METODOS NUMERICOS-CHAPRA

FUNDAMENTOS DE ANALISIS NUMERICOS

PARTE DOS

RAÍCES

DE

ECUACIONES


II. 1 MOTIVACIÓN

Desde hace años, se aprendió a usar la formula cuadrática:

a

acbbx

2

42 −±−= [II.1]

Para resolver:

0)( 2 =++= cbxaxxf [II.2]

A los valores calculados con la ecuación (II.1) se les llama “raíces” de la ecuación (II.2).

Estos representan los valores de x que hacen que la ecuación (II.2) igual a cero. Por lo

tanto, se puede definir la raíz de una ecuación como el valor de x que hace f(x) = 0. Por

esta razón algunas veces a las raíces se les conoce como ceros de la ecuación .

Aunque la forma cuadrática es útil para la resolver la ecuación (II.2), hay muchas

funciones diferentes que no se pueden resolver de manera tan fácil. En estos casos, los

métodos numéricos descritos en el capitulo 4 y 5 proporciona medios eficientes para

obtener la respuesta.

II.1.1 Métodos empleados antes de la era de la computadora para determinar raíces

Antes del advenimiento de las computadoras digitales, había una serie métodos para

encontrar las raíces de las ecuaciones algebraicas o trascendentales. Para algunos

casos, las raíces se podían obtener por métodos directos. Como se hace con la ecuación

(II.1). Aunque había ecuaciones, como esta que se podían resolver directamente, habían

muchas otras que no lo eran, por ejemplo, hasta una función aparentemente simple tal

como f(x) = e-x – x no se puede resolver analíticamente. En estos casos, la única

alternativa es una técnica de solución aproximada.

Un método para obtener una solución aproximada es la de graficar la función y determinar

dónde cruza al eje x. Este punto, que representa el valor de x para el cual f(x)=0, es la

raíz. Las técnicas gráficas se discuten al principio de los capítulos 4 y 5.

Aunque los métodos gráficos son útiles en la obtención de estimaciones aproximativas de

las raíces, están limitadas por la carencia de precisión. Una aproximación alternativa es

usar lo técnica de prueba y error. Esta "técnica" consiste en escoger un valor de x y

evaluar si f(x) es cero. SÍ no es así (como sucederá en la mayor parte de los casos), se

hace otra conjetura y se evalúa nuevamente f(x) para determinar si el nuevo valor da una


mejor estimación de la raíz. El proceso se repite hasta que se obtenga un valor que

genere una f(x) cercana a cero.

Estos métodos fortuitos, obviamente son ineficientes e inadecuados para las exigencias

en la práctica de la ingeniería. Las técnicas descritas en la parte III representan

alternativas que no sólo aproximan sino emplean estrategias sistemáticas para

encaminarse a la raíz verdadera. Además, se adaptan idealmente a la implementación en

computadoras personales. Tal como se presenta en las páginas siguientes, la

combinación de estos métodos sistemáticos con la computadora hace de la solución de la

mayor parte de los problemas sobre raíces de ecuaciones una tarea simple y eficiente.

II.1.2 Raíces de ecuaciones y su práctica en lo ingeniería

Aunque las raíces de ecuaciones caben dentro de otro contexto, frecuentemente

aparecen en el área de diseño en ingeniería. El cuadro IÍ.1 muestra un conjunto de

principios fundamentales que se utilizan frecuentemente en trabajos de diseño. Las

ecuaciones matemáticas o los modelos derivados de estos principios se emplean en la

predicción de las variables dependientes en función de las variables independientes y de

los parámetros. Nótese que en cada caso, las variables dependientes reflejan el estado o

funcionamiento del sistema, ya sea que los parámetros representen sus propiedades o su

composición.

Un ejemplo de tales modelos se presenta en la ecuación derivada de la segunda ley de

Newton, usada en el capítulo 1 para la velocidad del paracaidista:

[ ])/(1 mcec

gmv −−= [11.3]

Donde la velocidad v es la variable dependiente, el tiempo t es la variable independiente y

g la constante gravitacional, el coeficiente de rozamiento c y la masa m son parámetros.

Si se conocen los parámetros, la ecuación (II.3) se puede usar para predecir la velocidad

del paracaidista como una función del tiempo. Estos cálculos se pueden llevar a cabo

directamente ya que v se expresa explícitamente como una función del tiempo. Esto es,

está aislada a un lado del signo igual.

Sin embargo, supóngase que se tiene que determinar el coeficiente de rozamiento para

un paracaidista de una masa dada, para alcanzar una velocidad prescrita en un periodo

dado de tiempo.

Aunque la ecuación (II.3) proporciona una representación matemática de la interrelación

entre las variables del modelo y los parámetros, no se puede resolver explícitamente para

el coeficiente de rozamiento. Pruébese. No hay forma de reordenar la ecuación paro


despejar c de un lado del signo igual. En estos casos, se dice que c es implícita.

Esto representa un dilema real, ya que muchos de los problemas de diseños en

ingeniería, involucran la especificación de las propiedades o la composición de un sistema

(representado por sus parámetros) para asegurar que funciona de la manera deseada

(representada por sus variables). Por lo tanto, estos problemas a menudo requieren que

se determinen sus parámetros de forma explícita.

La solución del dilema las proporcionan los métodos numéricos para raíces de

ecuaciones. Para resolver el problema usando métodos numéricos es conveniente

cambiar la ecuación (11.3). Esto se hace restando lo variable dependiente v de ambos

lados de la ecuación, obteniendo:

[ ] vec

gmcf mc −−= − )/(1)( [II.4]

Por lo tanto, el valor de c que cumple f(c) = 0, es la raíz de la ecuación. Este valor también

representa el coeficiente de rozamiento que soluciona el problema de diseño.

La parte II de este libro analiza una gran variedad de métodos numéricos y gráficos para

determinar raíces de relaciones tales como la ecuación (II.4). Estas técnicas se pueden

aplicar a los problemas de diseño en ingeniería basados en ¡os principios fundamentales

delineados en el cuadro II.1 así como tantos otros problemas que se afrontan

frecuentemente en la práctica de la ingeniería.

11.2 FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS

En la mayor parte de las áreas mencionadas en este libro, en general existen algunos

prerrequisitos de fundamentos matemáticos necesarios para conocer a fondo el tema. Por

ejemplo, los conceptos de estimaciones de errores y la expansión en serie de Taylor,

analizadas en el capítulo 3, tienen importancia directa en el análisis de raíces de

ecuaciones. Adicionalmente, antes de este punto se mencionaron los términos de

ecuaciones "algebraicos" y "trascendentales". Puede resultar útil definir formalmente estos

términos y discutir como se relacionan con esta parte del libro.

Por definición, una función dada por y = f (x) es algebraica si se puede expresar de la

siguiente manera:

001

1

1 =++⋅⋅⋅++ −− fyfyfyf n

n

n

n [II.5]


Donde las f son polinomios en x. Los polinomios son un caso simple de funciones

algebraicas que se representan generalmente como:

nn xaxaaxf +⋅⋅⋅++= 10)( [II.6]

Donde las a son constantes. Algunos ejemplos específicos son:

f(x) = 1 - 2.37x+ 7.5x2 [II.7]

y

f(x) = 5x2 - x3 + 7x6 [II.8]

Una función trascendental es una que no es algebraica. Incluye funciones trigonométricas,

exponenciales, logarítmicas y otras menos familiares. Algunos ejemplos son:

f(x) = e-x-x [II.9]

f(x) = sen x [II.10]

f(x) = In x2 -1 [II.11]

Las raíces de las ecuaciones pueden ser reales o complejas. Un ejemplo simple de raíces

complejas es el caso para el cual el término b2-4ac de la ecuación (II.1) es negativo. Por

ejemplo, dado el polinomio de segundo orden:

f(x) = 4x2- 16x + 17

La ecuación (II.1) se puede usar para determinar que las raíces son:

8

1616

)4(2

17)4(4)16(16 2 −±=

−−±=x

Por lo tanto, una raíz es:

ix2

12 +=

Aunque hay algunos casos donde las raíces complejas de las funciones no polinomiales

son de interés, ésta situación es menos común que para polinomios. Por lo tanto, los

métodos estándar para encontrar raíces, en general caen en dos áreas de problemas


parecidas en principio, pero fundamentalmente diferentes:

1. La determinación de raíces reales de ecuaciones algebraicas y trascendentales.

Estas técnicas se diseñaron para determinar el valor de una raíz simple de

acuerdo a un conocimiento previo de su posición aproximada.

2. La determinación de todas las raíces reales y complejas de un polinomio. Estos

métodos se diseñaron específicamente paro polinomios. Determinan

sistemáticamente todas las raíces del polinomio en lugar de simplemente una,

dada una posición aproximada.

Este libro está enfocado al área del primer caso. Los métodos diseñados expresamente

para polinomios no se analizan ya que van más allá del alcance de este libro. Sin

embargo, en el epílogo al final de la parte II se recomiendan algunas referencias para

estas técnicas.

II.3 ORIENTACIÓN

Antes de proceder con los métodos numéricos para determinar raíces de ecuaciones,

será útil dar algunas orientaciones. El siguiente material es una introducción a los temas

de la parte II. Además, se han incluido algunos objetivos que orientarán al lector en sus

esfuerzos al estudiar el material.

II.3.1 Campo de acción y avance

La figura II.1 es una representación esquemática de la organización de la parte II.

Examine esta figura cuidadosamente, iniciando en la parte de arriba y avanzando en el

sentido de las manecillas del reloj.

Después de esta introducción, el capítulo 4 desarrolla los métodos que usan intervalos

para encontrar raíces. Estos métodos empiezan con suposiciones que encierran o que

contienen a la raíz y reducen sistemáticamente el ancho del intervalo. Se cubren dos

métodos: el de bisección y el de la regla falsa. Los métodos gráficos proporcionan

conocimiento visual de las técnicas. Se desarrollan formulaciones especiales paro ayudar

a determinar cuanto esfuerzo computacional se requiere para estimar la raíz hasta un

nivel de precisión previamente especificado.

En el capítulo 5 se cubren los métodos abiertos. Estos métodos también involucran

iteraciones sistemáticas de prueba y error pero no requieren que la suposición inicial

encierre a la raíz. Se descubrirá que estos métodos, en general son más eficientes

computacionalmente que los métodos que usan intervalos, pero no siempre trabajan. Se


analizan los métodos de la iteración de punto fijo, el método de Newton-Raphson y el

método de la secante. Los métodos gráficos proporcionan conocimiento en los casos

donde los métodos abiertos no funcionan- Se desarrollan las fórmulas que proporcionan

una idea de qué tan rápido un método abierto converge a la raíz.

Figura II.1 esquema de la organización del material del parte II: Raíces de las ecuaciones

El capítulo 6 extiende los conceptos anteriores a los conceptos actuales de la ingeniería.

Los casos de estudio se emplean para ilustrar las ventajas y las desventajas de cada uno

de los métodos y para proporcionar conocimiento sobre las aplicaciones de las técnicas

en la práctica profesional. Los casos del capítulo ó también resaltan los elementos de

Juicio (estudiados en la parte I) asociados con cada uno de los métodos.

Se incluye un epílogo al final de la parte II. Éste contiene una comparación detallada de

los métodos discutidos en los capítulos 4 y 5. Esta comparación incluye una descripción

de los elementos de juicio relacionados con el uso correcto de cada técnica. En esta


sección se proporciona también un resumen de las fórmulas importantes, con referencias

a algunos métodos numéricos que van más allá del alcance de este texto.

Ciertas capacidades automáticas de cálculo se integran de diferentes maneras en la parte

II. En primer lugar, programasen NUMERICOMP legibles para el usuario del método de

bisección disponible para la Apple II y la IBM PC. Pero también se dan los códigos en

FORTRAN Y BASIC para el método de bisección directamente en el texto. Con esto se

tiene la oportunidad de copiar y aumentar el código para implementarlo en su propia

computadora personal o supercomputadora. Se incluyen los algoritmos y diagramas de

flujo para la mayor parte de los otros métodos expuestos en el texto. Este material puede

servir de base para el desarrollo de un paquete de programación y aplicarlo a una serie de

problemas de ingeniería.

11.3.2 Metas y objetivos

Objetivos de estudio. Después de terminar la parte II, se debe tener la suficiente

información para aprovechar satisfactoriamente una amplia variedad de problemas de

ingeniería que se relacionan con las raíces de ecuaciones. En términos generales se

dominarán las técnicas, se habrá aprendido a valorar su confiabilidad y se tendrá la

capacidad de escoger el mejor método (o métodos) para cualquier problema en particular.

Además de estas metas globales, se deben asimilar los conceptos específicos del cuadro

II.2 para comprender mejor el material de la parte II.

Objetivos de computación. El libro proporciona algunos programas simples, algoritmos y

diagramas de flujo para implementar las técnicas analizadas en la parte II. Como

herramientas de aprendizaje todos ellos tienen gran utilidad.

Los programas opcionales son legibles para el usuario. Incluye método de la bisección

para determinar las raíces reales de las ecuaciones algebraicas y trascendentales. Las

gráficas asociadas con NUMERICOMP le facilitarán al lector visualizar el comportamiento

de la función en análisis. Los programas se pueden usar para determinar

convenientemente las raíces de las ecuaciones a cualquier grado de precisión. Es fácil de

aplicar NUMERICOMP para resolver muchos problemas prácticos y se puede usar para

verificar los resultados de cualquier programa que el usuario desarrolle por sí mismo.

También se proporcionan directamente en e) texto los programas en FORTRAN y BASIC

para los métodos de bisección y para la iteración simple de punto rijo. Además, se

proporcionan algoritmos y diagramas de flujo generales para la mayor parte de los otros

métodos de la parte 11. Esta información permitirá aumentar la biblioteca de programas

del usuario que sean más eficientes que el método de la bisección. Por ejemplo, puede

desearse tener sus propios programas para los métodos de lo regla falsa, Newton-


Raphson y de la secante, que en general son más eficientes que el método de bisección.

CUADRO 11.2 Objetivos de estudio específicos de la parte II

1. Entender la interpretación gráfica de una raíz

2. Conocer la interpretación gráfica del método de la reglo falsa y por qué, en

general, es superior al método de bisecciones.

3. Entender las diferencias entre los métodos que usan intervalos y los métodos

abiertos para la localización de las raíces.

4. Entender los conceptos de convergencia y de divergencia. Usar el método de

las dos curvas para proporcionar una manifestación visual de los conceptos.

5. Conocer por qué los métodos que usan intervalos siempre convergen, mientras

que los métodos abiertos algunas veces pueden divergir.

6. Entender que la convergencia en los métodos abiertos es más probable si el

valor inicial está cercano a lo raíz.

7. Entender el concepto de convergencia lineal y cuadrática y sus implicaciones

en la eficiencia de los métodos de iteraciones de punto fijo y de Newton-

Raphson.

8. Saber las diferencias fundamentales entre los métodos de la regla falsa y la

secante y cómo se relaciona su convergencia.

9. Entender los problemas que contienen las raíces múltiples y las modificaciones

que se les pueden hacer para resolverlos a medias.


CAPÍTULO CUATRO

MÉTODOS

QUE

USAN

INTERVALOS


En este capítulo sobre raíces de ecuaciones se analizan los métodos que aprovechan el

hecho de que una función, típicamente, cambia de signo en la vecindad de una raíz, A

estas técnicas se les llama métodos que usan intervalos porque se necesita de dos

valores iniciales para la raíz. Como su nombre lo indica, estos valores deben "encerrar" o

estar uno de cada lado de la raíz. Los métodos particulares descritos sobre este punto

emplean diferentes estrategias para reducir sistemáticamente el tamaño del intervalo y

así, converger a la respuesta correcta.

Como preámbulo de estas técnicas, se discutirán los métodos gráficos para graficar

funciones y sus raíces. Además de la utilidad de los métodos gráficos para determinar

valores iniciales, también son útiles para visualizar las propiedades de las funciones y el

comportamiento de los métodos numéricos,

4.1 MÉTODOS GRÁFICOS

Un método simple para obtener una aproximación a la raíz de la ecuación f(x) =0 consiste

en granear la función y observar en donde cruza el eje x. Este punto, que representa el

valor de x para el cual / (x) = 0. Proporciona una aproximación inicial de la raíz.

EJEMPLO 4.1

Métodos gráficos

Enunciado del problema: empléense gráficas para obtener una raíz aproximada de la

función f(x) = e-x - x

Solución: se calculan los siguientes valores:

x f(x)

0.0 1.000

0.2 0.619

0.4 0.270

0.6 -0.051

0.8 -0.351

1.0 -0.632

Estos puntos se muestran en la gráfica de la figura 4.1. La curva resultante cruza al eje x

entre 0.5 y 0.6. Un vistazo a la gráfica proporciona una aproximada estimación de la raíz

de 0.57, que se acerca a la raíz exacta de 0.567 143 28…, que se debe determinar con

métodos numéricos. La validez de la estimación visual se puede verificar sustituyendo su

valor en la ecuación original para obtener:


f(0.57) = e-0.57 - 0.57 = -0.004 5 la cual se acerca a cero.

FIGURA 4.1 Método gráfico para la solución de ecuaciones

algebraicas y trascendentales. Representación de f(x) = e-x - x contra

x. La raíz corresponde al valor de x donde f(x) = O, esto es, el punto

donde la función cruza el eje x. Una inspección visual de la gráfica

muestra un valor aproximado de 0.57.

Las técnicas gráficas tienen un valor práctico limitado ya que no son precisas. Sin

embargo, los métodos gráficos se pueden usar para obtener aproximaciones de la raíz.

Estas aproximaciones se pueden emplear como valores iniciales para tos métodos

numéricos analizados en este capítulo y en el siguiente- Por ejemplo, los programas de

NÜMERICOMP que acompañan este texto le permiten graficar funciones sobre un rango

específico, Esta gráfica puede hacerse seleccionando un par d valores iniciales de un

intervalo donde está contenida la raíz antes de implementar el método numérico. 1-a

posibilidad de graficar aumenta considerablemente la utilidad de los programas.

Las interpretaciones geométricas, además de proporcionar aproximaciones iniciales de la

raíz, son herramientas importantes en el aislamiento de las propiedades de las funciones

previendo las fallas de los métodos numéricos. Por ejemplo, la figura 4.2 muestra algunas

formas diferentes en tas que la raíz puede encontrarse en un intervalo definido por un

limite inferior x1y y un límite superior Xu. La figura 4.2b bosqueja el caso donde los valores

positivo y negativo de f(x1) y f(xu) tienen signos opuestos respecto al eje x, encierran tres


raíces dentro del intervalo. En general, si f(x1) y f(xu) tienen

signos opuestos, existe un número impar de raíces dentro del

intervalo definido por los mismos. Como se indica en la figura

4.2a ye, si f(x1) y f(xu) tienen el mismo signo, no hay raíces o

hay un número par de ellas entre los valores dados.

Aunque estas generalizaciones son usualmente verdaderas,

existen casos en que no se cumplen. Por ejemplo, las raíces

múltiples, esto es, funciones tangenciales al eje x (Fig. 4.3a) y

las funciones discontinuas (Fig. 4.3b) pueden no cumplir estos

principios- Un ejemplo de una función que tiene una raíz

múltiple es la ecuación cúbica f(x) = (x - 2) (x - 2) (x - 4).

Nótese que x = 2 anula dos veces al polinomio, de ahí que a x

se le conozca como raíz múltiple. Al final del capítulo 5, se

presentan técnicas que están diseñadas expresamente para

localizar raíces múltiples.

La existencia de casos del tipo mostrado en la figura 4.3

dificulta el desarrollo de algoritmos generales que garanticen

la localización de todas las raíces en el intervalo. Sin

embargo, cuando se usan los métodos expuestos en las

siguientes secciones en conjunción con esquemas gráficos,

son de gran utilidad en la solución de problemas de muchas

raíces, frecuentemente se presentan en el área de ingeniería

y matemáticas aplicadas.

EJEMPLO 4.2

Uso de gráficas por computadora para localizar raíces

Enunciado del problema: las gráficas por computadora

pueden informar y acelerar los esfuerzos para localizar raíces

de una función. Este ejemplo se desarrolló usando los

programas de NÜMERICOMP disponibles con el texto. Sin

embargo, de esta manera es posible entender como la

graficación por computadora ayuda a localizar raíces.

La función:

xxxf 3cos10sin)( +=

FIGURA 4.2 Ilustración de las

formas que puede tener una

raíz en un intervalo prescrito

por los límites inferior, x1 y

superior Xy. Los incisos a) y b)

indican que si f(x1) y f(xu)

tienen el mismo signo,

entonces no habrá raíces

dentro del intervalo o habrá un

número par de ellas. Los

incisos c) y d) indican que si

f(x1) y f(xu) tienen signos

opuestos en los extremos,

entonces habrá un numero

impar de raíces dentro del

intervalo.


Tiene varias raíces sobre el rango de las x = - 5 hasta x = 5. Empléese la opción de

graficación del programa para profundizar en el comportamiento de esta función.

Solución: Como se ilustro en el ejemplo 2.1 se puede usar NUMERICOMP para graficar

funciones. En la figura 4.4a se muestra la grafica de f(x) desde x = - 5 hasta x = 5. La

grafica muestra la existencia de varias raíces, incluyendo posiblemente una doble

alrededor de x = 4.2 en donde f(x) parece ser tangente al eje x. Se obtiene una

descripción más detallada del comportamiento de f(x) cambiando el rango de graficación

desde x = 3 hasta x = 5, como se muestra en la figura 4.4b. Finalmente, en la figura 4.4c,

se acorta la escala vertical a f(x) = -0.15 y f(x) = 0.15 y la horizontal a x = 4.2 y x = 4.3-

Esta gráfica muestra claramente que no existe una raíz en esta región y que, en efecto,

hay dos raíces diferentes alrededor de x = 4.229 y x = 4.264.

Las gráficas por computadora tienen gran utilidad en el estudio de los métodos numéricos.

Esta habilidad también puede aplicarse en otras materias así como en las actividades

profesionales.

FIGURA 4.3 Ilustración de algunas excepciones de los casos generales mostrados en Fig. 4.2 a) Pueden ocurrir figuras múltiples cuando la funciones tangencial al eje x. En este caso aunque los extremos son signos opuestos, hay un número par de raíces en el intervalo. b) Las funciones discontinuas en donde los extremos tienen los signos opuestos también contienen un número par de raíces. Se requieren estrategias especiales para determinar las raíces en es estos casos,

Fig. 4.4 Escala miento progresivo f(x) = sen 10x + cos 3x mediante la computadora. Estas graficas interactivas le permiten al analista determinar que existen dos raíces entre x=4.2 y x=4.3


4.2 MÉTODO DE BISECCIÓN

Cuando se aplicaron las técnicas gráficas, en el ejemplo 4.1, se observó (Fig. 4.1) que f(x)

cambió de signo hacia ambos lados de la raíz. En general, si (x) es real y continua en el

intervalo de x1 y xu y f(x1) y f(xu) tienen signos opuestos, esto es,

f(x1)f(xu) < 0 [4.1]

Entonces hay, al menos una raíz real entre x1 y xu.

Fig. 4.5 Algoritmo de Bisección

Los métodos de búsqueda incrementa! se aprovechan de esta característica para localizar

un intervalo donde !a función cambie de signo. Por lo tanto, la localización del cambio de

signo (y por ende, de la raíz), se logra más exactamente dividiendo e! intervalo en una

cantidad definida de subintervalos. Se rastrea cada uno de estos subintervalos para

encontrar el cambio de signo. El proceso se repite y la aproximación a !a raíz mejora cada

vez más a medida que los subintervalos se dividen en intervalos más y más pequeños. Se

estudia más sobre el tema de búsquedas increméntales en la sección 4.4.

El método de bisección, conocido también como de corte binario, de partición en dos

intervalos iguales o método de Bolzano, es un método de búsqueda incrementa! donde el

intervalo se divide siempre en dos, Si la función cambia de signo sobre un intervalo, se

evalúa el valor de la función en el punto medio. La posición de la raíz se determina

Paso 1: Expóngase los valores iniciales de x1 y xu de forma tal que la función cambies de

signo sobre el intervalo. Esto se puede verificar asegurándose de que f(x1) y f(xu) < 0.

Paso 2: La primera aproximación a la raíz x, se determina como:

x

xxx ui

r

+=

Paso 3: Realice las siguientes evaluaciones determínese en que subintervalo cae la raíz:

a) f(x1)f(xr) < 0, entonces la raíz se encuentra dentro del primer subintervalo.

Por lo tanto resuelve xu = xr y continúese con el paso 4.

b) f(x1)f(xr) > 0, entonces la raíz se encuentra dentro del segundo

subintervalo. Por lo tanto resuelve x1 = xr y continúese con el paso 4.

c) f(x1)f(xr) = 0, entonces la raíz se igual a x1 y se terminan los cálculos.

Paso 4: Calcule una nueva aproximación a la raíz mediante:

x

xxx ui

r

+=

Paso 5: Decídase si la nueva aproximación es tan exacta como se desea. Si es así,

entonces los cálculos terminan, de otra manera regrese al paso 3.


situándola en el punto medio del subintervalo dentro del cual ocurre un cambio de signo.

El proceso se repite hasta obtener una mejor aproximación. La figura 4.5 muestra un

algoritmo para la bisección y en la figura 4.6 se muestra un bosquejo gráfico del método.

EJEMPLO 4.3

Bisección

Enunciado del problema; úsese el método de la bisección para determinar la raíz de

f(x)=e-x - x.

Solución: Recuérdese de acuerdo a la gráfica de la función (Fig. 4.1) que la raíz se

encuentra entre O y 1. Por lo tanto, el intervalo inicial se puede escoger desde x1 = 0

hasta x1 = 1. Por consiguiente, la estimación inicial de la raíz se sitúa en el punto medio

de este intervalo:

5.02

10=

+=rx

Esta estimación representa un error de (el valor exacto es 0.567 143 29. . .)

Ev = 0.567 143 29 - 0.5 = 0.067 143 29 o, en términos relativos:

FIGURA 4.6 Gráfica del método

de bisección. Esta gráfica incluye

las primeras tres iteraciones del

ejemplo 4.3.


%8.11%10056714329.0

06714329.0==νε

Donde el subíndice v indica que el error es con respecto a! verdadero. Ahora se calcula:

f(0)f(0.5) = (1)(0.10653) = 0.10653

Que es mayor de cero, y por consiguiente no hay cambio de signo entre x1 y xr. Y por lo

tanto, la raíz se encuentra dentro del intervalo y = 0.5 y x = 1. E! límite inferior se redefine

como x1 = 0,5, y la aproximación a la raíz en la segunda iteración se calcula como;

%2.3275.02

15.0==

+= νεrx

El proceso se puede repetir para obtener aproximaciones más exactas. Por ejemplo, la

tercera iteración es:

f(0.5)f(0.75) = -0.030 <0

Por lo tanto, la raíz está entre 0.5 y 0.75:

Xu = 0.75

%2.10625.02

75.5.0==

+= νεrx

Y la cuarta iteración es:

f(0.5)f(0.625)= -0.010 < 0

Por lo tanto, la raíz está entre 0.5 y 0.625:

Xu = 0.625

%819.05625.02

625.0.5.0==

+= νεrx

El método se puede repetir para alcanzar mejores estimaciones. La figura 4.6 muestra

una gráfica de las primeras tres iteraciones.


En el ejemplo anterior, se puede observar que el error real no disminuye con cada

iteración. Sin embargo, el intervalo dentro del cual se localiza la raíz se divide a la mitad

en cada paso del proceso. Como se estudiará en la próxima sección, la longitud del

intervalo proporciona una aproximación exacta del límite superior del error en el método

de bisección.

4.2.1 Criterios de paro y estimación de errores

El ejemplo 4.3 finaliza con la opción de repetir el método para obtener una aproximación

más exacta de la raíz. Ahora se debe desarrollar un criterio objetivo para decidir cuando

debe terminar el método.

Una sugerencia inicial puede ser que terminen los cálculos cuando el error se encuentre

por debajo de algún nivel prefijado. Se puede ver en el ejemplo 4.3, que el error relativo

bajó de un 11.8 a un 4.69% durante los cálculos. Puede decidirse que el método termine

cuando se alcance un error más bajo, por ejemplo del 0.1%. Esta estrategia es

inconveniente ya que la estimación del error en el ejemplo anterior se basó en el

conocimiento del valor exacto de la raíz de la función. Este no es el caso de una situación

real ya que no habría motivo para usar el método si ya se supiese la raíz.

Por lo tanto, se requiere estimar el error de manera tal que no incluya el conocimiento

previo de la raíz. De manera análoga ha como se ve en la sección 3.3, se puede calcular

e! error relativo aproximado Ea de la siguiente manera [recuérdese la ecuación (3.5)]:

%100nueva

r

anterior

r

nueva

r

ax

xx −=ε [4.2]

Donde nueva

rx es la raíz de la iteración actual y anterior

rx es el valor de la raíz de la iteración

anterior. Se usa el valor absoluto ya que, en general importa sólo la magnitud de Ea sin

considerar su signo. Cuando |Ea| es menor que un valor previamente fijado, que define el

criterio de paro, Es el programa se detiene.

EJEMPLO 4.4

Estimación del error para el método de la bisección

Enunciado de! problema: úsese la ecuación (4.2) para estimar el error de las iteraciones

del ejemplo 4.3.

Solución: Las primeras dos estimaciones de la raíz en el ejemplo 4.3 fueron 0.5 y 0.75.

Sustituyendo estos valores en la ecuación (4.2) se obtiene:


%3.33%10075.0

5.075.0=

−=aε

Recuérdese que el error exacto para la raíz estimada de 0.75 es del 32.2%. De esta

manera, Ea es mayor que Ev. Este comportamiento se muestra en las otras iteraciones

Iteración Xr |Ev|% |Ea|%

1 0.5 11.800

2 0.75 32.200 33.3

3 0.625 10.200 20.0

4 0.5625 0.819 11.1

5 0.59375 4.690 5.3

Estos resultados, junto con los de las iteraciones subsiguientes se resumen en la figura

4.7- La naturaleza "desigual" del error real se debe a que para el método de la bisección

FIGURA 4.7 Errores del método de bisección. Se granean los

errores verdadero y aproximado contra el número de iteraciones.


la raíz exacta se encuentra en cualquier lugar dentro del intervalo. Los errores verdadero

y aproximado son casi iguales cuando el intervalo está centrado sobre la raíz. Cuando la

raíz se encuentra cerca de un extremo del intervalo, entonces los errores son muy

diferentes.

Aunque el error aproximado no proporciona una estimación exacta del error verdadero, la

figura 4.7 sugiere que Ea capta la dirección descendente de Eu. Además, la gráfica

muestra una característica muy interesante; que en siempre es mayor que Ev. Por lo tanto,

cuando Es es menor que Ea los cálculos se pueden terminar con la confianza de saber

que la raíz es al menos tan exacta como el nivel específico prefijado.

Aunque siempre es dañino aventurar conclusiones generales de un sólo ejemplo, se

puede demostrar que £„ siempre será mayor que Ea en el método de bisección. Esto se

debe a que cada vez que se encuentra una aproximación a la raíz usando bisecciones

como xr = (x1 + (xu)/2), se sabe que la raíz exacta cae en algún lugar dentro de intervalo

(xu — xl)/2 = ∆x/2. Por lo tanto, la raíz debe situarse dentro de ± ∆x/2 de la aproximación

(Fig. 4.8). Por ejemplo cuando se terminó el ejemplo 4.3 se pudo decir definitivamente

que:

Xr = 0,562 5 ± 0.062 5

FIGURA 4.8 Tres formas diferentes en que un intervalo puede agrupar a la raíz.

En a) el valor verdadero cae en el centro del intervalo, mientras que en b) y c) el

valor se acerca a uno de los extremos. Nótese que la diferencia entre el valor

verdadero y el punto medio del intervalo jamás sobrepasa lo longitud media del

intervalo, o ∆x/2.


Debido a que ∆x/2 = xnueva 4 - xanterior (Fig. 4.9), la ecuación (4.2) proporciona un límite

superior exacto sobre el error real. Para que se rebase este límite, la raíz real tendría que

caer fuera del intervalo que la contiene, lo cual, por definición jamás ocurrirá en el método

de bisección. El ejemplo 4.7 muestra otras técnicas de localización de raíces que no

siempre se portan tan eficientes. Aunque el método de bisección, en general es más lento

que otros métodos, la elegancia del análisis de error, ciertamente es un aspecto positivo

que puede hacerlo atractivo para ciertas aplicaciones de la ingeniería.

4.2.2 Programación del método de bisección

El algoritmo de la figura 4.5, ahora se presenta en un programa que se muestra en la

figura 4-10. El programa usa una función (línea 100) que facilita la localización de la raíz y

las modificaciones a la función. Además, se incluye la línea 200 para verificar la

posibilidad de divisiones por cero durante la evaluación del error. Tal caso se presenta

cuando el intervalo está centrado respecto al origen. En este caso, la ecuación (4.2) es

infinita. Si esto ocurre, el programa salta sobre la evaluación del error para esa iteración.

El programa de la figura 4.10 no es muy legible para el usuario; está diseñado únicamente

para calcular la respuesta, el usuario debe hacerlo más fácil de usar y de entender.

Dentro del paquete de NUMERICOMP asociado con este texto se proporciona un ejemplo

de un programa legible al usuario para encontrar raíces de ecuaciones. El siguiente

ejemplo muestra el uso de NUMERICOMP para encontrar raíces. También proporciona

una buena referencia para valorar y examinar los programas del usuario.

FIGURA 4.9 Esquema gráfico de! porqué la estimación del error en el

método de bisección (∆x/2) es equivalente a la estimación actual de la

raíz (nueva

rx menos la estimación anterior de la raíz anterior

rx ).


FIGURA 4.10 Programa para el método de bisección.

EJEMPLO 4.5

Localización de raíces usando la computadora

Enunciado del problema: asociado con los programas de NUMERICOMP, se encuentra

un programa legible al usuario sobre el método de bisección.

Se puede usar este programa para resolver un problema de diseño asociado con el

ejemplo del paracaidista analizado en el capítulo I. Como se recordará, la velocidad del

paracaidista está dada, en función del tiempo, de la siguiente manera:

( )[ ]tmcec

gmtu /1)( −−= [E4.5.1]

Donde v es la velocidad del paracaidista en centímetros por segundo, g es la constante

gravitacional cuyo valor es 980 cm / s2, m es la masa del paracaidista cuyo valor es 68

100 g y c es el coeficiente de rozamiento. En el ejemplo 1.1 se calculó la velocidad del

paracaidista en función del tiempo para valores dados de m, c y g. Sin embargo,

supóngase que se desea controlar el movimiento del paracaidista de tal forma que se

alcance una velocidad prefijada en caída libre después de un tiempo dado. En este caso,

se debe seleccionar un valor apropiado de c que satisfaga los requisitos de diseño cuando

se mantengan constantes m, g. t y v. Una ojeada a la ecuación a (E4.5.1) muestra que c

no se puede calcular explícitamente en función de las variables conocidas. Supóngase


que se desea que la velocidad del paracaidista alcance un valor de 4 000 cm/s después

de 7 s. De esta manera, se debe determinar un valor de c tai que:

( )[ ] vec

gmcf tmc −−== − /1)(0 [E4.5.2]

Solución: para implementar el método de BISECCIÓN, se requiere obtener un intervalo

inicial que contenga a! valor de c que satisfaga la ecuación (E4.5.2). Es conveniente

seleccionar este intervalo conjuntamente con la opción de graficación de BISECCIÓN que

viene con el disco (opción 3). El programa pregunta los valores mínimo y máximo de x y

de f(x) generando la gráfica mostrada en la figura 4.11o después que se han introducido

las dimensiones de la gráfica. Puede verse que existe una raíz entre 10 000 y 15 000 g/s.

El programa BISECCIÓN pregunta por un límite máximo de iteraciones permitido, un error

de convergencia εs y un límite inferior y superior para la raíz. La figura 4.11b muestra

estos valores, junto con la raíz calculada de 11 643.14 g / s. Nótese que con 16

iteraciones se obtiene un valor aproximado a la raíz con un error menor de 65- Más aún,

la computadora muestra una verificación del error de:

f(11643.14) = 1.025391 x 10-2

Para confirmar los resultados. Si la exactitud que se requiere no se hubiera alcanzado con

el número especificado de iteraciones, entonces el algoritmo habría terminado después de

30 iteraciones.

Estos resultados están basados en el algoritmo simple del método de BISECCIÓN con el

FIGURA 4.11 a) Gráfica de la ecuación (E 4.5.2) b) Resultados para determinar el

coeficiente de rozamiento usando BISECCIÓN en el problema del paracaidista.


uso de rutinas de entrada y salida legibles al usuario. El algoritmo usado es similar al de la

figura 4.10. El usuario debe estar listo para escribir sus propios programas sobre el

método de bisección. Si tiene los programas de NUMERICOMP, entonces los puede usar

como modelo y para verificar que sus programas sean adecuados.

4.3 MÉTODO DE LA REGLA FALSA

Aunque el método de bisección es una técnica perfectamente válida para determinar

raíces, su enfoque es relativamente ineficiente. Una alternativa mejorada es la del método

de la regla falsa está basado en una idea para aproximarse en forma más eficiente a la

raíz.

Un defecto del método de bisección es que al dividir el intervalo x1, a Xu en mitades

iguales, no se toma en consideración la magnitud de f(xi) y de f(Xu). Por ejemplo, si / (x,)

está mucho más cerca de cero que f(xu), es lógico que la raíz se encuentra más cerca de

x, que de xu (Fig. 4.12). Este método alternativo aprovecha la idea de unir los puntos con

una línea recta. La intersección de esta línea con el eje x proporciona una mejor

estimación de la raíz. El reemplazamiento de la curva por una línea recta da una "posición

falsa" de la raíz, de aquí el nombre de método de la regla falsa o en latín, regula falsi.

También se le conoce como método de interpolación lineal.

Con el uso de triángulos semejantes (Fig. 4.12), la intersección de la línea recta y el eje x

se puede calcular de la siguiente manera:

ur

u

lr

l

xx

xf

xx

xf

−=

−

)()( [4.3]

Que se puede resolver para

(véase el recuadro 4.1 para

mayores detalles)

Fig. 4.12 Esquema grafico del método

del la regla falsa. La formula de deriva

de los triángulos semejantes (áreas

sombreadas.


)()(

))((

ul

ulu

urxfxf

xxxfxx

−

−−=

Esta es la fórmula de la regla falsa. El valor de xr, calculado con la ecuación (4.4),

reemplaza a uno de los dos valores, xl; o a xu que produzca un valor de la función que

tenga el mismo signo de f(xr.). De esta manera, los valores xr y xu siempre encierran a la

raíz. El proceso se repite hasta que la aproximación a la raíz sea adecuada- El algoritmo

es idéntico al de la bisección (Fig. 4.6) con la excepción de que la ecuación (4.4) se usa

en los pasos 2 y 4. Además, se usan los mismos criterios de paro [(Ec. (4.2)] para detener

los cálculos.

EJEMPLO 4.6

Regla falsa

Enunciado del problema: úsese el método de la regla falsa para determinar la raíz de f(x)

= ex — x. La respuesta correcta es 0.567 143 29.

RECUADRO 4.1 Derivación del método de la regla

falsa

Multiplicando en cruz la ecuación (4.3) se obtiene:

))(())(( lruuri xxxfxxxf −=−

Agrupando términos y reordenando

[ ] )()()()( ullu xfxxfxxufxlfxr −=−

Dividiendo entre f(xl) - f(xu)

)()(

)()(

ul

ullu

rxfxf

xfxxfxx

−

−=

Ésta es una forma del método de la regla falsa.

Nótese que esto permite calcular la raíz x, en

función de los límites inferior, xl y superior xu. Se

puede ordenar de una manera alternativa,

expandiéndola:

sumando y restando Xu del lado derecho:

)()(

)(

)()(

)(

ul

lu

u

ul

ul

urxfxf

xxfx

xfxf

xxfxx

−−−

−+=

Agrupando términos se obtiene:

)()(

)(

)()(

)(

ul

lu

ul

uu

urxfxf

xxf

xfxf

xxfxx

−−

−+=

)()(

))((

ul

ulu

urxfxf

xxxfxx

−

−−=

Que es igual a la ecuación (4.4). Se usa de esta

forma ya que es directamente comparable con el

método de la secante analizado en el capítulo 5


Solución: como en el ejemplo 4.3, iníciense los cálculos con los valores iniciales xl=0 y

xu=1.

Primera iteración:

6127.0)63212.0(1

)10(63212.01

63212.0)(1

1)(0

=−−

−−−=

−==

==

r

uu

l

x

xfx

xfx

El error relativo real se puede estimar como:

%0.8%10056714329.0

6127.056714329.0=

−=εν

Segunda iteración:

0.0708)()( =xufxlf

Por lo tanto, la raíz se encuentra dentro del primer subintervalo y xr se puede convertir en

el limite superior de la siguiente iteración, xu = 0.6127.

%89.051219.0)0708.0(1

)6127.00(070.06127.0

0708.0)(6127.0

1)(0

==−−

−−−=

−==

==

νεr

uu

l

x

xfx

xfx

El error aproximando se puede calcular como:

%08.7%10057219.0

6127.057219.0=

−=εν

Se pueden llevar a cabo estimaciones adicionales para mejorar la estimación de la raíz.

Puede emitirse una opinión mas completa sobre la eficiencia relativa de los métodos de

bisección y de la regla falsa al observar la figura 4.13 que muestra la grafica del error

relativo porcentual de los ejemplos 4.3 y 4.6. Nótese como el error decrece mucho mas

rápidamente para el método de la regla falsa que para el de bisecciones ya que el primero

es un esquema más eficiente para la localización de raíces.


Recuérdese que en el método de

bisección el intervalo entre xl y xu

decrece durante los cálculos. Por

lo tanto, el intervalo dado por

2/2/ lu xxx −=∆ proporciona

una medida del error en estas

aproximaciones. Este no es el

caso para el método de la regla

falsa ya que uno de los extremos

puede permanecer fijo a lo largo

de los cálculos, mientras que el

otro converge a la raíz. Como en

el caso, del ejemplo 4.4 donde el

extremo inferior xl se sostuvo en

cero, mientras que xu convergió a

la raíz. En tales casos, el intervalo

no se acorta, sino que se mantiene

más o menos constante.

El ejemplo 4.6 sugiere que la

ecuación (4.2) representa un

criterio de error muy conservador.

De hecho, la ecuación (4.2)

constituye una aproximación de la

discrepancia de la iteración previa. Esto se debe a que para cada caso, tal como en el

ejemplo 4.6, donde el método converge rápidamente (por ejemplo, el error se reduce casi

una orden de magnitud por iteración), la iteración actual xrnueva es una aproximación

mucho mejor al valor real de la raíz que el resultado de la iteración previa xranterior. Por lo

tanto, el numerador de la ecuación (4.2) representa la diferencia de la iteración previa. En

consecuencia, hay confianza que cuando se satisface la ecuación (4.2), la raíz se conoce

con mayor exactitud superando la tolerancia preestablecida. Sin embargo, como se ve en

la siguiente sección, existen casos donde la regla de la posición falsa converge

lentamente. En estos casos la ecuación (4.2) no es confiable y se debe desarrollar un

criterio diferente de paro.

4.3.1 Desventajas del método de la regla falsa

Aunque el método de la regla falsa pareciera siempre ser el mejor de los que usan

intervalos, hay casos donde funciona deficientemente. En efecto, como en el ejemplo


siguiente, hay ciertos casos donde el método de bisección da mejores resultados.

Un caso donde el método de bisección es preferible al de lo regla falsa

Enunciado del problema: úsense los métodos de bisección y de la regla falsa localizar la

raíz de:

1)( 10 −= xxf

Entre x = 0 y x = 1.3

Solución: usando bisección, los resultados se resumen como:

Iteración Xl Xu Xr |εv|% |εa|%

1 0 1.3 0.65 35.0

2 0.65 1.3 0.975 2.5 33.33

3 0.975 1.3 1.1375 13.8 14.30

4 0.975 1.1375 1.05625 5.6 7.70

5 0.975 1.05625 1.015625 1.6 4.00

De esta manera, después de cinco iteraciones. El error verdadero se reduce a menos del

2%. Con la regla falsa se obtiene un esquema muy diferente.

Iteración Xl Xu Xr |εv|% |εa|%

1 0 1.3 0.09430 90.6

2 0.09430 1.3 0.18176 81.8 48.1

3 0.18176 1.3 0.26287 73.7 30.9

4 0.26287 1.3 0.33811 66.2 22.3

5 0.33811 1.3 0.40788 59.2 17.1

Después de cinco iteraciones, el error verdadero se ha reducido al 59%. Además, nótese

que |εv| < |εt|. De esta forma, el error aproximado es engañoso. Se puede obtener mayor

información examinando una gráfica de la función. En la figura 4.14 la curva viola una

hipótesis sobre la cual se basa la regla falsa; esto es, si f(xl) se encuentra mucho más

cerca de cero que f(xu) entonces la raíz se encuentra más cerca a xL que xu (recuérdese la

figura 4.12J. De acuerdo a la gráfica de esta función, la inversa es verdadera.

El ejemplo anterior ilustra que en general no es posible hacer generalizaciones

relacionadas con los métodos de obtención de raíces. Aunque un método como el de la


regla falsa, en general es superior al de

bisección, hay, invariablemente casos

especiales que violan las conclusiones

generales. Por lo tanto, además de usar la

ecuación (4.2), los resultados se pueden

verificar sustituyendo la raíz aproximada

en la ecuación original y determinar si el

resultado se acerca a cero. Estas pruebas

se deben incorporar en todos los

programas que localizan raíces.

4.3.2 Programa para el método de lo regla

falsa

Se puede desarrollar directamente un

programa para la regla falsa a partir del

código del método de bisección de la

figura 4.10. La única modificación es la de

sustituir la ecuación (4.4) en las líneas

130 y 190. Además, la prueba contra cero

sugerida en la última sección, también se debe incorporar en el código.

4.4 BÚSQUEDAS CON INCREMENTOS DETERMINANDO UNA APROXIMACIÓN

INICIAL

Además de verificar una respuesta individual, se debe determinar sí se han localizado

todas las raíces posibles. Como se mencionó anteriormente, en general, una gráfica de la

función ayudará en esta tarea. Otra opción es incorporar una búsqueda incremental al

principio del programa. Consiste en empezar en un extremo de la región de interés y

realizar evaluaciones de la función con pequeños intervalos a lo largo de la región.

Cuando la función cambia de signo, se supone que una raíz cae dentro del incremento.

Los valores de x de los extremos del intervalo pueden servir de valores iniciales para una

de las técnicas descritas en este capítulo que usan intervalos.

Un problema aunado a los métodos de búsquedas increméntales es el de escoger la

longitud del incremento. Si la longitud es muy pequeña, la búsqueda puede consumir

demasiado tiempo- Por el otro lado, si la longitud es muy grande, existe la posibilidad de

Figura 4.14 Grafica de la función f(x) = x10 -1,

ilustración de la convergencia lenta del método

de la regla falsa.


que las raíces muy cercanas entre sí pasen desapercibidas (Fig. 4.15). El problema se

combina con la posible existencia de raíces múltiples. Un remedio parcial para estos

casos en calcular la primera derivada de la función f’(x) en los extremos del intervalo. Si la

derivada cambia de signo, entonces puede existir un máximo o un mínimo en ese

intervalo, lo que sugiere una búsqueda más minuciosa para detectar la posibilidad de una

raíz.

Aunque estas modificaciones, o el empleo de un incremento muy fino pueden solucionar

en parte el problema, se debe aclarar que los métodos sencillos tales como el de

búsqueda incremental no son infalibles. Se debe tener conocimiento de otras

informaciones que profundicen en la localización de raíces a fin de complementar las

técnicas automáticas. Esta información se puede encontrar graneando la función y

entendiendo el problema físico de donde se originó la ecuación.

PROBLEMAS

Cálculos a mano

4.1 Determínense las raíces reales de:

f(x) = -0.874x2 + 1.75x + 2.627

Gráficamente

a) Usando la fórmula cuadrática

b) Usando el método de bisección hasta tres iteraciones para determinar la raíz

más alta. Empléense como valores iniciales xi = 2.9yXy = 3.1. Calcúlese el error

estimado εa y el error verdadero εu después de cada iteración.

FIGURA 4.15 Casos donde

las raíces se pueden brincar

debido a que los longitudes

de los intervalos en los

métodos de búsquedas

increméntales son

demasiado grandes. Nótese

que la última raíz es

múltiple y se iba a brincar

independientemente de la

longitud de! incremento.


4.2 Determínense las raíces reales de

F(x) =-2.1 + 6.21x - 3.9x2 + 0.667x3

a) Gráficamente

b) Usando bisección para localizar la raíz más pequeña. Empléense como valores

iniciales xl = 0.4 y Xu = 0.6 e itérese hasta que el error estimado εa se encuentre

abajo de e, = 4%


f(x) = -23.33 + 79.35x -88,09x2 + 41.6x3 - 8.68x4 + 0.658x5

a) Gráficamente

b) Usando bisección para determinar la raíz más alta para e, — 1 %. Empléese

como valores iniciales x, = 4.5 y Xy " 5.

c) Realícense los mismos cálculos de b) pero usando el método de la regla falsa.


f(x) = 9.36 - 21.963x + 16.2965x2 - 3,70377x3

a) Gráficamente

b) Usando el método de la regla falsa con un valor de (, correspondiente 3 tres

cifras significativas para determinar la raíz más baja.

4.5 Localícese la primer raíz diferente de cero de tan x = 1.1. x donde x está en radianes.

Úsese una técnica gráfica y bisección con valores iniciales 0.1 y 0-6- Realícense los

cálculos hasta que εv sea menor del e; = 10%. Verifíquense también tos errores

sustituyendo la respuesta final en la ecuación original.

4.6 Determínese la raíz real de In x = 0.5

a) Gráficamente

b) Usando el método de bisección con tres iteraciones y valores iniciales xi = 1 y x,

= 2.

c) Usando el método de la regla falsa con tres iteraciones y los mismos valores

iniciales del inciso anterior.


4.7 Determínese la rafa real de:

x

xxf

6.01)(

−=

a) Analíticamente

b) Gráficamente

c) Usando el método de la regla falsa con tres iteraciones y valores iniciales de 1.5

y de 2,0. Calcúlese el error aproximado εa y el error verdadero εv después de

cada iteración.

4.8 Encuéntrese la raíz cuadrada positiva de 10 usando el método de la regla falsa con εs

= 0.5 %. Empléense los valores iniciales de xl = 3 y xu = 3.2.

4.9 Encuéntrese la raíz positiva más pequeña de la función (x está dada en radianes):

x2 sen x •= 4

Usando el método de la regla falsa. Para localizar la región en que cae la raíz, primero

grafíquese la función para valores de x entre O y 4. Realícense los cálculos hasta que εa

haga que se cumpla e, = 1 %. Verifíquese la respuesta final sustituyéndola en la función

original.

4.10 Encuéntrese la raíz real positiva de:

f(x) = JC" – 8.6x3 – 35.51x2 + 464x – 998.46

Usando el método de la regla falsa- Úsese una gráfica para determinar los valores

iniciales y realizar los cálculos con εs = 0.1 %.

4.11 Determínese la raíz real de:

f(x) = x3 - 100

a) Analíticamente

b) Con el método de la regla falsa con εs = 0,1 %.

4.12 La velocidad del paracaidista está dada por la fórmula:

]1[ )/( tmcec

gmv −−=


Donde g = 980. Para un paracaidista de masa m = 75 000 g calcúlese el coeficiente de

rozamiento c con ü = 3600 cm/s en t = 6 s. Úsese el método de la regla falsa para

determinar c con e¡ == 0.1 %.

Problemas para resolver con computadora

4.13 Vuélvase a programar la figura 4.10 de forma tal que sea más legible al usuario.

Entre otras cosas:

a) Documéntese indicando la función de cada sección.

b) Etiquétense las entradas y las salidas

c) Agréguese una prueba que verifique si los valores iniciales xl y xu encierran a la

raíz.

d) d Agréguese una prueba de verificación para que la raíz obtenida se sustituya

en la ecuación original para comprobar si el resultado final se acerca a cero.

4.14 Pruébese el programa del problema 4.13 duplicando los cálculos del ejemplo 4.3

4.15 Úsese el programa del problema 4.13 para repetir desde el problema 4.1 al 4.6.

4.16 Repítanse los problemas 4.14 y 4.15 usando los programas de NUMERICOMP

disponibles con el texto. Úsense las capacidades gráficas de este programa para verificar

los resultados.

4.17 Úsense los programas de NUMERICOMP para encontrar las raíces reales de dos

funciones polinomiales cualesquiera, Grafíquense las funciones sobre un rango definido

para obtener los límites inferior y superior de las raíces.

4.18 Repítase el programa 4.17 usando dos funciones trascendentales.

4.19 En este problema se usan solamente las capacidades gráficas de los programas

NUMERICOMP disponibles con el texto. Los programas trazan la función sobre intervalos

más y más pequeños para incrementar la cantidad de cifras significativas que se quiera

estimar una raíz. Empiécese con f(x) = e-x sen (10 x. Grafíquese la función con un rango

a escala completa desde x = O hasta x = 2,5, Estímese la raíz. Trácese nuevamente la

función sobre el rango x = 0.5 a x = 1.0, Estímese la raíz. Finalmente, grafíquese la

función sobre un rango de 0.6 a 0.7, Esto permite estimar la raíz con dos cifras

significativas.

4.20 Desarróllese un programa legible al usuario para el método de la regla falsa basado

en la sección 4.3.2. Pruébese el programa con el ejemplo 4.6.


4.21 Úsese el programa del problema 4.20 para probar los cálculos del ejemplo 4.7-

Realícense corridas de 5, 10. 15 y más iteraciones hasta que el error relativo porcentual

sea menor del 0,1%, Grafíquense los errores relativos porcentuales aproximados contra el

número de iteraciones sobre papel semilogarítmico. Interprétense los resultados.


CAPÍTULO CINCO

MÉTODOS

ABIERTOS


En los métodos del capítulo anterior que usan intervalos, la raíz se encuentra dentro del

mismo, dado por un límite inferior y otro superior. La aplicación repetida de estos métodos

siempre genera aproximaciones más y más cercanas a la raíz. A tales métodos se les

conoce como convergentes ya que se acercan progresivamente a la raíz a medida que

crece el número de iteraciones (Fig. 5.1a).

En contraste con éstos, los métodos abiertos que se describen en este capítulo, se basan

en fórmulas que requieren de un solo valor x o de un par de ellos pero que no

necesariamente encierran a la raíz. Como tales, algunas veces divergen o se alejan de la

raíz a medida que crece el número de iteraciones (Fig. 5.1b). Sin embargo, cuando los

métodos abiertos convergen (Fig. 5.1c), en general lo hacen mucho más rápido que los

métodos que usan intervalos. Se empieza el análisis de los métodos abiertos con una

versión simple que es útil para ilustrar su forma general y también para demostrar el

concepto de convergencia,

5.1 ITERACIÓN DE PUNTO FIJO

Como se mencionó anteriormente, los métodos abiertos emplean una fórmula que predice

una aproximación a la raíz. Tal fórmula se puede desarrollar para la iteración de punto fijo,

rearreglando la ecuación /(x) ^O de tal forma que x quede del lado izquierdo de la

ecuación:

x = g(x) [5.1]

Esta transformación se puede llevar a cabo mediante operaciones algebraicas o

simplemente agregando x a cada lado de la ecuación original. Por ejemplo:

FIGURA 5.1 Esquema gráfico de las diferencias

fundamentales entre los métodos que usan intervalos a)

y los métodos abiertos b) y c) en la localización de raíces.

En a), que ilustra el método de bisección, la raíz está

registrada dentro del intervalo dado por xl y xu. En

contraste, con los métodos abiertos, ilustrados en b) y c),

se usa uno fórmula para proyector x, o x;^, con un

esquema iterativo. De esta manera, el método puede

divergir b) o converger c) rápidamente, dependiendo del

punto inicial.


x2 - 2x + 3 = 0

Se puede reordenar para obtener;

2

32 +=x

x

Mientras que sen x = 0 puede transformarse en la forma de la ecuación (5.1) sumándole x

a ambos lados para obtener:

x = sen x + x

La utilidad de la ecuación (5.1) es que proporciona una fórmula para predecir un valor de

x en función de x. De esta manera, dada una aproximación inicial a la raíz, xi, la ecuación

(5.1) se puede usar para obtener una nueva aproximación x,+i, expresada por la fórmula

iterativa:

xi+1 = g(xi) , [5.2]

Como con otras fórmulas iterativas del libro, el error aproximado de esta ecuación se

puede calcular usando el estimador de error [Ec. (3.5)]:

%1001

1

+

+ −=

i

ii

x

xxaε

EJEMPLO 5.1

Iteración de punto fijo

Enunciado del problema: úsese iteración de punto fijo para localizar la raíz de f(x) = e-x-x.

Solución: la función se puede separar directamente y expresarse en la forma de ecuación

(5.2) como xi+1 = e-xi. Empezando con un valor inicial de XQ= 0, se puede aplicar esta

ecuación iterativa y calcular:

Iteración x |εv|% |εg|%

0 0 100.000

1 1.000000 76.300 100.00

2 0.367879 35.100 171.00

3 0.692201 22.100 46.90

4 0.500473 11.800 38.30


5 0.606244 6.890 17.40

6 0.545396 3.830 11.20

7 0.579612 2.200 5.90

8 0.560115 1.240 3.48

9 0.571143 0.705 1.93

10 0.464879 0.399 1.11

De esta manera, cada iteración acerca cada vez más al valor estimado con el valor

verdadero de la raíz, o sea 0.567 143 29.

RECUADRO 5.1

Convergencia de la iteración de punto fijo

Al analizar la figura 5.3, se debe notar que la

iteración de punto fijo converge si en la región

de interés g'(x) < 1. En otras palabras, la

convergencia ocurre si la magnitud de la

pendiente de g(x) es menor que la pendiente

de la línea f(x)= x. Esta observación se puede

demostrar teóricamente. Recuérdese que la

ecuación aproximada es:

xi+1 = g(xi)

Supóngase que la solución verdadera es:.

Xr = g(xr)

Restando estas dos ecuaciones se obtiene:

xr - xi+1 = g(xi) – g(xr)

[B5.1.1]

En el cálculo, existe un principio llamado

teorema del valor medio (sección 3,5.2). Dice

que si una función g(x) y su primera derivada

son continuas sobre un Intervalo a < x < b,

entonces existe un valor de x = S; dentro del

intervalo para el que:

ab

agbgg

−

−=

)()()(' ξ [B5.1.2]

El lado derecho de esta ecuación es la

pendiente de la línea que une a g(a) y g(b).De

esta manera, el teorema del valor medio dice

que hay al menos un punto entre a y b que

tiene una pendiente, denotada por g(ξ), que es

paralela a la línea que une g(a) con g(b) (Fig.

3.5).

Ahora, si se hace o = x,'y b == x, el lado

derecho de la ecuación (B5.1.2) se puede

expresar como:

)(')()()( ξgxxxgxg irir −=−

Donde ξ se encuentra en alguna parte dentro

de xi y xr. Este resultado se puede sustituir en

la ecuación (B5.1.2) para obtener:

)(')(1 ξgxxxx irir −=− + [B5.1.3]

Si el error verdadero para la i-ésima iteración

se define como:

irit xxE −=,

Entonces la ecuación (B5.1.3) se convierte en:

itit EgE ,1, )(' ξ=+

Por consiguiente, si g’(ξ) < 1, entonces los


errores decrecen. Con cada iteración. Si

g’(ξ)>1, entonces los errores crecen. Nótese

también que si la derivada es positiva, los

errores serán positivos, y por lo tanto, la

solución iterativa será monótona (Figs. 5.3 a y

c). Si la derivada es negativa, entonces los

errores oscilarán (Figs. 5.3b y d),

Un corolario de este análisis demuestra que

cuando el método converge, el error es casi

proporcional a y menor que el error del paso

anterior. Por esta razón, la iteración de punto

fijo se dice que es linealmente convergente.

5.1.1 Convergencia

Nótese que el error relativo exacto en cada iteración del ejemplo 5,1 es casi proporcional

(por un factor de 0.5 a 0.6) al error de la iteración anterior. Esta propiedad, conocida como

convergencia lineal, es característica de la iteración de punto fijo. En el recuadro 5.1 se

presenta una base teórica para esta observación.

Además de la "velocidad" de convergencia, se debe hacer hincapié en este momento

sobre la "posibilidad" de convergencia.

Los conceptos de convergencia y de divergencia se pueden ilustrar gráficamente.

Recuérdese que en la sección 4.1 se gráfico una función para visualizar su estructura y su

comportamiento (Ej. 4.1). Esta función se vuelve a graficar en la figura 5.2o- Un

planteamiento gráfico diferente es el de separar la ecuación f(x) = 0 en dos partes, como

Dos métodos gráficos alternativos para determinar la raíz

de f(x) = e-x-x. a) Raíz en el punto donde ésta cruza al eje

x; b raíz en la intersección de los funciones componentes.


en:

f1(x) = f2(x)

Entonces las dos ecuaciones:

y=f1(x) [5.3]

y

y=f2(x) [5.4]

Se pueden graficar por separado (Fig. 5.2b). Los valores de x correspondientes a las

intersecciones de estas funciones representan las raíces de f(x) = 0.

EJEMPLO 5.2

El método gráfico de dos curvas

Enunciado del problema: sepárese la ecuación e-x-x = 0 en dos partes y determínese su

raíz gráficamente.

Solución: reformúlese la ecuación como y1=x y y2=e-x. Calcúlense los siguientes valores:

x y1 y2

0.0 0.0 1.000

0.2 0.2 0.819

0.4 0.4 0.670

0.6 0.6 0.549

0.8 0.8 0.449

1.0 1.0 0.368

Estos puntos se grafican en la figura 5.2b. La intersección de las dos curvas indica una

aproximación de x == 0.57, que corresponde al punto donde la curva original en la figura

5.2a cruza al eje x.

El método de las dos curvas se puede usar ahora para ilustrar la convergencia y

divergencia de la iteración de punto fijo.

En primer lugar, la ecuación (5.1) se puede expresar como un par de ecuaciones: y1 = x y

y2= g(x). Estas dos ecuaciones se pueden graficar por separado. Tal fue e! caso de las

ecuaciones (5.3) y (5.4), las raíces de f(x) = O son iguales al valor de la abscisa en la

intersección de las dos curvas. En la figura 5.3 se grafican la función y1= x y cuatro


esquemas diferentes de la función y2= g(x).

En el primer caso (Fig. 5.3a), el valor inicial xo se usa para determinar el punto

correspondiente a la curva y2 [X0, g(x0)]. El punto [xl , xl] se encuentra moviendo la curva y1

a la izquierda y horizontalmente. Estos movimientos son equivalentes a la primera

iteración del método de punto fijo:

x1=g(x0)

FIGURA 5.3 Esquema gráfico de la convergencia a) y b) y la divergencia c) y d) de la iteración de punto fino- A

las gráficos a) y c) se les conoce como patrones monótonos, mientras que a b) y d) se les conoce como patrones

oscilatorios o en espiral. Nótese que la convergencia se obtiene cuando |g'(x) | < 1.


De esta manera, en la ecuación y en la gráfica se usa un valor inicial XQ para obtener la

aproximación xl. La siguiente iteración consiste en moverse al punto [x1, g(x1)] y después a

[x2, x2. Esta iteración es equivalente a la ecuación:

x1=g(x1)

La solución en la figura 5.3a es convergente ya que la aproximación de x se acerca más a

la raíz con cada iteración. Lo mismo se cumple para la figura 5.3b. Sin embargo, éste no

es el caso para las figuras 5.3c y d, en donde las iteraciones divergen de la raíz. Nótese

que la convergencia ocurre únicamente cuando el valor de la pendiente de y2 = g(x) es

menor al valor de la pendiente de y1 = x, esto es, cuando |g' (x)| < 1. En el recuadro 5.1 se

presenta una derivación teórica de este resultado.

5.1.2 Programa para la iteración de punto fijo

El algoritmo para la computadora de la iteración de punto fijo es extremadamente simple.

Consiste en un ciclo que calcula iterativamente nuevas aproximaciones junto con una

declaración lógica que determina cuando se ha cumplido el criterio de paro.

En la figura 5.4 se presentan tos programas en FORTRAN Y BASIC para el algoritmo. Se

pueden programar de manera similar otros métodos abiertos, simplemente cambiando la

fórmula iterativa (declaración 130).

FIGURA 5.4 Programa para la iteración de punto fijo. Nótese que el

algoritmo general es similar al de los métodos abiertos.


5.2 MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON

Tal vez, dentro de las fórmulas para localizar raíces, la fórmula de Newton-Raphson (Fig.

5.5), sea la más ampliamente usada. Si el valor inicial de la raíces xi, entonces se puede

extender una tangente desde el punto [xi, f(xi)]. El punto donde esta tangente cruza al eje

x representa una aproximación mejorada a la raíz.

El método de Newton-Raphson se puede derivar geométricamente (una forma de hacerlo

es mediante el uso de la serie de Taylor, descrita en el recuadro 5.2). Como en la figura

5.5, la primera derivada en x es equivalente a la pendiente.

)('

)()('

i

i

ixf

xfxf = [5.5]

Que se puede reordenar para obtener:

)('

)()(' 1

i

i

iixf

xfxxf +=+ [5.6]

A la que se conoce como fórmula de Newton-Raphson.

FIGURA 5.5 Esquema gráfico del método

de Newton-Raphson. Se extrapola una

tangente o lo función en el punto xi [esto es,

f’(x,)] hasta el eje x para obtener una

estimación de la raíz en xi+1


EJEMPLO 5.3

Método de Newton-Raphson

Enunciado del problema: úsese el método de Newton-Raphson para calcular la raíz de

e-x-x empleando el valor inicial de x0 = 0.

Solución: la primera derivada de la función se puede evaluar como:

f(x)= -e-x- 1

Que se puede sustituir, junto con la función original en la ecuación (5.6) para dar:

11

−−

−−=

−

−

+ xi

ixi

iie

xexx

Empezando con el valor inicial xo = 0, se puede aplicar la ecuación iterativa para calcular:

Iteración i x |εv|%

0 0 100

1 0.500000000 11.8

2 0.566311003 0.147

3 0.567143165 0.0000220

4 0.567143290 <10-8

De esta manera, el planteamiento converge rápidamente a la raíz real. Nótese que el error

relativo en cada iteración decrece mucho más rápido que como lo hace la iteración de

punto fijo (compárese con el ejemplo 5.1).

5.2.1 Criterios de paro y estimación de errores

Como con los otros métodos de localización de raíces, la ecuación (3,5) se puede usar

como un criterio de paro- Además, la derivación del método con la serie de Taylor

(recuadro 5.2) proporciona un conocimiento teórico relacionado con la velocidad de

convergencia expresado como: Ei+1=0(E1). De esta forma, el error debe ser casi

proporcional al cuadrado del error anterior. En otras palabras, el número de cifras

significativas se duplica aproximadamente en cada iteración. Este comportamiento se

examina en el siguiente ejemplo.


RECUADRO 5.2

Derivación y análisis del error del método de Newton-Raphson a partir de la serie de

Taylor

Además de la derivación geométrica [ecuaciones (5.5) y (5.6)], el método del Newton-

Raphson se puede derivar también del uso de la serie Taylor. Esta derivación alternativa

es muy útil en el sentido de que muestra la penetración en la velocidad de convergencia

del método.

Recuérdese del capitulo 3 que la serie de Taylor se puede representar como:

2

111 )(2

)(''))((')()( iiiiii xx

fxxxifxfxf −+−+= +++

ξ [B5.2.1]

En donde ξ se encuentra en alguna parte del intervalo entre xi y xi+1. Truncando la serie

Taylor después de la primera derivada, se obtiene una versión aproximada:

))((')()( 11 iiiii xxxfxfxf −+≅ ++ [B5.2.2]

Que se resuelve para:

)('

)(1

i

i

iixf

xfxx −=+

Que es idéntica a la ecuación (5.6). De esta forma, se ha derivado el método de Newton-

Raphson usando la serie de Taylor.

Además de la derivación, la serie de Taylor se puede usar para estimar error de la

formula. Esto se puede lograr al utilizar los términos de la ecuación B5.2.1 con el

resultado exacto. Por esta estimación xi+1 = xr, en donde xr es el valor exacto de la raíz.

Sustituyendo esta valor, junto con f(xr) = 0 en la ecuación (B5.2.1) se obtiene:

2)(2

)(''))((')(0 iririi xx

fxxxfxf ++−+=

ξ [B5.2.3]

La ecuación (B5.2.2) se puede restar de la ecuación (B5.2.3) para obtener:

2)(2

)(''))(('0 iriri xx

fxxxf ++−=

ξ [B5.2.4]


Ahora, notando que el error es igual a la diferencia entre xi+1 y el valor de xr como en:

11, ++ −= iriv xxE

Y la ecuación (B5.2.4) se puede expresar como:

1,1,2

)('')(''0 ++= ivivi E

fExf

ξ [B5.2.5]

Si se supone que hay convergencia, entonces xi y ξ se deberían aproximar a a la raíz xr, y

la ecuación (B5.2.5) se puede reordenar para obtener:

2

,1,)('2

)(''iv

r

r

iv Exf

xfE

−≅+ [B5.2.6]

De acuerdo ala ecuación (B5.2.6) el error es casi proporcional al cuadrado del error

anterior. Esto significa que el número de cifras decimales correctos se duplica

aproximadamente en cada iteración. A este comportamiento se le llama convergencia

cuadrática. El ejemplo 5.4 ilustra esta propiedad.

Ejemplo 5.4

Análisis de Error en el Método de Newton-Raphson

Enunciado Problema: como se dedujo en el Recuadro 5.2 el método de Newton-Raphson

es convergente cuadráticamente. Esto es, el error es aproximadamente proporcional al

cuadrado del error anterior, dado por:

2

,1,)('2

)(''iv

r

r

iv Exf

xfE

−−≅+ [E5.4.1]

Examínese esta fórmula y véase si es aplicable a los resultados del ejemplo 5.3.

Solución: la primera derivada de f(x) = e-x -x es:

f’(x) = -e-x- 1

Que se puede evaluar en xr= 0.567 143 29 para dar:


f’(0.567 143 29) = -1.567 143 29

La segunda derivada es:

f’’(x)=e-x

Que se puede evaluar, para obtener:

f’(0.567 143 29) = 0.567 143 29

Estos resultados se pueden sustituir en la ecuación (E5.4.1) para obtener:

2

,1,)56714329.1(2

56714329.0iviv EE

−≅+ ó

2

,1, 18095.0 iviv EE ≅+

Del ejemplo 5.3, el error inicial fue de Et0= 0.567 143 29, que se puede sustituir en la

ecuación del error para obtener:

Ev,1 ≅ = 0.180 95(0.567 143 29)2 = 0.058 2

Que se acerca al error real de = 0.067 143 29. En la siguiente iteración:

Ev,2 = 0.180 95(0.067 143 29)2 = 0.000 815 8

Que también se compara favorablemente con el error real de 0.000 832 3. En la tercera

iteración:

Ev,3 = 0.180 95(0.000 832 32 = 0.000 000 125

Que es exactamente el error obtenido en el ejemplo 5.3. La estimación del error mejora de

esta manera ya que está más cercano a la raíz, xi y ξ se aproximan mejor mediante xr

[recuérdese la suposición manejada al derivar la ecuación (B5.2.6) a partir de la ecuación

(B5.2.5), en el recuadro 5.2]. Finalmente:

Ev,4 = 0.180 95(0.000 000 1252 = 2.83 x 10-15

De esta manera este ejemplo ilustra que el error en el método de Newton-Raphson es en

este caso, de hecho, casi proporciona! (por un factor de 0.180 95 al cuadrado del error en

la iteración anterior.


5.2.2 Desventajas del método de Newton-Raphson

Aunque el método de Newton-Raphson en general es muy eficiente, hay situaciones en

que se porta deficientemente, un caso especial —raíces múltiples— se analiza al final del

capítulo. Sin embargo, aun cuando se trate de raíces simples, se encuentran dificultades,

como en el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 5.5

Ejemplo de una función que converge lentamente con el método de Newton-Raphson

Enunciado del problema: determínese la raíz positiva de f(x) = x10 - 1 usando el método de

Newton-Raphson con un valor inicial de x = 0.5.

Solución: la fórmula del método de Newton-Raphson es en este caso:

9

10

110

1

xi

i

ii

xxx

−−=+

Que se puede usar para calcular:

Iteración xi

0 00.5

1 51.65

2 46.485

3 41.8365

4 37.65285

5 33.887565

De esta forma, después de la primera predicción deficiente, e! método converge a la raíz

1, pero con una velocidad muy lenta.

Además de la convergencia lenta, debida a la naturaleza de la función, se pueden originar

otras dificultades, como se ilustra en la figura 5.6, Por ejemplo, la figura 5.6a muestra el

caso donde un punto de inflexión — esto es, f’’(x) = 0 — ocurre en la vecindad de una

raíz. Nótese que las iteraciones que empiezan en x divergen progresivamente de la raíz.

En la figura 5.6b se ilustra la tendencia del método de Newton-Raphson a oscilar

alrededor de un punto mínimo o máximo local. Tales oscilaciones persisten, o, como en la

figura 5.6b, se alcanza una pendiente cercana a cero, después de lo cual la solución se

aleja del área de interés. En la figura 5.6c, se ilustra como un valor inicial cercano a una

raíz puede saltar a una posición varías raíces lejos. Esta tendencia de alejarse del área de


interés se debe a que se encuentran pendientes cercanas a cero. Obviamente, una

pendiente cero [f’(x) = 0] es un real desastre que causa una división por cero en la fórmula

de Newton-Raphson [Ec. (5.6)] Gráficamente (Fig. 5.6d), esto significa que la solución se

dispara horizontalmente y ¡amas toca al eje x.

La única solución en

estos casos es la de

tener un valor inicial

cercano a la raíz.

Este conocimiento,

de hecho, lo

proporciona el

conocimiento físico

de! problema o

mediante el uso de

herramientas tales

como las gráficas

que proporcionan

mayor claridad en el

comportamiento de

la solución. Esto

sugiere también que

se deben diseñar

programas

eficientes que

reconozcan la

convergencia lenta

o la divergencia. La

siguiente sección

está enfocada hacia

estos temas.

FIGURA 5.6 Cuatro

casos donde el

método de Newton-

Raphson exhibe una

convergencia lenta.


5.2.3 Programa paro el método de Newton-Raphson

Con sólo sustituir la línea 130 de la figura 5.4, se obtiene el método de Newton-Raphson.

Nótese, sin embargo, que el programa se debe también modificar para calcular la

derivada. Esto se puede llevar a cabo simplemente incluyendo una función definida por el

usuario.

Además, de acuerdo a las discusiones anteriores sobre los problemas potenciales del

método de Newton-Raphson, el programa se debe modificar incorporándole algunos

rasgos adicionales:

1. Si es posible, se debe incluir una rutina de graficación dentro del programa.

2. Al final de los cálculos, la aproximación a la raíz siempre se debe sustituir en la

función original para calcular en qué casos el resultado se acerca a cero. Esta

prueba protege contra aquéllos casos donde se observa convergencia lenta u

oscilatoria, la cual puede llevar a valores pequeños de εa mientras que la solución

puede estar aún muy lejos de una raíz.

3. El programa siempre debe incluir un límite máximo sobre el número permitido de

iteraciones para estar prevenidos contra las oscilaciones y la convergencia lenta, o

las soluciones divergentes persistirán interminablemente.

5.3 MÉTODO DE LA SECANTE

Un problema fuerte en la implementación del método de Newton-Raphson es el de la

evaluación de la derivada. Aunque esto no es un inconveniente para los polinomios y para

muchas otras funciones, existen

algunas de éstas cuyas derivadas

pueden ser extremadamente difíciles

de evaluar, En estos casos, la

derivada se puede aproximar

mediante una diferencia divida,

como (Fig. 5.7):

FIGURA 5.7 Esquema gráfico del método

de la secante. Esta técnica es similar a la

del método de Newton-Raphson (Fig. 5.5)

en el sentido de que una aproximación a lo

raíz se calculo extrapolando una tangente

de la función hasta el eje x. Sin embargo,

el método de la secante usa una diferencia

en vez de la derivada para aproximar la

pendiente.


ii

ii

ixx

xfxfxf

−

−≅

−

−

1

1 )()()('

Esta aproximación se puede sustituir en la ecuación (5.6) obteniendo la ecuación iterativa:

)()(

)()(

1

1

1

ii

ii

iixfxf

xxfxfxx

−

−−−=

−

−+ [5.7]

La ecuación (5.7) es la fórmula para el método de la secante. Nótese que e!

planteamiento requiere de dos puntos iniciales de x. Sin embargo, debido a que no se

requiere que f(x) cambie de signo entre estos valores, a este método no se le clasifica

como aquellos que usan intervalos.

EJEMPLO 5.6

EL método de la secante

Enunciado del problema: úsese el método de la secante para calcular la raíz de f(x) = e-x-x

Empiécese con los valores iniciales de x-i = 0 y Xo = 1.0.

Solución: recuérdese que la raíz real es 0.567 143 29…

Primera iteración:

x-i = 0 f(x-1) = 1.000 00

x0 = 1 f(x0) = -0.632 12

%0.861270.0)63212.0(1

)10(63212.011 ==

−−

−−−= vx ε

Segunda iteración:

x0 = 1 f(xo) = -0.632 12

xi = 0.612 70 f(xi) = -0.070 81

(Nótese que las dos aproximaciones se encuentran del mismo lado que la raíz.)

%58.056384.0)07081.0(63212.0

)61270.10(07081.061270.02 ==

−−−= vx ε


Tercera iteración:

xi = 0.61270 f(x1) = -0.070 81

x2 = 0.563 84 f(x2) = 0.005 18

56717.0)00518.0(07081.0

84)563.061270.0(00518.056384.03 =

−−

−−=x

5.3.1 Diferencias entre los métodos de la secante y de la regla falsa

Nótese la similitud entre los métodos de la secante y de la regla falsa. Por ejemplo, las

ecuaciones (5.7) y (4.4) son idénticas término a término. Ambas usan dos estimaciones

iniciales, para calcular una aproximación a la pendiente de la función que se usa para

proyectar hacia el eje x una nueva aproximación a la raíz. Sin embargo, existe una

diferencia crítica entre ambos métodos y ésta estriba en la forma en que uno de los

valores iniciales se reemplaza por la nueva aproximación. Recuérdese que en el método

de la regla falsa, la última aproximación de la raíz reemplaza a aquel valor cuya función

tenía el mismo signo de /(x,). En consecuencia, las dos aproximaciones siempre encierran

a la raíz. Por lo tanto, en todos ¡os casos prácticos, el método siempre converge ya que la

raíz se encuentra dentro del interval0 En contraste el método de la secante reemplaza los

valores en una secuencia estricta, con el nuevo valor x,4,i se reemplaza a x, y x,

reemplaza a x;_i. Como resultado de esto, los dos valores pueden caer de un mismo lado

de la raíz. En algunos casos, esto puede provocar divergencia.

EJEMPLO 5.7

Comparación de la convergencia en los métodos de la secante y la regla falsa,

Enunciado del problema: úsense los métodos de la secante y de la regla falsa para

calcular la raíz de f(x) = ln x. Háganse los cálculos con los valores iniciales xl= xi-1. 0.5 y

xu= xi= 5.0.

Solución: en el método de la regla falsa, usando la ecuación (4.4) y los criterios de

obtención de la raíz en el intervalo mediante el reemplazo de los valores correspondientes

en cada aproximación, se generan las siguientes iteraciones:

Iteración

xl

xu

xr

1 0.5 5.0 1.8546

2 0.5 1.8546 1.2163 3 0.5 1.2163 1.0585

Como se puede ver (Figs. 5.8a y c), las aproximaciones convergen a la raíz real = 1.


En el método de la secante usando la ecuación (5.7) y el criterio secuencial para

reemplazar las aproximaciones se obtiene:

Iteración

xI-1 xi xI+1

1 0.5 5.0 1.8546

2 5.0 1.8546 -0.10438

Como se muestra en la figura 5.8d, el comportamiento del método es divergente.

Aunque el método de la secante sea divergente en algunos casos, cuando converge lo

hace más rápido que el método de la regla falsa. Por ejemplo, en la figura 5.9, que se

basa en los ejemplos 4.3, 4.6, 5.3 y 5.6, se muestra la superioridad del método de la

secante. La inferioridad del método de la regla falsa se debe a que un extremo permanece

fijo y de esta manera mantiene a la raíz dentro del intervalo. Esta propiedad, que es una

ventaja porque previene la divergencia, es una desventaja en relación a la velocidad de

convergencia; esto hace que la aproximación con diferencias divididas sea menos exacta

que la derivada.

FIGURA 5.8

Comparación entre los

métodos de la regla

falsa y de lo secante.

Las primeras

iteraciones a) y b) de

ambos métodos son

idénticas. Sin

embargo, en las

segundas c) y d), los

puntos usados son

diferentes. En

consecuencia, el

método de la secante

puede divergir, como

lo muestra d).


5.3.2 Programo para el método de la secante

Como con los otros métodos abiertos, se obtiene un programa del método de la secante

simplemente modificando la línea 110, de tal forma que se puedan introducir dos valores

iniciales y sustituyendo la ecuación (5.7) en la línea 130 de la figura 5.4.

Además, las opciones sugeridas en la sección 5.2.3 para el método de Newton-Raphson

se pueden aplicar al programa de la secante para obtener tales ventajas,

5.4 RAÍCES MÚLTIPLES

Una raíz múltiple corresponde a un punto donde una función es tangencial al eje x. Por

ejemplo, dos raíces repetidas resultan de:

)1)(1)(3()( −−−= xxxxf [5.8]

o, multiplicando términos,

FIGURA 5.9 Comparación de los

errores relativos porcentuales εv

para cada uno de los métodos en la

determinación de las raíces de f(x) =

e-x — x.


375)( 23 −+−= xxxxf [5.9]

La ecuación tiene una raíz doble porque un valor de x anula dos términos de la ecuación

(5.8). Gráficamente, esto significa que la curva toca tangencialmente al eje x en la raíz

doble. Véase la figura 5.10a en x = 1. Nótese que la función toca al eje pero no lo cruza

en la raíz.

Una raíz triple corresponde al caso en que un valor de x se

anula en tres términos de la ecuación, como en:

)1)(1)(1)(3()( −−−−= xxxxxf

o, multiplicando,

310126)( 234 +−+−= xxxxxf

Nótese que el esquema gráfico (Fig. 5. 10b) indica otra vez que

la función es tangencial al eje en la raíz pero que en este caso

sí cruza el eje. En general, la multiplicidad impar de raíces cruza

el eje, mientras que la multiplicidad par no lo cruza. Por

ejemplo, la raíz cuarta en la figura 5.10c no cruza el eje.

Las raíces múltiples ofrecen ciertas dificultades a los métodos

numéricos expuestos en la parte II:

1. El hecho de que la función no cambia de signo en una raíz de

multiplicidad par impide el uso de los métodos confiables que

usan intervalos, discutidos en el capítulo 4. De esta manera, de

los métodos incluidos en este texto, los abiertos tienen la

limitación de que pueden divergir.

2. Otro posible problema se relaciona con el hecho de que no

sólo f(x) se aproxima a cero. Estos problemas afectan a los

métodos de Newton-Raphson y al de la secante, los que

contienen derivadas (o aproximaciones a ella) en el denominador

de sus respectivas fórmulas. Esto provocaría una división entre

cero cuando la solución se acerque a la raíz. Una forma simple

de evitar estos problemas, que se ha demostrado teóricamente

(Raltson y Rabinowitz, 1978), se basa en el hecho de que f(x).

Por lo tanto, si se verifica f(x) contra cero, dentro del programa,

entonces los cálculos se pueden terminar antes de que f(x)

llegue a cero.

FIGURA 5.10 Ejemplos

de raíces múltiples

tangentes al eje X.

Nótese que la función

no cruza el eje en casos

de multiplicidad par a) y

c), mientras que para

multiplicidad impar sí lo

hace b).


3. Se puede demostrar que el método de Newton-Raphson y el de la secante convergen

en forma lineal, en vez de manera cuadrática, cuando hay raíces múltiples (Raltson y

Rabinowitz, 1978). Se han propuesto algunas modificaciones para aliviar este problema.

Ralston y Rabinowitz (1978) proponen que se haga un pequeño cambio en la formulación

para que retorne su convergencia cuadrática, como:

)('

)(11

i

i

ixf

xfmxx −=+

En donde m es la multiplicidad de la raíz (esto es, m = 2 para una raíz doble, m = 3 para

una raíz triple, etc.). De hecho, puede resultar insatisfactorio porque presupone el

conocimiento de la multiplicidad de las raíces.

Otra alternativa, también sugerida por Ralston y Rabinowitz (1978), es la de definir una

nueva función u(x), que es el cociente de la función y su derivada, esto es:

)('

)()( 1

i

i

xu

xuxxu −= [5.10]

Se puede demostrar que esta función tiene raíces en las mismas posiciones que la

función original. Por lo tanto, la ecuación (5.10) se puede sustituir en la ecuación (5.6) y

de esta forma desarrollar una forma alternativa del método de Newton-Raphson:

)('

)(1

i

i

iixu

xuxx −=+ [5.11]

Se puede derivar la ecuación (5.10), obteniendo:

[ ]2)(')('')()(')('

)('xf

xfxfxfxfxu

−= [5.12]

Se pueden sustituir las ecuaciones (5.10) y (5.12) en la ecuación (5.11) para obtener:

)('')(2)]('[

)(')(1

iii

ii

iixfxfxf

xfxfxx

−−=+ [5.13]


EJEMPLO 5.8

Método de Newton-Raphson modificado para el cálculo de raíces múltiples.

Enunciado del problema; úsense los dos métodos, el estándar y el modificado de Newton-

Raphson para evaluar la raíz múltiple de la ecuación (5.9), con un valor inicial de XQ= 0.

Solución: la primera derivada de la ecuación (5.9) es f’(x) == 3x2 — 10x + 7, y por lo tanto,

el método de Newton-Raphson para este problema [Ec. (5.6)] es:

7103

3752

23

1+−

−+−−=+

ii

iii

iixx

xxxxx

Que se puede resolver iterativamente para obtener:

i xi |εv|%

0 0 100.0

1 0.428571429 57.0

2 0.685714286 31.0

3 0.832865400 17.0

4 0.913328983 8.7

5 0.955783296 4.4

6 0.977655101 2.2

Como ya se había anticipado, el método converge linealmente hasta el valor verdadero de

1.0. Para el caso del método modificado, la segunda derivada es f’’(x) = 60x - 10, y la

relación iterativa es [Ec. (5.13)]:

)106)(375()7103(

)7103)(375(2322

223

1−−+−−+−

+−−+−=+

iiiiii

iiiii

iixxxxxx

xxxxxxx

Que se puede resolver para obtener:

I xi |εv|%

0 0 100.00000

1 1.105263158 11.00000

2 1.003081664 0.31000

3 1.000002382 0.00024


De esta forma, el método modificado converge cuadráticamente. Se pueden usar ambos

métodos para buscar la raíz simple en x = 3. Usando un valor inicial de x0= 4 se obtienen

los siguientes resultados:

i Estándar Ev Modificado |Ev|

0 4 (33%) 4 (33%)

1 3.4 (13%) 2.636363637 (12%)

2 3.1 (3.3) 2.820224720 (6.0%)

3 3.008695652 (0.29%) 2.961728211 (1.3%)

4 3.000074641 (2.5x10-3%) 2.998478719 (0.051%)

5 3.000000006 (2+10-7%) 2.999997682 (7.7 x 10-5%)

De esta forma, ambos métodos convergen rápidamente, siendo el método estándar más

eficiente.

El ejemplo anterior ilustra los factores de mayor importancia involucrados al escoger e!

método de Newton modificado. Aunque es preferible en raíces múltiples, algunas veces

es menos eficiente y requiere más esfuerzo computacional que e! método estándar para

el caso de raíces simples. Se debe notar que se puede desarrollar una versión modificada

del método de la secante para raíces múltiples sustituyendo la ecuación (5.10 en la

ecuación (5,7). La fórmula resultante es (Ralston y Rabinowitz, 1978):

)()(

))((

1

1

1

ii

iii

iixuxu

xxxuxx

−

−−=

−

−+

PROBLEMAS

Cálculos a mano

5.1 Úsese el método de Newton-Raphson para determinar la raíz mayor de:

f(x) = -0.875x2 + 1.75x + 2.625.

Empléese un valor inicial de x¡ = 3.1. Realícese los cálculos hasta que εa sea menor del

εs= 0.01%, También verifíquense los errores en la respuesta final.

5.2 Determínense las rafees reales de:

f(x) = -2.1 + 6.21x - 3.9x2 + 0.667x3


a) Gráficamente

b) Usando el método de Newton-Raphson hasta qLie.c, = 0.01%.

5.3 Empléese el método de Newton-Raphson para determinar las raíces reales de f(x)=-

23.33 + 79.35x - 88,09x2 + 41.6x3 - 8,68x4 + 0.658x5

Usando el valor inicial de a) x,= 3,5; b) x= 4.0 y c) x,= 4,5, Pruébense y úsense los

métodos gráficos para explicar cualquier peculiaridad en los resultados.

5.4 Determínese la raíz real menor de:

f(x) = 9.36 - 21.963x + 16.2965x2 - 3.70377x:f

a) Gráficamente

b) Usando el método de la secante, hasta un valor de εs correspondiente a tres cifras

significativas.

5.5 Localícese la raíz positiva de:

f(x) = 0.5x - sen x

Donde x está dada en radianes. Úsese un método gráfico y después calcúlese tres

iteraciones con el método de Newton-Raphson con un valor inicial de xI=2.0 para calcular

la raíz. Repítanse los cálculos pero con un valor inicial de xi= 1.0. Úsese el método gráfico

para explicar los resultados,

5.6 Encuéntrese la raíz real positiva de:

f(x) = x4 - 8.6x3 - 35.5lx2 + 464x - 998.46

Usando el método de la secante. Empléense los valores iniciales de xi-1 = 7 y xi 9 y

calcúlense cuatro iteraciones

Calcúlese e εa e interprétense los resultados.

5.7 Realícense los mismos cálculos del problema 5.6 pero usando el método de Newton-

Raphson, con un valor inicial de xi= 7.

5.8 Encuéntrese la raíz cuadrada positiva de 10 usando tres iteraciones con:

a) El método de Newton-Raphson, con un valor inicial de xi=3


b) El método de la secante, con valores iniciales de xi-1= 3 y xi=3.2.


2

6.01)(

xxf

−=

Usando tres iteraciones y el método de la secante con valores iniciales xi-1 - 1.5 y xi= 2.0.

Calcúlese el error aproximado ^ después de la segunda y la tercera iteración.


f(x) = X3 – 100

Con el método de la secante, con εs,= 0.1%,

5.11 Determínese la raíz real mayor de:

x3 - 6x2 + 11x- 6

a) Gráficamente

b) Usando el método de bisección (dos iteraciones, xl= 2.5 y xu= 3.6).

c) Usando el método de la regla falsa (dos iteraciones, xl= 2.5 y xu= 3.6)

d) Usando el método de Newton-Raphson (dos iteraciones, xi= 3.6).

e) Usando el método de la secante (dos iteraciones, xi-1 = 2.5 y xi = 3.6).

5.12 Úsese el método de Newton-Raphson para determinar todas las raíces de:

f(x) = x2+5.78 x - 11.4504 con εS = 0.001%.

5.13 Determínese la raíz real más pequeña de:

f(x) = 9.36 - 21.963x + 16,296 5x2 - 3.70377x3

a) Gráficamente

b) Usando el método de bisección (dos iteraciones, xl= 0.5 y xu= 1.1).

c) Usando el método de la regla falsa (dos iteraciones, xl= 0.5 y xu= 1.1).

d) Usando el método de Newton-Raphson (dos iteraciones, xl= 0.5).

e) Usando el método de la secante (dos iteraciones, xi-1= 0.5 y xi= 1.1).

5.14 Determínese la raíz positiva rea! más pequeña de:

/(x) = 4x4- 24.8x3 + 57.04x2 - 56.76x + 20.57


a) Gráficamente

b) Usando el método disponible más eficiente. Empléense los valores iniciales de xl = xi-1

= 0.5 y xu = xi = 1.5 y realícense los cálculos hasta que εs = 15%

5.15 Determínense [as raíces de

f(x) = x3 - 3.2x2 - 1.92x + 9.216

a) Gráficamente

b) Usando el método disponible más eficiente con s,= 0.1%

5.16 Repítase el problema 4.12, pero usando el método de Newton-Raphson,

5.17 Repítase el problema 4.12, pero usando el método de la secante-Problemas

relacionados con la computadora

5.18 Desarróllese un programa para el método de Newton-Raphson basado en la figura

5.4 y en la sección 5.2.3. Pruébese el programa duplicando los cálculos del ejemplo 5.3

5.19 Úsese el programa desarrollado en el problema 5.18 y duplíquense los cálculos del

ejemplo 5.5, Determínese la raíz usando un valor inicial de x,= 0.5. Realícense 5, 10, 15 o

más iteraciones hasta que el error relativo porcentual exacto sea menor del 0.1%.

Grafíquense los errores relativos porcentuales exacto y aproximado contra el número de

iteraciones sobre pape! semilogarítmico, Interprétense ¡os resultados.

5.20 Úsese el programa desarrollado en el problema 5,18 para resolver los problemas 5-1

al 5-5. En todos los casos, realícense los cálculos dentro de la tolerancia de t,= 0.001%.

5.21 Desarróllese un programa para el método de la secante basado en la figura 5,4 y en

la sección 5.3.2. Pruébese el programa duplicando los cálculos del ejemplo 5.6.

5.22 Úsese el programa desarrollado en e! problema 5,21 para resolver los problemas

5.6, 5.9 y 5.10. En todos los casos, realícense los cálculos dentro de la tolerancia de εS =

0.001%.


CAPÍTULO SEIS

CASOS DE LA PARTE DOS:

RAÍCES

DE

ECUACIONES


La finalidad de este capítulo es la de usar los procedimientos numéricos analizados en los

capítulos 4 y 5 para resolver problemas reales de ingeniería. Los métodos numéricos son

importantes en la práctica ya que frecuentemente los ingenieros encuentran problemas

que no se pueden plantear desde un punto de vista analítico. Por ejemplo, algunos

modelos matemáticos que se pueden resolver analíticamente no son aplicables en los

problemas prácticos. Debido a esto, se deben usar modelos más complicados. En estos

casos, es conveniente implementar un método numérico que se pueda usar en una

microcomputadora. En otros casos, los problemas requerirán soluciones explícitas en

ecuaciones muy complicadas (recuérdese la sección 11.1.2 y el ejemplo 4.5).

Los siguientes casos de estudio son una muestra de aquellos que en forma rutinaria se

encuentran durante los estudios superiores o de licenciatura. Más aún, son problemas

representativos de aquéllos que se encontrarán en la vida profesional. Los problemas van

desde la ingeniería económica en general, hasta las especialidades de la misma: química,

civil, eléctrica y mecánica. Estos casos de estudio ilustran algunos de los factores de más

importancia entre las técnicas numéricas.

Por ejemplo, el coso 6.1 hace uso de todos los métodos, con excepción del método de

Newton-Raphson para analizar puntos de equilibrio que resulten económicos. El método

de Newton-Raphson no se usó porque la función en análisis es difícil de derivar. Entre

otras cosas, en el ejemplo se demuestra como puede divergir el método de la secante, si

el valor inicial no se encuentra lo suficientemente cerca de la raíz.

El caso 6.2 tomado de la ingeniería química, muestra un ejemplo excelente de cómo se

pueden aplicar los métodos para la búsqueda de raíces de fórmulas que se presentan en

la práctica de la ingeniería. Además, este ejemplo demuestra la eficiencia del método de

Newton-Raphson cuando se requiere un gran número de cálculos en la localización de la

raíz:

Los casos 6.3, 6.4 y 6.5 son problemas de ingeniería de diseño, tomados del área de civil,

eléctrica y mecánica. El caso 6.3 aplica tres métodos diferentes para determinar las raíces

de un modelo de crecimiento demográfico. En el caso 6-4, se realiza un análisis

semejante de un circuito eléctrico. Finalmente, el coso 6.5 analiza las vibraciones de un

automóvil. Además de analizar la eficiencia de cada uno de los métodos, este ejemplo

tiene una característica adicional, que es la de ilustrar cómo los métodos gráficos sirven

de ayuda en el proceso de localización de raíces.

CASO 6.1 ANÁLISIS DE PUNTO DE EQUILIBRIO (INGENIERÍA EN GENERAL)

Antecedentes: en la práctica de la ingeniería óptima se requiere que los proyectos,

productos y la planificación de los mismos sean enfocados de tal manera que resulten


económicos. Por lo tanto, a un ingeniero con experiencia deben serle familiares los

análisis de costos- El problema que se trata en esta sección se conoce como "problema

de puntos de equilibrio". Se usa para determinar el punto en el cual dos alternativas tienen

valores equivalentes. Estos problemas se encuentran en todos los campos de la

ingeniería. Aunque el problema se enfoca en términos personales, se puede tomar como

prototipo de otros problemas de análisis de puntos de equilibrio, que se encuentran a

menudo en la vida profesional.

Se está considerando la compra de una o dos microcomputadoras:

La "Micro-uno" y la "Micro-dos". En el cuadro 6.1 se encuentran resumidas algunas

características, los costos aproximados y los beneficios de cada una de ellas. Si se puede

pedir un préstamo con un interés del 20% (i = 0.20), ¿cuanto tiempo se deberá poseer las

máquinas, de manera que tengan un valor equivalente? En otras palabras, ¿cuál es el

punto de equilibrio medido en años?

Solución: como es común en problemas de economía, se tiene una mezcla de costos

presentes y futuros. Por ejemplo, en la figura 6.1 se muestra que la compra de la Micro-

uno involucra un gasto inicial de $3 000. Además de este desembolso, también se

requiere dinero para el mantenimiento anual de la máquina- Debido a que estos costos

tienden a aumentar a medida que la máquina se usa más y más, se supone que los

costos de mantenimiento crecen linealmente con el tiempo. Por ejemplo, alrededor del

décimo año se requieren $2 000 anuales para mantener la máquina en condiciones de

trabajo (Fig. 6.1). Finalmente y además de estos costos se deben deducir beneficios del

propietario de la computadora. Las ganancias y las prestaciones derivadas de la Micro-

uno se caracterizan por un ingreso anual constante de $1 000.

CUADR06.1

Costos y beneficios de dos microcomputadoras. Los signos negativos indican un costo o

una pérdida mientras que un signo positivo indica una ganancia

COMPUTADORA

Micro-Uno Micro-Dos Costo de la compra, $ -3000 -10000 Incremento en el mantenimiento del costo por año,

$/año/año -200 -50

Ganancias y beneficios anuales $/año 1000 4000

Para valorar las dos opciones estos costos se deben convertir en medidas comparables.

Una manera de hacerlo es expresando todos los costos individuales como si fuesen

pagos anuales, esto es, el costo equivalente por año sobre toda la vida útil de la

computadora. Las ganancias y las prestaciones ya se encuentran en este formato. Se


puede disponer de las fórmulas de economía para expresar los costos de compra y de

mantenimiento de la misma forma. Por ejemplo, el costo de la compra inicial se puede

transformar en una serie de pagos anuales mediante la fórmula (Fig. 6.2a):

1)(

)1(

−+

+=

n

n

pii

iiPA [6.1]

En donde Ap es el monto del pago anual, P es el costo de la compra, í es la tasa de

interés y n es el número de años. Por ejemplo, el pago inicial de la Micro-uno es de $—3

000, en donde el signo negativo indica pérdidas. Si 1a tasa de interés es del 20% (i = 0.2),

entonces:

( )12.1

2.12.03000

−−=

n

n

Ap

Por ejemplo, si los pagos iniciales se extienden hasta 10 años (n = 10), se puede usar

esta fórmula para calcular que el pago anual equivalente sería de $—715-57 por año-

A los costos de mantenimiento se les conoce como serie de gradiente aritmético porque

crecen a un promedio constante. La conversión de estas series a una tasa anual A se

puede calcular con la fórmula:

−+−=

1)1(

1ni

n

iGAm [6.2]

En donde G es la tasa de crecimiento en el mantenimiento. Como se puede ver en la

FIGURA 6.2 Esquema

gráfico del uso de una

fórmula de economía, a)

Transformación de un

pago en una serie de

pagos anuales

equivalentes usando la

ecuación (6.1) y b)

transformación de una

serie de gradiente

aritmético en una serie

de pagos anuales

equivalentes usando la

ecuación (6.2).


figura 6.2b esta fórmula transforma el costo de mantenimiento creciente en una serie

equivalente de pagos anuales constantes.

Estas ecuaciones se pueden combinar de forma tal que se pueda expresar el valor de

cada computadora en términos de una serie uniforme de pagos Por ejemplo, para la

Micro-uno:

100012.12.0

1200

12.1

)2.1(2.03000 +

−

−−−

−=nn

n

v

nA

Valor total = - costo de compra - costo de mantenimiento + ganancias

En donde A, denota el valor anual Iota!. Agrupando términos, esta ecuación se puede

simplificar:

12.1

200

12.1

)2.1(600

−+

−

−=

nn

nn

Av [6.3]

Si después de poseer la Micro-uno durante dos años se decide descartarla, entonces

sustituyendo n = 2 en la ecuación (6.3) resultará que el costo es de $1 055 por año- Si la

computadora se descarta después de poseerla 10 años (n = 10), la ecuación muestra un

costo de $330 por año.

De manera similar, para la Micro-dos se puede desarrollar una ecuación para el costo

anual, dado por:

12.1

200

12.1

)2.1(2000

−+

−

−=

nn

n

v

nA [6.4]

Los valores de la ecuación (6.4) para n = 2 y n = 10 son de $—2 568 y $+ 1 461 por año,

respectivamente. De esta manera, aunque la Micro-dos es más costosa en base a

periodos cortos, si se posee por periodos largos, no sólo es más barata, sino que

producirá ganancias al propietario. En la figura 6,3a se muestran las ecuaciones f6.3) y

(6.4) para varios valores de n.

La identificación del punto en et que las dos máquinas tienen valores iguales indica

cuando la Micro-dos viene a ser la mejor compra. Gráficamente, esto corresponde a la

intersección de las dos curvas en la figura 6.3a. Desde un punto de vista matemático, el

punto de equilibrio es el valor de n para el que las ecuaciones (6.3) y (6.4) son

equivalentes, esto es:


375012.1

50

12.1

)2.1(2000

12.1

200

12.1

)2.1(600+

−+

−

−=

−+

−

−nn

n

n

n

n

nn

Pasando todos los términos de un lado, el problema se reduce a encontrar la raíz de la

función:

0375012.1

150

12.1

)2.1(1400)( =+

−−

−

−=

nn

nnnf [6.5]

Nótese que debido a la forma en que se ha derivado la ecuación, la Micro-uno es más

efectiva en cuanto a costos cuando f(n) < 0 y la Micro-dos lo es cuando f(n) > O (Fig.

6.3b). Las raíces de la ecuación (6.5) no se pueden determinar analíticamente. Por el otro

lado, los pagos anuales equivalentes son fáciles de calcular dada una n. De esta forma,

como en el estudio de la sección II.1.2 y el ejemplo 4.5, los aspectos considerados en la

elaboración de este problema crean la necesidad de un planteamiento numérico.

Las raíces de la ecuación (6.5) se pueden calcular usando algunos de los métodos

numéricos descritos en los capítulos 4 y 5. Se pueden aplicar los métodos que usan

intervalos y el método de

la secante con un

esfuerzo mínimo,

mientras que el método

de Newton-Raphson es

embarazoso ya que

consume mucho tiempo al

determinar df/dn de la

ecuación (6.5).

En base a la figura 6.3, se

sabe que la raíz se

encuentra entre n = 2 y n

= 10. Estos valores se

FIGURA 6.3 a) Curvas de!

costo neto de las

computadoras Micro-uno

[Ec. (6.3)] y Micro-dos [Ec.

(6.4)]. b) La función de punto

de equilibrio [Ec. (6-5)]. •


pueden usar en el método de bisección. La bisección de intervalos se puede llevar a cabo

18 veces para obtener un resultado en donde εa sea menor de 0.001%. El punto de

equilibrio ocurre a los n = 3.23 años. Este resultado se puede verificar sustituyéndolo en la

ecuación (6.5) para ver que / (3.23) = 0.

Sustituyendo n = 3.23 ya sea en la ecuación (6.3) o en la (6.4) se muestra que en el punto

de equilibrio el costo de cualquiera de ellas es de $542 por año. Más allá de este punto, la

Micro-dos es más efectiva en cuanto a costos. Por consiguiente, si se piensa comprar una

máquina y poseerla por más de 3.23 años, la Micro-dos es la mejor compra.

El método de la regla falsa se puede aplicar fácilmente a este problema. Se obtiene una

raíz similar después de 12 iteraciones en el mismo intervalo inicial de 2 a 10. Por otro

lado, el método de la secante converge a una raíz de -24.83 con e¡ mismo intervalo inicia!.

Sin embargo, si el intervalo se reduce desde 3 hasta 4, entonces el método de la secante

converge a 3.23 en sólo cinco iteraciones. Es interesante notar que el método de la

secante también converge en forma rápida si el intervalo inicial es de 2 a 3, el cual no

encierra a la raíz. Estos resultados son típicos de los factores de importancia que se

deben tomar en consideración y que se estudian posteriormente en el epílogo. Entonces

e! mejor método numérico para este problema depende del juicio emitido respecto a los

factores de importancia, tales como eficiencia numérica, costo de las computadoras y la

confiabilidad del método.

CASO 6.2 LEYES DE LOS GASES IDEALES Y NO IDEALES (INGENIERÍA QUÍMICA)

Antecedentes: la ley de los gases ideales está dada por:

pV = nRT [6.6]

En donde p es la presión absoluta, V es el volumen y n es el número de moles. R es la

constante universal de los gases y T es la temperatura absoluta. Aunque esta ecuación la

usan ampliamente los ingenieros y científicos, sólo es exacta sobre un rango limitado de

presión y temperatura. Más aún, la ecuación (6.6) es más apropiada para algunos gases

que para otros.

Una ecuación alternativa del estado de los gases está dada por:

RTbvv

ap =−

+ )(

2

A la que se le conoce con el nombre de ecuación de Van der Waals. u = V/n es el


volumen molal y a y b son constantes empíricas que dependen de un gas en particular.

Un proyecto de ingeniería química requiere que se calcule exactamente el volumen molal

(u) del bióxido de carbono y del oxígeno para combinaciones diferentes de la temperatura

y de la presión, de tal forma que se pueda seleccionar una vasija apropiada que los

contenga. Asimismo, es importante examinar que tan bien se apega cada gas a la ley de

los gases ideales, comparando los volúmenes molales calculados con las ecuaciones

(6.6) y (6.7). Se proporcionan los siguientes datos:

R = 0.0820541 • atm/(mol •K)

a = 3.592 bioxido

b = 0.04267 bióxido

a = 1.360 oxigeno

b = 0.03183 oxigeno

Las presiones de interés en el diseño son de 1, 10 y 100 atm. Para combinaciones

de la temperatura de 300, 500 y 700°K.

Solución: los volúmenes molares de ambos gases se calculan con la ley de los

gases ideales, con n = 1. Por ejemplo, si p = 1 atm y T = 300°K, entonces:

Estos cálculos se repiten para todas las combinaciones de presión y temperatura y se

presentan en el cuadro 6.2. Los cálculos del volumen molar a partir de la ecuación de

Van der Waals se pueden llevar a cabo usando cualquier método numérico que encuentre

raíces de los estudiados en los capítulos 4 y 5, de la siguiente manera:

CUADRO 6.2 Cálculos del volumen molar del caso de estudio 6.2 Temperatura K Presión amt Volumen Molal (de

los gases ideales

l/mol)

Volumen Molal

(Van der Waals)

bióxido de carbono

l/mol

Volumen Molal

(Van der Waals)

Oxigeno l/mol)

300 1 24.6162 24.5126 24.5928

10 2.4616 2.3545 2.4384

100 .2462 0.1795 0.2264

500 1 41.0270 40.9821 41.0259

10 4.1027 4.0578 4.1016

100 .4103 0.3663 0.4116

700 1 57.43778 57.4179 57.4460

10 5.7438 5.7242 5.7521

100 0.5744 0.5575 0.5852


En este caso, la derivada de f(u) se determina fácilmente y es conveniente implementar el

uso del método de Newton-Raphson. La derivada de f respecto a u está dada por:

32

2)('

u

ab

u

apuyf +−=

El método de Newton-Raphson se describe mediante la ecuación (5.6) como:

)('

)(

1

1

1vf

vfvv ii −=+

La cual se puede usar en el cálculo de ¡a raíz. Por ejemplo, usando el valor inicial de

24.616 2, el volumen mola! del bióxido de carbono a 300 °K y a 1 atm se calcula como

24.512 6 1/mot. Este resultado se obtuvo después de dos iteraciones y con un εa menor

de 0.001 %.

En el cuadro 6.2 se muestran resultados similares para todas las combinaciones de

presión y de temperatura para ambos gases. Se observa que los resultados obtenidos con

la ecuación de van der Waals difieren en ambos gases de los de la ley de los gases

ideales, de acuerdo a los valores específicos de p y de T. Más aún, ya que algunos de

estos resultados son significativamente diferentes, el diseño de las vasijas que contendrán

a los gases sería muy diferente, dependiendo de qué ecuación de estado se haya usado.

En este caso, al usar el método de Newton-Raphson se examinó una ecuación del estado

gaseoso complicada. Los resultados variaron significativamente en varios casos usando la

ley de los gases ideales. Desde un punto de vista práctico, el método de Newton-Raphson

fue apropiado en este caso ya que/' (u) fue fácil de calcular. De esta manera, se pueden

explotar ¡as propiedades de rápida convergencia del método de Newton-Raphson.

Además de demostrar su potencia en un simple cálculo, el método de Newton-Raphson

ilustra en este caso de estudio lo atractivo que es cuando se requiere una gran cantidad

de cálculos. Debido a la velocidad de las microcomputadoras, la eficiencia de cada uno de

los métodos en la solución de la mayor parte de raíces de ecuaciones se vuelve

indistinguible en un cálculo simple. Aun ¡a diferencia cié decenas entre el método eficiente

de Newton-Raphson y el método poco refinado de bisección no significa una gran pérdida

de tiempo cuando se realiza un solo cálculo. Sin embargo, supóngase que se desea

calcular una raíz millones de veces para resolver un problema. En este caso, la eficiencia

del método puede ser un factor decisivo al escogerlo.


Por ejemplo, supóngase que es necesario diseñar un sistema de control automático

computarizado de un proceso de producción de sustancias químicas- Este sistema

requiere una aproximación exacta de volúmenes molales con base a un medio

esencialmente continuo para fabricar convenientemente el producto final. Se instalan

calibradores que proporcionan lecturas instantáneas de la presión y la temperatura. Se

deben obtener evaluaciones de u para toda la variedad de gases que se usan en el

proceso.

Para estas aplicaciones, los métodos que usan intervalos, tales como el de bisección o de

la regla falsa, posiblemente consuman mucho tiempo. Además, los valores iniciales que

se requieren con estos métodos generarían un retraso en el procedimiento. Este

inconveniente igualmente afecta al método de la secante, que también necesita dos

valores iniciales.

En contraste, el método de Newton-Raphson requiere únicamente un valor inicial de la

raíz. Se puede usar la ley de los gases ideales para obtener este valor al inicio del

proceso. Después, suponiendo que el tiempo empleado sea lo bastante corto como para

que la presión y la temperatura no varíen mucho durante los cálculos, la solución de la

raíz anterior se puede usar como valor inicial de la siguiente. De esta forma, se tendría

disponible de forma automática un valor aproximado cercano a la solución, requisito

indispensable en la convergencia del método de Newton-Raphson. Todas estas

consideraciones favorecerán de manera considerable al método de Newton-Raphson en

estos problemas.

CASO 6.3 DINÁMICA DEL CRECIMIENTO DEMOGRÁFICO (INGENIERÍA CIVIL)

Antecedentes: la dinámica del crecimiento demográfico es de importancia en todos los

planes de estudio de ingeniería. Los programas de construcción y de distribución de

recursos en proyectos a gran escala, tales como el abastecimiento de agua y sistemas de

transporte dependen en gran medida de las tendencias de la población. Además, las

tendencias de otro tipo de poblaciones, tales como los microbios, son importantes en

muchos procedimientos de ingeniería, como en el tratamiento de basura, en el manejo de

la fermentación y en la elaboración de productos farmacéuticos.

Los modelos de crecimiento en un grupo de microbios suponen que el promedio de

cambio de la población (p) es proporcional a la población existente en un tiempo (t):

kpdt

dp=


La población crece en un medio en el que existe alimento suficiente de manera que k no

es una función de la concentración- (Véase el caso 12.2 que muestra un ejemplo en

donde k depende del nivel alimenticio.) Cuando el alimento no escasea, el crecimiento se

limita sólo por el consumo de productos tóxicos o de espacio, si es que el tamaño de la

población crece demasiado. Con el tiempo, estos factores retardan la tasa de crecimiento

de la población y la detienen completamente cuando ésta alcanza una densidad máxima

de pmax. En este caso, se modifica la ecuación anterior de la siguiente manera:

)( max ppkpdt

dp−=

En donde las unidades de K son litros por célula por día. Esta ecuación diferencial se

puede integrar de forma analítica dando:

KpAXePo

P

Ptp

−

−+

=

11

)(max

max [6.9]

En donde p(t = 0) = Po- A la ecuación (6.9) se te conoce como e! modelo de crecimiento

logístico. Como se muestra en la figura 6.4, este modelo genera una curva de p(t) en

forma de S. Como se puede ver, el modelo simula un crecimiento inicial lento, seguido por

un periodo de crecimiento rápido y finalmente, un crecimiento limitado a una densidad

demográfica muy alta.

Como ejemplo de

aplicación de este

modelo en el área

de la ingeniería civil,

considérese el crecimiento de una población bacteriológica en un lago. E! crecimiento se

comporta como lo define la ecuación (6.9). La población es pequeña en la primavera del

FIGURA 6.4 Un modelo

logístico de crecimiento

demográfico. El modelo

simula un crecimiento

inicial lento, después

una aceleración en él

mismo seguido por un

periodo de nivelación en

una densidad

poblacional alta.


año en donde t = O, p(t = 0) = 10 células por litro. Es sabido que la población alcanza una

densidad de 15 000 células por litro cuando t = 60 días y que la tasa de crecimiento K es

de 2 x 10 6 litros por célula por día. Se requiere calcular la densidad de la población

bacterial cuando t = 90 días. Si su número excede de 40 000 células por litro, entonces la

calidad estándar del agua requiere la implementación de algún procedimiento para

disminuirlas y proteger a las personas que se introduzcan al agua.

FIGURA 6.4 Un modelo logístico de crecimiento demográfico. El modelo simula un

crecimiento inicial lento, después una aceleración en él mismo seguido por un periodo de

nivelación en una densidad poblacional alta.

Solución: sustituyendo la información conocida en la ecuación (6.9) se obtiene:

)60)((102max

max

max6

110

1

15000P

eP

P

−+−

−+

[6.10]

La cual tiene sólo una incógnita, pmáx Si la ecuación (6.10) se pudiera resolver para pmáx,

entonces p(t = 90) se podría determinar fácilmente de la ecuación (6.9). Sin embargo, ya

que pmáx es implícita, no se puede obtener directamente de la ecuación (6.10). Por lo

tanto, se debe usar un método numérico de los capítulos 4 y 5. No se usará el método de

Newton-Raphson ya que la derivada de la ecuación (6.10) es difícil de determinar. Sin

embargo, se pueden aplicar fácilmente los métodos de bisección, de la regla falsa y de la

secante. Con un error relativo del 0.01% los valores iniciales dados de 60 000 y 70 000

células por litro generan las siguientes aproximaciones de pmáx

Método empleado Resultado Iteraciones

Bisección 63 198 11

Regla falsa 63 199 5

Secante 63 200 4

Nótese que los métodos de la regla falsa y de la secante convergen a la mitad de! número

de iteraciones de! método de bisección. Ahora, de la ecuación (6.9), con pmáx = 63 200:

58930

110

632001

63200)90(

)60)(63200(102 6

=

−+=

−+−e

p Células por litro.

Este nivel demográfico sobrepasa el límite estándar en cuanto a calidad del agua que es

de 40 000 células por litro y por lo tanto, se debe tomar alguna medida de corrección.


Este ejemplo, ilustra la eficiencia computacional relativa de tres métodos diferentes para

encontrar raíces de ecuaciones en un problema de diseño de ingeniería civil. Sin

embargo, como se menciona anteriormente, el esquema general tiene una aplicación

amplia en todos los campos de la ingeniería que tengan que ver con el crecimiento de

organismos, incluyendo a los humanos.

CASO 6.4 DISEÑO DE UN CIRCUITO ELÉCTRICO (INGENIERÍA ELÉCTRICA)

Antecedentes: los ingenieros electrónicos usan a menudo la ley de Kirchoff para estudiar

el comportamiento de los circuitos eléctricos en estado estacionario (que no varían con el

tiempo). En el caso 9.4 se analiza el comportamiento de estos estados estacionarios. Otro

tipo de problemas son los de corriente momentánea e implica a los circuitos donde

súbitamente suceden cambios temporales- Esta situación ocurre cuando se cierra el

interruptor de la figura 6.5. En este caso, después de cerrar el interruptor hay un periodo

de ajuste hasta que se alcanza un estado estacionario. La longitud de este periodo de

ajuste está relacionada con las propiedades de almacenamiento de carga del capacitor y

con el almacenamiento de energía dentro del inductor. El almacenamiento de energía

puede oscilar entre estos dos elementos durante un periodo transitorio. Sin embargo, la

resistencia en el circuito disipa la magnitud de las oscilaciones.

El flujo de corriente a través de la resistencia causa una caída de voltaje (VR) dado por:

VR = iR

En donde i es la comente y R es la resistencia del circuito. Cuando las unidades de R e í

son ohm y amperes, respectivamente, entonces la unidad de V es el volt.

De manera semejante, un inductor resiste el cambio en la corriente, de forma tal que la

caída de voltaje (VL) al cruzarlo es de:

dt

diLVL =

FIGURA 6.5 Un circuito eléctrico. Cuando

se cierra el interruptor, la corriente

experimenta una serie de oscilaciones

hasta que se alcance un nuevo estado

estacionario.


en donde L es la inductancia. Cuando las unidades de L e i son henrios y amperes, la

unidad de VL es el volt y la unidad de t es el segundo. La caída de voltaje a través del

capacitor (Ve) depende de la carga (q) sobre el mismo:

C

qVC =

En donde C es la capitancia. Cuando las unidades de carga se expresan en culembios, la

unidad de C es el faradio.

La segunda ley de Kirchoff indica que la suma algebraica de las caídas de voltaje en un

circuito cerrado es cero. Después de cerrar e! interruptor se tiene:

0=++C

qRi

dt

diL

Sin embargo, la corriente está dada en función de la carga como:

dt

dqi =

Por lo tanto:

02

2

=++C

q

dt

dqR

dt

qdL

Esta es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden que se puede resolver

usando los métodos de cálculo- La solución está dada por:

−= −2

2/

02

1cos)(

L

R

LCLeqtq Rt [6.11]

Donde t = O, q = qo =- VoC, y Vo es el voltaje en la batería. La

ecuación (6.11) describe la variación de la carga en el capacitor

en función del tiempo. La solución q(t) se gráfica en la figura 6.6.

Un problema de diseño típico en ingeniería eléctrica, puede

necesitar que se determine la resistencia apropiada para disipar

FIGURA 6.6

La cargo en un

capacitor en función del

tiempo que se presento

enseguida de cerrar e!

interruptor en lo figura

6.5.


energía a una velocidad constante, con los valores de L y C conocidos. En este caso se

supone que la carga se debe disipar al 1% de su valor origina! (q/qo = 0-01) en t == 0.05

s, con L = 5 H y C = 10-4F.

Solución: es necesario resolver para R la ecuación (6.11), usando los valores conocidos

de q, qo, L y C. Sin embargo, se debe emplear un método numérico ya que R es una

variable implícita de la ecuación (6.11). Se usará el método de bisección para este

propósito. Los otros métodos estudiados en tos capítulos 4 y 5 también son apropiados,

aunque el método de Newton-Raphson tiene desventajas debido a que la derivada de la

ecuación (6.11) es muy complicada. Reordenando la ecuación (6.11) se obtiene:

0

2

2/

2

1cos)(

q

q

L

R

LCLeRq Rt −

−= −

O, usando los valores numéricos dados:

01.0)05.001.02000cos(005.0)( 2 −−−= RReRf [6.12]

Examinando esta ecuación puede verse que un rango inicial razonable de R es de 0 a 400

Ω (ya que 2 000 — 0.01R2 debe ser mayor de cero). La figura 6.7, gráfica de la ecuación

(6.12), lo confirma. Con veintiún iteraciones

del método de bisección se obtiene R =

328.1515, con un error menor al 0.000 1%.

FIGURA 6.7 Gráfica de la ecuación (6.12) usada

en la obtención de valores iniciales de R que

encierren a la raíz.


De esta forma, se puede especificar una resistencia con este valor en el diagrama de la

figura 6.5 y esperar que la disipación sea consistente con los requisitos del problema.

Este problema de diseño no se puede resolver eficientemente sin usar los métodos de los

capítulos 4 y 5.

CASO 6.5 ANÁLISIS DE VIBRACIONES (INGENIERÍA MECÁNICA)

Antecedentes: las ecuaciones diferenciales se usan a menudo para modelar el

comportamiento de sistemas en ingeniería. Uno de tales modelos, que se aplica

ampliamente en !a mayor parte de los campos de la ingeniería, es el oscilador armónico.

Algunos ejemplos básicos del oscilador armónico son el péndulo simple, una masa atada

a un resorte y un circuito eléctrico inductor-capacitor (Fig. 6.8). Aunque estos son

sistemas físicos muy diferentes, sus oscilaciones se pueden describir mediante un mismo

modelo matemático. De esta manera, aunque este problema analiza el diseño de un

amortiguador para un automóvil, el comportamiento general se aplica a una gran variedad

de problemas en todos los campos de la ingeniería.

Como se ilustra en la figura 6.9, un conjunto de resortes sostienen un auto de masa m.

Los amortiguadores presentan una resistencia al movimiento del auto la cual es

proporcional a la velocidad vertical (movimiento ascendente-descendente) del mismo. La

alteración del equilibrio de! auto provoca que el sistema oscile como x(f). En un momento

cualquiera, las fuerzas que actúan sobre la masa m son la resistencia de los resortes y la

capacidad de absorber el golpe de los amortiguadores. La resistencia de los resortes es

proporcional a la constante de los mismos k) y a la distancia al punto de equilibrio (x):

Fuerza del resorte = - kx [6.13]

En donde el signo negativo indica que la fuerza de restauración regresa al auto a su

posición de equilibrio. La fuerza de amortiguación está dada por:

FIGURA 6.8

Ejemplos de tres

osciladores

armónicos. Las

flechas dobles

indican las

oscilaciones de

cada sistema.

FIGURA 6.9 Un auto de masa m


Fuerza de amortiguación = —cdx/xt

En donde c es un coeficiente de amortiguamiento y dx/dt es la velocidad vertical. El signo

negativo indica que la fuerza de amortiguación actúa en dirección opuesta a la velocidad.

Las ecuaciones de movimiento para el sistema están dadas por la segunda ley de Newton

(F = ma), que en este problema está expresada como:

0)(2

2

=−+−= kxdt

dxc

dt

xdm

Masa x aceleración = fuerza de amortiguación + fuerza del resorte

02

2

=++ xm

k

dt

dx

m

c

dt

xd

Esta es una ecuación diferencia! ordinaria de segundo orden que se puede resolver con

los métodos del cálculo. Por ejemplo, si e! auto encuentra por casualidad un hoyo en el

camino en t = 0 de tal forma que se desplaza del punto de equilibrio x = xO y dx/dt = 0,

entonces:

)sincos()( 0 ptp

nxptxetx o

nt += − [6.14]

Donde n = c/(2m), p = )4/(/ 22 mcmk − y k/m > c2/(4m2). La ecuación (6.14)

proporciona la velocidad vertical del auto en función del tiempo- Los valores de los

parámetros son c = 1.4 por 107 g/s, m = 1.2 por 106 g y k = 1.25 por 109 g/s2. Si x0 = 0,3,

las consideraciones de diseño en la ingeniería mecánica requieren que se den los

estimados en las tres primeras ocasiones que el auto pase a través del punto de

equilibrio.

Solución: este problema de diseño se puede resolver usando los métodos numéricos de

los capítulos 4 y 5. Se prefieren los métodos que usan intervalos y el de la secante ya que

la derivada de la ecuación (6.14) es complicada.

Las aproximaciones a los valores iniciales se obtienen fácilmente con base a la figura

6.10. Este caso de estudio ilustra cómo los métodos gráficos proporcionan a menudo

información muy importante para aplicar satisfactoriamente los métodos numéricos. La

gráfica ilustra que este problema es complicado debido a la existencia de varias raíces,


por lo que en este caso, se deben usar intervalos pequeños para evitar traslapes de

raíces.

En el cuadro 6.3 se enlistan los resultados obtenidos por los métodos de bisección, la

regla falsa y la secante, con un criterio de paro del 0.1%.

Todos los métodos convergen rápidamente. Como era de esperarse, los métodos de la

regla falsa y de la secante son más eficientes que el de bisección.

Nótese que para todos los métodos los errores relativos porcentuales aproximados son

mayores que los errores reales. De esta forma, los resultados son exactos al menos hasta

el criterio de paro, el 0.1 %. Sin embargo, puede observarse también que el método de la

regla falsa y el de la secante son muy conservadores en esta relación. Recuérdese el

análisis de la sección 4.3 en que el criterio de paro constituye esencialmente una

aproximación a la diferencia con la iteración anterior. De esta forma, para esquemas de

convergencia rápida como los métodos de la regla falsa y de la secante, la mejora en

exactitud entre dos iteraciones sucesivas es tan grande que fu será, en general, mucho

menor que εv. El significado práctico de este comportamiento es de poca importancia

cuando se va a determinar sólo una raíz. Sin embargo, si se requiere calcular varias

raíces, la convergencia rápida viene a ser una propiedad muy valiosa como para tomarla

en cuenta cuando se escoge un método en particular.

FIGLTRA 6.10 Gráfica de la

posición de un amortiguador

respecto al tiempo después que

la rueda del auto cae en un hoyo

del camino.


CUADRO 6.3 Resultados obtenidos al usar los métodos de bisección, regla falsa y de la secante para localizar

las primeras tres raíces de las vibraciones de un amortiguador. Se usó un criterio de paro del 0.1 para obtener

estos resultados. Nótese que los valores exactos de las rafees son 0.055 209 532 9, 0.154 178 13 y 0.253 146

726

ERROR RELATIVO

Valor inicial

Valor inicial

Aproximación Número de

PORCENTUAL

PORCENTUAL Método

inferior

superior

a la raíz

Iteraciones

Aproximado

Verdadero

Bisección 0.0 0.1 0.0552246 n 0.088 0.027

0.1 0.2 0.1541992 10 0.063 0.014 0.2 0.3 0.2533203 9 0.077 0.069 Regla 0.0 0.1 0.0552095 5 0.002 0.0001 farsa 0.1 0.2 0.1541790 4 0.069 0.0006 0.2 0.3 0.2531475 4 0.043 0.0003 Secante 0.0 0.1 0.0552095 5 0-038 0.0001 0.1 0.2 0.1541780 5 0.020 0,0001

0.2

0.3

0.2531465

5

0.017

0.0001

PROBLEMAS

Ingeniería en general

6.1 Usando Los programas propios, reprodúzcanse los cálculos realizados en el caso 6.1

6.2 Realícense los mismos cálculos del caso de estudio 6.1, pero usando una tasa de

interés del 17% (i = 0,17). Si es posible, úsense los programas propios para determinar

los puntos de equilibrio. De otra manera, úsese cualquiera de los métodos analizados en

los capítulos 4 y 5 y realícense los cálculos. Justifíquese el uso del método escogido.

6.3 En el caso 6.1, determínese el número de años que se debe poseer la Micro dos

para que genere ganancias. Esto es, calcúlese el valor de n en el cual A,, de la ecuación

(6.4) sea positivo.

METODOS NUMERICOS-CHAPRA

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