Metodos Numericos de Chapra

8/11/2019 Metodos Numericos de Chapra

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MÉTODOSNUMÉRICOSPARAINGENIEROS

C o n aplicaciones encomputadoras personalesSteven C. Chapra, Ph.D.Professor of CivilEngineeringTexas A&MUniversity

Raymond P . Canale, Ph.D.Professor of Ci.vil EngineeringThe University of MichiganTraducción:Carlos ZapataS.Ingeniero Electricista, UDLADiplomado en Ciencias de la Computación,Fundaci6n Arturo RosenbluethAlfredo Cortés AnayaLicenciadoenCienciasFísico-Matemiticas,UMSNHMaestro en Ciencias de la Computaci6n,IIMAS,UNAMRevisión técnica:Fernando Vera BadilloIngenieroCivil,Universidad La SalleJefe del Departamento de Matemlticas Aplicadas,Universidad La Salle

McGRAW-HILLMÉXICO BOGOTA BUENOS AIRES CARACAS GUATEMALA LISBO

NUEVAYORK PANAMA SAN JUAN SANTIAGOSÁ0 PAUL0AUCKLAND HAMBURG0 LONDRES MONTREAL

NUEVA ELHI PARíS SAN RANCISCO SINGAPURST.OUIS SIDNEY TOKIO TORONTO



METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROSCon aplicaciones en comp utadoras personales

Prohibida la reproducción total o parcia l de esta obra,por cualquier medlo, sin autorizactón escrita del editor

DERECHOS RESERVADOS (9 1987, respecto a a primera edición en español porLIBROSMcGRAW-HILL DE MCXICO. S. A. DE C. V.

Atlacomulco 499-501, Fracc. Industrial San Andrés Atoto53500 Naucalpan de Juárez, Edo. de MéxicoMiembro de la Cámara Nacional de la lndus trla Editorial, Reg. Núm. 465

ISBN 968-451-847-1

Traducido de la primera edlclon en Inglés deNumerical Methods fo r Engineers with Personal Compu ter Applications

Copyright @ MCMLXXXV, by McGraw-Hill, Inc., U.S. A

ISBN 0-07-010664-9

1234567890437Impresonexicounted InexicoEsta obra se term in ó deimpr imir en febrero de 1988en Talleres Gráficos Continental, S. R. de C. V.Calz. Tlalpan No. 4620col. Niño JesúsDelegación Tlalpan1408 Méxic o, D.F.Se tiraron 2 600 ejemplares



C O N T E N I D O

PREFACIO

PARTEI LOSMETODOS NUMERICOS Y LAS COMPUT ADORASPERSONALESI.1 Motivación1.2 Fundamentos atemáticos1.3 Orientación

Capítulo 1 Modelos matemáticosProblemas

Capítulo 2 La progr amació n en las computadoraspersonales

2.1 Antecedentes istóricos2.2 Desarrollo e rogramas2.3 Desarrollo de un programa para el problema del paracaidista2 . 4 Estrategias e rogramación

Problemas

Capítulo 3 Aproximaciones y errores3.1 Cifrasignificativas3.2 Exactitud y precisión3.3 Definiciones e rror3.4Erroresde edondeo3.5 Errores e runcamiento3.6 Error umérico otal3.7 Errores porequivocación, deplanteamiento

e ncertidumbre en los datosProblemas

xi

147

1 119

212224465256

63646667727795

9698



Vi CONTENIDO

EPILOG0 PARTE I1.4 Elementos euicio1.5 Relaciones órmulas mportantes1.6 Métodos avanzados yalgunas eferencias adicionales

PARTEII RAíCESDEECUACIONESI .1 Motivación11.2 Fundamentosmatemáticos11.3 Orientación

Capítulo 4 Métodos que usan intervalos4.1 Métodos ráficos4.2 Método e isección4.3 Método de a egla alsa4.4 Búsquedas on ncrementos determinando una

aproximación nicialProblemas

Capitulo 5 Métodos abiertos5.1 Iteración e unto ijo5.2 Método eNewton-Raphson5.3 Método de la secante5.4 Raícesmúltiples

Problemas

EPiLOGO PARTEII11.4 Elementos e juicio11.5 Relaciones órmulas mportantes

11.6 Métodos avanzados yalgunas eferencias adicionales

PARTE 111 SISTEMASDEECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALESI .1 Motivación111.2 Fundamentos matemáticos111.3 Orientación

Capítulo 7 Eliminación gaussiana7.1 Solución e ocas cuaciones7.2 Eliminación aussiana imple

1o1106107

109112114

119119123132

139140

145146152158163167

1711721771801831861 89

197199

199

203206215

219219227



EPILOG0

PARTE IV

7.3 Desventajas de los métodos deeliminación7. 4 Técnicas demejoramiento en as soluciones7.5 Resumen

Problemas

Capítulo 8 Gauss-Jordan, inversión de matrices yGauss-Seidel

8. 1 Método eGauss-Jordan8. 2 Inversión ematrices8. 3 Método eGauss-Seidel

Problemas

Capítulo 9 Casos de la parte 111: Sistemas de ecuaciones

Caso 9. 1 Distribución de ecursos (Ingeniería en general) ,

Caso 9. 2 Cálculo de distribución de emperaturas

Caso 9. 3 Análisis de una armadura estáticamente determinada

Caso 9. 4 Corrientes y voltajes en circuitos esistivos

Caso 9. 5, Dinámica de partículas y cuerpos rígidos

Problemas

algebraicas lineales

(Ingeniería química)

(Ingeniería civil)

(Ingeniería eléctrica)

(Ingeniería mecánica)

PARTE 1111114 Elementos de juicio1115 Relaciones y fórmulas mportantes1116 Métodos avanzados y algunas referencias adicionales

AJUSTE DE CURVASI V. MotivaciónI V. 2Fundamentos matemáticosl V.3Orientación

Capítulo 1 O Regresión con mínim os cuadra dos10.1 Regresión ineal

10. 2 Regresión polinomial10. 3 Regresión ineal múltiple

Problemas

Capitulo 1 lnterpolación1 . 1 Polinomios de nterpolación con diferencias

divididas de Newton11. 2 Polinomios de nterpolación de Lagrange11.3 Comentarios adicionales11. 4 lnterpolación segmentaria spline)

Problemas

23242525

25925262627

27928

28

28

29

2929

303030

303131

31932333434

349

350363637

38



vi¡¡ CONTENIDO

EPiLOGO

PARTE V

Capítulo 12 Casos e la parte IV: Ajuste eurvas 387Caso 12.1 Modelo de ngeniería de venta de productos

(Ingenierian 387Caso 12.2 Regresión ineal y modelos demográficos

(Ingenieríauímica) 391Caso 12.3 Ajuste de curvas en el diseño de un mástil para barco

(Ingenieria 395Caso 12.4 Ajuste de curvas en la estimación de a corriente RMS

(Ingeniería 399Caso 12.5 Regresión ineal múltiple en el análisis de datos

experimentalesIngenieríaecánica) 402Problemas 404

PARTE IVIV.4 Elementos de juicioIV.5 Relaciones y fórmulas mportantesIV.6 Métodos avanzados y algunas referencias adicionales

INTEGRACIONV. 1 MotivaciónV.2 FundamentosmatemáticosV.3 Orientación

40941141 1

41 5422424

Capítulo 13 Fórmulas entegración eewton-Cotes 429

13.1 Reglael 43113.2 Regla 44313.3 Integraciónonntervalosesiguales 45513.4 Fórmulaseegración 458

Problemas 461

Capítulo 14 Integración de Romberg y cuadratura gaussiana 46514.1 Integracióne 46514.2 Cuadraturassiana 474

Problemas 484

Capítulo 15 Casos de laar te V: Integración 487Caso 15.1 Análisisemovimiento efectivosIngeniería neneral) 488Caso 15.2 El uso de ntegrales para determinar a cantidad total

dealorn los materialesIngenieríauímica) 490Caso 15.3 Fuerza efectiva sobre el mástil de un velero de carreras

(Ingeniería 492Caso 15.4 Determinación de a corriente RMS mediante ntegración

numéricaIngenieríatrica) 496Caso 15.5 Integración numérica en el cálcu lo del rabajo

(Ingenieríaa) 499Problemas

503



CONTENIDO i X

EPiLOGO PARTE VV.4 Elementos e uicioV.5 Relaciones y órmulas mportantesV.6 Métodos avanzados yalgunas eferencias adicionales

PARTE V I ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIASVI.1 MotivaciónV1.2 Fundamentos matemáticosV1.3 Orientación

Capítulo 16 Métodos de un paso16.1 Método de Euler16.2 Modificaciones ymeioras al método de Euler16.3 Métodos de Runge-Kuttc

16.4 Sistemas de ecuacionesProblemas

Capítulo 17 Métodos de pasos múltiples17.1 Un en foq ue simple de pasos múltiples: Método de

Heun sin principio17.2 Fórmulas de ntegración17.3 Mét odos de pas os múltiples de orden superior

Problemas

Capítulo 18 Casos de la parte VI: Ecuaciones diferenciales ordinariasCaso 18.1 Modelos matemáticos para proyectos de venta decomputadoras (Ingenieria en general)

Caso 18.2 Diseño de un eactor para producción armacéutica(Ingeniería química)

Caso 18.3 Deflexión del mástil de un velero (Ingeniería civil)Caso 18.4 Simulación de una corriente ransitoria en un circuito eléctrico

Caso 18.5 El péndulo oscilante Ingeniería mecánica)Problemas

(Ingeniería eléctrica)

EPiLOGO PARTE VIV1.4 Elementos de juicioV1.5 Relaciones y órmulas mportantesV1.6 Métodos avanzados yalgunas referencias adicionales

BlBUOGRAFiA

iNDlCE

50951151

51 519522

52752

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5 4

626262

63

63





P R E F A C I

Para el ingeniero moderno el hecho de“ira la par con su profesiónimplica inevitablemente el uso de las computadoras. Hay pocao dicho sea de otra forma, pocas actividades cotidianas quemanera no tienen contacto con estas m áquinas tan poderosy rápidaCiertamente, las computadoras han sido por añosun aliado de la inniería al desempeñar millares de tareas, tanto analíticas comen el desarrollo de proyectosy la solución de problemas en formaeficiente. En consecuencia, cuanto más a fondoy más temprano se fliarice el estudiante de ingeniería con su terminalo su computadora sonal, mejor será su formación.

Pero, ¿desde cuándo?,y ¿qué tan a fondo debe ser este coLosprofesores de ingeniería reconocen desde hace mucho tiimportancia del entrenamiento en los primeros semestres en lade las computadoras. Tradicionalmente este entrenamiento abputadoras grandes (mainframes)y un lenguaje de programación dnivel como elFORTRAN. Desafortunadamente, es frecuente questudiantes es esulte difícil aplicarsusnuevashabilidades a promas de otras materias. Esto se debe a una variedad de factolos cuales no carece de importancia la preparación necesarisistemas con máquinas grandes. Como resultado, muchos eingeniería no explotan bien la capacidad de solución de problemtienen las computadoras hasta que están adentrados ensu educació

Creemos que la revolución de la microelectrónica nos da oportundad de integrar la computación de una manera más efectivade clases. Debido a su bajo costoy conveniencia, las computadorsonales pueden aumentar la capacidad del estudiante de ingresolver problemas durante sus años scolares.Sinembargo, para extar esta oportunidad al máximo es necesaria una innovación dde introducción a la computación. Por ejemplo, a través deha desarrollado en las universidades’de exas A&My Michigan una rtructuración en dos etapas. Hayun “primer curso de computación”cado a orientar al estudiante al equipocomputacionaldisponible y a



Xii PREFACIO

desarrollo de habilidades firmes dentro de a programación. Ecurso de computación” está planeado para reafirmar estas hamostrar el empleo de lasolu&n de problemas en ingeniería.

El presente libro emanó del segundo curso. S e eligió el tmétodos numéricos como punto principal por sus muchas apla la ingeniería. Y a sea que los ingenieros utilicen software opropio, creemos que es esencial una base sólida en los métodcos para la aplicación efectiva de las computadoras en la soblemasde ngeniería. Desafortunadamente,losmétodosnuméricos spresentan durante el último año de licenciaturao a nivel de posgradudos, años después del punto donde pudieron haberido herramientasúti-les, instructivasy creativas para el futuro ingeniero.

Por consigu.iente,hem os elaborado este libro de tal forma queenseñarse en los extremos inferioro superior de la carrera de ingen

a nivel de licenciatura. Un aspecto de este plan se hace notarnizacióny en el alcance del libro, que está dividido en seis partes. LI trata del material introductorio e incluye información sobre proy análisis de aproximacióny error. Las cinco partes restantes están ddas a las áreas de métodos numéricos, que tienen importancia el candidato a ingeniero: raíces de ecuaciones no lineales, ecuabraicas lineales, ajuste de curvas (regresión e interpolación), integyecuaciones diferenciales ordinarias. Excluimos temas comolosvalores característicosy las ecuaciones diferenciales parciales, que tiene matancia paralos estudiantes de posgrado.

Junto con este material hem os incorporado ciertas caractcionales en la elaboración de este libro, para hacerlo más acctores tanto de los primeros como delos últimos niveles de licenciaIncluyen:

1. Recuadros . Noshem os empeñado en incluir derivaciones imtesy análisis de error, con elfin de enriquecer la presentaciónembargo, algunas veces tal material representaun escollo para el etudiante novato. En consecuencia, hemos apartado en rematerial matemático más complicado. Muchos estudiantrán que pueden aplicarlosmétodos numéricos sin tener que d

nar completamente el material contenido en los recuadro2. Material introductorio y fundamentos matemát icos . Cada parte delli-

bro incluye una sección de introducción. Después de unaposición al problemamatemáticogeneralque va aestudiarse, ssuministra una motivación describiendo cómo podría enfoel pro-blema en ausencia de computadoras,y dónde se plantea este proma en la práctica de la ingeniería. En seguida se efectúa ude los conceptos matemáticos necesarios para comprendpor estudiar. Por ejemplo, se revisa álgebra matricial antedio de ecuaciones algebraicas lineales,y estadística antes del estu



PREFACIO xiil

de regresión. Por último, se presentanun esquemay losobjetivos destudio de cada parte, com o orientación para el lector.

3. Epilogos. Así como la introduccih está planeada para dar utivacióny una orientación, incluimosun epílogo al inal de caparte del libro para consolidariosconceptos recién adquiridos.detalle mportantedeesteepílogo es una seccióndedicada aloselementos de juicio necesarios para la elección delos métodosnuméricos apropiados paraun problema en particular. Ademáresumenalgunas órmulas mportantesy se citanreferenciasparamétodos avanzados.

4. Pr esent aci on es secuenci al esy gráicas. Cada parte principal del liconsta de tres capítulos: dos dedicados a la teoríay uno al estudi

de casos. Siempre que es posible, los capítulos de teoría ran en forma secuencial, esto es, primero se presentan lomientos más directosy elementales. Dado que muchos de los más avanzados se construyen sobre los más simples, la ineste desarrollo es proporcionarun sentido de evolución de las tcas. Adicionalmente hemos desarrollado representaciones complementar las descripciones matemáticas en la mayor planteamientos contenidos en el libro. Hemos encontradorientación visual es particularmente efectiva para proporcimayor comprensión a los estudiantes de los primeros nivciatura.

5. Estudi o d ecasos. En cada parte del libro se incluyen casos pmostrar la utilidad práctica de los métodos numéricos. Seungran esfuerzo para dar ejemplos de los cursos iniciales dede ingeniería. Cuando esto no es posible, se han suministteóricasy motivación paralosproblemas.

6 . Sof t w are.Se dispone deun paquete de software denominadoMERICOMP que muestra algunos métodos numéricos ueen el texto: bisección, eliminación gaussiana, interpolación regresión lineal, la regla trapezoidaly el método de Euler. Estos gramas proporcionanal estudianteloscriterios de programaciónnece-sarios para cada una de las partes del libro. El software estápara utilizarse con facilidad.Losestudiantes también pueden emplo para verificarlos resultados de sus propios esfuerzos de progción. Aunque el paquete es opcional, pensamos que puedun progreso más rápido uando se emplean el ibroy el software cojuntamente; se puede conseguir a través de McGraw-Hill pputadoras personales IBM-PCy APPLE11.Una versión profesiode NUMERICOMP puede adquirirse directamente de Engoft-ware, Inc.,15 Research Dr., Ann Arbor,MI48103.





P A R T E U N O

LOS ÉTODOSNUMÉRICOSY LASCOMPUTADORASPERSONALES

'),7 ,

I . M O T I VA C I ~ NLosmétodos num éricos son técnicas m edia nte lcuales es pos ible form ular problem as de tal fm a que pued an resolverse usandooperacionesaritméticas. Au nqu e hay muchos tipos de métodnuméricos, todos comparten una característica cmún: Invariablementelos métodos numéricos Ilevan a c ab o un buen núm ero de tediosos cálcuaritméticos.No es r aro que con el desarrollo dcom putadoras digitales eficientes y rá pid as, el ppel de los métodos numéricos en la solución de p

blemas de ingenieríahaya aumentado considerablemente en los últimos añ os.

I .1 . l Mé todo s anterioresa la apariciónde la computadora

M á s allá de sólo proporcionar un aumento enpotencia de cálculo, la disponibilidad generalas com putadora s (especialmente delas compu-tadoras personales)y su asoc iación con los métodos uméricos, ha tenido una influenciamuy

significativa en el pr oce so de solución de pro bmas de ingenie ría. Antes del uso de la com putdo ra ha bí a tres métodos diferentes quelos inge-nieros aplicaba n a la solución de prob lem as:1. Primero, se enco ntrabanlas soluciones de al-

guno s problem as usan do métodos exactosoanalíticos. Con frecuencia estas soluciones sultaban útiles y p ropo rcion aba n una compresión excelente del com portamiento de algunsistemas. Sin embargo, las soluciones analcas pue den encontrarse sólo p ar a un a claseIi-mitada de problem as. Estos problemas incluyaquellosquepuedenaproximarse mediantemodelos lineales y también aquellos que ienuna geo m etría imple y pocas dimensiones. consecuencia,las soluciones anabjticas tienevalor práctico limitado, porque la m ayor pte de los prob lem as reales no son lineales,implican formas y procesos complejos.



2 MÉTODOS N U M É R I C O SPARAI N G E N I E R

2.Pa ra ana lizar el comportamiento delos sistemas se usaban soluciones gráficas. Éstas toma ban la forma de grafos nom ogra mAun que las técnicas gráficas a menudo puede n em plearse parsolver problemas complejos,IQSresultados no son muy prec isos.E s

más, l a s soluciones gráficas (sin la ayu da de una com puta doratediosas en extremo y difíciles de im plementar. Fina lmente, as tcas gráficas están limitadas a aquellos problemas que puedancribirse usando tres dimensioneso menos.

3. Para implementarlos métodos numéricos se utilizaban calculadras manuales y reglas de cálculo. Aunque en teoría estas aprmacionesdeberían ser perfectam enteadecuadas pa ra resolveproblemas complicados, enla práctica se presentan algunasdifi-cultades. Loscálculos manuales son lentos y tediosos. Ade más

existen resultados consistentes de bid o a qu e surgen eq uivo canes cuan do se efectúan las tareas manualmente.

Antes del uso de la com puta dora , se gastaba much a energía etécnica misma de solución, en ve z de aplicarla sobre la definicióproblema y su interpretación (Fig.1.1~).sta situación desafortunadaexistía debido al tiempo y trabajo mon ótono que se requerían ra obtener resultados numéricos con técnicas que no utilizaban acomputadora.

H o y en día, las computadoras ylos métodos numéricos prop orcion aunaalternativapara cálculostan complicados.AI usar lacompu-ta do ra p ar a obtener soluciones directamente, se pue den aproximlos cálculos sin tener que recurrir a suposiciones de simplificaciotécnicas deficientes. Au nq ue dichas suposiciones son aún extr emmente valiosas tanto pa ra resolver problemas comopa ra proporcionaruna may or comprensión,los métodos numéricos representan alternavas queamplíanconsiderablemente a capa cidad para confro ntay resolverlos problem as; como resultado , se dispone de más tiempara ap rov echar las habilidades creativas personales. Por consiguiees posible dar más importancia a la formulación de un problemla interpretación de la solucióny a su incorporaciónal sistema total,o conciencia “holística” (Fig.1 1b).1.1.2 Los métodosnuméricosy la práctica de a ngeniería

Desde finales de la dé cad a de1940,la m ultiplicacióny disponibilidadde las comp utadoras digitales ha llevad o a una verd ade raexplosiónen cuanto al uso y de sarrollo delos métodos numéricos.Alprincipio,este crecimiento esta ba algo limitado p orel costo de acceso a com-putadoras grandes (rnainfiames),por lo que muchos ingenieros connuaba n usand o simples planteamientos analíticos en un a buen a p



LOS METODOS NUMÉRICOSY LASCOMPUTADORASERSONALES ___ 3

Formulac4dn

Exposici6na fondo de

1 rdaci6ndelproblemacon as leyesfundamentalesundamentales

Metodosmuy elaborados Mdtodo num6ricoy frecuentemente complcador

para hacer manelableel problema

lnterpretacidn

lhmitadopor unaAnll~om fonda

holisticamenteypermite pensar

desarrollarla intulmdn:se pu ede estudtarla

FIGURA 1 . 1 Lastres fases en la solución de problemas de ingeniería en a ) la era anterior a ascomputadoras y b) la era de las cornputadoras. Los tamaños de los recuadros indi-can el nivel de importancia que se dirige a cada fase en el salón de clases. Las corn-putadoras facilitan la implementación de técnicas de solucion y así permiten un mayorcuidado sobre os aspectos creativos de la formulación de problemas y la interpreta-ción de resultados.

de su trabaio.N oes necesario mencionar que la reciente evolucióde computadoras personales de baio costo, ha dado a mucha geun fácil acceso a poderosas capacidades de cóm put o.

Ad em ás existe un buen núme ro de razones p o r las cuales se deestudiar los métodos num éricos:

1. Losmétodos numéricos son herramientas extremadamente porosas para la solución de problem as. Son capaces de manejas i s -temas de cuaciones randes,noinealidade s y geom etríacomplicadas que son comunes en la práctica de la ingenieríay que,a m enu do, son imposibles de resolver analíticamente. Porl otan-to, amplían la habilidadde quien los estudia p ar a resolver problemas.

2. En el transcurso d e su car re ra , es posible que el lector tengaocasión de usar software disponible comercialmente que cont



4 MÉTODOS NUMÉRICOSPARAINGENIEROS

g a m étodos numéricos.Eluso inteligente de estos progr am as depend e del conocimiento de la eoría básica ena que se b asa n estosmétodos.

3. H a y muchos problemas que no puedenplantearse al em plear pr ogramas “hechos”. Si se está ve rsado en los métodos numéricosy se es un ade pto dela program ación de comp utadoras, entonces se tiene la capac idad de d iseña r progra m as prop ios parasolver losproblemas, sin tener que comprar un oftware costos

4. Los métodos numéricos son un vehículo eficiente pa ra ap re nda servirse de las computad oras personales.Esbien sabido que unman era efectiva de apre nde r a prog ram ar las computad orasal escribirlos programas . Comoos métodos numéricos, en su ma

yor parte están ela bo rad os para implementarse en com putadras, resultan ideales pa ra este propó sito. Aú n más, están especmente adap tad os pa ra lustrarla potenciaasí como las limitacionede las com puta dora s. Cuan do el lector implemente con bu ensultado los métodos numéricos en una comp utadora personal los aplique para resolver problem as que de otro mo do resulintratables, entonces tendrá una d em ostración tang ible de cópueden ayudarlelas computadoras pa ra su desarrollo profesionAImismo tiempo, apren deráa reconoce r y controlarlos erroresde ap roxim ación q ue son inesperables deloscálculos numéricosa gran escala.

5. Los métodos numéricos son un medio para reforza r su com prsión de las matemáticas. Porque una función delos métodos nu-méricos esla de reducirlas matemáticas superioresa operacionesaritméticas básicas, ya que profu ndiza nen lostemas qu e de otrom od o resultan oscuros.Esta alternativa aumenta su cap acid ad dcomprensión y entendimiento enla materia.

1.2 FUNDAMENTOSMATEMÁTICOSCadaparte de este libro requiere de a lgunosantecedentes m atemá-ticos. En consecue ncia,el material introductorio de ca da pa rte inclye un a sección, com ola que el lector está leye ndo en este mom entode fundamentos matemáticos. DebidoQ que la parte I en s í está ded i-c a d a al material básico sobrelas matem áticas y la computación,lapresentesección no ab arca la revisión dealgún tema matemáticoespecífico. Ensu lugar, se presentan los temas delcontenidoma-temático quese cubre en este libro. Estos se resumen enla figura 1.2,y son:



LOS MÉTODOSNUMÉRICOSY LASOMPUTADORASERSONALES 5

FIGURA1.2 Resumen de los métodos numéricos que se cubren en este libro.



6 MÉTODOS NUMÉRICOSPARA INGENIEROS

1. R a k e s d e c u a c io n e s ( F i g . 1.24. Estos problem as están relacionados con el valor de una variableo de un parámetro quesatisface un a ecuac ión. Son especialmente valiosos en proye

de ingeniería dond e con recuencia resulta imposible despejar alíticamente parám etros de ecuaciones de diseño.

2 . Si st e m a s d e e c u a c io n e s a l g e b r a i c a s i n e a l e s ( F i g .1.2b).En esencia, estos prob lem as son similares alos de raíces de ecuaciones en el sentido de qu e están re lacion ado s con valores satisfacen ecuaciones. Sin em ba rg o, a d iferencia de satisfacer sola ecuación, se busca un conjunto devaloresque satisfagasimultáneamente a un conjunto de ecu acion es algeb raica s. ecuaciones lineales simultáneas surgenen el contexto deunavariedad de problemasy en todas las disciplinas de la inge nieEn particular, se originana partir de m odelos matemáticos des i s -temas gra nde s de elementos interco nec tado s, c om o: estructurcircuitos eléctricos y redes de fluio de fluidos, aunque tampueden encontrarse en otras áreasde los métodosnuméricoscom o el aiuste de cur vas .

3 . A j u s t e d e c u r v a s ( F i g .1 . 2 4 . C o n frecuencia se presentarálaoportunidad de ajustar curvasa un conjunto de datos representadopo r puntos. Las técnicas que se h an desarrollado pa ra este fin pden dividirse endos categorías genera les: regresión e interpolacioLa regresión se emplea cuando hay un grad o significativo de asociadoa los datos; frecuentementelosresultados experimentaleson de esta clase. Pa ra estas situaciones, la estrategia es encontuna curva que represente la tendencia general delos datos sin ne-cesidad de tocarlos puntos individuales. En contraste, la interpoción se maneja cuando el objetivo es determinar valores intermeentre datos que estén relativamente ibres de error . Tal esel casode la información tabula da . Pa ra estas situaciones, la estrategiajustar una curva directamente a través delos puntos y usar estacu rv a pa ra predecir valores intermedios.

4. I n t e g r a c ió n ( F i g . l . 2 d ) . al com o se represe nta, una interprtación física dela integración num érica es la determ inación área bajo la cu rva. La integración iene muchas aplicacioner a el ingeniero práctico, empezando por la determinación dloscentroides d e objetos con form as extrava gante s hasta el cálcde can tidad es otales bas ad as en conjuntos de medidas discreAdicionalmente las fórmulas de integración num érica juegapa pe l importante enla solución delas ecuaciones en diferencia

5 . Ec u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s r d i n a r i a s . F i g . 1.2e). Lasecua ciones diferenciales or dinarias tienen un eno rm e signifi



LOSMETODOSUMERICOS Y LASOMPUTADORASERSONALES 7

en la prác tica de la inge niería . Esto se debe a que muchas lefísicas están expresadas en tefminos de la razó nde cambio de uncantidad más que en términos de su m agnitud . Entrelosejemplos

se observan desdelos modelos de predicción demográfica (razde cam bio de la población ) hasta la acelerac ión de n cuerpodescenso (razón de cam bio de la velocidad).

1.3 ORIENTACI~N

Resulta útil esta orientación antes de procede r a la intro duc ción losmétodos num éricos. Lo que sigue está pens ado com o unavista pa-norám ica del ma terial contenido en la partel Se incluyen ademáalgunos objetivos com o ayu da para con cen trar l esfuerzo del lal estudiar el mate rial.

1.3.1 Alcancey ontenido

La figura1.3es una representación esquemática el material contedo en la parte I . Se ha elabo rado este diagram a para darleun pan o-ram a globa l de esta parte del libro. Se conside ra que un sentid"ima gen globa l" resulta importa nte para de sarrollar una verdcomprensión delos métodos num éricos.AI leer un texto, es posiblque frecuentemente se p ierda uno enlosdetalles técnicos. Siempre quel lector perciba que está perdiend o la "ima gen global" regrésea la figura 1.3 para orientarse nuev am ente.C a d a parte de este librincluye una figura similar.

Esta figura sirve tam bién com o una breve revisión prev ia del mrial que se cubre en la parteI . Elcapítulo1 está diseñado para orientarle a losmétodos numéricos y pa ra da rle na motivación mostráncóm o pued en usa rse estas técnicas en el proceso de elab orar m olos matem áticos aplicados ala ingeniería.Elcapítulo2 es una intro-ducciónyuna revisiónde

losaspectosdecomputaciónque están

relacionados con los métodos num éricosy presenta las habilidadede program ación que se debe n adquirir para explotar eficientemte la com putado ra. Elcapítulo3 se oc up a del importante tema delanálisis de error, que debe enten derse bien para el uso efectivolos métodos num éricos.

1.3.2 M eta s y objetivos

Estúdieselos objetivos.AI terminm la parte I el lector deberá estar

preparado para aven turarse enlos métodos num éricos. En gene ra



8 MÉTODOS NUMÉRICOS PARAINGENIEROS

FIGURA 1.3 Representación de la organización del material en la pa rte I: Los métodos numéricosy las computadoras personales.

ha brá adquirido u na noción fundamental dela importancia de las computadorasy el pape l de las aproximacionesy loserrores en la im plementacióny desarrollo d elos métodos numéricos. A dicionalm enteestas metas gen erale s, deb erá d om inar ca da u no d eos objetivos es-pecíficosde estudio q ue se enun cian enla tabla 1 . 1 .



LOS MhODOS NUMERICOSY LASCOMPUTADORASERSONALES 9

TABLA1.1 Obietivos de estudio especificos para la parte I

1.2.3.4.5.

6.7.8.9.

1o.11.

Entender la diferencia entre error de truncamiento y de redondeo

Entender el concepto de cifras significativasConocer la diferencia entre exactitud y precisiónApreciar la utilidad del error relativoConocer la diferencia entre el error relativo verdadero E y el errorrelativo aproximado eo; darse cuenta de cómo este último puedeemplearse en conjunci6n con un error aceptable especificado conanterioridad E , para terminar un cálculoSer capaz de relacionar el error relativo con cifras significativasSer capaz de aplicar las reglas de redondeo explicadas en el recuadro 3.1Comprender cómo se usa la serie de Taylor pa ra aproximar funcionesComprender la naturaleza de la aproximación y los términos residuales dela serie de TaylorConocer la relación que existe entre as diferencias finitas y las derivadasFamiliarizarse con los elementos de juicio que se describen en el epílogo dela parte I

Objetivos en com putación.AIcompletarla parte I el lector se habráfamiliarizado con el software(NUMERICOMP) dispo nible para estelibro. De berá sab er qué program as contiene y algunas de sus cacidades de graficación. También deberáener las habilidades de programaciónnecesariasparadesarrollar oftwarepropio on los

métodos numéricos de este libro. Deb erá ser cap az de desarrollar pgramas en términos delos algoritmoso diagramas de fluio da do s.Podrá guardarsu software en dispositivos de almace nam iento, comdiscos flexibleso cinta m agnb tica. Finalme nte, el lector habrá desarrollado la capacidad de documentarus programas de tal forma quelos usuarios pue dan em plea rlos eficientemente.





C A P í T U L OU N O

MODELOSMATEMÁTICO

¿Por qué se deben dominarlos métodos numéricosy la programacióde computadoras para resolver los problemas? Adem6s del uea diario se observa que las computadoras intervienen en las am6s comunes de la vida diaria, dhabr6 alguna contribución eestas mAquinas, con sus capacidades decididamente sobrehupue-dan hacer a las tareasy retos delos ingenieros?Es totalmente factiby con el material contenido en este capítulo, se tratar6 de orietor y motivarlo hacia una posibilidad cuando menos.

Primero se aplica el concepto de modelos matemáticos pa definir lo que se entiende por métodos numéricosy para ilustrar cómpueden facilitar la solución de problemas en ingeniería. Para earrolla aquí el modelo matemático deun proceso físicoy se resuelve coun método numérico sencillo.

El mundo físico, con toda su complejidad, puede parecer e impredecible, Tradicionalmente, a tarea del científico ha sidtificarlospatrones reproduciblesy las leyes que gobiernaneste caos. Poejem plo, sobre la base de sus observaciones, Newton formulda ley del movimiento, que afirma que la velocidad de cambitidad de movimiento deun cuerpo con respecto al tiempo es iguafuerza resultante que actúa sobreél. Considerando las maneras excemente complejas en que las fuerzasy los objetos interactúan enla tierra,esta ley ha probado ser una generalización válida.

Además de que estas leyes proveen de discernimiento, lo

pueden aplicarlas para formular soluciones problemas prácticoejem-plo, os conocimientos científicosse usan rutinariamente por los ingrosen el diseño de, elem entos tales com o estructuras, mhquineléctricosy sustancias químicas sintéticas. Desde la perspectivañode ingeniería, estos conocimientos sonmuyútiles cuando se expreen forma deun modelo matem6tico.

Un modelo matemático puede definirse, de una manera emouna formulacióno ecuación que expresa as características futales deun sistemao proceso fisico en términos matemáti'cos.Los modelos



12 MÉTODOS NUMÉRICOSPARA.INGENIER

se clasifican desde simples relaciones algebraicas hasta grandes compli-cados sistemas de ecuaciones diferenciales. Recordando nuevamente aNewton para este ejemplo, la expresión matemática, o modelo, de su se-gunda ley es la bien conocida ecuación

F = ma [1.11

donde F es la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo (en dinas, o gramo-centímetro por segundo cuadrado), m es la masa del objeto (en gramos),y a es su aceleración (en centímetros por segundo cuadrado).

La ecuación (1.1) iene varias características habituales de los mode-los matemáticos del mundo físico.

1. Describe un sistema o proceso natural en términos matemáticos.

2. Representa una idealización y una simplificación de la realidad. Esdecir,ignora los detalles insignificantes del proceso natural y se concentraen sus manifestaciones elementales. Es por esto que la segunda leyno incluye los efectos de la relatividad, que ienen una mportan-cia mínima cuando se aplican a objetos y fuerzas que interactúansobre o alrededor de la tierra a escalas visibles a los seres huma-nos.

3. Finalmente, conduce a resultados predecibles y ,en consecuencia, pue-de emplearse para propósitos de predicción. Por ejemplo, si se cono-cen la fuerza aplicada sobre un objeto y sumasa, entonces puede usarsela ecuación ( l . )para predecir la aceleración. Como tiene una ormaalgebraica sencilla, puede despejarse directamente

Fm

a = -

De este modo, la aceleración puede calcularse fácilmente. Sin em-bargo, los modelos matemáticos de otros fenómenos físicos pueden sermucho más complejos y no pueden resolverse exactamente o requierende técnicas matemáticas más complejas que la simple álgebra para su o-luci6n. Para ilustrar un modelo de este tipo pero más complicado, se puedeusar la segunda ley de Newton para determinar la velocidad final de uncuerpo en caída ibre cerca de la superficie terrestre. Elcuerpo en descen-so será un paracaidista como se muestra en la figura 1.1.Para este casopuede crearse un modelo al expresar la aceleración como la razón decambio de la velocidad con respecto al tiempo (dv/dtj y sustituir en la



MODELOS MATEMÁTICOS 13

FIGURA 1.1 Representación de las fuerzas que actú an sobre un paracaid ist a en des-censo. FDes la fuerza hacia abaio debid o a la atracción d e la grave-dad. Fu. es la fuerza hacia arrib a debid o a la resistencia del aire.

ecuación( l . ) para dar

dvdt- = F u 3 1

dondeu es la velocidad en centímetros porsegundo).Así,la masa multplicada por la razón de cambio de la velocidad es igual a la sumzas que actúan sobre el cuerpo.Si la fuerza total es positiva, el obacelera. Si es negativa, el objeto sufre una desaceleración. neta es cero, la velocidad del objeto permanecerá aun nivel constante

Paraun cuerpo que cae dentro del perímetro de la tierra (Fl . 1),la fuerza total está compuesta por dos fuerzas contrarias: a atrcia abajo debida a la gravedadF D y la fuerza hacia arriba debida a lsistencia del aireFu.

Si a la fuerza hacia abajo se le asignaun signo positivo, se puede usla segunda ley para formular la fuerza debida a la gravedad c

dondeg es la constante de gravitación,o la aceleración debida a la gvedad, que es aproximadamente igual a980 cm/s2.





MÉTODOS MATEMATICOS 1 5

FIGURA1.2 Solución analítica al problema del paracaidista que cae según secalcula en el ejemplo l . l . La velocidad aumenta con el tiempo yse aproxima asintóticamente o una velocidad final.

dad ntes de abrir el paracaídas. E coeficiente de arrastre c es

aproximadamente igual a 12 500 g / s .

Solución: al sustituir los valores de los parámetros en la ecuación (1.9)se obtiene

I 980(68,100)v ( t ) = [I - e-t12.500/68.1001f12,500 1

= 5339.0 (1 - e 0 18355t)

al dar varios valores de t se obtienen las velocidades para dicho tiempo:los resultados se presentan a continuación

t, S v, cm/s

O O2640.54 2776. 96 3564.2

10 4487.312 4749. 0X 5339.0

a 4109. 5



16 MÉTODOSNUMERICOS PARAINGENIEROS

De acuerdo al modelo, el paracaidista acelera rápidamente (Fig. 1 . 2 ) .Sellega a una velocidad de 4 487.3 cm/s (161.5 km/h) despu6s de 10 s .Nótese también que después de n tiempo suficientemente grande se al-canza una velocidad constante (llamada velocidad final)de 5 339.0 cm/s(192.2 km /h ). Esta velocidad es constante porque después de u n tiem-po suficiente, la fuerza de gravedad estará en equilibrio con la resistenciadel aire. Por lo tanto, la fuerza total es cero y cesa la aceleración.

A la ecuación (1.9) e le llama una solución analítica o exacta porquesatisface exactamente la ecuación diferencial original. Desafortunadamen-te, hay muchos modelos matemáticos que no pueden resolverse exacta-mente. En muchos de estos casos, a única alternativa es la de desarrollaruna solución numérica que se aproxime a la solución exacta. Como se

mencionó con anterioridad, los métodos numér icos son aquellos en losque se reformula el problema matemático para que se pueda esolver me-diante operaciones aritméticas. Esto puede ilustrarse para la segunda leyde Newton notándose que se puede aproximar la razón de cambio dela velocidad con respecto al tiempo mediante (Fig. 1.3)

[1.10]

F I G U R A1.3 U S O de una diferencia inita para aproximar a primera derivada dev con respecto a t .



METODOSMATEMATICOS 17

dondeAu y At son diferencias en la velocidady el tiempo calculadasso-bre intervalos finitos,u( t , ) es la velocidad en el tiempo inicialt , , y u ( t , + I )es la velocidadalgúntiempo mástardet , , La ecuación( l . 0) es una

diferenciainita

diu idaenel tiempoti .

Puede sustituirseen a ecuación(1.8)paradar

Esta ecuación puede ordenarse otra vez para dar

u(t1+1) = U@¡) + 9 - u ( t i ) &+I - ti)[ : I [1.12]Y así, la ecuación diferencial(1.8) e transforma enuna ecuación qG

puede resolverse algebraicamente parau(t i+.

Si se daun valor inicialpara la velocidad enun tiempot i ,se puede calcular fácilmenteu en t ,Este nuevo valor deu en t i+l puede emplearse para extender el cáde u en t i + 2 y así sucesivamente. Porlo tanto, en cualquier tiempor la trayectoria,

Nuevoalor - valornterioralorstimuladoncrementode u de laendiente x deliempoe u

-

EJEMPLO 1.2

Solución numéricaal

problemadel paracaidista que caeEnunciado del problema: efectuarel mismo cálculo que en el ejempll . 1pero usando la ecuación(1.12)para calcularu ( t ) conun incremento detiempo iguala 2 s.

Solución: alprincipio deloscSlculos(tl= O ) , la velocidad del paracdistauf t , ) es igual a cero. Con esta informacióny losvalores delos pa-rámetros del ejemplol . , a ecuación( l . 2) se puede usar para estimav ( t i+1 ) n t i+ l = 2 s.

Para el siguiente intervalo (det = 2 a 4 S ) , se repite el cálculo con el sultado,

~ ( 4 ) 1960 + 980 - _ _ _[ 682 50000(1960+= 3200.5 cmis



20 MÉTODOSNUMÉRICOSPARAINGENIERO

significat~vo asociado con los puntos de los datos.i) Los sistemas grandes de ecuaciones. las no linealidades 51 las geometrías com-

plicadas son comunes en a práctica de la ingeniería y fáciles de resolver analí-ticamente

j) Los modelos matemáticosno

sepueden usar nunca con propósitos de pre-dicción.

1.2 Léanse las siguientes descripciones de problemas e identifíquese qué área de lométodos numéricos (según lo señalado en a Fig. 1.2) se relaciona con su solución.

Una persona pertenece a una cuadrilla de reconocimiento topográfico y debedeterminar el área de un terreno limitado por dos caminos y una corriente queserpenteaUn ingeniero es responsable de la determinación de los flujos en una gran redde tuberías interconectadas entre sí para distribuir gas natural a una serie decomunidades diseminadas en un área de 20 km2Para el problema del paracaidista que cae. se debe decidir el valor del coefi-ciente de arrastre para que un paracaidista de 90 kg de masa no exceda lo160 km/h en los primeros 10 S después de haber saltado. Deberá hacer estaevaluación sobre la base. de la solución analítica [ Ec. (1.9)].La información se empleará para diseñar un tra~e e salto.Un investigador efectúa experimentos para encontrar la caída de voltaje a tra-vés de una resistencia como una función de la corriente. Hace las medicionesde la caída de voltaje para diferentes valores de la corriente Aunque hay agún error asociado con susdatos, al 91-aficar los puntos. éstos le sugieren unarelación curvilínea. Debe derwar una ecuación qu e caracterice esta relación.

Un ingeniero mecánico tiene que desarrollar un sistema de amortiguamiento paraun auto de carreras. Puede usar la segunda ley de Newton para tener una ecua-

ción para predecir la razón de cambio en la posición de la rueda delantera enrespuesta a fuerzas externas. Debe calcular el movimiento de la rueda. comouna función del tiempo después de golpear contra un tope d e 15 cm a 240km/h.Un administrador tiene que calcular el ingreso anual requerido en un periodde 20 años para un centro de entretenimientos que se v a a construir para ucliente. Elpréstamo puede hacerse a una tasa de interés del 17.6"; Aunqupara hacer este estimado. la información está contenida en tablas de econo-mía, sólo aparecen listados los valores para tasas de interés del 15 y 20

1.3 Proporciónese un ejemplo de un problema de ingeniería donde sea oportuno cadauno de los siguientes tipos de métodos numéricos. En IO posible. remitasr el ejem-plo de las experiencias del lector en cursos y en conferencias u otras experiencias

profesionales que haya acumulado hasta la fecha.a) Raíces de cuacionesb) Ecuaciones algebraicas linealesc) Ajuste de curvas: regresiónd ) Ajuste de curvas: interpotaciónel Integraciónfi Ecuaciones diferenciales ordinaria5



C A P I T U L O D O S

LAPROGRAMACIONEN LASCOMPUTADORAS

PERSONALES

Los métodos numéricos combinan dos en las herramientas más impor-tantes en el repertorio de la ingeniería: matemáticas y computadoras. Losmétodos numéricos se pueden definir (sin ser muy exacto) como las ma-temáticas por computadora. Las buenas técnicas de programación aumen-tan la habilidad para aplicar los conocimientos de los métodos numéricos.En particular, las potencialidades y limitaciones de las técnicas nu-méricas se aprecian mejor cuando se usan estos métodos para resolverlos problemas de ingeniería utilizando como herramienta una compu-tadora.

Al usar este libro se obtiene la posiblidad de desarrollar los propiosprogramas. Debido a la gran disponibilidad de computadoras personalesy dispositivos de memoria magnética, los programas se pueden conser-var y usar durante toda la carrera. Por lo tanto, uno de los principalesobjetivos de este texto es que el lector obtenga programas útiles y de altacalidad.

Este texto contiene características especiales que maximizan esta po-sibilidad. Todas las técnicas numéricas an acompañadas de material pa-ra una implementación efectiva en la computadora. Además, se disponede programas suplementarios para seis de losmétodos más elementalesdiscutidos en el libro. Estos programas, desarrollados para computadoraspersonales (IBM-PCy Apple 11),pueden servir como base para una bi-blioteca de programas propios.

Este capítulo presenta una información preliminar que tiene utilidadsiempre y cuando se desee usar este texto como base para el desarrollode programas. Está escrito bajo la suposición de que ya se ha tenido unaexperiencia previa en la programación de computadoras. Debido a queel libro no está enfocado hacia un curso de programación, se estudianúnicamente aquellos aspectos que definen el desarrollo de programas deanálisis numérico. También se propone proporcionar riterios específicospara la evaluación de los esfuerzos del lector.



22 METODOS NUMÉRICOSPARAINGENIEROS

2.1 ANTECEDENTES HISTóRICOSEn el sentido más amplio, una computadora se puede definir como undispositivo que ayuda a calcular. Con base en esta definición, una de lascomputadoras más antiguas es el ábaco. Descubierto en el antiguo Egip-to y en China, se compone de cuentas iladas sobre alambres e n un marcorectangular (Fig. 2.la).

Las cuentas se usan para guardar potencias de 0 (unidades, decenas,centenas, etc.) durante un cálculo. Cuando se emplea con destreza, elábaco puede competir en velocidad con una calculadora de bolsillo.

Aunque los dispositivos manuales tales como l ábaco aceleran la ve-locidad en los cálculos, las máquinas extienden aún más las capacidadeshumanas para estos cálculos. Estimulados por la revolución industrial,los científicos del siglo XVIIdesarrollaron la primera de tales computadoras

mecánicas. Blas Pascal inventó, en 1642, una máquina para sumar (Fig.2 . b ) .AIfinal de ese siglo, Gottfried Leibnitz desarrolló una calculadoramecánica que podía multiplicar y dividir.

Aunque en los siglos siguientes se desarrollaron otros instrumentosde cálculo, no fue ino hasta la década de 1940 cuando surgieron las com-putadoras electrónicas. Se originaron, inicialmente para proyectos milita-res en la segunda guerra mundial, eran dispositivos de investigación paraun solo propósito. Estas máquinas, con nombres como ENIACY EDSAC,usaron tubos al vacío como componentes electrónicos básicos. Aunqueeran caras, lentas y a menudo desconfiables, estas computadoras de laprimera generación auguraban un procesamiento de datos a ran escala.

Aunque algunas máquinas de la primera generación, en especial laUNIVAC, e vendieron a nivel comercial, no fuesino hasta la década de1960 que las computadoras estuvieron disponibles para una gran canti-dad de científicos e ingenieros. Esto se debió al desarrollo de los transis-tores y de algunos dispositivos electrónicos de estado ólido que suplierona los tubos al vacío creando computadoras que, entre otras cosas, eranmás confiables. Aunque el uso de estas computadoras se extendió, suacceso era algunas veces limitado ya que las máquinas seguían siendomuy caras para que a mayoría de los profesionistas las obtuvieran indivi-dualmente. Por lo tanto, los ingenieros debían asociarse con grandesorganizaciones tales como universidades, oficinas gubernamentales, cor-poraciones o firmas consultoras para tener acceso a las computadoras.

Sinembargo, a la mitad de la década de 1960 y principios de la dé-cada de 1970 un adelanto en la técnica alteró dramáticamente esta situa-ción. En particular, el reemplazo de los transistores por circuitos integradosha producido un gran poder computacional en el medio profesional delos ingenieros. Un circuito integrado, o CI, consiste en una pastilla delga-da de silicón donde se han colocado miles de transistores. El resultadopráctico de esta innovación ha sido en dos aspectos. Primero, en el nú-cleo de la máquina o la parte central de las computadoras, las velocida-





24 MÉTODOS NUMÉRICOSPARA INGENIERO

CUADRO 2.1 Comparación de sistemas comunes de cómputo*

LongitudCifrasesignifica-alabraostoeálculo,lmacena-

Sistema tivas bitsdólares) ciclosls miento (K)Calculadora O 25-350-2

Microcomputadora 7-1 O 7-1 6 100-5000 1 06-1 o7 16-256Minicornputadora 7-1 O 16-32 15,000-1 20,000 1 06-1 o7 128-51 2Cornputadoras 7-1 4 32 100,000-1 o,ooo,ooo+ 106-1 o* 8000-32,000

prograrnable

grandes

* Condensodode Auerboch Computer Technology Reports, Agosto 1983.

tienen una memoria mayor, son miles de veces más confimen a energía deun bulboenvezde adeuna locomotora, ocu1/30 O00 de volumeny cuestan1/10O00 parte. Se pueden obtenuna orden postalo en cualquier tienda especializada” (Noyc1977

Las computadoras personales se agrupan, por lo generados categorías que a veces no están bien delimitadas: microy minicoputadoras.Las rnicrocornputadoras son aquellas cuya función prinestá contenida en una sola pastilla de circuito integrado. Comúcuestan unos miles de dólares.Las minicomputadorassonun término mimprecisoque se refiere a computadorasquesonmáspotentesquelas micros pero caen aún dentro de las posibilidades de copersonasy pequeñas compañías. Ambos tipos de computador

en contraste con computadoras grandes,o supercornputadoras, que manejan en intervalos de millones de dólaresy sus propietarios sonlo general, organizacioneso compañíasmuygrandes.Elcuadro2 .1resume la información general sobre varios tipos de computador

La revolución en el campo del estado sólido ha abierto las puen el área computacional a cada ingeniero. Sin ernhnrgo, ntipo de computadora se use, éstasólotiene utilidad si se le proporinstrucciones precisas.A estas instrucciones se les conoce commas. Las siguientes secciones contienen información que seráútil parel desarrollo de programas de alta calidad para utilizarlos métodosnuméricos.

2.2 DESARROLLODE PROGRAMASEl material de este capítulo está organizado alrededor de cinquematizados en la figura2 . 2 ,requeridos parala elaboracióny cuidadde programas de alta calidad. Este caljitulo contiene seccionesbren cada uno de estos pasos. Este material incluyeun caso de estuddonde cada uno delospasos se aplica para desarrollarun programaresolver el problema del paracaidista. Después de asimilar



LAPROGRAMACldNN LASCOMPUTADORASERSONALES 25

el estudiante debe estar mejor preparado para desarrollar proalta calidad paralos métodos del resto del libro.

2.2.1 Diseño de algoritmos

Se puede ahora empezar con el proceso de desarrollar progruna computadora.U n p r o g r a m aes simplementeun conjunto de instruciones para la computadora. Todoslosprogramas que se necesitan rrer en una computadora particular, en conjuntose les llamasof t w are.

FIGURA2.2 Cinco pasos necesarios para producir y dar soporte a programas de al-ta calidad . Las flechas hacia atrás indican que los primeros cuatro pasosse pueden ir meiorando conforme se gane experiencia.






embargo, dadoslosmismos datos,losprogramas deben arrojarlosmis-mos resultados.

Una forma alternativade representarun algoritmo es medianteun dia-grama deflujo.Esta es una representación visualo gráfica del algoritmque emplea una serie de bloquesy flechas. Cada bloque en el diagrepresenta una operación particularo un paso en el algoritmo. Las chas indican la secuencia en que se implementan las operaciofi-gura2.4 ilustra ocho tipos de bloquesy flechas que conforman la mparte delas operaciones que se requieren en la programación dcomputadora personal. La igura2.3bmuestraun diagrama de flujo parproblema simple de sumar dos números. Los diagramas de fluuna utilidad particular para bosquejar algoritmos complicadoscasos,un bosquejo gráfico puede serútilpara visualizar el flujo lógicoalgoritmo. En este texto , se han incluido diagramas de flujo pa

yor parte delosmétodos importantes. Se pueden usar estos diagcomo base para el desarrollo de sus propios programas.

2.2.2 Composiciónde un programa

Después de confeccionarun algoritmo, el paso siguiente es expresaruna secuencia de declaraciones de programación llamado códim-portante resistir la tentación de escribir el código antes de que ma en su totalidad esté claramente definidoy la técnica de solucióny elalgoritmo hayan sido cuidadosamente diseñados. Lasdificultades que mcomúnmente encuentranlosprogramadores sin experiencia se deblo general a la preparación prematura deun código que no abarqueunplan o una estrategia total, para la solución del problema.

Después que se ha diseñadoun buen algoritmo, el código se esen un lenguaje de alto nivel para una computadora. Se han decientos de lenguajes de programación de alto nivel desde qulas computadoras empezó. Entre ellos, hay tres que tienen impara computadoras personales: BASIC, FORTRANy PASCAL.

F O RT R A N , es la construcción de fórmula translation (traduccfórmulas),y se desarrolló en la década de1950. Debidoa que fue expresamente diseñado para cálculos, ha sido el lenguajemásusado enla in-genieríay la ciencia.

B A S I C , es la contracción de beginner’s all-purpose symboltion code (clave de instrucciones simbólicas de propósito generaprin-cipiantes), fue desarrollado en la década de1960. Requiere una cantidpequeña de memoriay es relativamente simple de implementar. Esecuencia es uno deloslenguajes más usados en las computadorsonales; sin embargo, el BASIC no es tanflexible comoel FORTRANy a veces no es conveniente para programas grandeso complejos.

ElPA S C A L ,que debe su nombre al científico francés BlasPascal, esunlenguaje estructurado que se desarrolló en a década de1970. Lospro-gramas escritos en Pascal para una computadora determinad



28 METODOSNUMERICOS PARAINGENIEROS

FIGURA2.4 Símbolos utilizados en diagramas de fluio.



LA PROGRAMACldNEN LASOMPUTADORASERSONALES 2 9

ser corridos fácilmente en otra. Aunque el Pascal es más difícder que el BASICy el FORTRAN, su fuerza sugiere que su impocrecerá en el futuro. Esto es verdad para la programación avaescala.

BASICy FORTRAN son convenientes para programas simpcortosque son suficientes para a implementación de los métodos nudeeste libro. Porlo tanto, se ha optado por limitar las presentaciontexto, a programas en estos lenguajes. BASIC es una alternporsu amplia disponibilidad. Se ha incluido el FORTRAN porcado continuo en el trabajo de ingeniería. Aunque este libro hen las computadoras personales, puede usarse por aquéllos quacceso a máquinas más grandesy en conjunción con cualquier lende alto nivel. Con este espíritu, los programasy diagramas de flujo solo suficientemente simples com o para que puedan servir de bas

desarrollo de programas para aquéllos que son expertos en Una descripción completa delBASICy el FORTRAN, obviamenmás allá del alcance de este libro. Además, el número de dialnibles en cada lenguaje complica aún más su descripción. Por existen más de10 dialectos derivados del BASIC .Sin embargo, limitado la discusión alofundamental, se puede cubrir información sude forma tal que se pueda entender e implementar efectivamel ma-terial relacionado con la computadora enel resto del libro.

En la figura2.5 SF presentanloscódigos en FORTRANy BASIC para sumar dos números, mostrandolas diferencias estructurales princentrelosdos lenguajes, el etiquetadoy el espaciamiento de códigoBASIC, cada instrucción se escribe conun número. En contraste, en FTRAN se etiquetan conun númerosóloaquéllas instrucciones que quieren identificación. Por ejemplo, la nstrucciónque tiene la etiquenúmero1 en la versión FORTRAN de la figura2.5 se llama una decla

SIC

c

IFIGURA2.5 Programa de computadora en FORTRANy BASICpara el problema de

la suma simple.



30 METODOS NUMERICOSARANGENIEROS

ción FORMAT. Especifica la forma en que se va a introducir o a imprimiruna línea particular. Por lo tanto, se debe etiquetar con un número paraque la computadora pueda distinguirla de otras declaraciones FORMAT.Las declaraciones FORTRAN se deben numerar para otros casos pero

la mayor parte, por lo general van sin numerar.Otra diferencia entre los dos lenguajes es el espaciamiento de cadalínea; en BASIC, por lo general el espaciamiento no tiene importancia.Por ejemplo, la línea 10 se pudo haber escrito de las siguientes formas

10 A = 251OA=2510 A = 25

y la computadora debe interpretar todas las formas como equivalentes.En contraste, los términos en FORTRAN se deben alinear en columnasespecíficas. Las reglas sobre la alineación provienen del hecho de que elFORTRAN se introducía originalmente en una computadora usando ec-tora de tarjetas. Aunque las tarjetas se emplean menos frecuentementehoy en día, las reglas de espaciamiento por lo general se han conservado.

A las 80 columnas de la tarjeta perforada se les llama c a m p o s de latarjeta. Los campos de la tarjeta se agrupan por partes para diferentespropósitos. Estos se ilustran en la forma de codificación de la figura 2.6.Una forma de codificaciónes un pedazo de papel donde se puede escri-bir y verificar un programa para revisarlo de errores antes de introducirloa la computadora. Nótese que también contiene 80 columnas al igual queuna tarjeta perforada. También obsérvese que cada una de las partes de

los campos se usa para propósitos particulares.Aparte de la estructura, los dos lenguajes tienen otras diferencias asícomo fuertes similitudes. En el cuadro 2.2 se delinean éstas. Este cuadromuestra comparaciones en paralelo de eis elementos principales de pro-gramacióc que tienen importancia directa en el uso de los métodos nu-méricos. Estos son:

1 . Constantes y variables. Se deben seguir ciertas reglas para expresarnúmeros y nombres simbólicos en los dos lenguajes. Como se puedever en el cuadro 2.2 ésta es un área en donde el BASIC y el FOR-TRAN son muy diferentes.

2. Entrada-salida. Éstas son instrucciones mediante las cuales se trans-mite información de y hacia la computadora. He aquí otra área dondelos lenguajes muestran diferencias considerables. Aunque la mayor partede los lenguajes modernos mejoran esta situación, históricamente lascapacidades de entrada-salida del BASIC, han sido muy limitadas. Enconstraste, las declaraciones FORMAT del FORTRAN son herramientasmuy potentes para etiquetar y espaciar la salida. Sin embargo, son delas declaraciones de programación más difíciles para un novato y aunpara u n experto.






CUADRO 2.2 Referencia rápida: comparación de FORTRAN y BASIC. FORTRANy BASIC son lenguajes de computadora fáciles de aprender y depracticar, en general son los primeros lenguajes deprogramación que se les enseña a los estudiantes de ingeniería.Como sucede con muchos lenguajes de programación, existenvarios aspectos que hacen dificil entender su uso. La siguientecomparación resulta del intento de bosquejar las diferenciasgenerales y las similitudes entre FORTRAN y BASIC y a la vezservir de referencia rápida y como recordatorio. Se puedenconsultar otras fuentes para los detalles referentes Q cada unode los lenguajes. Este resumen se limita y se enfoca a la vez almaterial que tiene importancia directa con los metodosnuméricos y con los programas descritos en el texto.

FORTRAN BASIC

CONSTANTESY VARIABLES(Representan los números y caracteres

usados a lo largo del programa)

ConstantesSon valores positivos o negativos, (excluyendo las comas o los símbolos

especiales) que se mantienen inalterados a lo largo del programa.

Enterosonstantesuméricasson constantes que no contienen punto son números enteros o reales con punto

decimal: decimal:

1, -2, 100 1, -2.0, 0. 001, 00

Constantes reales:contienen punto decimal:

1.o, -2., 0.001

Exponencialesson constantes escritas en notación científica. Por ejemplo, los números:

-12 000, 0.000 006 8, 386 O00 O00se expresan en notación científica como:

-12 x lo3,6.8 x 3.86 x 10’y se pueden escribir en FORTRANy BASICcomo:

- 12E3, 6.8E-6, 3.86E8Constantes alfanuméricas y cadenas de caracteres

representan letras, números y símbolos que se usan en este texto para etiquetar.Las cadenas de caracteres tienen otras aplicaciones, ncluyendo el USO de

expresiones de relación.

En FORTRANse encierran como: En BASICse encierran como:‘JOHN DOE’, INTRODUCE B’ “VALORDEA =”, “8/5/48”




CUADRO 2.2 Referencia rápida: comparación de FORTRAN y BASIC. (cont.)

FORTRAN

Variables numéricasrepresentan cantidades que pueden cambiar de valor. Se usan para estasvariables los nombres simbólicos, que deben empezar con una etra y no

pueden contener símbolos especiales.

Nombres de variables Nombres de variablesconsisten de uno a seis caracteres, desde constan de dos caracteres (mós en algu-la A a la Z y del O a 9 : nos dialectos) de la A a la Z y del O al 9 :

Variables enteras AA,X, N1representan valores enteros y empiezan representan valores reales o enteros.

con las letras a la N:

N,KOUNT, lNDl

Variables realesrepresentan valores reales y empiezan

con las letras A a la H y O a la Z:X, COUNT,VEL1

Variables de caracteres o cadenasrepresentan cadenas alfanuméricas y de caracteres. Se usan nombres simbólicos.

. E tratamiento de las cadenas de caracteres varía considerablemente entrediferentes versiones

Declaración CHARACTER Cadenas variablesson de la forma:erminanon $. La longitud de la varia-

CHARACTER*n vorl,vor2 ble es limitada.

A$,N1$donde n es la longitud específica de a

cadena de caracteres seguida po r unalista de variables. Por ejemplo,

CHARACTER *4 NOMBRE1, NOMBRE2

Arreglosson variables con subíndice que almacenan un conjunto de valores en vectores

de una dimensión y en matrices multidimensionales. Elespacio dealmacenamiento suficiente para un número dado de elementos se especificamediante

~~

Declaración DlMENSldN Declaración DIM

DIMENSION A(n),SUM(n,,n2) DIM A(n),IS(nl,n2)

Se permiten hasta siete subindices que La declaración DIM, en general se limita adeben ser enteros positivos. arreglos bidimensionales; las n pueden

Los arreglos no dimensionados generan ser variables.un error. Los arreglosoimensionados suponen

un valor de n = 10.



34 M~TODOSUMÉRICOS PARAINGENIEROS

CUADRO2.2. Referencia ápida: ompa raciónde ORTRAN y BASIC.(cant.)

FORTRAN BASIC

La declaración DIG-ENSION se debe co- La declaración DIMse debe colocar antes

locar antes de cualquier declaración de la primera línea donde a variableejecutable. dimensionada se va a usar. En caso de

no ir, supone el valor n = 10. El redi-mensionamiento genera a un mensajede error.

Las variables definidas en la declaraciónDIMENSION(esto es, Ao ISUM) tienenla misma regla de las variables numéri-cas "esto es, el arreglo A debe conte-ner valores reales, mientras que elarreglo ISUMdebe contener valoresenteros.

ENTRADAlSALlDAqué medios se transmite información a y desde un prog rama ),

Declaraciones de formatoespecifican la longitud y la posición de cada uno de los datos, que se van a leer

o a imprimir.

Aunque en la entrada y salida de da- Aunque existe Io declaración de formatotos existe formato libre, el FORTRAN para lectura o impresión de datos, lasestándar, en general impone un for- versiones recientes de BASICno lo em-mato de lectura o impresión. pleon.

Entrada

especifica los medios por los cuales se transmiten datos al programa

Declaración READpermiten ntroducir datos al programadurante su ejecución:

READf varl,vur2, . . , vur,

donde f esun código de formato queespecifica el tipo, disposición y, en algu-nos casos, el dispositivo usado para leerlos valores de var ], var2, . . ., varn. Porejemplo:

READ 5, 2) ,Bdonde el 2 es la etiqueta donde está ladeclaración FORMAT correspondientey el 5 especifica que los datos se obten-drán de una ectora de tarjetas.

Declaración DATAson declaraciones no ejecutables que defi-

nen el valor inicial de una variable.Tienen la forma general.

Declaración INPU TPermiten ntroducir datos at programadurante su ejecución:

In INPUTvarl,vur2, . . , var,

donde In es el número de líneas dondeestá la declaración INPUTy var,, var2,. . ., var, son los nombres de las varia-blescuyos valores se van a eer. Porejemplo:

10 INPUTA,BCuando se ejecuta esta nstrucción sedeben introducir los valores de Ay B enun dispositivo, tal como el teclado.

D e c l a r a c i o n e sR E D l D ATAconsiste de una declaración READasocia-

da a una declaración DATAque contie-ne los valores que se van a leer, como:

I



LA PROGRAMACldNEN LASOMPUTADORASERSONALES 35

CUADRQ 2.2 Referencia rápida: comparación de FORTRAN y BASIC. (cont.).

FORTRAN BASIC

DATAvar,, . .,var,,lvalor,, 10 READ,B,C,Z. . .,valor,,/

donde var es el nombre de la variabley valor es una constante. Por ejemplo: 90 DATA5,0.001,88,1 E-6

DATAA,B,C,Z/5.,0.001,88.,1.E-6/

Salidaesel medio por el cual se transmiten datos del programa.

Declaración WRITE Declaración PRINTse usa comúnmente pa ra imprimir datos. se usa comúnmente pa ra imprimir datos.Su forma general es: Su forma general es:

WRITEfvarl , . . , vur, In PRINTvarl, . . . , var,Por ejemplo:

WRITE(6, 2) ,BPor ejemplo:

10 PRINT A,Bdonde (6,2)es el código de formato, el En el momento que esta declaración2 es la etiqueta de la declaración FORMAT se ejecuta, los valores de Ay B se impri-correspondiente y el 6 especifica que los men en un dispositivo tal como la panta-datos se imprimirán en una impresora. lla o una impresora.

IA1cu10s

(Operaciones que usan expresiones matemáticas)

1Declaraciones de asignaciónse usan para asignar un valor a una variable:

XM=3.281indica a la computrdora que asigne el valor 3.281 a la variable XM;

A=XM+5indica a la computadora que sume 5 a XMy le asigne el resultado (en este caso,

8.281)a la variable A;

A=A+40indica a la computadora que sume 40 a A y le asigne el resultado (en este caso,

48.281)a la variable A . Elvalor anterior de A se destruye en el proceso.Nótese que, aunque A = A + 40 no es una expresión matemática válida, tiene

un significado especial dentro de la computadora. AI signo de igual en ladeclaración de asignación se le puede dar un significado de "se reemplaza

por", como en:A se remplaza por A+40

+-

Operadores aritméticosson símbolos usados para representar operaciones matemáticas:

SumaResta

+-

.



36 MÉTODOSNUMÉRICOSPARAINGENIEROS

CUADRO2.2 Referencia rápida: comparación de FORTR ANy BASIC.(cont.).FORTRAN BASIC

* Multiplicación *i División i** Exponenciación **,? , A

(Elsigno de exponenciacióndepende del tipo de BASIC

Si una expresión aritmética tuviera todos los operadores, el orden en que seefectuarían sería: primero, todas las exponenciaciones de zquierda a derechaen BASIC,Applesoft y Microsoft, y de derecha a izquierda en FORTRAN;acontinuacidn todas as multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha, yfinalmente todas as sumas y restas de izquierda a derecha. Cuando unaexpresión presenta paréntesis, la forma de efectuarlos es del más nterno al másexterno.

x = 0 + 3 :- 445

X=(((A+B)-R**3)/33-Y**4/45)**.5 X=(((A+B)-RA3)/33-YA4/45)A

CONTROL(Dirigen el flujo del programa mediante saltos,

transferencias y reasignacianes)

Dedarac iónG O TOespecifica un salto incondicional a un número de línea específico:

GO TO 200

.EQ.

.NE.

.IT.

.LE.

.GT.

.GE..AND..OR.

Operadores lógicosse usan para comparar los valores de

, .Igual adiferente demenor que

menor o igual quemayor que

mayor o igual que

lógica

dos expresiones:-

< ><

< =>

> =

-

ANDOR

De clara ción lóg ica Ifse utilizan para la toma de decisiones, de acuerdo al valor verdadero a falso

que tenga una expresión lógica

IF(N.GT.l .OR.N.LT.3)N=2IF(N.GE.l) GO TO 10

IF(N>l)OR(N<3)THEN N=2IF N>=l THEN 10

En los ejemplos anteriores, si la expresión lógica se cumple, se ejecuta latransferencia o la asignación. En el primer ejemplo, si N es mayor que 1 a




CUADRO2.2 Referencia rápida: comparación de FORTRA Ny BASIC. (cont.).FORTRAN BASIC

menor que 3, entonces N se iguala a 2 y el contro l pasa a la siguiente ínea. Enel segundo, s i N es mayor o igual a 1, el programo se transfiere a la línea 1O.En cualquier caso, si la expresión es falsa, no se ejecuto a transferencia o

reasignación y el control se pasa a la siguiente ínea.

Ciclospermiten repetir cálculos con una cantidad mínima de declaraciones

Ciclos conIF lógicorepiten calculos que se controlan con base en la declaración IF:

1 0 X=Y(I)*Z(I-1)IF(X.LT.O)GO T O50

GO TO 1 01=1+1

50 X=-X

10 X=Y(I)*Z(I-1)20 IFX < O T H E N5030 I= +l40 GO T O1050 X=-X

Ciclos controlados por un indice

Ciclos D O CiclosORlNEXT

DO In I=j,n,k FOR I = i T On STEPk

In C O N T I N U E In N E X T

donde In es el número de ínea de la ú h a declaración del ciclo, i s el valorinicia l del contador, n es el valor final o terminal y k es el incremento dado a la

variable I para que.varíe desde j hasta n. Después de terminar el ciclo,valor de n + k siempre y cuando I ea múltiplo de n.

SUBPROGRAMAS: FUNCIONESY SUBRUTINAS(ejecutan una proposición o un conjunto de proposicionesque se repiten varias veces a lo largo de un programa)

, I tiene el

Funciones intrínsecas

operaciones matemáticas o trigonométricas que se emplean comúnmente.

~~ ~

son funciones construidas nternamente o funciones de biblioteca que realizan

S I N SenocosT A N

Coseno

ALOGo LOGTangente

Logaritmo natural o de base eALOGo LOGIO

EXPLogoritmo común o de base 10

ExponencialSQRT Raíz cuadradaABS ValorbsolutoN T E lentero más grandeue

Es menor o igu:? a x

SINcosTANL O G

EXPS Q RABSI N T



38 METODOSNUMÉRICOSPARANGENIEROS

CUADRO 2.2 Referencia rápida: comparación de FORTRAN y BASIC. (cont.).

FORTRAN

SOL.

donde x es el argumento de la función. Nótese que la lista anterior no estácompleta. Dependiendo de la versión del compilador pueden existir más funcio-nes intrínsecas.

Funciones definidas por el usuarioson funciones definidas por el programador .

Declaración de funcionesson de la forma:

narnbre(xl, . . . ,xn) = fdonde nombre es el nombre de la fun-ción (se puede dar cualquier nombre);

x , , . . .,x,, on variables numéricas queno tienen subíndice y f es una expre-siónritmética ueepende ex , ,. . . ,,.

Las declaraciones de funciones van antesde la primera proposición de ejecutable.

Se pueden pasar varios argumentos enuna declaración de una unción. Lasotras variables dentro de la unción tie-nen el mismo valor que en el programaprincipal en el punto donde se llama lafunción.

TRIG(X,Y)=SIN(X)-LOG(Y)

A=5 )&&B=10S=TRIG(A,B)

Declaración DEFson de la forma general:

in DEFFNa(x) = fdonde In es el número de línea, a escualquier letra del alfabeto, x es una

variable numérica (sin subíndice) y f esuna expresión aritmética que es funciónde x .

La declaración DEFva antes de ejecutardicha función.

Se puede pasar sólo argumentos en unadeclaración DEF. Lasotras variablesdentro de la función tienen el mismo va-lor que en el programa principal en elpunto donde se llama a la función.

10 DEFFNT(X)=SIN(X)-LOG(B)

70A=50 E=10 990 S=FNT(AJ

Subprogramas Functionse parecen a las declaraciones de funcio-

nes en la ejecución pero, como su nom-bre lo indica, son programas, esto es,

consisten de varias líneas. Los subpro-gramas tipo unction son de lo formageneral:

FUNCTION n a m e ( x l , . . x2j

nombre = fRETURN

donde todos los valores que toma lafunción son aquellos que se definen a1llamar a dicha Función.



LA PROGRAMACldNEN LASCOMPUTADORASERSONALES 39

CUADRO2.2 Referencia rápida: comparación de FORTRANy BASIC. (cont.).FORTRAN BASIC

A =5B=10S=TRIG (A.B)

FUNCTIONTRIG(X,Y)

RETURNTRIG=SIN(X)-LOG(Y)

Nótese que as constantes y las variables

que no se pasan como argumentos de-ben definirse dentro de a función o pa-sarse por una declaración COMMON.

Subrutinasson subprogramas que consisten de un conjunto de proposiciones que realizan

una tarea en particular. Contienen una declaración RETURNque regresa alpunto donde se llamó a la subrutina.

Las subrutinas se llaman con una decla-ración CALL de la forma:

Calln o m b r e (arg,,org,,. . .,arg,)

donde nombre es el nombre de la subru-tina y org,,. . ., org, son los n argu-mentos (variables o constantes) que sepasan a la subrutina.

La subrutina va después de l programaprincipal y empieza con una declaraciónSUBROUTINE,de la forma:

Las subrutinas se llaman con una decla-ración GOSUB de la forma:

In, GOSUB Inn

donde In , es el número de ínea de ladeclaración GOSUBy In2 es el númerode ínea donde empieza la subrutina.

La primera línea de la subrutina puede ren cualquier lugar dentro del programa.

donde nombre debe ser el mismo al Ila-mar dicha subrutina con a proposiciónCALL.

Una vez dentro de a subrutina, las proposiciones se ejecutan en secuencia hastaque se encuentra una declaración RETURN,después de lo cual regresa a la si-

guiente ínea de donde está la subrutina.

Se pasan a y desde la subrutino única- Todos los valores se pasan a y desde lamente os valores queaparecen omo ubrutina.argumentos de la misma:




CUADRO2.2. Referencia rápida: comparación de FORTRANy BASIC. (cont.)

FORTRANAS IC

CALLSUM(X.Y,Z)

-

200 GOSUB 800

END 500 ENDSUBROUTINESUM(A,B,C) 800 Z=X+YC=A+B 850 RETURNRETURN

Nótese que las constantes y las varia-bles que no se pasan como argumentos

se deben definir dentro de a subru-tina o pasarse on unadeclaraciónCOMMON.

DOCUMENTACI~N(le permite ncluir nformación para el usuario de los programas)

las declaraciones de documentación son instrucciones no ejecutables.

Declaracióneomentar ioec larac ión REMConsiste del carácter Co del símbolo *en Consiste de la declaración REMseguida

C aquí se puede teclear cualquier 1O REMaquí se puede teclear cualquier

la columna 1 seguido por un mensaje: por un mensaje:

mensaje. mensa

3. Cálcu los . Las operaciones matemáticas son muy similares en amboslenguajes. Aunque a nomenclatura es un poco diferente, as ecuacio-nes escritas en los dos lenguajes casi son idénticas.

4. Control. Estas declaraciones se usan para dirigir a secuencia lógicade las instrucciones en el programa. Para los m6todos numéricos, es

suficiente con tres tipos: la declaración GO TO,el IF lógico y los ci-clos. Aunque hay pequeñas diferencias en la nomenclatura de amboslenguajes, las declaraciones son muy similares en operación.

5. Subprogramas. Como lo indica el nombre, son miniprogramas dentrodel programa principal. Se diseñan para ejecutar declaraciones quese repiten muchas veces a lo largo del programa. En vez de reescribirlos miniprogramas muchas veces dentro del programa, se pueden es-cribir sólo una vez e invocarse con una declaración simple cuando seanecesario. Estos .subprogramas, que incluyen las subrutinas, funcio-nes definidas por el usuario y funciones predefinidas, son otro caso



0 7 8 f qLA PROGRAMACIóNEN LASCOMPUTADORASPERSONALES

donde FORTRAN y BASIC difieren significativamente. Las diferen-cias estriban en la manera en que se pasa nformación entre el cuerpoprincipal del programa y los subprogramas. Como se muestra en el

cuadro 2 .2 .los argumentos de los subprogramas FORTRAN actúancomo ventanas para controlar el paso de informacih. Este es un ejem-plo que muestra al FORTRAN como un lenguaje más complicado y .en consecuencia. más potente que el BASIC.

6. Documentac ión . Estas declaraciones permiten incluir información en-focada al usuario dentro del programa.

En resumen, el FORTRAN es un poco más flexible y más poderosoaunque también es más difícil de aprender que el BASIC. Sin embargo.ya que éste se desarrolló originalmente como una versión simplificada delFORTRAN. los dos lenguajes muestran varias similitudes. Aunque cadauno de ellos tiene sus reglas que deben respetarse e n cuanto a estilo. suvocabulario y gramática son lo suficientemente similares como para per-mitir una traducción fácil de la mayor parte de los programas de un len-guaje a otro. Por 10 tanto, en este libro todo el código para computadorase presenta en formato doble como el de la figura 2.5. Aunque algunasveces signifique que se olvidarán características peculiares de uno u otrolenguaje, esto permitirá alcanzar un conocimiento de los dos lenguajesFORTRAN y BASIC.

2 . 2 . 3 Rastreo y pruebaDespués de escribir el código del programa. se debe probar para buscarlos errores, a los que se les llama bugs. AI proceso de localizar y corregir loserrores se les conoce como rastreo. Pueden ocurrir varios ti pos de erro-res cuando se programa en ualquier lenguaje. Loserrores desin taxis violanlas reglas del lenguaje como la ortografía. la formación de los números.los números de ínea y otras reglas específicas a cada lenguaje. Estos erroresa menudo resultan al teclear cosas raras. Por ejemplo. la declaración enBASIC

30 A = 5/ (0. 2+ 4 * SIN(2*Y1

generaría un error de sintaxis inmediato porque los paréntesis no se en-cuentran por parejas.

Los errores más difíciles de detectar están asociados con la lógica ycon la construcción de los programas y pueden ocurrir sin interrupcionesde sintaxis. Por lo tanto, se debe tener especial cuidado y asegurarse deque el programa hace lo que se le pide. Por ejemplo. supóngase que.se desean sumar los enteros entre 1 y 10 y luego dividirlos entre 10(es decir. calcular su promedio). Los códigos en FORTRAN y BASIC de -ben ser



42 MÉTODOSNUMÉRICOSPARA INGENIER

FORTRANs = oD O 4 0 = 1 , 10S = S + I

40 CONTINUEA = S/IWRITE (6,1)A

BASIC1 o s = o20 FOR I = 1 TO 103 O S = S + I40 NEXT5C A = S/l60 PRINTA

obteniendo como resultado A = 5. mientras que el resultado esperadoera A = 5.5. La sintaxis está perfecta. pero hay un error de lógica quela computadora jamás podrá detectar porque no hay forma de observar-lo. Una manera de eliminar este tipo de error es la de imprimir duranteel programa los valores de las variables que no se requieran en la formafinal del programa. Por ejemplo. si se ha escrito

WRITE f V O ~ I ,. . , vorn in PRINTvorl, . . . , V O ~ ,

con los resultados A = 5 e I = 11, probablemente se notará que el errorestriba en que el valor de I se incrementa al salir del ciclo.

Los erroresdeeste tipo a menudo son muy dificiles de detectaren programas muy grandes o muy complejos. Por o tanto, es una buenapráctica verificar manualmente si es posible, los resultados dados porel programa y probarlos en casos especiales. Esto puede hacerse con lápiz,papel y una calculadora. Los errores asociados con la lógica o con la f i -nalidad de un programa. no con la gramática, se les conoce como erro-res de semántica. Estos ocurren. por lo general durante la ejecución del

programa y se les conoce también como errores e n el momento de /a co-rrida ( runtime errors). Es absolutamente necesaria la técnica de impri-mir los valores de las variables intermedias para verificar la lógica de u nprograma y evitar errores de semántica en programas muy grandes.

E rastreo y la prueba de los programas se facilita empleando u n buenestilo de codificación, Esto puede implicar que el disefio de los programasconsista de varias partes pequeñas. A este tipo de estilo de programa-ción se le conoce como programación modular. Cada parte es especificae identifica fácilmente las tareas a ejecutar. Las subrutinas son medios apro-piados para tal modularización. Elprograma principal (o el programa quelas llama) puede, entonces ser simplemente un director que guía cada unade las partes en un esquema lógico. De esta manera . si los programasno funcionan perfectamente, se puede aislar y localizar el problema másrápidamente. Por ejemplo. se pueden escribir subrutinas para c,adaunade las siguientes tareas:

1. Leeratos. 4. Ejecutar algoritmos numéricos.

2. Mostrar datos. 5. Mostrar los resultados enna tabla.

3. Mostrarun carácter para 6. Mostrar los resultados en una gráfica.información.



LAPROGRAMACIóN ENLASCOMPUTADORASERSONALES 43-

Cada una de estas subrutinas realiza una tarea limitaday aislada que sepuede programary rastrear separadamente. Esto simplifica muchbajo total. comparado con el rastreo de todo el programa simu

Después de probarlosmódulos, todo el programa se debe sujunaprueba total del sistema. Paraun programa de métodos numérise debe realizar una serie de cálculosy debe compararse con casos donconozca previamente lasolución exacta. Algunas veces se dispola solución analítica lacual es aceptable para estos propósitos. Tel caso del paracaidista (recuérdenselosejemplos1.1.y 1.2).En otroscasos, el programador debe realizar cálculos manuales con unadora de bolsillo para comprobar que el programa lleva a resulfiables. En cualquier caso , el programa se sujetará a una grande pruebas para asegurarse de que funcionará confiablementelas condiciones de operación posibles. Unicamente hasta entograma estará listo para ser usado en la solucióndeproblemas de ingenie2 . 2 . 4 Documentación

Después de que el programa ha sido rastreadoy probado, se debe docmentar. La documentación es la inclusión de comentarios queten al usuario implementar el programa más fácilmente. Recuéjunto con otras personas que pueden usar sus programas, el pdor mismo esun “usuario”. Aunqueun programa parezca simpley clarocuando está reciénhechoy se guarda en la mente, después de pasa

tiempo el mismo códigopuede parecer inaccesible. Porlo tanto, se debeincluir suficiente información para permitirle los usuariosentender eim-plementar inmediatamente tales programas.

Esta tarea exhibe spectos internosy externos. La documentaciónn-terna consiste de algún análisiso explicación que se inserta a lo largcódigo del programa para la descripción de cómo trabaja calas secciones del mismo. Es importante en casos donde se va el programa. Esta documentaciónse debe incluir tan pronto como semine una parte del programa, en lugar de hacerlo hasta el fintar la pérdida del concepto en el diseño original que se tuvo en edel programa. La documentación interna se mejora consideracon el uso de nombres mnemónicos apropiados para las variabnombres pueden ser más difíciles de codificar que los nombres ños, pero la ventaja de ser más informativos, por lo general valga la pena el esfuerzo adicional. Utilizar nombres mnemónnientes, incluye en esencia el uso de nombres convencionalo est6n-dareso abreviaciones com unes para variables.

La documentación externa explica las instrucciones comoe información impresa suplementaria diseñada para auxiliarl usuarioenla implementación de los programas. Los mensajes impresosque ayudan a quelosresultados estén bien presentadosy accesibles ausuario. Esto implicael uso correcto de espacios, líneas en blancoo ca-



44 MÉTODOS NUMÉRICOSPARAINGENIERO

racteres especiales que ilustren la secuencia lógica y la estructura de losresultados de un programa. Los resultados bien presentados simplificanla detección de errores y aumentan la comprensión de los mismos.

La información suplementaria puede variar desde una hoja hasta unmanual para el usuario. La figura 2 .7muestra un ejemplo de una forma

FIGURA2.7 Formato simple de una página para la documentación de un programa.Esta página se debe guardar en una carpeta con un listado del programa.



L APROGRAMACI~NN LASCOMPUTADORASPERSONALES 45

de documentación simple que se recomienda para preparar cada uno delos programas a desarrollar. Estas formas se pueden mantener en un cua-derno de otas para tener una eferencia rápida para la biblioteca d e pro-gramas. El manual del usuario para una computadora es un ejemplo deuna documentación accesible. Este manual indica cómo correr el sistemay los programas de operación en disco de la computadora.

2 .2 .5 Almacenamiento y mantenimiento

Los pasos finales en el desarrollo de u n programa son el almacenamientoy mantenimiento del mismo. El mantenimiento involucra acondicionar elprograma e incluso hacerle cambios que lo hagan accesible a problemasreales. Después de varias corridas, estos cambios pueden hacer al pro-grama más fácil de usar y más aplicable a mayor cantidad de problemas.El mantenimiento se facilita con una buena documentación.

El almacenamiento se refiere a la manera en que los programas seguardan para uso posterior. Antes del advenimiento de las computado-ras personales, no había formas simples de almacenar copias de trabajode programas realizados. Los listados de código, de hecho se guardaban,pero tenían que teclearse de nuevo para usos posteriores. Las cajas e tarjetas

FIGURA2.8 Discoflexible.



46 MÉTODOS NUMERICOSARANGENIEROS -

perforadas se podían guardar, pero para n programa de cualquier mag-nitud resultaban difíciles de manejar y susceptibles a deteriorarse.

Como se menciona al principio de este capítulo, los dispositivos de

almacenamiento magnético han mejorado sustancialmente la habilidadde retener programas. Un dispositivo común de almacenamiento es el discflexible. mostrado en la figura 2.8. Los discos flexibles son un medio ba-rato para almacenar programas y datos. Aunque los discos flexibles tie-nen una gran utilidad. también tienen algunas desventajas. Por una arte,su tiempo de acceso es m u ylento; por otra, se deben manejar y se debenguardar con mucho cuidado. Dado que pueden borrarse muy fácilmen-te, siempre se debe tener na copia de cada uno de ellos. Además, uandose termina un programa de computadora, se debe imprimir inmediata-mente y almacenarlo con la documentación correspondiente. Estas im-presiones pueden ser útiles en el caso no deseado, pero posible, de queel disco y su copia se destruyan.

2.3 DESARROLLODE U NPROGRAMA PARAE LPROBLEMA DEL PARACAIDISTAAhora se usará el material de las secciones previas para escribir u n pro-grama en BASICy en FORTRAN para el problema del paracaidista. Es-tos programas son un ejemplo ideal porque contienen todos los elementos-entrada-salida, ciclos, decisiones, cálculos y subprogramas- que con-

forman al programa en el resto del capítulo.Recuérdese que el problema del paracaidista es equivalente a a solu-ción de la ecuación (l . 2):

-7

donde v es la velocidad en un tiempo posterior v(tJ es la velocidad en el tiempo actual t i , g es la aceleración de la gravedad (igual a)980 cms/s2, c es el coeficiente de rozamiento, m es la masa del para-

caidista y At = t i+l - i . El término entre corchetes es el valor actual depromedio de cambio de velocidad respecto al tiempo [Ec. (1.8)]. i sconoce la velocidad inicial del paracaidista v (ti) a ecuación (2.1) se puede resolver repetidamente para valores de v (t i+ J, como se hizo en elejemplo l . .

Con esta información como antecedente, ahora se puede desarrollarun algoritmo para el problema. En este punto, se podría desarrollar unalgoritmo bien detallado. Sin embargo, con la práctica que se tiene, difí-cilmente se podría. En lugar de ello, se empezará con una versión gene-ral simple, agregándole detalles poco a poco en forma secuencia1 paraexpandir la definición. Entonces, cuando se haya obtenido una versión







LAPROGRAMAC16NN LASCOMPUTADORASERSONALES 49

insertar nuevas líneas de código en refinamiento subsecuentes del pro-grama.

Aunque el ejercicio mencionado anteriormente ciertamente es un pro-grama válido para el problema del paracaidista, por ningún medio explo-ta todas las posibilidades de programación nien FORTRAN ni en BASIC.Para demostrar como se pueden emplear líneas adicionales, para desa-rrollar una versión mejor, ahora se refinará el programa.

Muchas de las modificaciones e inserciones siguientes representan unatécnica de programación más eficiente y más sencilla de ejecutar. Sinembargo, cierto material se enfoca hacia propósitos didáctico5 para de-mostrar el uso de ciertas declaraciones. El siguiente análisis muestradirectamente la versión en BASIC. Ya que los programas de la figura 2.11están escritos en paralelo, es muy fácil extender el análisis a la versiónFORTRAN.

Elprograma de la figura 2.11 tiene nuevas características. Las princi-pales son:

1.

2.

El pr ogra m a calcula aho ra la velocidad ara t res val ores di ferent esdel oef i c ien t e d e rozamientoy d e a m asa . La habilidad de realizarcálculos repetitivos es una de as ventajas de las computadoras. Dentrodel diseño en ingeniería, a menudo es til realizar una serie de cálcu-los varias veces con valores diferentes e los coeficientes para valorarla sensibilidad del modelo a estos cambios. Esto se hace en este caso,realizando los cálculos del ejemplo 1 .2 con el coeficiente de rozamientovariando 2 0%. De esta manera, los tres casos usados en el pro-grama son para el caso del coeficiente de rozamiento original (12 500g / s ) ,el coeficiente de rozamiento más el 10 por ciento (13 750 g/s)y el coeficiente de rozamiento menos el 10 por ciento (11 250 g/s)El cálculo repetitivo se lleva a cabo agregando un ciclo iterativo (lí-neas 3080 a la 3390). Cada vez que el programa pasa a través delciclo, se usa un coeficiente de rozamiento diferente para calcular lavelocidad. Nótese también que el coeficiente de rozamiento y la ma-sa se usan como variables con subindices C(K) y M(K)Por lo tanto,se les asigna una dimensión en la línea 3040.

El pro gram a i ene aho ra un esquem a tera t iv o más preciso .Ademásde agregar el ciclo mayor para los tres casos de y de m (líneas 3080a la 3390), se han usado dos ciclos para calcular el valor actual deu . Se hace así porque pudiese ser que no se desee mprimir una res-puesta después de cada paso. Esto sería especialmente cierto si seusara un paso muy pequeño, por ejemplo 0.01 S , para obtener resul-tados más exactos. Para calcular desde t = O hasta 20 S , se requeri-rían 20 /0 .0 1ó 2 O00 números. Ya que se requiere un valor para cada2 S que esquemetice razonablemente a caída del paracaidista, se hanusado dos ciclos anidados de forma tal que el programa imprima re-sultados en tiempos intermedios. Unciclo anidado es aquel ciclo que



50 MÉTODOSNUMÉRICOSPARAINGENIER

FC PRDCRRMRLEGIBLERL USURRIO

C DEL PARPCP,IDISTP.c En FDRTRBNp a s a EL PROBLEMQ

C

C CIVILHCINEERIHC

C CDLLECESTATION, TEXnS 77843C

c sc c u w R n

c TEXPSa w U N I V E R S I T Y

................................................C FUHCIOHPPlRP CRLCULURV/DT................................................

VDT(C.V,N)-980-C.V/M

................................................PRDCRRMRPRINCIPRL................................................

€UD................................................SUBRUTINRp a w IMPRIMIREL ENCP,BEZPDO................................................

SUBRDUTIHELRBELVRITE(6 ,>RETURNEND

I FORMIIT(' - ' :SDLUCION Paun LP, VELOCIDAD DEc a l w GEL P m m a I D I s T f i

................................................SUBRUTINR PRWEER DRTDS................................................SUBROUTINE INPUT(TO,TI,VO,U,P>

RERD< 5 . 2 > 1 0TIEMPOz H I c l a L( S E G )

( S . Z ) T ITIEMPO FIH AL SEG )

VELDCIDRD INIClPL( C M / S E C >RD(S.2)VO

RD<5 , 2 >H

~~

MRCNITUD DEL IHCREIEUTO (SEC)

IMPRIMEEL IHTERVPlLO( S E C )

C

C

C

C

RE,

REI

RE

RERD(S ,2 )P2 FORtlPIT<F 6 . 2)

C VERIFICLLP, RPlCHITUD DEL IHCRENEHTOE IMPRIME EL IHTERVIILOI F <P.CE.W.IIND.P.NE.O>COTO 222UU R I l E ( 6 , 3 >

3 FDRNPIT('EL IWTERVLL D DES ES E R MRVOR D IGURLP L O MPIGNITUD

22:*DELNCREMENTO Y NO PUEDEVPLER CERO')

CCC

2 0 RETURNEND..............................................

UBRUTIN0PRRR RERLIZRR CfiLCULOS

..............................................UBRDUTIHE CILC(TO,T1 ,VO,H,P)REM. MDIMEHSIOUC < 2 O ) , l M Z O )

NC-IHT(P/HIDVOT(C.V,M)-SBO-C.Y~M

HP-IHTl(Tl-TO>/P>

DO 3370 K-1.20

REIID<S,4)C(K)IF ( C < K ) . E P. O . )COTO3390

REIID (S.4IJUK)

CICLO PP,RR CRLCULRRCDU DIFERENTES CY M

LEEELCOEFICIENTEDEFRICCIDU

LEE LII men4 FOR11RT<FIO.O)

VERIFICPIQUE R (1181 SE1 CERDI F ( ~ l K > . C T . O . O ) C O T D220

S FORMRT('- ' , 'LRNASR DEBE SER M(IV0RPUE CERO' ,VRITE(6 ,5>

COTO 3390C INICIPLIZI( TIEMPOY VELDCIDRD

3200 r-To

6

C

C

3340

336011703390

v - voVRITE(6.6)FDRIIPIT(, , , 4 Y, ' T t S E C > ' . 1 O X , ' V(YRITE(6.7>T.V

DO 31601-1,NPINPRIME E L CICLO

CICLODE CP,LCULD

C O N T I kRETURNEND

CWSEC

INTERVA

FIGURA2.11 Versiones FORTRANy BASIClegibles al usuario delprograma de la caídadel paracaidista.





52 MÉTODOSNUMERICOSPARAINGENIERO

FIGURA2.12

2 . 4

Tex as A&M UnwersttyDepto Ingentería Cw l

College Stahon. Texas77843

DESCRlPClONEsteprogramacalcula la velocidadvertical de caídade u nparacatdtsta enfunctóndel tiempo

REQUISITOSESPECIALES:Se pueden usar hasta20 coeficientes diferentes derozamientoREQUISITOS ESPECIALES-y masas para calcularla uelocldad

REFERENCIAMétodos numértcos para Ingenieros con dphcaciones en computadoraspersonales,1986 (Mc-Graw-Hill. M éxico),Cap 2

SOLUCION PARA LA VELOCIDADDt CAlCADEL PARACAIDISTA MASS I G I - 6 8 1 0 0TIEMPO NICIAL lSEG110TILMPOR FINAL SEGI123

TISECIICMISECIO O7 1 w n

VFLOCIOAD NICIAL CMlSEGl456

MAGNITUD DEL INCREMENTO32

IMPRIME EL INTERVALO SEGI= 3

EL (NTERVALO NO DEBE SER MA YORO IGUAL QUE LA MAGN ITUD DELINCREMENTOY NO DEBE VALER CERO

MAGNITUD DEL INCREMENTO- 8

IMPRIME EL INTERVALO SEGI= 2 6

COEFICIENTE DE FRlCClON G'SEGI

TECLEA UN CERO)65(PARA TERMINAR EL CALCULO

M A S A G I = 23

TlSEGlICMiSLGl

TISECIlCMlSECl

O 02 1960

6 3825657241281689

10 448 8 10732

14 4723 386916776.2083818 4807 4898 720 4826 13934

8 4240 49528

12 4635 2918

DRAG COEFFICIENTE G.SECI

E N T E R L E R O i = 1 2 5 0 0IT0 TERMINATE COMPUTATION

46810121416

2018

3%; 46994482 428694796 896864995 92151

5201 602765121 88278

5252 056965283 98906

3985 55437

DRAG COEFFICIENT GlSEClIT 0 TERMINATE COMPUTATIONENTER ZERO1= 11250

M A S S I G I =68100

TlSEClICMiSECI

O O2 1960427222916 4151.225916 4739.675510133.703421214 5397 5459

557 4 21 57616 56921452

2018771 72778

5824.76927

DRAG COEFFICIENT GISECI

ENTER ZERO1= O(TOTERMINATE COMPUTATION

Documentación del orograma legible al usuario del problema delparacaidista, incluye corrtda del programa.

ESTRATEGIAS DE PROGRAMACIóNEste libro brinda al estudioso diversos medios, de cálculo cfin dconvertir la teoría delosmétodos numéricosen herramientas práctpara la soluci6n de problemas de ingeniería,Estos medios incluyen1)disc



LA PROGRAMACldNN LASCOMPUTADORASERSONALES 53

que guardan a los programas,2) programas,3) algoritmosy 4) diagra-mas de flujo. El propósito de esta sección es el de descubrirla forma enque cada una de estos medios complementa alos otros alo largo delli-bro. La estrategia global se ilustra en a figura2.13.

Tal vez al comprar este libro el lector también adquirióun disco paracomputadora.A este disco se le conocerá con el nombre de NUMCO MP, correrá sobre una computadoraIBM-PC(o cualquier compati-ble)o sobre una APPLE11.El disco contiene seis programas escritosBA SIC: bisección, eliminación Gaussiana, regresión lineal, int

Meta: Resolverlos problemasde ingenieríausando unacomputadoray los métodosnuméricos

FIGURA2.13 Estrategia empleada en el texto para integrar las computadoraspersonales y los métodos numéricos en la solución de problemas deingeniería.



54 MÉTODOSNUM~RICOS ARAINGENIERO

de Lagrange, regla trapezoidaly el método de Euler.Losprogramas rpresentan una colección de métodos numéricos simples, permuyúti epara cada una de las partes de este libro. Conmuypoca preparación puusarse NUMERICOMP para la solución de problemas. Esto principalmente a que los programas están escritos enun lenguaje legiblyclaro, además que proporciona toda a información necesaria ración. Además de tener utilidad inmediata, el disco ofreceun ejempconcreto de programas bien escritos que se puedenusarcomo modepara programas escritos por l usuario. Finalmente, os prograden usar para verificar la exactitud delosresultados enlosesfuerzos dprogramacióndelusuario.

Cada uno de los programas se ilustra completamente enque le corresponde dentro del libro. Las ilustraciones muestse verían en una pantalla,losdatos que se requieren,losresultados los cálculosy una gráfica delosresultados. Estas ilustraciones e gusando NUMERICOMP en la solución deun problema determinadoincluyen algunos ejercicios en cada uno de los capítulos parhabilidad en el manejo de los discos del usuario en su propi

S e dan los códigos de ambas versiones. FORTRANy BASIC palos mismos métodos. Estos programas contienenlosalgoritmos fundmentales con esquemas simples de entraday salida de datosy con pocdocumentación. Porlo que no sonmuyclaros en su exposición. Ulas tareas será la de modificar estos programas de forma tal unpoco más claros, usandolosrecursosy la técnica individual de cadgramador. Una vez que esto se haya llevado a cabo, se tendherramienta que se aproximará alos programas suplementarios.

Los seis programas del disco NUMERICOMP son paralosmétodobásicos de cada una delas partes del libro. No son, necesariamlosmás eficientes computacionalmente hablando sobreosexistentes. Polotanto se han incluido diagramas de flujoo algoritmos para la mayor de los otros métodos numéricos del libro. Se pueden usar esmasy algoritmos con la destrezade programación propia del usuaescribir programas de cualquier otro delosmétodos expuestos.

EJEMPLO2.1

Gráficaspor computadora

Enunciado del problema: el propósito de este ejemplo es el zarse conlos programas opcionalesNUMERICOMP disponibles con

FIGURA2.14 a) Título de los programas NUMERICOMP que acompañan al texto. b)Menú principal de NUMERICOMP. c) Menú para BISECCION,d) Lapantalla muestra cómo se in troduce una función para BISECCION;lafunción en este caso es la ecuación (1.9), que calcula la velocidad decaída del paracaidista. ) La pantalla muestra una gráfica de la velocidadcontra el tiempo pa ra el paracaidista, como lo calcula NUMERICOMP.



LAPROGRAMAC16N EN L A SCOMPUTADORAS PERSONALES 55

FIGURE2.14



56 MoODOS NUMERICOS PARAINGENIEROS

y usar las capacidades gráficas de NUMERICOMP para traSi el libro se compró sin estos programas, entonces se debeformas para realizar tareas similares sobre la computadora. Esllevar a cabo con la ayuda delosprogramas dados porel sistemao puede requerirse que se desarrollenlos propios. La habilidad en el trafunciones esmuy importante ya quela forma de resolverun prob zmde métodos numéricos se facilita mucho cuando se usa en ccon gráficas por computadora.

Solución: insértese el discoNUMERICOMPen launidad de discoycórrase el programa de acuerdo las instrucciones delM a n u a ldel usuario

La pantalla debe producirun esquema similaral de la figura 1 .1Simplemente es la presentación del programa. TecléeseRETURNparcontinuar. La pantalla debe mostrar ahoraun menú de selección p

pal como se muestra en la figura2.14b.

l menú contiene una listseis programas incluyendo una opciónque termina la sesión.Se usarcada uno de estos programas en el momento apropiado dencuando se haya visto previamente la teoría de cada uno delos métodoPor ahora se usará19opción de grdficas por computadora dentgrama de BISECCION para gráficar la velocidad del paractunción del ti9mpo. Para hacerlo, simplemente se introduce el BISECCION mediante la opción1. La pantalla, automáticamentmostrarun patrón similar al de la figura2 . 1 4 ~ espués de algunos mmientos del disco.Sólo se requieren usar las opciones1 ,3 y 4 para gracar funciones. Selecciónese la opción1para introducir la función ula ecuación (1 .9 ) conm = 68 100 g , c = 12 500 g/s y g = 980 cm/s(Fig. 2 .1 4d). Regrésese al menúprincipaly escójase laopción 3 pargraficar la función. Antesde trazar la gráficase deben dar valores my máximo parax y paraf(x) que corresponden al tiempoy a la velodad en este caso. Los valores parax y f ( x )están dados por definicen la primer columna (en este caso son cero). Pruébense vparalosejesx y paraf(x) (incluyendo valores negativos) parzarse con el diseñoy operaci6n de la opción de graficación. En2.14e se muestra una gráfica que muestra el esquema de lacomo función del tiempo.

La opción de graficación dada por este programa tendrtrosusos para visualizar mejor los resultados de la aplicación delos métodnuméricosy la computación en la solución de problemas de inEstos usos se exploran en las secciones subsecuentes del

PROBLEMAS2.1 Escríbanse lasdeclaraciones BASICy FORTRANequivalentes a cada una de la

siguientes expresiones:



LA PROGRAMACldNEN LAS COMPUTADORAS PERSONALES 57

2.2

2.3

2.4

2.5

xlsenl

- b --- 1

2a

b ) y=-

c) x =

I) Si A y Z tienen el mismo signo, entonces reemplácese2 por Q .

Escríbanse las declaracionesBASIC y FORTRAN para realizar la siguiente operacS = 2 xi2

Para i = 3, 6, 9,. . . , 21.

Dado el siguiente programa

10 A = 10.120 B = 3.141630 Z = 1.140 PRINT X1

¿Cuál será el resultado quese imprima, si se insertan las siguientes expresentre las líneas30 y 40?

a ) 35 X1 = A"Z/B

b) 35 X1 = A' (Z/B)

cj 35 X1 = A'B - B**B/Z + 2'2

d ) 35 X1 = ((A'Z) - B/Z)' *Z)/(B - Z)

e ) 32 J = INT(A**Z/B - 2)

36 X1 = J'A

Dado el programa del problema 2 .3 , escríbase el código de la línea35 que eva-luará las siguientes expresiones algebraicas:

a - 4 6x1 =

2

7XI = a - d z / 5 + 6(a + 2)2'3 - -b

La figura para este problema muestra la página de una bitácora deun automóvil.Cada renglón representa una visita a la gasolinera en la que el tanqude gasolina. La página tiene, además colum nas para la fecha, el kilomcado por el odóm etro, la cantidad de gasolinay su costo.

Escríbase un programa, diseñado de forma tal que acepte datos dbajo este esquemay calculelos kilómetros recorridos por litroy el costo por ki16-metro de acuerdo a cada intervalo entre llenadoy llenado. Debe imprimirunatabla con tres columnas que conforman la fecha ,los kilómetros por litroy el costopor litro.



58 MÉTODOSUMÉRICOS PARA INGENIERO

FIGURA DEL PROBLEMA2.5

2.6 Se invierte una cantidad de dineroP n una cuenta cuyos intereses se reial inaldel periodo.Elmonto futuroF , con una tasa de nterési después denperiodos se puede determinar fácilmente con la fórmula siguiente

F = P (1 + i )"

Escríbaseun programa que calcule el monto futuro de una inversiónde entrada deben incluir a cantidad inicialP, a tasa de interési (com o fraccdecimal),y el número de a6osn paralos cuales se va a calcular el montoLa salida debe incluir también estos valores. Incluyendo, en forma dfuturo para cada uno delosaños, hasta el n-ésimo año . Correr el progP = $ 1 000 .00 , i = 0.1 y n = 20 años.

2.7 Escríbaseun programa para calcular as raíces reales de la ecuación

ax' + bx + c = Odondea , b y c son coeficientes reales. La fórmula para calcular lasfórmula cuadrática



LAPROGRAMAC16NN LASCOMPUTADORASERSONALES 59

- b fX = 2a

Nótese que si la cantidad dentro del signo de la raíz cuadrada es nega

ces las raíces son complejas. También ocurre una división por cerosia = O.Disé-ñese el programa de forma tal que contemple estas contingencias imun mensaje de error. También, inclúyase algo de documentación alo largo delprogramay etiquétense las salidas para hacer el programa legible. Reploscálculos para valores diferentes dea , b y c, tantas veces como el usuario desEfectúense pruebas paraloscasos:

a) a = l b = 4 c = 2b) a = O b = -4 c = 2.3c) a = l h = 2 c = 2.3

2.8 La función exponenciale se puedeevaluarmediante la serie nfinita:

Escribaseun programa para implementar esta fórmula que calculelosvalorese xagregandoun término cada vez a la serie. En otras palabras, calcúlese e se la secuencia

e x = 1e x = l + xe X = l + x + -*

2

hasta la orden de término prefijado. Para cada caso, calcúlese el poerror relativo dado por

% error =solución real- olución aproximada

soluciónreal100%

Utilícese la función de biblioteca para calculare xy determinar la "solución reaElprogrma debe imprimir la solución aproximaday el error en cada paso. Se pude emplearunafunción definida por el usuario para calcular el error.y usar ciclospara simplificarloscálculos tanto como sea posible. Para probarlo, utilicegrama para calcular ex p(0 .5 ) desde el primer término de la serie hastael términox2"/20 . Interprétenselos resultados.

2.9 En economía se dispone de fórmulasparacalcular lospagos anuales debidos un préstamo. Supóngaseque se desea pedirun préstamo deP pesos para pagar-lo en n pagos anuales con una tasa de interés¡. La fórmula para calcular el paanual,A, es.

A1 = Pi(1 + i)

(1 + i) - 1




Escríbase un programa para calcular A,. Pruébese con P = $10 O00 y una tasade interés del 20 por ciento. ( i = 0.20). Hágase el programa de tal forma que sepuedan evaluar tantos alores de n como se desee. Calcúlenseosresultados paran = 1 , 2 , 3 , 4 y 5 .

2.10 Junto con los cálculos de los pagos anuales por préstamos, como se hizo en elproblema 2.9, las fórmulas de economía se pueden emplear para determinar lospagos anuales correspondientes a otros tipos de flujode efectivo. Por ejemplo,supóngase que existe un gasto que crece de manera uniforme a un promedio Gconforme avanza el tiempo. A estos pagos se les conoce como series de radientearitméticas. La fórmula de economía que calcula un pago anual equivalente paraeste tipo de flujode efectivo es

n 1Ahora, supóngase que se pide un préstamo de P = $10 O00con un interés del20% ( i = 0.20) y se compra un nuevo sistema de cómputo. El costo de manteni-miento de la computadora crece de acuerdo la serie de gradiente aritmética conuna tasa de G = $50/año/año. Junto con estos dos costos (esto es, flujos deefectivo negativos para los pagos del préstamo y del mantenimiento), también seobtendrán beneficios o flujos de efectivo positivos con el uso del sistema. Elaprovechamiento en consulta y el uso de la computadora se pueden tasar con n valoanual de A, = $4 000. Por lo tanto, el valor neto A, como propietario de la má-quina sobre una base anual, se puede calcular como beneficios menos costos,

A N = AB- A, - A2

Por lo tanto, si A, es positivo, la computadora está generando ganancias sobre

una base anual. Si A, es negativo, se está perdiendo dinero.Desarróllese, rastréese, pruébese y documéntese un programa que calculeAN El programa se debe diseñar de tal forma que el usuario pueda introducir co-mo datos las variables P , i, G, A , y n . Úsese el programa para estimar A, conel nuevo sistema de cómputo para n = 1, 2 , 3 , 4 y 5. Esto es , evalúense las ganancias si el sistema se posee de l a 5 años. Grafíquese AN contra n (si es posible se puede sar la computadora para hacer a gráfica). Determínese el plazo quese debe poseer l sistema para empezar a ganar dinero. ( N o t a : a información adi-cional para este problema se puede obtener del primer caso del capítulo 6) .

2.1 1 Impleméntese el programa de la figura 2.11. Efectúense las modificaciones nece-sarias de tal forma que sea compatible con l lenguaje usado en a computadora.Una vezque el programa se encuentre en la computadora, pruébese duplicandolos cálculos de la figura 2.12.Repítanse los cálculos con pasos de tamaño y 0.5Compárense los resultados con la solución analítica obtenida anteriormente en eejemplo 1.1. .Mejoran o empeoran los resultados al hacer el tamaño del paso mápequeño?. Explíquense los resultados.

2.12 Elsiguiente algoritmo está diseñado para determinar a calificación final de un cur-so, que consiste en exámenes parciales. tareas y examen final:Paso 1: Introducir el número del curso y el nombre.Paso 2: Introducir los factores de peso: para exámenes parciales REP) para ta-

reas (PT) y para el examen final (PEF)



LAPROGRAMACl6NN LASCOMPUTADORASERSONALES if)Zfji3fi51*Paso 3 :

Paso 4:

Paso 5:Paso 6:

Paso 7 :Paso 8 :Paso 9:

Paso 10:Paso 11:

Introducir las calificaciones de los exámenes parciales y determinar lacalificación promedio (CEP).Introducir las calificaciones de las tareas y determinar la calificación pro-medio (CT) .Si ésta es la última calificación, ir al paso 8; de otra manera, continuar.Determinar la calificación promedio (CP) mediante

PEP CEP + PT * CT

PEP PTCP =

Ir al paso 10.Introducir la calificación del examen final (CEF).Determinar la calificación promedio (CP) mediante

PEP CEP + PT CT + (PEF) (CEF)

PEP + PT + (PEF)CP =

Imprimir el número del curso, nombre y calificación promedioDetener los cálculos.

a ) Escríbase un programa basado en este algoritmob) Rastréese y pruébese usando los datos: PEP = 35; PT = 25; PEF = 40; Exá-menesparciales = 100, 98, 83, 76, 100; tareas = 96, 94, 83, 100, 77, yexamen final = 88.c ) Prepárese una pequeña documentación para el programa.

2.13 La figura para este problema muestra el reverso de una hoja de estado de cuentade cheques. El banco ha elaborado esta hoja para ayudar en el balance de una

cuenta de cheques. Si se observa bien, se podr6 ealizar un algoritmo. Desarrólle-se, rastréese y documéntese un programa que obtenga el saldo actual de a cuen-ta de cheques basado en el esquema de la figura. Se pueden usar los númerosde la figura para probar el programa.

2.14 Escríbase, rastréese y documéntese un programa que determine las estadísticasdel deporte preferido. Escójase cualquiera desde futbol hasta el lanzamiento debolos. Si el lector practica deportes en nteriores elabórese uno para el propio equipo.Diséñese el programa de forma tal que sea legible y muestre información intere-sante a cualquiera (por ejemplo, al entrenador o jugador) que pueda usarse paraevaluar el rendimiento de los jugadores.

2.15 Úsese la opción de graficación del programa BISECCIÓN (en el disco NUMERI-COMP) para trazar varias funciones de cualquier ipo. Pruébense funciones poli-nominales y trascendentes cuyo comportamiento sea difícil de visualizar antes degraficarlas. Úsense varias alternativas para ambos ejes y y para facilitar la explo-ración. Háganse copias permanentes de los trazos si se tiene una impresora.

2.16 Se debe lograr la capacldad de graticar funciones de una forma parecida a comolo hace el programa BISECCIÓN. Prográmese la computadora de una maneraapropiada para lograrlo. Si la computadora no tiene un sistema operativo cuyosprogramas puedan ayudar, entonces se deben escribir, usando las capacidadesde la misma. ?.








3.1

troducirerroressimilaresenelanálisis.Nuevamente apregunta es: ¿qerror puede considerarse tolerable?

Este capítulo cubre varios aspectos que identifican, cuantificay minimizan estoserrores. En asprimeras secciones se revisa a nformreferente a la cuantificación de los errores. En seguida se estudialoserrores más comunes: errores de redondeoy errores de truncamieLoserrores de redondeo e deben a que la computadorasólo puede reprsentar cantidades conun número finito de dígitos.Loserrores de trunca-miento representan la diferencia entre una formulación matemátide un problemay la aproximación dada porun método numérico. Fmente, se discutenloserrores sin relacionarlos conningúnmétodonumérico en especial. Incluyendo errores por equivocación, formulación de modelosy la incertidumbre en a obtención de

CIFRASSIGN IFICATIVASEn este libro se analizan casi exclusivamente aproximaciones nan con el manejo de números.Enconsecuencia, antesde discutirloserrores asociados conlosmétodos numéricos, esútilrepasar algunos concebásicos referentes a la representación aproximada delosnúmeros mism

Cuando se empleaun número enun cálculo, debe haber segurque pueda usarse con confianza. Por ejem plo, lafigura3.1 muestraunvelocímetroy el odómetro (contador de kilometraje) den automóvil. Cun simple vistazo al velocímetro puede verse que el automóvvelocidad comprendida entre48 y 49 km/h. Ya que la flecha está

FIGURA3.1 El velocímetro y el odómetro de un automóvil ilustran el concepto de ci-fras significativas.



APROXIMACIONES Y ERRORES 65

allá de a mitad de as marcas del indicador, se puede aseguraautomóvil viaja aproximadamentea 49 km/h.Este resultado casies verí-dico ya que doso más lecturas individuales l indicador llevan a laconclusión. Sin embargo, supóngase que se desea obtener unacimal más en la estimación de la velocidad. En este caso, algudecir 48 .7 , mientras que otro podrá decir 48 .8km/h. Porlo tanto, debi-do alos límites del instrumento, únicamente se pueden usar dos dconfianza.Lasestimaciones del tercer dígito(o más)sólose pueden calcu-l a rsomeramente. Seríaridículo afiimar, con base al velocímetro, quemóvil está viajando a una velocidad de 48.764 2138 km/h. En contraste,el odómetro muestra hasta seis dígitos confiables. De la figura3.1 se puedeconcluir que el automóvil ha recorridoun poco menos de87 324.5km du-rante su uso. En este caso el séptimo dígito(y lossiguientes) se desconoce

El concepto decifras o digitos significatiuos se ha desarrollado par

designar formalmente la confiabilidad deun valor numérico.Elnúmerode cifras significativas es el número de dígitos, másun dígito estimadoque se pueda usar con confianza. Por ejemplo, el velocímetroy el odó-metro de la figura3.1 estiman hasta tresy siete cifras significativas rpectivamente.Losceros no siempre son cifras significativas ya qusarse sólo para ubicar el punto decimal.Losnúmeros

0.000 18 450.000 8450.001 845

tienen cuatro cifras significativas. Cuando se incluyen ceros enmuygrandes, no se ve claro cuantos ceros son significativos, es queloshay. Por ejemplo, enelvalor nominal, el número 4 5300 puedetener tres, cuatroo cincodígitossignificativos,dependiendo silos ce-ros se conocen conexactitud.La ncertidumbre se puede desecusandoanotaciónientífica en donde 4 .53X lo4 , 4 .530X lo4y 4 .530O x lo4 muestranque el número iene tres, cuatroy cin-co cifras ignificativas.

El concepto de cifras significativas tiene dos implicaciones i

tes enel estudio delosmétodos numéricos.1. Como se dijo en el problema del paracaidista,los métodos numéri-

cos obtienen resultados aproximados. Porlo tanto, se deben desarrollar criterios para especificar qué tan precisos sonlos resultadosobtenidos. Una manera de hacerlo es en términos de cifras vas. Por ejem plo, se puede decidir que la aproximación es siemprey cuando sea correcta hasta cuatro cifras significativto e s, debe existir seguridad que as primeras cuatro cifras sonrrectas.



66 MÉTODOS NUMÉRICOSPARANGENIEROS

2. Aunque ciertas cantidades tales como T , e , o fi epresentan númerosespecíficos, n ose pueden expresar exactamente con un número fini-to de dígitos. Por ejemplo, el número T es igual a

3.141 592 653 589 793 238 462 643 .hasta el infinito. Debido a que las computadoras personales sól o re-tienen aproximadamente diez cifras significativas (comúnmente varíanentre 7 y 14, como se puede ver en el cuadro 2.l ) , ales númerosjamás se podrán representar exactamente. A la omisión del resto decifras significativas se le conoce como error de redondeo.

Los errores de redondeo y el uso de cifras significativas para expresarla exactitud de un número se estudian con más detalle en las siguientessecciones. Además, el concepto de cifras significativas tiene mucha im-portancia en la definición de exactitud y precisión en la siguiente sección.

3.2 EXACTITUDY PRECISIóNLoserrores asociados con los cálculos y medidas se pueden caracterizarobservando SUprecisión y exactitud. La precisión se refiere a 1)el núme-ro de cifras significativas que representan una cantidad o 2) la extensiónen las lecturas repetidas de un instrumento que mide alguna propiedadfísica. La exactitud se refiere a la aproximación de un número o de una

medida al valor verdadero que se supone representa.Estos conceptos se pueden ilustrar gráficamente usando una analo-gía con un buen tirador al blanco. Losagujeros en el centro del tiro alblanco de cada esquema de la figura 3.2 se pueden imaginar como laspredicciones en una técnica numérica, mientras que el centro del blancode cada esquema representa a verdad. La inexactitud (conocida tambiéncomo sesgo) se define como un alejamiento sistemático de la verdad. Porlo tanto, aunque las balas en la figura 3 . 2 ~ stán más jun tasque las dela figura 3.2~1,os dos casos son igualmente inexactos ya que ambos secentran en la esquina superior izquierda del blanco. La precisión, por elotro lado se refiere a la magnitud del esparcimiento de las balas. Por lotanto, aunque las figuras 3 . 2 by 3.2d son igualmente exactas (esto es.igualmente centradas respecto al blanco), la última es más precisa ya quelas balas están en un grupo más compacto.

Los métodos numéricos deben ser lo suficientemente exactos o sinsesgos para que cumplan los requisitos de un problema particular de inge-niería. También deben ser lo suficientemente precisos para el diseño enla ingeniería. En este libro se usa el término error para representar la ine-xactitud y la imprecisión de las predicciones. Con estos conceptos comoantecedentes, ahora se pueden iscutir los factores que contribuyen al erroren los cálculos numéricos.




FIGURA3.2 Un ejemplo de un buen tirador ilustra el concepto de exactitud y preci-

sión. o) Inexacto e impreciso; b ) exacto e impreciso; c) inexacto y preci-so; d) exacto y preciso.

3.3 DEFINICIONES DE ERROR

Los errores numéricosse generan con el uso de aproximaciones para re-representar las operaciones y cantidades matemáticas. Estos incluyen erro-res de truncamiento,que resultan de representar aproximadamente unprocedimiento matemático exacto, y loserrores de redondeo,que resul-tan de representar aproximadamente números exactos. Para los dos ti-pos de errores, la relación entre el resultado exacto o verdadero y elaproximado está dada por

Valor verdadero = valor aproximado + error [3.11

reordenando la ecuación (3. ), se encuentra que el error numérico es iguala la diferencia entre el valor verdadero y el valor aproximado, esto es

E , = valor verdadero - valorproximado D.21



68 MgTODOS NUMeRICOS PARAINGENIEROS

EJEMPLO 3.1Cálculode errores

Enunciado del problema: supóngase que se tiene que medirde un puentey de un remache, obteniéndose9 999 y 9 cm, respectimente.Si losvalores verdaderos son10 O00 y 10 cm, calcúlesea) el erroy b) el error relativo porcentual de cada caso.

Solución:a) Elerroren amedicióndel puentees [Ec.(3.2)]

E , = 10 O00 - 9999 = 1 cm

y para el remache es de

E , = 1 0 - 9 = l c mb) El error relativo porcentual para el puente es de [Ec.(3.3)]

1E” = 100% = 0.01 %

10 O00y para el remache es de

€ = 00% = 10%10

Porlo tanto, aunque ambas medidas tienenun error de1 cm, elerrorrelativo porcentual del remache es mucho más grande. S e cluir que se ha hechoun buen trabajo en la medida del puente, mque la estimación para el remache deja mucho que desear

dondeE, se usapara denotar elvalor exacto delerror. Se incluyelsubíndicev para dar a entender que se trata del “verdadero” erroya se mencionó brevemente, esto contrasta conlos otros casos, do

se debe emplear una estimación “aproximada” del error.Undefecto en esta definición es que no toma en considerden de magnitud del valor que se está probando. Por ejempun errode un centímetro es mucho más significativo si se está midieun remache queun puente.Unamanera de medirlasmagnitudes de las cadadesque se estánevaluandoesnormalizarelerrorrespecto al valoverdadero. como en

Errorrelativofracciona1=error

valorverdadero



APROXIMACIONESY ERRORES 69

donde, como ya se dijo en la ecuación (3 .2) error = valor verdadero -valor aproximado. Elerror relativo también se puede multiplicar por el100% para expresarlo como

error verdaderovalor verdadero

, = 100%

donde E, denota el err or relat ioo porcent ual .

Nótese que en las ecuaciones (3.2) y (3.3) y E tienen un subíndiceu que significa la normalización del error al valor verdadero. En el ejemplo3.1, se utilizó el valor verdadero. Sinembargo, en las situaciones reales esa veces difícil contar con tal infornación. Para los métodos numéricos,el valor verdadero únicamente se conocerá cuando se habla de funcionesque se puedan resolver analíticamente. Por o general este será el.caso cuando

se estudie el comportamiento teórico de una técnica en particular. Sinem-bargo, en aplicaciones reales, obviamente no se conoce la respuesta verda-dera a priori. En estos casos, normalizar el error es una alternativa, usandola mejor estimación posible del valor verdadero, esto es,a la aproximaciónmisma, como

error aproximadovalor aproximado

a = 100%

donde el subíndice a significa que el error está normalizado a un valoraproximado. Nótese también que en aplicaciones reales, la ecuación (3.2)no se puede usar para calcular el término del error para la ecuación (3.4).Unode los retos a que se enfrentan los métodos numéricos es el de determinarestimaciones del error en ausencia de conocimiento de os valores verda-deros. Por ejemplo, ciertos métodos numéricos usan un esquema iterati-uo para calcular resultados. En tales esquemas, se hace una aproximaciónen base a la aproximación anterior. Este proceso se repite varias veces,o de forma iterativa, para calcular sucesivamente más y mejores aproxi-maciones. Entales casos, el error a menudo se calcula como la diferenciaentre la aproximación previa y la actual. Por lo tanto, el error relativo por-centual está dado por

€ a = aproximación actual - proximación previaaproximación actual

100% [3.5]-

En capítulos posteriores se explicarán con detalle éste y otros esquemaspara expresar errores.

El signo de las ecuaciones (3 .2)hasta la (3.5)puede ser positivo onegativo. Si la aproximación es mayor que el valor verdadero (o la apro-ximación previa e s mayor que la aproximación actual), el error es negati-vo; si la aproximación es menor que el valor verdadero, el error es positivo.También, en las ecuaciones (3 .2)a la ( 3 . 5 ) , l denominador puede ser



70 METODOSNUMÉRICOSPARAINGENIERO

menor de cero, lo que puede levar a un error negativo. A menudo. cuandose realizan cálculos, puede no mportar mucho el signo del error sino másbien que su valor absoluto sea menor que una tolerancia prefijada E,. Polo tanto, a menudo es útil emplear el valor absoluto de las ecuaciones(3.2) a la (3.5). n tales casos, los cálculos se repiten hasta que

Si se cumple la relación anterior, entonces s e considera que el resultadoobtenido está dentro del nivel aceptable, fijado previamente, E , .

Es también conveniente enfocar estos errores hacia el número de ci-fras significativas en la aproximación. Se puede demostrar (Scarborough1966) que si el siguiente criterio se cumple, puede tenerse la seguridadque el resultado es correcto e n al menos n cifras significativas.

[3 .

EJEMPLO 3 .2Estimación del error para métodos iterativos

Enunciado del problema: en matemáticas, a menudo se pueden repre-sentar las funciones mediante una serie infinita. Por ejemplo, la función

exponencial se puede calcular usando:

[E3.2

Mientras más términos se le agreguen a la serie. la aproximación se acer-cará más y más al valor de ex .A la ecuación (E3.2.1)se le llama expan-sión en series de M aclaur in .

Empezando con el primer término, ex = 1, y agregando un términoa la vez, estímese el valor de e ' . Después que se agregue cada térmi-no, calcúlense los errores relativos porcentuales real y aproximado. usandolas ecuaciones (3.3) y (3 .5) , espectivamente. Nótese que el valor reaes e o = 1.648 721271.Agréguense términos hasta que el valor abso-luto del error aproximado e , sea menor al criterio preestablecido. f , qucontempla tres cifras significativas.

Solución: en primer lugar, la ecuación (3.7)se puede emplear para de-terminar el criterio de errorque asegura un resultado correcto en al me-nos tres cifrassignificativas:

es = (0.5 X 102-3)% 0.05%

Por lo tanto, se agregarán términos a la serie hasta que E, sea menor queste nivel.




La primera estimación es igual a la ecuación (E3.2 .1 ) conun sólo tér-mino. Porlo tanto la primer estimación es igual al . La segunda estima-ción se obtiene agregando el segundo término, como sigue:

e x = l + xy parax = 0 .5

= 1 + 0.5 = 1.5

Querepresentaun errorrelativoporcentualde [Ec.(3.3)]1.648721271- 1.5 = 9.029%

€" = 1.648721271La ecuación (3 .5 ) determina una estimación aproximada del erpor:

1.5 - 1Eo =

1.5100% = 33.3%

Ya queE, no es menor que el valor prefijado,E $ , loscálculos continúanagregando otro término,x2 / 2 y repitiendolos cdlculos de errores.Elproceso se continúa hasta queeo < E,. Todoslos cálculos se pueden resumir de la siguiente manera.

Términos Resultado E 9 EL75%

1 39.32 9.02 33.33 1.625 1.44 7.694 1.645833333 O.175.275 1.648437500 0.01 72 O.1586 1.64869791 7 0.001 42 0.0158

Así, después de quelosseis términos se incluyen, el error estimado

de E , = 0.05%, y el cálculo termina.Sin embargo, nótese que en vede tres cifras significativas, ¡el resultadose mejora al llegara cinco cifrasEsto se debe a que, para este caso, las ecuaciones(3.5) y 3.7) son con-servativas,esto es , aseguran que los resultados sonpor lo menos tan bue-nos comolo especifican. Aunque, como se analiza en el cápítulo5 , esteno es siempre el caso para la ecuación(3.5), y es cierto casi siempre.

Conlas definiciones anteriores como antecedente, se puede proahora sobrelos dos tipos de error ligados directamente conosmétodosnu-méricos.Estos sonlos erroresde redondeoy los errores de truncamiento




3.4 ERRORES DEREDONDEO

Como ya se ha mencionado,loserrores de redondeo se deben a lacomputadorassóloguardanun número finito de cifras significativasun cálculo. Las computadoras realizan esta función de maneraPor ejemplo, sisólose guardan siete cifras significativas, la computaalmacenary usarK comoK = 3.141 592,omitiendolos términos restay generandoun errorde redondeo,[de la ecuación (3.2)]:

E, = 0.000 O00 65 .

La anterior es una de las varias formas que utiliza una compara redondear números. Esta técnica de retenersólolosprimeros si

términos se le llamó “truncamiento” en el ambiente de compreferencia se le llamaráde corte para distinguirlo deloserrores de trunmiento discutidos enla próxima sección.Un corte ignoralostérminos rtantes dela representación decimal completa. Por ejemplo, el osignificativo en este caso es6 . Porlo tantoK se representa de maneraexacta como 3.14 1 59 3que como 3.1 41592 obtenido medianteun cortya que el valor está más cercano del valor verdadero. Esto se zarde asiguiente manera, siK se aproxima porK = 3 .1 41 593 , el ede redondeo sereduce a:

E , = 0.000 O00 35.

Las computadoras se pueden desarrollar para redondearacuerdo a reglasde redondeo, como laquese acaba de mencionarembargo, esto agrega costo computacional porlo que algunas compuras usan el corte directo. Este enfoque se justifica bajo la supel número de cifras significativas enla mayor parte de las computadomucho mayor que el error de redondeo dado porun corte usualmenteinsignificante.Estasuposiciónsesustentaenelsiguiente ejemplo.

Loserrores de redondeo asociados con el ejemplo 3 .3 sotibles en todosloscasos cuando se comparan conel error de truncami

en t = 12 S que es (véanselos ejemplos 1.1y 1.2) :4749.0- 4995.9

E, =4749.0 100 = -5.20%

EJEMPLO3.3Efectos delerror de redondeo en los cálculos del problema del para-caidista

Enunciado del problema: repítanselos cálculos del ejemplo1.2 ,usandtres, cuatro cincoy seis cifras significativas.




C U A D R O3.1 Com parac ibn de l problema de l paraca id is ta usan-do una cantidad diferente de cifras significativonun t amaño de paso igua l as. Loscálculosse real i -zan con el núm ero de cifras s ignif icat ivas indi

VELOCID AD, cmls (cifras significativas)Tiempo,S 3 4 5 6

O O O 0.0 0.02 1960 1960 1960.0 1960.004 3200 3200 3200.4 3200.466 3980 3985 3985.5 3985.548 4470 4482 4482.3 4482.41

10 ’. 4780 4796 4796.8 4796.8812 4980 4995 4995.8 4995.91

Solución: usando tres cifras significativas, u ( 2 ) se calculará como en elejemplo 1.2

u ( 2 ) = 1960

Con tres cifras significativas, el valor de u(4) = 3 200.5 se representarácomo 3 200. Los cálculos continúan de la siguiente manera:

u ( 6 ) = 3 980

u ( 8 ) = 4 470

u(10)= 4 780

u(12)= 4 980

El resto de los cálculos resueltos están en el cuadro 3.1.Elvalornumérico de t = 12 S y hasta 10 cifras significativas es de

4 995.921 508. Por lo tanto, usando tres, cuatro, inco y seis cifras signi-ficativas se producen los errores relativos porcentuales de redondeo 0.32,0.018, 0.002 4 y 0.000 23, respectivamente.

Ya que la mayor parte de las computadoras tienen entre 7 y 14 cifrassignificativas, los errores de redondeo parecerían no ser muy importan-tes. Sin embargo, hay dos razones el porqué pueden resultar críticos enalgunos métodos numéricos:

1. Ciertos métodos requieren cantidades extremadamente grandes paraobtener una respuesta. Además, estos cálculos a menudo dependenentre sí. Esto es, los cálculos posteriores son dependientes de los an-teriores. En consecuencia, aunque un error de redondeo individual



74 MÉTODOS NUMERICOSARANGENIEROS

puede sermuypequeño, el efecto de acumulación en el tde lagran cantidad de cálculos puede ser significativo.

2.El efecto del redondeo puede ser exagerado cuando se lloperaciones algebraicas que emplean númerosmuypequeñosy mugrandes al mismo tiempo. Ya que este caso se presentamétodos num éricos, el error de redondeo puede resultarimportancia.

EJEMPLO 3.4La impo rtancia de las cifras significativas delos cálculos algebraic

Enunciado del problema: determínese a diferencia de dos ndes:32 981 108.123 4y 32 981 107.998 9.En seguida, repítanslos

cálculos pero incrementando el minuendo enun 0.001%.Solución:la diferencia de los números es

32 981 108.123 4-32 981 107.998 9

0.124 5

Ahora, incrementando el minuendo enun 0.001%se obtiene el núm32 981 437.934 5,y la diferencia es:

32 981 437.9345-32 981 107.998 9

329.9356

que es considerablemente diferente de la primera. De aquí qdificación en el minuendo, aparentemente insignificante, prodiferencia en el resultado.

Los tipos de errores mencionados hasta ahora pueden tedes para ciertos métodos numéricos. Estos se discuten en lasecciones del libro.

3.4.1 Reglas de redondeo

Las reglas para redondear números en cálculos manuales seel recuadro3 .1y se ilustran en el ejemplo3.5.Estas reglas no se apnormalmente cuandose realizan cálculos extensos por computaembargo, ya que se usan cálculos manuales a lo largo del tincluido estas reglas como punto de referencia para cálculos





76 METODOSNUMERICOSPARAINGENIEROS

10.406 ”+ 10.41 4 cifras signlficativas7.3500 - .4 2 cifras significativas88.21650-.+ 88,2165 cifras significativas

1.25001 1.3 2 cifrasignificativas

2. S u m a s y restas.(Nota: las últimas cifras más significativas qutienen, están en negritas):

a ) Evalúese 2.2- . 682 .2 - 1.768= 0.432+ .4

b) Evalúese 4.6 8x lop7 + 8.3 x - 28 x lop6. La evaluación de este cálculose facilita expresando los números conn mismexponente:

0.004 6 8 x + 8 . 3 x - . 28 x

De esta manera, se puede ver claramente que el 3 es el úsignificativo reteniendo, porlo que la respuesta se redondea dguiente manera:

6 , 0 2 48 x - . 0 x

3. Multiplicación y división:

a) Evalúese 0.0642X 4 .80 .0642 X 4 . 8 = 0 .30 8 16”-+ 0 .31

b) Evalúese 945f 0.3185

9450.3185

= 2 967.03 29 67. . . -”+ 2 970

4 . Combinac iones :

a ) Evalúese [15.22.8 x + [ (8 .456x +0.1771Primero, efectúense la multiplicacióny la división que están dede los corchetes:

[4 .256X 10.~1+ [4.777401 . . . + ‘10.~1

Ahora, antes de sumar, se redondean as cantidades en

y después súmesey redondéese el resultado:






de estos errores se regresa a la formulación matemática usamente enlos métodos numéricos para expresar funciones en fnomial: La serie de Taylor.

3.5.1 Serie de Taylor

En el ejemplo3.2se usa una serie infinita para evaluar una funun valor específico de la variable independientex . De manera similaserie de Taylor da una formulación para predecir el valor de la fen x,+l en términosde la funcióny de sus derivadas en una vecindal puntox,.

En vez de presentar en conjunto la serie de Taylor, se oconocimiento de la misma construyéndola término a términplo, elprimertérminode aserie es:

Esta igualdad, conocida comoaproximación de orden cero, indica qel valor def en el nuevo punto es el mismo que el valor en el rior. Este resultado se logra intuitivamente ya que six i y x i + estánmupróximas una de la otra, entonces es igualmente posible quvalor sea probablemente similar al anterior.

La ecuación(3.9)da una estimación perfecta si la función a aproximar es una constante. Sin embargo, si la función ca

el intervalo, entonces se requieren los términos adicionalesTaylor para obtener una mejor aproximación. Por ejemplo,aproxima-ción a primer orden se obtiene sumando otro término al anteobtener:

[3.1

Eltérmino adicional de primer orden consiste de la pendientef ' (xi) multiplicada por la distancia entrexi x i + l .Porlo tanto, la expresión arepresenta una línea rectay es capaz de predecirun incrementoo un decremento de la función entrexi y x ~ + ~ .

Aunque la ecuación(3.10)puede predecirun cambio, sólo es expara una línea rectao es de dirección lineal. Por lo tanto, se le aga la serieun término de segundo orden para obtener algo sobre latura de la función si es que la tiene:

[3.1

De manera similar, se pueden agregar términos adicionalesllar a expansión completa de la serie de Taylor:




m xi+l - Xj)3 + . . . + - (,)(Xi )

3(Xii-1 - xi) + R

n[3.12]

Nótese que debido a que a ecuación (3.12) es una erie infinita, el signoigual reemplaza al de aproximación usado en las ecuaciones (3.9)a la(3.11). Se ncluye un término residual para considerar odos los términosdesde n + 1 hasta el infinito:

f' + (h)R, =( n + l)

(Xi+1 - Xi),+] [3.13]

donde el subíndice n indica que el residuo es de a aproximación a n-esimoorden y ( es un valor cualquiera de x que se encuentra en xi y xi+La inclusión de dentro de la serie es de mucha importancia al gradoque se dedica una sección completa (sección 3. 5.2 ) para su estudio. Porahora, es suficiente darse cuenta que existe este valor que da una estima-ción exacta del error.

Frecuentemente es conveniente implificar la serie de Taylor definiendoun paso h = - i y expresando la ecuación (3.12) como:

en donde el término residual es ahora:

[3.15]

EJEMPLO3.6Aproximaciones de un polinomio mediante la serie de Taylor.

Enunciado del problema: úsense términos en la serie de Taylor de ceroa cuarto orden para aproximar la función:



80 METODOSUMERICOSARANIEROS

desde el puntoxi = O y conh = 1.Esto es, predecir el valor de funciónn xi+ = 1.

Solución: ya que se trata de una función conocida, se puevalores def (x) O y 1. Los resultados (Fig.3.3) indicanque afunciónempieza enf (O) = 1.2y continúa hacia abajo hastaf (1)= 0. 2 . Porlotanto, el valor quese trata de predecir es 0 . 2

La aproximaci6n en serie deTaylor de orden cero es [Ec.(3.9)1:

Como se puede ver en la figura3.3, la aproximación de orden cuna constante.Elerror de truncamiento en estecasoes [recuérdesla

ecuación(3 . )]E” = 0 . 2 - 1.2:- 1.0

en x = 1.

x = O , como:Paran = 1 , laprimerderivada se debedeterminary evaluaren

FIGURA3.3 La aproximación de {(x) = -0.1 x 4 - . 1 5 ~ ~ .5~’ . 2 5 ~ 1.en X = 7 mediante series de Taylor de orden cero, de primero y segundo orden.




I Laaproximaciónaprimerorden es Ec.(3.10)]

f x i + l ) E 1.2- 0.25h

quese puede usar para calcular(1) = 0.95. Por consiguiente, la apromación empieza a coincidir con la trayectoria de la función codiente de una línea recta (Fig.3.3).De esta manera el error de truncamse reduce a:

E, = 0.2 - 0.95 = -0.75

en x = 1. Paran = 2 , se evalúa la segundaderivadaen x = O:

f ” ( 0 ) -1.2(0.0)* - 0.9(0.0) - 1.0 = -1.0

y de acuerdo a la ecuación(3.11)f x i + l ) 1.2 - 0.25h - 0.5h2

y , sustituyendoh = 1

f(1)= 0.45

Alincluirse la segunda derivada se añade una curvatura descque proporciona una estimación mejor, como se muestra en la 3.3.El errordetruncamiento se reducea 0.2 - 0.45 = - 0.25.

Los términos adicionales mejoran ún m6s la aproximacióto, incluyendo la terceray la cuarta derivada, se obtiene la ecuación o

f ( q + l ) = 1.2 - 0.25h - 0.5h2 - 0.15h3 - 0.10h4

donde el término residual es :

ya que laquintaderivada deun polinomio de cuartoordenes nula,R4 = O.Por consiguiente, la expansión en serie de Taylor hasta lderivadaproduceunaaproximación exacta enx = 1.

En general, la expansión en serie de Taylor de n-ésimo ordees exactaparaun polinomio de n-ésim o orden. Para otras funciones contferenciables, como las exponencialeso senoidales, no se obtiene una e



82 MhODOS NUMERICOS PARAINGENIERO

ción exacta medianteun número finito de términos. Cada uno delos términadicionales contribuye al mejoramiento de la aproximación, poco. Esto se muestra en el ejemplo 3.7. Se obtendríaun resultado exaúnicamente si se agregaun número nfinito de términos.

Aunquelo anterior se cum ple, el valor práctico dela serie de Taestriba, en amayorpartede os casos, enel uso deun número finde términos que darán una aproximación lo suficientemela solución verdadera para propósitos prácticos. La decisiótos términos se requieren para obtener una “aproximación basa en el término residual de la expansión. Recuérdese qresidual es de la forma general de la ecuación (3 .15 ).Esta fórmula tdos grandes desventajas. Primero[ no se conoce exactamente ssólo se sabe que está entrexi y xi+ Segundo, para la evaluacióecuación(3.15)se requiere evaluar la( n + 1)-ésima derivada df(x

Para hacerlo, se necesita conocer f(x).Pero, si ya se conocef ( x j , entoces no hay razón para realizar la expansión en series de Ta

lugarA pesar de este dilema, la ecuación (3 .1 5) aún resultaútilpara la e

luación de errores de truncamiento. Esto se debea que tiene control stérminoh de la ecuación. En otras palabras, se puededecidirquétanlejos dex se desea evaluar f(x)y se puede controlar la cantidad dnos incluidos en la expansión. Porlo tanto, la ecuación(3.15)se expsa, usualmente como:

R, = O(hntl)

donde la nomenclaturaO(h I) significa que el error de truncamde ordenh,+ Esto es, el erroresproporcional al pasoh a la (n +-enésima potencia. Aunque esta aproximación nomplica nada relacicon las derivadas que multiplicah ,+ s extremadamenteútil al evalel error relativo delosmétodos numéricos basados en las expen serie de Taylor. Por ejemplo, si el error esO (hj, se reduce a lmtad el paso, entonces el error se reducirá a la mitad. Porotro lado. serror esO(h2)y se reduce a la mitad el paso, entonces el errcirá a una cuarta parte.

EJEMPLO3.7Uso de la serie de Taylor p ar a aproximar una función que tienúmero infinito de derivad as.

Enunciado del problema: úsenselos términos de la serie de Tayln = O hasta 6 para proximar:

f (x) = cosx




en x = a / 3 (60O) en base al valor def (x) y de sus derivadas alrededdelpunto x = a / 4 (45 ) . Nótese que esto significa queh = a / 3 -

a / 4 = a / 1 2 .

Solución: como en el ejemplo3.6,el conocimiento de la función oriimplicaque se puede conocer elvalor exacto def (a / 3 ) = 0.5.Laaproximacióndeorden cero es [Ec. (3.9)] :

f ( d 3 )= COS ( d 4 )= 0.707io6781

que representaun error relativo porcentual de:

E ” =0 . 5- 0.707 06 81 loo^ = “41,49g

0.5

Para la aproximación de primer orden, se suma el término tiene a laprimer derivada,donde f ’ ( x ) = - en x:

f :) COS(3Sen(:)(g) = 0.521986659

quetiene un errorrelativoporcentualde E, = - .40 .

tiene a la segunda derivada, dondef’ ’ (x) = - os x:En la aproximación de segundo orden, se incluye el términocon-

conun error relativo porcentual deE, = -0.449. Porlo tanto, al agre-gar más términos a la serie se obtiene una mejor aproximació

Este proceso se puede continuar,osresultados se muestran en el cdro3.2. Nótese que las derivadas nunca se acercan a cero , comes el

CUADRO 3.2 Aproximaciones mediante la serie de Taylor de f ( x )= cos x en x I 3 alrededor del punto x 14. Los~ valores se muestran pa ra varios brdenes e apro-

xirnaci¿n (m).Orden n f”(x) P(nI3) C ”

O cos x 0.70710678141.41 -sin x 0.5219866592

-4.4“cos x 0.497754491

30.449

sin x 0.4998691474

2.62 xcos x 0.500007551

5 -sin x 0.5000003046 -cos x 0.499999988.40 x

-1.51 X 10-3-6.08 X 10-5




casodelpolinomio delejemplo 3.6. Sin embargo, cada término quese le agrega a la serie produce una mejor aproximación. Nótese tambiénque la mayor aproximación se consigue con losprimeros términos. Eneste caso, en el momento que se le agregó el tercer término, el error seredujo al 2.62x lo-*%, o que significa que se ha alcanzado el 99.9738%del valor exacto. Por consiguiente, si se le agregan más términos ala serie el error decrece, pero la mejoría será mínima.

En general, se puede suponer que el error de truncamiento disminu-ye agregando términos a la serie de Taylor. Además, si h es lo suficiente-mente pequeño, entonces los términos de primero y segundo orden

influyen desproporcionadamente en el porcentaje del error. Esta propie-dad se ilustra en el ejemplo siguiente.

3.5.2 El residuo de a expa nsión en la serie deTaylor

Antes de demostrar cómo se usa la serie de Taylor e n la estimación deerrores numéricos, se debe xplicar por qué se ncluye el argumento [ enla ecuación (3.15).En vez de presentar una derivación matemática ge-neral se desarrollará una exposición más simple basada en una interpre-tación geométrica. En seguida se puede extender este caso específico auna formulación más general.

Supóngase que se truncó a expansión en serie de Taylor [€c. (3.14)ldespués del término de orden cero para obtener:

f(Xi+l) = f ( x 0

En la figura 3.4 se muestra un bosquejo de esta predicción de orden ce-ro . El residuo o error de esta predicción, que se muestra también en lafigura, consiste de la serie infinita de términos que fueron truncados:

Ro = f ’ ( x i ) h+ -h2 + - h 3 + . . .”(Xi) f ’”(X.)

2 3Es obvio que tratar el residuo de esta serie infinita con este formato

es inconveniente. Se puede obtener una implificación truncando el residuo mismo, de la siguiente manera:

Ro ’ ( x i ) [3.16

Aunque, como se mencionó en la sección previa, los términos de lasderivadas de orden nferior cuentan mucho más en el residuo que los términos de las derivadas de orden superior, este resultado todavía s inexacto,ya que se han despreciado lostérminos de segundo orden y de órdenes







APROXIMACIONES Y ERRORES a7

caidista. Recuérdese que el objetivo de los ejemplos l . 1 y l. fue el depredecir la velocidad en función del tiempo. Esto es, se deseaba determi-nar u (t) Como se especificó en la ecuación (3.12), (t) se puede expan-dir en la serie de Taylor como:

Ahora, truncando la serie después del término con primera derivada, seobtiene:

La ecuación (3.20) se puede resolver para:

[3.21]

proximación de Errorprimer rden deruncamiento

La primera parte de la ecuación (3.21) es exactamente a misma relaciónque se usó para aproximar la derivada del ejemplo 1 .2 [Ec. (1. o)] .Sinembargo, con el esquema de la serie de Taylor se ha obtenido una esti-mación del error de truncamiento asociado con esta aproximación de la

derivada. Usando las ecuaciones (3.13)y (3 .21) se obtiene:

O

~ - 1 - O(tii.1- ti)ti+1 - ti

[3 .22]

[3.23]

Por lo tanto, la estimación de la derivada [Ec. (1.10) o a primera partede la Ec. (3.21)] iene un error de truncamiento de orden t,+ - i. Enotras palabras, el error en la aproximación usando derivadas debe serproporcional al tamaño del paso. Por lo tanto, si éstese divide a lamitad, entonces se espera que el errorde la derivada, se reduzca a a mi-tad.

3.5.4. Diferenciaciónnumérica

A la ecuación (3.21) se le conoce con un nombre especial en el análisisnumérico, se le llarr,a diferencias diuididas f ini tas . Se puede representar




generalmente como:

O

[3.24

[3.2

donde a Aj, e le conoce como la primera diferencia hacia adelante yh se le llama tamaño del pas o, esto es, la longitud del intervalo sobre ecual se hace la aproximación. Se le llama diferencia "hacia adelante" yaque usa losdatos i e -t 1 para estimar la derivada (Fig. 3.6~1) .I término completo Af,/h se le conoce como primera diferencia dividida finita.

Estadiferencia dividida hacia adelante no es sino una de tantas que

se pueden desarrollar mediante la serie de Taylor para la aproximaciónde derivadas numéricas. Por ejemplo, as aproximaciones a primeras de-rivadas, utilizando las diferencias hacia atrás o las diferencias centrales spueden desarrollar de una manera similar a la de la ecuación (3.24). Laprimerasusan a (Fig. 3 . 6 b ) ,mientras que las segundas usan información igualmente espaciada alrededor del punto donde está estimadla derivada (Fig. 3 . 6 ~ ) .as aproximaciones más exactas e la primer derivada se pueden desarrollar incluyendo en la serie de Taylor términosde orden másalto. Finalmente, todas las versiones anteriores se puedendesarrollar para derivadas de segundo orden, ercer orden y órdenes su

periores. Las siguientes secciones analizan brevemente estos casos, ilus-trando cómo se deriva cada uno de ellos.

Aproxim aciones a la primera derivada con diferencias ha ciaLa serie de Taylor se puede expandir hacia atrás para calcular un valoranterior sobre el valor actual, dada por:

[3.2

Truncando la ecuación después de la primer derivada y ordenando lo

términos se obtiene:

[3.2

donde el error es O ( h ) y V f, indica la primer diferencia dividida haciatrús. Véase la figura 3.6b para una representación gráfica,.

Aprox imaciones a la primer der ivada con diferencias centraUntercera forma de aproximar la primer derivada es restar la ecuación (3 .26)




FIGURA3.6 Gráfi ca de aproximaciones con diferencias dividid as tinitas de a pr ime-ra derivada, a) hacia adelante, b) hacia atrás y c) centrales.



9 0 MÉTODOS NUMERICOSPARAINGENIERO

de la expansión en serie de Taylor hacia adelante:

para obtener

que se puede resolver para

or

[3.28]

[3.29]

La ecuación (3.29) es una representación de las diferencias centrales (ocentradas) de la primera derivada. Nótese que el error de truncamientoes del orden de h 2 en contraste con las diferencias divididas hacia adelan-te y hacia atrás, las cuales fueron de orden h . Por lo tanto, el análisis dela serie de Taylor ha llevado a la información práctica de que la diferenciacentral es la representación más exacta e la derivada (Fig. 3 . 6 ~ ) . or ejemplo,si se parte el tamaño del paso a la mitad usando diferencias hacia atrás ohacia adelante, el error se reducirá aproximadamente a la mitad, mientrasque para diferencias centrales, el error se reduce a la cuarta parte.

Aproximaciones a derivadas de ordenmás alto usando diferencias fintas. Junto a la primer derivada, la expansión de la serie de Taylor se puedeusar para una estimación numérica de las derivadas de orden superior.Para hacerlo, se escribe una expansión en serie de aylor hacia adelantepara f (xj+*)n términos de f (xi)de la siguiente forma:

f(Xi+2) = f k i ) + f ' ( X i I ( 2 h ) + -f"(xi)2h)Z +

2[3.30]

La ecuación (3.28) se puede multiplicar por 2 y restarse de la ecuación(3.30) para obtener:

. . .

que se puede resolver para:

[3.31]




A esta relación se le llama diferencias diuididas finitashacia adelante desegundo orden. Se pueden usar procedimientos similares para las versiones hacia atrásy centrales. Las aproximaciones a tercer de las diferencias divididas hacia adelante, hacia atrásy centrales tam-

bién pueden obtenerse (Fig.3.7 a la3.9) . En todoslos casos, las diferencias centradas dan una mejor aproximación.

Fórmulas de exactitud para diferencias de orden superior. Todas las estimaciones anteriores truncaron las estimaciones dadas pora serie de Taylodespués de algunos términos. Las fórmulas demásexactitud se puededesarrollar incluyendo términos adicionales. Por ejemplo, la hacia adelante [Ec.(3.28)j se puederesolver para:

[3.32]

FIGURA3.7 Fórmulas de diferencias divididas finitas hacia atrás. Se presentan dosversiones para cada derivada. La segunda forma incluye más términosde la serie de Taylor y, por lo tanto, es más exacta.




FIGURA3.8 Fórmulas de diferencias divididas finitas hacia adelante. Se presentandosversiones para cada derivada. La segunda forma incluye mástérminos de la serie de Taylor, ypor lo tanto, es más exacta.

En contraste con la ecuación (3.24), e puede retener el término de se-gundo orden sustituyendo la ecuación (3.31) n la ecuación (3.32) paraobtener:

o agrupando términos

Nótese que la inclusión del término con segunda derivada ha dado unaexactitud O (h ). Se pueden desarrollar versiones mejoradas similares pa-




FIGURA3.9 Fórmulas de diferencias divididas finitas centrales. Se presentan dos ver-siones para cada derivada. La segunda form a incluye más términos delo serie de Taylor y, por lo tanto, es más exacta.

ra diferencias hacia atrás y centrales así como para las aproximacionesde derivadas de orden superior. Las fórmulas se resumen en las figuras

3 .7hasta la 3.9. El siguiente ejemplo ilustra la utilidad de las mismasen la estimación de derivadas.En esta sección sólo se han cubierto algunas de las formas con que

la serie de Taylor es útil en el análisi numérico. Sin embargo, este mate-rial tiene como propósito inicial ayudar en la estimación y el control deerrores de truncamiento. Muchos e los métodos numéricos de este librose basan en la representación de aproximaciones simples, de órdenes in-feriores en vez de expresiones matemáticas complicadas. Ya que la ex-pansión en la serie de Taylor da una estructura mediante a cual se separancomponentes de orden inferior y superior, se demostrará a lo largo deltexto que éste es n vehículo para profundizar n los métodos numéricos.



94 MÉTODOSNUMÉRICOSPARANGENIEROS

EJEMPLO 3.8Aproximaciones de derivadas usando diferenciasdivididasfinitas

Enunciado del problema: úsense aproximaciones de diferencadelantey hacia atrás deO (h )y centradas, deO (h') , para estimular la pmera derivada de:

f (x)= - 0 . 1 ~ ~0 . 1 5 ~ ~0 . 5 ~ ~0 . 2 5 ~ 1.2en x = 0.5 usandoun tamaño de pasoh = 0.5 . Repetir oscálculosusandoh = 0.25.Nótese que la derivada se puede calcular dirte como:

f ( x ) = - 0 . 4 ~ ~0 . 4 5 ~ ~1 . 0 ~ 0.25

y se puede usar para calcular el valor exacto def

(0.5)= -

.912 5Solución: parah = 0 . 5 , se puedeusar lafunciónparadeterminar:x,-1 = o f(Xj-1) = 1.2

Xi+ = 1.0 f ( x j + J = 0.2xi = 0.5 (X¡) = 0.925

Estos datos se pueden usar para calcular la diferencia divididade-lante [Ec.(3.24)]:

f '(0.5)= 0.2- 0.925O.5 = -1 .45 E, = 5 8 . 9 %

la diferencia dividida hacia atrás [ € c .3 .27) ]

f '(0.5)= 0.925- 1.20.5 -0.55 E, = 3 9 . 7 %

y la diferenciadivididacentral [Ec. (3 .2 9 ) ]:

Para h = 0.25 ,los datos son:xi-1 = 0.25 f(xi-1)= 1.10351563

x,= 0.50 f ( x , ) 0 . 9 2 5Xi+l - 0.75 f ( x i + l )= 0.63 6 328 13

que se puedenusar paracalcular la diferencia divididahacia adelate:

f'(0.5)= 0.63 6 328 13- .925 - .155= E = 26.5%0.25




la diferencia dividida hacia atrás:

f'(0.5)= 0.925 - 1.103 515 630.25

= -0.714 E = 21.7%

y la diferencia dividida, central0.636 328 13 - 1.103 515 63f ' ( 0 . 5 ) ~

0.5= -0.934 E, -2.4%

Paralosdos tamaños de paso, las aproximaciones de diferenciales son más exactas que las diferencias hacia atrás hacia adelabién, como o predijo el análisis de la serie de Taylor, la división den dos partes iguales divide a la mitad el error de las diferencias haciatrásy hacia adelante,y a la cuarta parte el error de las diferencias c

3.6 ERRORNUMÉRICOTOTALElerror numérico total es la suma deloserrores de redondeoy de trunca-miento. Desde el problema del paracaidista (ejemplo3.3) se descubrió quela única forma de minimizarlos errores de redondeo es la de incrementael número de cifras significativas de la computadora.Másaún, se notó queloserrores de redondeo crecen conforme aumenta el número de cEn contraste, el ejemplo3.8 demostró que la estimación por derivadaspuede mejorar disminuyendo el tamaño del paso. Ya queun decrementoen el tamaño del paso lleva aun incremento enloscálculos,loserrores detruncamiento decrecen conforme el número de cálculos aumenta. Ptanto, se encara el siguiente dilema: la estrategia de disminuirun compo-nente del error total lleva al incremento del otro. Enun cálculo es concebble disminuir el tamaño del paso para minimizarloserrores de truncamiensólo para descubrir que al hacerlo,¡loserrores de redondeo empiezandominar la solucióny el error total crece . Porlo tanto, el remedio se covierte en problema (Fig.3.10). Un reto que debe encararse es el de terminarun tamaño apropiado de paso paraun cálculo en particular. Sebueno escoger una gran cantidad de tamaños de paso para dis

cantidad de cálculosy loserrores de redondeo, sin incurrir en la penun error mayor de truncamiento. Si el error total es el que se mla figura3.10, el problema es identificar el punto donde el provecho minuye, es decir donde los errores de redondeo empiezan a neosbe-neficios obtenidos con una reducción en el tamaño del paso

En casos reales, sin embargo, estos casos no son comunes mayor parte de las computadoras manejan suficientes cifras signforma tal queloserrores de redondeo no influyen.No obstante, algunasveces ocurren, haciendo pensar enuna especiede"principiosde ncerti-dumbre numérica", que colocaun límite absoluto sobre la exactitud qupuede obtener usando ciertos métodos numéricos con computadora



9 6 MÉTODOS NUMÉRICOSPARAINGENIERO

FIGURA3.1O Representación gráfica de las ventajas y desventajas entre errores de re-dondeo y truncamiento que en ocasiones influyen en el curso de un me-todo numérico. Aquí se muestra el punto óptimo, donde el error deredondeo comienza a negar los beneficios dados por la reducción deltamaño del paso.

Debido a estas restricciones, hay limitaciones en la estimación de erro-res. Por lo tanto, la estimación de errores en el análisis numérico es, has

ta cierto punto, un arte que depende en gran parte de las soluciones deprueba-error, además de la intuición y experiencia del analista.Aunque en este capítulo se ha tratado un tipo de problema numérico

"la solución de una ecuación diferencial ordinaria- las conclusiones an-teriores tienen una relevancia general en muchas de as otras técnicas delibro. Sin embargo, debe de hacerse hincapié en que aunque l tema eshasta cierto punto, un arte, hay una ariedad de métodos que os analistas pueden usar para cuantificar y controlar los errores en un cálculo. Laelaboración de estas técnicas jugará un papel prominente en las páginassiguientes.

3.7 ERRORESPOR EQUIVOCACIÓN,DE PLANTEAMIENTO E INCERTIDUMBREEN LOS DATOSAunque las siguientes fuentes de error no están conectadas directamentecon la mayor parte de ios métodos numéricos de este libro, en algunasocasiones pueden tener ran importancia en el esfuerzo por hacer un mo-delo exitoso. Por lo tanto, se deben tener siempre en mente cuando sapliquen técnicas numéricas en el contexto de problemas del mundo real.




3.7.1 Errores por equivocación

A todos les son familiares los errores por torpeza o por equivocación, Enlos primeros años de la computación, los resultados numéricos erróneosfueron atribuidos algunas veces al mal funcionamiento de la computado-ra misma. Hoy día, esta fuente de error es muy improbable y la mayorparte de las equivocaciones se pueden atribuir a errores humanos.

Las equivocaciones ocurren a cualquier nivel del proceso de modela-ción matemática y pueden contribuir con todas las otras componentes delerror. Se pueden evitar únicamente con el conocimiento de los principiosfundamentales y con el cuidado sobre la aproximación y diseño de la so-lución a un problema.

Las equivocaciones, por lo general se pasan por alto en la discusiónde un método numérico. Esto sin duda prueba el hecho de que los errores

de torpeza son, hasta cierto punto, inevitables. Sin embargo, recuérdese quehay ocasiones en que su aparición se puede minimizar. En particular, losbuenos hábitos de programación que se bosquejaron en el capítulo 2, sonextremadamente útiles para disminuir las equivocaciones. Además, hay for-mas muy simples de verificar cuando un método numérico está trabajandocorrectamente. A lo largo del texto, se estudian algunas formas de verificarlos resultados de un cálculo numérico.

3.7.2 Erroresd e formulación

Los errores de formulación o de modelamiento degeneran en lo que sepodría considerar como un modelo matemático incompleto. Unejemplode un error de formulación imperceptible es el hecho de que la segundaley de Newton no explica los efectos relativísticos. Esto no desvirtúa lavalidez de la solución del ejemplo 1.1ya que estos errores son rnínimosen las escalas de tiempo y espacio de la caída del paracaidista.

Sinembargo, supóngase que la resistencia del aire no es linealmenteproporcional a la velocidad de caída, como en la ecuación (1.6), ino quees una función del cuadrado de la velocidad. Si este fuese el caso, lassoluciones analíticas y numéricas obtenidas en el primer capítulo seríanfalsas debido al error en la formulación. En algunos casos de estudio delresto del libro se incluyen algunas consideraciones adicionales de los erroresde formulación. Se debe estar conciente de estos problemas, y darse cuentaque si se está usando un modelo deficiente, ningún método numérico ge-nerará los resultados adecuados.

3.7.3 Incertidumbre en los datos

Algunas veces se introducen errores en un an3lisis debido a a incertidumbrede los datos físicos sobre los que se basa el modelo. Por ejemplo, supón-gase que se desea probar el modelo del paracaidista haciendo saltos re-petidos individualmente y luego midiendo la velocidad después de u n





APROXIMACIONESY ERRORES 99

C ) (4.68 X lo6) - (8.2X 10')d ) (9.8 X - (8.696 X i r 5 )e) (7.7 X - (5.409 X + (7.0 X

3.4 Efectúense las siguientes multiplicaciones y divisiones y escríbanse los resultadoscon todas las cifras significativas necesarias.

a) (8.38 X lo5) X (6.9 X

b) (8.38 x lo4) x (6.90 xc) 87 619/(0.008 71 x 99 999)d ) (2.06 x 111)/888

el(0.4 O00 x 0.020 00)

(0.010 O0 x 0.800)

3.5 Efectúese cada una de las siguientes operaciones combinadas y escríbanse losre-sultados con todas las cifras significativas necesarias.

a) 6.80 4.0 x 10~6) 22 (8.06 xb) (14 x 10 + 555 - 80.8) x (2.000 1 - 0.004)

C )486 X 10-6 - 4.45 X 10-5

(7.777 X 103) + 9.6

dl4.81 x

(6.913 4 x lo3) + 32.26- 6.784 5 x 1 0 ~ 6

58.6 (12 x 10~6) 208 x (1 801)4

468.94 x3.6 En el ejemplo 3.2 se usó la serie infinita:

para aproximar ex.a) Demuéstrese que esta expansión en serie Maclaurin es un caso especial de laexpansión en serie de Taylor [Ec. (3.1411 con x, = O y h = x .

b ) Úsese la serie de Taylor para estimar f ( x ) = e-' en x , , ~ 2 para tres casosdiferentes: x, = 0.5, 1.0 y 1.5. Empléense los términos de orden cero, primero,segundo, y tercero, además calcúlese leulpara cada caso.

3.7 La expansión en serie de Maclaurin para el cos x es:

x2 x4 x 6 x8

2 4 6 8cosx= -+ - + -

Iniciando con el primer término, COS x = 1. agréguense los términos uno a unopara estimar 'COS T / 3). Después que se agregue cada uno de os términos, calcú-lense los errores porcentuales relativos. exactos y aproximados. Usese una calcula-dora de bolsillo para determinar el valor exacto. Agrégueme términos hasta que





EPíLOGO:PARTEI

1.4 ELEMENTOS DEJUICIOLosmétodos numéricos son científicos en el sentido de que representanécnicas sistemáticas pararesolver problemas m atemáticos. Sin em bargo, haycierto grado de arte, juicios subjetivos y términos medios, asociados con su uso efectivo enla prácticade ingeniería. P ara c ad a uno delos problemas,laconfrontación es con varias técnicas numéricas al-ternativas y con muchos tipos de com putadoras. Polo tanto, la eleg anc ia yla eficiencia delos dife-rentes enfoques delos prob lem as es mu y indivi-dualista y se relacion a cona habilidadde escogerprudentem ente entre todaslas opciones. Desafor-tunadam ente, como sucede con cualquier proce

so intuitivo, los factores qu e influyen n estaelección son difíciles de com un ica r.Estas habilida-des puede n ser com prendidas y afinadas am pliamente sólo por los prog ram ado res expertos. Sinem ba rgo , ya qu e stas habilidades juegan un pa -pel muy importante enla implementación efecti-vad e los métodos, se ha incluido esta seccióncom o u na introduccióna algunos de los elemen-tos de juicio qu e se deb en con sidera r cua ndo seseleccione un método num érico ylas herramien-tas pa ra su imp lemen tación. Aunque no se espera que en la prime r ocasión se capte n todoslosbeneficios,s i se tiene la espe ranz a de que estosanálisis influyan enla orientación cuan do se pre-sente el material subsecuente. Tam bién se esperaque si se enfrentan alternativas y alg unos elemen-tos d e juicio en el resto del libro , se consultará nuevamente este material.

La figura 1.4 ilustra siete factoreso elementos dejuicio qu e se debe n tener en cue nta cua ndo e se-lecciona un método numérico pa ra un problemaen particular.l . Tipodeproblemamatemático.Comoya semencionó en la figura 1.2, en este libro se discu-ten varios tipos de pro ble m as matemáticos:

a. Raíces de ecuacion esb. Sistemas de ecuaciones alge bra icas linealessi-multáneas



102 MÉTODOS NUMÉRICOSPARA INGENIER

ajuste de curvas

d. Integración numérica

e. Ecuaciones diferenciales ordinariasProbablem ente el lector ya tenga a lgunos conocimientos básicosla aplicación delosmétodos numéricos al enfrentar alg un o delos problemas de la figura1.4.Los métodos numéricos se necesitará n yalos problemas no se pueden resolver eficientementeusando técnicas anlíticas. Se debe estar consciente de que las actividades profesiinvolucran, eventualmente, problemas en las áreas anteriores(Fig1.4).Por lo tanto, el estudio delos métodos num éricosy la seleccide un equipo de cómpu to'deben,al menos considerar estos problebásicos.Los problemas más avan zados pued en requerir de habilien el manejo de soluciones de sistemas de ecuaciones a lgeb railineales simultáneas, ajuste de curvas de varias variables , optim

FIGURA1.4 Siete consideraciones para escoger un método numérico en lasolucióndeproblemas de ngeniería.



EPiLOGO PARTEI 103

ción de parámetros, programación lineal, problemas de valores ppios y ecuacione s diferenciales parciales.Estas áreas requieren demayores esfuerzos computacionales y de métodos avanzados que

se cubren en este texto. Se pueden consultar algunas referencias tales com o: Carn ahan , Luther y W ilkes (1969); Ham ming197 3); Rals-tonyRabinowitz (1978) paraproblemasquevan más allá delcontenido de este libro. Ade má s, alinalde cad a pa rte de ste texto,se incluye un breve resum en y referencias p ar alos métodos avanza -dos pa ra enca min arle en el estudio de consecución de mé todos numé ricos adicionales.

2 . Tipo, disponibilidad, precisión,costo y velocidad de una computado ra. Se tiene la oportunidad de trabajar con cuatro herram ientasdiferentes de cómputo (recuérdeseel cuad ro2 .1 ) .Que van desde una

calculad ora de bolsillo hasta una supercom putado ra. De hecho , cuquiera de las herramientas que se pu eden usar en la implem entacióde un método numérico {incluyendo pap el y>lá piz, que noestán in-cluidos en el cua dro ). En genera l nos e trata de ultimar cap acid ade s,sino costos, convenien cia, velocidad, segu ridad, repetibilidady pre-cisión. Au nque cada una de las herramientas enumeradas en el cuadro 2.1 seguirán teniendo utilidad,los grandes a vances recientes enel funcionamiento delas computadoras personales ya han tenido re-percusión en la profe sión de inge niero. Se espera que esta revolución se siga extendiendo conformelosavances tecnológicos continúen,ya que las com puta dora s persona les frecen un excelente término medio entre conven iencia, costo, precisión, velocidad y capacidad dealmacenamiento.Másaú n, se pue den aplicar útilmente a la ma yorparte de los prob lem as práct icos de ingeniería . Las técnicas de estelibro, porlo tanto, se escogieron expresamente pa ra q ue sean com-patibles con esta clase de com putadora s.

3. Costo en el desarrollo de prog ram as contra el costo del softwarcontra el costo del tiempo de ejecución, U n a vez que se h aya n idenficado los tipos de problemas matemáticos a resolver yel sistema decóm pu to ha ya sido seleccionado, será apro piado cons iderar los co

tos del software y del tiempo de ejecución.Eldesarrollo de progra-mas puede representa r un esfuerzo adicional en muchos proyectode ingenieríay por lo tanto ser de un costo significativo.A este res-pect o, es particularmen te importan te que se esté bien familiarizadocon los aspectos teóricos y prácticos delos métodos num éricos rele-vantes. Se pued e disponer de una cantidad limitada de programasdesarrollados p rofesionalme nte a alto costo p ara la solución de p roblem as de ingeniería. Sin em ba rgo , estos prog ram as se de ben usacon much o cuidado, ya que en general no se esta familiarizado cola lógica delos mismos. Alternativame nte,se puede disponer de pro-gram as de utilería gene ral a bajo costo (tales com olos que vienen



104 MÉTODOS NUMÉRICOSPARAINGENIER

con este texto) pa ra implementar métodos numéricos qu e se pada ptar fácilmente a una varie dad muy amplia de problemas.Elcoto del desarro llo d e progra ma s y l costo del software se puedepe rar en el mom ento de la ejecuciónsi

losprogramas se han escr

y probado eficientemente.

4 . Características d elos métodos numéricos. Cu an do el costo dlocomponentes electrónicos de una com putado ra y de sus pro ges alto,o si la disponibilidad d e la com putado ra está limitada (en sistemas de tiempo com partido), la ma nera de escoger cuidsamenteel método numérico ayud araa ada pta rse a tal situación. el otro lado,s i el pro blem a aún se encuentra en una etapa expmental y el acceso y costo de una computado ra n oienen problementonces pued e ser ap rop iad o seleccionar un m étodo numéric

siempre trabaje aunque quizás no sea, comp utacionalmente hdo, muy eficiente.Los métodos numéricos disponibles p a ra resun tipo particular de problem a, inv olucran odoslosfactores mencnados, además de:

a . Cantidad de condicioneso de puntos iniciales. Algu nos delos mtodos numéricos pa ra encontrar raíces de ecuacioneso en la solución de ecuaciones diferenciales, requieren que el usuario pecifiquealgunascondiciones o puntos niciales. Los mé tosimples requieren , en gen era l de un va lor, mientras quelos métodos complicados pueden requerirmás de un valor. Se deben csiderarlos elementos de juicio; las ventajasde métodos complicque son compu tacionalmente eficientes puede n com pens arlosrequerimientos de múltiples puntos iniciales. Se deb e ech ar mde a experiencia y de los juicios para cada prob lem a en pticular.

b . Velocid ad de convergenciu. Ciertos mé todos numéricos conmás rápido que otros. Sin embargo,la convergencia rápida purequerir de más puntos iniciales y de programaciónmás compleque la de un método con convergencia más lenta. Nuevam edeb e hac er uso de juicios pa ra la selección de cierto mé tod¡lomás rápidos no siempre sonlos mejores

c . fstabilidad. Algunos métodos numéricos pa ra encontrar raecuacioneso soluciones de sistemas de ecuaciones lineales, gunos casos pued en divergir en vez de conve rger a la rescorrecta. iPo r qu ése deb e tolerar esta posib ilidads i se h a diseñdo o se ha p lane ado bien el prob lem a? La respuesta es quemétodos p ued en ser altamente eficientes cuand o func iona nlo tanto, surgen nuevam entelos elementos de juicio. Se debecidir s i losrequisitos del p ro blem a justifican el esfue rzo necepara aplica r un método que no siempre funciona.



EPíLOGO PARTEI 105

d . Exactitudy precisión. Algunos métodos numéricos, simplemente somás exactos y precisos qu e otros. C o m o ejemplos se tienen lasdi-ferentes ecuaciones disponibles para la integración num érica. Egene ral, se pued e me jorarel funcionamiento de métodos de po cexactitud disminuyendo el tam año del pa soo aum entan do el nú-m ero de términos sobre un intervalo da d o . 2Qué será m ejor, usun m éto do co n po ca exactitud y con tamaños de paso pequeñoo usar un m éto do con alta xactitudy tamaños de paso grandes?Esta pregunta se debe analizar paso por paso consideran dolosfactores ad icionales tales c om o el costo yla facilidad de progra-ma ción. Adem ás se deben tomar en consideraciónlos errores deredondeo cuando se usan en forma repetida métodos de baja exatitud y el número d e cálculos crec e de m asia do . Aq uí as cifras snificativas quemaneja la computadorapu ed en ser el factor

decisivo.e . A lc an ce delas aplicacione s. Algun os métodos numéricos sólo

pueden aplicara cierta clase de prob lem aso a los problemas quesatisfacen ciertas restricciones matem áticas. Ot ro s métod os n o tinen estas restricciones. Se de be ev aluarsi vale la pen a el esfuerzode d esarrollar progra ma s que em pleen técnicas a prop iadas úncamente pa ra un número limitado de p roble ma s.Elhecho de quetales técnicas p ued en usarse amp liamen te, indica que tienen vetajas que a me nudo son menos que las desventajas. Obviam entdeben evaluarse los elementos de juicio.

f . Requisitos especiales. Algunas técnicas numéricas intentan incmentar la exactitud y la velocidad de conve rgencia usando inmación especialo adicional. U n ejemplo sería el uso de valoreestimadoso valores teóricos de los errores p a ra el mejoramientde la exactitud. Sin em bar go , estas mejorías, en g en er al no se Ilevan a ca bo sin inconvenientes com o el aumento en el costo de cóputo y el incremento enla complejidad del programa.

g . Esfuerzos reque ridos de progra mación .Losesfuerzos para mejo-

rar la velocidad de converg encia, esta bilidad exactitud puedser creativos e ing en ioso s. Cu an do se pu ede n hac er mejoras saumentar la com plejidad en la prog rama ción, entonces se pu edcon side rar que estas meioras son elegantesy probablemente en-cuentren uso inm ediato en la ingeniería. Sin e m ba rg o,s i requie-ren de programasmás complejos, otra vezse d eb en enfrentarloselementos de juicio que pue deno no favoreceral nuevo m étodo.

Se ve claro queel análisis anterior re lacion ado conla forma de esco-ger un m étodo numérico se reducesólo a costo y exactitud.Loscos-tos son los que están involucra dos con el tiempo de cóm putoy el



106 MÉTODOSUMÉRICOS PARA INGENIER

desarrollo de program as. La exactitud a pr op iad a es u na cuestiética y de juicio profesio na l.

5. Com portamiento matemático delas funciones, ecuacioneso datos. AIseleccionar un mé todo num érico e n particular, l tipo deputadora y el tipo deprogram as, se deb e tomaren uentaacom plejida d de las funciones y de las ecuacion eso datos. Las ecuciones simplesy los datos uniformes se pu eden m anejar apropiamente con algoritmos numéricos simples y con com putad oras bSucede lo contrario con las ecu aciones comp licadas ylos datos qucontienen discontinuidades.

6. Facilidad de aplicación (iAccesibleal usua rio?). A lgunos métonuméricos son fáciles de aplicar y otros difíciles. Esto se debeen cuenta cuando se escoge un m étodo sobre otro. Esta mismase aplicaa las decisiones referentes al costo e n el des arro llo degramas, contra programas desarrollados profesionalmente.Elconvertir un p ro gr am a difícil en uno q ue sea accesibleal usuario pueser de considerab le esfuerzo. as formas de ha cerlose mencionan el capítulo2 y se elabo ran a lo largo del libro. Adem áslos progrmas de NUMERICOMP qu e ac om pa ña n a este texto son un ejemde prog ram ación accesibleal usuario.

7. Mantenim iento. Los pro gra m as pa ra resolver problema s deniería requieren mantenimiento porque duran te as aplicacione

rren dificultades, invariablem ente.Elmantenimiento puede requeun cam bio en el código del program ao la expansión dea documetación. Los prog ram as simples ylosalgoritmos num éricos son m ásciles de m ante ner . Los siguientes capítulos involucra n el desa rovarios tipos de métodos numéricos para una varied ad de probmatemáticos. Se da n en ca d a capítulo varios métodos alternativSe presentan estos métodos (en vez de un m étodo escogido poloautores) ya qu e n o existe uno que sea "el meior" de todos.N ohamétodos "mejores" ya qu e existen tantos elementos de juicio qdeben tomar en consideración cuandose aplica un m étod oa problemas prácticos.AI final de c ad a p arte del libro se presenta una tque resalta los elementos de juicio involucrados en c ad a m éto dEta tabla debe ayudara seleccionar un procedimiento num érico p iado para cada prob lem a en particular dentro de un context

I 5 RELACIONESY FóRMULAS IMPORTANTESEl cuadro 1.2 resume la inform ació n m ás importante que se anen la parte . Elcua dro se pue de consultar pa ra tener un acceso do a las relacionesy fórmulas más importantes.Elepí logo de caparte del libro contiene estos resúmenes.



EPiLOGOPARTEI- 107

CUADRO 1.2 Resumen de la inf orm ación imp ort ante presentada en a parte 1.

Definiciones de erro rError verdadero

= valor verdadero - alor aproximadoErrorelativoalorerdadera - alorproximadoporcentual verdadero % =

Errorelativo,prox.ctual - aprox.reviaporcentualoproximado

Criterios de poro Terminar los cálculosuando:

100%valor verdadero

€ = 100%aproximación actuol

€ 0 < 6,

donde es es elerror elativo porcentual deseado, especificadodirectamente o calculado en términos delnúmero deseado decifrassignificativas n

= (0.5 X lo2- )%

Serie de TaylorExpansión enla serie de Taylor 2

3 n

f (x ,+ , )= / ( X , ) + f ' (x , )h+ -h2Y X J

+ -' ( x ) h3 + . , . f c n ) ( X )hn + R,

donde

Residuo

O

R, = O(h"+')

Diferenciación numérica

Primeraiferencia f ( X , + l ) - f(x,)dividida finlta hacia

f'(XJ = + O(h)hadelante

(Otras diferencias divididas se resumende la fig. 3.7 a la 3 . 9 . )

1.6 MÉTODOS AVANZADOSY ALGUNASREFERENCIAS ADICIONALESElepílogo de ca da p arte de l libro también incluye una sección e nm ina da a facilitary fomentar estudios adicio nale s deos métodos nu-




méricos.Esta sección da rá alg un as referencias sobre el temaasí co-mo material relacionado con métodos más ava nza do s.*

Para extenderlos antecedentes men cionados e nla parte I, existen numerosos manua les sobre programación de com putadoras. esuldifícil menciona r todoslos libros y manuales excelentes correspondites a lenguajes y com putado ras especificas. Ad em ás, prob able mya se tenga material de contactos previos conla programación. Siembargo ,si ésta es la primer experiencia con computadoras, BeySethares (19 8 2 ) proporcionanunabuena ntroducción aBASICMcCraken(1965))Merchant(1979)y M erch ant, Sturgel(1977)sonotros libros útiles sobreFORTRAN.Elmaestro o los compañeros dsemestres avanz ados del usuario deb en pod er darle un onsejo aca de buenos libros de referen cia paralas máquinas ylos lenguajes

disponiblesen la escuela.También pa ra el análisis de error, cualquier libro de cálculontroductori0 incluira material suplementario relacionado con temas taleCO-mo la serie d e Taylor.Lostextos deSwokowski(1979)y Thomasy Finne(1979) proporcionan discusiones legibles de estos temas.

Finalme nte, aun que se esp era que este libro sirvalo suficiente, siempre es bu eno consultar otras fuentes cu an do se intenta conocer a-fun nuevo tema. Ralstony Rabinowitz(1978)y Carn aha n, Luthery Wilke(1969)ofrecen textos comprensibles d ela mayor parte delos méto-dos num éricos, incluyendo muchos métodos avanz ado s que vaallá del alca nce de este libro. Ot ros libros útiles sobre el tema sorald y W heatley(1984))James, Smith y W ol fo rd(1977),Stark (1970)Rice ( 1983, Hornbeck(1975) y Cheney y Kincaid(1980).

* Aquí únicamente se hace referencia a estos libros, una bibliografía completa se encontraráal final del texto.






de cruza al ejex. Este punto, que represe nta el valor dex pa ra ecual f ( x ) = O, es la r aí z. Las técnicas gráficas se discuten al princde los capítulos4 y 5.

Aunquelos métodos grá ficos son útiles en la obtenc ión de estimanes aproximativas de las raíces, están limitadas po r la caren cia decisión. U n a aproximación alternativa es usar la técnica de prueer ro r. Esta "técnica" consiste en escojer un valo r dex y evaluar sf (x) es cero. Si no es así (com o sucederá en la ma yor parte deloscas os), se hace otra conjeturay se evalúa nuevam entef(x) para determinars i el nuevo valor d a un a mejor estimación de la ra íz.Elproceso se repite hasta que se obten ga un valor que gene re unaf (x)cercana a cero.

Estos mé todos fortuitos, obviamente son neficientes e inadec uapa ra las exigencias en la práctica dela ingen iería. Las técnicas decritas en la pa rteIll representan alternativas que n osólo aproximasino emp lean estrategias sistemáticas pa ra enca minarse a la raízdadera.Ade m ás, se adaptan dealmen tea a mplem entación ecomputadoras personales. Tal com o se presenta en las págin as sigtes, la co mb inación de estos métodos sistemáticos con la com pura hacen de la solución de la ma yorparte delos problemas sobre raícde ecuaciones un a tarea simple y eficiente.

11.1.2 Raícesdeecuaciones y su p ráctica en la ngen iería

Au nqu e las raíces de ecu aciones caben dentro de otro contextocuentemente ap are ce n en el áre a de diseño en ingeniería.Elcuadro1 1 . 1muestra un conjunto de principios fundam entales que se u tifrecuentem ente en trabajos de diseño. Las ecuaciones ma temáto los mo delos derivado s de estos principios se em plea n en la prción de las variables dependientes en función de las variables ipendientes y de los parámetros. Nótese que en ca da caso, las varidependientes refleian el estadoo funcionam iento del sistema, ya sque los parámetros representen sus propiedadeso su composició

U n ejemplo de tales modelos se presenta en la ecua ción deriv ala segun da ley de New ton, usada en el capítulo1 pa ra la velocidadel paracaidista:

[11.3

Donde la velocidadv es la variable dependiente, l tiempot es la variable independientey g la constante gravitacipnal, el coeficienterozamientoc y la masa m son parámetros.Si se conocen los paráme



RAíCESDE ECUACIONES 111

CUADRO11.1 Principios fundamentales usados en los problemas de diseño eningeniería

Principio Variableariablefundamental dependiente independiente Parámetros

Balance dealor Temperatura Tiempo y Las propiedadesDosición térmicas del

material y lageometría delsistema

Balance dematerial

Concentración o tiempo ycantidad de posiciónmasa

Balance de la Magnitud y Tiempo yfuerza dirección de posición

fuerzas paraestablecerel equilibrio

Balance de Cambios en los Tiempo yla energía estados de la posición

energía cinéticay potencial del

sistemaLeyes deewtonceleración, Tiempo ydel movimiento velocidad o posición

posición

Elcomportamientoquímico delmaterial, masacoeficientes detransferencia y lageometría delsistema

Resistencia delmaterial,propiedadesestructurales y laconfiguración delsistema.

Propiedadestérmicas, masa delmaterial y lageometría del

sistema

Masa del material,geometría delsistema yparámetrosdisipativos talescomo la fricción oel rozamiento.

Leyes de Corriente y Tiempo PropiedadesKirchhoff voltajen los eléctricas del

circuitos sistema, tales comoeléctricos la resistencia,

capacitancia einductancia.

tros, la ecuación(11.3)se pued e usar pa ra predecir la velocidad depara caid ista com o una función del tiempo. Estos cálculos se puellevar a cabo directamente ya quev se expresa explicitamente com ouna función del tiempo.Estoes, está aislada a un lad o del signo igua



112 MÉTODOSNUMERICOSARANGENIEROS

11.2

Sin em ba rg o, supón gase que se tiene que determ inar el coeficide rozam iento para un paracaidista de una masa da da, par a alzar un a velo cida d prescrita enun period o dado de tiempo.

Aunqu e la ecuación(11.3)proporciona una representación matem átde la interrelación entre las variables del ,modelo ylos parámetros, nose p uede resolver explícitamente pa ra el coeficiente de rozam iePruébese. N ohay forma de reordenar la ecuación para despejar de un lado de l signo igual. En estos casos,se dice quec es implicita.

Esto representa un dilem a rea l, ya que muchos delos problemas ddiseños en ingeniería, involucran la especificación de las propdes o la com posición de un sistema (re pres en tado por sus p arátros) pa ra asegurar q ue fun ciona de la m anera deseada (represe

por sus variab les). Porlo tanto, estos problemas a menudo requieque se determinen sus pa rám etro s de form a explícita.

La solución del dilema las pro po rcio na nlos métodos numéricos pa rraíces de ecuaciones.Para esolver el prob lem ausando métodonuméricos es conveniente cam biar la ecuac ión(11.3).Esto se hace restando la variable dependientev de ambos lados de la ecuación, teniendo:

V [11.4]

Por lo tanto, el valo r dec que cumplef (c) = O, es la raíz de la e cuación. Este valor tam bién representa el coeficiente de roza m ientosoluciona el problem a de diseño.

La parte I 1de este libro analiza una gran variedad de m étodos méricos y gráficos p a ra determinar raíces de relaciones tales cla ecuación (11.4).Estas técnicas se pue den aplicar alos problemade diseño en ingeniería basados enlos principios fundamentales dneados en el cuad roI .1 así com o tantos otros problemas que se afr

tan frecuentemente en la práctica de la ingeniería.

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOSEn la mayor parte deas áreas m encion adas en este libro, en geneexisten algunos prerrequisitos de fundam entos ma temáticos necerios para conoce r a fondoel tema. Por ejem plo,los conceptos d e estimación de errores y la expansión en serie de Taylor, analizadel capítu lo3, tienen importancia directaen el análisis de raíces de ecuciones. Adicionalm ente, antes de este punto se m encion aronlos tér-



RAlCES ECUACIONES 113

minos de ecuaciones algebraicas"y "trascendentales".Puederesultar útil definir form alm ente estos términos y discutir com o selacionan con esta pa rte del libro.

Por definición, una unción da da po ry = f (x)es alge braic asi se pue-de expresar de la siguiente m ane ra:

f n y n + fn-1yn-1 + . . . + f i y + fo = o [11.5]

donde las f son polinomios enx. Los polinomios son un caso simplde funciones a lgebraicas que se representan generalmente como

{(x) = a0 + U l X + * * . + a,x" C11.61

donde lasa son constantes. Algu nos ejemplos específicos son:{(X) = 1 - 2 . 3 7 ~ 7 . 5 ~ ~

Y

f(x) = 5x2 - x3 + 7 x 6

[11.7]

[11.8]

U n a función trascendental es una q ue no es alg eb raic a. Incluye fciones trigonométricas, exponenciales, logaritmicas y otras menomiliares. Algun os ejemplos son:

f(x) = e-' - [11.9]

f(x) = sen x [11.10]

f(x) = In x2 - 1 p1.11

Las raíces de las ecuaciones pueden ser realeso complejas. U n ejem-plo simple de raícescomplejas es el caso p a ra el cual el términb2 - 4 ac de la ecuación(I . 1 )es negativo. Por ejemplo, da d o el polinomio de segundo orden :

f(x) = 4x2 - 6x + 17

La ecuación(11.1)se pue de usar p ar a determinar qu e las raíces son

16 V(-16)2- 4(4)(17) 16*X =

2 (4)--

8Por lo tanto, una raíz es:

x = 2 + ; ;




11.3

y la otra es:

x = 2 - , i

en donde i = J-

Aunq ue hay algunos casos dond e las raíces complejas de las fnes no po linomiales son de in teres, ésta situación es m enos comúpa ra polinomios. Porlo tanto, los métodos estándar pa ra encontrraíces, en general caen en dos áreas de problemas parecidas en cipio, pero fundam entalm ente diferentes:

l. l a determinación de raíces reales de ecu aciones algebra icasy trascendentales. Estas técnicas se diseñaron p a ra determ inar el

de una raíz simple de acuerdo a un conocimiento previo de ssición aproximada.

2. l a determinación ¿e todaslas rak es realesy complejas de un plinomio. Estos métodos se diseñaron específicamente p a ra pomios. Determinan sistemáticamente todas las raíces del poen lugar de simplemente un a, dad a un a posición aproxima

Este libro está enfocado al área del primer caso.os métodos diseñdos expresamente pa ra polinomios no se analizan ya que van allá del alc anc e de este libro. Sin em ba rg o, en el epílogo al finla parte se recom iendan alguna s referencias pa ra estas técn

Antes de proceder conlos métodos numéricos pa ra determinar rces de ecuaciones, seráútil dar algu nas orientaciones.Elsiguiente material es una introducción alos temas de la parte ll. Además, se haincluido algunos objetivos que orientarán al lector en sus esfual estudiar el material.

11.3.1 Campodeacción yavance

La figura1 1 . 1es una representa ción esquem ática de la organizacde la parte It. Exam ine esta figura cuidadosa me nte, iniciando epa rte de arr iba y av an zan do n el sentido de las manecillas del

Después de esta introdu cción, el capítulo4 desarrollalos métodos quusan ntervalos pa ra encontrar raíces. Estos métodos empieza nsuposiciones que encierrano que contienen a la raíz y redu cen simáticam ente el an cho del intervalo. Se cubren dos métodos: el bi-



RAiCESDE ECUACIONES11s

sección y el d e la reg la falsa. Los métodos gráficos proporcionanconocimiento visual de las técnicas. Se desarro llan formulaciones es-peciales par a ayudar a determinar cuanto esfuerzo computacional serequiere para estimar la raíz hasta un nivel de precisión previamenteespecificado.

En el capítulo 5 se cubren los métodos abier tos . Estos métodos tam-bién nvolucran teraciones sistemáticas de prueba y error pero no




requ ieren que la suposición nicial encie rre a la raíz. Se descque estos métodos, en general son más eficientes computacmente que los métodos qu e usan intervalos, pero no siempre trajan. Se analizanlos métodos de la iteración de punto fijo, el méde Newton-Rap hson y el método dela secante. Los métodos gráficproporcionan conocimiento enlos casos dondelos métodos abietos no funcionan. Se desarrollanlas fórmulas que proporcionan uidea de qué tan rápid o un método abierto convergea la raíz.

El capítulo6 extiendelosconceptos anteriores alos conceptos actules de la ingeniería.Los casos de estudio se em ple an pa ra ilustralaventajas y las desventajas de ca d a uno delos métodos y para prporcionar conocimiento sobrelas aplicaciones de las técnicas enpráctica profesional.Los casos del capítulo6 también resaltanlosele

mentos de juicio (estu diado s enla parte I ) asociados con cada unde los métodos.

Se incluye un epílogo al final de la part eI I .Éste contiene una comración detallada deos métodos discutidos enlos capítulos4 y 5. Estcomp aración incluye una descripción d elos elementos de juicio recionados con el uso correcto de cada técnica.En esta sección se pporciona amb ién un resumende las fórmulasmportantes, onreferencias a algunos m étodos numéricos que v anmás allá del alcande este texto.

Ciertas capacidades automáticas de cálculoe integ ran de diferenmaneras en la parteI En primer lug ar, program as enNUMERICOMlegibles pa ra el usuario del mé todo de bisección disponible pAppleI 1y la IBM PC.Pero también se dan los códigos enFORTRY BASICpa ra el m étodo de bisección directamente en el textoesto se tiene la oportun idad de copiar y aum entar el cód igo paplementarlo en su prop ia com putadora personalo supercomputadoSe incluyenlosalgoritmosy diagramas de flujo pa ra la mayor partlos otros m étodos expuestos en el texto. Este m ate rial puede de base para el desarrollo de un paquete de program ación y carlo a una serie de problem as de ingeniería.

11.3.2 Meta s y objetivos

Objetivos de estudio. Después de terminar la parte11 se debe tenla suficiente informa ción para apro vech ar atisfactoriamente unplia variedad de problem as de ingeniería que se relacionan craíces de ecuaciones. En términos generales se dominarán las cas, se habrá aprendido a valorarsu confiabilidad yse tendrá la capacidaddeescoger el mejor método(o métodos)paracualquierprob lem a en particular. Adem ás de estas metas glob ales, se d



RAíCESDEECUACIONES 117

asimilar los conceptos específicos de el cuadro11.2para comprendermejor el material de la pa rteI t .

Objetivosde computación.Ellibro proporciona algunos program assimples, algoritmo sy diagram as d e fluio pa ra implementar las técni-cas analizadas enla parte II. Como herramientas de aprendizaje o-dos ellos tienen g ran utilidad .

Los prog ram as opcio nales son legibles par a el usuario. Incluye métodode abisecciónparadeterm inar las raíces realesde las ecua-ciones algebraicasy trascendentales. Las gráficasasociadasconNUMERICOMP le facilitarán al lector visualizar el comportam ientode la función en análisis.Los programa s se pue den usar p ara deter-minar convenientemente as raíces de las ecuacione s a cualquier grdo deprecisión. E s fácilde aplicar NUMERICOMP pararesolvermuchos problemas prácticos y se p ued e usar para verificar os resutados de cualquier pro gra m a qu e el usuario desa rrolle porsí mismo.

Tambiénse proporcionan directame nte en el texto los progra m as enFORTRANy BASICpara los métodos de bisección y p a r a la itera-ción simple de punto fijo. Adem ás,se proporcionan algoritmosy dia-gramas de fluio generales para la mayo r parte deos otros métodosde la parte 1 1 Esta información permitirá aum entarla biblioteca deprogram as del usua rio que sean más eficientes que el m étodo de lbisección. Por e jemplo, puede desearseener sus propios programas

pa ra los métodos de la reglafalsa, Newton-Raphson y de la secanteque en general sonmás eficientes que el mé todo de bisección.

CUADRO11.2 Obietivos de estudio específicos de la parte I I

1. Entender la interpretación gráfica de una raíz2 . Conocer la interpretación gráfica del método de a regla falsa y po r qué, en

general, es superior al método de bisecciones.3. Entender las diferencias entre los métodos que usan intervalos y los métodos

abiertos para la localización de las raíces.4. Entender los conceptos de convergencia y de divergencia. Usar el método de

las dos curvas para proporcionar una manifestación visual de los conceptos.5. Conocer por qué los métodos que usan intervalos siempre convergen, mientras

que los métodos abiertos algunas veces pueden divergir.6. Entender que la convergencia en los métodos abiertos es más probable si el

valor nicial está cercano a la raíz.7. Entender el concepto de convergencia ineal y cuadrática y sus implicaciones

en la eficiencia de los métodos de teraciones de punto fijo y de Newton-Raphson.

8. Saber as diferencias fundamentales entre los métodos de la regla falsa y lasecante y cómo se relaciona su convergencia.

9 . Entender los problemas que contienen las raíces múltiples y las modificacionesque se les pueden hacer pa ra resolverlos a medias.





C A P í T U L OC U A T R OMÉTODOSQUE

USAN INTERVALO

En este capítulo sobre raíces de ecuaciones se analizanlosmétodos queaprovechan el hecho de que una función, típicamente, cambia den la vecindad de una raíz. A estas técnicasse les llamamétodos q u e usanin tervalosporque se necesita de dos valores iniciales para la raíz. su nombrelo indica, estos valores deben “encerrar”o estar uno de cadalado de la raíz.Los métodos particulares descritos sobre este puntoplean diferentes estrategias para reducir sistemáticamente el tamintervaloy así, converger a la respuesta correcta.

Como preámbulo de estas técnicas, se discutiránlos métodos gráfi-cos para graficar funcionesy sus raíces. Además de la utilidad delosmé-todos gráficos para determinar valores iniciales, también son útilesvisualizar las propiedades de las funciones el comportamiento deosmé-todos numéricos.

4.1 MÉTODOSGRÁFICOSUn método simple para obtener una aproximación a la raíz de lciónf (x) = Oconsiste en graficar la funcióny observar en donde cruzael ejex. Este punto, que representa el valor dex para el cualf (x) = O ,proporciona una aproximación inicial de la raíz.

EJEMPLO4.1Métodos gráficos

Enunciado del problema: empléense gráficas para obtener unaraíz apro-ximada de la unciónf (x) = e - x - x.

Solución: se calculanlos siguientes valores:



120 METODOS NUMERICOSPARAINGENIEROS

X f(x)

0. 0 1.0000.2 0. 61

0.4 0. 2700. 6 - 0. 0510. 8 -0.3511.o - 0. 632

Estos puntos se muestran enla gráfica de la figura4. l . La curva resulte cruzaal ejex entre0.5 y 0.6. Un vistazo a la gráfica proporcioaproximada estimación de la raíz de0.57, que se acerca ala raíz exacde 0.567 143 28. . ., que se debe determinar con métodos numLa validez dela estimación visual se puede verificar sustituyenu valoen a ecuación originalpara obtener:

f ( 0 . 5 7 )= e-057- 0.57 = -0.004 5lacual se acerca a cero

FIGURA4.1 Meto do g ráfic o par a la solución de ecuaciones algebraicas y trascen-dentales. Representación de f l x ) = e-x - contra x . La raíz corres-ponde al valor de donde f(x) = O, esto es, el punto dond e la uncióncruza el eje x . Un a inspección visual de a gráfi ca muestra un valoraproximado de 0.57.



METODOSQUE 121

FIGURA4.2Ilustración de las formasque puede tener unaraíz en un intervalo pres-crito por los límites infe-rior, x, y superior x,. Losincisos a) y b) indicanque siAx,)y f x,) tienenel mismo signo, entoncesno habrá raíces dentrodel intervalo o habrá unnúmero par de ellas. Losincisos c) y d) indican

signos opuestos en losextremos, entonces ha-brá un número impar deraíces entro eln-tervalo.

que si f 4 Ax,) t enen

Las técnicas gráficas tienenun valor práctico limitado ya que no precisas.Sin embargo,losmétodos gráficos se pueden usar para obaproximaciones de la raíz. Estas aproximaciones se pueden emmo valores iniciales paraos métodos numéricos analizados en este tuloy en el siguiente. Porejemplo,los programas de NUMERICOMPacompañan este texto le permiten graficar funciones sobreun rango es-pecífico. Esta gráfica puede hacerse seleccionandoun par de valoresini-ciales deun intervalo donde está contenida la raíz antes de implelm&& num6rico. l a osibilidad de graficar aumenta considerlautilidad de los programas.

Las interpretaciones geQmétricas, además de proporcionaciones iniciales de la raíz, son herramientas importantes en el ade las propiedades de las funciones previendo las fallas de los mnuméricos. Por ejemplo, la figura 4 .2 muestra algunas formaen las que la raíz puede encontrarse enun intervalo definido porun lími-te inferiorx,y un límite superiorx,. La figura 4.2b bosqueja el caso de los valores positivoy negativo def (x)y f (x,) tienen signos opuestorespecto al ejex, encierran tres raíces dentro del intervalo. En gsif (x,)y f (x,) tienen signos opuestos, existeun número impar de raícdentro del intervalo definido poros mismos. Como se indica en la fi4.2ay c , sif (x,)y f (x,) tienen el mismo signo, no hay raíceso hay unnúmero par de ellas entre los valores dados.

Aunque estas generalizaciones son usualmente verdaderas,casos en que no se cumplen. Por ejemplo,las raices múltiples, esto efunciones tangencialesal ejex (Fig. 4 . 3 ~ )las funciones discontinuas (4.3b) pueden no cumplir estos principios.Unejemplo de una función qtieneuna raízmúltiple es la ecuacióncúbica f (x) = (x - 2)(x - 2)(x - 4). Nótese quex = 2 anula dos vecesal polinomio, de ahí queax sele conozca como raíz múltiple.Alfinal del capítulo5, se presentan técncas que están diseñadas expresamente para localizar raíces mú

La existencia de casos del tipo mostrado en la figura 4 .3 desarrollo de algoritmos generales que garanticen a localizaciólas raíces en el intervalo. Sin embargo, cuando se usanlosmétodos expuestoen assiguientesseccionesenconjunciónconesquemasgráficos,sondegranutilidadnaolución de problemasdemuchas raíces, frecuentemente se presentan enel área de ingenieríay matemáticas aplicadas.

I

EJEMPLO 4.2Uso de gráficas por computadora para localizar raíces

Enunciado del problema: las gráficas por computadora puedeny acelerar los esfuerzos para localizar raíces de unaunción. Este ejempse desarrolló usandolos programas de NUMERICOMP disponible

.J



122 METODOSUMERICOSARANGENIEROS

FIGURA4.3Ilustración e lgunasexcepciones de los casosgenerales mostrados enla igura 4.2. a) Puedenocurrir raícesmúltiplescuandoaunción estangencia1 al eje x . Enesteaso, aunque losextremos son de signosopuestos, hay un núme-ropar de raíces enelintervalo. b) Las funcionesdiscontinuas nondelosextremos ienen sig-nos opuestos tambiéncontienen un número par

de raíces. Se requierenestrategias especiales pa-ra determinar las aícesen estos casos.

FIGURA4.4 Escalamiento progresivo de (x) = sen 1Ox+ cos 3x mediante la computadora. Estas gráficasinteractivas le permiten al analista determinar que exis-ten dos raíces entre x = 4.2 y x = 4.3.

el texto. Sin embargo, de esta manera es osible entender cómo la grafi-cación por computadora ayuda a localizar raíces.

La función:

(x) = sen lox + cos 3x

tiene varias raíces sobre el r.qngo de x = -5 hasta x = 5. Empléese laopción de graficación del programa para profundizar en el comportamientode esta función.

Solución: Como se ilustró en el ejemplo 2.1, se puede usar NUMERICOMP para graficar funciones. En la figura 4.4a se muestra la gráfica def ( x ) esde x = -5 hasta x = 5. La gráfica muestra la existencia de varias



MÉTODOSQUE 123

raíces, incluyendo posiblemente una doble alrededor ex = 4 . 2 en don-de f (x) parece ser tangente al ejex . Se obtiene una descripción más tallada del comportamientode f (x) cambiando el rango de graficacidesdex = 3 hastax = 5, como se muestra en la figura 4 .4b . Finate , en la figura 4 .4c , se acorta la escala verticala f (x) = -0.15 y f (x)= 0.15 y la horizontal ax = 4 .2y x = 4 .3 . Esta gráfica muestra clmente que no existe unaraízen esta regióny que, en efecto, haydosraí-ces diferentesalrededorde x = 4 .229y x = 4 .264 .

Las gráficas por computadora tienen gran utilidad en el estudiolos métodos numéricos. Esta habilidad también puede aplicarsematerias así como en las actividades profesionales.

4.2 MÉTODO DE BlSECClÓNCuando se aplicaron las técnicas gráficas, en el ejemplo4.1,se observó(Fig. 4 .1 ) quef (x) cambió de signo hacia ambos lados de la raíz.neral, sij (x) es realy continua en el intervalo dex1 a x, y f ( x l ) f ( x , )tienen signos opuestos, esto es,

FIGURA4.5 Algoritmo de la biseccion.

. . - ". .



124 MÉTODOSUMÉRICOS PARAINGENIERO

entonces hay, al menos una raízreal entre x, y x,.L O Smétodos de búsqueda incrementalse aprovechan de esta carac-

terística para localizar un intervalo donde la función cambie de signo. Porlo tanto, la localización del cambio de signo (ypor ende, de la raíz), selogra más exactamente dividiendo el intervalo en una cantidad definidade subintervalos. Se rastrea cada uno de estos ubintervalos para encon-trar el cambio de signo. El proceso se repite y la aproximación a la raízmejora cada vez más a medida que los subintervalos se dividen en inter-valos más y más pequeños. Se estudia más sobre e¡ tema de búsquedasincrementales en la sección 4.4.

Elm é t o d o d e bisección, conocido también como de corte inario. departición en dos intervalos iguales o método de Bolzano, es un método

de búsqueda incremental donde el intervalo se divide siempre en dos.Si la función cambia de signo sobre un intervalo, se evalúa el valor dela función en el punto medio. La posición de la raíz se determina situán-dola en el punto medio del subintervalo dentro del cual ocurre un cambiode signo. Elproceso se repite hasta obtener una mejor aproximación. Lafigura 4.5 muestra un algoritmo para la bisección y en la figura 4.6 semuestra un bosquejo gráfico del método.

EJEMPLO4.3

Bisección

, Enunciado del problema: úsese el método de la bisección para determi-; ar la Paízde' j x) = e "x - x.

Solución: Recuérdese de acuerdo a la gráfica de la función (Fig. 4.1) quela raíz se encuentra entre Oy 1. Por lo tanto, el intervalo inicial se puedeescoger desde x/ = O hasta x, = 1. Por consiguiente, la estimación ini-'cia1 de la raízse sitúa en el punto medio de este intervalo:

i

O + lX, =

-

0.52Esta estimación representa un error de (elvalor exacto es 0.567 143 29. , .)

E, = 0.567 143 29 - 0.5 = 0.067 143 29

o, en términos relativos:

= I 143 29 1100% = 11.8%0.567 143 29



METODOS QUE USAN NTERVALOS 125

FIGURA4.6 Gráfica del método de bisección. Esta gráfica incluye las primeras tresiteraciones del ejemplo 4.3.

donde el subíndicev indica que el errores con respectoal verdadero. Ahorse calcula:

f(0) (0.5) = (1)(0.10653) = 0.106 53

que es mayor de cero,y por consiguiente no hay cambio de signo ex/ y x,. Y por lo tanto, la raíz se encuentra dentro del intervalox = 0.5y x = 1. El límite inferior se redefine comox, = 0.5, y la aproximacióna laraízen a segunda iteración se calcula com o:

0.5 + 1.02 = 0.75 le,/ = 32.2





METODOS 127

es el caso de una situación real ya que no habría motivo para mé-todo siya se supiese la raíz.

Por lo tanto, se requiere estimarel error de manera tal que no inel conocimiento previo de la raíz. De manera análoga a comla sección 3 .3 , se puede calcular el error relativo aproximadoa si-guientemanera [recuérdese la ecuación(3.5)]:

donde es laaíz de la iteración ctualy xYterior s elvalordearaíz de la iteración anterior. Se usa el valor absoluto ya que, importasólola magnitud deE , sin considerar su signo. CuandoE, esmenor queun valor previamente fijado, que define el criterio d

el programa se detiene.

EJEMPLO 4.4Estimación del error para el método de a bisección

Enunciado del problema: úsese la ecuación (4 .2 ) paraestimarelerrorde las iteraciones del ejemplo4.3.

Solución: las primerasdosestimaciones de la raíz en el ejemplo 4ron0.5 y 0.7 5 . Sustituyendo estos valoresen la ecuación ( 4.2 ) se obt

0.75 - 0.5l e a = 0.75

100% = 33.3%

Recuérdese que el error exacto para la raíz estimada deO .7 5 es del 32.2%De esta manera,E, es mayor queE , . Este comportamiento se muestrlas otras iteraciones

Iteraci6n Xr I fío / It O h

1 0.52345

11.8O.75 32.2 33.30.625 10.2 20.00.5625.81 11.10.59375.69.3





METODOSQUE USAN INTERVALOS 129

el método de bisección. Esto se debe a que cada vez que se encuentrauna aproximación a la raíz usando bisecciones como x, = (xr+ ( x , ) / 2 ,se sabe que la raíz exacta cae en algún lugar dentro de intervalo (x, -

x r ) / 2 b / 2 . Por lo tanto, la raíz debe situarse dentro de f A x/2 de

la aproximación (Fig. 4.8). Por ejemplo cuando se terminó el ejemplo4.3 se pudo decir definitivamente que:

X , = 0.562 5 - 0.062 5

FIGURA4.8 Tres formas diferentes en que un ntervalo puede agrupar a la raíz. Ena ) el valo r verdadero cae en el centro del intervalo, mietras que en b)y c ) el valor se acerca a uno de los extremos. Nótese que la diferenciaentre el valor verdadero el punto medio del intervalo amás sobrepasala longitud media del ntervalo, o A x / 2 .

FIGURA4.9 Esauema gráfico del porqué la estimación del error en el método de bi-sección ( A x / 2 ) esequivalente a laestimación actualde a aíz (xrnueuo)menos la estimación anterior de la raíz




Debido a queA x/2 = xnUevo an ie r io r (Fig.4.9), la ecuación(4.2proporcionaun límitesuperior exacto sobre elerror real. Para qurebase este límite, la raíz reai tendría que caer fuera del intcontiene, lo cual, por definiciiin jamás ocurrirá en el mktodciijn.Elejemplo4.7 muestra otras técnicas de localización de no siempre se portan tan eficientes. Aunque el método de general es más lento que otrosmétodos, la elegancia del análisis ciertamente esun aspecto positivo que puede hacerlo atractivtas aplicaciones de la ingeniería.

4.2.2 Programación del métodode bisección

El algoritmo de la figura4.5: ahora se presenta enun programa que

muestra en la figura4.10.

El programa usa una funcicin (línea100) qufacilita la localización de laraíz y las modificaciones ala función. Amás, se incluye la línea200 para verificar la posibilidad de divisicero durante la evaluación del error. Tal caso se presenta itervalo está centrado respecto al origen. En este caso, la (4.es infinita.Si esto ocurre, el programa salta sobre la evaluacipara esa iteraci6n.

El programa de la figura4.10 no es muylegible para el usuaridiseñado únicamente para calcular la respuesta, el usuario más fácil de usary de entender. Dentro del paquete de NUMEasociado con este texto se proporcionaun ejemplo deun programa lble al usuario para encontrar raíces de ecuaciones.Elsiguiente ejem

F< )nEXPC-X )-X 1 ~ . t& FN F I 1 E X P I -. X J -R E I D < S , l ) X L ~ X U ~ E S , l UF O R M I T < 3 F l O . O , I S ) 1 1 , : ~ INPIJT ~ L , X I J . F ~ ,AR-FCXL )*F<X U ) 1 2 r j I F F N F i X L ) FN FCXLII , = XL,U = límites inferiot'y

XR-( X L + X U)/2I F L R . C E . O . 0 ) COTO 3 1 0

DO 240 N I G , I MW-F< X L)*F( XR>I FI f i . E P . O . 0 ) COTO 300 l d 0 1F AA = O THEN 3 0 0I F < A . LT. O , O)XU=XR 1 7 G IF A A , ( 6 1Hb.N XIJ = YR

XN-<XL+XU)/2I F ( f i f i . C T, O . O ) X L - X R 180 16 Ah .I c: THEN XL = XU

I F< X N . E Q . O . O X O T O230Ef i -ABS<<XN-XR )LXN)*1 0 0 211:l E A = A B 5 ( 1 h N - XRI / XNI f

I F < E A . LT. E S ) C O TO8 0 1 I ü XR = estimaciónnicial de la

(Función a a cual se le va acalcular la raíz)

1 2 0 NR = (XL + k l J ) I c

i k FOR N I Y TI.¡ 1111st) A A = F N F(XI . ) * F N( k R )

O THEN310 superiorES = error porcentual

aceptableIM = numero máximo de

Iteraciones.

19 k N = i k L + XU1 / 2 (Verifica s i XL y XUencierran una raiz)

230 XR-XN2 4 0 C O N T I N U E

2 ~ o ~ n f i ~ ( '; N O S EN C U N T R Of + . R I I Z ' ) P'nj P R I N T "NO SF ENCON'TRUL A R A I ? "

3 F O R M AT < ', 2 F 1 0 . 3 )

2eo M R I T E ( 6 , 4 X N . E f i . N I4 F O R U R T ( '2 F 1 0 . 3 , 1 5 ) 3 6 , r PRINT "ILAR A I L E I A C I A FS =":X.R EA = error porcentual

COTO 3 1 03 0 0 U R I T E ( 6 , S ) X R5 FORMnT( ' ' , ' L AA 1 Z EX(ICT0ES = ' , F l 0 . 3 ) (Prueba de error)3 1 0 STOP

raízA.AO A H = LN

M R I T E ( 6 . 2 ) 74*:,EXT N I

U R I T E < C , 3 ) X R , E f i lol:, P R I N T Y R , € A

COTO 3 1 0

(Evaluación para determcnarque subintervalo contiene ala aizlXN= nueva aproximación a/ O GUTO 31o

. :u, P R I N T k N . E A . N I

..

. ..2"o c.010 310 la raíz

i l ir END calculado

END

FIGURA4.10 P r o g r a m ap a r a el método de bisección.



METODOS QUE 131

muestra el uso de NUMERICOMP para encontrar raíces. Tambiénciona una buena referencia para valorary examinar los programas del usu

EJEMPLO 4.5Localización de raíces usando la computadora

Enunciado del problema: asociado con los programas de NUse encuentraun programa legible al usuario sobre el método e bise

Se puede usar este programa para resolverun problema de diseñoasociado con el ejemplo del paracaidista analizado en el capítulo1.Co-mo se recordará, la velocidad del paracaidista está dada, en funtiempo, de la siguiente manera:

[E4.5.1]

dondeu es la velocidad del paracaidista en centímetros por seguges la constante gravitacional cuyo valor es980 cm / s2, m es la masadel paracaidista cuyo valores68 100 g y c es el coeficiente de rozamieto. En el ejem plol . 1 se calculó la velocidad del paracaidista en fundel tiempo para valores dados dem , y g. Sin embargo, supóngasequese desea controlar el movimiento del paracaidista de tal forma qal-cance una velocidad prefijada en caída libre después eun tiempo dado.En este caso, se debe seleccionarun valor apropiado de c que satisfalosrequisitos de diseñocuando se mantengan constantesm , , t y u . Unaojeada a la ecuación a(E4.5.1)muestra quec no se puede calcular explcitamente en función de las variables conocidas. Supóngase qusea que la velocidad del paracaidista alcanceun valor de4 O00 cm/sdespués de7 s. De esta manera, se debe determinar un valor de c ta

[E4.5.2]

con t = 7 S y u = 4 O00 cm/s.

Solución: para implementar el método de BISECCIÓ N, se reqtener un intervalo nicialque contenga alvalor dec quesatisfaga laecuación(E4.5.2). s conveniente seleccionar este intervalo conjuncon la opción de graficación de BISECCIÓN que viene con el ción3). Elprograma preguntalos valores mínimoy máximo dex y def (x) generando la grdfica mostrada en la figura4.1 a después que sehan introducido las dimensionesde la gráfica. Puede verse que existeraíz entre10 O00 y 15 O00 g / s .

El programa BISECCIÓN pregunta porun límite máximo de iteraciones permitido,un error de convergenciaE , y un límite inferiory superior



132 MÉTODOS NUMERICOSPARAINGENIEROS

FIGURA4.11 a) Gráfica de la ecuación (E4.5.2)b) Resultados para determinar el coe-ficiente de rozamiento usando BISECCIONenel problema del para-caidista.

para la raíz. La figura 4.1 lb muestra estos valores, junto con la raíz cal-culada de 11 643.14 g / s. Nótese que con 16 iteraciones se obtiene unvalor aproximado a la raíz con un error menor de E,. Más aún, la com-

putadora muestra una verificación del errorde:

f(11643.14) = 1.025391 X lo-'

para confirmar los resultados. Si la exactitud que se requiere no se hubie-ra alcanzado con el número especificado de iteraciones, entonces el al-goritmo habría terminado después de 30 iteraciones.

Estos;esultados están basados en el algoritmo simple del método deBISECCION con el uso'de rutinas de entrada y salida legibles al usuario.El algoritmo usado es similar al de la figura 4.1 0. El usuario debe estarlisto para escribir sus propios programas sobre el método de bisección.Si tiene los programas de NUMERICOMP, entonces los puede usar co-m o modelo y para verificar que sus programas sean adecuados.

I

4.3 MÉTODO DE LA REGLAFALSAAunque el método de isección es una técnica perfectamente válida paradeterminar raíces, su enfoque es relativamente ineficiente. Una alternati-



METODOSQUEUSAN INTERVALOS 133

va mejorada es la del método de la regla falsa está basado en unapara aproximarse en forma más eficiente a la raíz.

Un defecto del método de bisección es que aldividir el intervalox I

a x, enmitades iguales, no se toma en consideración lamagnituddef (x() y def (x,).Por ejemplo,si f XI) está mucho más cerca de cero quf (xu), es lógico que la raíz se encuentra más cerca dexI que dex , (Fig.4.12). Este método alternativo aprovecha la idea deunirlospuntos conuna línea recta. La intersección de esta línea conl ejex proporciona unamejor estimación de la raíz.El reemplazamiento de la curva por una lírecta da una “posición falsa” de la raíz, de aquí el. nombre demétodode la regl a a l sao en latín,regul a a l s i .También se le conoce como métdo de interpolaci6n lineal.

Con el uso de triángulos semejantes (Fig.4.12), la intersección dela línea rectay el ejex se puede calcular de la siguiente manera:

que se puede resolver Dara (véase el recuadro4.1para mayores detalles

FIGURA4.12 Esquema gráfico del método d e a regla falsa. La fórm ula se deriva delos triángu los semejantes (áreas so mbreadas).

~ ” ~ . - ~ .- l _ . . _ ” , ~ - . . ” l l ” ” . ” ” . ^ _ , ~ . -” . - .”



134 METODOS NUMtRICOSARA INGENIEROS

RECUADRO4.1 Derivación del método de lo regla falso

Multiplicandonruza ecuación(4.3)se obtiene: sumandoy restandox, del lado derecho:

Dividiendo entre - (x"):

xuf(x1) - x,f(xu)

f X/) - (xu)xr =

x, = xu - f(xu>(x/ - xu)f (XI) - f(xJÉsta es una forma del método de la regla falsa. Nótese

que esto perm ite cualcular la raízx, en función delos 1 que es igual a la ecuación(4.4).Se usa esta forma yamanera alternativa, expandiéndola: analizado en el capítulo5.mites infer ior,Ysuperiorx u . SepuedeOrdenar de una esdirectamente conel método dela secant

Esta es lafórmula de la regla falsa. El valor dexr, calculado con la eción(3.4), reemplaza aunode los dos valores,x, o a x, que produzcun valor de la función que tenga el mismo signo def (x,). De esta mnera,los valoresxl y x, siempre encierran a la raíz.Elproceso se rephasta que la aproximación a la raíz sea adecuada. El algoritmco al de la bisección (Fig.4.6)con la excepción de que la ecuacióse usa enlos pasos2 y 4. Además, se usanlosmismos criterios de p[(E c. (4.2 )] para detenerlos cSlculos.





136 METO OS NUMÉRICOSPARAINGENIERO

FIGURA4.13 Comparación de errores relativos de los métodos de la regla falsa y debtsecciones para f x ) = e - x.

todo de la regla falsa que para el de bisecciones ya que el puesquemamáseficiente para la localización de raíces.

Recuérdese queen el método de bisección el intervalo entrex/ y xdecrece duranteloscálculos. Porlo tanto, el intervalo dado porA x/ 2= ~ x, - , ,' 2 proporciona una medida del error en estas aprnes. Este no es el caso para el método de la regla falsa ya losextremos puede permanecerfijo a lo largo delos cálculos, mienque el otro converge a la raíz. Como en el caso, del ejemp4.4 dondel extremo inferiorx i e sostuvo en cero, mientras quex, convergió raíz. En tales casos, el intervalo no se acorta, sino que se mo menos constante.

Elejemplo4.6 sugiere que la ecuación(4.2)representaun criterde errormuyconservador. De hecho, la ecuación(4.2) constituye uaproximación de la discrepancia de la iteraciónpreuia. Estose debe a qpara cada caso , tai como en el ejemplo4.6, donde el método convrápidamente (por ejemplo, el error se reduce casi una orde



METODOS 137

tud por iteración), la iteración ctual es una proximaciónmuchomejor alvalor ealde a aízqueel esultadode a teraciónpreviaxYterior.or lo tanto, el numerador de la ecuación(4.2)representa ladi-ferencia de la iteración previa. En consecuencia, hay confianza se satisface la ecuación(4.2), la raíz se conoce con mayor exactitudsu-perando la tolerancia preestablecida. Sin embargo, como se vguiente sección, existen casos donde la regla de la posición falslentamente. En estos casos la ecuación(4.2)no es confiabley se debedesarrollarun criterio diferente de paro.

4.3.1 Desventajasdelmétodode a egla alsa

Aunque el método de la regla falsa pareciera siempre ser el mlosque usan intervalos, hay casos donde funciona deficientement

to, como en el ejemplo siguiente, hay ciertos casos donde el mbisección da mejores resultados.

EJEMPLO 4.7Un caso dondeel métod o de bisección s preferible al de4a 'regla fals

Enunciado del problema: úsenselos métodos de biseccióny de la reglafalsa para localizar la raíz de:

entrex = O y x = 1.3.

Solución: usando bisección, los resultados se resumen como

1 O 1.3 0.65 352 0.65 1.3 - 0.975 2.53.33.975 1.3 1.1375 13.84.34 0.975 1.1375 1.05625 5.6 7.75 0.975 1.05625 1.O15625 1.6.0

De esta manera, después de cinco iteraciones. l error verdaderoa menosdel 2%.Con la regia falsa se obtieneun esquemamuydiferente




1 O 1. 3 0.09430 90. 62 0. 09430 1. 3. 18176

81. 88. 13 0. 18176 1.3 0. 26287 73. 70. 94 0. 26287 1. 3. 3381 1 66. 22. 35 0. 3381 1. 3 0. 40788 59. 27. 1

~~~ ~

Después de cinco iteraciones, el error verdadero se ha reducido ai 59%.Ade-más,nótese que 1E, 1 < 1 eV 1. De esta forma, el erroraproximadoes engañoso. S e puede obtener mayor información examinando una gráficade la función. En la figura 4.14 la curva viola una hipótesis sobre la cual

I FIGURA4.14 Gráfica de la función f(x)= x " - , ilustración de la convergencialenta del método de a regla falsa.





148 , METODOSUMÉRICOS PARAINGENIEROS

FIGURA4.15 Casos donde las raíces se pueden brincar debido a que las longitudesde los intervalos en losmétodos de búsquedas incrementales son de-masiado grandes. Nótese que a últirna raíz s múltiple y se iba a brin-car ndependientemente de la longitud del incremento.

la posible existencia de raíces múltiples. Un remedio parcial para estoscasos en calcular la primera derivada de la función f ' (x) en los extremosdel intervalo. Si la derivada cambia de signo, entonces puede existir unmáximo o un mínimo en ese intervalo, lo que sugiere una búsqueda másminuciosa para detectar la posibilidad de una raíz.

Aunque estas modificaciones, o el empleo de un incremento muy fi-nopueden solucionar en parte el problema, sedebeaclararque losmétodos sencillos tales como el de búsqueda incremental no son infali-bles. Se debe tener conocimiento de otras informaciones que profundi-cen en la localización de raíces a fin decomplementar las técnicasautomáticas. Esta información se puede encontrar graficando la funcióny entendiendo el problema físico de donde se originó la ecuación.

PROBLEMASCálculos a mano

4.1 Determínense as aíces eales de:

f(x) = - 0 . 8 7 4 ~ ~ 1 . 7 5 ~ 2.627

a) GrSrficamenteb) Usando la fórmula cuadráticac ) Usando el método de bisección hasta tres iteraciones para determinar la raíz m&alta. Empléense como valores iniciales xi = 2.9 y x, = 3.1. Calcúlese el error es-timado e a y el error verdadero E,, después de cada iteración.



METODOS QUE USAN INTERVALOS 141

. .

4.2

4.3

4.4

4.5

4.6

4.7

Determínense las raíces reales de

f(x) = -2 .1 + 6 . 2 1 ~ 3 . 9 ~ ' + 0 . 6 6 7 ~ ~

a) Gráficamenteb) Usando bisección para localizar la raíz más pequeña . Empléense como valoresiniciales x, = 0.4 y x, = 0.6 e itérese hasta que el error estimado F, se encuentreabajo de t , = 4%

Determhense las raíces reales de:

f(x) = -23.33 + 7 9 . 3 5 ~ " 8 8 . 0 9 ~ ~4 1 . 6 ~ ~ 8 . 6 8 ~ ~ 0 . 6 5 8 ~ ~

a Gráficamente

b ) Usando bisección para determinar la raíz más alta para es = 1 W Empléese co-mo valores iniciales x, = 4.5 y x , = 5.c) Realícense losmismos cálculos de b) pero usando el método de la regla falsa.

Determínense las raíces reales de:

f(x) = 9.36 - 21 .963~ 16 .2965~ ' - 3 . 7 0 3 7 7 ~ ~

a) Gráficamenteb ) Usando el método de la regla falsa con un valor de e s correspondiente a tres'cifras significativas para determinar la raíz más baja.

Localícese la primer raíz diferente de cero de tan = 1.1.x donde x está en radia-nes. Úsese una técnica gr6fica y bisección con valores iniciales O.l y O.G.Realícen-se los cálculos hasta que E, sea menor del es = 10%. Verifíquense también loserrores sustituyendo la respuesta final en la ecuación original.

Determínese la raíz real de In x = 0 . 5

a) Gráficamenteb ) Usando el método de bisección con tres iteraciones y valores iniciales x) = 1y x, = 2.c) Usando el método de a regla falsa con tres iteraciones y los mismos valores ini-ciales del inciso anterior.

Determínese la raíz real de :

1 - . 6 ~f(x) =

X i

a) Analíticamenteb) GráficamenteC) Usando el método de a regla falsa con tres iteraciones y valores iniciales de 1.5y de 2.0. Calcúlese el error aproximado E, y el error verdadero E, después de ca-da iteración.




4.8 Encuéntrese la raíz cuadrada positiva de10 usando el método de la regla falsaE, = 0 . 5 % . Empléenselos valores niciales dex, = 3 y x , = 3.2.

4.9 Encuéntrese laraízpositivamás pequeña de a función(x está dada en radian

x' sen XI = 4

usando el método de la regla falsa. Para localizar la región en que cmero grafíquese la función para valores dex entreO y 4. Realícenselos cálculohasta queeohaga que se cumplaes = 1 B . Verifíquese la respuesta final syéndola en la función original.

4.10 Encuéntrese laraízrealpositiva de:

(x) = x4 - . 6 ~ ~ 5 . 5 1 ~ ' + 464x - 998 .46

usando el método de la regla falsa. Úsese una gráfica para determinalos valoresiniciales y realizarloscálculos cone , = O.1 % .

4.11 Determínese laraízreal de:

f(x) = x 3 - 100

a) Analíticamenteb) Con el método de laregla alsa cones = 0.1 %

4.12 La velocidad del paracaidista está dada porla fórmula:

dondeg = 980. Paraun paracaidista de m asam = 75 O00 g calcúlese el cocientede ozamiento c con u = 3600 cm/s en t = 6 s . Úsese lmétodo dlaregla alsa paradeterminar c cones = O.1 %.

Problemas para resolver con computadora

4.13 Vuélvase a programar la figura4.10 de forma tal que sea más legible al uEntre otras cosas:a) Documéntese indicando la funciónde cada secciór.b) Etiquétense las entradasy las salidasc) Agréguese una prueba que verifique silos valores inicialesx, y x,, encierranla raíz.d ) Agréguese una prueba de verificación para que la raíz obtenida sela ecuación original para comprobar si el resultado final se ace:ca

4.14 Pruébese el programa del problema 4 . 1 3 duplicandolos cálculos del ejemplo4.3.

4.15 Úsese el programa del problema 4 . 1 3 para repetir desde el problem4.6



MÉTODOS QUE 143

4.16 Repítanselosproblemas 4. 1 4y 4. 15 usandolosprogramas de NUMERICOMPponibles con el texto. Úsense las capacidades gráficas de este programcar los resultados.

4.17 Úsenselos programas de NUMERICOMP para encontrar las raíces reafunciones polinomiales cualesquiera. G rafíquense las funciones sobreun rango de-finido para obtenerlos límites nferiory superior de las raíces.

4.18 Repítase el programa 4.17 usando dos funciones trascendentales

4.19 En este problema se usan solamente las capacidades gráficas delosprogramas NUMERICOM P disponibles con el texto.LOSrogramas trazan la función sobre ivalos másy más pequeños para incrementar la cantidad de cifras significquese quieraestimar una raíz. Empiécese conf(x) = e-' sen (10 x ) . Grafíquese lafuncióncon un rango a escala completa desdex = O hastax = 2.5. Estímeslaraíz. Trácese nuevamente la funciónsobre el rangox = 0.5a x = 1.0. stí-mese la raíz. Finalmente, grafíquese la función sobre un rango de0.6 a 0.7.Estopermite estimar laraíz con dos cifras significativas.

4.20 Desarrólleseun programa legible al usuario para el método de la regla falen la sección 4 . 3 . 2 . Pruébeseel programa con el ejemplo 4.6.

4.21 Úsese el programa del problema 4 . 2 0 para probarlos cálculos del ejemplo 4Realícense corridas de5, 10,15 y más iteraciones hasta que elerror elativoporcentual sea menor delO .1%. Grafíquenseloserrores relativos porcentualesapro-ximados contra el número de iteraciones sobre papel semilogarítmicose los resultados.





C A P í T U L OC I N C OMÉTODOSABIERTOS

En los métodos del capítulo anterior que usan intervalos, la raíz se en-cuentra dentro del mismo, dado por n límite inferior y otro superior. Laaplicación repetida de estos métodos siempre genera aproximaciones másy más cercanas a a raíz. A tales métodos se les conoce como conuergen-tes ya que se acercan progresivamente a la raíz a medida que crece elnúmero de iteraciones (Fig. 5. a ) .

FIGURA5.1 Esquema gráfico de las diferencias fundamentales entre los métodos queusan intervalos a) y los métodos abiertos b) y c) en la localización de raí-ces. En a), que ilustra el método de bisección, la raíz está registrada dentrodel intervalo dodo por x, y x,. En contraste, con los métodos abiertos,ilustrados en b) y c), se usa una fórmula para proyectar i a xi+,con unesquema iterativo. De esta manera, el método puede divergir b) o con-verger c) rápidamente, dependiendo del punto inicial.



146 MÉTODOSNUMÉRICOS PARAINGENIEROS

En contraste con éstos, losmétodos abiertos que se describen en espítulo, se basan en fórmulas que requieren deun solo valorx o de unpar de ellos pero que no necesariamente encierran a la raíz. algunas vecesdiuergen o se alejan de la raíz a medida que crece

ro de iteraciones (Fig.5. b) . Sin embargo, cuandolosmétodos abierconvergen (Fig.5.IC),en general lo hacen mucho más rápido quetodos que usan intervalos. Se empieza el análisis delosmétodos abiercon una versión simple que esútilpara ilustrar su forma generaly tambiénpara demostrar el concepto de convergencia.

5.1 ITERACIóN DE PUNTO FIJO

Como se mencionó anteriormente,losmétodos abiertos emplean unmula que predice una aproximación a la raíz. Tal fórmula se rrollar para la iteración de punto fijo, rearreglando la ecuaciónf(x)= O detal forma quex quede del ado zquierdo de la ecuación:

x = [5.11

Esta transformación se puede llevar a cabo mediante operabraicaso simplemente agregandox a cada lado de la ecuación oriPor ejemplo:

x 2 - 2 x + 3 = o

se puede reordenar para obtener:x2 + 3

íx = ” -

mientras que senx = Opuede transformarse en a forma de a ecuac(5.1)sumándolex a ambos lados para obtener:

x = s e n x+ x

La utilidad de la ecuación(5.1) es que proporciona una fórmupredecirun valor dex en función dex . De esta manera, dadaun aproxmación inicial a la raíz,xi, la ecuación(5.1)se puede usar para obteuna nueva aproximaciónxi+l , expresada por la fórmula iterativa:

Como con otras fórmulas iterativas del libro,l error aproximado deecuación se puede calcular usando el estimador de error [(3.5) :





148 MÉTODOSNUMÉRICOSPARA INGENIERO

S k r ) - g(xJ = ( x r - Xi) g ‘ ( 8 Por consiguiente, sig’ ( ) < 1,entonceslos errores dcrecen. con cada iteración.Si g’ ( <) > l , entonceslo

donde4 se encuentra en alguna Parte dentro dex, Yx,. errores crecen. Nótese también que si a derivaEste resultado se puede sustituir en la ecuación(B5.1.2) tiva,los emores serán positivos,y porlo tanto, la solucpara obtener: iterativa será monótona (Figs. 5 .3 ay c). Si la derivad

[B5.1,31 negativa, entonceslos errores oscilarán (Figs. 5.3y dUn corolario de este análisis demuetra que

Siel error verdadero para la -ésima iteraciónse define como: el método converge, el error es casi proporcy menor que el error del paso anterior. Por esta razó

X, - xi 1 = (X, - xi)S’([)

Et, = x, - xi ción de puntoijo se dice que es linealmente conu

entonces la ecuación(B5.1.3)se convierte en:

E t , i + l = S’(() Et,¡

5.1.1 Convergencia

Nótese queel error relativo exacto en cada iteración del ejem5.1ecasi proporcional (porun factor de0.5a 0.6)alerror de la iteración rior. Esta propiedad, conocida como convergencia lineal,es caracteríca de la iteración de punto fijo. Enel recuadro5.1se presenta una bteórica para esta observación.

FIGURA5.2 Dos métodos gráficos alternativos paro determinar la raíz de f(x) =e ‘ -x . a) Raíz en el punto donde ésta cruza al eje x ; b ) raíz en laintersección de las funciones componentes.

-





150 METODOS NUMERICOSPARA INGENIER

El método delasdos curvasse puede usar ahora para ilustrar vergenciay divergencia dela iteración de punto fijo.

En primer lugar, la ecuación(5.1)se puede expresar comoun pade ecuaciones:y ,= x y y2= g (x). Estas dos ecuaciones se puedficar por separado. Tal fue el caso de las ecuaciones(5.3)y (5.4) las races def ( x ) = O son guales al valor de a abscisa en a interslas dos curvas. En a igura5.3 e grafican a funcióny ,= x y cuatesquemas diferentesde la funcióny2= g(x).

FIGURA5.3 Esquema gráfic o de la convergencia a b) y la divergencia c) y d) de a iteraciónde punto fino. A las grafips a y c) se es conoce como patr ones monótonos, mien-trasque a b) y d) se es cono ce.como patr ones oscilatorios o en espiral. Nótese qula convergencia se obtiene cuando g’(x)1 < 1.

I__ _LI_I_-̂ . ~



MnODOS ABIERTOS lb1

En el primer caso (Fig.5 . 3 ~ 4 , l valor inicialx, se usa para determi-nar el punto correspondiente a la curvayz, [xg,g(xo)]. Elpunto[x1, xl]se encuentra moviendo la curvay1a la izquierday horizontalmente. Es

tos movimientos son equivalentes a la primera iteración del mépuntofijo:

De esta manera, en la ecuacióny en la gráfica se usaun valor inicialx.para obtener la aproximaciónxI .La siguiente iteración consiste en verse al punto[xl, g (xl)] b después a[x2, x2]. Esta iteración es equivlente a la ecuación:

La solución en la figura5.3a esconvergente ya que la aproximación x se acerca más a la raíz con cada iteración. Lo mismo se cula figura5.3b. Sin embargo, éste no es el caso para las figuras5 . 3 ~ d ,en donde las iteraciones divergen de la raíz. Nótese que la conocurre únicamente cuando el valor de la pendiente dey2 = g ( x ) es me-nor al valor de la pendiente deyI = x, esto es, cuando19' ( x ) c 1.En el recuadro5.1 se presenta una derivación teórica de este resu

5.1.2 Programapara a teración de puntofijo

El algoritmo para la computadora de la iteración de punto fijo madamente simple. Consiste enun ciclo que calcula iterativamente nvas aproximaciones junto con una declaración lógica que deterse ha cumplido el criterio de paro.

FORTRAN

f

1so7 0

2

a 1 0a F O R M h T C 'Z F I 0 . 3 , I S f

U R I T E ~ 6 . 3 ? X N , E A , N I

STOPEND

BASIC

1 I

I Iü121313014015 0

1601.70180I902 0 0210220

, Func16n a a que sedesea ca lcu la r a r a i z l

ES = e r ro rporcen tua lacep tab le

XN = aprox imac t6na la a íz

I N P U rX R . E S . I l lF O R I = 1 TU In

I F X N = 0 , THEN 170XN = FN F C X R ) IM = n u m e r oa x m oet e r a c l o n e s

E A = AB5 ( I X N - X R ) I XN) e-. EA = aprox imac i6n o rcen tua l e l

I FE A \ = ES THEN 210 - p r u e b a e1W error

NEXT N IP R I N T N O SE E N C O N T R OL A R A I L "

E N DP R I N TX N . E A . N I

XR = XN

N II - I

FIGURA5.4 Programa para a iteración de punto fijo. Nótes e que este algor itmogeneral es similar al de los métodos abiertos.



152 METODOSNUMERICOSPARAINGENIER

En la figura 5.4 se presentan los programas en FORTRAN Y BASIC parael algoritmo. Se pueden programar de manera similar otros métodos abier-tos, simplemente cambiando la fórmula iterativa (declaración 130).

5.2 MÉTODO DE NEWTON-RAPHSONTal vez, dentro de as fórmulas para ocalizar raíces, la fórmula de Newton-Raphson (Fig. 5.5), sea la más ampliamente usada. Si el valor inicial dela raíz-es x,, entonces se puede extender una tangente desde el punto[x;, f (xi)].El punto donde esta tangente cruza al eje x representa unaaproximación mejorada a la raíz.

El método de Newton-Raphson se puede derivar geométricamente(una forma de hacerlo es mediante el uso de la serie de Taylor, descrita

en el recuadro 5.2). Como en la figura 5.5, la primera derivada en x eequivalente a la pendiente.

que se puede reordenar para obtener:

a la que se conoce como fórmula de Newton -Raphson .

FIGURA5.5 Esquema gráfico del método deNewton-Raphson. Se extrapola unatangente a la función en el punto xi [esto es, f'(x;)] hasta el eje x pa-ra obtener una estimación de la raíz en x,+ .

l l ~ ~ ~



METODOS ABIERTOS 153

EJEMPLO 5.3Método de Newton-Raphson

Enunciadodelproblema:úseseelmétododeNewton-Raphsonparacalcular laraíz dee x - x empleando elvalor nicialde x. = O.

Solución: la primera derivada de la función se puede evaluar

f ( x ) = -e-x - 1

que se puede sustituir, junto con la función original enla ecuación(5.6)para dar:

p i xi h

Xi+l = x - -e -x ' - - J ,

1

Empezando con el valor inicialx = O,se puede aplicar la ecuación rativa para calcular:

O 1O00.500000000 11. 80.566311003 0. 147

0.5671431 65 0. 00002200.567143290 <10

De esta manera, el planteamiento converge rápidamente a laNótese que el error relativo en cada iteración decrece mucho mque comolo hace la iteración de punto fijo (compárese con el eje.1).

5.2.1 Criterios de paro y estimación de errores

Como conlosotros métodos de localización de raíces, la ecuaci(3.5)se puede usar comoun criterio de paro. Adem ás,la derivación del método con la serie de Taylor (recuadro5.2) proporcionaun conocimientoteórico relacionado con la velocidad de convergencia expresadE i + = O ( E i * ) .e esta forma, el error debe ser casi proporcional drado del error anterior. En otras palabras, el número de cifrasvas se duplica aproximadamente en cada iteración. Este compse examina enel siguiente ejemplo.




RECUADRO5.2 Derivacióny análisisdelerrordelmétodode Newton-Raphsona partirde la seriedeTaylo

Además de laderivación geométrica [ecuaciones (5 .5 )y 0 = f (Xi) + f (Xi) ( x r - Xi)

(5.6)] ,el método de Newton-Raphson se puede derivartambién con elso de la serie Taylor. Esta derivación al- f ( Oternativa es muy útil en el sentido de que muestra la De-

+ xr - X,)' [B5.2.3]

netración en la velocidad de convergencia del método.L~ ecuación (B5.2.2)se puede restarde la ecuaci

puede representar como:Recuérdese delcapítulo3 que la serie de Taylor se (8 5 .2 .3 )paraobtener:

f"(47+ - x ~ + I - X¡)' [B5.2.1]2

L

[B5.2.4]

endondet :se encuentraen parte de1 ntervalo en- Ahora, notandoque el esigual a la diferencia entre xi x i + , Truncando la serie de Taylor después de laprimera derivada, se obtiene unaversión aproximada:x i + ly el valor real ,x, como en:

f X i + l ) --f (Xi) + f '(Xi)(X¡+l - Xi)Ev.i+l=xr"xi+l

En la intersección conel ejex, ( x i +) debe ser igual a ce-ro, o:

y la ecuación (B 5. 2 .4 ) se puede expresar co

0 = f (Xi) + f '(Xi)(Xi+l - Xi) [B5.2.2] [B5.2.5]L


que es idéntica a la ecuación (5 .6 ) . De esta forma, se haderivado el método de Newton-Raphson usando la seriede Taylor.

Además de la derivación, la serie de Taylor se puedeusar para estimarel error de la fórmula.Estose puedelo-grar al utilizar todoslos términos de la ecuación B5.2.1conel resultado exacto. Por esta situaciónxi+l x,, endondex, es el valor exacto de la raíz. Sustituyendo estevalor, junto conf(x,) = O en la ecuación (B5.2.1)seobtiene:

Si se supone que hay convergencia, entoncesxi y t : s

deberían aproximar a la raízx,, y la ecuación (B5.2puede reordenar para obtener:

[B5.2.6]

De acuerdo a la ecuaci6n (B5.2.6)el error es casi procional al cuadrado del error anterior. Esto signnúmero de cifras decimales correctas se duplimadamente en cada iteración.A este comportamienle llama conoergencia cuadráfica.Elejemplo 5.4 iluesta propiedad.

EJEMPLO 5.4Análisis de error en el método de Newton-Raphson

Enunciado del problema: como se dedujo en l recuadro 5.2, el métodode Newton-Raphson es convergente cuadráticamente. Esto es,el errores aproximadamente proporcional al cuadrado del error anterior, dado por:

CE5.4.11



MÉTODOS ABIERTOS 1SS

Examínese esta fórmulay véase si es aplicable alos resultados del ejemplo 5.3.

Solución: laprimeraderivada de(x) = e ”x es:f ‘(x)= --e-’ 1

que se puede evaluar enx,= 0.567143 29 para dar:f’(0.567 143 29) = -1.567 143 29

La segunda derivada es:fff(x) = e-x

que se puede evaluar, para obtener:

f’(0.567 143 29) = 0.567 143 29Estos resultadosse pueden sustituiren la ecuación (E 5.4 .1 ) para obt

0.567 143 29E l + l’ = - Z(”1.567 143 29)

E v , i 2

O

€ , , i t 1- 0.180 95 E,, i2Del ejemplo5.3, el error inicial fue deE t , 0 = 0.567143 2 9 , que se puede sustituir en a ecuación del error para obtener:

E,,l 0.18095(0.56714329)2 = 0.058 2

que se acerca al error real de= 0.067143 29 . En la siguiente iteracE v, 2 0.180 95(0.067 14329)2 = 0.000 815 8

que también se compara favorablemente con el error real de0.000 8323. En a tercera iteración:

= 0.180 95(0.000832 = 0.000 O00 125

que es exactamente el error obtenido en el ejemplo 5 .3 . La del error mejora de esta manera ya que está más cercano a lxi y4 se aproximan mejor mediantex, [recuérdese la suposición maneal derivar la ecuación (B 5 .2 .6 ) a partir de la ecuación (B5 .2en el re-cuadro 5.21.Finalmente:

Eu,4 = 0.180 95(0.000 O00 125)2 = 2.83 X

De esta manera este ejemplo ilustra que el error en el métodoRaphson es en este caso, de hecho, casi proporcional (porun factor deO.180 95) al cuadrado del error en la iteración anterior.



156 MÉTODOSN U M É R I C O SPARA INGENIER

5.2.2 Desventajas delmétodo de Newton-Raphson

Aunque el método de Newton-Raphson en general es uy eficiente, haysituaciones en que se porta deficientemente. Un caso especial -raícesmúltiples- se analiza al final del capítulo. Sin embargo, aun cuando setrate de raíces simples, se encuentran dificultades, como en el siguienteejemplo.

EJEMPLO5.5Ejemplo de un a función q ue converge lentamente con el m étodoNewton-Raphson

Enunciado del problema: determínese la raíz positiva de f ( x ) = x10 - 1

usando el método de Newton-Raphson con u n valor inicial de x = 0.5.Solución: la fórmula del método de Newton-Raphson es en este caso:

que se puede usar para calcular:

O 0.51 51. 652 46. 4853 4 1.83654 37. 652855 33, 887565

De esta forma, después de la primera predicción deficiente, el métodoconverge a la raíz 1, pero con una velocidad muy lenta.

Además de la convergencia lenta, debida a la naturaleza de la fun-ción, se pueden originar otras dificutades, como se ilustra en la figura 5.6.Por ejemplo, la figura 5.6 a muestra el caso donde un punto de inflexión-esto es, f ' ( x ) = 0- ocurre en la vecindad de una raíz. Nótese que lasiteraciones que empiezan en x divergen progresivamente de la raíz. Enla figura 5.6b se ilustra la tendencia del método de Newton-Raphson aoscilar alrededor de un punto mínimo o máximo local. Tales oscilacionespersisten, o, como en la figura 5.6b, se alcanza una pendiente cercanaa cero, después de lo cual la solución se aleja del área de inter&. En lafigura 5.6c, se ilustra como un valor inicial cercano a una raíz puede sal-



METODOSABIERTOS 157

tar a una posición varias raíces lejos. Esta tendencia de alejarse del áreade interés se debe a que se encuentran pendientes cercanas a cero. Ob-viamente, una pendiente cero Lf'(x) = O] es un real desastre que causa





METODOSABIERTOS 159

FIGURA5.7 Esquema gráfico del método de la secante. Esta técnica es similar a ladel método de Newton-Raphson Fig. 5.5)en el sentido de que una apro-ximación a la raíz se calcula extrapolando una tangente de la funciónhasta el eje x . Sin embargo, el método de la secante usa una diferenciaen vez de la derivada pa ra aproximar la pendiente.

Esta aproximación se puede sustituir en la ecuación(5.6)obteniendo lecuación terativa:

La ecuación(5.7)es la fórmula para elmétodo de la seca nte. Nótese quel planteamiento requiere de dos puntos iniciales ex. Sin embargo, dbido a que no se requiere quef(x) cambie de signo entre estos vaa este método no se le clasifica como aquellos que usan nt

EJEMPLO 5.6ELmétodo de la secante

Enunciado del problema: úsese el método de la secante pararaíz def ( x ) = e - x - . Empiécese conlos valores iniciales dex-1 =

o y x0 = 1.0.



160 METODOS NUMERICOS PARAINGENIEROS

Solución: recuérdese que laraíz real es0.567 143 29 .Primera iteración:

"0.632 12(0- )1 "("0.63212)

1 = 1 - = 0.61270 / € I= 8 . 0 8

Segunda iteración:

x0 = 1 f(xo) -0.632 12x1 = 0.612 0 f x 1 ) = -0.0708 1

(Nótese que las dos aproximaciones se encuentran del mismla raíz.)

x2 = 0.61270- "0 .0708 1 (1-0.61270)-0.632 12 - -0.070 81)

= 0.56384

(E,( = 0.58%\

Tercera iteración:

x1 = 0.61270 f(x1) = -0.0708 1

x2 = 0.56384 f (x2) = 0.00518x3 = 0.56384 -

0.00518 (0.612 70-0.563)84"0 .07081 - 0.00518)

= 0.567 17

IE /= 0.0048%

5.3.1 Diferencias entrelos métodos de la secante y de la regla falsa

Nótese la similitud entrelosmétodos de la secantey de la regla falsa. ejemplo, las ecuaciones(5.7)y (4.4) on idénticas término a términobas usandosestimaciones iniciales, para calcular una aproximpendiente de la función que se usa para proyectar hacia el jex una nueva aproximación a la raíz. Sin embargo, existe una diferenciaambos métodosy ésta estriba en la forma en que uno delosvaloresini-ciales se reemplaza por a nueva aproximación.Recuérdese que en elmé-todo de la regla falsa, la Gltima aproximación de la raíz reempvalor cuya función tenía el mismo signo def ( x l ) .En consecuencia,



METODOSABIERTOS 161

dos aproximaciones siempre encierran a la raíz. Porlo tanto, en todosloscasos prácticos, el método siempre converge ya que la raíz stra dentro del intervalo. En contraste, el mdtodo de la secante rlosvalores en una secuencia estricta, con el nuevo valorxi+l e reem-plaza axi y xi reemplaza axi-l . Com o resultado de ésto,losdos valorespueden caer deun mismo lado de la raíz. En algunos casos, éstoprovocar divergencia.

EJEMPLO 5.7Comparación dela convergencia enlos métodos de la secantey la’regla falsa.

Enunciado del problema: úsenselos métodos de la secantey de la regla

falsa para calcular la raíz def(x)=

Inx. Háganseloscálculos conlosva-lores inicialesx/= xi- . 0 . 5 y x, = x i = 5.0.

,’

Solución: en el método de la regla falsa, usando la ecuación(4.4)y loscriterios de obtención de la raíz en el intervalo mediante el reelosvalores correspondientes en cada aproximación, se generates iteraciones:

I

lteraciin X I XU x ,

1 9.5 5.8 1.85462 e s 1.8546 1.21633 e s 1.2163 1.@585

Como se puede ver (Figs.5.8a y c) , las aproximaciones convergenraíz real= 1.

Enel método de la secante usando la ecuación(5.7)y el criterio se -cuencial para reemplazar las aproximaciones se obtiene:

1 0.5 5.@ 1.85462 5.8 1.8546 -4.18438

Como se muestraen afigura 5.8d, el comportamiento del métododivergente.

t




FIGURA5.8 Comparación entre los métodos de la regla falsa y de la secante. Las

primeras iteraciones a ) y b) de ambos métodos on idénticas. Sin em-bargo, en las segundas c) y d), los puntos usados son diferentes. Enconsecuncia, el método de la secante puede divergir, como lo mues-tra d l .

Aunque el método delasecante sea divergente n algunos casdo convergelohace más rápido que el método de la regla falsaPor ejemplo, en la figura5.9, que se basa enlosejemplos4.3, 4.6,5.3 y 5.6,smuestra la superioridad del métodode la secante. La inferioridad método de la regla falsa ;e debe a queun extremo permanece fijoy de esmanera mantiene a laraíz dentro del intevalo. Esta propiedaduna ventaja porque previene la divergencia, es una desvención a la velocidad de convergencia; esto hace que la aprodiferencias divididas sea menos exacta que la derivada.

5.3.2 Programa parael método dela secante

Como con los otros métodos abiertos, se obtieneun programa del mdo de la secante simplemente modificando la línea110, de tal forma se puedan introducir dos valores inicialesy sustituyendo la ecuación(5.7en a ínea 130 de la igura5.4.




FIGURA5.9

5 .4

Comparación de los errores relativos porcentuales t y para cada unode los métodos en la determinación de las raíces de f(x) = e - x - x.

Además, las opciones sugeridas en la sección 5.2.3 para el métodode Newton-Raphson se pueden aplicar al programa de la secante paraobtener tales ventajas.

RAíCESMÚLTI PLESUna raiz múltiple corresponde a un punto donde una función es tangen-cia1al eje x. Por ejemplo, dos raíces repetidas resultan de:

f ( x ) = (x - 3)(x - l)(x - 1)

f ( x ) = x3 - 5x2 + 7x - 3

o, multiplicando términos,

L a ecuación tiene una raíz doble porque un valor de x anula dos térmi-nos de la ecuación (5.8).Gráficamente, esto significa que la curva toca




FIGURA5.10Ejemplos de raíces múl-tiples tangentes al eje X.Nótese que a unciónno cruza el eje en casosde mu tiplicidad par a) yc), mientras ue para

multiplicidad impar í lohace b) .

tangencialmente al ejex en la raíz doble. Véase la figura5 . 1 0 ~n x = 1Nótese que la función toca al eje pero no lo cruza en a raíz.

Unaraiz triple corresponde al caso en queun valor dex se anula tres términos de la ecuación, como en:

f(x) = (x - 3)(x - l)(x - l)(x - 1)o, multiplicando,

)(X) = x4 - 6x3 + 1 2 ~ ' 1 0 ~ 3

Nótese que el esquema gráfico (Fig.5.10bJ indica otra vez que la fues tangencia1 al eje en a raíz pero que en este caso sí crugeneral, la multiplicidad impar de raíces cruza el e je , mientrmutiplicidad par no lo cruza. Por ejemplo, la raíz cuádruple en l5 . 1no cruza el eje.

Las raíces múltiples ofrecen ciertas dificultadeslosmétodos numcos expuestos en a parte11:

l. Elhecho de que la función no cambia de signo en una raíplicidad par impide el uso de los métodos confiables quevalos, discutidos en el capítulo4. De esta manera, delosmétodoincluidos en este texto,los abiertos tienen la limitación de quden divergir.

2. Otro posible problemase relaciona conel hecho de que nosólof ( x

se aproxima a cero.Estos

problemas afectan alosmétodos de NewRaphsony al de la secante,losque contienen derivadas(o aproximciones a ella) en el denominador de sus respectivas fórmuvocaría una división entre cero cuandola solución se acerque a laUna forma simple de evitar estos problemas, que se ha teóricamente (Ralstony Rabinowitz, 1978), se basa en el hechf(x). Porlo tanto, si se verificaf l x ) contra cero, dentro del progentoncesloscálculos se pueden terminar antes de que'(x)llegue a ce

3. Se puede demostrar que el método de Newton-Raphsony el de Id

secante convergen en forma lineal, en vez de manera cuacuando hay raíces múltiples (Raltsony Rabinowitz, 1978). Sehan propuesalgunas modificaciones para aliviar este problema. RalRabinwitz(1 97 8) proponen que se hagaun pequeño cambio en la folación para que retornesu convergencia cuadrática, como:

f (x,f '(Xi)

x i + l= xi - m-

en dondem es lamultiplicidad de laraíz (esto es ,m = 2 para unraíz doble,m = 3 para una raíz triple, etc.) De hecho, puedinsatisfactorio porque presupone el conocimiento de la mde as raíces.




Otra alternativa, también sugerida por Ralston y Rabinowitz (1978),es la de definir una nueva función u(x), que es el cociente d e la funcióny su derivada, esto es:

[5.10]

Se puede demostrar que esta función tiene raíces en las mismas posicio-nes que la función original. Por lo tanto, la ecuación (5.10) se puede usti-tuir en la ecuación (5.6)y de esta forma desarrollar una forma alternativadel método de Newton-Raphson:

Se puede derivar la ecuación (5.10),obteniendo:

[5.11J

[5.12]

Sepueden sustituir las ecuaciones (5.10)y (5.12) en la ecuación (5.11)

[5.13]

EJEMPLO 5.8Método de Newton-Raphson modificado par a el cálculode raícesmúltiples.

Enunciado del problema: úsense os dos métodos, el estándar y el modi-

ficado de Newton-Raphson para evaluar la raíz múltiple de la ecuación(5 .9 ), con un valor inicial de x o = O.

Solución: la primera derivada de la ecuación (5.9) es f(x) = 3x2 - ox+ 7, y por lo tanto, el método de Newton-Raphson para este problema[Ec. (5.6)] s:

xi3 - 5Xi2 + 7xi - 33xi* - loxi + 7i+l = x , -

que se puede resolver iterativamente para obtener:




i X i 1€ “ Ojo

O 0 1O01 0.428571 2972 0.68571 28613 0.83286540074 0. 91328983 8. 75 0. 955783293. 46 0. 977655101. 2

Como ya se había anticipado, el método converge linealmvalor verdadero de1 O.

Para el caso del método modificado, la segunda derivada f” ( x= 60 x - 10, y larelación terativa es[Ec. (5.13)]:

(Xi3 - 5xi2 + 7xi - 3) (3Xi2- loxi+ 7)Xi+l = xi -(3xi2- lOxi+ 7)2- (xi3- 5xi2+ 7x, - 3) (6xi- 10)

que se puede resolver para obtener:

i xi l k ” l

O 0 1O01 l .1052631 58 1 12 1. 003081 664 0.3

3 1. O00002382 0.00024

De esta forma, el método modificado converge cuadráticamSe puden usar ambos métodos para buscar laraízsimpleen x = 3 .Usandoun valor inicial dexo= 4 se obtienenlossiguientes resulta

i Estándar, c y Modificado t ~ l

o 4 (33% 4(33%-

1 3. 4 (13 2. 636 363 637 122 31 (3. 3% 2. 820 224 720 6.0%)3 3. 008 695 652 (0. 29% 2.961 728 11 (1.34 3. 000 074 641 (2. 5 2.998 478 719 (0.051 )5 3. 000 000 O06 (2 x 2. 999 997 682 (7. 7

De esta form a, ambos métodos convergen rápidamente, siedo estándar más eficiente.



METODOSABIERTOS 167

El ejemplo anterior ilustralos factores de mayor importancia invocrados al escoger el método de Newton modificado. Aunquees preferibleen raíces múltiples, algunas veces es menos eficientey requieremáses-fuerzo computacional que el método estándar parael caso de raíces simples. S e debe notar quese puede desarrollar una versión modificada dmétodo de la secante para raícesmúltiples sustituyendoa ecuación(5.10)en la ecuación(5.7).La fórmula resultante es (Ralstony Rabinowitz,1978):


5.1 Úsese el método de Newton-Raphson para determinar la aízmayor de:

f ( x )= - 0 . 8 7 5 ~ ~1 . 7 5 ~ 2.625

Empléeseun valor inicial dexi = 3 . . Realíceseloscálculos hasta queE,, sea me-nor del E, = 0.01% . También verifíquenselos errores en a respuesta final.

5.2 Determínenseasaíceseales de:

f(x) = -2.1 + 6 . 2 1 ~ 3 . 9 ~ ~0 . 6 6 7 ~ ~a) Gráficamenteb) Usando el método de Newton-Raphsonhastaque = 0.01%

5.3 Empléese el métododeNewton-Raphsonparadeterminar as aíces eales de

(X) = -23.33 + 7 9. 35 ~ 8 8 . 0 9 ~ ~k 4 1 . 6 ~ ~8 . 6 8 ~ ~0 . 6 5 8 ~ ~

usando el valor inicial dea) x i = 3.5; ) x = 4.0 y c)x,= 4.5. Pruébensey úsenselos métodos gráficos para explicar cualquier peculiaridad enlosresultados.

5.4 Determínese laaízeal menor de:

f(x) = 9.36 - 21 .963 ~ 16 .2 965~~3 . 7 0 3 7 7 ~ ~

a) Gráficamentgb) Usandoel método de la secante, hastaun valorde es, correspondiente a trescifras significativas.

5.5 Localícese laaízositiva de:

f ( x ) = 0 . 5 ~ en x



168 MÉTODOS NUMERICOS PARAINGENIERO

(x) = 9.36 - 2 1 . 9 6 3 ~ + 16.296 5x2 - 3.703 77x3

5.6

5.7

5.8

5 . 9

5.10

5.11

5.12

5.13

dondex está dada en radianes. Useseun método gráficoy después calcúlese triteracionesconelmétodo de Newton-Raphson conun valor nicial dex i = 2.0para calcular la raíz. Repítanselos cálculos pero conun valor inicial dex i = 1.0.Úsese el método gráfico para explicarlos resultados.

Encuéntrese laraízrealpositiva de:

f(x) = x4 - 8 . 6 ~ ~3 5 . 5 1 ~ ~4 6 4 ~- 998.46

usando el método de la secante. Empléense los valores iniciales dexi., = 7 y xi= Sy calcúlense cuatro iteraciones.CalcúleseE, e interprétenselos resultados.

Realícenselosmismos cálculos del problema5.6 pero usando el método de NewRaphson,con un valor nicial dex,= 7 .

Encuéntrese laraíz cuadrada positiva de10 usando tres iteraciones con:a) El método de Newton-Raphson, conun valor nicialde xi= 3.b) El método de la secante, convaloresniciales de = 3 y x,=3.2.

Determínese laraízreal de:

1 - 0 . 6 ~f(x) =

X

usando tres iteraciones y el método de la secante con valores inicialxi., - 1.5y xi = 2.0. Calcúlese el error aproximadoE, después de la segunday la terceraiteración.

Determínese laraízreal de:(x) = x3 - 100

con el método de a secante, cones= 0. 1% .

Determínese laraízrealmayor de:

x3 - 6x2 + l lx - 6

a) Gráficamenteb) Usandoel método de bisección (dos iteraciones,XI= 2.5 y X= 3.6).C) Usandoel método de laregla alsa (dos iteraciones,X/= 2.5 Y X= 3.6).

d ) UsandoelmétododeNewton-Raphson dos iteraciones,x i = 3.61.e) Usando el método de la secante (dos iteraciones,x;-l= 2.5 y X,= 3.6).

Úsese el método de Newton-Raphson para determinar todas las rade :(x) = x 2 + 5.78 x - 11.4504 con e,= 0.001%.

Determínese laraízrealmás pequeña de:



MÉTODOSABIERTOS 169

a) Gráficamenteb) Usando el método de bisección (dos iteraciones,x,= 0 . 5y x u = 1.1) .c) Usando el método de la raglafalsa (dos iteraciones,x,= 0 . 5y x,= 1.1).d ) Usando el método de Newton-Raphson (dos iteraciones,x i = 0.5) .e) Usando el método de la secante (dos iteraciones,x i - , 0 . 5y xi= 1.1) .

5.14 Determ ínese la aízpositiva realmás pequeña de:

f ( x )= 4X4- 2 4 . 8 ~ ~57 .04~ '- 56.76~ 20.57

a) Gráficamenteb) Usando el método disponiblemás eficiente. Empléenselos valores inicia-les dex, = x , . ~ 0 . 5y x, = x, = 1.5y realícenselos cálculos hasta queE,= 15%

5.15 Determínense las raíces de

(X) = x 3 - 3 . 2 ~ ~1 .9 2 ~ 9.216

a) Gráficamenteb) Usandoel método disponiblemás eficiente conE,= 0.1%

5.16 Repítase el problema 4.12, pero usando el método de Newton-Rap

5.17 Repítase el problema 4.12, pero usando el método de la secante.

Problemas relacionados con la computadora

5.18 Desarrólleseun programaparael método de Newton-Raphson basado enfigura 5.4y en la sección 5.2.3. Pruébese el programa duplicandolos cSlcu-los del ejemplo 5.3

5.19 Úsese elprogramadesarrolladoenelproblema 5.18y duplíquenselos cálcu-los del ejemplo 5.5. Determínese laraíz usandoun valor nicial dex i = 0.5 .Realícense 5, 10 , 15o más iteraciones hasta que el errorrelativo porcentualexacto sea menor delO .1B . Grafíquenseloserrores relativos porcentuales exato y aproximado contra el nlirnero de iteraciones sobre papel semilogInterprétenselos resultados.

5.20 Úsese el programa desarrollado en el problema 5 .1 8 para resolverlos problemas5.1 al 5.5. En todoslos casos, realícenselos cálculos dentro de la tolerancia E S = 0 .001%.

5.21 Desarróllese un programa para el método de la secante basado en lafigura 5.4y en la sección 5.3.2. Pruébese el programa duplicandoloscálculos del ejemplo5.6 .

5.22 Úsese el programa desarrollado enelproblema 5 .2 1 para resolverlos proble-mas 5.6,5.9 y 5.10. En todoslos casos, realícenselos cálculos dentro delatolerancia dees= 0.001%.





C A P í T U L OS E I SCASOSDE LAPARTEDOS:

RAíCESDE ECUACIONE

La finalidad de este capítulo es la de usarlos procedimientos numéricanalizados en los capítulos4 y 5 para resolver problemas reales de iniería. Los métodos numéricos son importantesn la práctica ya que frcuentementelos ingenierosencuentranproblemasqueno se puedenplantear desdeun punto de vista analítico. Por ejemplo, algunos los matemáticos quese pueden resolver analíticamente no son aplen los problemas prácticos. Debido a esto , se deben usar modecomplicados. En estos casos, es conveniente implementarun métodonu-mérico que se pueda usar en una microcomputadora. En otros losproblemas requerirán soluciones explícitas en ecuacionesmuycomplica-das (recuérdese la sección11.1.2y el ejemplo4.5).

Los siguientes casos de estudio son una muestra de aquellosforma rutinaria se encuentran durantelos estudios superioreso de licen-ciatura.MAS aún, son problemas representativos de aquéllos quecontrarán en la vida profesional. Los problemas van desde la económica en general, hasta las especialidadesde la misma: química, vil,eléctricay mecánica. Estos casos de estudio ilustran algunos dlosfactores de más importancia entre las técnicas numéricas.

Por ejemplo, el caso6.1 hace uso de todoslosmétodos, con excepción del método de Newton-Raphson para analizar puntos de que resulten económicos. El método de Newton-Raphson no e ula función en an6lisis es difícil de derivar. Entre otras cosas, en se demuestra como puede divergir el método de la secante, sinicial no se encuentralo suficientemente cerca de la raíz.

Elcaso 6.2 tomado de la ingeniería química, muestraun ejemplo ex-celente de cómo se pueden aplicar los métodos para la búsqueces de fórmulas quese presentan en la práctica de la ingeniería. Aeste ejemplo demuestraa eficiencia del método de Newton-Raphsocuan-do se requiereun gran número de cálculos en la localización de

LOSasos6.3, 6.4 y 6 .5 son problemas de ingeniería de diseñmados del área decivil,eléctricay mecánica.Elcaso6.3aplica tres mé-todos diferentes para determinar las raícesde un modelo de crecimien



172 METODOSNUMÉRICOSARANGENIEROS

demográfico. En el cuso 6.4, se realiza un análisis semejante de un circui-to eléctrico. Finalmente, el caso 6.5 analiza las vibraciones de un auto-móvil. Además de analizar la eficiencia de cada uno de los métodos, esteejemplo tiene una característica adicional, que es la de ilustrar cómo losmétodos gráficos sirven de ayuda en el proceso de localización de raíces.

CASO6.1 ANALISISDE PUNTO DE EQUILIBRIO(INGENIERíA EN GENERAL)Antecedentes: en la práctica de la ingeniería óptima se requiere que losproyectos, productos y la planificación de los mismos sean enfocados detal manera que resulten económicos. Por o tanto, a un ingeniero con ex-periencia deben serle familiares los análisis de costos. El problema que

se trata en esta sección se conoce como “problema de puntos de equili-brio”. Se usa para determinar el punto en el cual dos alternativas tienenvalores equivalentes. Estos problemas se encuentran en todos los cam-pos de a ingeniería. Aunque el problema se enfoca en términos persona-les, se puede tomar como prototipo de otros problemas de análisis depuntos de equilibrio, que se encuentran a menudo n la vida profesional.

Se está considerando la compra de una o dos microcomputadoras:La “Micro-uno’’ y la “Micro-dos”. En el cuadro 6.1 se encuentran resu-midas algunas características, los costos aproximados y los beneficios decada una de ellas. Si se puede pedir un préstamo con un interés del 20%( i = 0.20), ¿cuánto tiempo se deberá poseer las máquinas, de maneraque tengan un valor equivalente? En otras palabras, ¿cuál es el punto deequilibrio medido en años?

Solución: como es común en problemas e economía, se tiene una mez-cla de costos presentes y futuros. Por ejemplo, en la figura 6.1 se mues-tra que la compra de la Micro-uno involucra un gasto inicial de $3 000.Además de este desembolso, también se requiere dinero para el mante-

CUADRO 6. l Costos y beneficios de dos microcomputadoras. Los signos negativos in-dican un costo o una perdida mientras que un signo positivo indica unaganancia

COMPUTADORA

Micro-unoicro-dos

Costo deompra, $ -3000Incremento en el mantenimientodel costo por año,/año/año -200Ganancias y beneficios anuales,$/año 1000

-1 0,000

-50

4000



FIGURA6.1 Diagrama de fluio de efectivos de costos y beneficias de la Micro-uno.La abscisa muestra el número de años que se posee la computadora. Elfluio de efectivos se mide en lo ordenada, con los beneficios positivosy los costos negativos.

nimiento anual de la máquina. Debido que estos costos tiendtar a medida que la máquina se usa másy más, se supone que losCostosde mantenimiento crecen linealmente con el tiempo. Por ejemdedor del décimoaño se requieren$2O00 anuales para mantener a mquina en condiciones de trabajo (Fig.6.1).Finalmentey además de estocostos se deben deducir beneficios del propietario dea computadora. Lagananciasy las prestaciones derivadas dea Micro-uno se caracterizanun ingreso anual constante de$1 000.

Para valorar las dos opciones estos costos se deben convedidas comparables. Una manerade hacerlo es expresando todos lotos individuales como si fuesen pagos anuales, estoes, el costo equivalepor año sobre oda lavida útil de la computadora. Las gananciylas prestaciones ya e encuentran en este formato. e puede dispde lasfórmulas de economía para expresar los costos de compra dmiento de la misma forma. Por ejemplo, el costo de la comppuede transformar en una serie de pagos anuales mediante l(Fig.6 . 2 ~ ) :

A, = P i (1 + i )

(1 + i ) " - 1

en dondeA , es el monto del pago anual,P es el costo de la compi es la tasa de interésy n es el número de años. Por ejemplo, el



174 M~TODOS UMERICOSPARAINGENIEROS

FIGURA6.2 Esquema gráfico del uso de una órmula de economía, a) Tranforma-ción de un pag o en una serie de pagos anuales equivalentes usando laecuación (6.1)y b) transformación de una serie de gradiente aritméticoen una serie de pagos anuales equivalentes usando la ecuación (6.2).

inicial de la Micro-uno es de $-3 000, en donde el signo negativo indica

pérdidas. Si la tasa de interés es del 20% ( i = 0.2), entonces:

Ap = -3000 O.Z(l.2)"1.2" - 1

Porejemplo, si los pagos iniciales se extienden hasta 10 años ( n = lo),se puede usar esta fórmula para calcular que el pago anual equivalentesería de $-715.57 por año.

A los costos de mantenimiento se es conoce como serie d e gradientearitméticoporque crecen a un promedio constante. La conversión de es-tas series a una tasa anual A se puede calcular con la fórmula:

en donde G es la tasa de crecimiento en el mantenimiento. Como se puedever en la figura 6.26esta fórmula transforma el costo de mantenimientocreciente en una serie equivalente de pagos anuales constantes.

Estas ecuaciones se pueden combinar de forma tal que se pueda ex-presar el valor de cada computadora en términos de una serie uniformede pagos Por ejemplo, para la Micro-uno:



A,= -3 O00 0.2(1.2)" -200 [ 1+ 1 O001.2" - 1 0.2.2" - 1

valor total= -cos to de compra- costoe mantenimiento + ganancias

en dondeA ,denota el valor anual total. Agrupando términos, estción se puede simplificar:

-600( 1.2)" 00nA, = +1.2" - 1 1.2" - 1 ~6.31

Si después de poseer la Micro-uno durante dos ños se decide la, entonces sustituyendon = 2 en la ecuación (6 .3 ) resultará que eto es de$1 055por año. Si la computadora se descarta después de10 años(n = lo), a ecuación muestraun costo de $330 por año.

De manera similar, para la Micro-dos se puede desarrollar ción para el costo anual, dada por:

-2 OOO(1.2)" +A , = 50n + 3750

1.2" - 1 1.2" - 1~6.41

Los valores de la ecuación (6 .4 ) paran = 2 y n = 10 son de $-2 568y $+1461 por año, respectivamente. De estamanera, aunque la Micrdos es más costosa en base a periodos cortos, si se posee porlargos, nosóloes más barata, sino que producirá ganancias al prrio. En la figura 6 .3a se muestran las ecuaciones(6.3)y (6.4)para varidsvalores den .La identificación del punto enel que las dos máquinas tienen valiguales indica cuando la Micro-dos viene a ser la mejor com prmente, esto corresponde a la intersección de las dos curvas en 6. 3~ 1. esdeun punto de vista matem ático , el punto de equilibriovalor den para el que las ecuaciones(6.3)y (6.4) on equivalentes, esto e

-600(1.2)" 200n - -2 OOO(1.2)" 50n + 3 7501.2" - 1 1.2" - 1 1.2" - 1 1.2" - 1

pasando todoslos términos deun lado, el problema se reduce a enctrar la raíz de la función:

- 400( 1.2)"f ( n ) = - 150n + 3 750 = O

1.2" - 1 - 1.2" - 1 ~6.51

Nótese que debidoa la forma en que se ha derivado la ecuación, launo es m ás efectiva en cuanto a costos cuandof ( n ) < Oy la Micro-doslo es cuandof ( n ) > O (Fig. 6.3 b) . Las raíces de la ecuación (6se pueden determinar analíticamente. Por elotro lado, los pagos anuales eqvalentes son fáciles de calcular dada unan . De esta forma, como en




FIGURA6.3 a Curvas del costo neto de las computadoras Micro-uno [Ec. (6.3)]Micro-dos [Ec. (6.4)].b) La función de punto de equilibrio[Ec. (6.5)J.

estudio de la sección 11.1.2 y el ejemplo 4.5, los aspectos considerados enla elaboración de este problema crean la necesidad de un planteamientonumérico.

Las raíces de la ecuación (6.5) se pueden calcular usando algunosde los métodos numéricos descritos en los capítulos 4 y 5. Se puedenaplicar los métodos que usan intervalos y el método de la secante conun esfuerzo mínimo, mientras que el método de Newton-Raphson es em-barazoso ya que consume mucho iempo al determinar d f / d n de la ecua-ción (6.5).

Enbase a la figura 6.3, se sabe que la raíz se encuentra entre n = 2 yn = 10. Estos valores se pueden usar en el método de bisección. L a bi-sección de intervalos se puede llevar a cabo 18 veces para obtener unresultado en donde E, sea menor de 0.001%. Elpunto de equilibrio ocu-rre a losn = 3 .23 años. Este resultado se puede verificar sustituyéndoloen la ecuación (6.5) para ver que f (3.23) = O .

Sustituyendo n = 3.23 ya sea en la ecuación (6.3)o en la (6.4)semuestra que en el punto de equilibrio el costo de cualquiera de ellas es



CASOS LAPARTEOS: DEECUACIONES 177

de $542 por año. Más allá de este punto, la Micro-dos es men cuanto a costos. Por consiguiente, si se piensa comprar uny poseerla por más de 3 .23 años, la Micro-dos es la mejor c

El método de la regla falsa se puede aplicar fácilmente a ema. Se obtiene una raíz similar después de 12 iteraciones enintervalo inicial de2 a 10. Por otro lado, el método de la secante coge a una raíz de - 24 .83 con el mismo intervalo inicial. Sin eel intervalo se reduce desde3 hasta4, entonces el método de la secaconverge a3.23 en sólo cinco iteraciones.Es interesante notar que método de la secante también converge en forma rápida si elinicial es de2 a 3, el cual no encierraa la raíz. Estos resultados son tíde los factores de importancia que se deben tomar en consideyque se estudian posteriormente en el epílogo. Entonces el mejnumérico para este problema depende del juicio emitido respelos

factores de importancia, tales como eficiencia numérica, costotadorasy la confiabilidad del método.

CASO6.2 LEYESDELOS GASES DEALESY NO IDEALES(INGENIERíA QUíMICA)Antecedentes: laley d e los gases ideales está dada por:

en dondep es la presión absoluta,V es el volumeny n es el número demoles.R es la constante universal delosgasesy T es la temperatura absoluta. Aunque esta ecuación la usan ampliamente los ingeniery cien-tíficos, sólo es exacta sobreun rango limitado de presióny temperatura.Más aún, la ecuación(6.6) s más apropiada para algunos gases qura otros.

Una ecuación alternativadel estado de los gases está dada por

r6.71

a la que se le conoce con el nombre deecuación de van der Waals. u= V / n es elvolumenmolal y a y b son constantes empíricas que penden deun gas en particular.

Un proyecto de ingeniería química requiere quee calcule exactamenel volumen molal(u) del bióxido de carbonoy del oxígeno para combnaciones diferentes de la temperaturay de la presión, de tal forma quse pueda seleccionar una vasija apropiada quelos contenga. Asimismes importante examinar que tan bien se apega cada gas a la elos



178 METODOSUMERICOS PARAINGENIEROS

gases ideales, comparando os volúmenes molales calculados con as ecua-ciones (6.6) y (6.7). Se proporcionan los siguientes datos:

R = 0.082 054 1 . atm/(mol . K)a = 3.592b = 0.042 67 bióxido de carbono

a = 1.360b = 0.031 83

Las presiones de interés en el diseño son de 1, 10 y 100 atm. para com-binaciones de la temperatura de 300, 500 y 700°K.

Solución: los volúmenes molares de ambos gases se calculan con la leyde los gases ideales, con n = 1. Por ejemplo, si p = 1 atm y T = 300°K,

entonces:

RT = 0.082054 I atm 300 Kn P m o l .K I atm

v = - = -

v = 24.616 2 l/mol

Estos cálculos se repiten para todas las combinaciones de presión y tem-peratura y se presentan en el cuadro 6.2.

Los cálculos del volumen molar a partir de la ecuación de van derWaals se pueden llevar a cabo usando cualquier método numérico queencuentre raíces de los estudiados en los capítulos 4 y 5, de la siguientemanera:

CUADRO 6.2 Cálculos del volumen molar del caso de estudio 6.2

Volumen molal Volumen molal Volumen molal(ley de los (van der Waals) van der

Temperatura reridn ases deales) ióxido eWaals) xígeno

K atm llmol carbonolmollmol

300 110

1O0500 1

101O0

700 110

1O0

24.6162 24.51262.4616 2.35450.2462 0.0795

4.02700.982 14.1027.05780.4 03.3663

57.43787.41 795.7438.72420.5744.5575

24.59282.43840.2264

41.O2594.10160.4116

57.44605.75210.5842



CASOSDELAPARTEDOS: R A ~ C E SE ECUACIONES 179

En este caso, a derivada def ( u ) se determina fácilmente y es convenien-te implementar el uso del método de Newton-Raphson. La derivada def respecto a u está dada por:

a 2abf’(U)= p - - + -

u3

El método de Newton-Raphson se describe mediante la ecuación (5.6)como:

la cual se puede usar en el cálculo de la raíz. Por ejemplo, usando el

valor inicial de 24.616 2, l volumen molal del bióxido de carbono a 300°Ky a 1 atm se calcula como 24.512 6 I/mol. Este resultado se obtuvo des-pués de dos iteraciones y con un E,, m e n o r de O.O01 %.

Enel cuadro 6.2 se uestran resultados similares para todas las com-binaciones de presión y de temperatura para ambos gases. Se observaque los resultados obtenidos con la ecuación de van der Waals difierenen ambos gases de los de la ley de los gases ideales, de acuerdo a losvalores específicos de p y de T . Másaún, ya que algunos de estos resul-tados son significativamente diferentes, el diseño de las vasijas que con-tendrán a los gases sería muy diferente, dependiendo de qué ecuaciónde estado se haya usado.

En este caso, al usar el método de Newton-Raphson se examinó unaecuación del estado gaseoso complicada. Los resultados variaron signifi-cativamente en varios casos usando la ley de los gases ideales. Desde unpunto de vista práctico, el método de Newton-Raphson fue apropiadoen este caso ya que f ’ ( u ) fue fácil de calcular. De esta manera, se puedenexplotar las propiedades de rápida convergencia del método de Newton-Raphson.

Además de demostrar su potencia en un simple cálculo, el métodode Newton-Raphson ilustra en este caso de estudio lo atractivo que escuando se requiere una ran cantidad de cálculos. Debido a la velocidad

de las microcomputadoras, la eficiencia de cada uno de los métodos enla solución de la mayor parte de raíces de ecuaciones se vuelve indistin-guible en un cálculo simple. Aun la diferencia de decenas entre el méto-do eficiente de Newton-Raphson y el método poco. refinado de bisecciónno significa una gran pérdida de tiempo cuando se realiza un solo cálcu-lo. Sin embargo, supóngase que se desea calcular una raíz millones deveces para resolver un problema. En este caso, la eficiencia del métodopuede ser un factor decisivo al escogerlo.

Por ejemplo, supóngase que es necesario diseñar n sistema de con-trol automático computarizado de un proceso de producción de sustan-cias químicas. Este sistema requiere una aproximación exacta de volúmenes



180 MÉTODOSNUMERICOSPARAINGENIERO

molales con basea un medio esencialmente continuo para fabrionvenientemente el producto final. S e instalan calibradores que plecturas instantáneas de a presióny la temperatura. Se deben obtevaluaciones deu para toda la variedad de gases que se usan en

Para estas aplicaciones,losmétodos que usan intervalos, talesel de biseccióno de la regla falsa, posiblemente consuman mucpo. Además,losvalores iniciales que se requieren con estos méneraríanun retraso en el procedimiento. Este inconveniente igafecta al método de la secante, que también necesita dos val

Encontraste, el método de Newton-Raphson requiere 6niunvalor inicial de la raíz. Se puede usarla ley delosgases ideales paraobtener este valoral inicio del proceso. Después, suponiendo que eempleado sealo bastante corto como para que la presióny la temperatura no varíen mucho duranteloscálculos, la solución de la raíz a

se puede usarcomo valor inicial de la siguiente. De esta forma,disponible de forma automáticaun valor aproximado cercano a la sorequisito indispensable en la convergencia del método de NewTodas estas consideraciones favorecerán de manera considerade Newton-Raphson en estos problemas.

CASO6.3 DINÁMICA DEL CRECIMIENTODEMOGRÁFICO(INGENIERíACIVIL)Antecedentes:la dinámica del crecimiento demográfico es de icia en todoslosplanes de estudio de ingeniería.Losprogamas de contruccióny de distribución de recursos en proyectos a gran esccomo el abastecimiento de aguay sistemas de transporte dependengran medida de las tendencias de la población. Además, lasde otro tipo de poblaciones, tales comolosmicrobios, son importanen muchos procedimientos de ingeniería,como en el tratamiento desura , en el manejo de la fermentacióny en a elaboración de produfarmacéuticos.

Los modelos de crecimiento enun grupo de microbios suponenel promedio de cambio de la población(p ) es proporcional a la poblaexistente enun tiempo( t ) :

La población crece enun medio en el que existe alimento suficimanera quek no esunafunción de la concentración. (Véase el c12.2que muestraun ejemplo en dondek depende del nivel alimenticio.)Cuando el alimento no escasea, el crecimiento se limitasólopor el consumde productos tóxicoso de espacio, si es que el tamaño de la pocrece demasiado. Con el tiempo, estos factores retardan la t



CASOS DE DOS: RAiCESE ECUACIONES 181

miento de la poblacióny la detienen completamente cuando ésta auna densidad máxima depmex. n este caso, se modifica la ecuaciónterior de la siguiente manera:

en dondelas unidades deK son litros por célula por día. Esta ecuaciódiferencialse puede integrar de forma analítica dando:

en dondep ( t = O) = po. A la ecuación ( 6.9 ) se le conoce como em o -delo de crecimiento ogístico. Como se muestra en la figura6.4,este mo-delo genera una curva dep ( t ) en forma deS . Como se puede ver, emodelo simulaun crecimiento inicial lento, seguido porun periodo decrecimiento rápidoy finalmente,un crecimiento limitado a una densidemográficamuyalta.

Como ejemplo de aplicación de este modelo en el área de laría civil, considérese el crecimiento de una población bacterionlago. El crecimiento se comporta como lo define la ecuaciónpoblación es pequeñaen la primavera del año en dondef = O ,p(f = O )=10 célulaspor itro.Essabidoque la poblaciónalcanzaunadensidadde 15O00 células Dor litro cuandot = 60 díasy que la tasa de crecimien

FIGURA6.4 Un modelo logístico de crecimiento demográfico. Elmodelo simuia uncrecimiento inicial lento, después una aceleración en éI mismo seguidopor un periodo de nivelación en una densidad poblacional alta.



182 METODOSNUMÉRICOSPARAINGENIEROS

to K esde 2 X litrosporcélulapor día. Se requierecalcular a dsidad de la población bacterial cuandot = 90 días.Si su número excede 40 O00 células por litro, entonces la calidad estándar del are la implementación de algún procedimiento para disminuiry proteger a las personas que se introduzcan al agua.

Solución: sustituyendo la información conocida en a ecua(6.9) seobtiene:

15 O00 =P m6x

I [6.10

la cual tienesólouna incógnita,pmdx. i la ecuación(6.10) se pudie

resolver parapmAx, ntoncesp t = 90) se podría determinar fácilmde la ecuación(6.9). Sin embargo, ya quepmsx s implícita, no se pueobtener directamente de la ecuación(6.10).Por lo tanto, se debe usunmétodo numérico deloscapítulos4 y 5. No se usará el método de NeRaphson ya que la derivada de la ecuación(6.10)es difícil de determSin embargo, se pueden aplicar fácilmentelosmétodos de bisección, dregla falsay de la secante. Conun error relativo del0.01% los valoresiniciales dados de60 O00 y 70 O00 células por litro generan las siguientximaciones depmsx.

Método empleado Resultado lteracionerBisección 63 198 1 1Regla falsa 63 199 5Secante 63 200 4

Nótese quelosmétodos de la regla falsay de la secante convergenmitad del número de iteraciones del método de bisección.

Ahora, de la ecuación(6 .9) , on pmdx = 63 200:

63 200P(90) = = 58 930 células por litroe-2x10-6(63 200)(90)

Este nivel demográfico sobrepasa el límite estándar en cuadel agua que es de40 O00 células por litroy por lo tanto,se debe tomalguna medida de corrección.

Este ejemplo, ilustra la eficiencia computacional relativtodos diferentes para encontrar raícesde ecuacionesen un problemadiseño de ingeniería civil. Sin embargo, como se mencionate , el esquema general tiene una aplicación amplia en todoslos camp



CASOS DELAPARTE DOS: RAiCESDE ECUACIONES 183

de la ingeniería que tengan que ver con el crecimiento de orgaincluyendo alos humanos.

CASO6.4 DISEÑODE UNCIRCUITO ELÉCTRICO(INGENIERíA ELÉCTRICA)

Antecedentes: los ingenieros electrónicos usan a menudo la lechoff para estudiar el comportamiento de los circuitos eléctricodo estacionario (que no varían con el tiempo). En el caso9.4 se analizael comportamiento de estos estados estacionarios. Otro tipo dmas son los de corriente momentánea e implica a los circuitossú-bitamente suceden cambios temporales. Esta situación ocurre cierra el interruptor de la figura6.5. En este caso, después de cerrainterruptor hayun periodo de ajuste hasta que se alcanzaun estado esta-cionario. La longitud de este periodo de ajuste está relacionadpropiedades de almacenamiento de carga del capacitory con el almacenamiento de energía dentro del inductor. El almacenamiento dpuede oscilar entre estos dos elementos duranteun periodo transitorioSin embargo, la resistencia en el circuito disipa la magnitud de lciones.

El flujo de corriente a través de la resistencia causa una caítaje (V,) dado por:

V R= iR

en dondei es la corrientey R es la resistencia del circuito. Cuando lasuni-dades deR e i son ohmy amperes, respectivamente, entonces la unde V es el volt.

De manera semejante,un inductor resiste el cambio en la corride forma tal que la caída de voltaje(V,) al cruzarlo es de:

divr = L -dt

, . A

Interruptor -Batería y ;v

- -

7 - 4 , a Capacitor Inductor' +

+

Resistencia

FIGURA6.5 Un circuito eléctrico. Cuando se cierra el interruptor, la corriente experi-menta una serie de oscilaciones hasta que se alcance un nuevo estadoestacionario.




l - ~ l l l . " " " ~ .~

dondet = O ,q = qo = VoC,y V oes el voltaje en a batería. La ción(6.11)describe la variación de la carga enel capacitor en funcdel tiempo. La soluciónq ( t ) se gráficaen afigura 6.6.

Unproblema de diseño típico en ingeniería eléctrica, pueque se determina la resistencia apropiada para disipar energícidad constante, conlos valores deL y C conocidos. En este casose supone que la carga se debe disipar al1% de su valor original(q/q,, = 0.01en t = 0.05 S , conL = 5 H y C = lO-"F.

en dondeL es la inductancia. Cuando las unidades deL e i son henrioy amperes, launidadde V, es elvolt y launidadde t es el segund

La caída de voltaje a través del capacitor(V,) depende de la carga( 4sobre el mismo:

9vc = cen dondeC es la capitancia. Cuando las unidades de carga se eculembios, launidad deC es el faradio.

La segunda ley de Kirchoff indica que la suma algebraicdas de voltaje enun circuito cerrado es cero. Después de cerrarruptor se tiene:

diclt C

L - + R i + - = O

Sin embargo, la corriente está dada enfunciónde a carga como:

I = - d 9dt

Por lo tanto:

Esta es una ecuación diferencial ordinaria de segundo ordense puede resolver usandolos métodos de cálculo. La solución está dad

FIGURA6.6La carga en un capaci-tor en función del tiem-po que se presentaenseguida de cerro: elinterruptor en la figura6.5.



CASOS DE DOS:RAiCESE ECUACIONES 185

Solución: es necesario esolver para R la ecuación (6.11) usando los va-lores conocidos de q , qo, L y C. Sinembargo, se debe emplear un mé-todo numérico ya que R es una variable implícita de la ecuación (6.11).Se usará el método de bisección para este propósito. Los otros métodosestudiados en los capítulos 4 y 5 también son apropiados, aunque el mé-todo de Newton-Raphson tiene desventajas debido a que a derivada dela ecuación (6.11) es muycomplicada. Reordenando la ecuación (6.11)se obtiene:

o, usando los valores numéricos dados:

f ( R )= e-o.oo5Ros (d2000 - 0.01R2 .05) - 0.01 C6.121

Examinando esta ecuación puede verse que un rango inicial razonablede R es de O a 400 Q (ya que 2 O00 - 0.01R2debe ser mayor de ce-ro). La figura 6.7, gráfica de la ecuación (6.12), o confirma. Con vein-

FIGURA6.7 Gráfica de la ecuación (6.12)usada en la obtención de valores inicialesde R que encierren a la raíz.



186 MÉTODOSUMERICOS PARA INGENIEROS

CASO6.5

Iresorteirnasa

'norriente

circuito LR

FIGURA6.8Ejemplos de tres oscila-dores armónicos. Las fle-chas dobles ndican lasoscilaciones de cadasistema.

FIGURA6.9

tiún iteraciones del método de bisección se obtieneR = 328.1515,conun error menor al0.000 1%.

De esta forma, se puede especificar una resistencia con esel diagrama de lafigura 6 .5y esperar que la disipación sea conste on los requisitosdelproblema.Esteproblemadediseño no spuede esolvereficientemente sinusar os métodos de loscapítulos4 y 5.

ANALISISDE VIBRACIONES(INGENIERIAMECANICA)Antecedentes: las ecuaciones diferenciales se usan a menuddelar el comportamiento de sistemas en ingeniería. Uno de

los,que se aplica ampliamente en a mayor parte delos campos de ingeniería, es el oscilador armónico. Algunos ejemplos bdsioscilador armónico son el péndulo simple, una masa atada aun resortey uncircuito eléctrico inductor-capacitor (Fig.6.8). Aunque estos son sistefísicosmuydiferentes, sus oscilaciones se pueden describir meunmismo modelo matemático. De esta manera, aunque este probel diseño deun amortiguador paraun automóvil, el comportamienneral se aplica a una gran variedad de problemas en todos los de la ingeniería.

Comose ilustra en la figura6.9, un conjunto de resortes sostieun auto de masam .Los amortiguadores presentan una resistencvimiento del auto la cual es proporcionala la velocidad vertical (mmiento ascendente-descendente) del mismo. La alteración dedel auto provoca que el sistema oscile comox@).Enun momento cuaquiera,las fuerzas que actúan sobre la masam son la resistencia delosresortesy la capacidad de absorber el golpe de los amortigua

Un auto de masa m.



CASOS DELAPARTE DOS:RAfCES DEECUACIONES 187

resistencia de los resortes es proporcional a la constante de los mismos(k) ya la distancia al punto de equilibrio ( x ) :

Fuerzaelesorte = " k x [6.13]

en donde el signo negativo indica que la fuerza de restauración regresaal auto a su posición de equilibrio. La fuerza de amortiguación está dadapor:

d xdt

Fuerza de amortiguación = c-

en donde c es n coeficiente de amortiguamiento y d x / d tes la velocidadvertical. Elsigno negativo indica que la fuerza de amortiguación actúa endirección opuesta a la velocidad.

Las ecuaciones de movimiento para el sistema están dadas por la se-gunda ley de Newton (F = ma), que en este problema está expresadacomo:

d 2 x d xdt dt- - c - + ( - W

Masa x aceleración = fuerza de amortiguación + fuerzadelresorte

O

d 2 x c d x k- + " - + " X = odt 2 m dt m

Esta es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden que se pue-de resolver con los métodos del cálculo. Por ejemplo, si el auto encuen-tra por casualidad un hoyo en el camino en t = O de tal forma que sedesplaza del punto de equilibrio x = x . y d x / d t = O , entonces:

x ( t ) = e- ' (xo cos pt +donde n = c / ( 2 m ) ,p =

- sen p t )n

P [6.14]

dk/m-c2/(4m2) v k/m > c2/(4m2). Laecuación (6.14) proporciona a velocidad vertical del auto en función deltiempo. Los valores de los parámetros son c = 1.4 por l o 7 / s , m =

1 . 2 por l o 6 y k = 1.25 por l o99/s2. Si x. = 0.3. las consideracio-nes de diseño en a ingeniería mecánica requieren que se den os estima-dos en las tres primeras ocasiones que el auto pase a través del puntode equilibrio.



188 MÉTODOSNUMÉRICOS PARANGENIEROS

Solución: este problema de diseño se puede resolver usando los méto-dos numéricos de Tos capítulos 4 y 5. Se prefieren los métodos que usanintervalos y el de la secante ya que la derivada de la ecuación (6.14) escomplicada.

Lasaproximaciones a los valores iniciales se obtienenfácilmentecon base a la figura 6.10. Este caso de estudio ilustra cómo los métodosgráficos proporcionan a menudo información muy importante para apli-car satisfactoriamente los métodos numéricos. La gráfica ilustra que esteproblema es complicado debido a la existencia de varias raíces, por loque en este caso, se deben sar intervalos pequeños para evitar traslapesde raíces.

Enel cuadro 6.3 se enlistan los resultados obtenidos por os métodosde bisección, la regla falsa y la secante, con un criterio de paro del O.1%.Todos los métodos convergen rápidamente. Como era de esperarse, os

métodos de la regla falsa y de la secante son máseficientes que el de bisección.Nótese que para todos os métodos los errores relativos porcentuales

aproximados son mayores que los errores reales. De esta forma, los re-sultados son exactos l menoshasta el criterio de paro, el O.1% .Sinem-bargo, puede observarse también que el método de la regla falsa y el de

FIGURA611O Gráfico de lo posición de un amortiguador respecto al tiempo despuésque lo rueda del auto cae en un hoyo del camino.

. . .



CASOS 189

CUADRO 6.3 Resultados obtenidos al usar los m6todos de bisecciin, regla falsa de la secante pa-ra localizar las primeras tres raíces de as vibraciones de un amortiguador. Se u d uncrfterio de paro del 0.1 para obtener estos resultados. N6tese que os valores exac-tos de las raíces son 0.055 209 532 9 , 0.1 54 178 13 y 0.253 1 4 6 726

~ -~

ERROR RELATIVOPORCENTUAL

Valor nicial alornicial proximaciin úmero eMBtodo inferioruperior a la M ~ Z iteracionesproximadoerdadero

Bisección 0.0 o.1 0.0552246 11 0.088.0270.1 0.2 0.1541992 10 0.063.0140.2

Regla 0.0 0.1 0.0552095 5 0.002 0.0001falsa o. 0.2 O.1541790 4.069 0.0006

0.2 0.3 0.2531475 4.043 0.0003Secante 0.0 o.1 0.0552095 5 0.038 0.0001

o.1 0.2.1541780 5 0.020 0.00010.2 0.3 0.2531465 5 0.017 0.0001

la secante sonmuyconservadores en esta relación. Recuérdese lisis de la sección4.3 en que elcriterio de paroconstituye esenciamente una aproximación ala diferencia con la iteración anterior. Dforma, para esquemas de convergencia rápida comolos métodosCte laregla falsay de la secante,la mejora en exactitud entre dos iteracionsucesivas es tan grande queE será, en general, mucho menor quE,.

Elsignificado práctico de este comportamiento es de poca imcuando se va a determinarsólo una raíz.Sin embargo, si se requiere ccualar varias rakes, la convergencia rápida viene a ser una propmuyvaliosa como para tomarla en cuenta cuando se escogeun método enparticular.

PROBLEMASIngeniería en general

6.1 Usandolos programas propios, reprodúzcanseloscálculos realizados en el caso6.1.

6.2 Realícenselos mismos cálculos del caso de estudio6.1, pero usando una tasa deinterés del17% ( i = 0.17).Si es posible, úsenselos programaspropios paradeterminarlos puntos de equilibrio. De otra manera, úsese cualquiera delosmé-todos analizados enlos capítulos4 y 5 y realícenselos cálculos. Justifíquese elusodel método escogido.

6.3 Enel caso6.1, determínese el número de años que se debe poseer la Mipara que genere ganancias. Esto es, calcúlese el valor den en el cualA , de laecuación(6.4)sea positivo.




6.4 Usando un esquema similar al del caso 6.1, sepuede desarrollar la siguiente ecua-ción para determinar el costo anual neto de una microcomputadora:

175n3000(1.2),A +- + 5000

12 - 1 12" - 1Encuéntrese el valor de n tal que A , sea cero.

6.5 Supóngase que se desea comprar un automóvil y est6 limitado a dos opciones.Como en el caso 6.1, el costo anual neto de poseer cualquiera de os dos vehicu-los está compuesto por el costo de compra, costo de mantenimiento y de las ga-nancias:

Modelo de lu/o Modelo econ¿mico

Costo de compra, $ - 5,000 -5000Costo de mantenimiento,$/año/aiio -400200Ganancias anuales ybeneficios, $ 7500 3000

Si la tasa de interés es del 12.5% ( i = 0.125),calcular el punto de equilibrio (n)para los automóviles.

6 . 6 Si se compra una pieza de equipo en $20 O00 en abonos, pagando $5 O00 duran-te 5 años. ¿Quétasa de nterés se está pagando? a fórmula que relaciona l costoactual (P), os pagos anuales ( A ) ,el número de años ( n ) la tasa de interés es:

A = P i( l + i ) "

(1 + i )

6.7 Debido a que las tablas de economía se desarrollaron hace mucho tiempo, no seprogramaron para las tasas altas de interés que prevalecen hoy en día. Además,no se planearon para manejar tasas e interés fraccionarias. Como n el problemasiguiente, se pueden usar métodos numéricos para deteminar as estimaciones eco-nómicas en estas situaciones.

Un nuevo centro de diversiones cuesta $10 millones de pesos y produce unaganancia de $2 millones. Si la deuda se debe pagar en 10 años ¿a qué tasa deinterés debe hacerse el préstamo? El costo actual (P) el pago anual (A)y la tasade interés (i) e relacionan entre sí mediante la siguiente fórmula:

P (1 + i)" - 1-

A--

i ( l + i ) "

donde n es el número de pagos anuales. Para este problema,

P 10000000

A 2000000= 5

Por lo tanto, la ecuación se transforma en:

(1 + i ) O - 15 =

i ( 1 - )



CASOS LARTE DOS: RAiCESDEECUACIONES 191

La tasa de interés que satisface esta ecuación se puede determinar ela raíz de:

j ( i ) =(1 + ¡)O -

i ( l + i)

- 5

a ) Dibújesej ( i ) contrai y para obtener una estimación gráfica de la raíz.b) Cacúlesei usando el método de bisección (contar las iteraciones).c ) Calcúlesei usando el método de la regla falsa (contra las iteracioneEn losincisos(b )y (c) úsenselos valores niciales dei = 0.1 y 0.2. Obténgaseun niveldel error del 2% en ambos casos.

Ingenieríaquímica

6.8 Usando losprogramas propios, realícenselos cálculos del caso 6.2.

6.9 Ejecútenselosmismos cálculos del caso 6 . 2 , pero con el alcohol etílico(a = 12.02y b = 0.084 07 ) a una temperatura de 350 "Ky unap de 1.5 atm. Compárenlos resultados conlosde la ley delosgases ideales.Si es posible, úsenselospro-gramas propios para determinar el volumen molar. De otraorma, úsense cualquiera delosmétodos numéricos analizados enlos capítulos4 y 5 para realizar loscálculos. Justifíquese el método escogido.

6.1 O Repítase el problema6.9 con óxido nitroso(a = 3 .782y b = 0.0 44 15) a untemperatura de 450"Ky una p de 2 atm.

6.11 La temperatura (en grados Kelvin) deun sistema, varía duranteel día de acuer-do con:

T = 400 + 2 0 0COS ~

27rt1440

en dondet se expresa en minutos. La presión sobre el sistema esta p = e-t'1440. Desarrólleseun programa que calcule el volumen molar degeno en intervalos de un minuto a lo largo del día. Grafíquenselosresultados.Si se tiene capacidad gráfica en la computadora grafíquenselosdatos.Si no esasí, grafíquenselos resultados a intervalos de60 minutos. Los antecedenteseste problema se pueden econtrar en el caso6 . 2 .

6.12 En ingeniería química,los reactores de flujo (es decir, aquéllos en queun fluidova de un extremo al otro con una mezcla mínima alolargo del eje longitudinse usan a menudo para convertir reactivos en productos. Se ha determla eficiencia de la conversión se puede mejorar a veces reciclando uflujo del producto de m anera que regrese a la entrada paraun paso adicionaa travésdel reactor (Fig. P6.12). La tasa de reciclaje se define como:

R = volumen de fluido regresado a la entradavolumen de fluido que deja el sistema

Supóngaseque se est&procesando una sustancia químicaA para generarun pro-ductoB. Para el caso en queB de acuerdo a una reacción autocatalíti





CASOSDE LA PARTEDOS: RAíCESE ECUACIONES 193

6.15 Efectúense los mismos cálculos del caso 6.3, pero con una tasa de crecimientode 1.5 por lo6litros por célula por día.

6.17 La concentración de la bacteria contaminante C en un lago decrece de acuerdoa la relación:

Determínese el tiempo requerido para que la bacteria se reduzca a 10, usandoa) un médoto gráfico y b)el método de Newton-Raphson.

6.18 Muchos campos de la ingeniería requieren estimaciones exactas, de la población.Por ejemplo, para la transportación, los ingenieros consideran necesario determi-nar por separado la tendencia del crecimiento demográfico de una ciudad y delos suburbios adyacentes. La población del área urbana declina en función del iempode acuerdo con

mientras que la población suburbana crece, de acuerdo a

en donde Pu,m6x,,, Pu,mín, Ps,max,o k, son parámetros derivados de formaempírica.

Determínese el tiempo y los valores correspondientes de P,(t) y de P,(t) uan-do las poblaciones son iguales. Los valores de losparámetros son Pu,,,& 60 000;k, = 0.04 año"; Pu,mín 12 000; Ps,mdix 5 O00 y k, = 0.06 año"'Paraobtener las soluciones, úsese a) un método gráfico y b) el método de la reglafalsa.

6.19 El movimiento de una estructura se define mediante la siguiente ecuación parauna oscilación amortiguada:

y = 10e-k f cos wt

donde k = 0.5 y w = 2.a) osese el método gráfico, para obtener una estimación inicial del tiempo necesa-rio para que el desplazamiento baje hasta 4.b) Úsese el método de Newton-Raphson para determinar la raíz hasta un E, =

0.01%.c) Úsese el método de la secante para determinar la raíz hasta un es = 0.01%.



194 METODOS NUMtRICOSPARAINGENIERO-

6.20 La figura P6.2 0 muestra un canal abierto de dimensiones constanun áretransversalA . Bajo condiciones deflujo uniforme, se cumple la siguiente basada en la ecuación de Manning:

23Q = ( )

su

n B + 2y, [P6

en dondeQ es el flujo,y, es l a p r o f u n d i d a d o r m a l , B es el ancho canal, n es un coeficiente deugosidad sado para medirlos efectos lariccióndel materialen el canaly S es la pendiente del canal.L a ecución se usaen ingeniería de fluidosy recursos de agua para determinar ladidad normal.Si este valor es menor que la profundidad crítica:

FIGURAP6. 20.

en d o n d e g es la aceleración de la gravedad(980cm/s2),entonces el flujo ecrítico.

Úseseun método gráficoy el método de bisecciónparadeterminar y,,Q = 14.15 m3/s;B = 4 .572m ; = 0.017 y S = 0 .0015. Señálese siel flujes subo supercrítico.

Ingeniería eléctrica

6.21 Úsenselos programaspropios para repetirlos cálculosdel caso6.4.

6.22 Efectúenselos mismos cálculos del caso 6 . 4 suponiendo que la carga

paral 2% desu valororiginalen 0.04s.

6.23 Efectúenselosmismoscálculosdel caso 6. 4 , determinando el tiempo para queel circuito disipe el10% su valor original, dadoR = 300 Q C = lopF y L = 4 H .

6.24 Efectúenselos mismos cálculos del caso 6 . 4 determinando el valor L necesrio para que elcircuitodisipe al1% de su valororiginalen t = 0.05 S, dadR = 300 Q y c = F.

6.25 Una corriente oscilatoriaen un circuito eléctrico se describemediante

I = 1Oe sen(27rt)

en dondet está dado en segundos. Determínensetodoslos valores det tales qI = 2.

Ingeniería mecánica

6.26 Usandolos programas propios, repítanselos cálculos realizados en el ca

6.27 Efectúenselos mismos cálculos del caso6 .5 , usandoc = 1.5 por l o7g/sk = 1.5 por lo9 g/s2 y m = 2 porlo6 .



CASOS LATE DOS: RAíCESE ECUACIONES 195

6.28 Efectúense losmismos cálculos del caso 6.5, pero determinando el valor de k deforma tal que la primera raíz se encuentre en t = 0.08 s .

6.29 Efectúense los mismos cálculos del caso 6. 5, pero determinando el valor de m

de tal forma que la primera raíz se encuentre en t = 0.04 s.

6.30 Efectúense los mismos cálculos del caso 6.5 pero determinando el valor de c detal forma que la segunda raíz se encuentre en t = 0.2 s.

6.31 Léanse todos loscasos del capítulo 6. En base a la lectura y a la experiencia obte-nida, concíbase un caso de estudio en cualquier campo de a ingeniería. Esto im-plica la posibilidad de modificar o expresar de forma diferente alguno deos casosanteriores. Sin embargo, también puede ser totalmente original. AI igual que losejemplos anteriores, se debe redactar desde l contexto de los problemas de inge-niería y debe demostrar el uso de los métodos numéricos en la solución de raíces

de ecuaciones. Descríbanse los resultados empleando los casos anteriores comomodelo.





EPíLOGO:PARTEI I

11.4 ELEMENTOS DEJUICIO

Elcuadro 11.3prop orcion a un resumen de los fac-tores de may or importan cia que e em plean en lsolución de raíces deecuacionesalgebraicasytrascendentales. Aun que los métodos gráficoscon-sumen tiempo , son muy útiles par a com pre nde relcomp ortamiento d e la función y para identificarvalores iniciales y problemas potenciales, omolasraíces m últiples. Parlo tanto, si el tiempolo permi-te, un bosque jo rápido(o mejor aún, una gráficapor comp utadora) ayuda a elacionar informacióútil asociada al comportam iento de la función.

Los métodos numéricos se dividen en dos categorías gen erale s: métodos que usan intervalosy mé-todos abiertos.Losprimeros requieren dos valoresiniciales quecontengana a aíz. Esta conten-ción" se respeta a me dida que la solución av anza , y de esta forma , estos m étodos siempre sonconverg entes. Sin em ba rg o, tiene el inconveniente que la velocidad de con vergen cia es dem asiado lenta. De los métodos qu e usan intervalos, elméto do de la regla falsa, en genera l, es el método de preferencia ya que enla mayor parte delos problemas converge muchomás rápido que elmétodo de bisección.

I

Losmétodos abiertos se distinguen delos que usanintervalos en que requieren informaciónúnicamen-te de un punto(o de dos, pero que no contengana la raíz necesariamente) pa ra extrapolar una nueva aproximacióna la raíz. Esta propiedades unaespada de doble filo. Aunque conduce a una vergencia más rápida, también permitea posibi-lidad d e divergencia. En gene ral, la converge ncde los métodos abiertos depende parcialmente dla calid ad del valor inicial. Entre más cercan o sencuentre éste dela raíz, más prob ablees que con-verja a a mism a.

De los métodos abiertos, el de Newton-Raphsonse usa mása menudo, debido a su propiedad deconverge ncia cuadrática. Sin em ba rgo , su ma yodesven taja estriba en q ue la deriva da dela fun-



198 METODOS NUMÉRICOSPARAINGENIERO

-

eC

S

OO

M

._ Wz

m

OU.-

iOC

+

2

N



EPíLOGOPARTEI I 19 9

11.5

11.6

ción se debe obtener de forma analítica. Para algunasunciones estoes impráctico. En estos casos, el mé todo de la secante proporcionauna alternativa viable empleando n método de diferencias finitas pa

representa r la derivada. Debido a la aproxim ación, la velocidad dconvergencia del método de la secante es menor que la del métodde Newton-Raphson. Sin em bargo , a medida que la aproximacióna la raíz se ha ce más y m ás exacta, la ap roxima ción a la d erivadaconvierte en una mejor representaciónde la derivada exacta y la velocidad de convergencia aumenta rápidame nte. En el caso de raícmúltiples, se pu ed e usar el m étodo de New ton-Ra phson modificadpara alcanzar una convergencia rápida. Sin em barg o, este métorequiere de una expresión analítica de la primera y la segund a drivadas.

Todos los métodos numéricos son fáciles de programar sobre unami-crocom putado ra y requieren de un tiempo mínimo pa ra determinuna raíz. En basea esto, se concluye qu elos métodos tales com o labisección son suficientes p a ra p ropósitos prácticos. Esto sería ve rddero s i se estuviese interesado únicamente en una raíz de una ecuación. Sin em ba rg o, existen muchos casos dentro de la ingeniería do nd e se requiere encontrar varias raíces en cuyo caso la velocidviene a ser un factor muy importante. En estos casos,los métodos lentosconsumen mucho tiempo y po rlo tanto se vuelven costosos. Por elotro lado ,los métodos rápidos pueden divergir yos retardos ocasio-nad os p or esto se p uede n volver también costosos. Algunos algormos pretenden aprovechar as ventajas de ambos métodos, empleaninicialmente un mé todo que use intervalos para acer carse a la raízy en ese mom ento cam biar a un m étodo abierto pa ra refinar rápidmente la raíz. Mie ntras se usesólo un métodoo una combinación deellos, los factores a tomarse en consideración entre la convergenciay la velocidadson la base en la elección del método para localizar raíc

RELACIONESY FóRMULAS IMPORTANTES

Elcuadro 11.4 resume la información más importante que se an alizen la parteII. Este cua dro se pu ed e consultar pa ra tener acceso rápdo a alguna relación o fórmula mportante.

MÉTODOS AVANZADOSYALGUNAS REFERENCIAS ADICIONALESLos métodos d e este capítulo han sido limitados pa ra d eterminar lraíces de una ecuación algebraicao trascendental, basado s en el co-



200 METODOSNUMERICOSPARA INGENIER

CUADRO11.4 Resumen de la informacidn más importante presentada en l a parte I1

MdtodoInterpretación Errores y

Formulación gráfica criterios de aro

MOtodos que usan intervalos:

Bisección

Regla falsa

xr = - / i- u2 Criterio de paro:

Newton-Raphson

Métodos abiertos:

Secante

Criterio de paro :nueva pesada

Criterio de paro:

x;+;,+; x,

Error: E,,.l :

100% ,

= O(€? )

Criterio de paro:



EPíLOGO PARTEII 20 1

nocimiento pre vio d e su posició n ap roxim ada . Existen otras técnpa ra deteminar raíces complejas y todas las raíces de un polinomAlgunas referencias recomendables al respecto son Ralston y Rab

nowitz (1978)y Car nah an, Luther y Wilkes(1969).James, Smith yWol fo rd(1 977)y Ger ald y W heat ley(1984)resumen algunos delosmétodos y propo rcionan sus prog ram as.

En cuanto a técnicas específicasl método de New ton-Raphson se puede usar en ciertos casos para localizar raíces complejas en bas e a aproximación inicial compleja. Ya que la m ayor parte de las comtadoras no llevan a a bo operaciones complejas, algunas veces etodo se ve limitado. Sin em ba rg o, Stark(1970)ilustra una mane ra deeludir este dilema.

Elmétodo de Mu ller es parecido a l m étodo de la regla falsaólo queeste usa interpolación cuadrática, en vez de lineal, para localizaraíz. Este planteamiento se pue de em plear en la determ inación tade raíces complejas com o de reales (M ulle r,1956;Gera ld y W hea-tley, 1984; Rice, 1983).

Existen varios métodos p a ra determinar todaslas raíces de un poli-nomio.Elmétodo de Bairstow requiere una buena aproximación icial pa ra la localización eficiente de raíces (G er al d y W hea tley,1984y James, Smith y W olf ord ,1977).Elmétodo de Graeffe (Scarborou gh1966y James, Smithy Wolford ,1977)y el algoritmo de /cociente dediferencias( Q D ) (Henrichi,1964y Ger ald y Wheatley,1984)deter-minan todas las raíces in una aproxim ación inicial.Ralston y Rabino-witz (1978)y Car nah an, Luther y Wilkes(1969)contienen tambiénanálisis de los métodos men cionados anteriormente, así como de lotras técnicas pa ra la ocalización de las raíces de un polinomi

En resumen, el análisis anterior va en foca do a pro po rcio naral lectorformas d e exp lorar más a fondolos temas. Además, todaslas refe-rencias anteriores prop orc ion an descripciones de las técnicas báscas cubiertas en la parteI I . Esimportante quese consulten estas fuentesde información para am pliar el conocimiento delos métodos numéri-cosen la localización de raíces.*

* Elautor hace aquí ólo una referencia a os libros, al final del texto se presenta una bibliogra-fía completa.







104 MhODOS NUMERICOSPARAINGENIERO

cuatro o más ecuacionesla solución se torna difícil y se deb e uuna computadora. Históricamente, la imposibilidad de resolvsistemas a m an o, excepto sistemas mu y pequeños , limitó el a

de problem as dirigidos a muchas aplicaciones de ingeniería.Antes del uso de las computa doras,las técnicas pa ra solucionar smas de ecuaciones algebraicas ineales requerían mu cho tiempmuy difíciles. Estos planteam ientos crea ban restricciones sobrela cretividad ya quelos métodos er an difíciles de implem entar y de ede r. Be ah í qu e se hacía hincap ié en as técnicas, a costa deaspectos del proceso de solución al pro ble m a,tales com o la formción y la interpretación (recuérdese la figura1.1 y el análisis queacompaña) .

Eladvenimiento de computadoras personales de fácil acceso sible y práctica la solución de grandes sistemas de ecu acionebraicas lineales. De esta ma ner a, se pueden plantear problemcomplejos y más realistas. Ad em ás, ha brá más tiempo de exlas habilidades creativas ya que se ha rá m ás hincapie en la foción e nterpretación del problema.

FIGURA1 1 1 . 1 Dos tipos de sistemas que pueden ser modelados usando sistemas de ecua-ciones algebraicas lineales: a) sistema macrovariable que involucra unconjunto acoplada de componentes finitas y b) sistema microvariable queinvolucra continuidad.





206 MÉTODOSNUMÉRICOS ARA INGENIER- _ _

111.2

(micro-) (Fig.1 1 1 . 1 ) .Los problem as de variables discretas mplcomponentes finitos acoplados com o las armaduras (caso9.3)) eactore(Fig.III.la) y circuitos eléctricos (cas o9.4).Estos tipos de p roble musan m odelos que proporcionan a grandes rasgos l comportato d e un sistema en función de ciertas variables.

Por el contrario,los problemas m icroescalados intentan describicaracterísticas delos sistemas con una base continuao semicontinuLa distribución de sustancia sobre un reactor rectangular ala r(Fig.II .1b)es un ejemplode un modelo de variable continua. Las eciones diferenciales derivada s de las leyes de conservación espcan la distribución dela variable dependiente pa ra tales sistemas (9.2).Estas ecuaciones diferenciales se pueden resolver num éricap a ra convertirlas a un sistema equivalen te de ecuacion es algebcas simultáneas. La solución d e este conjunto de ecuaciones resenta una mp ortante aplicación enel área de ngen iería para lométodos delos capítulos siguientes. Estas ecuaciones están unidasqu e las varihbles en cierta posición dependen de las variables giones adyacentes. Por ejemplo, la concentración la mitad del res un a función de la concentración en regiones adyacentes. Sden desarrollar ejemplos similares pa ra la distribución de la tratura o del mom ento.

Además delos sistemas físicos, las ecuaciones algebraicas lineas

multáneas también apa recen en u na variedad de contextos enblemas matem áticos. Esto resulta cuan do se requiere que las funmatemáticas satisfagan varias condiciones e m ane ra simultáned a condición da como resultado una ecuación que ontiene coefconocidos y variables incógnitas. Las técnicas expuestas en este se pueden usar pa ra encontrar los coeficientes delos sistemas cua nlas ecuaciones sean linealesy algebraicas.Elanálisis de regresión (pítulo 10)y la interpolación cúbica segmen taria(spline, capítulo l lson algunas de las técnicas ampliamente usadas que utilizannes simultáneas.

FUNDAMENTO§ MATEMÁTICOS

En todas las partes de este libro se requieren algunos fundammatemáticos. Son últiles, enla parte Ill, la notación ma tricial y eágebra, ya que ofrecen una forma concisa de representar y sistemas de ecuacion es algebraicas lineales.Si se está familiarizacon las matrices, puede pas arse por alto l a sección111.3.Para quines no están familiarizadoso requ ieren una repa sada , el siguimaterial proporciona una breve ntroducción al tema.







SISTEMAS ECUACIONES ALGEBRAICASINEALES 209

Una motriz triangular inferior es aquella donde todos cero, con a excepción de una banda centrada sobresus elementos arriba de a diagonal principal son ce- la diagonal principal:ro, como

Una motriz banda tiene todos los elementos guales a le da un nombreespecial, motr;z tr;d;agonal,a matriz anterior tiene un ancho de banda de 3 y se

111.2.2 Reglas de operació n sobre matricesAh or a qu e se ha especificadolo qu e significa una m atriz, se p ued endefinir algunas reglas de ope ració n que gob ierna n u uso. Do s m aces m p or n son iguales,s i y sólo s i , ca da elemento de la primera esigual a ca d a elemento de la segu nda; esto es[A]= [B]si a;, = bjjpa-ra toda i, j.

La suma d e dos matrices,[A]y [B],se realiza sumandolos elementoscorrespondientes de cada matriz. Los elementos de la matriz[C] e-sultante se calcu lan com o:

p a r a i = 1 , 2 , . . . , m y i = 1 , 2, - . , n .

De form a similar, la resta dedos matrices,[E]y [ F ] ,se obtiene restan-do los términos correspondientes, como:

d..= e.."..'I 'I I

para i = 1 , 2, . . . , m y j = 1 , 2, . . . , n. De la definición anterior,se sigue inmediatamente quela suma y la resta se pue de lleva ra ca-bo sólo entre matrices qu e tienen as mismas dimensiones.

La suma y la resta son conmutativas:

Y



210 MÉTODOS NUM~RICO SARAINGENI

La sumay la resta también sonasociativas, esto es,

La multiplicación de una m atriz[A]po r un escalarg se obtiene muplicando cada elemento de[A]por g , como en

El prod ucto de dos matrices se represe nta com o[C] = [A][B],n dode los elementos de[C] e definen como (véaseel recuadro111.2donse exp one el concepto simple de a mu ltiplicación ma tricial)

n

k= 1C;; = a r k bk; [11

Donden = la dimensión de las columnas de[A]y la dimensióndlos renglones de[B].

RECUADRO111.2 Método simple para multiplicar dos matrices

Aunque la ecuación (111.2)está bien definida par a im-plementarse en una computadora, no es la forma mássimple de visualizar la mecánica de multiplicación dedos matrices. En seguida se presenta una expresión mástangible sobre este concepto. Supóngase que se deseamultiplicar [A]por [B] y obtener [C]:

Una forma simple de representar el cálculo de [C] eselevar [ B ] ,como en

Ahora la respuesta [C] e puede calcular en el espaciovacante deiado por B].Este formato tiene utilidad porque alinea los renglones apropiados y las columnas se van a multiplicar. Por ejemplo, de acuerdo a la ecua-ción (111.2)el elemento c1 se obtiene multiplicando elprimer renglón de [A]por la primera columna de

Esto es equivalente a sumar el producto deal producto de y b , , omo

917 = 2 2

For io tanto, cl,, es igual a 22. Elelemento c2,,sede calcular en una forma similar, como



SISTEMASDEECUACIONESLGEBRAICASLES 21 114 .:' ,A]+ 8 6 x 5 + 6 ~ 7 = 8 2 +[C]o 4 Nótese que este método esclarece el porqué es impo-

sible multiplicar s i el número de columnas de la prime-ra matr iz no es igual al número ¿e renglones de la

Elcalculo se puede continuar de esta manera, siguien- segunda. Nótese cómo demuestra que el orden de lado la alineación de renglones y columnas, para obte- mdtiplicación coincide también. De la misma maneraner el resultado: ilustra estos puntos el problema 7.3.

Esto es, el elementocjise obtiene sumando el producto de elemen-tos individuale s del i-ésimo renglón de la prime ra ma triz,n este caso[A],por la i-ésima columna de la segunda[B].De acuerdo a esta de-finición, la multiplicación de dos matricessólo se pue de realizars i laprime ra matriz tiene tantas colum nas com o renglon es la segun da.lo tanto, s i [A]es una m atriz m po r n,[B] deberá ser una matriznpor p. En este caso, la matriz[C] esultante tendrá dimensión m po rp . Sin embargo,s i [ B ]fuese una matrizp po r n, la m ultiplicación nose pod ría lleva r a cabo. La figura 111.3 muestra una forma fácil deverificars i se pueden multiplicar dos matrices.

Si las dimensiones de las matrices son com pat ibles , la multiplicacimatricial es asociativo:

FIGURA111.3 Una manera simple de comprobar s i es posib le multiplicar dos matrices.



212 MhODOS NUMÉRICOSPARAINGENIER

y distributiva:

Sin em ba rgo , en gene ral a multiplicación no es conmutativa

[AI[Bl+ [BI[AI

Esto es, el ord en de multiplicación es importante.

Aunquela multiplicación es pos ible, la división matricial aú n no

definida. Sin embargo,s i un a m atriz[A]es cuadrada, hay otra matriz [A]", llam ada la inversa de[A],tal que

[A]A]" = [A]"A] = [I] [111

D e esta form a, la multiplicación de una matriz por su inversa, eloga a la división, en el sentido de que un núm ero dividido po rsí mismo es iguala uno. Esto es,la multiplicación de una matriz porsu inverses igual a la m atriz iden tidad (recué rdese el re cu ad ro 111.1).

La inversa de unamatriz cua dra da bidimensional se pued e repretar simplemente com o:

1[A)" =e2 -a12

0 1 1 a22 - a12 9 [ 9 1 a l , ][111

Las matrices de dimensión m ay or son m ucho más difíciles de esar. La sección 8 . 2 se ded ica a estudiar una técnica que calculainversa de tales sistemas.

Las ope raciones finales d e las matrices que tienen utilidad en est

lisis son las de transposición y de matriz aum en tad a. La transpde una matriz com prend e la transform ación de sus renglon es lumnas y sus columnas en renglones. La transpuesta de la ma



STEMAS ECUA CIONES ALGEB RAICASINEALES 213

denotada por [AlT,se define com o:

En otras palabras, el elementoa;; e la transpuesta es igual al ele-mento ai; e la matriz original,o ai = ai;. La matriz transpuesta tie-ne una gran variedad deunciones en el álgeb ra matricial. U n a ventajasimple esla de permitir escribir un vector colu mn a c om o vector fila

Por ejemplo, si:

entonces

en do nd e el superíndiceT denota transposición. Esto puede ahorrarespacio al escribir un vector colu m na en un manuscrito. Ad em ás, matriz transpuesta iene una gran variedad de plicaciones en las matemáticas.

U n amatr iz aumentada es el resultado de ag rega rle un a colu mn a(omás columnas) a la matriz original. Por ejem plo, supón gase que setiene una matriz:

Si se desea aumentar esta matriz [A]con una matriz dentidad (re-cuérdese el recuadroIll. ), entonces se obtiene una matriz3 por 6dimensional, da da por:



214 MhODOS NUMERICOS PARAINGENI-

Esta expresión tiene utilidad cuandoe desea realizar un conjunoperacion es idénticas sobre dos matrices. D e esta for m a, se l levar a cabolas operaciones sobre una matriz aum entada en vhacerlo sobre dos matrices independientes.

111.2.3 Representación en forma matricial de sistemas deecuac iones algebraica s lineales

De be ser claro quelas matrices proporcionan una no tación coen la representación de ecuaciones simultáneas lineales. Por ela ecuación 1 1 1 . 1 )se puede expresa r com o:

donde [A]es una matriz cuadradan por n de coeficientes:

[Al=

[C] s unvector columnan por 1 de constantes:

[C]T = [Cl c23 . . . cn]y [A s un vector colum na n por 1 de incógnitas:

[XIT= [x123 . . xn]

Recuérdesela definición dela multiplicación m atricial[Ec.(111.2)ocuadro111.21par a com pro bar la quivalencia de las ecuacione1 1y (111.5).Tam bién, nótese que la multiplicación matricial(111.5)es lidaya qu e el número de columnas( n ) de la primer matriz ([Aigual al número de renglones (n) de a segund a matriz( [ A ) .En esta parte del libro se resuelve la ecu ación(111.5)p a r a [A.ma nera formal de obtene r una solución usando álg eb ra matla de m ultiplicar cad a lad o de la ecuación por la inversa de[A]p aobtener:

Ya que [A]” [A]es la matriz identidad, la ecuac ión anterior svierte en:

[XI= [Al”[Cl 1 [1







SISTEMAS DEECUACIONESALGEBRAICASLINEALES 21 7

La eliminación gaussiana y el mé tod o de G auss -Jord an son métoddirectos.AIfinal del capítulo8 se estudia un método diferente cono-cido com o mé todo de Gau ss-Seidel. Éste es pare cido alos métodosde a proxim ación de raíces de ecuacione s que e estudiaron en el cpitulo5. Esto es, la técnica implica da r una a prox ima ción inicial a solución y mediante iteraciones obtener un valor m eiora do.

En el capítulo9 se dem uestra com o se pued en aplicarlos métodosen la solución de problem as.Asícom o en otras partes del libro, seexaminan aplicaciones extraídasde todoslos campos de la ingeniería.

Finalmente, al terminar la parteIll se incluye un epílogo. Este repasoincluye el análisis delos elementos de juicio importantes en la imple-mentación delos métodos en la ingeniería práctica. En esta seccióntambién se resumen las fórmulas de may or impo rtancia ylos méto-dos avanza dos relacionados con as ecuaciones algebraicas linealpor lo que se pued en usar pa ra estudiar antes de un exame no comorepaso cuandose tenga necesidad de utilizar las ecuaciones algebcas ineales en la vida profesiona l.

Las capacidad es de cóm puto autom ático se integran en la parteIllen una variedad de formas. Primero, enNUMERICOMP,se encuen-tran disponibles prog ram as am able s con el usuario de la eliminaciógaussiana para la microcomputadora Apple-ll eBM-PC.Tam bién se

proporcionanlosprogram as enFORTRANy BASICde la eliminacióngaussiana directamente en el texto. Esto le d a al usuario la oportundad de copiary aumentar los programas para implementarlos en sumicrocomputadorao supercomputadora. También se incluyenlos dia-gram as de flujoo los algoritmos en la m ayo r parte delos métodosdescritos en el libro. Este material pued e formar la base de un pquete de prog ram as que el mismo usuario pue de desarrollar y aplcar a una gran cantidad de problemas de ingeniería.

111.3.2 Metas y objetivos

Objetivos de estudio.AI terminar la parteIll, el usuario deb e ser ca-pa z de resolverla may or parte de problemas que implique n utilizaecuaciones algebraicas lineales y poder visualizar las aplicaciones estas ecuaciones en todosloscampos dela ingeniería.Elusuario de-be hacerlo posible por dom inar varias écnicas y valorar la confiablidadde lasmismas. De be entenderas entajasdesventajasinvolucradas en la selección del "mejor" método(o métodos) en cual-quie r prob lem a particu lar. Ad em ás de estos objetivos gene rales, sdeb en asimilar y dom inarlos conceptos específicos enumerados enel cuadro 1 1 1 1





C A P í T U L OS I E T E

7.1

ELIMINAC IóN GAUSSIA

En este capítulo se analizan las ecuaciones algebraicas linealesneas que en general se pueden representar como:allxl + a12x2 + * + al,x, = c1

a21x1 + a22x2 + . . . + a2,xn = c2

anlxl + 0~2x2 + * - * + a,,x, = c ,

en donde as a son coeficientes constantesy las c son constantes.A la técnica que se describe en este capítulose le conoce comoelimi-nación gaussianaporque involucra una combinación de ecuacionque se les eliminan las incógnitas. Aunque éste es uno de los más antiguos en la soluciónde ecuaciones simultáneas, permanece nuestros días como uno delosalgoritmos de mayor importancia.En par-ticular, es fácil de programar de aplicar con el uso de microcom

SOLUCIÓN DE POCAS ECUACIONES

Antes de entrar a los métodos que usan computadora, se descrnos que son apropiados en la solución de pequeños grupos denes simultáneas( n ) que no requieren de una computadora. Estosonlos métodos gráficos, a regla de Cramery la eliminación de incógni

7.1.l Método gráfico

Se obtiene una solución gráfica de dos ecuaciones representácoordenadas cartesianas conun eje correspondiente ax1 y el otro ax2.Ya que el problema es para sistemas lineales, cada ecuación




una línea recta.Esto puede ilustrarse fácilmente por las ecuacnerales:

Q l X l + a12xz= c1

a21x1+ a22x2= c2

Ambas ecuaciones se pueden resolver para x2:

De esta manera, las ecuaciones se encuentran ahora enla forma delíneas rectas; esto es, x2= (pendiente) x1+ intersección. Estas línepueden graficar en coordenadas cartesianas con x2 como lx1como la abscisa.Losvalores dex1y x2 en la intersección de larepresentanla solución.

EJEMPLO 7.1Elmétodo gráfico parados ecuaciones

Enunciado del problema: úsese el método gráfico para reso3x1+ 2x2= 18 [E7.1

-x1 + 2x2= 2 [E7.1.2]

Solución: seax1 la abscisa. AI resolver la ecuación (E7.1 .1

que, al graficarse en la figura7 . 1 ,da una línea recta con una interen 9 y pendiente de -3 /2 .

La ecuación (E 7.1 .2 ) se puede resolver para x2:

x2 = (1/2)x,+ 1

la cual también se grafica en la figura7.1.La solución es la intersede las dos líneas en x1= 4 y x2= 3. Este resultado se puede vsustituyendo estos resultados en las ecuaciones originales p

3(4)+ 2(3)= 18- 4 + 2(3)= 2






FIGURA7.2 Esquema gráfico de sistemas mal condicionados: a) no hay solución, b)hay una infinidad e soluciones y c) un sistema mal condicionado n dondelas pendientes son muy parecidas en el punto de intersección y es difícilde detectar fácilmente la solución.

secciones,los sistemas mal condicionados también tienen probdo ?e encuentran enla solución numérica de ecuaciones line

7.1.2 Determinantesy la regla de Cramer

La regla de Cramer es otra técnica de solución aplicablea pocas ecuanes. Antes de describir estemétodo, se menciona brevemente elto de determinantes, que se usanen a implementación dela regla dCramer. Además, el determinante esútilen la evaluación de mal cionamiento de unamatriz.

Determinantes.Se puede ilustrarun determinante medianteun conjuto de tres ecuaciones:

o. en forma matricial:

en donde[ A ]es lamatriz de coeficientes:

all a12 a13



ELlMlNAClON GAUSSIANA 223

EldeterminanteD de este sistema se forma con los coeficientesa ecua-ción, de la siguiente manera:

Aunque el determinanteD y la matriz[ A ]se componen delosmismoselementos, tienen conceptos matemáticos completamente didenotar la matriz se usan corchetesy paralosdeterminantes se usan brras verticales. En contraste con una matriz, el determinante eun núme-ro. Por ejemplo, elvalordel determinante de segundo orden:

D = all a12

(a21

se calcula mediante:

En el caso de tercer orden [Ec. (7 .2 )] , se puede calcular el vterminante como:

en donde alos determinantes de 2 por2 se les llamamenores .

EJEMPLO7.2Determinantes

Enunciado del problema: calcúlense los valores delosdeterminantes dlos sistemas representados en las figuras 7 . 1y 7.2 .

Solución: para lafigura 7.1:

Para lafigura 7.2~1:

-1/2 1 -1 1= 1-1,2 11 = - ( l ) - 1(%) = o






Los menores son:

1 1.9= 10.3 0.5

0.5 1.90.1 0.50.5 1

A3= 10.1 0.3

= l(0.5) - 1.9(0.3)= -0.07

= 0.5(0.5) - 1.9(0.1)= 0.06

= 0.5(0.3) - (O.1)= 0.05

Éstos se pueden usar para evaluar el determinante, como en la (7.4):

D = 0.3(-0.07) - 0.52(0.06) + l(0.05) = -0.002 2

Aplicando la ecuación(7.5), a solución es:

-0.01 0.52 10.67 1.9

I-o.44 I 0.032 78-0.002 2 -0.002 21 = .- = -14.9

0.3 -0.01 10.5 0.67 1.9

0.3 0.520.0110.5 1 O.671 O . l -0.043 56 = 19.8

x3 =-

"0.002 2 -0.002 2

Para más de tres ecuaciones, la regla de-Cramer es imprdctica medida que crece el número de ecuaciones, los determinantese vuel-ven dificiles de evaluara mano. Por consiguiente, se usan otras altevasmás eficientes. Algunas de estas alternativas se basanen aúltimatécnica cubierta en este libro que no usa computadora, la eliminincógnitas.

7.1.3 La eliminación de incógnitas

La eliminación de incógnitas mediante la combinación de ecuaun esquema algebraic0 que se puede ilustrar paraun conjunto de ecua-ciones:



226 MhODOS NUMÉRICOSPARAINGENIERO

c7

La estrategia básicaes multiplicar lasecuaciones por constantes puna de las incógnitas se elimine al combinar las dos ecuacitado es una ecuación que se puede resolver para la incógEste valor se puede sustituir en cualquiera de las ecuaciopara calcular la otra variable.

Por ejemplo, la ecuación(7.6)se puede multiplicar pora21 y la ección(7.7) por a l l paradar:

Restando la ecuación(7.8) de la ecuación( 7 . 9 ) , e eliminael térmx1 de la ecuación para obtener:

que se puede resolver por

[7.

La ecuación7.10se puede sustituir en la ecuación(7 .6 ) ,que se puresolver por

[7.1

Nótese que las ecuaciones(7.10)y (7 .1 1) se calculan directamla regla de Cramer, que establece:

°C::XI = - c1a22 - a12c2-

alla22 - 3112a21



LIMINACION GAUSSIANA 227

EJEMPLO7.4Eliminaciónde incógnitas

Enunciado del problema: úsese la eliminación de incógnitas para resol-ver (recuérdese el ejemplo 7.1) :

3x1 + 2x2 = 18

-x1 + 2x2 = 2

Solución: usando las ecuaciones (7.11) y (7.10)

2(18) - 2(2)3(2) - 2(-1)

1 = = 4

3(2) - (-1)183(2) - 2(-1)

2 = = 3

las cuales son consistentes con la solución gráfica (Fig. 7.1)

La eliminación de incógnitas se puede extender a sistemas con másde dos o tres ecuaciones. Sin embargo, los cálculos numerosos que serequieren para sistemas grandes vuelven rnuytedioso al método comopara realizarlo a mano. Sin embargo, como se describe en la siguientesección, el método se puede formalizar y programar fácilmente en unamicrocomputadora.

7.2 ELIM INAC IóN GAUSSIANASIMPLE

En la sección anterior, se usa la elirninación de incógnitas para resol-ver un par de ecuaciones simultáneas. El procedimiento consta de dospasos:

1. Se manejan las ecuaciones para eliminar una incógnita de una ecua-

ción. Elresultado de este paso d e el i mi naciónes una sola ecuacióncon una incógnita.

2. Por consiguiente, esta ecuación se puede resolver directamente y elresultado se sust i t uy e acia t rás en las ecuaciones originales paraencontrar la incógnita restante.

Este comportamiento básico se puede extender a sistemas grandesde ecuaciones desarrollando un esquema sistemático para eliminar incóg-nitas y sustituir hacia atrás. L a el i mi nación gaussianaes una de as técni-cas más comunes.








De ahora en adelante, a la ecuación(7.12a) e le llamaecuación pivoty a a l l se le llamapivote.

Enseguida se repite el proceso para eliminar la segunda las ecuaciones(7.14~) asta la(7.14d). ara hacerlo, se usa comoción pivotal la ecuación(7,14b) ormalizándolay dividiéndola por evotea'22. Multiplicando la ecuación normal i zadapor a'32 y res tando eresultado a la ecuación( 7 . 1 4 ~ ) e elimina la segunda incógnita. Rdo el proceso con las ecuaciones restantes se obtiene:

a 3x3 + * . + axnx, = c:

en donde el apóstrofe doble indica que los coeficientes se do dos veces.

Elprocedimiento se puede continuar usandolasecuaciones restes como pivotales. La operación final de esta secuencia e(n- 1)-ésima ecuaciónparaeliminar el términode la n-ésima eción. En ese momento el sistema se transforma enun sistema triangsuperior (recuérdese el recuadro111.1).

[7.15a

[7.15b

[7.15c

[7.15d

Sustitución hacia atrás. La ecuación(7.15d)se puede resolver parx,

1

17.1

Este resultado se puede sustituir enla (n - )-ésima ecuacióny resolveésta parax , ,~ - Elprocedimiento se repite evaluando lasx restantes, se puede representar mediantela fórmula:



ELlMlNAClON 23 1

[7.17]

para i = n-1, n-2, . . . , 1.

EJEMPLO 7.5Eliminación gaussiana simple

Enunciado del problema: úsese la eliminación gaussiana para r

3x1 - 0.1~2 0.2~3 7.850.1~1 7x2 - O.3X3 = -19.3

0 . 3 ~ ~0 . 2 ~ ~lox3=

71.4

[E7.5. l j

[E7.5.2]

rE7.5.31Efectúense10scálculos con seis cifras significativas.

Solución: la primera parte del procedimiento s la eliminación hlante. La normalización de la ecuación( € 7 .5 .1 )e lleva a cabo dividiéndola por el elemento pivotal, obteniendo:

XI - 0,033 333 3x2 - 0.066 666 7x3 = 2.616 67 [E7.5.4]

En seguida, multiplíquese la ecuación (E7.5 .4 )por0.1y t6stese el resul-tado de la ecuación(E7.5.2)se tiene:

7.003 33x2 - 0.293 333x3 = -19.561 7 [E7.5.5]

Porlo tanto al multiplicar la ecuación (E7 .5 .4) porO. y al restarlaa laecuación(E7.5.3)se eliminaxl. Después de estas operaciones, el cjunto de ecuaciones es

3x1 -- o.lx, - 0.2X3 = 7<65 rE7.5.61

7.003 33x2 - 0.293 333x3 = - 9.561 7 [E7.5.7]

-0.190 000x2 + 10.020 Ox3 = 70.615O [E7.5.8]

Para terminar la eliminación hacia adelantex p debe desaparecer de laecuación(E7.5.8).Para llevarlo a cabo, normalícese la ecuación (Edividiéndola por7.003 33:

x2 - 0 .041884 8x3 = -2.793 20 [E7.5.9]Después, multiplíquese la ecuación( € 7 .5 .9 )or -0.190 O00 y réstese elresultado de la ecuación(E5.7.8).Con esto se eliminax2de la terceraecuacióny reduce el sistema a la forma triangular superior, dada



232 METO OS NUMÉRICOSPARA INGENIEROS

3x1 - O.lx, - 0 , 2 ~ 3 7.857.003 33x2 - 0.293 333x3 = -19.561 7 [E7.5.

10.012 Oxg = 70.084 3 [E7.5.1Ahora se pueden resolver estas ecuaciones por sustitución hEnprimer lugar, la ecuación(E7.5.11) e puede resolver, dando

x3 = 7.0003 [E7.5.

Este resultado se puede sustituiren a ecuación(E7.5.10), ara dar:7.003 33x2 - 0.293 333(7.000 03) = -19.561 7

que se puede resolver para

x2 = "2.500 O0 [E7.5.

Finalmente, las ecuaciones(E7.S.12) y (E7.5.13) e pueden sustituirla ecuación(E7.5.6)para dar:

3x1 - 0.1(-2.500 00) - 0.2(7.000 03) = 7.85


x1 = 3.000 O0

Aunque hayun pequeiio error de redondeo en a ecuación(E7.5. )los resultados sonmuycercanos a la solución exacta dex1 = 3, x2 = -2.5y xg = 7 .Esto se puede verificar sustituyendo las respuestas ejunto de ecuaciones originales, para dar:

3(3) - 0.1(--2.5) - 0.2(7.000 3) = 7.849 9 = 7850.1(3) + 7("2.5) - 0.3(7.00003) = -19.300 O = -19.3

0.3(3) - 0.2(-2.5) + lO(7.00003) = 71.400 = 71.4

7.2.2 Program a del métod o de eliminación gaussiana simple

Lafigura7.4 muestralosprogramas de la eliminación gaussianLosprogramas constan de cuatro partes: entrada de d abs , hacia adelante, sustitución hacia atrás e impresión de datosla matriz de coeficientes se aumenta por las constantes del Esta información se almacena en la matrizA . Ya que esta matriz es a




tada, el hecho de que susdimensionesseande 15por 16 significaque el programa puede manejar hasta15 ecuaciones simultáneas de eforma.

F O RT R A N

sun-0I-N-NNI P = I + l[)O 1 2 2 0= I P, HSLlN-SUM+A(I , J > * X ( J ,

1220 C O N T I N U E

1 2 4 0 O N T I N U ERETURl iE N D

~ ~ I ~ = ~ ~ ~ l , ~ ~ - s u M ~ , ' a ~ l , I ~

El im1nac16n hac ia ade lan te

Sus t racc i6n hac ia a t rAs

FIGURA7.4 Programas FORTRANy BASICdelmétodo deeliminación gaussianasimple.

Nótese también que se ha programado el cuerpo principal mo como una subrutina.Se hizo así porque además de la solución dta de los problemas de ingeniería, la eliminación gaussiana tamutilidad formando parte de otros algoritmos. En a última partcapítulo se desarrollan técnicas de corrección de errores que runa subrutina para la elimiflación gaussiana. Además, en el ca10se necesita resolver ecuaciones algebraicas lineales com o part

nica de ajuste de curvas llamada regresión múltipley polinomial.



234 METODOS NUMÉRICOSPARAINGENIER

FIGURA7.5 Tresparacaidistas en caídclibre conectados porcuerdas de pesodespreciable.

7 .Pr

El programa de la figura7.4no es legible al usuario. En el p16 al final del capítulo, se presenta la tarea de hacerun bosquejo.ograma para hacerlo fácil de Gsary de entender.

EJEMPLO 7.6Solución de ecuaciones algebraicas lineales usan do com puta

Enunciado del problema:osprogramas de NUMERICOMP conque implementa la eliminación gaussiana enun programa legibleal usurio. Se puede usar este programa para resolver problemas el ejemplo del paracaidista discutido en el capítulo1. Supóngase quugrupo de tres paracaidistas se conectapor medio de cuerdasmuyligermientras caen a una velocidad de5 m/s (Fig.7 . 5 ) .Calcúlese la tenen cada sección de la cuerday la aceleración del grupo, dada la sinformación:

Paracaidista Masa, kg Coeficientes eozamiento, kg/s

102 60 143 40 17

.~ ." . . ~ . .

Solución:los cuerpos delosparacaidistas se muestran en la figur7 .Considerando las fuerzas en dirección verticaly usando la segundade Newton se obtieneun conjunto de tres ecuaciones lineales s

m l g - T - clu = mla

m2g + T'c2u - R = m2a

Estas ecuaciones tienen tres incógnitas:a , T y R. Después de sustit¡valores conocidos, las ecuaciones se pueden expresar en f(ya queg = 9.8 m/s2).






FIGURA7.7. (Continuación) b)Prueba de exactitud obtenida al sustituirla solución en as ecuaciones originales para comprobarque los resultados son iguales a las constantes del vectorde términos independientes original.

Losresultados anteriores se basan enun algoritmo simple del do de la eliminación gaussiana con rutinas legibles l usuari

da y salida de datos. El algoritmo empleado es similar al de l7 .Elusuario debe ser capaz de escribirun programa para el método eliminación gaussiana. Si ya lo tiene, use el programa anterprobar la exactitud del propio.

7.3 DESVENTAJAS DELOS MÉTODOSDE ELIMINAC

A pesar de que existen muchos sistemas de ecuaciones qresolver con la eliminación gaussiana simple. Hay algunas dse deben de analizar antes de escribirun programa que implemenmétodo. Aunque el siguiente material habla Gnicamente deleliminación gaussiana simple, esta información también es otras técnicas de eliminación.

7.3.1 División entre cero

La razón principal por la que se le ha llamado “simple” al rior, es porque durante las fases de eliminacióny sustitución es posque ocurra una división entre cero. Por ejemplo, si se usa eliminación gaussiana simple para resolver el sistema:



LlMlNAClON GAUSSIANA 237

la normalización de la primer ecuación implica una división entreal l = O.El problema se presenta también cuando el coeficiente esmuycercanoa cero. Se ha desarrollad? una estrategia del pivote0 para evitamente estos problemas. Este se describeen a sección 7 .4 .2 .

7.3.2. Errores de redondeo

Aun cuando la solución del ejemplo 7 . 5 se acerca mucho a lreal, hay una pequeña diferencia en el resultado dex3 [Ec. (E7.5.12)Esta diferencia, que significaun error del-0.000 43%, se debe al usode seis cifras significativas durante los cálculos.Si se hubieran usado mácifras significativas, el error se habría reducido aún más.Si se hubieranusado fracciones en vez de decimales(ypor consiguiente se hubieran etado los errores de redondeo), la respuesta habría sido exactaSin em-bargo, ya que las microcomputadoras manejansóloun número limitadode cifras significativas( = l o ) ,pueden ocurrir los errores de redondyse deben considerar al evaluarlosresultados.

EJEMPLO 7.7Efecto de los errores de redondeo en la eliminación gaussiana

Enunciado del problema: resuélvase el mismn problema del ejeusando tres cifras significativas durante los cálculos.

Solución: la eliminación dex1 de la segunday tercera ecuacióny la eli-minación dex2 de la tercera lleva al siguiente sistema triangular:

3x1 - 0.1~2 0.2~3 7.85

7.00~2 0.293~3 -19.69.99~3 70.1

Compárese este sistema con el obtenido previamente usando sesignificativas [ecuación E7.5.10)hasta la (E7.5.121. Sepuede usar la sustitución hacia atrás para resolver el sistema, obteniendo:

x1 = 3.17 I E ~= 5.7%x2 = -2.51 E, 1 = 0.4%

x3 = 7.02 E , I = 0.29%



238 METODOSUMERICOS PARAINGENIERO

Sustituyendo estos valores en as ecuaciones originales se

3(3.17) - 0.1(-2.51) - 0.2(7.02) = 8.36 # 7.85

0.1(3.17) + 7(-2.51) - 0.3(7.02) = -19.4 # -19.30.3(3.17) - 0.2(-2.51) + lO(7.02) = 71.7 # 71.4

Aunque el uso de tres cifras significativas dentro del ej.7 hadel mismoun ejemplo fuera de la realidad, el problema delos erroresredondeosíes realy puede ser de mucha importanciaal resolver gracantidades de ecuaciones. Esto se debe a que cada resultade todos los resultados anteriores. Por consiguiente,un error en lospmeros pasos tiende a propagarse, esto es, causa errores enpasos.

Es muycomplicado especificar el tamaño del sistema enlerrores de redondeo vienen a ser significativos ya que depede computadoray de las propiedades del sistema. Una reglauygenees la de suponer queloserrores de redondeo son de importanciatrata de sistemas de25 a 50 ecuaciones. En cualquier evento,se deben sustituir las respuestas en las ecuaciones originaley verificaha ocurridoun error sustancial.Sin embargo, como se menciona mlante la magnitud deloscoeficientes mismos puedeinfluiren los erro

al buscarun

resultado aceptable.7.3.3 Ill-Sistemasmal condicionados

La obtención de la solución depende de la condición del sección7.1.1se muestraun esquema gráfico de la condición deun sisma. En sentido matemático, lossi s temas b i en ond i c ion ado sson aqllos en los queun cambio en unoo más coeficientes provocaun camsimilar en la solución. Lossistemas m a l cond ic ionadosson aquellodonde cambios pequeños enlos coeficientes provocan cambiosen la solución. Una interpretación diferente del mal condicqueun rango amplio de respuestas puede satisfacer aproximaal sistema. Ya que los errores de redondeo pueden induciqueños en los coeficientes, estos cambios artificiales puedegrandes en la solución de sistemas mal condicionados comel siguiente ejemplo.

EJEMPLO7.8b Ill-Sistemasmal condicionados

Enunciado del problema: resuélvase el siguiente sistema:




x1 + 2x2 = 10 [E7.8.1]

1 . 1 ~ 12x2 = 10.4 [E7.8.2]

Después, resuélvase nuevamente, con el coeficiente dex1de la segundaecuación modificado evemente a1.05.

Solución: usando as ecuaciones(7.10)y (7 .1 1) , la solución es:2(10) - 2(10.4)

l(2) - 2(1.1)l(10.4) - 1.1(10)

l(2) - 2(1.1)

x1 = = 4

x2 = = 3

Sin embargo, con el cambio al coeficientea21 de 1 .1a 1.05, el resulta-do cambia drásticamente a:

2(10) - 2(10.4)l(2) - 2(1.05)1 = = 8

l(10.4) - 1.05(10)l(2) - 2(1.05)2 = = 1

Nótese que la razón principal de la diferencia entrelosdos resultadoses que el denominador representa la diferencia de dos nfimeros cComo se explica previamente en l ejemplo3.4,estas diferencias sonmuysensitivas a pequeñas variacionesen losnúmeros que se están manejand

En este punto, se podría sugerir que la sustitución de los resultaen las ecuaciones originales alertaría al lector en el problema. Dnadamente, este no es el caso en sistemas mal condicionados. Lción de valores erróneos dex1 = 8 y x2 = 1 en las ecuaciones(E7.8.1)y (€7.8.2)lleva a:

8 + 2(1) = 10 = 101.1(8)+ 2(1) = 10.8 = 10.4

Por lo tanto, aunquex1 = 8 y x2 = 1 no son las soluciones reales al pblema original, la prueba de error es casi igual,lo que puede provocarel error al hacer creer que las soluciones son correctas.

Com o se hizo previamente en la sección de métodos gráficos, desarrollar una representación visual del mal condicionamiento gdo las ecuaciones(E7.8.1)y (E7.8.2)(recuérdese la figura7.2).Debidoa que las pendientes de las líneas son casi iguales, visualmente esde ver exactamente donde se intersectan. Esta dificultad. visual




cuantitativamente enlos resultados inciertos del ejem plo7.8 .Esta sición se puede caracterizar matemáticamente escribiendo lnes ensu forma general:

Dividiendo la ecuación(7.18)por a12 y la ecuación(7.19) poraZ2ydenando términos se obtienen las versiones alternativas deuna ínea ecta [x?= (pendiente)x1 + intersección].

a21 c2x1 +

a22x2 =

22

Por consiguiente, si as pendientes son casi iguales, ento

- = -ll 0 2 1

012 a22

o , multiplicandoencruz:alla22 = a21a12

que se puede expresar también com o:

alla22 - a 1 2 ~ 2 1 0 r7.

Ahora, recordando quea l l a22 - 12a21 es el determinante dtema bidimensional [Ec.( 7 . 3 ) ] , e puede obtener la conclusiónde que un sistema mal condicionado es aquel en quesu determinse aproxima a cero . En efecto, siel determinante es exactamea cero,las dos pendientes son idénticas,lo que produce de formatintao ninguna solucióno un número infinito de ellas, como edel sistema singular mostrado en afigura 7 . 2 1 y b.

Esdifícil especificarqué tan cerca debe estar el determinantede manera que indique mal condicionamiento. Esto se comhecho de queun determinante puede cambiarsu valor simplementmutiplicando unao más ecuaciones porun factor escalar sin alterar cicin. Por consiguiente, el determinante esun valor relativo que se mcon amagnitudde los coeficientes.




EJEMPLO 7.9Efecto de escalamiento en el determinante

Enunciadodelproblema:evalúeseeldeterminantede ossistemas Si-

guientes:

a) Del ejemplo 7.1:

3x1+2x2= 18 [E7.9.1]-x1 +2x2= 2 [E7.9.2

b ) Del ejemplo 7.8:x1 + 2x2= 10 [E7.9.3

1.lxl + 2x2= 10.4 [E7.9.c) Repítaseb ) multiplicando as ecuaciones por10.

Solución:a) El determinante de las ecuaciones (E7 .9 .1 )y (E 7.9 .2) que esun sis-

tema bien condicionado, es:

D = 3(2)- 2(-1)= 8

b)El determinante de las ecuaciones (E 7 .9 .3 )

y(E7.9 .4) ,que es

unsis-tema mal condicionado, es:

D = l (2)- 2(1.1)= -0.2

c ) Los resultados dea) y de b ) parecen corroborar el argumento delos sistemas mal condicionados tienen determinantes ercanSin embargo, supóngase que el sistema mal condicionadob )se multi-plicapor 10, para obtener:

10x1 + 20x2= 100

11x1+ 20x2= 104La multiplicación de una ecuación por una constante no tiene la solución. Además, aún está mal condicionado. Esto se puemultiplicando por una constante que no tenga efecto en la soluca. Sin embargo, el determinante resultamuy afectado.

D = lO(20)- 20(11)= -20

No sólo se han elevado dos órdenes de magnitud, sino que el dnante es el doble del sistema bien condicionadoa ) .




Como se ilustra en el ejemplo anterior, la magnitud de los coeficientes interpone un efecto de escalamiento que complica la relación entrela condición del sistema y el tamaño del determinante. Una manera deevitar parcialmente esta dificultad es la de escalar las ecuaciones d e foma tal que el elemento máximo de cualquier renglón sea 1.

EJEMPLO 7.1OEscalamiento

Enunciado del problema: escálense os sistemas de ecuaciones del ejem-plo 7.9 a un valor máximo de 1y calcúlense de nuevo susdeterminantes

Solución:a) En el sistema bien condicionado, el escalamiento genera

XI 0.667~2 6

-0.5x1 + x2 = 1cuyo determinante es:

l(1) - 0.667(-0.5) = 1.333

b) En el sistema mal condicionado, el escalamiento genera:

0.5X1 + X2 = 50.55~1 X = 5.2

cuyo determinante es:

0.5(1) - l(0.55) = -0.05

c ) En el último caso, e escalamiento modifica el sistema de la mismaforma que b ) . Por lo tanto, el determinante también es 0.05, y el escalamiento no afecta.

En la sección anterior (sección 7.1.2), e dijo que el determinante edifícil de evaluar para más de tres ecuaciones simultáneas. Por lo tantoparece ser que no xiste una manera práctica de determinar la condiciónde un sistema. Sin embargo, como se muestra en el recuadro 7.1, existun algoritmo simple que resulta de la eliminación gaussiana y que se pueusar en la evaluación del determinante.

Además del planteamiento usado en el ejemplo anterior para calcu-lar la condición d e un sistema, existen otras formas de hacerlo. Por ejemplo, existen métodos alternativos para la normalización de elementos (d a se




Stark, 1970).Además, como se ve en el capítulo siguiente (sección 8.2.2) ,la matriz inversa puede usarse en la evaluación de la condición de un sis-tema. Finalmente, una prueba simple (pero que consume mucho tiem-po) consiste en modificar un poco los coeficientes y repetir la solución.Si estas modificaciones generan resultados drásticamente diferentes, el sis-tema probablemente está mal condicionado.

Como se puede deducir del análisis anterior, definitivamente no exis-te un método simple para evaluar el mal condicionamiento. En la elimi-

RECUADRO7.1 Evaluaciónde determinantesusando la eliminacion gaussiana

En la sección7.1.2, e dijo que la evaluación delosde-terminantes por expansión de menores era imprácticapara conjuntos grandes de ecuaciones. De esta forma,se concluye que la regla de Cramersólo es aplicable pa-ra sistemas pequeños.Sinembargo, com o se dijo en lasección7.3.3, l determinante tiene sentido cuando va-lora a condición deun sistema. Porlo tanto, sería útilposeerun método práctico para calcular esta cantidad.

Afortunadamente, la eliminación gaussiana propor-ciona una forma simple de hacerlo.Elmétodo se basaen el hecho de que el determinante de la matriz triangu-

lar se puede calcular simplemente con el producto delos elementos desu diagonal:

D = a11a22a33 . . ann [B7.1.1]

La validez de ,esta fórmulase puede ilustrar en sistemasde 3 por 3:

en donde el determinante se puede evaluar como [re-cuérdesela ecuación(7.4)]

o, evaluando por menores (esto es ,los determinantes2 por 2).

D = a 1 1 a 2 2 m - a d o ) + a d o ) = a 1 1 a ~ ~ a 3 3

Recuérdese que el paso de eliminación progrde la eliminación gaussiana generaun sistema triangu-lar superior. Ya que el valor del determinante se pevaluar simplementeal finalde este paso:

D = a11a&a& . . . a?; ) [B7.1.2]

en dondelos superíndices indican queloselementos sehan m odificado durante el proceso de eliminació

lo tanto, se puede aprovechar el esfuerzo que se hcho al reducir el sistema asu forma triangular, y por añadidura obtener una aproximación al determinant

Hay una pequeña modificación en el planteamto anterior cuando el program a usa p ivote0 parciación7.4.2). n este caso, el determinante cambiasigno cada vez queun renglón se usa como pivotal. Umanera de representar esto es m odificando la ecu(B7.1.2):

D = alla&?a:3 . . . ak-l)(-l)p [B7.1.3]

en dondep representa el número de veces enque losrenglones se usan com o pivotales. Esta modificapuede incorporar de forma simple enun programa:úni-camente se toma en cuenta el número de pivoteose llevan a cabo durantelos c6lculosy después se usala ecuación(B7.1.3) ata evaluar el determinante.




nacióngaussiana.serecomiendaescalar el determinante comoeejemplo7.10 .Afortunadamente, la mayor parte de las ecuacibraicas obtenidas de problemas e ingeniería por naturalezabien condicionados. Además, algunas de las técnicas desarsiguiente sección ayudan a aliviar el problema.

7.4 TÉCNICASDEMEJORAMIENTO ENLAS SOLUCIONESLESsip ien tzs técnicas se pueden incorporar al algoritmo dec i h gaussiana simple para evitar algunas de las desventajas aen la sección previa.7.4.1 Uso de más cifras significativas

Elremediomássimple para el mal condicionamiento es el decifras significativas enloscálculos (compárenselos ejemplos7.5y 7.7Si la computadora tiene la capacidad de extender el tamañosignificativas aumentando el tamaño dela palabra, esta característduce mucho el problema.

7.4.2 Pivoteo

Como se dijo al principio de la sección7.3,osproblemas obvios occuandoun elemento pivotal es cero, debido al paso de normalizorigina una división por cero. Estos problemas se obtienen cmento pivotal es cercano a cero en vez de ser exactamenteloque si la magnitud del elemento pivotales pequeño comparado cootros elementos, entonces se introducen errores de redond

Porlo tanto, antes de normalizar cada englón, es ventajonar el coeficiente mayor disponible.Entonces se pueden intercamblorenglones de tal forma que el elemento mayor sea el pivotaA este mtodo se le conoce con el nombre depiuoteo parcial. Si se busca taen las columnas como en los renglones el elemento mayory se intercabian, entonces el procedimiento es depiuoteo total. Elpivoteo totalusamuyraramente en programas elementales, ya que el intecolumnas cambia el orden de lasx y , por consiguiente, aumenta laplejidad delos programas, generalmente,in justificación.Elsiguiente ejplo ilustra la ventaja del pivoteo parcial. Además de evitar lcero , el pivoteo también minimiza el error de redondeo. Cotambién com o remedio parcial almal condicionamiento.

EJEMPLO7.11Pivoteo parcial

Enunciado del problema: úsese la eliminación gaussiana pa




0.000 3x1 + 3. 00 0 0x2= 2.000 11.000 0x1 + 1.000 0x2 = 1.000 o

Nótese que en esta forma el primer elemento pivotal,a l l = 0.000 3 , esmuycercano a cero . Después repítanse los cálculos con pivote0 pero invirtiendo el orden de las ecuaciones. La solución exactax1 =1/3 y x2 = 2/3.

Solución: normalizando la primer ecuaciónse obtiene:

x1 + 10 000x2 = 6 667

la cual se puede usar para eliminarx1de la segunda ecuación:

-9 999x2 = -6 666que se puede resolver para:

x2 = 2/3

Este resultado se puede sustituir en la primer ecuacióny evaluarxl:

2 .0001 - 3(2/3)0.000 3

1 = [E7.11.1]

Sin embargo, el resultado esmuysensitivo al número de cifras signifvas ncluidas en el cálculo:

Valor absolutodel errorrelativo

Cifras porcentualsignificativas x? X1 ¿e x1

3 0.667 -3.33 1 0994 0.666 7 0.000 1O05 0.666 67 0.300 O0 106 0.666 667 0.330 O00 17 0.66666 7 0.333 O00 O o.1

Nótese que la solución parax1 depende mucho del número de cfras significativas.Esto se debe a que en la ecuación(E7.11.1)se resta-ron dos números casi iguales (recuérdese el ejemplo 3.4 ) . Por elsi se resuelven las ecuaciones en orden inverso, se normaliza econ el elemento pivotal mayor. Las ecuaciones son:



246 METODOSNUMERICOSPARANGENIEROS

1.000 Ox1 + 1.000 ox* = 1.000 o0.000 3x1 + 3.000 0x2 = 2.000 1

La normalizacióny la eliminación producex2 = 2/3. Para cantidadeferentes de cifras significativas,x1 se puede calcular de la primeración,como:

[E7.11.2

Este caso es mucho menos sensitivo al número de cifras siloscálculos:

Cifrassignificativas x2 X1

0.667 0.3330.666 7 0.333.30.666 67 0.333 330.666 667 0.333 3330.666 666 7 0.333 333

Valor absolutodel errorrelativoporcentualde x1

0.10.010.0010.000 10.000o1

De esta forma, la estrategia pivotal es mucho más satisfacto

Losprogramas de NUMERICOMP de propósitos genercopaiían este libro, incluyen a menudo una estrategia pivotalmuestraun algoritmo para implementar esta estrategia. Este prse puede integrar al de la figura7 . 4para incorporar el pivote0 palosprogramas del usuario.

7.4.3 Escalamiento

En a sección 7 .3 .3 se dedujo queel escalamiento influye en la eszación del valor del determinante. Más allá de esta aplicacutdad en la minimización deloserrores de redondeo para aquellen donde alguna de las ecuaciones deun sistema tiene unos elemmucho más grandes que otros. Estas situaciones se encuetementeen la ingeniería cuando se usan ampliamente unidates en el desarrollo de ecuaciones simultáneas. Porejemplo, en probde circuitos eléctricos,los voltajes desconocidos se pueden exp




FORTRAN BASIC

303r)? O 9 0

3 1 4 03 1 5 0

&=RPIF ( 6 - B P. G E . O . X O T O 3 0 8 U. ..I .I= IC O N T I N U EI F ( J J - K . E O . O . 0 ) C OT O3150

.. -

O 0 3 1 4 0 J - K , N l

f i ( J J , J > - R ( K , J )T E = & <J J . J )

C O N T I N U EA f K , J )=TE

C O N T I N U ERETURNEND

3 1 : 1 0 3 . m = t302hj B : AB', 1 A lI .t.. I I

3ü:xj FOR 1 = I + I TLJN3ü4<:, I W = A B S I A (I . ., )

3 0 5 . > IF P -BF' .

=- ü THEN 3ü8U: ü ad E c BF' otrasolumnasontralivotel31171'1 . I . ) = I

K = r e p r e s e n t ale n g l d ni v o t a l(Alm acen a el valor absoluto del pivote actual)

IC ic lo que compara los e lementos de a s

~ . .. .

3 0 8 o b i E xr I~C.1'90 I F J.1 -- I, * ü THLN 31503 1 1 0 I€ = A l . J. ..I1

3 1 3 ü A l b ~ d ) 1E3140 N t k l J (Sino es a s l , e s t e c i c lo

-, . (Sielivo tescog ido es el m a y o r,e n t o n c e s r e g r e s a al programaprincipal)

3150 Rtll . lFIN lntercambia los renglones1

a continuar co n la el iminacidnl(Regresa alprograma principal

FIGURA7.8 Programa en FORTRAN y BASICpara implementar el pivoteo parcial.

unidades que varían desde microvolts hasta kilovolts. Se puedetrar ejemplos similares en todososcampos de la ingehiqría. Mientrasca-da una de las ecuaciones sea consistente, técnicamentd el sistcorrectoy tendrá solución.Sin embargo, el uso de unidades complmente diferentes puede generar coeficientes de magnitudes quampliamente entresí. Esto puede tenerun impacto sobre el error dere-dondeo ya que afecta al pivoteo, como se puedeverenelsiguienteejemplo.

EJEMPLO7.12Efectos del escalamientoen el pivoteoy el redondeo

Enunciado del problema:a ) Resuélvase el siguiente conjunto de ecuaciones usando la eli

gaussianay la estrategia del pivoteo:

2x1 + 100 000x2 = 100 O00

x1 + x2 = 2

b ) Repítase la solución anterior después de escalar las ecuacionforma que el coeficiente máximo en cada renglón sea1. En amboscasos, reténgansesólo tres cifras significativas. Nótese que las rtas correctas sonx1 = 1.O00 02 y x2 = 0.999 98 o, con tres cifrassignificativas,x1 = x2 = 1.00.



248 MÉTODOSNUMÉRICOS PARA INGENIER

Solución:a) Sin escalar,, se aplica aeliminaciónhaciaadelante y se obtiene

2x1 + 100 000x2 = 100 O00

-50 000x2 = -50 O00

que epuede esolverpor ustituciónhacia atrás, para obtenex:, = 1.00

x1 = 0.00Aunquex2es correcta,x1 tieneun 100% de error debido al redeo.

b ) El escalamiento ransforma as ecuaciones originales e

0.000 02x1 + x2 = 1

x1 + x2 = 2Por lo tanto, se debe aplicar el pivote0 alosrenglonesy colocar elvalor mayor sobre a diagonal.

IC1 + x:, = 20.00002x1 + x2 = 1

La eliminación hacia adelante genera:

x1 +x2 = 2x1 = 1.00


~

~

x1 = x:, = 1

~ De esta forma, el escalamientoproduceunarespuesta correcta.

AI gual que enel ejemplo anterior, el escalamiento aquí tienpara minimizarloserrores de redondeo. Sin embargo, se debeel escalamiento mismo lleva implícitoun error de redondeo.Por ejemplo, dada la ecuación:

2x1 + 300 OOOXZ= 1

y usando tres cifras significativas, el escalamiento produce

0.000 006 67x1 + x2 = 1





250 METODOSUMERICOS PARAINGENIERO

Si estos resultados se sustituyen en a ecuación (7 .2 1) da ccuencia el siguiente sistema:

Ahora aecuación (7 .2 2) se puederestarde la ecuación (7 .2 4obtener:

allAxl + a12Ax2 + * * + alnAx, = c1 - El = El

azlAxl + a22Ax2 + * * + az,Ax, = c~ - E 2 = € 2

[7.2

anlAxl + ~ ~ ~ 2 6 x 2* + a,,Ax,, = c, - E, = E,

Este sistema ensímismo esun conjunto de ecuaciones lineales neasque se puede resolver obteniendo con ellolosfactores de corción.Estos factores se pueden aplicar para mejorar la solución por a ecuación(7 .23) .

EJEMPLO 7.13Uso de las ecuaciones de error para corregirlos de redondeo

Enunciado del problema: recuérdese que en el ejemplo 7 .7

minación gaussiana con tres cifras significativas para resoh

0 .1~1 7x2- 0 . 3 ~ 3 -19.3.

O.3X1 - 0.2~2 10x3 71.4

Debidoalnúmero imitadodecifrassignificativas, asolucióndifieredela verdadera(x1 = 3 , x2 = -2.5, x3 = 7) en:



ELlMlNAClON 25 1

x1 = 3.17 E, 5.7%x2 = -2.51 E , = 0.4%x3 = 7.02 E , = 0.29%

Úsense las ecuaciones del error para refinar estas aproximacio

Solución: la sustitución de las soluciones en el conjunto originaciones produce el vector de términos independientes:

[elT [8.36 -19.4 71.71

que no es igual al valor real. Porlo tanto, se puede desarrollarun vectorde error:

Ahora, se puede generarun conjunto de ecuaciones error[Ec.(7.25)]:

3AX1 - 0.1Ax2 - 0.2Axs = -0.51O.lAx1 + 7AX2 - 0.3Ax3 = 0.1O.3Ax1 - 0.2A~2+ 1OAx3 = -0.3

que se puede resolver (usando tres cifras significativas de formexista consistencia con el problema original), para obtener:

[AX]' = [-0.1710.015 7 -0.02461

loscuales se pueden usar para corregir las soluciones, dando:

XI = 3.17 - 0.171 = 3.00x2 = -2.51 + 0.015 7 -2.49x3 = 7 O2 - 0.024 6 = 7.00

que se aproximanmuchomás a la solución verdadera

Ecuaciones del error en los programas. Se pueden integrar las ecuaciones del error enlos programas de la eliminación gaussiana. En lara 7.9se delineaun algoritmo que realiza esta tarea. Nótese que hacermásefectiva la corrección de sistemas altamente mal cond



252 MÉTODOS NUMÉRICOSPARA INGENIE

FIGURA7.9 Algor itmo de eliminación gaussiana que ncluye corrección de errores.

dos, lasE en la ecuación(7.25)se deben expresar en aritmética dprecisión. Esto se hace fácilmente en FORTRAN pero en amentaciones de BASIC no es posible hacerlo.

7.5 RESUMEN

En resumen, este capítulo se ha dedicado a la eliminaciónmétodo fundamentalen la solución de sistemas de cuaciones alineales. Aunque ésta es una de las técnicas más antiguas dpara este propósito, aún esun algoritmomuyefectivo en la obtenc

soluciones de muchos problemas de ingeniería. Además deutilidapráctica, proporcionaun contexto enel estudio general de temas tcomoloserrores de redondeo, escalamientoy condicionamiento

Las respuestas que se obtienen mediante el método degaussiana se pueden verificar sustituyéndolas en las ecuaciles. Sin embargo, esto no siempre representa una prueba csistema está mal condicionado.Por lo tanto, si se sospecha deun errde redondeo, entonces se debe calcular alguna medida detal comoe ldeterminante del sistema scalado.Dosopciones que amran los errores de redondeo son el uso del pivote0 parcialy el uso




más cifras significativas en los cálculos. Si el problema parece ser sustan-cial, la corrección de errores (sección 7.4.4) se puede usar algunas vecespara mejorar la solución.

Existen otros planteamientos y variaciones de la eliminación gaussia-

na para satisfacer las necesidades particulares. Por ejemplo, como se ex-plica en el recuadro 7.2 ,se puede formular una versión muy eficientede la eliminación gaussiana para sistemas tridiagonales. El capítulo 8 seencarga de mostrar dos métodos diferentes, el de Gauss-Jordan y Gauss-Seidei.

RECUADRO7.2 Sistemas de ban da: el casotridiagonal

Una matriz banda es una matriz cuadrada que tiene todos soluciones en diferencias finitas de ecuacus elementos iguales a cero , con excepción de una ban- les parciales. Además hay otros métodos

da centrada sobre la diagonal principal (recuérdeseIll. 1). como la interpolación cúbica segmentaria (sección11.4)En el caso en que el ancho de banda es3, a lamatriz se que requieren la solución de sistemas tridiagone conoce con un nombre especial:matriz t r id iagonal .Los Un sistema ridiagonal es aquél en el quelos coefi-istemas tridiagonales se encuentran frecuentemente en cientes están ordenados en orma tridiaga cienciay en la ingeniería. Porlo general resultan de las

d3X2 + e3x3 + f3x4

Nótese que se ha cambiado la notación delos coeficien-es del sistema tridiagonal de lasa y lasc a lasd , e , f y. Esto se hizo para evitar el almacenamiento de cantida-

des grandes de ceros en la matriz dea. Esta modificaciónque ahorra espacio, esmuyventajosa ya que el algoritmoresultante requiere menos espacio en memoria.

Como era de esperarse,los sistemas bandados sepue-den resolver con una técnica similar a la eliminación gaus-siana.Sin embargo, debido a la estructuraúnicadel

I O

" - "

FORTRAN c

sistema,la implementación del algoritmo de la elimingaussiana se puede simplificar muchoy las soluciones seobtienen deuna maneramuy eficiente. Para el sistemtridiagonallospasos de eliminación progresivase simplifi-can ya que la mayor parte desus elementos son cero. Eseguida las incógnitas restantes se evalúan por sushacia atrás.El algoritmo completo se expresa de foconcisa enlosprogramas siguientes:



254 MÉTODOSNUMÉRICOS PARAINGENIERO


7.1 Escríbase el siguiente conjunto de ecuaciones ennotaciónmatricial:

Escríbase la transpuesta de la matriz.

7.2 Algunasmatrices se definen com o:

1 5 6

4 0 5[Al = [ 1 3 1 [Bl = [;; ]3 1

[C = [a]5 4 3 6

[GI = [ 8 6 41

Respóndase a las siguientes preguntas de acuerdo alas matrices anterioro) ¿Cuáles son as dimensiones de lasmatrices?b) Identifíquense asmatrices cuadradas, columnay renglón.c) Cuáles sonlosvalores deloselementos:

012 b23 d32 e22 112 912

d) Efectúense lassiguientes operaciones

7.3 Se definenresmatrices como:

a) Efectúense todas lasmultiplicacionesposibles que se pueden llevar

b) Usese el método del recuadro 111.2 para justificar por qué laseptre parejas de estas matrices.

tes no se pueden multiplicar




7.4

7.5

7.6

7.7

7.8

c) Úsenselos resultados dea) e ilústresepor qué es importanteelorden delas multiplicaciones.

Úsese el método gráfico para resolver:

4x1 - 6x2 = " 2 2

-xl + 12x2 = 58

verifíquenselos resultados sustituyéndolos enlas ecuaciones originales

Dado el sistema de ecuaciones:

o.75X1 + xp = 14.25

1 . 1 ~ ~1 . 6 ~ ~22.1

a) Resuélvase gráficamente.b) En base a la solución grAfica, qué se espera acerca de la condición c) Resuélvase por eliminación de incógnitas.d ) Verifíquense las respuestas sustituyéndolasen las ecuaciones originales.

Para el conjunto de ecuaciones:

a) Calcúleses u determinante.b) Usese la regla de Cramery resuélvase para lasx.c) Sustitúyanselosresultados en la ecuación originaly compruébenselosmismos.

Dadas las ecuaciones:

0 . 5 ~ 1 2 = -9.5

0 . 2 8 ~ 1 - 0 . 5 ~ 2 = -4.72

a) Resuélvanse gráficamente.b) Después de escalarse, calcúlesesu determinante.c) En base aa) y b) ¿qué se puede esperar de la condicióndelsistema?d ) Resuélvanse poreliminación de incógnitas.e ) Resuélvanse otra vez, pero modificandoal l a 0.55. Interprétenselosresul-

tados de acuerdo al análisis de mal condicionamiento de la secci7.1.1 .

Dado el sistema

"12x1 + x2 - 7x3 = -80

x1 - 6x2 + 4x3 = 13

-2x1 - 2 + = 92



256 MÉTODOS NUMÉRICOS PARAINGENIERO

a) Resuélvase con elusode la eliminación gaussiana simple. Muéstr

b) Sustitúyanselos resultados en as ecuaciones originalesy compruébenslospasos delos cálculos.

respuestas

7.9 úsese la eliminación gaussiana para resolver:

4x, + 5x2 - 6x,{ = 28

ZX, - 7x3= 29

- 5 ~ 1 - 8x2 = -64

Empléeseel pivoteo parcialy compruébense las respuestas sustituyéndecuaciones originales.

7.10 Úsese la eliminación gaussiana para resolver:

3x2 - 13~,$ -50

Zx, - 6x2 + x:( = 44

4x, + 8x,: = 4

Empléese el pivoteo parcial. Compruébense las respuestas sustituecuaciones originales.

7.11 Repítase el ejemplo 7.6 con el coeficiente de rozamiento al do

7.12 Resuélvase el siguiente istema ridiagonal:

5x, + 4x2 = 25

4x, - 3x, + 7x,3 = 3

x2 - 6 x 3 + 4x4 = 17

12x,,+ 2x, = 36

7.13 Efectúenselos mismos cálculos del ejemplo 7 .6 , pero usando cincocon as siguientes características:

Paracaidista Masa, kg Coeficientes de rozamiento, kgls

1 60 152 80 143 75 184 75 125 90 10

Losparacaidistas tienen una velocidad de10 m / s




Problemas para resolver con una computadora

7.14

7.15

7.16

7.17

7-18

7.19

7.20

7.21

7.22

Escríbaseun programa general para multiplicar dos matrices, esto es ,[ X ]= [y] l

donde[X] s m por n y [ l es n por p. Pruébese elprogramausando

Escríbaseun programa que genere la transpuesta de una matriz. Pruébe

Reprográm ese la figura 7 . 4 de tal forma que sea más legible al usuariocosas:

a) Intégrese la igura 7 . 8 al programa de tal forma que éste realice p

b) Documéntese el programa para identificar cada sección.c) Etiquétese la entraday la salida.d ) Escálense las ecuaciones de talforma que el coeficiente mayor en cad

parcial.

renglón sea1. Calcúlese el determinante como una medidade a condi-cióndelsistema (opcional).

Pruébese el programa desarrollado en el problema 7 .16 duplicandolos cálculosdel ejemplo 7.5y 7 . 6 .Úsese el programa desarrollado en el problema 7 . 1 6y repítanselosproblemas7. 8 al 7.11.

Repítanselosproblemas 7. 1 7y 7 .1 8 usandolosprogramas de NUMERICOMdisponibles con el texto. Usese también NUMERICOMP para realizarde error para cada problema.

Desarróllese un programa para sistemas tridiagonales legibles al usuariy basán-dose en el recuadro 7. 2.

Pruébese el programa desarrollado en el problema 7 . 2 0 resolviendo e7 .12.

Resuélvase el problema 7. 13 usandolosprogramas desarrollados en el proble7 .16.





C A P í T U L OO C H O

GAUSS-JORDAN

INVERSIóN DEMATRICESYGAUSS-SEIDEL

En estecapítulo se describendosmétodosadicionalespara esolver

ecuaciones lineales simultáneas.Elprimero de ellos, el método de GauJordan esmuysimilar al de la eliminación gaussiana.El motivo principalpara introducir esta técnica, estriba en que proporcionauna forma simpley conveniente de calcularla inversa de una matriz. La inversa tieneungran númerodeaplicaciones ena ingeniería.Estemétodo ambiénproporcionalosmedios para evaluar la condición deun sistema.

El segundo de ellos, el método de Gauss-Seidel es fundamediferente al deeliminacióngaussiana y al de Gauss-Jordan porque un método deaproximaciones iteratiuas. Estoes, empleaun valor inicialy mediante iteraciones obtiene na aproximación más exacta a laEl método de Gauss-Seidel se adapta,en particular a grandes sistemade ecuaciones. En estos casos,los métodosdeeliminaciónestán su-jetos alos errores de redondeo. Ya que elerrorenelmétodo deGauss-Seidel se puede controlar mediante el número de iteracloserrores de redondeo no tienen quever con esta técnica. Sin embargo ciertos casos en que el método de Gauss-Seidel no converge a lacorrecta. Se discuten en las siguientes páginas estosy otros elementosde uicio para escoger entre la eliminacióny losmetodos iterativos.

8.1 MÉTODODEGAUSS-JORDAN

El método de Gauss-Jordan es una variación de la eliminación gLa principal diferencia consiste en que el método de Gauss-Jordse elimina una incógnita nosólose elimina de las ecuaciones siguiensino de todas las otras ecuaciones. De esta forma, el paso de elgenera una matriz dentidad en vez deuna matriztriangular (Fig.8.1).Por consiguiente,no es necesario emplear la sustitución hacia atrásobtener la solución. El método se ilustra mejor conun ejemplo.



260 MÉTODOSNUMÉRICOS PARAINGENIE

FIGURA8 . 1 Esquema gráfico del método de Gauss-Jordan. Compárese con la figura7.3 y nótese la diferencia entre este método y el de eliminación gaussiana.LOSasteriscos ndican que el vector de términos ndependientes se hamodificado varias veces.

EJEMPLO8.1Método de Gauss-Jordan

Enunciado del problema: úsese el método de Gauss-Jordan para resol-ver el mismo sistema del ejemplo 7.5:

3x1 - 0.1~2 0 . 2 ~ 37.85

0.1~1 7x2 - 0 . 3 ~ 3 -19.3

0 . 3 ~ 1 0.2~2 10x3 = 71.4

Soluci6n: en primer lugar, se expresan los coeficientes y el vector de téminos independientes como una matriz aumentada:

[ o s3 -0.1 -0.2

7 -0.3 -19.30.3 -0.2 10 71.4

En seguida se normaliza el primer renglón dividiéndolo por el pivote 3para obtener:



AUSS-JORDAN,VERSld N DE MATRICESY GAUSS-SEIDEL 26 1

1 -0.033 333 3 -0.066 666 7 I 2.616 670.1 7 -0.3 I -19.30.3 -0.20 71.4 1

El términox1se puede eliminar del segundo rengón restando0.1 ve-ces el primerodelsegundorenglón. Deuna manerasimilar,restando0.3 veces el primero del tercer renglón se elimina el término conx1 deltercer renglón:

[

[ O "0.190 O00 10.020 o ~ 70.615 O 1

1 -0.033 333 3 -0.066 666 7 2.616 67O 7.00330.293 333 -19.561 7O -0.190 O00 10.020 O ~ 70.615 O 1

En seguida, se normaliza el segundo renglón dividiendolo entre7.003 33:

1 -0.033 333 3 -0.066 666 7 ~ 2.61667-0.041 884 8 1 "2.793 20

Reduciendo ostérminos enx2 de laprimera y la tercera ecuación seobtiene:

1 O -0.068 062 9 2.523 5 6 1

O 1 -0.041 884 8~

-2.793 20o o 10.012 o 70.084 3

El tercer renglón se normaliza dividiéndolo entre10.012 O :

1 O -0.068 062 91 2.523 56O 1 -0.041 884 81 -2.793O 0 1

Finalmente,los términos conx3 se pueden reducir de a primeray se-gunda zcuación para obtener:

1 o o ~3.000 O0

O 1 O 2.500 O 1O O 1 ~ 7.000 03 1

De esta form a, como se muestra en la figura8.1: a matriz de coeficientesse ha transformado en la matriz identidady la soluciónse ha obtenidoen el vector de términos independientes. Nótese que no e necestución hacia atrás para obtener la solución.





UIlu¡ss0

1.2 Di(?Imeí.dan,

cial.

'O(SI

irad 0in

madepi-



264 MÉTODOS NUMÉRICOSPARAINGENIE

FIGURA8.3 Esquema gráfico del método e Gauss-Jordan, con inversión de matrices.

Con el método de Gauss-Jordan se puede calcular diinversa. Para hacerlo, la matriz de coeficientes se aumentriz identidad (Fig.8.3).Posteriormente se aplicael método de GJordan para reducir a matriz de coeficientesa la matriz identidad. se completa esta tarea, el lado derecho de la matriz aumelamatriz inversa. Esta técnica se lustraenel ejemplo siguiente

EJEMPLO 8.2E luso del método de Gauss-Jordan en el cálculo de la matriz inver

Enunciado del problema: determínese la matriz inversa del en el ejemplo7.5. Obténgase la solución multiplicando[ A ]1Por eltor de términos ndependientes:[CIT = [ 7.85 -19.3 71.4 1.Ademobténgase la solución paraun vector de términos independientes[CIT= [20 50 151.

Solución: aum éntese la matriz de coeficientes con una m

3 -0.1 -0.2 1 o o0.3 -0.2 10 j O O 1

-0.3 O 1 O]

Usandoa l l como pivote, el renglón 1 se normalizay se usa para enar ax1 de los otros renglones

1 -0.033 333 3 -0.066 666 7 0.333 333O 7.003 33 -0.293 333 1-0.033 333 3

o-0.190 O00 10.020

o~ -0.09999

o 1



GAUSS-JORDAN, INVERSldN DEATRICES Y GAUSS-SEIDEL 265

En seguida, se usaaZ2 omo pivotey xp se elimina de los otros renglo

1 O -0.068057 , 0.33375.0043929 0O 1 -0.041 06 1 ~ -0.004 39 3 .142 180o o 10.0121 -0.1000.02714 O 1

Finalmente, se usaa33 como pivotey x3 se elimina delosrenglones restantes:

1 O O 0.33289.004227.006983

0 0 1 "0.010 077 9 0.002 698 6 .099 880 1 11 O -0.005 164 4.142 293 0.00483 46

Por lo tanto, la nversa es:

0.332 489 0.004 922 97 0.006 798 13-0.005 164 4 0.142 293 0.004 183 46"0.010 077 9 0.002 698 16 0.099 880 1

Ahora, la inversa se multiplica por el primer vector de términ

dientes, obteniendo la solución:x1 = 7.85 (0.332 489)- 19.3(0.004 922 97)+ 71.4(0.006 798 13)

= 3.000 411 81x2 = 7.85(-0.005 164 4)- 19.3(0.142 293)+ 71.4(0.004 183 46)

- .488 096 40x3 = 7.85(-0.010 077 9)- 19.3(0.002 698 16)+ 71.4(0.099880 1)

= 7.000 25314

La segunda solución, simplemente se obtiene realizando otraciones, como:

x1 = 20(0.332489)+ 50(0.00492297)+ 15(0.006 798 13)= 6.997 900 45

x2 = í O(-0.005 164 4)+ 50(0.142 293)+ 15(0.004 183 46)= 7.074 113 9

X3 = 20(-0.010 O779) + 50(0.002 698 16)+ 15(0.099880 1)= 1.431 55150




8.2 .1 Cálculos estírnulo-respuesta

Como se dijo en a secciónIII.1.2,muchos delossistemas lineales

ecuaciones usados en ingeniería se derivan de las leyes de cLa expresión matemática de estas leyes esun tipo de ecuaciónes dlance que asegura que se conserve una propiedad en particufuerza, calor, momentou otras. En el equilibrio de fuerzas de untura, las propiedades pueden tener componentes horizontaly verticles de las fuerzas que actúan sobre cada nodo de la estructucaso de estudio9.3).Paraun balancede masas, las propiedades puser la masa en cada reactor deun proceso químico. Existen ejemmilaresen otros campos de la ingeniería.

Se puede escribir una ecuación simple de balance para calas partes del sistema, generandoun conjunto de ecuaciones que del comportamiento del sistema completo. Estas ecuacionescionano se acoplan de manera que cada ecuación ncluye uno máde las variables de las otras ecuaciones.En muchas ocasiones,lossistmas son lineales,y por lo tanto, de a forma exacta que se ha en este capítulo:

Ahora, en ecuaciones de balance,lostérminos dela ecuación(8.2tienen interpretación física definida. Por ejem plo,loselementos- de[X

representanlos

valores de las variables que se están equilibracada una de las partes del sistema. En el equilibrio de fuertructura, representan las fuerzas verticalesy horizontales de cada mbro. En el balance de masas, son las masas de sustancia químuno delos reactores. En cualquier caso, representan las respuo estados del sistema que está tratando de determinar.

El vector[ C ] de términos independientes contiene aquellotos del balance que son independientes del comportamientosistemesto es, son constantes. Como tales, representan las fuerzaolos estímulos que manejan al sistema.

Finalmente, la matriz[ A ] de coeficientes contiene, en generalosparámetros que expresancom o interactúa el sistemao su acoplamientoconsiguiente, la ecuación(8.2)se puede reexpresar com o:

[Iteraciones] [respuestas]= [estímulos]

Ahora, como se ha visto en este capítulo, existen muchas fsolver la ecuación(8.2).Sin embargo, elusode amatriz nversa levaa un resultado particularmente interesante. La solución form(8.1se puede expresar como:



GAUSS-JORDAN,RS16N YGAUSS-SEIDEL 267

o (recordando a definición de multiplicaci6n matricial del recu11.2):

De esta forma, se ha encontrado que la matriz invertida mismade proporcionar una solución, tiene propiedadesmuyútiles. Esto es, cada uno de sus elementos representa la respuesta de una parte sisistema aun estímulo unitario en cualquier parte del mismo.

Nótese que estas formulaciones son linealesy , porlo tanto, se cum-ple la superposicióny la proporcionalidad. La superposición indicsiun sistema está sujeto a varios estímulos diferentes (las c), las respues-tas se pueden calcular individualmentey sumarselosresultados para ob-tener la respuesta total. La proporcionalidad indica que si se mel estímulo por una cantidad genera una respuesta respecto al multiplicadapor amisma cantidad.Deesta forma, el coeficientealles una constante deproporcionalidadqueproporcionaelvalorde x1debido al nivel un'ttariocl. Este resultado es independiente delosefectosde c2 y c3 sobrexl, los cuales se reflejan sobrea A 1 2 a A 1 3espectiva-mente. Por lo tanto, se puede llegar a la conclusión general delementoa - l l j de la matriz invertida representa el valor dex1 debido ala

cantidad unitaria decj. Usando el ejemplo de la estructura, el elemaAg e la matriz inversa representa la fuerza en el miembroi debido a unafuerza externa individual en el nodo.j . Aun para sistemas pequeños,loscomportamientos de las interacciones estímulo respuesta indison obvios. Porlo que, la matriz inversa proporciona una técnica ppara comprender las interrelaciones de partes componentes decomplicados. Esta potencia se demuestra enel caso de estudio9.3.

8.2.2 La inversa y el malcondicionamiento

Además de sus aplicaciones a la ingeniería, la inversa también suna manera de discernir cuandolossistemas están mal condicionadExisten tres métodos para este propósito:

1. Escalar lamatriz decoeficientes[ A ] ,de alformaqueel elementomayor en cada renglón sea1. Si los elementos de[ A ]-' on variasórdenes de magnitud más grandes que los elementos de lmatrizoriginal, entonces probablemente ésta esté mal condicion

2. Multiplicar a nversa por a matriz de coeficientes originaly estimarsi el resultado se encuentra cerca de la matriz identidad. Sitá, entonces haymal condicionamiento.




3 . Invertir la matriz invertiday estimar siel resultado estálo suficienmente cerca de la matriz original. Si nolo está , nuevamente elma está mal condicionado.

8.2.3Algoritmo para la inversión matricial

El algoritmo de la figura 8 . 2 se puede modificar para calcuinversa. Esto mplica, aumentar lamatriz de coeficientes con una identidadal principio del programa. Adem ás, alguno delos indices qmanejanun ciclo se debe aumentar al doble para queloscálculos seven a cabo en todas las columnas de la matriz de coeficient

Si se incorpora el pivote0 parcial en el algoritmo de Gentonces se requieren algunas modificaciones adicionales. a que cada vez queun renglón de lamatrizusa un pivote, la columde lamatriz inversa se debe ajustar de forma similar.

La figura8.4 ilustra este fenómeno. Por ejemplo si el rengl3 se ucomo pivoteo se mueve a la posiciónentre los renglones 1y 2 , smodifica también el “significado”“interpretación” del renglón de linvertida. En vez de indicar el efecto deuncambio unitario dec2 sobre x, se debe indicar el efecto deun cambio unitario dec3 sobre lasx.

Además de las características anteriores, el programa depara que calcule las soluciones deun gran número de vectores denos independientes, como se menciona al principio de la se8:2.Esse puede llevar a cabo, simplemente colocandoun ciclo después decular la matriz inversa. Este ciclo puede llevar a usarun vector detérmnos independientes, puede entoncesmultiplicarse por la matriz[ A ]-’pra obtener la solución. El procedimiento se continúa hasta indique que no requiere más soluciones.

FIGURA8.4 Esquema gráfico del cambio que se produce en los elementos de la matrizinversa resultante al mover un renglón de a matriz de coeficientes.

8.3 MÉTODO DEGAUSS-SEIDEL

Losmétodos de eliminación directa analizados en las seccse pueden usar para resolver aproximadamente de 2 5a 50 ecuaciolineales simultáneas. Esta cantidad veces se puede aumen



GAUSS-JORDAN,VERS16N DEMATRICES Y GAUSS-SEIDEL 269

ma está bien condicionado, si se emplea la estrategia pivotalas ecuaciones del erroro si amatriz es disprsa. Sin embargo, da loserroresde redondeo, losmétodos de eliminaciónalgunas vece

son inadecuados para sistemasmuygrandes. En este tipo de problsepuedenusar os métodos iterativoso deaproximaciónconalgunaventaja.

En el capítulo5 se usan tipos similares de técnicas para obtende una ecuacion. Aquellos planteamientos consisten en el usoun va-lor nicial a partirdel cual, mediante una técnica sistemática se una mejor aproximación a la raíz. Debido a que en esta partse enfrentaun problema similar "la obtención de valores para ssimultáneamenteun conjunto de ecuacionesse espera que puútiles tales métodos de aproximación dentro de este contex

La razón por la cual los métodos iterativos son útiles en ladisminu-ción deloserrores de redondeo en sistemas, se debe a queun métodode aproximación se puede continuar hasta que converja dentrona tolerancia de error previamente specificada. De esta formdeo no esun problema, ya que se controla el nivel de error a

El método de Gauss - eidel es el método iterativo más usado.Supón-gase que se ha dadoun conjunto den ecuaciones:

si loselementos de la diagonal son diferentes de cero, la primer

se puede resolver parax l , la segunda parax2,etcétera, lo que lleva

[8.3a]

[8.3b]

[8.3c]

cn - anlxl - an2x2 - * -X" = an,n-&-1

[8.3d]ann

Ahora, se puede empezar el proceso de solución usandoun valorini-cial para as x . La solución trivial puede servir de valor inicialtodas lasx valen cero. Estos ceros se puedenustituir en la ecuación(8 .3a ) ,que se puede usar para calcularun nuevo valor dex1 = c1 / a l l . Lue-go, se sustituye el nuevo valor dex l , conx3, ..,x,, aun en cero, en aecuación(8.3b) on la cual se calculaun nuevo valor dex2. Este procesose repite en cada una de las ecuaciones hasta llegar la ecua(8 .3d)



270 MÉTODOS NUMÉRICOSPARA INGENIER

la cual calcula u n nuevo valorde x,. En seguida se regresa a la primeraecuación y se repite todo el proceso hasta que la solución converja bas-tante cerca de los valores reales. La convergencia se puede verificar usandoel criterio [recuérdese la ecuación (3.5)]:

- .

E . =a,1 I x{ 100% < Es ~8.4

para toda i en donde j y j - 1 denotan la iteración actual y la anterior

EJEMPLO 8.3Método de Gauss-Seidel

Enunciado del problema: úsese el método de Gauss-Seidel y resuélvaseel sistema del ejemplo 7.5 y 8.1:

3x1 - 0 .1~2 0 . 2 ~ 3 7.850 . 1 ~ 1 7x2 - O.3X3 = -19.3

0.3~1 0 . 2 ~ 2 10x3 = 71.4

Recuerdese que la solución real es x1 = 3, x2 = -2.5 y x? = 7 .

Solución: en primer lugar. se despejan cada una de las variables sobrela diagonal:

7.85 + 0.1~2 0 .2~33

x1 =

-19.3 - 0 . 1 ~ 1x2 =

771.4 - 0.3~1 0 . 2 ~ 2

103 =

[E8.3

[E8.3

[E8.3

Suponiendo que x2 y x3 son cero, la ecuación (E8.3.1) puede usarsepara calcular:

7.853

1 = - 2.616 666 667

Este valor, unto on el de = O , puede sustituirse en la ecuación(E8.3.2) obteniendo:

-19.3 - 0.1(2.616 666 667)+ O="2,794 523 810x2 =

7



GAUSS-JORDAN,NVERSIóN DEATRICES Y GAUSS-SEIDEL 27 1

La primera iteración se completa sustituyendolosvalores dex I y x2cal-culadosen a ecuación( E8. 3. 3) , bteniendo:

71. 4 - 0. 3(2. 616 666 667) 0. 2( 2. 794 523 10)103 =

= 7. 005 609 524

En a segunda iteración, se repiteelmismo proceso obteniendo:

7. 85 + 0. 1( - 2. 794 523 810) 0. 2(7. 005 609 524)31 =

= 2. 990 556 508) e u (= 0. 31%

- 19. 3 - O l (Z. 990 556 508) 0. 3( 7. 005 609 524)72 =

= - 2. 499 624 684 E = 0. 015%

71. 4 - 0. 3(2. 990 556 508) 0. 2( - 2. 499 624 684)x3 =

10= 7. 000 290 81 ~ v l 0. 004 2%

El método, porlo tanto, converge a la solución real. Para mejorso-luciones se deben aplicar algunas iteraciones mds. Sin embargoproblema, no se debería saber la respuesta a priori. Por consecuación(8.4)proporcionaun medioparaestimarelerror:

2. 990 556 508 2. 616 666 667€0, I = 2. 990 556 508

100 = 12. 5%

- 2. 499 624 684 ( - 2. 794 523 10)- 2. 499 624 684,2 = 100 = 11. 8%

-u, J

7. 000 9011 *""

7. 000 290 811 7. 005 609 5246 ) = = 0. 076%

Nótese que, al igual que cuando se determinan raíces de una la formulaciones tales com o la ecuación( 8. 4) , n general dan una evluación conservadora de la convergencia. De esta manera, cfun-cionan, aseguranqueelresultadoseconozca al menos dentrode latolerancia especificada porE,.




Nótese que el método d e Gauss-Seidel, a medida que se alcula un nue-vo valor x, este mismo se usa inmediatamente en la siguiente ecuaciónque a su vezdetermina una nueva x. De esta forma, si la solución es con-vergente, se emplea la mejor aproximación posible. Un planteamiento di-

ferente, al cual se le conoce como iteración d e Jacobi, usa una tácticaun poco diferente. En vez de usar el Qltimo valor calculado de las x, usala ecuación (8.3)para calcular un nuevo valor de x en base a la aproxi-mación anterior de las x. De esta forma, al generar un nuevo valor n ose usa de inmediato sino que se almacena para la siguiente iteración.

La diferencia entre los métodos de Gauss-Seidel y la iteración de Jacobi se muestra en la figura 8.5.Aunque existen algunos casos en dondeel método de Jacobi converge más rápido, l uso de la Gltima aproxima-ción disponible convierte al método de Gauss-Seidel en el método pre-ferido.

8.3.1 Criterios de con verg enc ia en el métododeGauss-Seidel

Nótese que el método de Gauss-Seidel es similar en proceso al métodosimple de iteración de punto fijo usado en la sección 5.1 en la soluciónde raíces de una ecuación. Recuérdese que la iteración de punto fijo tie-ne dos problemas fundamentales: l ) algunas veces no converge y 2)cuar.-do lo hace, e s a menudo, muy lento. Elmétodo de Gauss-Seidel ambiénpuede tener estas fallas.

FIGURA8.5 Esquema gráfico de la diferencia entre a) el método de Gauss-Seidel yb) e l metodo de teración deJacobi, en la solución de ecuacionesalgebraicas lineales simultáneas.



G A U S S - J O R D A N ,R S I ó N Y GAUSS-SEIDEL 273

Una condición de convergencia es que los coeficientes sobre la dia-cJonal de cada una de as ecuaciones sea mayor que la suma de los otroscoeficientes en la ecuación. Una expresión cuantitativa de este criterio es:

I b i r l = - w J L , I ~3.51

En donde la sumatoria varía desde j = 1 hasta n , excluyendo j = i . Laecuación (8.5)es u n criterio de convergencia suficiente pero no necesa-rio. Esto es, aunque el método trabaje algunas veces sin que la ecuación(8.5) e cumpla, se garantiza la convergencia siempre y cuando (8.5) ise cumpla. A los sistemas donde se cumple la ecuación (8.5) e les cono-ce como diagonalmente dominantes.Afortunadamente, muchos proble-mas de ingeniería de importancia práctica llenan este requisito.

8.3.2.Mejoramiento en a convergencia usando relajación

La relajaciónrepresenta una pequeña modificación del método de Gauss-Seidel y está diseñada para aumentar la Convergencia. Después que ca-da nuevo valor de x se calcula usando la ecuación (8 .3 ) , l valor se mo-difica mediante un promedio pesado de los resultados de las iteracionesanteriores y actuales:

X , n U e L o- AX,nueL 'o+ (1 ~ ) x , ~ a s a ~ ~ o P .61

en donde Xes u n factor de peso al cual se le asigna un valor entre-O y 2.Si X = 1, (1 - X ) es igual a cero y el resultado permanece inaltera-

do. Sin embargo, si a X se le asigna un valor entre O y 1, el resultadoes un promedio pesado de los resultados previos y actuales. A este tipode modificación se le conoce como sobrerrelajación.Por lo general, estaopción se emplea para onvertir un sistema divergente en uno convergente.

Si Xse encuentra entre 1 y 2 se considera otro peso en el valor actual..En este ejemplo, existe una suposición implicita de que el nuevo valorse mueve en la dirección correcta hacia la solución real pero con una ve-locidad m u ylenta. De esta forma, el peso agregado a X intenta mejorarla aproximación empujándola hacia la real. Por lo que este tipo de modi-ficación, al cual se le llama sobrerrelajación,está diseñado para acelerarla convergencia de un sistema que ya es convergente.

La elección de u n valor adecuado de Xes un problema altamente es-pecífico y a menudo se determina por prueba y error. En general es ine-cesario en la solución de un sistema. Sinembargo, si el sistema bajo estudiose va a resolver varias veces, entonces puede ser de gran importancia unabuena elección de X.Algunos ejemplos son los sistemas m u ygrandes deecuaciones diferenciales parciales que a menudo ratan de modelar cam-bios en sistemas de variable continua (recuérdese el sistema a rnicroesca-la mostrado en la figura 1II.lb).El segundo caso de estudio del capítulo9 muestra un ejemplo del empleo de la relajación dentro de un contextode problemas de ingeniería.





FIGURA8.6 Diagramade fluiodel método deGauss-Seidel con rela-jación.

275




PROBLEMASCálculos a Mano

8.1

8.2

8.3

8.4

8.5

8.6

8.7

8.8

8.9

Úsese el método de Gauss-Jordan para resolver el problema7 . 6Determínese la matriz inversa del problema7.6.Compruébenselosresultadosmtiplicando [A] por A]"y obténgase lamatriz identidad.

Usando el método de Gauss-Jordan, repítase el problema 7.9

Determínese la matriz inversa del problema7 .9 .Compruébenselosresultadorificando que [A][A]"= [ ] . Evítese eluso de la estrategia del pivo

Usando el método de Gauss-Jordan, con pivoteo parcial, calcúmatriz

versa del problema7.10 .Ordenando la inversa de tal forma, quelos rengly las columnas conformen a secuencia de la matriz original anteriola figura8.4 y el análisis de la sección8.2.3).

Úsese el método de Gauss-Jordan para resolver:

10x1 - 3x2 + 6x3 = 24.5

1x1 + 8x2 - 2x3 = -9

"2x1 + 4x2 - 9x3 -50

Determínese lamatriz inversa del problema8.6. Úsese la inversa para reel problema original así como para resolver el caso adicional ende términos independientes es[CIT [110 55 - 1051.

Resuélvaseel problema8.6 usando el método de Gauss-Seidel conun criterparo delE, = 10 % .

Resuélvase el problema 7 . 8 usando el método de Gauss-Seidel un criterparo delt , = 10 % .

- 6 ~ 1 12x3= 60

4x1 - x2 - x3 = -26x1 + 8x2 = 4 4



AUSS-JORDAN, INVERSldN DEATRICES Y GAUSS-SEIDEL 277

8.12 Resuélvase el siguiente conjunto de ecuaciones:

usandoa) eliminación gaussiana,b ) el método de Gauss-Jordany c) el métodode Gauss-Seidel(es = 5 % ) .

8.13 Resuélvase el siguientesistema de ecuaciones:

usandoa) eliminación gaussiana,b ) el método de Gauss-Jordany C) el métodode Gauss-Seidel(E, = 5 % ) .


8.14 Desarrólleseun programa amable con el usuario para el método de Gauss-Jobasado en la figura 8 .2 . Agrégueseu n esquema similar al mostrado en la figu

7 . 1 0 empleando pivoteo parcial.8.15 Pruébese el programa del problema anterior duplicandoloscálculos del ejemplo 8 . 1

8.16 Repítanselosproblemas 7 .6y 7 .8 hasta el 7 .1 1 usandolos programas desarrolla-dos enel problema 8 .1 4 .

8.17 Desarrólleseun programa amable con el usuario para el método de Gauss-Jcon inversión de matricesy pivoteo parcial. Inclúyanse dentro del programa características sugeridas en la sección 8 . 2 . 3 .

8.18 Repítanselos problemas 8.5y 8.7 usandolosprogramas desarrolladosen el pro-blema anterior.

8.19 Desarrólleseun programa amablecon el usuario para el método de Gauss-Seidbasado en la figura8.6.Hágase de tal forma que compruebe el criterio de cogencia expresado por la ecuación (8 .5 ) . Además, inclúyase relajación la ecuación(8.6).

8.20 Pruébese el programa desarrollado en el problema anterior usandoun duplicadodel ejemplo8.3.

8.21 Usando el programa del problema8.19,repítanselos problemas8.8hasta el8.11.





C A P í T U L OU E V ECASOSDE LAPARTE TRES:

SISTEMASDE ECUACIONES

ALGEBRAICALINEALES

El propósito de este capítulo, es el de usar los procedimientos aen los capítulos7 y 8 en la solución de sistemas de ecuaciones algecas lineales en algunas aplicaciones de ingeniería. Estos métodosricossistemáticos,son de importanciapráctica ya que los ngenierosencuentran frecuentemente problemas que implican la solución mas de ecuaciones demasiado grandes para resolverse a m ano.Losal-goritmos numéricos son particularmente convenientes en estas aya que pueden implementarse en microcomputadoras.

Entre otras cosas, los casos de estudio se han elaborado de que proporcionen ilustraciones reales de las características yfacimportancia mencionados en los capítulos teóricos. Por ejemplocaso9.1 muestra una ilustración simple de ómo usar las ecuaciones acas lineales para satisfacer de forma simultánea cierta cantidad condi-ciones independientes.Adem ás, se usa ectecasode estudio para mostrala utilidad de la matriz inversa como una herramienta analítica, dcontexto de estos problemas. Aunquee ha tomado este ejemplo el campo de la ingeniería general, la idea básica tiene importancia en uvariedad de contextos técnicosy analíticos.

Elcaso 9.2, tomado de la ingeniería química, esun ejemplo deunsistema de variable continua(o microvariable).Elcaso de estudio ilustracómo se pueden emplear las diferencias finitas en la transformaecuaciones diferenciales en algebraicas. Al hacerlo así, se puelos métodos de solución desarrollados en los capítulos7 y 8 y obtener

las soluciones. Aunque el ejemplo pertenece a la predicción de turas en sólidos, se utiliza el planteamiento general para simularbución continua de muchas otras variables de la ingeniería talesvelocidad, lafuerza y la masa.

En contraste, los casos9.3, 9.4 y 9.5 analizan sistemas de variabldiscreta(o macrovariable). Elcaso 9.3 hace hincapié en el uso de la mtrizinversa en la determinación del com plejo de las reacciones acargas a una estructura. Elcaso 9.4 es un ejemplo deluso de las leyesde Kirchhoff en el cálculo de corrientesy voltajes enun circuito de resis-




tencias. Finalmente, elcaso 9.5 muestra cómo se emplean lasnes lineales para determinar la dinámica de partículasy cuerpos ríg

CASO9.1 DISTRIBUCIóN DE RECURSOS INGENIERíAENGENERAL)

Antecedentes: todosloscampos de la ingeniería enfrentan situlas que la distribución correcta de recursos esun problema criticosituaciones se presentan al organizar inventarios de constbución de productosy recursos en la ingeniería. Aunquelosproblesiguientes tienen que ver con la fabricación de productosneral tiene importancia enun amplio panorama de otros proble

Un ingeniero ndustrialsupervisa aproduccióndecuatro iposde

computadoras. Se requieren cuatro clases de recursos -hometales, plásticosy componentes electrónicos- en la produccuadro9.1 se resumen las cantidades necesarias para cada urecursos en a producción de cada tipo de computadora.diariamente de504 horas-hombre,1970kg de metal,970 kg de pláy 601 componentes electrónicos, ¿cuántas computadoras se pueden construir por día?.

Solución: la cantidad total producida de cada computadogida al total de recursos disponibles en cada categoría diarecursos totales se distribuyen entrelos cuatro tipos de computad

Seaxl, x,, x,, x4 a cantidad total de computadoras produriamente de cada clase. Se sabe que la cantidad total dedisponibles diariamente es de504. Porlo tanto, la suma de las diciones de horas-hombre en la producción de cada una de doras debe ser menoro igual que504. Por lo tanto (usandolos dadel cuadro9.l),

3x1+4x2 + 7x3 +20x4 5 504 r9

De amisma manera paralos metales, plásticosy componentes:

20x1 +25x2 + 40x3 + 50x4 5 197010x1 + 15x2 +20x3 + 22x4 5 970loxl +8x2 + lox3 + 15x4 5 601

Cada una de estas ecuaciones se debe satisfacer de formotra manera, se acabaría unoo más de los recursos necesarios ducción de los cuatro tipos de computadoras. Siosrecursos disporepresentadospor el vectorde érminos ndependientesde las ecciones anteriores, se reducen todos a cero simultáneamen



CASOS DELAARTE TRES:SISTEMASECUACIONESLGEBRAICASINEALES 281

CUADRO 9.1 Recursos necesarios para producir cuatro tipos de computadoras

Horas/etales Plásticosomponen-hombre, kglcompu- kglcompu- tes, unida-

Compu- kglcompu- tadora adora deslcompu-

tadora

1 3 20002 4 255 a3 7 40 2004 20 50 225

puede reemplazar el signo menor o igual por el de igual. En este caso,la cantidad total de cada ipo de computadora producida se puede calcu-lar resolviendo un sistema de. ecuaciones de 4 por 4 usando los métodos

de los capítulos 7 y 8.Ya que este sistema no es diagonalmente dominante, el método deGauss-Seidel puede divergir. Sin embargo, se puede aplicar la elimina-ción gaussiana o el método de Gauss-Jordan calcular:

x1 = 10x2 = 12x3 = 18

= 15

Esta información se usa en el cálculo de las ganancias totales. Por ejem-plo, supóngase que las ganancias correspondientes a cada computadoraestán dadas por p1 ,p2 , 3 , p4. La ganancia total asociada con un díade actividad (P) stá dada por

p = PlXl + P2X2 + P3X3 + P4x1 P.51

Se sustituyen los resultados de x, 10,x2 12,x, = 18 y x4= 15en la ecuación (9.5)y se calcula una ganancia de (usando los coeficien-tes del cuadro 9.2) :

P = 1 O O O ( l 0 )+ 700 (12) + 1 lOO(18) + 400(15) = 44 200

CUADRO 9 . 2 Ganancias correspondientes a cadauna de las cuatro computadoras.

Computadora $ I computadora

123

Ganancias

1 O00700

1 100



282 MÉTODOS NUMERICOS PARAINGENIEROS

De esta forma, se puede obtener una ganancia de$ 4 4 200 diarios, closrecursos especificados enel problema.

Ahora, supóngasequeexiste laposibilidad de aumentarcualquira delos recursos disponibles.Un objetivo es el de valorar qué recurdeben escoger de tal forma que generen la mayor ganancia. Unde hacerlo es el de incrementar cada uno de los cuatro recursomente, calcular as gananciasy posteriormente compararlosresultado

Una alternativamássimple se basa enla matriz inversa, que se pcalcular usando el método de Gauss-Jordan, como:

[0.081 7 0.039 -0.146 5 0.191 8

[A] = 0.106 -0.225 6 0.408 5 0.010 7-0.136 8 0.172 8 "0.190 9 -0.113 7

0.088 8 -0.021 3 0.007 1 0.008

Cada uno deloselementosa i j ~ 'ndica el crecimiento en la compui debido al crecimiento unitario del recursoj. Por ejemplo, el elemalyl especificaun incremento unitario de0.039 6 de la computadora1 cuado se agregaun kilogramo de metal. Nótese que algunos deloscoeficienson negativos, indicando queun incremento unitario en algunos recja aproduccióndeesetipodecomputadora.

Ahora, con esta información como antecedente, se puedea cabun evaluación rápida sobrelos beneficios obtenidos al incremenunode losrecursos multiplicandoloselementos de cada columnaganancia unitaria del cuadro9.2.Por ejemplo, en la primera co

API = -0.081 7 ( 1000) + 0.106 6(700) - 0.136 8(1 100)+0.088 8(400) = -122.04

en dondeA Pj es el incremento en ganancias debido aun incremenal recurso. De esta forma,un incremento unitario en horas-homen $122.04 las ganancias. Se pueden llevar a cabo cálculos ssobre los otros recursos, para obtener:

Ap2= $ 63.24

A% = $-67.70

AP4 = $ 77.78De esta forma,un incremento de componentes0'= 4 genera una maganancia, seguida por el aumento enlosmetales0 = 2). El análisisindca también queun incremento en los plásticos0' = 3) genera pérdi

Elproblema anterior es una variación del análisis generalnomía conocido cornomodelo de ent rada-sa l ida .Este ejemplo, dide la aplicación clásica de esta técnica en la cuantificación cia de material entrelossectores de a econom ía.Sinembargo, elUSde la matriz inversa profundiza en interacciones complejas nealesy esmuyrepresentativo del proceso del modelo de entr



CASOS DEA ECUA CIONES ALGEBRA ICASINEALES 283

Como tal, ayuda a ilustrar cómo los métodos numéricos aumenta com-prensión al manejar sistemas acoplados muy grandes.

CASO9 . 2 CALCULODEDISTRIBUCIóNDETEMPERATURAS(INGENIERíA QUíMICA)

Antecedentes: la mayor parte de los diferentes campos de la inmanejan distribuciones de temperatura en materiales sólidos. Eblemas son tan variadoscomola distribución de temperatura enun conode proareentrantey la temperatura deun río bajo una planta de energproductora de hielo. La distribución de temperatura en estado srio bidimensional se define por la ecuación de Laplace:

a2T a2T- + - = oax2 ay2~9.61

en dondeT s la temperaturay x y y son las coordenadas. Las derivadde la ecuación(9.6) e aproximan usando diferencias finitas (véase lción3.5.4).La figura9.1muestra una malla bidimensional, squemaútilen las aproximaciones desarrolladas para la ecuación (9 .6 ) . Lamaciones por diferencias divididas de las derivadas son:

aT AT ? ;+ l , j - T.,- " -dxxx

y de manera similar,

En seguida, suponiendo queA x = A y , la ecuación de Laplace se pude aproximar como:

T + ,j + T - , , + T j + 1 + T,j - 1 - 4T,j = O P . 1

la cual es aplicable a cada nodoi , j de la figura9.1. Parece ser que alaplicar la ecuación (9 .7 ) a cada nodo resultaun sistema de ecuacionesacopladas, ya que la temperatura en varias posiciones aparecede una ecuación. Esto produceun sistema de ecuaciones algebraicali-neales simultáneas, que se pueden resolver usandolos métodos descri-tos en los capítulos 7y 8 .

Considérese la placa plana de la figura9.2 Loslados de la placa semantienen a temperaturas constantes deO" y looo C ,comose muestra




FIGURA9.1 Malla bidimensional que se usa en el desarrollo de aproximaciones por diferenciasfinitas de a temperatura sobre una placa plana.

FIGURA9.2 Placa plana en donde se mantienen los iodos a temperaturas constantes de O y100°C, como se indica en la figura.



CASOSDELAARTE TRES:SISTEMASE ECUAC IONES ALGEBRAICASINEALES 285

en la figura. La distribución de la temperatura dentro de la placade aproximar en nueve puntos internos aplicando la ecuación dce en cada punto.Esto genera el siguiente conjunto de ecuacionesen notación matricial:

- 4 1 0 1 0 0 0 0 01 - 4 1 0 1 0 0 0 00 1 - 4 0 0 1 0 0 01 0 0 - 4 1 0 1 0 0o 1 o 1 - 4 1 o 1 o0 0 1 0 1 - 4 0 0 10 0 0 1 0 0 - 4 1 00 0 0 0 1 0 1 - 4 1

L o o o o o 1 o 1 - 4

T 2

T3

T 2 i IT2223 ITH

- 100- 100-200

OO

- 100OO

- 100

Solución: se observa que el sistema resultantede ecuaciones es diagonalmente dominantey ,porlotanto, compatible con el método de GSeidel del capítulo8. En este caso, se garantizala convergencia ya quse satisface la ecuación(8.5).Se asegura también exactitud ya queloserrores de redondeo no son problema en el método de Gauss-Sdo unaE , = 0.05% después de13 iteraciones se obtienenlosresultadossiguientes:

FIGURA9.3 Distribución de la temperatura sobre una placa plana, calculada con el método deGauss-Seidel.





CASOSE TRES:SISTEMASECUACIONESLGEBRAICASINEALES 287

d n

dA192A - 236

El mínimo se encuentra cuandod n / d h es cero, lo cual lleva al pundonde la pendiente de la figura9.4 es nula. En este caso, se deterun valor deh = 1.23Volviendo a realizar los cálculos con estecoeficiente de relajación se obtiene la solución en sólo ocho iteracio

De esta form a, si se van a realizar más cálculos para este pen particular, se debeemplearunavalorde h = 1.2para alcanzar los resultados más eficientes.En este caso, el ahorro de po enun solo cálculo es despreciable. Sin embargo, en la simulmúl-tiple de sistemas grandes, la elección acertada deh posiblemente redituahorros sustanciales.

Este tipo de procedimiento e puede extender a problemasplejos que incluyen esquemas geométricos irregulares. Los proticos de este tipo requieren algunas capacidades de cálculo aupero, excepto en casos de sistemas extremadamente grandemi-crocomputadora llenará todos los requisitos.

CASO9.3 ANALISISDE U N A ARMADURAESTATICAMENDETERMINADA (INGENIERíA CIVIL)Antecedentes:un problema de importancia en ingeniería estructuel de encontrar las fuerzasy reacciones asociadas con una armadutáticamente determinada. La figura9.5 muestraun ejemplo de tales amaduras.

FIGURA9.5 Fuerzas que actuán obre unaarmadura estáticarnente determinada.




Las fuerzasF ) representanya sea las tensioneso las compresiode loselementos de a estructura. Las reacciones externas(H2 V2 V,)son fuerzas que caracterizan cóm o interacciona la armadu

perficie que la soporta.Elgozne del nodo2puede transmitir fuerzazontalesy verticales a la superficie, mientras que l rodillo del 3 sóltransmite fuerzas verticales. Se observa que el efecto de la de 1O00 kg se distribuye a todoslos elementos de la armaduraSolución: este tipo de estructuras se pueden describir comun sistemde ecuaciones algebraicas lineales acopladas. Enla figura9.6 se muetranlosdiagramas de cuerpo libre sobre cada nodo. La sumazas en las direcciones verticaly horizontal debe ser cero en cadaya que el sistema se encuentra en reposo. Porlo tanto, para el nodo1

XFV = O = -Fl en30"- F3sen60"+F1," P.9

para el nodo2:

XFv = O = Flsen30" + Fz, + VZ [9.11

para el nodo3:

XFv = O = F3sen 60"+F3, + V3 [9.13

FIGURA9.6 Diagramas de cuerpo libre en los nodos de la armadura estáticamente determinada.



CASOS TRES:SISTEMASECUACIONESLGEBRAICASINEALES 289

en dondeFj ,hes la fuerza horizontal externa aplicada al nodoi (una fuer-za positiva va de izquierda a derecha)y F;, es la fuerza vertical exteraplicada al nodoi (una fuerza positiva va de arriba hacia abajo). Dmanera, en este problem a, la fuerza hacia abajo de 1O00 kg sobre el no-do 1 corresponde aF,, = - 1 000. En este caso las uerzasrestantesFj,v,F;,hon cero. Nótese que la dirección de las fuerzasy reaccionesinter-nas son desconocidas. La aplicación correcta de la segunda leytonequiereGnicamentequeasuposicioneselacionadas onasdirecciones sean consistentes. Si las direccioneso se toman correctamententonces la solución será negativa. También nótese que en esma las fuerzas de todos los elementos se supone que están ey que actúan jalando a la vez alosnodos adyacentes. Este problempuede escribir como el siguiente sistema de seis ecuaciones cin-cógnitas: -

0.866 O -0.5 O 0 00.5 O 0.866 O O O

-0.866 -1 O -1 o o-0 .5 O 0 o -1 o

O 1 0.5 O 0 0O O -0.866 O O -1

Nótese que, como se formula en la ecuación(9.14),

i O -

- 1000

- 0o E9.141

J

parcial para evitar divisiones porcero sobre los elementos de la diagEmpleando una estrategia de pivoteo, el sistema se puede reso

do las técnicas de eliminación analizadas enlos capítulos 7y 8. Sin em-bargo, debido a queesteproblemaes un caso deestudio dealparademostrar la utilidad de la matriz inversa, seusa el método de Gauss-Jorpara obtener:

y lamatriz nversa es:

[A]-1=

0.866 0.5 O 0 0 0

0.25 -0.433 O O 1 O- .5 0.866 O O O O-1 O -1 o -1 o-0.433 -0.25 O -1 O O

0.4330.75 O O O - 1

se requiere-pivote

Ahora, supóngase que el vector de términos independientes rlas fuerzas horizontalesy verticales aplicadas externamente a cada ncomo:




Debido a que las fuerzas externas no tienen efecto sobre a matriz de coeficientes, el método de Gauss-Jordan no se necesita implementar una y otrvez para analizar el efecto de las fuerzas externas diferentes sobre la ar-madura. En vez de esto, todo lo que se tiene que hacer es multiplicarla matriz inversa por cada uno de os vectores de términos independien-tes para obtener soluciones alternativas diferentes. Por ejemplo, podríadesearse estudiar el efecto de las fuerzas horizontales producidas por elviento que sopla de izquierda a derecha. Si la fuerza eólica se puede representar como dos fuerzas puntuales de 1 O00 kg cada una sobre lonodos 1 y 2 (Fig. 9 . 7 ) ,entonces el vector de términos independientes es:

[Vector de términos independiente^]^= [1 O00 O 1 O00 O O O]

que se puede multiplicar por la matriz inversa para dar:

Fl = 866 F 2 = 250 F3 = -500H* = -2000 v2 = -433 v. = 433

Para un viento de derecha, Fj ,h = - 000, F3,h = - 000, y todas lademás fuerzas externas son cero, resultando:

FI = -866 F2 = -1250 F3 500H, = 2000 v = 433 v, = -433

Losresultados indican que los vientos han tenido marcados efectos dife-rentes sobre la estructura. Ambos casos se muestran en la figura 9.7Los elementos individuales de la matriz invertida tienen también utilidad

directa en el esclarecimiento de las interacciones carga-respuesta de la es-tructura. Cada uno de los elementos representa el cambio de una de lasvariables hacia un cambio unitario de uno de las cargas externas. Por ejem-plo, e] elemento a G 1 indica que la tercera incógnita F3) cambiará 0.86

FIGURA9.7 Dos casos de carga que muestran a) vientos de izquierda y b) vientos de derecha.



CASOSE 29 1

debido a la carga unitaria de la segunda carga externaF1,”) . e esta for-ma, si a carga vertical en el primer nodo se aumenta en uno, eF3se incrementa en0.866.Elhecho de quelos elementos sean ceroin-

dica que ciertas incógnitaspermanecen inalteradas por alguna de lasgas externas. Por ejemplo,a = O significaque F , no ealteraporcambios enFZ,h .Esta habilidad de aislar interacciones tiene una cande aplicaciones en a ingeniería incluyendo la identificación de componentes que son más sensibles a las cargas externasy, por lo tantoestán más propensos a la falla.El planteamiento anterior vienea ser particularmenteútilcuando se apli-ca a estructuras com plejas. En la práctica de la ingenieria puedtarse la solución de estructuras con cientoso tal vez miles de elem entoestructurales. Las ecuaciones lineales son una herramientaútilen la com-prensión del comportamiento de estas estructuras.

CASO9.4 CORRIENTES YVOLTAJES EN CIRCUITOS RESISTIVOS(INGENIERíA ELÉCTRICA)

Antecedentes:un problema común en la ingeniería eléctrica es aqueimplica la determinación de corrientesy voltajes en varias posiciones

ley de corriente de Kirchhoffy la ley de Ohm . La ley de la corriente dque la suma algebraica de todas las corrientes sobreun nodo debe sercero (Fig.9 .8a) , o

l Nodo i , circuitos complejos deesistencias. Estos problemas se resuelvenon la” I .

‘2

Cik = O [9.16]

en donde todas las corrientes que entran al nodo tienen signo pa)

Y R f 1: Laeyehmice que la corriente a travésenaesistenciastá’ ” , *- dada enunciónelambio de voltajey de la resistencia (Fig.9.8b),

‘i

b)

FIGURA9.8 Represen-

ación esquemática de la)ley de la corriente deKirchhoff y b)ley e Ohm.

3 R = l O R 2 R = 5 Rv, = 200 v

R = 5 n

&= o vR = l 5 R R = 2 0 R 6

[9.17]

FIGURA9.9 Solución delcircuito de una resistencia usando ecuaciones algebraicas lineales sirnul-táneas.




3 2 1

154 6 5c -4 5 6

FIGURA9.10 Direcciones en las cuales se supone que circula la corriente.

Solución: los problemas de este tipo generan sistemas de gebraicas lineales simultáneas ya que los ciclos dentro deun circuitotán acoplados conlosotros. Por ejemplo, considérese el circuiten la figura9.9.Se desconoce la magnitudy la dirección de las coasociadas con este circuito. Esto no presenta gran dificultadplemente se supone una dirección para cada corriente.S la soluciónsultante de la ley de Kirchhoff es negativa, entonces la direincorrecta. Por ejemplo, la figura9.10 muestra las corrientes sup

Dadas estas ecuaciones, las cuatro ecuaciones de las cocada nodo están dadas por:

iI2+ + = O

i& - is2 - .54 = oi43 - 32 = oi54 - 43 = O

y las seis ecuaciones del voltaje com o:

200 - v, . v 5 - v4 . v5 - v,= 5 154 -

15 152 = -10

en donde la corriente fluye del voltaje más alto al más bajciones son equivalentes a la siguiente notación matricial:

1 1 0 0 0 1 0 0 0 0o o 0 - 1 1 - 1 o o o o0 - 1 1 0 0 0 0 0 0 00 0 - 1 1 0 0 0 0 0 00 1 0 o O 0 o 1 - 1 o o5 0 0 0 0 0 1 0 0 00 0 5 0 0 0 0 1 - 1 0O O 0 1 5 0 O 0 O 1 - 10 0 0 0 2 0 0 0 0 0 1o o o O 0 1 0 1 o 0 - 1

IOOOO

= oZOO

OOOO



ASOS 293

V= 153.85 i ’ = 69.23V= 200

: c 8

li = 146.15 I /= 123.08V=O

FIGURA9.1 1 Solución de voltajes y corrientes obtenidos usando un método de eliminación.

que representaun sistema de 10 ecuaciones con 10 incógnitas. Aes impráctico resolver este sistema a m ano, se puede resolver usandoun método de eliminación tal como la eliminación gausoel método de Gauss-Jordan. De esta manera, la solución es:

i12 = 6.153 8 ¡a = -6 .1538 V4= 146.15¡32 = -1 .5385 i52 = -4 .6154 V, = 123.08

iS4= -1 .5385 V 3 = 153.85i43 = - 1.538 5 V 2 = 169.23

Porlo tanto, con una interpretación apropiada de los signos enlosresul-tados, la figura9.11 muestra las corrientesy losvoltajes en el circuito.Evidentemente se obtendrían mayores ventajas si se usaran a

numéricosy microcornputadoras en este problema.

CASO9.5 DINÁMICADE PARTíCULASYCUERPOS RíGIDOS

FIGURA 9.12Tres bloquesconectados porcuerdos de pe-so despreciablesobre un planoinclinado.

(INGENIERíAMECANICA)Antecedentes: la dinámica del movimiento de partículas deloscuerposrígidos juegaun papelmuyimportante en muchos problemasde mecáni-ca y otros campos de la ingeniería. Este movimiento se puede demediante las leyes de Newton. La aplicación de las leyese Newton parapartículas simples genera dos ecuaciones. Sin embargo, si algunculas del sistema afectan a otras, entoncesse puede generarun grannú-mero de ecuaciones simultáneas.

Por ejemplo, considérese el sistema mostrado en la figura 9 .1tres bloques atados por una cuerda e peso despreciable apoyaduna superficie lisa inclinada 45O respecto a la horizontal. El code fricción entre el planoy la masa de100 kg es de 0 .2 5y entre las ma-sas de50 y 2 0kg es de 0.375.

Solución: enla figura 9 .1 3 se muestranlos diagramas de cuerpo libre delos tres bloques. Las unidades de las fuerzas son newtons (kilogr



294 MÉTODOS NUMÉRICOS PARAINGENIERO

T R

100 X 9.8 = 980 50 x 9.8 = 490 20 X 9.8 = 196

FIGURA9.13 Diagramas de cuerpo libre para los bloques sobre un plano nclinado.

metro por segundo al cuadrado), m es la masa en kilogramos yes la aceleración en metros por segundo al cuadrado. Sumando fuerzasen direcciónparalela al plano y usando la segunda ley de Newto(F = m a ) ,

692.96 - 173.24 - T = lOOa346.48 - 129.93 + T - R = 50a

138.59 - 51.97 + R = 2 0 ~

o. en forma matricial:

Resolviendo este sistema con eliminación gaussiana, se obtiene:

a = 4.840 5 m/s2

T = 36.667 1 NR = 10.190 6 N

El expresar las ecuaciones del movimiento en forma matricialun planteamiento general y adaptableparaproblemas de este tipAunque el problema que se resolvió aquí fue fácil, el caso de estudisirve para ilustrar el planteamiento general e inspirar, al menosesose espera. las aplicaciones a problemas más difíciles. Cuando se jutan con un método umérico y unamicrocomputadora, son unherramientamuy útil que epuede usaren una granvariedad dproblemas omplejos.



ASOS DEECUACIONESLGEBRAICASINEALES 295

PROBLEMASIngeniería en gen eral

9.1 Repítanselos cálculos del caso9.1 usandolos programas propios.

9.2 Efectúenselos mismos cálculos del caso9.1, cambiando los totales de horas-hombre, metales, plásticosy componentes a856 h, 3 050 kg, 1 450 kg y 948unidades respectivamente.

9.3 Un ingeniero supervisa la producción de tres tipos de automóviles.Se requierentres clases de materiales "metal, plásticoy caucho- para la producción. Lacantidad necesaria para producir cada automóvil es de

A u t o - Metalr Plirtiro, C a u c h o rm ó v i l kglauto kglauto k g l a u t o

1 1500 25 1O02 1700 33 1203 1900 42 160

Sise dispone deun total de 10 6 toneladas de metal, 2 .1 7 toneladas de ply 8.2 oneladas de caucho diariamente, ¿cuántos automóviles se pueden ppor día?.

9.4 Un ingeniero requiere4 800 m3de arena,5 810 m3de grava inay 5 690 m 3de grava gruesa para la construcción deun proyecto. Existen tres bancos dondse pueden obtener estos materiales. La composición en cada banco es

~~~

B a n c o A r e n a G r a v a i n a , G r a v aTO 010 010 g r u e s a O/o

banco 1 52 30banco 2 200banco 3 250

183055

¿Cuántos metros cúbicos se debe tomar de cada banco para cumplir con dades del ingeniero?

Ingeniería química

9.5 Repítanselos cálculos del caso9 .2con los programas propios.

9 . 6 Efectúenselosmismos cálculos del caso 9 .2 cambiando la temperatura de la 200°C.




9.7 Usando el mismo planteamiento del caso9.2,calcúlese ladistribución de temtura en una varilla calentada en ambos extrem os, como se muestra Aplíquese la forma unidimensional de la ecuación(9.6):

d 2 T

d x 2- _ _ - - 0

en dondex es la distanciaa lo largo de lavarilla. GrafíqueseT ontrax.

FIGURAP9.7 Una varillaunidimensionalse mantieneoisladoa u n a temperaturaconstante enextremos.Lospuntos indicanlas posiciones en donde debe aplicarse la founmensionalde la ecuaciól( 9 . 6 )para calcularla distribuciónde la temperaturaalargode la varilla.

9.8 Repítase el problema 9 . 7 incluyendounapérdida de caloren la ecuación

en donder es el coeficiente de pérdida de calor, igual a0.01 cm-’ la longde lavarilla es de10 cm. GrafiqueseT ontrax .

9.9 La figuraP9.9muestra tres reactores ligadospor tubos.Como se puede velocidad de transferencia de sustancias químicas a través delostubos es iguaavelocidad deflujo (Q, con unidades de metros cúbicos por segundo) por la concentración del reactor del cual surge elflujo (c. con unidades de mmos por metro cúbico).Si el sistema es estacionario, la transferencia etor balancea la transferencia de salida. Por ejemplo. enel reactor1. (entrad(salida),o:

500 + Q21C2 = Q12C1 + Q 1 3 ~ 1

o , usando las velocidades deflujo especificadas como en la igura€ 9 . 9 :

500 + 2 0 ~ 2 8 0 ~ 1 4 0 ~ 1

en donde500 es una entrada directa (miligramosporsegundo). Desarróllenciones de balance de masas comparables para cada uno delosotros reactoresuélvanse las tres ecuaciones algebraicas lineales simultáneas pción en los reactores.



CASOSE L APARTERES:ISTEMASE ECUA CIONES ALGEBRAICASINEALES 297

FIGURAP9.9 Tres reactores igados por ubos. La velocidad de transferencia de masa a lo largode cada tubo es gual al producto delfluioQ y la concentración c delreactor dondese origina el fluio.

9.10 Empleando el mismo planteamiento básico del problema 9.9, determínese la con-centración de cloruro en cada uno de los Grandes Lagos con la información dela figura P9.10.

Ingeniería civil

9.11 Repítanse los cálculos del caso 9.3 con los programas propios.




9.12 Efectúenselosmismos cálculos del caso9.3 ambiando el ángulo del nodo2 a 40y el del nodo3 a 55”.II

i9.13 Efectúenselosmismos dálculos del caso9.3, on la estructura mostrada enla fig

45 45 ra P9.13...~. . . I 9.14 Efectúenselosmismos cálculos del caso9.3, on la estructura de la figuraP9.14

FIGURA P9.13.50080

FIGURA P9.14.


9.15 Repítanseloscálculos del caso9.4, sando losprogramas propios.

9.16 Efectúenselosmismos cálculos del caso9.4, ambiando la resistencia entrelosndos 3 y 4 a 15 Q y cambiando el voltajeV6 a 50 V .

9.17 Efectúenselos mismos cálculos del caso9.4. on el circuito mostrado en lfiguP9.17.

FIGURAP9.18.



CASOS DEA ECUA CIONES ALGEBRAICASINEALES 2 9 9


9.19

9.20

9.2 1

9.22

9.23

Repítanselos cálculos del caso9.5, usandolosprogramas propios.

Efectúenselosmismos cálculos del caso 9 . 5 , cambiando el ángulo a 55Oa la horizontal.

Efectúenselosmismos cálculos del caso 9.5, cambiando el coeficiente dde la masa de100 kg a 0 .5y el de las masas de50 y 2 5kg a 0 .25 .

Efectúenselos mismos cálculos del caso 9 .5 , cambiando las masas de100, 50 y2 0 kg a 4 5 , 2 0y 80 kg, respectivamente.

Efectúenselosmismos cálculos del caso 9 .5 , para el sistema mostrado enP9.23.

9.24 Efectúenselosmismos cálculos del caso 9 .5 , con el sistema mostrado en13 figuraP9.24.(losángulosson de 45').

9.25 Léanse todosloscasos del capítulo 9. En base a la lecturay a la experiencia elabórenselospropios casos en cualquier campo de la ingeniería. Esto puede modificaro reexpresar alguno de ellos; sin embargo, pueden ser también tte originales. Comolosejemplos de este libro, se deben inspirar en el contela ingenieríay se debe demostrar elusode los métodos numéricos para solucionsistemas de ecuaciones algebraicas lineales. Escríbanselos resultados usandoloscasos de este capítulo como modelos.

FIGURAP9.24.





EP[LOGO:PARTEIll

111.4 ELEMENTOS DEJUICIOEn el cuadro111.2se muestra un resumen delos ele-

mentos de juicio implicados enla solución de ecuacio-nes algebraicas lineales simultáneas. Hay tres métodográfico, regla de Cramery manipulación algebraicaque están limitadas a pocas ecuaciones(n ) y porlo tanto tienen poca utilidad práctica en la solución dproblemas. Sin embargo, estas técnicas son herramietas didácticas muy útiles en la comprensión del comportamiento de sistemas ineales en general.

Losmétodos numéricos mismos se dividen en dos catgorías generales: métodos exactos y métodos aproxmados. Como su nombrelo indica, los primerosobtienen soluciones exactas.Sin embargo, ya que seven afectados porlos errores de redondeo, en algu-nas ocasiones ofrecen resultados erróneos. La magntud del error de redondeo varía de sistema a sistemy depende de una serie de factores. Estos incluyen ldimensiones del sistema, su condición ys i la matriz decoeficientes es dispersao completa. Además, la preci-sión de la computadora influye en el error de redodeo. En general, se escogenlos métodos exactos pa raresolver pocas ecuaciones (esto es, aquellos sistemasmenores de50 ecuaciones).

Se usan omúnmente dos métodos; la eliminacióngaussianay el método de Gaus-Jordan. Se recomien

da emplearaestrategia de pivote0en ualquierimplementación que se haga de estos métodos sobreuna computadora. Co n la ayuda de esta estrategia,los errores de redondeo disminuyen y se evitan problemas como la división por cero. Aunque en todoslosdemás sentidos son iguales, la eliminación gaussianaes preferible a Gauss-Jordan, ya que la primera es u50%más ráp ida . Sin em bargo, el método de GausJordan sigue siendo útil ya que se puede modificar upoco de manera que e pueda obtener la matriz invsa como beneficio adicional enlos cálculos.

Aunquelos métodos de eliminación tienen una granti-lidad , el uso de toda la matriz de coeficientes puedeser un factor lirnitante cuando e trata de sistemas mugrandes y dispersos. Esto se debe a que grandes pociones de memoria en la computadora deben almacnar ceros sin sentido. Para sistemas en formae banda,existen métodos disponibles para la implementación dla eliminación gaussiana sin tener que almacenar la triz de coeficientes completa. En el recuadro.2 sedes-




UCC.-E-

m



EPíLOGO PARTE l l 303

UOo

Ue,

2

Ou)

N

Ou) O

OO

-a,

a,o?ul

VI3s




cribe un algoritmo muy simple para llevar a cabo lo anterior en sistemas es-peciale s con forma de banda; el caso tridiagonal.

AI método que se describe en este libro se le conoce con el nombre de Gauss-Seidel. Es diferente del método exacto en cuanto a que éste emplea un es-quema iterativo en la obtención progresiva de aproximaciones más cerca-nas a la solución. Por lo tanto, el efecto del redondeo es un punto discutibledentro del método de Gauss -Seidel , ya que las teraciones se pued en pro-longar tanto como sea necesario para obtener la precisión desea da. Ade-más, la versión del método de Gauss-Seidel puede desarrollarse de maneraque se pue da aho rra r espa cio en memoria para sistemas dispersos. Por ltanto, el método de Gauss -Seide l es el método prefe rencial en sistemas gran-des de ecuaciones (loo), n donde los errores de redondeo y los requisi-tos de almacenamiento vienen a ser u n problema significativo para lastécnicas exactas.

La desventaja del método de Gauss-Seidel es que no siempre converg e ala solución exacta o algunas veces lo hace de manera muy lenta. Unicamen-tees confia ble para aquell os sistemas domina ntes diagon alment e. Sin em-ba rg o, se dispone de los métodos de relajación que a veces ignoran estasrestricciones. Además, ya que muchos sistemas algebraicos lineales origina-dos de problemas físicos muestran dominancia diagonal, el método de Gauss -Seidel tiene gran utilidad en a solución de problemas de ngeniería.

En esumen, se conjuntan una serie de actores en a selección deunatécnica pa ra resolver un problema en particular que involucre ecuaciones

algebraicas ineales. Sin emb arg o, omo a se menc ionó , el tam añoy ladispersión del istema on actores particularmente mportantes aldeterminar a lección.

111.5 RELACIONESY FóRMULAS IMPORTANTES

Ca da u na d e las partes de este libro contiene una sección que resume asfórmulas de mayor importancia. Aunque la parte I l lno menciona fórmulassimples, se ha usa do el cua dro 111.3pa ra resumir los algoritmos que se han

cubierto. La tabla proporciona una visión global que resulta útil en la revi-sión y en a clarificación de las diferencias principales entre los métodos.

111.6 MÉTODOSAVANZADOSY ALGUNAS REFERENCIAS ADICIONALE

Los métodos de este texto se han limitado a las técnicas más simples en lasolución de ecuaciones ineales simultáneas.






Existen otros mgtodos que uscin el mismo contexto delos problemas así comtambién otros que tratan sobre valores propios y ecuaciones simultáneanoneales.

DescomposiciónLU (Llam ado también métodode Choleskyo método de Croes una técnica particularmente eficiente en a solución de algunos problemque se han mencionado en la parteI l l . Se encuentran buenas descripcionealgoritmos de computadora para este método en James, Smithy Wolford( 197y Geraldy Wheatley(1984).

Existen una variedadd e tkcnicas para determinarlos valores propios. JameSmithy Wolford(1977);Gerald y W heatley(1984) y Hornbeck(1975) propcionan una introducción al tema.Eltema se trata más a fondo en Ralston yRbinowitz(1978); Householder(1964) y en Wilkonson(1965).

Las ecuaciones simultáneas n o linealesa veces se pue den resolver usd o el método de Gauss-Seidel. Además, una versión multidimensionce un esquem a más eficiente, aun que más complicado del métodNewton-Raphson. Enlos libros de Ca rna ha n,Luther y Wilkes( 1969) ; Grald y Wheatley( 1984)y James, Smith y W ol fo rd(1977)se analizanlométodos.El libro de O rt eg a y Rheinboldt(1970)ofrece un trabajo mcompleto acerca del tema.

En resumen,la información anterior intenta introduciral lector en esdios posteriores más profu ndo s sobre el tem a y área s afine s. En las referencias anteriores se pro por cion an descripciones d elas técnicbásicas d ela parte I l l . Ad em ás , Ralston y Rabinowitz( 1978)proporcinan u n análisis más p ro fund o y en Stark(1970) se incluye un estudiotemas tales com o el ma l condicionam iento.Ellector d eb e consultar esfuentes alternativas p a ra co mp leme ntar el material de este libroy enrqu ece r sus conocimientos sobre ecuacion es algebraicas linealestáneas.*

'Aqui sólo se hace referencia a los libros por autor; al final del texto se halla una bibliografía completa.



’

P A R T E C ~ J A T R

-AJUSTEDECURVAS

x

IV. M O T I VA C I ~ NA menudo se proporcionan datosmediante .unconjunto de puntos discretos. Sin e m ba rg o, a ve-ces se requieren estimaciones de puntos entre esosvalores discretos. Esta parte del libro describe al-gunas técnicas de ajuste de curvas de ma nera quecon tales datos se obtengan aproximaciones inter-m edias . Ad em ás, a veces se requiere una versiónsimplificada de una función muy complicada. U n amanera de hacerloes la de calcular valores de lafunción en ’u n conjunto de valores discretos alolargo del ran go de interés. Después se pu ed eob-tener una función mas simple ajustando estos va-lores: A estas dos apticac iones se les conoce conel no m bre de ajuste de curvas.

H a y dos esquemas generales en el ajuste de cur-vas que se distinguen entres í en base a la canti-dad deerrorasociadacon los datos.Primero,donde los datos muestran un gr ad o significativode’erroro “ru ido”, la estrategia es derivar una cur-va simple qu e repre.sente el com portamiento ge-

neral de los datos. Ya qu e ca da punto in’dividualpuede estar incorrecto,no es necesario intersec-,tar cada punto individual puede star incorrecto,no es necesario intersectar c a d a u no de ellos. Enve z de esto, la c urva se diseña de ta l ma nera quesiga un patrón sobrelospuntos tomados com o untodo. A un procedim iento de esta na tura leza sele conoce conel nomb re deregresión con mínimoscuadrad os (Fig.IV.la ) .

Segundo, donde se conoce quelos datos son muyexactos, el proceso es ajustar una curv ao una se-rie de curvas que pasen exactamente por cad a unode lospuntos. Estos datos generalmentese derivan detablas. Algunos ejemplos sonlosvalores de la densi-dad del aguay de la capacidad de calor delosgasescomo una función de la temperatura.A la estimaciónde valores entre puntos discretos conocidos se le co-noce conel nombre de interpolación(Fig.IV.lb y c).



308 ____- - MÉTODOS N U M É R I C O SPARA INGENIERO

FIGURAIV.l Tres intentos de ajustar la "mejor" curva a troves de los cinco dotos o) regresióncon mínimos cuadrados, b) interpolación ineal y c) interpolación curvilínea.

IV.l l . Méto dos de ajuste de curvas antes del

uso de a microcom putado raElmétodo más simple de ajustar una curv aa un conjunto de dates el de trazar los puntos y unirlos con una línea recta. Aunq ue es una altern ativa váliday se utiliza cu an do se requiere hacer maciones rápida s,los resultados son depen dientes, desde un pude vista subjetivo, de a persona que traza a curva.

Por ejemplo, en la figuraIV.l se muestran diferentes trazos sobremismo conjunto de datos hechos por tres estudiantes.Elprimero nintenta conectarlospuntos, en vez deeso caracteriza el crecimie



AJUSTEDECURVAS 309

d e los datosmedianteuna ínea ecta Fig. IV.l.a). El segundoestudiante usó segmentos de línea rectao interpolación lineal en laconexión delos puntos (Fig.IV.lh ) . Esta técnica es muy común eningeniería.Si los valores se acerca n realmenteal caso lineal y estánespaciado s muy cerca entres í , entonces esta aproxim ación ofrece unaestimación ad ec ua da en m uchos cálculos de ingeniería. Sin em bar goen donde la relación subyace nte es altamente curvilíneao en dondelos datos están muy separado s entresí, se p ueden introducir erroressignificativos en a interpolación lineal.Eltercer estudiante usó curvasque intentan capturar el comportamiento sugerido po rlos datos (Fig.IV.lc ) . U n cuartoo quinto estudiante desarrollaría un ajuste diferente .Ob viam ente , la meta aqu í es la de desarrollar métodos sistemáticoy objetivos con el propó sito de deriv ar tales curvas.

IV.1.2 Ajuste decurvas en ingenieríaElprimer enfrentamiento del ingeniero con el ajuste de curvas p ud oser el de determinar un valor intermedio de datos contenidos en unatabla por ejem plo, de tablas d e interés en la econ om íao de tablasde vap or en termodinámica.A lo largo de la profesión de un inge-niero , frecuentemente se presentan ocasiones en las que se deben calcular valores interme dios de estas tablas.

Au nq ue muchas de las fórmulas utilizadas ampliamente en ingenieríya han sido tabuladas, existe otra gran cantid ad deos que no tienen

aplicación al hacerlas de esta form a.Los casos especialesy lospro-blemas nuevos de contexto requieren a menudo quese obtengan da-tos propios y qu e se desarrollen elacionespredictivas, ambiérpro pias . Se puede n encontrar, en gene ral, dos tipos de aplicacionescuan do se ajustan datos experimentales: el análisis de tendencias yla prue ba de hipótesis.

Elanálisis de tendencias representa el proceso de usar el patrón delosdatos y hacer predicciones. Paraloscasos en qu elos datos se mi-den con alta precisión, se pued en usa r polinom ios de interpolación.Los datos imprecisos, en ge ne ral, se ana lizan con regresión de míni

mos cuadrados.Elanálisis de tendencias se p ue de usar para pred eciro pronosticarvalores dela variable dependiente. Esto a veces involucra extrapolarmás allá delos límites delos datos observadoso interpolar dentro delrango de datos. Gene ralmente, en todoslos campos de la ingenieriase encuen tra este tipo de pro ble mas.

U na segunda aplicacióna la inge niería del ajuste de curvas expe ri-mentales es la pr ue ba d e hipótesis. Aq uí se co m par a un m ode lo matemático existente conlos datos medidos.Si los coeficientes del mo-




delo se desc onoce n, a veces es necesario determinar valores qajusten mejor alosdatos observados. Por el otro lado ,si las estimciones deloscoeficientes del mo delo se encuentran disponibles pser apropiado compararlos valores predecidos del mode lo con valores observados y así probar laficiencia del mé todo .Amenudse comp aran m ode los alternos y se selecciona "el mejor" en observaciones em píricas.

Además de las aplicaciones anteriores a la ingeniería,el ajuste de cvas es importante en o tros métodos n umé ricos ales como la inción yla solución aprox ima da de ecuaciones d iferenciales. Finalos métodos de ajuste de curvasse pueden usar para derivar funnes simples y aprox imar funciones com plicadas.

IV.2 FUNDAMENTOS MATEMÁTICOSLos fundamentos matem áticos necesarios pa ra la interpolacióncuentran en las expansiones de la serie de Taylor y diferencidas finitas introducidos en el capítulo3. En la regresión con mínicuadrados se requieren conocimientos de estadística.Si el lector efamiliarizado conlos concep tos de me dia, desviació n estánd ar, ma residual de cuadrad os ydistribución norm al, entonces pue de olas siguentes pag inas e r directamente a la secciónV.3. Si no conoestos conceptoso si necesita reco rda rlos, entonces se recom iendael siguiente material com o una breve introducció n a estos te

IV.2.1 Estadística imple

Supóng ase que en un curso de ingeniería se hacen varias mede una determinada cantidad. Por ejemplo, el cuadroIV.lcontie24 lecturas del coeficiente de expansión térmica de un ace ro tural. AIobservar estos valores, pro porcionan una cantidad lide informa ción, estoes, el rango de valoresva desde un mínimo

CUADRO IV. 1 Coeficientes obtenidos al medir laexpansión térmica de un aceroestructural( x 1 O - 6 pulg/pulg/°F)

6.495 6.625 6.635 6.6556.665 6.51 5 6.625 6.7756.755 6.61 5 6.575 6.5556.565 6.435 6.395 6.6556.595 6.71 5 6.485 6.6056.505 6.555 6.71 5 6.685



AJUSTEDECURVAS 31 1

6.395hasta un máximo de 6.775 . Se pued e profundizaren el conoci-miento delosmismos agr up and olosdatos en unao mas medidas es-tadísticas co nocidas que proporcione n tanta informa ción como sea

posible acerca decaracterísticas específicasdel conjunto de datos. Estasme didas estadísticas descriptivas se seleccion an m ás a men udo pa rarepresentar 1 ) la posición central de la distribución de datos y2) elgra do de dispersión del conjunto de datos.

La me dida estadística más común es la me dida. L a m edia(y )de unamuestra se define como la suma delos datos individuales(y;)dividi-do

enLa

po r el número de puntos (n),o:.. .

[IV.l]

don de a sumatoria va desdei = 1 hasta n .me dida mas común de la dispersión de una muestra es la desvia

ción estándar (sJ, en función de la media:

[IV.2]I

en dondeS es la sum a total de los cua dro s delos

residuos entrelospuntos y la m ed ia, esto es:

S, = c (y, - [IV.3]

Por lo tanto, s i las medidas individuales se dispersan muy lejos de lamedia,S, (y, p or lo tantos y )crecerá. Si se ag rup an muy cerca de lame dia entonces la desviación estándar será pequeña. La dispersióntambién se puede representar por el cuadr ado de la desviación estánd ar, a la cuál se le llama varianza:

[IV.4]

Nótese que el den om inado r en ambos casos esn - l . Esto toma enconsideración que un prome dio deriv ado prev iam ente de los dato(esto es, la me dia) se usó p ar a de terminarS,. Formalmente, se diceque se pierde un gra do ¿e Iibedad . Ot ra justificación de dividir pon - es qu e no hay dispersión en unsolo dato. Por lo tanto, en elcaso donde n = 1, la ecuación (IV.4)pro po rcio na u n resultado sinsentido o infinito.



312 METODOSNUMERICOSPARAINGENIER

Una med idaestadística final que tiene utilidad enla cuantificaciónla dispersión delos datos es el coeficiente de variación (c.v). Esta mdida estadística es el cociente dela desviación estándar dea mediC o m otal, proporciona una media norm alizada dela dispersión.me nud o se multiplica esta can tida d po r100, de tal man era que pueda expresar en forma porcentual:

[ ; I.V. = = 100% [IV

Nóteseque elcoeficiente devariación essimilaralerrorrelativo porctual t u ) mencionado en la sección3.3. E s dec ir, el cociente de umedida de error(S,,) entre un a estimación del valor verdade ro(EJEMPLO IV.lTratamiento estadístico sencillo de un a muestra

Enunciadodelprob lem a: calcúlense lamedia,varianza,desvia-ción estándary coeficiente de variación d elos datos del cuadroIV

Solución:los datos se suman (cuadroIV.2)y los resultados se uspara ca lcular [ Ec . ( lV. l ) ] :

- 158.40024 = 6.6

Com o enel cuad ro IV.2, la suma delos cuadrados de los residues 0.217 00, que se pu ede usar en el calculo dela desviación estdar [Ec.( lV.2)] :

I sy = , / T 0.097 733

I1y la varianza [Ec.( lV.4)] :

S’, = 0.009 35

y los coeficientes de va riació n [Ec .(lV .S)] :

C . V. = 0.097 331 00% = 1.47%6.6






FIGURAIV.2 Usode un histograma para delinear la distribución de los datos. A medida que elnúmero de puntos aumenta, el histograma tiende a una curva uniforme y sin discon-tinuidades llamada distribución normal.

simétricay homogéne a sobrepuesta a la figuraIV.2muestra una destas curvas características; ladistribución normal. Si se proporcionran me didas adicionales suficientes, entonces el histog rama ecaso en particular, tendería eventualmente a la distribución no

los conceptos de media, desviación estándar, suma residual ddra do s y distribución normal tiene una gran importan cia dentrla ingeniería . U n ejemplo m uy simple essu uso en la cuantificac ide la confiabilidad que se le pu ed e atribuir a un dato particuSunacant idad está distribuidanormalmente, el rang odefinidopory - , a y + S, abarcará aproximada men te el68% del número total de datos. De la misma m ane ra, el rango definido pory - ' ,y + 2 S,, abarcará aproximad amen te el95%

Por eiem plo, enlos coeficientes de expan sión té rmica del cu adrV(y = 6.6 y S, 0.097 133), e puededecir que aproximadamente 95%de los datos se encuentra entre6,405 734y 6.794 266.Si aguien dijo que se midió un valor de7.35, entonces se pu ede espeque este dato sea errón eo.

lo anterior es sólo un ejemplo muy simple de cóm o se p ue de nlas estadísticas pa ra da r juicios ace rca de la ce rteza delos datos. Etos conceptos tam bién tienen importancia directaen el análisis de mdelos de regresión. Se puede consultarcualquier ibro bdrsicoestadística (p or ejemplo,Ang y Tang, 1975,o Laping, 1983)para otener información adicional sobre el tema.



AJUSTE DECURVAS 31 5

IV.3 ORIENTACIONAntes de pasara los métodos numéricos en el ajuste de curvas, p ue-de ser útil una o rientación .Lo que sigue está enfocado a dar una vi-sión general del mate rial analizado en la parteIV. Además, se hanformulado algunos objetivos para ayu dar al aprendizaje del lectocuando estudie el material.




IV.3.1 Avance y alcance

En la figuraIV.3se m uestra una visión globa l del mate rial que sbre en la parte IV. Elcapítulo 70se ded ica a la regresión con míncuudrudos. Primero se a pren de rá a ajustar “la mejor” línea rectravés de un conjunto d e datos inciertos.Aesta técnica se le concon el n om bre de regresión lineal. Ad em ás del análisis sobre elo de la pendiente y punto de intersección de la línea recta, se sentan también métod os cuantitativosy visuales para la evaluacide a validez de los resultados.

Ad em ás de ajustar una línea recta, se estudia también una tége ne ral pa ra ajustar “al meior” po linomio. Porlo tanto, se apre ndrá a derivar un polinomio cuadrático, cúbicoo de orden superior q

se ajuste de ma nera ad ecua da alos datos inciertos. La regresiónneal es un subconjunto de este esquem a más general,al cual se conoc e con el nom bre de regresión polinornial.

Finalmente , el último tem a cubierto en el capítulo10 es la regresilineal múltiple. Que está diseñad a p a ra casos en qu ela variable dpendientey sea una función lineal de doso más variables indepedientes xl, x2,..., x , . Este esque ma tiene una utilidad especial enevaluación d e datos experimentales en don de la v ariable de dep end e de un conjunto de factores.

En el capítulo 7 7 se describeuna écnicaalternativa de ajusde curvas a laque se le llama nterpo lación, Comose dijoante-riorme nte, a nterpo lación se usa pa ra estimularvalores nterme-dios entre datos conocidos. En el capítulo11 se derivan polinom ique cumplen este propósito. Se introduce el conceptobásicodeinterpolaciónpolinominalusando ectas y parábolasparaconec-tarpuntos.Despué s, se desarrolla un procedimientogeneral paajustar un polinom io de n-ésimo or de n. Se presentan dos formdiferentes p ar a expresar estos polinom ios en forma de ecuacioE s preferible el primero d e e llos, lamad opolinornio de interpolción deNewton,cuand o se descon oce el ordencorrectodelpoli-nomio. Elsegundo, llamado polinornio de interpolación de Lagtiene algunasventajas cuan do el ordendelpolinom io se conde ntemano.

La Última sección del capítulo11 se de dica a una técnica difereen el ajuste preciso d e da tos.Esta técnica, llamadainterpolación segrnenturia (en inglés spline),ajusta los datos a polinomios pero potervalos . D e ahí qu e sea particularm ente útil cu an do se ajustenque en general son homogéneos,pero muestrancambios ocalesabruptos.



AJUSTE DE CURVAS 31 7

En el capitulo72 se de sarrollan casos de estudio que ilustran la utild a d d e los métodos numéricos dentro de contextos de la ingenieríaSe muestran algunos ejemplos tanto de la ingeniería en gen eral cmo d e las cuatro ramas más importantes de la misma: quím ica, cieléctrica y me cánica.

Finalm ente, se incluye un epílogo al final de la parteIV. Este incluyeun resumen de las fórmulas y conceptos más im portantes relaciondos con el ajuste de curv as, así como un análisis delos factores demayor importanciaentre las técnicas y sugerencias a ra estudios posteriores.

En la parteIVse incluyen algunas opciones de cálculo por co m putdora. Primero, el paquete de programasNUMERICOMPque acom-

pa ñ a al texto contiene program as que son legibles al usuario sobreregresión lineal e interpolaciónde Lagrange. A lternativamen te,se in-cluyen en el texto prog ra m as escritos enFORTRANy en BASIC.Estole proporciona al lector la oportunidad de copiar el progra m a paimplementarlo en su prop ia m icroco m puta dorao supercomputado-ra . También se incluyenlos diagram as de fluio ylos algoritmos parala mayor parte deos métodos descritos en el texto. Este material puedservir de bas e en l a construcciór de un paqu ete de program as queel lector puede desa rrollar y aplicar alos problem as de ingeniería.

IV.3.2 Me tas y objetivosObjetivos de estudio. Después de terminar la parteIV, el lector de behaber aumentado en g ran me dida sus capacidades en el ajuste d e cuvas con datos. En genera l, se debe n dom inar las técnicas, se dehaber aprendido a valorar la confiabilidad deas respuestas y ser ca-paz d e esc oge r el mejor método(o métodos) pa ra cu alquier proble-m a. Ad em ás d e estas metas generales, se deb en asimilar y dom inlos conceptos específicos del cua droIV.3.

Objetivos de cómpu to.El lector deb e tener un conjunto de pro gra -mas simples de om puta dora , algoritmos diagramasde flujoquemplementen los métodos analizados en laparte IV. Todosellos com o erram ientas e prendiza je.

Elpaquete opcional de programasNUMERICOMP, ncluye los pro-gram as de regresión lineal de interpolación de Lagra nge . Las grácas aso ciadas con este paque te le ayu dará n al lector a visualizarelproblem a adem ás de as operaciones matemáticas asociadas. Las grficas son una parte crítica en la apreciación sobre la validez de unregresión. También proporcionan una guía relacionada con el ord



318 MÉTODOSNUMfRICOS PARA INGENIER

CUADROIV.3 Objetivos de estudios específicos de la parte IV

1 . Entender la diferencia fundamental entre egresión e nterpolación ydarsecuenta que el onfundirlos puede acarrear serios problemas.

2. Entender la derivación de la regresión lineal con mínimos cuadrados y sercapaz de valorar la confiabilidad del ajuste usando gráficas a apreciaciones cuan-titativas.

3. Saber linealizar datos para llevar a cabo transformaciones.4. Entender las ituaciones en dónde es apropiado usar regresión polinomial

5. Entender que hay uno y sólo un polinomio de grado n o menor que pasa exac-

6. Saber como derivar el polinomio de interpolación de Newton de primer orden.7. Entender la analogía entre el polinomio de Newton y la expansión de la

serie de Taylor y cómo se relacionan on el error de truncamiento.8 . Reconocer que las ecuaciones de Newton y de Lagrange son meramente

formulaciones diferentes delmismo polinomio de interpolación y de enten-der sus respectivas entajas y desventoias.

9. Observar que se obtienen resultados más exactos si los puntos usados parainterpolación se centran alrededor y cerca de la incógnita.

10. Reconocer que los puntos no ienen por qué estar gualmente espaciadosnienningún orden en particular para los polinomios de Newton y de La-

o múltiple.

tamente a través de los R + 1 puntos.

grange.

utilidad.1 1 Conocer el por qué las fórmulas de interpolación igualmente espaciados tienen

12 . Reconocer las limitaciones y las ncertidumbres asociadas con la extrapolación.13. Entender por qué as unciones segmentarias tienen utilidad para datos con

áreas locales de cambios ignificativos.

correcto de un a interpolación polinomials i es confiable efectuar extrapolación.Elpaqu ete es m uyfácild e aplicarse en la solución pro blem as prácticos y se pu ed e usar en la verificación d elos resulta-dos de cualquier program a que el lector haya desarrolladopor símismo.Además, se incluyenlos programas de comp utadora,los algoritmoo los diagram as de flujo para la ma yor parte delos métodos de lparte IV. Esta inform ación le perm itirá ai lector exp and er su biblca de program as incluy end o técnicas que van más allá dela regresión lineal y dela interpolación de Lagrange. Por ejem plo, pueerútil, desde un punto d e vista p rofesional, tener un p aq ue te de gramas que incluya regresión polinomial, polinomio de intede Newtone interpolación cúbicasegmentaria (de l ingléscubic spline)



C A P í T U L OD I E Z

R E G R E S I ~ NCON MíNIMOSCUADRADOS

Cuando se asociaun error sustancial conlos datos, la interpolación ponomial es inapropiaday puede llevar a resultados no satisfactorios cdo se usa para predecir valores intermedios. Los datos experia menudo son de este tipo. Por ejemplo, en la figura 10 . l a sesiete datos obtenidos experimentalmente que muestran una varnificativa. La inspección visual de los datos sugiere una relaciónentrey y x . Esdecir, la tendencia total indica que a valores mayoy se le asocian valores mayores ax. Ahora, si se ajustaun polinomioin-terpolante de sexto orden a estos datos (Fig.l O . l b ) ,pasará exactamentepor todoslospuntos. Sin embargo, debido a la variabilidad de lola curva oscila ampliamente en los intervalos entre puntos. En p

los valores interpoladosx =

1.5y x=

6 .5 parecenir más allád e l

rangosugerido por los datos.Una estrategia más apropiada en estos asos es la de obtenerunafun-

ción aproximada que ajuste “adecuadamente” el comportamio latendencia general deosdatos, sin coincidir necesariamente con cadaen particular. La figura 10.ICmuestra una linea recta que puede usarenlacaracterización de la tendencia deos datos sin pasar sobreningúnpuntoen particular.

Una manera de determinar la línea dela figura 1 0 . 1 ~s inspeccio-narvisualmente los datosgraficados y luego razara “mejor” líneaa través delospuntos. Aunque este enfoque recurre al sentido cY esválidopara álculos a implevista” es deficiente ya que arbitrario.Es decir, a menos quelos puntosdefinanuna ínea ectaperfecta (en cuyo caso la interpolaciónsería apropiada), cadaanalistatrazaráectasdiferentes.

La manera de quitar esta subjetividad es considerarun criterio quecuantifique la suficiencia del ajuste. Una forma de hacerlo es ocurva que minimice la diferencia entre los datosy la curva. En este captulo se analizaun método para llevar a cabo este objetivo al qullamaregresión con minimos cuadrados.




FIGURA 1O.1 a) Muestra de datos con un error significativo. b) Ajuste pol inomial conoscilaciones que violan el rango de los datos, c) se obtienen resultadosmás satisfactorios usando el ajuste de mínimos cuadrados.



REGRESldN CON MíNIMOS CUADRADOS 32 1

10.1 REGRESIóN INEAL

Ei ejemplo más simple de una aproximación por mínimos cuadrados esel ajuste de una línea recta a un conjunto de parejas de datos observa-das: ( x 1 , l ) , ( x p , 2),. , x, , , ,,). La expresión matemática de una línearecta es:

y = a0 + a l x +E [10.1]

en donde a. y a l son coeficientes que representan la intersección con eleje de las abscisas y la pendiente, respectivamente y E es el error o resi-duo entre el modelo y las observaciones, que se puede representar reor-denando la ecuación (10.1) como:

E = y - a0 - a l x

Por lo tanto, el error o residuo es la diferencia entre el valor real de yy el valor aproximado, a. + a, x, predicho por la ecuación lineal.

10.1.1 Criterio p a ra un mejor” ajuste

Una estrategia que obtiene la “mejor” línea a través de los puntos debeminimizar la suma de los errores residuales, como en:

/ /

i= i=l

[10.2]

Sin embargo, este criterio es inadecuado, como se puede er en la figura10.2a, en donde se muestra la línea recta que ajusta dos puntos. Obvia-mente, la mejor línea ajustada es aquella que conecte ambos puntos. Sinembargo, cualquier línea que pasa por el punto medio de la línea quelos conecta (excepto una ínea perfectamente vertical) genera un valor mí-nimo en la ecuación (10.2) gual a cero ya que los errores se cancelan.

Otro criterio sería minimizar la suma de los valores absolutos de lasdiferencias, esto es:

n n

1 6 1= 2 M - a0 - a l x i li= 1 i= 1

En la figura 10.21 se muestra por qué este criterio también es inadecua-do. Con los cuatro puntos mostrados, cualquier línea recta que se en-cuentre dentro de las líneas punteadas minimiza el valor absoluto de lasuma. Por lo que este criterio aún no produce el mejor ajuste que sea único.

Una tercera estrategia en el ajuste de una línea óptima es el criteriode m i n i m a x .En este método, la línea se escoge de tal manera que mini-mice la distancia máxima a la que se encuentra un punto de la linea rec-



322 MbODOS NUMÉRICOSPARAINGENIERO

FIGURA10.2 Ejemplos de algunos de los criterios de "meior ajuste" que son inade-cuados en la regresión: a) minimización d e la suma de los residuos; b )minimi zación de la suma de los valores absolutos de los residuos y c) mi-nimización del error máximo de cualquier punto individual.

ta.Como e muestra en la igura lo.&, está estrategia está malcondicionada para egresión ya que influye de manera ndebida sobre unpunto externo, aislado, cuyo error es muy grande. Se debe notar queel criterio minimax algunas veces está ien condicionado para ajustar unfunción simple a una función complicada (Carnahan, Luther y Wilkes,1969).

Una estrategia que ignora las restricciones anteriores es la de minimi-zar la suma de los cuadrados de los residuos, S,, de la siguiente manera:

n n

S, = 2 ? = ( y i - a0 - alxi)2¡= 1 i = l

E10.



EGRESIóNCONMíNIMOS CUADRADOS 323

Este criterio tiene muchas ventajas, incluyendoel que ajusta una linea única un conjunto dado de datos. Antes denalizar estas propiedades, se mutra un método que determinalos valoresde a. y a l que minimizan aecuación(10.3)

10.1.2 Ajuste deunarectautilizando mínimoscuadrados

Para determinarlosvalores de las constantesa. y a l , se deriva la ecua-ción (10.3)con respecto a cada uno de los coeficientes:

Nótese que se han simplificado los símbolos de la sumatoria; que otra cosase indique, todas las sumatorias van desdei = 1 hastan .Igualando estas derivadas a cero, se generaun mínimoS,. Si se hace así',las ecuaciones anteriores se expresarán cóm o:

Ahora, considerando queC a. = nao, las ecuaciones se pueden exprsar comoun conjunto de dosecuaciones lineales simultáneas con don-cógnitas(ao y al ) :

nao + C xial = yi [10.4]

[10.5]

A estas ecuaciones se les conoce comoecuaciones normales. Se puedenresolver simultáneamentey obtener [(recuérdese la Ec.7.10)]:

[10.6]

Este resultado se puede usar juntocon la ecuación(10.4)para obtener:

en dondevy X son amedid¿+de

. . . . .

[10.7]

y y x , respectivamente.




EJEMPLO 1O.1Regresiónlineal

Enunciado del prblema: ajústese una línea recta alos valoresx y y dlas primeras dos columnas del cuadro10.l .

CUADRO1O.1 Cálculos para el análisis del error del ajustelineal

1 0. 5 8. 576 5 0. 168 72 2. 5 0. 862 2 0. 5623 2. 0 2. 040 0. 347 3

4 4. 0 0. 326 0. 326 55 3. 5 0. 005 0. 589 66 6. 0 6. 612 2 0. 797 27 5. 5 4. 290 8 0. 199 3c. 24 22. 714 3 2. 991 1

-

Solución: se pueden calcular as siguientes cantidades:

n = 7 2 xjyj = 119.5 xf = 140

247i = 24 J = - 3.428 571429

Usando as ecuaciones(10.6) y (10 .7 ) ,

an = 3.428 S71 429 - 0.839 285714(4) = 0.071 428 57

Por lo tanto, el ajuste con mínimos cuadradoses:

y = 0:071 428 57 + 0.839 285 7 1 4 ~

La línea, junto conl os datos, se muestra en afigura 1 0 . 1 ~ .



REGRESldN CON MíNIMOS CUADRADOS 325

10.1.3Cuantificacióndel error en a regresiónlineal

Cualquier línea recta diferente a la que se calculó en el ejemplo10.1 ge-nera una mayor suma de cuadrados elosresiduos. Por lo tanto, la línes únicay en términos del criterio escogido es “la mejor” línea de los puntos. Se puede derivarun gran número de propiedades adicnales de este ajuste, examinando más de cerca la manera comolaronlos residuos. Recuérdese que la suma delos cuadrados se definecomo [Ec.(10.3)]: I

S , = 2 ( y i - a. - alxi)* 110.81

Nótese la similitud entre las ecuaciones(IV.3) (10.8).En el primercaso,los residuos representaban a diferencia entrelosdatosy una aproxi-mación simple de la medida de la tendencia central; la media. En(10.8), os residuos representanel cuadrado de la distancia vertical los datosy otra medida dela tendencia central; la línea recta (Fig.10.3).La analogía se puede extender más paracasos en donde1) la dispersiónde lospuntos alrededorde la recta son de magnitud similar a lo larrango entero de los datosy 2)la distribución de estos puntos alredede la línea es normal. Se puede demostrarque si este criterio se cumpla regresión con mínimos cuadrados proporciona la mejor es deprobable) aproximación dea. y al (Drapery Smith,1981).A esto se leconoce comopr inc ip i o d e probabi l idad máxim adentro de la estadístic

Además, si este criterio se cumple, una “desviación estándar” de regresión se puede determinar como [compárece con la Ec(IV.2)]:

i = 1

FIGURA10.3 El residuo en la regresión ineal representa el cuadrado de la distanciavertical entre un punto y la línea recta.



326 M~TODOS UM~RICOS ARAlNGENlEROS

[10.9]

en dondesy,x se llamaerror est ánd ar d e la aproximación. La notaccon subíndice“y/x” indica que el error es paraun valor predicho deycorrespondiente aun valor particular dex. También, nótese que ahla división es porn - 2 ya que se usan dos aproximaciones obde los datos;a. y a, para calcularS; por lo tanto, se han perdido grados de libertad.Como con el análisis de desviación estándarciónIV.2.1, otra justificación dedividirpor n - es que no existe u“dispersión delos datos” alrededor de una línea recta que conpuntos. De esta manera, para el caso cuandon = 2, la ecuación(10.9no proporcionaun valor de infinito el cual no tiene sentido.

Asícomo con la desviación estándar, l error estándx de lacióncuantifica ladispersión delosdatos. Sin embargo, cuantifdispersiónal rededor d e a inea d e egresi ón,como se muestra en la f10.4, contrario a la desviaciónestándaroriginal, S, quecuantifica dispersióna l r e d ed o r d ela media .

Losconceptos anteriores se pueden emplear para cuantifciencia” del ajuste. Esto es particularmenteútilen la comparación derias regresiones (véase la Fig.10.5).Para hacerlo se regresa a losoriginalesy se determina la suma de los cuadrados alrededor epara la variable dependiente (en este caso,y) . Se le puede llamar a



REGRESldN CONMíNIMOS CUADRADOS 327

FIGURA10.5 Ejemplos de la regresión ineal con a ) errores residuales pequeños y b)grandes.

la suma total delos cuadrados,S,. Esta es la cantidad de dispersióla variable dependiente que existe antes de la regresión. Despvar a cabo la regresión lineal, se puede calcularS,, que es la5uma delos cuadrados de los residuos alrededorde la linea de regresión. Estesenta la dispersión que existe despuésde la regresión.La diferencia entlas dos cantidades,o St - S, cuantifica la mejora en a reducciódelerror debido al modelo de la línea recta. Esta diferencia se pulizaral error totaly obtener:

[10.10]

en donder es elcoefi ci ent e de correla cióny r 2 es elcoef i c i en t e de de -te rminac ión .Paraun ajuste perfecto,S , = O y r 2 = l , ndicando quela línea recta explica el100 % de la variabilidad.Si r 2 = O,entonces elajuste no representa mejorías.



328 MhODOS NUMÉRICOS PARAINGENIEROS

EJEMPLO 10.2Estimaciónde los errores en el ajuste po r mínimos cuadrados lin

Enunciado del problema: calcúlese la desviación estándar estándar de la aproximacióny el coeficiente de correlación de ldel ejemplo10.1.

Solución: las sumatorias se muestran en el cuadro10.1.L.a desviacestándartotales [Ec. (IV.2)]

y el error estándar de la aproximación esIEc.(10.9)]:

por lo tanto, ya queS , , < S,, el modelo de regresión lineal es ble. El alcance de a mejoríasecuantificamediante [Ec.(10.lO)l

22.7143 - 2.9911)-2 =22.7143 = 0.868

O

r = = 0.932Estos resultados indican que el86.8%de la incertidumbre original haexplicado mediante el modelo lineal.

Antes de proceder con el programa de computadora parde regresión lineal, son necesarios algunos comentarios. Auficiente de correlación proporcionaun medio fácil de medir la efecdel ajuste,se debe tener cuidado de no atribuirle significado gEl quer esté “cercano” a1 ,no significa que el ajuste sea necesa“bueno”. Por ejemplo, es posible obtenerun valor relativamente altr cuando la relación mencionada entrey y x ni siquiera es lineal. Dy Smith (1981) proporcionan una guíay material adicional que sirvvalorar los resultados de una regresión lineal. Además,comomínimo,sdebe inspeccionarsiempre una gráfica delosdatos con una línea degresión cuando se ajusten curvas de regresión. Como se verá te sección,los programas de NUMERICOMP contienen estas

10.1.4 Programadecomputadorapara aregresión lineal

Esrelativamente sencillo desarrollarun programa para la regresión La figura10.6muestralasversiones en FORTRANy BASIC.Ya que opciones gráficas de una microcomputadora



REGRESION 329

FORTRAN BASICTASX/O./,SU/O./,XZ/O./,XY/O./ 100

HAT( I5 12070 I= l ,N 139D(5,2)X,Y 140

WAT(2F10.0) 150

D(5r l )N 110

X * X 160=sv+Y I79X2+x~x 1BO=xY+x'Y 190

SX/NNTINUE 200

SY/N 210N~XY-SX~SY)/(N.X2-sX*Sx) 229YM-Al*XH 230

TE(6t3)AOrAlM AT ( ' *,2F10.3)P

INPUT NFOR I = 1 TO N X = independentariableINPUT X . Y Y = dependentariable

N = number of data points

sx = sx + x SX = sum of X'sSY = S Y + Y SY = sum of Y'sx2 = x2 + x I xX Y = X Y + X O Y X2 = sum of square of X's

NEXT I _ _ 2 _ _ _ _ _ X Y= sum of product o f X andX t l = SX / N XM= mean of X'sYM = SY / NA I = (N : Y - sx t S Y ) (N m , YM=meanofY's

x2 - sx : X)

P R I N T ClO.61END i

\ A l = slopeA0 = intercept0 = YM - Al I XH

FIGURA 10.6Programas FORTRANy Basic para a regresión lineal.

son muyvariadas, no se incluyen gráficas de estos programas. Sbargo, como se mencionó anteriormente, esta opción es imp

el uso e interpretación efectiva de la regresióny se incluye en el paquesuplementario de NUMERICOMP. Si la computadora que el tiene la posibilidad de graficación se recomienda que se expandlospro-gramas de tal manera que se incluya una gráfica dey contrax que mues-tre losdatosy la línea de regresión. La inclusión de gráficas aumgran medida la utilidad delos programas dentro delcontexto de solucide problemas.

EJEMPLO 10.3Regresión lineal usando la computadoraEnunciado del problema: el paquete de programas NUMERICciado a este texto incluyeun programa legible al usuario que implemla regresión lineal. Este progrdma se puede usar en la solucióblema de prueba de hipótesis asociado con el paracaidista anael capítulo1. Se dioun modelo matemático teórico para a velocidparacaidistamediante la fórmula [Ec.(1.9)]:




en dondeu es la velocidad en centímetros por segundo,g es la constade aceleración gravitacional de980 cm/s’,m es la masa del paracta e igual a68 100 g , y c es el coeficiente de fricción de12500 g/s. Cmosedescribeenelejemplo l . l , l modelopredice la velocidadeparacaidista en función del tiempo.Enel ejemplo2.1se muestra una grde la variación de a velocidad en función del tiempo.

Unmodelo empírico para la velocidad del paracaidista espola siguiente fórmula:

v ( t ) = [ ]c 3.75+ t[E10.3.

Supóngase que se desea probary comparar la suficiencia dedos modelos matemáticos. Esto se puede llevar a cabo midcidad verdadera del paracaidista en intervalos detiempoconocidosy comprandolosresultados con la velocidad predicha por cada uno delosmodelo

Se tieneun grupo de datos medidos experimentalmentelosque listan en a columnaa) del cuadro10.2.Las velocidades calculadcada modelo se listanen as columnasb ) y c).

CUADRO10.2 Velocidades medidas y velocidades calculadas para la caída delparacaidas

Tiempo, S

V Calculada,

Medida V Calculada, cmls cmls [ecuacióncmls [ecuación (1.9)] (E10.3.l)l( 4 ( 4 ( 4

1234567

9101 112131415

a

100o163O230 O275 O310O356O390O415 O429O450O460O455o460O490O500O

895.31 640.52 260.72 776.93 206.53 564.1

4109.54315.6

4 630.14 749.04847.94 930.3

3 861.7

4 487.2

4 998.8

1 124.01 857.02 372.92755.63 050.93 285.53 476.63 635.13 768.7

3 981.6

4143.7

3 882.94067.8

4211.04 271.2

Solución: la validez delos modelos se puede probar graficando cidades medidas contra la velocidad calculada por el moderegresión lineal en el cálculo de la línea rectay se gráfica. Esta líneten





332 MÉTODOSNUMERICOSPARAINGENIE

FIGURA10.8 a) Datos mal condicionados en la regresión lineal con mínimoscuadra-dos. 6) Indicación de que una parábola es preferible.

10.1.5 Aplicaciones de a regresión lineal; inealizaciónderelacionesno lineales

La regresión lineal proporciona una técnica muy poderosa para ajustardatos a una “mejor” línea. Sin embargo, se ha predicho que la relaciónentre las variables dépendiente e independiente es ineal. Este no es siemp

el caso, y el primer paso en cualquier análisis de regresión es el de trazary visualizar los datos para decidir si es correcto o aceptable el aplicar unmodelo lineal. Por ejemplo, en la figura 10.8 se muestran algunos datosque, obviamente son curvilíneos. En algunos casos, técnicas como la regresión polinomial, descrita en la sección 10.2 serán apropiadas. En otrosse pueden hacer transformaciónes que expresen os datos de manera qsean compatibles con la regresión lineal.

Un ejemplo es el modelo exponencial :

y = aleblX [lo.



EGRESIóN 333

FIGURA10.9 a) Ecuación exponenc ial, b) ecuación de potencias y c) ecuación del pro-medio de crecimiento de saturación. Las partes d ) ,e) y flson versioneslinealizadas de aquéllas, las cuales son transfo rmaciones simples.

en dondea l y b l son constantes. Este modelo se usa en muchos pos de la ingeniería caracterizando cantidades que crecenb, positiva)oque decrecen(b, negativa enun promedio proporcionala su magnitud.Por ejemplo, el crecimiento poblacionaly la disminución radiactivo muetran este comportamiento. Como se muestra en la figura(10.9a), a ecua-ción, representaunarelación ineal(para bl . O)entrey y x.

Otro ejemplo deun modelo no lineal es laecuación e levada a unapotencia:

y = agxb2 [lo. 21



334 MÉTODOSUMÉRICOS PARAINGENIE

en dondea2 y b2 son coeficientes. Este modelo tiene una amción en todos los campos de la ingeniería. Como se mue10.9b,la ecuación (parab2 # O o 1)es no lineal.

Un tercer ejemplo deun modelo no lineal es la ecuación dio de crecimiento desaturación:

Xy = a3

b3 + X[10

en dondea3 y b3 son coeficientes constantes. Este modelo, cularmenteútilen la caracterización de crecimientos poblaccondiciones limitantes, también representa una relación noy y x (Fig. 10.94 que nivela,o “satura” conformex crece.

Las técnicas de regresión no lineal se usan para ajustaestas ecuaciones alos datos experimentales. Sin embargo, un

va más simple es la de usar manipulaciones matemáticay transfolas ecuaciones a la forma lineal. En seguida se puede aplilineal simple para ajustar las ecuaciones a los datos.

Por ejemplo, la ecuación(10.11) se puede linealizar medianritmos naturalesy obtener:

In y = In al + b l x In e

Pero,ya que In e = 1, se tiene:In y = In a l + b l x [10

Por lo tanto una gráfica semilogarítmica eIn y contrax genera unarecta con una pendiente deb l y una intersección deIn al (Fig. 10La ecuación(10.12) se puede linealizar tomado logaritmo

10 y obtener:logy = b2 log x + loga2 [lo.

De esta forma, una gráfica logarítmica de logy contra logx generalínea recta con una pendiente deb2 y una intersección delog a2 (10.9e) .

La ecuaci6n (10:13) se linealiza nvirtiéndola,y se obtiene:[10.

Y a3 x a3

Por lo tanto, una gráfica del / y contral/x será lineal, con pendb 3 / a 3 una ntersecciónde l/a3 (Fig.lO.9j).

Estos modelos,en sus estados transformados, se ajustan usión lineal para evaluar los coeficientes constantes. Desptransformar a su estado originaly usarse para propósitos predicel ejemplo 10 .4 se ilustra este procedimiento para la ecuAdemás los casos 12.2y 12.3 proporcionan ejemplos de este tipaplicados a problemas de ingeniería.



EGRESION 335

Ejemplo10.4Linealizaciónde una ecuación de potencias

Enunciado del problema: ajústese a ecuación (10.12)a los datos del cua-dro 10.3 usando una transformación logaritmica de esos datos.

CUADRO 10.3 Datos para ajustar en la ecuaciónde potencia

X Y log x log Y

1 0.5 O -0.3012 1.7 0.301 0.2263 3.4 0.477 0.5344.7 0.602 0.7535 8.4 0.699 0.92:

Solución: en la figura 1 0 . 1 0 ~ ~e muestra una gráfica de los punto origi-nales en su estado sin transformación. En la figura 10.10b se muestra una

FIGURA10.10 a) Gráf ica de datos sin transformación, junto con la ecuación de poten-cias que ajusta los datos. b)Gráfica de los datos transformados, usadosal determinar los coeficientes de la ecuación de potencias.



3 3 6 MÉTODOS NUMÉRICOSPARA INGEN

~ gráfica log-log delosdatos transformados. La regresión linealostos transformados logarítmicamnte genera la ecuación:

logy = 1.75 og X - 0.300

Porlo tanto, la intersección,log a2,es igual a-0.300, por consigteomando el mando el antilogaritmo, a2= = 0.5. Lapenditees b2 = 1.75.Como consecuencia la ecuación de pote

y = O . ~ X ' . ~ ~

Esta curva, comolomuestra la figura10. ob, ndicaun ajuste acep

1O.1.6 Comentarios generales sobre la regresión linealAntes de continuar con la regresión curvilíneay múltiple, se debe la naturaleza introductoria del material anterior sobre regha enfocado enla forma simpley el uso práctico de las ecuaciajustar datos. S e debe estar conciente de que existen ade regresión que tienen importancia en la solución de provan más allá del alcance de este libro. Porejemplo, existen alguntesis estadísticas inherentes al procedimiento de mínimos ctales cómo:

1. x tieneun valor fijo; no es aleatorioy se midesinerror2. Losvalores dey son variables aleatorios independientesy tiene

das a misma varianza.3. Los valores dey para unax dada deben estar distribuidos d

uniforme.

Estas hipótesis son importantes en el desarrolloy usocorrecto degresión. Por ejemplo, laprimera hipótesis,1)significa que lasx deestar libres de errory la segunda2) que la regresión dey contraxes la misma que la dex contray (pruébese el problema10.4 al finacapítulo).

Se sugiere consultar otras referencias tales omo Drapery Smith(1y de esta forma apreciar aspectosy matices de la regresión queallá del alcance de este libro.

10.2 REGRESIóN POLINOMIAL

En a sección10.1 se desarrollaun procedimiento que obtiene

ción de una línea recta usando el criterio de mínimos cuA






en donde todas las sumatorias van desdei = 1 hastan. Nótese que lm + 1 ecuaciones anteriores son linealesy tienenm + 1 incógnitas:aoal, . . . , a Loscoeficientes de las incógnitas se pueden calculmente delosdatos observados. Porlo tanto, el problema de deterpolinomios de gradom con mínimos cuadrados es equivalente aun sistema dem + 1 ecuaciones lineales simultáneas.Losmétodos solución de estos sistemas se analizan enlos capítulos7 y 8.

Así como enla regresión lineal, el error en la regresión polpuede cuantificar mediante el error estándar de la aproxim

%/x = un - ( m + 1) [10.19

en dondem es elordendelpolinomio.Estacantidad se divideporn- ( m + 1 ya que se usaronm + 1 coeficientes- . , a l , . . , a mderivadosde los datosparacalcular S ; por lo tanto, se hanperdidom + 1grados de libertad. Además del error estándar, se puetambién el coeficiente de correlación en la regresión polinomma manera que para el caso lineal:

r2 = S" - SrS"

Ejemplo 10.5Regresión polinomial

Enunciado del problema: ajústeseun polinomio de segundo ordenlodatos de las dos columnas del cuadro10.4.

Solución: delos datos dados:

m - 2 x, = 15 2,xp = 979

n = 6 y, = 152.6 xx,y, = 585.6

-x = 2.5 x' = 55 2 x'y, = 2 488.8

I 5 = 25.433 x? = 225

Por lo tanto, las ecuaciones lineales simultáneas son:

6ao + 15al + 55a2 = 152.615ao + 55al + 225a2 = 585.655ao + 225a1 + 979a2 = 2 488.8



REGRESldN CON MíNIMOS CUADRADOS 339

CUADRO 10.4 Cálculos del análisis de error de un aiurtecuadrático con mínimos cuadrados.

O 2.1 544.44 O.143 321 7.7 31 4.47 1.O02 8623.6 140.03 1.0815837.2 3.12 0.804 9140.9 239.22 0.61 9 515 61.1 1 272.11 0.094 39

c. 152.613.39.746 57

Resolviendo estas ecuaciones con alguna de as técnicas comoelimi-nacióngaussiana se obtiene:

a0 = 2.4787

al = 2.3599

a2 = 1.8601

Porlo tanto, la ecuación cuadrática con mínimos cuadrados en este

y = 2.478 57 + 2.359 29x + 1.860 71x2

Elerror estándar de la aproximación, basado en la regresión polies [Ec. (10.191:

s y / x = 1.12

El coeficiente de determinación es:

2 513.39 - 3.746 57r 2 =

2 513.39= 0.998 51

y el coeficiente de correlación es:

r = 0.999 25

Estos resultados indican que el99.851% de la incertidumbre original sha explicadomediante el modelo. Esteresultadoapoya la conclusiónde que la ecuación cuadrática representaun ajuste perfecto, como es evdente en a igura 10.11.



340 MÉTODOSNUMERICOSPARAINGENIER

FIGURA10.11 Ajuste de un polinomio de segundo orden.

FIGURA10.12 Algoritmopara implernentar a egresión polinomial.



REGRESldN CUADRADOS 34 1

SUBROUTINE POLREG(X,P,A)DIMEIiSION X(15),Y(15).A(15.161

I P = I o * 1 2 0 3 0 FOR L = 1 TO N

2000 FOR I = 1 TO I O + 12010 FOR J = 1 TO I O + 12020K = I + J - 2

IO = orde r of regression

ccnnoN N , I Opolynolnsal

N = n u m b e r o f d a t aoolnts

20502 0 6 0

2 0 9 02 1 0 0

DO 2100 I=l,IPDO 2060 J=l,IPK=I+J-2W 2050 L=l,NA ( I , J l = A ( I . J l + X ( L ) ~ ~ KC O N T I N U EC O N T I N U E

~~

2040 A ( I , J ) = A ( I , J ) + x ( L )2050 NEXT L

2 0 7 0 FOR L = 1 TO N2060 NEXT J

2 0 8 0 A ( I , I O + 2 ) = A ( I , I O +Y ( L ) t X ( ¡ ) ( 1 - 1 )

K- ( D e t e r m l n a t l o nofcoe ff i c l en t sof norma lequa t ions andstorage In mat r ix A l

(De te r rn lna t ion o f2 ) +

2 0 9 0 NEXT L..

r ight hand s ide constants

M 2 0 9 0 L=l,N ' 2100 NEXT IIR=lP+l 2 1 1 O RETURN

C O N T I N U EA ~ 1 , I R ~ = A ~ I . I R ~ + Y ~ L I ~ X ~ L ~ ~ ~ ~ I - l ~

C O N T I N U ERETURNE N D

and s torage In lastfo r no rma l equa t ions

columnof rnatrlx A l

FIGURA10.13 Subrutinas en FORTRANy BASICque calcula las ecuaciones normales,de la regresión polinomial, en forma matrical.

10.2.1 Algoritmo para la regresión polinomial

En la figura10.12se muestraun algoritmo sobre la regresión polinomNótese que la tarea principales la obtención delos coeficientes de las ecuaciones normales [Ec.(10.la)]. Las subrutinas que llevan a cabo esta tse presentan en la figura10.13).En seguida se pueden aplicarlosméto-dosde loscapítulos7 y 8 en la solución de estas ecuaciones simultápara esos coeficientes.

Unproblema potencial que e presenta con la implementación mial es que algunas veces las ecuaciones normales están mal condas. Esto se cumple en particular cuandolossistemassonmuygrandes. Enestos casos,loscoeficientes calculados son altamente susceptibles loserrores de redondeoy, porlo tanto, los resultados resultan inexactos. Eotras cosas, este problema está relacionado con e hecho de quepo-linomios de órdenes superiores las ecuaciones normales pueden oe-ficientes muy grandesy muypequeños al mismo tiempo. Esto se dea queloscoeficientes son sumatorias delosdatos elevados a potencias

Aunque algunas de las estrategias para amortiguaroserrores de redon-deo analizadas en el capítulo7 ,tales como el pivote0y las ecuacionesde error, pueden ayudar a remediar parcialmente este problema,ternativa más simple es usar una computadora de alta precisión.un caso donde las microcomputadoras pueden representar desveen la implementación efectiva de este método numérico n espectunadamente, la mayor partede los problemas prácticos estdn limitadoa polinomios de orden inferior enlosque los errores de redondeo, engeneral, son despreciables. En situaciones donde se requiera pode orden superior, se dispone de otras alternativas para ciertos tipdatos. Sin embargo, estos métodos (tales como los polinomios oles) van más allá del alcance de este libro. El lector debe consulsobre regresión tales como el Drapery Smith(1981)para obtener infor-mación relacionada con el problemay sus posibles alternativas.




10.3 R E G R E S I ó NL I N E A LM ú LT I P L E

Una extensión útil en la regresión lineal es el caso en que y es unafunción lineal de dos o más variables. Por ejemplo, y pudiera ser una función lineal de x1 y x2, de la forma:

Tal ecuación es útilparticularmente cuando se ajustan datos experimen-tales en donde la variable que se está analizando, a menudo es funcióde otras dos variables. En este caso bidimensional, la “línea” de regresiónvienea ser un “plano” (Fig. 10.14).

Como con los casos anteriores, los “mejores” valores de los coeficiente

se determinan agrupando la suma de los cuadrados de los residuos:n

Sr = (yi --‘a0- a lx l , ¡- ~ 2 , ~ )i= l

y derivando con respecto a cada uno de los coeficientes:

[10.20

Los coeficientes que generan la suma mínima de los cuadrados de loresiduos se obtienen igualando cada una de las derivadas parciales a ceroy expresando la ecuación (10.20) como un conjunto de ecuaciones lneales simultáneas, de la forma:

o como una matriz:



REGRESldN C O NMíNIMOS CUADRADOS 343

FIGURA10.14

CUADRO10.5

Esquema grafico de la regresión lineal múltiple en donde y es una fun-ción lineal de X I y X?.

EJEMPLO 10.6Regresión lineal múltiple

Enunciado del problema: los siguientes datos se calcularon dcióny = 5 + 4x1 - x2.

2O O 5

12.5

10

12 93 O

47

62

327

Úsese regresión lineal múltiple para estos datos.Cilculos necesarios para desarrollar las ecuaciones normales del eiemplo 0.6

Y X I x 2 x : x f x1x2 XI Y *2Y5 O 0 0

10O

2O

1 40

10

9 2.5 22 20

6.2510

O 1 34 22.58

13

9 336

0 027 2 494894

24 124

18

E 54 16.546.2548



344 MÉTODOSNUMERICOS PARAINGENIERO

Solución:las sumatorias necesarias para desarrollar la ecuaci(10.21se calculan enel cuadro10.5. Sustituy éndo las en la ecuación(10.21)obtiene:

[{.5 : g]4 [2 = [g.51

quese pu ed e resolver usan do un m étod o com o a eliminaciópara obtener:

a. = 5 al = 4 a2 = -3

los cuáles son consistentes con la ecuación original d e d onron los datos .

La regresión lineal múltiplese pue de formular enel caso más gencomo:

y = a0 + alxl + a2x2 + * * . + a,xm

e n d o n d eos coeficientes q u e minimizanla suma deos cuadrados do

residuosse determinan resolviendoel sistema:

Elerror estándar d ela aproximación para regresióniformula de la siguiente manera:

[10.2

neal múltiple

y el coeficiente de correlaciónse calcula co m o en la ecuación(10.10A un qu e existen ciertos caso s en do nd e un a variable es

dependientede doso más variables diferentes,la regresión lineal m



REGRES16NC O NMíNIMOS CUADRADOS 345

ple tiene utilidad adicional en la obtención de ecuaciones de pde la forma general:

Tales ecuaciones son extremadamente útiles cuando se ajustan perimentales. Además, para usar la regresión lineal múltiple, lanes se transforman tomando su logaritmo para obrener:

log y = log a0 + a l og x1 + a2 log x2 + * + a, logx,,,

Esta transformación es similar a las que se usan en a sección10.1.3 yel ejemplo10.4 para ajustar una ecuación de potencias en dondey erauna función de una variable simplex. En el caso de estudio12.5 se pro-porcionaun ejemplo de esta aplicación.

PROBLEMASCálculosa mano

10.1 Dadoslos datos

0.95 1.42 1.541.32 1.15 1.471.46 1.47 1.921.85 1.74 1.652.39 1.82 2.06

1.55 1.631.95 1.251.35 1.051.78 1.712.14 2.27

determínesea ) la media,b) la desviación estándar, c) lavarianza y d ) el coeficienvariación.

10.2 Constrúyaseun histograma delos datos delproblema 10.1. Useseun rango de0.2.4con intervalos de0.2.

10.3 Dadoslos datos

52 6 18 21 26 28 3239 22 28 24 27 27 332 12 17 34 29 3 1 34

43 36 41 37 43 38 46

determínesea ) la media.b) la desviación estándar, c) la variaray d ) el coeficiente variación.e )Constrúyase un histograma. k e s eun intervalo deOa 55 con incrementos de5.flSupo-niendo que la distribución es normaly que la aproximación de la desviación está



346 MÉTODOS NUMÉRICOSPARA INGENIE-

10.4

10.5

10.6

10.7

10.8

10.9

válida, calcúleseel intervalo (es decir,os valores inferiory superior) que abarque68de las lecturas. Determínese si ésta es una aproximación válida paralos datos de eproblema.

Utilice a regresión con mínimos cua drados par a ajustar una línea rect

x 1 3 5 7 10 12 13 16 180

y 1 3 2 6 5 8 7 1 0 9 1 2 1 0

J w t o con la pendientey la intersección, calcúlese el error es tán da r de la apy el coeficiente de correlación. Graf íquenselos datosy la línea de regresión. En repítase el problem a, pero ahorax contray; es dec ir, intercámbiense las variabprétenselos resultados.Úsese regresión d e mínimos cua drados par a ajustar una línea recta a :

x 4 6 8 10 14 16 20 22 24 28 28 34 36 38

y 1 30 18 22 28 14 22 16 8 20 8 14 14 O 8

Junto conla pendientey la intersección, calcúlese el error es tán da r de la ay el coeficiente de correlación. Grafíquenselos datosy la línea de regresión.Si algurealizó una medida adicional dex = 30, y = 30, ¿se esperaría basán dose en unvación visualy en el erro r e stán dar, que a medida fuese válidao inválida? Justifíqlas conclusiones.

Empléese regresión con mínimos cuadrado s par a ajustar una línea reclos datos

xO 2 4 4 8 12 16 20 24 28 30 34

10 12 18 22 20 30 26 30 26 28 22 20

a) Junto con la pendie ntey la intersección. calcúlese el error está nd ar de la apy el coeficiente de correlación. Grafíquense los datosy la línea recta.Valórese el ajuste.b ) Repítase el cálculo dea) pero us ando regresión polinomial para ajustar ua los datos . Compárenselos resultados conlos de a ) .

Ajústese un mod elo de prom edio de crecimiento de saturacijna '

x 1 2 2.5 4 6 8 8.5

y I 0.4 0.7 0.8 1.0 1.2 1.3 1.4

Grafíquenselos datosy la ecuaciqn.

Ajústese una ecuación de potenciaslos datos del problema10.7. Grafíquenselos day la ecuación.

Ajústese una parábola alos datos del problelna10.7. Grafíquenselos datosy la ecuac



REGRESIONCON CUADRADOS 347

10.10 Ajústese unaecuacióndepotencias a:

x 2.5 3.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20

y I 5 3.4 2.6 1.2 0.8 0.6 0.4 0.3 0.3

Grafíquesey contrax ade m ás de la ecuación de potencias

10.11 Ajústese un mod elo xponencial a :

x I 0.05 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0 2.4y I 550 750 1000 1400 2000 2700 3750

Grafíquenselos datosy la ecuación en papel estándary semilogarítmico. Analícenselosresultados.

10.12 Ajústese una ecuación de potencias alos datos del problema10.11. Grafíquenselos da-tos y la ecuación.

10.13 Ajústese una parábola alos datos del problema10. 11. rafíquenselos datosy la ecuación.

10.14 Dadoslos datos:

x 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50y I 17 25 30 33 36 38 39 40 41 42

Úsese regresión con mínimos cuadrados para ajustara) a una línea recta,b ) a una ecua-ción de potencias,c ) a una ecuació n de prom edio de crecimiento de saturacióy d) auna parábola. Grafíquenselos datos junto c on to das as curvas. ¿Alguna de ellas jor? Si es así justifíquese.

10.15 Ajústesea unaparabolaa:

x 1 O 2 4 6 11 13579358y I 1.2 0.6 0.4 -0.2 O -0.6 -0.4 -0.2 -0.4 0.2 0.4 .2 1.8

Calcúlenselos coeficientes, el erro r están dar de a aproximacióny el coeficiente de co rrlación. Grafiquenselos resultadosy valórese el ajuste.

10.16 Úsese regresión lineal múltiple paraajustar:

X l I O 1 2 0 1 2X2

y 192 11 24 2252 2 4 4 6 6

Calcúlenselos coeficientes,el error estánda r e la aproximacióny el coeficientede orrelacihn.




10.17

10.18

10.19

10.20

10.21

10.22

10.23

10.24

Usese regresióninealmúltiple ara ajustar:

x1

x2

1 1 2 2 3 3 4 4

18 12.85.70.6 35.0 29.85.50.31 2 1 2 1 2 1 2

Calcúlenseloscoeficientes, el error estándar de la aproximacióny el coeficiente de clación.

Problemas relacionados conla computadora

Desarrólleseun programa legible al usuario para regresión lineal basado en 10Entre otras cosas:

a) Agréguense instrucciones que documenten el programa.b) Háganse más descriptivas las operaciones de entrada saliday orientadas al usuC ) Calcúlese e imprímase el error estándar de la aproximación [Ec .(10.9)] el coeficiede correlación [la raíz cuadrada de la ecuación(10.10)].d ) (Opcional) nclúyase una gráfica por computadora deosdatosy de la línea de regre) Opcional Inclúyase una opción que permita analizar ecuaciones del tde potenciasy depromediode crecimiento de saturación.

Desarrólleseun programa que sea legible al usuario para regresión polinomlas figuras 10.12y 10.13.Pruébese el programa repitiendoloscálculosdel ejemplo 1

Desarrólleseun programa que sea legible al usuario parala regresión múltiple baslafigura 10 .1 2 , pero con lamatriz especificada com o la ecuación(10 .22) .pruébesprogrma repitiendolos cálculos del ejemplo10.6

Repítanselosproblemas10.4 y 10.5 usando el programadelproblema 10.18

Úsese el paquete de programasNUMERICOMPpara resolverlos problemas10.4, 10y 10.6a

Repítanselos problemas10.9, 10.13 y 10 .1 5 usandoel programa del problema10.1

Repítanselos problemas10.16 y 10.17 usando el programadelproblema 10.2



C A P í T U L OO N C E

Con frecuencia se tienen que estimar valores intermedios entre conocidos. El método más común empleado para este propóss lain-terpolación polinominal.

Recuérdese que la fórmula general deun polinomio de n-ésimo oden es:

f(x) = a0 + a1x+ a2x2+ * +anxn [11.1]

Paran + 1 puntos, existe unoy sóloun polinomio den-ésimo rdenomenor que pasa a través de todos los puntos. Por ejemplo, haylínea recta (es decir,un polinomio de primer orden) que onecta dos (Fig.11.la). De manera similar hay sólo una parábola ue conecpuntos (Fig.11.lb ) .Elpolinomiod e interpolación consiste en determnar el Único polinomio de n-ésimo orden que se ajusta a losn + 1 pun-tos dados. Este polinomio proporciona una fórmula para calcuos valoresintermedios.

Aunque existe unoy sóloun polinomio de n-ésimo orden que se a los n + 1 puntos, existen una gran variedad de fórmulas matemá

FIGURA1 1 . 1 Ejemplos de interpolación polinomia l: a ) Primer orden (lineal), conexiónde dos puntos; b) conexión de tres puntos, segundo orden (cuadráticao parabólica) y c) conexión de cuatro puntos, tercer orden (cúbico).




mediante las cuales se puede expresar este polinomio. En este capítulo,se estudian dos técnicas alternativas que est6n bien condicionadas paraimplementarse en una microcomputadora. Estos son los polinomios dNewton y los de Lagrange.

11.1 POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓNCONDIFERENCIAS DIVIDIDASDE NEWTONComo ya se dijo, existe una variedad de maneras diferentes de expresarun polinomio de interpolación. El polinomio de interpolación con dife-rencias diuididas de Newton, entre otros, es la forma más popular ademásde la más útil. Antes de presentar la ecuación general, se examinan las vsiones de primero y segundo orden debido a su fácil interpretación visual

1 1 l .1 Interpolación lineal

La forma más simple de interpolación es la de conectar dos puntos conuna línea recta. Este método, llamado interpolación lineal, se muestra enla figura 11.2.Usando triángulos semejantes, se tiene:

FIGURA11 .2 Esque ma gráfico de a nterpola ción in eal. Las áreos somb readas mues-tran triángulos semejantes usados en la derivación de la fórmu la de in-terpolación ineal [ € c . 1 1.2)].



NTERPOLACldN 35 1

que se puede reordenar como:

[11.2]

la cual es una fórmula de interpolación lineal. La notaciónfl(x) indicaque se trata deun polinomio de interpolación de primer orden. Nque además de representar la pendiente de la línea que conectapuntos, el términoLf(xl) - (xo)]/(xl - o) es una aproximación dedi-ferencias divididas finitas a la primera derivada [recuérdese la e(3.24)]. n general, entre más pequeño sea el intervalo entre lospuntos,más exacta será la aproximación. Esta característica se demueen elejemplo, siguiente.

EJEMPLO1l .lnterpolación ineal

Enunciado del problema: calcúlese el logaritmo natural de2 (In2)usan-do interpolación lineal. Primero, llévense a cabo los cálculos indo entreIn 1 = O y In 6 = 1.791 759 5. Despuésepítanse elprocedimiento, pero usandoun intervalo más pequeño desdeIn 1 a In4 (1.386 294 4). Nóteseque elvalorrealde In 2 = 0.693 147 18.

Solución: usando la ecuación(11.2),una interpolación lineal dex = 1a x = 6 da:

f,(2)= 0 + 1.791 759 5 - O6 - 1 (2 - 1) = 0.358 351 90

la cual representaun error porcentual de= 48.3%. Usandoel intervalomás pequeño desdex = 1 a x = 4 da:

fi(2) = 0 +1.386 294 4 - O

4 - 1(2 - 1) 0.462 098 13

Porlo tanto, usando el intervalo más pequeño reduce el error reporcentual aE, = 33.3%. Ambas interpretaciones se muestran enla fi-gura11.3, unto con lafunción verdadera.

1 l . 1.2 interpolación cuadrática

El error en el ejemplo11.1 se debe a que se aproximó una curva mdiante una línea recta. Por consiguiente, una estrategia que mejor




FIGURA11.3 Dos interpolaciones lineales para ap roximar I n 2. Nótese cómo el ntervalo más pe-queño proporciona una mejor aproximación.

ximación es la de introducir cierta curvatura en la línea que conecta a lopuntos. Si se dispone de tres datos: lo anterior se puede llevar a cabo

con un polinomio de segundo orden (llamado también polinomio cua-drático o parábola). Una manera conveniente para este caso es:

Nótese que aunque la. ecuación ( 11.3)parezca diferente de la ecuacióngeneral de un polinomio [Ec. (11. )], las dos ecuaciones son equivalen-tes. Esto se puede demostrar si se multiplican los términos de la ecuación(11.3)y obtener:

A(x) = bo + b l x - blxo + b2X2 + bzxoxl - ~ ~ x x O b2XXI

o , agrupando términos:

f2(x) = a0 -t a lx + a2x2

en dónde:



INTERPOLACI6N 353

De esta manera, las ecuaciones (1 1.1) (11.3) on fórmulas alternativasequivalentes del Único polinomio de segundo grado que une a los trespuntos.

Se puede usar un procedimiento simple para determinar los valores

de los coeficientes. Para bo, se usa la ecuación (11.3) con x = x0 y seobtiene

bo = f (xo) [11.4]

Sustituyendo la ecuación (11.4) en la ecuación (11.3) y evaluando enx = x1 se obtiene:

[11.5]

Y por último, las ecuaciones (11.4) y (11.5) e sustituyen en la ecuación(11.3), se evalúa ésta en x = x2 y se obtiene:

[11.6]

Nótese que, al igual que en el caso de interpolación lineal, b l aún re-presenta la pendiente de la línea que une los puntos x0 y x l . Por lo tan-to, los primeros dos términos de la ecuación (11.3)son equivalentes ala interpolación de x a xl, como ya se especificó anteriormente en laecuación (11.2).El Gltimo término, b2(x - o) (x- l), introduce la cur-vatura de segundo orden en la fórmula.

Antes de ilustrar como se usa la ecuación (1 .3), sedebe examinarla forma del coeficiente b2. Es muy similar a la aproximación por dife-rencias divididas finitas de la segunda derivada introducida previamenteen la ecuación (3.31). or io tanto. la ecuación (11.3) mpieza a mani-festar una estructura muy similar a la serie de Taylor. Esta observaciónse explora con más detalle cuando se relacione el polinomio de Newtoncon la serie de Taylor en la sección 11.1.4. Pero primero, se muestra có-mo se usa la ecuación (11.3)para interpolar entre tres puntos.

EJEMPLO11.2Interpolación cuadrática

Enunciado del problema: ajústese el polinomio de segundo orden a lostres puntos usados en el ejemplo 11.1:

x0 = 1 f(xo) = oXI = 4 f(x1) = 1.386 294 4x2 = 6 f (~2 ) 1 . 791759 5



354 MÉTODOS NUMÉRICOSPARA NGENIEROS

úsese el polinomio para evaluar In 2.

Solución: aplicando la ecuación (11.4) da:

Las ecuaciones ( 1 . ) generan :

y la ecuación (11.6) da:

1.791 759 5-1.386 294 4 "o.426 098 13

b2 =6-4

= - 0.051 873 116 . 1Sustituyendo estos valores en la ecuación (11.3) se obtiene la fórmulacuadrática:

f 2 ( ~ ) O + 0.462 098 1 3 ( ~ 1) - 0.051 873 1 1 6 ( ~ ) ( x - 4

que se evalúa en x = 2 y se obtiene

f2(2)= 0.565 844 36

lo que representa un error porcentual del .E = 18.4%.Por lo tanto, lcurvatura introducida por la fórmula cuadrática (Fig. 11.4) mejora la interpolación comparada con los resultados obtenidos al usar una línea rectaen el ejemplo 11.1 y la figura 11.3.

11.1.3 Forma general de los polinomios de interpolación de Newto

Elanálisis anterior se puede generalizar e n el ajuste de un polinomio dn-ésimo orden a los n + 1 puntos. El polinomio de n-ésimo orden es

j n ( X ) =bo + bl(x - ~ g )

* * *

+ b,(x -XO)(X - XI)

. . .(X

-Xn- l )

[11.Como se hizo anteriormente con las interpolaciones lineales y cuadrácas, se usan los puntos en la evaluación de los coeficientes bo. b l , . .

b,. Se requieren n + 1 puntos para obtener u n polinomio de n-ésimorden: x(), x l , , . . , x,. Usando estos datos, con las ecuaciones siguien-tes se evalúan los coeficientes:

[11

[11.



lNTERPOLACl6N 355

FIGURA-11.4 u s o de la interpolación cuadratica pa ra calcular In 2. Se incluye también la interpo-loción ineal de x = 1 a 4 para comparación.

b 2 = f b 2 , x17 x01 [11.10]

en donde las evaluaciones de la función entre corchetes son diferenciasdivididas finitas. Por ejemplo, la pr i mera d i fe renc ia d iv i d ida in i t ase re-presenta generalmente como:

[ll. 121

Lasegun da d i ferenc ia d iu id ida in i ta ,

que representa la diferencia de dosprimeras diferencias dividas finitas, se expresa generalmente como:

[11.13]



356 MÉTODOS NUM~RICOSARANGENIE

Estas diferenciasse usan para evaluar los coeficientes de ecuanes(11.8) la (1 . l ) , os cuales se sustituyen en la ecuación(1 .7) ra obtener el polinomio de interpolación:

FIGURA11.5

[11.1

Alcual se le llamapo li no m io de interpolación co n diferencias divididd e N e w t o n .Se debe notar que no es necesario que los datola ecuación(11.15) stén igualmente espaciadoso quelos valores dabscisa necesariamente se encuentren en orden ascendente, c

tra en el siguiente ejemplo. También nótese que las ecuacion(11.12la (11.14) on recursivas, esto es, las diferencias de orden supponen de diferenciasde orden inferior (Fig.11.5). sta propiedad se vecharáal desarrollarun programa eficiente para la computadsección11.1.5que implemente este método.

Esquema g ráfico de la naturaleza recursiva de u na diferencia divididafinita.

EJEMPLO11.3Polinomiosde interpolacion de Newton on diferencias

Enunciado del problema: enel ejemplo11.2 ,se usaronlospuntosx = 1 ,xi = 4 y x2 = 6 paracalcularIn 2 conuna parábola. Aagregandoun cuarto punto[x3 = 5; f ( x 3 ) = 1.609 437 91, calcúleseIconun polinomio de interpolación de Newton con diferencide tercer orden.

Solución: el polinomio de tercer orden, ecuación( 11.3) con n = 3 ,



INTERPOLACI6N 357

las primeras diferencias divididas del problema son [Ec. (11.12)J

f k l , x01 = 294 - o = 0.462 098 134 - 1

1.791 759 5 - 1.386 294 4 = o.2o2 732 55f k 2 , x11 = 6 - 4

1.609 437 9 - 1.791 759 5 = o.182 321 6of[X3, x21 = 5 - 6

Las segundas diferencias divididas son [Ec. 11.13)]

0.202 732 55 - 0.462 098 13

6 - 1k 2 , x19 x01 = = - 0.051 873 116

0.182 321 60 - 0.202732 555 - 4ix39 x27 x11 = = - 0.020 41050

La tercera diferencia dividida es [Ec. (11.14)] con n = 31

-0.020 410 950 - (-0.051 873 116)5 - 1b 3 , x2, x19 x01 =

= 0.007 865 541 5

FIGURA11.6 USOde interpolación cúbica para aproximar In 2 .

~ - _ I .._" X . L . 1 -."l"""-.-.---



358 METODOSNUMÉRICOS PARA INGENIE

Losresultados para f[xl, o], [x2,xl,xo] f[x3, 2, l , "] representan locoeficientes bl , b2 y b3 de a ecuación (11.7). unto con bo = f(xo) = 0.0la ecuación (11.7)da

f 3 ( ~ ) = O + 0.462 098 3 (X - 1) - 0.051 873 116 X 1 ) (X - 4+ 0.007 865 541 5(x l)(x - 4 ) ( ~ 6)

con la que se puede evaluar

f3(2)= 0.628 768 69

lo que representa un error relativo porcentual del t u = 9.3%. l polinomio cúbico completo se muestra en a figura 11.6.-11.1.4 Errores en los polinomios nterpolantes de Newton

Nótese que la estructura de la ecuación (1 . 15) s similar a la expansiónde la serie de Taylor en el sentido de que los términos agregados secuen-cialmente consideran el comportamiento de orden superior de a funciónrepresentada. Estos términos on diferencias divididas finitas y , por lo tantorepresentan aproximaciones a las derivadas de orden superior. En consecuencia, como sucede con laserie de Taylor, si la función representati-va es un polinomio de n-ésimo orden, el polinomio interpolante de n-ésimo

orden basado en n + 1 puntos levará a resultados exactos.También, como en el caso de la serie de Taylor, se puede obteneruna formulación del error de truncamiento. Recuérdese de la ecuación(3.13) ue el error de truncamiento en la serie de Taylor se expresa enforma general cómo:

f'"'(S) (x,+1- xi)"+',, = (n-+ 1)

en donde 4es un punto cualquiera dentro del intervalo [x,, ,, ),Una re-

lación an6loga del error en un polinomio interpolante de n-ésimo ordenestá dada por:

..

[11.16

en donde 4es un punto cualquiera dentro del intervalo que contiene lasincógnitas y los datos. Para uso de esta fórmula la función en cuestióndebe ser conocida y diferenciable. Y usualmente, este no es el caso. Afor-tunadamente, existe una fórmula alternativa que no requiere conocimiento



lNTERPOLACl6N 359

previo de la función. En vez de ello, se usa una diferencia dividqueaproxima la( n + 1)-ésima derivada:

en donde f[x,x,, x,-1 ,. . . , xo] es la(n + 1)-ésima diferenciadividi-da . Ya que la ecuación(1l . 7) contiene la incógnita)(x), ésta no se pue-de resolvery obtener el error.Sin embargo, si se disponede un datoadicional f(x,+J , la ecuación (11.17) daunaaproximacióndelerrorcomo:

EJEMPLO 11.4Estimación del error en el polinomio de nterpolación de Newton

Enunciado del problema: úsese la ecuación(11.18)para calculare errordel polinomio de interpolación de segundo orden del ejemplo 12 .Usenselos datosadicionalesf(x3) = f(5) = 1.609 4379 para obtenerlosre-sultados.

Solución: recuérdese que en el ejemplo 11 .2 el polinomio deción de segundo orden proporcionó una aproximación def(2)= 0 .56584 4 346 , que representaun error de 0 .6 9 3 14718 - . 565844 346= O.127 302 835.Si no se sabe el valor verdadero, como es en lyor parte deloscasos, se puede usar la ecuación (1l . 18), unto conelvalor adicional enx3,para calcular el error, como

O

R2 = 0.007 865 541 5 (X - )(x - 4 ) ( ~ 6)

en donde el valor de la diferencia dividida finita de tercer ordeló previamente enel ejemplo 11 .3 . Esta relación se evalúa enx = 2 yse obtiene:

R2 = 0.007865 541 5 (2 - 1)(2- 4)(2 - 6) = 0 .062 924 33

que es delmismoordenqueelerrorverdadero




11.1.5 Programa de computadora para el polinomio deinterpolación de Newton

Son tres las propiedades que hacen del polinomio de interpolaciónde Newton un método extremadamente atractivo para usarse en unacomputadora:

1. Como en la ecuación(11.7), as versiones de orden superior sden desarrollar secuencialmente agregandoun término simple a laguiente ecuación de orden inferior. Esto facilitaa evaluación de varversiones de orden diferente en el mismo programa. Estaesmuy útilcuando no se conocea prioriel orden del polinomio. gando nuevos términos secuencialmente, puede determindo se alcanzaun punto de retorno, es decir, cuándoal agregarun

término de orden superior no se mejora significativamentmacióno en ciertos casos se disminuye. Las ecuaciones delizadas en el punto(3)son útiles al definirun criterio objetivo endeterminación de este punto de términos decrecientes.

2. Las diferencias divididas finitas que constituyenloscoeficientes dpolinomio [Ec. (11.8) a la (11.1l)] se calculan con una relacióncursiva.Esto es , como en a ecuación(11.14)y la igura 11.5,lasdiferencias de orden inferior se usan para calcular las difeorden superior. Usando la información previamente deterloscoeficientes se calculan eficientemente. El programa de lacontiene este esquema.

ORTRA ASICDIMENSIONF X C 1 0 , l O ) ~ X ~ l O )READ<5 , l )N

1 FORRLTCI S )DO 1 4 0 I - $ . NR E A D < S , 2 ) X < ) , F X <, 1 )

2 FORMAT<2 F 1 U 0 )

1 4 0 CONTINUEM-N-1DO 2 0 0 - I , M

NP-N- JK = J + T

DO 1 9 0 I= l ,NPF x ( I , K ) - ~ F X ~ I + l , J ) - F ~ ~ I , J ~ ) ~ ~ X ( I + J ) - % ~ I ) ~

1 9 0O N T I N U E2 0 0 CONTINUE

DO 2 3 0 = t , N

3O R M RT C . - , F 1 0 . 3 )W R I T E ( 6 , 3 > F X ( I , J )

2 3 0 C O N T I N U ER E R D < S , 2 ) X IF A - l .Y.0,DO 3 4 0 J-V.NY-Y+FX<1 , J >+FaW R I T E ( 6 , 3 ) YFA-FR*<XI-X(J i )

E A n FA r F X <, JP >J P - J + l

W R I T E C 6 , J ) E A

IF C J . G E . N ) C O T O3 5 0

3 4 0 CONTINUE3 5 0 STOP

END

F h l N T E AI E X I . IF

FIGURA11.7 Programa para computadora del polinomio nterpolante de Newton



INTERPOLACldN 36 1

3. La ecuación de error [Ec.(11.18)] e expresa en términos de las dferencias divididas finitas que ya se han calculado para detecoeficientes del polinomio. Porlo tanto, si se guarda esta informción, se calcula el error aproximado sin volver a calcular tidades.Todas las características anterioresse pueden aprovechar e incor

rar en un programa general para computadora que implemente enomio de Newton (Fig. 11 .7). Al igual que todoslosprogramas del libresta versión no se documenta. Además, no incluye el error apmencionado en el punto(3).Una de las tareas es la de hacer este prma más legible al usuario (véase el problema 11 .11)y que incorpore laecuación de error. La utilidad de esta ecuación se demuestra eplo siguiente.

EJEMPLO 11.5Uso de la estimación de error para determinar el orden apropiadode interpolación

Enunciado del problema: después de incorporarel error [Ec.11.181,uti-lícese el programa de computadora dado en la figura 11.7y la siguienteinformaciónparaevaluar f ( x ) = In x en x = 2.

x f(x) = In x

1 O4 1.386 294 46.791 75955 1.609 437 93 1.O981 21.5 0.405 46512.5 0.916 290 733.5 1.252 763O

Solución: los resultados de emplear el programa de la figura11.7paraobtener la solución se muestran enla figura 11 .8 . En afigura11 .9 serepresenta el error aproximado, junto con el error verdadero (enel hecho deque In 2 = 0.693 14718).Nótesequeelerrorcalculadoy el verdadero son similaresy su coincidencia mejora a medida queel orden. De la gráfica se puede concluir que las versiones de den llevan a una buena aproximacióny quelostérminos de orden suprior no precisan significativamente la predicción.

Este ejercicio ilustra también la importancia de la posicióny orden delospuntos. Por ejemplo, las aproximaciones de orden superior mejoran más lentamente ya quelospuntos que se le agregan (enx =4 , 6y 5) estándistantesy a un ladodel punto en cuestión enx = 2.





FIGURA11.9

11.2

Errores relativos porcentuales en la apr oxim ación de In2 en función delorden del polinomio de nterpolación.

finita no varía demasiado a lo largo del rango de datos, entonces el errores proporcional al producto:(x - o)(x - l) . . . (x - ,,).Obviamen-te , mientras más cercanos estén lospuntos base a las x, menor será lamagnitud de este producto.

POLINOMIOS DEINTERPOLACIÓN DELAGRANGE

El po l inomio de in t e rpo lac ión de Lagrange , simplemente es una refor-mulación del pqlinomio de Newton que evita los cálculos de las diferen-cias divididas. Este se puede representar concretamente cómo:

en donde:

[11.19]




[11.20]

en donde I’I denotael “productode.”.Porejemplo, la versión inea( n = 1) es:

I

y la versión de segun do orden es:

[11.21]

[11.22]

Al igual qu e el m étod o de N ew ton,a versión d e Lagrange tiene unaproximado, dado por :

n

La ecuación(1 .19) se deriva directamente del polinomio d eton (recuadro11.1). in em bargo , la razón fundamen tal d e la foción d e Lagrangese puede comprender directamente notando términoLi(x) será1 enx = x, Oen todoslos demás puntos.Por lo tan-to, cada productoLJx)f xi) oma un valor def ( x , ) n el puntox , . orconsiguientela sumatoria de todo slos productos, dada porla ecuación(1 1.19) es el Único polinomio de n -ésimo orden que p asa ex acpor los n + 1 puntos.

RECUADRO1 1 . 1 Derivación de a forma de Lagrange directamente del polinomio de interpolaciónde Newton

Elpolinomio de nterpolación de Lag range se puede eri-var directamente de la formulación de Newton. Se haráesto en el caso de primer orden,

f [XI, x03 =f XI) - (xo,

x1 - x0

fdx) = f ( x0 ) + (x - xO)f[Xl, x01 [B11.1.1] se uede reformular como:

Para derivar la forma de Lagrange, se reformulan las di-ferencias divididas. Por ejemplo, la primera diferencia di- f b l , x 0 3= _ _ _(x1 ) + ~ f x01 [B11.1.2]vidida. x1 - x0 x0 - XI



INTERPOLACldN 365

a la cual sele con oce con el nombre de forma simétrica. Finalmente, agrupando términos similaresSustituyendo la ecuación(B11.1,2)en la ecuación do, se llega a la forma de Lagrange,( B 1 l . l . l )se obtiene

EJEMPLO11.6Polinomios de interpolación de Lagrange

Enunciado del problema: úsese un polinomio de interpolación de Lagrangede primero y segundo orden para evaluar In 2 en base a los datos dadosen el ejemplo 11.2:

x0 = 1 f(xo) = oXI = 4 (XI) = 1.386 294 4x2 = 6 f ( ~ 2 ) = 1.791 759 5

Solución: el polinomio de primer orden es [Ec. (11.21)]

y , por lo tanto, la aproximación en x = 2 es

2 - 4 2 - 1f l k ) = ~ O+ -l " 4- 1

1.386 294 4 = 0.462 098 1

De manera similar, el polinomio de segundo orden se desarrolla como

[Ec. ( 11.22)]

+ (2 - 1)(2 - 4)(6 - 1) 6 - 4)

1.791 759 5 = 0.565 844 37

Como se esperaba, ambos esultados coinciden muy de cerca con los quese obtuvieron previamente usando la interpolación polinomial de Newton.

~



366 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIER

En resumen, paralos cas os en don de l orden del polinomise deconozca,el m éto do de Newton tiene ventajas debido a qu een el com por tam iento de as diferentes fórmulas de orden sm ás , la aproximación del error dad a por la ecuación(1 . 18), n genepu ed e integrarse fácilmente enloscálculos d e Newton ya q u e lamación usa un a diferencia dividida (Ejemplo11.5).De esta form a,d e el pu nto de vista d e cálculo,a m enu do, se prefiere el m étNewton.

Cuandose va a llevar a cabosólouna interpolación, ambos dos ,el de Newtony el de Lagrange requieren de un esfuerzo cálcusimilar.Sinem barg o, la versión d e Lagrange es un p oco má sprogramar. T ambién existen caso s en don dea forma de Newton es muceptible aloserrores de redondeo (Ruckdeschel ,1981).Debido a ey a que no requiere calculary alm acenar diferencias divididas,

de Lagrange se usa , a menudo, cuandoel ord en del polinomio sece a priori.

EJEMPLO11.7Interpolación de Lagrange usando computadora

Enunciado del problema: enel paquete NUMERICOMP que aca este textose enc uen tra un pr ogr am a legible al usuario que ila interpolación de L agr ang e.Se pu ed e usar este paq uete pa ra cab o un problema d e análisis aso ciad o con el problema de Supóngase que se ha desarrol ladonstrumentación para medirla veloda d del paracaidista.Los datos medidos para una pruebaparticular s

Tiempo, Velocidad medidaS v, cmls

1 8003 2 3105 3 0907 3 940

13 4 755

El problemaes determinarla velocidaddelparacaidista ent = 10y llenarel gran espacio de med idas entret = 7 y t = 13 s. Se sabe el comportamiento deos polinomios d e interpolación p ue de serado. Porlo tanto,se construyenlos polinomiosde órdenes4, 3, 2 yy se comparanlos resultados.

Solución:el programa NUM ERICOMP se usa pa ra construirlos polinmios d e interpolación de cuarto, tercero , seg und oy primer orden.Loresultados son



INTERPOLACldN 367

COEFICIENTE DE:Ordenel cuartoercer segundo pri mer cero calculado depolinomiorden ordenrden orden orden v para t = 10 S

4 - .763024.87501392.87813.625663.867430.1953 -4.4985866.09375.239258742.6564.8382 -36.1458458.75300.1035672.811 135.8333989.167

Valor

Elpolinomio de cuarto orden y los datos de entrada se rafican comose muestra en la figura 11. o a . Es evidente en esta gráfica que el valoraproximado de y en x = 10 es mayor que la tendencia total de los datos.

FIGURA11.10 Gráficas generadas por computadora, las cuáles muestran a) interpolación de cuar-to orden; b) de tercer orden c) de segundo orden y d) de primer orden.




En a figura 11.10ba la d se muestran gráficas de losresultados dloscálculos de lospolinomios de interpolación de tercero, segundo y pmer orden. Se nota que al disminuir el orden del polinomio de interpola-ción se disminuye elvalor aproximado de a vecindad a t =

10 s.L

gráficas de lospolinomios de interpolación indican que ospolinomios dorden superior tienden a descomponer la tendencia de los datos. Estogiere que lospolinomios de primero o segundo grado son más apropia-dos en este análisis en particular. Se debe recordar, sin embargo, que yaque se trata de datos inciertos, la regresión podría ser más apropiada.

11.3 COMENTARIOS ADICIONALES

Antes de proceder con la siguiente sección, se deben mencionar dos te-mas adicionales: la interpolación con datos igualmente espaciados yextrapolación.

Ya que losmétodos de Newton y Lagrange son compatibles condatos espaciados en forma arbitraria, el lector debe preguntarse por qse aborda el caso de los datos igualmente espaciados (recuadro 11.Antes del advenimiento de las computadoras digitales, estos métodosvieron gran utilidad en a nterpolación detablas con datos igualmenteespaciados. De hecho se desarrolló un esquema conocido como tabla ddiferencias divididas para facilitar la implementación de estas técnicas (lafigura 11.5es un ejemplo de estas tablas).

Sin embargo, y debido a que las fórmulas son un subconjunto deesquemas de Newton de Lagrange compatibles con la computadoraya que se dispone de muchas funciones tabulares omo rutinas de bibliteca, la necesidad de puntos equiespaciados se fue perdiendo. Por erazón, se han incluido en esta parte del libro por su importancia en partesposteriores del mismo. En particular, se pueden emplear en la derivaciónde fórmulas de integración numérica que emplean comúnmente datosequiespaciados (capítulo 13).Ya que las fórmulas de integración numé-rica tienen importancia en la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias.el material del recuadro 11.2también tiene importancia en el capítulo

RECUADRO11.2 lnterpolación con puntos igualmente epaciados

Si los datosse encuentran igualmente espaciados en or-En dondeh es el intervalo,o tam año del paso, eden ascend ente, entonce s la variable independien tesu- datos. En base a esto, las diferencias divididpone valores de pue den expresar en forma concisa. Por ejem

da diferencia dividida es



INTERPOLAC16N 3 6 9

que se puede expresar como

ya quex, - 1 = x1 - x2 = (xo - ?) 2 = h . Ahorarecué rdese que la segun da diferencia dividida hacia ad e-lanteA2j(xo) s igual al nu me rado r de la [Ec. (3.3111.

A2f (x0 )= f (x0) - 2f(xJ + f x 2 )

Porlo tanto, la ecuación (B11 .2.1)se puede representarmediante:

o. en general.

[B11.2.2]

Usando la ecuación( B l l . 2 . 2 ) ,l polinomio de interpola -ción de Newton [Ec.(1 .15)]se p uede expresar en l ca-so de datos igualmente espaciados como

A f x 0 )+-n "

(X - XO)(X - xo - h

{X - xo - ( n - 1)h)

+ R n [B11.2.3]

en dond e el residuo esel mismo de la ecuación(11.16).Esta ecuaciónse conoce comofórmul a de New tonofórmula

hacia adelante d e N ew t o n- r e g o r y.Esta se puedeim-plificar más aún de finiendo un a nueva cantida d,(Y:

X"

h( y = -

Esta definición se pu ed eusar para desarrollar la siguieexpresión simplificada delos términosen la ecuación(8112.3):

los cuales pue den sustituirse en la ecuación (B11.2dar

a - n + 1) +R, [B11.2.4]

en donde

Esta notación concisa tiene utilidad enla derivacióny aná-lisis de error de las fórmu las de integración del cap13.

Ad em ás de la fórmula hacia adelan te, existebién las órmulas centra lesy hacia atrásdeNewton-Grego ry. S e puede onsultar Carnahan, L uthery Wilkes(1969)para mayor información acerca de a interpode dato s igualmente espa ciados .

La extrapolación es el proceso de calcular un valor de f ( x ) ue cae fueradel rango de los puntos base conocidos, xo,x1 , . . , x, (Fig. 11.11) .Enunasección anterior, se dijo que la interpolación más exacta usualmentese obtiene cuando las incógnitas caen cerca de los puntos base. Obvia-mente, esto no sucede cuando las incógnitas caen fuera del rango, y porlo tanto, el error en a extrapolación puede ser muy grande. Como se



370 MÉTODOSNUMÉRICOSARANGENIEROS

FIGURA1 1 . 11 Ilustración de las posiblesdivergenciasdeunapredicciónextrapolada.La extrapalación se ba sa en el ajuste de un a par ab ola a través delosprimeros tres puntos.

muestra en la figura 11.11, a naturaleza abierta-en-los-extremos de la ex-trapolación representa u n paso en la incógnita porque el proceso extien-de la curva más a116 de la región conocida. Como tal, la curva verdadedradiverge fácilmente de la predicción. Por lo tanto, se debe tener cuidadoextremo en casos donde se deba extrapolar. El caso de estudio 12.1 eel capítulo siguiente muestra un ejemplo del riesgo que se corre al pro-yectarse más allá de los límites de los datos.

11.4 INTERPOLACIÓN SEGMENTARIA(SPLINE)

En la sección anterior se usaron polinomios de n-ésimo orden para in-terpolar entre n + 1 puntos. Por ejemplo, en ocho puntos, se derivaun polinomio perfecto de séptimo orden. Esta curva captura todos los sepenteos (al menos considera hasta derivadas de séptimo orden) sugeri-dos por los puntos. Sin embargo, existen casos en donde estas funcionespueden llevar a resultados erróneos. Una alternativa es la de aplicar poli-nomios de orden inferior a subconjuntos de datos. Estos polinomios cnectados se llaman funciones de interpolación segmentaria (en inglés, splinefunctions).



INTERPOlAC16N 37 1

Por ejemplo, las curvas de tercer orden empleadas para conectar ca-da par de datos se llaman funciones de nterpolación cúbica segmentaria(del inglés cubic spline s).Estas funciones tienen la propiedad adicionalde que las conexiones entre ecuaciones cúbicas adyacentes son visual-mente suaves. Superficialmente parece que la aproximación segmentariade tercer orden es nferior a la expresión de séptimo orden. Ellector puedepreguntarse por qué la interpolación segmentaria siempre es preferible.

FIGURA1 l . 12 Representación visual de una situación en donde a interpolación seg-mentaria (spl ine)es meior a la interpolación polinomial de orden supe-rior. La función muestra un salto abrupto en x = O. En los ncisos aal c) se muestra que el cambio abrupto indica oscilaciones con la inter-polación polinomial. En contraste y debido a que se limita a curvas detercer orden con transiciones suaves, la interpolación segmentaria d) pro-porciona una aproximación mucho más aceptable.




En la figura11.12se ilustraun caso en donde la interpolacimentaria se lleva a cabo mejor que con polinomios de ordeEste es el caso donde una función es generalmente suave pun cambio abrupto en algún lugar de la región de interés. a 11.1es un caso extremo de este cambioy sirve para ilustrar el punto

En las figuras11 . 12 ~ asta la11 .12~e ilustra cómolos polinomde orden superior tienden a balancearse a través de oscilacen la vecindad deun cambio abrupto. En contraste la interpolamentaria también conecta a los puntos, pero como está limbios de tercer orden, las oscilaciones se mantienen mínimala interpolación segmentaria proporcione una aproximacióncomportamiento de las funciones que tienen cambios locale

El concepto de interpolación segmentaria se originó de uso de una lámina de plástico delgada (llamadacuruigrufo,en ingléssplne)

en el trazo de curvas suaves a través deun conjunto de puntosE

proceso se muestra ena figura11.13sobreun conjunto de cinco tac(datos). En esta técnica, el dibujante coloca papel sobreun tablero de deray clava tachuelas en el papel(y en el tablero) en la posiciónlodatos. Al pasarun hilo entre las tachuelas resulta una curva cúve. De ahí que se haya adoptado el nombre de “interpolaciria” (en inglés “cubic spline”) para polinomios de este tipo.

En esta sección se utilizan primero funciones lineales sntroducir algunos conceptosy problemas básicos asociados con lalación segmentaria. Despuésse derivaun algoritmo para ajustar poli

FIGURA1l . 13 Técnica de dibujo para trazar curvas suaves utilizando un curvígrafo, da-dos una serie de puntos. Nótese como la unión de un punto a otro serealiza mediante diferentes tipos de curvas. Aeste tipo de interpolaciónde punto Q punto (segmentaria) se conoce como interpolación segmen-taria natural (natural spline).



INTERPOLACldN 373

de segundo orden alosdatos.AIfinal, se presenta material sobre inpolación cúbica segmentaria, la cuál es la versión más comúny útilenla práctica de la ingeniería:

11.4.1 Interpolación segmentaria lineal

La conexión más simple entreun par de puntos es una línea recta.pueden definirlos polinomios interpolantes de primer orden medinconjunto de puntos ordenadosy definirse comoun conjunto de funciones lineales que unen alos puntos:

en dondem i es la pendiente de la línea recta que une los puntos:

r11.231

Estas ecuaciones se usan enla evaluación de funciones de cualqpunto entrex y x,, localizando primero el intervalo dentro del que cuentra el punto. Después se usa la ecuación apropiaday se determinael valor funcional dentro del intervalo. Obviamente,el método es idénti-co a la interpolación lineal.

EJEMPLO 11-8lnterpolación segmentaria de primer orden

Enunciado del problema: ajústenselos datos del cuadro11.1con inter-polación segmentaria de primer orden. Evalúese lafunciónen x = 5 .

CUADRO 1 1.1 Datos poraius tar confuncionessegmentarias

X {(x)

3.0 2.54.5 1.o7.0 2.59.0 0.5



374 METODOS NUMERICOS PARAINGENIER

Solución: losdatos se pueden usar para determinar las pendientes entrepuntos. Por ejemplo, en el ntervalo de x = 4.5 a x = 7 la pendientese puede calcular usando la ecuación (11 3 )

I m =

2.5 - 1.07.0 - 4.5 = 0.60

Lospendientes sobre losotros intervalos se pueden calcular, y los po-linomios de primer orden se grafican en la figura l l 4a. Elvalor parax = 5 es 1.3.

Una inspección visual sobre la figura 11.14~1 ndica que la principaldesventaja de los polinomios de primer orden es que no son uniformes.En esencia, en lospuntos donde coinciden lospolinomios (llamados no-dos) , a pendiente cambia abruptamente. En términos formales, la primera derivada de la función es discontinua en estos puntos. Esta deficienciase supera con el uso de polinomios de orden superior, que aseguran uniformidad en los nodos igualando derivadas en esos puntos, como se mues-tra en a siguiente sección.

11.4.2 lnterpolación cuadratica segmentaria

Para asegurar que las m-ésimas derivadas sean continuas en los nodos,se debe usar un polinomio de al menos ( m + 1)-ésimo orden. Lospolinomios de tercer orden cúbicos se usan másfrecuentemente en la prácticaasegurando continuidad en la primera y segunda derivada. Aunque lasderivadas de orden superior sean discontinuas al usarse polinomios detercer orden, en general, no se detectan visualmente y por ende, se ignoran.

La interpolación cúbica segmentaria se estudia en una sección ubse-cuente. Antes de ésta se ilustra el concepto de interpolación cuadráticasegmentaria usando polinomios desegundo orden. Estos “polinomios ma-dráticos” tienen la primera derivada continua en losnodos. Aunque lopolinomios cuadráticos no garantizan segundas derivadas iguales en os no-dos, sirven muybien para demostrar el procedimiento general en el de-sarrollo de polinomios interpolantes segmentarios de orden superior.

Elobjetivo de lospolinomios cuadráticos es el de obtener un polinomio de segundo orden para cada uno de los intervalos entre lospuntosElpolinomio para cada uno de los intervalos se representa generalmentecomo:

fi(x) = aix2 -t b ix + ci [11.24



INTERPOLAC16N 375

FIGURA 1l . 14 Ajuste con interpo lación segmentaria sobre un conjunto de cuatro pun-tos. a) interpolación segmentaria lineal; b) nterpolación segmentaria cua-drática y c) interpo lación cúbica segmentaria, con un polinomio cúbicointerpolante que también aparece en la gráfica.

Se ha incluido la figura 11.15 para ayudar a clarificar la notación. Paralosn + 1 puntos ( i = O, 1, 2 , .. . , n) , existen n intervalos, y por lo tan-to, 3 n incógnitas constantes por evaluar (lasp, las b y las c) Por lo tanto,se requieren 3 n ecuaciones o condiciones para evaluar las incógnitas. Es-tas son:

1. Los valores delas funciones deben ser iguales enlos nodos interio-res. Estacondición se representa mediante:

[11.25]

[11.26]




FIGURA11.15 Notación usadaen la derivación d e interpolación segmentaria cuadráti-ca. Nótese quehayn intervalos yn + 1 puntos.Elejemplo que se mues-traes par a n = 3.

para i = 2 hasta n . Como se usan sólolos nodos interiores, lasecuaciones ( 11 .25 ) y ( 11 .26 ) proporcionan cadauna n - 1 condiciones, conun total de 2 n - 2.2. L a primera y la última funci ón de ben pasar a través de los puntos f

nales. Estoagrega dos ecuaciones adicionales:

[11.27

[11.28]

con un total de 2 n - + 2 = 2n condiciones.

primera derivada en a ecuación ( 11 . 2 2 ) es:3. Las primeras deriuadas e n los nodos interiores deben ser iguales. L

f '(x) = 2ax + b

Por lo tanto, la condición se representa generalmente cómo:

íkblxi + bi-l = 2aixi + bi E11.291

para i = 2 hasta n . Estoproporciona otras n - 1 condiciones conun total de 2 n + n - 1 = 3 n - 1.Debido a que hay3 n incógnitasse tiene una condición menos. A menos que exista una informaciónadicional en relación a las funciones o sus derivadas, se debe escoge







INTERPOLACldN 379

Por lo tanto, paralosn + 1puntos( i = O , 1 ,2 , . . . , n ) ,existenn inter-valosy. por lo tanto,4 n incógnitas constantes por evaluar. Como spara polinomios cuadrájicos, ahora se requiere de4 n condiciones paraevaluar las incógnitas. Estas son:1. Los valores de la fun ció n deb en ser iguales e n los nod os interiores

( 2 n - condiciones) .

2. La pr imera y la última funciones deben pasara t ravés de los punto sf ina les (2 cond ic ione s ) .

3. Las primeras derivadas e n los no dos interiores debe n ser iguales ( n- 1 condiciones) .

4. Las segundas derivadas en los nod os interiores deb en ser iguales ( n- 1 condiciones) .

5. Las segundas der ivadas enos nod os finales son cero( 2condiciones) .

La interpretación visual de la condición5 es que la función sea una línrecta enlos nodos finales. Debido a la especificación de esta coes que se le llama interpolación segmentaria “natural”. e le da esya que el polinomio interpolante se comporta de manera naturesquema (Fig. 11 .1 3). Si el valor de a segunda derivada en lofinales fuese diferente de cero (es decir, existe alguna curvaturces esta información se usaría alternativamente para proporciocondiciones necesarias.

Los cinco tipos anteriores de condiciones proporcionan un4 n ecuaciones necesarias para encontrar os4 n coeficientes. Mientras qes posible desarrollar interpolación cúbica segmentaria con este ma,aquí se presenta una técnica diferente que requiere únicamla solución den - 1 ecuaciones. Aunque la derivación de este mét(recuadro 11.3 ) es algo menos directo que el de interpolación segmentaria, la ganancia en eficiencia bienvaleel esfuerzo.

RECUADRO11.3 Obtenc ión dela interpolación cúbica segm entariaEl primer pason la obtenc iónChene y Kincaid,1980) x - xise basa enla observación de qu e debido que cada pare-ja de nodo s está cone ctada por un polinomio cúbico, lasegundaerivadantr o intervalo esna línea [B11.3.1]recta. La ecuación(1 .31) e pue de derivar dos veces paraverificar esta obs ervac ión. C on base alo anterior, las se-gundas derivadas se representan mediantelos polinomios en do nd ef,” (x)es el valor d e la segun da derivada ende interpolación de primer ordendeLagrange Ec. primer no dox dentrodel i-ésimo ntervalo. Porlo tanto,

x - xi-1xi-1 - xi xi - xi-1

l’(x) = f”(Xi-1) +f“(Xi) _ _ _ c

(11.21)l: estacuaciónsna línea rectaueonecta la seg und a



380 METODOSUMERICOSARANGENIEROS

derivada en el primer nodof”(xiPl) on la segunda deri-vada en el segundo nodof” (x,).

En seguida, la ecuación(B11.3.1)se integra dos ve-cesy se obtiene una expresión paraft(x). Sin embargo,esta expresión contendrá dos incógnitas constantes dein-tegración. Estas constantes se evalúan invocando las con-diciones de equiespaciamiento,f(x) debe ser igualf ( x , - Jen y f(x) debe ser igual a(x,) en x,. Llevando a ca-bo estas evaluaciones, resulta la siguiente ecuacióncúbica:

Ahora, esta expresión es mucho más complicada paralospolinomios de interpolación segmentariaen el i-ésimoin-tervalo, digamos, la ecuación(11.31).Sin embargo, nó-tese que esta contienesólodos “coeficientes” incógnitas,las segundas derivadas al principioy al final del intervalo,f ’ h - 1 ) y f ’ ’(xi). Por lo tanto, si se determina propia-mente la segunda derivada en cada nodo, la ecuación(B11.3.2)es un polinomio de tercer orden quese usa pa-ra nterpolar dentro deun intervalo.

Las segundas derivadas se evalúan usandoción de que las primeras derivadas enlos nodos debser continuas:

f I-1 Xi) = f I Xi) [B11.3

La ecuación(B11.3.2)se derivay se obtiene una esión de la primera derivada. Si esto se hace palosintvalos(¡ - )-ésimos e ¡-ésimosy los dos resultadoigualan, de acuerdo a la ecuación(B11.3.3),esulta lasguiente relación:

(Xi - xi-1) f“(Xi-1) + 2(Xi+l- X , - d f ’ W

+ (Xi+l - Xi) f“(Xi+l)

Si la ecuación(B11.3.4) e escribe para todoslos nodinteriores, resultann - 1 ecuaciones simultánean + 1segundas derivadas incógnitas.Sinembargo, yaeste esun polinomio interpolante “natural”, las derivadas enlosnodos finales son ceroy el problemreduce an - 1 ecuaciones conn - 1 incógnitas. Amás, nótese que el sistema de ecuaciones senal. Porlo tanto, nosólose tiene que reducir el nde ecuaciones sino que también se calculan desean muy fáciles de resolver (recuérdese el rec7.

La derivación del recuadro11.3generalas siguientes ecuacionbicas para cada intervalo:

[11.3



INTERPOLACldN 381

Esta ecuación contiene únicamente dos incógnitas, las segundas derivdas al final de cada intervalo. Estas incógnitas e evalúan usanla ecua-ción siguiente:

Si esta ecuación se escribe para todoslos nodos interiores, se genen - incógnitas. (Recuérdese que las segundas derivadas en lfinales son cero). La aplicación de estas ecuaciones se ilustraplo siguiente:

EJEMPLO 11.10Interpolación cúbica segmentaria

Enunciado del problema: ajústeseun polinomio cúbico por segmentlos datos usados enlosejemplos 11 .8y 11.9 (Cuadro 11 .1 ). Utiliclos resultados para calcular el valor enx = 5 .

Solución: el primer paso es emplear la ecuación(1 .33)para generarunconjunto de ecuaciones simultáneas que se usarán en la determde las segundas derivadas en los nodos. Por ejemplo, en el printerior, se usanlos siguientes datos:

x o = 3 f(xo) = 2.5

x1 = 4.5 f(xJ = 1x2 = 7 f(~2) 2.5

Estos valores se sustituyenen a ecuación (11.33)y se obtiene

(4.5 - 3)fff(3) + 2(7- 3)frr(4.5) (7 - 4.5)f”(7)

(2.5 - 1) +7 - 4.5.5 - 3- 6- (2.5 - 1)

Debido a la condición natural de los polinomios,”(3) = O ,y la ecuaciónse reduce a

8f”(4.5) + 2.5ff’(7) = 9.6

De manera similar, la ecuación(11.33)se aplica alossegundos puntosinteriores para obtener



382 METODOS NUMÉRICOSPARANGENIEROS

I 3.5f"(4.5) + 9f"(7) = -9.6

Estas dos ecuaciones se resuelven simultáneamente cómo

f"(4.5) = 1.745 45f " (7) = -1.745 45

Estos valores se sustituyen en la ecuación (11.32), unto con los valres de las x y de las (x), obteniendo:

1.7455.5fib) = (x - ) 3 + (4.5 - )

6(4.5 - 3) 4.5 - 3

1.745 45 (4.5-

3)[4.5f 3-

6 1(x - 3)

O

fI(x) = 0.193 9 3 9 ( ~ 3)3+ 1.666 667(4.5 - ) + 0.230 3 0 3 ( ~

Esta ecuación es el polinomio cúbico interpolante para el primer interva-lo. Se pueden llevar a cabo sustituciones similares y desarrollar las ecuaciones para el segundo y tercer intervalo:

fi(x) = 0.116 364(7 - )3 - 0.116 364(x - 4.5)3

- O. 327 273 (7 - ) + 1.727 2 7 3 ( ~ 4.5)Y

f 3 ( ~ ) - 0.145455(9 - + 1.831 818(9 - ) + 0 . 2 5 ( ~

Las tres ecuaciones se emplean para calcular los valores dentro de caduno de los intervalos. Por ejemplo, el valor en x = 5, que cae dentrodel segundo intervalo, se calcula cómo

fZ(5) = 0.116 364(7 - 5)3 - 0.116 364(5 - 4.5)3- 0.327 273(7 - 5) + 1.727 273(5 - 4.5) = 1.125

Se calculan otros valores y los resultados obtenidos se muestran en lagura 11 .14~ .

Los resultados del ejemplo 11.8al 11.10 se resumen en la figura 11.1Nótese cómo se obtienen mejoras progresivas conforme se pasa de intpolación lineal a cuadrática y a cúbica. También se ha sobrepuesto u



lNTERPOLACl6N 383

polinomio de interpolación cúbica en a figura 1 1 . 1 4 ~ . unqupolación cúbica consiste de una serie de curvas de tercer ordenresultante difiere del que se obtiene usando polinomios de tercEsto se debe a que la interpolación natural requiere de segundadas en los nodos finales, mientras que el polinomio cúbico no tirestricción.

11.4.4 Algoritmo parala interpolación cúbica segm entaria

Elmétodo para calcularlos polinomios cúbicos de la interpolaciónmentaria vista en las secciones anteriores es ideal para su impción en microcomputadoras. Recuérdese que por algunas maninteligentes, el método se reduce a resolvern - ecuaciones simultáneas.Un beneficio adicional obtenido de la derivaciónes que, comoloespecifica la ecuación (11.3 3), el sistema de ecuaciones estridiagonal.Como se describe en el recuadro7.2 ,se dispone delosalgoritmos pararesolver tales sistemas de una manera extremadamente eficienfigura11 .16se presenta el algoritmo de interpolación cúbica segmel cual ncluye os aspectos antes mencionados.

FIGURA1 1 . 16 Algoritmo de interpoiación cúbicasegmentaria.


11.1 Calcúleseel logaritmo de4 en base10 (log4) usando interpolación ineal.a)

Interpolar entre log3 = 0 .477121 3 y log 5 = 0.698 970 O.b ) Interpolar entrelog 3 y log 4.5= 0.653 2125. Para cada una de las interpolaciones calcúel error relativo porcentual basado en el error verdaderode log4 = 0.602 060 O.

11.2 Ajústeseunpolinornio de interpolación de Newton de segundo orden parximarlog 4 usandolos datos del problema11 . 1 ,Calcúlese el error relativo pocentual.



384 METODOSNUMERICOSARANGENIEROS

11.3 Ajústese un polinomio d e interpolación de Newton d e tercer orde nlog4 usandolos datos del problema11.1 dem ás del p unto adicional, l3.= 0.544 068 O . Calcúlese el error relativo porcentual.

11.4 Dadoslos datos

x I O 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5f ( x ) 1 2.119 2.910 3.945 5.720 8.695

a) Calcúlesef (1.6) usando p olinom ios de interpolación d e Newton dhastael 3. Escójase la secu encia de pun tos de las aproxim acionesexactitud.b) Úsese la ecuación(11.18)para calcular el error e n cad a predicció

11.5 Dadoslos datos

x 1 1 2 3 5 6f ( x ) 4.75 4 5.25 19 .7536

Calcúlesef (3.5) sando polinomios de interpolación de Newton de or1hastel 4. Escójanselos puntos base para obtener una buena aproximaciQ u éindicanlos resultados respecto al orden del polinomio qu e seusa para generalodatos en la tabla?

11.6 Repítanselos problemas11.1 al 11.3 usando polinomios deLagrange.11.7 Repítaseel problema11.40 usando interpolación deLagrange.11.8 Repítase el prob lem a 11 .5 usa ndo polinomios de Lagra ne de orden1 hastael 3

11.9 Desarróllese la interpolación cuadrática segmen taria paralos datos del probl1 1 .5 y calcúlesef (3 .5) .

11.10 Desarróllese la interpolación cúbica segmentaria paralos datos del problema11.y cálculesef (3.5).


11.11 Vuélvase a program arla figura11.7de tal m aner a que sea legible al uEntre otras cosas:a) Insértese documentacióna lo largo del program a para identificarlo que cauna delas secciones debe hacer.b ) Etiquétense las e ntradasy las salidas.c ) Inclúyase la ecuación(11.18) ara calcularel error de cada orde n del pmio (exceptoel último).

11.12 Pruébese el program a queel lector haya desarrollado en el problema11.11 duplicandolos cálculos del ejemplo11.5.

11.13 úseseel program a desarrollad o por el lector en el problem a11.11 y resuélvanlos problemas11.1 al 11.3.

11.14 Úsese el programa desarrollado enel problema11.11 y resuélvanselosproblmas11.4 y 11.5. En el problema11.4, utilícense todoslos datos par desarro



INTERPOLAC16N 385

lospolinomios del orden primario hasta el quinto. En ambos problequese el error calculado contra el orden.

11.15 Repítanselosproblemas 11.12y 11 .13, usando el paquete NUMERICOMciado con este texto.

11.16 Úsese el paquete NUMERICOMP con los ejemplos 11.6y 11.711.17 Desarróllese un programa legible al usuario para la interpolación d

Pruébese con el ejemplo 11.7.11.18 Desarrólleseunprograma legible al usuario para la interpolación cúbic

taria basado en la figura 11.1 6y en la sección 11 .4 .4 . Pruébese el progael ejemplo 11.10.

11-19 Úsese el programa desarrollado en el problema 11.18 para ajustacúbicos conlos datos delosproblemas 11.4y 11 .5 . En ambos casos, caf (2 .25) .





C A P í T U L OD O C ECASOSDE LAPARTE IV:

AJUSTEDECURVAS

El propósito de este capítulo es el de hacer uso de los métodode curvas en la solución de problemas de ingeniería. Al igual otros casos de estudio delos otros capítulos,el primer ejemplo se tomdel área general de la ingeniería económicay de administración. A escaso lo siguen las cuatro áreas principales de la ingenieria: quíeléctricay mecánica.

En elcaso 12.1 se haceun análisis sobre los datos de venta de putadoras. El ejemplo ilustra dos puntos importantes relacionajuste de curvas:1)los polinomios de interpolación están bien conados para el ajuste de datos imprecisosy 2)la extrapolación esun pro-cedimiento, poco confiable cuando la relación de causa-efectoa la tendencia se desconoce.

El caso 12.2, tomado de la ingeniería química, demuestra cópuede linealizarun modelo no linealy ajustarse a datos que usan regsión lineal. El caso12.3 usa un esquema similar pero emplea tambinterpolación polinomial para determinar la relación esfuerzo-den problemas de estructuras en ingeniería civil.

El caso 12.4 ilustra cómo se usaun simple polinomio de interpolción para aproximar una función más complicada en ingenieríaFinalmente, elcaso 12.5 demuestra cóm o se usa la regresión lineamúl-tiple en el análisis experimental de datos enun problema de fluidos tmado de la ingeniería mecánica.

CASO12.1 MODELO DE INGENIERíA DE VENTA DE PROD(INGENIERíAEN GENERAL)Antecedentes: los ingenieros encargados del diseñoy fabricación de productos tales como automóviles, televisoresy computadoras pueden vese implicadosen otros aspectos delos negocios. Estas mplicacionincluyen as ventas, mercadeoy distribución del producto.




Supóngase queun ingeniero trabaja para la compañía qulas Computadoras de tipo Micro1 (véase el caso6.1).Las consideranes sobre planificacióny localización de recursos (caso9.1)requieren qeste ingeniero sea capaz de predecir hasta cuándo permanemercado las computadoras de su compañía en función del Eeste caso de estudio, se proporcionan datos que describen computadoras de la compañía que se encuentran en el merrentes iemposhasta 60 días (Fig.12.1).Al ingeniero se lepide qexamine estos datosy, usando método de extrapolación, calcutas computadoras e tendrán disponiblesa los90 días. Los datos se mtranenelcuadro 12.1.

FIGURA12.1 Número de computadoras en el mercado contra el tiempo.

CUADRO 12.1 Número de com putadoras enel m ercado en función deltiempo

Tiempo,omputadorasdías en el mercado

Número de

~~ ~~ ~

O 50 O0010 35 O0020 31 O0030 20 O0040 19 O0050 12 O0060 1 1O00



CASOS DE LAPARTEIV: NUSTEDECURVAS 389

Este análisis de tendencia y extrapolación se resuelve usando polino-mios de interpolación del primero hasta l sexto grado así como con poli-nomios de regresión del primero hasta el sexto grado. Las curvas resultantesse usan para predicciones en los días 5,65 y 90 que ilustran el contrasteentre interpolación y extrapolación.

Solución: analizando la figura 12.1se observa que losdatos no son uni-formes. Aunque el número de computadoras decrezca con el tiempo, latasa de decrecimiento varía de intervalo a intervalo comportiíndose alea-toriamente. Por lo tanto, aún antes de que empiece el análisis, se puedeesperar que la extrapolación de estos datos traerá dificultades.

Losresultados del cuadro 12.2confirman esta conjetura. Nótese quehay una gran discrepancia entre las predicciones con cada uno de los mé-todos. Para cuantificar la discrepancia se calcula la media, la desviaciónestándar y un coeficiente de variación de las predicciones. El coeficientede variación, que es la media dividida por la desviación estándar (multi-plicada por el loo%, proporciona una medida relativa de la variabilidadde cada conjunto de predicciones [ € c . IV.5)J.Nótese cómo el coeficien-

UADRO12.2 Resultados del ajuste de varios polinomios de interpolacibn poli-nomios ¿e minimos cuadrados a os datos del cuadro 2.1. Se mues-tra una interpolacibn en t = 55 y una ext rapla cibn de t 65 y9 0 . Nbtese que, debido a ue las ecuaciones notmales estbn al con-dicionadas, el polinomio con minimos cuadrados de sexto orden di-fiere del polinomio de interpolacibn mbs preciso (recuerdese lasección 10.2.1 )

I N T E R P O l A C l d NX T R A P O l A C l d N~~

t 55 t = 65 t 9 0

Polinomios de interpolaciónPrimer orden 1 1525 10 475 7 850Segundo orden088 12 688 43 230Tercer orden0 047 16 391 161 750Cuartorden 992 578 750Quinto orden 300 38 942 1 854 500Sexto orden 660 67 975 5 458 100

Media 8 880 28 4111 350

700Desviaciónstándar 542 21 951 228 226Coeficienteeariaci6nPolinomios con mínimos cuadradosPrimer orden 820 3 573 -1 2 045Segundorden 1 1829 10 939 16 529Tercer orden 12 040 8 872Cuartorden 1 1 1012 733304Quinto orden 1 1 768 9 366 -78 906Sexto orden611 266 5 768 460Media 10 203 18 910 910 623Desviaciónstándar 834 24 233 2 22808Coeficiente devariación 28%28%45%

-3 046



390 MGTODOS NUMERICOS PARANGENIEROS

te de variación es el menor para el valorinterpolado en el día 55. Tam-bién, nótese cómo la mayor discrepancia se daen el día 90, que representala extrapolación más lejana.

Además, los resultados de los polinomios de extrapolación disminu-yen a medida que crece el orden, hasta el punto en que el caso de sextoorden lleva a la ridícula predicción de que en el día 90 se tendrán dispo-nibles 5 458 100 computadoras. La razón de este resultado sin sentidose ilustra en la figura 12.2,que muestra el polinomio de sexto grado. Yaque la tendencia sugerida por los datos no es uniforme, los polinomiosde grado superior oscilan para intersectar cada punto. Estas oscilacionesllevan a interpolaciones falsas y extrapolaciones del tipo manifestado enla figura 12.2.

Ya que la regresión no se restringe para pasar por cada uno de lospuntos, algunas veces resulta útil para remediar esta situación. La figura12.3 que muestra los resultados de la regresión cuadrática y cúbica su-giere que es real para regresión de nivel bajo. Dentro del rango de losdatos ( t = O hasta 60 días), los resultados de las dos regresiones llevana resultados poco consistentes. Sin embargo, cuando se extrapolan másallá de este rango, la predicción diverge. En t = 90, la regresión de se-



CASOS LARTE IV: AJUSTEE CURVAS 39 1

FIGURA12.3 Gráfic a de las curvas de regresión de segundoy tercer orden usadas parainterpolar y extrapolarlos datos de venta de computadoras.

gundo orden lleva al resultado absurdo de que el número de compudorasha crecido, mientrasque laversiónde tercerorden leva a laproyección ridícula de que habráun número negativo de computadoras.

La razón principal de que la interpolacióny la regresión estén mal con-dicionadas para este ejemplo es queni siquiera se basan enun modelode la realidad física. En ambos casos, el comportamiento de las predciones es puramenteun artificio del comportamientode los números. Porejemplo,ni los modelos toman en consideración que más allá de= 60.elnúmerodecomputadorasdebeestarentre O y 11000. Por lo tanto,si se estuviera interesadoen una aproximación rdpida del número de om-putadoras en el mercado, enun tiempo futuro, un ajustey una extrapo-lación “visula” arrojaría resultados más realistas. Esto se debe a queestá conciente de las restricciones físicas del problemay se puede, porlo tanto, incorporar estas restricciones en la solución gráfica simple. el caso de estudio18.1,se usa una ecuación diferencial para desarrollarun modelo que tenga una base teóricay , por consiguiente, lleve a resul-tados más satisfactorios.

Por el lado positivo se debe notar que este ejemplo ilustra cómo

regresión tiene alguna utilidad para la interpolación entre puntosun tan-to erróneoso inexactos.Sin embargo, la primera conclusión de este caso esque la extrapolación siempre se debe llevar a cabo con cuidadoy precaución.

CASO12.2 REGRESIóN LINEAL YMODELOS DEMOGRÁFICOS(INGENIERíA QUíMICA)Antecedentes:losmodelos de crecimiento poblacional son importantesen muchos campos de la ingeniería. La suposición de que la tasa de




cimiento de la población( d p / d t )es proporcional a la población ac(pen el tiempo(f) es de fundamental importancia en muchos de los,en forma de ecuación

- = / qPdt [12.11

en dondek es un factor de proporcionalidad conocido como lcrecimiento específicoy tiene unidades de tiempo-l. Sik es una contante, entonces se puede obtener lasoluciónde a ecuación (1 2 .1la teoría de ecuaciones diferenciales:

en dondepo es la población en el tiempot = O. Se observa quep(t) enla ecuación(12.2)tiende a infinito a medida quet crece. Este compmiento es claramente imposible enlos sistemas reales. Porlo tanto, sdebe modificar el modeloy hacerlo más realista.

Solución: primero, se debe reconocer que la tasa de crecimco k no puede ser constante a medida que la población creporque, cuandop tiende a infinito, el organismo que se modelimitado por factores tales omo el almacenamiento de comiy producción de desperdicios tóxicos. Una manera de expresar esto

mente es la de usar el modelo de tasa-de-crecimiento-y-satural com[12.3]

en dondekmdxes la máxima tasa de crecimiento posible para vcomidav) abundantey K es la constante de semi-saturación. La gla ecuación(12.3) de laigura 12.4 muestraque uando f = K , k= kmex/2.or lo tanto,K es la cantidad de comida disponibleque sostiene una tasa de crecimiento poblacionalgual a la mitad de la tasa máx

Las constantesK y kmáxson valores empíricos basados en mexperimentales dek para varios valores def. Como ejemplo, supónque la poblaciónp representa una levadura empleada en la procomercial de cervezay f es la concentración de la fuente de cafermentarse. Las medidas dek contraf de la levadura se muestrael cuadro12.3.Se necesita calcularkmáxy K de estos datos empíriEsto se lleva a cabo invirtiendo la ecuación (12 .3) de manla ecuación(10.16),obteniendo

[12.4]



CASOS IV: AJUSTEE CURVAS 393

FIGURA12.4

CUADRO 12.3

Gráfica del promedio de crecimiento específico contra la comida dispo-nible con el modelo de promedio-de-crecimiento-de-saturaciónusado enla caracterización de la cinética microbial. Elvalor de K es llamado cons-tante de s aturación media ya que representa la concentración en dondeel pro medio de crecimiento específico es la mitad del valor máximo.

Datos usados en la evaluación de las constantesen un modelo de promedio-de-crecimiento-de-saturación que caracteriza a la cinética microbial

f, mglL k, dias" l lf , Llmg Ilk, día

7 0.299 0.37

15 0.4825 0.6540 0.8075 0.97

1O0 0.99150 1.O7

O.142 860.111 1 10.066 660.040O00.025 O00.013 330.010O00.006 66

3.4482.7032.0831.5381.250.O31

1.o1o0.935

De esta manera, se ha transformado la ecuación (12.3) a la foesto es,l / k es una función lineal del/f, con pendienteK/kmdX.stosvalores se graficanen la figura 12 .5 .

Debido a la transformación, se puede usar el procedimientmos cuadrados lineales descrito en el capítulo10 para determinarkmdx= 1.2 3 días"y K = 22 .1 8 mg/L. Combinando estos resultadoconla ecuación (12.3)y comparándolos conlos datos sin transformar de figura 12.6,y cuando se sustituyen en el modelo de la ecuaciónse obtiene:

[12.5]




FIGURA12.5 Versión li neali zada del modelo de promedio-de-crecimiento-de-saturación. La línea es un ajuste con mínimos cuadrados que se usa enla evaluación de los coeficientes del modelo kmbx= 1.23 días” y k =22.18 mg/L para evadura usada en la fabricación de cerveza.

Esta ecuación se puede resolver usando la teoría de las ecuacionrencialeso usando los métodos numéricos analizados enlos capítulos16y 17cuando se conocef ( t ) Sif se aproxima a cero a medida quep cre-ce , entoncesd p / d t tiende a ceroy la población se estabiliza.

La linealización de la ecuación(12.3)es una manera de evaluar lasconstanteskmdxy K . Otra manera de hacerlo,y que ajusta la relación a

FIGURA 12.6 Ajuste del modelo de promedio-de-crecimiento-de-saturación de la le-vadura empleada en la fabricación comercial de cerveza.



CASOS IV:AJUSTEEAS 395

su forma original, se le conoce con el nombre deregresiónn o ineal (Dra-per y Smith,1981). n cualquier caso, se puede usar análisis de regre-sión para calcular los coeficientes del modelo usandolos datos medidos.

Este esun

ejemplo del uso de la regresión para la prueba de hipótescomo se estudió en la secciónIV.1.2.

CASO12.3 AJUSTEDECURVAS EN ELDISEÑO E U N MÁSTILPARA BARCO (INGENIERíA CIVIL)Antecedentes: elmástil deun barco (véase el caso15.3 ara mayoresdetalles) ieneun área transversal de0.876 pulg2y se construyedeuna aleación de aluminio experimental. Se llevan a cabo pruebas definir la relación entreesfuerzo(fuerza por área) aplicada al materialydefo rmac ión(deflexión por unidad de longitud).Los resultados de estaspruebas se muestran en la figura12.7 se resumen en el cuadro12.4.Es necesario calcular el cambio de longitud del mástil debido a la dmación causada por la fuerza del viento. La compresión causada poaire se puede calcular usando la relación:

Esfuerzo= fuerza en el mástilárea de la sección transversal del mástil

FIGURA12.7 Curva de esfuerzo-deformación en una aleación de aluminio. En el caso12.3 se debe obtener una deformación aproximada a partir de estos datosque conforman un esfuerzo de 7 350 libras/pulgada2.



396 MhODOS NUMERICOS PARAINGENIEROS

CUADRO 12.4 Datos de esfuerzo-deformación ordenadosde tal manera que los puntos usados en ainterpolación estén siempre más cercanosal esfuerzo de 7 350 Iblpulg'

Número de Esfuerzo, Deformaciónpuntos lblpu1g2 pieslpie

1 7 200 0.002 o2 7 500 0.004 53 8 O00 0.006 O4 5 200 0.001 35 10 O00 0.008 56 1 800 0.000 5

En este caso, se tiene una fuerza del viento de 6 440.6 libras (nótese queal igual que en el caso 15.3 se usan métodos numéricos para determinareste valor directamente de los datos del viento), y el esfuerzo se calculamediante:

Esfuerzo = 440'6 = 7 350 Ib/pulg20.876

Este esfuerzo puede ser usado para calcular la deformación de la figura 12.7 ,el cual, a su vez, se puede sustituir en la ley de Hooke y calcu-lar el cambio en a ongitud del mástil:

AL= (deformación) (longitud) [12.6]

en donde la longitud se refiere a la altura del mástil. Por lo tanto, el pro-blema se reduce a la determinación de valores de la deformación de lodatos en la figura 12.7. Ya que no se dispone de ningúnpunto para unvalor de esfuerzo dado de 7 350, el problema necesitará algún ajuste decurvas. En este caso se usarán dos planteamientos: el de interpolaciónpolinomial y el de regresión con mínimos cuadrados.

Solución: elprimer planteamiento usará la interpolación polinomial deorden O al 5 paracalcular la deformación a un esfuerzo de 7 350lb/pulg2. Para hacerlo, los datos se ordenan de tal manera que la inter-polación siempre use información que e encuentre más cercana a los puntos incógnitas (cuadro 12.4) . Se puede aplicar la interpolación polinomialde Newton, con losresultados dados en el cuadro 12.5.

Todos lospolinomios excepto el de orden cero llevan a resultadosque casi coinciden.En base al análisis, se concluiría que una deformación de aproximada-mente 3.4 X pies/pie snaproximaciónazonable.

Sin embargo, hay una aclaración importante. Es realmente fortuitoque la aproximación de la deformación tienda a un mismo valor. Esto

se puede ver examinando la figura 12.8, en donde se muestra el polino-



CASOSDELATE IV: AJUSTEDECURVAS 397

CUADRO 12.5 Resultados del polinomio de nterpo lacih de Newton para prede-cir una deformación correspondiente a un esfuerzo de 7 350lblpu1g2 en base a la información del cuadro 12.4

Orden del Coeficiente de Deformaciónpolinomio (n) n-ésimo orden (con esfuerzo 7 350)

2 X 10-3

-6.67 X 10-98.33 x

-3.62 X 10”’1.198x2.292 x

2 X 10-33.27 X 1 0 - ~3.42 X 10-33.36 X 10-3

3.38 X 10-33.401x

FIGURA12.8 Gráfica de un polinomio interpol ante de quinto orden que ajusta perfec-tamente los datos del cuadro 12.4. Nótese que aunque la curva pasamuy bien a través de los tres puntos en la vecindad del esfuerzo de7 350, la curva oscila ampliamente en otras partes del r ango de datos.



398 METODOS NUMERICOSPARAINGENIER

mio de quinto orden unto conlosdatos. Nótese que debido a qlostres datos se encuentranmuycercanos del valor de 7350, la interpoción no debe variar significativamente en este punto, como rarse.Sin embargo, si se requieren aproximaciones de otras foscilaciones delos polinomios pueden llevar a resultados inexLos resultados anteriores lustran que la interpolación conde grado superior está mal condicionada para datos inciertoo con“ruido” del tipo de este problema. La regresión proporciona unque, en general, es más apropiado para estas situaciones.

Por ejemplo, se puede usar la regresión lineal para ajustarecta a través delosdatos. La línea de mejor ajuste es

Deformación= -0 .00227 + 9.562x esfuerzo [12.7]

la líneay losdatos se muestran en la figura 12.9. Sustituyendozo = 7 350 libras/pulg2en la ecuación (12.7 ) se obtiene una prde 4.5X pulgs/pulg.

Unproblema con regresión lineal llevaa resultados fuera de la dad con deformaciones negativas enun esfuerzo igual a cero. Unnera diferente de regresión que evita este resultado no realajustarunalínea recta al logaritmo (base10)de la tensión contra el ritmo del esfuerzo (recuérdese la sección 10 .1 .5) . El resultaso es:

log (deformación)= -8.565+ 1.586 log(esfuerzo)

Esta ecuación se puede transformar a la forma inicial que pformación, sacando antilogaritmos se obtiene:

deformación= 2.723 X (esfuerzo) [12.8]

Esta curva también se superpone a la figura 12.9 en donde sque esta versión muestralos resultados físicos más realistasya que la deformación es cero cuando el esfuerzo es cero. La curva tames unpoco más realista ya que captura algunas de las curvaturas slos datos. Sustituyendo el esfuerzo= 7 350 en la ecuación (12 .8 )e obtieneunapredicciónde la deformación= 3.7 x l o p 3pulgs/pulg.

De esta manera, la interpolación polinomialy los dos tipos de regsión llevan a resultados diferentes de deformación. Debido asicoy al comportamiento más satisfactorio a través del rango de los datos, se optará por la ecuación (12.8)ya que proporciona mres predicciones. Usandon valor de longitud= 30 piesy conla ecuació(12.6)se obtieneel siguiente resultado del cambio en la longitud

AL = (3.7x pies/pie)(30 pies)= 0.11pies



CASOS DE LATE IV: AJUSTEERVAS 399

FIGURA12.9 Gráfica de una línea usando regresión lineal y una línea de regresiónusando la transformación logarítmica con los datos de esfuerzo-deformación del mástil de un barco .

CASO12.4 AJUSTEDE CURVASEN LA ESTIMACIóN DELACORRIENTERMS (INGENIERíAELÉCTRICA)

Antecedentes: el valor promedio de una corriente eléctrica ranteun periodopuedeser cero.Por ejemplo, supóngaseque la corriente se describe mediante una senoidal simple:i ( t ) = sen (2a t /T ) endondeT s el periodo. El valor promedio de esta función se puminar mediante la siguiente ecuación:

- -cos 27T+ cosoT

= o



400 METODOS NUMERICOS PARA NGENIEROS

La misma aproximaciónse muestra gráficamente en a figura12.loa. Co-mo se puede ver, resulta una corriente neta igual a cero ya qpositivay negativa bajo la curva se cancelan.

Apesar de que el resultado neto es cero, esta corriente erealizar un trabajoy generar calor. Por lo tanto, los ingenieros e

a menudo, caracterizan esta corriente mediante

[12.9]

en dondeI,,, se conoce com o corrienteRMS(raíz cuadrada mediainglés “root-mean-square”). El problema de cancelación de vosy negativos se evita elevando la corriente al cuadrado antelar el prom edio.

FIGURA12.1O a) Gráfi ca de una corriente eléctrica oscilante. Sobre un periodo T (estoes, un cic o completo), la integral de la función es cero ya que las áreospositivas y negativas son iguales, y por lo tanto, se cancelan. Para evitareste resultado, la corriente se eleva al cuadrado, como en b). La raízcuadrada del promedio del cuadrado, a la cual se le llama corriente RMS,proporciona una medida de la magnitud de la corriente.

””



CASOS IV: AJUSTEERVAS 4 0 1

En este caso , supóngase que la corriente enun circuito es de

i ( t ) = 10e-t’T sen- paraO / 2

i ( t ) = O paraT / 2< t 5 T( 2 ; t ) [12.10]

Determínese la corriente RMS ajustandoun polinomio de segundo que coincida coni2( t )exactamente ent = O , T/4 y 1 / 2 . En seguida,intégrese este polinomio analíticamentey calcúlese la corriente RMSintervalo deOa T usando la ecuación(12.9).Supóngase queT = 1 sEste resultado se puede comparar al caso15.4 en donde se empleaotras técnicas para calcular la corriente RMS.

Solución: usando la ecuación(12. o) ,se generanlossiguientes pun

t i ( t ) i * ( t )

O 0.000 O00 O00 0.000 O00O0114 7.78807 831 60.653 065981/2 0.000 O00 O00 0.000 O00 O0

Ajustandoun polinomio de Newton deobtiene el polinomio

segundo orden (Fig.12.11), e

i2 ( t ) = 242.612 264t - 970.449 056t(t - 1/4)

FIGURA12.11 Gráfica de la corriente verdadera [Ec. ( 12.10)],junto con la parábolaque se usa como aproximación.




que se puede ntegrar desdet = O hastat = T/2 T = 1 S) y obtene

i i2(t)d t -= 121.306 132t2 -.323.483 0187t3 + 121.306 132$

Iobteniendo el resultado20.217 688 66, el cual,a su vez se sustituyla ecuación(12.9) y se obtienelRMs 4.496 408 418. Enel caso15.se usan varias técnicas de integración numérica para llevar mismos cálculos.

CASO12.5 REGRESIóN LINEALMQLTIPLEEN ELANALISISDEDATOS EXPERIMENTALES(INGENIERíA MECANICA)Antecedentes: las variables de diseño en la ingeniería, menude muchas variables independientes. Con frecuencia esta depfuncional se caracteriza mejor con ecuaciones de potencia Como se analiza en la seccidn10.3, una regresión lineal múltiple tostransformados mediante logaritmos porporcionaun medio para eluar tales relaciones.

Por ejemplo,un estudio de ingeniería mecánica indica que de fluidoa través deun tubo es función del diámetro del tuboy de s

pendiente (cuadro12.6). Para analizar estos datos se usa una relineal múltiple. En seguida, se usa el modelo resultante para flujo enun tubo conun diámetro de2.5 piesy con una inclinaciónO.O25 piedpie.

Solución: la ecuación de potencias se evalúa como

Q = u,D ~ S * c12.1

23123123

0.0010.0010.010.010.010.050.050.05

8.324.24.7

28.984.01 1 . 169.0

200.0



CASOS DE IV: AJUSTEDECURVAS 403

en donde Q es el flujo (en pies cúbicos por segundo), S es la pendiente(en pies por pie), D es el diámetro del tubo (en pies) y ao, a l y a2 soncoeficientes. Extrayendo logaritmos a esta ecuación se obtiene

log Q = log a. + al log D + a2 log S

De esta forma, la ecuación se adapta a la regresión lineal múltiple yaque log Q es función lineal de log S y de log D. Usando loslogaritmos(base 10) de losdatos en el cuadro 12.6, se generan las siguientes ecua-ciones normales expresadas en forma matricial [recuérdese la Ec.(10.21)]:

2.334.954 -4.903][

:t=

[3.9451

2.334 -18.903 log a. 11.691

-18.9034.903 44.07922.207

Este sistema se puede resolver usando eliminación gaussiana para obtener:

log a. = 1.747 5%al = 2.62

a2 = 0.54

Si log a. = 1.747 5, entonces a. = 55.9 y la ecuación (12.11) se con-vierte en:

Q = 55.902.62SO.54 [12.12]

La ecuación (12.12) se puede usar para predecir el flujo en el caso enque D = 2 .5pies y S = 0.025 piedpie, dando

Q = 55.9(2.5)2.62(0.025)o.5484.1 pies3/s

Se debe notar que la ecuación (12.12) puede usarse para otros pro-pósitos además de calcular flujos.” Por ejemplo, la pendiente está dadaen función de la pérdida de calor h Ly la longitud del tubo L por S =

h , / L . Si esta relación se sustituye en la ecuación (12.12) y la fórmula re-sultante se resuelve para hL. se obtiene la siguiente ecuación:

Esta relación se conoce con el nombre de ecuación d e H a z e n -Williams.




PROBLEMASIngeniería en general

12.1

12.2

12.3

12.4

12.5

Efectúenseloscálculos llevados a cabo en el caso12.1usandolosprogrampropios.

Ejecútenselos mismos cálculos del caso 12 .1 , pero con el número ddoras en el mercado enlosdías50 y 60 modificadosu n poco a12O00 y 11050

Si se deposita una cantidadde dinero con cierta tasa de interés, se puedlas tablas económicas para determinar la suma acumulada enun tiempo postrior. Por ejemplo, la siguiente información se encuentra en una tabsobre el valor futuro deun depósito después de20 años:

Tara de F/Pinter& Oh (n =20 años)15 16 36620 383725 86363090 05

en dondeFIP es el promedio del valor futuro al valor actual. Porlo tanto.sise depositaronP = $10000,después de20años al20 de interés se debe te

F = (F/P)P = 38.337(10000) = $383370

Utilícese interpolación lineal, cuadráticay cúbicay determínese el valor futde $25 O00 depositados al23.6%de interés. Interprétenselosresultados desla perspectiva de la nstitución prestam ista.

Utilícese la información dada en el problema 12 .3 . pero suponieninvertido$40 O00 y le dicen que después de20 aiios el prestamista regre$2800 000. Úsese interpolación lineal, cuadráticay cúbica para determinatasa de interés que se está dando.

Supóngase que al ganador deun premio se le da la oportunidad de escotre $2millones ahorao $700 O00 por atio durante5 años. La relación entvalor actualP y una serie de pagos anualesA está dada por la siguiente infción de una tabla de economía:

Tasa de A/Pinter& 016 (n=5 años)15 0. 298220. 334825 0. 371530 0. 410 58



CASOS DE LATE IV:AJUSTEDECURVAS 405

en donde A/P es el promedio de pagos anuales al valor actual. Porlo tanto,la tasa de interés del15%, los cinco pagos anualesA que son equivalentes aun solopago actual(P = $2 millones) se calculan como

A = (A/P)P= 0.298 32(2 O00 000) = $596 640

Utilicese interpolación para determinar a tasa de interés a la cuallos $2milloneses la mejor decisión.

12.6 Se est5 llevando a cabou n estudiopara determinar la relación entre la fuede fricción que actúa hacia arribay la velocidad de caída del paracaidista.Sellevan a cabo algunos experimentos para obtener la siguiente informacla velocidad(u medida en centímetros por segundo)y la fuerza de rozamiento(F, medidaen lo6 dinas):

u I 1 O00 2 O00 3 O00 4 O00 5 O00F, 1 5 15.3 29.3 46.4 66.3

GraffqueseF contrau y úsese regresión para determinarla relación entre la fuer-za de rozamientoy la velocidad.


12.7 Repítanseloscálculos del caso 12.2 usandolosprogramas propios.

12.8 Efectúenselosmismos cálculos del caso 12 .2 , pero usando regresión polpara ajustar una parábola a los datos. Analícenselos resultados.

12.9 Efectúenselosmismos cálculos del caso12.2,pero usando regresión ineal cotransformaciones para ajustarlos datos a una ecuación de potencias. Ignórel primer punto cuando se ajuste la ecuación .

12.10 Se llevan a cabolossiguientes experimentosy se determinan los siguientes valres de capacidad calorífica( c ) a varias temperaturas( T ) para un metal:

r -50 " 2 0 10 70 100 120C

0.1250.128 0.134 0.144 0.150

0 . 1 5 5Utilicese regresióny determínese.un modelo para predecirc en función deT.

12.11 La concentración de saturacióndel oxígeno disueltoen el agua en función dela temperaturay del cloruro se muestra en el cuadroP12.11. tilicese interpola-ción para calcular el nivel de oxígeno disuelto paraT = 22.4OCcon cloruro=10 oonmg/L.

12.12 osese interpolación polinomial conlosdatos del cuadroP12.11 ara derivar unaecuación sobrela concentración de oxígeno disuelto en función de la temra para el caso en que la concentración de cloruro es igual a 20O00 my/L.




CUADRO P12.11 Dependencia de la concentración de oxígeno en función de la tem-peratura y de la Concentración de cloruro

OXiGENO DISUELTO (mglL) PARA

CONCENTRACIONES DE CLORUROTemperatura OC Cloruroloruro

= O m g l l = 10 O00m g l l

5 12. 8 1. 610 11. 3 10. 315 10.0 9.120 9.0 8. 225 8. 2 7. 430 7. 4 6. 8

Cloruro20 O00 mglL

10.59.28. 27.46.76. 1

12.13 Utilicese regresión polinomial para llevar a cabo el mismo problema 12 12

12.14 Úsese regresión lineal múltiple y trsnsformaciones logaritmicas para derivar unaecuación que prediga la concentración del oxígeno disuelto en función de la tem-peratura y de la concentración de cloruro. Evalúense los resultados

Ingenieria civil

12.15 Repítanse los cálculos del caso 12.3 usando los programas propios.

12.16 Efectúense losmismos cálculos del caso 12.3 . pero usand o egresión polinomialde segundo orden para relacionar deformación y esfuerzo.

12.17 Efectúense losmismos cálculos del caso 12.3pero usando una formulación e x -ponencia1 para relacionar deformación y esfuerzo

12.18 Efectúense los mismos cálculos del caso 12.3 pero usando interpo lacljn polino-mial para evaluar AL si el esfuerzo es de .7 70 0 libras/pulgada'.

Ingenieria eléctrica

12.19 Repítanse los cálculos del caso 1 2 . 4 usando los programas proplo5

12.20 Efectúense losmismos cálculos del caso 12.4ajustando e integrando un polino-mi0 de tercer orden que coincida con i 2 ( t )exactamente en t = O . T í G . T1'3.

y T / 2 .

12.21 Se mide la caída de voltaje II a través de una resistencia para cierto número devalores de la corriente i . Los resultados obtenidos son

i 0.25.75 1.25 1.5 2.0u I -0.23 -0.33 0 .70 1.88 6.00



CASOSDELA PARTE IV: AJUSTEERVAS 407

Úsese interpolaciónpolinomialparacalcular la caída de voltajepara i = 0.9.Interprétenselosresultados.

12.22 Duplíquense los cálculos del problema12.21usando regresión polinomial pobtener una ecuación cúbica que ajustelos datos. Grafíquensey evalúense10sresultados.

Ingeni ería mecánica

12.23 Efectúenselos cálculos del caso 12.5 usandolosprogramaspropios

12.24 Basándose enel cuadro 12 .6 utilícese interpolaciones linealy cuadrática paracalcularQ conD = 1.2 3 piesy S = 0.01piedp ie. Compárenselosresultadoscon elmismovalor calculado con la fórmula derivada en el caso 1 2

12.25 Utilícese el caso 12 .5 para desarrollar una ecuación que prediga el dfunción de la pendientey del flujo. Compárense los resultados conlos de la fór-muladel caso 12 .5y analícenselos resultados.

12.26 La viscosidad cinemática del agua.u , está relacionada con ia temperatura siguiente manera:

T(OF) i 40 5 0 60 70 80u pies2/s)I 1.66 1.41 1.22 1.06 0.93

Grafíquense estos datosy utilícese interpolación para predeciru en T = 62'F.

12.27 Repítase el problema 12 .2 6 usandoregresión

12.28 Léanse todos los casos del capítulo12.Con base a la lecturay a la experienciaelabórenselospropios casos de cualquiwade fos campos de la ingeniería. Epuede involucrar la modificacióno la reexpresión deloscasos.Sin embargo, también pueden ser totalmente originales. Com olos ejemplos del capítulo, se deelaborar conun enfoque a los problemas de ngenieríay debe demostrarseelusode losmétodos numéricos para ajustar curvas. Escríbanseos resultados usandlos casos del capítulo como modelos.





EPíLOGO:PARTEIV

IV.4 ELEMENTOS DEJUICIO

En el cuadro IV.4se proporciona un resumen delos elementos de juicio relacionados con el ajustede curvas. Losmétodos se dividen en dos ampliascategorías dependiendo de la incertidumbre de osdatos. Para las mediciones imprecisas, se usa laregresión para desarrollar la "mejor" curva queajuste todas las tendencias de los datos sin pasarnecesariamente a través de algún punto. Para me-diciones precisas, se usa la interpolación para de-sarrollar una curva que pase directamente travésde cada uno de los puntos.

Todos los métodos de regresión se diseñan de ma-nera que ajusten funciones que minimicen la su-ma de los cuadrados de los residuos entre os datosy la función. Aestos métodos se les conoce comoregresión con mínimos cuadrados. La regresióncon mínimos cuadrados lineal se usa en aquelloscasos en donde una variable dependiente y otraindependiente se relacionan de manera lineal. Pa-ra situaciones en que las variables dependiente eindependiente muestren una relación curvilínea,se dispone de varias alternativas. En algunos ca-sos, se pueden usar transformaciones para linea-lizar la relación. En estos casos se puede aplicarla regresión lineal a variables transformadas pa-ra determinar la mejor línea recta. Alternativamen-te, se puede emplear la regresión polinomial yajustar una curva directamente a los datos.

La regresión lineal múltiple se usa cuando una va-riable dependiente es una función de dos o másvariables independientes. Se pueden aplicar tam-bién transformaciones logaritmicas a este tipo deregresión en algunos casos donde la dependen-cia múltiple es curvilínea.

La interpolación polinomial esta diseñada paraajustar un polinomio Único de n-ésimo orden quepase exactamente por los n + 1 puntos exactos.Este polinomio se presenta en dos formatos dife-rentes. Elpolinomio de interpolación de diferen-cias divididas de Newton se adapta idealmente a





EPíLOGO PARTEIV 41 1

IV. 5

IV.6

aquellos casos en que el orden propio del polinomio se desconoce.Elpolinomio de Newton es apropiado para tales situaciones ya quese programa fácilmente en un formato que compara los resultadoscon órdenes diferentes. Además, se puede incorporar con facilidaduna aproximación del error en el método. De esta forma, se puedecomparar y escoger a partir de los resultados usando varios polino-mios de órdenes diferentes.

La otra formulación alternativa es el polinomio de interpolación deLagrange el cual es apropiado cuando el orden se conoce a priori.En estos casos, la versión de Lagrange es algo más simple de progra-mar y no requiere de los cálculos y almacenamiento de diferenciasdivididasfinitas.

Elmétodo final de ajuste de curvas es mediante interpolación segmen-taria. Este método ajusta un polinomio de orden bajo a cada uno delos intervalos entre los puntos. Elajuste se hace uniforme obligandoa que las derivadas de dos polinomios adyacentes en el mismo valorde su punto de conexión sean iguales. La interpolación cúbica seg-mentaria es la versión más común. Los segmentos son muy útiles cuan-do se ajustan datos que en general son uniformes pero exhiben áreaslocales de saltos de los datos. Tales datos tienden a inducir oscilacio-nes en lospolinomios de interpolación de orden superior. La interpo-lación cúbica segmentaria está menos propensa a estas oscilacionesya que se limita a variaciones de tercer orden.

RELACIONESY FóRMULAS IMPORTANTESEn el cuadro IV.5se resume la información de mayor importancia quese presenta en la parte IV. Elcuadro se puede consultar para teneruna referencia rápida de las relaciones y fórmulas de importancia.

MÉTODOSAVANZADOSYALGUNAS REFERENCADICIONALES

Aunque se han repasado una gran cantidad de métodos de ajuste decurvas, aún existen otros métodos que tienen mucha utilidad en la prác-tica de la ingeniería. Por ejemplo, los polinomiosortogonales se pue-den emplear en el desarrollo de un método alternativo para laregresión polinomial. Esta técnica tiene mucha utilidad ya que no essusceptible al mal condicionamiento cuando se deben ajustar polino-mios de orden superior. La información sobre polinomiosortogonalesse encuentra en Shampine y Allen ( 1973)y en Guest ( 1961).

Existe una gran variedad de métodos que desarrollan directamenteel Gjuste con mínimos cuadrados de una ecuación no lineal. Estas téc-





EPlLOGO PARTEIV 41 3

nicas de regresión no lineal incluyen al método de Gauss-Newton, mé-todo de Marquardt’s y mcitodos de pasos descendentes. La informa-ción sobre estos métodos y de regresión en general se encuentran enDraper y Smith (1981).

Todos los métodos de la parte IVse han expresado en términos delajuste de una curva a un conjunto de puntos. Pero se puede ajustaruna curva a otra curva. La motivación principal de tal aproximaciónfuncional es la de representar una función omplicada a una más simple

que sea más fácil de manejar. Una manera de hacerlo es la de usarfunción complicada para enerar una tabla de valores. Después

se pueden usar cualquiera de Bs técnicas analizadas en este libro paraajustar polinomios a esos valores discretos.

Másallá de este planteamiento, existe una variedad de métodos al-ternativos, y en general, preferibles en la aproximación funcional. Porejemplo, s i la función es continua y diferenciable, se puede ajustara una serie de Taylor truncada. Sin embargo, esta estrategia se dese-cha ya que el error aumenta a medida que se ale’a del punto base

Por lo tanto, se puede tener una buena prediccióndel intervalo y una mala aproximación para un

Un enfoque alterno se basa en el principio de minimax (recuérdesela Fig. 10 .2~ ) .ste principio especifica que los coeficientes del poli-nomio de aproximación se escogen de tal forma que la discrepanciamáxima sea tan pequeña como sea posible. Por lo tanto, aun ue laaproximación no puede ser tan buena como la obtenida con 4a ex-pansión de la serie de Taylor en el punto base, generalmente, es me-jor a travésde todo el dominio delajuste. l a economización deChebyshev es un ejemplo del acercamiento de una aproximación fun-cional basada en esta estrategia (Ralston y Rabinowitz, 1978;Geraldy Wheatley, 1984y Carnahan, Luther y Wilkes, 1969).

Un método final de aproximación funcional es la de usar funcionestrigonométricas. La transformada ru idade Fourier es un ejemplo deeste enfoque y es ampliamente usa Ben la ingeniería práctica (Bri -ham, 1974;Davis y Rabinowitz, 1975y Gerald y Wheatley, 19847.En resumen, lo antes mencionado tiene la finalidad de proporcionaral lector senderos de exploración más profundos sobre la materia.Además, todas las referencias anteriores proporcionan descripcionesde las técnicas básicas cubiertas en la parte IV.Se sugiere al lectorque consulte estas fuentes alternativas ara profundizar en el conoci-miento de los métodos numéricos sobre el ajuste de curvas.*

* Aquí se hace referenc ia a los libros únicamente por autor; se encuentra una bibl iog rafía corn-pleta al final del libro.







416 MÉTODOSNUM&lCOS PARAINGENIERO

FIGURAV.l Representación gráfica de a integral de {(x)entre los límites x 3 a y b .Lo integral es equivalente al área baio la curva.

2. Una función complicada y continua que es difícil o imposible deintegrar directamente.

3. Una función tabulada en donde los valores de x y f (x) se dan enun conjunto de puntos discretos, como es el caso, a menudo, delos datos experimentales.

En el primer caso, la integral simplemente es una función que sepuede evaluar fácilmente usando métodos analiticos aprendidos enel cálculo. En los dos últimos casos, sin embargo, se deben emplearmétodos aproximados.

Un planteamiento lógico es el de graficar la función sobre una malla(Fig. V.2)y contar el número de cuadros que aproximan el área. Estenúmero multiplicado por el área de cada uno de ellos da una estima-ción aproximada del área total baio la curva. Esta estimación puedemeiorar a costa de un mayor esfuerzo, usando una malla más fina.

Otro planteamiento con sentido común es el de dividir el área en seg-mentos verticales, o bandas, con una altura igual al valor de la función en el punto medio de cada banda (Fig. V.3). Elárea de lorectángulos se puede entonces calcular y sumar para estimar el áreatotal. En este planteamiento, se supone que el valor de los puntos me-dios proporciona una aproximación válida de la altura promedio de



lNTEGRACl6N 41 7

FIGURAV.2 Uso de una malla para aproximar una integral.

FIGURAV.3

.. - -

Uso de rectángulos, O bandas para aproximar la integral.



41 8 MÉTODOSUMÉRICOSPARAINGENIE

la función de ca da ba nd a. Co m o on el método de mallas, es poobtener un a estimación, mejor usando más(y más delgadas) bandapara apro xim ar la integral.

Au nq ue estos esquemas simples tienen utilidad p ar a estimacionpidas , se dispon e de métodos alternativos llamados integraciómérica o cuadratura gaussiana para los mismos propósitos. Estmétodos, que son más fáciles de implementar quela técnica d e ma

FIGURAv.4 Aplicación de un método numérico de integración a) función continuacomplicada;bJ tabla de valores discretos de f(x)generados de la fun-ción, y c) USO de un método numérico (el método de bandas) para apro-ximar la integral en base a lospuntos discretos. Para una función tabular,10s datos se encuentran en forma tabular en b); por lo tanto el paso 0

es innecesario.



lNTEGRACl6N 419

las , son similares en esencia al método de bandas. Esto es, las altu-ras de la función se multiplican por el ancho de las bandas y se sumanpara calcular la integral. Sin embargo, con el uso de la alternativamás inteligente de factores de peso, la estimación resultante puedeser más exacta que la obtenida con el "método de bandas" simple.

Como en el método simple de bandas, losmétodos de integración nu-mérica utilizan datos en puntos discretos. Ya que la información ta-bulada ya se encuentra en esta forma, es naturalmente compatiblecon muchos métodos de integración numérica. Aunque las funcionescontinuas no están originalmente en forma discreta, en general unaproposición simple es la de usar la ecuación dada para generaruna tabla de valores. Como se muestra en la figura V.4, esta tablase emplea en el cálculo de la integración numérica.

V.1.2 Integració n nu mérica e ing eniería prácticaLa integración de una función tiene tantas aplicaciones en la ingenie-ría que probablemente al lector se le enseñe el cálculo integral en elprimer año de la facultad. Pueden darse muchos ejemplos específicosde sus aplicaciones en todos los campos de la ingeniería.

Uno de ellos es el uso de la integración para determinar la media deuna función continua. En la parte IVse introdujo el concepto de me-dia de n puntos discretos [recuérdese la Ec. (lV.1)J:

.i ;Media =

n N21en donde y son medidas individuales. La determinación de la mediade puntos discretos se muestra en la figura VSa.

En contraste, supóngase que y es una funcióncontinua de una varia-ble independiente x , como se muestra en la figura VSb.En este caso,

existe un número infinito de valores entre a y b. Así como se puedeaplicar la ecuación (V.2)para determinar la media de una lectura dis-creta, también se puede estar interesado en calcular la media o pro-medio de una función continua y = f ( x )en el intervalo de a a b. Seusa la integración para este propósito, tal como se especifica en lafórmula:



420 MÉTODOS NUM6RICOS PARAINGENIER

FIGURAV.5 Ilustración de la media a) caso discreto, b) caso continuo.

Esta fórm ula tiene cientos de aplicaciones en la ingeniería. Porplo , se usa pa ra ca lcu lar el centro de g rave dad d e objetos irreres en ingeniería mecánicay civily p ar a determinarla corrienteRMen ingeniería eléctrica.

Las integrales las empleanlos ingenieros también p ar a evaluarla cantidad totalo p a ra cuantificar una variable física da da . La integrpuede evaluar sobre una línea, una área un volumen. Por ejemla cantidad total de masa d e sustancias químicas que contiene untor está da da co m o el pro duc to de la concentración de sustaquímicas y el volumen del reactor ,o sea

M a s a = concentración X volumen

en do nde la concentración tiene unidades de m asa por volumeem barg o, supóngase que la concentración varia de posicióna posición dentro del reac tor. En este cas o, es necesario sumarlos productos de concentración local cy sus volúmenes elementales correspdientes (AVi):



INTEGRAC16N 42 1

n

Masa = c; AV,i= 1

en donde n es el número de volúmenes discretos. En este caso conti-nuo, en donde c (x,y,z,) es una función conocida y x, y y z son varia-bles independientes que enotan la posición, en coordenadascartesianas, la integración se puede usar para el mismo propósito:

Masa = 111c(x, y, z) dx dy dz

Masa = 111c ( V )dVV

a la cual se le conoce como integral de volumen. Nótese la fuerte ana-logía entre la sumatoria y la integración.

Se pueden dar ejemplos similares para los otros campos de la inge-niería. Por ejemplo, el promedio total de transferencia de energía através de un plano en donde el fluio (en calorías po r centímetro cua-drado por segundo) es una función de la posición dada por

Transferencia de calor = JJ fluio d AA

A la cual se le conoce como integral de superficie en donde A = área.

De manera similar, pa ra el caso unidimensional, el peso total de unavarilla con densidad variable está dada por

w = A o’p(x) dx

en donde w es el peso total (en libras), I es la longitud de la varilla(en pies), p ( x ) es la densidad conocida (en libras po r pie cúbico) enfunción de la longitud x (en pies) y A es el área transversal de la vari-

lla (en pies cuadrados).Finalmente, las integrales se usan para la evaluación de ecuacionespromedio. Supóngase que la velocidad de una partícula es una fun-ción cococida continua del tiempo v (t). La distancia total d recorridapor esta partícula en un tiempo dado t está dada por

d = v(t) dt rv.41

Estos son sólo algunos ejemplos de las aplicaciones de las integralesque se pueden encontrar regularmente en el desarrollo de la profe-




v.2

sión. Cuando las funciones a integrar son simples, normalmente seintegran analíticamente. Por ejemplo, en el problema del paracaidis-ta, se determinó la velocidad en función del tiempo (Ec. (1.8)].Esta

relación se puede sustituir en la ecuación (V.4),la cuál se integra fá-cilmente y de esta manera se determina que tan rápido cae el para-caidista en un periodo de iempo t. En este caso, simplemente se evalúala integral. Sin embargo, es dificilo imposible cuando la función secomplica, como es el caso para ejemplos más comunes. Además, lafunción en cuestión a menudo se desconoce y se define únicamentecon medidas en puntos discretos. En ambos casos, se debe tener lsuficiente habilidad como para obtener valores aproximados a las integrales usando métodos numéricos. Algunos e estos métodos se ana-lizan en esta parte del libro.

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOSEn la preparatoria en los primeros años de la facultad, se ven intro-ducciones al c6lculo integral. Se aprenden técnicas que obtienensoluciones analíticas o soluciones exactas de integrales definidas e in-definidas. En la parte VI se analiza la integración indefinida, queinvolucra en primer lugar a determinación de una función cuya deri-vada está dada.

En esta parte del libro se desarrolla la integraci6n definida, que seocupa de determinar una integral entre un par de límites específicos,como en

I = f ( x ) x

Deacuerdo al teorema fundamental de l cálculo integral, la ecuación(V.5) se evalúa como

lab( x ) ¿x = F ( x )

1 ~

en donde F (x) es la integral def

(x), esto es, cualquier función talque F' ( x ) = f (x). La nomenclatura sobre el lado derecho queda

F(x) = F(6) - F(a) [ W

I = r80.2 + 25x - 200x2+ 675x3- 900x4 + 400x5)dx [V.

En este caso, la función es un simple polinomio que se puede integraranalíticamente evaluando cada uno de os términos de acuerdo a lregla

b

O

Un ejemplo de una integral definida es



INTEGRACldN 423

x n t ~ bJab x" dx =

+ la

en donde n no puede ser igual a - 1 . Aplicando esta regla a cadauno de los términos en la ecuación (V.7) se obtiene

200 400 1O'*I = 0 . 2 ~ 1 2 . 5 ~ ~-x3 + 1 6 8 . 7 5 ~ ~1 8 0 ~ ~-X'3 I o

que se puede evaluar de acuerdo a la ecuación (V.6) como I =1.640 533 34.Este valor es igual al área bajo el polinomio original[Ec. (V.7)]entre x = O y x =0.8.

La integración anterior depende del conocimiento de la regla expresa-da por la ecuación (V.8). Otras funciones permiten reglas diferentes.Todas estas "reglas" son meros ejemplos de antidiferenciación, esto

CUADRO V. 1 Algunas integrales simples usadas en laparte V. La a y la b en este cuadro sonconstantes y no se deben confundir conlos límites de integracibn discutidos en ltexto.

j u d v = u v - j v d u

+l

ubx x = - x

b In a+ c U > O , U f l

l u " d u = - n + 1 + c n f - 1

j $ =In 1 x 1+ c

j e o x d x = - +x C

j x e a x d x = 7 ( u x -Ox 1 ) + CU








Se incluye una sección de repaso o epilog0 al final de la parte V. Esterepaso incluye un análisis de los elementos de juicio incluidos en laimplementación de los métodos en la ingeniería práctica. Además, se

resumen las fórmulas y conceptos más importantes relacionados conlos métodos numéricos de integración. Finalmente, se hace un repasobreve de los metodos avanzados y algunas referencias adicionalesque facilitarán estudios posteriores sobre integración numérica.

Se proporcionan varias opciones para efectuar el cálculo por com-putadora de cálculo. En primer lugar, el paquete de programas NUMERICOMP contiene la regla trapezoidal a usarse sobre una baseopcional en as microcomputadoras APPLEII e IBM-PC.Alternativamente, se muestran directamente en el exto programas en loslenguajes FORTRANy BASICde la regla trapezoidal. Esto le da opor-tunidad al lector de copiar estos programas e implementarlo sobreuna microcomputadora o en una supercomputadora. Se suministrandiagramas de fluio para la mayor parte de los otros métodos descritosenel texto. Estos diagramas de flujo, combinados con los progra-masescritos por el ector en cualquier enguaje, proporcionan pro-gramas que pueden aplicarse un conjunto de problemas de ingeniería.

V.3.2 Metas y objetivosObjetivos de estudio. Después de terminar la parte V,el lector debe

ser capaz de resolver muchos problemas de integración numérica yapreciar su aplicación en la solución de problemas de ingeniería. Sedebe hacer lo posible por dominar varias técnicas y valorar su con-fiabilidad. Debe entender los elementos de juicio involucrados en laselección del "mejor" método (o métodos) para cualquier problemaen particular. Además de estos objetivos generales, se deben asimi-lar y dominar los conceptos específicos listados en el cuadro V.2

Objetivos de cómputo. Ellector debe tener un paquete de programas,programas simples para la computadora, algoritmos y diagramas deflujo que implementen as técnicas analizadas en la parte V.Todasellas tienen utilidad como herramientas de aprendizaje.Elpaquete personal de programas NUMERICOMPes legible al usua-rio. Emplea la regla trapezoidal para evaluar la integral de funcionestabulares o continuas. Las gráficas asociadas con estos programas ha-bilitarán al lector a visualizar fácilmente los problemas y las opera-ciones matemáticas asociadas como el área entre la curva y el ejex . Este paquete de programas es muy fácil de aplicar en la soluciónde problemas prácticos y se puede usar en la prueba de resultados decualquier programa de computadora que el lector pueda desarrollarpor sí mismo.



INTEGRACldN 427

CUADROV.2 Objetivos de estudios especificos de la parte Vl . Entender la derivación de las fórmulas de Newton-Cotes; saber cómo derivar la

regla trapezoidal y cómo derivar losdos casos de la regla de impson; reconocer

que la regla trapezoidal, la regla 1/3 y la regla 3/8 de Simpson representan lasareas baio polinomios de primero, segundo y tercer orden, respectivamente.

2. Conocer las fórmulas y las ecuaciones de error paraa) La regla trapezoidalb) La regla trapezoidal de segmentos múltiples.c) La regla 1/3 de Simpsond ) La regla 3/8 de Simpsone) La regla de Simpson de segmentos múltiples.

Ser capaz de escoger la "meior" de estas fórmulas para cualquier problemaen particular.

3. Reconocer que la regla 1/3 de Simpson es exacta hasta cuarto orden aun cuando

está basada en sólo tres puntos; darse cuenta que todas las fórmulas de Newton-Cotes de segmentos par y punto impar tienen exactitud similar.

4. Saber cómo evaluar la integral de datos desigualmente espaciados.

5. Reconocer la diferencia entre fórmulas de integración abiertas y cerradas.

6. Entender las bases teóricas de la extrapoloción de Richardson y cómo se aplicaal algoritmo de integración de Romberg.

7. Entender la diferencia fundamental entre las fórmulas de Newton-Cotes y la cua-dratura gaussiana.

8. Reconocer por qué la integración de Romberg y la cuadratura gaussiana tienenutilidad en la integración de funciones continuas (opuesta a la forma tabular) .

Alternativamente, se proporcionan directamente en el texto los pro-gramas de la regla trapezoidal en los lenguajes FORTRANy BASIC.Además, se proporcionan los algoritmos generales y diagramas defluio de la mayor parte de los métodos de la parte V. Esta informa-ción le permite al lector aumentar la biblioteca de programas de talmanera que incluya métodos más a116 de la re la trapezoidal. Por

ejemplo, sería útil, desde un punto de vista pro 3esional, desarrollarprogramas que manejen datos que no estén igualmente espaciados. Sepueden desarrollar también programas sobre la regla de Simpson,la integración de Romberg y la cuadratura gaussiana, que, en gene-ral, son más eficientes y exactos que la regla trapezoidal.





C A P í T U L O T R E C E

FóRMULAS DE

INTEGRACIóN DENEWTON-COTES

Las fórmulas de integración de Newton-Cotes on los esquemas más co-munes dentro de la integración numérica. Se basan en la estrategia de

reemplazar una función complicada o un conjunto de datos tabulares conalguna función aproximada que sea más fácil de integrar:

en donde j,(x) es un polinomio de la forma:

f n ( x ) aa + al + . . . + a,-l x n - l+ a, x"

[13.1]

FIGURA13.1 Estimación de una integral mediante el área baio a ) una línea recta, y b ) unaparábola.




FIGURA13.2 Aproximación de la ntegral mediante el área baio tres segmentos de línea recta.

en donde n es el orden del polinomio. Por ejemplo, en la figura 13.la, eusaunpolinomio de primer orden (una línea recta) como aproxima-ción. En la figura 13. b se emplea una parábola para el mismo propósito.

La ntegral se puede aproximar usando una serie de polinomios

aplicados por partes a la función o a los datos sobre intervalos de longi-tud constante. Por ejemplo, en la figura 13.2, e usan tres segmentos delínea recta para aproximar la integral. Se pueden usar polinomios de ma-yor grado para este mismo propósito. Con estos fundamentos ahora

FIGURA13.3 Diferencia entre fórmulas de integración a) cerradas y b) abiertas.

~ - ~ .__I___



FORMULACldN DEINTEGRACldN DENEWTON-COTES 43 1

se reconoce que el “método de bandas” de la figura V.3 empleó una se-rie de polinomios de orden cero (esto es, constantes) para aproximar laintegral.

Se dispone de las formas abierta y cerrada de las fórmulas de Newton-Cotes. Las ormas cerradas son aquéllas en donde los puntos al principioy al final de los límites de integración se conocen (Fig. 13.3~1). as fórmu-las abiertas tienen los límites de integración extendidos más allá del rangode los datos (Fig. 13.3b). En este sentido, se parecen a la extrapolaciónanalizadaal inaldelcapítulo 11. Las fórmulasabiertasdeNewton-Cotes, en general, no se usan en la integración definida. Sin embargo, seusan extensamente en la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias. Eneste capítulo se hace hincapié en las fórmulas cerradas. Sin embargo, elmaterial de las fórmulas abiertas de Newton-Cotes se introduce brevementeal final del capítulo.

13.1 REGLA DEL TRAPECIOLa regla del trapecio o regla trapezoidal es la primera de las fórmulas ce-rradas de Newton-Cotes. Corresponde al caso en donde el polinomio dela ecuación (13.1) es de primer orden.

Recuérdese del capítulo 11 que una línea recta se puede representar co-mo (Ec. (11.2)]

[13.2]

El área bajo la línea recta s una aproximación de la integral de f (x) entrelos límites a y b:

El resultado de la integración (véase el recuadro 13.1 para mayores deta-lles) es

[13.3]

al que se le llama regla trapezoidal.Geométricamente, la regla trapezoidal es equivalente a aproximar el

área del trapecio bajo la línea recta que une a f (a) y f (b) en la figura13.4. Recuérdese de la geometría de lafórmula para calcularelárea




RECUADRO13.1 Derivación de la r egla trapezoidal

Ante s de ntegrar, la ecuación(13.2) se puede expresar Este resultado se puede evaluar, obteniend ocomo

Agrupandolos do s últimos térm inos se obtiene

f(x) = .(b ) - (a)X

Ahora,considerando queb2 - a2 = (b - a) (b + a)

b - a Multiplicandoy agrupando términos se obtiene

que es la fGrmula de la regla trapezoidalque se puede integrar entrex = a y x = b y obtener

f b) - f a) x*r = - + b f b ) - af (b) xb - a 2 b - a

a

de un trapecio es la altura por el promedio de las bases (Fig.13.5~) .neste caso, el concepto es el mismo pero el trapecio se encuno desuslados (Fig.13.56).Porlo tan to, la aproximación a la inse puede representar como

I =ancho X alturaromedio [13.4]

FIGURA13.4 Esquema gráfi co de la regla trapezoidal.

l l



FoRMlJLACl6N DE lNTEGKACl6N DENEWTON-COTES 433

FIGURA13.5 a) Fórmula para calcul ar el area de un trapecio: altura por el promediode las bases. b) En la r egla trapezoidal, el concepto es el mismo sóloqueel trapecio está sobre uno de sus lados.

I = (b - a) x altura promedio [13.5]

en donde, para la regla trapezoidal, la altura media es el promedio delos valores de la función en 10s puntos de los extremos, es decir v(a)+ f ( W 2 .

Todas las fórmulas cerradas de Newton-Cotes se pueden expresar enel formato general de la ecuación (13.5).De hecho, solo difieren con res-pecto a la formulación de la altura media.

13.l . 1 Error en la regla trapezoidal

Cuando se emplea la integral bajo un segmento de ínea recta para apro-

ximar la integral bajo una curva, obviamente que sejncurre en un errorque puede ser sustancial (Fig. 13.6)Una estimación del error de trunca-miento de una sola aplicación de la regla trapezoidal es (recuadro 13.2)

[13.6]

en donde E es un punto cualquiera dentro del intervalo de a a b. La ecua-ción (13.6) ndica que si la función que se está integrando es lineal, la




FIGURA13.6 Esquema gráfico al usar sólo una aplicación de a regla trapezoidal ar a aproximar la iqtegral def(x) = 0.2 + 25 x - 200 x2 + 675 xY -900 x 4 + 400 x’ desde x = O hasta 08.

regla trapezoidal ser xacta. De otra manera, ocurrir6 un error para funciones con derivadas de segundo y tercer orden (esto es, con curvatura).

RECUADRO13.2 Obtencióny estimacion de error de lareglatrapezoidalbasada en la integración dpolinomio de interpolación hacia adelante de Newto n-Gregory.

Una forma para obtener la regla trapezoidal es integrando a Oy 1,respectivamente. Por lo tanto, la ecuación (813.2.1el polinomio de interpolación hacia adelante de Newton- se puede expresar comoGregory. Recuérdese que para la versión de primer or-dencon érmino de error, la ntegral sería(recuadro 11.2) 1 = b lo1(a) + Af (a) a

[,B13.2.11 Se suponequepara h pequeña, el érmino f’ ([) epara simplificarel analisis,tomando en que aproximadamente constante, la ecuación euedente-a = (x - a ) / h , grar:

d x = h d a

Debido a que h = b - a (para la regla trapezoidal de unsegmento), los límites de integración. a y b . corresponden y evaluarse como



FORMULAC16N DE lNTEGRACl6N DENEWTON-COTES 435

1 = h f(a) + - , f ” ( 8 h 3[ *Y)]Debido a queAf (u) = f (b) - (u), l resultado se puede

escribir comoReglarapezoidalErrorderuncamiento

Por lo tan to, el primer término es el de la regla trapezdal y el segundo es unaestimacióndel error.

EJEMPLO 13.1

Aplicación de la regla trapezoidal simple

Enunciado del problema: utilícese la ecuación (13.3)para integrar numé-ricamente

f ( x ) = 0.2 +2 5 ~2 0 0 ~ ‘+ 6 7 5 ~ ~9 0 0 ~ ~4 0 0 ~ ~

desde a = O hasta b = 0.8. Recuérdese de la sección V.2 que elvalor exacto de la ntegral se puede determinar analíticamente como1.640533 34.

Soluci6n: los valores de la función

f ( 0 ) = 0.2

f(0.8) = 0.232se pueden sustituir en a ecuación (13.3)y obtener

0.2 + 0.2322= 0.8 = 0.1 728

que representa un error de

E, = 1.640 533 34- 0.1 728 = 1.467 733 34que corresponde a un error relativo porcentual de E , = 89.5 % . La ra-zón para este error tan grande es evidente en la gráfica de la figura 13.6.Nótese que el área bajo la línea recta descuida una porción significativade la integral sobre la línea.

En la situación actual, no se tendría conocimiento previo del valor ver-dadero. Por lo tanto, se requiere una aproximación al error. Para obtener estaaproximación, se calcula la segunda derivada de a función sobre el inter-valo, derivando la funciónoriginal dos veces para dar

f ’ (X) = -400 + 4 0 5 0 ~ 10 8 0 0 ~ ’+ 8 OOOx3

el valor promedio de la segunda derivada puede ser calculada usandola ecuación V. 3



436 MÉTODOSNUMÉRICOSPARAINGENIE

(-400 + 4 0 5 0 ~ 10 8002 + 8 OOOx9dxf,= 0.8 - O - -60

que se puede sustituiren a ecuación(13.6)y obtener

E, -= -60)(0.8)3 = 2.561 L

que es del mismo orden de magnitudy signo que tiene el error verdExiste una discrepancia debido a que enun intervalo de este tamaño, medio de la segunda derivada no es necesariamente una aproexacta def ’ ’ E).Por lo tanto, se denota que elerroresaproximadousandola notaciónE,, envez de usarE,.

13.1.2 La regla del rapecio usando segmentos multiples

Una manera de mejorar a exactitud de la regla trapezoidales la de diviel intervalo de integración dea a b en un conjunto de segmentosy aplcar el método a cada uno delossegmentos (Fig. 13 .7 ) . En segsuman las áreas delos segm entos individualesy se obtiene la integrasobre el intervalo com pleto.A las ecuaciones resultantes se les conmofórmulas de integración de segmento múltiple o fórmulas de integracióncompuestas.

En la figura 13.8 se muestra el formato generaly la nomenclatura se usará en la caracterización de integrales de segmentos mún + 1 puntos base igualmente espaciados(xo,xl, x2,. . , x,), Por cosiguiente, hayn segmentos de igual anchura:

h = - - a [13.n

Si a y b se igualan ax. y a x,, respectivam ente, la integral total sesenta como

I = l:f(x)dx + [f(x)dx +

Sustituyendo la regla trapezoidal para cada una de las integra

[13.8

o, agrupando términos

[13.9



FORMULACIóN DE INTEGRACIóN DENEWTON-COTES 437

FIGURA 13.7 Ilustración de la regla trapezoidal múltiple o) dos segmentos; b ) tres seg-mentos: c) cuatro segmentos y d ) cinco segmentos.

~ - . -



438 METODOSNUM~RICOSARAINGENIEROS-

FIGURA13.8 Formato general de la nomenclatu ra para integrales de segmentos múltiples.

o, usando la ecuación (13.7)para expresar la ecuación (13.9)en la for-ma generaí de la ecuación (13.5), e obtiene

I + <

Ancho Alturapromedio

[13.10

Ya que la sumatoria de los coeficientes de f (x) en el numerador divididopor 2n es igual a 1, la altura promedio representa un promedio pesadode losvalores de la función. De acuerdo a la ecuación (13. o), as altu-ras de los puntos interiores aparecen doblemente respecto a los puntosfinales f (xg) y f (x,,).



FORMULAC16N DEINTEGRAC16N DENEWTON-COTES 439

El error en la regla trapezoidal múltiple se obtiene sumanres individuales de cada uno de los segmentos, dando

[13.11]

en dondef ’ ’ (ti) s la segunda derivada de la función evaluada enpun-to t i ocalizado dentro del segmento¡. Este resultado se simplifica lando la mediao el valor promedio de la segunda derivada sobrecompleto [Ec.(V.2)]:

n

J n[13.12]

Por lo tanto,C f’ ’ (ti) n f’ ’ y la ecuación(13.11)se reescribe com

[13.13]

De manera que, si el número de segm entos se duplica, el ertrun-camientodisminuyea un cuarto de suvalor.Nóteseque aecuación(13.13)es un error aproximado debido a la naturaleza aproximla ecuación(13.12).

EJEMPLO13.2Regla trapezoidal de segmentos múltiples

Enunciado del problema: utilícese la regla trapezoidal de dospara calcular la ntegral de

(x) = 0.2 + 25x - 200x2+ 675x3- 900x4 + 400x5desdea = Ohastab = 0.8. Empléese la ecuación(13.13)para calculael error. Recuérdese de la secciónV.2que el valor correcto de la ines 1.640 533 34.

Solución:n = 2 ( h = 0.4):f(0) = 0.2f(0.4) = 2.456f(0.8) = 0.232

I = 0.8 0.2 + Z(2.456)+ 0.2324 = 1.068 8




~ E , = 1.640533 34 - 1.0688 = 0.571 7 3 E, = 34 .9%

E, = -12(2)2 (-60) = 0.64

en donde -60 es el promedio de la segunda derivada determviamente enel ejemplo 13 .1 .

~ ~ ~ ~~~ ~~ ~~ .~ ~

En el cuadro 13.1 se resumenlos resultados delejemplo anteriorjunto con la aplicación de la regla trapezoidal usando desde tresegmentos. Nóteseque elerrordisminuye a medidaqueelnúmerode segmentos crece. Sin embargo, también se nota que el disminución es gradual. Esto se debe que el error es inversporcional al cuadrado den [Ec. (13.13)]Por lo tanto, sise duplica elnú

mero de segmentos el error disminuyeun cuarto de su valor. En secposteriores se desarrollan fórmulas de orden superior que xactasy que convergen más rápidamente a la integral real a menúmerode segmentos crece. Sin embargo, antesde nvestigarestasfórmulas, primero se analizaun programa de computadora que immente la regla trapezoidal.

13.1.3 Programa de computadora sobre la regla trapezoidal desegmentos múltiples

En a figura 13.9 se muestraun pequeño programa que implemenregla trapezoidal. Este programa tiene algunos inconvenientestá limitado a quelosdatos estén en forma tabular.Un programa genedebe tener la capacidad de evaluar también funciones conomás, el programa no es legibleal usuario, está diseñado estrictame

CUADRO13.1 Resultado de la regla trapezoidal de seg-mentos múltiples ara calcular la integral de

+ 400x5 de x O hasta 0.8. el valor exac-to es 1.640 533 34

n h I t , 9 0

f(x) 0.2 + 2 5 ~ 0 0 ~ ~6 7 5 ~ ~ 0 0 ~ ~

23456789

10

0.40.266 70.20.160.133 30.1 14 3o.10.088 90.08

1 O68 34.91.369 16.51.484 8 9.51.539 9 6.11.570 3 4.31.588 7 3.21.600 8 2.41.609 1 1.91.615 O 1.6



FORMULACldN DE INTEGRACldN DENEWTON-COTES 44 1

FORTRANDIMENSIONF ( 2 0 ) , Y < 2 0 5WEALI NCOMMONN, A , BRE AD <5 , 1 >N

1 FORMUT<I 5 5t.II=N-lR E A D < 5 , 2 ) A , B

2 FORMUTC 2 F1O . O jH=( B-A >/HIDO 1 7 0 I = l , NR E A D (5,3 Y ( I j

3 F U R M AT < F I O . O >1 7 0 CONTINUE

CALLTRAP<Y , IN1U R I T E < 6 , 4 > I W

4 FORMAT< '' , F 1 0 , 3 >STOPENDSUBROUTINE TRAP<Y,I N )DIMENSIONY <2 0 ZHEALI NCOMMONN , F I , ENIXN-1SU=Y<1 >DO 1 0 3 0 I r 2 , N ISlI=SU+2*YC I >

HT=<SU+Y(N )> / ( 2*NI ZI N = < B-A M H TRETURNEND

1030 CONTINUE

BASICDIM F (.2lS.l, (21))I NPIJT N

N I r N - 1INPUT A , B A , B = l ímitesentegracibn

FOR I = 1 T O NL'NPIJT Y ( I j Y = valor dela variableNEXTI dependienteGOSUB1 O 0 0P R I N T INEND

N = númerodepun tosNI = númerodesegmentos

H = anchodelsegmento= (B - A ) NI-

(Subrutina para calcular laregla trapezoidal)

FIGURA13.9 Programa de la regla trapezoidal con segmentos múltiples para datos tabulados.

imprimirGnicamente la respuesta. En el problema13.21 se enfrenta latarea de facilitar el usoy la comprensión de este programa. Tambitiene la oportunidad de modificar el programa de tal manera qupaz de evaluar la integral de funciones conocidas.

El paquete suplementario de programas NUMERICOMP qpaña a este texto incluyeun ejemplo de un programa legible al usimplementando la regla trapezoidal. Este paquete evalúa las indatos tabulareso de funciones definidas por el usuario. En el siguejemplo se demuestra su utilidad en la evaluación de integraleproporciona una buena referencia'para valorary probarlos programasdel usuario.

EJEMPLO 13.3Evaluación de ntegrales con la computadora

Enunciado del problema: el paquete de programas NUMERICciado con este texto contieneun programa para computadora imple




tando la regla trapezoidal de segmentos múltiples.Estos programas pueden usar para resolverun problema asociado con el problemaracaidista. Como se recordar6del ejemplol . , a velocidad del paradista est6 dada com o la siguiente función del tiempo:

[E13.3.

en dondeu es la velocidad en centímetros porsegundo,g es la constade aceleración gravitacional igual a980 cm/s2,m es la masa del pcaidista igual a68 100 g, y e es el coeficiente de fricción igual a12 500g / s .El modelo predice la velocidad del paracaidista en functiempo como se describeen el ejemplo1.1 .Una gráfica de la variaciónla velocidad se desarrolla en el ejemplo2.1 .

Supóngase que se desea conocer la distancia que ha recracaidista después de cierto tiempo. a distancia está dada por [ €V.4)

d = v ( t ) dt

endonde d es la distancia en centímetros.Sustituyendo la ecua(E.13.3.1)y haciendoT = 10 S ,

FIGURA13.1O Pantallas de la comp utadora que muestran a ) entr ada de los parámetrosde integración y los resultados d e la integración y b ) gráfica de la integralcomo el área baio la función y el eje x .





AA4 MÉTODOSNUMÉRICOSPARANGENIEROS

den conectar lostres puntos con una parábola (Fig. 13.1 a ) . Si hay dospuntos igualmente espaciados entre (a) y f (b ) , entonces loscuatro puntos se pueden conectar con un polinomio de tercer orden (Fig. 13.l l b )A las fórmulas resultantes de calcular la integral bajo estos polinomios se

les llama reglas de Simpson .

13.2.1 Regla de Simpsonde 113

La regla de Simpson de 1/3 resulta cuando se sustituye un polinomiode segundo orden en a ecuación (13.1)

f(x) dx = f&)dxb

Si a y b se denomina como x. y x2, f2 (x)se representa mediante unpolinomio de Lagrange de segundo orden [Ec. (11.22)1,entonces la integral es:

(x - x&. - x2)foco) + (x - XONX - x2)

(x0 - XI) (x0 - X d (x1 - xo)(x1 - x2)f (x11

Después de integrar de reordenar términos, resulta a siguiente ecuación:

FIGURA13.11 a) representacióngráficade areglade Sirnpson de1/3: consiste en to-rnar el área baio una parab ola que unalospuntos.b) representación grá-fica de a regla de Sirnpson de3/8: onsiste en tomar el áre a ba io un aecuación cúbica que conecta 4 puntos.



iORMULACl6N DE lNTEGRACl6N DE NEWTON-COTES 445

[13.141

donde, en este caso, h = (b - a ) / 2 . Esta ecuación se conoce como re-gla de Simpson de 113. Esta es la segunda fórmula de integración de

Newton-Cotes. La etiqueta “1/3” viene de que h se divide por 3 en laecuación (13.14).En el recuadro 13.3 se muestra una derivación alter-nativa en donde se ntegra el polinomio de Newton-Gregory y se obtienela misma fórmula.

La regla de Simpson de 1/3 se puede expresar usando el formatode la ecuación (13.5)

+\Ancho Alturapromedio

[13.15]

en donde a = xo, b = x p , x 1 s el punto medio entre a y b , dado por(b + a ) / 2 .Nótese que de acuerdo a a ecuación (13.15), l punto mediose pesa con dos tercios y los dos puntos extremos con 1 sexto.

Se puede demostrar que una simple aplicación de la regla de Simp-son de 1/3 tiene un error de truncamiento de (recuadro 13.3):

RECUADRO13.3 Obtencióny estimación del errorde la reglade Simpson bas adoen el polinomio dinterpolación hacia adelan te de New ton-Gre gory.

Com o se hizo en el recuadro 13 .2 para la regla trapezoi-mo se esperaría que fuese. La razón de esto es qdal, la regla de Simpson de 1/3 se puede derivar integran-rentemente será corto. Nótese también que 10s lído el polinomio de interpolación acia adelante deintegración van desdex, hastax p . Por lotanto, cuandNewton-Gregory. se hacen las simplificacionesy la sustitución (recuérd

el recuadro 13.2), la integral va desdea = O hasta 2:I = I ”~ ( x o ) Af(x0) + - 2 f (xo ) a - 1)

a a - l ) ( a - 2 )

X0 2 I = h lozx o )+ Af(x0) a + a - 1)Zf x01

A3f(xo) 2+-6

+-A3f(x0) a a - l ) ( a - 2)6

Nóteseque eha escrito el polinomiohasta érminos de +-‘4’(ncuarto ordenen vezde hasta términos de tercer orden co - 24

a a - l ) ( a - 2)(a - 3 ) h 4 d a




que se puede integrar para obtener Nótese el resultado significativo de queel coeficientla tercera diferencia dividida es cero. Debido aA (x= (x1) - (x01Yde queA 2 (x,) = ( X P ) - f (x1

f (xo), la ecuación(B13.3.1)se puede reescribir

- - f ' 4 ' ( i 3 h1

90

egla Errorde Simmon de 1/3 de truncam;; 11a3 1

- - - - [ 4 ) ( h 4

7 2 8 PorIO tanto, el primer término es la regla de Si0 1/3 y el segundo esel error de truncamiento. De

y evaluarse enlos límites para dar que la tercera diferencia dividida se anula, resultado significativode que la fórmulatiene exactitudtercer orden.2f (xo)2 j ( ~ 0 ) 2Aj(a) + -

3

+ ( 0 ) A 3 j ( ~ )9 0 f ' 4 ) ( # h 4 [B13.3.1]1

o, ya que h = (b - a) /2:

[13.1

en donde cae en algún lugar dentro del intervalo de a a b . Por lo tantola regla de Simpson de 1/3 es más exacta que la regla trapezoidal. Sinembargo, la comparación con la ecuación (13.6) indica que es m u c h omás exacta de lo que se esperaba. En vez de ser proporcional a la terceraderivada, el error es proporcional a la cuarta derivada. Esto se debea que, como se mostró en el recuadro 13.3, os coeficientes del términode tercer orden se anulan durante la integración del polinomio de inter-polación. En consecuencia, la regla de Simpson de 1/3 es exacta hasta

tercer orden aunque esté basada únicamente en tres puntos.

EJEMPLO13.4Aplicación de la regia Simpson de 1/3 simple.

Enunciado del problema: utilícese a ecuación (13.15) para integrar

f ( x ) = 0.2 + 2 5 ~ 2 0 0 ~ ~6 7 5 ~ ~9 0 0 ~ ~4 0 0 ~ ~

desde a = O hasta b = 0.8. Recuérdeseque la integral exacta es1.640 533 34.



FORMULAC16N DE lNTEGRACl6N DENEWTON-COTES 447

Solución:

f(0) = 0.2 f(0.4) = 2.456 f(0.8) = 0.232Por lo tanto, la ecuación (13.15)se puede usar para calcular

1 = 0.8 0.2 + 4(2.456)+ 0.232 = 466 676

que representa un error exacto de

E , = 1.640 533 34 - 1.367 466 67 = 0.273 066 66 t u = 16.6%que es aproximadamente cinco veces más exacto que el de una aplica-ción de la regla trapezoidal (Ej.13.1).

El error estimado es [Ec. (13.16)]

E, = - (03)52 880 (-2 400) = 0.273 066 67en donde -2 400 es el promedio de la cuarta derivada en el intervaloobtenido usando la ecuación (V.3).Como fue el caso del ejemplo 13.1,el error es aproximado (E,)porque el promedio de la cuarta derivada noes una estimación exacta de f4 E ) .N o obstante, ya que en este casose trata con polinomios de quinto orden, la discrepancia no es mayor ylos errores exacto y aproximado son casi idénticos.

13.2.2 Regla de Simpson de 1/3 de segmentos múltiples

Asícomo con la regla trapezoidal, la regla de Simpson se puede mejorardividiendo el intervalo de integración en segmentos de igual anchura (Fig.13.12)

h = - - an

La integral total se representa como

[13.17]

Sustituyendo la regla de Simpson en cada una de las integrales indivi-duales se obtiene

1 = 2h f k o ) + 4fkd + f(x2) + 2h f(X2) + 4f(x3) + f(X4)

6

+ * . .+ 2h f(X,-z) f 4f(Xn-1) f(X,)

€




FIGURA13.12 Representación gráfica del uso de segmentos múltiples sobre la regla deSimpson de 3/8. ótese que el método sólo se puede emplear si el nú-mero de segmentos es par.

o , reordenando os términos y usando la ecuación (13.17), se obtiene

+\Ancho Alturapromedio

Nótese que, como se ilustra en la figura 13.12, se debe usar un númeropar de segmentos para implementar este método.

Un error estimado por la regla de Simpson de segmentos múltiplesse obtiene de la misma manera que lo hace la regla trapezoidal, sumandolos errores individuales de cada uno de los segmentos y promediando laderivada para obtener

[13.19

en donde f 4J es el promedio de la cuarta derivada en el intervalo

EJEMPLO13.5Aplicaciónde la regla de Simpson de 1/3 de segmentos múltiples

Enunciado del problema: utilícese la ecuación (13.18) con n = 4 paracalcular la integral de:



FORMULACldN DE INTEGRACION DENEWTON-COTES 449

f ( x ) = 0.2 + 2 5 ~ 2 0 0 ~ ~6 7 5 ~ ~9 0 0 ~ ~4 0 0 ~ ~

desdea = O hastab = 0.8. Recuérdese que lantegral exacta e1.640 533 34.

Solución:n = 4 ( h = 0.2):f ( 0 ) = 0.2 fi(0.2)= 1.288fi(0.4) =-2.456(0.6) = 3.464f,(0.8) = 0.232

de la ecuación(13.18)

1 = 0.8 0.2 + 4(1.288 + 3.464) + 2(2.456)+0.23212

= 1.623 466 67

E, = 1.64053334 - 1.623466 67 = 0.017066 67 e, = 1.04%El errorestimado [Ec.(13.19)Jes

E, = A

180(4)4O 8)5 (-2400) = 0.017 066 67

El ejemplo previo muestra que la versión de segmentos múla regla de Simpson de1/3 proporciona resultadosmuyexactos. Por eta razón, se considera superior a la regla trapezoidal en la mde las aplicaciones.Sin embargo, como se dijo previamente, est&da a los casos en que se cuenta conun número par de segmentosy unnúmero impar de puntos. Por consiguiente, como se examinguiente sección, se usa la regla de segmentos impares puntosnocida como regla de Simpson de3/8, en conjunción con la regla1/3 para permitir la evaluación de cualquier número de segmres o impares.

13.2.3 Regla de Simpsonde 3/8

De manera similar a la derivación de la regla trapezoidaly a la regla deSimpson de1/3, se pueden ajustar polinomios de Lagrangede tercer orden a cuatro puntos e integrar;

para obtener




en donde h = (b - ) /3 . A esta ecuacipn se le llama regla de Simpson

de 318porque h es un múltiplo de 3/8. Esta es la tercera regla cerrada deintegración de Newton-Cotes. La regla de Simpson de 3/8 se puede ex-presar en la forma de la ecuación (13.5):

U ,Ancho Altura promedio

[13.20]

Por lo tanto, a los dos puntos interiores se les dan pesos de tres octavos,mientras que a los puntos extremos se les da u n peso de u n octavo. Laregla de Simpson de 3/8 tiene un error de

380

,, = 5j' '(d

FIGURA13.13 Ilustración de cómo las reglas de Simpson de 1/3 y de 3/8se pueden apli-car a la vez para manejar segmentos múltiples con números pares deintervalos.



FORMULACldN DE INTEGRAC16N DE NEWTON-COTES 45 1

o, ya queh = (b - a)/3:

[13.21]

Porlo tanto, la regla3/8 es algo más exacta que la regla de 1/3 ción (13.16)].

La regla de Simpson de 1/3 es , en general, el método de pya que alcanza exactitud de tercer orden con tres puntos en vloscuatro puntos necesarios para la versión de3/8. No obstante, la reglade 3/8 tiene utilidad en las aplicaciones de segmentos múltipleel número de segmentos es impar. Obsérvese que en el ejempusa a regla de Simpson para integrar la función de cuatro se

Supóngase que se desea unaestimaciónparacinco segm entos. Unopción sería usar una aplicación de segmentos múltiples de lapezoidal como se hizoenel ejemplo 13.3 .Sin embargo esto noesaconsejable, debido al error grande de truncamiento asociadométodo. Una alternativa sería la de aplicar la regla de Simpson 1/3a losprimeros dos segmentosy la regla de Simpson de3/8 a los últimostres (Fig. 13.1 3). De esta manera, se obtendría una estimacióntud de tercer orden a través del intervalo completo.

EJEMPLO13.6Regla deSimpsonde 3/8

Enunciado del problema:

a) Utilícese aregla de Simpson de3/8 para integrarf(x') = 0.2 + 25x - 200x2+ 675x3- 900x4+WOx5

desdea = O hastab = 0.8.b) Utilícese en conjunción con la regla de Simpson de1/3 para integrarla misma función usando cinco segm entos.

Solución:a ) Una aplicación simple de la regla de Simoson de3/8 requiere de cua-tro puntos igualmente espaciados:

f(0) = 0.2f(0.2667) = 1 .432 724 28

f(0.5333) = 3.48717696

f(0.8) = 0.232




Usando la ecuación (13.20),

1 0.8 0.2 + 3(1.432 724 28 + 3.487 176 96) + 0.2328

= 1.519 170 37

E , = 1.640 533 34 - 1.519170 37 = 0.121 362 97 E, = 7.4%

E, = --6 4800'8)5 (-2 400) = 0.121 362 96

b) Los datos necesarios para la aplicación de cinco segmentos (h = O.16) son

f ( 0 ) = 0.2 f(0.16) = 1.296 919 04

f(0.32) = 1.743 393 28 f(0.48) = 3.186 014 72

f(0.64) = 3.181 928 96 f(0.80) = 0.232La integral de losprimeros dos segmentos se obtiene usando la regla deSimpson de 1/3:

I = 0.32 0.2 +4(1.296 919 04)+1 .743 393 28 = o.38o 323 7o6

Para losúltimos tres segmentos, se usa la regla de Simpson de 3/8 paraobtener

1.743 393 28 + 3(3.186 014 72 + 3.181 928 96) + 0.2328= 0.48

= 1.264 753 46

La integral total se calcula sumando losdos resultados:

I = 0.380 323 70 + 1.264 753 46 = 1.645 077 16E , = 1.640 533 34 - 1.645 077 16 = -0.004 543 83 E, = -0.28%

13.2.4 Algoritmo para computadora de la regla de Simpson

En la figura 13.14 se esboza un diagrama de flujo para la regla de Simp-son. Nótese que el programa está elaborado de tal forma que se puedausar un número par e impar de segmentos. En el primer caso se aplicala regla de Simpson de 1/3 a cada par de segmentos y losresultados sesuman para obtener el valor inal de la integral. En el segundo caso,se aplica la regla de Simpson de 3/8 a los últimos tres segmentos y laregla de 1/3 se aplica a todos los segmentos previos.



FIGURA13.14 Diagrama de fluio de una versión de segmentos múltiples de la regla deSimpson.




-4h

+

6 6 - 3

S S S



FORMULACION DE INTEGRACldN DENEWTON-COTES 455

13.2.5 Fórmulas cerradasde Newton-Cotesde orden superior

Como se dijo previamente, la regla trapezoidaly la regla de Simpson smiembros de una familia de ecuaciones de integración conof ó r m u l a scerradas de integración de Ne wton -C ote s.En el cuadro 13se encuentran resumidas algunas de stas fórmulas, junto conciones de su error de truncamiento.

Nótese que, al gual en el caso de las reglas de Simpson y3/8, las fórmulas de cincoy seis puntos tienen el mismo orden de Esta característica general se cumple para las fórmulas con my trae como consecuencia de que las fórmulasde segmentos pares puimpares (por ejemplo la regla de 1/3y la regla de Boole) sean, en gral, los métodos de preferencia.

Sin embargo, se debe tomar en cuenta que en la ingenieríalas fórmulas de orden superior (esto es , mayores de cuatro pvez se usan. Las reglas de Simpson son suficientes en la maylasaplicaciones. S e puedemejorar la exactitudusandounaversiónde segmentos múltiples en vez de optar por las fórmulas de mAdem&, cuando la función se conocey se requiere de exactitudmuyalta,los métodos de integración de Rombergo cuadratura gaussiana,ana-lizados en el capítulo 14, ofrecen alternativas viablesy atractivas.

13.3 INTEGRACIóN USANDO NTERVALOS DESIGUALES

Hasta el momento, las fórmulas de integración numérica se hen puntos igualmente espaciados. En la pr6ctica, existen muchos donde esta suposiciónno se cumpley se debe tratar con diferentes años de segmentos. Por ejemplo,los datos derivados experimentalma menudo, son de este tipo.Enestos casos,un método es aplicar a retrapezoidal a cada uno de los segmentosy sumarlos resultados:

[13.22]

en dondeh i s el ancho del segmentoi . Nótese que este fue el mismplanteamiento usado en la regla trapezoidal de segmentos múúnicadiferenciaentre asecuaCiones (13.8)y (13. 22 ) es que ash dela primera son constantes. Por consiguiente, la ecuación (13.simplificary llevar a a ecuación(13.9).Aunque esta simplificación nse puede aplicar a la ecuación (13.22), se puede desarrollar cun programa de computadora que acomode los segmentos dedesigual. Antes de describir tal programa, se ilustra en el siguiplo como se aplica la ecuación(13.22)en la evaluación de una integ



456 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIE

-

= 1.564800 98

querepresentaun errorrelativoporcentualabsolutode E , = 4.6 %.

EJEMPLO13.7Regla trapezoidal con puntos que no están igualmente espaciados

Enunciado del problema: la información del cuadro13.3se generó usael mismo polinomio empleado en el ejemplo 13. l . Utilíce(13.22)para determinar la integral de estos datos. Recuérdespuesta correcta es 1.64 0533 34.

Solución: aplicando la ecuación ( 13 .22) alosdatos del cuadro 13obtiene

1. 30972928 + 0.2 o,1o1.30524128 + 1. 3097292 8I = 0.12 2 2

+ * . - + 0 . 1.232+2.3632= 0.090 58376 + 0 .130 74853 + . . . + 0.129 7 5

CUADRO13.3 Datos de f(x) 0.2 + 25x-200x2 + 675x3-900x4+ 400x5 con valores de x desigualmente espaciados

0. 0 0. 200 000 O0 0. 44 2. 842 894 960. 12 1. 309 729 28 0. 54 3. 507 296 960. 22 1. 305 241 28 0. 64 3. 181 928 960. 32 1. 743 393 28 0. 70 2. 363 O00 O00. 36 2. 074 903 04 0. 80 0. 232 O00 O00. 40 2. 456 O00 O0

Losdatos del ejemplo 13.7 se muestran en la figura 13que algunos segmentos adyacentes son de igual ancho, por consiguiepodrían haber sido evaluados usando reglas de Simpson. En lleva a resultados m6s exactos, como se ilustra en el ejem

Programa de computadora para atos que no están igualmente es-paciados. Esmuy simple programar la ecuación (13.22).Sin embargocomo se demuestra en el ejemplo 13.8, la aproximación se acrecimplementan las reglas de Simpson hasta donde sea posible.zón, se ha desarrolladoun algoritmo que incorpora esta opció



FORMULACldN DElNTEGRACl6N DENEWTON-COTES 457

FIGURA13.15 Uso de a regla trapezoidal para determinar la integral de datos espa-ciados irregularmente. Nótese cómo se pueden evaluar los segmentossombreados con las reglas de Simpson para obtener mayor exactitud.

EJEMPLO 13.8Inclusión de la regla de Simpson en la evaluación de datos impares

Enunciado del problema: calcúlese nuevamente la integral delos datosdel cuadro13.3,pero usando las reglas de Simpson en aquellos sdonde sean apropiadas.

Solución: el primer segm ento se puede evaluar con la regla t

1.309 729 28 + 0.2 = o.o9o 583 76I = 0.12

2Debido a que los siguientes dos segm entos desdex = 0.22 a 0.36 sonde igual longitud, su integral se pJede calcular usando la reglson de1/3.

1.743 393 28 + 4(1.305 241 28) + 1.309 729 286

= 0.2

= 0.275 802 92




Los siguientes tres segmentos son ambién iguales, y por lo tanto, se puden evaluar con la regla de 3/8 para dar I = 0.272686 31. De manerasimilar, se puede aplicar la regla de 1/3 a los dos segmentos desde x =

0.44 ax =

0.64 para obtenerI =

0.668 470 06.Finalmente, losúltmos dos segmentos, que tienen longitud desigual, se pueden evaluar conla regla trapezoidal obtener los resultados de O.166 347 87 y O .129 750 00respectivamente. Elárea de estos segmentos individuales se puede sumarpara obtener una integral total de 1.603 640 92.Esto representa un errode q, = 2.2%,que es superior al resultado obtenido con la regla trape-zoidal del ejemplo 13.7.__

.

Como se muestra en la figura 13.16,el diagrama de flujo verifica lalongitud de intervalos adyacentes. Si dos segmentos consecutivos tienenigual longitud, entonces se aplica la regla de Simpson de 1/3. Si tres deellos son iguales, entonces se aplica la de 3/8. Cuando los segmentosadyacentes son desiguales se implementa la regla trapezoidal.

Se sugiere al lector que implemente su propio programa a partir deeste diagrama de flujo. Esto no sólo le permite la evaluación de segmen-tos desiguales, sino que si se usa también la información de segmentosiguales, reduce las reglas de Simpson. Como tal, representa un algorit-mo básico de propósitos generales, en la determinación de la integral dedatos tabulares.

13.4 FóRMULAS DE INTEGRACIóN ABIERTARecuérdese de la figura 13.3b que las fórmulas de integración abierta tie-nen límites que se extienden más allá del rango de los datos. En ecuadro 13.4 se resumen las fórmulas de integración abiertade NewtoCotes. Las fórmulas se expresan en la forma de la ecuación (13.5)detal manera que resultan evidentes los factores de peso: Como con las ver-siones cerradas, los pares sucesivos de las fórmulas tienen el mismo orden de error. Las fórmulas de segmentos pares-puntos impares son,

egeneral, los métodos de preferencia y a que requieren algunos puntos me-nos para alcanzar la misma exactitud de las fórmulasde segmentos impares:puntos pares. Nótese que el método de bandas mostrado en a figura V.3es, en realidad, una versión de segmentos múltiples del método de pun-to medio del cuadro 13.4.

Como se menciona previamente, las fórmulas abiertas rara vez se usanen la integración. Sin embargo, tienen aplicación directa con los métodosde paso múltiple en la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias ana-lizadas en el capítulo 17.



FIGURA13.16 Diagrama de fluio para la integración con datos desigualmente espaciados.

459




C Y

0

I

S

-4-

LD



FORMULACldN DEINTEGRACldN DENEWTON-COTES 46 1

PROBLEMASCálculosa mano

13.1

13.2

13.3

13.4

13.5

13.6

13.7

13.8

13.9

Utilícense medios analíticos para evaluar

(a) I (10 +2x - 6x2+5x4)dx

(b) 15(1 - x - 4x3 +3x5)dx

(c) Jv (8 + 5 senX) dx

Utilícese una aplicación simple de la regla trapezoidaly evalúense las integrale

delproblema 13.1.

O

-3

O

Evalúense las integrales del problem a 13.1 con la regla trepezoidalde segmentosmúltiples, conn = 2, 4 y 6.

Evalúense las integrales del problema 13.1 con una aplicación simplSimpson de 1/3.

Evalúense las integrales del problema 1 3.1 con una regla de Simpde segmentos múltiples, conn = 4 y 6.

Evalúense las integrales del problema 13.1 con una aplicación simpde Simpson de 3/8.

Evalúense las integrales del problema 13. 1 usando la regla de Simp3/8con segmentos múltiples, conn = 5.

Intégrese la siguiente función analíticamentey usando la regla trepezoidal, cn = 1,2, 3 y 4:

Calcúlese el error relativo porcentualy evalúese la exactitud de la aproximtrapezoidal.

Intégrese la siguiente función analíticamente usando las reglas de Sin = 4 y 5 :

Estúdienselos resultados

13.10 Intégrese la siguiente función analíticay numéricamente. Úsese la regla trapdaly la regla de Simpson de 1/3 para integrar la función. En ambos ca



462 METODOS NUMERICOS PARAINGENIERO

laversión de segmentos múltiples, conn = 4:

Compárese el error relativo porcentual delos resultados numéricos.

13.11 Intégrese la siguiente función analíticay numéricamente. Utilícese la regzoidaly la regla de Simpson de1/3 y 3/8 además de la regla de Booleel cuadro13.2).

lo*5.32.5x x

Calcúlese el error relativo porcentual delos resultados numéricos

13.12 Evalúese la ntegral

I,”(4 + 2 senx) dx

a) Analíticamente.b) Mediante la aplicación simple de la regla trapezoidal.c) Mediante la aplicaciónmúltiple de la regla rapezoidal(n = 5).dj Mediante a aplicación simple de la regla de Simpson de1/3.e ) Mediante la aplicación simple de la regla de Simbson de3/8.f) Mediante la aplicaciónmúltiple de lasreglas de Simpson(n = 5).

En los casosb ) a f ) , calcúlese elerrorrelativoporcentual (c,) basado ena

13.13 Evalúese la integral delossiguientes datos tabulares mediante la regla t

X O 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

f ( x ) I l 7 4 3 5 9

13.14 Efectúense lasmismas evaluaciones delproblema 13.13 usando lasreglas Simpson.

13.15 Evalúese la integral delossiguientes datos tabulares usando la regla tr

x 1 - 3 - 1 1 3 5 7 9 1 1

f(x) 1 -4 -5 2 4 8 6 -3

13.16 Efectúese la misma evaluación del problema13.15usando las reglas de Sim

13.17 Determínese elvalormediode la función(x) = -46 + 4 5 . 4 ~ 1 3 . 8 ~ ’+ 1 . 7 1 ~ ~. 0 7 2 9 ~ ~

entrex = 2 y x = 10:a) Graficando la funcióny calculando visualmente el valor.bj Usando la ecuación(V.3) y la evaluación analítica dela integral.cj Usando la ecuación(V.3)y una versión de cuatro segmentos de la

pezoidal en a estimación de la integral.



FORMULAC16N DE INTEGRAC16N DENEWTON-COTES 463

d ) Usando la ecuación (V.3)y una versión de cuatro segmentos de la reSimpson de1/3.

13.18 La función

(X) = 10 - 8 . 6 ~ 7 4 . 0 7 ~ '- 0 . 1 ~ 'se usa en el cálculo de la siguiente tabla de datos que no están iguaciados:

X I O 0.1 0.3 0.5.7.95 1.2(x) 10 6.84 4 4.20 5.51.77 1

Evalúese la integral desde a= O y b = 1.2 usandoa) Mediosanalíticosb) La reglatrapezoidal

c) Una combinación de las reglas de Simpsony la regla trapezoidal; utilíclas reglas de Simpson en donde sea posible para obtener la m6s aposible.En b) y c) calcúlese el errorrelativo porcentual(E,,)

13.19 Evalúese la siguiente ntegral doble:

a) Analíticamenteb) Usando la regla rapezoidal con segmentos múltiples(n = 2).c) Usando unaaplicaciónsimple de la regla de Simpson de 1/3 .

En b) y c) calcúlese el error relativo porcentual(e ).

13.20 Evalúese la integral riple

I,I (x4 - 2Y4 dx dY dz

a) Analíticamenteb) Usando unaaplicaciónsimple de la regla de Simpson de 1/3

En b) calcúlese el error relativo porcentual(E,,).

Problemas relacionados con la computadora13.21 Desarrólleseun programa para computadora que sea amable con el us

la regla trepezoidal de segmento múltiple basado en la figura 13.9cosas,a) Agréguense declaraciones de documentación al programa.b ) Hágase la entraday la salida más descriptivay orientada al usuario.c) Inclúyanse diagnósticos que alerten al usuario cuando se accese

d ) (Opcional) Modifíquese el programa de tal m anera que sea capa

Pruébese este programa repitiendolos cálculos del ejemplo 13.2.

no estén igualmente espaciadoso en orden ascendente.

funciones predefinidasy en forma tabular.



464 M h O D O S NUMÉRICOS PARAINGENIER

13.22 Desarrólleseun programa para computadora amable con el usuario psión de la regla de Simpson de segmentos múltiples basado en la Pruébese reproduciendoloscálculos delos ejemplos 13.5y 13.6.

13.23 Desarrólleseun programa para computadora que sea amable con el uintegrar datos desigualmente espaciados basados en la figura 13repitiendoloscálculos del ejemplo 13.7

13.24 Utilícese el programa TRAPEZOIDAL RULE del paquete de proRICOMP(o el programa propio del problema 13 .2 1)y repítasea) el problem13.2 ,b ) el problema 13.3,c) el problema13.8, ) el problema 1 3. 10y e) l problema 13 .13 . Utilícese a opción de graficación para que le ayu

el concepto de que1 = f (x) dx es el área entre la curvaf (x) y el eje. Pru

bense varios tipos de pasos para cada uno delosproblemas.S1

13.25 Desarróllense cinco funciones. Úsese el paquete de programas NU(o losprogram as propios) para calcular la integral de cada una de lsobre algunos límites basados enlos datos de entrada. Pruébenselostamaiide pasoh = (b - a)/ n para = n 1 , . . , n = 10. GrafíqueseI en función den

13.26 Utilícese el paquete de programas NUMERICOMP (olosprogramas propios)ra calcular la integral de datos tabulares. Invéntense datos parax y f (x), Úsensvalores negativosy cero parax y f (x ) . Obsérvese la función, graficándoltor puede convencerse de que el paquete NUMERICOMP trabaja



C A P í T U L OC A T O R C EINTEGRACIóN DEROMBERG Y

CUADRATURA GAUSSIA

En la introducción a la parteV se menciona que las funciones a integrse numéricamente tienen, en general, dos formas: una tabla de vo una ecuación. La forma de los datos tiene una influencia impoen el esquema que se va a usar para evaluar la integral. Para el información tabular, se está limitado al número de puntos datos. traste,sise dispone de la función analíticamente, entonces se puednerar tantos valores de( x ) omo sean necesarios para alcanzar na extitud aceptable (recuérdese la Fig.V.4).

Este capítulo se dedica al estudio de dos métodos que estánexpresa-mente diseñados para analizar casos en que se conoce la funcióbosmétodos aprovechan la facilidad de generar valores de la funel desarrollo de esquemas eficientes de la integración numéricapri-mero de ellos se basa en a extrapolación de Richardson, métocombina dos aproximaciones de integración numérican la obtención deun tercer valor que es más exacto.Elalgoritmo que implementa la extrpolación de Richardson en su formamáseficiente se llama integraciónde Romberg. Este método es recursivoy se usa para generar una aproximación a la integral dentro de una tolerancia de error especific

El segundo método es el llamado cuadratura gaussiana. Recuque enelúltimocapítulo losvalores def(x) en las fórmulas de NewtonCotes se determinan en valores específicos dex. Por ejemplo, si se usala regla trapezoidal para determinar una integral e está restringienda tomarel promedio pesado de( x ) n losintervalos de los extremos. as fórmude cuadratura gaussiana emplean valores de contenidos dentrode ay deb de tal forma que resulta una integral mucho más exacta.

14.1 INTEGRACIóN DE ROMBERGEn el capítulo 13 se presenta una versión de la regla trapezoidal cmentos múltiplesy lasreglasde Simpson. Parauna unciónanalítica(opuesta a la forma tabular), las ecuaciones de error [Ec. (13.13)(13.19)]




indican que aumentandoel númeron de segmentose genera una aximación más exactaa la integral. Esta observaciónla co mprueba la ra 14.1, quees una gráfica del error real contran pa ra la integral def(x= 0.2 + 25x - 00x2= 675x3- 900x4+ 400x5.Nótese cómoeerrordecrecea medida quen crece. Sin embargo nótese tambiéquepara valores muy grandes en , el errorempieza a crecerya quelos errres de redond eo em piezan dominar. También obsérveseque se neceta un número muy grande de segmentos(y por lo tanto, esfuerzo

FIGURA14.1 Valor absoluto del error relativo porcentual verdadero contra el núme-ro de segmentos en la determinación de la integral {(x)= 0.2 + 25x -200x2+ 675x3- 00x4+ 400x5,evaluada de a = O a b = 0.8 usan-do la regla trapezoidal de egmentos múltiples y la regla de Simpson de1/3 de segmentos múltiples. Nótese que ambos resultados indican quepara un número considerable de segmentos, los errores de redondeo li-mitan la precisión.



INTEGRACldN DEROMBERG Y CUADRATURA GAUSSIANA 467

cálculo) para alcanzar niveles altos de exactitud. Como una cocia de estos inconvenientes, la regla trapezoidal de segmentos my las reglas de Simpson algunas veces son inadecuadas en problse necesita gran eficienciay pocos errores.

La integración de Romberg es un método diseñado para evitar esinconvenientes. Esmuysimilar a los métodos analizados en el cap13, en el sentido de que está'basado en la aplicación sucesiva dla reglatrapezoidal. Sin embargo, mediante manipulacionesmatemáticas, se obtienen mejores resultados con menos esfuerzo.

14.1.1Extrapolaciónde Richardson

Recuérdese que en la sección7.4.4se usan ecuaciones de error parame-jorarla solución deun conjunto de ecuaciones lineales. En el mism

tido, existen métodos que corrigen erroresy mejoranlos resultados dela integración numérica en base a la estimación de la integral mCo-nocidos generalmentecomoextrapolación de Richardson, estos métodosusan dos cálculos de la integral para efectuarun tercer cálculo másexacto.

El cálculoy el error asociado con la regla trapezoidal de segmmúltiples se representa generalmente como:

I = I ( h )+€ ( h )

en dondeI es el valor exacto de la integral,I ( h )es la aproximación dla integral usando la regla trapezoidal conn segmentosy contamaño depasoh = ( b - a ) / n y E(h) es el error de truncamiento. Si se obtidos aproximaciones por separado usando tamaños de pasohl y h z y setiene elvalor exacto del error, entonces

Ahora recuérdese que el error de la regla trapezoidal de segmemúl-tiplesserepresentapor la ecuación(13.13)[conn = ( b - ) / h ] :

[14.2]

Si se supone quef ' es una constante que depende del tamaño delpaso,entonces la ecuación(14.2)se usa en a determinación del promediolosdos errores, que es:

[14.3]

Este cálculo tiene el importante efecto de quitar el términof ' ' de los cál-culos.AIhacerlo, se ha hecho posible utilizar la información relaci




c

con la ecuación (14.2) sin conocimiento previo de la segunda derivadade la función. Para hacerlo, se reordena la ecuación (14.3) para obtener:

lacual se puede sustituir en a ecuación (14.1):

la cual, puede resolverse

Por lo tanto, se ha desarrollado una expresión que calcula el error de runcamiento en teiminos del valor de la integral y el tamaño de paso. Estaestimación se sustituye en

I = I(h2)+ E(h2)

obteniendo una estimación mejorada de la integral:r 1 1

[14.4

Se demuestra (Ralston y Rabinowitz, 1978) que el error de esta esti-mación es O(h4).Por lo tanto, se han combinado dos estimaciones de laregla trapezoidal de O ( h 2 )en a obtención de una nueva estimación deO(h4). En el caso especial en que el intervalo se divide en dos partes ( h= h l / 2 ) ,a ecuación se transforma a:

o , reordenando términos,

[14.5]

EJEMPLO14.1Correctionde errores en la regla trapezoidal

Er,unciado del problema: en el capítulo anterior (ejemplo 13.1 y el ma-dro 13.1) la aplicación de la regla trapezoidal de segmentos múltiples lie



INTEGRA Cld N DE ROMBERGY CUADRATURA GAUSSIANA 469

va alos siguientes resultados:- ~ ~~~ ~ ~~~~ ~

Segmentos h Integral e v,%

1 0.8 0.172 8 89.52 0.4 1.068 8 34.94 0.2 1.484 8 9.5

Utilícese esta información junto con la ecuación(14.5) para calcular me-jores estimaciones de la integral.

Solución:los cálculoscon unoy dos segmentosse combinany se obtiene

4 1

3I = - 1.068 8) - - O.172 8) = 1.367 466 67

Elerror en a ntegral mejorada es

E, = 1.640 533 34 - 1.367 466 67 = 0.273 066 67 E , = 16.6%

que es superior a la aproximación en que se basó.

binany se obtieneDe la misma manera,los cákulos de dosy cuatro segmentos se com

4 1

3I = "1.484 8) - (1.068 8) = 1.623 466 67

que representaun error de

E, = 1.640 533 34 - 1.623 466 67 = 0.017 066 67 E, = 1.0%

La ecuación14.4 proporciona una formade combinar dos aplicacines de la regla trapezoidal con errorO(h2)y calcular una estimación deO(b4) . ste planteamiento esun subconjunto deun método más generalque combina integrales paraobtener mejores estimaciones. Por ejemen el ejemplo14.1, se calcularon dos integrales mejoradas deO(h4)enbase a tres estimaciones de reglas trapezoidales. Estas dos estimmejoradas, puedena lavez,combinarse para obtener todavía una mestimación deO ( h 6 ) .Para el caso especial en que las estimacionediante regla trapezoidal original se basen en divisiones sucesivami-taddel intervalo, la ecuación usada conO(h6)de exactitud es:

16 1155

I = I, 4 [14.6]




en donde I, y I,son las estimaciones más y menos exactas, respectivamente. De manera similar, dos resultados de O ( h 6 )se combinan paracalcular una integral que es O(h8)usando

6 4 1I = -I, - 1,63 63 [14

EJEMPLO 14.2Corrección del error de órdenes mayores de dos en laestimación de integrales

Enunciado del problema: en el ejemplo 14.1 se usa la extrapolación deRichardson para calcular dos estimaciones de la integral de O(h4).Utilcense la ecuación (14.6) y combínense estas estimaciones para calcularuna integral con O(h6).

Solución: las dos aproximaciones de O(h4)obtenidas en el ejemplo 14 .fueron 1.367 466 67 y 1.623 466 67. Estos valores se sustituyen en laecuación (14.6) y se obtiene

la cual es la respuesta correcta a nueve cifras significativas que son lasobtenidas en este ejemplo.

14.1.2 Algoritmo de la integración de Romberg

Nótese que los coeficientes n cada una de las ecuaciones de extrapolación[Ec. (14.5), 14.6) y (14.7)]suman 1. Por lo tanto, representan factorede peso que, a medida que la exactitud aumenta, coloca progresivamen-te pesos mayores en la estimación de la integral. Estos planteamientospueden expresarse en una forma general, que se adapta muy bien a lasimplementaciones mediante computadora:

[14.



NTEG RA Cld N DE ROMBERGY CUADRATURA GA USSIANA 471

en donde[,+I,+" y lj,k-l on las integrales másy menos exactas, respetivamente,1j .k es la integral mejorada. El índicek indica el nivel de intgración,k = 1corresponde a la estimación de la regla trapezoidal k = 2 corresponde aO(h4),k = 3 a O ( h 6 ) , tcétera. El índicej se usapara distinguir entre las estimaciones mejores(j + 1)y menores(j).Porejemplo, sik = 2 y j = 1 ,entonces la ecuación(14.8)se transforma en

lacual es equivalente a la ecuación(14.5).La forma general representada mediantea ecuación(14.8)se le atri-

buye a Romberg,y a la aplicación sistemática en la evaluación de grales se le conoce comointegración de Romberg.La figura14.2muestra

un esquema gráfico de la secuencia de estimaciones generadaeste método. Cada una de las matrices corresponde a una iterprimera columna contiene las evaluaciones de la regla trapezosedenotan porJ,l, en dondej = 1 es la aplicación sobreun solosegmento(el tamaño del paso esb - ); = 2 es la aplicación sobre los segme[tamaño del paso(b - a)/4];etcétera. Las otras columnas de la mse generan sistem6ticamente aplicando la ecuación(14.8)para obtenersucesivamente mejores estimaciones para la integral.

Por ejem plo, la primera interación (Fig.14.2a)implica calcular la rgla trapezoidal de unoy dos segmentos(11,1 12,1). n seguida se usa laecuación(14.8)para calcular el elemento11,2= 1.367 466 67 ,que tie-ne un error deO(h4) .

FIGURA 14.2 Esquema gráfico de l a secuencia de aproximaciones a la integral gene-radas usando la integración de Romberg.




Ahora, se debe verificar que este resultado sea adecuado a las nece-sidades. Como se hizo con los otros métodos de aproximación de estelibro, se requiere un criterio de terminación o de paro para valorar la exac-titud de los resultados. Unmétodo que se puede mplear para los propó

sitos actuales es (Ec. ( 3 . 5 ) ]

[14.

en donde E, es una estimación del error relativo porcentual. Por lo tan-to, de la manera como se hizo anteriormente en los otros procesos iteratiVOS, se compara la nueva estimación con el valor anterior. Cuando elcambio entre los valores anterior y actual representados mediante E*, etá bajo un criterio de error preespecificado E,, los cálculos se terminan.En la figura 1 4 . 2 ~ sta evaluación indica un cambio del 87.4% de cambio sobre el curso de la primera interación.

El objeto de la segunda iteración (Fig. 14.2b) es el de obtener la estimación O ( h 6 ) : 1,s.Para hacerlo, se determina una nueva estimación tra-pezoidal, 13.1 = 1.484 8. En seguida ésta se combina con 12,1usandla ecuación (14.8)para obtener 12,*= 1.623 466 67. Este resultado, a lvez, se combina con 11,2 ara obtener 11,3= 1.640 533 34. La ecuación(14.9)se aplica para determinar que este resultado representa un cambiodel 16.6% cuando se compara con el anterior 11,2.

La tercera iteración (Fig. 14.2%) continúa el proceso de la misma ma-

nera. En este caso, se agrega una estimación trapezoidal a la primera co-lumna y luego se aplica la fórmula (14.8) al cálculo sucesivo de integralemás exactas bajo la diagonal inferior. Después de tres iteraciones, se sabeque el resultado, 11,5= 1.640 533 34, es exacto al menos hasta nuevacifras significativas.

La integración de Romberg es más eficiente que la regla trapezoidaly que las reglas de Simpson analizadas en el capítulo 13. Por ejemploen la determinación de la integral mostrada en la figura 14.1, a regla dSimpson de 1/3 requeriría una aplicación de 256 segmentos para encontraun valor de 1.640 533 32. No serían posibles mejores aproximacionesdebido al error de redondeo. En contraste, la integración de Romberg ob-tiene un resultado exacto (hasta nueve cifras significativas) basado en lacombinación de la regla trapezoidal de dos, cuatro y ocho segmentos

En la figura 14.3 se muestra un diagrama de flujode la integracióde Romberg. Usando ciclos, el algoritmo implementa el método de manera eficiente. Recuérdese que la integración de Romberg está diseñadapara casos en que la función por integrar se conoce. Esto se debe a quel conocimiento de la función permite las evaluaciones necesarias paralas implementaciones iniciales de la regla trapezoidal. Los datos en formtabular rara vez se encuentran en forma necesaria para llevar a cabo eva-luaciones sucesivas.



NUde

ciór

A 14.3fluio de

7 de Ron

Dila

1be

agra-inte-

r g

473



474 MÉTODOSNUMÉRICOSPARA INGENIE

14.2 CUADRATURA GAUSSIANAEn el capítulo 13 se analiza un conjunto de fórmulas de integración n umérica o de cuadratura conocidas como las ecuaciones de Newton-Cotes.Una característica de estas fórmulas (con la excepción del caso especialde la sección 13.3)es que la estimación de la integral se basa en puntosigualmente espaciados. Por consiguiente, a posición de los puntos baseusados en estas ecuaciones estaba predeterminado o fijo.

Por ejemplo, como se puede ver en la figura 14.4~1,a base de la re-gla trapezoidal es tomar el área bajo la línea recta que une los valores dela función evaluada en los extremos del intervalo. La fórmula usada paracalcular esta área es

1 ( b - U )f (a> + f tb)

2[14.10]

FIGURA14.4 a) Esquema gráfico de la regla trapezoidal dada por el área baio la línearecta que une los puntos extremos. b) Se obtiene una aproximaciónmeiorada a la integral tomando el área baio la línea recta que pasa através de dos puntos intermedios. Colocando adecuadamente estospuntos, los errores, positivo y negativo se equilibran y resulta unaaproximación a la integral meiorada.



INTEGRACldNDEROMBERGY CUADRATURA GAUSSIANA 475

en dondea y b son los límites de integracióny b - es el ancho del intvalo de integración. Debidoa que la regla trapezoidal debe pasar de los puntos límites, existen casos como el de la figura14.4aen dondela fórmula generaun errormuygrande.

Ahora, supóngase que la restricción de fijar los puntos bana y se va a evaluar libremente el área bajo la línea recta quepuntoscualesquierade la curva. Colocando estos puntos de main-teligente, se puede definir una línea recta que balancee los etivosy positivos. De ahí que, como en afigura 14.4b, se llegara aunvalor más exacto de la integral.

La cuadratura gaussianaes el nombre de uno de estos métodosimplementa esta estrategia. Las fórmulas particulares de cuadsiana descritas en esta sección se llamanfórmulas de Gauss-LegendAntes de describir el método, se demuestra cómo las fórmulgración numérica tales omo la regla trapezoidal e derivan us

todode coeficientes indeterminados.Estemétodo se emplea endesarrollo de las fórmulas de Gauss-Legendre.

14.2.1Métodode coeficientes indeterminados

En el capítulo13 se deriva la regla trapezoidal integrandoun polinomilineal medianteun razonamiento geométrico. Elmétodo de coeficienteindeterminadosofrece una tercera alternativa que tiene también en a derivación de otros métodos tales com o la cuadratura

Para ilustrarel método, la ecuación(14.10) se expresa como

en donde lasc son constantes. Ahora, considerando que la regzoidal debe llevar a resultados exactos cuando la función a inuna constanteo una línea recta.Dosecuaciones simples que represeste caso sony = 1 y y = x . Ambas se ilustranen a igura 14.5. Porlo tanto, se deben cumplir as siguientes gualdades:

Y

o, evaluando las integrales: .




FIGURA14.5 Dos integrales que la regla rapezoidal evaluará exactamente: a) unaconstante y b) una línea recta.

Estas sondos

ecuaciones con dos incógnitas que pueden resolverse por

c1 = c2 = - - a

2

las cuales, cuando se sustituyen denuevo en a ecuación ( 1 4 .11 )da

la cual es equivalente a la regla trapezoidal.



INTEGRACldNDEROMBERG Y CUADRATURA GAUSSIANA 477

14.2.2Derivaciónde la fórmulade Gauss-Legendrebasada en dos puntos

Como en el caso de la derivación anterior de la regla trapezoidratura gaussiana determina los coeficientes de una ecuación

en donde lasc son los coeficientes incógnitas. Sin embargo, n cola regla trapezoidal que usa puntos extremosa y b , os argumentos dla funciónx1 y x2 ahora no están fijos a los puntos extremos, sison incógnitas (Fig. 14.6 ). Por lo tanto, ahora se tieneun total de cuatron-cógnitas que se deben evaluar,y por consiguiente, se requieren de tro condiciones para determinarlos exactam ente.

Aligual que con la regla trapezoidal, se pueden obtener docondiciones suponiendo que la ecuación (1 4.1 2) ajusta exacintegral de una corstantey de una función lineal. Entonces, para la las otrasdoscondiciones, se extiende este razonamiento l supotambién se ajusta la ntegral a una función parabólica(y = x2) y a unafunción cúbica(y = x3) . Haciendo esto, se determinan las cuatro nitas conviniendo en derivar una fórmula de integración de doque sea exacta para cúbicas. Las cuatro ecuaciones por reso

Clf(X1) + C2f(X2) = 1 dx = 2 [14.13]

[14.14]

[14.15]

[14.16]

Las ecuaciones (14 .1 3) hasta la (1 4.1 6) se resuelven simultc1 = c2 = 1

x l = - = -0.577 350 269.. .1d3

x 2 = " - 0.577 350 269.. .d3




FIGURA14.6 Esquemagráfico de las variables incógnitas -x1 y x2- para integraciónusando cuadratura gaussiana.

las cuatrose pu ed en sustituir en la ecu ació n (14 .12 )y obtene r la fórmde Gauss-Legendre de dos puntos

[14.17]

Por lo tan to, se llega al resultado interesante de qu ela sum a simple los valores d e la función enx = 1/& y - / & lleva a una estimacd e la integral con una exactitud d e tercer ord en .

Nótese q u e los límites de integración d elas ecuaciones(14.13)a la(14.16) van desde- 1 a 1. Esto se hizo pa ra simplificar la aritmyhacer la formulación tan general co m o se aposible. Un simple cambla variable se pu ed eusar para trasladar otros ímites de integracióta forma. Esto selleva a cabo suponiendo quela nueva variablexd estádada en función de la variable originalx en una forma lineal como

x = a. + alxd [14.18]

si el limite inferior,x = a , corresponde ax d = - 1, estosvalores S e

sustituyen en la ecuación(14.18) se obtiene:

a = a0 + al(-l) [14.19]

De mane ra similarel límite superior,x = b , corresponde axd = 1, yobtener

b = a0 + al(1) [14.20]



I N T E G R A C I ~ NE ROMBERGY CUADRATURA GAUSSlANA 479

Lasecuaciones (14 .19)y la (1 4 .2 0) se resuelven simultáneamentnerando:

b + aa0 = - 2

b - aat = -

2

Y

quesesustituyeen aecuación (1 4 .1 8) para obtener:

(b + a) + (b - a)xd

2X =

Esta ecuación se diferencia dando:& = - - a

2 dx

[14.21]

[14.22]

[14.23]

[14.24]

Las ecuaciones (14 .2 3)y (14.24)se pueden sustituir parax y dx,respec-tivamente, en a ecuación por integrar. Estas sustituciones transfefectivamente el intervalo de integración sin cambiar los valoresin-tegral. El ejemplo siguiente lustra cómo se hace esto en a p

EJEMPLO 14.3Fórmulas de Gauss-Legendre de dos puntos

Enunciado del problema: utilícese la ecuación (14 .14) para evin-tegral

(x) = 0.2 +25x - 200x2+ 675x3- 900x4 + @Ox5

entre los límitesx = Oy x = 0.8.Recuérdese que éste fue el mismoblema resuelto en el capítulo13 usando una variedad de formulaciode Newton-Cotes. El valor exacto de la ntegral es 1 .6 40533 34 .

Solución: antes de integrarla función, se debe realizarun cambio de variablede tal formaque los límites sean desde- hastal . Para hacerlo,se sustituyea = O y b = 0.8 en a ecuación (14 .2 3)y se obtiene

X = 0.4 + 0.4xd

al calcular su derivada se tiene [Ec. (14.24)]

& = 0.4 dxd




Estos dos valores se sustituyenen a ecuación originalpara obten

(0.2 +2 5 ~ 2 0 0 ~ ~6 7 5 ~ ~9 0 0 ~ ~4 0 0 ~ ~ )x

- {[0.2 + 25(0.4 + 0.4~d) 200(0.4 + 0.4xd)'-

+675(0.4 +O.4xJ3 - gOO(0.4 + O.4xJ4

Porlo tanto, el lado derecho está en la forma que es adapevaluación mediante la cuadratura gaussiana. La función tse puede evaluar en- l/& iendo igual a0.516 740 55 en 1 4 ido igual a1.305 837 23. Por lo tanto, de acuerdo a la ecuació(14.17

la ntegral es :1 = 0.516 740 55 + 1.305 837 23 = 1.822 577 78

que representaun error' relativo porcentualdel - 11.1 % . Este resues comparable en magnitud a la aplicación dela regla trapezoidal dtro segmentos (cuadro13.1) o a una aplicación de la regla de de 1/3 y la de3/8 (ejemplos13.4 y 13.6). Este último resultadoesperaba porque las reglas de Simpson tienen también excer orden. Sin embargo, debido a la forma hábil de escolospuntla cuadratura gaussiana obtiene esta exactitud en base asólodos evaciones de la función.

14.2.3 Fórmulasde más de dos puntos

Además de la fórmula de dos puntos, analizada en la seccpueden desarrollar también versiones de más de dos punse presentan en a forma general:

En el cuadro14.1 se resumenlos valores de lasc y de lasx de las fólas de hasta seis puntos, incluyendo a éstas.

EJEMPLO14.4Fórmulade Gauss-Legendrede tres puntos

Enunciado del problema: utilícese la fórmula de tres punto14.1 para calcular la ntegral de lamismafuncióndel ejemplo14.3



INTEG RAC ldN DEROMBERG Y CUADRATURA GAUS SIANA 48 1

CUADRO 14.1 Factores de peso c y argumentos x de la funci6n usados enlas f6rmulas de Gauss-legendre

FactoresPuntos de peso

Argumentosde la funelen

Error detrunca-miento

2 c1 = 1.000 O00 O00 x1 = -0.577 350 269 = f(41([)

3 c1 =0.555 555 556 x1 = -0.774 596 669 = f(6)([)

c:, = 1 .O00 O00 O00 X:, = 0.577 350 269

c:, = 0.888 888 889 x2 = 0.0~3 = 0.555 555 556 x3 = 0.774 596 669

4 c1 = 0.347 54 45 X] = -0.861 36 12 = f(*)([)c:, = 0.652 145 155 X:, = -0.339 981 044~3 = 0.652 145 155 x3 = 0.339 981 044~4 = 0.347 854 845 x4 0.861 36 12

5 ~1 = 0.236 26 85 x1 = -0.906 79 46 = f(”](t)C? = 0.478 628 670 X:, = -0.538 469 310~3 = 0.568 888 889 x3 = 0.0~4 = 0.478 628 670 x4 = 0.538 469 310~5 = 0.236 926 885 x5 = 0.906 179 846

6 ~1 = 0.171 24 92 X, = -0.932 69 14 = Cl2’([)c:, = 0.360 761 573 X:, = -0.661 209 386~3 = 0.467 913 935 x3 = -0.238 619 186~4 = 0.467 913 935 x4 = 0.238 619 186~5 = 0.360 761 573 x5 = 0.661 209 386c6 = 0.171 324 492 X6 = 0.932 469 514

Solución: de acuerdo al cuadro 14.1, la fórmula de tres puntos es

1 = 0.555 555 556 f(”0.774 596 669) + 0.888 888 889 f(0)+ 0.555 555 556 f(0.774 596 669)

1 = 0.281 301 290 + 0.873 244 444 + 0.485 987 599 = 1.640 533 34

la cual es exacta.

Debido a que la cuadratura gaussiana requiere de evaluaciones dela función en puntos que no están uniformemente espaciados dentro delintervalo de integración, no es aplicable a los casos en que la función sedesconoce. Por lo tanto, no se adapta a muchos problemas de la inge-



482 MÉTODOS NUMÉRICOS PARANGENIEROS

niería en donde se manejan datos tabulares. Sin embargo,conoce la función, su eficiencia tiene grandes entajas. Estomente cierto cuando se deben realizar numerosas evaluacion

14.2.4 Programa para la computadora de la cuadratura gaussianaEn la figura 14.7 se muestran programas enFORTRAN y BASIC sobel método de cuadratura gaussiana. Nótese que los programdseñados de tal manera que se aprovecha la simetría delosfactores pesoy los argumentos de lafunciónenel cuadro14.1.

Losprogramas mostrados en la figura 14.7 están listos plas mismas ecuaciones analizadas enlosejemplos14.3 y 14 .4. Se calan aproximaciones hasta e incluyendo la fórmula de seis ptanto, si se desea aplicar estos programas a otro caso, se la función que especifica la ecuación a integrarse. Haciendgrama se puede emplear en el análisis de una gran variedad dmas de ingeniería.

EJEMPLO 14.5Aplicación de la cuadratura gaussiana al problema del paracaidista

Enunciado del problema: en el ejemplo 13 .3 se usa la regde segmentos múltiples para evaluar

d = - b [ l -gm 10

C

en dondeg = 980, c = 12500 y m = 6 8 100. Elvalor exacto dintegral se determina medianteel cálculoy fue de 28 94 3. 51 4 7.ecuédese que la mejor estimación, calculada usando la regla tra5 O00 segmentos fue de28 94 3.5 17 7 conun I c v l = 4 x lo-%%. Rpítase este cálculo usando el programade la figura 14.7 sobre la ctura gaussiana.

Solución: después de modificar la función, se obtienenlos siguientessultados:

estimacióncon dos puntos= 29 001 .4478estimacióncontrespuntos = 28 943 .929 7

estimaciónconcuatropuntos = 28 943.516 2estimaciónconcincopuntos = 28 943 .514 7

estimaciónconseispuntos = 28 943 .514 7

Porlo tanto, las estimaciones con cincoy seis puntos obtienen resexactos hasta nueve cifras significativas.



INTEGRACldN DE ROMBERGY CUADRATURA GAUSSIANA 483

FORTRAN

D I M E N S I O NC ( l l > , X Q < l l > , J 0 < 5 > , J l ~ 5 >F C I X D I = A U + A l * : ( DF( Xj=O.2+25*:(-%UO*X**2+675*%**3

D ATA C/l.,.888888,.555555,.652145,C - 9 0 0 * X * * 4 + 4 0 0 * X * * 5

C.347855,.568889,.478629,.236927,C.467914,.360762,.171324/

[ )ATA X Q / . 5 7 7 3 5 0 , O . , ,774597, , 3 3 9 9 8 1 ,c .a61136 ,0 . , .~38469 , .90618~, .238~~9,C 6 6 1 2 0 9 , , 9 3 2 4 7 0 , '

D AT I0 / 1 , 3 , 4 , 7 . 9 /D ATA1 / 1 , 3 , 5 , 8 , 11 c

1 F O R M I T (' 0 ' , 5 X , ' C U I D R A I U R AG A U S S I A N A 'W R I T E ( 6 , l>

4 F OR MF IT < 2 F 1 0 ,O >R E A D < 5 , 4) I ,

AO=( B+I)/2

DO 4 1 0 - 1 , s

J A =JOC I )

J B = J l ( I )FIp( 1/2>-1/2I F ( F X . N E . 0 . ) COTO 3 5 0K = ( 1 - 1 >*2SM=SM+C(K )*F( FCCXQ<K ) > >

A1=( 8 - A >/2

sn=o.

350 DO 3 8 0 = J A , BSM=SM*C<J >*F( FCC XQ<J >j

SM=SM+C(J )*FI F C <XQ(J >j

380 C O N T I N U Es n = s r m 1

BASIC

UIM XQ(ll),C(lIi,J0(5),Jl(5)

L>EF F N C ( X D ) = A 0 + A l * XD- (Funcidn que implementa

LIEF- FN F ( X ) = . 2 + 25 % X +- (Funci6n que especifica200 * x A 2 + a75 * x 1 3 - la ecuaci6n a300 a X A 4 + 400 *: X A 5 integrarse)PRINT : P R I N T " CUADRATLIRA

F U R I = 1 TO 1 1FcCAUC i I i

NEXTFOR I 1O 11READXI2 t. I )

NEXTI los argumentos de laFOR = 1 TO 5READ JO( .I )

NEXTIFOR I = 1 TO 5READ 541( I )

NEXTI

el cambio de variable)

GALISSIANA":RINT

C l l l= vector que contlenelos factores de peso(Cuadro 14.11

X(Il = vector que contlene

funci6n (Cuadro 14.1)

2 d 1 INF' IJT "LIMITE5DE INTEGRACION i A . B ) = " : A , B

2 7 0 A 0 = ( H - A ) / 21:3O A l = I B - A ) / 2290 P R l N T.::cid FUR = 1 TO 53 1 0 5M = O321) I F I N T,I / 2 ) - I /

2<

_ .

O THEN ,350

FIGURA14.7 Programas para la computadora en FORTRANy BASICque mplementanla cuadratura gaussiana usando fórmulas de Gauss-Legendre.




14.2.5 Análisisde erroren la cuadratura gaussiana

El error en las fórmulas de Gauss-Legendre se especifica generalmentemediante (Carnahan et al., 1969):

[14.26

en donde n es el número de puntos menos uno y f +*J(~) es la ( 2 n +2)-ésima derivada de la función después del cambio de variable y 4 selocaliza en algún lugar dentro del intervalo de - 1 a 1. La comparaciónde la ecuación (14.26) con el cuadro 13.2 indica la superioridad de lacuadratura guassiana sobre las fórmulas de Newton-Cotes, dado que asderivadas de orden superior no crecen sustancialmente a medida que crecen . En el problema 14.8,al final de este capítulo se ilustra un caso en don-de las fórmulas de Gauss-Legendre trabajan deficientemente. En estoscasos, será preferible la regla de Simpson de segmentos múltiples o la in-tegración de Romberg. Sin embargo, la cuadratura de Gauss proporcio-na un medio eficiente para evaluar las integrales en muchas funcionesusadas en ingeniería.

PROBLEMAS

Cálculos a mano14.1 Utilícese la integración de Rombergpara evaluar

[sen (5x + l)] dx

con una exactitud de E, = 0.5%. Losresultados se deben presentar en la for-ma dada en la figura 14.1. Calcúlese la solución analítica y úsese para determi-nar el error eal E, del esultado obtenidocon la integracion de Romberg.Verifíquese que E , sea menor que el criterio de paro E,.

14.2 Efectúense los mismos cálculos del problema 14.1 con la integral

xeZxdx

14.3 Utilicese la integración de Romberg para evaluax

dx

con una exactitud del O .1 % . Losresultados se deben presentar en a forma dadaen la figura 14.2.



lNTE GRA Cl6N DE ROMBERGY CUADRATURA GAUSSIANA 485

14.4

14.5

14.6

14.7

14.8

ObtQngase una estimación de la integral del problema 14. 1 usando fórmulas deGauss-Legendre de dos, tres y cuatro puntos. Calcúlese E , para cada caso enbase a la solución analítica.

Obténgase una estimación de la integral del problema 14.2, usando fórmulas deGauss-Legendre de dos, res y cuatro puntos. Calcúlese para cada caso con ba-se a la solución analítica.

Usando fórmulas de Gauss-Legendre desde dos hasta cinco puntos, obténgaseuna aproximación de la integral del problema 14.3.

Usando integración de Romberg (E, = O.Ol%), repítanse los cálculos de losejemplos 13.3y 14. 5 para el problema del paracaidista.

Utilícense métodos analíticos (recuérdese el cuadro V.1)y las fórmulas de Gauss-Legendre de dos a seis puntos para resolver

14.9 Desarróllese un programa legible al usuario sobre la integración de Romberg ba-sado en la figura 14.3. Pruébese repitiendo oscálculos mostrados en a figura 14.2.

14.10 Desarróllese un programa legible al usuario sobre la cuadratura gaussiana basa-do en la figura 14 .7 . Pruébese repitiendo loscálculos de losejemplos 14.3 y 14.4.

14.11 Utilícese el programa desarrollado en el problema 14.9 para resolver losproble-mas 14.1 y 14.2 y 14.3.

14.12 Utilícese el programa desarrollado en el problema 14.10 para resolver 10spro-blemas 14. 4, 14.5 y 14.6.

..





C A P í T U L OQ U I N C ECASOSDELAPARTE V:

INTEGRACI~N

El propósito de este capítulo es el de aplicar los métodos de intnumérica analizados en la parteV, a problemas prácticos de ingeniFrecuentemente se encuentran dos situaciones;a primera de ellas es cdo la función en estudio se puede expresar de forma analítics de-masiado complicada para integrarse usandolosmétodos del cálculo. integración numérica se aplica a casos de este tipo usando laanalítica para generar una tabla de argumentosy valores de la funcióEn el segundo caso , la función a integrarse es, por naturaleztabular. Este tipo de funciones, en general, representan una serieobservacioneso alguna otra información empírica. os datos en ccaso son compatibles directamente con varios esquemas de numérica analizada en los capítulos13 y 14.Elcaso 15 .1 , que analiza los flujos de efectivos en una comcomputadoras, esun ejem plo de la integración en su forma tabuusa la regla trapezoidaly la regla de Simpson de1/3 para determinar eflujo de efectivos. Elcaso 15.2 , que trata de cálculos de calor de laniería química, comprende datos analíticos. En este caso de integra numéricamente una función analítica para determinare-cesario que eleve la temperatura deun material.

Los casos15.3 y 15.4 se relacionan con funciones dadas en fanalítica. Elcaso 15.3, tomado de la ingeniería civil, usa la integranumérica para determinar la fuerza del viento total que actúa de un velero de carreras. Elcaso 15 .4 determina la raíz de la corrimedia al cuadrado (RMS) deun circuito eléctrico. Este ejemplo sen la demostración de la utilidad de la integración de Rombery la cua-dratura gaussiana.

Finalmente, elcaso 15.5 regresa al análisis de la información tpara determinar el trabajonecesario para moverun bloque. Aunque esejemplo tiene conexión directa con la ingeniería mecánica, tción en todas las otras áreas de la ingeniería. Entre otras cosailustra a integración de datos desigualmente espaciados.




CASO15.1 ANALISISDEMOVIMIENTO DE EFECTIVOS(INGENIERíA EN GENERAL)

Antecedentes: el análisis de movimiento de efectivos es unatante dentro de cualquier proyectode ingenieríao de cualquier proyde negocios.Elefectivo disponible puede afectar muchos aspectoblema, por ejemplo, la localización de recursos (véase el c9. I ) . Laposición deun ingeniero en a Compañía de Computadoras Mla de calcular el efectivo total generado de una venta de comen losprimeros60 días que siguen a la introducción deunacomputadra al mercado (véase el cuadro15.1sobrelosdatos de venta de comtadoras).

Su problema es complicado ya que el costo de la computamuysensitivo a la demanda abastecimientoo a la disponibilidad. Los eqde ventas e investigación de mercados han obtenido la informael precio de venta base considerando una demanda óptima es $1 250por computadora. A medida que la demanda disminuye, el pra un máximo de$3 O00 por computadora.Másaún, la variación condel costo conun suministroN se define por la ecuación derivada camente:

Costopor computadora($) = 3 O00 - 1 750N

10 O00 + N[15.13

que se grafica en a igura 15.1 .

CUADRO 15.1 Datos de venta de computadoras de fluio de fectivos. La columna ) secalcula usando derivación num6rica e la información en la columna b).Elprimero y último valor de la columna e) se determinan usando diferen-cias hacia adelante hacia atrás de orden h2, os valores medios median-te diferencias centrales de orden 2

Costoorfectivocomputadora, enerado

Cantidaderomedioe ($) [basado diaria-computadoras Número e computadoras n la columna memedisponibles computado- vendidas 4 Y la $ Tiempo

en el mercado ras vendidas diariamente ecuación (1 5.1 )] [(c) X ( d ) ] en días

a ) b) 4 4 e f)

50 O00 O 2 050.0 1 542 3 161 100 O35 O00 15 O00 950.0 1 639 1 557050 1031 O00 19 O00 1 500.0 1 677 2 515 500 2020 O00 30 O00 600.0 1 833 1 09900 3019 O00 31 O00 397.5 1 853 736 568 4012 050 37 950 400.0 2 040 816 O00 5011 O00 39 O00 -1 90.0 2 083 -395 770 60



CASOSDELA PARTEV: l N T E G R A C l 6 N 489

FIGURA15.1 Costo de las computadoras contra el número de computadoras en el rner-cado. La curva se basa en la ecuación (15.1).

Solución: el efectivo total generado está dado por

Efectivootal = (efectivo generado diariamente) dt

(uEfectivootal = (promediodeventas X costo unitario) dtr

En este caso, el promedio de ventas de losdías O al 60 está dado porla columna c ) del cuadro 15.1. El promedio se determina usando dife-rencias divididas finitas (recuérdese la sección 3.5.4) para apoximar a pri-mera derivada de la columna b). Nótese cómo, debido a la variación delosdatos, la aproximación a la derivada en la columna c) varía mucho.En efecto, aunque la venta total de computadoras siempre crece, la va-riación en los datos proporciona un promedio de ventas negativo en eldía 60. Este inconveniente se debe a que las aproximaciones numéricasde las derivadas son altamente sensitivas al cambio en los datos.

El costo por computadora diario e calcula en base a la ecuación (15.1)y el número de computadoras disponibles se muestra en la columna a)del cuadro 15.1. El costo por computadora diario desde el día O hastael 60 está dato en la columna d ) En la columna e ) se muestra el efectivogenerado diariamente. Este dato se puede usar en conjunto con los pro-cedimientos de integración numérica analizados en el capítulo 13.

En el cuadro 15.2 se muestran losresultados de aplicar a regla trape-

zoidal y la regla de Simpson de 1/3 a este problema. Nótese como va-



490 METODOSNUMÉRICOSPARANGENIEROS

CUADRO 15.2 Resultados al aplicar la regla trapezoidal y la reglade Simpson de 113 para calcular el flulo de efectivosgenerado de a venta de computadoras

Mdtodo Segmentos fectivoenerado $Reglatrapezoidal

1236

82 959 90074 473 5096 294 66081 075 830

Regla de 2Simpsonde 1/3 6

71 645 30077 202 887

rían losresultados ampliamente, dependiendo de cuántos segmentos seempleen en el análisis. En particular, la estimación de la versión de tressegmentos de la regla trapezoidal es mucho mayor que las otras estima-ciones debido a la inclusión selectiva de las altas estimaciones de flujo deefectivos en eldía 20.

En base a este análisis se puede concluir que el flujo de efectivos esde aproximadamente $77millones. Sin embargo, los resultados indicanque se debe tener cuidado cuando se aplican los métodos de integraciónnumérica y que las aproximaciones de datos tabulares pueden, en gene-ral, mejorarse si se obtiene información adicional. Esta conclusión a com-prueba el caso de estudio 15.5 en donde se demuestra que el númerode datos puede tener un efecto significativo en el resultado final de la pro-ximación a una integral.

CASO15.2 ELUSODE NTEGRALESPARADETERMINARLACANTIDAD TOTAL DE CALOREN LOS MATERIAL(INGENIERíA QUíMICA)Antecedentes: los cálculos de calor se emplean rutinariamente en la ingeniería química, así como también en otros campos de la ingeniería. Este caso proporciona un ejemplo simple pero muy útilde estos cálculos.

Un problema que se encuentra a menudo es determinar la cantidadde calor necesaria para elevar a temperatura de un material. La caracte-rística necesaria para realizar ste cálculo es la capacidad calorífica c. Estparámetro representa la cantidad de calor necesaria para elevar una undad de masa a una unidad de temperatura. Si c es la constante sobre elrango de temperaturas que se van a examinar, el calor necesario AH (encalorías) se calcula como

AH = me AT [15.2



CASOSDELAPARTEV: INTEGRACldN 49 1

en dondec tiene unidades de calorías por gramo por grado cenm es la masa (en gramos)y AT es el cambio de temperatura (en grcentígrados). Por ejemplo, la cantidad de calor necesaria para g

de agua de 5 a 10°C es igual aAH = (20)1(10- 5) = 100 cal

en donde la capacidad calorífica del agua s aproximadamente1cal/g/"C.Tal valor es adecuado cuandoAT es pequeño.Sin embargo, en rangomayores de temperatura,a capacidad calorífica no es constante,y de he-cho, varía en función de la temperatura. Por ejemplo, la capacrífica deun material aumenta con la temperatura de acuerdoa relacionestales como

c(T) = 0.132+ 1.56X 10-4T+2.64X 10-7T2 [15.3]

En este caso se pide calcular el calor necesario para eleva1 O00 gde este material de-100 a 200°C.

Solución: la ecuación (V.3 ) proporciona una manera de calcupromedio dec ( T ) :

que puede ser sustituido en la ecuación (15.2 )y obtenerse

AH = m ITT:(T) T [15.4]

en dondeAT = T2- T1. hora, ya que en este casoc(T) es una cua-drática simple,AH se determina analíticamente. La ecuación (1sustituye en la ecuación ( 15.4)y el resultado se integra para obtenevalor exacto deAH = 42 732calorías. Esútily además instructivo comparar este resultado conlosmétodos numéricos desarrollados en etulo 13. Para llevar a cabo es to, es necesario generar una tablde c para varios valores deT:

T, OC c callglOC

-100 0.119 04-50 0.124 86

O 0.132 O050 0.140 46

100 0.150 24150 0.161 34200 0.173 76



0 9 2 MÉTODOSNUMÉRICOSPARAINGENIERO

Estos puntos se usan junto con la regla de Simpson de 1/3 usando seissegmentos y se calcula una integral aproximada de 42.732. Este resulta-do se sustituye en a ecuación (15.4) que leva al valor AH = 42 73

calorías, resultado que coincide exactamente con la solución analítica. Estacoincidencia se esperaba ya que c es una función cuadrática y la reglade Simpson es exacta para polinomios de tercer orden o menos (véasela sección 13.2).

Losresultados obtenidos con la regla trapezoidal se muestran en elcuadro 15.3.Se ve que la regla trapezoidal también es capaz de estimarel calor total de manera exacta. Sin embargo, se necesita un paso peque-ño ( < 10°C) para una exactitud de cinco cifras significativas. Este ejem-plo ilustra bien el por qué la regla de Simpson es muypopular. Es fácllevarla a cabo, ya sea usando cálculos a mano o , mejor aún, con unacomputadora personal. Además por o comGn, es lo suficientemente exactacon tamaños de paso relativamente grandes exacta para polinomios detercer orden o menos.

CUADRO 15.3 Resultados obtenidos usando la reg la tr apezoi-dal con varios tamaños de paso

Tamañoeaso, OC AH €+ Yo

3001501O0502510510.05

96 04843 02942 86442 76542 74042 733.342 732.342 732.0142 732.000 3

1250.70.30.070.018

< 0.01< 0.01< 0.01< 0.01

CASO15.3 FUERZAEFECTIVASOBREELMÁSTIL DEU NVELERO DE CARRERAS (IN GENIERíA CIVAntecedentes: en a figura 15.2a se muestra un corte transversal de uvelero de carreras. Las fuerzas del viento (fl ejercidas por pie de mástildesde las velas varían en función de la distancia sobre la cubierta del bote(z) como lo muestra la figura 15.2b. Calcúlese la fuerza de tensión T eel cable de soporte del lado izquierdo del mástil, suponiendo que el sporte del cable derecho está flojo y el mástil se une al casco de maneraque transmita fuerzas verticales y horizontales pero no momentos. Spóngase que el mástil permanece vertical.



CASOSDELA V: INTEGRACldN 493

FIGURA15.2 a) Sección transversal de un velero de carreras. b) Fuerzas del vientof eiercidas por pie de mástil en función de la distancia z sobre el cascodel bote.

0 = tan- (3/30),’= 0.099 668 7 ,

“N

FIGURA 15.3 Diagramade cuerpo libre de lasfuerzas ejercidas en elmástil de un velero.

Solución: para proceder con el roblema, se requiere que la fuebuidaf se convierta en una fuerza total equivalenteF y que se calculesuposición efectivad sobre el casco (Fig. 15.3 ). Este cálculo se copor el hecho de que la fuerza ejercida por pie de mástil varía contancia sobre el puente. La fuerza total ejercida sobreel mástil expresa como una integral de la siguiente función continua:

Esta integral no lineal es difícil de evaluar analíticamente. Por es conveniente emplearun método numérico tal como la regla deSimp-sony la regla trapezoidal para este problema. Esto se lleva a calandof ( z ) paravariosvalores dez y, después, usando as ecuacion(13.10)y (13.18) .Por ejemplo, el cuadro 15.4 tiene valores def(un tamaño de paso de 3 pies que proporciona datosde la regla deSimp-son de1/3 y de la regla trapezoidal. En el cuadro 15.5 se muessultados de varios valores del tamaño de paso. Se observa qumétodos proporcionanun valor deF = 1 480.6 libras a medida que etamaño de paso decrece. En este caso, el tamaño de paso de0.05 piesen la regla trapezoidaly de 0.5 en la regla de Simpson proporciona nos resultados.



494 METODOSNUMÉRICOS PARANGENIEROS

CUADRO 15.4Valores de f(z) conun tamaño de pasode 3 pies que pro-porcionan datos dela regla trapezoidaly la regla de Simp-son de 113z, pies f(z), blpies

O369

12151821242730

O6 1.4073.1370.5663.4355.1847.1439.8333.4227.8923.20

La línea de acciónF (Fig.15.3)se calcula evaluando la inte

CUADRO 15.5 Valores de Fcalculados en base a varias versio -nes de l a regl a trapezoidal y la regla de Simp-son de 113

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Méto do Tamaño de Segmentos F,~~

paso,ies libras

Regla 15trapezoidal 10

6310.50.25o.10.5

Reglae 15Simpsonde 113 5

310.5

23

5103060

120300600

26

103060

1 001.71222.3

1 372.31450.81 477.11 479.71 480.31 480.51 480.6

1 219.61 462.91 476.91 480.51 450.6



CASOS DE V: INTEGRACldN 495

O

lo3'00z[z/(5+ ~ ) ] e - ~ / ~z

1480.6=

Esta integral se evalúa usando métodos similares los anterioreejem-plo, la regla de Simpson de1/3 conun tamaño de paso de .5 proporc

19 326 .91 480.6= = 13 .0 5 pies

ConF y d conocidos de los métodos numéricos, se usaun diagrama decuerpo libre para desarrollar ecuaciones de equilibrio de fuey mo-mentos. Este diagrama de cuerpo libre se muestra en la figuraSu-mando fuerzas en la dirección verticaly horizontaly tomando momentoalrededor del puntoO, se obtiene

EFH= O = F - Ts e n8 - H

CF = O = v - reosoEM0= O = 3V- Fd

[15.9]

[15.10]

E15.111

en dondeT es la tensión en el cable.H y V son las reacciones quedesconocen sobre el mástil transmitidas al casco. La direccióy magni-tud deH y V se desconocen. La ecuación (1 5 .1 1) se resuelvmente paraV ya que se conocenF y d .

Por lo tanto, de la ecuacion (15.o) ,

y de la ecuación (15.9),

H = F - T sen 8 = 1 480.6 - 4 473)(0.0995) = 836.54lb

Estas fuerzas le ayudan al diseñador para continuar con otrosdel diseño estructural delvelero, tales como los cablesy el sistema de sporte del mástil sobre el puente. Este problema ilustramuybien dos uso

de a integración numérica que se pueden encontrar durante



496 METODOS NUMÉRICOS PARAINGENIERO

de estructuras.Se ha visto que la regla trapezoidaly la regla de Simps1/3 sonfáciles de aplicary sonherramientasprácticas en a solude problemas. La regla de Simpson de 1/3 es más exacta

trapezoidal para el m ismo tamaño de pasoy por lo tanto, se prefiemenudo.

CASO15.4 DETERMINACIóN DE LACORRIENTERMSMEDIANTE NTEGRACIóN NUMÉRICA(INGENIERíA ELÉCTRICA)

Antecedentes: el valor efectivo de una corriente eléctrica aríperiódicamente está dado por a fórmula de raíz cuadrada deal cuadrado (véase el caso12.4):

1IWS= i2( t )d t [15.12

en dondeT es el periodo, esto es , el tiempo deun ciclo ei ( t ) es la crriente instantánea.Calcúlese la corriente RMS de la forma de trada en la figura 1 5 .4 usando la regla trapezoidal, la reglade 1/3, la integración de Rombergy la cuadratura gaussiana paraT = 1s

Recuérdese que en el caso12.4,se resolvió este problema por in

FIGURA15.4 Corriente eléctrica que varía periódicamente.



CASOSDE V: INTEGRACldN 497

CUADRO15.6 Valores de a integral calculada usando varios métodos num6ricos.El error relativo porcentual E, se basa en el valor verdadero de15.412 608 1

Método Segmentosntegral E, %Regla 1trapezoidal 2

48

163264

128

Reglae 2Simpson de1/3 4

81632

0.015. 163 26615. 401 42915. 41 958 415. 412 56815. 412 60515.41 2 607 915. 412 608

20. 217 68815. 480 816

15. 415 46815. 412 77115. 412 608

1O01.620. 072 54.21 x 10-32. 59 x 10- ~1. 62 X 10-51. 30 x l ow6O

-31. 2-0. 443

-018 6

O- 1. 06 x 103

ción analítica de la parábola que se había ajustado a la función cximación a la ntegral fue de 20 .2 17688 7 .

Solución: en el cuadro15.6 se muestra la aproximación a la integralvarias aplicaciones de la regla trapezoidaly la regla de 1/3de Simpson.Una aplicación de la regla de Simpson de1/3 obtiene el mismo resultado del caso de estudio 12 .4 . Estoya se esperaba porque a regla de Sison de1/3 corresponde al área bajo la parábola ajustada alostres puntos.Nótese quela regla de Simpson es más exacta que la regla trape

El valor exacto de la integral es 1 5.4 12608 1. Este resultadose ob-tiene usando la regla trapezoidal con 128 segmentoso la regla de Simp-soncon 32 segmentos. Usando la integración de Romberg se dla mismaaproximación (Fig. 15.5 ).

FIGURA15. 5 Resultados obtenidosusando la integracióndeRomberg pa ra calcularla corriente RMS.




Además, se puede usar la cuadratura gaussiana para obtener la mis-ma aproximación. Recuérdese que la determinación de la corriente RMdel caso 12.4 se incluye la evaluación de la integral (T = 1)

I = (b”(lOe-t sen 2at)* d t [15.13]

Primero se hace un cambio de variable aplicando la ecuación (14.23y (14.24) para obtener

1 1t = - + - t d

4 4Y

1dt = - dtd4

Estas relaciones se sustituyen en la ecuación (15.13) y se obtiene

Con la fórmula de Gauss-Legendre de dos puntos, a función se eva-lúa en t d = 1/43 y - 1/43, con los resultados de 7.684 096 24.313 728O , respectivamente. Estos valores se sustituyen en la ecuación(14.17) y se obtiene una aproximación a la integral de 11.997 824 2que representa un error del = 22%.

La fórmula de tres puntos es (cuadro 14.1):

I = 0.555 555 556 (1.237 449 345) + 0.888 888 889 (15.163 266 4

+ 0.555 555 556 (2.684 914 679)

= 15.657 550 21 = 1.6%

En el cuadro 15.7 se resumen losresultados del uso de fórmulas de más

puntos.CUADRO 15.7 Resultados obtenidos usando varios

puntos y la cuadratura gaussiana paraaproximar la integral

Puntos Aproximacih %

~~

2 11.99724 3 22.13 15.657550 2 -1.5945.40502 3 4.42 x5 15.412639 1 -2.01 X 1 0 - ~65.412 610 9 -1.82 x 10-5



CASOS DE LA PARTEV: INTEGRACldN 499

Laaproximación a la ntegralde 15.412608 1 se sustituyeen aecuación (15.12)y se calculaIRMsomo 3.925889 5 A. Esteresul-tado se emplea en la guía de otros aspectos del diseñoy operación del

circuito.

CASO15.5 INTEGRACIóNNUMÉRICAEN ELCALCULODETRABAJO (INGENIERíAMECANICA)Antecedentes: muchos problemas de ingeniería incluyenl cálculo del tra-bajo. La fórmula general es:

Trabajo= fuerzaX distancia

Cuando se estudia este concepto en la materia de físicaa nivel preuniver-sitario, se presentan aplicaciones simples usando fuerzas que pcen constantes a través del desplazamiento. Por ejemplo, si sefuerza de10 libras para jalarun bloque una distancias de15 pies, el tra-bajo se calcula como150 pies X libra.

Aunque este cálculo simple esútilen a introducción del conceptlos problemas realistas, en general, son más complejos. Por ejepóngase que la fuerza varía durante el curso del cálculo. En estla ecuación del trabajo puede expresarse como

w= F(x) ix [15.14]

dondeW es el trabajo en pieX libra,x y x, son las posiciones inicialyfinal, respectivamentey F x) es la fuerza que varía en función de la pción. SiF x) es fácil de integrar, entonces la ecuación (15.14) seanalíticamente. Sin embargo, en problemas reales, la fuerza no expresar de esta manera. De hecho cuando se analizanlosdatos medios,la fuerza puede estar disponible en forma tabular. En estos casogración numérica es la única opción viable parala evaluación.

Cuando el ángulo de la fuerzay la dirección del movimiento tambvaríancon a posición, se introduce mayor complejidad (Fig. 1ecuación del trabajo se puede modificar aún más tomando en cute efecto,

w = F(x) os [O(x)]dx [15.15]

Otra vez, siF ( x ) O(x) son funciones simples, la ecuación(15.15)se re-suelve analíticamente. Sin embargo, como en la figura15.6,es más fácil




FIGURA 15.6 Caso de una fuerza variable que actúa sobre un bloque. En este caso,el ángulo, así como la magnitud de la fuerza varían.

que la relación funcional sea complicada. En este caso, losm6todos nu-méricos proporcionan la única alternativa para determinar la integral.

Supóngase que se va a calcular la situación mostrada en la figura 15.6.Aunque la figura muestra losvalores continuos de F x) y B(x) , e suponeque debido a restricciones experimentales, dnicamente se proporcionanlas medidas discretas en intervalos de x = 5 pies (cuadro 15.8).Utilicen-se las versiones de un segmento y de segmentos múltiples de la regla tra-pezoidal y las reglas de Simpson de 1/3 y 3 / 8 para calcular el trabajocon estos datos.

Solución: en el cuadro 15.9 se muestran los resultados resumidos del ná-lisis. Se calculó un error relativo porcentual E ~ , n referencia al valor real



CASOSDELA V: INTEGRACldN 50 1

CUADRO15.8 Datos de la fuerza F ( x )y del ánglo @ ( x )n fun-cidn de la posicidn x

CUA

x , pies F ( x ) ,ibras O radianes F(x) cos 0

O 0.0 030 0.000 o5 9.0 1.40 1S29 7

103.0 0.75 9.512 O154.0 0.90 8.702 5200.5 1.30 2.808 7252.0 1.48 1.088 130 5.0 1S O 0.353 7

de la integral cuyo valor es 129 .52 , calculando en base a los v

mados de lafigura 15.6 con intervalos deun pie.Estos resultados son importantes porque el resultado más xaccuando se usa la regla trapezoidal de dos segmentos. Las estimás refinadas usando más egmentos, así como la regla de.Simpson, lle-van a resultados menos exactos.

La razón de este resultado aparentem ente ilógico es que elmiento grueso de los puntos no es adecuado para capturar las nes de las fuerzasy los ángulos. Esto es evidente en a figura 15donde se ha graficado la curva continua de los productos deF ( x )y cos[e(x)].Nótese cóm o el uso de siete puntos para caracterizar la cdad de la función falla enlosdos picosx = 2 .5y x = 12 .5 pies. La omisión de estos dos puntos limita efectivamente la exactitud de lanumérica en el cuadro 15.9 . El hecho de que la regla trapezoidossegmentos obtenga la mayor precisión en estos resultados se forma en que se posicionan los puntos en este problema en part15.8) .

,DRO15.9 A roximaciones del trabalo calculado usando la re-g Ptrapezoidal y la regla de Simpson. Elerror relati-vo oreentual (e,) se calculd en referencia al valorrea Pde la integral (129.52 pies libra) calculado enbase a los valores en intervalos de pie

M6todo

Regla trapezoidal 1 5.315.923

133.192.84124.98.51

6 1 19.09 8.05

Regla de Simpsonde 1/3 2 175.82 35.756 117.13.57

Regiade Simpsonde 3/8 3 139.93 -8.04



502 METODOS NUMÉRICOS PARAINGENIEROS

FlGlJRA15.7 Gráfica continua de f(x) cos[O(x)]contra a posición, junto conlos sietepuntos discretos usados p a ra desarrollar la aproxim ación a la integralnumérica del cuadro15.9.Nó tese cóm o el uso de siete puntos pa ra ca -racterizar esta función que varía continu amen te omite dos picos enx= 2.5 y 12.5 pies.

FIGURA15.8 Esquem a gráfico del por qu6 la regla trapezoidal de dos segmentos ge -nera una buena aproxim ación de la integral para este caso en particu-lar. Por casualidad el uso delos dos trapecios genera un balan ce entrelos errores positivosy negativos.



CASOS DELAPARTEV: INTEGRACION 503

FIGURA15.9 Esquemas de segmentación desigual que resulta al incluir dos puntosiniciales en x = 2.5 y 12.5 en los datos del cuadro 15.8. Se mues-tran las fórmulas de integración aplicadas a cada conjunto de seg-

mentos.

La conclusión derivada de la figura 15.7 es que se debe hacun nú-mero adecuado de medidas para calcular exactamente las integeste caso,si se conocieraF (2 .5 ) cos[ 0 ( 2 . 5 ) ] 4.350 O y F(12 .5) cos[6(12.5)]= 11.360 O se podría determinarun cálculo de la integral usandel algoritmo de datos desigualmente espaciados descrito previamsección 1 3.3 . En la figura 15.9 se ilustra la segmentación desien estecaso. Incluyendo los dos puntos adicionales, llevaun mejor cálculo de la

integral de 126.9( E , , = 2.02%). Por

o tanto, la nclusiónde los datosadicionales podría incorporaros picos que se habían ignorado previamy, en consecuencia, levar aun resultado mejor.

PROBLEMAS

Ingeniería en general

15.1 Repítanse los cálculos del caso 15.1 usando los programas propios




15.2 Efectúenselos mismos cálculos del caso 15.1, pero envez de usar a ecua(15.1)utilícese la siguiente fórmula alternativa:

Costo por computadora($) = 1250+ 1750e-5”10-5N

15.3 AI efectuar un estudio de la linea de ensamble de unaplanta de automóven un periodo de24 horas, se visitan dos puntos sobre la líneay en instandiferentes duranteel día se verificael ntímero de autos que pasa por ahunminuto. Los datos son

~~ ~~ ~ ~ ~~

Punto A~~ ~~ _ _ ~ ~~ ~~~ ~

Punto BTiempo Carrodminuto Tiempo Carrodminuto

Medianoche 3 Medianoche 32 A.M. 3 1 A.M. 33 A.M. 5 4 A.M. 56 A.M. 4 5 A.M. 29 A.M. 5 7 A.M. 1

1 1 A.M. 6 10 A.M. 42 P.M. 2 1 P.M. 35 P.M. 1 3 P.M. 46 P.M. 1 9 P.M. 67 P.M. 3 10 P.M. 1

Media noche 6 Medianoche 6a P.M. 4 11 P.M. 3

Utilícese integración numéricay la ecuaciónV.3 ara determinar el númerode carrosque pasa por día en cada punto.

15.4 Losdatos del cuadro P 15.4 proporcionan medidas del flujo de caq sobre superficie deun colector solar en intervalos de una hora. Calcúleseel calor toabsorbido porun panel colector de 150O00 cm2 duranteun periodo de14 horas. El panel tiene una eficiencia de absorcióneob del45%. Elcalor total abbido está dado por

H = eab q A d tS1en dondeA es el áreay q es elflujo de calor

IngenieríaQuímica

15.5 Repítanselos cálculos del caso15.2usandolos programas propios.

15.6 Efectúenselosmismos cálculos del caso15. 2 alculando la cantidad de calcesario para elevar la temperatura de2 O00 g de materialdesde”2 000 hast



CASOS DELAPARTEV: INTEGRACldN 505

TABLAP15.4 Medidas del flujo de calorsolar

Flujo decalor q ,

Tiempo, h colorks/cm2/h

6789

1011121314

o.11.625.326.297.88.818.008.578.037.O46.275.563.541.o0.2

10 0° C. Utilicese la regla de Simpsonen los cálculos, con valores deT interva-los de 5OOC.

15.7 Repítase el problema15.6 usando integraci6n de Romberg conE" = 0.01%.

15.8 Repítase el problema 15.6 usando la fórmula de Gauss-Legendre dey trespuntos. Interprétenselos resultados.

15.9 Utilicese la regla de Simpson para calcular el calor total de la placa mel caso9.2 si a capacidad calorífica está definida por la ecuación (1

Ingeniería civil

15.10 Repítanselos cálculos del caso 15.3 usandosus propiosprogramas

15.11 Repítanselos cálculos del caso 15 .3 usando la integración de Romberg luar a integral.Useseun criterio de paro dee, = 0 .25%.

15.12 Ejecútense los mismos c6lculos del caso 15 .3 usando la cuadratura dra evaluar la integral.

15.13 Ejecútense losmismos cálculos del caso 15 .3 cambiando la integral a




15.14 Para ciertos trabajos sobre ingeniería de recursos de agua, que incluye la preven-ción de inundaciones y el diseño de reservas, se requieren canales de área trans-versal ( A ) .A menos que se disponga de dispositivos de sondeo electrónico enla obtención de perfiles continuos del fondo del canal. el ingeniero debe confiar

en las medidas discretas de la profundidad a calcular. En la figura P15.14 se ilus-tra una sección transversal de un canal común. Los puntos representan posicio-nes en donde se ancló el bote y se tomaron lecturas de la profundidad. Utilícensedos ecuaciones de a regla trapezoidal ( h = 4 y 2 m) y la regla de Simpson de1/3 para calcular el área transversal a partir de estos datos

15.15 Durante una investigación de campo es necesario calcular el área del campo motrado en la figura P15.15.Utilícense las reglas de Simpson para determinar el área

15.16 Un estudio de ingeniería de tránsito'sequiere el cálculo del número total de ca-rros que pasa a través de una intersección en un periodo de 24horas. Un indivi-duo visita la ntersección varias veces durante el día y cuenta el número de carrosque pasa a través de la intersección en un minuto. Utilícense estos datos, quese encuentran resumidos en el cuadro P15 .16 ,para calcular el número total decarros que pasa por la intersección durante el día. (Téngase cuidado con lasunidades.)


15.17 Repítanse los cálculosdel caso 15.4 usando os programas propios

TABLAP15.16 Promedio de flujo de tráfico en una intersec-ción medido en vorios tiempos en un perio-do de 24 horas

Tiempo Promedio, carroslmin

12:OOMedianoche2:00A.M.6:OO A.M.7:OO A.M.8:OO A.M.9 :OOA.M.11 o0 A.M.1:OOP.M.3:OO P.M.4:OOP.M.5:OO P.M.6:OO P.M.7:OOP.M.8:OOP.M.

1O:OOP.M.12:OOMedianoche

104

. 640608025181728357740303115



CASOS V: INTEGRACION 507

FIGURAP15.14 Sección transversal deun canal.

FIGURAP15.15 Campo limitado pordos caminosy un arroyo.

. . .




15.18 Efectúense los mismos cálculos del caso 15.4 usando una función de corrientedada por:

i ( t ) = sen 2?rt por O S r/2i(t) = O por T / 2

e n donde T = 1 s. Utilícese la regla de Simpson de 1/3 con 16 segmentos paracalcular la integral.

15.19 Repítase el problema 15.18 usando cuadratura gaussiana

15.20 Repítase el problema 15.18 usando integración de Romberg a E , = 0.1%


15.21 Repítanse loscálculos del caso 15.5 usando los programas propios

15.22 Ejecútense losmismos cálculos del caso 15.5 usando la siguiente ecuación paracalcular:

F (x ) = 1 . 1 7 ~- 0 . 0 3 5 ~ ~

Empléense los valores de 6 del cuadro 15.8

15.23 Ejecútense losmismos cálculos del caso 15.5pero con la siguiente ecuación pa-ra calcular:

Empléese la ecuación del problema 15.22 para F ( x ) .Utilícese la regla trapezoi-dal con cuatro, ocho y dieciséis segmentos para calcular la integral.

15.24 Repítase el problema 15.23 con la regla de Simpson de 1/3

15.25 Repítase el problema 15.23 usando integración de Romberg hasta E $ = O .1%

15.26 Repítase el problema 15.23 usando cuadratura gaussiana

15.27 Leánse todos los casos del capítulo 15. En base a las lecturas y a la experienciainvéntese un caso propio en cualquiera de los campos de la ingeniería. Esto pue-de implicar la modificación o la reexpresión de alguno de los casos. Sin cmbargo, también puede ser totalmente original. Como sucede en los ejemplos del texto,se debe elaborar enfocando los problemas de ingeniería y debe demostrar el usode los métodos numéricos para la integración. Escrlbanse los resultados usandolos casos propios como modelos.



EPíLOGO:PARTEV

V.4 ELEMENTOS DEJUICIO

Elcuadro V.3 muestra un resumen de los elemen-tos de juicio relacionados con la integración nu-

mérica o cuadratura. La mayor parte de estosmétodos se basa en la interpretación física simplede que una integral es el área baio la curva. Es-tos métodos están diseñados para evaluar la in-tegral endoscasosdiferentes: 1 ) una funciónmatemática continua y 2) datos discretos en for-ma tabular.

Las fórmulas de Newton-Cotes son los primerosmétodos analizados en el capítulo 13. Son apli-cables a funciones continuas y a funciones discre-tas. Se dispone de estas fórmulas en sus versionescerradas y abiertas. las formas abiertas, que tie-nen límites de integración extendidos más allá delrango de los datos, rara vez se usan en la eva-luación de integrales definidas. Sin embargo, tienengran utilidad en la solución de ecuaciones diferen-ciales ordinarias, analizada en el capítulo 17.

Las fórmulas de Newton-Cotes cerradas se basanen el reemplazo de una función matemática o dedatos en forma tabular en n polinomio que es fácilde integrar. La versión más simple es la regla tra-pezoidal, que se basa en tomar el área baio unalínea recta que une los valores adyacentes de lafunción. Una manera de meiorar la exactitud dela regla trapezoidal es la de dividir el intervalo deintegración de a a b en un conjunto de segmen-tos y aplicar el método a cada uno de los seg-mentos.

Además de aplicar la regla trapezoidal con seg-

mentación más fina, otra manera de obtener unaaproximación más exacta a la integral es el usode polinomios¿e orden superior para conectar lospuntos. Si se emplea una ecuación cuadrática, elresultado es la regla de Simpson de 1/3. Si se usauna cúbica el resultado es la regla de Simpson de3/8.Estas reglas se prefieren a la de la regla tra-pezoidal debido a que son mucho más exactas.Existen versiones de segmentos múltiples. n situa-




?>OL

PaaW



EPILOG0 PARTEV 51 1

ciones con un número pa r desegmentos, se recomien da la aplicaciónmúltiple de la regla de1/3. ara el caso de un número im par de seg-mentos, se pued e aplicar la regla3/8 los últimos tres segmentos yla regla de 1/3 a

losrestantes.

También existen fórmulas de New ton-Cotes de orden superior. Sin eba rg o, rar a vez se usan en la práctica. Cua ndo se requiere de altexactitud se dispone de la integración de Rom berg y de la cu adratra gau ssian a. De be hacerse notar que las fórmulas d e integración dRomberg y la cuad ratura gaussiana tiene valor prácticosólo en ca-sos donde se conoce la función en forma continua. Estos métodos funcionan para datos tabulares.

V.5 RELACIONESY FóRMULAS IMPORTANTESEn el cuadr oV.4se resume la información m ás importante an aliz aden la parteV. Este cua dro se pu ede consultar p a ra tener un ráp idoacceso a las relacionesy fórmulas de ma yor imp ortancia.

V.6 MÉTODOSAVANZADOSY ALGUNASREFERENCIAS ADICIONALES

Aunque se han analiza do varios métodos numéricos, existen otros mque tienen utilidad en la práctica de la ingeniería. Por ejemplo, lain-tegración adaptiva deSirnpsonse ba sa en la división del intervalo deintegración en u na serie de subintervalos de a nch oh. En seguida seusa la regla de Simpson de1/3 para e valu ar la integral en ca da su-binterva lo, partiendo el tam añ o de pas o d e m ane ra iterativa, es decir, con un tam año de pasoh, h/2, h/4, h/8, etc. Las iteraciones secontinúan par a cad a uno delos subintervalos hasta que un a a prox i-m ación con error calculad oE, [Ec.(3 .5)] ae dentro de un criterio deparo antes especificadoE,. La integral total se calcula com o la sum a-toria de las aproximaciones a la integral eva luadas en ca da subintevalo. Este método se usa, especialmente, en funciones complicadaque tienen regiones con variaciqnes de b aio y alto orde n.Elanálisisde la integración adap tiva se encuentra en Ge ra ld y Whea tley(1 984)y Rice(1983).

O tr o m étodo pa ra la obtención de integrales es el de ajustarpolino-rnios cúbicossegrnentarios a losdatos. La ecuac ión cúbica resultantese puede integrar fácilmente (Forshyte et al .,1977). inalmente, apartede las fórmulas de Gau ss-Legendre analizadas en la sección14.2, xis-te una variedad de fórmulas de cuadra tura. En Carn ahan , Luthery




x

I

x

xv

+x'

v

m

- x x

3S I

C9

y

U

-2N

t

N

l

-x'i;t

Ue,



EPíLOGO PARTEV 513

Wilkes (1969)y Ralston y Rabinowitz (1978)se resumen algunas deestas formulaciones.

En resumen, lo anterior tiene la finalidad de proporcionar caminospara exploraciones más a fondo sobre el tema. Además, todas lasreferencias anteriores proporcionan descripciones de los métodos bá-sicos cubiertos en la parte V.Se e sugiere al lector consultar estasfuentes alternativas de información para profundizar en los métodosnuméricos de integración.








d2x dX

dt dt- + C + k x = O [VI.

en dondec es un coeficiente de am ortiguamientoy k es la constantdel resorte. De ma nera similar, una ecu ación de n-ésimo ordecluiría una n-ésima derivada.

Las ecuaciones de o rde n superior se pu eden reducir a un sistemecuaciones de primer orde n. Para la ecu ación(V1.2))esto se lleva ca bo definiendo una nueva variabley donde

dxY = %

que se puede derivary obtener

dy d2x-df dt2

[V1.

[V1.

Las ecuaciones(V1.3)y (V1.4)se pu eden sustituir en la ecu aciónV1.2y obtener

m- + cy + &x= oYdt

O

dy cy + kx-dt m

[VIS

[V1.

Por lo tanto, las ecuaciones(V1.3)y (V1.6)son un par d e ecuacionde primer orden que son equivalentesa la ecuación original de gundo orden. Debido a quetras ecuaciones diferenciales de n-ésorden se pueden reducir de lamisma m anera , esta parte del libroenfoca a la solución de ecuaciones de primer ord en. Algunos loscasos de estudio del capítulo1 8 tratan con la solución deE D 0de segun do orde n reduciéndolas a un pa r de ecuaciones de primer o

VI.1.1. M é t o d o santeriores al uso d e c o m p u t a d o r a sen la solución d e E D 0

Antes dela era de la computación, lasE D 0se resolvían porlo común, con métodos de integración analítica. Por eiem olo, la ecu(VI.l)se puede multiplicar pordt e integrarse para obtener

[V1



ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 517

AI lado derecho de esta ecuación se le llama integral indefinida debi-do a que los límites de integración no están definidos. Esto contrastacon las integrales definidas analizadas previamente en a parte V[com-párese la Ec. (V1.7)con la Ec. (VS)] .

Se obtiene una solución analítica de la ecuación (V1.7)s i la integralindefinida se puede evaluar exactamente en forma de una ecuación.Por ejemplo, recuérdese que para el problema del paracaidista laecuación (VI 7)se resuelve analíticamente mediante a ecuación (1.9)(suponiendo que v = O en t = O):

FIGURAVI.lPéndulooscilador.

[V1.8]

La mecánica de derivación de tales soluciones analíticas se analizaen la sección V1.2.En este momento, lo importante es que, como enel caso de la integral definida, la evaluación analítica de las integra-les indefinidas, en general depende del conocimiento previo de la res-puesta. Desafortunadamente, as soluciones exactas de muchas EDOsdeimportancia práctica no existen. Como sucede en la mayor partede las Gtuaciones analizadas en otras partes de este libro, losmétodosnuméricos ofrecen la única alternativa viable en estos casos. De-bido a que estos métodos numéricos, por lo común, requieren decomputadora, los ingenieros de la era anterior al uso de las mismasse veían limitados en el alcance de sus investigaciones.

Un método muy importante que los ingenieros y matemáticos desa-rrollaron para evitar este dilema fue el de linealización. Una ecua-ción diferencial ordinaria es aquella que se ajusta a la forma

a,(x)y' ' + . . . + a1 ( x ) y ' + uo(x)y= +(x) [V1.9]

en donde y ( " )es la n-ésima derivada de y con respecto a x y las ay las f son funciones específicas de x. A esta ecuación se le llama li-neal ya que no hay productos o funciones no lineales de la variabledependiente y de sus derivadas. La importancia práctica de las E D 0lineales es que se pueden resolver analíticamente. En contraste, la ma-yor parte de las ecuaciones no lineales no se pueden resolver exacta-

mente. Por lo tanto en la época anterior al uso de computadoras, unatáctica para resolver las ecuaciones no lineales fue la de linealizar-las. Un ejemplo simple de la aplicación de E D 0es el predecir el mo-vimiento del péndulo oscilante (Fig.VI.1). De manera similar a aderivación del problema del paracaidista, se puede usar la segundaley de Newton para desarrollar la siguiente ecuación diferencial (véaseel caso 18.5 para la derivación completa:

d28 g- + - s e n 0 = Odt2 I CVl.1O]




dondee es el áng ulo de desplazamiento de l pén dulo,g es la acelerción gravitacionaly I es la longitud del p én du lo. Esta ecu ación nlineal ya qu e contiene el término sen8 . Una manera deobtener un

solución analítica es la de considerar pequeños desplazamientpénduloa partir del equilibrio (esto es, pa ra valores peq ueñ os 6 )

sen 8 = 8 [VI.1Por lo tanto, si se supone que sólo estamos interesados enlos casodonde Osea pequ eña , entoncesla ecuación(VI.11)se puede sustituen la ecuación(VI.1O) para obtener

[V1.1

De esta m anera seha transformado la ecuación(VI. O) en una foma lineal fácil de resolver analíticamente.

Aunque la linealización sigue siendo una herramienta muy útisolución de prob lem as de ing enie ría, existen casos dond e no sde usar. Por ejemplo, supóngase queestamos interesados en estudel comportamiento del péndulo p a ra grandes desplazamientos adel punto de equilibrio. En estos casos,los métodos numéricos ofcen un a opción viable enla obtención de soluciones. Actualmela amplia disponibilidad de computado ras coloca esta opcióncance de todos los ingenieros.

Vi.1.2 Las E D 0en la práctica de a ngen iería

Las leyes fundamentales dela física, la m ecá nic a, la electricidady ltermodinámica se basa n en gener al en observaciones empíricaexplican la variación deas prop iedad es físicasy estados de los sistemas . En lugar de describir el estadode los sistemas físicos directamenlas leyes se expresan encambios del tiempoy del espacio.

En el cuad roVI.l se m uestran varios ejemplos. Estas leyes definen

canismos de cam bio. Cu an do stas se com binan con as leyes dtinuidad ¿ela energía, de mesao de momento, se generan ecuaciodiferenc iales. La integración subsecuen te de estas ecuaciones diciales genera funciones matemáticas qu e describen el estado esy tempora l d e un sistema en términos variacionales d ela energía, dla masa y de la velocidad.Elprob lem a del para caidista introducido en el capítulo1 es un ejemplo de la derivación de una ecua ción diferencial o rdinaria a pde una ley fundamental. Recuérdese que la segunda ley de Nse usa en el desarrollo de unaE D 0que describeel cumbic propo



CUADROVI. 1

v1.2

Ejemplos de las eyes fundamentales escritas en terminos delpromedio de cambio de las v ariables ( t = tiempo y x = posición)

LeyExpresión

matemáticaSegunda ley de dv f

Newton delmovimiento dt m

- = -

Ley del calor de Flujo de calor = k- a T

Fourier ax

Ley de difusión Flujo de masa = 4acaxe Fick

Ley de Farafay(describe la caída del Caída de voltaje = L-

di

voltaje a través de un dtconductor)

Conservación de Acumulación = V--dc

la masa dt

Variables y

parámetrosVelocidad (v ), fuerza ( F )

y masa ( m )

Conductividad térmica (k)y temperatura (T )

Coeficiente de difusión ( D )y concentración (c)

lnductancia (I)corriente ( i )

Volumen (V)yconcentración (c)

CUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 519

I*_ c ~ .

cional de la velocidad de caída del paracaidista. Integrando esta re-lación se obtiene una ecuación que predice la velocidad de caída enfunción del tiempo. Esta ecuación puede usarse de diferentes mane-ras, incluyendo propósitos de diseño.

De hecho, estas relaciones matemáticas son la base de la solución deun gran número de problemas de ingeniería. Sin embargo, como sedescribe en la sección anterior, muchas de las ecuaciones diferencia-les de significancia práctica no se pueden resolver usando métodosanalíticos del cálculo. Por lo tanto, los métodos analizados en los ca-pítulos siguientes son sumamente importantes en odos los campos dela ingeniería.

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOSUna soluciónde una ecuación diferencial ordinaria es una función es-pecífica de la variable independiente y de sus parametros que satis-facen la ecuación diferencial original. Para ilustrar este concepto, setiene la siguiente función

y = - 0 . 5 ~ ~4x3 - lox2 + 8 . 5 ~ 1 [V1.13]la cual es un polinomio de cuarto orden (Fig. V1.20).Ahora, s i se de-riva la ecuación (VI.13),se obtiene la EDO:




FIGURAV1.2 Gráf icade a ) y contra x y b) d y / d x contra x de la funcióny = - 0 . 5 ~ ~ 4x3 - o x 2+ 8 . 5 ~ l .

”x

d~ - - 2 x 3 + 1 2 x 2 - 2oX+ 8.5 [VI.1

Esta ecuación también describe el comportamiento del polinomio pe-ro de manera diferente que la ecuación (Vl.13).En vez de represen-tar explícitamente los valores de y para ca da uno de los valores dex, la ecuación (VI.14)proporciona la relación de cambio de y res-pecto a x(esto es, la pendiente) par a cad a valor de x . En la figuraV1.2se muestran la función y su derivada graficadas contra x . Nóte-se que los valores cero de la derivada corresponden a un punto don-de la función original es plana, esto es, tiene una pendiente cero.También, losvalores absolutos máximos alcanzados de as derivadasson los extremos del intervalo en donde las pendientes de una fun-ción son mayores. Aunque, como ya se ha demostrado, se puede de-terminar una ecuación diferencial dada la función original, el objetivo



ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 521

aqu í es el de determ inar la función original d ad ala ecuación diferen-cial. La función orig inal representa entonces la solución. En este case puede determinar la solución en forma analítica, integrando la ecu

ción (VI. 14):y = [-2x3 + 12x2 - 2Ox +8.51dxI

Ap licand o las reglas de integración (recuérdese el cuadroV.l)

AI resolver ca da término d e la ecuación se obtiene la solución:

y = - 0 . 5 ~ ~4x3 - lox2 + 8 . 5 ~ C [VI.15]

que es idéntica a la función original con una notable excepc ión. el acto de derivación e integración , se pierde el valor dela constante1 en la ecuación originaly se gan a el valorC. Esta C es conocidacon el nom bre de constante de integración.Elhecho de que aparez-ca una constante indica que la solución no es ún ica. De he cho , ées sólo una de un número infinito de funciones posibles (correspodientes a un número infinito de valores posibles paraC) ue satisfa-cen a la ecuación diferencial. Por ejemplo, en la figuraV1.3se muestranseis posibles funciones q ue satisfacen la ecu ación(V1.14).

FIGURAV1.3 Seis soluciones posibles de la ntegral de -2x3 + 12x2- Ox + 8.5.Cada uno tiene un valor diferente de la constante de integración c.

" . . . . . . ~




VI.3

Por lo tanto, p ar a especificar la solución completamente, un a ección diferencial se acom paña de condiciones auxiliares. ParaEDOsdeprimer ord en , a un tipo de co ndic ión auxiliar se le llam a valor

y es nece sar ia pa ra determinar la constante y obtener un a soluúnica. Por ejemplo, la ecuación(VI.14)puede ir acom pañada de uncondición inicial en quex = O, y = l . Estos valores se sustituyen ela ecuación (VI.15):

1 = -0.5(0)4 + 4(0)3 - 10(0)2+ 8.5(0)+ C [VI.161

pa ra determinarC = l . Por lo tanto, la solución única qu e satisfa la ecuación diferencialy a la con dic ión nicial especificada se obne sustituyendoC = 1 en la ecuación ('41.1 5 ) pa ra obtener

y = - 0 . 5 ~ ~4x3 - l o x 2+ 8 . 5 ~ 1 [VI.17De esta m ane ra, se h a considerado en la ecuación(VI.15)que pasaa través de la condición inicial, al hac erlo, se ha ob tenid o una ción única para laE D 0y se ha com pleta do el círculo hasta la funcinicial [ecuación(VI.13)].

Las condiciones iniciales porlo común tienen interpretacicpes muy tagibles en ecuaciones diferenciales d e pro blem as físicos. Por ejeen el pro blem a d el pa raca idista la co ndició n nicial fue reflectivhech o físico de que en un tiempo cero la velocidad vertical fue

Si el paracaid ista hubiera estado en movimiento vertical en el momcero, la solución se h ab ría m odif ica do pa ra tomar en consideresta velocidad inicial.

C uando se trata con ecuaciones diferenciales d e n-ésimo ord en squieren d e n condiciones pa ra obtener u na solución ú nica.Si todaslas condiciones se especifican en el mismo va lor d ela variable independiente (p or ejemplo, enx o t = O), entonces al prob lem a se le cnoce como problema¿e valor inicial. Esto contrasta conlos problemasde valoren a frontera en donde las especificaciones de las condiciocurren en valores diferentes dela variable independiente.Los capítu-los 16 y 17se enfocana problemas con va lores iniciales.Los problemascon valores en la frontera se mencionan al final del capítulo16.

Antes de continuar conlos métodos numéricos en la solución de ecciones diferenciales ordinarios, puederesultarotil una orientación.Ematerial siguiente tiene la inalidaddeproporcionaruna visiógeneral delostemas analizados enla parte VI. Ade m ás, se han fo



ECUACIONES DIFERENCIALES 523

mulado objetivos para orientar al lector en el estudio de los temasde esta área.

V1.3.1 Alcances y avances

En la figura V1.4se muestra una visi6n general de la parte VI. Doscategorías importantes de los métodos numéricos se analizan en esta

FIGURA V1.4 Representación esquemática d e la organización del material de laparte VI: ecuaciones diferenciales ordinarias.

I




parte del libro. Los métodos de un paso, cubiertos en el capítulo 1permiten al cálculo de y;lh 1 dada la ecuación diferencial y y;. Los métodos de pasos múltiples, cubiertos en el capítulo 17, requieren valores adicionales de y además de los dados para i.

En todo, con algunas excepciones menores, losmétodos de un pasodel capitulo 76 pertenecen a los métodos de Runge-Kutta. Aunque elcapítulo esté organizado alrededor de este concepto teórico, se haoptado por abordar el tema de manera más gráfica. Por lo tantoel capítulo empieza con el método de Euler que tiene una interpreta-ción gráfica muy clara. Después, se usan argumentos orientados ha-cia lo visual para desarrollar dos versiones meioradas del método deEuler: el método de Heun y el método del polígono mejorado. En seguida de esta introducción, se desarrolla formalmente el concepto de

los métodos de Runge-Kutta (o RK)y se demuestra como los métodoanteriores son métodos RKde primer y segundo grado. A esto le sgue un análisis de la formulación RKde orden superior que se usafrecuentemente en la solución de problemas de ingeniería. Elcapítulo termina con secciones sobre dos aplicaciones de los métodos deun paso: sistemas de € D Ola solución de problemas con valores enla frontera usando métodos de disparo.

€1capitulo 77 se dedica a los métodos de pasos múltiples que algunasveces son mas difíciles de programar en una computadora pero quealcanzan exactitudes comparables a los métodos de un paso y conmenor esfuerzo. Otra vez, al comienzo se enfoca el tema en formavisual usando un método simple; el método de Heun sin principio, pa-ra introducir todos los rasgos esenciales de los métodos de pasos múl-tiples. En seguida se entra en un análisis de las fórmulas de integraciónnumérica que son el corazón de los métodos de pasos múltiples. Aesto le sigue una sección sobre las versiones de orden superior, inclu-yendo dos esquemas comunes, el método de Milne y el método de cuar-to orden de Adams.

En el capítulo 78 se desarrollan casos para todos los campos de l

ingeniería. Finalmente, se incluye una sección de repaso al términode la parteVI.Este epilog0 resume y compara las fórmulas importan-tes y los conceptos relacionados con las EDO.Esta comparación incluye un análisis de los elementos de juicio importantes para suimplementación en la práctica de la ingeniería. Elepílogo resume tam-bién las fbrmulas importantes e incluye referencias adicionales sobretemas avanzados.

Se suministra información de cómputo automático de diferentes ma-neras. Primero, está disponible el paquete NUMERICOMP para el método de Euler con aopciónbase de usarse en l a s computadoras



ECUACIONE S DIFERENCIALES OR DINARIAS 525

IBM-PCy AppleI I .En form a alterna se d a directamente en el textoel prog ra m a pa ra el método de Euler en ambos lenguajesFORTRANy BASIC.Esto posibilita copiar el program a e implem entarlo en la coputadorao en una su percom putado ra. Se prop orcio nan también lodiagram as de flujo y algoritmos delos programas para computadorade la mayor parte deos métodos descritos enel texto. Esta informa-ción, com binada conlos prog ram as propios bien escritos y documentados en cualquier leng uaje , prop orcion an herramientas aplicablea un gran número de problem as de ingeniería.

V1.3.2 Metas y objetivos

Objetivos de estudio. Después de terminar la parteVI,el lector debede aum entar sus ha bilid ades para confrontar y resolver ecuacione

diferenciales ordinarias. Las metas de estudio generales deben inclel dominio delos métodos, tener la capacidad de valorar laonfiabi-lidad de las respuestas,y ser capa z de esco ger "el mejor" método(o métodos) de cualquier pro blem a en partic ular . Ade m ás de estobjetivos generales, se deben dominarlos objetivos específicos de es-tudio del cua droV1.2.

Objefivos de cómputo. Se deb e estar bien equipa do con un paqueque incluya progra ma s simples pa ra la com pu tad ora , algoritmosdiagramas de flujo que implementenlos métodos analizados en la parteVI. Todos éstos tienen utilidad com o herramientas de aprediza je.

Elpaque te de program as para com putadora s personalesNUMERI-COMP, que utiliza el método de Eu ler, es legibleal usuario. La solu-ción se p uede mostrar ya sea en forma gráficao en forma tabular.La s alida gráf ica posibilita visualizar fácilmente el prob lem a y suso-lución. Se pu ede estudiar la eficiencia del m éto do pro ba nd o vartamaños de paso. Elpaquete es muy fácil de implementar y puedser usado pa ra verificarlos resultados de cualquier prog ram a de com-puta dora des arrolla do por el lector.

Alternativamente,los prog ram as del método de Euler escritos enloslenguajesFORTRANy BASICse suministran directamente en el texto.Adem ás, se proporciona nlos algoritmos y los diag ram as de flujo para la mayor parte deos otros métodos anulizados en la parteVI.Es-ta informaciónpermitirá expanderla biblioteca de prog ram as dellector, incluyendo métodos que vay an más allá del método de EulPor ejemplo, pu ede ser de m ucha utilidad desde un punto de visprofesiona l, el tener un paquete de program as queemplee los méto-dos de cuarto ord en de Runge-Kuttao el método de Adam s. Tambiénse puede desa rrolla r un paqu ete de prog ram as que solucione sistmas de ecuaciones diferenciales ord inar ias.



526 METODOSNUMÉRICOSPARAINGENIE

CUADROV1.2 Bbietivos de estudios específicos de la parte VI

1.

2.3.

4.

5.

6.

7.

8.

9 .

1o.11.

12.

13.

14.

Ehtender la representación visual de los métodos de Euler, Heun y elpolígono meiorado.

Conocer la relación del método de Euler con la expansión en serie deTaylor y que su conocimiento está relacionado con el error del método.Entender la diferencia entre los errores de truncamiento locales y globulescómo se relacionan con la selección de un método numérico en particularpara la solución de un problema.Conocer el orden y la dependencia de los tamaños de paso de los erroresde truncamiento para todos los métodos descritos en la parte VI;comprender cómo estos errores influyen en la exactitud de los métodos.Entender la base de los métodos predictor-corrector. Comprender enparticular que la eficiencia del corrector es altamente dependiente de laexactitud del predictor.Conocer la forma general de los métodos de Runge-Kutta. Entender laderivación del método de RKde segundo orden y cbmo este se relaciona

con la expansión en serie de Taylor; reconocer que existe un número infinitode posibles versiones para los métodos RKde orden superior.Saber aplicar cualquiera de los métodos RKa sistemas de ecuaciones; sercapaz de reducir una E D 0de n-ésimo orden a un sistema de n E D 0deprimer orden.Entender la diferencia entre problemas de valor inicial y con valores a afrontera; ser capaz de implementar el método de disparo en problemas convalores a la frontera.Conocer la diferencia entre los métodos de pasos múltiples y de un solopaso; reconocer que todos los métodos de pasos múltiples son predictor-corrector pero que no todos los métodos predictor-corrector son de pasosmúltiples.Entender la importancia de los modificadores en los algoritmos de pasosmultiples.Entender la conexión entre las fórmulas de integración y los métodospredictor-corrector.Conocer la diferencia fundamental entre los métodos de integración deNewton-Cotes y de Adams.Entender la conexión entre los modificadores y el ajuste en el tamaño depaso; reconocer el tipo de contexto de un problema donde el ajuste detamaño de paso es importante.Comprender el hecho de que el método de Milne es inestable y reconocerpor qué posee dificultades en ciertos tipos de problemas.



C A P í T U L OD I E C I S É I S

MÉTODOSDE

U NPASO

Este capítulo está dedicado a la solución de ecuaciones diferedinarias de la forma

Enel capítulo1 se usaun método numérico para resolver el probledel paracaidista. Recuérdese que la ecuación usada en la solucteproblemafuede laforma general [Ec.(1.13)]

Valoractual = valoranterior + pendienteX tamaño delpaso

o , en términosmatemáticos

FIGURA16.1 Esquemagráfico del método de un paso.




16.1

Y i t l = Y¡ + 4 h [16.1

De acuerdoa esta ecuación,se usa la aproximación a la pendient4 para extrapolara partir de un valor anteriory,a un valor actualy,, l en undistanciah (Fig.16.1). Esta fórmulase aplica paso a paso para cauna solución futuray , de a qu í, trazarla trayectoria de la solución

Todoslos métodos de un paso se pueden expresar en esnera l, con la única diferencia enel cálculo d e la pend iente . Com oelproblema del paracaidista,el esq ue m a simple com o la primera dd exi. Este esquema, llam adométodo de Euler, se analizaen la primerparte d e este capítulo.A este le siguen otros métodos de un paemplean aproximaciones alternativas aa pendiente qu e dan comesultad o mejores aproximaciones.

MÉTODO DEEULERLa primera derivada proporciona una aproximación directaa la pen diete en xi (Fig . 16 .2 ) :

4 = f h , ¡)

dondef (xt, ,) es la ecuación diferencial ev aluad a enx, y, . Esta aprximación se sustituye en la ecuación(16.1)

[16.2]

A esta fórmulase le conoce comométodo de Euler ( o método deEuler-Cauchy o de pendiente puntual) .S e predice un nue vo valoryusandola pend ien te (igual a la primera derivada en el valor x)para extrapolar linealmente sobre el tam añ o de pasoh (Fig . 16.2) .

FIGURA16.2 Método de Euler.

~ -



MÉTODOS DEPASO 529

EJEMPLO16.1Método de Euler

Enunciado del problema: utilícese el método de Euler para integrar nu-méricamente la ecuación (VI. 4).

y ) = -2x3 + u X 2 - 20x + 8.5

de x = Ohasta x = 4 con un tamaño de paso de 0.5. La condición ini-cialen x = O es y = 1. Recuérdese que la solución exacta está dadapor la ecuación (VI. 7):

y = - 0 . 5 ~ ~4x3 - lox2 + 8 . 5 ~ 1

Solución: se puede usar la ecuación (16.2)para implementar el métodode Euler:

~ ( 0 . 5 ) y(0) + f(0, 1)0.5

en donde y(0) = 1 y la aproximación a la pendiente en x = O es:

f ( 0 , ) = + 12(0)' - 20(0) + 8.5 = 8.5

Por lo tanto:

y(0.5) = 1.0 + 8.5 (0.5)= 5.25

La solución verdadera en K = 0 . 5 es:

~ ( 0 . 5 ) -0.5(0.5)4+ 4(0.5)3 - lO(O.5)' + 8.5(0.5)+ 1= 3.218 75

Por lo tanto, el error es:

E, = verdadero - proximadQ = 3.21875 - 5.25 = -2.031 25

gundo paso:, expresado como error relativo porcentual, E, = -63.1 % . enel se-

y(1.0)= y ( O . 5 ) + f(0.5, .25) 0.5

= 5.25 + [ ~ - 2 ( 0 . 5 ) ~lZ(O.5)' - 20(0.5)+ 8.530.5= 5.875

.I -.




CUADRO16.1 Comparación de os valores verdaderos y aproximados de la inte-gral de y' = 2x 3 + 12x2 2Ox + 8.5, con la condición inicial de quey 1 en x O. Losvalores presentados e calcularon usando l método de Euler con n tamaño de paso de .5. Elerror local se refiera l error obtenido en un paso. E lerro r global es IQ diferencia to ta ldebido a los pasos anteriores así como al actual

e,, erro r rela tivo DoreentualX Yverdadero

0.0 1.O00 O00.5 3.218 751.o 3.000 OG1.5 2.218 752.0 2.000O02.5.718 75

3.0 4.000O03.5 4.718 75~ 4.0 3.000 O0

__YEuler

1.O00 O05.250O05.875 O05.125O04.500 O04.750O05.875 O07.125O07.000 O0

Global local

-63.1 -63.1-95.8 -28.01 31.O -1.41

-1 25.0 20.5-75.7 17.3

-46.9 4.0-5 1.O -1 1.3-1 33.0 -53.0

FIGURA16.3 Comparac ión de la solución verdadera con una solución numéricausando el método de Euler para la integral de y ' = -í x3 + 12-2Ox + 8.5 de x = O a x = 4 con un tamaño de paso de 0.5. Lcondición inicial en x = O es y = l .

La solución ve rdade raen x = 4.0 es 3.0, y por lo tanto el error relativoporcentual es -95 .8%. Loscálculos se repiten, losresultados se resu-men en el cuadro 16.1 y en la figura 16 .3. Obsérvese que, aunque l



MÉTODOS DEUN PASO 53 1

cálculos capturan la tendencia general de la solución verdaderes considerable. Como se analiza en la siguiente sección, espuede reducir usandoun tamaño de paso menor.

16.1.1 Análisisde error enel m éto do de Euler

La solución numérica de E D 0 incluye dos tipos de error (recsección3.6)

1. Errores de truncamiento causados por la naturaleza delos métodosempleados en a aproximación alosvalores dey , y

2. Errores de redondeo causados por el número limitado de ode cifras significativas que puede retener la computadora.

Loserrores de truncamiento se componen dedospartes. La primeres un error de truncamiento local que resultal aplicar el método en cutión enun paso. El segundo esun error de programación que resultalas aproximaciónesproducidasdurante los pasosanteriores.Lasumade los dos es el error de truncamiento global.

El conocimientode lamagnitud y propiedadesdelerror detrun-camiento se puede obtener derivando el método de Euler direde la expansión de la serie de Taylor. Con elfinde hacer esto recuérdse que la ecuación diferencial que se está integrando será dgeneral.

Y' = f k Y) [16.3]

dondey' = dy/dxy x e y son las variables independientey dependien-te, respectivamente. Si a solución, estoes , la función que describe el cportamiento dey tiene derivadas continuas, ésta se puede repre

mediante una expansión de la serie de Taylor alrededor del pu(x l,y i) , omo en [recuérdese la Ec.(3.14)]:

dondeh = x, , - x, y R, es el érminoresidualdefinido como

[16.4]

r16.51



532 MÉTODOSUMERICOSARAGENIEROS

donde <;.estádentro del intervalo dex; a x i + Se puede desarrollaforma alternativa sustituyendo la ecuación (16.3 ) en las ecuy (16.5)y obtener.

[16.

en dondeO (h + ) specifica que el error de truncamiento locporcional al tamaño de paso elevado a la(n + 1)-ésima potenci

Comparando las ecuaciones (16. 2)y (16.6), uede verse que etodo de Euler corresponde a la serie de Taylor truncada haf (x i ,y i ) h . Adicionalmente, la comparación indica que el errotru

camiento se debe a que se aproxima la solución verdaderacantidad finita de términos de la serie de Taylor. Porlo tanto, se truo se deja fuera una parte de la solución verdadera. Por ejemel errde truncamiento en el método de Euler es atribuible alostérminos rtantes de la expansión que no se incluyen en la ecuación (Restado a ecuación (16.2 ) de la ecuación(16.6)se obtiene

[16.

donde € , e sl error de truncamiento local. Para unah lo suficientemte pequeña, los errores enlostérminos de la ecuación (1 6 .7 ) por lo común a medida que el orden crece (recuérdese el 3y el análisis que lo acompaña),y el resultado, a menudo, se repcomo

O

E, = O(h2)

[16

[16

dondeE, es el error de.truncamiento local aproximado.

EJEMPLO16.2Aproximación del error en el método de Euler usandola serie de Taylor.

Enunciadodelproblema:utilícese aecuación (1 6.7 ) paraaproximarelerror del primer paso del ejemplo 16.1. Úsese tambiénla ecuación p



METODOS DEUN PASO 533

determinar el error ocasionado por cada uno de los términos desuperior de la expansión de la serie de Taylor.

Solución: debido a que se trata deun polinomio, se puede usar la expsión de la serie de Taylor para obtener una aproximación exactusando el método de Euler. La ecuación(16.7)se puede escribir com

rE16.2.11

en donde’(x,, y,) es la primera derivada de la ecuación diferencdecir, la segunda derivada de lafunción original). Para este caso,

f‘(xi,yi) = - 6 ~ ’+2 4 ~ 20 [E16.2.2]

y f “ (x i ,y) es la segunda derivada de la E D 0

ff’(xi, i) = - 1 2 ~ 24 [E16.2.3]

y f”’ (xi,yi) es la tercera derivada de laE D 0

f”’(Xi, y¡) = -12 rE16.2.41

Se pueden omitirlos términos adicionales (esto es, las derivadas y de orden superior) de la ecuación(E16.2.1)ya que en este caso particular son cero. S e debe notar que en otras funciones (porlas funciones trascendentes tales como seno, cosenoo exponenciales) esno es necesariamente cierto,y lostérminos de orden superior no valcero. Sin embargo, en este caso, las ecuaciones(E16.2.1)hasta la(E16.2.4)definen completamente el error de truncamiento de uncación del método de Euler.

Por ejemplo, el error debido al truncamiento del segundo tpuede calcular com o:

-6(0.0)’ + 24(0.0) - 20

2u 2 = (0.5)2= -2.5

Para el término de tercer orden

-12(0.0) + 246u 3 = (0.5)3= 0.5

y para el término de cuarto orden:

- 1224u 4 = - 0.5)4= -0.031 25




Estos tres valores se pueden sumar para obtener el error total de trunca-miento:

E, E,,z + Eu,3+ Eu,4= -2.5 + 0.5 - 0.031 25 = -2.031 2

que es exactamente el error incurrido en el paso inicial del ejemplo 16.1 .Obsérvese cómo .E,,* > E,,3 > E,,4,que apoya la aproximación repre-sentada por la ecuación (16.8).

I

Como se puede ver en el ejemplo 16 .2 , la serie de Taylor es u n medio para cuantificar el error en el método de Euler. Sinembargo, existenmuchas limitaciones asociadas con su uso para este propósito:

1. La serie de Taylor sóloproporciona una aproximación local del errorde truncamiento, es decir, el error generado durante el primer pasodel método. No proporciona una medida de la propagación y , poello, el error global de truncamiento. En el cuadro 16.1se han incluido los errores de truncamiento locales y globales del ejemplo 16.1Elerror local se calcula para cada uno de los valores de x con la ecuación (16.2), pero usando el valor verdadero de y, (la segunda columna delcuadropara calcular cada una de las en lugar del valor aproxi-mado (la tercera columna), como se hizo con el método de Euler.Como era de esperarse, l promedio local del error de truncamiento(25%) esmenor al error global promedio (90%). a única razón porla que se podrían calcular estos errores exactamente ería la de cono-cer a priori el valor verdadero. Este no es el caso en un problema como elactual. Por consiguiente, como se analiza anteriormente, por lo co-mún se deben aplicar los métodos tales como el Eulerutilizando untamaño de paso diferente hasta obtener una aproximación indirectade los errores considerados.

2. Como se menciona anteriormente, en problemas verdaderos, usualmentese trata con funciones más complicadas que un simple polinomio. Por

consiguiente, las derivadas necesarias para evaluar la serie de Taylorno siempre son fáciles de obtener.

Aunque estas limitaciones no ayudan en el análisis exacto de erroresen la mayor parte de los problemas prácticos, la serie de Taylor propor-ciona una idea valiosa del comportamiento del método de Euler. De acuer-do a la ecuación (16.8), e ve que el error local es proporcional al cuadradodel tamatio de paso y la primera derivada de la ecuación diferencial. Tam-bién se puede demostrar que el error global de truncamiento es O ( hesto significa que es proporcional al tamaño del paso (Carnahan et al. ,1969). Estas observaciones llevan a las siguientes conclusiones:



MhODOS DEU NPASO 535

1. Elerror sepuede reducir disminuyendo eltamaño del paso.

2. El método proporciona predicciones libres de error si la función fun-damental (esto es, la solución a la ecuación diferencial) es lineal, yaque la segunda derivada de una línea recta es cero.

Esta última conclusión tiene sentido intuitivo debido a que el métodode Euler usa segmentos de línea recta para aproximar la solución. Deaquí que, elmétododeEulerseconozcacomo métodode primerorden.

EJEMPLO 16.3Efecto de a reducción del tamaño de paso en el método de Euler

Enunciado del problema: repítanse loscálculos del ejemplo 16.1usandoun tamaño de paso igual a 0.25.

Solución: se repiten los cálculos, y losresultados se muestran en la figura .16.4a. AIutilizar el tamaño de paso más pequeño, se reduce el valor ab-soluto del error global promedio en un 40% y el valor absoluto del errorlocal en un 6.4%. Esto es comparable con los errores globales y locales

del ejemplo 16.1 del 90% y.del24.8%. Por lo tanto, como era de espe-rarse, el error local se reduce a la cuarta parte y el error global se reducea la mitad.

Obsérvese también que el error local cambia de signo en valores n-termedios a lo largo del rango de valores. Esto se debe, en primer lugar,a que la primer derivada de la ecuación diferencial es una par6bola quecambia de signo [recuérdese la Ec. (E16.2.2) y véase la Fig. 16.4bl. De-bido a que el error local es proporcional a esta función, el efecto netode la oscilación en el signo es el de mantener el error global en crecimien-to continuo a medida que aumentan los cálculos. Por lo tanto, de x =

Oa x = 1.25, los errores locales son todos negativos y por consiguiente,el error global crece en este intervalo. En la sección intermedia del rango,los errores locales positivos empiezan a disminuir el error global. Cercadel extremo, el proceso se invierte y el error globalnuevamente crece.Si el error local cambiara continuamente de signo sobre el intervalo deinterés, entonces el efecto neto, por lo general, minimizaría el error glo-bal. No obstante, en donde los errores locales son del mismo signo, lasolución numérica puede diverger cada vez más rápido de a solución ver-dadera a medida que los cálculos aumentan. Estos resultados se dice queson inestables.



536 M~TODOSUMERICOS PARAINGENIEROS

FIGURA16.4 a ) Comparación de dos soluciones numéricas con el método de Eulerusando tamaños de paso de 0.5y 0.25b) Comparación de loserro-res de truncamiento locales verdaderos y aproximados.

En la figura 16.5 se ilustra el efecto de reducir más y más el tamaño

del paso sobre el error de truncamiento global con el método de Euler.Esta gráfica muestra el error relativo porcentual en x = 5 en función deltamaño del paso sobre los problemas que se han analizado en los ejem-plos 16.1 al 16.3. Nótese que aun cuando h se ha reducido a 0.001, eerror aún excede al O .1W . Debido a que este tamaño de paso orrespon-de a 5 O00 iteraciones que van desde x = Ohasta x = 5 , la gráfica mues-tra que los métodos de primer orden tales como el de Euler demandanun gran esfuerzo de cálculo para obtener niveles de error aceptabies. Enlas siguientes secciones se muestran métodos de órdenes superiores quealcanzan mucha más exactitud con el mismo esfuerzo de cálculo. Sin em-bargo, se debe notar que a pesar de su ineficiencia, la simplicidad del mé-




FIGURA16.5 Efecto del tamaño de paso sobre el error global de truncamiento en elmétodo de Euler para la integral de y' = 2x3+ 1 2 2- 0x + 8.5. Lagráfica muestra el error relativo porcentual en x = 5 en función del ta-maño de paso.

todo de Euler hace muy atractivo su uso dn muchos problemas de laingeniería. Debido a que es muyfácil de programar, el método es parti-cularmente útilen cálculos iniciales rápidos, previos a un análisis de esca-la completa. En a siguiente sección, se desarrolla un programa paracomputadora sobre el método de Euler.

16.1.2 Programa para computadora del método de Euler

Losalgoritmos de métodos de un paso tales como el de Euler son fácilesde programar en una computadora personal. Como se menciona previa-mente al principio del capítulo, losmétodos de un paso tienen la forma:

Valoractual = valoranterior + pendiente X tamaño del paso[16.101

En lo Único que se diferencian los métodos es en la forma en que calcu-lan a pendiente.

Aunque el programa de la figura 16.6 está disenado específicamentepara implementar el método de Euler, va dirigido a la forma general de




COMMOHx . Y

F( X , Y )-4*EXP<~

8bX )-R E A D ( 5 , l ) XO .X 11 FORUaT( 2F1 O . O )

2 F O R M l T ( F 1 0 . 0 )READ<S ,2 )YO

READ(S , 2 )n

NC-PI/H

REIID(S , 2 ) P IN P - < X l - X O > / P I

x-x0

Y R I T E ( 6 , 3 ) X , YY-YO

3 FORMfIT< ’ . 2 F 2 0 . 3 )DO 270 I - l . N PDO 250 J - 1 , N CC A L LE U L ~ S LY - w s L wx-x+n

250 CONTINUEU R I T E < 6 , 3 ) X , Y

2 70 CONTINU€

STOP€NO

INPUT K O . X 1X I - .S * Y

INPUTHINPUTYO

NP = ( X I - X O ) / PII NP UT P i

NC = P I / Hx = x c

Y = Y0P R I N T X , YF h R I = 1 TU P

FDSIJU l0OC:lFUR J = 1 ro NC

X = X + Hf = I + S L * H

N E X TJP R I N l X . VNEXT IENIl

X 0 . X l = valor lnclal y flnal dela vanable mdependlente

Y O = valor lniclal de avarlable dependlente

H = tamaño del pasoPI = Intervalo de mpreslánNP = numero de p a s o s de IrnpreslónNC = numero de Dasos decalculo

ISubrutlna para calcular la pendlentel

RETURNE N 0

FIGURA16.6 Programa para a computadora del método de Euler enFORTRANy BASIC.

la ecuación (16.10). Todo lo que se requiere para aplicar este programaa otro método de un paso es modificar el cálculo de la pendiente en lasubrutina (línea 1 000).

El progama de la figura 16.6 no es egible al usuario, está diseñadoestrictamente para arrojar la respuesta. En el problema 16.12 se deja detarea el hacer este programa más fácil de usar y de entender. En el pa-quete suplementario de programas NUMERICOMP asociado con este libro se incluye un ejemplo de un programa legible al usuario sobre el métodode Euler. El siguiente ejemplo demuestra el uso de este programa en lasolución de EDO. También proporciona una referencia para la validación

y la prueba de sus programas.



METO OS DEUN PASO 539

la parte I que el modelo matemático de la velocidad se basa en la segun-da ley de Newton de la forma:

dv C

dt - g - m USe resuelve la ecuación diferencial analíticamente (ejemplo l . 1)y numé-ricamente usando el método de Euler (ejemplo 1.2).El objetivo de esteejemplo es el de repetir estos cálculos numéricos empleando un modelosobre la velocidad más complicado basado en una descripción matemáti-ca más completa acerca del coeficiente de fricción causado por la resis-tencia del viento. Este modelo está dado por:

[E16.4.1]

en donde a, b y umáXon constantes empíricas. Obsérvese que este mo-delo es capaz de ajustar más exactamente medidas empíricas de coefi-cientes de fricción contra la velocidad que el modelo lineal simple delejemplo l . l . in embargo, esto incrementa la flexibilidad a expensas deevaluar tres coeficientes en vez de uno. Además, el modelo matemáticoresultante es más difícil de resolver analíticamente. En este caso, el méto-do de Euler proporciona una alternativa conveniente para obtener unasolución numérica aproximada.

FIGURA16.7 a) Resultados tabulares de los cálculos y b) resultados gráficos de la so-lución de la E D 0[Ec. (E16.4.11.Nótese que b) también muestra la solu-ción del modelo lineal con propósitos de comparación. De hecho, elprograma no está diseñado para superponer gráficas de esta manera.




Solución: se usará el paquete NUMERICOMP para abordar(E16.4 .1) . En la figura 16.7 a se muestra la solución del moduntamaño de paso deO.1 s. Para propósitosde comparación en la gráfila figura16.7b e muestra la solución no linealy el modelo lineal supertos. Nótese que la computadora puede graficarólo una solución a la vLos resultados delos dos cálculos indican el crecimiento dela complejidad en la formulación delos efectos que la fuerza de fricción sobre la velocidad del paracaidista. En este caso, la velocidisminuye debido a la resistencia causada porlos términos de orden perioren a ecuación (E 16 .4 .1 ).

Se pueden probar modelos alternos de manera similar. Lación del paquete NUMERICOMPy la computadora hacen que estuna tarea fácily eficiente. Esta conveniencia permite al usuarimás de su tiempo en considerar alternativas creativasy aspectos globa

del problema en ugar delostediosos cálculos manuales.

16.1.3 Métodos con serie de Taylor de orden superior

Una manera de reducir el error en el método de Euler sería innos de orden superior en la expansión de la serie de Taylorde la solución. Por ejem plo, incluyendo el término de segundla ecuación ( 16.6) se obtiene

[16.11]

con un error local de truncamiento de:

Aunque la incorporación de términos de orden superioreslo suficietemente simple como para implementarse en polinomios,su inclusiónnoes tan trivial cuando laE D 0es complicada. En particular, lasE D 0queson una función dela variable dependientey de la variable independte requieren derivación con la regla de la cadena. Por ejempra derivada def (x, y) es

La segunda derivada es



MhODOS DEUN PASO 54 1

Y las derivadas de orden superior vienen a ser crecientemente más com-plicadas.

Por consiguiente, como se ijo en las secciones previas, se han desa-rrollado métodos alternativos de un paso. Estos esquemas son compara-bles en ejecución a1 de la serie de Taylor de órdenes superiores pero re-quieren únicamente el cálculo de la primera derivada.

16.2 MODIFICACIONES Y MEJORAS ALMÉTODODEEULERUna fuente fundamental de erroren el método de Euler es que a deriva-da al principio del intervalo se supone que se aplica a través del intervaloentero. Existen dos modificaciones simples para ayudar a evitar este in-conveniente. Como se demuestra en la sección 16.3, las dos modifica-ciones en realidad pertenecen a una lase mayor de métodos de oluciónllamados métodos de Runge-Kutta. Sin embargo, ya que tienen una in-terpretación gráfica sencilla, se presentan antes de la derivación formalde los ,métodos de Runge-Kutta.

16.2.1 Método de Heun

Unmétodo para mejorar la aproximación a la pendiente implica el cálcu-lo de dos derivadas del intervalo, una en el punto inicial y la otra en el

punto final. En seguida se promedian las dos derivadas y se obtiene unaaproximación mejorada de la pendiente en el intervalo completo. Esteesquema, llamado m éod o de H e u n ,se muestra gráficamente en la figu-ra 16.8.

Recuérdese que en el método de Euler, la pendiente al principio deun intervalo

Y: = (X¡, Y¡> r16.121

Se usa para extrapolar linealmente a

En el método estándar de Euler se pararía en este punto. Sin embargo,e n el método de Heun, la calculada con la ecuación (16.3)noesla respuesta final sino una predicción intermedia. Esto se debe a que seha distinguido a ésta con el superíndice O . La ecuación (16.13) se llamaecuación.predictora.Proporciona una aproximación de y ¡ + que permi-te el cálculo de una pendiente aproximada al final del intervalo:

y:+1 = f (Xi+ l , Y?*d [16.14]

P __ I.. . . .. ".".,



542 MÉTODOS NUMÉRICOS PARAINGENIE

FIGURA16.8 Esquema gráfico del método de Heun. o) Predictor y b) corrector.

Por 10 tanto, se pueden combinar las dos pendientes [ecuaciones (16.12y (16.14)]y obtener una pendiente promedio sobre el intervalo:

Esta pendiente promedio se usa para extrapolar linealmente de y , a y, ,usando el método de Euler:

que se llama una ecuación correctora.El método de Heun es un esquema predictor-corrector. Todos los mé-

todos de pasos múltiples por discutirse en el capítulo 17 son de este tipo.El Único método corrector-predictor de un paso descrito en este libro esel método de Heun. Como se ijo antes, se puede xpresar concisamen-te como:



MÉTODOSDE UN PASO 543

PredictorFig 16.8a): = yi + f ( x i , i) h I [16.15]

Corrector Fig.16.8b): yi+l= yi + k i , Y¡>+ f(Xi+lr Y ? + J [16.1612

Nótese que debido a que la ecuación(16.16)tieney¡+1 en ambos ladodel signo igual, ésta puede aplicarse para “corregir” enn esquema itertivo. Esto es, se puede usar una aproximación anterior varias proporcionarnaproximaciónmejoradaelrocesomuestraen la figura16.9.Se debe entender que este proceso no necesarconverge a la respuesta correcta sino que converge a una apconun error de truncamiento finito, como se demuestra en elejemplo.

Como con los métodos iterativos similares analizados en lanes previas del libro,un criterio de paro en la convergencia del clo proporciona[recuérde la ecuación( 3 . 5 ) ]

[16.17]

en dondey ;: y y j + l son el resultado de la iteración anteriory actual decorrector, respectivamente.

FIGURA 16.9 Representación gráfica de la iteración del corrector del método de Heunpara obtener una rrleior aproximación.




EJEMPLO 16.5Método de Heun

Enunciado del problema: empléese el método de Heun para integrar y= 4e0 x - 0 . 5 ~esde x = O a x = 4 con tamaño de paso 1. La condición nicialen x = O es y = 2 .

Solución: antes de resolver el problema numéricamente, se puede efec-tuar el cálculo mediante la siguiente solución analítica:

41.3

y = - e-0.5~) + & - 0 . 5 ~ [E16.5

Esta fórmula se puede usar para generar losvalores verdaderos los cuales se presentan en el cuadro 16.2.La solución numérica se obtiene usando la fórmula predictora [Ec.

16.15)] para obtener un valorde y para 0.5:

y': = 2 + [4e0 - 0.5(2)] 1 = 5

Obsérvese que este es el resultado que se debería obtener con el métododeEulerestándar. Usando el valorverdadero delcuadro 16.2, a estecorresponde un error relativo porcentual del 19.3%.

Lapendiente en (xo, yo) es

yó = 4 e o - 0.5(2) = 3

Este resultado es muydiferente de la pendiente promedio verdadero enintervalo de O a 1.0, que es igual a 4.194 6, calculada de la ecuacióndiferencial original usando la ecuación (V.3). or lo tanto, para mejorar laproximación de la pendiente, se usa elvalor y: para predecir la pen-diente al finaldel intervalo:

que se puede combinar con la pendiente inicial y obtener:

que es más cercana a la pendiente promedio de 4.194 6.Este resultadose puede sustituir en a ecuación correctora [Ec. (16.16)]para obtenerla predicción en x = 1:

y1 = 2 + (4.701 081 8 6) l = 6.701 081 86



MCTODOS DEUNPASO 545

CUADRO 16.1 Comparacidn de os valores verdaderos y aproximados de a inte-gral de y = 4eo*8x 0 . 5 ~ con l a condicidn incial de que y 2 enx O. Losvalores aproximados e calcularon usando l metodo deHeun con un tamaño e paso de 1. Se muestran dos casos, corres-pondientes a números diferentes de iteraciones el corrector, jun-to con el error relativo porcentual absoluto

lteraciones con el metodo de Heun

1 15

x Yverdmdero Yheun lEvl '10 Yheun kv1

O 2.000 O00 O0 2.000 O00 O0 0.00 2.000 O00 o 0.001 6.194 31 8 6.701 081 86 8.18 6.360 865 49 .682 14.843 21 9 16.319 781 9.94 15.302 236 3.093 33.677 71 8 37.1 99 248 10.46 34.743 276 3.174 75.338 962 6 83.337 767 10.62 77.735 096 3.18

que representaun error relativo porcentual del -8 .1 8% . Porlo tanto,el método de Heun reduce el valor absoluto del error enun factor de 2 .comparado con el método de Euler.

Ahora esta aproximación se puede usar para refinaro corregir la prdicción dey l ustituyendo el nuevo resultado de nuevo en el lacho de la ecuación (16.16):

[3 + 4eo.8 ' - 0.5(6 .701081 86)]y ] = 2 + 2 1 = 6 . 2 7 5 8 1139

que representaun error relativo porcentual del 1.3 1% . Este rea su vez se puede sustituir en la ecuación (16.16)para una mejor apromacióny l :

[3 + 4eo.8(1) - 0.5(6.275 811 39)]y 1 = 2 + 2 = 6.382 129O 1

que representaun

error1 ~ ~ 1

e 3.0 3% . Nótese cómoloserrores algunaveces crecen a medida que las iteraciones avanzan. Por ejemtres iteraciones el error crece enun 3.0 3% , estos incrementos puocurrir,especialmente en tamaños depaso muy grandes. Elusuariodebe evitar la conclusión general de que una iteración adicional siemejora el resultado.No obstante, paraun tamaño de pasolo suficientemente pequeño, la iteración debe eventualmente convergerun solovalor. En este caso, se obtiene el resultado6.360865 4 9 , que represenun error relativo del 2 .6 8% después de15 iteraciones. En el cuadro se muestranlos resultados delos calculos restantes usando l métod1 y 15 iteracionespor paso.




En el ejemplo anterior, la derivada es una función de la variable de-pendiente y y de la variable independiente x. Para casos polinomiales,en donde las E D 0son sólo función de la variable independiente, etamaño predictor [Ec. (16.15)J o se necesita y se aplica únicamente

el corrector a cada una de las iteraciones. En estos casos el método seexpresa abreviadamente como

[16.1

Nótese la similitud entre el lado derecho de la ecuación (16.18)y lregla trapezoidal [Ec. (13.3)]. a conexión entre los dos métodos se puede demostrar formalmente empezando con la ecuación diferencial ordinaria

Esta ecuación se resuelve para y integrando:

r+y = R (x) dx

que lleva a

[16.19

[16.20

O

Y i t l = yi + [+I f(x ) dx [16.2

Ahora, recuérdese de la sección 13.1 que la regla trapezoidal [Ec. (13.3se define como

o, en este caso

L16.2

donde h = xi+ l- i . Sustituyendo la ecuación (16.22) en la ecuació(16.21) se obtiene



METODOSDEU N PASO 547

[16.23]

que es equivalente a la ecuación correctora [Ec.(16.16)].Debido a que la ecuación (16.2 3) es una expresión directatrapezoidal, el error local de truncamiento está dado por [recuEc. (13.6)]

[16.24]

donde está entrexi y xi+l . or lo tanto, el método es de segundo ordebido a quela derivada de segundo orden deE D 0es cero cuando lasolución es cuadrática. Además, los errores localy global son deO(h3)

y O(h2),respectivamente. Porlo tanto, disminuyendoel tamaño de pa-so se disminuye también el error más rápidamente que usando dode Euler. La figura16.10,que muestra el resultado de usar el méde Heun para resolver el polinomio del ejemplo 6.1, demuestrcom-portamiento.

16.2.2 Método meiorado del polígono (Euler modificado)

La figura 16.11 ilustra otra modificación simple del método dete método, llamadopoligono mejo rado(o € d e r o d i f i c a d o ) ,usa el mé-

Figura 16.1O Comparación de la solución verdadera con un método numérico usan-do los métodos de Euler y Heun de la integral de y ' = -2x3 + 12x2- oX+ 8.5

. . - . ' ... .



548 MÉTODOSNUMERICOSPARAINGENIER

FIGURA16.11 Esquemagráfico del método del polígono mejorado.a ) Ecuación ( 16.25)y b) ecuación ( 16.27).

todo de Euler para predecir un valor de y en el punto medio del intervalo(Fig. 16. l a )

116.251

Entonces este valor predecid0 se usa en la aproximación de la pendientee n el punto medio:

y:+1/2 = f(Xi+l/2, Yi+l/2) I [16.26]

lo cual, se supone, representa una aproximación válida de la pendientepromedio en el intervalo completo. Esta pendiente se usa para extrapo-lar linealmente de x, a x , , usando el método de Euler (Fig. 16. l b )



METODOSDE UN PASO 549

1Yi + l = Y¡+ f(X,+1,2, Yi+l/2)h 1 [16.27]

Nótesequedebido a quenoestáenambos lados, la correctora [E(16.27)] no se puede aplicar iterativamente para mejorar la soluEl método del polígono mejorado es superior al método de

que éste utiliza una aproximación de la pendiente en el punto mintervalo de prediccfón. Recuérdese del análisis de derivación nde la sección3.5.4que las diferencias divididas centrales fueron maproximaciones a la derivada que las versiones hacia adelantey atrás.Enelmismo sentido, unaaproximación centrada, como la ecua(16.26)tieneun error de truncamiento local deO(h2)en comparación conla aproximación hacia adelante del método de Euler que tienede O(h) Por consiguiente,loserrores localy global del método delpoli-

gono mejorado sonO(h3)y O ( h 2 ) ,espectivamente.16.2.3 Algoritmo para la computadora de los métodos de Eulermeiorado y modificado

El método de Heun conun corrector simpley el método mejorado delpolígono se pueden programar con facilidad usandoa estructura generalmostrada en la figura16.6. Es una tarea relativamente simple la de mdificar la subrutina del programa general para calcular la pendiente dacuerdo con estos métodos.

Sin embargo, cuando se implementa la versión iterativa del de Heun, las modificaciones sonun poco más complicadas. En la fig16.12 se ha desarrollado una subrutina para este propósito. Esta su

SUBROUTINE HEUN(X , Y >COMMONH. I M , E SF( X ,Y )-4*EXP( , 8oX )- , 5-Y

X-X+NS l = F < X , Y )

Y I = Y + $ I * nDO 11 0 0 IT=l.IMS P - F ( X . Y l )

S L - ~ s 1 * S 2 , , ' 2

E A = A B S (( V 2 - Y I )/Y2 M 1 8YP-Y+SL.M

YI - Y 2I F < E A . L E , E S ) G OTO I 1 2 0

Y R I T E ( 6 . 4 ) E AO 9 CONTINUE

FORMAT(' I L A I T E R A r l O NMAXIMAE X C E D I D E A =

0 X-X-HC F 1 0 . 5 )

RETURNE N 0

S1 = pendiente al prmclplodel intervaloY1 = prediccldn al h i l l del1nterva10IM = ttsracl6n rnAxmadel

COrleCtOrS2 = pendente al fm.9 del"tervalo

SL = pendmnte promedlo

EA = error calculado %fCorrector1

ES = error aceptable1fPrueba del error donde

FIGURA16.12 Versionesen FORTRANy BASICd e la subrutinaque mplementaelmé-todo iterativo de Hewn.

.. . . , . .. ,. . .



550 MÉTODOSUMÉRICOS PARAINGENIEROS

na se puede combinar con la figura 16 .6 para desarrollar prmétodo iterativo de Heun.

16.2.4 Resumen

Manipulando el método de Euler se han derivado dos nuevode segundo orden. Aun cuando estas versiones requieren mzo de cálculo para determinar la pendiente, la reducción queal error permitirá concluir en una sección subsiguiente (sec16.3.4quela exactitud mejoradaes, en general, merecedora del esfuerzexistenciertos casos en donde osmétodos ácilmenteprogramablestales como el método de Eulerse pueden aplicar ventajosamente, todos del polígono mejorado son generalmente superiores simplementar si son consistentes conlos objetivos del problema.

Como se menciona al principio de la sección, el método iteraciones), el método del polígono mejoradoy , de hecho, el métmismo de Euler son versiones de una clase más amplia de eun paso llamado métodos de Runge-Kutta. Ahora se desarroción formal de estos métodos.

16.3 MÉTODOSDE RUNGE-KUTTA

Losmétodos de Runge-Kutta tienen la exactitud del esquem

de Taylor sin necesitar del cálculo de derivadas superiores.muchas variaciones pero todas ellas e pueden ajustar a la formla ecuación (16.1):

Yi + l = Y, + +(Xi, Yi, h) h r16.281

donde a4 (xi,yi, h ) se le llama función de incrementoy puede interptarse com o el promedio de la pendiente sobre el intervalode incremento se puede escribir en a forma general como

# = alkl + a2k2 + * * + ankn [16.29]

en donde lasa son constantesy las k son[16.29a]

[16.29b]



METODOS DEU NPASO SS1

Obsérvese que lask son relaciones recurrentes. Esto es,kl aparece enla ecuación dekZ,que aparece en la ecuación dek3,etc. Esta recurrecia hace a los métodos RK eficientes para su cálculo en co

Se pueden desarrollar varios métodos de Runge-Kutta empcantidad diferente de términos en a función de incremento espor n. Nótese que el métodoRKde primer orden conn = 1 es, de hecho, el método de Euler. Una vez que se ha escogidon , los valores delasa, de lasp y de lasq se evalúan igualando la ecuación (16.2términos en una expansión de la serie de taylor (recuadro 16tanto, al menos para versiones m enores de la orden, en genenú-mero de términosn representa el orden del método. Por ejemplsiguente sección, los m étodos RK de segundo orden usan unde incremento con dos términos(n = 2). Estos métodos de segundden son exactos si la solución a la ecuación diferencial es cuad

más, debido a que se desprecian los términos conh 3 y de orden superiodurante la derivación, el error local de truncamiento esO(h3)y el errorglobal esO(h2) .En secciones posteriores se desarrollan los métodRKdetercery cuarto orden( n = 3 y 4). En estos casos, los errores globde truncamiento sonO(h3)y O ( h 4 ) ,respectivamente.

RECUADRO16.1 Obtención delos coeficientes delos métodos de segundo ordende Runge-Kutta

La versión de segundo orden de la ecuación (16.28) s:

donde

[B16.1.5]

Sustituyendoa ecuaci6n (B16.1.5) n (B16.1.4) eobtiene:

donde f ' ( x i , ,) debe determinarse derivando con la re- g(x+r, y + ~ ) g(x, y) + r-as +s-as+ * -.glade a cadena (sección16.1.3): ax ay




Aplicando este método en la expansión de la ecuación Ahora, comparando términos semejantes en as (B16.1.3) ebtienees (B16.1.6) (B16.1.7), e determinauearaueas

dos ecuaciones sean equivalentes, se debe cumplirlo sf(xt + plh, Y I + q11klh) guiente:

al + a2 = 1

azpl = $

a2q11 = 5steesultadoeuedeustituiruntoonacuación 1

(B16.1.2) n aecuación (B16.1.1) para obtenerEstas res ecuaciones simultáneascontienen ascuatro

más que el número de ecuaciones, no hayun conjunÚnico de valores que satisfagan las ecuaciones.Sin em

yi+l= y, + alhf(x1, y11+ a2hf(xi, i) constantesncógnitas.Debidouexistenancógnita

afax ay bargo,djudicándole un valor a unaeas constantes,azph2- + azqllh2f(xi, y3-af

+o@) puedeneterminarastrasres.or consiguiente,xisteuna familia de métodos de segundo orden en vez de

o, reordenandoérminos,ola

+ o(h3) [B16.1.7]

16.3.1 Métodos de Runge-Kutta de segundo orden

La versión de segundo orden de la ecuación (16 .2 8) es

[16.30]

[16.30a]

[16.30b]Comose describe en el recuadro16 .1 ,los valores dea l ,a2, P1 q1 seevalúan igualando la ecuación (16 .3 0) a la expansión de la slor hasta el segundo término. Haciendo esto, se obtienen tresecuacionepara evaluar las cuatro incógnitas constantes. Estas tres ecu

al + a2 = 1 [16.31]

[16.32]

[16.33]




Debido a que se tienen tres ecuaciones con cuatro incógnitas se debesuponer el valor de una de las incógnitas para determinar las otras tres.Supóngase que se especifica elvalor de a2 . Entonces las ecuaciones(16.31) a la (16.33) se resuelven simultáneamente para:

a1 = 1 - a2

1

[16.34]

P1 = 911 = -1

2a2 [16.35]

Ya que se puede escoger una cantidad infinita de valores de a2, existeun número infinito de métodos de RKde segundo orden. Cada versiónllevaría exactamente a los mismos resultados si la solución de la E D 0escuadrática, lineal o constante. Sinembargo, llevan a resultados diferen-

tes cuando la solución es más complicada (como es el caso típico). A con-tinuación se muestran tres de las versiones más comúnmente usadas ypreferidas:

Método de Heun con un corrector simple (a2 = 1/2). Si se consideraque a2 es igual a un medio (1/2), entonces 1% ecuaciones (16.34) y(16.35) se pueden resolver para a l = 1/2 y p 1 = q l l = 1. Estos pará-metros, cuando se sustituyen en la ecuación (16.30) generan

[16.36]

donde

[16.364

l16.3661

Obsérvese que k l es la pendiente al principio del intervalo y k 2es la pen-diente al final del intervalo. Por consiguiente, este segundo método deRunge-Kutta es realmente el método de Heun con una sola iteración delcorrector.

Elmétodo meiorado del polígono (a2 = 1). Si se supone que a2sea1, entonces a l = C,p 1 = ql l = 1/2, y la ecuación (16.30) viene a ser:

[16.37]

donde

[16.37a]

[16.376]




Este es el método mejorado del polígono

Método de Ralston (a2 = 2/3). alston (1962)y Ralstony Rabinow(1 978 ) determinaron que escogera2 = 2/3 proporcionaun límite mínmo en el error de truncamiento delosalgoritmosRKde segundo ordParaesta versión,a , = 1/3 y p 1 = q I 1 = 3/4:

donde

[16.38

EJEMPLO16.6Comparación de varios métodos RKde segundo orden

Enunciado del problema: utilícese el polígono mejorado [Eyel método de Ralston [Ec. (1 6.3 8)] ara integrar numéricamción(VI. 4)

f(x, y) = - z X 3 + 12x*- zox+ 8.5

desdex = Ohastax = 4 usandoun tamaño de paso de0.5.La condción inicial enx = Oes y = 1. Com párense estos resultados conlos va-lores obtenidos usando otro algoritmo RK de segundc ordendeHeuncon teracionesde un corrector (Fig. 16.10y cuadro 16.3

Solución: el primer paso en el método del polígono mejorades el deusar a ecuación (16.37a) para calcular:

kl=

-2(0)3 + 12(0)'-

2O(O)+ 8.5=

8.5No obstante, debido a que laE D 0es una funciónsólode x, ste resultdo se requiere para calculark,; alusar a ecuación (16.37b) se

k2 = -2(0.25)3 + 12(0.25)2- 20(0.25) + 8.5 = 4.218 75

Nótese que esta aproximación de la pendiente es muchomáscercana valor promedio sobre el intervalo (4.4375 ) quela pendiente al princdel mismo (8 .5) que debió usarse en el método de Euler. L

1 en elpunto medio se puede sustituir en la ecuación (16 .37)para predec



METODOS DEU NPASO 555

CUADRO 16.3 Comparación de os valores verdaderos y aproximados de a inte-gral de y ' -2x3 + 12x 2 -2Ox + 8.5, con la condicidn inicial deque y 1 en x O. Los valores aproximados e calcularon usandotres versiones RK de segundo orden con un tamaño de paso de .5

Heun

simpleejoradoeegundordencorrectorolígonoalstonK

x Y veradera y I Y 1 % y lk l0. 00. 51. o1.52. 02. 53. 03. 54. 0

1.o00 O03.218 753. 000O02.218 752.000O02.718 754.000 O04.718 753.000O0

1.000O0 o

3.375O0 12.52.68750 21. 12.500O0 25. 03. 18750 17.24.375O0 9.44. 93750 4.63. 000O0 O

3.43750 6. 81.000O0 o3.109 375 3.42. 81250 6. 31.984 375 10.61.752.5

3. 81250 4. 74. 609 375 2. 33 O

2.484 375 8. 6

1.o00 O0 O3.277 343 75 1.83.101 5625 3. 42. 14025 7. 02.855 468 75 5.04.117 1875 2.94.800 781 25 1.73.03125 1. o

2.347 6565 5.8

~(0.5') ' 1 +4.21875(0.5)= 3.109375 E" = 3.4%

El cálculo se repite,y los resultados se resumen enla figura 16.13y enel cuadro 16.3.

FIGURA16.13 Comparación de la solución verdadera con los métodos numéri-cos, res RKde segundo orden y método de Euler.



556 M~TODOS UMÉRICOSPARAINGENIERO

En el método de Ralston, kl en el primer intervalo también es iguala 8.5 y [Ec. (16.38b)l:

k2 = -2(0.375)3 + 12(0.375)2- ZO(0.375) + 8.5 = 2.582 031 25

La pendiente promedio se calcula mediante

4 = i(8.5) + $(2.582 031 25) = 4.554 687 5

que se puede usar para predecir

~ ( 0 . 5 ) 1 + 4.5546875(0.5) = 3.27734375 = -1.82%

Loscálculos se repiten, y los resultados se resumen en la figura 16.13y el cuadro 16.3. Obsérvese cómo todos los métodos RKde segundo orden son superiores al método de Euler.

16.3.2 Métodos de Runge-Kutta de tercer orden

Se puede llevar a cabo una derivación análoga a la del método de segun-do orden, para n = 3. Elresultado de esta derivación es de seis ecuacio-nes con ocho incógnitas. Por lo tanto, se deben especificar a priori losvalores de dos de las incógnitas para determinar los parámetros restan-tes. Una versión común que resulta es

donde

r16.391

[16.39a]

[16.39b]

[16.39c]

Obsérvese que si la derivada es una función sólo de x , este rnétodo detercer orden se reduce a la regla de Simpson de 1/3. Ralston (1962) yRalston y Rabinowitz (1978) han desarrollado una versión alternativa queproporciona un límite mínimo en el error de truncamiento. En cualquiercaso, los métodos RKde tercer orden tienen errores globales de O(hy O ( h 3 ) , espectivamente, y llevan a resultados exactos cuando la solu-ción es de orden úbico. Como se muestra en el siguiente ejemplo, cuan-do se trata de polinomios, la ecuación (16.39) será exacta cuando laecuación diferencial sea de orden cúbico y la solución de orden cuarto.



MÉTODOSDE UN PASO 557

Esto es porque la regla de Simpson de1/3 proporciona aproximaciexactas a la ntegraldeordencúbico (recuérdeseel recuadro13.3).

EJEMPLO16.7MétodoRKde tercer orden

Enunciado del problema:utilícese la ecuación(16.39)para ntegrar

a) Una ED0 queesexclusivamenteunafunciónde x [Ec.(VI.14)]:

~ - -2x3 + 12x2 - 20x + 8.5dx

con y(0) = 1 y detamañodepaso igual a0.5.

b) Una E D 0 que es una función dex y y :

dY- 4e0,& - 0 . 5 ~dx

cony ( 0 ) = 2 desdex = O a 1 con un tamañodepaso 1.

Solución:a) Se pueden usar las ecuaciones(16.39~1)la (16 .39~)ara calcular

kl = -2(0)3 + 12(0)2- 20(0) + 8.5 = 8.5k2 = -2(0.25)3 + 12(0.25)2- 20(0.25)+ 8.5 = 4.218 75k3 = -2(0.5)3 + 12(0.5)2- 20(0.5)+ 8.5 = 1.25

que se puedesustituiren a ecuación(16.39)para obtener:

y(0.5) = 1 + {i[8.5 +4(4.218 75)+ 1.25]}0.5= 3.218 75

la cual es exacta. Por o tanto, ya que la solución verdadera esun polinomide cuarto orden [Ec. (VI.13)].La regla de Simpson de1/3 proporcionun resultado exacto .



558 METODOSUMERICOSARAGENIEROS

que se puede sustituir en a ecuación (16.39) y obtener:

~(1 .0 ) 2 + + 4(4.217 298 79) + 5.184 864 9241 1 1

= 6.175 676 681que representa un E , = 0.31 % (valor verdadero = 6.194 631 3 8 ) , quees superior en mucho a losresultados obtenidos previamente con los métodos RK de segundo orden (esto es, el Heun sin iteraciones) del ejemplo16.5.

16.3.3 Métodos de Runge-Kutta de cuarto orden

Losmétodos RK más populares son los de cuarto orden. Como sucede

con losmétodos de segundo orden, existe un número infinito de versio-nes. El siguiente algunas veces se llama método clásico RK de cuarto orden:

donde

[16.40~11

[16.40b]

[16.40~1

[16.40d]

Obsérvese que para las ED0 que sóloson función de x , el método clásico de RK también es equivalente a la regla de Simpson de 1/3.

EJEMPLO16.8Método clásico RKde cuarto orden

Enunciado del problema: utilícese el método clásico RK de cuarto orden[Ec. (16.4O)Jpara ntegrar:

f(x, y) = -2x3 + 1 z x 2 - 2oX+ 8.5

usando un tamaño de paso de 0.5 y unacondición nicialde y =

en x = 0.

Solución: las ecuaciones (16 .40~) la (16.40d) se usan para calcular:




kl = -2(0)3 + 12(0)' - 20(0) +8.5 = 8.5k2 = ~ 2 ( 0 . 2 5 ) ~12(0.25)' - 20(0.25)+ 8.5 = 4.218 75

k3 = 4.218 75k4= -2(0.5)3 + 12(0.5)*- 20(0.5)+ 8.5 = 1.25

que se puedensustituiren a ecuación(16.40)para obtener:y(O.5) = 1 +{i[8.5+2(4.21875)+2(4.218 75)+2(4.218 75)

+ 1.25110.5 = 3.21875

el cual es exacto. Porlo tanto, debido a que la solución verdaderacuartoorden [Ec.(VI.131,el método de cuartoordenproporciona unresultado exacto.

16.3.4 M é t o d od e Runge-Kutta de orden superior

Donde se requiera mayor exactitud, se recomienda eléodo RK de quintoor den, Butcher (1964):

donde

kl = k i , Y¡) [16.41a]

k5 = f ( x i + h , yi + &hkl+ & h b ) [16.41e]

ks =/(xi + h , yi - Qhkl+'$hk2 +y h k 3- Y h k 4+ $hk5) [16.41f]

Obsérvese la similitud entre el método de Butchery la fórmula NewtoCotes de quinto orden del cuadro13.3.Se puede disponer de fórmuRKde orden superior, tales como el método de Butcher, peroral,la ganancia obtenida en exactitud porlosmétodosde orden superio

al cuarto se contrapone conla

complejidady esfuerzo de cálculo.




EJEMPLO 16.9Comparac ión delos métodos de Runge-Kutta

Enunciado del problema: emplirenseos métodosRKdesd e primero hta quinto orden para resolver

cony(0 ) = 2 d ex = O hastax = 4 con varios tam año s de paso .párese la exactitud delos varios méto dos en el resultadox = 4 basaden la respuesta exacta d ey(4) = 75.338 9 6 261.

Solución: efectúenselos cálculos usa nd olos métodos deEuler, Heu n corregir,RKd e tercer orden [Ec.(16.39)], K clásico de cuarto ordy el métodoRKde Butcher de quinto orden .Los resultadosse muestran en la figura16.14, en dondese ha graficado el valor absoluerror relativo porcentua contrael esfuerzo computacional.Esta última ca

FIGURA16.14 Comparación del error relativo porcentual contra el esfuerzo decálculo de los métodos del primero ai cuarto de Runge-Kutta.




tidad es equivalente al número de evaluaciones de la función necesariaspara alcanzar un resultado,

Esfuerzo= nf

b - a

h[16.42]

en donde nf es el número de cálculos de la función relacionados con elcálculo particular RK. Para órdenes 5 4, nf es igual al orden del méto-do. Sin embargo, obsérvese que el método RK de Butcher de quintoorden requiere de seis cálculos de la función [Ec. (16.41a) a la (16.41fl1.Lacantidad ( b - a ) / h es el intervalo totalde ntegración dividido porel tamaño del paso, es decir, es el número de aplicaciones del métodoRK necesarias para obtener el resultado. Por lo tanto, ya que las evalua-ciones de la función son, en general, los pasos que consumen más tiem-po, la ecuación (16.42) proporciona una medida aproximada del tiempode corrida necesarios para alcanzar la respuesta.

Analizando a figura 16.14 se llega a algunas conclusiones: prime-ro, que los métodos de orden superior obtienen mejores exactitudescon el mismo esfuerzo de cálculo y segundo, que la ganancia en exacti-tud por el esfuerzo adicional tiefide a disminuir después de un punto. (NÓ-tese que las curvas caen rápidamente al principio y después tienden anivelarse.)

El ejemplo 16.9 y lafigura 16.14 llevan a la conclusión de que losmétodos RK de orden superior son siempre los métodos de preferencia.Sin embargo, se deben considerar también otros factores tales como loscostos de programación y losrequisitos de exactitud del problema cuandose escoja un método de solución. Estos elementos de juicio se analizan de-talladamente en loscasos del capítulo 18 y enelepílogo de la parte VI.

16.3.5 Error local de truncamiento de los métodos de Runge-Kutta

Debido a que un método de Runge-Kutta de n-ésimo orden se determi-na igualando los términos de la ecuación (16.28) y la expansión de laseriedeTaylorhasta los términos quecontienen h , elerror ocal detruncamiento se puede expresar como

E, = O(, +') [16.43]

en donde el valor exacto de E, depende de f ( x , ) y sus derivadas supe-riores. En general, no es posible calcular E, en base a la ecuación (16.43)ya que los cálculossondemasiado complicados. Enel mejor de loscasos, si h es pequeña, y por consiguiente si a la ecuación la domina elprimer término de la serie de Taylor, loscoeficientes del método de RK[esto es, las a , p y q de la ecuación (16.29)) se pueden escoger de tal



562 M~TODOS UMERICOSARANGENIEROS

manera que minimicen el límite superior E,. Másallá de eso, un análisidel error del método RKviene a ser más complicado.Por ejemplo, el método de unge-Kutta-Fehlberg se basa en el cálculode dos aproximaciones RKde orden diferente, restando losresultadospara obtener una aproximación del error. Elmétodo consiste en la fórmulade cuarto orden:

25 1 408 2 197 1

2 565 4 104 5i + l = + ( E k 1 + ~ k3 + ~ k4 - ks) h r16.4

junto con la fórmula dequinto orden:

6 656 28 561

12825 k3 56 430i+l = yi + ( g k l +[16.45

donde

12 1 932k = f ( x i + Gh, yi + -

7 2962 197

hkl -2 197O hkp + -hk3 3

197

439 3 680+ h, yi + -hkl - 8hk2 + -216 513 410

1 8ki = f ( x i + Zh, yi - -hk, + 2hk2 - _ _ _

3 54427 2 565 hk3

1 8594 104 40-

la aproximacih al error se obtiene restando la ecuación (16.44) de la(16.45) para obtener

I I



MÉTODO DEUN PASO 563

Porlo tanto, la E D 0 se puede resolver con la ecuación (16.4 4)y la apro-ximación del error de la ecuación ( 16.4 6).Sin em bargo, la aproximacial error se alcanza a costa de una complejidad extray de un esfuerzo decálculo. Nótese que, después de cada uno deos pasos, la ecuación (1 6.4se puede sumara la ecuación (1 6.4 4)y llegara resultados de quinto orde

Aunqueelmétodo de Runge-Kutta-Fehlberg es algomás pesadopara manejarse que el método Runge-Kutta de cuarto orden, etuaciones en donde el error aproximadolo convierte enun método pre-ferible.Elcálculo del error es de particular importancia cuando de funciones que requieren pasos equeños en algunas regioney pasosgrandes en otras. En tales funciones,un error aproximado proporcionuna base para cambiar el tamaño de paso duranteloscálculos. De otraforma, el tamaño del pasose debe escoger conservadoram ente, es ddebe ser más pequeño quelo necesario para alcanzar la exactitud deda , ademásde acomodar laregiónquerequierade os amañosmáspequeños. Esta limitación se considerará con más detalle cuanse ana-licen métodos de pasos múltiples en el capítulo 17 paraloscuales las aproximaciones del error se obtienen con mayor facilidad.

16.3.6 Algoritmos para computadora de los métodos de Runge-Kutta

Como en todoslos métodos cubiertos en el capítulo, el método dse ajustamuybien en el algoritmo general de la figura 16.6 . En l16.1 5 se presentan subrutinas enloslenguajes FORTRANy BASIC quedeterminan la pendiente del método RK de segundo orden de[Ec. (16.38)].Las subrutinas para calcular pendientes de todas lasversiones se pueden programar fácilmente de manera similar.

En el método de RK-Fehlberg, el tamaño variable de paso incorporar de diferentes maneras. Una forma de hacerlo (Mar1982)es la de especificarun límite inferiory otro superior en el error. El objvo es el de emplearun tamaño de paso que genere una aproxima

FIGURA16.15 Subrutinas en FORTRANy BASICpar a determinar a pendiente usandoel método de Ralston de segun do orden de R K



564 METODOSUMfRICOSARANGENIEROS

del error dentro del rango aceptable. Si el error aproximado es mayque el límite superior, el tamaño de paso se parte a la mitad hasta queel error se encuentre dentro el rango aceptable. Si el error aproximado menor que el límite inferior, el tamaño de paso se duplica hasta que el

error se eleva de un rango aceptable.

16.4 SISTEMASDE ECUACIONES

Muchos problemas prácticos de ciencia e ingeniería requieren de la solu-ción de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias en lugar de unasola ecuación. Tales sistemas se pueden representar generalmente como

[16

La solución de este sistema requiere que las n condiciones iniciales se cnozcan en un valor inicial de x.

Todos los métodos analizados en este capítulo para ecuaciones simples se pueden extender para el sistema mostrado anteriormente. Las aplicaciones de la ingeniería pueden implicar la solución de varios cientos deecuaciones simultáneas. En este caso, el procedimiento de solución delsistema de ecuaciones simplemente significa aplicar el método de un paso acada una de las ecuaciones antes de continuar con el siguiente paso. Es-to se ilustra mejor en el siguiente ejemplo.

EJEMPLO16.1O

Solución de sistemas de E D 0usando el método de EulerEnunciado del problema: resuélvase el siguiente conjunto de ecuacionesdiferenciales usando el mGtodo de Euler, suponiendo que en x = O= 4, y y 2 = 6. Intégrese a x = 2 con un tamaño de paso de 0.5



METODOS DE UN PASO 565

Solución: el método de Euler se implementa como en la ecuación (16.2)

yZ(0.5)= 6 + [4 - 0.3(6) - 0.1(4)]0.5 = 6.9Obdervese que yl(0) = 4 se usa en la segunda ecuación en vez dey l 0.5) = 3 , calculado con la primera ecuación. Procediendo de unamanera semejante se obtiene

X Y1 Y2

O 4 60.5 3 6.91.0 2.25 7.71 51.5 1.687 5 8.445 252.0 1.265215 9.094 087

16.4.1 Algoritmo para la computadora para la solución de sistemasde E D 0

El programa para resolver una sola E D 0con el método de Euler (Fig.16.6) se puede extender fácilmente a un sistema de ecuaciones. Las mo-

dificaciones incluyen:1.2.

3.

4.

5.

Introducir el núrrero de ecuaciones, n .Introducir los valc'res iniciales para cada una de las n variables depen-dientes.Modificar la subrutina de tal manera que calcule las pendientes de ca-da una de las variables dependientes.Incluir funciones adicionales para calcular las derivadas de cada unade las EDO.Incluir las ecuacicnes restantes (del tipo en la linea 230 de la versiónBASIC) para calc.dar un nuevo valor de cada una de as variables de-pendientes.

Obsérvese que cualquiera de los métodos de un paso de este capitu-lo se pueden usar para este algoritmo. La única diferencia seria la for-mulación de la subrutina que calcula las pendientes. El método clásicoRK de cuarto orden es una buena alternativa para este propósito ya queproporciona una exactitud excelente y es relativamente fácil de progra-mar. Una característica importante de un programa de computadora pararesolver sistemas de E D 0con un método RKes la secuencia del cálculode las k como se demuestra en el ejemplo siguiente.



566 METODOSN U M E R I C O SPARAINGENIER

EJEMPLO 16.11Solución de sistemas deED0empleando el métodoR Kde cuarto orde

Enunciado del problema: utilícese el métodoRKde cuarto orden presolver las E D 0 del ejemplo16.10.

Solución: primero, se deben resolver para todas lask l :

kl,l = f(0, 4, 6) = -0.5(4) == -2

k1.2 = f(0, 4, 6) = 4 - 0.3(6) - 0.1(4) = 1.8

en dondek,, ,es el i-ésimo valor dek para la j-ésim a variable depente. En seguida, se calculan los valores dey l y y 2 que se necesitan pdeterminar lask 2 :

y1 + $ h k l , l= 4 +$(0.5)(-2) = 3.5y2 + i hk l ,2= 6 +$(0.5)(1.8)= 6.45

que se usan para calcular:

k2,1 = f(0.25, 3.5, 6.45) = -1.75

k2,2 = f(0.25, 3.5, 6.45) = 1.715

El proceso continúa hasta calcular lask restantes:

k3,1 = f(0.25, 3.562 5, 6.428 75) = -1.781 25

k3,2 =f(0.25 , 3.562 5, 6.428 75) = 1.715 125

k4.1 = f(0.5, 3.109 375, 6.857 562 5) = -11.554 687 5

k4.2 = f(0.5, 3,109 375, 6.857 562 5) = 1.631 793 75

Losvalores dek se pueden usar para calcular [Ec.(16.40)l:

yl(0.5) = 4 + iL-2 + 2(-1.75 - 1.781 25) - 1.554 687 510.5

= 3.115 234 38

y2(0.5) = 6 +2[1.8 + 2(1.715 + 1.715 125) + 1.431793 7510.5

= 6.857 670 32



METODOSDEUN PASO 567

Procediendo de manera semejante en los pasos restantes, s

X Y1 Y2

O 4 60.5 3.1 15 234 4 6.857 6701.O 2.426 171 3 7.632 1051.5 1.889 23 1 8.326 8862.0 1.471 76 8 8.946 865

16.4.2 Problemas con valores en la frontera: métodos de disparo

La solución de ecuaciones con valores en la frontera usandode disparo esun ejemplo deun problema que en el contexto de losmasde E D 0 se puederesolver. Recuérdese delanálisis alprincipiode la parteVI,que una ecuación diferencial ordinaria va acompañcondiciones auxiliares. Estas condiciones se usan para evaluatantes de integración que resultan durante la solución de una una ecuación de n-ésimo orden, se deben evaluarn constantes,y porlo tanto, se requierenn condiciones.Si se especifican todas las condnes enun mismo valor de la variable independiente, entoncesdeun problemacon valores iniciales. Ensu mayoría la parteVI trata estetipo de problemas.En contraste hay otra clase de E D 0 para la que las condise dan enun solo punto perosí en varios valores de la variable dediente. Debido a que estas condiciones se expresanen lospuntos extremoso límites, éstosse les conocen conel nombre deproblemas con valoreen la frontera. Una variedad de problemas significativosde ingeniería cadentro de esta clase. En este capítulo, se analizaun esquema general pra resolver estos problemas: el método de disparo.

El método de disparo está basado en la conversión de problemvalores en la frontera en problemas de valor inicial equivalenim-plementaun esquema de pruebay error que resuelve la versión de res iniciales. El esquema se puede ilustrarcon un ejemplo.

EJEMPLO16.1 2Elmétodo de disparo

Enunciado del problema: empléese el método de disparo pa

I dx2

d2Y- 0.2y= 2




con las condiciones en la frontera y(0) = O y y (10) = O.

Solución: usando el mismo esquema empleado en la transformación de

la ecuación (VI.2) n las ecuaciones (VI.3) (VI.6),la ecuación de se-gundo orden se puede expresar como dos EDO:

dYdx

2

Ydzdx

2 - 0.2y

[E16.12.1]

[E16.12.2]

FIGURA1616 Método de disparo: a ) el primer "disparo"; b ) egundo "disparo";

y c) el "tiro" exacto final.



METODOS DEUN PASO

L

5 6 9

A fin de resolver estas ecuaciones, se requiereun valor inicial paraz. Para el método de disparo, se eligeun valor, que puede ser40) = 1.Entonces la solución se obtiene ntegrando as ecuaciones (Ey (E 16 .12.2) simultáneamente.Por ejemplo, usandoun métodoRKde cuarto orden para sistemas deODES,se obtieneun valorfinaldelintervalo dey(10)= 10. 20 8 (Fig. 16 . 1 6 4 , que define el valor vro y (10) = Opor lo tanto, se hace otra elección,z(0) = 2 ,y se llevana cabo nuevamente los cálculos. Esta vez, el resultadoy (10) = 8.035estáun poco más cercano alvalorverdaderode y(10)= O,pero aúnpersisteelerror (Fig. 16 .166 ).

Ahora, debido a que laE D 0es lineal,losvalores

z(0) = 1 y(10)= 10.208

Y

z(0) = 2 y(10)= 8.035

están relacionados linealmente. Como tales, se pueden usar plarelvalorde z ( 0 )que conforma ay(10)= O. Se puede emplear unfórmula de interpolación para este propósito [recuérdese la E(ll.í )]:

z(0) = 1 +2 - 1

8.035 - 10.208(O - 10.208)= 5.7

Este valor se pQede usar para determinar la solución correse muestraen afigura 16.16~.

Para problemas con valor a la fronterano lineales, la interpolacilinealo extrapolación a través de la solución de dos puntos no cesariamente una aproximación segura de la condición en la frquerida para obtener una solución exacta.Un esquema alterno es el realizar tres simulaciones usarun polinomio de interpolación cuadpara calcular la condición en la frontera. Sin embargo,noesmuyproba-bleque tal esquema lleve a la respuesta exacta,y con iteraciones adicnales sería necesario obtener la solución.

Debido a que éste esun proceso ineficiente, existen métodos ativosentales casos.Losmás comunesson los métodos de d i fe renc iasfinitas. Estos métodos son apropiados para problemas con valorea lafrontera linealesy no lineales. En estos esquemas, las diferenciasdividi-

das finitas se sustituyen por las derivadas en la ecuación origin



570 METODOS NUM~RICOSARAINGENIERO

manera, la ecuación diferencial se transforma en un conjunto de ecua-ciones algebraicas simultáneas que se puede resolver usando un métodode la parte 111.Este es el esquema que se usa en el caso 9.2 para resolverladistribución de a temperatura de una placa caliente. Los problemas9.8, 16.9 y 18.10 se relacionan con la solución de problemas con valo-res a la frontera.


16.1 Resuélvase el siguienteproblema con valor nicial sobre el intervalo dx = O ax = 2:

16.2

16.3

16.4

16.5

16.6

16.7

dY- yx2 -y

dx

dondey(0) = 1. Grafiquese la solución

Utilicese el método de Euler conh = 0.5 y 0 . 2 5 para resolver el problem16.1Grafíquenselosresultados en la misma gráficay compárese visualmente latitudde los dos tamaños de paso.

Utilicese el método de Heun conh = 0 . 5y 0 .2 5 para resolver el problemItérese el corrector aE, = 1%. Grafíquenselosresultados sobre lamisma gráca y compárese visualmente la exactitud delosdos tamaños con la solucióntica. Interprétenselos resultados.

Utilicese el método del polígono mejorado conh = 0 . 5y 0 . 2 5 para resolveproblema 16..

Utilicese el método RK de Ralston de segundo orden conh = 0 . 5 para resolelproblema 16.1

Utilicese el método clásicoRKde cuarto orden conh = 0 . 5 para resolver elblema 16.1.

Utilicese el método de RK-Fehlberg de cuarto orden conh = 0 . 5 para resolel problema 6.1. Calcúlese el error aproximado en cada paso.

16.8 Repítanselos problemas 1 6. 1 al 1 6 .7 pero con el siguiente probleminiciales sobre el intervalox = O a x = 1.

y - y(0) = 1dx



MÉTODOS DEUNPASO 571

16.9 Utilíceseel método de disparo para resolver

d + 16- - 4y = 20dxdy

con la condicióna la frontera,y ( 0 ) = 5 y y(20)= 2 .

te sistemade ecuaciones dex = O a x = 10:16.10 Utilícese el método de Euler conun tamaño de paso de 1 para resolver el sig

y 1 - y 1 - .1Y1Y2dx

en dondey , = 2 5y y2 = 7 enx = O.

h = 1 . 0 d e x= O a x = 1.16.1 1 Utilícese el método RK de cuarto orden para resolverel problema 6 . 1 0 usand


16.12 Progrimese nuevam ente la figura 16. 6 de tal forma que sea legibleEntre otras cosas,

a) Colóquense declaraciones de comentarios, alo largo del programapara identi-ficarlo que cada una de las secciones va a realizar.b) Etiquétese la entraday la salida.

16.13 Pruébese el programa del problema 16 .12 duplicandoloscSlculos delosejem-plos 16. 1, 16. 3y 16.4.

16.14 Utilicese el programa del problema 16.12 repitiendolos problemas 6. 1y 6.2 .

16.15 Repítanselosproblemas 16.13y 16 .14, pero usando el paquete NUMERICdisponible con el texto.

16.16 Desarróllese un programa legible al usuario del metodo de Heun con iterativo. Tómese como base del programa lasfiguras 16.6y 16.12. Pruébesel programa duplicandolos resultados del cuadro 1 6. 3.

16.17 Desarróllese un programa legible al usuario del método RK de Ralstodo orden basado en las figuras 16 .6y 16 .1 5. Pruébese el programa duplicel ejemplo 16.16.

16.18 Desarróllese un programa legible al usuario del método cldsico RK dden. Pruébese el programa duplicando el ejemplo 16 .8y el problema 16 .6.

16.19 Desarróllese un programa parala computadora que sea legible al usuario sistemas de ecuaciones usando el método de Euler. Tómese com o bgramael andlisis de la sección 16.4.1. Utilícese este programa para dloscSlculos del ejemplo 16.12.

16.20 Repítase el problema 16.19. pero usando el método RK de cuarto







574 MtTODOSUMERICOS PARAINGENIEROS

17.1 UNENFOQUE SIMPLE DE PASOS MúLTIPLES:MÉTODODEHEUN SIN PRINCIPIO

Recuérdese que el método de Heunusael método de Euler comounpredictor:

y la regla trapezoidd comocorrector:

[17.2]

Porlo tanto, el predictory el corrector tienen errores locales demiento deO(h2)y O(h3),espectivamente. Esto sugiere que el psea el punto débil en el método ya que tiene el mayor errordébil es significativo debido a que la eficiencia delpaso corrector iteradepende de la exactitud de la predicción inicial. Por consimanera de mejorar el método de Heun es desarrollarun predictor qutengaun error local deO(h3).Esto se puede llevar a cabo usandotodo de Eulery la pendiente eny, , pero haciendo la corrección un punto previoyi.l, como en:

La ecuación (1 7 .3 ) no es auto-principiante ya que implicaun valor anrior de lavariable dependienteEstevalornodeberíaestardisponi-bleen un problema ípico de valor nicial.Debido a este hecho, ecuaciones (17.3)y (17.2) se les conoce comométodo de H e u n siprincipio.

Obsérvese que, comose muestra en la figura 17 .2 , la aproxa la derivada en la ecuación (1 7.3 ) se localiza ahora en el penvez de al principio del intervalo sobre el cual se hace lComose demuestra subsecuentemente, este centrado mejorpredictor aO(h3).in embargo, antes de continuar a una derivamal del método de Heun sin principio, se resume el métodoy se expreusando una nomenclaturaun poco modificada:

Predictor:y k l = yP1+ f(xi,y?) 2h

Corrector:y(+l= y 7 + f h i ,Y 3+ f(Xi+l, YG)2

(paraj = 1 , 2, . . . , m )

[17.4]

C17.51



MÉTODOS DEPASOSM ú LT I P L E S 575

FIGURA17.2 Esquema gráfico del método de Heun sin principio. al método de P’Jntomedio usado como predictor; b) regla trapezoidal empleada como CO-

rrector.

donde losSubindices se han agregado para denotar que el corrector seaplica iterativamente desde = 1 a m para obtener soluciones refinadas.Nótese que y ? y y,mlson losresultados finales de las iteraciones del co-rrector en lospasos de cálculoanteriores. Las iteraciones se terminan encualquier paso del cálculo en base al criterio de paro

[17.6]

Cuando E, es menor que una tolerancia preespecificada en el error, E, seterminan las iteraciones. En este punto, j = m. El uso de las ecuaciones(17.4)a la (17.6) en la solución de una E D 0se demuestra en el ejemplosiguiente.




EJEMPLO 17.1Método de Heun sin principio

Enunciado del problema: utilicese el método de Heun sin principio para

realizar los cálculos del ejemplo 16.5 usando el método de Heun. Es de-cir, intégrese y ' = 4e0.8X 0.5 y desde x = O hasta x = 4 usando untamaño de paso de 1.0. Como con el ejemplo 16.5, la condición inicialen x = Oes y = 2. Sin embargo, debido a que se está utilizando un mé-todo de pasos múltiples, se requiere la información adicional de que yes iqual a -0.392 995 325 en x = - 1.

Solución: se usa el predictor [Ec. (17.4)]para extrapolar linealmente dex = -1 a x 1 :

y': = -0.392 995 325 + [4e0.8io) 0.5(2)]2 = 5.607 004 675Entonces se usa el corrector [Ec. (17.5)]para calcular el valor

- 0.5(2) + 4eo.8(') - 0.5(5.607 004 675)]y : = 2 +2 1

= 6.549 330 688

que representa un error relativo porcentual de - .73% (Valor verdade-ro = 6.194 631 377). Este error es algo más pequeño que el valor de

-8.18% contraído con el método de Heun auto-principiante.Ahora se puede aplicar iterativamente la ecuación (17.5)para mejo-rar la solución:

y T = 2 + 3 + &o.8i') - 0.5(6.549 330 688) = 6.313 749 1852

que representa un E, del - 1.92%. También se puede determinar unaaproximación del error usando la ecuación (17.6):

6.313 749 185 - 6.549 330 688= 3,7%4 1= 6.313 749 185

La ecuación (17.5) se puede aplicar iterativamente hasta que t o se encuentre dentro de un valor E, preespecificado. Como en el caso del mé-todo de Heun (recuérdese el ejemplo 16.5), as iteraciones convergen alvalor 6.360 865 49 (E, = - .68%).Sin embargo, debido a que el va-lor del predictor inicial es más exacto, el método de pasos múltiples con-verge en proporci6n un poco más rápida:



METODOS DEPASOSMúLTIPLES 577

Enl segundo aso, el predictor es

y; = 2 + - 0.5(6.360 65 49)] 2= 13.44361 2 € = 9.43%

que es superior a la predicción de 12.082 569 46 (E, = 18% calculadacon el método de Heun original. El primer orrector lleva a 15.955395 53E, = - .8%) y las iteraciones siguientes convergen al mismo resultadoque se obtiene con el método de Heun sin principio: 15.302 236 7 (E,

= - 3.1%). Como en el paso anterior, la proporción de convergenciadel corrector se perfecciona un poco debido a a mejor preducción inicial.

17.1.1Obtención y análisis de error de las fórmulas predictor-corrector

Se han empleado conceptos gráficos para derivar el método sin principiode Heun. Hasta ahora se ha demostrado como las mismas ecuacionesse pueden derivar matemáticamente. La obtención de estas fórmulas par-ticularmente interesante debido a sus vínculos con las ideas de ajuste decurvas, integración numérica y EDO. La obtención de estas fórmulas tam-bién es útil ya que proporciona un medio de avance imple en el desarro-llo de métodos de pasos múltiples de orden superior y la aproximacióna sus errores.

La obtención se basa en la solución de la E D 0general

Esta ecuación se puede resolver multiplicando ambos lados por d xe inte-grando entre los límites i e i + 1:

El lado izquierdo se puede integrar y evaluar usando el teorema funda-mental [recuérdese la ecuación (16.21)]:

Yi + l = Y¡ + h, f(x, y) dxK i t 1

[17.7]

Si se puede evaluar la integral, entonces la ecuación (17.7) represen-ta la solución a la EDO. Es decir, esta fórmula proporciona una manerade calcular un nuevo valor de la variable dependiente y ; , I en base al va-lor anterior y ; y la ecuación diferencial.

Las fórmulas de integración numérica tales como las desarrolladas enel capítulo 13 proporcionan una manera de realizar esta evaluación. Porejemplo, la regla trapezoidal [ecuación (13.3)J e puede usar en la eva-




luación d e la integral, co m o en

[17.8]

dondeh = x , + ~ , es el tama ño de paso. Sustituyen do la ecu(17 .8) en la ecuación( 17. 7)e obtiene

Y i i l = Yi + f k i l Y¡>+ f(Xi+l, Y i + d

2 -h

quees la ecuación corrector del m éto do de Heu n.Debido a qu e esta ección s e basa en la regla trapezoidal, el error d e trunc am ienttomar directamente del cu ad ro 13.2 :

E, = - - h3Y"'((c)= - 1 3 f"((J12 12 [17.9]

dondeel subíndicec denota que éstees el error del corrector.

caso,los límites d e integración van de sd ei - 1 a i + 1Se pu ed e usar un esquema similar para derivarel predictor. En es

y dy = r" (x, y) dx]Y¡-1 J x ~ -

qu e se pu ed e integrary reordenar para obtener

[17.10]

Ah ora, en vez de usar una f6rmula cerrada del cua dro13.2, se puedeusar la primera fórmula d e integración abierta de New ton-Coel cuadro13.4)para eva luar la integral

[17.11]

a la cual sele llama elmétodo del p u n t o medio. Sustituyendo la ecución (17 .11 ) en la ecua ción (17.10)se obtiene

yi+l= yi-1 f f(xi, yJ2hque representa al predictor del método de H eu n sin principioComo su-cede conel corrector, el error local d e truncam iento se pue de trectamente del cuad ro13.4

E, = 5 h 3 y"'((,) = 5 h3 f"(&,) [17.12]donde el subíndicep denota que és te esel error del predictor.

Porlo tanto, el predictory el corrector del m étod o de He unsinprin-cipio tienenlos mismos errores d e truncam iento. Adem ás de aula exactitud del predictor, este hecho tieneos beneficios adicionales rcionados con el análisis del error. com o semuestra en la siguiente secc



METODOS DEPASOS 579

17.1.2Aproximación del error

Si el predictor y el corrector de un método de pasos múltiples son delmismo orden, entonces el error local de truncamiento se puede obtenera lo largo del cálculo. Esta es una ventaja tremenda debido que estable-ce un criterio de ajuste en el tamaño del paso.

Elerror local de truncamiento del predictor se calcula mediante la cua-ción (17 .12) .Esta aproximación del error se puede combinar con la apro-ximación de y ,del paso predictor para obtener [recuérdese la definiciónbásica de la ecuación ( 3 . ) ] :

Valorerdadero = yp+l +$h 3 y”’(&,) C17.131

Usando un esquema similar, la aproximación del error para el predictor[Ecuación (17.9)]se puede combinar con el valor verdadero y el resulta-doel corrector genera:

Valorerdadero = y 2 1 - ffh3y”’(&) C17.141

La ecuación (17.13) se puede restar de la ecuación (17.14) para obtener

o = y21 - y?+1- &h 3y”’([) r17.151

donde 4 está entre xiPl y xi+l . Ahora dividiendo la ecuación (17.15) en-tre 5 y reordenando términos el resultado es

C17.161

Obsérvese que loslados derechos de las ecuaciones (17.9)y (17.16) sonidénticos, con a excepción del argumento de la tercera derivada. Si la

tercera derivada no varía apreciablemente sobre el intervalo en cuestión,se supone que los lados derechos son iguales, y , por lo tanto, tambiénlos lados izquierdos deben ser iguales, como en

[17.17]

Por lo tanto, hemos llegado a una relación que se puede usar para apro-ximar el error de truncamiento por paso en base a dos cantidades, el pre-dictor (y:+l) y el corrector ( y z J , que son rutinas por productos de loscálculos.




EJEMPLO 17.2Aproximación del error de truncamiento por paso para elmétodo de Heun sin principio

Enunciado del problema: utilícese la ecuación (17.17)para aproximar elerror de truncamiento por paso del ejemplo 17. . Obsérvese que losva-lores verdaderos en x = l y 2 son 6.194 63138 y 14.843 921 9, respec-tivamente.

Solución: en x,, = 1, el predictor genera 5.607 004 675 y el correctorgenera 6.360 865 49. Estos valores se pueden sustituir en la ecuación(17.17) y obtener

6.360 865 49 - 5.607 004 675 = -o,150 772 163E = -

5que es comparable con el error exacto,

.E,= 6.194 631 38 - 6.360 865 49 = -0.166 234 110

En x , , ~ 2, el predictor genera 13.443461 9 y el corrector 15.302 236 7,que se usan para calcular

E = "15.302 236 7 - 13.443 461 9 = "o,371 754 960

5

que también se compara favorablemente con el error exacto, E, =14.843 921 9 - 15.302 236 7 = - 0.458 314 8.

La facilidad con que se puede calcular el error usando la ecuación(17.7) epresenta una ventaja importante de los métodos de pasos múlti-ples sobre los mgtodos de un solo paso. Entre otras cosas, esto propor-ciona una base racional e n el ajuste de tamaño de paso durante el cursode los cálculgs. Por ejemplo, si a ecuación (17.17)indica que el error

es mayor al nivel aceptable, el tamaño de paso debe disminuir. En unasección subsiguiente (sección 17.4),delinearemos como estos ajustes enlos tamaiios de paso se pueden incorporar en un algoritmo para la com-putadora.

17.1.3 Modificadores

Antes de desarrollar algoritmos para la computadora, se deben notar otrasdos formas en que se puede hacer más exacto y más eficiente al métodode Heun sin principio. Primero, se debe tomar en cuenta que la ecuación(17.17),además de proporcionar un criterio en el ajuste del tamaño del



MÉTODOS PASOSMÜLTIPLES 581

paso, representa una aproximación numéricade la diferencia entre lor corregido final en cada uno de los pasosy,+]y el error verdadePor lo tanto, éstepuedesumarsedirectamente y,,] paramejorar aú

más a aproximación:YZ1- Yi + l

5O

YZl+ YE1- L17.1

A la ecuación (1 7.1 8) se le llamacorrector modificador. (El símbolo-se lee “se reemplaza por”.)Ellado izquierdo es el valor modificaY%].

Una segunda mejora, relacionada más con la eficiencia ción, es elpredictor modificador, elcual está diseñado para ajustaresultado del predictor de tal manera que esté más cercano vergente final del corrector. Esto es ventajoso debido que, cciona al principio de esta sección, el número de iteracionesdepende altamente de la exactitud de la predicción inicial. Psi la predicción se modifica de manera conveniente, se puenúmero de iteraciones necesarias para converger aun valor final delrrector.

Este modificador puede derivarse simplemente suponiencera derivada es relativamente constante de paso a paso. Plo tantousando el resultado del paso anterior eni , la ecuación (1 7.16) se resolver por

[17.1

la cual, suponiendo quey ’’ ( t )= y ”’ (,$J. se puede sustituir en la ción (1 7.1 2) para obtener

E17.20

que entonces se puede usar para modificar el resultado del prYi + l +YLl + 4(y? - y:) r17.21

EJEMPLO17.3Efecto de los modificadores en los resultados delpredictor-corrector

Enunciado del problema: calcúlese nuevamente el ejemplo los modificadores especificados en lafigura 17.3.

Solución: como en el ejemplo 1 7.1 , el resultado del predic5 .607004 675. Debido a que elpredictormodificador [E c. (17requiere de valoresde una iteración previa, éste no puede empra mejorar el resultado inicial. Sin embargo, la ecuación (




FIGURA17.3 Secuencia d e fórmulas usadas enla implementación del método de He unsin principio. Nótese que la aproxim ación al error del corrector se pu e-de usar pa ra m odificarel corrector. N oobstante, debido a que esto puedeafectar a estabilidad del corrector , el modificado r no se incluye en elalgoritmo.Elerro r calcu lado del corre ctor se incluye de bido a su utili-dad en el ajuste del tama ño delpaso.

para modificar elvalor corregido de 6.360 865 49 (e, = - 2.684%),como en:

yí'' = 6.360 865 49 -6.360 865 49 - .607 004 675 = 6,210 093 327

5

que representa un E , = - 0.25%. Por lo tanto, el error sereduce encuanto a s u magnitud.

En la siguiente iteración el predictor [Ec. (17.411 se usa para calcular

y $ = 2 + [4eU.8(')- 0.5(6.210 093 327112

= 13.594 234 10 e:, = 8.42%



MÉTODOS DEPASOSMÚLTIPLES 583

es alrededor dedel ejemplo17se est&usando

la mitad del error del predictor de la segun. l , elcualfue E , = 18.6%. Esta mejora se debunaaproximaciónsuperiorde y (6.210 093 327,

opuestoa 6.360 865 49) en el predictor. En otras palabras, el erpagadoy global se reducen mediante la inclusión del corrector mAhora debido a que se tiene información de la iteración

ecuación(17.21) se emplea para modificar el predictor.

= 13.594 234 10 + - 6.360 865 49 - 5.607 004 675)5

= 14.197 322 5 E, = -4.36%

que nuevamente, divideendosel error.Esta modificación no tiene efecto sobre el resultado finalospaso

del corrector subsiguientes. Independientemente de cuando dictores modificadoso sin modificar, el corrector finalmente cola misma respuesta. No obstante, debido a que la proporcióno eficiencde la convergencia depende de a exactitud de la predicción modificación puede reducir el número de iteraciones necesariaa convergencia.

La implementación del corrector llevaal resultado de15.211 777 23( E , = - 2.48%) el cual representa una mejoría sobre el ejem17.1debido a la reducción del error global. Finalmente, este resudifica usando la ecuación(17.18)

y 5 = 15.211 777 23 -15.211 777 23 - 13.594 234 10

5

= 14.888 68 0 E , = -0.30%

Nuevamente, el error se ha reducido en magnitud.

Como en el ejemplo anterior, la suma delosmodificadores incremla eficienciay la exactitud delosmétodos de pasos múltiples. En plar, el corrector modificador efectivamente incrementa el otodo. Porlo tanto, el método de Heun sin principio con modes el tercer orden en vez de segundo orden com o fue el casión sin modificar. Sin embargo, se debe notar que existen cde el correctormodificador afecta laestabilidaddel corrector. Coconsecuencia, el modificador no se incluye en el algoritmo dede Heun sin principio delineado en la figura17.3. No obtante, el corrtor modificador aún puede tener utilidad para el control del tampaso analizadoen la sección17.1.5.




I

2

3

aao

D I M E N S I O NX ( l O O ) , Y ( l O O )COMMOHX I , Y l , UF < X , Y 1 * 4 * E X P ( . B * X > - . S * VR E A D ( 5 . 1>X(1 > , X FXl.X( I >. . .READ(S , 1 >UFORMAT<ZF1 O . O 1

REIDCS.2)MXFORMAT(I S >READCS.1 )ES

LV L I

1 Y 0

210220230

..

2 4 02502 6 027ü

829030CI310320

3333403503 0 0370

380

3uo4üü

430410

4404sü46ü4 0

FOR J = I TU MXI )

5 2 = F N F ( f < h l )x x = X ( h )

YP = v e t . ,YIK = Y i P I + H * ($1 + S i J /

2

PI = PIJC I = CIJ

NEXT IP R I N T X l I l . V l I )END

ecuaclón diferenclaliIFunclÓn que especiflca la

X i l l .XF = valores Inlclal y flnal de lavariable Independiente

H = tamaño del paso

M X = Iteraclones máxlmas del correctorES = error aceptable ( I delcorrector

Y11 = valor lnlclal de la varlable dependlente

(Subrutina para calcular el segundo valor de lavarlable dependlente usando elmétodo RK de cuarto orden1

N C = número de pasos de X I 11 a X F

(Predlctorl

IPredlctor modlflcadorl(Corrector)

FIGURA17.4 Programas en FORTRANY BASICdelmétodo de Heun sin principio.

17.1.4Programa para computadora de los métodos de pasos múltiples

En la figura 17.4 se muestra un programa para la versión de tamaño depaso constante del método de Heun in principio. Obsérvese qu e el pro-grama incluye el predictor modificador delineado en la figura 17 .3 .

Debido a que este algoritmo emplea un tamaño de paso con stante ,se debe escoger un valor de h al principio de los cálculos. En general,la experiencia indica que un tamaño de paso deal debe ser bastante pe-

queño para asegurar la convergencia dentro de dos iteraciones del co-rrector (Hull Creemer, 1963).Además, debe ser demasiado chico paragenerar un error de truncamiento lo suficientemente pequeño. Al igualque con os otros métodos para EDOs,la única forma práctica de valorarla magnitud del error global es la de comparar los resultados del mismoproblema pero disminuyendo los tamaños de paso a la mitad cada vez

Obsérvese que se usa un mé todo RK de cuarto orden para generarlos puntos necesarios al principio del cálculo. Para este propósito se es-coge un método RKde cuarto orden debido a que, aunque es un pocomás difícil de programar qu e los métodos d e orden inferior, sumayor exac-titud justifica su uso.



MÉTODOSDEPASOS MÚLTIPLES 585

17.1.5 Beneficios en el control del tamaño de paso

Con la excepción del método RK-Fehlberg analizado ena sección16.3.5,se ha empleadoun tamaño de paso constante para integrar numémente ecuaciones diferenciales ordinarias. Aunque tal esquealta utilidad en muchos problemas de ingeniería, existen ciertdonde es altamente ineficiente. Porejemplo, supóngase yue se estágrando unaE D 0con una solución del tipo mostrado en la figura Para la mayor parte del rango, la solución cambia gradualmeun ta-maño de paso grande para obtener resultados adecuados. Sin euna región ocalizada dex = 1.75 ax = 2 .25 , la solución muestrauncambio abrupto en la forma de una función impulsoo pico.A lasE D 0cuyas soluciones consisten de componentes de variación rápio lentase les llamaecuaciones r igidas .

La consecuencia práctica al tratar con tales ecuaciones esquiereun tamaño de pasomuypequeño para capturar exactamencomportamiento impulsivo.Si se emplearaun algoritmo con tamañopaso constante, el tamario de paso necesario m6s pequeño ede cambio abrupto tendría que aplicarse al rango entero de cCo-mo una consecuencia, se aplicaríaun tamaño de paso más pequeñoel necesarioy , por lo tanto, muchos más cálculos a la región de

FIGURA17.5 Ejemplo de la solución de una E D 0que muestra un comportamiento ti-po impulsivo. Losajustes automáticos en el tamario del paso son desven-tajosos en estos casos.

,.



586 MÉTODOSN U M É R I C O SA R AN G E N I E R O S

gradual. En tales casos un algoritmo que ajuste automáticamente el ta-maño de paso evitaría estas deficiencias por lo tanto sería de gran ventaja

Corno ya se dijo previamente, losmktodos de pasos múltiples descri-tos en este capítulo proporcionan una base para tal algoritmo. Por o tan-to, puede parecer accidental que el programa para computadora descritoen la sección anterior empleara un tamaño de paso constante. La razónpor la que se ha separado esta ventaja del algoritmo general es que elajuste al tamaño de paso no es una tarea de programación trivial. De he-cho el costo (dado en términos del tiempo de programación o el costodedesarrollo de programas) puede ser un factordecisivocuando seescoja la incorporación de esta opción. Con este antecedente, se descri-be la mecánica del control del tamaño de paso. Este análisis debe hacer-se claro porque incluir este aspecto no es un ejercicio trivial.

La manera de escoger el tamaño del paso se predice en base a un

conjunto de factores. En general, el tamaño del lapso debe hacerse losuficientemente pequeño de tal forma que el corrector converja y que semantenga así en tantas iteraciones como ea posible. Adicionalmente, debeser tan pequeño que los resultados sean lo sufientemente exactos paralos requisitos de un problema. AI mismo tiempo, el tamaño del paso de-be ser tan grande como sea posible de tal forma que minimice el tiempoal momento de la corrida y el error de redondeo.

Comúnmente se usan dos criterios para decidir cuando un cambioen el tamaño del paso se justifica. Primero, si la ecuación (17.17)es ma-yor que un criterio de error previamente especificado, entonces el tama-ño del paso decrece. Segundo, se escoge el tamaño del paso de tal maneraque el criterio de convergencia del corrector se satisfaga en dos iteracio-nes. Este criterio se propone considerar las ventajas y desventajas queexisten entre la relación de convergencia y el número total de pasos enel cálculo. Para valores pequeños de h , la convergencia es más rápidapero se requieren más pasos. Para h más grande, la convergencia eslentapero se necesitan menos pasos. La experiencia (Hully Cremer,1963) sugiere que los pasos totales se minimizan si h se escoge de tal ma-neraqueelcorrector converja dentro dedos iteraciones. Por lo tan-to, si se requieren más de dos iteraciones, el tamaño de paso disminuyey si se requieren menos de dos iteraciones, entonces el tamaño del paso

se aumenta.Aunque la estrategia anterior especifica cuando se llevan a cabo lasmodificaciones del tamaño del paso no especifica cómo se debe cambiar.Esta es una pregunta crítica ya que losmétodos de pasos múltiples pordefinición requieren de varios puntos para calcular uno nuevo. Una vezque el tamaño del paso se cambia, se debe determinar un nuevo conjun-to de puntos. Una manera de hacerlo es la de reiniciar los cálculos y usarel método de un solopunto para generar un nuevo conjunto de puntosiniciales.

Una manera máseficiente de hacerlo y que hace usode la informa-ción existente es aumentar al doble y disminuir el tamaño de paso a la



MhODOS DEPASOS 587

mitad. Com o se muestra en la figura17.6a, si se ha generadoun núme-ro suficiente de valores anteriores, aumentando el tamaño del ldoble,es algo relativamente correcto (Fig.1 7 . 6 ~ ) .odo esto es necesario pa

mantener la información de los subindices de tal forma quelos

valoresanteriores dex y yvengan a ser los nuevos valores. Disminuir a lael tamaño del paso es algo más difícil ya que algunos delosnuevos valo-res no se encuentran disponibles (Fig.1 7 . 6 ~ ) .in embargo, se puedeusarlos polinomios de interpolación del tipo desarrollado en el 11para determinar estos valores intermedios.

En cualquier caso, la decisión de incorporar el control sobrño del paso representa hacer una evaluación entre el tiempo pa

FIGURA17.6 Gráfica que indica la estrategia de dividir y duplicar un segmento quepermite el uso de a) valores calculados previamente con un método depasos múltiples de tercer orden. b) Dividiendo a la mitad y c) duplicando.



588 METODOS NUMÉRICOS PARAINGENIERO

rrollar un programa complejo paraos términos grandesy la eficiencia se requiere. Obviamente a magnitudy la importancia del problemm o ayu dará a elegir u na opción .

17.2 FóRMULASDE INTEGRACIóNEl m éto do de H eu n sin principio es característico de la m alos métodos de pasos n~últiples. mplea una fórmula de integ

FIGURA17.7 Ilustración de la diferencia fundamental entre el método de Newton-Co-tes y la fórmula de integración de Adams. a) Las fórmulas de Newton-Cotes usan una serie de puntos para obtener una aproximación a la in-tegral sobre un conjunto de segmentos. La aproximación se usa despuéspura proyectarse sobre el rango completo b ) Las fórmulas de Adamsusan una serie de puntos para obtener una integral aproximada con unsolo segmento. La aproximación se usa entonces para proyectarse so-bre este segmento.



MÉTODOS DEPASOSMúLTIPLES 589

(el método del punto medio) para calcular una aproximación inicial. Estepaso predictor requiere un punto previo. En seguida se aplica iterativa-mente una fórmula de integración cerrada (la regla trapezoidal) para me-

jorar la solución.Es obvio que una estrategia de mejoramiento sobre los métodos depasos múltiples podría ser la de usar fórmulas de integración de ordensuperior como predictores y correctores. Por ejemplo, podrían ser útilespara este propósito las fórmulas de Newton-Cotes de orden superior de-sarrolladas en el capítulo 13.

Antes de describir estos métodos, se revisan algunas de las fórmulasde integración más comunes sobre las cuales están basados. Como se men-ciona anteriormente, las primeras de éstas son las fórmulas de Newton-Cotes de orden superior. No obstante existe una segunda clase llamadasfórmulas de Adams que también se revisan y que seprefieren a menudo.Como muestra la figura 17.7, la diferencia fundamental entre las fórmu-las de Newton-Cotes y de Adams está relacionada con la manera comose aplica la integral para obtener la solución. Como se muestra en la figu-ra 17.7a,las fórmulas de Newton-Cotes calculan la integral sobre un in-tervalo generando varios puntos. Esta integrai se emplea para proyectardesde el principio hasta el final del intervalo. En contraste, las fórmulasde Adams (Fig. 17.7b)usan un conjunto de puntos de un intervalo paracalcular la integral solamente del último segmento en el intervalo. La in-tegral se usa después para proyectarse a través de este último segmento.

17.2.1Fórmulasde Newton-Cotes

Algunas de las fórmulas más comunes para resolver ecuaciones diferen-ciales ordinarias se basan en ajustar un polinomio de interpolación den-ésimo grado para n + 1puntos conocidos de y y después se usa estaecuación para calcular la integral. Como se analiza previamente en el ca-pítulo 13, las fórmulas de integración de Newton-Cotes se basan en esteesquema. Estas fórmulas son de dos tipos: abiertas y cerradas.

Fórmulasabiertas. Para n puntos igualmente espaciados, las fórmulasabiertas se pueden expresar en la forma de una solución de una EDO,

como se hizo anteriormente en la ecuación (17.10).La ecuación generalpara este propósito es

[17.22]

donde ,(x) es un polinomio de interpolación de n-ésimo orden. La eva-luación de la integral obtiene una fórmula de integración abierta de Newton-Cotes de n-ésimo orden. Por ejemplo si n = 1.



590 METODOSNUMÉRICOS PARAINGENIER

donde f, es una abreviación de f ( x i ,y,) , esto es, la ecuación diferenciaevaluada en x i y,. A la ecuación (17.23) se e llama método del p u nmedio y se usa previamente como el predictor del método de Heun siprincipio. Para n = 2,

3hYi + 1 = Yi-2 + 7j- fi + fi-1)

y para n = 3 ,

La ecuación (17.24) se muestra gráficamente en la figura 17 .8~1

Yi+l = Y¡-n+ l + I f"(XMXY + I

X i - n + l

[17.2

FIGURA17.8 Esquema de las fórmulas de integración cerrada de Newton-Cotes. a )Tercera fórmula abierta [Ec.(17.24)]Y b) regla de Simpson de 1/3 [Ec.(17.26)].



METODOS DEPASOS 591

donde la integral se aproxima mediante una órmula cerrada de Newton-Cotes(cuadro 13 .2 ). Por ejemplo,para n = 1:

hYi + l = Y¡+ 5 (fi + f i + l >

que es equivalente a la regla trapezoidal. Para n = 2:

h3~ + I= yi-1 + - f i -1 + 4fi + f i + l ) C17.261

la cual es equivalente a a regla de Simpson de 1/3. La ecuación (17.26)se muestra en la figura 17.8b.

1 7 . 2 . 2 Fórmulas de Adams

Elotro tipo de fórmulas de integración que se puede usar en la soluciónde E D 0son las fórmulas de Adams. Muchos algoritmos de pasos múlti-ples muy utilizados en computación que resuelven E D 0se basan en es-tas fórmulas.

Fórmulas abiertas (Adams-Bashforth). Las fórmulas de Adams se pue-den obtener de varias formas. Unmétodo es el de escribir una expansiónhacia adelante de la serie de Taylor alrededor del punto x i :

que se puede escribir como

[17.27]

Recuérdese de la sección 3.5.4 que se puede usar una diferencia haciaatrás para aproximar la derivada:

f; = -i - i-1 f I’h 2- + O(h2)

que se puede sustituir en la ecuación (17.27) para obtener

o , agrupando términos:

yi+l= y, + h($ i - fi-1) +&b 3 l‘ + O(h4) [17.28]



592- MÉTODOS NUMÉRICOSPARA NGENIEROS

A esta órmulase le llama segunda fórmulaabierta deAdams.LFórmulas abiertas de Ad am sson designadas también como fórmAdams-Bashforth.Por consiguientea la ecuación(17.28)algunas vese le llama segunda fórmula d e Adams-Bashforth.

Se pue den desarrollar fórmulas d e Adams-Bashforth de rior sustituyendo las derivadas de orden superior por aprola ecuación(17.27) .La fórmula abierta de A dam s de n-és imopuede representar porlo común como

n-1[17.2

Los coeficientesPkse muestran en el cua dro17.1 .La versión de corde n se mu estra en la figura17.9a.Nó tese que la primera versel m ét od o de Euler.

Fórmulas cerradas (Adams-Moulton).na expansión de laserie d e Talor alrededor dex i + se pu ed e escribir com o

yi = Y¡+] - h + l h+ -+* -f +1

L

Resolviendopara y j + seobtiene

l17.3

Se pu ed e usar una diferencia para aproxim ar la deriva da:

CUADRO17.1 Coeficientes y error de truncamiento en los predictores deAdams-Bashforth

Error local deOrden Po PI Pz P3 P4 P s truncamiento

1 1

4 55 59 37 92444 24

-

19 01 2 774 2616 1 274 251 475720 72020 72020 1440

4 277 72382 298 277 475 19 087 h7f(6

5

6

_ _ _ - 6f'"([)

_ _ -~ _ _ _72020 720 72020 720 60 480

-



MÉTODOS D E PASOSMÚLTIPLES 593

FIGURA17.9 Esquema de las fórmulas de integración de Adams abiertas y cerradas.u). Fórmula abierta de Adams-Bashforth de cuarto orden y b) fórmulacerrada de cuarto orden de Adams-Moulton.

f = _ _ _I + 1

f i + l - fi + &lh + O ( h 2 )

h 2que se sustituyeen a ecuación(17.30)para obtener:

Y, +]= y ; + h [i.,,

A esta fórmula se le llamaf ór m u l a cer r a d a d e A d a m s d e s eg u n d o o r d e no segu n d a ór m u l a d e A d a m s- M o u l t o n .Obsérvese también que ésta esla regla trapezoidal.




CUADRO 17.2 Coeficientes y error de truncamiento en los correctores deAdams-Moulton

2 1 12 2

-

3

4

5

5 812 129 19244251 64672020

- -

- -

Error local deP P 3 P4 PS truncamiento

112

1 112

- - 3P(5)

-- __ h 4 { f ' 3 ) ( ( )

- 5f'4'(5)9

72026406972020 720

- -.-.____ 7 , ,6f(5)(5)

1 AA0

6 475 1 427 798 482 173 27 863 h 7 f ( 6 , ( 5 )_ _ -

1 440 1 440 1 440 1 440 1 440 1 440 &I 80

~ ~-

L a fórmula cerrada de Adams se puede escribir generalmente como

n - 1

y + ] = yi + h P k f i i l - k + O(h"+')k = O

Los coeficientes & se listan en el cuadro 17.2.El método de cuarto or-den se muestra en la figura 17.9b.

17.3 MÉTODOSDEPASOS MúLTIPLESDE ORDENSUPERIORAhora que se han desarrollado formalmente las fórmulas de integraciónde Newton-Cotes y de Adams, podemos usarlas en la derivación de mé-todos de pasos múltiples de orden superior. Como en el caso del métodode Heun sin principio, las fórmulas de integración se aplican en fila comolos métodos de predictor-corrector. Además, si las fórmulas abiertas y cerradas tienen errores locales de truncamiento del mismo orden, entonceslos modificadores listados en la figura 17.3 se pueden incorporar en elmejoramiento de la exactitud y para permitir el control sobre los tamañosdel paso. En el recuadro 17.1 se proporcionan ecuaciones generales pa-ra estos modificadores. En la siguiente sección, se presentan dos de lo

RECUADRO17.1 Ob ten ción de las relaciones generales de los mod ificadores

La relación entre elvalorverdadero,a proximación, Va,orverdadero= + "& + I ~ ( ~ + I ) ( ~ ~ )y el errore un predictor se puedeepresentarene- %ralmente como [B17.1.1]



MÉTODOS D E 595

donde v c y 6, son el numerador y el denominador de laconstante del error de truncamiento del predictor de cual-quiera de los métodos abiertos de Newton-Cotes (cuadro13.4)o de los métodos de Adams-Bashforth (cuadro 17.1)y n es el orden.Se puede desarrollar una relación similar para el co-rrector

Valor verdadero = y;"+l - s,hJ c n + l y (n+l) 5,)

[B17.1.2]donde y 6, son el numerador y el denominador de laconstante del error de truncamiento para cualesquiera CO-

rrector de Newton-Cotes abierto (cuadro 13.2)O deAdams-Moulton (cuadro 17.2).Como se hizo en la deri-

vación de la ecuación (17.15),a ecuación (B17.1.1)epuede sustraer de la ecuación (B17.1.2)para obtener

[B17.1.3]Ahora dividiendo la ecuación entre v c + vp6J¿iP, multi-plicando el último término por 6,/6, y reordenando tér-minos se obtiene una aproximación del error local detruncamiento del corrector

Yl+l - YE1rlc + ' J P W S ,

O

E, =

Para el predictor modificador, la ecuación (B17.1.3)se puede resolver en el paso anterior mediante

que se puede sustituir en el término del error de la ecua-ción (B17.1.1)para obtener

[B17.1.5]Las ecuaciones (B17.1.4)y (B17.1.5)son versiones ge-nerales que se pueden usar para mejorar los algoritmosde pasos múltiples. Por ejemplo, el método de Milne tie-ne ? = 14,6, = 45,v c = l , y 6; = 90. Sustituyendoestos valores en las ecuaciones (B17.1.4)y en (B17.1.5)se obtienen las ecuaciones (17.33)y (17.34).Se puedendesarrollar modificadores sirnilares para otro par defórmulas abiertas y cerradas que tienen errores localesde truncamiento del mismo orden.

métodos de paso múltiple de orden superior más comunes: el métodode Milne y el método de Adams de cuarto orden.

17.3.1Método deMilne

El método de Milne es el método de pasos múltiples máscomún basadoen las fórmulas e integración de Newton-Cotes. Este usa la fórmula abiertade Newton-Cotes de tres puntos como predictor:

[17.31]

y la fórmula cerrada de Newton-Cotes de tres puntos (regla de Simpsonde 1/3) como corrector:

y{+1= yim_1 + gfi"-l + 4jy +f { ; ) [17.32]

Los modificadores predictor y corrector del método de Milne se pue-den desarrollar a partir de las fórmulas del recuadro 17 .1y loscoeficien-tes del error de los cuadros 13.2 y 13.4:

E, = % ( y ? - y?) [17.331




Y

EJEMPLO17.4Método de Milne

Enunciado del problema: utilicese el método de Milne para integrar y ' =4&.Y - 0.5 y desde x = 4 usando un tamaño de paso de 1. La condi-ción inicial en x = Oes y = 2. Debido a que se utiliza un método de pasomúltiple, se necesitan los puntos anteriores. En una aplicación verdaderase debe usar bun método de un paso tal como RKde cuarto orden paracalcular los puntos necesarios. En este ejemplo, se usa la solución analítica[recuérdese la Ec. (E16.5.1) del ejemplo 16.51 para calcular los

valores exactos e n xi-3 = - 3 , xi-2 = - , y xi"l = 1 de yi-3 = -

respectivamente.4.547 302 219, yi-2 = - .306 160 375 y yi-1 = - .392 995 325

Solución: el predictor [Ec. (17.31)] e emplea para calcular un valor enx = 1:y = -4.547 302 219 + 4[2(3) - 1.993 813 519 + 2(1.960 666 259)]

3= 6.022 723 13 € = 2.8%

Elcorrector [Ec. (17.32)J se emplea entonces para calcular

y: = -0.392 995 325 + 711.993 813 519 + 4(3) + 5.890 802 1-57

= 6.235 209 902 C , -0.66%

Este resultado se sustituye en la ecuación (17.32) para corregir iterativa-mente la aproximación. Este proceso converge a un valor corregido finalde 6.204 854 65 (E, = - 0.17%).

Este valor es más.exacto que la aproximación comparable de 6.360865 49 (E, = - 2. 68%) obtenido previamente con el método de Heunsin principio (ejemplos 17.1 al 17. 3). Los resultados en los pasos restantesson y (2) = 14.860 307 2 (E, - O . l l % ) ,y

(3)= 33.724 260 1 =

- 0.14%), y y (4) = 75.432 948 7 (E, = - 0.12%).

Corno en el ejemplo anterior, el método de Milne, en general, obtie-ne resultados de alta exactitud. Sin embargo, existen ciertos casos en loque ésta es baja. Antes de entrar en detalle en estos casos. se describiráotro método de pasos múltiples de orden superior, el método de Adamsde cuarto orden.



METODOSD EPASOSM ú LT I P L E S 597

17.3.2 Método de Adams de cuarto orden

Un método de pasos múltiples ampliamente usado basadoen las fórmu-las de integración de Adams utiliza la fórmula de cuarto orden deBashforth(cuadro 17.1) como predictor:

y?+*= y ? + h(zf "4 I - sf?4 I 1 + zf"'4 1-2 - zfF3) [17.35]

y la fórmula de cuarto orden de Adams-Moulton (cuadro7.2) como co-rrector:

y{+l y? + h (xfj-14 1+1 + Bf "4 I - Af "4 1-1 + 'f "4 1-2) [17.36]

Losmodificadores predictor corrector del método de Adams to orden se pueden desarrollar a partir de las fórmulas del recua17.1y los coeficientes de error de los cuadros17.1 y 17.2 para obtener:

[17.37]

[17.38]

EJEMPLO17.5Método de Adams de cuarto orden

Enunciado del problema: utilícese el método de Adams de cuartpara resolver el mismo problema del ejemplo17.4.

Solución: el predictor [Ec.(17.35)l e usa para calcularun valor enx = 1.

y ? = 2 + I ( E 3 - $1.993 813 519 + 1.960 666 259

- 9 2.649 382 908)24

= 6.002 716 92 E , = 3.1%

que es comparable peroun poco menos exacto que el resultado obtdoconel método de Milne. El corrector [Ec.(17.38)J e empleaparacalcular

y{ = 2 + l ( & .900 805 218 + E 3 - &1.993 813 519

+&1.960 666 259)

= 6.254 118 568 E , = -0.96%

que nuevamente es comparable peroun poco menos exacto que el resultado obtenido con el método de Milne. Este resultado se pue



598 MÉTODOSNUMÉRICOS PARAINGENfERO

tuiren la ecuación (17.38) para corregir iterativamente la aproximación.El proceso converge a un valor corregido final de 6.214 423 582 (E,

0.32%) el cual es un resultado exacto pero nuevamente algo inferior alobtenido con el método de Milne.

17.3.3 Estabilidad de los métodos de pasos múltiples

La gran exactitud mostrada por el método de Milneen losejemplos 17 .y 17.5 puede anticiparse con base en los términos del error de los predictores [Ec. (17 .33) y (17.37)] y a los de los correctores [Ec. (17.34)(17.38)]. Los coeficientes del método de Milne, 14/45 y 1/90, son mápequeños que para el método de Adams, 251/720 y 19/720. Adicionalmente, el método de Milne emplea algunas evaluaciones más de l

función para alcanzar estas altas exactitudes. Por los valores obtenidosestos resultados pueden llevar a la conclusión de que el método de Milnees superior y , por lo tanto, es preferible al método de Adams de cuartoorden. Aunque esta conclusión se cumple en la mayor parte de los csos, existen ejemplos en donde el método de Milne trabaja inadecuada-mente. Este comportamiento se muestra en el ejemplo siguiente.

EJEMPLO 17.6Estabilidad del método de Milne y del método de Adams de cuartoorden

Enunciado del problema: utilicese el método de Milne y el método de Adamde cuarto orden para resolver

dx

con la condición inicial de que y = 1 en x = O .Resuélvase la ecuaciónde x = O a x = 10 usando un tamaño de paso h = 0. 5. Nótese qula solución analítica es y = e "'.

Solución: los resultados, resumidos en la figura 17.10. indican problemascon el método de Milne. Un poco espués del arranque e locálculos, los errores empiezan a crecer y a oscilar en el signo. En t = 1el error relativo se ha inflado a 2 831% y el valor predecid0 mismo haempezado a oscilar en el signo.

En contraste, los resultados del método de Adams son mucho más cep-tables. Aunque el error también crece, lo hace de manera lenta. Adicionalmente, las diferencias n o deberían exhibir los cambios bruscos de signomostrados por el método de Milne.



MÉTODOS DEPASOS 599

FIG1J RA 17.10 Esquema de la inestabilidad del método de Milne.

AI comportamiento inaceptable manifestado en el ejemplo adel método de Milne se le llamainestabilidad. Aunque esto no siempreocurre,su posibilidad lleva a la conclusión de que el método dedebe evitarse. Poro tanto, normalmente se prefiere el método de Ade cuarto orden.

La inestabilidad del método de Milne se debe al corrector. Pguiente, sehan hecho intentos de rectificar este inconveniente dellando correctores estables. Una alternativa usada comúnmente queste esquema es elmétodo de Hamming, que usa el predictor de Milny un corrector estable:

. 9yT- y r p + 3h(f{;: +2fT- rlYi + l= 8

que tieneun error local de truncamiento

E, = &h5f4)(&)

El método de Hamming también incluye modificadores dela forma



600 MhODOS NUMERICOS PARAINGENIERO

Y

El lector puede obtener información adicional sobre este y los otros métodos de pasos múltiples en otras obras (Hamming, 1973; Lapidus y Seinfield, 1971).

PROBLEMAS

Cálculosa mano

17.1

17.2

17.3

17.4

17.5

Resuélvase el siguiente problema de valor inicial sobre el intervalox = 2x = 3:

dYd X

- 0.5,

Utilicese el método de Heun sin principio conun tamaño de paso de0.5y lacondiciones inicialesy(1.5)= 4.72367y y(2.0)= 3.678 79.térese conel crrector hastaE, = l . Nota:los resultados exactos obtenidos analíticasoy(2.5)= 2.865 05y y(3.0)= 2.23130.1 Calcúleseel error relativo porceE en los resultados.

Repítase el problema 17. 1 usando el método de Milne.[Nota: y(0.5)= 7.78O 1y y(1.0)= 6.065 31.)Itérese el corrector hasta queE, = 0.018.

Repítase el problema17.2pero conel método de Adams de cuarto(EE = 0.01 56).

Resuélvase el siguienteproblemaconvalor nicial desdex = 4 hastax = 5

dY Y-= - -

dx X

Utilícese un tamaño de paso de0.5y valores iniciales dey(2.5)= 1.2,y(3)=

y(3.5)= 0.857 142 857y y(4)= 0.75.Obténganse las soluciones usalmétodos siguientes:a ) método de Heun sin principio(es = 1%),b) métodoMilne(ES = 0.01 )y c ) método de Adams de cuarto orden(ES = 0.01 [Nota :Las respuestas exactas obtenidas analíticamente sony(4.5)= 0.666 667 y y(5) = 0.6.1Calcúlese el error relativo porcentual6" de los resultado

Resuélvase el siguiente problema de valor nicial desdey = O hastay = 0.

dv 2- = y x - ydx

Utilicese el método de Heun sin principio conun tamaño de paso de0.25.y(-0.25) = 1.277 355 170,empléeseun método RK de cuarto orden maño de pasol para predecir el valor nicial eny ( 0 ) .



MÉTODOSDEPASOS MúLTIPLES 60 1

17.6

17.7

17.8

17.9

Resuélvase elsiguienteproblema de valor nicial desdex = 1.5 ax = 2.5:

dYdx I + x

- Y-

Utilicese el método de Adams de cuarto orden. Empléeseu n tamaiío de pasode0.5 y el método RK de cuarto orden para predecirosvalores inicialesde arran-que siy(0) = 2 .

Repítase el problema 17 .6 usando el método de Milne

Determínese el predictor, el correctory losmodificadores del método de Adarde segundo orden. Empléese para resolver el problema 17 .1 .

Determínese el predictor, el correctory losmodificadores del método de Adarde tercer orden. Empléese para resolver el problema 17. 4.


17.10 Desarrólleseun programa legible al usuario sobre el método de Heun sin pio con modificadores basado en la sección 17 .1 .3 . Empléeseun método RKde cuarto orden para calcularlosvalores iniciales. Pruébeseel programa conelejemplo 17.3.

17.11 Utilícese el programa desarrollado en el problema 17. 10 para resolverma 17.5.

17.12 Desarrólleseun programa legible al usuario sobre el método de Milne deorden con modificadores. Empléese un método RK de cuarto orden plar los valores niciales. Pruébese el programa con el ejemplo 1 7.5 .

17.13 Utilícese el programa desarrollado enel problema 17. 12 para resolver el probma 17.6.





C A P í T U L OD I E C I O C H O

CASOSDE LAPARTEVI:ECUACIONES DIFERENCIALES ORDIN

El próposito de este capítulo s el de resolver algunasecuaciones diferciales ordinarias usandolos métodos numéricos presentados enloscapí

tulos16 y 17. Las ecuaciones se originan de aplicaciones pr6ingeniería. Muchas de estas aplicaciones generan ecuacioneles no lineales que no pueden resolverse usando métodos anlo tanto, comúnmente se necesitanosmétodos numéricos. En consecia, el uso delosmétodos de solución numérica de ecuacionesciales ordinarias es unahabilidadfundamentalquecaracterizaalbueningeniero. Los problemas de este capítulo ilustran algunos dtos de juicio asociados con varios de los métodos analizadosloscapítulos16 y 17.

En elcaso 18.1 se usa una ecuación diferencial para predecdencias de la venta de computadoras. Entre otrascosas, este ejemplo lcomo se ajustan datos aun parámetro deun modelo matemático. S eel métodoRK de cuarto orden en esta aplicación.

Elcaso 18.2 iene su origen en el contexto de los problemaniería química, que demuestra cómo escoger adecuadamenun tamañode pasoy cómo se puedenusar las ecuaciones diferenciales parel proceso de producción química. S e usa el método de Runsegundo orden para este ejemplo.

Loscasos18.3 y 18.4 tomados de la ingeniería civily eléctrica repectivamente, tratan de la solución deun sistema de ecuaciones. Eelcaso 18.3, e usa el método de Euler debido a que el problem

quiere de resultados con una gran exactitud. En elcaso 18.4, por el otrlado,se requiere de una exactitud alta,y por consiguiente, se usa eltodoRK de cuarto orden.

Finalmente, en elcaso 18.5 se emplea una variedad de métodferentes para investigar el comportamiento deun péndulo en oscilaciEste problema también usa dos ecuaciones simultáneas.Un aspectoim-portante de este ejem plo es el de ilustrar cómolosmétodos numéricpermiten la fácil incorporación de efectos no lineales dentrode ingenería.




CASO1 8 . 1 MODELOSMATEMÁTICOS PARAPROYECTOSDEVENTA DE COMPUTADORAS(INGENIERíAEN GENERAL)Antecedentes: las operacionesy las utilidades de una compañíade computadoras dependen mucho del conocimiento sobreel manejo del númde computadoras disponibles en el mercado enun tiempo cualquiera.Losmétodos de extrapolación analizados en el aso12.1han demostrado qno existe confiabilidadni exactitud. Se tiene, porlo tanto, que derivun modelo matemático que sea capaz de simulary predecir el númerde computadoras disponiblesen el mercado en función del tiempot . Sepuede desarrollar una ecuación diferencial para este propósito.

El departamento de mercadeo de la compañía ha determivés de la experienciay de observaciones empíricas, que las ventaradas de las computadoras se describen mediante.

Promediode venta(númerode computadoraso:

númerode computadorasen el mercadovendidaspor día) costo por computadora [18.11

Es decir, mientras más computadoras se muestren al público, de las mismas;y a mayor costo, menos ventas. Además,el costo de uncomputadora individual está relacionado con el número de crasenel mercado, [recuérdese la Eq .(15.1)]

N10 O00 + N

osto porcomputadora($) = 3 O00 - 1 750 [18.2]

dondeN es el número de computadoras.La razón de cambio a través del tiempo del número de com

ras restantes en el mercado es igual al registro del promedio d Ndt

- = - promedio de ventas [18.3)

donde el promedio de ventasse deriva combinando las ecuacione18.1)y (18.2):

N3 O00 - 1 750N/( 10 O00 + N)

Promedioeentas = k I18.41

dondek es una constante de proporcionalidad que tiene unidalares por tiempo. Sustituyendo la ecuación(18.4)en la ecuación(18.3)se obtiene

dN Ndt 3 O00 - 1 750N/( 0 O00 + N)

- k [18.5]



CASOSDELAPARTE VI:ECUA CIONES DIFERENCIALES ORDINARIOS 605

Las consideraciones de planeación requieren que se obtengtimación de cuánto tiempo permaneceránen el mercado50 O00 nuevascomputadoras.Enel cuadro12.1 se cuenta con algunos datos. Utilesta información para calcular el parámetrok . Después empléese el mtodo RK de cuarto orden para resolver la ecuación (18.5) det = Ohastat = 90.

Solución: el primer paso de este análisis será determinarun valor dek .Para hacerlo, se puede resolver la ecuación(18.5)

d N 3 x lo7 + 1 2 5 0 Nk = - -

d tN ( 1 0 O00 + N)

Con base en esta ecuación, se puede evaluark si tiene una aproximaca dN / dt. Esto se puedehacer con los datos del cuadro18.1, usandodiferencias divididas finitas para calculardN / dt , [recuérdese la secci3.5.41:

I=i+l - - 1

dt . 2At

Losresultados se muestran en el cuadro18.1 y se pueden usar para dterminarun valormedio dek = $49 .3 diarios.

Cuadro 18.1 Cálculos de k obtenidos de los da-tos de venta de computadoras. amedia de k es 49.3

td i a s N d N l d t k

O 50 O0010 35 O00 -9504.520 31 O00 -7500.630 20 O00 -600 55.040 19 O00 -397.58.850 12 050 -4007.860 1 1 O00

Ahora este valor se puede sustituir en la ecuación (18.5) padN Nd t 3 O00 - 1 750 [N/( 0 O00 + N ]

-49 .3

que se puede integrarusan¿oun método RK de cuarto orden con adición nicialN = 50 O00 y un tamaño de paso deun día. Obsérveseque se llevó a cabo la simulación usandoun tamaño de paso de0.5 días



606 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIE

FIGURA18.1 Gráfica del núme ro de computadorasN en el merca do contra el tiempot en días. Se usan tres simulaciones con un mod elo de e cuación diferen -cial ordinaria [Ec. (18.5)],se m uestran en el caso dond eN = 50 O00en t = O. Las tres simulaciones corresponde n a valores diferentes d el pa -rámetro k.

y se obtuvieron resultados casi idénticos, indicando quea exactitud al usun tamatio de paso de 1 .0 es aceptable.Losresultados se muestran la figura 18.1 junto con los datos.Así como sucede en a regresiónpuede calcular la suma de los cuadrados de los residuos para la calidaddel ajuste.El resultado es 2.85X lo7. Aunque al ajusparece ser satisfactorio, se llevan a cabo nuevamente los c6lcdo valores dek que sonf 0% del valor original de$49.3diarios. Usandlos valores dek de 59.2y 3 9 .4 se obtienen las sumas residuales cuadrados iguales a1.05x 10' y 5 .35x lo', respectivamente.Estas si-mulaciones también se muestran enla figura18.l .

En seguida se graficala suma de los cuadrados de losesiduoscontrak (Fig. 18.2)y se ajusta una parábola a través delospuntos usandounpolinomio de interpolación, Después se determinak , como la suma mnima de los cuadrados, derivando la ecuación de segundo orlándola a ceroy resolviendo parak . El valor resultante dek = $46.8diariosse sustituyeen a ecuación(18.5)y se obtiene

dN Ndt 3 O00 - 1 750[N/(10O00 + N ) ]

- = -46.8



FIGURA18.2 Gráficc de la suma de los cuadrados de los residuos (S,) contra los va-lores del paráme tro k del modelo. La curva es una parábola ajustadaa tres puntos. Elpunto d e pendiente cero de esta curva, representa unaaproximación del valor k ($46.8/día) que corresponde a un valor míni-mo de S

FIGURA18.3 Modelo de predicciones usando a ecuación (18.5)con k igual a $46.8/día.

607. - ..



608 MhODOS NUMÉRICOSPARANGENIEROS

Este modelo produce una suma de los cuadrados de los residua 2.24X lo7; e puede usar para os propósitos predictivos. dicciones se muestran en la figura18.3junto conlos datos iniciales.Losresultados ent = 55, 65 y 90 días son11 720, 9 383y 5 596, respectivamente. Esta información, que es superiora la obtenida mediante ate de curvas en el capitulo12,se puede usar en el manejo de tomdecisiones relacionadas con la venta de estas computadoras

CASO18.2 DISEÑO E U N REACTORPARA PRODUCCIóNFARMACÉUTICA(INGENIERíA QUíMICA)Antecedentes:los ingenieros químicos diseñan reactores para el c

poblacional de organismos microbianos (recuérdese el caso12.2).Lossubproductos del crecimiento pueden ser productos farmacéEn la figura18.4se muestra el esquema deun reactor que opera a bde flujo continuo.El flujo de entradacontiene pocos microorganismrivados, peroun alto contenido de nutrientes. Este flujo permael reactor por algún tiempo mientras que ocurre la reacción bioy después fluye hacia el exterior.El flujo de salida contiene una grantidad de nuevos microorganismos en crecimientoy una alta concentción de derivados del Crecimiento.Los nutrientes son más bajos qla entrada debido a su utilización microbiana.El contenido del reactomezcla vigorosamente de tal manera que la composición de lsaliday del tanque sean iguales.Si la proporción deflujoy el contenido de los nutrientes esonstanteel crecimiento de microorganismos se balancea por la pérdidnismos del tanquey se alcanza con el tiempo una densidad de poestable.Alintervalo de tiempo en quelos organismos se ajustan e inmentansu densidad se le llama periodo de inicio. La longitud ddo de inicio es importante debidoa que éste es tiempo perdidoue cuestadinero a la compañía.

Al investigador se le propone desarrollarun modelo matemático losmicrobios del reactor para predecir el periodo de rranqueEllaboratorio de investigaciones bioquímicas ha determinado quelos microorganismos crecen de acuerdo al modelo de crecimiento logísticoel caso 6.3):

Velocidad de crecimiento= K (pmAx p)p

dondep máx = 2 x 10 células por litro es la densidad microbianaximay K = 2 x litrosporcélulapordíaeselcoeficientede la velo-cidad de crecimiento.Se requiere calcular el periodo de inicio padondep ( t = O) = 100 000 célulaspor litro,el promedio de flujode enirada altanque Q = 100 I/día y el volumendel tanqueV = 700 I . El perio-



CASOS LAPARTEVI: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIOS 6 0 9

._ __-

FIGURA18.4 Representación esquemática de un reactor de fluio continuo con mezcla-do total empleado en el crecimiento de la población de organismos mi-crobianos.

do de inicio se define como el tiempo necesario para que la crezca a6 x lo5 células por litro. En este momento la produccimacéutica puede empezar.

Después de haber obtenidoun cálculo confiable, se necesita usmodelo para ayudar alosoperadores de la planta a decidir el númóptimo de células a usarse en el tiempot = O.Cuantos más organismoexistan ent = O ,más corto será el tiempo de inicio. Esto es impdebido a que cuesta a la compaiiía 1O00 dólares diarios si el tanque efuera de producción. Porlo tanto, existela ventaja de reducir el tiempde niciousandomásorganismosen t = O.

Por otro lado,los organismos nuevos sonmuycaros para comprarse. En la actualidad la compañía obtiene cepas deun laboratorio biológco conun costo de3 O00 dólares por100millones de células. Poro tanto,el costo de100 O00 células por litro usado en este an6lisls sería

Costo= 100 O00 células/1(7001) $3 O00100 x IO6células = $2 100

El costo de200 O00 células por litro seríael doble.Por consiguienteexis-ten ventajasy desventajas entre la reducción del periodo de arrayel costo de nuevos organismos.El trabajo consiste en usarun modelo queproporcione una guía alosoperadores de la planta relacionado co

número dealdeorganismosen el tiempot = O.Solución: primero se debe desarrollar la capacidad de simularde organismos en función del tiempo. Las consideraciones demasassugierenque

dPdt-

Acumulaciónrnicrobiana - crecimiento de pérdida de masaen el tanque - biomasa microbiana - microbiana al exterior

Sustituyendo ospardmetros en a ecuación(18.6)se obtiene:




- P = 2 X 10-~(2 lo6 - p)p - - p00dt 700

o, reordenando términos

_ _ _ = 0.257 14 p - 2 X p 2Pdt

Esta ecuación se puede resolver analíticamente, pero se usará un méto-do numérico para obtener la solución. Primero, se usa el método de Eulercon un tamaño de paso de n día para calcular los resultados mostradosen la figura 18.5. Se usa el método Euler para este propósito debido aque es muy fácil de programar y proporciona una estimación rápida delcomportamiento general de la solución. Como se puede ver,los microor-ganismos necesitan alrededor de 10 días para el periodo de inicio; en t =20 días han alcanzado una población casi estable. A este periodo establese le llama estado estacionario.

En base al resultado anterior, se decide llevar a cabo la simulaciónen un periodo de 20 días. También se decidió usar el método de Ralstono RK de segundo orden debido a su fácil programación y a su crecienteexactitud en el resto de los cálculos. En el cuadro 18.2 se muestran los

FIGURA18.5 Simulación del crecimiento microbiano en un proceso de produc ción quí-mica. Se usa el método de Euler en la simclación para hacer una evalua-ción rápida del comportamiento de la solución. Nótese que dentro de1O días se termina el periodo de inicio, y en 20 días el reactor ha alcan-za do casi el estado estacionario.



CASOS VI:ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIOS 61 1

CUADRO 18.2 Crecimiento microbiano simulado utilizando una ED0y el metodode Ralston RK de segundo orden. e muestran resultados para ta-maños de paso diferentes, así como a solucidn verdadera.

M6todo de Ralston RK de segundo ordent, Solucidndías h = 2 h = l h 0.5 ver-

dadera

O2468

1012

14161820

100O00157 389241 459356 983502 124664 649824 332

961 8641 068 2311 144 0481 195 245

100O00158 482244 265361 805508 550671 699831 161

968 5581 074 7451 1502001 200 719

100 O00158 810245 097363 218510 415673 738833 149

970 4191 076 4591 151 7231 207 002

100O00158 931245 403363 736511 095674 479833 867

9710801 0770501 152 2331 202 420

resultados para tamaños de paso de2 ,1 y 0.5días. Aunque el resultadanalítico exacto espoco factible en la mayor parte delosproblemas de apli-caciones verdaderas, se ha ncluido en el cuadro18.2 para propósitosde comparación. Obsérvese que todoslosresultados numéricos sonmuybuenos, aun con el tamaño depaso t = 2 - h se muestran errores de menodel5%. Si no se conoce la solución verdadera, la exactitud deloscálculosse puede apreciar comparandoosresultados obtenidos variando el tamdel paso. Por ejemplo, las diferencias entreos resultados deh = 1y 0.5ocurren en la tercera cifra significativa. En consecuencia no semás exactitud debido a que una mayor precisión no sería discerniblegráfica. Porlo tanto, se decide queh = 0.5 es adecuada para este propósi

Al usar este tamaño de pasoy el modelo de Ralston se realizan dsimulaciones adicionales con las condiciones iniciales de 200O00 y 400O00 células por litro. En la figura18.6 se muestran estos resultados,jun-to con el caso de100 O00 células por litro.Como era de esperarse, cuato más organismos se usen como base más se acortará el periodocomo se puede ver enlos resultados del cuadro18.3.Nótese que usan-do más organismos al incio, se reduce el costo de retardo de9 200 a 2500 dólares.Sin embargo, el costo de compra delos organismos aumen-ta de 2100 a 8 400 dólares.El costototal, mostrado en la figura18.7,sugiereun mínimo alrededor de 250O00 células por litro.El puntomíni-mo se puede aproximar ajustando una parábola alos tres puntos. Estafunción puede diferenciarse, igualarse la derivada a ceroy resolver paraencontrarun valor de264 O00 células por litro. Este nivel correspona un costo total de10 O00 dólares, quelepresenta el costo total másjo , tomando en cuenta tantoloscostos del periodo de inicio como delosorganismos semilla.



61 2 MÉTODOS NUMÉRICOSPARAINGENIERO

FIGURA18.6 Simulaciones delcrecimientomicrobialusando tres cond iciones inicialesdiferentes. Estos casos demu estran que, cuando se incrementa el núme-ro de organismos semilla, el period o de arran que se acorta.

FIGURA18.7 Gr áfic a de l costo contra el número de organismos semilla (estoes, n ú m e r ode organismos ent = O). Elhecho de quela curva sea plana sugiere que aunq ue existmínimo en264 O00célulaspor litro, este resultado es insensible relativamente ame ro de organismos semilla.



CASOS DEA VI: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIOS 613

Inconvenientes de costo en varios niveles iniciales de organism osempleados en un proceso químico de producción

CASO18.3

FIGURA18.8

Concentraciónosto de Tiempo de Costo po r Costo

inicial de compra de inicio retardo totalorganismos organismoscélulasllitro $ h $ $

100O00 2 100 9.2 9 200 11 300200 O00 4 200 6.0 6 O00 10 200400O00 8 400 2.5 2 500 10 900

~~ ~~ ~ ~

~

DEFLEXIÓN DELMÁSTILDE UNVELERO(INGENIERíA CIVIL)Antecedentes: en la figura 18.8 se muestra un velero similar al de los ca-sos 12.3y 15.3, con una fuerza uniforme f distribuida a lo largo del más-til. En este caso, los cables que soportan al mástil se han quitado, peroel mástil se monta firmemente en el casco del velero.

La fuerza del viento causa que el mástil se desvíe como se muestraen la figura 18.9. La desviación es similar a la de una viga en voladizo.Se puede usar la siguiente ecuación diferencial, basada en las leyes dela mecánica, para calcular la deflexión:

- (L - 2 *d2Yd z 2 2EI

[18.7]

Másti l del velero sujeto a una fuerza uniforme f.



614 METODOSNUMERICOSPARAINGENIERO

FIGURA18.9 Deflexióndel mástilsujeto a una uerz auniforme.

en donde E es el nódulo de elasticidad, L es la altura del mástil e I esel momento de inercia. En z = O y dy / dz = O. Calcúlese la deflexióne nel tope del mástil e n donde z = L usando métodos analíticos y numé-ricos. Supóngase que el casco no gira.

Solución: la ecuación (18.7) e puede resolver analíticamente para la de-

flexión en z = L:f L4y(z = L) = -8EI

[18.8]

Este problema incluye una ecuación diferencial que tiene una solucióncon características uniformes. Además, el intervalo de integración es re-lativamente corto y la desviación del mástil es pequeña. También los va-lores de f y E se basan en datos experimentales variables y difíciles demedir exactamente. Por lo tanto, parece satisfactorio usar un mBtodode bajo orden para resolver la ecuación diferencial. Só10se necesitará unvalor inicial, y probablemente se use un tamaño de paso pequeño in acu-mulación de errores de redondeo excesivos.

La ecuación (18.7) se puede escribir como un sistema de dos ecua-ciones de primer orden con una transformación de variables. Sea

dY- = udz

y , por lo tanto, la ecuación (18.7) se expresa como

[18.9]

dudz 2El”-

(L - 2)* [18.10]



CASOS LA PARTEVI: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIOS 615

Este par de ecuaciones diferenciales se puede resolver simult6usando el método de Euler.

Sin embargo, en primer lugar se puede obtener a solución anacomparación. Dada una carga uniformaf = 50 libras/pie,L = 30 pies,E = 1.5x lo8 ibras/pie2 eI = 0.06 pies4 la ecuación(18.8)se resuelvepara:

50(30)4y(30) = 8(1.5 x 108)0.06= 0.5 625 pies

En seguida se resuelven las ecuaciones(18.9)y (18.10)usando el método~ deEuler.Losresultadosdealgunospasosde ntegraciónson:

Tamaño de paso

Y(30) de Euler0.574 4 1.00.563 7 0.10.563 1 0.05

I Porlo tanto, la respuesta obtenida parece satisfactoria; a deflexióFIGURA18.10 til semuestranaigura 18.10.Gráfica de la deflexión Losresultadossepuedenusarparapropósitosdediseño. Estoes espe-del mástil de un velero cialmente valioso en casos donde la fuerza del vientono es constante sinode Euler.calculada con el método varía de una forma complicada en función de la altura sobre la cubi

velero.Elproblema18.13 proporcionaun ejemplo de estasituación.

CASO18.4 SIMULACIóNDEUNACORRIENTETRANSITORIAENU N CIRCUITOELÉCTRICO(INGENIERíAELÉCTRICA)

Antecedentes: sonmuycomunesloscircuitos eléctricos en donde la covaría con el tiempo en vez de mantenerse constante. Enelciclode adoderecho se establece una corriente transitoria del circuito mostrafi-

gura 18. l cuando el conmutador se cierra de repente.Las ecuaciones que describen el comportamiento transitoriode la figura18.11 e basan en las leyes de Kirchhoff, que dicen que algebraica de las caídas de voltaje alrededor deun ciclo cerrado es cero (cuérdese el caso6.4). Por lo tanto,

didt C

- + + R i + " € ( t ) = O r18.111

dondeL ( d i / d t )es la caída de voltaje a través del inductor,L es la inductan-cia (en henrios),R es la resistencia (en ohmios),q es la carga del capacito



6 1 6 MÉTODOS NUMÉRICOSPARAINGENIERO

E i t )a-. . " h

Conmu-'#* i *,. 1

tador

,, .

-

Batería 2 o , Capacitor , Inductor-

+ t

/ is .

Resistencia

FIGURA18.11 Circuito eléctrico donde a corriente varía con el tiempo.

(en coulombs),Ces la capacitancia (en faradios),E ( t )es la fuente de volt(en voltios)variablecon el tiempo,y

[18.12]

Las ecuaciones(18.11)y (18.12) son un pardeecuacionesdiferencialeslineales de primer orden que se pueden resolver analíticamente. plo,si E ( t ) = Eosen w t y R = 0 ,

-Eo w €0

U P 2 - w2)P L ( p 2 - w2)q( t ) = senp t + senwt [18.13]

en dondep = i/m os valoresde q y dq/dt son cero ent = O.Empléeseun método numérico para resolver las ecuaciones(18.11)y (18.12y compárenselos resultadoscon la ecuación (18.13).

Solución: este problema incluyeun intervalo de integraciónmásgrandeydemanda el uso de métodos de gran exactitud para resolver ecudi-ferenciales si seesperanbuenosresultados.Supongamosque L = 1 H,Eo = 1 V, C = 0.25 Cy W2= 3.5 s2. Estogenerap = 2 y lasoluciónanalíticade aecuación (1 8.13) viene a ser:

q( t ) = - 1.870 8 sen 2t + 2 sen(1.870 8 t )

Esta función se muestraen la figura 18.12. La naturaleza de cambdo de la función exige grandes requerimientos cualquier pronumérico para calcular( t ) . Además, debido a que la función exhipequefia variación de naturaleza periódicaasí comoun componente dvariación rápida, se necesitan periodosde integración grandes para de nuevola solución. Porlo tanto, se espera que sea preferidoun méto-do de orden superior en este problema.

No obstante, se pueden probarlosmétodos de Eulery Runge-Kutde cuarto ordeny compararlos resultados. Con el método de Euyusandoun tamaño de paso de 0 .1S en t = 10 S se obtieneun valor deq igual a-6.638 mientras que con el método de Runge-Kutta dorden se obtieneun valor de - . 9897 . Este resultado es comparaba la solución exacta,- . 996 C .



CASOS DE LA PARTE VI:CUACIONES DIFERENCIALES ORD INA RIO S 617

FIGURA18.12 Pantalla de la computadora mostrando la gráfica de una función [Ec. (18.13)].

La figura 18.13muestra los resultados de la integración de Euler cada1 O S comparada con la solución exacta. Nótese que se grafica sólo cadadécima de punto en la salida. Se puede ver que el error global aumentaa medida que t aumenta. Este comportamiento divergente se intensifica amedida que t tiende a infinito.

FiGURA18.13 Resultados de la integración de Euler contra la solución exacta. Nótese que se grafi-c a sólo cada décima de punto.

. . . . . ..~. . _ ~ _ - ~.




CASO18.5

W

FIGURA18.14Diagrama de cuerpolibre del péndulooscilante mostrandolas fuerzas sobre lapartícula y laaceleración.

ELPÉNDULOOSCILANTE(INGENIERíA MECÁNICA)Antecedentes: en la ingeniería mecánica (así como en las otras ingenie-rías) a menudo se enfrentan problemas relacionados con el movimientoperiódico de cuerpos libres (recuérdese el caso 6.5).Los métodos de in-geniería requieren fundamentalmente que se conozca de la posición y lavelocidad del cuerpo en función del tiempo. Estas funciones del tiempoinvariablemente son ecuaciones diferenciales ordinarias. Las ecuacionesdiferenciales, en general, se basan en la segunda ley de Newton del mo-vimiento.

Como ejemplo, considérese el péndulo simple mostrado previamen-te en la figura VI. . La partícula de peso W se suspende de un hilo depeso despreciable, de longitud l . Las únicas fuerzas que actúan sobre la

partícula son un peso y la tensión R del hilo. La posición de la partículaen cualquier tiempo se especifica completamente en términos del ángulo0 y 1.

El diagrama de cuerpo libre de la figura 18.14 muestra las fuerzasque actúan sobre la partícula así como su aceleración. Es conveniente apli-car la segunda ley de Newton del movimiento en la dirección x, tangentea la trayectoria de la partícula:

F = - W s e n o= - a9

donde g es la constante gravitacional (32.3pies/s2) y a es la aceleraciónen la dirección x. La aceleración angular de la partícula a ) s

Por lo tanto, en coordenadas polares a = d 2 d / d t 2 ) ,

O

d 2 e g- -sen6 = Odf2 1 [18.14]

Esta ecuación aparentemente simple es una ecuación diferencial no linealde segundo orden, Engeneral, tales ecuaciones son difíciles o hasta imposi-bles d e resolver analíticamente. Existen dos alternativas relacionadas conel avance en la solución de este problema. Primero, la ecuación diferen-cial se puede reducir a una forma de esolver analíticamente (recuérdesela sección (VI . l .1). O se puede usar un método numérico para resol-ver la ecuación diferencial directamente. Se examinan ambas alternati-vas en este ejemplo.



CASOSDELAARTE VI: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIOS 619

Solución: de acuerdo al primer método, se puede verque la expansión dela serie Taylor del sen 8 está dada por

o3 o5 07seno=o- -+- . "3 5 7 +

* * * [18.15]

Para pequeños desplazamientos angulares, sen 6 es aproximadamente iguala 8 cuando se expresa en radianes. Por lo tanto, para desplazamientos pe-queños la ecuación (18.14)se convierte en:

d20 g- + - o = odt2 I

E18.161

que es una ecuación diferencial lineal de segundo orden. Esta aproxima-ción es muy importante debido a que la ecuación (18.16)es muy fácil deresolver analíticamente. L a solución, basada en la teoría de las ecuacionesdiferenciales, esta dada por:

o(t ) = eocos 4 [18.17]

donde es el desplazamiento en t = Oy en donde se supone que la ve-locidad (u = dO/dt) de la partícula es cero en t = O.Al tiempo necesariopara que la partícula complete un ciclo de oscilación se le llama periodo yestá dado por

FIGURA18.15 Gráfica del desplazamiento (e) la velocidad (d8/dt) en función del tiempo (t), colcu-lada de la ecuación (18.17).eoes n /4y la longitud es de 2 pies.

I.._ I_ . , .. . - . . _ _




En la figura18.15 se mu estra una gráfica del desplazam ient(O)yla velocidad(de/&) en función del tiempo , com o se calcula e n ción (18.17) con Bo = 7r/4 y 1 = 2 pies.El periodo, calculado con ecuación(18.17) es 1.565 9 s.

Los cálculos anterioresen esencia son una solución completa demiento dela partícula. Sin embargo tambiénse debe considerar la exactde los resultados debido ala suposición inherente en la ecuación(18.16).Adem ás, para evaluarla exactitud, es necesario obtener una solucmérica de la ecuación(18.14) quees una representación física más pleta del movimiento.Se puede usar cualquiera delos métodos analizaden los capítulos16 y 17 para este propósito, por ejemplo,los métodos dEulery RKde cu arto orden. La ecuación(18.16) % debe transformar dos ecuaciones de primer orden compatibles conlos métodos anterioreEsto se lleva a cabo como sigue. La velocidadu se define como

dOdt- = u

y , por lo tanto la ecuación(18.14) e pue de expresar com o

[18.181

[18.19]

Las ecuaciones(18.18)Y (18.19) on un par de ecuaciones diferenordinarias simultáneas. Enel cuadro18.4 se muestranlos resultados gen

rados conla solución numérica porel mé todo de Eulery el métodoRK

CUADRO 18.4 Comparación de la solución analitica lineal del péndulo oscilante contres soluciones numéricas no lineales

Soluciones no lineales

Soluciónanalitica

Tiempo lineal Euler RK de cuarto RK de cuarto(h=0.05) orden orden

(h=0.05) (h=0.0 1)S ( 4 (b) ( 4 ( 4

0.0 0.785 398 0.785 398 0.785 398 0.785 3980.2 0.545 784 0.615 453 0.566 582 0.566 5790.4 -0.026 852 0.050 228 0.021895 0.021 8820.6 "0 .05 8 3104 -0.639 652 -0.535 802 -0.535 8200.8 -0.783 562 -1.050 679 -0.784 236 -0.784 2421 o -0.505 912 -0.940 622 -0.595 598 -0.595 5831.2 0.080 431 -0.299 819 -0.065 611 -0.065 5751.4 0.617 698 0.621 700 0.503 352 0.503 3921.6 0.778 062 1.316 795 0.780 762 0.780 777



CASOS VI:ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIOS 62 1

CUADRO 18.5

de cuarto orden. En el cuadro18.4 se compara la solución analítica de lecuación lineal del movimiento [Ec.(18.17)] n a columnaa) con la solu-ciónnuméricaen ascolumnas b), c) y d) .

Losmétodos de Eulery RKde cuarto orden generan resultados rentesy ambos divergen de la solución analítica, aunque el métde cuarto orden parael caso no lineal se acerca más a la solución ca que el de Euler. Para evaluar propiamente la diferencia entrlosmo-delos linealy no lineal es importante determinar la exactitud deosresultadosnuméricos. Esto se lleva a cabo de tres formas diferentes. Primlución numérica de Euler se reconoce fácilmente ya que es inadebido a sus inconvenientes en la condición inicial ent = 0.8s . Esto vio-la claramente la ley de la conservación de la energía. Segundlumnasc) y d ) delcuadro 18.4 muestran asolucióndel métododeRunge-Kutta de cuarto orden con tamaños de paso de.05y 0.01. Debi-do a que estos varían en el cuarto lugar decimal, es razonableque la solución conun tamaño de paso de0.01 también será exacta coeste grado de certeza. Tercero , para el caso conun tamaño de paso de0.01S , 6 lcanzaun valor local máximo de0.785 385 en t = 1.63S (queno se muestra en el cuadro18.4).Esto indica que la partícula regressu posición original con una exactitud de cuatro cifras conun periodo de1.63s. Estas consideraciones permiten tener la seguridad que lacia entre las columnasa) y d ) del cuadro18.4 representan realmente ldiferencia entre el modelo linealy no lineal.

Otra manera de caracterizar la diferencia entreel modelo linealy nolineal es en base al periodo. En el cuadro18.5se muestra el periodo doscilación calculado con los modelos linealy no lineal para tres valorediferentes iniciales del desplazamiento.e ve quelosperiodos calculadocasi son iguales cuando0 es pequeño debida a que0 es una buena apro-ximación para sen0 en la ecuación(18.15).Esta aproximación se detriora a medida que6 crece.

Estosanálisis son comunes enloscasos en que rutinariamente se cuentraun ingeniero. La utilidad delos métodos numéricos viene a sparticularmente significativa cuando se trata de problemas no lymuchos problemas de la vida real son no lineales.

Comparación del perio do de un cuerpo o scilante calculado de losmodelos l ineal y no lineal

Periodo, S~

Desplazamiento Modelo l ineal Modelo no linealinicial ( I 2 7 r J / / g ) [solución numérica de la6 0 ecuación (1 8.14)]

a/l6a/4

1.565 9 1.571.5659 1.631.5659 1.85

~~~~~ ~ ~~



622 METODOS NUMÉRICOSPARAINGENIER

PROBLEMASlngeniería en general

18.1 Repítaseloscálculos realizados en el caso 18 .1 usandolosprogramas propio

18.2 Efectúense losmismos cálculos del caso 18. 1 usandok = $60/día.

18.3 Efectuénselosmismos cálculos del caso 1 8 .1 con una nueva ecuacióde las computadoras [reemplácese la Ec . (1 8. 2) ]:

Costo por computadora individual($) = 1 500( I + e - 44 x 1 0 - 5 N1

18.4 Repítase el problema delparacaidista (ejemplo 1 .2 ), pero con una uetuando hacia arriba debida a la fuerza de rozamientoque es proporcional avelocidadal cuadrado:

F, = -cu2dondec = 2.4g/cm. Grafíquenselosresultadosy compárense conlos del ejemplo 1.1.


18.5 Repítanseloscálculos del caso 18.2 usandolosprogramaspropios

18.6 Efectúenselosmismoscdlculosdel caso 18 .2 peroparaelcasoenque p ( t = 0)= 50 O00 célulaspor itro.

18.7 Efectúenselos mismos cálculos del caso 18.2, pero parap ( t = 0) = 100 O00células por litroy k = 3 X litros por célula or día.

18.8 Enel caso 12 .2 se desarrollala ecuación (1 2. 5) paramodelar el crecimiede la levadura empleada en la producción comercial de cerveza.Si el decaimiento de la levadura es proporcional a0.8 p y si la proporción de cambif se describe como

df dPt dt

- - _

resuélvase paray p en función del tiempo sif(0) = 100 y p ( 0 ) = 1. Intégresel par de ED0 hasta quep y f alcancen niveles estables. Grafíquenselos re-sultados

18.9 Un balance de masa de una sustancia química enu n reactor mezclada comtamente, se puede escribir como

velocidad de flujodeAcumulación= alimentación- - reacciónsalida



CASOS VI:ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIOS 623

dondeV es el volumen(10 m3),c es la concentración,F es la alimentaci(200 g./min),Q es a velocidad de flujo ( 1 m3/m in),y K es la velocidad reacción (0.1 m3/g/min).Si c(0)= O,Resuélvase la ED0 hasta que lacentración alcance un nivel estable. Grafíquenselos resultados.

18.10 Repítase el problema usando el método de disparo.

Ingeniería civil

18.11 Repítanselos cálculos del caso 18.3 usandolospropios programas.

18.12 Efectúenselosmismos cálculos del caso 18.3 , pero con una carga un80 libras/piey unaE = 2 x lo8 ibras/pie2. Verifíquenselos resultados comparándolos con la solución analítica.

18.13 Efectuénselos mismos cálculos del caso 18 .3 , pero en vez de usar udel viento constante, utilícese una fuerza que varíe con la altura d(recuérdese el caso 15.3):

. (x) = 200- -22/30

5 + 2Grafíquesey contraz compárense conlos resultados conlos del caso 18.3

18.14 Duplíquese la figura6.4 ntegrando numéricamente la E D 0 del caso 6.quenselosresultados comparándolos conlos de la soluci6n analítica [Ec.

18.15 El modelo de crecimiento logístico del caso6.3se puede aplicar tanto a lablación microbial como a la humana. Supóngase que se planeaun sistema dabastecimiento de agua para una sla.Si pmlx = 100O00 personas yK =

personas. añoy si la población inicial es de10 O00 personas, ¿qué tiePO pasará para que la población llegue a90 O00 habitantes?


18.16 Repítanseloscálculos del caso 18.4 usandolosprogramaspropios

18.17 Efectúenselos mismos cálculos del caso 18.4, pero conR = 203 .

18.18 Resuélvase la E D 0 del caso6.4 usandolos métodos numéricossi q = 0.1 ei = - 3 . 2 8 1 5 i 5 ent = O.

18.19 En un circuitoRL simple, la ley delosvoltajes de Kirchhoff requiere que(si secumple la ey de Ohm ):

didt

- + Ri = O

donde i es la corriente,L la inductanciay R la resistencia. Resuélvase i , si L = R = 1 e ¡ (O) = amperios. Resuélvase este problema anmentey con un método numérico.




18.20 En contraste con el problema 1 8 .9 , las resistencias reales no siemla ley de Ohm. Por ejemplo, la caída de voltaje puede ser no linealy la dinámicdel circuito descrita por relaciones del tipo

donde todoslosparám etros son iguales alos definidos en el problema 1e I es una corriente de referencia igual a1. Resuélvase parai en función detiempo bajo las mismas condiciones especificadas en el problem


18.21 Repítanseloscálculos realizados en el caso 18 .5 usando los program

18.22 Efectúenselos mismos cálculos del caso 18.5 conun péndulo de3 pies delongitud.

18.23 Empléeseun método numérico para duplicarloscálculos mostrados en la fig6.10.

18.24 La tasa deenfriamientode un cuerpo se puede expresar como

dondeT es la temperatura del cuerpo (en grados centígrados),T, s la temperatura del medio que rodea al cuerpo (también en grados centígray k esuna constante de proporcionalidad (por minuto). Porlo tanto, esta ecuación

pecifica que el enfriamiento es proporcional a la diferencia de temptre el cuerpoy el medio quelo rodea.Si se calienta una bola de metal a90°Cy se sumergeen el agua que se mantiene a una emperatura consTo= 20" C , empléeseun método numérico para calcular el tiempo que a la bolaenfriarse a30" C si k = O.1 min

18.25 Léanse todos los casos del capítulo18. Con base a la lecturay a la experienciinvéntese un caso propio en cualquiera deoscampos dela ingeniería.Estopuedeimplicar a modificacióno la reexpresión de alguno delos casos.No obstanteéste puede ser totalmente original. Como sucede en los ejemplos debe elaborar dentro del contexto de la solución de problemas de lay se debe demostrar elusode los métodos numéricos en la solución de Escríbanse los resultados usando os casos de este libro com o mo



EPíLOGO: V1.4 ELEMENTOS DEJUICIOPARTEVi En la tabla V1.3se muestran los factores de ma-

yor importancia asociados conlos métodos numé-ricos en la solución de ecuaciones diferencialeordinarias. U n ingeniero de be evaluarlos facto-res de esta tabla cu and o seleccione un m étodo para cad a uno delos problemas en particular.

Se pueden emplearlos métodos simples de auto-principio tales como el método de Euler,s i los re-quisitos del problem a com pren den intervalos dintegración peq ueños. En este cas o, se pue de obtener la exactitud adecuad a em plean do ntervalopa ra evitar grandes errores de truncamiento, yloserrores de red ondeo serán aceptables.Elmétodode Euler también es ap rop iado en casos don de modelo matem ático tenga un nivel inherentemenalto de incertidumbreo tenga coeficientes y fun-ciones forza das con errores significativos, compue de suceder duran te las mediciones de un proceso . En este caso la exactitud del mode lo mismsimplemente no justifica el esfuerzo ap lica do en em pleo de un método numérico más com plicadFinalmente,los métodos más simples pue den serlos mejores cuando el problemao la simulaciónse necesiten llevara cabo sólo pocas veces. Enestas aplicaciones tal vez sea m ejor prob ar un método simple que sea fácil de p rog ram ar y de entender, a pesardeque el método pu eda serinefibente en cuantoal trabajo de cómputo, y con-suma mucho tiempo pa ra correrse en un a computadora.

Si el intervalo de integración del pro blem a es demasiado grande detal forma que comprenda ungran número d e pasos (más de1 000),entoncespuede resultar necesario y ap rop iado usar un métod o más exacto que el de Euler.Losmétodos deRunge-Kutta de cuarto orden yel de Adams decuarto orden son comunesy confiables en muchosprob lem as de ngeniería. En estos casos, es aconsejable calcular el error de truncamiento en ca dpaso como una guiaen l a selección del m ejor ta-maño de paso.



5 5 5 5O

Z Z Z Zo 0 0

7

- .-u u

'U UL L L L

Y

S SO

z z0

oO3S

C

xC

x



EPiLOGOPARTEVI 627

Esto se puede llevar a cabo con losmétodos de cuarto orden de Adamso de Runge-Kutta-Fehlberg. Si loserrores de truncamiento son extre-madamente pequeños, puede ser útil aumentar el tamaño del inter-

valo, con lo cual se ahorra tiempo de cómputo. Por otro lado, si loserrores de truncamiento son muy grandes, el tamaño del intervalo sedebe disminuir para evitar acumulamiento de errores. Elmétodo deMilne se debe evitar si se esperan problemas cuya estabilidad sea sig-nificativa. Elmétodo de Runge-Kutta es simple de programar y con-veniente en su uso pero puede ser menos eficiente que los métodosde pasos múltiples. Sin embargo, el método de Runge-Kutta se em-plea generalmente en cualquier evento para obtener valores inicia-les en los métodos de pasos múltiples.

Si se necesitan respuestas extremadamente exactas o s i la función tie-ne derivadas de orden superior, se podrán usar el método de But-cher de Runge-Kutta de quinto orden.

Un gran número de problemas de ingeniería pueden caer en un in-tervalo medio de requisitos entre la integración y la exactitud. En es-tos casos los métodos de Heun sin principio y el método de Runge-Kuttade segundo orden son simples de usarse y son relativamente eficien-tes y exactos.

V I S RELACIONESY FóRMULAS IMPORTANTES

En el cuadro V1.4 se resumen las fórmulas importantes se presenta-ron en la parte VI,y puede consultarse para un acceso rápido a lasrelaciones y fórmulas importantes.

V1.6 MÉTODOSAVANZADOSY ALGUNAS REFERENCIAS ADICIONALESAunque se han revisado una gran cantidad de métodos en la solu-ción de ecuaciones diferenciales ordinarias, existe información adi-

cional que es muy importante en la práctica de la ingeniería. Eltemade estabilidad se introdujo en la sección 17.3.3;es de importanciafundamental en todos los métodos de solución de DO.Se pueden en-contrar anállsis más detallados acerca de este asunto en Carnahan,Luther y Wilkes ( 1969), Gear ( 1971)y Hildebrand ( 1974).

La estabilidad tiene un significado especial sobre un tema menciona-do brevemente en la sección 17.1.5 y en el caso 18.4, la solución deecuaciones rigidas. Estas ecuaciones contienen componentes con va-



MÉTODOSNUMÉRICOSPARAINGENIEROS

**"

-+

.--o

O

EO

- +L

+u I I2?L

Uo .&



EPíLOGO VI 6 2 9

riaciones lentas y ráp idas. Aun que el empleo d e un método con maño de paso variable de orden superior puede ayudaren algunasocasiones, en general se necesitan métodos especiales para la solción adecuada de ecuaciones rígidas. Se puede consultar Enright al. (1975),G e a r (1971)y Shampine y G e a r(1979))os cuales inclu-yen nformación adicio nal relacio nad a con estos métodos.

En la sección16.4.2se introdujo el mé todo d e d isparo en la solucióde problema s con valoresa la frontera. También se aludióal hechode quelos métodos de diferencias finitas del tipo utilizado en el cas9.2 se pue den emplear en estos proble ma s. Se pue de consultar Isaason y Keller(1966),Keller(1968),N a (1979)y Scott y W aits(1976)parauna nformaciónadicional sobre problemasde valoresa afrontera.

Finalmente, existen métodos númericos pa ra la solución de ecuaciondiferenciales parciales. Carnahan, Luther y Wilkes(1969),Gerald yWheatley(1984)y Rice(1983)proporcionan buenas introduccionesaltema. Se pueden consultar también Ames(1977))Gladwelly Wait (1979))Vichnevetsky,1981, 1982)y Zienkiewicz(1971)para tratamientos masprofundos.

En resumen,lo anterior pretende prop orcion ar al lector un caminpara que p ueda seguir con estudios más profundos sobre el tema.Adi-cionalmente, todas las referencias anteriores proporcionan descriciones delos métodos básicos cubiertos en la pa rte VI. Sugerimos lector consultelo más pro nto posible estas referencias alternas pa racompletar el dominio delos métodos numéricos en la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias.



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INDIC

Ábaco, 22-23

Ajuste de curvas:con datos gualmente espaciados, 368-369elementos de uicio en el, 409-411interpolaciónsegmentaria(spline)en el,

métodos avanzados para el, 411-413NUMERICOMP, 329-331. 366-368polinomio:

370-383

deNewtonen el, 350-364deLagrangeen el, 363-368

linealen el, 319-337múltipleen el, 342-344polinomialen el, 337-341

regresión:

resumen de fórmulas para el, 412WdasetarnbidnInterpolación;Regresión)

de bisección, 124de corrección de errores para la eliminación

gaussiana, 252

de diferencia de cocientes (DC), 201definición de, 25

diserio de, 25-26deeliminacióngaussianasimple, 227-231de ntegración de Romberg, 470-472de nterpolación cúbica segmentaria (spline),

para nversióndematrices. 268delmétodo:

Algoritmo(s):

383

de Heun, 549de Gauss-Seidel, 274

mejorado del polígono, 549de los métodos de Runge-Kutta, 563deregresiónpolinomial, 341-342de areglade Simpson, 452

desistemasde EDO, 565de suma simple, 26

Almacenamiento, 45AnSlisis:

dedirección, 309, 387-391, 604.607estructural, 287-291, 296-297devibraciones (uéase Oscilador armónico)

Aproximaciónfuncional, 413

Balance de masas, 297, 520, 624

BASIC:

definicidn de, 29tabla de comparación con FORTRAN, 32-40(udase tarnbidn programas bajo Computadora)

Búsqueda ncremental, 124, 139-140

CSlculos de estímulo-respuesta, 205-206,266-267

Casos:el método de RK de cuarto orden, 605-607,

616-621el método de RK de segundo orden de Ralsto

610-611Cifrassignificativas, 64-66, 74-77

Circuitos ntegrados, 22

Código, 27Coeficiente(s):

criteriosde erminaci6n (€ I , 70-71

decorrelación ( r ) ,328, 337dedeterminaci6n( 326, 338indeterminados, método de, 475-476de variación, 312, 390

definiciónde una, 22

grandes, 24grbficadpor, 54-56

programas:

Computadora(s):

para a eliminación gaussiana simple, 232-23para Heun sin principio, 583-584para a mplementaci6n de a cuadratura

para teracióndepuntofijo, 151iterativo para a mplementación del método

gaussiana, 482-483

deHeun, 549

de bisección, 130de Euler, 537-538

Ralston, 563

para el método:

para los métodos de RK de segundo orden de

para pivote0 parcial. 246paraelpolinomiode nterpolacióndeNewton,

360-361para el problema del paracaidista:

versión egiblealusuario, 51versiónsimple, 49

440-441para a regla trapezoidal de segmentos múltiples,



636 íNDlCE

para regresiónlineal, 328-329pollnomial, 341

para sistemas tridiagonales, 253para suma simple, 30

de los determinantes, 241-243de la matriz inversa, 267-268de la regresión polinomial. 342, 411

ecuaciones algebraicas linealcs para la ley de.

EDO, 518, 522

Condicionamiento malo, 221, 238-243

Conservación de masa

296

Constante de integración. 521Convergencia:

de la iteración de punto fljo, 147-151del método.

de Heun, 544, 545

deNewton-Raphson. 154-157sin principio, 583

de la regla falsa. 139

272-273para el método de Gauss-Seidel. criterlos de.

Corrección de errores, 249-252 , 468-469,

Corrector modificador, 581 -58 2, 594-59 7Corriente raíz cuadrada media (R CM), 399-401,

Criterios de terminaclón ( E ’ ) ,70-71

579-580

496-499

corrector de Heun. 542integración de Romberg. 472iteración de punto fijo 146método:

de bisecclón, 127-130deNewton-Raphson, 154de la regla falsa, 136-137

Cuadratura (véase Integración)

Cuadratura gaussiana, 474-484analisis del errorpara la , 478-479cambio de variables en la. 484-485caso, 497-498fórmulas de Gauss-Legendre para la, 475-484método de coeficientes indeterminados para la,

475-476

Descomposición LU (método de Choleskyi, 306Desviación estandar. 311-314Determinantes, 222-223

c6lculo de, 223-224. 243de sistemas mal condicionados, 241-243

Diagonal dominante, 273Diagramas de flulo

para el caso simple del problema delparacaidista, 47

definición de los, 26para integración:

desigualmente espaclada, 459de Romberg, 473

de Gauss-Jordan, 263

símbolos usados en los, 28de Gauss-Seidel, 275

para la suma simple, 28para la versión de segmentos múltiples de la

para el método:

regla de Simpson. 453Diferenciación numérica. 16. 8 7 ~ 9 3

sensibilidad de los datos al ruldo en la. 489

Diferencias divididasfinitas, 16. 86-95caso, 282-287, 490-491Interpolación igualmente espaciada con

método de la secante con, 159polinomios de Newton con, 350, 352-361

192-193, 392-395, 608-612

368-369

DinBmica del crecimlento demográfico. 180-182,

Disco flexible, 45Distribución normal, 313Dtvergencla (uéase Convergencia)Documentac ión, 43-46. 52

Economía, 59. 172.176, 189-190, 404-405Economización de Chebyshev. 413Ecuaciónies)

algebraicas (véase Sistemas de ecuaciones

diferenciales:algebraicas lineales;

ordinarias (EDO)

de cuarto orden de Adams, 59 7~ 60 0definidas, 515elementos de J U I C I Oen las. 625~627estabilidad de las. 627linealización de las. 517 518método(s):

avanzados para la soluclón de las.

de Euler para la solución de las. 528-540de Hamming, 600de Heun. 541-547. 549-550

de RK-Fehlberg para la solución de las.

de Runge-Kutta para la soluclón de las.

618-628

sin principio, 574-587

563

550-563. 565-566de Milne. 595-600NUMERICOMP. 540orden de las, 515polígono mejorado, 547-550problemas

con valores a la frontera en las, 282-287.

con valor nicial, 522522, 566-570. 627-628

reducaón de órdenes superiores. 516resumen de fórmulas de las. 628&idas, 627sistemas de, 564-567

algoritmo para la computadora sobre,

usando el método de Euler, 564usando métodos de two, 567-570usando RK de cuarto orden. 566-567

565

solución analítica de las. 519 S23

defimdas, 515distribución de la temperatura usando,

283-287de Hazen-Wllliam, 404de Laplace, 282-283normales:

parciales (EDP), 29

de la regresiónlineal, 324

polinominal, 338múltiple, 344

del promedio de creclmiento e n la saturaclón.304



INDICE 637

caso, 392-395raíces de (uéose Raíces de ecuaciones)rígidas. 585s1mult6neas (uéose Sistemas de ecuaciones

de Van der Waals, 177-178, 190-191algebraicas lineales no lineales, 306

ordinarias):rígidas, 627

comprendidos dentro del ajuste de curvas,

comprendidos dentro de las ecuaciones

comprendidos dentro de las ecuaciones

ED0 (uéose Ecuaciones diferenciales

Elementos de juic~o, 101-106

409-411

algebraicas ineales, 301-304

diferenciales ordinarias, 627comprendidos dentro de la integración,

509-511comprendidos dentro de las raíces de

ecuaciones, 113Eliminación:

gaussiana:caso de la, 293, 294desventajas de la, 236-243efecto de loserrores de redondeo en la.

escalamiento en la, 240-243, 246-248evaluación del determinante. 243

237-238, 250-251

formulación para sistemas tridiagonales,

NUMERICOMP. 234-236253-254

programa de computadora para la, 232-233simple, 227-233sistemas mal condicionados y, 238-243

de incógnltas, 225-227

en el momento de la ejecución. 42por equivocación, 95-96

global de truncamiento e n las EDO, 531loca de truncamiento:

Error(es)

en asEDO, 531, 579-580en el método de Euler, 531-537en os métodos de pasos múltiples,

579-580de redondeo, 64, 67, 72-74

en las ecuaciones diferenciales ordinarias,

en a eliminación gaussiana, efectos de los,

en os polinomios de interpolación, 366en a regla trapezoidal, 442, 467en la regresión polinomial, 342

aprox~mados (Ea), 69-70

enbisección, 127-130en corrector de Heun, 544en interacción de Romberg, 472en nteracción de punto fijo, 146en el método:

72-73, 530

237-238. 250-251

relativos, 68-71

de Gauss-Seidel, 270de Heun sin principio. 574-575de Newton-Raphson. 154de la regla falsa, 139

reales, 66-67

de sintaxis. 41de semántica, 41

de truncamiento. 64, 67, 77-85, 531en la integración, 434, 438 , 444, 448 , 450,

467, 482en a interpolación, 358-363en los métodos

de un paso, 530-536, 539, 547, 551,

de pasos múltiples, 513

153-154

561-563

en las raíces de ecuaciones, 580-581,

vease tambign Propagación de errores detruncamiento; Criterios de terminación (Es)

Escalemiento. 241-244, 246-248Estabilidad, 598-599, 627Estadistica, 310-314

de los coeficientes de variación, 312de la desviación estAndar, 312de la distribución normal, 313grados de libertad sobre, 312histograma de, 314de la media, 310de la varianza, 311

para regresiónlineal, 326

múltiple, 344polinomial, 338

Estimación del error estfmdar:

Euler modificado, 547-550, 553-556Exactitud, 66-67Expansión en serie de Maclaurin, 59, 70-72,

99-100Extrapolación, 309, 369-370

caso de, 387-391, 604-607de Richardson, 467-469

Fluidos, 194, 401-403Forma de codificación, 30-31Formulación de errores, 97Fórmula(s):

compuestas de integración, 435de Gauss-Legendre, 475-484de integración:

abierta de Adams-Bashforth, 591-592, 597cerrada de Adams-Moulton, 592-594, 597

de interpolación de Newton-Gregory, 369, 434,445

de Newton-Cotes, 429, 454, 460integración'

abierta con as, 458, 460-461, 590-591,

cerrada con as, 453, 454-455, 591, 595595

FORTRAN:de Newton-Raphson. 152

tabla de comparación de BASIC con, 32-39

definición, 29

(véase también programas, bajo Computadora)

de incremento, 550

trascendentes. 113suaves y continuas (spline), 370

Función(es):

Grados, de libertad, 311

Histograma, 313



638 ~ N D I C

Inestabilidad, 55 8- 55 9, 6 29Integración:

abierta, 430fórmulas de:

de Newton-Cotes, 458, 46 0-461. 5 89-59 0de Adams-Bashforth, 591-5 92, 597

595adaptiva de Simpson, 51 1cerrada, 431

fórmulas de:Adams-Moulton para, 592 -59 4, 597de Newton-Cotes para, 45 4-45 5. 591

595cuadratura gaussianaen la, 475-484definición de , 413definida, 42 0elementos de juicio en la, 509 -511fórmulas:

de Adams. 591-594cerradas de orden superior para,

454-455compuestas, 454de Newton-Cotes, 454- 460, 589-5 91indefinida, 517

con nterpolación cúbica segmentaria (spline), 511con intervalos desiguales, 45 5- 45 9

métodos avanzados para la, 511NUMERICOMP, 442-444promedio de funciones continuas, 41 9con la regla 1/3 de Simpson, 443-448con la regla 3/8 de Simpson, 449-451regla rapezoidalen la, 431-443resumen de órmulas de , 512de Romberg, 465-474

caso, 501-503

caso, 498para imp lementar la extrapolación de Richardson, 467-469soluciones analíticas de, 42 3-4 24teorema fundamental d e, 42 3usando segmentación suave (spline), 511

definida, 423indefinida, 516de superficie. 42 1

Integral(es):

tablade, 423de volumen, 421

caso, 387-391, 396-397, 400-401cuadrstica, 35 1-3 54

segmentaria (spline), 373 -37 8cúbica segmentaria (spline). 378 -38 3

algoritmo para la, 383derivaciónde la, 379- 380

integración con. 511

Interpolación:

con datos igualmente espaciados, 368-369lineal, 35 0-35 1polinomial

de Lagrange, 363-368de Newton, 350-364

cúbica, 378-383

lineal. 373-374cuadrAtica, 3 74- 379

algoritmopara la. 268enel cálculodeestímulos y respuestas, 266~267

segmentarla (spline), 37 0-3 83

. Integración medlante.511

Inversiónde matrices. 21 1-2 12

caso, 281-282. 289-291y mal condicionamiento, 267- 268método de Gauss-Jordan paracalcular a.262-265

de Jacobi. 27 2, 27 3de punto fijo:

Iteración:

convergenciade la, 148-151aproximacióngráficade la,148.151

programa decomputadora para a. 151

Ley(es):de Faraday, 519deFickde adifusión, 521de Fourier del calor, 52 1de Kirchoff, 183.186, 194, 291-293. 298-615-618

Leibnitz.GottFriedW von,22Lmealización

de ecuaciones no lineales, 332-336de EDO. 519

Macrocornputadoras. 25Mantenimiento, 45Matriz(ces), 207- 21 0

aumentada, 213-214cuadrada, 20 8

213-214ecuaciones algebraicas lineales que emple

inversa, 211 -212multiplicación d e, 21 0-2 11reglasde operaciónsobre, 209-214transpuesta, 213 -21 4tridiagonal, 2 09

Media, 310-313Método(s)avanzados:

paralustede curvas, 411 -41 3paradeterminar raíces de ecuaciones. 1 9

en general, 107para integración, 513oara lasolución.

201

de ecuaclones d iferenciales ordinartas.627-629

desistemasde ecuac iones algebralcas linles, 304-306

de Bairstow, 201de bisección:

algoritmodel, 123análisisdeerror del. 127 .130

casos del. 177,183, 184-186,188criteriosde termmaclón del.126.130en In determinaaón de raíces de ecuacio122-132,136-139NUMERICOMP.54-56. 122-123.131-132programasde computadora del. 130

de coeficlentes indeterminados. 475 -47 6de Crout ldescomposiciónLU),306de Cholesky idescomposiclónLU) .306de diferencias finltas. 2 82- 28 7. 571de disparo. 56?-56 9de Euler, 528-541

análislsdeerror palael. 531caso del.608. 614. 616~621



~NDICE 639

para el ejemplo del problema del para-

16-19,538-539errores:

caidista,

deredondeo en el, 531

de runcamiento en el, 531-537fórmula del, 528

NUMERICOMP, 538-539modificaciones y mejoras al, 541-551

de primer orden, 534

para a solución deEDO. 564programa decomputadora del, 538-539

de Gauss-Jordan, 259-268caso, 281-282, 289-292diagrama de lujopara el, 263matrices nversas mediante el, 262-265pivoteo, 268

deGauss-Newton, 411de Gauss-Seidel, 268-274,

algoritmo para el, 274

casos, 285-287

aplicaciones del. 274 , 247

criterios:deconvergencia para el, 272-273de erminación para el, 270

diagrama de lujopara el, 275dominancia diagonal, 273y la teraclónde Jacobl, 272-273con relajación, 272-273

de Graeffe, 201grdficos:

para ecuaciones algebraicas ineales, 220-221para ntegración, 416-417para as rakes de ecuaciones, 119-122, 140,145-152resumen de los, 5

deHamming, 600deHeun. 541-550corrector del:

criterios de erminación para el, 543derivación del, 447-547erroren el. 547

ra el. 547estimación de los errores de truncamiento pa-

fórmulas del, 543

sin principio, 576-586método deRunge-Kutta para el, 552-554

an6lisisdel er ra para el, 577-579criteriosde erminación para el. 574-575derivación del, 579estimación de loserrores de truncamientopara el, 579-580fórmulas para el, 574modificadores para el, 580-583programa decomputadora para el,

584-517programa para el. 549

queusan ntervalos, 119-142

deMarquardt. 413iterativos, 70-71

mejorado delpolígono. 547-550, 553-556deMilne. 596-597

deMuller, 201deNewton-Raphson:

estabilldad del, 598-599

aspectos deprogramación de los, 158andlisisdeerroresen los. 154-156

caso de los, 178-179derivaciónde os. 151-154

desventajas de los, 151-156

series de Taylor en los,153-154para raícesmúltiples, 164-167

para sistemas no ineales, 306de un paso, solución a los, 527-528

de pasos descendentes, 411métodos:de un paso, 563depasosmúltiples para, 585-586

delpunto medio, 460 , 578 , 590de areglafalsa:

andlisisdeerrorpara el, 135-136casosparael. 177,183, 188Y SU comparación conelmétodo de a secan-te,160-162convergencia del, 138criterios de erminación para el, 136-137desventajas del, 137-139en adeterminación de raíces, 133-139,160-163fórmula para el, 134programa decomputadora para el, 139de Runge-Kutta, 550-563

errores en los,561-563decuarto orden cldsicas, 558-559

dequinto orden de Butcher, 559-560desegundo orden, 551-556

algoritmo para computadora, 563derivación de, 551método deHeun con un solo corrector,

polígonomejorado, 554de Ralston, 554

553

de tercer orden, 556-557de Runge-Kutta-Fehlberg, 562-563de a secante:

casos, 177.183. 188

convergencia del, 160-162programa decomputadora para el, 162raícesmúltiples v el.167

de series de Taylo; de orden superior para asEDO, 540-541devariospasos , 573

andlisisdelerroren los, 577-578de cuarto orden deAdams. 529-597derivación de, 577-579

fórmulas de ntegración para los, 588-594deAdams, 591-594de Newton-Cotes, 589-591

deHamming, 599método deMilneen los, 589-596

estabilidad del, 598-599Heun sin principio, 574-587modificadores del, 579-583, 594-595

Microcomputadoras, 24

Minimax, 333 , 369Minicomputadoras, 24

Modelaciónde entrada-salida, 413Modelo(s):

decrecimiento ogistico, 180-182, 192exponencial, 332-333macrovariables. 205matemAtico, 1 1microvariables, 206depotencias. 333-335

caso, 398-399

Metodos Numericos de Chapra

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