a determinao do mdulo de
elasticidade efetivo (Eef ).
Para cada ensaio estrutural realizado foram locados trs relgios
comparadores ao longo da pea, distantes de L/4 uns dos outros. As
leituras dos deslocamentos nos relgios equidistantes dos apoios ao
longo das peas de madeira so realizadas quando o deslocamento no
meio do vo, em magnitude, aproxima-se da relao L/200, sendo L o
comprimento til da pea (distncia entre apoios). Esta uma condio de
pequenos deslocamentos estipulada pela norma NBR 7190/1997,
garantindo linearidade geomtrica para os elementos estruturais
ensaiados.
Para o clculo do mdulo de elasticidade efetivo, foi desenvolvido
um programa computacional (Eotm) na Linguagem Mathcad 2000, segundo
os fundamentos do Mtodo dos Elementos Finitos (MEF) aplicado ao
Princpio dos Trabalhos Virtuais (PTV), contemplando o modelo
cinemtico de deformao de vigas de Euler Bernoulli,
desconsiderando-se nesses clculos as foras por unidade de volume e
de superfcie. Com relao ao emprego do Mtodo dos Elementos Finitos
na anlise de estruturas de madeira, alguns trabalhos podem ser
citados, como os de Mascia (1991), Parrine et al. (2002), Cheung
(2003), Ges (2004), Christoforo (2006) e Christoforo (2011).
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Avaliao do mdulo de elasticidade longitudinal em peas
estruturais de Pinus Caribaea
O elemento finito de barra aqui utilizado possui dois graus de
liberdade por n, sendo uma translao e uma rotao (Figura 3),
desenvolvido com o uso de uma funo polinomial do terceiro grau
(funo de forma) como aproximao do campo dos deslocamentos.
Figura 3 - Graus de liberdade do elemento finito
Da experimentao, os valores dos deslocamentos obtidos so
agrupados na forma de um vetor (U(e)). O programa Eotm,
fundamentado no MEF, determina um vetor de deslocamentos numrico
(U(n)), tendo como varivel dependente o mdulo de elasticidade do
elemento estrutural.
Com posse do vetor de deslocamentos determinados pelo programa e
do vetor de deslocamentos experimentais, uma funo construda,
fundamentada no Mtodo dos Mnimos Quadrados, cujo objetivo consiste
em determinar o valor do mdulo de elasticidade para que o resduo
gerado por ambas as solues, numrica e experimental, seja mnimo. Com
relao aplicao das tcnicas de otimizao na engenharia de estruturas
alguns trabalhos podem ser citados, tais como os de Alvarenga e
Antunes (1994), Soares e El Debs (1997), Rigo (1999) e Christoforo
(2008).
O mdulo de elasticidade obtido mediante a minimizao da Equao 2
com o auxlio do Mtodo de Newton (Equao 3), sendo (E) a funo
objetivo elaborada nos fundamentos do Mtodo dos Mnimos Quadrados, x
k a estimativa na iterao k, x k+1 a estimativa na iterao k+1,(xk) e
(xk) as derivadas primeira e segunda avaliadas x k.
Objetivando-se empregar a metodologia da NBR 7190/1997 na
determinao do mdulo de elasticidade longitudinal tambm para peas de
madeira serrada de dimenses estruturais, foram determinados os
valores dos mdulos com o auxlio da Equao 1 (EM) e da metodologia de
clculo aqui apresentada (Eef ). A verificao da
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equivalncia estatstica entre os valores obtidos do EM e do Eef
para as peas estruturais de madeira serrada realizada por intermdio
do intervalo de confiana das diferenas entre mdias (Equao 4), sendo
a mdia populacional das diferenas, a mdia aritmtica amostral das
diferenas, n o tamanho da amostra, Sm o desvio padro amostral das
diferenas e t/2,n-1 o valor tabelado pela distribuio t de Student
com n-1 graus de liberdade e nvel de significncia .
Resultados
Os valores dos mdulos de elasticidade EM e Eef obtidos para as
madeiras Pinus caribaea deste trabalho encontram-se na Tabela
1.
Tabela 1 - Valores dos mdulos de elasticidade EM e Eef (MPa)
A Figura 4 ilustra os resultados do teste de normalidade de
Anderson-Darling sobre os valores dos mdulos de elasticidade EM e
Eef, sendo os P-valores encontrados ambos maiores que 0,05,
comprovando a normalidade dos dados avaliados (MONTGOMERY,
2005).
Figura 4 - Teste de normalidade para os valores dos mdulos de
elasticidade
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Avaliao do mdulo de elasticidade longitudinal em peas
estruturais de Pinus Caribaea
A mdia, o desvio padro e o coeficiente de variao para os valores
dos mdulos de elasticidade EM so respectivamente iguais a 7745,54;
1027,07 e 0,13. A mdia, o desvio padro e o coeficiente de variao
para os valores dos mdulos de elasticidade Eef so respectivamente
iguais a 7892,96; 1119,95 e 0,14.
O intervalo de confiana entre os valores do EM e Eef -772,16
477,33 e, como o zero pertence ao intervalo, afirma-se que estes so
estatisticamente equivalentes (MONTGOMERY, 2005). A Figura 5
ilustra graficamente o intervalo de confiana obtido entre os
valores dos mdulos de elasticidade.
Figura 5 - Intervalo de confiana entre os mdulos de elasticidade
EM e Eef
Concluses
A presente metodologia mostrou ser de fcil empregabilidade, por
ser mais confivel para os valores dos mdulos de elasticidade, j que
est fundamentada em mnimos quadrados.
A restrio dos deslocamentos (linearidade geomtrica) confere
presente metodologia carter no destrutivo, mostrando-se
interessante pela possibilidade de uso da pea depois de
ensaiada.
A relao L/h21 permitiu o emprego adequado da teoria de vigas de
Euler Bernoulli (ROCCO LAHR, 1983), utilizada no clculo dos mdulos
de elasticidade EM e Ef , possibilitando o emprego do ensaio de
flexo esttica a trs pontos mesmo no sendo nulo o esforo cisalhante
abaixo do ponto de aplicao da fora.
Os resultados do teste de Anderson-Darling sobre os valores dos
mdulos de elasticidade confirmaram distribuio normal dos dados,
validando os resultados encontrados sobre o intervalo de confiana,
acusando equivalncia estatstica.
Para as madeiras Pinus caribaea aqui avaliadas, constatou-se que
a metodologia proposta pela norma Brasileira NBR 7190/1997,
adaptada para peas de dimenses estruturais e ensaio no destrutivo,
foi capaz de fornecer resultados para os mdulos de elasticidade
equivalentes aos advindos da abordagem alternativa de clculo.
Entretanto,
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vale ressaltar que esses resultados so vlidos apenas para as
madeiras avaliadas, podendo ser diferentes para outras madeiras de
mesma ou de diferentes espcies, justificando o emprego da presente
metodologia.
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Artigo recebido em 18 jun. 2011Aceito para publicao em: 21 mar.
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