1 Università Commerciale Luigi Bocconi – Milano Facoltà di Economia-Corso di Laurea in Economia delle Istituzioni e dei Mercati Finanziari “METODI DI VALUTAZIONE DELLE OPZIONI” Docente Tutor: Prof. Gabriele Gurioli Lavoro Finale di: Assunta Perone Matr.N°1044197
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
1
Università Commerciale Luigi Bocconi – Milano
Facoltà di Economia-Corso di Laurea in Economia delle Istituzioni e dei Mercati Finanziari
“METODI DI VALUTAZIONE DELLE OPZIONI”
Docente Tutor: Prof. Gabriele Gurioli
Lavoro Finale di: Assunta Perone
Matr.N°1044197
2
INDICE
• INTRODUZIONE
• PROPRIETÀ FONDAMENTALI DELLE OPZIONI
o 1.1 PUT-CALL PARITY
o 1.2 OPZIONI AMERICANE
1.2.1 CALL AMERICANA
1.2.2 PUT AMERICANA
1.2.3 PUT-CALL PARITY
• 2. MODELLI DI PRICING
O 2.1 IL MODELLO BINOMIALE
2.1.1 OPZIONI AMERICANE
2.1.2 ALBERI BINOMIALI PER TITOLI CHE PAGANO DIVIDENDI
o 2.2 IL MODELLO DI BLACK E SCHOLES
2.2.1 APPROSSIMAZIONE DI BLACK
o 2.3 IL METODO MONTE CARLO
2.3.1 OPZIONI AMERICANE
• 3. FORMULE ANALITICHE PER LE OPZIONI AMERICANE
o 3.1 THE BARONE-ADESI AND WHALEY APPROXIMATION (1987)
O 3.2 THE BJRKSUND AND STENSLAND APPROXIMATION (1993)
3
INTRODUZIONE
Il fine di questo lavoro è quello di studiare i modelli di pricing delle opzioni americane
con o senza dividendi. La caratteristica che rende difficile la valutazione è il
cosiddetto early exercise, cioè esercizio anticipato. La complessità del problema è
quella di decidere se esercitare il diritto insito all’acquisto di un’opzione in un istante
precedente la scadenza, oppure rimandare la decisione. Logicamente un diritto
addizionale comporta un maggior valore, ma anche maggiori problematiche di
valutazione. La trattazione del prezzo di un’opzione è oggetto di una vasta letteratura
matematica, all'interno della quale sono particolarmente affermati, nonostante alcuni
limiti intrinseci, i modelli di Cox-Ross-Rubistein (modello binomiale) e la Formula di
Black e Scholes.
Prima sono stati presentati e analizzati gli aspetti teorici relativi alle proprietà delle
opzioni europee e americane. In seguito sono stati illustrati in dettaglio i più rilevanti
modelli di pricing (presenti nella letteratura specializzata) tra cui la formula di Black e
Scholes, l’approssimazione di Black, la metodologia del modello binomiale e il
Metodo Monte Carlo.
Ognuno di questi modelli utilizza un approccio diverso: la formula di Black e Scholes
per le opzioni europee risolve esattamente l’equazione differenziale parziale (ma non
considera in alcun modo la possibilità di esercizio anticipato), l’approssimazione di
Black utilizza una procedura approssimata per valutare le calls americane su titoli
che pagano dividendi; l’approccio dell’albero binomiale utilizza un metodo numerico e
si basa sul concetto di risk-neutral valutation.
4
1. PROPRIETÀ FONDAMENTALI DELLE OPZIONI Le opzioni sono strumenti derivati, ossia valori mobiliari derivati dalla contrattazione
dei titoli sottostanti.
Le opzioni furono quotate per la prima volta in un mercato ufficiale nel 1973 negli
Stati Uniti, ma le loro origini risalgono all’antica Grecia. Si narra infatti che Talete,
astrologo greco, fosse stato in grado di predire l’andamento del raccolto delle olive
consultando gli astri. Grazie a questa conoscenza, egli aveva acquistato dagli
agricoltori il diritto di utilizzare il prodotto del raccolto nella stagione successiva. Le
sue previsioni si rivelarono corrette ed egli poté quindi esercitare tale diritto,
rivendendo poi il raccolto agli agricoltori vicini, lucrando un profitto.
Anche se il concetto d’opzione era già noto da parecchio tempo, è solamente con
l’istituzione del Chicago Board of Options Exchange (CBOE) nell’ottobre del 1973 - il
primo mercato opzionario in assoluto al mondo - che avviene il vero e proprio
sviluppo delle contrattazioni di opzioni, grazie anche alla seguente crescita di
sicurezza che un mercato regolamentato poteva dare ai vari operatori e speculatori
finanziari. Le prime opzioni regolate al CBOE furono delle call su un paniere di 16
azioni del mercato azionario americano. In seguito furono introdotte anche opzioni su
attività sottostanti diverse da azioni.
In finanza con il termine “opzione” si intende quel particolare tipo di titolo derivato che
concede al possessore il diritto, ma non il dovere di comprare (opzioni call) o di
vendere (opzioni put) un determinato sottostante a una determinata scadenza
(opzione europea) o entro una data scadenza (opzione americana).
Quindi a differenza degli altri strumenti derivati il possessore non è obbligato ad
acquistare/vendere il sottostante, ma può farlo se esercitando l'opzione ne trae una
convenienza economica. Da ciò la conseguente definizione di titoli derivati
asimmetrici.
Gli elementi fondamentali che caratterizzano un’ opzione sono:
• Prezzo dell’attività sottostante (S): rappresenta il valore dell’oggetto del diritto
d’opzione. Le opzioni possono avere diversi tipi di sottostante: azioni, valute estere,
indici azionari, futures o una generica merce.
5
• Strike price (K): è il prezzo al quale l’holder acquista o vende l’attività sottostante.
• La vita residua (T).
• Il tasso di rendimento a breve termine privo di rischio (r): Corrisponde al
rendimento nominale dei titoli di Stato
• La volatilità del prezzo dell’attività sottostante (σ). Scarto quadratico medio del
tasso annuo istantaneo del rendimento del sottostante.
• I dividendi attesi durante la vita dell’opzione (D)
A seconda delle modalità d’esercizio distinguiamo:
• Opzioni europee: possono essere esercitate solo nella data di scadenza.
• Opzioni americane: possono essere esercitate in qualsiasi momento prima della
data di scadenza.
• Opzioni bermuda: l'esercizio è consentito solo in determinate date o durante
specifici intervalli di tempo.
Sia all’interno che all’esterno degli Stati Uniti la maggior parte delle opzioni
standardizzate quotate in mercati regolamentari sono di tipo americano; opzioni
europee si trovano tipicamente in mercati OTC.
Con riferimento al rapporto esistente tra prezzo di esercizio e prezzo di mercato, le
opzioni possono essere definite:
• In the money quando il detentore avrebbe convenienza ad esercitare l’opzione se
fosse alla scadenza. Nel caso di una call, le opzioni sono definite IN THE MONEY in
presenza di uno strike price inferiore al prezzo di mercato (K<ST); nel caso di una
put, le opzioni sono definite IN THE MONEY in presenza di uno strike price superiore al
prezzo di mercato (K>ST) .
• At the money quando il detentore è in posizione di indifferenza in merito alla vendita
o all’acquisto del sottostante; ciò accade quando lo strike price coincide con il prezzo
di mercato (K=ST).
• Out of the money quando il detentore non avrebbe convenienza ad esercitare
l’opzione se fosse alla scadenza. Nel caso di una call, le opzioni sono definite OUT OF
THE MONEY in presenza di uno strike price superiore al prezzo di mercato (K>ST); nel
6
caso di un’opzione put, le opzioni sono definite OUT OF THE MONEY in presenza di uno
strike price inferiore al prezzo di mercato (K<ST).
In ogni contratto d' opzione esistono due parti: l’ acquirente e il venditore. Da un lato
c’è l’acquirente di una call o di una put che entra in una posizione lunga (long
position) sull’opzione. In tal caso l’acquirente paga il premio al venditore e acquisisce
il diritto di comprare o vendere il sottostante. Di converso il soggetto che vende una
call o una put entra in una posizione corta (short position) sull’opzione. Il venditore ha
un introito iniziale, ma è obbligato a vendere o comprare il sottostante in caso di
eventuale esercizio. Per capire i meccanismi sottostanti al prezzo di un’opzione
esaminiamo innanzitutto le possibili transazioni e i risultanti payoffs alla scadenza
associati alle put e alle call.
Esistono quattro tipi di posizioni su opzioni:
1. posizione lunga su call payoff= max(ST-k; 0)
2. posizione corta su call payoff= - max(ST-k; 0)
CALL
ACQ CALLVEND CALL
3. posizione lunga su put payoff= max(K-ST; 0)
4. posizione corta su put payoff=-max(K-ST; 0)
K ST
7
Da notare che non si realizza una perfetta simmetria nei payoffs di call e put in
quanto pur avendo entrambi un limite inferiore si differenziano a riguardo del
limite superiore.
probabilità
payoff
CALL
PUT
Payoff di put e call a confronto
PUT
ACQ PUTVEND PUT
K ST
8
1.1 PUT-CALL PARITY Se le opzioni put e call sono sottoscritte sullo stesso titolo, hanno lo stesso prezzo di
esercizio e la stessa scadenza, esiste una relazione deterministica che lega i loro
prezzi.
Procediamo ora ad illustrare tale relazione costruendo due portafogli contenenti:
• portafoglio A: una call europea più un investimento di Ke-rT nel titolo risk-free
• portafoglio B: una put europea più l’azione sottostante
Il valore del portafoglio A al tempo T è dato da:
ST≤K ST >K
Call 0 ST -K
Risk-free asset K K
Totale K ST
Il valore del portafoglio B al tempo T è dato da:
ST≤K ST >K
Put K-ST 0
Azione ST ST
Totale K ST
Come si nota entrambi i portafoglio valgono alla scadenza delle opzioni
max(ST, K)
Le opzioni sono europee e quindi non possono essere esercitate prima della
scadenza . Se i portafogli hanno lo stesso payoff, devono anche avere lo stesso
costo per evitare l’arbitraggio. Ciò vuo dire che:
9
c + Ke-rT = p + S0
Questa relazione è chiamata parità put-call. Se la relazione fosse violata
esisterebbero opportunità di arbitraggio.
Infatti se:
c > p - Ke-rT + S0
converrebbe vendere la call e lo Zero-Coupon ed acquistare la put e l’azione
sottostante.
D’altra parte se:
c < p - Ke-rT + S0
converrebbe acquistare la call e l’obbligazione e vendere la put insieme all’azione.
1.2 OPZIONI AMERICANE
A causa della possibilità di esercizio anticipato, non c’è una soluzione analitica
per valutare un’opzione americana. Ciò è dovuto al fatto che per valutare
l’opzione bisogna conoscere quando sia ottimale esercitarla, e per sapere se sia
ottimale esercitare l’opzione bisogna conoscere il suo valore. Così si crea un
circolo vizioso che non può essere superato analiticamente. Da un punto di vista
matematico le difficoltà connesse con la valutazione delle opzioni americane si
possono sintetizzare nel fatto che l’epoca ottima di esercizio si deve determinare congiuntamente con la soluzione. Malgrado i numerosi e intensi sforzi profusi negli
ultimi due decenni, si può affermare che il problema di valutazione delle opzioni
americane non ha ancora trovato una soluzione pienamente soddisfacente. Poiché
un’opzione americana offre maggiore flessibilità rispetto a una europea,
permettendo al suo proprietario di esercitare l’opzione in qualunque momento
prima della scadenza, un’opzione americana (C) scritta sullo stesso sottostante e
con uguale strike price di un’opzione europea (c) verrà venduta a un prezzo
maggiore o per lo meno allo stesso prezzo. Ciò è una semplice conseguenza che
diritti addizionale non possono avere un valore negativo
10
C (ST, T, K) ≥ c(ST, T, K).
Le opzioni americane possono essere esercitate sempre prima della scadenza.
La domanda è se conviene farlo.
1.2.1 CALL AMERICANA
Dimostreremo, tramite un argomentazione d’arbitraggio che il diritto di esercitare
anticipatamente l’opzione quando il titolo sottostante non produce flussi di reddito
ha valore nullo (per una call americana scritta su un titolo che non paga dividendi
non è mai conveniente esercitare anticipatamente).
Useremo la seguente simbologia:
C: prezzo di una call americana per l’acquisto d un’azione
c: prezzo della corrispondente call europea
P: prezzo di una put americana per l’acquisto d un’azione
p: prezzo della corrispondente put europea
S: prezzo corrente dell’azione
K: strike price dell’opzione
T: scadenza dell’opzione
ST: prezzo dell’azione al tempo T
Consideriamo una call americana con scadenza T, e assumiamo che essa sia IN
THE MONEY al tempo t. Analizziamo due investimenti separati:
A. esercitare l’opzione al tempo t
B. detenere l’opzione fino alla scadenza T ed esercitarla.
Ipotizziamo che entrambi abbiano un valore positivo al tempo T. Per finanziare il
primo investimento, vendiamo un bond con scadenza T e usiamo il ricavo per
pagare lo strike price K. Così al tempo T avremo
ST-e r(T-t)K
11
Dall’altro lato detenere l’opzione fino alla scadenza vale max (ST- K,0) .
Assumiamo r>0, poiché t<T allora abbiamo che e r(T-t)>1 quindi avremo sempre
ST-e r(T-t)K < max (ST- K,0)
Sia se ST >K sia nel caso contrario
Ne segue che una call americana scritta su un titolo che non paga dividendi non
dovrebbe mai essere esercitata prima della scadenza. Pertanto essa vale quanto
la corrispondente call europea:
C=c
Un motivo per cui la call non dovrebbe mai essere esercitata prima della
scadenza è legato all’assicurazione che essa offre. Infatti una call, quando viene
tenuta al posto dell’azione sottostante, protegge il detentore contro la caduta del
prezzo dell’azione al di sotto del prezzo d’esercizio. Una volta che l’opzione sia
stata esercitata ed il prezzo d’esercizio viene scambiato con l’azione
quest’assicurazione svanisce. Un altro motivo ha a che fare con il valore
temporale del denaro. Più tardi si paga il prezzo d’esercizio, meglio è.
Quando ci si attende che vengano distribuiti dividendi, non è più possibile
affermare che una call americana non verrà mai esercitata anticipatamente.
Talvolta è ottimale esercitare una call americana immediatamente prima di una
data di stacco dei dividendi. Lo stacco del dividendo farà diminuire il prezzo
dell’azione facendo così diminuire il prezzo dell’opzione. Non è mai conveniente
esercitare la call in altri momenti.
Se il bene sottostante l’opzione call americana paga, all’epoca t1 < T , un
dividendo discreto di ammontare D1, allora l’esercizio dell’opzione prima della
scadenza può risultare vantaggioso solo se
D1 > K(1-e-r(T-t1))
12
In ogni caso, per ottenere il massimo profitto, l’esercizio deve avvenire subito
prima dello stacco del dividendo.
I problemi connessi con la valutazione delle opzioni call americane emesse su titoli
che pagano dividendi sono stati studiati in vari contributi; fra questi si possono
ricordare Roll (1977), Geske (1979) e Whaley (1981). Una formula analitica per la
valutazione di un’opzione call americana emessa su un titolo azionario che paga un