Metodo Da Rigidez Vigas 2015

121

Teoria das Estruturas II Verso: 1 Pagina:Prof. Dr. Anselmo Monteiro Ilkiu UNITAU - Universidade de Taubat de:

1

2 Mtodo da Rigidez - Vigas - NOTAS DE AULAS3

4 1. Caso geral:5 Considerando-se um trecho de uma viga contnua sujeito a um carregamento qualquer. O trecho6 da viga tem EI constante, os momentos e os deslocamentos angulares sero adotados positivos7 quanto atuam no sentido horrio, o deslocamento vertical ser adotado positivo quando provocar8 um ngulo de rotao positivo nos apoios.9

10 q11 MAB12

13

14 A y B15 D16 qA17

18 linha elstica y19 qB MBA20 L21

22 2. Deslocamento angular no apoio A:23 Considerando que o apoio A do 1 gnero e o apoio B do 3 gnero, tem-se:24

25 MAB26

27 A B28 MBA29 qA30 L31

32 Pelo mtodo da flexibilidade: [F].{X} + {C} = {0}33

34 Resultando que: e35

36

37 3. Deslocamento angular no apoio B:38 Considerando que o apoio B do 1 gnero e o apoio A do 3 gnero, e seguindo o mesmo39 procedimento do tem anterior, tem-se:40

41 e42

43

44 4. Deslocamento vertical D (recalque):45 Considerando que os apoios A e B so do 3 gnero, sendo que o apoio B sofre um deslocamento 46 vertical D em funo dos momentos que atuam nos apoio, tem-se:47

48 1 x49 MAB50

51 A B52 MBA D53

54 L55

{ }0021

12

6=

+

A

MBAMAB

EIL q

ALEI

MAB q.4

= ALEI

MBA q.2

=

BLEIMAB q.2= B

LEI

MBA q.4

=

A.M.I.

221


56

57 Para MAB = MBA = M, resulta que o momento que atua no corte 1 ser dado por:58

59 M1 = M.[1 - (2x/L)]60

61 Da equao diferencial da elstica, tem-se:62

63 dw/dx = M/EI EI.dw / dx = M.[1 - (2x/L)]64 EI.dw / dx = M.[x - (x / L)] + C165 EI.w = M.[(x / 2) - (x / 3L)] + C1x + C266 Condies de contorno:67

68 Para x = 0, tem-se que: dw/dx = 0, logo C1 = 0.69 Para x = 0, tem-se que: w = D, logo EI.D = C270 Para x = L, tem-se que: w = 0, logo:71

72 M.[(L / 2) - (L / 3)] + C2 = 0 C2 = -M.L / 673

74 Portanto: EI.D = -M.L / 6 M = -6EI.D / L75

76 5. Apoios:77 Considerando que os apoios A e B so do 3 gnero, tem-se ento que os momentos nos apoios78 sero obtidos considerando o modelo abaixo:79

80 q81

82 FEMAB83

84 A B85 FEMBA86 L87

88 Os momentos FEM so os momentos nos engastes e dependem do carregamento e podem89 ser obtidos atravs do mtodo da flexibilidade90

91 6. Equao geral:92 A equao geral que determina os momentos nos vnculos obtida somando-se os componentes93 dos momentos para cada anlise feita nos itens anteriores, sendo assim:94

95

96

97

98

99

100 Simplificando as equaes, tem-se:101

102 MN = momento interno nos vnculos, o momento positivo no sentido horrio em relao ao103 vnculo.104 E, k = Mdulo de elasticidade e coeficiente de rigidez k = I / L.105 qN, qF = deslocamentos angulares nos apoios, dado em radianos e positivo no sentido106 horrio.107 y = rotao no apoio em funo do deslocamento vertical, y = D / L, dado em radianos e 108 positivo no sentido horrio.109

ABFEMLBA

LEI

MAB +

D-+=

32

2qq

BAFEMLAB

LEIMBA +

D-+= 322 qq

[ ] NFNN FEMEkM +-+= yqq 32.2

A.M.I.

321


110

111 FEMN = momento nos engastes, considerando o trecho como biengastado e positivo no112 sentido horrio.113 Para os casos em que na extremidade da viga o apoio do 1 ou do 2 gnero, tem-se:114

115 q116 MAB117

118

119 A y B120 D121 qA122

123 linha elstica y124 qB125 L126

127 Resultadno que a equao geral pode ser dada por:128

129 Nestes casos o momento de engaste FEMN deve ser obtido para uma viga engastada/apoiada.130

131 Exemplo 1:132 Determine os diagramas dos esforos solicitantes para a viga representada abaixo:133

134 P q135

136

137 A B C138

139 LAB/2 LAB/2 LBC140

141 y Seo transversal:142 t Trecho t tw b hw143 [mm]144 x AB 9,5 8,0 120,0 250,0145 hw BC 12,5 9,5 140,0 320,0146 tw147 Sendo: Ix = Ix' + y.A148 t Iy = Iy' + x.A149 Ix' = b.h/12150 b Iy' = h.b/12151 Seo Transversal152

153 Dados:154 Mdulo de elasticidade..........................................E = 2,1E+08 [kPa]155 Momento de inrcia no trecho AB...................................IAB = 4,9E-05 [m

4]

156 Momento de inrcia no trecho BC...................................IBC = 1,2E-04 [m4]

157 Vo AB........................................................ LAB = 4,0 [m]158 Vo BC......................................................... LBC = 6,0 [m]159 Carga concentrada.............................................. P = 100,0 [kN]160 Carga distribuda........................................ q = 40,0 [kN/m]161 Deslocamento vertical no apoio B..............................D = 0,030 [m]162

( ) NNN FEMkEM +-= yq...3

A.M.I.

421


163

164 Soluo:165

166 Clculo dos momentos de engastes:167 Trecho AB: Da tabela de vigas biengastadas, tem-se:168 FEMAB = -P.LAB/8 -50 [kNm] Sentido antihorrio169 FEMBA = P.LAB/8 50 [kNm] Sentido horrio170

171 Trecho BC: Da tabela de vigas biengastadas, tem-se:172 FEMBC = -q.LBC/12 -120,0 [kNm] Sentido antihorrio173 FEMCB = q.LBC/12 120,0 [kNm] Sentido horrio174

175 Clculo dos momentos internos nos apoios:176

177

178 Sendo: yAB = yBA = D/LAB 7,5E-03 [rad] Sentido horrio179 yBC = yCB = -D/LBC -5,0E-03 [rad] Sentido antihorrio180

181 Das condies de contorno do problema, verifica-se que nos apoios A e C a rotao, desloca-182 mento angular, igual a zero.183

184 qA qB qC y FEMN185 MAB 0,0 5126 0,0 -115,3 -50,0186 MBA 0,0 10252 0,0 -115,3 50,0187 MBC 0,0 17181 0,0 128,9 -120,0188 MCB 0,0 8591 0,0 128,9 120,0189

190 Verificando o equilbrio nos apoios, tem-se:191 SMB = 0 qB qC192 MBA + MBC = 0 2,7E+04 0,0E+00 -56193 Resultando que: qB = 2,1E-03 [rad] Sentido horrio194

195 Substituindo o valor de qB nas equaes dos momentos internos, tem-se:196

197 MAB = -154,8 [kNm] Sentido antihorrio198 MBA = -44,2 [kNm] Sentido antihorrio199 MBC = 44,2 [kNm] Sentido horrio200 MCB = 266,5 [kNm] Sentido horrio201

202

203 P MBA MBC q204 MAB205

206 MCB207 RA RB RC208 LAB/2 LAB/2 LBC209

210

211


A.M.I.

521


212

213 Clculo das reaes de apoio:214 Separando a viga em dois trechos AB e BC e analisando cada um deles independentemente:215

216 Trecho AB: z P MBA217 MAB218 x219

220 RA RB'221 LAB/2 LAB/2222

223 SMA = 0 RB'.LAB - MBA - P.(LAB/2) - MAB = 0224 RB' = 0,2 [kN]225 SFz = 0 RA + RB' - P = 0226 RA = 99,8 [kN]227

228 Trecho BC: z229 MBC q230

231 x232 MCB233 RB" RC234 LBC235

236 SMB = 0 RC.LBC - MCB - q.(LBC)/2 - MBC = 0237 RC = 171,8 [kN]238 SFz = 0 RB" + RC - q.LBC = 0239 RB" = 68,2 [kN]240

241 Portanto: RB = RB' + RB" = 68,5 [kN]242

243 Esforos internos:244

245 Trecho AB:246 Corte 1: 0 < x < LAB/2 SM1 = 0 .-RA.x - MAB + M1 = 0247 M1 = RA.x + MAB [kNm]248 Q1 = RA [kN] N1 = 0249

250 Corte 2: LAB/2 < x < LAB SM2 = 0 .-RA.x - MAB + P.[x - (LAB/2)] + M2 = 0251 M2 = RA.x + MAB - P.[x - (LAB/2)] [kNm]252 Q2 = RA - P [kN] N2 = 0253

254 Trecho BC:255 Corte 1: 0 < x < LBC SM1 = 0 .-RB".x - MBC + q.(x)/2 + M1 = 0256 M1 = -q.(x)/2 + RB".x + MBC [kNm]257 Q1 = -q.x + RB" [kN] N1 = 0258

259

260

261

262

A.M.I.

621


263

264 Diagramas dos esforos internos:265

266

267 Tab.1 - Resultados:268 Refer. x M Q269 [m] [m] [kNm] [kN]270 0 0,0 154,8 -99,8271 1 1,0 55,0 -99,8272 2 2,0 -44,7 -99,8273 3 3,0 -44,5 0,2274 4 4,0 -44,2 0,2275 4 0,0 -44,2 -68,2276 5 1,0 -92,4 -28,2277 6 2,0 -100,6 11,8278 7 3,0 -68,8 51,8279 8 4,0 3,0 91,8280 9 5,0 114,7 131,8281 10 6,0 266,5 171,8282

283

284

285

286

287

288

289

290

291

292

293

294

295

296

297

298 Exemplo 2:299 Dada a estrutura representada a seguir, determinar os diagramas dos esforos solicitantes.300

301 P1 P2302 q303

304

305 A B C D306

307 LAB/2 LAB/2 LBC a b308

309

310 Seo transversal:311 Trecho b h312 h [mm] [mm]313 AB 120,0 350,0314 BC 120,0 500,0315 b CD 120,0 300,0316

317 Seo transversal318

-150,0

-100,0

-50,0

0,0

50,0

100,0

150,0

200,0

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0

Distncia x [m]

Esf

or

o C

ort

ante

[kN

]

-150,0

-100,0

-50,0

0,0

50,0

100,0

150,0

200,0

250,0

300,0

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0

Distncia x [m]

Mo

men

to F

leto

r [k

Nm

]

A.M.I.

721


319


4]


324 Momento de inrcia no trecho CD...................................ICD = 2,7E-04 [m4]

325 Vo AB........................................................ LAB = 5,2 [m]326 Vo BC......................................................... LBC = 8,1 [m]327 Vo CD......................................................... LCD = 4,3 [m]328 Distncia........................................................ a = 1,8 [m]329 Distncia........................................................ b = 2,5 [m]330 Carga concentrada.............................................. P1 = 22,0 [kN]331 Carga concentrada.............................................. P2 = 12,0 [kN]332 Carga distribuda........................................ q = 14,0 [kN/m]333 Deslocamento vertical no apoio C..............................D = 0,000 [m]334

335 Soluo:336 Clculo dos momentos de engastes:337 Das tabelas de vigas biengastadas, tem-se:338

339 Trecho AB: Da tabela de vigas biengastadas, tem-se:340 FEMAB = (-P1.LAB/8) + (-q.LAB/12) -45,8 [kNm] Sentido antihorrio341 FEMBA = (P1.LAB/8) + (q.LAB/12) 45,8 [kNm] Sentido horrio342

343 Trecho BC: Da tabela de vigas biengastadas, tem-se:344 FEMBC = -q.LBC/12 -76,5 [kNm] Sentido antihorrio345 FEMCB = q.LBC/12 76,5 [kNm] Sentido horrio346

347 Trecho CD: Da tabela de vigas biengastadas, tem-se:348 FEMCD = -P2.b.a/LCD -7,3 [kNm] Sentido antihorrio349 FEMDC = P2.a.b/LCD 5,3 [kNm] Sentido horrio350

351 Clculo dos momentos internos nos apoios pela equao:352

353

354 Sendo: yBC = yCB = D/LBC 0,0000 [rad] 355 yCD = yDC = -D/LCD 0,0000 [rad] 356

357 Das condies de contorno do problema, verifica-se que no apoio A a rotao, deslocamento358 angular, igual a zero e no apoio D o momento fletor igual a zero:359

360 qA qB qC qD y FEMN361 MAB 0,0 2,0E+04 0,0 0,0 0,0 -45,8362 MBA 0,0 4,0E+04 0,0 0,0 0,0 45,8363 MBC 0,0 7,4E+04 3,7E+04 0,0 0 -76,5364 MCB 0,0 3,7E+04 7,4E+04 0,0 0 76,5365 MCD 0,0 0,0 3,0E+04 1,5E+04 0 -7,3366 MDC 0,0 0,0 1,5E+04 3,0E+04 0 5,3367


A.M.I.

821


368

369 Verificando o equilbrio nos apoios, tem-se:370

371 SMB = 0 qB qC qD372 MBA + MBC = 0 1,1E+05 3,7E+04 0,0E+00 -31373 SMC = 0 qB qC qD374 MCB + MCD = 0 3,7E+04 1,0E+05 1,5E+04 69375

376 Portanto: qB qC qD377 -1,1E+05 -3,2E+05 -4,6E+04 -212378 0,0E+00 -2,8E+05 -4,6E+04 -243379

380 Sendo no apoio D MDC = 0, logo:381 qC qD382 MDC = 1,5E+04 3,0E+04 5 . = 0,0383 2,8E+05 5,7E+05 99384 0,0E+00 5,2E+05 -145385

386 Resultando que: qD = 2,8E-04 [rad] Sentido horrio387 qC = -9,1E-04 [rad] Sentido antihorrio388 qB = 5,7E-04 [rad] Sentido horrio389

390 Resultando nos momentos internos dados por:391 MAB = -34,7 [kNm] Sentido antihorrio392 MBA = 68,2 [kNm] Sentido horrio393 MBC = -68,2 [kNm] Sentido antihorrio394 MCB = 30,4 [kNm] Sentido horrio395 MCD = -30,4 [kNm] Sentido antihorrio396 MDC = 0,0 [kNm] 397


400

401 Neste caso devemos alterar a equao para o momento de engaste FEMN para o Trecho CD,402 passando a utilizar a equao para vigas engastada/apoiadas, logo:403

404 Trecho CD:405 Da tabela de vigas biengastadas, tem-se:406 FEMCD = (-P2./LCD).[b.a + (a.b/2)] -9,9 [kN.m] Sentido antihorrio407

408 qA qB qC y FEMN409 MAB 0,0 2,0E+04 0,0 0,0 -45,8410 MBA 0,0 4,0E+04 0,0 0,0 45,8411 MBC 0,0 7,4E+04 3,7E+04 0 -76,5412 MCB 0,0 3,7E+04 7,4E+04 0 76,5413 MCD 0,0 0,0 2,3E+04 0 -9,9414

415

( ) NNN FEMkEM +-= yq...3

A.M.I.

921


416

417 Verificando o equilbrio nos apoios, tem-se:418 SMB = 0 qB qC419 MBA + MBC = 0 1,1E+05 3,7E+04 -31420 SMC = 0 qB qC421 MCB + MCD = 0 3,7E+04 9,7E+04 67422 Portanto: qB qC423 -1,1E+05 -3,0E+05 -204424 0,0E+00 -2,6E+05 -2,4E+02425

426 Resultando que: qC = -9,1E-04 [rad] Sentido antihorrio427 qB = 5,7E-04 [rad] Sentido horrio428

429 Resultando nos momentos internos dados por:430 MAB = -34,7 [kNm] Sentido antihorrio431 MBA = 68,2 [kNm] Sentido horrio432 MBC = -68,2 [kNm] Sentido antihorrio433 MCB = 30,4 [kNm] Sentido horrio434 MCD = -30,4 [kNm] Sentido antihorrio435 MDC = 0,0 [kNm] 436

437 P1 P2438 MAB MBA MBC q MCB MCD439

440

441

442 RA RB RC RD443 LAB/2 LAB/2 LBC a b444

445 Clculo das reaes de apoio:446 Separando a viga em treis trechos AB, BC e CD e analisando cada um deles, tem-se:447

448 Trecho AB: z P1449 q MBA450 MAB451 x452

453 RA RB'454 LAB/2 LAB/2455

456 SMA = 0457 RB'.LAB - MBA - P1.(LAB/2) - q.[(LAB)/2] - MAB = 0458 RB' = 53,9 [kN]459

460 SFz = 0461 RA + RB' - P - q.LAB = 0462 RA = 40,9 [kN]463

464

465

A.M.I.

1021


466

467 Trecho BC: z468 MBC q469

470 x471 MCB472 RB" RC'473 LBC474

475 SMB = 0 RC'.LBC - MCB - q.(LBC)/2 - MBC = 0476 RC' = 52,0 [kN]477

478 SFz = 0 RB" + RC - q.LBC = 0479 RB" = 61,4 [kN]480

481 Portanto: RB = RB' + RB" = 115,2 [kN]482

483 Trecho CD: z P2484

485 MCD486 x487

488 RC" RD489 a b490

491 SMC = 0 RD.LCD - P2.a - MCD = 0492 RD = -2,0 [kN]493

494 SFz = 0 RC" + RD - P2 = 0495 RC" = 14,0 [kN]496

497 Portanto: RC = RC' + RC" = 66,1 [kN]498

499 Esforos internos:500 Trecho AB:501 Corte 1: 0 < x < LAB/2502 SM1 = 0 .-RA.x - MAB + q.(x/2) + M1 = 0503 M1 = -q.(x/2) + RA.x + MAB [kNm]504 Q1 = -q.x + RA [kN] N1 = 0505

506 Corte 2: LAB/2 < x < LAB507 SM2 = 0 .-RA.x - MAB + q.(x/2) + P1.[x - (LAB/2)] + M2 = 0508 M2 = -q.(x/2) + RA.x + MAB - P1.[x - (LAB/2)] [kNm]509 Q2 = -q.x + RA - P1 [kN] N2 = 0510

511 Trecho BC:512 Corte 1: 0 < x < LBC513 SM1 = 0 .-RB".x - MBC + q.(x)/2 + M1 = 0514 M1 = -q.(x)/2 + RB".x + MBC [kNm]515 Q1 = -q.x + RB" [kN] N1 = 0516

A.M.I.

1121


517

518 Trecho CD:519 Corte 1: 0 < x < a SM1 = 0 .-RC".x - MCD + M1 = 0520 M1 = RC".x + MCD [kNm]521 Q1 = RC" [kN] N1 = 0522

523 Corte 2: a < x < LCD SM2 = 0 .-RC".x - MCD + P2.(x - a) + M2 = 0524 M2 = RC".x + MCD - P2.(x - a) [kNm]525 Q2 = RC" - P2 [kN] N2 = 0526


529 Tab.2 - Resultados:530 Refer. x M Q531 [m] [m] [kNm] [kN]532 0,0 0,0 34,7 -40,9533 1,3 1,3 -6,7 -22,7534 2,6 2,6 -24,5 -4,5535 3,9 3,9 10,0 35,7536 5,2 5,2 68,2 53,9537 6,6 1,4 -1,9 -42,5538 7,9 2,7 -46,4 -23,6539 9,3 4,1 -65,5 -4,7540 10,6 5,4 -59,1 14,2541 12,0 6,8 -27,1 33,1542 13,3 8,1 30,4 52,0543 14,2 0,9 17,8 14,0544 15,1 1,8 5,1 14,0545 15,7 2,4 3,8 -2,0546 16,4 3,1 2,6 -2,0547 17,0 3,7 1,3 -2,0548 17,6 4,3 0,0 -2,0549

550

551

552

553

554

555

556

557

558

559

560

561

562

563

564

565

566

567

568

569

570

571

-60,0

-40,0

-20,0

0,0

20,0

40,0

60,0

0,0 2,6 5,2 7,9 10,6 13,3 15,1 16,4 17,6

Distncia x [m]

Esf

oro

Cor

tant

e [k

N]

-80,0

-60,0

-40,0

-20,0

0,0

20,0

40,0

60,0

80,0

0,0 2,6 5,2 7,9 10,6 13,3 15,1 16,4 17,6

Distncia x [m]

Mom

ento

Fle

tor

[kN

m]

A.M.I.

1221


572

573 Exemplo 3:574 Dada a viga representada abaixo, determinar os diagramas dos esforos solicitantes.575 P2576 P1 q2577 q1 q1578

579

580 A M C581 B582 L1 L2 L3 L4583

584 Dados:585 L1 L2 L3 L4 M P1 P2 q1 q2586 [m] [m] [m] [m] [kNm] [kN] [kN] [kN/m] [kN/m]587 3,0 2,0 2,0 4,0 12,0 20,0 30,0 4,0 8,0588 Considere um recalque de................................3,0 [cm] no apoio B589 Para a seo transversal, considerar os dados a seguir:590 b591 z Trecho b hw t tw592 t [mm] [mm] [mm] [mm]593 AB 160,0 230,0 16,0 12,5594 y hw BC 160,0 230,0 16,0 12,5595 tw E = 2,1E+08 [kPa] constante.596 Onde: IAB = 9,02E-05 [m

4]

597 t IBC = 9,02E-05 [m4]

598 b LAB = L1 + L2 5,0 [m]599 LBC = L3 + L4 6,0 [m]600 Soluo:601 Clculo dos momentos de engastes:602 Das tabelas de vigas biengastadas, tem-se:603 Trecho AB:604 Da tabela de vigas biengastadas, tem-se:605 FEMAB = (-P1.L2.L1/LAB) + (-q1.LAB/12)+[-M.L2.(2L1-L2)/LAB] -21,8 [kNm] Sentido antihorrio606 FEMBA = (P1.L1.L2/LAB) + (q1.LAB/12)+[M.L1.(2L2-L1)/LAB] 24,2 [kNm] Sentido horrio607 Trecho BC:608 Da tabela de vigas biengastadas, tem-se:609 FEMBC = (-P2.L4.L3/LBC) + (-q1.LBC/12)+[-(q2-q1).L3/(12.LBC)].(4*LBC-3L3)

610 FEMBC = -40,0 [kNm] Sentido antihorrio611

612 FEMCB = (P2.L3.L4/LBC) + (q1.LBC/12)+[(q2-q1).L3/(12.LBC)].(6*LBC-8L3.LBC+3.L3)

613 FEMCB = 30,2 [kNm] Sentido horrio614


617

618 Sendo: yAB = yBA = D/LAB 6,0E-03 [rad] Sentido horrio619 yBC = yCB = -D/LBC -5,0E-03 [rad] Sentido antihorrio620


A.M.I.

1321


621

622 Das condies de contorno do problema, verifica-se que nos apoios A e C a rotao igual a 623 zero (deslocamento angular).624 qA qB qC y FEMN625 MAB 0,0 7,6E+03 0,0 -136 -21,8626 MBA 0,0 1,5E+04 0,0 -136 24,2627 MBC 0,0 1,3E+04 0,0 95 -40,0628 MCB 0,0 6,3E+03 0,0 95 30,2629

630 Verificando o equilbrio nos apoios, tem-se:631 SMB = 0 qB632 MBA + MBC = 0 2,8E+04 -5,8E+01633 Resultando que: qB = 2,1E-03 [rad] Sentido horrio634

635 Resultando nos momentos internos dados por:636 MAB = -142,5 [kNm] Sentido antihorrio637 MBA = -80,9 [kNm] Sentido antihorrio638 MBC = 80,9 [kNm] Sentido horrio639 MCB = 138,1 [kNm] Sentido horrio640 P1 P2 q2641 MAB q1 MBC642

643

644 A M C645 RA MBA RB MCB646 L1 L2 L3 L4 RC647

648 Clculo das reaes de apoio:649 Separando a viga em dois trechos AB e BC e analisando cada um deles, tem-se:650 Trecho AB: SMA = 0 RB'.LAB - MBA - M - P1.L1 - q1.[(LAB)/2] - MAB = 0651 RB' = -20,3 [kN]652

653 SFz = 0 RA + RB' - P1 - q1.LAB = 0654 RA = 60,3 [kN]655

656 Trecho BC: SMB = 0 RC.LBC - MCB - q1.(LBC)/2 - P2.L3 - (q2 - q1).L4.[(L4/2)+L3] - MBC = 0657 RC = 69,2 [kN]658

659 SFz = 0 RB" + RC - (q2 - q1).L4 - P2 - q1.LBC = 0660 RB" = 0,8 [kN]661 Portanto: RB = RB' + RB" = -19,4 [kN]662

663 Esforos internos:664 Trecho AB:665 Corte 1: 0 < x < L1 SM1 = 0 .-RA.x - MAB + q1.(x/2) + M1 = 0666 M1 = -q1.(x/2) + RA.x + MAB [kNm]667 Q1 = -q1.x + RA [kN] N1 = 0668

A.M.I.

1421


669

670 Corte 2: L1 < x < LAB SM2 = 0 .-RA.x - MAB + q1.(x/2) + P1.(x - L1) - M + M2 = 0671 M2 = -q1.(x/2) + RA.x + MAB - P1.(x - L1) + M [kNm]672 Q2 = -q1.x + RA - P1 [kN] N2 = 0673 Trecho BC:674 Corte 1: 0 < x < L3 SM1 = 0 .-RB".x - MBC + q1.(x/2) + M1 = 0675 M1 = -q1.(x/2) + RB".x + MBC [kNm]676 Q1 = -q1.x + RB" [kN] N1 = 0

677 Corte 2: L3 < x < LBC678 SM2 = 0 .-RB".x - MBC + q1.L3.[x - (L3/2)] + q2.(x - L3)/2 + P2.(x - L3) + M2 = 0679 M2 = RB".x + MBC - q1.L3.[x - (L3/2)] - q2.(x - L3)/2 - P2.(x - L3)680 Q2 = RB" - q1.L3 - q2.(x - L3) - P2 N2 = 0681


684 Tab.3 - Resultados:685 Refer. x M Q686 [m] [m] [kNm] [kN]687 0,0 0,0 142,5 -60,3688 0,8 0,8 98,4 -57,3689 1,5 1,5 56,6 -54,3690 2,3 2,3 17,0 -51,3691 3,0 3,0 -20,3 -48,3692 3,5 3,5 -46,0 -26,3693 4,0 4,0 -58,6 -24,3694 4,5 4,5 -70,3 -22,3695 5,0 5,0 -80,9 -20,3696 5,5 0,5 -80,8 1,2697 6,0 1,0 -79,7 3,2698 6,5 1,5 -77,7 5,2699 7,0 2,0 -74,6 7,2700 8,0 3,0 -33,4 45,2701 9,0 4,0 15,7 53,2702 10,0 5,0 72,9 61,2703 11,0 6,0 138,1 69,2704

705

706

707

708

709

710

711

712

713

714

715

716

717

718

719

720

721

-80,0

-60,0

-40,0

-20,0

0,0

20,0

40,0

60,0

80,0

0,0 0,8 1,5 2,3 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 7,0 8,0 9,0 10,0 11,0

Distncia x [m]

Esf

or

o C

ort

ante

[kN

]

-100,0

-50,0

0,0

50,0

100,0

150,0

200,0

0,0 1,5 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 9,0 11,0

Distncia x [m]

Mo

men

to F

leto

r [k

Nm

]

A.M.I.

1521


722

723 Exemplo 4:724 Determine os diagramas dos esforos solicitantes para a viga representada abaixo:725

726 q727

728

729

730 A B C731

732 LAB LBC733

734 Seo transversal:735 Seo tranversal anular, sendo o dimetro Trecho di de736 externo igual a "de" e o dimetro interno igual737 a "di". AB 300,0 310,0738 Sendo: I = p.(de4 - di4) / 64 BC 300,0 310,0739


4]


744 Vo AB........................................................ LAB = 3,0 [m]745 Vo BC......................................................... LBC = 4,0 [m]746 Carga distribuda........................................ q = 10,0 [kN/m]747 Deslocamento vertical no apoio B..............................D = 0,020 [m]748

749 Soluo:750 Clculo dos momentos de engastes:751 Das tabelas de vigas biengastadas, tem-se:752

753 Trecho AB: FEMAB = FEMBA = 0754

755 Trecho BC:756 Da tabela de vigas biengastadas, tem-se:757 FEMBC = -q.LBC/30 -5,3 [kN.m] Sentido antihorrio758 FEMCB = q.LBC/20 8,0 [kN.m] Sentido horrio759

760 Clculo dos momentos internos nos apoios:761 Sendo: yAB = yBA = D/LAB 6,7E-03 [rad] Sentido horrio762 yBC = yCB = -D/LCD 5,0E-03 [rad] Sentido horrio763

764 Das condies de contorno do problema, verifica-se que nos apoios A e C, o deslocamento765 angular igual a zero.766 qA qB qC y FEMN767 MAB 0,0 7801 0,0 -156,0 0,0768 MBA 0,0 15603 0,0 -156,0 0,0769 MBC 0,0 11702 0,0 -117,0 -5,3770 MCB 0,0 5851 0,0 -117,0 8,0771


A.M.I.

1621


772

773 Verificando o equilbrio nos apoios, tem-se:774 SMB = 0 qB775 MBA + MBC = 0 2,7E+04 -278,4776 Resultando que: qB = 1,0E-02 [rad]777

778 Resultando nos momentos internos dados por:779 MAB = -76,5 [kN.m] Sentido antihorrio780 MBA = 3,0 [kN.m] Sentido horrio781 MBC = -3,0 [kN.m] Sentido antihorrio782 MCB = -49,4 [kN.m] Sentido antihorrio783

784 q785 MAB MBA MBC MCB786

787

788

789

790 RA LAB RB LBC RC791

792 Clculo das reaes de apoio:793 Separando a viga em dois trechos AB e BC e analisando cada um deles, tem-se:794 Trecho AB: z795 MBA796 MAB797 x798

799 RA RB'800 LAB801

802 SMA = 0 RB'.LAB - MBA - MAB = 0803 RB' = -24,48 [kN]804 SFz = 0 RA + RB' = 0805 RA = 24,48 [kN]806

807 Trecho BC:808 z R q809 MBC810

811 x812 MCB813 RB" RC814 2.LBC/3 LBC/3815

816 LBC817

818 Sendo: R = q.LBC/2 20 [kN]819 SMB = 0 RC.LBC - MCB - R.(2.LBC/3) - MBC = 0820 RC = 0,23 [kN]821

A.M.I.

1721


822

823 SFz = 0 RB" + RC - R = 0824 RB" = 19,77 [kN]825

826 Portanto: RB = RB' + RB" = -4,7 [kN]827 Esforos internos:828 Trecho AB:829 Corte 1: 0 < x < LAB SM1 = 0 .-RA.x - MAB + M1 = 0830 M1 = RA.x + MAB [kN.m]831 Q1 = RA [kN] N1 = 0832

833 Trecho BC: Sendo:834 Corte 1: 0 < x < LBC q(x) = q.x/LBC835 R(x) = q(x).x/2 = q.x/(2.LBC)836 SM1 = 0837 .-RB".x - MBC + R(x).x/3 + M1 = 0838 M2 = -q.(x)/(6.LBC) + RB".x + MBC [kN.m]839 Q2 = -q.(x)/(2.LBC) + RB" [kN] N2 = 0840


843 Tab.3 - Resultados:844 Refer. x M Q845 [m] [m] [kN.m] [kN]846 0,0 0,0 76,5 -24,5847 0,4 0,4 67,3 -24,5848 0,8 0,8 58,1 -24,5849 1,1 1,1 48,9 -24,5850 1,5 1,5 39,8 -24,5851 1,9 1,9 30,6 -24,5852 2,3 2,3 21,4 -24,5853 2,6 2,6 12,2 -24,5854 3,0 3,0 3,0 -24,5855 3,5 0,5 -6,8 -19,5856 4,0 1,0 -16,3 -18,5857 4,5 1,5 -25,2 -17,0858 5,0 2,0 -33,2 -14,8859 5,5 2,5 -39,9 -12,0860 6,0 3,0 -45,0 -8,5861 6,5 3,5 -48,3 -4,5862 7,0 4,0 -49,4 0,2863

864

865

866

867

868

869

870

871

872

873

874

875

-30,0

-25,0

-20,0

-15,0

-10,0

-5,0

0,0

5,0

0,0

0,4

0,8

1,1

1,5

1,9

2,3

2,6

3,0

3,5

4,0

4,5

5,0

5,5

6,0

6,5

7,0

Distncia x [m]

Esf

or

o C

ort

ante

[kN

]

-60,0

-40,0

-20,0

0,0

20,0

40,0

60,0

80,0

100,0

0,0

0,4

0,8

1,1

1,5

1,9

2,3

2,6

3,0

3,5

4,0

4,5

5,0

5,5

6,0

6,5

7,0

Distncia x [m]

Mo

men

to F

leto

r [k

Nm

]

A.M.I.

1821


876

877 Exemplo 5:878 Dada a estrutura representada a seguir, determinar as constantes hiperestticas.879

880 q881

882

883 A D884 B C885 LAB LBC LCD886

887 Dados:888 Mdulo de elasticidade..........................................E = 2,1E+08 [kPa]889 Momento de inrcia no trecho AB...................................IAB = 1,5E+01 [m

4]

890 Momento de inrcia no trecho BC...................................IBC = 1,5E+01 [m4]

891 Momento de inrcia no trecho CD...................................ICD = 1,5E+01 [m4]

892 Vo AB........................................................ LAB = 15,0 [m]893 Vo BC......................................................... LBC = 15,0 [m]894 Vo CD......................................................... LCD = 15,0 [m]895 Carga distribuda........................................ q = 143,2 [kN/m]896 Deslocamento vertical no apoio B..............................DB = 0,050 [m]897 Deslocamento vertical no apoio C..............................DC = 0,075 [m]898

899 Soluo:900

901 Clculo dos momentos de engastes:902 Das tabelas de vigas biengastadas, tem-se:903

904 Trecho AB:905 Da tabela de vigas biengastadas, tem-se:906 FEMAB = -q.LAB/12 -2685,0 [kN.m] Sentido antihorrio907 FEMBA = q.LAB/12 2685,0 [kN.m] Sentido horrio908

909 Trecho BC:910 Da tabela de vigas biengastadas, tem-se:911 FEMBC = -q.LBC/12 -2685,0 [kN.m] Sentido antihorrio912 FEMCB = q.LBC/12 2685,0 [kN.m] Sentido horrio913

914 Trecho CD:915 Da tabela de vigas biengastadas, tem-se:916 FEMCD = -q.LCD/12 -2685,0 [kN.m] Sentido antihorrio917 FEMDC = q.LCD/12 2685,0 [kN.m] Sentido horrio918 Clculo dos momentos internos nos apoios pela equao:919

920

921 Sendo: yAB = yBA = DB/LAB 3,3E-03 [rad] Sentido horrio922 yBC = yCB = (DC - DB)/LBC 1,7E-03 [rad] Sentido horrio923 yCD = yDC = -DC/LCD -5,0E-03 [rad] Sentido antihorrio924

925


A.M.I.

1921


926

927 Das condies de contorno do problema, verifica-se que nos apoios A e D a rotao, desloca-928 mento angular, igual a zero.929

930 qA qB qC qD y FEMN931 MAB 0,0 4,3E+08 0,0 0,0 -4,3E+06 -2685,0932 MBA 0,0 8,6E+08 0,0 0,0 -4,3E+06 2685,0933 MBC 0,0 8,6E+08 4,3E+08 0,0 -2,1E+06 -2685,0934 MCB 0,0 4,3E+08 8,6E+08 0,0 -2,1E+06 2685,0935 MCD 0,0 0,0 8,6E+08 0,0 6,4E+06 -2685,0936 MDC 0,0 0,0 4,3E+08 0,0 6,4E+06 2685,0937

938 Verificando o equilbrio nos apoios, tem-se:939

940 SMB = 0 qB qC941 MBA + MBC = 0 1,7E+09 4,3E+08 -6,4E+06942

943 SMC = 0 qB qC944 MCB + MCD = 0 4,3E+08 1,7E+09 4,3E+06945

946 Portanto: qB qC947 -1,7E+09 -6,9E+09 -1,7E+07948 0,0E+00 -6,4E+09 -2,4E+07949

950 Resultando que: qC = -3,7E-03 [rad] Sentido antihorrio951 qB = 4,7E-03 [rad] Sentido horrio952

953 Resultando nos momentos internos dados por:954 MAB = -2,3E+06 [kN.m] Sentido antihorrio955 MBA = -2,8E+05 [kN.m] Sentido antihorrio956 MBC = 2,8E+05 [kN.m] Sentido horrio957 MCB = -3,3E+06 [kN.m] Sentido antihorrio958 MCD = 3,3E+06 [kN.m] Sentido horrio959 MDC = 4,9E+06 [kN.m] Sentido horrio960

961 7. Exerccios Propostos:962

963 Exerccio 1:964 Determinar os diagramas dos esforos solicitantes para a estrutura abaixo:965

966 P967 q968

969

970 A B C971

972 LAB/2 LAB/2 LBC973

974

A.M.I.

2021


975

976 Dados:977 b978 Seo transversal:979 t Trecho t tw b hw980 [mm]981 AB 12,5 9,5 250,0 250,0982 tw hw BC 12,5 9,5 120,0 300,0983

984

985 Seo transversal986

987 Mdulo de elasticidade..........................................E = 210,0 [GPa]988 Vo AB........................................................ LAB = 4,0 [m]989 Vo BC......................................................... LBC = 6,0 [m]990 Carga concentrada.............................................. P = 15,0 [kN]991 Carga distribuda........................................ q = 10,0 [kN/m]992 Deslocamento vertical no ponto B..................................DB = 4,0 [cm]993

994 Exerccio 2:995 Dada a estrutura representada a seguir, determinar os diagramas dos esforos solicitantes.996

997 P1 P2998 q999

###

### A B C D###

### LAB/2 LAB/2 LBC a b###

### y###

### t Seo transversal:### Trecho t tw b hw### x [mm]### hw AB 9,5 8,0 120,0 200,0### tw BC 9,5 8,0 140,0 220,0### CD 12,5 9,5 160,0 320,0### t###

### b### Seo transversal### Dados:### Mdulo de elasticidade..........................................E = 210,0 [GPa]### Vo AB........................................................ LAB = 4,0 [m]### Vo BC......................................................... LBC = 6,0 [m]### Vo CD......................................................... LCD = 12,0 [m]### Distncia........................................................ a = 3,2 [m]### Distncia........................................................ b = 8,8 [m]### Carga concentrada.............................................. P1 = 40,0 [kN]### Carga concentrada.............................................. P2 = 20,0 [kN]### Carga distribuda........................................ q = 20,0 [kN/m]### Deslocamento vertical no apoio C..............................DC = 5,0 [cm]###

A.M.I.

2121


###

### Exerccio 3:### Como exerccios propostos, refazer os exemplos e pesquisar exerccios na biblioteca.###

### Nota: S possvel aprender a disciplina se houver pesquisa e estudo, apenas### o material fornecido em sala de aula no garante um aprendizado 100%.###

###

###

###

###

###

###

### 8. Referncias bibliogrficas:### Campanari, F.A., "Teoria das Estruturas" - Volumes 1 4 - 1985 - GUANABARA DOIS.### Hibbeler, R.C.,"Structural Analysis" - third edition - 1997 - PRENTICE HALL INC.### Timoshenko, S.P. & Young, D.H., "Theory of Structures" - McGRAW-HILL.### Soriano, H.L. e Souza Lima, S., "Anlise de Estruturas" - 2 Edio - Editora Cincia Moderna.###

###

###

###

###

###

###

###

###

###

###

###

###

###

###

###

###

###

###

###

###

###

###

###

###

###

###

###

###

###

###

###

###

###

###

###

###

A.M.I.

Metodo Da Rigidez Vigas 2015

Documents