METODOS CLASICOS PRACTICOS - dicis.ugto.mx Espectral... · ello usamos el teorema de Wiener-Khinchine: Procesamiento Avanzado de Señales 17 / 30 Re-interpretación del Periodograma

Procesamiento Avanzado de Señales 1 / 30

METODOS CLASICOS PRACTICOS


Principales Problemas del Periodograma

1) Nos produce una estimación desviada (biased), debido a la ventana Bartlett, ya que introduce el efecto de suavizado, lo cual limita su capacidad de distinguir componentes de banda angosta y muy cercanos en x[n]. 2) La varianza no decrece con el incremento de N 3) Produce fluctuaciones rápidas.

Todos estos problemas se presentan debido a que el periodograma ignora:

a) El Valor Esperado – (No incluye el promedio) b) La operación del limite – (Se aplica una ventana rectangular) en la definición de la DEP.

Varios Métodos “Clásicos” que parcialmente arreglan estos problemas han sido propuestos.


Modificaciones al Periodograma

• Definitivamente necesitamos reducir la varianza del periodograma, ya que en forma general, este no es adecuado para una estimación precisa de la DEP.

• Algunas posibles mejoras serian:• Promediar el conjunto de periodogramas (en realidad ya vimos

algunos efectos en algunas simulaciones)

En estimación se sabe que el promediar M veces, tendra el efecto de que


Modificaciones basadas en el Periodograma


Periodograma Modificado - Ventaneado

El “Periodograma Modificado” usa una ventana no rectangular

Podemos ver que es esta convolución la que hace que el periodograma produzca una desviación (biased). Para que el Periodograma sea sin desviación (unbiased), necesitamos que . Pero esto es imposible de realizar en forma real. Así que podemos escoger una ventana no rectangular para reducir la filtración en los lóbulos laterales.

Esto reduce el efecto de desviación. Pero con el problema de la perdida de resolución.


Periodograma Modificado

El “Periodograma Modificado” usa una ventana no-rectangular y por lo tanto tiene que ser escalado para dar cuenta de la perdida de potencia debido a la ventana. Este escalamiento es requerido para hacer el Periodograma Modificado asintóticamente sin desplazamiento:

donde el factor de escalamiento es

(U=1 para una ventana rectangular)

Como en el periodograma normal, la TF discreta es usada (FFT).

Análisis Spectral 7 / 30


Funcionamiento del Periodograma Modificado

El Periodograma Modificado:

* Se reduce la desviación pero no desaparece completamente.

* Es asintóticamente sin desplazamiento

* Tiene una variancia que es mas o menos igual a la del periodograma.


Método de Bartlett: Periodograma Promediado

Uno de los defectos principales del periodograma es la falta del promedio.

Esta falta de promedio es lo que nos conduce a una varianza no decreciente así como a fluctuaciones rápidas del periodograma.

Como ya habíamos mencionado, en forma practica solo tenemos una realización. Así que la pregunta es

Que podemos hacer para permitir el promedio????

Esperar que el proceso sea Ergódico!!!!

Un proceso es ergódico si el promedio en el tiempo de cualquier realización es equivalente al promedio del ensamble.


Método de Bartlett - definiciónLos datos de la señal de longitud N son divididos en K bloques de longitud L que no se traslapan (L es una “elección de diseño), donde N=KL:

Formación del bloque:


Método de Bartlett – Mejora de la Varianza

El objetivo en esta parte es usar el promedio para mejorar la varianza. Para ver esto estudiemos el siguiente ejemplo:

Sea una secuencia de VA’s idénticamente distribuidas e independientes con una media igual a cero y una varianza igual a . Cual es la varianza del “promedio de los datos analizados”?


Método de Bartlett – Mejora de la Varianza

Desde que el método de Bartlett “promedia los datos” de K periodogramas juntos, debemos poder utilizar este resultado.

Si los periodogramas individuales son independientes (mas importantes que no-correlacionados). Pero no lo son!!!!

Pero desde que los bloques no se traslapan, hay una probabilidad de que sea únicamente una pequeña cantidad de correlación . . . Así que bajo esta simplificación ( y con la asumsion de un proceso de ruido blanco considerada inicialmente):

Por lo tanto, entre mas bloques sean usados, mejor será la varianza de la estimación!!! . Pero para una longitud de datos N,

Mas Bloques significa bloques mas pequeños

Bloques mas pequeños significa una resolución pobre

Hay pros y contras entre la Varianza y la Resolución


Método de Welch: Promedio del Periodograma Ventaneado

Hasta ahora hemos visto que:

El ventaneo ayuda a las Bias El promedio ayuda a la Varianza

El Método de Welch realiza ambas cosas!!! Y usa bloques traslapados

Definición del bloque:

La cantidad de traslape es L-D puntos:

D = L : No hay traslape D = L/2 : 50% de traslape (mas común) D = 3L/4 : 25% de Traslape

Implementada usando la FFT


Método de Welch: La VarianzaEl análisis es muy complejo por lo que no se analizara. Se ha mostrado que la varianza es el 50% de traslape:

Comparada al método de Bartlett (no hay traslape) para la misma N y L:

Es casi un 50% de reducción!!!


Método de Blackman-TukeyFamilia de Métodos Clásicos


Repaso de los métodos basados en el periodograma

El problema mas grande en el periodograma es la varianza que no decrece con el incremento de N.

Los métodos que hemos visto tratan este problema con el promedio.

Hay otra forma de combatir este problema. Para ello requerimos reescribir la ecuación del periodograma en forma diferente, para ello usamos el teorema de Wiener-Khinchine:


Re-interpretación del PeriodogramaEl Periodograma puede ser escrito como:


Re-interpretación del PeriodogramaPor lo tanto el Periodograma puede ser escrito como:

es decir . . . Como una TF DT de una AC estimada, dada por

El subíndice “b” en la estimación de la autocorrelación, indica que es una estimación desviada (biased) de la autocorrelación.

Es la pobre calidad de esta estimación de la AC la que incrementa la pobre calidad del periodograma!!!


Estimación de la Autocorrelación


Método de Blackman-Tukey : Definición

Para la estimación desviada de la autocorrelación, los valores retrazados de la AC estimada para grandes valores de k no son fiables!! Que podemos hacer para solucionar eso?

Una solución es aplicar una ventana a la estimación desviada de la autocorrelación que es lo que realmente hace el método de Blackman-Tukey:

Puesto que las ventanas disminuyen a cero en sus bordes, esto causa que las estimaciones de baja calidad para grandes valores de k, tengan menos impacto en la estimación de la DEP.


Método de Blackman-Tukey : Cálculo

En la practica calculamos este usando la TF discreta en tiempo (FFT y generalmente usamos el relleno de ceros):


Método de Blackman-Tukey : Interpretación en el dominio de la frec.

Es bueno explorar una interpretación en el dominio de la frecuencia para el método de Blackman-Tukey. Para ello usamos el teorema de la multiplicación-convolución de la TF:


Blackman-Tukey vs Métodos de Barlett/Welch

Los métodos de BT, Bartlett y Welch son satisfactorios en reducir la varianza comparado con el Periodograma normal. Pero la forma en que lo realizan es la diferencia.

• Welch/Bartlett lo hace promediando muchos periodogramas calculados, disminuyendo de tal forma la varianza.

•BT lo hace suavizando las variaciones provocadas por la varianza y usando un solo periodograma.


Funcionamiento del Blackman-Tukey: Desplazamiento (Bias)

Hasta ahora hemos dicho que BT es mejor que el Periodograma…. pero necesitamos probarlo:

Desplazamiento:


Funcionamiento del Blackman-Tukey: Varianza


Funcionamiento del Blackman-Tukey: Varianza

Ahora, más aproximaciones deben ser echas para tener un resultado con mayor significado. Si N es lo suficientemente grande, la parte del sen(.)/sen(.) tendera a ser una función delta (con área igual a 2p/N) la cual podemos considerarla igual a 1.

Otra consideración mas: asumamos que la DEP verdadera es casi constante sobre cualquier intervalo de un ancho = al lóbulo principal de W(w):


Blackman-Tukey : Perspectiva del Funcionamiento

Desplazamiento

Varianza

Pros y Contras del Desplazamiento y la Varianza

•Necesitamos que M sea grande para obtener un desplazamiento pequeño.

* Para obtener un lóbulo principal angosto y lóbulos laterales pequeños.

•Necesitamos que M<<N para obtener una varianza pequeña

* Para reducir el termino entre paréntesis en la ecuación de la varianza


Comparación de Funcionamiento de los Métodos Clásicos

Medidas del Funcionamiento:

1.- Bias (Desplazamiento)

2.- Varianza

3.- Resolución

Normalmente tenemos un equilibrio entre ellas, especialmente entre la varianza y la resolución. Pero necesitamos una medición única para comparar los métodos:

Figura de Merito = (Variabilidad)x(Resolución)

Variabilidad


Medición del Funcionamiento: Variabilidad

Como hemos visto, la varianza es una importante medición de la calidad para la estimación de la DEP. Sin embargo por si sola nos dice muy poco acerca de la calidad: Una varianza grande en la estimación de un número grande puede ser mejor que una varianza mediana en la estimación de un número pequeño. Por lo tanto necesitamos una forma de normalizar la varianza.

Esta es llamada la Variabilidad:

La variabilidad es una cantidad sin unidades.

Una pequeña u es deseable


Medición del Funcionamiento: Resolución

La resolución es una de las mediciones mas importantes para el análisis espectral. Por ejemplo podemos decir que es la habilidad de poder ver dos sinusoides estrechamente separadas.

Recordemos que el ancho del lóbulo principal de la ventana aplicada, impacta a la resolución. Hay muchas formas de medir la resolución, una de ellas es:

Pequeña Dw es deseable

Recordemos que hay 2 detalles que afectan el ancho del lóbulo principal:

1)La longitud de la ventana: Dw conforme la longitud

2)La Ventana aplicada (Hanning, Hamming, etc.)


Figura de MéritoEs útil tener una medición sencilla con la cual podamos comparar los métodos. Esta comparación es realizada usando la siguiente figura de Mérito:

Desde que u y Dw son requeridas que sean tan pequeñas como sea posible, también necesitamos que la figura de Mérito sea tan pequeña como sea posible.


Rendimiento del PeriodogramaUsando nuestros resultados para la bias y la varianza del periodograma obtenemos:

Recordemos que

Vamos a evaluar la resolución usando una ventana Bartlett

Por lo tanto la figura de Mérito del Periodograma es:


Rendimiento del Método de BartlettPara N muestras, usamos K bloques de longitud L donde N=KL

Una reducción en la varianza es lograda promediando mas de K bloques:

<<usando más bloques mejora la varianza>>

Desde que estamos usando bloques de longitud L=N/K, la resolución es:

<<pero. . . usar más bloques, degrada la resolución>>

Por lo tanto la figura de Mérito del método de Bartlett es:


Rendimiento del Método de Welch con 50% de traslape

Para N muestras, usamos bloques traslapados de longitud L. Una reducción en la varianza es realizada promediando mas bloques:

<<el sobre traslape nos produce mas bloques y mejora la varianza>>

Consideremos usar una ventana Bartlett (recordemos – esta es aplicado directamente a los datos).

Desde que estamos usando bloques de longitud L, la resolución es:

La figura de Mérito esta dada por:


Rendimiento del Método de Blackman-Tukey

Consideremos usar una ventana de Bartlett en la autocorrelación estimada. La longitud de la ventana es 2M, donde M<<N

<<usar ventanas más cortas mejora la varianza>>

La resolución al aplicar una ventana de longitud 2M es:

<<usar ventanas mas cortas degrada la resolución>>

Por lo tanto la figura de Mérito para el método de BT es:


Comparación del funcionamiento de los Métodos Clásicos


Comparación de la complejidad de lo Métodos Clásicos

Los métodos de Welch y BT son los mas comúnmente usados. Tomando en cuenta el número de multiplicaciones complejas necesarias para cada una, podemos ver que el método de Welch requiere un poco más operaciones.

Pero tenemos que considerar lo siguiente:

Para BT, ninguno de las autocorrelaciones estimadas pueden ser calculadas hasta que TODOS los datos sean obtenidos.

Para Welch, la TFD puede ser iniciada tan pronto como cada bloque llegue.

Por lo tanto Welch tendría la ventaja de poder ser implementada en tiempo real.


Dos tipos de Variables Aleatorias

•FIN

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