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Chapitre 5
Mthodes dintgration numrique
Le butLe but de ce chapitre est daborder le calcul gnral de
lintgrale dune fonction f(x) sur un domaine
fini dlimit par des bornes finies a et b (les cas des bornes
infinies nest donc pas couvert ici) :
I =
Z baf(x)dx . (5.1)
Les motivationsDans certains cas trs limits, une telle intgrale
peut tre calcule analytiquement ( la main). Cepen-
dant, ce nest que trs rarement possible, et le plus souvent un
des cas suivants se prsente : Le calcul analytique est long,
compliqu et rbarbatif Le rsultat de lintgrale est une fonction
complique qui fait appel dautres fonctions elles-mmelongues
valuer
Cette intgrale na pas dexpression analytique (par exemple la
fonction erreur : Erf(x) = 2p
R x0 e
x02dx0).Dans tous ces cas, on prfrera calculer numriquement la
valeur de lintgrale I.
Le principeLide principale est de trouver des mthodes qui
permettent de calculer rapidement une valeur approcheeI de
lintgrale calculer : eI I (5.2)
Comme toujours, un programme numrique ninvente rien, et ne fait
que procder trs rapidement un calculque lon pourrait en principe
faire la main. Une mthode bien connue consiste par exemple diviser
lairesous la courbe en un grand nombre de petits rectangles daire
eIk et de les sommer. Le rsultat eI = Pk eIkest alors une
approximation de lintgrale I. Cette approximation est dautant
meilleure que la largeur h desrectangles tend vers 0, cest dire :
limh!0 eI = I. Cette mthode dite des rectangles est un exemple
parmidautres. Nous le reverrons, mais nous verrons aussi dautres
mthodes, plus gnrales et plus performantes.
Pour presque toutes les mthodes (sauf la mthode de Monte-Carlo),
lintgrale numrique est calcule partir de lvaluation de la fonction
f(x) en un nombre de point n+1 distincts : fk = f(xk), k 2 [0, n].
Ellescrit alors : eI = (b a) nX
k=0
wkfk (5.3)
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Universit Paul Sabatier 2014-2015 CHAPITRE 5. MTHODES
DINTGRATION NUMRIQUE
Dans ce cas, on parle de mthodes de quadrature.
Nous allons voir 4 types de mthodes direntes :1.1- Les mthodes
de Newton-Cotes simples1.2- Les mthodes de Newton-Cotes
composites1.3- Les mthodes de Gauss-Legendre1.4- Les mthodes de
Monte-Carlo
PerformancesLa performance dune mthode se juge en comparant la
prcision du rsultat : Celle-ci se caractrise en estimant lerreur
entre lapproximation et la valeurrelle de lintgrale :
= I eI (5.4)La valeur de lerreur ne peut pas tre calcule
exactement puisquen gnral, on ne connat pas lint-grale I que lon
cherche calculer. Cependant, une majoration peut souvent tre estime
en tudiantle dveloppement en srie de Taylor de la fonction
f(x).
La rapidit dexcution ncessaire pour atteindre ce rsultat. De
manire gnrale, toutes les mthodespeuvent atteindre de trs grandes
prcisions. Cependant, le temps de calcul augmente avec la
prci-sion. Ce temps naugmente pas de la mme manire pour toutes les
mthodes si bien que certainessavrent plus ecaces que dautres. En
particulier, le temps de calcul des mthodes de quadrature
estproportionnel au nombre de points o la fonction f(x) est
value.
5.1 Lois de Newton-Cotes simplesComme nous allons le voir, les
mthodes de Newton-Cotes simples ne permettent pas,
elles-seules,
datteindre des prcisions susantes sur des intervalles [a, b]
finis et ne sont donc jamais utilises dans cecas. En revanche,
elles deviennent prcises lorsque |b a|! 0, et elles constituent
alors la base lmentairedes mthodes composites prsentes dans la
section suivante.
5.1.1 PrincipeLe principe gnrale des mthodes de Newton-Cotes
simples est dapproximer la fonction f(x) int-
grer par un polynme P (x) f(x). Si cette approximation est
susamment bonne alors, lintgrale de cepolynme eI = Z b
aP (x)dx (5.5)
sera une bonne approximation de I =R ba f(x)dx. Lavantage est
que lon sait calculer analytiquement la
valeur exacte de eI. Dans ces mthodes, on choisit des polynmes
de degr p qui concident avec f(x) en p+1points distincts, espacs
rgulirement entre les bornes a et b. Ces points sont situs aux
positions :
{xk = a+ kh, k 2 [0, p]} avec h = b ap
(5.6)
On a alors 8k 2 [0, p] P (xk) = fk = f(xk).Des polynmes de degrs
dirents dfinissent des mthodes direntes aux performances
direntes.
Nous allons voir les plus courantes, cest dire les mthodes
dordres les plus bas.
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CHAPITRE 5. MTHODES DINTGRATION NUMRIQUE Universit Paul Sabatier
2014-2015
5.1.2 Mthode du rectangle (p = 0)
Cette mthode utilise le polynme de degr le plus bas, savoirle
polynme constant :
P0(x) = f(a) = f0. (5.7)
Lintgrale approche eI0 = R ba P0(x)dx se calcule alors
triviale-ment et donne : eI0 = (b a)f0 (5.8)Il sagit de laire du
rectangle.
Cette intgrale numrique ncessite une unique valuation de la
fonction f (en x0 = a) et reprsente doncce quon peut faire de plus
rapide.
Lerreur peut tre estime en utilisant les dveloppements en srie
de Taylor ou le thorme des accrois-sements finis on trouve alors
pour h = b a :
9 2 [a, b] 0 = h2
2f 0() c.a.d. |0| h
2
2Sup[a,b] (|f 0|) (5.9)
Dmonstration : Pour calculer lerreur, on peut utiliser le thorme
des accroissements finis : 8x 2 [a, b], 9 2 [a, b]tel que :
f(x) = f(a) + (x a)f 0()
En remplaant dans lexpression de lintgrale et de lerreur, on
trouve :
= I eI=
Z ba
(f(x) P0(x)) dx =Z ba
(f(x) f(a)) dx
=
Z ba
(x a)f 0()dx = f 0()Z ba0
xdx
=(b a)2
2f 0() =
h2
2f 0()
Lerreur nest pas connue car la valeur de 2 [a, b] reste
indtermine. Cependant, on peut la majorerpar la plus grande valeur
de la drive sur le domaine considr. Quelques remarques sur cette
erreur :
Cette mthode dintgration est exacte pour toutes les fonctions f
constantes (dans ce cas 0 = 0puisque quelles vrifient f 0 = 0).
Dans le cas plus gnral cette mthode est dautant plus prcise queles
variations de f sont faibles (f 0 petit).
Plus le domaine [a, b] est petit, plus lerreur est faible. Cette
erreur dcroit en h2.
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Universit Paul Sabatier 2014-2015 CHAPITRE 5. MTHODES
DINTGRATION NUMRIQUE
5.1.3 Mthode du point milieu (p = 0)
Cette mthode utilise galement le polynme constant pourapproximer
la fonction f . Cependant, elle exploite mieux lessymtries du
problme en choisissant la valeur milieu :
P00(x) = f
a+ b
2
= f0. (5.10)
Lintgrale approche eI00 = R ba P0(x)dx se calcule alors
trivia-lement et donne : eI00 = (b a)f0 (5.11)Il sagit de laire du
rectangle. Cette mthode ncessite une unique valuation de la
fonction f (en x0 =(a+ b)/2) et correspond donc aussi ce quon peut
faire de plus rapide.
Lerreur peut tre estime en utilisant les dveloppements en srie
de Taylor, ou le thorme des accrois-sements finis. On trouve alors
pour h = b a :
9 2 [a, b] 00 = h3
24f 00() c.a.d. |00 | h
3
24Sup[a,b] (|f 00|) (5.12)
Dmonstration : Pour calculer lerreur, on peut utiliser le thorme
des accroissements finis au deuxime ordre :8x 2 [a, b], 9 2 [a, b]
tel que :
f(x) = f
a+ b2
+
x a+ b
2
f 0a+ b2
+
x a+ b
2
2 f 00()2
En remplaant dans lexpression de lintgrale et de lerreur, on
trouve :
= I eI=
Z ba
(f(x) P0(x)) dx =Z ba
f(x) f
a+ b2
dx
=
Z ba
"x a+ b
2
f 0a+ b2
+
x a+ b
2
2 f 00()2
#dx
= f 0a+ b2
Z ba2
ba2xdx+
f 00()2
Z ba2
ba2x2dx = 0 +
f 00()3
b a2
3=
h3
3f 00()
Lerreur nest pas connue car la valeur de 2 [a, b] reste
indtermine. Cependant, on peut la majorerpar la plus grande valeur
de la drive seconde sur le domaine considr. Quelques remarques sur
cetteerreur :
Du fait des symtries, cette mthode dintgration est exacte pour
les fonctions f constante, mais aussipour les fonctions anes (dans
ce cas 00 = 0 puisquelles vrifient f 00 = 0).
Dans le cas plus gnral, cette mthode est dautant plus prcise que
les variations de f sont faibles(f 00 petit).
Plus le domaine [a, b] est petit, plus lerreur est faible. Cette
erreur dcroit en h3, cest dire plus viteque lerreur de la mthode
prcdente : 00/0 / h ! 0. Ainsi, pour des domaines [a, b]
susammentpetits, la mthode du point milieu est toujours plus prcise
que la mthode prcdente.
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CHAPITRE 5. MTHODES DINTGRATION NUMRIQUE Universit Paul Sabatier
2014-2015
5.1.4 Mthode du trapze (p = 1)
Pour approximer la fonction f , cette mthode utilise le
polynmedordre 1 (la droite) qui passe par f0 = f(a) et f1 = f(b)
:
P1(x) =f0 + f1
2+f1 f0b a
x a+ b
2
(5.13)
Lintgrale approche eI1 = R ba P1(x)dx se calcule alors
mathma-tiquement ou gomtriquement et donne :
eI1 = (b a)f0 + f12
(5.14)
Il sagit de laire du trapze. Cette mthode ncessite deux
valuations de la fonction f (en a et en b). Elleest donc en gros
deux fois plus lente que les mthodes prcdentes.
Lerreur peut tre estime en utilisant les dveloppements en srie
de Taylor, ou le thorme des accrois-sements finis. On trouve alors
1 pour h = b a :
9 2 [a, b] 1 = h3
12f 00() c.a.d. |1| h
3
12Sup[a,b] (|f 00|) (5.15)
Lerreur nest pas connue car la valeur de 2 [a, b] reste
indtermine. Cependant, on peut la majorerpar la plus grande valeur
de la drive seconde sur le domaine considr. Les remarques sur
lerreur sont lesmmes que pour la mthode du point milieu. En
prcision, cette mthode est donc quivalente celle dupoint milieu (1
00), mais elle est deux fois plus lente.
5.1.5 Mthode de Simpson simple (p = 2)Pour approximer la
fonction f , cette mthode utilise le polynme de degr 2 (la
parabole) qui passe par
les trois points f0 = f(a), f1 = fa+b2
et f2 = f(b) :
P2(x) = 2f2 2f1 + f0(x2 x0)2 (x x1)
2 +f2 f0x2 x0 (x x1) + f1 (5.16)
Lintgrale approche eI2 = R ba P2(x)dx se calcule alors
simple-ment et donne :
eI2 = (b a)f0 + 4f1 + f26
(5.17)
Cette mthode ncessite trois valuations de la fonction f (enx0 =
a, x1 = (a + b)/2 et x2 = b). Elle est donc en gros 3 foisplus
lente que les mthodes 1 point.Lerreur peut tre estime en utilisant
les dveloppements en sriede Taylor, ou le thorme des accroissements
finis.
On trouve alors 2 pour h = (b a)/2 :
9 2 [a, b] 2 = h5
90f (4)() c.a.d. |2| h
5
90Sup[a,b]
|f (4)|
(5.18)
1. En fait, le calcul commence tre un poil compliqu et est laiss
la curiosit du lecteur.2. Cette dmonstration est aussi laisse au
lecteur...
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Universit Paul Sabatier 2014-2015 CHAPITRE 5. MTHODES
DINTGRATION NUMRIQUE
Lerreur nest pas connue car la valeur de 2 [a, b] reste
indtermine. Cependant, on peut la majorer parla plus grande valeur
de la drive quatrime sur lintervalle considr. Quelques remarques
sur cette erreur :
Cette mthode dintgration est exacte pour les fonctions f
polynomiales dordre 3 (car elles vrifientf (4) = 0), ce qui inclut
en particulier les fonctions constantes, les fonctions anes, et les
parabolespar exemple. Plus gnralement elle est dautant plus prcise
que les variations de f sont faibles (f (4)petit).
Plus lintervalle [a, b] est petit, plus lerreur est faible.
Cette erreur dcroit en h5 lorsque h diminue,cest dire beaucoup plus
rapidement que les mthodes prcdentes : 2/0 / h3 ! 0, 2/00 / 2/1 /h2
! 0. Ainsi, pour des intervalles [a, b] susamment petits, la mthode
de Simpson est toujours plusprcise que les mthodes prcdentes.
5.1.6 Mthodes dordres plus levs
Plus gnralement, on peut construire des approximations en
utilisant des polynmes dordre quelconque.Le polynme dordre p
passant par p+1 points rgulirement espacs entre a et b sexprime en
fonction despolynmes de Lagrange Lk(x), k 2 [0, p] :
Pp(x) =pX
k=0
fkLk(x) avec Lk(x) =pY
j=0,j 6=k
x xjxk xj (5.19)
Lintgrale approche eI = R ba Pp(x)dx peut alors se calculer et
donne :eI = (b a) pX
k=0
wkfk avec wk =
R ba Lk(x)dx
b a (5.20)
Un telle mthode ncessite p+1 valuations de la fonction f (en xk,
k 2 [0, p]). Ainsi, plus le degr est lev,plus la mthode est
lente.
Lerreur peut aussi se calculer (mais a devient franchement
compliqu), et on peut montrer que :
si p est impair : 9 2 [a, b] p = hp+2
Cpf (p+1)() c.a.d. |p| h
p+2
CpSup[a,b]
f (p+1)si p est pair : 9 2 [a, b] p = h
p+3
Cpf (p+2)() c.a.d. |p| h
p+3
CpSup[a,b]
f (p+2)o Cp est un coecient qui dpend de lordre du polynme.
Un telle mthode est exacte pour les polynmes de degr p, car
ceux-ci vrifient f (p+1) = 0 (et mmeen fait pour des polynmes de
degr p + 1 si p est pair). Sinon, elle est dautant plus prcise que
lafonction varie peu sur le domaine [a, b].
Plus le domaine [a, b] est petit, plus lerreur est faible. Cette
erreur dcroit en hp+2 lorsque h diminue(et hp+3 si p est pair),
cest dire beaucoup plus rapidement que les mthodes utilisant des
polynmesde degr plus faible.
On trouve ainsi parfois rfrence aux mthodes suivantes :
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CHAPITRE 5. MTHODES DINTGRATION NUMRIQUE Universit Paul Sabatier
2014-2015
Mthode de Simpson 3/8 (degr p = 3) :
eI = (b a)f0 + 3f1 + 3f2 + f38
= 380h5f (4)()
- Mthode de Boole (degr p = 4) :
eI = (b a)7f0 + 12f1 + 32f2 + 12f3 + 7f490
= 8945
h7f (6)()
En pratique cependant, les coecients deviennent de plus en plus
grands lorsque lordre du polynmeaugmente. De plus, partir du degr p
= 7, certains coecients deviennent ngatifs, ce qui ce traduit
pardes polynmes fortement oscillants. Les dirences entre des grands
nombres posent des problmes darrondimachine qui rendent trs vite
ces mthodes inutilisables. Elles ne sont donc jamais utilises pour
p > 7.
5.1.7 Bilan
Plus les mthodes de Newton-Cotes simples sont bases sur des
polynmes de degr lev, plus ellessont lentes et plus elles sont
diciles coder, mais plus elles sont prcises. Le plus souvent en
pratique, ledomaine total dintgration [a, b] est beaucoup trop
grand et la fonction varie trop sur ce domaine pour queces mthodes
donnent des rsultats satisfaisants. Elles ne sont donc quasiment
jamais utilises en tant quetelles.
On subdivise donc le domaine total [a, b] en un grand nombre de
petits intervalles sur chacun desquels onpeut appliquer avec succs
les mthodes de Newton-Cotes simples. On parle alors de mthode de
Newton-Cotes composites.
5.2 Lois de Newton-Cotes composites
5.2.1 Principe
Lide est donc de dcouper le domaine total dintgration [a, b] en
m intervalles. On approxime alorslaire eIk, k 2 [0,m 1] de chaque
intervalle par des mthodes de Newton-Cotes simples, et on en dduit
une
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Universit Paul Sabatier 2014-2015 CHAPITRE 5. MTHODES
DINTGRATION NUMRIQUE
approximation de laire totale par une simple somme :
eI = m1Xk=0
eIk (5.21)Lorsque m est susamment grand, la largeur (b a)/m des
intervalles devient aussi petite que lon veut,si bien que ces
mthodes peuvent atteindre des prcisions aussi grandes que
ncessaire, sans pour autant seheurter au problme des polynmes de
grand degr.
En utilisant sur chaque intervalle des mthodes de Newton-Cotes
simples de degrs dirents, on obtientdes mthodes composites aux
proprits et aux performances direntes. Sur chaque intervalle, une
mthodede degr p+1 value la fonction intgrer en p+1 points, ce qui
revient le subdiviser en p sous-intervalles.Si on applique ce
principe m intervalles contigus, la mthode de Newton-Cotes
composite dfinit n = mpsous-intervalles au total 3 et ncessite
lvaluation de n+1 points. Plus ce nombre est lev, plus la mthodeest
lente mais, en gnral, plus elle est prcise. Les comparaisons de
mthodes de dirents degrs se ferontdonc nombre total de points n
commun, cest dire rapidit quivalente. Les mthodes les plus
prcisesseront les plus performantes.
Dans certains cas, ces m intervalles peuvent tre espacs de
manire non rgulire pour mieux reprsenterune zone ou la fonction
f(x) varie beaucoup, mais dans cette partie, nous nous limiterons
au cas dintervallesrguliers.
5.2.2 Mthode des rectangles (p = 0, n = m)La mthode des
rectangles composite applique la mthode des rectangles simple (p =
0) sur chacun des
m intervalles. Le nombre total de sous-intervalles est donc n =
m. Laire de chaque intervalle vaut :
eI0,k = (xk+1 xk)fk = hfk (5.22)Si bien que lintgrale totale
vaut :
eI0 = h (f0 + f1 + ...+ fn1 + 0 fn)= h
n1Xk=0
fk(5.23)
Dans cette formule, tous les points ont le mme coecient (1),
sauf le dernier point fn qui nest pas utilis(coecient 0).
Lerreur est simplement la somme de toutes les erreurs :
0 =n1Xk=0
0,k =h2
2
n1Xk=0
f 0(k)
=h2
2nf 0()
|0| (b a)2
2nSup[a,b] (|f 0|)
o lon a utilis le fait que h = (b a)/n pour la dernire ingalit.
A nouveau, cette mthode est exactepour les fonctions constantes.
Plus gnralement, elle est dautant plus prcise que le nombre de
points est
3. pour le cas particulier des mthode dordre 0 (p = 0), on a n =
m.
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-
CHAPITRE 5. MTHODES DINTGRATION NUMRIQUE Universit Paul Sabatier
2014-2015
Figure 5.1 Mthode composite des rectangles (p = 0) pour m = 6
intervalles (cest dire n = 6 sous-intervalles et n+ 1 = 7 points au
total).
grand :
0 = O
1
n
= O(h) (5.24)
Lerreur dcroit comme 1/n. La mthode des rectangles est une
mthode dordre 1.
5.2.3 Mthode des trapzes (p = 1, n = m)
La mthode des trapzes composite applique la mthode des trapzes
simple (p = 1) sur chacun des mintervalles. Le nombre total de
sous-intervalles est donc nouveau n = m. Chaque intgrale vaut :
eI1,k = (xk+1 xk)fk + fk+12
(5.25)
Si bien que lintgrale totale vaut :
eI1 = hf0 + 2f1 + ...+ 2fn1 + fn2
= h
f02
+n1Xk=1
fk +fn2
! (5.26)
Dans cette formule, les points du bord du domaine ont des
coecients dirents (1/2) de tous le pointsintrieurs (1).
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Universit Paul Sabatier 2014-2015 CHAPITRE 5. MTHODES
DINTGRATION NUMRIQUE
Figure 5.2 Mthode composite des trapzes (p = 1), pour m = 6
intervalles (cest dire n = 6 sous-intervalles et n+ 1 = 7 points au
total).
Lerreur est simplement la somme de toutes les erreurs :
1 = 1,0/2 +n1Xk=1
1,k + 1,n/2 = h3
12
f 00(0)/2 +
n1Xk=1
f 00(k) + f 00(n)/2
!
= h3
12nf 00()
|1| (b a)3
12n2Sup[a,b] (|f 00|)
o lo a utilis le fait que h = (b a)/n. A nouveau, cette mthode
est exacte pour les fonctions constanteset anes (et mme les
paraboles en fait). Plus gnralement, elle est dautant plus prcise
que le nombre depoints est grand :
1 = O
1
n2
= O(h2) (5.27)
Lerreur dcroit comme 1/n2. La mthode des trapzes est une mthode
dordre 2.
5.2.4 Mthode de Simpson (p = 2, n = 2m)
La mthode de Simpson composite applique la mthode de Simpson
simple (p = 2) sur chacun des mintervalles. Le nombre total de
sous-intervalles est donc cette fois-ci n = 2m (il est forcment
pair et lenombre de points n+ 1 est forcment impair !). Chaque
intgrale vaut :
eI2,k = (xk+2 xk)fk + 4fk+1 + fk+26
(5.28)
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CHAPITRE 5. MTHODES DINTGRATION NUMRIQUE Universit Paul Sabatier
2014-2015
Si bien que (pour un nombre dintervalles n pair) lintgrale
totale vaut :
eI2 = hf0 + 4f1 + 2f2 + 4f3 + ...+ 2fn2 + 4fn1 + fn3
=h
3
0@f0 + 4 n/21Xk=0
f2k+1 + 2
n/21Xk=1
f2k + fn
1A (5.29)
Dans ces formules, il y a 3 coecients dirents : 1/3 pour les
points du bord, 4/3 pour le points internesimpairs, et 2/3 pour les
points internes pairs.
Figure 5.3 Mthode composite de Simpson (p = 2) pour m = 3
intervalles (cest dire n = 6 sous-intervalles et n+ 1 = 7 points au
total).
nouveau, lerreur est simplement la somme de toutes les erreurs
:
2 = ...
= h5
90mf (4)()
|2| (b a)5
180n4Sup[a,b]
|f (4)|
o lon a utilis le fait que h = (b a)/n et n = 2m. Plus le nombre
de points est grand, plus la mthodeest prcise :
2 = O
1
n4
= O
h4
(5.30)
Lerreur dcroit comme 1/n4. La mthode de Simpson est une mthode
dordre 4.
5.2.5 GnralitesBien videmment, on peut construire des mthodes
composites dordres plus levs.
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Universit Paul Sabatier 2014-2015 CHAPITRE 5. MTHODES
DINTGRATION NUMRIQUE
Les mthodes utilisant des polynmes de degr plus lev (tout en
restant
-
CHAPITRE 5. MTHODES DINTGRATION NUMRIQUE Universit Paul Sabatier
2014-2015
5.3 Exercices Dfinir en C une fonction simple intgrer sur un
intervalle [a, b], par exemple f(x) = sinx sur [0,/2],f(x) = ex sur
[0, 1] , ou autre (choisir une fonction dont on connait la valeur
exacte de lintgrale).
En utilisant la mthode des rectangles et un nombre dintervalles
n donns, intgrer numriquementcette fonction par la mthode des
rectangles. Essayer plusieurs valeurs de n et observer lvolution
delerreur mesure.
Intgrer cette mme fonction avec les mthodes des trapzes et de
Simpson (on pourra par exempledfinir une fonction pour chaque
mthode). Observer qualitativement lvolution de lerreur mesurepour
les direntes mthodes.
Raliser une boucle et enregistrer dans un fichier lerreur des
trois mthodes pour toutes les valeurs dunombre dintervalles n entre
1 et 108 (on pourra multiplier n par 2 chaque itration pour limiter
letemps de calcul et la taille du fichier). Visualiser le rsultat
en chelle log-log avec gnuplot.
Aprs avoir calcul analytiquement le maximum thorique des drives
successives de f sur lintervalleconsidr, tracer galement la
majoration thorique de lerreur pour ces trois mthodes.
Commenter
Recommencer avec f(x) = sinx sur lintervalle [0,], ou encore
f(x) = sin2 x sur lintervalle [,].Idem pour f(x) =
px sur [0, 1]. Interprter...
Intgrer la fonction f avec la mthode de Gauss (voir section
suivante) et comparer lerreur celle desmthodes de Newton-Cotes
composites.
45
-
Universit Paul Sabatier 2014-2015 CHAPITRE 5. MTHODES
DINTGRATION NUMRIQUE
5.4 Mthode de Gauss-Legendre
5.4.1 PrincipeNous avons vu que les mthodes de Newton-Cotes
simples pouvaient scrire eI = (ba)Pnk=0 wkfk o la
fonction f(x) est value en n+ 1 points xk, k 2 [0, n]. Avec ces
mthodes, les points taient rgulirementespacs sur le domaine et on
approximait la fonction f(x) pour un polynme de degr n qui
concidait avecf en ces n+ 1 points.
Lide de la quadrature de Gauss-Legendre est de gnraliser cette
mthode pour des points espacs demanire non-rgulire sur lintervalle
dintgration. Si on ne fixe pas a priori les positions des n+1
points,cela laisse n + 1 degrs de liberts supplmentaires et on peut
peut choisir les positions de ces points demanire obtenir une
mthode optimale.
Quelle que soit la position des n + 1 points, la mthode qui
consiste calculer lintgrale du polynmede degr n passant par ces
points est exacte pour tous les polynmes de degr d n. On peut donc
utiliserles n+ 1 degrs de libert qui correspondent la position des
points et calculer leur positions de manire ce que la valeur de
lintgrale soit exacte galement pour tous les polynmes de n+ 1 degrs
de plus, cest dire pour tous les polynme de degr d 2n+ 1 4. Lerreur
de cette mthode est alors beaucoup plus petiteque celle des mthodes
de Newton-Cotes simples utilisant le mme nombre de points.
Afin de trouver lexpression des mthodes de Gauss pour dirents
nombres de points, on cherche dterminer les positions des xk et les
coecients wk associs de manire ce que cette mthode soit exactepour
les polynmes 1, x, x2, ... et x2n+1.
Le plus souvent, la mthode de Gauss-Legendre est prsente sur un
intervalle [1, 1]. Une intgrationsur un intervalle plus gnral [a,
b] peut nanmoins sobtenir par le changement de variable : x! a+b2 +
ba2 x.
5.4.2 Mthode 1 point (n = 0) lordre le plus bas (n + 1 = 1
point), on cherche la position de lunique point x0 ainsi que
lunique
coecient associ w0 de manire ce que la mthode soit exacte pour
tous les polynmes de degr 2n+1 = 1.En loccurrence, il faut ici
quelle soit exacte pour les polynmes P0 = 1 et P1 = x.
Pour le polynme constant : P0 = 1, lintgrale exacte est I0 =R 11
1 dx = 2. Et lintgrale par
quadrature scrit : eI = 2 0Xk=0
wkP0(xk) = 20X
k=0
wk1 = 2w0 (5.31)
si bien que eI = I donne directement : w0 = 1. Pour le polynme
de degr 1 : P1 = x, lintgrale exacte est I1 =
R 11 x dx = 0. Et lintgrale par
quadrature scrit : eI1 = 2 0Xk=0
wkP1(xk) = 20X
k=0
wkxk = 2w0x0 (5.32)
si bien que eI = I donne directement : w0x0 = 0, soit x0 =
0.Lunique point de quadrature correspond au point milieu eteI0 =
2f(0) (5.33)La mthode de Gauss-Legendre un point correspond en fait
la mthode du point milieu (Newton-Cotes).
4. Cela revient dire que lintgrale de tous les polynmes de degr
n 2n+1 qui concident avec f(x) aux n+1 points decette quadrature
possdent la mme intgrale. Lintgrale du polynme de degr n tant
exacte, elle lest aussi pour tous cesautres polynmes de degr plus
lev.
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CHAPITRE 5. MTHODES DINTGRATION NUMRIQUE Universit Paul Sabatier
2014-2015
5.4.3 Mthode 2 points (n = 1) lordre suivant (n + 1 = 2 points),
on cherche la position des deux points x0 et x1 ainsi que les
deux
coecients associs w0 et w1 de manire ce que la mthode soit
exacte pour tous les polynmes de degr2n + 1 = 3. En loccurrence, il
faut ici quelle soit exacte pour les polynmes P0 = 1, P1 = x, P1 =
x2 etP1 = x3.
Pour le polynme constant : P0 = 1, lintgrale exacte est I0 =R 11
1 dx = 2. Et lintgrale par
quadrature scrit : eI = 2 1Xk=0
wkP0(xk) = 21X
k=0
wk1 = 2(w0 + w1) (5.34)
si bien que eI = I donne : w0 + w1 = 1. Pour le polynme de degr
1 : P1 = x, lintgrale exacte est I1 =
R 11 x dx = 0. Et lintgrale par
quadrature scrit : eI = 2 1Xk=0
wkP1(xk) = 21X
k=0
wkxk = 2(w0x0 + w1x1) (5.35)
si bien que eI = I donne : w0x0 + w1x1 = 0. Pour le polynme de
degr 2 : P2 = x2, lintgrale exacte est I2 =
R 11 x
2 dx = 2/3 Et lintgrale parquadrature scrit : eI = 2 1X
k=0
wkP2(xk) = 21X
k=0
wkx2k = 2(w0x
20 + w1x
21) (5.36)
si bien que eI = I donne : w0x20 + w1x21 = 1/3. Pour le polynme
de degr 3 : P3 = x3, lintgrale exacte est I3 =
R 11 x
3 dx = 0. Et lintgrale parquadrature scrit : eI = 2 1X
k=0
wkP3(xk) = 21X
k=0
wkx3k = 2(w0x
30 + w1x
31) (5.37)
si bien que eI = I donne : w0x30 + w1x31 = 0.Un peu de travail
pour rsoudre ce systme donne finalement :
w0 = w1 = 1/2, x0 = 1/p3, x1 = +1/
p3 (5.38)
La mthode de Gauss deux points scrit donc :eI = f(1/p3) +
f(1/p3) (5.39)5.4.4 GnralisationPrincipe
Cette mthode peut tre applique un nombre de points n + 1
quelconque. On peut alors montrerquune bonne approximation de
lintgrale calculer est :
eI = 2 nXk=0
wkfk (5.40)
o :
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Universit Paul Sabatier 2014-2015 CHAPITRE 5. MTHODES
DINTGRATION NUMRIQUE
Figure 5.5 Polynmes de Legendre Pn de degrs n = 1 6 et leurs
racines.
les positions xk des points de quadrature sont les racines du
polynme de Legendre Pn+1 de degrn+ 1. Les polynmes de Legendre
peuvent se calculer par rcurrence avec la relation (voir Fig. 5.5)
:
P0 = 1P1 = xPn = (2n 1)xPn1(x) (n 1)Pn2(x)
n
Leurs racines nont pas toujours dexpression analytique, et le
plus souvent, elles doivent tre calculesnumriquement.
Les n+ 1 coecients associs aux points de quadrature valent
respectivement :
8k 2 [0, n] wk = 1(1 x2k)P 0n+1(xk)2
=(1 x2k)
(n+ 1)2P2n(xk)(5.41)
On peut montrer que 8n > 0, Pnk=0 wk = 1.On trouve facilement
ces valeurs dans des livres ou sur internet. Quelques exemples sont
donns dans la table5.1.
Integrale sur un intervalle quelconque
Dans le cas o lintgrale nest pas calcule sur [1, 1], mais sur un
domaine quelconque [a, b], alors lamthode est la mme avec : eI = (b
a) nX
k=0
wkfk (5.42)
o les poids wk sont les mmes que prcdemment et la fonction f est
value aux points de quadraturesuivants : fk = f
a+b2 +
ba2 xk
(o les xk sont les points de quadrature racines des polynmes de
Legendre
calculs sur [1, 1]).
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CHAPITRE 5. MTHODES DINTGRATION NUMRIQUE Universit Paul Sabatier
2014-2015
n+ 1 2wk xk1 2 02 1, 1 1/p3, 1/p33 5/9, 8/9, 5/9 p3/5, 0, p3/54
18
p30
36 ,18+
p30
36 , q
(3 + 2p
6/5)/7, q
(3 2p6/5)/7,18+
p30
36 ,18p30
36
q(3 2p6/5)/7, q(3 + 2p6/5)/7
5 32213p70
900 ,322+13
p70
900 ,128255 , 13
q5 + 2
p10/7, 13
q5 2p10/7, 0,
322+13p70
900 ,32213p70
90013
q5 2p10/7, 13q5 + 2p10/7
... .... ...
Table 5.1 Position xk et coecients wk est points associs pour la
mthode de Gauss-Legendre n + 1points : eI = 2Pnk=0
wkf(xk).Erreur
Contrairement aux mthodes de Newton-Cotes qui dcroissent en
1/nd+1 ou 1/nd+2 (o n + 1 est lenombre de points o f(x) est value
et d le degr du polynme utilis), les mthodes de Gauss
dcroissentexponentiellement avec d, ce qui savre extrmement rapide.
De plus, on peut montrer que les coecientswk sont toujours
positifs, si bien quil ny a aucune soustraction de grands nombres
comme il peut y avoirpour les mthodes de Newton-Cotes de degr d
> 8. Les mthodes de Gauss peuvent donc tre utilises avecun
nombre de points arbitrairement grand. Nanmoins, la mise en place
de ces mthodes est beaucoup pluscomplexe et il nest pas facile de
changer le nombre de points une fois le programme crit. En gnral,
unnombre de points de 4 6 est largement susant pour la plupart des
applications.
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Universit Paul Sabatier 2014-2015 CHAPITRE 5. MTHODES
DINTGRATION NUMRIQUE
Figure 5.6 Erreur de la mthode de Gauss en fonction du nombre de
utiliss pour intgrer fonctionf(x) = sinx sur lintervalle [0,/2].
Les erreurs de quelques mthodes de Newton-Cotes composites
sontrappeles pour comparaison. La droite en pointills tout en bas
correspond aux erreurs darrondi machine.
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