Metodos Numericos para Ingenieros (Chapra - Canale) - 5º Edicion

Mtodos numricos para ingenierosQuinta edicin

Steven C. ChapraDecano de Computacin e Ingeniera Tufts University

Raymond P. CanaleProfesor emrito de Ingeniera Civil University of Michigan

REVISIN TCNICA:

M.C. Juan Carlos del Valle SoteloCatedrtico del Departamento de Fsica y Matemticas ITESM, campus Estado de Mxico

Mtodos numricos para ingenierosQuinta edicin

MXICO BOGOT BUENOS AIRES CARACAS GUATEMALA LISBOA MADRID NUEVA YORK SAN JUAN SANTIAGO AUCKLAND LONDRES MILN MONTREAL NUEVA DELHI SAN FRANCISCO SINGAPUR SAN LUIS SIDNEY TORONTO

Director Higher Education: Miguel ngel Toledo Castellanos Director editorial: Ricardo A. del Bosque Alayn Editor sponsor: Pablo E. Roig Vzquez Editora de desarrollo: Lorena Campa Rojas Supervisor de produccin: Zeferino Garca Garca

Traduccin:

Javier Enrquez Brito Ma. del Carmen Roa Hano

MTODOS NUMRICOS PARA INGENIEROS Quinta edicin Prohibida la reproduccin total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin la autorizacin escrita del editor.

DERECHOS RESERVADOS 2007 respecto a la quinta edicin en espaol por McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V. A Subsidiary of The McGraw-Hill Companies, Inc. Edicio Punta Santa Fe Prolongacin Paseo de la Reforma 1015, Torre A Piso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe, Delegacin lvaro Obregn C.P. 01376, Mxico, D. F. Miembro de la Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Nm. 736 Crditos de las fotografas de portada: Jack Novack / SuperStock. MATLABTM es una marca registrada de The MathWorks, Inc. ISBN-13: 978-970-10-6114-5 ISBN-10: 970-10-6114-4 (ISBN: 970-10-3965-3 edicin anterior) Traducido de la quinta edicin en ingls de la obra NUMERICAL METHODS FOR ENGINEERS, FIFTH EDITION. Copyright 2006 by The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. ISBN: 0-07-291873-X 1234567890 Impreso en Mxico 09865432107 Printed in Mexico

AMargaret y Gabriel Chapra Helen y Chester Canale

CONTENIDO

PREFACIO

xvii xxiii

ACERCA DE LOS AUTORES

PARTE UNO MODELOS, COMPUTADORAS Y ANLISIS DEL ERROR 3PT1.1 Motivacin 3 PT1.2 Antecedentes matemticos PT1.3 Orientacin 8 5

CAPTULO 1 Modelos matemticos y solucin de problemas en ingeniera 1.1 Un modelo matemtico simple 11 1.2 Leyes de conservacin e ingeniera 19 Problemas 22 CAPTULO 2 Programacin y software

11

26

2.1 Paquetes y programacin 26 2.2 Programacin estructurada 28 2.3 Programacin modular 37 2.4 Excel 38 2.5 MATLAB 42 2.6 Otros lenguajes y bibliotecas 47 Problemas 48 CAPTULO 3 Aproximaciones y errores de redondeo 53 3.1 Cifras signicativas 54 3.2 Exactitud y precisin 56 3.3 Deniciones de error 57 3.4 Errores de redondeo 60 Problemas 76

viii

CONTENIDO

CAPTULO 4 Errores de truncamiento y la serie de Taylor 78 4.1 La serie de Taylor 78 4.2 Propagacin del error 95 4.3 Error numrico total 99 4.4 Equivocaciones, errores de formulacin e incertidumbre en los datos Problemas 103 EPLOGO: PARTE UNO 105 PT1.4 Alternativas 105 PT1.5 Relaciones y frmulas importantes 108 PT1.6 Mtodos avanzados y referencias adicionales

101

108

PARTE DOS RACES DE ECUACIONES 113PT2.1 Motivacin 113 PT2.2 Antecedentes matemticos PT2.3 Orientacin 116 CAPTULO 5 Mtodos cerrados 115

120

5.1 Mtodos grcos 120 5.2 El mtodo de biseccin 124 5.3 Mtodo de la falsa posicin 131 5.4 Bsquedas por incrementos y determinacin de valores iniciales Problemas 139 CAPTULO 6 Mtodos abiertos

138

142

6.1 Iteracin simple de punto jo 143 6.2 Mtodo de Newton-Raphson 148 6.3 El mtodo de la secante 154 6.4 Races mltiples 159 6.5 Sistemas de ecuaciones no lineales 162 Problemas 167 CAPTULO 7 Races de polinomios 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6

170 170

Polinomios en la ciencia y en la ingeniera Clculos con polinomios 173 Mtodos convencionales 177 Mtodo de Mller 177 Mtodo de Bairstow 181 Otros mtodos 187

CONTENIDO

ix

7.7 Localizacin de races con bibliotecas y paquetes de software Problemas 197 CAPTULO 8 Estudio de casos: races de ecuaciones 199

187

8.1 Leyes de los gases ideales y no ideales (ingeniera qumica y bioqumica) 199 8.2 Flujo en un canal abierto (ingeniera civil e ingeniera ambiental) 202 8.3 Diseo de un circuito elctrico (ingeniera elctrica) 206 8.4 Anlisis de vibraciones (ingeniera mecnica e ingeniera aeronutica) 209 Problemas 216 EPLOGO: PARTE DOS 227

PT2.4 Alternativas 227 PT2.5 Relaciones y frmulas importantes 228 PT2.6 Mtodos avanzados y referencias adicionales

228

PARTE TRES ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES 233PT3.1 Motivacin 233 PT3.2 Antecedentes matemticos PT3.3 Orientacin 244 CAPTULO 9 Eliminacin de Gauss 236

247

9.1 Solucin de sistemas pequeos de ecuaciones 247 9.2 Eliminacin de Gauss simple 254 9.3 Dicultades en los mtodos de eliminacin 261 9.4 Tcnicas para mejorar las soluciones 267 9.5 Sistemas complejos 275 9.6 Sistemas de ecuaciones no lineales 275 9.7 Gauss-Jordan 277 9.8 Resumen 279 Problemas 279 CAPTULO 10 Descomposicin LU e inversin de matrices 10.1 Descomposicin LU 282 10.2 La matriz inversa 292 10.3 Anlisis del error y condicin del sistema Problemas 303

282

297

CAPTULO 11 Matrices especiales y el mtodo de Gauss-Seidel 305 11.1 Matrices especiales 11.2 Gauss-Seidel 310 305

x

CONTENIDO

11.3 Ecuaciones algebraicas lineales con bibliotecas y paquetes de software 317 Problemas 324 CAPTULO 12 Estudio de casos: ecuaciones algebraicas lineales

327

12.1 Anlisis en estado estacionario de un sistema de reactores (ingeniera qumica/bioingeniera) 327 12.2 Anlisis de una armadura estticamente determinada (ingeniera civil/ambiental) 330 12.3 Corrientes y voltajes en circuitos con resistores (ingeniera elctrica) 12.4 Sistemas masa-resorte (ingeniera mecnica/aeronutica) 336 Problemas 339 EPLOGO: PARTE TRES 349 PT3.4 Alternativas 349 PT3.5 Relaciones y frmulas importantes 350 PT3.6 Mtodos avanzados y referencias adicionales

334

350

PARTE CUATRO OPTIMIZACIN 353PT4.1 Motivacin 353 PT4.2 Antecedentes matemticos PT4.3 Orientacin 360 358

CAPTULO 13 Optimizacin unidimensional no restringida 13.1 Bsqueda de la seccin dorada 13.2 Interpolacin cuadrtica 371 13.3 Mtodo de Newton 373 Problemas 375 364

363

CAPTULO 14 Optimizacin multidimensional no restringida 377 14.1 Mtodos directos 378 14.2 Mtodos con gradiente 382 Problemas 396 CAPTULO 15 Optimizacin restringida 398 15.1 Programacin lineal 398 15.2 Optimizacin restringida no lineal 409 15.3 Optimizacin con bibliotecas y paquetes de software Problemas 422

410

CONTENIDO

xi

CAPTULO 16 Aplicaciones en ingeniera: optimizacin

424

16.1 Diseo de un tanque con el menor costo (ingeniera qumica/bioingeniera) 424 16.2 Mnimo costo para el tratamiento de aguas residuales (ingeniera civil/ambiental) 429 16.3 Mxima transferencia de potencia en un circuito (ingeniera elctrica) 433 16.4 Diseo de una bicicleta de montaa (ingeniera mecnica/aeronutica) 436 Problemas 440 EPLOGO: PARTE CUATRO 447 PT4.4 Alternativas 447 PT4.5 Referencias adicionales 448

PARTE CINCO AJUSTE DE CURVAS 451PT5.1 Motivacin 451 PT5.2 Antecedentes matemticos PT5.3 Orientacin 462 453

CAPTULO 17 Regresin por mnimos cuadrados 466 17.1 Regresin lineal 466 17.2 Regresin polinomial 482 17.3 Regresin lineal mltiple 486 17.4 Mnimos cuadrados lineales en general 17.5 Regresin no lineal 495 Problemas 499 CAPTULO 18 Interpolacin 503 18.1 Interpolacin polinomial de Newton en diferencias divididas 18.2 Polinomios de interpolacin de Lagrange 516 18.3 Coecientes de un polinomio de interpolacin 520 18.4 Interpolacin inversa 521 18.5 Comentarios adicionales 522 18.6 Interpolacin mediante trazadores (splines) 525 Problemas 537 CAPTULO 19 Aproximacin de Fourier 503

489

539 540

19.1 Ajuste de curvas con funciones sinusoidales 19.2 Serie de Fourier continua 546 19.3 Dominios de frecuencia y de tiempo 551

xii

CONTENIDO

19.4 Integral y transformada de Fourier 554 19.5 Transformada discreta de Fourier (TDF) 556 19.6 Transformada rpida de Fourier 558 19.7 El espectro de potencia 565 19.8 Ajuste de curvas con bibliotecas y paquetes de software Problemas 575 CAPTULO 20 Estudio de casos: ajuste de curvas 578

566

20.1 Regresin lineal y modelos de poblacin (ingeniera qumica/ bioingeniera) 578 20.2 Uso de trazadores para estimar la transferencia de calor (ingeniera civil/ambiental) 582 20.3 Anlisis de Fourier (ingeniera elctrica) 584 20.4 Anlisis de datos experimentales (ingeniera mecnica/aeronutica) Problemas 587 EPLOGO: PARTE CINCO PT5.4 Alternativas 597 PT5.5 Relaciones y frmulas importantes 598 PT5.6 Mtodos avanzados y referencias adicionales

585

599

PARTE SEIS DIFERENCIACIN E INTEGRACIN NUMRICAS 603PT6.1 Motivacin 603 PT6.2 Antecedentes matemticos PT6.3 Orientacin 615 612

CAPTULO 21 Frmulas de integracin de Newton-Cotes 619 21.1 La regla del trapecio 621 21.2 Reglas de Simpson 631 21.3 Integracin con segmentos desiguales 640 21.4 Frmulas de integracin abierta 643 21.5 Integrales mltiples 643 Problemas 645 CAPTULO 22 Integracin de ecuaciones 648 22.1 Algoritmos de Newton-Cotes para ecuaciones 22.2 Integracin de Romberg 649 22.3 Cuadratura de Gauss 655 22.4 Integrales impropias 663 Problemas 666 648

CONTENIDO

xiii

CAPTULO 23 Diferenciacin numrica

668

23.1 Frmulas de diferenciacin con alta exactitud 668 23.2 Extrapolacin de Richardson 672 23.3 Derivadas de datos irregularmente espaciados 673 23.4 Derivadas e integrales para datos con errores 674 23.5 Integracin/diferenciacin numricas con bibliotecas y paquetes de software 676 Problemas 679 CAPTULO 24 Estudio de casos: integracin y diferenciacin numricas 24.1 Integracin para determinar la cantidad total de calor (ingeniera qumica/bioingeniera) 682 24.2 Fuerza efectiva sobre el mstil de un bote de vela de carreras (ingeniera civil/ambiental) 684 24.3 Raz media cuadrtica de la corriente mediante integracin numrica (ingeniera elctrica) 687 24.4 Integracin numrica para calcular el trabajo (ingeniera mecnica/aeronutica) 689 Problemas 693 EPLOGO: PARTE SEIS 704 PT6.4 Alternativas 704 PT6.5 Relaciones y frmulas importantes 705 PT6.6 Mtodos avanzados y referencias adicionales

682

705

PARTE SIETE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 709PT7.1 Motivacin 709 PT7.2 Antecedentes matemticos PT7.3 Orientacin 715 CAPTULO 25 Mtodos de Runge-Kutta 713

719

25.1 Mtodo de Euler 720 25.2 Mejoras del mtodo de Euler 732 25.3 Mtodos de Runge-Kutta 740 25.4 Sistemas de ecuaciones 751 25.5 Mtodos adaptativos de Runge-Kutta Problemas 764

756

CAPTULO 26 Mtodos rgidos y de pasos mltiples 767 26.1 Rigidez 767 26.2 Mtodos de pasos mltiples Problemas 792 771

xiv

CONTENIDO

CAPTULO 27 Problemas de valores en la frontera y de valores propios 794 27.1 Mtodos generales para problemas de valores en la frontera 795 27.2 Problemas de valores propios 801 27.3 EDO y valores propios con bibliotecas y paquetes de software 814 Problemas 822 CAPTULO 28 Estudio de casos: ecuaciones diferenciales ordinarias 825 28.1 Uso de las EDO para analizar la respuesta transitoria de un reactor (ingeniera qumica/bioingeniera) 825 28.2 Modelos depredador-presa y caos (ingeniera civil/ambiental) 831 28.3 Simulacin de la corriente transitoria en un circuito elctrico (ingeniera elctrica) 837 28.4 El pndulo oscilante (ingeniera mecnica/aeronutica) 842 Problemas 846 EPLOGO: PARTE SIETE 854 PT7.4 Alternativas 854 PT7.5 Relaciones y frmulas importantes 855 PT7.6 Mtodos avanzados y referencias adicionales

855

PARTE OCHO ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES 859PT8.1 Motivacin 859 PT8.2 Orientacin 862 CAPTULO 29 Diferencias nitas: ecuaciones elpticas 866 29.1 La ecuacin de Laplace 866 29.2 Tcnica de solucin 868 29.3 Condiciones en la frontera 875 29.4 El mtodo del volumen de control 881 29.5 Software para resolver ecuaciones elpticas 884 Problemas 885 CAPTULO 30 Diferencias nitas: ecuaciones parablicas 887 30.1 La ecuacin de conduccin de calor 887 30.2 Mtodos explcitos 888 30.3 Un mtodo implcito simple 893 30.4 El mtodo de Crank-Nicolson 896 30.5 Ecuaciones parablicas en dos dimensiones espaciales 899 Problemas 903

CONTENIDO

xv

CAPTULO 31 Mtodo del elemento nito 905 31.1 El enfoque general 906 31.2 Aplicacin del elemento nito en una dimensin 910 31.3 Problemas bidimensionales 919 31.4 Resolucin de EDP con bibliotecas y paquetes de software Problemas 930

923

CAPTULO 32 Estudio de casos: ecuaciones diferenciales parciales 933 32.1 Balance de masa unidimensional de un reactor (ingeniera qumica/ bioingeniera) 933 32.2 Deexiones de una placa (ingeniera civil/ambiental) 938 32.3 Problemas de campo electrosttico bidimensional (ingeniera elctrica) 940 32.4 Solucin por elemento nito de una serie de resortes (ingeniera mecnica/ aeronutica) 943 Problemas 947 EPLOGO: PARTE OCHO 949 PT8.3 Alternativas 949 PT8.4 Relaciones y frmulas importantes 949 PT8.5 Mtodos avanzados y referencias adicionales APNDICE A: LA SERIE DE FOURIER 951 APNDICE B: EMPECEMOS CON MATLAB BIBLIOGRAFA NDICE 965 961 953

950

PREFACIO

Han pasado veinte aos desde que se public la primera edicin de este libro. Durante ese periodo, nuestro escepticismo acerca de que los mtodos numricos y las computadoras tendran un papel prominente en el currculo de la ingeniera particularmente en sus etapas tempranas ha sido rebasado por mucho. Hoy da, muchas universidades ofrecen cursos para estudiantes de nuevo ingreso, de segundo ao e intermedios, tanto de introduccin a la computacin como de mtodos numricos. Adems, muchos de nuestros colegas integran problemas orientados a la computacin con otros cursos en todos los niveles del currculo. As, esta nueva edicin an se basa en la premisa fundamental de que debe darse a los estudiantes de ingeniera una introduccin profunda y temprana a los mtodos numricos. En consecuencia, aunque la nueva edicin expande sus alcances, tratamos de mantener muchas de las caractersticas que hicieron accesible la primera edicin tanto para estudiantes principiantes como avanzados. stas incluyen las siguientes: Orientado a problemas. Los estudiantes de ingeniera aprenden mejor cuando estn motivados por la solucin de problemas, lo cual es especialmente cierto en el caso de las matemticas y de la computacin. Por tal razn, presentamos los mtodos numricos desde la perspectiva de la solucin de problemas. Pedagoga orientada al estudiante. Hemos presentado varios detalles para lograr que el libro sea tan accesible para el estudiante como sea posible. stos comprenden la organizacin general, el uso de introducciones y eplogos para consolidar los temas principales, as como un amplio uso de ejemplos desarrollados y estudios de casos de las reas principales de la ingeniera. Hemos puesto especial cuidado en que nuestras explicaciones sean claras y en que tengan una orientacin prctica. Mtodo de la caja clara. Aunque hacemos especial nfasis en la solucin de problemas, creemos que sera autolimitante para el ingeniero abordar los algoritmos numricos como una caja negra. Por lo tanto, hemos presentado suficiente teora para permitir al usuario comprender los conceptos bsicos que estn detrs de los mtodos. En especial hacemos hincapi en la teora relacionada con el anlisis del error, las limitaciones de los mtodos y las alternativas entre mtodos. Orientado al uso de computadoras personales. La primera vez que escribimos este libro haba un gran abismo entre el mundo de las grandes computadoras de antao y el mundo interactivo de las PC. Hoy, conforme el desarrollo de las computadoras personales ha aumentado, las diferencias han desaparecido. Es decir, este libro enfatiza la visualizacin y los clculos interactivos, que son el rasgo distintivo de las computadoras personales.

PREFACIO

xvii

Capacitacin al estudiante. Por supuesto que presentamos al estudiante las capacidades para resolver problemas con paquetes como Excel y MATLAB. Sin embargo, tambin se les ensea a los estudiantes cmo desarrollar programas sencillos y bien estructurados para aumentar sus capacidades bsicas en dichos ambientes. Este conocimiento le permite programar en lenguajes como Fortran 90, C y C++. Creemos que el avance de la programacin en computadora representa el currculum oculto de la ingeniera. Debido a las restricciones, muchos ingenieros no se conforman con las herramientas limitadas y tienen que escribir sus propios cdigos. Actualmente se utilizan macros o archivos M. Este libro est diseado para implementar lo anterior.

Adems de estos cinco principios, la mejora ms significativa en la quinta edicin es una revisin profunda y una expansin de las series de problemas al final de cada captulo. La mayor parte de ellos han sido modificados de manera que permitan distintas soluciones numricas a los de ediciones anteriores. Adems, se ha incluido una variedad de problemas nuevos. Al igual que en las ediciones previas, se incluyen problemas tanto matemticos como aplicados a todas las ramas de la ingeniera. En todos los casos, nuestro intento es brindarles a los estudiantes ejercicios que les permitan revisar su comprensin e ilustrar de qu manera los mtodos numricos pueden ayudarlos para una mejor resolucin de los problemas. Como siempre, nuestro objetivo principal es proporcionarle al estudiante una introduccin slida a los mtodos numricos. Consideramos que aquellos que estn motivados y que puedan disfrutar los mtodos numricos, la computacin y las matemticas, al final se convertirn en mejores ingenieros. Si nuestro libro fomenta un entusiasmo genuino por estas materias, entonces consideraremos que nuestro esfuerzo habr tenido xito. Agradecimientos. Queremos agradecer a nuestros amigos de McGraw-Hill. En particular a Amanda Green, Suzanne Jeans y Peggy Selle, quienes brindaron una atmsfera positiva y de apoyo para la creacin de esta edicin. Como siempre, Beatrice Sussman realiz un trabajo magistral en la edicin y copiado del manuscrito, y Michael Ryder hizo contribuciones superiores durante la produccin del libro. Agradecemos en especial a los profesores Wally Grant, Olga Pierrakos, Amber Phillips, Justin Griffee y Kevin Mace (Virginia Tech), y a la profesora Theresa Good (Texas A&M), quien a lo largo de los aos ha aportado problemas para nuestro libro. Al igual que en ediciones anteriores, David Clough (University of Colorado) y Jerry Stedinger (Cornell University) compartieron con generosidad sus puntos de vista y sugerencias. Otras sugerencias tiles tambin provinieron de Bill Philpot (Cornell University), Jim Guilkey (University of Utah), Dong-Il Seo (Chungnam National University, Corea), y Raymundo Cordero y Karim Muci (ITESM, Mxico). La edicin actual tambin se benefici de las revisiones y sugerencias que hicieron los colegas siguientes: Ella M. Atkins, University of Maryland Betty Barr, University of Houston Florin Bobaru, University of Nebraska-Lincoln Ken W. Bosworth, Idaho State University Anthony Cahill, Texas A&M University Raymond C. Y. Chin, Indiana University-Purdue, Indianapolis

xviii

PREFACIO

Jason Clark, University of California, Berkeley John Collings, University of North Dakota Ayodeji Demuren, Old Dominion University Cassiano R. E. de Oliveira, Georgia Institute of Technology Subhadeep Gan, University of Cincinnati Aaron S. Goldstein, Virginia Polytechnic Institute and State University Gregory L. Griffin, Louisiana State University Walter Haisler, Texas A&M University Don Hardcastle, Baylor University Scott L. Hendricks, Virginia Polytechnic Institute and State University David J. Horntrop, New Jersey Institute of Technology Tribikram Kundu, University of Arizona Hysuk Lee, Clemson University Jichun Li, University of Nevada, Las Vegas Jeffrey S. Marshall, University of Iowa George Novacky, University of Pittsburgh Dmitry Pelinovsky, McMaster University Siva Parameswaran, Texas Technical University Greg P. Semeraro, Rochester Institute of Technology Jerry Sergent, Faifield University Dipendra K. Sinha, San Francisco State University Scott A. Socolofsky, Texas A&M University Robert E. Spall, Utah State University John C. Strikwerda, University of Wisconsin-Madison Karsten E. Thompson, Louisiana State University Kumar Vemaganti, University of Cincinnati Peter Wolfe, University of Maryland Yale Yurttas, Texas A&M University Nader Zamani, University of Windsor Viktoria Zoltay, Tufts University Debemos hacer nfasis en que si bien recibimos consejos tiles de las personas mencionadas, somos responsables de cualesquiera inexactitudes o errores que se encuentren en esta edicin. Por favor, haga contacto con Steven Chapra por correo electrnico en caso de que detecte algn error en esta edicin. Por ltimo, queremos agradecer a nuestras familias, amigos y estudiantes por su paciencia y apoyo constantes. En particular, a Cynthia Chapra y Claire Canale, quienes siempre estn presentes brindando comprensin, puntos de vista y amor. STEVEN C. CHAPRA Medford, Massachusetts [email protected] RAYMOND P. CANALE Lake Leelanau, Michigan

PREFACIO

xix

Agradecemos en especial la valiosa contribucin de los siguientes asesores tcnicos para la presente edicin en espaol: Abel Valdez Ramrez, ESIQIE, Instituto Politcnico Nacional, Zacatenco Alejandra Gonzlez, ITESM, campus Monterrey Fernando Vera Badillo, Universidad La Salle, campus Ciudad de Mxico Jaime Salazar Tamez, ITESM, campus Toluca Jess Estrada Madueo, Instituto Tecnolgico de Culiacn Jess Ramn Villarreal Madrid, Instituto Tecnolgico de Culiacn Jos Juan Surez Lpez, ESIME, Instituto Politcnico Nacional, Culhuacn Leonel Magaa Mendoza, Instituto Tecnolgico de Morelia Mara de los ngeles Contreras Flores, Universidad Autnoma del Estado de Mxico, campus Toluca Mario Medina Valdez, Universidad Autnoma Metropolitana - Iztapalapa Olga Lpez, ITESM, campus Estado de Mxico Reynaldo Gmez, Universidad de Guadalajara

xx

CONTENIDO

VISITA GUIADAPT3.1 Motivacin PT3.2 Antecedentes matemticos PT3.3 Orientacin 9.2 Eliminacin de Gauss simple 9.3 Dificultades

Para ofrecer un panorama de los mtodos numricos, hemos organizado el texto en partes, y presentamos informacin unificadora a travs de elementos de Motivacin, Antecedentes Matemticos, Orientacin y Eplogo.

PT3.6 Mtodos avanzados

PT3.5 Frmulas importantes

PARTE 3 Ecuaciones algebraicas lineales

9.1 Sistemas pequeos

9.4 Soluciones

EPLOGOPT3.4 Alternativas

CAPTULO 9 Eliminacin de Gauss

9.5 Sistemas complejos 9.6 Sistemas no lineales

9.7 Gauss-Jordan

12.4 Ingeniera mecnica

10.1 Descomposicin LU

12.3 Ingeniera elctrica

CAPTULO 12 Estudio de casos CAPTULO 11 Matrices especiales y el mtodo de Gauss-Seidel11.3 Bibliotecas y paquetes 11.2 Gauss-Seidel 11.1 Matrices especiales

CAPTULO 10 Descomposicin LU e inversin de matrices

10.2 La matriz inversa

12.2 Ingeniera civil

12.1 Ingeniera qumica

10.3 Anlisis del error y condicin del sistema

PROBLEMAS

339

PROBLEMASIngeniera Qumica/Bioingeniera 12.1 Lleve a cabo el mismo clculo que en la seccin 12.1, pero cambie c01 a 40 y c03 a 10. Tambin cambie los flujos siguientes: Q01 = 6, Q12 = 4, Q24 = 2 y Q44 = 12. 12.2 Si la entrada al reactor 3 de la seccin 12.1, disminuye 25 por ciento, utilice la matriz inversa para calcular el cambio porcentual en la concentracin de los reactores 1 y 4. 12.3 Debido a que el sistema que se muestra en la figura 12.3 est en estado estacionario (estable), qu se puede afirmar respecto de los cuatro flujos: Q01, Q03, Q44 y Q55? 12.4 Vuelva a calcular las concentraciones para los cinco reactores que se muestran en la figura 12.3, si los flujos cambian como sigue: Q01 = 5 Q15 = 4 Q12 = 4 Q31 = 3 Q55 = 3 Q03 = 8 Q25 = 2 Q54 = 3 Q24 = 0 Q23 = 2 Q34 = 7 Q44 = 10 donde el vector del lado derecho consiste en las cargas de cloruro hacia cada uno de los cuatro lagos y c1, c2, c3 y c4 = las concentraciones de cloruro resultantes en los lagos Powell, Mead, Mohave y Havasu, respectivamente. a) Use la matriz inversa para resolver cules son las concentraciones en cada uno de los cuatro lagos. b) En cunto debe reducirse la carga del lago Powell para que la concentracin de cloruro en el lago Havasu sea de 75? c) Con el uso de la norma columna-suma, calcule el nmero de condicin y diga cuntos dgitos sospechosos se generaran al resolver este sistema. 12.7 Con el empleo del mismo enfoque que en la seccin 12.1, determine la concentracin de cloruro en cada uno de los Grandes Lagos con el uso de la informacin que se muestra en la figura P12.7. 12.8 La parte baja del ro Colorado consiste en una serie de cuatro almacenamientos como se ilustra en la figura P12.8. Puede escribirse los balances de masa para cada uno de ellos, lo que da por resultado el conjunto siguiente de ecuaciones algebraicas lineales simultneas: 0 0 0 13.42 13.422 12.252 0 0 12.252 12.377 0 0 0 0 12.377 11.797 c1 750.5 c2 300 = c3 102 c 4 30

Cada captulo contiene problemas de tarea nuevos y revisados. El ochenta por ciento de los problemas son nuevos o se han modificado. El texto incluye problemas de desafo de todas las disciplinas de la ingeniera.

12.5 Resuelva el mismo sistema que se especifica en el problema 12.4, pero haga Q12 = Q54 = 0 y Q15 = Q34 = 3. Suponga que las entradas (Q01, Q03) y las salidas (Q44, Q55) son las mismas. Use la conservacin del flujo para volver a calcular los valores de los dems flujos. 12.6 En la figura P12.6 se muestran tres reactores conectados por tubos. Como se indica, la tasa de transferencia de productos qumicos a travs de cada tubo es igual a la tasa de flujo (Q, en unidades de metros cbicos por segundo) multiplicada por la concentracin del reactor desde el que se origina el flujo (c, en unidades de miligramos por metro cbico). Si el sistema se

7.7

LOCALIZACIN DE RACES CON BIBLIOTECAS Y PAQUETES DE SOFTWARE

191

Se debe observar que Solver puede fallar. Su xito depende de 1. la condicin del sistema de ecuaciones y/o 2. la calidad de los valores iniciales. El resultado satisfactorio del ejemplo anterior no est garantizado. A pesar de esto, se puede encontrar a Solver bastante til para hacer de l una buena opcin en la obtencin rpida de races para un amplio rango de aplicaciones a la ingeniera. 7.7.2 MATLAB MATLAB es capaz de localizar races en ecuaciones algebraicas y trascendentes, como se muestra en la tabla 7.1. Siendo excelente para la manipulacin y localizacin de races en los polinomios. La funcin fzero est diseada para localizar la raz de una funcin. Una representacin simplificada de su sintaxis esfzero (f, X0, opciones)

Hay secciones del texto, as como problemas de tarea, dedicadas a implantar mtodos numricos con el software de Microsoft Excel y con el de The MathWorks, Inc. MATLAB.EJEMPLO 7.6

donde f es la tensin que se va a analizar, x0 es el valor inicial y opciones son los parmetros de optimizacin (stos pueden cambiarse al usar la funcin optimset). Si no se anotan las opciones se emplean los valores por omisin. Observe que se pueden emplear uno o dos valores iniciales, asumiendo que la raz est dentro del intervalo. El siguiente ejemplo ilustra cmo se usa la funcin fzero. Uso de MATLAB para localizar races Planteamiento del problema. las races de f (x) = x 110

Utilice la funcin fzero de MATLAB para encontrar

xx

11.1

MATRICES ESPECIALES

307

EJEMPLO 11.1

Solucin tridiagonal con el algoritmo de Thomas Planteamiento del problema. Resuelva el siguiente sistema tridiagonal con el algoritmo de Thomas. T1 40.8 2.04 1 T 0.8 1 2.04 1 2 = 1 2.04 1 T3 0.8 T 1 2 . 04 200 . 8 4 Solucin. Primero, la descomposicin se realiza as:

El texto presenta numerosos ejemplos resueltos que dan a los estudiantes ilustraciones paso a paso acerca de cmo implantar los mtodos numricos.

e2 = 1/2.04 = 0.49 f2 = 2.04 (0.49)(1) = 1.550 e3 = 1/1.550 = 0.645 f3 = 2.04 (0.645)(1) = 1.395 e4 = 1/1.395 = 0.717 f4 = 2.04 (0.717)(1) = 1.323 As, la matriz se transforma en 1 2.04 0.49 1.550 1 0.645 1.395 1 0717 1.323

CAPTULO 32 Estudio de casos: ecuaciones diferenciales parcialesEl propsito de este captulo es aplicar los mtodos de la parte ocho a problemas prcticos de ingeniera. En la seccin 32.1 se utiliza una EDP parablica para calcular la distribucin de una sustancia qumica, dependiente del tiempo a lo largo del eje longitudinal de un reactor rectangular. Este ejemplo ilustra cmo la inestabilidad de una solucin puede deberse a la naturaleza de la EDP, ms que a las propiedades del mtodo numrico. Las secciones 32.2 y 32.3 presentan aplicaciones de las ecuaciones de Poisson y Laplace a problemas de ingeniera civil y elctrica. Entre otras cuestiones, esto le permitir distinguir tanto las similitudes como las diferencias entre los problemas en esas reas de la ingeniera. Adems, se pueden comparar con el problema de la placa calentada que ha servido como sistema prototipo en esta parte del libro. La seccin 32.2 trata de la deflexin de una placa cuadrada; mientras que la seccin 32.3 se dedica al clculo de la distribucin del voltaje y el flujo de carga en una superficie bidimensional con un extremo curvado. La seccin 32.4 presenta un anlisis del elemento finito aplicado a una serie de resortes. Este problema de mecnica y estructuras ilustra mejor las aplicaciones del elemento finito, que al problema de temperatura usado para analizar el mtodo en el captulo 31.

Existen 28 estudios de caso de la ingeniera para ayudar a los estudiantes a relacionar los mtodos numricos con los campos principales de la ingeniera.

32.1

BALANCE DE MASA UNIDIMENSIONAL DE UN REACTOR (INGENIERA QUMICA/BIOINGENIERA)Antecedentes. Los ingenieros qumicos utilizan mucho los reactores idealizados en su trabajo de diseo. En las secciones 12.1 y 28.1 nos concentramos en reactores simples o acoplados bien mezclados, los cuales constituyen ejemplos de sistemas de parmetros localizados (recuerde la seccin PT3.1.2).

FIGURA 32.1 Reactor alargado con un solo punto de entrada y salida Un balance

MATERIALES DE APOYO Esta obra cuenta con interesantes complementos que fortalecen los procesos de enseanza-aprendizaje, as como la evaluacin de los mismos, los cuales se otorgan a profesores que adoptan este texto para sus cursos. Para obtener ms informacin y conocer la poltica de entrega de estos materiales, contacte a su representante McGraw-Hill.xxi

ACERCA DE LOS AUTORES

Steve Chapra es profesor en el Departamento de Ingeniera Civil y Ambiental de la Universidad de Tufts. Entre sus obras publicadas se encuentran Surface Water-Quality Modeling e Introduction to Computing for Engineers. El Dr. Chapra obtuvo el grado de Ingeniero por las universidades de Manhattan y de Michigan. Antes de incorporarse a la facultad de Tufts trabaj para la Agencia de Proteccin Ambiental y la Administracin Nacional del Ocano y la Atmsfera, fue profesor asociado en las universidades de Texas A&M y de Colorado. En general, sus investigaciones estn relacionadas con la modelacin de la calidad del agua superficial y la aplicacin de computacin avanzada en la ingeniera ambiental. Tambin ha recibido gran cantidad de reconocimientos por sus destacadas contribuciones acadmicas, incluyendo la medalla Rudolph Hering (ASCE en 1993) y el premio al autor distinguido Meriam-Wiley (1987), por parte de la Sociedad Americana para la Educacin en Ingeniera. Se ha reconocido como profesor emrito en las facultades de ingeniera de las universidades de Texas A&M (premio Tenneco, 1986) y de Colorado (premio Hitchinson, 1992). Raymond P. Canale es profesor emrito de la Universidad de Michigan. En sus ms de 20 aos de carrera en la universidad ha impartido numerosos cursos en la reas de computacin, mtodos numricos e ingeniera ambiental. Tambin ha dirigido extensos programas de investigacin en el rea de modelacin matemtica y por computadora de ecosistemas acuticos. Es autor y coautor de varios libros, ha publicado ms de 100 artculos e informes cientficos. Tambin ha diseado y desarrollado software para computadoras personales, con la finalidad de facilitar la educacin en ingeniera y la solucin de problemas en ingeniera. Ha recibido el premio al autor distinguido MeriamWiley de la Sociedad Americana para la Educacin en Ingeniera por sus libros y el software desarrollado, as como otros reconocimientos por sus publicaciones tcnicas. Actualmente, el profesor Canale se dedica a resolver problemas de aplicacin, trabajando como consultor y perito en empresas de ingeniera, en la industria e instituciones gubernamentales.

Mtodos numricos para ingenieros

PARTE UNO

MODELOS, COMPUTADORAS Y ANLISIS DEL ERRORPT1.1 MOTIVACINLos mtodos numricos constituyen tcnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemticos, de tal forma que puedan resolverse utilizando operaciones aritmticas. Aunque existen muchos tipos de mtodos numricos, stos comparten una caracterstica comn: invariablemente requieren de un buen nmero de tediosos clculos aritmticos. No es raro que con el desarrollo de computadoras digitales eficientes y rpidas, el papel de los mtodos numricos en la solucin de problemas en ingeniera haya aumentado de forma considerable en los ltimos aos. PT1.1.1 Mtodos sin computadora Adems de proporcionar un aumento en la potencia de clculo, la disponibilidad creciente de las computadoras (en especial de las personales) y su asociacin con los mtodos numricos han influido de manera muy significativa en el proceso de la solucin actual de los problemas en ingeniera. Antes de la era de la computadora los ingenieros slo contaban con tres mtodos para la solucin de problemas: 1. Se encontraban las soluciones de algunos problemas usando mtodos exactos o analticos. Dichas soluciones resultaban tiles y proporcionaban una comprensin excelente del comportamiento de algunos sistemas. No obstante, las soluciones analticas slo pueden encontrarse para una clase limitada de problemas. stos incluyen aquellos que pueden aproximarse mediante modelos lineales y tambin aquellos que tienen una geometra simple y de baja dimensin. En consecuencia, las soluciones analticas tienen un valor prctico limitado porque la mayora de los problemas reales son no lineales, e implican formas y procesos complejos. Para analizar el comportamiento de los sistemas se usaban soluciones grficas, las cuales tomaban la forma de grficas o nomogramas; aunque las tcnicas grficas se utilizan a menudo para resolver problemas complejos, los resultados no son muy precisos. Adems, las soluciones grficas (sin la ayuda de una computadora) son en extremo tediosas y difciles de implementar. Finalmente, las tcnicas grficas estn limitadas a los problemas que puedan describirse usando tres dimensiones o menos. Para implementar los mtodos numricos se utilizaban calculadoras y reglas de clculo. Aunque en teora dichas aproximaciones deberan ser perfectamente adecuadas para resolver problemas complicados, en la prctica se presentan varias dificultades debido a que los clculos manuales son lentos y tediosos. Adems, los resultados no son consistentes, ya que surgen equivocaciones cuando se efectan los numerosos clculos de esta manera.

2.

3.

Antes del uso de la computadora se gastaba bastante energa en la tcnica misma de solucin, en lugar de usarla en la definicin del problema y su interpretacin (figura PT1.1a). Esta situacin desafortunada se deba al tiempo y trabajo montono que se requera para obtener resultados numricos con tcnicas que no utilizaban la computadora.

4

MODELOS, COMPUTADORAS Y ANLISIS DEL ERROR

FORMULACIN Leyes fundamentales explicadas brevemente

FORMULACIN Exposicin profunda de la relacin del problema con las leyes fundamentales

FIGURA PT1.1 Las tres fases en la solucin de problemas en ingeniera en a) la era anterior a las computadoras y b) la era de las computadoras. Los tamaos de los recuadros indican el nivel de importancia que se presenta en cada fase. Las computadoras facilitan la implementacin de tcnicas de solucin y, as, permiten un mayor inters sobre los aspectos creativos en la formulacin de problemas y la interpretacin de los resultados.

SOLUCIN Mtodos muy elaborados y con frecuencia complicados para hacer manejable el problema

SOLUCIN Mtodo de la computadora fcil de usar

INTERPRETACIN Anlisis profundo limitado por una solucin que consume tiempo

INTERPRETACIN La facilidad de calcular permite pensar holsticamente y desarrollar la intuicin; es factible estudiar la sensibilidad y el comportamiento del sistema

a)

b)

En la actualidad, las computadoras y los mtodos numricos ofrecen una alternativa para los clculos complicados. Al usar la potencia de la computadora se obtienen soluciones directamente, de esta manera se pueden aproximar los clculos sin tener que recurrir a consideraciones de simplificacin o a tcnicas muy lentas. Aunque las soluciones analticas an son muy valiosas, tanto para resolver problemas como para brindar una mayor comprensin, los mtodos numricos representan opciones que aumentan, en forma considerable, la capacidad para enfrentar y resolver los problemas; como resultado, se dispone de ms tiempo para aprovechar las habilidades creativas personales. En consecuencia, es posible dar ms importancia a la formulacin de un problema y a la interpretacin de la solucin, as como a su incorporacin al sistema total, o conciencia holstica (figura PT1.1b). PT1.1.2 Los mtodos numricos y la prctica en ingeniera Desde finales de la dcada de los cuarenta, la amplia disponibilidad de las computadoras digitales han llevado a una verdadera explosin en el uso y desarrollo de los mtodos numricos. Al principio, este crecimiento estaba limitado por el costo de procesamiento de las grandes computadoras (mainframes) , por lo que muchos ingenieros seguan usando simples procedimientos analticos en una buena parte de su trabajo. Vale la pena

PT1.2

ANTECEDENTES MATEMTICOS

5

mencionar que la reciente evolucin de computadoras personales de bajo costo ha permitido el acceso, de mucha gente, a las poderosas capacidades de cmputo. Adems, existen diversas razones por las cuales se deben estudiar los mtodos numricos: 1. Los mtodos numricos son herramientas muy poderosas para la solucin de problemas. Son capaces de manipular sistemas de ecuaciones grandes, manejar no linealidades y resolver geometras complicadas, comunes en la prctica de la ingeniera y, a menudo, imposibles de resolver en forma analtica. Por lo tanto, aumentan la habilidad de quien los estudia para resolver problemas. En el transcurso de su carrera, es posible que el lector tenga la oportunidad de utilizar paquetes disponibles comercialmente, o programas enlatados que contengan mtodos numricos. El uso eficiente de estos programas depende del buen entendimiento de la teora bsica en que se basan tales mtodos. Hay muchos problemas que no pueden resolverse con programas enlatados. Si usted es conocedor de los mtodos numricos y es hbil en la programacin de computadoras, entonces tiene la capacidad de disear sus propios programas para resolver los problemas, sin tener que comprar un software costoso. Los mtodos numricos son un vehculo eficiente para aprender a servirse de las computadoras. Es bien sabido que una forma efectiva de aprender programacin consiste en escribir programas para computadora. Debido a que la mayora de los mtodos numricos estn diseados para usarlos en las computadoras, son ideales para tal propsito. Adems, son especialmente adecuados para ilustrar el poder y las limitaciones de las computadoras. Cuando usted desarrolle en forma satisfactoria los mtodos numricos en computadora y los aplique para resolver los problemas que de otra manera resultaran inaccesibles, usted dispondr de una excelente demostracin de cmo las computadoras sirven para su desarrollo profesional. Al mismo tiempo, aprender a reconocer y controlar los errores de aproximacin que son inseparables de los clculos numricos a gran escala. Los mtodos numricos son un medio para reforzar su comprensin de las matemticas, ya que una de sus funciones es convertir las matemticas superiores en operaciones aritmticas bsicas, de esta manera se puede profundizar en los temas que de otro modo resultaran oscuros. Esta perspectiva dar como resultado un aumento de su capacidad de comprensin y entendimiento en la materia.

2.

3.

4.

5.

PT1.2

ANTECEDENTES MATEMTICOSCada parte de este libro requiere de algunos conocimientos matemticos, por lo que el material introductorio de cada parte comprende una seccin que incluye los fundamentos matemticos. Como la parte uno, que est dedicada a aspectos bsicos sobre las matemticas y la computacin, en esta seccin no se revisar ningn tema matemtico especfico. En vez de ello se presentan los temas del contenido matemtico que se cubren en este libro. stos se resumen en la figura PT1.2 y son: 1. Races de ecuaciones (figura PT1.2a). Estos problemas se relacionan con el valor de una variable o de un parmetro que satisface una ecuacin no lineal. Son especialmente valiosos en proyectos de ingeniera, donde con frecuencia resulta imposible despejar de manera analtica los parmetros de las ecuaciones de diseo.

6


2.

Sistemas de ecuaciones algebraicas lineales (figura PT1.2b). En esencia, se trata de problemas similares a los de races de ecuaciones, en el sentido de que estn relacionados con valores que satisfacen ecuaciones. Sin embargo, en lugar de satisfacer una sola ecuacin, se busca un conjunto de valores que satisfaga simultneamente un conjunto de ecuaciones algebraicas lineales, las cuales surgen en el contexto de

FIGURA PT1.2 Resumen de los mtodos numricos que se consideran en este libro.

a) Parte 2: Races de ecuacionesResuelva f (x) = 0 para x.

f (x)

Raz x

b) Parte 3: Sistema de ecuacionesalgebraicas lineales Dadas las as y las cs, resolver a11x1 + a12x2 = c1 a21x1 + a22x2 = c2 para las xs. x2

Solucin

c) Parte 4: OptimizacinDetermine la x que da el ptimo de f(x). f (x)

x1

Mnimo x

d ) Parte 5: Ajuste de curvasf (x) f (x) Interpolacin

Regresin x x f (x)

e) Parte 6: Integracinb f (x) dx I = a Encuentre el rea bajo la curva.

I x

PT1.2

ANTECEDENTES MATEMTICOS

7

f ) Parte 7: Ecuaciones diferenciales ordinariasDada dy y = f (t, y) dt t resolver para y como funcin de t. yi + 1 = yi + f (ti , yi ) t y

Pendiente = f ( t i, y i) t ti y ti + 1 t

g) Parte 8: Ecuaciones diferenciales parcialesDada 2u + 2u = f (x, y) x2 y2 determine u como funcin de xyy

FIGURA PT1.2 (Conclusin)

x

3.

4.

5.

una gran variedad de problemas y en todas las disciplinas de la ingeniera. En particular, se originan a partir de modelos matemticos de grandes sistemas de elementos interrelacionados, tal como estructuras, circuitos elctricos y redes de flujo; aunque tambin se llegan a encontrar en otras reas de los mtodos numricos como el ajuste de curvas y las ecuaciones diferenciales. Optimizacin (figura PT1.2c). En estos problemas se trata de determinar el valor o los valores de una variable independiente que corresponden al mejor o al valor ptimo de una funcin. De manera que, como se observa en la figura PT1.2c, la optimizacin considera la identificacin de mximos y mnimos. Tales problemas se presentan comnmente en el contexto del diseo en ingeniera. Tambin surgen en otros mtodos numricos. Nosotros nos ocuparemos de la optimizacin tanto para una sola variable sin restricciones como para varias variables sin restricciones. Tambin describiremos la optimizacin restringida dando especial nfasis a la programacin lineal. Ajuste de curvas (figura PT1.2d). A menudo se tendr que ajustar curvas a un conjunto de datos representados por puntos. Las tcnicas desarrolladas para tal propsito se dividen en dos categoras generales: regresin e interpolacin. La primera se emplea cuando hay un significativo grado de error asociado con los datos; con frecuencia los datos experimentales son de este tipo. Para estas situaciones, la estrategia es encontrar una curva que represente la tendencia general de los datos, sin necesidad de tocar los puntos individuales. En contraste, la interpolacin se utiliza cuando el objetivo es determinar valores intermedios entre datos que estn, relativamente, libres de error. Tal es el caso de la informacin tabulada. En dichas situaciones, la estrategia consiste en ajustar una curva directamente mediante los puntos obtenidos como datos y usar la curva para predecir valores intermedios. Integracin (figura PT1.2e). Como hemos representado grficamente, la interpretacin de la integracin numrica es la determinacin del rea bajo la curva. La inte-

8


6.

7.

gracin tiene diversas aplicaciones en la prctica de la ingeniera, que van desde la determinacin de los centroides de objetos con formas extraas, hasta el clculo de cantidades totales basadas en conjuntos de medidas discretas. Adems, las frmulas de integracin numrica desempean un papel importante en la solucin de ecuaciones diferenciales. Ecuaciones diferenciales ordinarias (figura PT1.2f). stas tienen una enorme importancia en la prctica de la ingeniera, lo cual se debe a que muchas leyes fsicas estn expresadas en trminos de la razn de cambio de una cantidad, ms que en trminos de la cantidad misma. Entre los ejemplos tenemos desde los modelos de prediccin demogrfica (razn de cambio de la poblacin), hasta la aceleracin de un cuerpo que cae (razn de cambio de la velocidad). Se tratan dos tipos de problemas: problemas con valor inicial y problemas con valores en la frontera. Adems veremos el clculo de valores propios. Ecuaciones diferenciales parciales (figura PT1.2g). Las ecuaciones diferenciales parciales sirven para caracterizar sistemas de ingeniera, en los que el comportamiento de una cantidad fsica se expresa en trminos de su razn de cambio con respecto a dos o ms variables independientes. Entre los ejemplos tenemos la distribucin de temperatura en estado estacionario sobre una placa caliente (espacio bidimensional) o la temperatura variable con el tiempo de una barra caliente (tiempo y una dimensin espacial). Para resolver numricamente las ecuaciones diferenciales parciales se emplean dos mtodos bastante diferentes. En el presente texto haremos nfasis en los mtodos de las diferencias finitas que aproximan la solucin usando puntos discretos (figura PT1.2g). No obstante, tambin presentaremos una introduccin a los mtodos de elementos finitos, los cuales usan una aproximacin con piezas discretas.

PT1.3

ORIENTACINResulta til esta orientacin antes de proceder a la introduccin de los mtodos numricos. Lo que sigue est pensado como una vista general del material contenido en la parte uno. Se incluyen, adems, algunos objetivos como ayuda para concentrar el esfuerzo del lector en el estudio de los temas. PT1.3.1 Alcance y presentacin preliminar La figura PT1.3 es una representacin esquemtica del material contenido en la parte uno. Este diagrama se elabor para ofrecer un panorama global de esta parte del libro. Se considera que un sentido de imagen global resulta importante para desarrollar una verdadera comprensin de los mtodos numricos. Al leer un texto es posible que se pierda uno en los detalles tcnicos. Siempre que el lector perciba que est perdiendo la imagen global vuelva a la figura PT1.3 para orientarse nuevamente. Cada parte de este libro contiene una figura similar. La figura PT1.3 tambin sirve como una breve revisin inicial del material que se cubre en la parte uno. El captulo 1 est diseado para orientarle en los mtodos numricos y para motivarlo mostrndole cmo se utilizan dichas tcnicas, en el proceso de elaborar modelos matemticos aplicados a la ingeniera. El captulo 2 es una introduccin

PT1.3

ORIENTACIN

9

PT1.1 Motivacin

PT1.2 Antecedentes matemticos

PT1.3 Orientacin

PT1.6 Mtodos avanzados

PARTE 1 Modelos, computadoras y anlisis del error

1.1 Un modelo simple

PT1.5 Frmulas importantes

EPLOGOPT1.4 Alternativas

CAPTULO 1 Modelos matemticos y solucin de problemas en ingeniera

1.2 Leyes de conservacin

2.1 Paquetes y programacin 2.2 Programacin estructurada

4.4 Varios tipos de error

4.3 Error numrico total

CAPTULO 4 Errores de truncamiento y la serie de Taylor

CAPTULO 2 Programacin y software

2.3 Programacin modular

4.2 Propagacin del error 4.1 La serie de Taylor 3.4 Errores de redondeo

CAPTULO 3 Aproximaciones y errores de redondeo

2.4 Excel

2.6 Otros lenguajes y bibliotecas

2.5 MATLAB

3.1 Cifras significativas 3.3 Definiciones de error 3.2 Exactitud y precisin

FIGURA PT1.3 Esquema de la organizacin del material en la parte uno: Modelos, computadoras y anlisis del error.

y un repaso de los aspectos de computacin que estn relacionados con los mtodos numricos y presenta las habilidades de programacin que se deben adquirir para explotar de manera eficiente la siguiente informacin. Los captulos 3 y 4 se ocupan del importante tema del anlisis del error, que debe entenderse bien para el uso efectivo de los mtodos numricos. Adems, se incluye un eplogo que presenta los elementos de juicio que tienen una gran importancia para el uso efectivo de los mtodos numricos.

10


TABLA PT1.1 Objetivos especcos de estudio de la parte uno.1. Reconocer la diferencia entre soluciones analticas y numricas. 2. Entender cmo las leyes de la conservacin se emplean para desarrollar modelos matemticos de sistemas fsicos. 3. Denir diseo modular y top-down. 4. Denir las reglas para la programacin estructurada. 5. Ser capaz de elaborar programas estructurados y modulares en un lenguaje de alto nivel. 6. Saber cmo se traducen los diagramas de ujo estructurado y el seudocdigo al cdigo en un lenguaje de alto nivel. 7. Empezar a familiarizarse con cualquier software que usar junto con este texto. 8. Reconocer la diferencia entre error de truncamiento y error de redondeo. 9. Comprender los conceptos de cifras signicativas, exactitud y precisin. 10. Conocer la diferencia entre error relativo verdadero ev, error relativo aproximado ea y error aceptable es y entender cmo ea y es sirven para terminar un clculo iterativo. 11. Entender cmo se representan los nmeros en las computadoras y cmo tal representacin induce errores de redondeo. En particular, conocer la diferencia entre precisin simple y extendida. 12. Reconocer cmo la aritmtica de la computadora llega a presentar y amplicar el error de redondeo en los clculos. En particular, apreciar el problema de la cancelacin por sustraccin. 13. Saber cmo la serie de Taylor y su residuo se emplean para representar funciones continuas. 14. Conocer la relacin entre diferencias nitas divididas y derivadas. 15. Ser capaz de analizar cmo los errores se propagan a travs de las relaciones funcionales. 16. Estar familiarizado con los conceptos de estabilidad y condicin. 17. Familiarizarse con las consideraciones que se describen en el eplogo de la parte uno.

PT1.3.2 Metas y objetivos Objetivos de estudio. Al terminar la parte uno el lector deber estar preparado para aventurarse en los mtodos numricos. En general, habr adquirido una comprensin fundamental de la importancia de las computadoras y del papel que desempean las aproximaciones y los errores en el uso y desarrollo de los mtodos numricos. Adems de estas metas generales, deber dominar cada uno de los objetivos de estudio especficos que se muestran en la tabla PT1.1. Objetivos de cmputo. Al terminar de estudiar la parte uno, usted deber tener suficientes habilidades en computacin para desarrollar su propio software para los mtodos numricos de este texto. Tambin ser capaz de desarrollar programas de computadora bien estructurados y confiables basndose en seudocdigos, diagramas de flujo u otras formas de algoritmo. Usted deber desarrollar la capacidad de documentar sus programas de manera que sean utilizados en forma eficiente por otros usuarios. Por ltimo, adems de sus propios programas, usted deber usar paquetes de software junto con este libro. Paquetes como MATLAB y Excel son los ejemplos de dicho software. Usted deber estar familiarizado con ellos, ya que ser ms cmodo utilizarlos para resolver despus los problemas numricos de este texto.

CAPTULO 1 Modelos matemticos y solucin de problemas en ingenieraEl conocimiento y la comprensin son prerrequisitos para la aplicacin eficaz de cualquier herramienta. Si no sabemos cmo funcionan las herramientas, por ejemplo, tendremos serios problemas para reparar un automvil, aunque la caja de herramientas sea de lo ms completa. sta es una realidad, particularmente cuando se utilizan computadoras para resolver problemas de ingeniera. Aunque las computadoras tienen una gran utilidad, son prcticamente intiles si no se comprende el funcionamiento de los sistemas de ingeniera. Esta comprensin inicialmente es emprica es decir, se adquiere por observacin y experimentacin. Sin embargo, aunque esta informacin obtenida de manera emprica resulta esencial, slo estamos a la mitad del camino. Durante muchos aos de observacin y experimentacin, los ingenieros y los cientficos han advertido que ciertos aspectos de sus estudios empricos ocurren una y otra vez. Este comportamiento general puede expresarse como las leyes fundamentales que engloba, en esencia, el conocimiento acumulado de la experiencia pasada. As, muchos problemas de ingeniera se resuelven con el empleo de un doble enfoque: el empirismo y el anlisis terico (figura 1.1). Debe destacarse que ambos estn estrechamente relacionados. Conforme se obtienen nuevas mediciones, las generalizaciones llegan a modificarse o aun a descubrirse otras nuevas. De igual manera, las generalizaciones tienen una gran influencia en la experimentacin y en las observaciones. En lo particular, las generalizaciones sirven para organizar principios que se utilizan para sintetizar los resultados de observaciones y experimentos en un sistema coherente y comprensible, del que se pueden obtener conclusiones. Desde la perspectiva de la solucin de un problema de ingeniera, el sistema es an ms til cuando el problema se expresa por medio de un modelo matemtico. El primer objetivo de este captulo consiste en introducir al lector a la modelacin matemtica y su papel en la solucin de problemas en ingeniera. Se mostrar tambin la forma en que los mtodos numricos figuran en el proceso.

1.1

UN MODELO MATEMTICO SIMPLEUn modelo matemtico se define, de manera general, como una formulacin o una ecuacin que expresa las caractersticas esenciales de un sistema fsico o de un proceso en trminos matemticos. En general, el modelo se representa mediante una relacin funcional de la forma: Variable variables funciones =f , parmetros, dependiente independientes de fuerza

(1.1)

12

MODELOS MATEMTICOS Y SOLUCIN DE PROBLEMAS EN INGENIERA

Definicin del problema

TEORA

Modelo matemtico

DATOS

Herramientas para resolver problemas: computadoras, estadstica, mtodos numricos, grficas, etctera.

Resultados numricos o grficos Relaciones grupales: programacin, optimizacin, comunicacin, interaccin pblica, etctera.

FIGURA 1.1 Proceso de solucin de problemas en ingeniera.

Instauracin

donde la variable dependiente es una caracterstica que generalmente refleja el comportamiento o estado de un sistema; las variables independientes son, por lo comn, dimensiones tales como tiempo y espacio, a travs de las cuales se determina el comportamiento del sistema; los parmetros son el reflejo de las propiedades o la composicin del sistema; y las funciones de fuerza son influencias externas que actan sobre el sistema. La expresin matemtica de la ecuacin (1.1) va desde una simple relacin algebraica hasta un enorme y complicado grupo de ecuaciones diferenciales. Por ejemplo, a travs de sus observaciones, Newton formul su segunda ley del movimiento, la cual establece que la razn de cambio del momentum con respecto al tiempo de un cuerpo, es igual a la fuerza resultante que acta sobre l. La expresin matemtica, o el modelo, de la segunda ley es la ya conocida ecuacin F = ma(1.2)

donde F es la fuerza neta que acta sobre el objeto (N, o kg m/s2), m es la masa del objeto (kg) y a es su aceleracin (m/s2).

1.1

UN MODELO MATEMTICO SIMPLE

13

FU

La segunda ley puede escribirse en el formato de la ecuacin (1.1), dividiendo, simplemente, ambos lados entre m para obtener a= F m

(1.3)

donde a es la variable dependiente que refleja el comportamiento del sistema, F es la funcin de fuerza y m es un parmetro que representa una propiedad del sistema. Observe que en este caso especfico no existe variable independiente porque an no se predice cmo vara la aceleracin con respecto al tiempo o al espacio. La ecuacin (1.3) posee varias de las caractersticas tpicas de los modelos matemticos del mundo fsico:FD

1. 2.

FIGURA 1.2 Representacin esquemtica de las fuerzas que actan sobre un paracaidista en descenso. FD es la fuerza hacia abajo debida a la atraccin de la gravedad. FU es la fuerza hacia arriba debida a la resistencia del aire.

3.

Describe un proceso o sistema natural en trminos matemticos. Representa una idealizacin y una simplificacin de la realidad. Es decir, ignora los detalles insignificantes del proceso natural y se concentra en sus manifestaciones esenciales. Por ende, la segunda ley de Newton no incluye los efectos de la relatividad, que tienen una importancia mnima cuando se aplican a objetos y fuerzas que interactan sobre o alrededor de la superficie de la Tierra, a velocidades y en escalas visibles a los seres humanos. Finalmente, conduce a resultados reproducibles y, en consecuencia, llega a emplearse con la finalidad de predecir. Por ejemplo, dada la fuerza aplicada sobre un objeto de masa conocida, la ecuacin (1.3) se emplea para calcular la aceleracin.

Debido a su forma algebraica sencilla, la solucin de la ecuacin (1.2) se obtiene con facilidad. Sin embargo, es posible que otros modelos matemticos de fenmenos fsicos sean mucho ms complejos y no se resuelvan con exactitud, o que requieran para su solucin de tcnicas matemticas ms sofisticadas que la simple lgebra. Para ilustrar un modelo ms complicado de este tipo, se utiliza la segunda ley de Newton para determinar la velocidad final de la cada libre de un cuerpo que se encuentra cerca de la superficie de la Tierra. Nuestro cuerpo en cada libre ser el de un paracaidista (figura 1.2). Un modelo para este caso se obtiene expresando la aceleracin como la razn de cambio de la velocidad con respecto al tiempo (dv /dt), y sustituyendo en la ecuacin (1.3). Se tiene dv F = dt m

(1.4)

donde v es la velocidad (m/s) y t es el tiempo (s). As, la masa multiplicada por la razn de cambio de la velocidad es igual a la fuerza neta que acta sobre el cuerpo. Si la fuerza neta es positiva, el cuerpo se acelerar. Si es negativa, el cuerpo se desacelerar. Si la fuerza neta es igual a cero, la velocidad del cuerpo permanecer constante. Ahora expresemos la fuerza neta en trminos de variables y parmetros mensurables. Para un cuerpo que cae a distancias cercanas a la Tierra (figura 1.2), la fuerza total est compuesta por dos fuerzas contrarias: la atraccin hacia abajo debida a la gravedad FD y la fuerza hacia arriba debida a la resistencia del aire FU. F = FD + FU(1.5)

14


Si a la fuerza hacia abajo se le asigna un signo positivo, se usa la segunda ley de Newton para expresar la fuerza debida a la gravedad como FD = mg(1.6)

donde g es la constante gravitacional, o la aceleracin debida a la gravedad, que es aproximadamente igual a 9.8 m/s2. La resistencia del aire puede expresarse de varias maneras. Una forma sencilla consiste en suponer que es linealmente proporcional a la velocidad,1 y que acta en direccin hacia arriba tal como FU = cv(1.7)

donde c es una constante de proporcionalidad llamada coeficiente de resistencia o arrastre (kg/s). As, cuanto mayor sea la velocidad de cada, mayor ser la fuerza hacia arriba debida a la resistencia del aire. El parmetro c toma en cuenta las propiedades del objeto que cae, tales como su forma o la aspereza de su superficie, que afectan la resistencia del aire. En este caso, c podra ser funcin del tipo de traje o de la orientacin usada por el paracaidista durante la cada libre. La fuerza total es la diferencia entre las fuerzas hacia abajo y las fuerzas hacia arriba. Por lo tanto, combinando las ecuaciones (1.4) a (1.7), se obtiene dv mg cv = dt m o simplificando el lado derecho de la igualdad, dv c =g v dt m(1.9) (1.8)

La ecuacin (1.9) es un modelo que relaciona la aceleracin de un cuerpo que cae con las fuerzas que actan sobre l. Se trata de una ecuacin diferencial porque est escrita en trminos de la razn de cambio diferencial (dv /dt) de la variable que nos interesa predecir. Sin embargo, en contraste con la solucin de la segunda ley de Newton en la ecuacin (1.3), la solucin exacta de la ecuacin (1.9) para la velocidad del paracaidista que cae no puede obtenerse mediante simples manipulaciones algebraicas. Siendo necesario emplear tcnicas ms avanzadas, del clculo, para obtener una solucin exacta o analtica. Por ejemplo, si inicialmente el paracaidista est en reposo (v = 0 en t = 0), se utiliza el clculo integral para resolver la ecuacin (1.9), as v(t ) = gm (1 e ( c / m )t ) c(1.10)

Note que la ecuacin (1.10) es un ejemplo de la forma general de la ecuacin (1.1), donde v (t) es la variable dependiente, t es la variable independiente, c y m son parmetros, y g es la funcin de fuerza.De hecho, la relacin es realmente no lineal y podra ser representada mejor por una relacin con potencias como FU = cv 2. Al nal de este captulo, investigaremos, en un ejercicio, de qu manera inuyen estas no linealidades en el modelo.1

1.1


15

EJEMPLO 1.1

Solucin analtica del problema del paracaidista que cae Planteamiento del problema. Un paracaidista con una masa de 68.1 kg salta de un globo aerosttico fijo. Aplique la ecuacin (1.10) para calcular la velocidad antes de que se abra el paracadas. Considere que el coeficiente de resistencia es igual a 12.5 kg/s. Solucin. v(t ) = Al sustituir los valores de los parmetros en la ecuacin (1.10) se obtiene 9.8(68.1) (1 e (12.5/ 68.1)t ) = 53.39(1 e 0.18355t ) 12.5

que sirve para calcular la velocidad del paracaidista a diferentes tiempos, tabulando se tiene

t, s 0 2 4 6 8 10 12

v, m/s 0.00 16.40 27.77 35.64 41.10 44.87 47.49 53.39

De acuerdo con el modelo, el paracaidista acelera rpidamente (figura 1.3). Se alcanza una velocidad de 44.87 m/s (100.4 mi/h) despus de 10 s. Observe tambin que, despus de un tiempo suficientemente grande, alcanza una velocidad constante llamada velocidad terminal o velocidad lmite de 53.39 m/s (119.4 mi/h). Esta velocidad es constante porque despus de un tiempo la fuerza de gravedad estar en equilibrio con la resistencia del aire. Entonces, la fuerza total es cero y cesa la aceleracin. A la ecuacin (1.10) se le llama solucin analtica o exacta ya que satisface con exactitud la ecuacin diferencial original. Por desgracia, hay muchos modelos matemticos que no pueden resolverse con exactitud. En muchos de estos casos, la nica alternativa consiste en desarrollar una solucin numrica que se aproxime a la solucin exacta. Como ya se mencion, los mtodos numricos son aquellos en los que se reformula el problema matemtico para lograr resolverlo mediante operaciones aritmticas. Esto puede ilustrarse para el caso de la segunda ley de Newton, observando que a la razn de cambio de la velocidad con respecto al tiempo se puede aproximar mediante (figura 1.4): dv v v(ti +1 ) v(ti ) = dt t ti +1 ti(1.11)

donde v y t son diferencias en la velocidad y en el tiempo, respectivamente, calculadas sobre intervalos finitos, v (ti) es la velocidad en el tiempo inicial ti, y v (ti +1) es la veloci-

16


Velocidad terminal

40v, m/s

20

FIGURA 1.3 Solucin analtica al problema del paracaidista que cae segn se calcula en el ejemplo 1.1. La velocidad aumenta con el tiempo y tiende asintticamente a una velocidad terminal.

0

0

4 t, s

8

12

dad algn tiempo ms tarde ti + l. Observe que dv /dt v /t es aproximado porque t es finito. Recordando los cursos de clculo tenemos que dv v = lm dt t 0 t La ecuacin (1.11) representa el proceso inverso.FIGURA 1.4 Uso de una diferencia nita para aproximar la primera derivada de v con respecto a t.

v(ti +1) Pendiente verdadera dv/dt v

v(ti )

Pendiente aproximada v v(ti +1) v(ti ) = t t i +1 i t

ti t

ti +1

t

1.1


17

A la ecuacin (1.11) se le denomina una aproximacin en diferencia finita dividida de la derivada en el tiempo ti. Sustituyendo en la ecuacin (1.9), tenemos v(ti +1 ) v(ti ) c = g v(ti ) ti +1 ti m Esta ecuacin se reordena para obtener c ( t t ) v(ti +1 ) = v(ti ) + g m v(ti ) i +1 i (1.12)

Note que el trmino entre corchetes es el lado derecho de la propia ecuacin diferencial [ecuacin (1.9)]. Es decir, este trmino nos da un medio para calcular la razn de cambio o la pendiente de v. As, la ecuacin diferencial se ha transformado en una ecuacin que puede utilizarse para determinar algebraicamente la velocidad en ti+1, usando la pendiente y los valores anteriores de v y t. Si se da un valor inicial para la velocidad en algn tiempo ti, es posible calcular con facilidad la velocidad en un tiempo posterior ti +1. Este nuevo valor de la velocidad en ti +1 sirve para calcular la velocidad en ti +2 y as sucesivamente. Es decir, a cualquier tiempo, valor nuevo = valor anterior + pendiente tamao del paso Observe que esta aproximacin formalmente se conoce como mtodo de Euler.

EJEMPLO 1.2

Solucin numrica al problema de la cada de un paracaidista Planteamiento del problema. Realice el mismo clculo que en el ejemplo 1.1, pero usando la ecuacin (1.12) para obtener la velocidad. Emplee un tamao de paso de 2 s para el clculo. Solucin. Al empezar con los clculos (ti = 0), la velocidad del paracaidista es igual a cero. Con esta informacin y los valores de los parmetros del ejemplo 1.1, se utiliza la ecuacin (1.12) para calcular la velocidad en ti +l = 2 s: 12.5 v=0+ 9.8 (0) 2 = 19.60 m/s 68.1 Para el siguiente intervalo (de t = 2 a 4 s), se repite el clculo y se obtiene 12.5 v = 19.60 + 9.8 (19.60) 2 = 32.00 m/s 68 . 1 Se contina con los clculos de manera similar para obtener los valores siguientes:

18


t, s 0 2 4 6 8 10 12

v, m/s 0.00 19.60 32.00 39.85 44.82 47.97 49.96 53.39

Los resultados se muestran grficamente en la figura 1.5, junto con la solucin exacta. Como se puede ver, el mtodo numrico se aproxima bastante a la solucin exacta. Sin embargo, debido a que se emplean segmentos de rectas para aproximar una funcin que es una curva continua, hay algunas diferencias entre los dos resultados. Una forma de reducir estas diferencias consiste en usar un tamao de paso menor. Por ejemplo, si se aplica la ecuacin (1.12) con intervalos de 1 s, se obtendra un error menor, ya que los segmentos de recta estaran un poco ms cerca de la verdadera solucin. Con los clculos manuales, el esfuerzo asociado al usar incrementos cada vez ms pequeos hara poco prcticas tales soluciones numricas. No obstante, con la ayuda de una computadora personal es posible efectuar fcilmente un gran nmero de clculos; por lo tanto, se puede modelar con ms exactitud la velocidad del paracaidista que cae, sin tener que resolver la ecuacin diferencial en forma analtica. Como se vio en el ejemplo anterior, obtener un resultado numrico ms preciso tiene un costo en trminos del nmero de clculos. Cada divisin a la mitad del tamao de paso para lograr mayor precisin nos lleva a duplicar el nmero de clculos. Como

Velocidad terminal o lmite Solucin numrica aproximada 40v, m/s

Solucin analtica, exacta 20

FIGURA 1.5 Comparacin de las soluciones numricas y analticas para el problema del paracaidista que cae.

0

0

4 t, s

8

12

1.2

LEYES DE CONSERVACIN E INGENIERA

19

vemos, existe un costo inevitable entre la exactitud y la cantidad de operaciones. Esta relacin es de gran importancia en los mtodos numricos y constituyen un tema relevante de este libro. En consecuencia, hemos dedicado el eplogo de la parte uno para ofrecer una introduccin a dicho tipo de relaciones.

1.2

LEYES DE CONSERVACIN E INGENIERAAparte de la segunda ley de Newton, existen otros principios importantes en ingeniera. Entre los ms importantes estn las leyes de conservacin. stas son fundamentales en una gran variedad de complicados y poderosos modelos matemticos, las leyes de la conservacin en la ciencia y en la ingeniera conceptualmente son fciles de entender. Puesto que se pueden reducir a Cambio = incremento decremento(1.13)

ste es precisamente el formato que empleamos al usar la segunda ley de Newton para desarrollar un equilibrio de fuerzas en la cada del paracaidista [ecuacin (1.8)]. Pese a su sencillez, la ecuacin (1.13) representa una de las maneras fundamentales en que las leyes de conservacin se emplean en ingeniera esto es, predecir cambios con respecto al tiempo. Nosotros le daremos a la ecuacin (1.13) el nombre especial de clculo de variable-tiempo (o transitorio). Adems de la prediccin de cambios, las leyes de la conservacin se aplican tambin en casos en los que no existe cambio. Si el cambio es cero, la ecuacin (1.3) ser Cambio = 0 = incremento decremento o bien, Incremento = decremento(1.14)

As, si no ocurre cambio alguno, el incremento y el decremento debern estar en equilibrio. Este caso, al que tambin se le da una denominacin especial clculo en estado estacionario , tiene diversas aplicaciones en ingeniera. Por ejemplo, para el flujo

Tubera 2 Flujo de entrada = 80

Tubera 1 Flujo de entrada = 100

Tubera 4 Flujo de salida = ?

FIGURA 1.6 Equilibrio del ujo de un uido incompresible en estado estacionario a travs de tuberas.

Tubera 3 Flujo de salida = 120

20


de un fluido incompresible en estado estacionario a travs de tuberas, el flujo de entrada debe estar en equilibrio con el flujo de salida, esto es Flujo de entrada = flujo de salida Para la unin de tuberas de la figura 1.6, esta ecuacin de equilibrio se utiliza para calcular el flujo de salida de la cuarta tubera, que debe ser de 60. Para la cada del paracaidista, las condiciones del estado estacionario deberan corresponder al caso en que la fuerza total fuera igual a cero o [ecuacin (1.8) con dv /dt = 0] mg = cv(1.15)

As, en el estado estacionario, las fuerzas hacia abajo y hacia arriba estn equilibradas, y en la ecuacin (1.15) puede encontrarse la velocidad terminal. v= mg c

Aunque las ecuaciones (1.13) y (1.14) pueden parecer triviales, stas determinan las dos maneras fundamentales en que las leyes de la conservacin se emplean en ingeniera. Como tales, en los captulos siguientes sern parte importante de nuestros esfuerzos por mostrar la relacin entre los mtodos numricos y la ingeniera. Nuestro primer medio para establecer tal relacin son las aplicaciones a la ingeniera que aparecen al final de cada parte del libro. En la tabla 1.1 se resumen algunos de los modelos sencillos de ingeniera y las leyes de conservacin correspondientes, que constituirn la base de muchas de las aplicaciones a la ingeniera. La mayora de aplicaciones de ingeniera qumica harn nfasis en el balance de masa para el estudio de los reactores. El balance de masa es una consecuencia de la conservacin de la masa. ste especifica que, el cambio de masa de un compuesto qumico en un reactor, depende de la cantidad de masa que entra menos la cantidad de masa que sale. Las aplicaciones en ingeniera civil y mecnica se enfocan al desarrollo de modelos a partir de la conservacin del momentum. En la ingeniera civil se utilizan fuerzas en equilibrio para el anlisis de estructuras como las armaduras sencillas de la tabla. El mismo principio se aplica en ingeniera mecnica, con la finalidad de analizar el movimiento transitorio hacia arriba o hacia abajo, o las vibraciones de un automvil. Por ltimo, las aplicaciones en ingeniera elctrica emplean tanto balances de corriente como de energa para modelar circuitos elctricos. El balance de corriente, que resulta de la conservacin de carga, es similar al balance del flujo representado en la figura 1.6. As como el flujo debe equilibrarse en las uniones de tuberas, la corriente elctrica debe estar balanceada o en equilibrio en las uniones de alambres elctricos. El balance de energa especifica que la suma algebraica de los cambios de voltaje alrededor de cualquier malla de un circuito debe ser igual a cero. Las aplicaciones en ingeniera se proponen para ilustrar cmo se emplean actualmente los mtodos numricos en la solucin de problemas en ingeniera. Estas aplicaciones nos permitirn examinar la solucin a los problemas prcticos (tabla 1.2) que surgen en el mundo real. Establecer la relacin entre las tcnicas matemticas como los mtodos numricos y la prctica de la ingeniera es un paso decisivo para mostrar su verdadero potencial. Examinar de manera cuidadosa las aplicaciones a la ingeniera nos ayudar a establecer esta relacin.

1.2

LEYES DE CONSERVACIN E INGENIERA

21

TABLA 1.1 Dispositivos y tipos de balances que se usan comnmente en las cuatro grandes reas de la ingeniera. En cada caso se especica la ley de conservacin en que se fundamenta el balance.Campo Ingeniera qumica Dispositivo Principio aplicado Expresin matemtica Balance de la masa: Entrada

Conservacin Reactores de la masa

Salida

En un periodo masa = entradas salidas Ingeniera civil Estructura FH FV En cada nodo fuerzas horizontales (FH ) = 0 fuerzas verticales (FV ) = 0 Ingeniera mecnica Mquina Conservacin del momentum Equilibrio de fuerzas: Fuerza hacia arriba x=0 Fuerza hacia abajo2 md x = Fuerza hacia abajo fuerza hacia arriba dt 2

Conservacin del momentum

Equilibrio de fuerzas:

+ FV + FH

Ingeniera elctrica

+ Circuito

Conservacin de la carga

Balance de corriente: En cada nodo corriente (i ) = 0 + i1 + i2 i3

Conservacin de la energa

Balance de voltaje: i 2R 2

i 1R 1 i 3R 3

Alrededor de cada malla fems cada de potencial en los resistores = 0 iR = 0

22


TABLA 1.2 Algunos aspectos prcticos que se investigarn en las aplicaciones a la ingeniera al nal de cada parte del libro.1. No lineal contra lineal. Mucho de la ingeniera clsica depende de la linealizacin que permite soluciones analticas. Aunque esto es con frecuencia apropiado, puede lograrse una mejor comprensin cuando se revisan los problemas no lineales. 2. Grandes sistemas contra pequeos. Sin una computadora, no siempre es posible examinar sistemas en que intervienen ms de tres componentes. Con las computadoras y los mtodos numricos, se pueden examinar en forma ms realista sistemas multicomponentes. 3. No ideal contra ideal. En ingeniera abundan las leyes idealizadas. A menudo, hay alternativas no idealizadas que son ms realistas pero que demandan muchos clculos. La aproximacin numrica llega a facilitar la aplicacin de esas relaciones no ideales. 4. Anlisis de sensibilidad. Debido a que estn involucrados, muchos clculos manuales requieren una gran cantidad de tiempo y esfuerzo para su correcta realizacin. Esto algunas veces desalienta al analista cuando realiza los mltiples clculos que son necesarios al examinar cmo responde un sistema en diferentes condiciones. Tal anlisis de sensibilidad se facilita cuando los mtodos numricos permiten que la computadora asuma la carga de clculo. 5. Diseo. Determinar el comportamiento de un sistema en funcin de sus parmetros es a menudo una proposicin sencilla. Por lo comn, es ms difcil resolver el problema inverso; es decir, determinar los parmetros cuando se especica el comportamiento requerido. Entonces, los mtodos numricos y las computadoras permiten realizar esta tarea de manera eciente.

PROBLEMAS1.1 Aproximadamente, 60% del peso total del cuerpo corresponde al agua. Si se supone que es posible separarla en seis regiones, los porcentajes seran los que siguen. Al plasma corresponde 4.5% del peso corporal y 7.5% del total del agua en el cuerpo. Los tejidos conectivos densos y los cartlagos ocupan 4.5% del peso total del cuerpo y 7.5% del total de agua. La linfa intersticial equivale a 12% del peso del cuerpo y 20% del total de agua en ste. El agua inaccesible en los huesos es aproximadamente 7.5% del total de agua corporal y 4.5% del peso del cuerpo. Si el agua intracelular equivale a 33% del peso total del cuerpo y el agua transcelular ocupa 2.5% del total de agua en el cuerpo, qu porcentaje del peso total corporal debe corresponder al agua transcelular, y qu porcentaje del total de agua del cuerpo debe ser el del agua intracelular? 1.2 Un grupo de 30 estudiantes asiste a clase en un saln que mide 10 m por 8 m por 3 m. Cada estudiante ocupa alrededor de 0.075 m3 y genera cerca de 80 W de calor (1 W = 1 J/s). Calcule el incremento de la temperatura del aire durante los primeros 15 minutos de la clase, si el saln est sellado y aislado por completo. Suponga que la capacidad calorfica del aire, Cu, es de 0.718 kJ/(kg K). Suponga que el aire es un gas ideal a 20 C y 101.325 kPa. Obsrvese que el calor absorbido por el aire Q est relacionado con la masa de aire m, la capacidad calorfica, y el cambio en la temperatura, por medio de la relacin siguiente: Q=m PV = m RT Mwt

donde P es la presin del gas, V es el volumen de ste, Mwt es el peso molecular del gas (para el aire, 28.97 kg/kmol), y R es la constante del gas ideal [8.314 kPa m3/(kmol K)]. 1.3 Se dispone de la informacin siguiente de una cuenta bancaria:Fecha 5/1 220.13 6/1 216.80 7/1 450.25 8/1 127.31 9/1 350.61 106.80 378.61 327.26 Depsitos Retiros Balance 1512.33

C dT = mC (T T )T1 v v 2 1

T2

La masa del aire se obtiene de la ley del gas ideal:

Utilice la conservacin del efectivo para calcular el balance al 6/1, 7/1, 8/1 y 9/1. Demuestre cada paso del clculo. Este clculo es de estado estacionario o transitorio? 1.4 La tasa de flujo volumtrico a travs de un tubo est dado por la ecuacin Q = v A, donde v es la velocidad promedio y A

PROBLEMAS

23

Q1,ent = 40 m3/s

Q2,sal = 20 m3/s

1.9 En vez de la relacin lineal de la ecuacin (1.7), elija modelar la fuerza hacia arriba sobre el paracaidista como una relacin de segundo orden, FU = cv2 donde c = un coeficiente de arrastre de segundo orden (kg/m). a) Con el empleo del clculo, obtenga la solucin de forma cerrada para el caso en que al inicio el saltador se encuentra en reposo (v = 0 en t = 0). b) Repita el clculo numrico en el ejemplo 1.2 con los mismos valores de condicin inicial y de parmetros. Utilice un valor de 0.225 kg/m para c. 1.10 Calcule la velocidad de un paracaidista en cada libre con el empleo del mtodo de Euler para el caso en que m = 80 kg y c = 10 kg/s. Lleve a cabo el clculo desde t = 0 hasta t = 20 s con un tamao de paso de 1 s. Use una condicin inicial en que el paracaidista tiene una velocidad hacia arriba de 20 m/s en t = 0. Suponga que el paracadas se abre instantneamente en t = 10 s, de modo que el coeficiente de arrastre sube a 50 kg/s. 1.11 En el ejemplo del paracaidista en cada libre, se supuso que la aceleracin debida a la gravedad era un valor constante de 9.8 m/s2. Aunque sta es una buena aproximacin cuando se estudian objetos en cada cerca de la superficie de la tierra, la fuerza gravitacional disminuye conforme se acerca al nivel del mar. Una representacin ms general basada en la ley de Newton del inverso del cuadrado de la atraccin gravitacional, se escribe como g( x ) = g(0 ) R2 ( R + x )2

V3,sal = 6 m/s A3 = ?

Figura P1.4 es el rea de la seccin transversal. Utilice la continuidad volumtrica para resolver cul es el rea requerida en el tubo 3. 1.5 En la figura P1.5 se ilustran formas distintas en las que un hombre promedio gana o pierde agua durante el da. Se ingiere un litro en forma de comida, y el cuerpo produce en forma metablica 0.3 L. Al respirar aire, el intercambio es de 0.05 L al inhalar, y 0.4 L al exhalar, durante el periodo de un da. El cuerpo tambin pierde 0.2, 1.4, 0.2 y 0.35 L a travs del sudor, la orina, las heces y por la piel, respectivamente. Con objeto de mantener la condicin de estado estacionario, cunta agua debe tomarse por da?Piel Orina Heces

Comida CUERPO Bebida

Aire Sudor

Metabolismo

Figura P1.5

1.6 Para el paracaidista en cada libre con arrastre lineal, suponga un primer saltador de 70 kg con coeficiente de arrastre de 12 kg/s. Si un segundo saltador tiene un coeficiente de arrastre de 15 kg/s y una masa de 75 kg, cunto tiempo le tomar alcanzar la misma velocidad que el primero adquiera en 10 s? 1.7 Utilice el clculo para resolver la ecuacin (1.9) para el caso en que la velocidad inicial, v (0) es diferente de cero. 1.8 Repita el ejemplo 1.2. Calcule la velocidad en t = 10 s, con un tamao de paso de a) 1 y b) 0.5 s. Puede usted establecer algn enunciado en relacin con los errores de clculo con base en los resultados?

donde g(x) = aceleracin gravitacional a una altitud x (en m) medida hacia arriba a partir de la superficie terrestre (m/s2), g(0) = aceleracin gravitacional en la superficie terrestre ( 9.8 m/s2), y R = el radio de la tierra ( 6.37 106 m). a) En forma similar en que se obtuvo la ecuacin (1.9), use un balance de fuerzas para obtener una ecuacin diferencial para la velocidad como funcin del tiempo que utilice esta representacin ms completa de la gravitacin. Sin embargo, para esta obtencin, suponga como positiva la velocidad hacia arriba. b) Para el caso en que el arrastre es despreciable, utilice la regla de la cadena para expresar la ecuacin diferencial como funcin de la altitud en lugar del tiempo. Recuerde que la regla de la cadena es dv dv dx = dt dx dt c) Use el clculo para obtener la forma cerrada de la solucin donde v = v0 en = 0. d) Emplee el mtodo de Euler para obtener la solucin numrica desde x = 0 hasta 100 000 m, con el uso de un paso de

24


10 000 m, donde la velocidad inicial es de 1400 m/s hacia arriba. Compare su resultado con la solucin analtica. 1.12 La cantidad de un contaminante radiactivo distribuido uniformemente que se encuentra contenido en un reactor cerrado, se mide por su concentracin c (becquerel/litro, o Bq/L). El contaminante disminuye con una tasa de decaimiento proporcional a su concentracin, es decir: tasa de decaimiento = kc donde k es una constante con unidades de da1. Entonces, de acuerdo con la ecuacin (1.13), puede escribirse un balance de masa para el reactor, as: dc = kc dt cambio = disminucin de la masa por decaimiento

o bien, como el rea de la superficie A es constante dy Q Q = 3 sen 2 t dx A A Emplee el mtodo de Euler para resolver cul sera la profundidad y, desde t = 0 hasta 10 d, con un tamao de paso de 0.5 d. Los valores de los parmetros son A = 1200 m2 y Q = 500 m3/d. Suponga que la condicin inicial es y = 0. 1.14 Para el mismo tanque de almacenamiento que se describe en el problema 1.13, suponga que el flujo de salida no es constante sino que la tasa depende de la profundidad. Para este caso, la ecuacin diferencial para la profundidad puede escribirse como dy Q (1 + y)1.5 = 3 sen 2 t dx A A Use el mtodo de Euler para resolver cul sera la profundidad y, desde t = 0 hasta 10 d, con un tamao de paso de 0.5 d. Los valores de los parmetros son A = 1200 m2, Q = 500 m3/d, y a = 300. Suponga que la condicin inicial es y = 0. 1.15 Suponga que una gota esfrica de lquido se evapora a una tasa proporcional al rea de su superficie. dV = kA dt donde V = volumen (mm3), t = tiempo (h), k = la tasa de evaporacin (mm/h), y A = rea superficial (mm2). Emplee el mtodo de Euler para calcular el volumen de la gota desde t = 0 hasta 10 min usando un tamao de paso de 0.25 min. Suponga que k = 0.1 mm/min, y que al inicio la gota tiene un radio de 3 mm. Evale la validez de sus resultados por medio de determinar el radio de su volumen final calculado y la verificacin de que es consistente con la tasa de evaporacin. 1.16 La ley de Newton del enfriamiento establece que la temperatura de un cuerpo cambia con una tasa que es proporcional a la diferencia de su temperatura y la del medio que lo rodea (temperatura ambiente). dT = k (T Ta ) dt

(

) (

)

a) Use el mtodo de Euler para resolver esta ecuacin desde t = 0 hasta 1 d, con k = 0.2 d1. Emplee un tamao de paso de t = 0.1. La concentracin en t = 0 es de 10 Bq/L. b) Grafique la solucin en papel semilogartmico (p.ej., ln c versus t) y determine la pendiente. Interprete sus resultados. 1.13 Un tanque de almacenamiento contiene un lquido con profundidad y, donde y = 0 cuando el tanque est lleno a la mitad. El lquido se extrae con una tasa de flujo constante Q a fin de satisfacer las demandas. Se suministra el contenido a una tasa senoidal de 3Q sen2(t).y

0

Figura P1.13

Para este sistema, la ecuacin (1.13) puede escribirse como d ( Ay ) dx cambio en el volumen = 3Q sen 2 t Q

(

) = (flujo de entrada) (flujo de salida)

donde T = temperatura del cuerpo (C), t = tiempo (min), k = constante de proporcionalidad (por minuto), y Ta = temperatura del ambiente (C). Suponga que una tasa de caf tiene originalmente una temperatura de 68C. Emplee el mtodo de Euler para calcular la temperatura desde t = 0 hasta 10 min, usando un tamao de paso de 1 min, si Ta = 21C y k = 0.017/min. 1.17 Las clulas cancerosas crecen en forma exponencial con un tiempo de duplicacin de 20 h cuando tienen una fuente ilimitada de nutrientes. Sin embargo, conforme las clulas comienzan a formar un tumor de forma esfrica sin abasto de sangre, el

PROBLEMAS

25

crecimiento en el centro del tumor queda limitado, y eventualmente las clulas empiezan a morir. a) El crecimiento exponencial del nmero de clulas N puede expresarse como se indica, donde es la tasa de crecimiento de las clulas. Encuentre el valor de para las clulas cancerosas. dN = N dt b) Construya una ecuacin que describa la tasa de cambio del volumen del tumor durante el crecimiento exponencial, dado que el dimetro de una clula individual es de 20 micras. c) Una vez que un tipo particular de tumor excede las 500 micras de dimetro, las clulas del centro del tumor se mueren (pero continan ocupando espacio en el tumor). Determine cunto tiempo tomar que el tumor exceda ese tamao crtico.

1.18 Se bombea un fluido por la red que se ilustra en la figura P1.18. Si Q2 = 0.6, Q3 = 0.4, Q7 = 0.2 y Q8 = 0.3 m3/s, determine los otros flujos.

Q1

Q3

Q5

Q2

Q4

Q6

Q7

Q10

Q9

Q8

Figura P1.18

CAPTULO 2 Programacin y softwareEn el captulo anterior, desarrollamos un modelo matemtico a partir de la fuerza total para predecir la velocidad de cada de un paracaidista. Este modelo tena la forma de una ecuacin diferencial, dv c = g v dt m Tambin vimos que se obtena una solucin de esta ecuacin utilizando un mtodo numrico simple, llamado mtodo de Euler, v i +1 = v i + dv i t dt

Dada una condicin inicial, se emplea esta ecuacin repetidamente para calcular la velocidad como una funcin del tiempo. Sin embargo, para obtener una buena precisin sera necesario desarrollar muchos pasos pequeos. Hacerlo a mano sera muy laborioso y tomara mucho tiempo; pero, con la ayuda de las computadoras tales clculos pueden realizarse fcilmente. Por ende, nuestro siguiente objetivo consiste en observar cmo se hace esto. En el presente captulo daremos una introduccin al uso de la computadora como una herramienta para obtener soluciones de este tipo.

2.1

PAQUETES Y PROGRAMACINEn la actualidad existen dos tipos de usuarios de software. Por un lado estn aquellos que toman lo que se les da. Es decir, quienes se limitan a las capacidades que encuentran en el modo estndar de operacin del software existente. Por ejemplo, resulta muy sencillo resolver un sistema de ecuaciones lineales o generar una grfica con valores x-y con Excel o con MATLAB. Como este modo de operacin por lo comn requiere un mnimo esfuerzo, muchos de los usuarios adoptan este modo de operacin. Adems, como los diseadores de estos paquetes se anticipan a la mayora de las necesidades tpicas de los usuarios, muchos de los problemas pueden resolverse de esta manera. Pero, qu pasa cuando se presentan problemas que estn ms all de las capacidades estndar de dichas herramientas? Por desgracia, decir Lo siento jefe, pero no lo s hacer no es algo aceptado en la mayora de

Metodos Numericos para Ingenieros (Chapra - Canale) - 5º Edicion

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