-------------------------------------------------------- Materia: Métodos Matemáticos II Maestría en Energía Renovable ------------------------------------------------------- Temas: *Regresión por Mínimos Cuadrados ------------------------------------------------------ Nombre de los estudiantes: Aguilar Lira Jorge Luis López Villeda Omar Fecha de Entrega: 17/07/15 Profesora: Dra. Margarita Cunill Rodríguez Cuatrimestre: mayo-agosto de 2015
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Como se puede observar, las gráficas tienen similitud en el intervalo de 0 a 1, conforme va aumentando el
valor de xi, la interpolación de Lagrange nos describe una curva, debido a que con este método se tiene un polinomio de 4to. grado. Esto podria ocasionar errores en valores mas altos de xi, ya que la curva se va a ir alejando mas de los posible valores reales. En cambio la regresion lineal, nos da una recta que se ajusta a los valores de xi y podría tener un menor porcentaje de error.
3. Explique el procedimiento de mínimos cuadrados para un polinomio de segundo grado y
resuelva el ejemplo usando la función en Matlab encontrada.
En la sección 17.1 se desarrolló un procedimiento para obtener la ecuación de una línea recta por medio del
criterio de mínimos cuadrados. Algunos datos de ingeniería, aunque exhiben un patrón marcado como el que
se vio en la figura 17.8, está pobremente representado por una línea recta. Para esos casos, una curva podría
ser más adecuada para el ajuste de los datos. Como se analizó en la sección anterior, un método para cumplir
con este objetivo es usar transformaciones. Otras alternativas son ajustar polinomios con los datos mediante
regresión de polinomios.
El procedimiento de mínimos cuadrados se puede fácilmente extender al ajuste de datos con un polinomio
de orden superior. Por ejemplo, suponga que ajustamos un polinomio de segundo orden o cuadrático:
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Regresión por Mínimos Cuadrados
Para este caso la suma de los cuadrados de los residuos es:
Siguiendo el procedimiento de la sección anterior, tomamos la derivada de la ecuación (17.18) con respecto
de cada uno de los coeficientes desconocidos del polinomio, como en
Estas ecuaciones se pueden igualar a cero y reordenar para desarrollar el siguiente conjunto de ecuaciones
normal:
Donde todas las sumatorias son de i = 1 hasta n. Observe que las tres ecuaciones anteriores son lineales y
tienen tres incógnitas: a0, a1 y a2. Los coeficientes de las incógnitas se pueden evaluar de manera directa a
partir de los datos observados. Para este caso, vemos que el problema de determinar un polinomio por
mínimos cuadrados de segundo orden es equivalente a resolver un sistema de tres ecuaciones lineales
simultáneas. Las técnicas para resolver tales ecuaciones fueron analizadas en la parte tres. El caso en dos
dimensiones puede extenderse con facilidad a un polinomio de m-ésimo orden como
El análisis anterior se puede fácilmente extender a este caso más general. Así, podemos reconocer que la
determinación de los coeficientes de un polinomio de m-ésimo orden es equivalente a resolver un sistema
de m + 1 ecuaciones lineales simultáneas. Para este caso, el error estándar se formula como
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Esta cantidad es dividida entre n — (m + 1), ya que (m + 1) coeficientes obtenidos de los datos (a0, a0, a1, am)
se usaron para calcular Sr, así, hemos perdido m + 1 grados de libertad. Además del error estándar, un
coeficiente de determinación puede ser calculado para una regresión de polinomios con la ecuación (17.10).
a) Grafique en una misma figura los datos y la curva de ajuste. Comente los resultados estadísticos