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SEMINARIO DE TOPICOS ESPECIALES, FIEE-UNI, 2015-I 1
Metodo de puntos interiores de orden superiormejorado para
minimizar las perdidas de potencia
activa en sistemas electricos de potencia
AbstractEn este artculo se propone un metodo para min-imizar las
perdidas de potencia activa en mercados electricoscompetitivos . El
problema de minimizacion de la perdida depotencia activa se formula
como un flujo de potencia optimo(FPO) con restricciones no lineales
de igualdad y desigualdad quetoma en cuenta la seguridad del
sistema de potencia. El FPO hasido resuelto mediante el metodo de
puntos interiores predictor-corrector multiple (MPC) de la familia
de los metodos de puntosinteriores de orden superior, con un
procedimiento mejoradopara el calculo de la longitud de paso
durante las iteracionesde Newton. La utilizacion de la propuesta
MPC mejorado llevaa la convergencia con un menor numero de
iteraciones y conun mejor tiempo de calculo que algunos resultados
publicadosen la bibliografa. Un calculo eficiente de la longitud de
pasoprimal y dual es capaz de reducir los errores de la
funcionobjetivo primal y dual, respectivamente, asegurando
continua-mente errores decrecientes durante las iteraciones del
proceso delmetodo de punto interior. La metodo propuesto ha sido
simuladopara importantes sistemas de prueba IEEE y dos
sistemasreales, incluyendo una configuracion de 464 barras del
SistemaElectrico Peruano Interconectado, y un escenario de 2256
barrasdel Sistema Electricos Sur-Sureste Brasileno interconectado.
Elresultado de las pruebas mostro que la convergencia es
facilitaday el numero de iteraciones puede ser pequeno.
KeywordsIEEEtran, journal, LATEX, paper, template.
I. INTRODUCCION
La minimizacion de las perdidas de potencia activa de
lossistemas potencia (EPS) puede ser considerado un
requisitofundamental en los actuales mercados electricos
competitivospara la obtencion de una mejor economa y la calidad
dela energa. En la planificacion y operacion de sistemas depotencia
la seguridad y la fiabilidad se evaluo a traves deuna serie de
programas de computadora, que incluyen flujode potencia optimo
(OPF). Un objetivo de la solucion deun problema OPF es determinar
el funcionamiento en estadoestable optimo de la potencia sistema.
El problema OPF puedeser modelado como un problema de programacion
no lineal(PNL) en la que el objetivo es minimizar la funcion sujeta
aun conjunto de restricciones tecnicas y economicas.
Hay importantes metodos convencionales de solucion deproblemas
OPF, por ejemplo: secuencia lineal y de progra-macion cuadratica ,
gradiente y metodo de Newton. Entre lassoluciones OPF la mas
reciente es el metodo de punto interior(MIP). Originalmente
desarrollado para resolver problemas deprogramacion lineal (LP), el
IPM ofrece un mejor rendimientode calculo para problemas de gran
escala que los metodosclasicos tales como el metodo simplex. Por
otra parte, la MIP
puede ser reformulado y adaptado para resolver problemas
deprogramacion no lineal.
En la ingeniera de potencia el IPM se ha aplicado paraoptimizar
la operacion de los sistemas de potencia con granexito . Los
metodos de punto interior vienen siendo usadospara resolver
problemas tales como el flujo de potencia optima,el envo de
potencia reactiva, estimacion de estado , la max-imizacion de la
capacidad de carga , estabilidad de tension,despacho hidrotermico y
despacho economico de seguridadrestringida. Los resultados muestran
que el IPM tiene ungran potencial para resolver problemas del
planificacion yfuncionamiento de sistemas de potencia, en
comparacion conla metodos convencionales. La mayora de estas
aplicacionesse ha adoptado el metodo de punto interior (PD-IPM)
primal-dual. El paso mas importante en el PD-IPM es la solucionde
un sistema algebraico no lineal de ecuaciones usando elmetodo de
Newton (NM). Sin embargo, se necesita un grannumero de iteraciones
y se detectaron algunos casos de diver-gencia en los calculos de
busqueda direcciones. Mehrotra en1992 propuso mejoras en la
busqueda de direcciones mediantela resolucion de dos sistemas de
ecuaciones lineales. Estosdos sistemas definen los pasos de
prediccion y correccion quegenera el metodo de punto interior
predictor-corrector primal-dual (PCPD-IPM). A pesar de la
aceptacion de PCPD-MIPpara calculo de direcciones de busqueda,
mejores resultadosse pueden obtener mediante la adicion de otro
paso correctorpara el proceso de optimizacion. El metodo resultante
sellama el metodo de punto interior predictor-corrector
multiple(MPC-IPM). El uso del metodo MPC-MIP puede mejorar
elrendimiento de la convergencia, lo que resulta en un
pequenonumero de iteraciones.
La evidencia emprica sugiere que en el metodo de Newton,cuando
se utiliza en el procedimiento MIP, sera necesario uncalculo
adecuado de la longitud de pasos primal y dual parafacilitar la
convergencia de la iteracion de Newton. En estetrabajo se propone
un metodo para el calculo eficiente de laslongitudes de paso primal
y dual que reduzcan al mnimo loserrores de la funcion objetivo
primal y dual, respectivamente,asegurando una disminucion continua
durante las iteracionesdel metodo de punto interior. El problema de
minimizacin dela perdida de potencia activa se formula como un
flujo optimode potencia que se ha resuelto mediante el metodo de
puntointerior predictor-corrector multiple mejorado con el
enfoquede longitud de paso propuesto. La metodologa se ha
aplicadocon exito para reducir al mnimo la perdida de potencia
activade los sistemas de prueba IEEE de 30, 57, 118 , y 300
barras.Tambien se utilizo una configuracion de 464-barras del
sistema
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interconectado peruano y en el sistema de alimentacion
2256-barras correspondiente al sistema interconectado Sur-Surestede
Brasil tambien fue usado. Resultados de las pruebas hanindicado que
la convergencia se ve facilitada y el numero deiteraciones puede
ser pequeno.
II. MODELO DE FLUJO OPTIMO DE POTENCIA
El problema OPF consiste en minimizar la perdida de po-tencia
activa sujeto a restricciones de seguridad. Las variablesde
decision son las tensiones en las barras, potencia reactivaen los
compensadores de derivacion y las posiciones de lostaps del
transformador. El modelo de optimizacion esta dadopor:
MinVns
nbj=1
VjYnsjcos(nsj + i ns) (1)
Sujeto a
nbj=1 ViVjYijcos(ij + j i) PGi + PDi = 0;
i = 1, ..., nb(2)
nbj=1 ViVjYijcos(ij + j i)QGi +QDi = 0;
i = 1, ..., nb(3)
QminGi QGi QmaxGi ; i = 1, ..., ng (4)V mini Vi V maxi ; i = 1,
..., nb (5)
QShmini QShi QShmaxi ; i = 1, ..., nsh (6)tapmini tapi tapmaxi ;
i = 1, ..., nt (7)
donde ns es el numero de la barra slack, PGi y QGi son
laspotencias activa y reactiva de generacion en la barra i, PDiy
QDi son el componentes de potencia activa y reactiva dela carga en
la barra i, Vi y i son la magnitud de la tensiony angulo de fase en
la barra i, Yij y ij son la magnitud yangulo de fase del elemento
ij de la matriz de admitancias,nb, ng, nsh y nt son,
respectivamente, el numero de barras,generadores, compensadores y
transformadores, GmaxGi y G
minGi
son los lmites maximo y mnimo de generacion de potenciareactiva
en la barra i, V maxi y V
mini son los lmites de
tension maxima y mnima en la barra i, QShmaxi , QShi yQShmini
son las potencias reactivas maxima, actual y mnimadel compensador
shunt i, y tapmaxi , tapi y tap
mini son el
maximo, actual y mnimo posicion del tap del transformadori.
Las expresiones (2) y (3) representan las ecuaciones
conven-cionales de flujo de potencia. Los lmites de potencia
reactivade los generadores estan representados por (4). Los lmites
dela magnitud del voltaje se dan en (5) y los lmites de
potenciareactiva en los compensadores de derivacion se consideran
en(6). Los lmites de las posiciones de los taps del
transformadorestan incluidos en (7).
III. METODO DE PUNTO INTERIOR DE ORDEN SUPERIORLa formulacion de
OPF se muestra en (1) - (7) que tambien
puede ser escrito como un problema general de programacionno
lineal, dada por:
Min f(x)subject to : g(x) = 0hl h(x) huxl Ix xu
(8)
donde x representa las variables de decision, f(x) es lafuncion
objetivo, g(x) contiene las restricciones de igualdad,h(x)
representa las restricciones de desigualdad, hu y hl
son,respectivamente, los lmites superior e inferior de h(x), yxu y
xl son, respectivamente, los lmites superior e inferiorde x. El
primer paso en la derivacion del MIP consiste enla transformacion
de las restricciones de desigualdad de (8)en restricciones de
igualdad a traves del uso de variables deholgura.
Min f(x)subject to : g(x) = 0s1 s2 hl + hu = 0h(x) s2 + hu = 0s3
s4 xl + xu = 0Ix s4 + xu = 0s1, s2, s3, s4 0
(9)
Las variables de holgura no negativas s1, s2, s3 y s4, puedeser
manejada anadiendo la funcion de barrera logartmica parala funcion
objetivo:
Min f(x)
kndh
j=1(lns1j + lns2j)
kndxj=1(lns3j + lns4j)subject to :g(x) = 0s1 s2 hl + hu = 0h(x)
s2 + hu = 0s3 s4 xl + xu = 0Ix s4 + xu = 0
(10)
donde k > 0 es un parametro de barrera y ndx y ndhson los
numeros de las variables de control y las restriccionesde
desigualdad, respectivamente. La funcion lagrangiana L de(10)
es:
L = f(x) kndhj=1(lns1j + lns2j)kndxj=1(lns3j + lns4j)yT g(x) zT1
(s1 s2 hl + hu)zT2 (h(x) s2 + hu)zT3 (s3 s4 xl + xu) zT4 (I s4 +
xu)
(11)
donde y, z1, z2, z3 y z4 son vectores multiplicadoresde
Lagrange. Segun Fiacco y el teorema de McCormick, sidisminuye
montonamente a cero durante el proceso iterativo,la solucion de
(10) se aproxima a la solucion local de (9).Sea x sea el mnimo
local del problema (10). Por lo tanto
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x satisface las condiciones de primer orden de
optimalidadnecesarias de KarushKuhnTucker (KKT), que es:
s1L = kS11 e+ z1 = 0s2L = kS12 e+ z1 + z2 = 0s3L = kS13 e+ z3 =
0s4L = kS14 e+ z3 + z4 = 0z3L = s3 + s4 + xl xu = 0z4L = Ix+ s4 xu
= 0z1L = s1 + s2 + hl hu = 0z2L = h(x) + s2 hu = 0xL = f(x) Jg(x)T
y + Jh(x)T z2 + IT z4 = 0yL = g(x) = 0
(12)
donde f(x) es el gradiente de f(x), Jg(x) es el jacobianode las
restricciones de igualdad, Jh(x) es el jacobiano de
lasrestricciones de desigualdad, S1, S2, S3 y S4 son
matricesdiagonales que contienen s1 , s2, s3 y s4, respectivamente,
ees un vector del tamano apropiado. La ecuacion (12) puedeser
escrita en forma mas compacta como:
F (w) = 0 (13)
Donde
F (w) =
kS11 e+ z1kS12 e+ z1 + z2kS13 e+ z3
kS14 e+ z3 + z4s3 + s4 + x
l xuIx+ s4 xu
s1 + s2 + hl hu
h(x) + s2 huf(x) Jg(x)T y + Jh(x)T z2 + IT z4
g(x)
, w =
s1s2s3s4z3z4z1z2xy
(14)
La ecuacin (12) se puede resolver por el mtodo de Newton.Esto
implica resolver un sistema de ecuaciones lineales en cadaiteracin
k,
JF (wk)wk = F (wk) (15)
Donde w = [s1s2s3s4z3z4z1z1z2xy]T .JF es el jacobiano de F (w) y
w es el vector de correccionesen el vector independiente w. Despus
de resolver (14) en cadaiteracion k, se obtiene una estimacion de
las variables.
xk+1 = xk + kpx
sk+1i = ski +
kpsii = 1, 2, 3y4
yk+1 = yk + kdyzk+1i = z
ki +
kdzii = 1, 2, 3y4
(16)
donde kp y kd son, respectivamente, las longitudes de paso
primal y dual en cada iteracion k. Las maximas longitudes depaso
primal y dual se calculan utilizando (17)
Fig. 1.
kpmax ={.min
{mins1
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un calculo adecuado de los longitudes de paso primal y dualpara
facilitar la convergencia. En este trabajo es propuesto uncalculo
eficiente de las longitudes de paso primal y dual loscuales
minimizan los errores de las funciones objetivo primaly dual,
respectivamente, asegurando una disminucion continuade las
iteraciones del procedimiento MIP (fig. 1). El kp es lasolucion de
la busqueda mostrado en(20):
minpinf(xk + kpx) (17)
s.a.0 kp kpmax (18)Despues de que el calculo de la longitud de
paso primal
kp las variables primarias (x, s1, s2, s3ys4) se actualizan
uti-lizando la (15), a continuacion, kd es calculado del
problemamostrado en (21)
mindinf(xk+1, yk + kdy, zk4 +
kdz4) (19)
s.a.0 kd kdmax (20)Con kd conocido, las variables duales (y, z1,
z2, z3yz4) se
actualizan a traves de (16). Los problemas de busqueda dedos
dimensiones para el calculo de las longitudes de paso kpy kd (ver
los problemas (20) y (21)) esto se puede resolvermediante el metodo
que se presenta en la Seccion 4. La brechade la complementariedad
(valor residual de la condicion decomplementariedad) se calcula en
cada iteracion k por
k = (zk1 )T sk1 + (z
k1 + z
k2 )T sk2 + (z
k3 + z
k4 )T sk4 (21)
En la iteracion k el valor de k se calcula basado en
ladisminucion de la brecha de la complementariedad.
k+1 = max
(min
(k
k
2 (ndx+ ndh), 0.9k
), 0.05k
)(22)
Donde k (0, 1) es llamado el parametro de centrado yes elegido
dinamicamente como k+1 = max
{0.95k, 0.1
}.
Los criterios de convergencia del NM son las siguientes:
pinf(xk) 104dinf(xk, yk, zk2 , z
k4 ) 104
k
1 + xk2 104
k 108
El calculo de w de (14) consiste en la factorizacion deJF y la
solucion de los dos sistemas triangulares (sustitucionesadelante /
atras). La factorizacion de JF corresponde al calculomas intensivo
en las iteraciones del IPM. La eficiencia dela IPM puede mejorarse
sustancialmente si el numero defactorizaciones es minimizada.
Mehrotra [11] obtuvo mejoresdirecciones de busqueda w resolviendo
dos sistemas de ecua-ciones lineales en cada iteracion k. Estos dos
sistemas definen
los pasos de prediccion y correccion, los cuales requieren
elmismo matriz JF y diferentes vectores independientes en (14).Por
lo tanto solo una factorizacion de JF es necesario paraambos pasos.
La matriz Jf esta dada por:
JF =
D1 0 0 0 0 0 I 0 0 00 D2 0 0 0 0 I I 0 00 0 D3 0 I 0 0 0 0 00 0
0 D4 I I 0 0 0 00 0 I I 0 0 0 0 0 0
0 0 0 I 0 0 0 0 I 0I I 0 0 0 0 0 0 0 00 I 0 0 0 0 0 0 Jh 0
0 0 0 0 0 IT 0 JhT HL JgT0 0 0 0 0 0 0 0 Jg 0
(23)
Donde:
HL = Hf (xk)
ndgj=1
ykjHgj(xk) +
ndhj=1
zk2jHhj(xk) (24)
El calculo de la matriz HL requiere las matrices de hessianasHf
(x
k) , Hg(xk) y Hh(xk) que corresponden a la funcion ob-jetivo,
restricciones de igualdad y restricciones de
desigualdad,respectivamente. Ademas, D1 = S11 , D2 = S
12 (Z1 + Z2),
D3 = S13 Z3 y D4 = S
14 (Z3 + Z4), Z1, Z2, Z3 y Z4 son
matrices diagonales definidas por los componentes de z1, z2,z3 y
z4, respectivamente; ndg es el numero de variables de
lasrestricciones de igualdad.
1) Paso PredictorDe acuerdo con Mehrotra [11] la direccion
deescalamiento afn es calculado como:
JF (wk)
saf1saf2saf3saf4zaf3zaf4zaf1zaf2xaf
yaf
=
z1z2 z1z3
z3 z4s3 s4 xl + xuIx s4 + xus1 s2 hl + huh(x) s2 + hu
f(x) + Jg(x)T y Jh(x)T z2 IT z4g(x)
(25)
waf es usado para obtener una estimacion para elvector
independiente de la etapa de corrector de y parael parametro de
barrera af . Para calcular el valorde af los longitudes de paso
primal y dual, afp yafd deben ser calculados, junto con la
direccion debusqueda afin , utilizando (17) el cual corresponde
alas longitudes de paso maximo primal y dual. Una
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estimacion de la brecha de la complementariedad vienedada
por:
af = (zk1 +
afd z
af1 )
T (sk1 + afp s
af1 )+
(zk1 + afd z
af1 + z
k2 +
afd z
af2 )
T (sk2 + afp s
af2 )
+ (zk3 + afd z
af3 )
T (sk3 + afp s
af3 )+
(zk3 + afd z
af3 + z
k4 +
afd z
af4 )
T (sk4 + afp s
af4 )
Una estimacion para af es obtenida por
af = min
{(afk
)2, 0.2
}af
2 (ndx+ ndh)(26)
2) Paso Corrector
La direccion w se calcula como:
JF (wk)
s1s2s3s4z3z4z1z2xy
=
S11 (afeSaf1 zaf1 ) z1
S12 (afeSaf2 (zaf1 + zaf2 )) z2 z1S13 (
afeSaf3 zaf3 z3S14 (
afeSaf4 (zaf3 + zaf4 )) z3 z4s3 s4 xl + xuIx s4 + xus1 s2 hl +
huh(x) s2 + hu
f(x) + Jg(x)T y Jh(x)T z2 IT z4g(x)
(27)
Donde Saf1 , Saf2 , S
af3 y S
af4 son matrices diagonales
definidas por los componentes saf1 , saf2 , s
af3 y s
af4
respectivamente. Desde que los pasos de predicciony correccion
utilizan la misma matriz JF, el esfuerzocalculo adicional para el
metodo predictor-correctorconsiste en la solucion de un sistema
lineal para elcalculo de waf . La tecnica propuesta por Mehrotra
esadoptada para el calculo de direcciones de busqueda enel IPM. Sin
embargo, todava mejores resultados puedenser obtenidos mediante la
adicion de otro paso correctorpara el proceso. El metodo resultante
se denominamultiple predictor-corrector [12]. El uso del metodoMPC
mejora el rendimiento de convergencia, lo queresulta en un pequeno
numero de iteraciones. El pasocorrector de Mes consiste en resolver
(31).
JF (wk)
sm+11sm+12sm+13sm+14zm+13zm+14zm+11zm+12xm+1
ym+1
=
S11 (afeSm1 zm1 ) z1
S12 (afeSm2 (zm1 + zm2 )) z2 z1S13 (
afeSm3 zm3 z3S14 (
afeSm4 (zm3 + zm4 )) z3 z4s3 s4 xl + xuIx s4 + xus1 s2 hl +
huh(x) s2 + hu
f(x) + Jg(x)T y Jh(x)T z2 IT z4g(x)
(28)
Alonso Mart Portella Retuerto Estudiante de In-geniera Electrica
de la Universidad Nacional deIngeniera.