Metode Cakram: Metode Cincin silinder

Integral (III) – Menghitung Volume Benda   Putar Posted on August 5, 2012 by alicealc       2 Votes

Ada 2 metode menghitung volume benda putar dengan menggunakan integral, yaitu:

1. Metode cakram

berdasarkan rumus Volume = Luas Alas × tinggi Luas Alas selalu berupa lingkaran sehingga Luas Alas = πr2

(r adalah jari-jari putaran) digunakan jika batang potongan yang dipilih tegak lurus

dengan sumbu putar

2. Metode cincin silinder

berdasarkan pengertian bahwa jika suatu luasan diputar terhadap sumbu tertentu, akan terbentuk suatu benda putardengan volume sebesar luasan tersebut dikalikan dengan keliling putaran

karena keliling lingkaran = 2πr, jika luas bidang yang diputar = A, maka volume = 2πr × A

digunakan jika batang potongan sejajar dengan sumbu putar

Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada penjelasan dan contoh-contoh berikut ini:

Diputar pada sumbu x

Contoh 1:

Hitung volume benda putar yang terbentuk jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2, sumbu x, dan 0 ≤ x ≤ 2 diputar terhadap sumbu x

Metode cakram:

Metode cincin silinder:

Contoh 2:

Hitung volume benda putar yang terbentuk jika daerah yang dibatai oleh kurva y = x2 dan y = –x2 + 4x diputar terhadap sumbu x

Kurva merah: y = x2, kurva hijau: y = –x2 + 4x

Perpotongan kedua kurva:

x2 = –x2 + 4x

x2 + x2 – 4x = 0

2x2 – 4x = 0

2x(x – 2) = 0

2x = 0 atau x = 2

x = 0 atau x = 2

x = 0 → y = 02 = 0

x = 2 → y = 22 = 4

Jadi perpotongan kedua kurva pada (0, 0) dan (2, 4)

Metode cakram:

Metode cincin silinder:

Diputar terhadap sumbu y:

Contoh 3:

Hitung volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan garis y = 2x diputar mengelilingi sumbu y

Perpotongan kurva dan garis:

x2 = 2x

x2 – 2x = 0

x(x – 2) = 0

x = 0 atau x = 2

x = 0 → y = 02 = 0

x = 2 → y = 22 = 4

Jadi titik potong kurva dan garis adalah (0, 0) dan (2, 4)

Metode cakram:

Metode cincin silinder:

Contoh 4:

Jika daerah yang dibatasi oleh kurva x = (y – 2)2 dan garis x +y = 4 diputar mengelilingi sumbu y, maka volume benda putar yang terjadi adalah …

Perpotongan kurva dan garis:

x + y = 4 → x = 4 – y

(y – 2)2 = 4 – y

y2 – 4y + 4 = 4 – y

y2 – 4y + 4 – 4 + y = 0

y2 – 3y = 0

y(y – 3) = 0

y = 0 atau y = 3

y = 0 → x = 4 – 0 = 4

y = 3 → x = 4 – 3 = 1

Jadi titik potong kurva dan garis (4, 0) dan (1, 3)

Metode cakram:

Metode cincin silinder:

Diputar terhadap garis x = p:

Contoh 5:

Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan y = 6x – x2 diputar mengelilingigaris x = 4

kurva hitam: y = x2, kurva merah: y = 6x – x2, garis biru: x = 4

Perpotongan kurva dan garis:

x2 = 6x – x2

x2 + x2 – 6x = 0

2x2 – 6x = 0

2x(x – 3) = 0

x = 0 atau x = 3

x = 0 → y = 02 = 0

x = 3 → y = 32 = 9

Metode cakram:

**pada contoh 6 – contoh 8, karena digunakan kurva yang sama, hanya sumbu putar yang berbeda, penjabaran kurva di atas tidakditulis lagi.

Metode cincin silinder:

Contoh 6:

Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan y = 6x – x2 diputar mengelilingigaris x = –1

kurva hitam: y = x2, kurva merah: y = 6x – x2, garis merahmuda: x = –1

Metode Cakram:

Metode Cincin silinder:

Diputar terhadap garis y = a:

Contoh 7:

Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan y = 6x – x2 diputar mengelilingigaris y = –1

kurva hitam: y = x2, kurva merah: y = 6x – x2, garis biru: y = –

1

Metode cakram:

Metode cincin silinder:

Contoh 8:

Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan y = 6x – x2 diputar mengelilingigaris y = 10

kurva merah muda: y = x2, kurva merah: y = 6x – x2, garis biru:

y = 10

Metode cakram:

Metode cincin silinder: