-
i
MENYELESAIKAN MODEL ROSS DENGAN
MENGGUNAKAN METODE HEUN
TUGAS AKHIR
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Matematika
Program Studi Matematika
Disusun Oleh :
Rahmawati Risma Wijaya
NIM: 123114007
PROGRAM STUDI MATEMATIKA, JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2017
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
ii
SOLVING THE ROSS’ MODEL USING THE HEUN’S
METHOD
FINAL ASSIGNMENT
Presented as Partial Fulfillment of the
Requirements to Obtain the Degree of Sarjana Matematika
Mathematics Study Program
Written by :
Rahmawati Risma Wijaya
Student ID: 123114007
MATHEMATICS STUDY PROGRAM, DEPARTMENT OF MATHEMATICS
FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
2017
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
iii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
iv
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
v
HALAMAN PERSEMBAHAN
Kupersembahkan tugas akhir ini untuk:
TuhanYesus yang sangat mencintaiku dan kucintai, kedua orang
tuaku yang
sangat kucintai dan kusayangi, adikku yang sangat kusayangi, dan
untuk semua
sahabat terbaikku.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
vi
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA
Saya menyatakan dengan sesungguhnya, bahwa makalah yang saya
tulis ini tidak
memuat karya atau bagian karya orang lain kecuali yang
disebutkan dalam daftar
pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.
Yogyakarta, 17 Januari 2017
Rahmawati Risma Wijaya
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
vii
ABSTRAK
Model Ross adalah suatu model matematika yang terdiri dari
sistem
persamaan diferensial yang digunakan untuk menyelesaikan
penyebaran penyakit
malaria.
Dalam tugas akhir ini, model Ross diselesaikan dengan
menggunakan dua
metode, yaitu metode Euler dan metode Heun. Metode Euler adalah
salah satu
dari metode satu langkah yang paling sederhana. Dibandingkan
dengan beberapa
metode lainnya, metode ini paling kurang teliti. Namun demikian
metode ini perlu
dipelajari mengingat kesederhanaannya dan mudah pemahamannya
sehingga
memudahkan dalam mempelajari metode lain yang lebih teliti.
Metode Euler
mempunyai ketelitian yang rendah karena galatnya besar
(sebanding dengan h).
Buruknya galat ini dapat dikurangi dengan menggunakan metode
Heun, yang
merupakan perbaikan metode Euler (modified Euler’s method). Pada
metode
Heun, solusi dari metode Euler dijadikan sebagai solusi
perkiraan awal
(prediktor), selanjutnya solusi perkiraan awal diperbaiki dengan
metode Heun
(korektor).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
viii
ABSTRACT
Ross’ model is a mathematical model which consists of
differential
equation system which is used to solve the spreading of malaria
disease.
In this final assignment, Ross’ model is solved by two methods.
They are
Euler method and Heun methods. Euler method is one of the
simplest one step
method. Compared to other methods, this method belong to the
less accurately
method. However, this method is needed to be learnt before
learning other more
accurate methods. Euler method has a low accuracy because of the
big error. This
error can be minimized using Heun method, which is the
improvement of Euler
method. On Heun method, the solution of Euler method is used as
the initial
estimation, then this initial estimation is repaired with Heun
method.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
ix
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN
PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS
Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas
Sanata Dharma:
Nama : Rahmawati Risma Wijaya
NIM : 123114007
Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada
Perpustakaan
Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul:
Menyelesaikan Model Ross dengan Menggunakan Metode Heun
beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian
saya memberikan
kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma untuk menyimpan,
mengalihkan
ke dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan
data,
mendistribusikan secara terbatas, dan mempublikasikannya di
internet atau media
lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta ijin dari
saya maupun
memberikan royalti kepada saya selama tetap mencantumkan nama
saya sebagai
penulis.
Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya.
Dibuat di Yogyakarta
Pada tanggal 17 Januari 2017
Yang menyatakan
Rahmawati Risma Wijaya
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
x
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa, atas berkat dan
rahmat
yang diberikan sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi
ini.
Makalah ini dibuat sebagai salah satu syarat untuk memperoleh
gelar
Sarjana Sains pada Program Studi Matematika, Universitas Sanata
Dharma.
Banyak tantangan dalam proses penulisan makalah ini, namun
dengan penyertaan
Tuhan serta dukungan dari berbagai pihak akhirnya makalah ini
dapat
diselesaikan. Untuk itu penulis ingin mengucapkan terima kasih
kepada:
1. Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D. selaku Dekan Fakultas
Sains dan
Teknologi.
2. Y.G. Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D. selaku Kepala Program
Studi
Matematika sekaligus dosen pembimbing yang dengan sabar dan
penuh
antusias dalam membimbing selama proses penulisan tugas akhir
ini.
3. Y.G. Hartono, S.Si., M.Sc. selaku Bapak dan Ibu Dosen Program
Studi
Matematika yang telah memberikan ilmu yang sangat bermanfaat
bagi
penulis.
4. Kedua orang tuaku, Sumadi dan Kristini, dan adikku Ginza
Yeremia Mey
Adhi Rhizma yang selalu mendukungku dengan penuh kasih dan
memberikan masukkan positif kepadaku.
5. Wisnu Adi Putra yang telah memberikan semangat dan
dukungan
kepadaku dengan penuh kasih.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
xi
6. Sahabat-sahabatku di Program Studi Matematika, Sila, Putri,
Ega, Bobi,
Lia, Arum, Dewi, Amanda, Ferni, Juli, Happy, Anggun, Noni, Ilga,
Oxi,
Ajeng, Budi, Rian, Tika yang selalu setia mendengar keluh
kesah,
menemani dan memeberi semangat yang sangat berarti.
Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang
telah
membantu dalam penyusunan makalah ini.
Yogyakarta, 17 Januari 2017
Penulis,
Rahmawati Risma Wijaya
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
xii
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL
..............................................................................................
i
HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS
.......................................... ii
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING
.................................................. iii
HALAMAN PENGESAHAN
..............................................................................
iv
HALAMAN PERSEMBAHAN
...........................................................................
v
HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA
......................................... vi
ABSTRAK
..........................................................................................................
vii
ABSTRAK DALAM BAHASA INGGRIS
....................................................... viii
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN
PUBLIKASI............................... ix
KATA PENGANTAR
..........................................................................................
x
DAFTAR ISI
.......................................................................................................
xii
DAFTAR GAMBAR
.........................................................................................
xiv
DAFTAR TABEL
...............................................................................................
xv
BAB I PENDAHULUAN
....................................................................................
1
A. Latar Belakang
.........................................................................................
1
B. Rumusan Masalah
....................................................................................
4
C. Pembatasan Masalah
................................................................................
4
D. Tujuan Penulisan
......................................................................................
4
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
xiii
E. Manfaat Penulisan
....................................................................................
4
F. Metode Penulisan
.....................................................................................
5
G. Sistematika Penulisan
..............................................................................
5
BAB II LANDASAN TEORI
.............................................................................
7
A. Persamaan Diferensial
...............................................................................
7
B. Sistem Persamaan Diferensial
...................................................................
9
C. Titik Kesetimbangan
...............................................................................
10
D. Metode Euler
...........................................................................................
10
E. Metode Heun
...........................................................................................
16
BAB III MENYELESAIKAN MODEL ROSS DENGAN MENGGUNAKAN
METODE HEUN
..............................................................................................
22
A. Model Ross
.............................................................................................
22
B. Penyelesaian Model Ross Menggunakan Metode Euler
......................... 38
C. Penyelesaian Model Ross Menggunakan Metode Heun
......................... 41
BAB V PENUTUP
.............................................................................................
45
A. Kesimpulan
............................................................................................
45
B. Saran
........................................................................................................
46
DAFTAR PUSTAKA
........................................................................................
47
LAMPIRAN
.......................................................................................................
48
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
xiv
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1 Gfrafik Hasil Perhitungan Analitik
................................................. 13
Gambar 2.2 Grafik Hasil Perhitungan Metode Euler
.......................................... 15
Gambar 2.3 Grafik Hasil Perhitungan Metode Heun
.......................................... 18
Gambar 2.4 Grafik Perbandingan Analitik, Metode Euler dan Metode
Heun .... 20
Gambar 2.5 Grafik Error Metode Euler dan Metode Heun
................................ 21
Gambar 3.1 Grafik Fraksi Infeksi
.......................................................................
37
Gambar 3.2 Grafik Model Ross Menggunakan Metode Euler
........................... 40
Gambar 3.2 Grafik Model Ross Menggunakan Metode Heun
........................... 43
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
xv
DAFTAR TABEL
Tabel 2.1 Hasil Perhitungan Analitik
..................................................................
12
Tabel 2.2 Hasil Perhitungan Metode Euler
......................................................... 14
Tabel 2.3 Hasil Perhitungan Metode Heun
......................................................... 17
Tabel 2.4 Perbandingan Analitik, Metode Euler dan Metode Heun
................... 19
Tabel 3.1 Hasil Perhitungan Model Ross Menggunakan Metode Euler
............. 39
Tabel 3.2 Hasil Perhitungan Model Ross Menggunakan Metode Heun
............. 42
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
1
BAB I
MENYELESAIKAN MODEL ROSS DENGAN
MENGGUNAKAN METODE HEUN
A. Latar Belakang
Ronald Ross lahir pada tahun 1857 di India Utara. Selama
cuti
pada tahun 1894, Ross mulai mempelajari penyakit malaria. Ross
bertemu
dengan Landon Patrick Manson, seorang spesialis kedokteran
tropis, yang
menunjukkan hasil penelitian mikroskop dokter Alphonse Laveran
pada
tahun 1880 mengenai darah pasien penyakit malaria yang
mengandung
parasit. Manson mengasumsikan bahwa parasit bisa datang dari
nyamuk.
Manson percaya bahwa manusia terinfeksi oleh parasit ketika
minum air
yang terkontaminasi oleh nyamuk. Dari 1895 sampai 1898, Ross
melanjutkan penelitian di India dan menguji ide Manson. Pada
tahun 1897
Ross menemukan di dalam perut spesies nyamuk tertentu yang
belum
pernah ia pelajari sebelumnya beberapa parasit serupa dengan
yang
diamati oleh Laveran. Ross menemukan parasit di kelenjar ludah
nyamuk
Anopheles dan mencoba melakukan eksperimen untuk menginfeksi
burung sehat dengan membiarkan nyamuk menggigit mereka. Ini
membuktikan bahwa malaria ditularkan oleh gigitan nyamuk dan
bukan
oleh konsumsi air yang terkontaminasi. Ross melakukan perjalanan
ke
Afrika, Mauritius, dan daerah Mediterranea untuk
mempromosikan
pembasmian nyamuk. Metode ini berhasil di Mesir sepanjang
terusan
1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
2
Suez, sepanjangterusan Panama yang sedang dibangun, Kuba dan
Malaysia. Ross mengklaim bahwa malaria bisa diberantas hanya
dengan
mengurangi jumlah nyamuk. Pada tahun 1911, Ross mencoba
untuk
membangun model matematika dari penularan malaria untuk
mendukung
klaimnya. Modelnya terdiri dari sistem dua persamaan
diferensial.
Notasi yang digunakan sebagai berikut:
N: jumlah populasi manusia di daerah tertentu;
I (t): jumlah manusia yang terinfeksi malaria pada waktu t;
n: jumlah populasi nyamuk (diasumsikan konstan);
i (t): jumlah nyamuk yang terinfeksi malaria;
b: frekuensi nyamuk menggigit;
p: Probabilitas transmisi malaria dari manusia ke nyamuk setiap
satu
gigitan;
p’ : probabilitas transmisi malaria dari nyamuk ke manusia
setiap satu
gigitan;
a : tingkat di mana manusia pulih dari malaria;
m: tingkat kematian nyamuk per hari.
Selama interval waktu pendek dt, setiap nyamuk yang terinfeksi
menggigit
bdt manusia dan 𝑁−𝐼
𝑁 adalah proporsi manusia yang belum terinfeksi.
Dengan memperhitungkan probabilitas transmisi p’ terdapat
bp’i𝑁−𝐼
𝑁 𝑑𝑡
manusia baru yang terinfeksi. Selama interval waktu yang sama,
jumlah
manusia yang disembuhkan adalah aI dt, sehingga
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
3
𝑑𝐼
𝑑𝑡=bp’i
𝑁−𝐼
𝑁− 𝑎𝐼.
Demikian pula setiap nyamuk yang tidak terinfeksi menggigit b
dt
manusia, dan 𝐼
𝑁 adalah proporsi manusia yang sudah terinfeksi. Dengan
memperhitungkan probabilitas transmisi p terdapat bp(n-i)𝐼
𝑁 𝑑𝑡 nyamuk
baru yang terinfeksi. Sementara itu, dengan asumsi bahwa infeksi
tidak
mempengaruhi kematian, jumlah nyamuk yang mati adalah mi dt.
Jadi,
𝑑𝑖
𝑑𝑡= 𝑏𝑝(𝑛 − 𝑖)
𝐼
𝑁− 𝑚𝑖.
Ross mencari nilai-nilai numerik untuk parameterdari modelnya.
Ia
berasumsi bahwa :
1. Kematian nyamuk adalah sedemikian rupa sehingga hanya
sepertiga dari mereka yang masih hidup setelah sepuluh hari,
jadi
𝑒−10𝑚 = 1
3 dan 𝑚 = (log 3)/10 per hari;
2. Setelah tiga bulan manusia masih terinfeksi, jadi 𝑒−90𝑎 = 1/2
dan
𝑎 = (log 2)/90 per hari;
3. Satu dari delapan gigitan nyamuk setiap hari, jadi 𝑒−𝑏 = 1/8
dan
𝑏 = log (8
7) per hari;
4. Nyamuk yang terinfeksi biasanya tidak menular selama
sepuluh
hari pertama setelah infeksi karena parasit harus melalui
beberapa
tahap transformasi. Karena sepertiga dari nyamuk bisa
bertahan
sepuluh hari, Ross mengasumsikan bahwa ada juga sekitar
sepertiga dari semua nyamuk yang terinfeksi yang
menularkan: 𝑝′ = 1/3;
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
4
5. Ross mengasumsikan bahwa ada juga sekitar seperempat dari
semua manusia yang terinfeksi yang menularkan: 𝑝 = 1/4.
B. Rumusan Masalah
Perumusan masalah yang akan dibicarakan pada tugas akhir ini
adalah:
1. Bagaimana memodelkan penyebaran penyakit malaria ?
2. Bagaimana menyelesaikan model Ross menggunakan metode
Heun?
C. Batasan Masalah
Tugas akhir ini dibatasi pada masalah-masalah sebagai
berikut:
Dalam menyelesaikan model Ross, penulis hanya akan
menggunakan
metode Heun.
D. Tujuan Penulisan
Tujuan dari penulisan tugas akhir ini adalah untuk
menyelesaikan
model Ross dengan menggunakan metode Heun.
E. Manfaat penulisan
Manfaat yang dapat diperoleh dari penulisan tugas akhir ini
adalah
kita dapat mengetahui bagaimana cara menyelesaikan model
Ross
menggunakan metode Heun.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
5
F. Metode Penulisan
Metode yang digunakan penulis dalam penulisan tugas akhir ini
adalah
metode studi pustaka, yaitu dengan membaca dan mempelajari
buku-buku
atau jurnal-jurnal yang berkaitan dengan metode Ross.
G. Sistematika Penulisan
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
B. Rumusan Masalah
C. Batasan Masalah
D. Tujuan Penulisan
E. Manfaat Penulisan
F. Metode Penulisan
G. Sistematika Penulisan
BAB II LANDASAN TEORI
A. Persamaan Diferensial
B. Sistem Persamaan Diferensial
C. Titik Kesetimbangan
D. Metode Euler
E. Metode Heun
BABIII MENYELESAIKAN MODEL ROSS DENGAN
MENGGUNAKAN METODE HEUN
A. Model Ross
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
6
B. Penyelesaian Model Ross Menggunakan Metode Euler
C. Penyelesain Model Ross Menggunakan Metode Heun
BAB IV PENUTUP
A. Kesimpulan
B. Saran
DAFTAR PUSTAKA
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
7
BAB II
LANDASAN TEORI
A. Persamaan Diferensial
Definisi 2.1 Persamaan Diferensial
Persamaan Diferensial adalah persamaan yang memuat suatu
fungsi dan turunan-turunannya. Jika fungsi yang tidak
diketahui
mempunyai satu variabel bebas, misalnya 𝑦 = 𝑓(𝑥) maka
Persamaan
Diferensial tersebut disebut Persamaan Diferensial Biasa (PDB).
Turunan-
turunan 𝑦 = 𝑓(𝑥) adalah 𝑑𝑦
𝑑𝑥,
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2,
𝑑3𝑦
𝑑𝑥2, …
Contoh 2.1
𝜕𝑦
𝜕𝑥+
𝜕𝑦
𝜕𝑡+ 𝑥𝑦 = 5
Definisi 2.2 Orde Persamaan Diferensial
Orde Persamaan Diferensial adalah orde turunan tertinggi
yang
terlibat dalam Persamaan Diferensial. PDB linear berorde 𝑛
mempunyai
bentuk 𝑎0(𝑥)𝑑𝑛𝑦
𝑑𝑥𝑛+ 𝑎1(𝑥)
𝑑𝑛−1𝑦
𝑑𝑥𝑛−1+ … + 𝑎𝑛−1(𝑥)
𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 𝑎𝑛(𝑥)𝑦 = 𝑏(𝑥) ,
dengan 𝑎0(𝑥) ≠ 0.
Ciri-ciri Persamaan Diferensial linear :
1. Dalam satu suku tidak ada perkalian (pembagian) antara 𝑦
dengan 𝑦
atau turunannya.
7
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
8
2. Dalam satu suku tidak ada fungsi transendental
(trigonometri,
logaritma, eksponen, dll) dari fungsi 𝑦 atau turunannya.
Definisi 2.3 Solusi Persamaan Diferensial
Solusi (penyelesaian) Persamaan Diferensial adalah fungsi
yang
memenuhi Persamaan Diferensial. Bentuk solusi Persamaan
Diferensial
bisa eksplisit 𝑦 = 𝑓(𝑥) ataupum implisit 𝑓(𝑥, 𝑦) = 0. Suatu
Persamaan
Diferensial bisa juga tidak mempunyai solusi dalam himpunan
bilangan
real, tetapi mempunyai solusi dalam himpunan bilangan kompleks,
solusi
ini disebut solusi formal Persamaan Diferensial.
Penyelesaian Persamaan Diferensial tidak tunggal, sehingga
penyelesaian Persamaan Diferensial membentuk keluarga fungsi
dan
disebut keluarga penyelesaian Persamaan Diferensial.
Contoh 2.2
Persamaan Diferensial 𝑑𝑦
𝑑𝑥= 2𝑥 mempunyai keluarga penyelesaian 𝑦 =
𝑥2 + 𝑐, 𝑐 adalah konstan dan disebut parameter.
Definisi 2.4 Masalah Nilai Awal (MNA)
Masalah Nilai Awal (MNA) adalah suatu Persamaan Diferensial
yang
dilengkapi dengan data pada satu titik awal domain.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
9
Definisi 2.5 Masalah Nilai Batas (MNB)
Masalah Nilai Batas adalah Persamaan Diferensial yang dilengkapi
data
pada titik-titik batas domain.
B. Sistem Persamaan Diferensial
Definisi 2.6 Sistem Persamaan Diferensial
Sistem persamaan diferensial adalah suatu sistem yang memuat
𝑛
buah persamaan diferensial dan 𝑛 buah fungsi yang nilainya
tidak
diketahui.
Sistem persamaan diferensial linear dinyatakan dalam bentuk
sebagai berikut:
𝑑𝑥1𝑑𝑡
= 𝑝11(𝑡)𝑥1 + 𝑝12(𝑡)𝑥2 + … + 𝑝1𝑛(𝑡)𝑥𝑛 + 𝑓1(𝑡)
𝑑𝑥2𝑑𝑡
= 𝑝21(𝑡)𝑥1 + 𝑝22(𝑡)𝑥2 + … + 𝑝2𝑛(𝑡)𝑥𝑛 + 𝑓2(𝑡)
.
. (2.1)
. 𝑑𝑥𝑛𝑑𝑡
= 𝑝𝑛1(𝑡)𝑥1 + 𝑝𝑛2(𝑡)𝑥2 + … + 𝑝𝑛𝑛(𝑡)𝑥𝑛 + 𝑓𝑛(𝑡)
dengan kondisi awal 𝑥𝑖(𝑡0) = 𝛼𝑖 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑛.
Solusi dari persamaan di atas adalah pasangan 𝑛 buah fungsi
yaitu
𝑥1(𝑡), 𝑥2(𝑡), … , 𝑥𝑛(𝑡) yang saling berkaitan satu sama lainnya
terhadap
interval yang sama.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
10
C. Titik Kesetimbangan
Dengan memperhatikan titik-titik kesetimbangan dari sistem
persamaan diferensial (2.1) dapat membantu dalam menentukan
apakah
titik-titik kesetimbangan stabil atau tidak.
Definisi 2.7 Titik Kesetimbangan
Nilai atau titik kesetimbangan adalah solusi dari persamaan 𝑦′
=
𝑔(𝑥, 𝑦) ≡ 0 atau 𝑦 = 𝑓(𝑥) ≡ 𝑐, untuk nilai sembarang 𝑥.
Titik kesetimbangan 𝑥∗ dikatakan stabil jika untuk setiap
bilangan 𝜀 > 0
terdapat bilangan 𝛿 > 0 sedemikian hingga |𝑥0 − 𝑥∗| < 𝛿
berlaku
|𝑥(𝑡) − 𝑥∗| < 𝜀 untuk setiap 𝑡 > 0.
D. Metode Euler
Definisi 2.8 Solusi Numeris
Solusi numeris merupakan hampiran (aproksimasi) dari solusi
analisis.
Berikut adalah Persamaan Diferensial tingkat satu :
𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡= 𝑓(𝑡, 𝑦(𝑡)), 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏, 𝑦(𝑎) = 𝛽 (2.2)
Tahap awal penyelesaian pendekatan numerik adalah dengan
menentukan
titik-titik dalam jarak yang sama pada interval [𝑎, 𝑏], yaitu
dengan
menerapkan 𝑡𝑖 = 𝑎 + 𝑖ℎ, 𝑖 = 0,1, … , 𝑛 dengan ℎ menyatakan jarak
antar
titik yang dirumuskan oleh ℎ =𝑏−𝑎
𝑛. Metode Euler menghampiri turunan
pertama di 𝑡 = 𝑡𝑖 dalam persamaan (2.2) dengan persamaan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
11
𝑦𝑖′ =
𝑑𝑦𝑖𝑑𝑡
≈𝑦𝑖+1 − 𝑦𝑖𝑡𝑖+1 − 𝑡𝑖
=𝑦𝑖+1 − 𝑦𝑖
ℎ
Pada saat 𝑡 = 1 persamaan (2.2) dapat ditulis sebagai
𝑦𝑖+1 − 𝑦𝑖ℎ
≈ 𝑓(𝑡𝑖, 𝑦𝑖)
Jadi metode Euler mendapatkan barisan numerik {𝑦𝑖}𝑖=0𝑛 yang
dinyatakan
sebagai
𝑦0 = 𝛽
𝑦𝑖+1 ≈ 𝑦𝑖 + ℎ𝑓(𝑡𝑖, 𝑦𝑖), 𝑖 = 0,1,2, … , 𝑛 − 1 (2.3)
Contoh 2.3
Selesaikan Persamaan Diferensial berikut :
𝑦′(𝑡) = 𝑦(𝑡) − 𝑡2 + 1, 0 < 𝑡 < 2 , 𝑦(0) = 0.5
secara analitik.
Penyelesaian:
Solusi persamaan diferensial homogen 𝑦′(𝑡) − 𝑦(𝑡) = 0 dari
persamaan
diferensial nonhomogen di atas adalah 𝑦𝑐 = 𝑐𝑒𝑡, sebab
persamaan
karakteristiknya yaitu 𝑚 − 1 = 0 memiliki tepat satu akar 𝑚 =
1.
Akan dicari solusi yang terkait dengan 𝐹(𝑡) = −𝑡2 + 1 dengan
metode
koefisien tak tentu.
Himpunan koefisien tak tentu dari −𝑡2 + 1 adalah {𝑡2, 𝑡, 1}.
Dibentuk kombinasi linear 𝑦𝑝 = 𝐴𝑡2 + 𝐵𝑡 + 𝐶.
Substitusi 𝑦𝑝 ke persamaan diferensial awal menghasilkan
2𝐴𝑡 + 𝐵 = 𝐴𝑡2 + 𝐵𝑡 + 𝐶 − 𝑡2 + 1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
12
𝐴𝑡2 + 𝐵𝑡 − 2𝐴𝑡 + 𝐶 − 𝐵 = 𝑡2 − 1
𝐴𝑡2 + (𝐵 − 2𝐴)𝑡 + 𝐶 − 𝐵 = 𝑡2 − 1
Sehingga diperoleh 𝐴 = 1, 𝐵 = 2, 𝐶 = 1
Jadi 𝑦𝑝 = 𝑡2 + 2𝑡 + 1
Jadi solusi umum persamaan diferensial tersebut adalah
𝑦(𝑡) = 𝑦𝑐(𝑡) + 𝑦𝑝(𝑡) = 𝑐𝑒𝑡 + 𝑡2 + 2𝑡 + 1
Diketahui 𝑦(0) = 0.5 maka 𝑐 + 1 = 0.5 jadi 𝑐 = −0.5. Akibatnya
solusi
persamaan diferensial dari masalah nilai awal tersebut
adalah
𝑦(𝑡) = −0.5𝑒𝑡 + 𝑡2 + 2𝑡 + 1
Dari solusi di atas diperoleh hasil seperti pada Tabel 2.1 di
bawah ini.
Tabel 2.1 Hasil Perhitungan Analitik
𝑡𝑖 Analitik
0 0.5000
0.2 0.8293
0.4 1.2141
0.6 1.6489
0.8 2.1272
1.0 2.6409
1.2 3.1799
1.4 3.7324
1.6 4.2835
1.8 4.8152
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
13
2.0 5.3055
Dari penyelesaian di atas dihasilkan grafik seperti pada Gambar
2.1 di
bawah ini.
Gambar 2.1 Grafik Hasil Perhitungan Analitik
Contoh 2.4
Selesaikan Persamaan Diferensial berikut :
𝑦′(𝑡) = 𝑦(𝑡) − 𝑡2 + 1, 0 < 𝑡 < 2 , 𝑦(0) = 0.5
Menggunakan metode Euler dengan 𝑛 = 10
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
t
y
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
14
Penyelesaian :
Dicari jarak antar titik dalam interval [0,2] yaitu ℎ =2−0
10= 0.2
Sehingga mempunyai titik-titik diskrit yang dihasilkan oleh
𝑡𝑖 = 0 + 𝑖(0.2) = (0.2)𝑖, 𝑖 = 0,1, … ,10
yaitu
𝑡0 = 0, 𝑡1 = 0.2, 𝑡2 = 0.4, 𝑡3 = 0.6, 𝑡4 = 0.8, 𝑡5 = 1.0, 𝑡6 =
1.2, 𝑡7 = 1.4,
𝑡8 = 1.6, 𝑡9 = 1.8, 𝑡10 = 2.0
Karena diketahui 𝑓(𝑡, 𝑦(𝑡)) = 𝑦(𝑡) − 𝑡2 + 1 dan 𝑦(0) = 0.5
Maka persamaan Euler dapat dinyatakan sebagai
𝑦0 = 0.5
𝑦𝑖+1 ≈ 𝑦𝑖 + 0.2(𝑦𝑖 − 𝑡𝑖2 + 1) , 𝑖 = 0,1,2, … ,9
Dari solusi di atas diperoleh hasil seperti pada Tabel 2.2 di
bawah ini.
Tabel 2.2 Hasil Peritungan Metode Euler
𝑡𝑖 Euler
0 0.5000
0.2 0.7920
0.4 1.1184
0.6 1.4701
0.8 1.8361
1.0 2.2033
1.2 2.5560
1.4 2.8752
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
15
Dari perhitungan di atas dihasilkan grafik seperti pada Gambar
2.1 di
bawah ini.
Gambar 2.2 Grafik Hasil Perhitungan Metode Euler
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20.5
1
1.5
2
2.5
3
t
y
1.6 3.1382
1.8 3.3179
2.0 3.3814
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
16
E. Metode Heun
Metode Heun memperbaiki taksiran turunan pertama dengan
mengambil
rata-rata dari kedua turunan pada titik-titik ujung subinterval.
Turunan di
titik awal subinterval [𝑡𝑖 , 𝑡𝑖+1] yaitu 𝑦𝑖′ = 𝑓(𝑡𝑖, 𝑦𝑖).
Taksiran untuk 𝑦𝑖+1dihitung menggunakan metode Euler :
𝑦𝑖+1 ≈ 𝑦𝑖 + ℎ𝑓(𝑡𝑖, 𝑦𝑖) (2.4)
Yang selanjutnya digunakan untuk menaksir turunan di titik
akhir
subinterval :𝑦′𝑖+1 = 𝑓(𝑡𝑖+1, 𝑦𝑖+1) ≈ 𝑓(𝑡𝑖 + ℎ, 𝑦𝑖 + ℎ𝑓(𝑡𝑖,
𝑦𝑖)).
Diperoleh rata-rata turunan pertama di 𝑡 = 𝑡𝑖 yaitu
𝑦′𝑖 ≈𝑓(𝑡𝑖,𝑦𝑖)+𝑓(𝑡𝑖+ℎ,𝑦𝑖+ℎ𝑓(𝑡𝑖,𝑦𝑖))
2 (2.5)
Jadi, metode Heun diperoleh dengan mengganti 𝑓(𝑡𝑖, 𝑦𝑖) pada
persamaan
(2.4) dengan ruas kanan dari persamaan (2.5) :
𝑦0 = 𝛽
𝑦𝑖+1 ≈ 𝑦𝑖 +ℎ
2[𝑓(𝑡𝑖, 𝑦𝑖) + 𝑓(𝑡𝑖 + ℎ, 𝑦𝑖 + ℎ𝑓(𝑡𝑖, 𝑦𝑖))]
dengan 𝑖 = 0,1,2, … , 𝑛 − 1.
Contoh 2.5
Selesaikan Persamaan Diferensial berikut :
𝑦′(𝑡) = 𝑦(𝑡) − 𝑡2 + 1, 0 < 𝑡 < 2 , 𝑦(0) = 0.5
Menggunakan metode Heun dengan 𝑛 = 10
Penyelesaian :
Dicari jarak antar titik dalam interval [0,2] yaitu ℎ =2−0
10= 0.2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
17
Sehingga mempunyai titik-titik diskrit yang dihasilkan oleh
𝑡𝑖 = 0 + 𝑖(0.2) = (0.2)𝑖, 𝑖 = 0,1, … ,10
yaitu
𝑡0 = 0, 𝑡1 = 0.2, 𝑡2 = 0.4, 𝑡3 = 0.6, 𝑡4 = 0.8, 𝑡5 = 1.0, 𝑡6 =
1.2, 𝑡7 = 1.4,
𝑡8 = 1.6, 𝑡9 = 1.8, 𝑡10 = 2.0
Karena diketahui 𝑓(𝑡, 𝑦(𝑡)) = 𝑦(𝑡) − 𝑡2 + 1 dan 𝑦(0) = 0.5
Maka persamaan Heun dapat dinyatakan sebagai
𝑦0 = 0.5
𝑦𝑖+1 ≈ 𝑦𝑖 +0.2
2((𝑦𝑖 − 𝑡𝑖
2 + 1) + ((𝑦𝑖 + 0.2(𝑦𝑖 − 𝑡𝑖2 + 1)) − 𝑡𝑖
2 + 1))
Untuk 𝑖 = 0,1,2, … ,9
Dari solusi di atas diperoleh hasil seperti pada Tabel 2.3 di
bawah ini.
Tabel 2.3 Hasil Perhitungan Metode Heun
𝑡𝑖 Heun
0 0.5000
0.2 0.8212
0.4 1.1867
0.6 1.5885
0.8 2.0172
1.0 2.4610
1.2 2.9056
1.4 3.3336
1.6 3.7238
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
18
1.8 3.7238
2.0 4.2814
Dari perhitungan di atas dihasilkan grafik seperti pada Gambar
2.2 di
bawah ini.
Gambar 2.3 Grafik Hasil Perhitungan Metode Heun
Dari contoh 2.3, contoh 2.4 dan contoh 2.5 di atas kita dapat
simpulkan
dengan Tabel 2.1 dan Gambar 2.4 di bawah ini.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
t
y
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
19
Tabel 2.4 Perbandingan Hasil Perhitungan Analitik, Metode
Euler,
Metode Heun dan Errornya
𝑡𝑖 Analitik Euler Heun Error Euler Error Heun
0 0.5000 0.5000 0.5000 0 0
0.2 0.8293 0.7920 0.8212 0.0373 0.0081
0.4 1.2141 1.1184 1.1867 0.0957 0.0274
0.6 1.6489 1.4701 1.5885 0.1788 0.0604
0.8 2.1272 1.8361 2.0172 0.2911 0.1100
1.0 2.6409 2.2033 2.4610 0.4376 0.1799
1.2 3.1799 2.5560 2.9056 0.6239 0.2743
1.4 3.7324 2.8752 3.3336 0.8572 0.3988
1.6 4.2835 3.1382 3.7238 1.1453 0.5597
1.8 4.8152 3.3179 3.7238 1.4973 1.0914
2.0 5.3055 3.3814 4.2814 1.9241 1.0181
Dari Tabel 2.1 di atas dapat kita lihat penyelesaian dengan
menggunakan
metode Euler dan metode Heun menghasilkan nilai yang berbeda.
Dan dari
tabel di atas juga ditunjukan error keduanya. Dari error
tersebut kita dapat
mengatahui bahwa hasil metode Heun lebih akurat dibanding dengan
hasil
metode Euler. Perbedaan ketiga metode di atas dapat kita lihat
pada
Gambar 2.4.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
20
Gambar 2.4 Grafik Perbandingan Hasil Perhitungan Analitik,
Metode Euler, dan Metode Heun
Pada Gambar 2.4 grafik warna merah menunjukkan hasil
perhitungan secara analitik, grafik warna hijau menunjukkan
hasil
perhitungan menggunakan metode Heun, dan grafik warna biru
menunjukkan hasilm perhitungan menggunakan metode Euler. Dari
grafik
di atas kita dapat melihat lebih jelas tingkat keakuratan kedua
metode ter-
sebut. Metode Heun lebih akurat disbanding dengan metode
Euler.
Berikut diberikan grafik error Euler dan error Heun pada Gambar
2.5.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
t
y
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
21
Gambar 2.5 Grafik Perbandingan Error Metode Euler dan
Metode Heun
Pada Gambar 2.5 grafik berwarna hijau menunjukkan error Heun
dan grafik berwarna biru menunjukkan error Euler. Dari grafik
tersebut
terlihat jelas bahwa error Euler lebih tinggi dibandingkan
dengan error
Heun.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
t
err
or
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
22
BAB III
MENYELESAIKAN MODEL ROSS DENGAN MENGGUNAKAN
METODE HEUN
A. Model Ross
Model Ross terdiri dari sistem dua persamaan diferensial.
Notasi yang digunakan sebagai berikut:
N : jumlah populasi manusia di daerah tertentu;
I (t): jumlah manusia yang terinfeksi malaria pada waktu t;
n: jumlah populasi nyamuk (diasumsikan konstan);
i (t): jumlah nyamuk yang terinfeksi malaria;
b: frekuensi nyamuk menggigit per hari;
p: Probabilitas transmisi malaria dari manusia ke nyamuk dalam
satu
gigitan;
p’ : probabilitas transmisi malaria dari nyamuk ke manusia dalam
satu
gigitan;
a : tingkat manusia pulih dari malaria per hari;
m: tingkat kematian nyamuk per hari.
Selama interval waktu pendek dt, setiap nyamuk yang terinfeksi
menggigit
b dt manusia. 𝑁−𝐼
𝑁 adalah proporsi manusia yang belum terinfeksi. Dengan
memperhitungkan probabilitas transmisi p’ terdapat bp’i𝑁−𝐼
𝑁 𝑑𝑡 manusia
baru yang terinfeksi. Selama interval waktu yang sama, jumlah
manusia
yang disembuhkan adalah aI dt, sehingga
22
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
23
𝑑𝐼
𝑑𝑡= 𝑏𝑝′𝑖
𝑁−𝐼
𝑁− 𝑎𝐼.
Demikian pula setiap nyamuk yang tidak terinfeksi menggigit b
dt
manusia, dimana 𝐼
𝑁 adalah proporsi manusia yang sudah terinfeksi. Dengan
memperhitungkan probabilitas transmisi p terdapat bp(n-i)𝐼
𝑁 𝑑𝑡nyamuk
baru yang terinfeksi. Sementara itu, dengan asumsi bahwa infeksi
tidak
mempengaruhi kematian, jumlah nyamuk yang mati adalah mi dt.
Jadi,
𝑑𝑖
𝑑𝑡= 𝑏𝑝(𝑛 − 𝑖)
𝐼
𝑁− 𝑚𝑖.
Teorema 3.1
Jika diketahui jumlah nyamuk yang terinfeksi 𝑖(𝑡) tetap konstan
terhadap
waktu 𝑑𝐼
𝑑𝑡= 0 dan
𝑑𝑖
𝑑𝑡= 0 maka 𝑖 = 𝑛
1−𝑎𝑚𝑁 𝑏2𝑝𝑝′𝑛⁄
1+𝑚 𝑏𝑝⁄.
Bukti 1:
𝑏𝑝(𝑛 − 𝑖)𝐼
𝑁− 𝑚𝑖 = 0
𝑏𝑝(𝑛 − 𝑖)𝐼
𝑁= 𝑚𝑖
𝑏𝑝(𝑛 − 𝑖)𝐼 = 𝑁𝑚𝑖
𝐼 =𝑁𝑚𝑖
𝑏𝑝(𝑛 − 𝑖)
Selalu setimbang ketika 𝐼 = 0 dan 𝑖 = 0
𝑏𝑝′𝑖 𝑁 − 𝐼
𝑁− 𝑎𝐼 = 0
Substitusi 𝐼 yang sudah diperoleh ke dalam persamaan di
atas.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
24
𝑏𝑝′𝑖 (𝑁 − 𝑁𝑚𝑖 𝑏𝑝(𝑛 − 𝑖)⁄
𝑁) − 𝑎 (
𝑁𝑚𝑖
𝑏𝑝(𝑛 − 𝑖)) = 0
𝑏𝑝′𝑖 (𝑁
𝑁−
𝑁𝑚𝑖
𝑁𝑏𝑝(𝑛 − 𝑖)) − 𝑎 (
𝑁𝑚𝑖
𝑏𝑝(𝑛 − 𝑖)) = 0
𝑏𝑝′𝑖 (1 −𝑁𝑚𝑖
𝑁𝑏𝑝(𝑛 − 𝑖)) − 𝑎 (
𝑁𝑚𝑖
𝑏𝑝(𝑛 − 𝑖)) = 0
𝑏𝑝′𝑖 (1 −𝑚𝑖
𝑏𝑝(𝑛 − 𝑖)) − 𝑎 (
𝑁𝑚𝑖
𝑏𝑝(𝑛 − 𝑖)) = 0
𝑏𝑝′𝑖 (𝑏𝑝(𝑛 − 𝑖)
𝑏𝑝(𝑛 − 𝑖)−
𝑚𝑖
𝑏𝑝(𝑛 − 𝑖)) = 𝑎 (
𝑁𝑚𝑖
𝑏𝑝(𝑛 − 𝑖))
𝑏𝑝′𝑖 (𝑏𝑝(𝑛 − 𝑖) − 𝑚𝑖
𝑏𝑝(𝑛 − 𝑖)) = 𝑎 (
𝑁𝑚𝑖
𝑏𝑝(𝑛 − 𝑖))
Kemudian kedua ruas dikalikan dengan 𝑏𝑝(𝑛 − 𝑖).
𝑏𝑝′𝑖(𝑏𝑝(𝑛 − 𝑖) − 𝑚𝑖) = 𝑎(𝑁𝑚𝑖)
𝑏𝑝′𝑖(𝑏𝑝𝑛 − 𝑏𝑝𝑖 − 𝑚𝑖) = 𝑎𝑁𝑚𝑖
𝑏2𝑝𝑝′𝑛𝑖 − 𝑏2𝑝𝑝′𝑖2 − 𝑏𝑝′𝑚𝑖2 = 𝑎𝑁𝑚𝑖
𝑏2𝑝𝑝′𝑛𝑖 = 𝑏2𝑝𝑝′𝑖2 + 𝑏𝑝′𝑚𝑖2 + 𝑎𝑁𝑚𝑖
𝑏𝑝′(𝑏𝑝 + 𝑚)𝑖2 + (𝑎𝑁𝑚 − 𝑏2𝑝𝑝′𝑛)𝑖 = 0
𝑖[𝑏𝑝′(𝑏𝑝 + 𝑚)𝑖 + (𝑎𝑁𝑚 − 𝑏2𝑝𝑝′𝑛)] = 0
𝑖 = 0
Atau
𝑏𝑝′(𝑏𝑝 + 𝑚)𝑖 + 𝑎𝑁𝑚 − 𝑏2𝑝𝑝′𝑛 = 0
𝑏𝑝′(𝑏𝑝 + 𝑚)𝑖 = −𝑎𝑁𝑚 + 𝑏2𝑝𝑝′𝑛
𝑖 =𝑏2𝑝𝑝′𝑛 − 𝑎𝑁𝑚
𝑏2𝑝𝑝′ + 𝑏𝑝′𝑚
Dengan menggunakan sifat distributif, penyebut diubah
menjadi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
25
𝑏𝑝′(𝑏𝑝 + 𝑚), sehingga
𝑖 =𝑏2𝑝𝑝′𝑛 − 𝑎𝑚𝑁
𝑏𝑝′(𝑏𝑝 + 𝑚)
𝑖 = (𝑏2𝑝𝑝′𝑛 − 𝑎𝑚𝑁
𝑏𝑝′) (
1
𝑏𝑝 + 𝑚)
Kemudian (𝑏2𝑝𝑝′𝑛−𝑎𝑚𝑁
𝑏𝑝′) (
1
𝑏𝑝+𝑚) dikalikan dengan
𝑏𝑝
𝑏𝑝, diperoleh
𝑖 = (𝑏2𝑝𝑝′𝑛 − 𝑎𝑚𝑁
𝑏2𝑝𝑝′) (
𝑏𝑝
𝑏𝑝 + 𝑚)
𝑖 =𝑏2𝑝𝑝′𝑛 𝑏2𝑝𝑝′ − 𝑎𝑚𝑁 𝑏2𝑝𝑝′⁄⁄
(𝑏𝑝 + 𝑚) 𝑏𝑝⁄
𝑖 =𝑏2𝑝𝑝′𝑛2 𝑏2𝑝𝑝′𝑛 − 𝑎𝑁𝑚𝑛 𝑏2𝑝𝑝′𝑛⁄⁄
𝑏𝑝 𝑏𝑝 + 𝑚 𝑏𝑝⁄⁄
𝑖 =𝑛 − 𝑎𝑚𝑁𝑛 𝑏2𝑝𝑝′𝑛⁄
1 + 𝑚 𝑏𝑝⁄
𝑖 = 𝑛1 − 𝑎𝑚𝑁 𝑏2𝑝𝑝′𝑛⁄
1 + 𝑚 𝑏𝑝⁄
Terbukti ketika 𝑑𝐼
𝑑𝑡= 0 dan
𝑑𝑖
𝑑𝑡= 0 dan untuk 𝑖 ≠ 0, diperoleh
𝑖 = 𝑛1−𝑎𝑚𝑁 𝑏2𝑝𝑝′𝑛⁄
1+𝑚 𝑏𝑝⁄
Bukti 2:
Untuk membuktikan 𝑖 = 𝑛1−𝑎𝑚𝑁 𝑏2𝑝𝑝′𝑛⁄
1+𝑚 𝑏𝑝⁄ dapat dilakukan dengan cara lain,
yaitu dengan mengalikan persamaan kesetimbangan tersebut dengan
1 𝐼𝑖⁄ ,
sebagai berikut :
(𝑏𝑝′𝑖𝑁 − 𝐼
𝑁− 𝑎𝐼) (
1
𝐼𝑖) = 0
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
26
(𝑏𝑝′𝑖𝑁 − 𝑏𝑝′𝑖𝐼
𝑁− 𝑎𝐼) (
1
𝐼𝑖) = 0
(𝑏𝑝′𝑖𝑁 − 𝑏𝑝′𝑖𝐼 − 𝑎𝐼𝑁
𝑁) (
1
𝐼𝑖) = 0
𝑏𝑝′𝑖𝑁 − 𝑏𝑝′𝑖𝐼 − 𝑎𝐼𝑁
𝑁𝐼𝑖= 0
𝑏𝑝′𝑖𝑁
𝑁𝐼𝑖−
𝑏𝑝′𝑖𝐼
𝑁𝐼𝑖−
𝑎𝐼𝑁
𝑁𝐼𝑖= 0
𝑏𝑝′
𝐼−
𝑏𝑝′
𝑁−
𝑎
𝑖= 0
𝑏𝑝′
𝐼−
𝑎
𝑖=
𝑏𝑝′
𝑁
Sehingga untuk persamaan pertama diperoleh :
𝑏𝑝′
𝐼−
𝑎
𝑖=
𝑏𝑝′
𝑁
Untuk persamaan yang kedua sama dengan persamaan pertama di
atas
dikali dengan 1 𝐼𝑖⁄
(𝑏𝑝(𝑛 − 𝑖)𝐼
𝑁− 𝑚𝑖) (
1
𝐼𝑖) = 0
((𝑏𝑝𝑛 − 𝑏𝑝𝑖)𝐼
𝑁− 𝑚𝑖) (
1
𝐼𝑖) = 0
(𝑏𝑝𝑛𝐼 − 𝑏𝑝𝑖𝐼 − 𝑚𝑖𝑁
𝑁) (
1
𝐼𝑖) = 0
𝑏𝑝𝑛𝐼 − 𝑏𝑝𝑖𝐼 − 𝑚𝑖𝑁
𝑁𝐼𝑖= 0
𝑏𝑝𝑛𝐼
𝑁𝐼𝑖−
𝑏𝑝𝑖𝐼
𝑁𝐼𝑖−
𝑚𝑖𝑁
𝑁𝐼𝑖= 0
𝑏𝑝𝑛
𝑁𝑖−
𝑏𝑝
𝑁−
𝑚
𝐼= 0
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
27
−𝑚
𝐼+
𝑏𝑝𝑛
𝑁𝑖=
𝑏𝑝
𝑁
Diperoleh solusi yang mudah, yaitu :
𝑏𝑝′
𝐼−
𝑎
𝑖=
𝑏𝑝′
𝑁
−𝑚
𝐼+
𝑏𝑝𝑛
𝑁𝑖=
𝑏𝑝
𝑁
Misalkan : 1
𝐼= 𝑥 dan
1
𝑖= 𝑦
Maka
𝑏𝑝′1
𝐼− 𝑎
1
𝑖=
𝑏𝑝′
𝑁
𝑏𝑝′𝑥 − 𝑎𝑦 =𝑏𝑝′
𝑁 ..................(*)
−𝑚1
𝐼+ (
𝑏𝑝𝑛
𝑁) (
1
𝑖) =
𝑏𝑝
𝑁
−𝑚𝑥 +𝑏𝑝𝑛
𝑁𝑦 =
𝑏𝑝
𝑁 .....................(**)
Dari (*) dan (**) diperoleh :
𝑏𝑝′𝑥 − 𝑎𝑦 =𝑏𝑝′
𝑁 (3.1)
−𝑚𝑥 +𝑏𝑝𝑛
𝑁𝑦 =
𝑏𝑝
𝑁 (3.2)
Untuk memperoleh 𝑦 digunakan cara eliminasi dan subsitusi,
sehingga
𝑏𝑝′𝑚𝑥 − 𝑎𝑚𝑦 =𝑏𝑝′𝑚
𝑁
−𝑏𝑝′𝑚𝑥 +𝑏2𝑝𝑝′𝑛
𝑁𝑦 =
𝑏2𝑝𝑝′
𝑁
+
−𝑎𝑚𝑦 +𝑏2𝑝𝑝′𝑛
𝑁𝑦 =
𝑏𝑝′𝑚
𝑁+
𝑏2𝑝𝑝′
𝑁
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
28
−𝑎𝑚𝑁 + 𝑏2𝑝𝑝′
𝑁𝑦 =
𝑏𝑝′𝑚 + 𝑏2𝑝𝑝′
𝑁
𝑦 = (𝑏𝑝′𝑚 + 𝑏2𝑝𝑝′
𝑁) (
𝑁
−𝑎𝑚𝑁 + 𝑏2𝑝𝑝′)
Kemudian (𝑏𝑝′𝑚+𝑏2𝑝𝑝′
𝑁) (
𝑁
−𝑎𝑚𝑁+𝑏2𝑝𝑝′) dikalikan dengan
𝑁
𝑁, sehingga
diperoleh
𝑦 =𝑏𝑝′𝑚 + 𝑏2𝑝𝑝′
−𝑎𝑚𝑁 + 𝑏2𝑝𝑝′
𝑦 =𝑏2𝑝𝑝′ + 𝑏𝑝′𝑚
𝑏2𝑝𝑝′ − 𝑎𝑚𝑁
Karena 1
𝑖= 𝑦 maka
𝑦 =1
𝑖
𝑖 =1
𝑏2𝑝𝑝′ + 𝑏𝑝′𝑚 𝑏2𝑝𝑝′ − 𝑎𝑚𝑁⁄
𝑖 =𝑏2𝑝𝑝′ − 𝑎𝑚𝑁
𝑏2𝑝𝑝′ + 𝑏𝑝′𝑚
𝑖 =𝑏2𝑝𝑝′𝑛 − 𝑎𝑚𝑁
𝑏𝑝′(𝑏𝑝 + 𝑚)
𝑖 = (𝑏2𝑝𝑝′𝑛 − 𝑎𝑚𝑁
𝑏𝑝′) (
1
𝑏𝑝 + 𝑚)
Kemudian (𝑏2𝑝𝑝′𝑛−𝑎𝑚𝑁
𝑏𝑝′) (
1
𝑏𝑝+𝑚) dikalikan dengan
𝑏𝑝
𝑏𝑝, diperoleh
𝑖 = (𝑏2𝑝𝑝′𝑛 − 𝑎𝑚𝑁
𝑏2𝑝𝑝′) (
𝑏𝑝
𝑏𝑝 + 𝑚)
𝑖 =𝑏2𝑝𝑝′𝑛 𝑏2𝑝𝑝′ − 𝑎𝑚𝑁 𝑏2𝑝𝑝′⁄⁄
(𝑏𝑝 + 𝑚) 𝑏𝑝⁄
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
29
𝑖 =𝑏2𝑝𝑝′𝑛2 𝑏2𝑝𝑝′𝑛 − 𝑎𝑁𝑚𝑛 𝑏2𝑝𝑝′𝑛⁄⁄
𝑏𝑝 𝑏𝑝 + 𝑚 𝑏𝑝⁄⁄
𝑖 =𝑛 − 𝑎𝑚𝑁𝑛 𝑏2𝑝𝑝′𝑛⁄
1 + 𝑚 𝑏𝑝⁄
𝑖 = 𝑛1 − 𝑎𝑚𝑁 𝑏2𝑝𝑝′𝑛⁄
1 + 𝑚 𝑏𝑝⁄
Terbukti ketika 𝑑𝐼
𝑑𝑡= 0 dan
𝑑𝑖
𝑑𝑡= 0 dan untuk 𝑖 ≠ 0, diperoleh
𝑖 = 𝑛1−𝑎𝑚𝑁 𝑏2𝑝𝑝′𝑛⁄
1+𝑚 𝑏𝑝⁄
Teorema 3.2
Jika diketahui jumlah nyamuk yang terinfeksi 𝑖(𝑡) tetap konstan
terhadap
waktu 𝑑𝐼
𝑑𝑡= 0 dan
𝑑𝑖
𝑑𝑡= 0 maka 𝐼 = 𝑁
1−𝑎𝑚𝑁 𝑏2𝑝𝑝′𝑛⁄
1+𝑎𝑁 𝑏𝑝′𝑛⁄.
Bukti 1:
Untuk 𝑖 = 0 maka 𝐼 = 0
Untuk
𝑖 =𝑏2𝑝𝑝′𝑛 − 𝑎𝑚𝑁
𝑏2𝑝𝑝′ + 𝑏𝑝′𝑚
Maka
𝐼 =𝑁𝑚𝑖
𝑏𝑝(𝑛 − 𝑖)
Subsitusi 𝑖 ke dalam persamaan 𝐼 =𝑁𝑚𝑖
𝑏𝑝(𝑛−𝑖), sehingga
𝐼 =𝑁𝑚[(𝑏2𝑝𝑝′𝑛 − 𝑎𝑚𝑁) (𝑏2𝑝𝑝′ + 𝑏𝑝′𝑚)]⁄
𝑏𝑝[𝑛 − (𝑏2𝑝𝑝′𝑛 − 𝑎𝑚𝑁) (𝑏2𝑝𝑝′ + 𝑏𝑝′𝑚)]⁄
𝐼 =(𝑁𝑚𝑏2𝑝𝑝′𝑛 − 𝑎𝑚2𝑁) (𝑏2𝑝𝑝′ + 𝑏𝑝′𝑚)⁄
𝑏𝑝[(𝑛(𝑏2𝑝𝑝′ + 𝑏𝑝′𝑚)) (𝑏2𝑝𝑝′ + 𝑏𝑝′𝑚) − (𝑏2𝑝𝑝′𝑛 − 𝑎𝑚𝑁) (𝑏2𝑝𝑝′ +
𝑏𝑝′𝑚)]⁄⁄
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
30
𝐼 =(𝑁𝑚𝑏2𝑝𝑝′𝑛 − 𝑎𝑚2𝑁) (𝑏2𝑝𝑝′ + 𝑏𝑝′𝑚)⁄
𝑏𝑝[(𝑏2𝑝𝑝′𝑛 + 𝑏𝑝′𝑚𝑛 − 𝑏2𝑝𝑝′𝑛 + 𝑎𝑚𝑁) (𝑏2𝑝𝑝′ + 𝑏𝑝′𝑚)]⁄
𝐼 =(𝑁𝑚𝑏2𝑝𝑝′𝑛 − 𝑎𝑚2𝑁) (𝑏2𝑝𝑝′ + 𝑏𝑝′𝑚)⁄
𝑏𝑝[(𝑏𝑝′𝑚𝑛 + 𝑎𝑚𝑁) (𝑏2𝑝𝑝′ + 𝑏𝑝′𝑚)]⁄
𝐼 =(𝑁𝑚𝑏2𝑝𝑝′𝑛 − 𝑎𝑚2𝑁) (𝑏2𝑝𝑝′ + 𝑏𝑝′𝑚)⁄
(𝑏2𝑝𝑝′𝑚𝑛 + 𝑏𝑝𝑎𝑚𝑁) (𝑏2𝑝𝑝′ + 𝑏𝑝′𝑚)⁄
𝐼 = (𝑁𝑚𝑏2𝑝𝑝′𝑛 − 𝑎𝑚2𝑁
𝑏2𝑝𝑝′ + 𝑏𝑝′𝑚) (
𝑏2𝑝𝑝′ + 𝑏𝑝′𝑚
𝑏2𝑝𝑝′𝑚𝑛 + 𝑏𝑝𝑎𝑚𝑁)
Kemudian (𝑁𝑚𝑏2𝑝𝑝′𝑛−𝑎𝑚2𝑁
𝑏2𝑝𝑝′+𝑏𝑝′𝑚) (
𝑏2𝑝𝑝′+𝑏𝑝′𝑚
𝑏2𝑝𝑝′𝑚𝑛+𝑏𝑝𝑎𝑚𝑁) dikalikan dengan
𝑏2𝑝𝑝′+𝑏𝑝′𝑚
𝑏2𝑝𝑝′+𝑏𝑝′𝑚, sehingga diperoleh
𝐼 =𝑁𝑚𝑏2𝑝𝑝′𝑛 − 𝑎𝑚2𝑁
𝑏2𝑝𝑝′𝑚𝑛 + 𝑏𝑝𝑎𝑚𝑁
Dengan menggunakan sifat distributif diperoleh
𝐼 =𝑁𝑚(𝑏2𝑝𝑝′𝑛 − 𝑎𝑚𝑁)
𝑏𝑝𝑚(𝑏𝑝′𝑛 + 𝑎𝑁)
𝐼 =𝑁(𝑏2𝑝𝑝′𝑛 − 𝑎𝑚𝑁)
𝑏𝑝(𝑏𝑝′𝑛 + 𝑎𝑁)
𝐼 =𝑏2𝑝𝑝′𝑁𝑛 − 𝑎𝑚𝑁2
𝑏𝑝(𝑏𝑝′𝑛 + 𝑎𝑁)
𝐼 = (𝑏2𝑝𝑝′𝑁𝑛 − 𝑎𝑚𝑁2
𝑏𝑝) (
1
𝑏𝑝′𝑛 + 𝑎𝑁)
Kemudian (𝑏2𝑝𝑝′𝑁𝑛−𝑎𝑚𝑁2
𝑏𝑝) (
1
𝑏𝑝′𝑛+𝑎𝑁) dikalikan dengan
𝑏𝑝′𝑛
𝑏𝑝′𝑛, sehingga
diperoleh
𝐼 = (𝑏2𝑝𝑝′𝑁𝑛 − 𝑎𝑚𝑁2
𝑏2𝑝𝑝′𝑛) (
𝑏𝑝′𝑛
𝑏𝑝′𝑛 + 𝑎𝑁)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
31
𝐼 =(𝑏2𝑝𝑝′𝑁𝑛 − 𝑎𝑚𝑁2) 𝑏2𝑝𝑝′𝑛⁄
(𝑏𝑝′𝑛 + 𝑎𝑁) 𝑏𝑝′𝑛⁄
𝐼 =(𝑏2𝑝𝑝′𝑁𝑛 𝑏2𝑝𝑝′𝑛) − (𝑎𝑚𝑁2 𝑏2𝑝𝑝′𝑛)⁄⁄
(𝑏𝑝′𝑛 𝑏𝑝′𝑛) + (𝑎𝑁 𝑏𝑝′𝑛)⁄⁄
𝐼 =𝑁 − 𝑎𝑚𝑁2 𝑏2𝑝𝑝′𝑛⁄
1 + 𝑎𝑁 𝑏𝑝′𝑛⁄
𝐼 = 𝑁1 − 𝑎𝑚𝑁 𝑏2𝑝𝑝′𝑛⁄
1 + 𝑎𝑁 𝑏𝑝′𝑛⁄
Terbukti ketika 𝑑𝐼
𝑑𝑡= 0 dan
𝑑𝑖
𝑑𝑡= 0 dan untuk 𝐼 ≠ 0, diperoleh
𝐼 = 𝑁1−𝑎𝑚𝑁 𝑏2𝑝𝑝′𝑛⁄
1+𝑎𝑁 𝑏𝑝′𝑛⁄
Bukti 2:
Untuk membuktikan 𝐼 = 𝑁1−𝑎𝑚𝑁 𝑏2𝑝𝑝′𝑛⁄
1+𝑎𝑁 𝑏𝑝′𝑛⁄ dapat dilakukan dengan cara
lain, yaitu dengan menggunakan persamaan (3.2)
−𝑚𝑥 +𝑏𝑝𝑛
𝑁𝑦 =
𝑏𝑝
𝑁
−𝑚𝑥 + (𝑏𝑝𝑛
𝑁) (
𝑏2𝑝𝑝′ + 𝑏𝑝′𝑚
𝑏2𝑝𝑝′𝑛 − 𝑎𝑚𝑁) =
𝑏𝑝
𝑁
−𝑚𝑥 +𝑏𝑝𝑛(𝑏2𝑝𝑝′ + 𝑏𝑝′𝑚)
𝑁(𝑏2𝑝𝑝′𝑛 − 𝑎𝑚𝑁)=
𝑏𝑝
𝑁
𝑚𝑥 =𝑏𝑝𝑛(𝑏2𝑝𝑝′ + 𝑏𝑝′𝑚)
𝑁(𝑏2𝑝𝑝′𝑛 − 𝑎𝑚𝑁)−
𝑏𝑝
𝑁
𝑚𝑥 =𝑏𝑝𝑛(𝑏2𝑝𝑝′ + 𝑏𝑝′𝑚) − 𝑏𝑝(𝑏2𝑝𝑝′𝑛 − 𝑎𝑚𝑁)
𝑁(𝑏2𝑝𝑝′𝑛 − 𝑎𝑚𝑁)
𝑚𝑥 =𝑏3𝑝2𝑝′𝑛 + 𝑏2𝑝𝑝′𝑚𝑛 − 𝑏3𝑝2𝑝′𝑛 − 𝑏𝑝𝑎𝑚𝑁
𝑁(𝑏2𝑝𝑝′𝑛 − 𝑎𝑚𝑁)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
32
𝑚𝑥 =𝑏2𝑝𝑝′𝑚𝑛 − 𝑏𝑝𝑎𝑚𝑁
𝑁(𝑏2𝑝𝑝′𝑛 − 𝑎𝑚𝑁)
𝑚𝑥 =𝑚(𝑏2𝑝𝑝′𝑛 − 𝑏𝑝𝑎𝑁)
𝑁(𝑏2𝑝𝑝′𝑛 − 𝑎𝑚𝑁)
𝑥 = (𝑚(𝑏2𝑝𝑝′𝑛 − 𝑏𝑝𝑎𝑁)
𝑁(𝑏2𝑝𝑝′𝑛 − 𝑎𝑚𝑁)) (
1
𝑚)
𝑥 =𝑏2𝑝𝑝′𝑛 − 𝑏𝑝𝑎𝑁
𝑁(𝑏2𝑝𝑝′𝑛 − 𝑎𝑚𝑁)
𝑥 =𝑏𝑝(𝑏𝑝′𝑛 − 𝑎𝑁)
𝑁(𝑏2𝑝𝑝′𝑛 − 𝑎𝑚𝑁)
Karena 1
𝐼= 𝑥 maka
𝐼 =1
𝑥
𝐼 =1
𝑏𝑝(𝑏𝑝′𝑛 − 𝑎𝑁) 𝑁(𝑏2𝑝𝑝′𝑛 − 𝑎𝑚𝑁)⁄
𝐼 =𝑁(𝑏2𝑝𝑝′𝑛 − 𝑎𝑚𝑁)
𝑏𝑝(𝑏𝑝′𝑛 − 𝑎𝑁)
𝐼 =𝑏2𝑝𝑝′𝑁𝑛 − 𝑎𝑚𝑁2
𝑏𝑝(𝑏𝑝′𝑛 + 𝑎𝑁)
𝐼 = (𝑏2𝑝𝑝′𝑁𝑛 − 𝑎𝑚𝑁2
𝑏𝑝) (
1
𝑏𝑝′𝑛 + 𝑎𝑁)
Kemudian (𝑏2𝑝𝑝′𝑁𝑛−𝑎𝑚𝑁2
𝑏𝑝) (
1
𝑏𝑝′𝑛+𝑎𝑁) dikalikan dengan
𝑏𝑝′𝑛
𝑏𝑝′𝑛, sehingga
diperoleh
𝐼 = (𝑏2𝑝𝑝′𝑁𝑛 − 𝑎𝑚𝑁2
𝑏2𝑝𝑝′𝑛) (
𝑏𝑝′𝑛
𝑏𝑝′𝑛 + 𝑎𝑁)
𝐼 =(𝑏2𝑝𝑝′𝑁𝑛 − 𝑎𝑚𝑁2) 𝑏2𝑝𝑝′𝑛⁄
(𝑏𝑝′𝑛 + 𝑎𝑁) 𝑏𝑝′𝑛⁄
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
33
𝐼 =(𝑏2𝑝𝑝′𝑁𝑛 𝑏2𝑝𝑝′𝑛) − (𝑎𝑚𝑁2 𝑏2𝑝𝑝′𝑛)⁄⁄
(𝑏𝑝′𝑛 𝑏𝑝′𝑛) + (𝑎𝑁 𝑏𝑝′𝑛)⁄⁄
𝐼 =𝑁 − 𝑎𝑚𝑁2 𝑏2𝑝𝑝′𝑛⁄
1 + 𝑎𝑁 𝑏𝑝′𝑛⁄
𝐼 = 𝑁1 − 𝑎𝑚𝑁 𝑏2𝑝𝑝′𝑛⁄
1 + 𝑎𝑁 𝑏𝑝′𝑛⁄
Terbukti ketika 𝑑𝐼
𝑑𝑡= 0 dan
𝑑𝑖
𝑑𝑡= 0 dan untuk 𝐼 ≠ 0, diperoleh
𝐼 = 𝑁1−𝑎𝑚𝑁 𝑏2𝑝𝑝′𝑛⁄
1+𝑎𝑁 𝑏𝑝′𝑛⁄
Teorema 3.3
Jika𝐼 > 0 dan 𝑖 > 0 maka jumlah nyamuk di atas ambang
batas kritis 𝑛 >
𝑛∗ =𝑎𝑚𝑁
𝑏2𝑝𝑝′.
Bukti :
Pertama untuk 𝐼 > 0
𝑁1 − 𝑎𝑚𝑁 𝑏2𝑝𝑝′𝑛⁄
1 + 𝑎𝑁 𝑏𝑝′𝑛⁄> 0
𝑁 − 𝑎𝑚𝑁2 𝑏2𝑝𝑝′𝑛⁄
1 + 𝑎𝑁 𝑏𝑝′𝑛⁄> 0
(𝑏2𝑝𝑝′𝑁𝑛 𝑏2𝑝𝑝′𝑛) − (𝑎𝑚𝑁2 𝑏2𝑝𝑝′𝑛)⁄⁄
(𝑏𝑝′𝑛 𝑏𝑝′𝑛) + (𝑎𝑁 𝑏𝑝′𝑛)⁄⁄> 0
(𝑏2𝑝𝑝′𝑁𝑛 − 𝑎𝑚𝑁2) 𝑏2𝑝𝑝′𝑛⁄
(𝑏𝑝′𝑛 + 𝑎𝑁) 𝑏𝑝′𝑛⁄> 0
(𝑏2𝑝𝑝′𝑁𝑛 − 𝑎𝑚𝑁2
𝑏2𝑝𝑝′𝑛) (
𝑏𝑝′𝑛
𝑏𝑝′𝑛 + 𝑎𝑁) > 0
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
34
Kemudian dikalikan(𝑏2𝑝𝑝′𝑁𝑛−𝑎𝑚𝑁2
𝑏2𝑝𝑝′𝑛) (
𝑏𝑝′𝑛
𝑏𝑝′𝑛+𝑎𝑁) dengan
𝑏𝑝′𝑛
𝑏𝑝′𝑛, sehingga
diperoleh
(𝑏2𝑝𝑝′𝑁𝑛 − 𝑎𝑚𝑁2
𝑏𝑝) (
1
𝑏𝑝′𝑛 + 𝑎𝑁) > 0
𝑏2𝑝𝑝′𝑁𝑛 − 𝑎𝑚𝑁2
𝑏𝑝(𝑏𝑝′𝑛 + 𝑎𝑁)> 0
𝑏2𝑝𝑝′𝑁𝑛
𝑏𝑝(𝑏𝑝′𝑛 + 𝑎𝑁)−
𝑎𝑚𝑁2
𝑏𝑝(𝑏𝑝′𝑛 + 𝑎𝑁)> 0
𝑏2𝑝𝑝′𝑁𝑛
𝑏2𝑝𝑝′𝑛 + 𝑏𝑝𝑎𝑁>
𝑎𝑚𝑁2
𝑏2𝑝𝑝′𝑛 + 𝑏𝑝𝑎𝑁
Kemudian kedua ruas dikalikan dengan 𝑏2𝑝𝑝′𝑛 + 𝑏𝑝𝑎𝑁,
diperoleh
𝑏2𝑝𝑝′𝑁𝑛 > 𝑎𝑚𝑁2
𝑛 >𝑎𝑚𝑁2
𝑏2𝑝𝑝′𝑁
𝑛 >𝑎𝑚𝑁
𝑏2𝑝𝑝′
Kedua untuk 𝑖 > 0
𝑛1 − 𝑎𝑚𝑁 𝑏2𝑝𝑝′𝑛⁄
1 + 𝑚 𝑏𝑝⁄> 0
𝑛 − 𝑎𝑚𝑁𝑛 𝑏2𝑝𝑝′𝑛⁄
1 + 𝑚 𝑏𝑝⁄> 0
𝑏2𝑝𝑝′𝑛2 𝑏2𝑝𝑝′𝑛 − 𝑎𝑁𝑚𝑛 𝑏2𝑝𝑝′𝑛⁄⁄
𝑏𝑝 𝑏𝑝 + 𝑚 𝑏𝑝⁄⁄> 0
𝑏2𝑝𝑝′𝑛 𝑏2𝑝𝑝′ − 𝑎𝑚𝑁 𝑏2𝑝𝑝′⁄⁄
(𝑏𝑝 + 𝑚) 𝑏𝑝⁄> 0
(𝑏2𝑝𝑝′𝑛 − 𝑎𝑚𝑁
𝑏2𝑝𝑝′) (
𝑏𝑝
𝑏𝑝 + 𝑚) > 0
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
35
Kemudian (𝑏2𝑝𝑝′𝑛−𝑎𝑚𝑁
𝑏2𝑝𝑝′) (
𝑏𝑝
𝑏𝑝+𝑚) dikalikan dengan
𝑏𝑝
𝑏𝑝, diperoleh
(𝑏2𝑝𝑝′𝑛 − 𝑎𝑚𝑁
𝑏𝑝′) (
1
𝑏𝑝 + 𝑚) > 0
𝑏2𝑝𝑝′𝑛 − 𝑎𝑚𝑁
𝑏𝑝′(𝑏𝑝 + 𝑚)> 0
𝑏2𝑝𝑝′𝑛 − 𝑎𝑚𝑁
𝑏2𝑝𝑝′ + 𝑏𝑝′𝑚> 0
𝑏2𝑝𝑝′𝑛
𝑏2𝑝𝑝′ + 𝑏𝑝′𝑚−
𝑎𝑚𝑁
𝑏2𝑝𝑝′ + 𝑏𝑝′𝑚> 0
𝑏2𝑝𝑝′𝑛
𝑏2𝑝𝑝′ + 𝑏𝑝′𝑚>
𝑎𝑚𝑁
𝑏2𝑝𝑝′ + 𝑏𝑝′𝑚
Kedua ruas dikalian dengan 𝑏2𝑝𝑝′ + 𝑏𝑝′𝑚, diperoleh
𝑏2𝑝𝑝′𝑛 > 𝑎𝑚𝑁
𝑛 >𝑎𝑚𝑁
𝑏2𝑝𝑝′
Jadi terbukti 𝑛 > 𝑛∗ =𝑎𝑚𝑁
𝑏2𝑝𝑝′.
Setelah diselesaikan dengan menggunakan Teorema 2.1 danTeorema
2.2
fraksi infeksi 𝐼 𝑁⁄ pada populasi manusia sebagai fungsi dari
rasio 𝑛 𝑁⁄
antara nyamuk dan populasi manusia. Dapat ditunjukkan dengan
perhi-
tungan dan grafik pada Gambar 3.1 di bawah ini.
Berikut akan digambar grafik fraksi infeksi 𝐼 𝑁⁄ pada populasi
manusia
sebagai fungsi dari rasio 𝑛 𝑁⁄ antara nyamuk dan populasi
manusia dengan
parameter-parameter di bawah ini.
Diketahui :
𝑚 = (log 3)/10
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
36
𝑎 = (log 2)/90
𝑏 = log (8
7)
𝑝′ = 1/3
𝑝 = 1/4
Dengan menggunakan parameter-parameter yang sudah diketahui di
atas,
akan digambar grafik sesuai dengan perhitungan di bawah ini.
𝐼 = 𝑁1 − 𝑎𝑚𝑁 𝑏2𝑝𝑝′𝑛⁄
1 + 𝑎𝑁 𝑏𝑝′𝑛⁄
𝐼
𝑁=
1 − 𝑎𝑚𝑁 𝑏2𝑝𝑝′𝑛⁄
1 + 𝑎𝑁 𝑏𝑝′𝑛⁄
𝐼
𝑁=
(𝑏2𝑝𝑝′ − 𝑎𝑚𝑁) 𝑏2𝑝𝑝′𝑛⁄
(𝑏𝑝′𝑛 + 𝑎𝑁) 𝑏𝑝′𝑛⁄
𝐼
𝑁=
(𝑏2𝑝𝑝′𝑛 − 𝑎𝑚𝑁) 𝑏𝑝⁄
𝑏𝑝′𝑛 + 𝑎𝑁
𝐼
𝑁=
𝑏2𝑝𝑝′𝑛 − 𝑎𝑚𝑁
𝑏2𝑝𝑝′𝑛 + 𝑏𝑝𝑎𝑁
𝐼
𝑁=
𝑁
𝑁(
𝑏2𝑝𝑝′(𝑛 𝑁) − 𝑎𝑚⁄
𝑏2𝑝𝑝′(𝑛 𝑁) + 𝑎𝑏𝑝⁄)
𝐼
𝑁= (
𝑏2𝑝𝑝′(𝑛 𝑁) − 𝑎𝑚⁄
𝑏2𝑝𝑝′(𝑛 𝑁) + 𝑎𝑏𝑝⁄)
Misalkan : 𝐼
𝑁= 𝑦 dan
𝑛
𝑁= 𝑥
𝑥𝑖 = 0,1,2, … ,5
𝑦1 =𝑏2𝑝𝑝′𝑥0 − 𝑎𝑚
𝑏2𝑝𝑝′𝑥0 + 𝑎𝑏𝑝= −3.2909
𝑦2 =𝑏2𝑝𝑝′𝑥1 − 𝑎𝑚
𝑏2𝑝𝑝′𝑥1 + 𝑎𝑏𝑝= 0.3671
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
37
𝑦3 =𝑏2𝑝𝑝′𝑥2 − 𝑎𝑚
𝑏2𝑝𝑝′𝑥2 + 𝑎𝑏𝑝= 0.6583
𝑦4 =𝑏2𝑝𝑝′𝑥3 − 𝑎𝑚
𝑏2𝑝𝑝′𝑥3 + 𝑎𝑏𝑝= 0.7660
𝑦5 =𝑏2𝑝𝑝′𝑥4 − 𝑎𝑚
𝑏2𝑝𝑝′𝑥4 + 𝑎𝑏𝑝= 0.8221
𝑦6 =𝑏2𝑝𝑝′𝑥5 − 𝑎𝑚
𝑏2𝑝𝑝′𝑥5 + 𝑎𝑏𝑝= 0.8565
Dari hasil di atas diperoleh grafik seperti pada Gambar 3.1 di
bawah ini
Gambar 3.1 Grafik Fraksi Infeksi 𝑰 𝑵⁄ pada Populasi Manusia
Sebagai Fungsi dari Rasio 𝒏 𝑵⁄ antara Nyamuk dan Populasi
Manusia
Bentuk kurva dalam Gambar 3.1 menunjukkan bahwa fraksi manusia
yang
terinfeksi lebih tinggi dari 50% jika rasio 𝑛 𝑁⁄ di atas nilai
kritis 𝑛∗ 𝑁⁄ .
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
n/N
I/N
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
38
Tetapi fraksi ini tidak berubah banyak ketika rasio 𝑛 𝑁⁄
meningkat lebih
lanjut. Ross mengatakan bahwa nilai numerik dari ambang 𝑛∗ 𝑁⁄
=
0.5694 sangat sensitif terhadap frekuensi jumlah nyamuk
menggigit 𝑏
tetapi tidak mengubah bentuk keseluruhan dari kurva tersebut.
Penjelasan
kualitatif Ross lebih penting dari hitung-hitungannya karena
nilai numerik
dari parameternya tidak pasti.
B. Penyelesaian Model Ross Menggunakan Metode Euler
Berikut akan digambar grafik menggunakan metode Euler dengan
parameter-parameter di bawah ini.
Diketahui :
𝑚 = (log 3)/10
𝑎 = (log 2)/90
𝑏 = log (8
7)
𝑝′ = 1/3
𝑝 = 1/4
𝑛 = 10
𝑁 = 100
Dengan menggunakan parameter-parameter yang sudah diketahui di
atas,
dan dengan menggunakan metode Euler, akan digambar grafik
sesuai
dengan perhitungan di bawah ini.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
39
𝑡 = [0,100]
ℎ = 0.01
𝐼(1) = 0.5
𝑖(1) = 0.25
𝑓(1) = 𝑏𝑝′𝑖(1)𝑁 − 𝐼(1)
𝑁− 𝑎𝐼(1) = 0.0031
𝐼(2) = 𝐼(1) + ℎ𝑓(1) = 0.5000
𝑔(1) =𝑏𝑝𝑛 − 𝑖(1)𝐼(1)
𝑁− 𝑚𝑖(1) = −0.0112
𝑖(2) = 𝑖(1) + ℎ𝑔(1) = 0.2499
Tabel 3.1 Hasil Perhitungan Model Ross Menggunakan Metode
Euler
𝑡𝑖 I i
0 0.5000 0.2500
0.01 0.5000 0.2499
0.02 0.5001 0.2498
0.03 0.5001 0.2497
0.04 0.5001 0.2496
0.05 0.5002 0.2494
0.06 0.5002 0.2493
0.07 0.5002 0.2492
0.08 0.5003 0.2491
0.09 0.5003 0.2490
0.10 0.5003 0.2489
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
40
Dari hasil di atas diperoleh grafik seperti pada Gambar 3.2 di
bawah ini.
Gambar 3.2 Grafik Hasil Perhitungan Model Ross
Menggunakan Metode Euler
Dengan menggunakan metode Euler dan parameter yang sudah
diketahui, diperoleh grafik seperti pada Gambar 3.2. Pada grafik
pertama
berwarna merah menunjukkan frekuensi manusia yang terinfeksi
malaria
terhadap waktu, grafik kedua berwarna hijau menunjukkan
frekuensi
nyamuk yang terinfeksi malaria terhadap waktu, dan grafik
ketiga
berwarna biru menunjukkan frekuensi manusia yang terinfeksi
malaria
terhadap frekuensi nyamuk yang terinfeksi malaria.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
41
C. Penyelesaian Model Ross Menggunakan Metode Heun
Berikut akan digambar grafik menggunakan metode Heun dengan
parameter-parameter di bawah ini.
Diketahui :
𝑚 = (log 3)/10
𝑎 = (log 2)/90
𝑏 = log (8
7)
𝑝′ = 1/3
𝑝 = 1/4
𝑛 = 10
𝑁 = 100
Dengan menggunakan parameter-parameter yang sudah diketahui di
atas,
dan dengan menggunakan metode Heun, akan digambar grafik
sesuai
dengan perhitungan di bawah ini.
𝑡 = [0,100]
ℎ = 0.01
𝐼(1) = 0.5
𝑖(1) = 0.25
𝑓(1) = 𝑏𝑝′𝑖(1)𝑁 − 𝐼(1)
𝑁− 𝑎𝐼(1) = 0.0031
𝑧(1) = 𝐼(1) + ℎ𝑓(1) = 0.5000
𝑔(1) =𝑏𝑝𝑛 − 𝑖(1)𝐼(1)
𝑁− 𝑚𝑖(1) = −0.0112
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
42
𝑦(1) = 𝑖(1) + ℎ𝑔(1) = 0.2499
𝐼(2) = 𝐼(1) +ℎ
2(𝑓(1) + 𝑏𝑝′𝑦(1)
𝑁 − 𝑧(1)
𝑁− 𝑎𝑧(1)) = 0.5000
𝑖(2) = 𝑖(1) +ℎ
2(𝑓(1) +
𝑏𝑝𝑛 − 𝑦(1)𝑧(1)
𝑁− 𝑚𝑦(1)) = 0.2499
Tabel 3.1 Hasil Perhitungan Model Ross Menggunakan Metode
Heun
𝑡𝑖 I i
0 0.5000 0.2500
0.01 0.5000 0.2499
0.02 0.5001 0.2498
0.03 0.5001 0.2497
0.04 0.5001 0.2496
0.05 0.5002 0.2494
0.06 0.5002 0.2493
0.07 0.5002 0.2492
0.08 0.5003 0.2491
0.09 0.5003 0.2490
0.10 0.5003 0.2489
Dari hasil di atas diperoleh grafik seperti pada Gambar 3.2 di
bawah ini.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
43
Gambar 3.3 Grafik Hasil Perhitungan Model Ross
Menggunakan Metode Heun
Dengan menggunakan metode Heun dan parameter yang sudah
diketahui, diperoleh grafik seperti pada Gambar 3.3. Pada grafik
pertama
berwarna merah menunjukkan frekuensi manusia yang terinfeksi
malaria
terhadap waktu, grafik kedua berwarna hijau menunjukkan
frekuensi
nyamuk yang terinfeksi malaria terhadap waktu, dan grafik
ketigaberwarna
biru menunjukkan frekuensi manusia yang terinfeksi malaria
terhadap
frekuensi nyamuk yang terinfeksi malaria.
Pada Gambar 3.2 dan Gambar 3.3 menurut model Ross yang
diselesaikan menggunakan metode Euler dan metode Heun pada
grafik
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
44
pertama menunjukkan bahwa frekuensi manusia yang terinfeksi
malaria
meningkat sampai 0.5298, kemudian setelah itu frekuensi manusia
yang
terinfeksi malaria menurun hingga manusia pulih dari malaria.
Pada grafik
kedua menunjukkan bahwa semakin lama, tidak ada nyamuk yang
terin-
feksi malaria. Dan pada grafik yang ketiga menunjukkan bahwa
semakin
banyak manusia yang terinfeksi malaria, semakin banyak juga
nyamuk
yang terinfeksi malaria. Begitu juga sebaliknya, semakin sedikit
frekuensi
manusia yang terinfeksi malaria, semakin sedikit pula nyamuk
yang terin-
feksi malaria.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
45
BAB IV
PENUTUP
Pada bab ini dituliskan kesimpulan dari pembahasan bab-bab
sebe-
lumnya, serta saran bagi peneliti selanjutnya.
A. KESIMPULAN
Berdasarkan bab-bab sebelumnya dapat disimpulkan:
1. Model Ross untuk menyelesaikan penyebaran penyakit
malaria
adalah
𝑑𝐼
𝑑𝑡=bp’i
𝑁−𝐼
𝑁− 𝑎𝐼
𝑑𝑖
𝑑𝑡= 𝑏𝑝(𝑛 − 𝑖)
𝐼
𝑁− 𝑚𝑖.
2. Solusi model Ross dengan menggunakan metode Euler adalah
𝐼(𝑘) = 𝐼(𝑘 − 1) + ℎ (𝑏𝑝′𝑖(𝑘 − 1)𝑁 − 𝐼(𝑘 − 1)
𝑁− 𝑎𝐼(𝑘 − 1))
𝑖(𝑘) = 𝑖(𝑘 − 1) + ℎ (𝑏𝑝𝑛 − 𝑖(𝑘 − 1)𝐼(𝑘 − 1)
𝑁− 𝑚𝑖(𝑘 − 1))
3. Solusi model Ross dengan menggunakan metode Heun adalah
𝑓(𝑘 − 1) = 𝑏𝑝′𝑖(𝑘 − 1)𝑁 − 𝐼(𝑘 − 1)
𝑁− 𝑎𝐼(𝑘 − 1)
𝑧(𝑘 − 1) = 𝐼(𝑘 − 1) + ℎ (𝑏𝑝′𝑖(𝑘 − 1)𝑁 − 𝐼(𝑘 − 1)
𝑁− 𝑎𝐼(𝑘 − 1))
𝑔(𝑘 − 1) =𝑏𝑝𝑛 − 𝑖(𝑘 − 1)𝐼(𝑘 − 1)
𝑁− 𝑚𝑖(𝑘 − 1)
𝑦(𝑘 − 1) = 𝑖(𝑘 − 1) + ℎ𝑔(𝑘 − 1)
𝐼(𝑘) = 𝐼(𝑘 − 1) +ℎ
2(𝑓(𝑘 − 1) + 𝑏𝑝′𝑦(𝑘 − 1)
𝑁 − 𝑧(𝑘 − 1)
𝑁− 𝑎𝑧(𝑘 − 1))
45
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
46
𝑖(𝑘) = 𝑖(𝑘 − 1) +ℎ
2(𝑓(𝑘 − 1) +
𝑏𝑝𝑛 − 𝑦(𝑘 − 1)𝑧(𝑘 − 1)
𝑁− 𝑚𝑦(𝑘 − 1))
4. Dari grafik hasil perhitungan model Ross menggunakan
metode
Heun dapat disimpulkan, pertama menunjukkan bahwa frekuensi
manusia yang terinfeksi malaria meningkat sampai 0.5298,
kemudian setelah itu frekuensi manusia yang terinfeksi
malaria
menurun hingga manusia pulih dari malaria. Kedua menunjukkan
bahwa semakin lama, tidak ada nyamuk yang terinfeksi
malaria.
Dan ketiga menunjukkan bahwa semakin banyak manusia yang
terinfeksi malaria, semakin banyak juga nyamuk yang
terinfeksi
malaria. Begitu juga sebaliknya, semakin sedikit frekuensi
manusia
yang terinfeksi malaria, semakin sedikit pula nyamuk yang
terin-
feksi malaria.
B. SARAN
Dalam makalah ini model Ross hanya diselesaikan menggunakan
metode Euler dan metode Heun. Model Ross juga dapat
diselesaikan
dengan metode lain yang lebih akurat, misalnya dengan
menggunakan
metode Rung-Kutta. Sehingga masih terbuka lebih lanjut untuk
diselesaikan menggunakan metode tersebut.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
47
DAFTAR PUSTAKA
Bacaer, Nicolas. (2011). A Short History of Mathematical
Populations Dynamics.
London: Springer-Verlag.
Koella, Jacob C. (1991). On The Use of Mathematical Models of
Malaria
Transmission. Acta Tropica,49:1-25.
Mandal, Sandip, et al. (2011). Mathematical Model of Malaria – a
review.
Malaria Journal,10:1-19.
Singer, Burton. (1984). Mathematical Model of Infectious
Diseases: Seeking New
Tools for Planning and Evaluating Control Program. Population
and
Development Review, 10: 347-365.
Fitri, Ahmad, dkk. (2014). Model Matematika (Linear)
PopulasiAnjing Rabies
denganVaksinasi. JurnalMatematika, 4:70-79.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
48
LAMPIRAN
Program Contoh Analitik (Gambar 2.1) clc
clear
close all
n=10;
h=0.2;
x=0:h:2;
q=length(x);
y=zeros(1,q);
y(1)=0.5;
t=zeros(1,q);
t(1)=0;
for k=2:q
t(k)=t(k-1)+0.2;
y(k)=-0.5*exp(t(k))+t(k)^2+2*t(k)+1;
end
plot(t,y);
xlabel('t')
ylabel('y')
axis([0 max(t) min(y) max(y)])
disp(' t y')
disp(' ===========')
disp([ t' y'])
Program Contoh Euler (Gambar 2.2) clc
clear
close all
n=10;
h=0.2;
x=0:h:2;
q=length(x);
y=zeros(1,q);
y(1)=0.5;
t=zeros(1,q);
t(1)=0;
for k=2:q
t(k)=t(k-1)+0.2;
y(k)=y(k-1)+h*(y(k-1)-t(k)^2+1);
end
plot(t,y);
xlabel('t')
ylabel('y')
axis([0 max(t) min(y) max(y)])
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
49
disp(' t y')
disp(' ===========')
disp([ t' y'])
Program Contoh Heun (Gambar2.3) clc
clear
close all
n=10;
h=0.2;
x=0:h:2;
q=length(x);
y=zeros(1,q);
y(1)=0.5;
t=zeros(1,q);
t(1)=0;
for k=2:q
t(k)=t(k-1)+0.2;
z(k)=y(k-1)+h*(y(k-1)-t(k)^2+1);
y(k)=y(k-1)+h/2*((y(k-1)-t(k)^2+1)+(z(k)-
t(k)^2+1));
end
plot(t,y);
xlabel('t')
ylabel('y')
axis([0 max(t) min(y) max(y)])
disp(' t y')
disp(' ===========')
disp([ t' y'])
Program Gabungan Analiti, Euler, dan Heun (Gambar 2.4) clc
clear
close all
n=10;
h=0.2;
x=0:h:2;
q=length(x);
y=zeros(1,q);
y(1)=0.5;
t=zeros(1,q);
t(1)=0;
%euler
for k=2:q
t(k)=t(k-1)+0.2;
y(k)=y(k-1)+h*(y(k-1)-t(k)^2+1);
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
50
end
plot(t,y);
xlabel('t')
ylabel('y')
axis([0 max(t) min(y) max(y)])
disp(' t y')
disp(' ===========')
disp([ t' y'])
%heun
for k=2:q
t(k)=t(k-1)+0.2;
z(k)=y(k-1)+h*(y(k-1)-t(k)^2+1);
y(k)=y(k-1)+h/2*((y(k-1)-t(k)^2+1)+(z(k)-
t(k)^2+1));
end
hold on
plot(t,y,'g');
xlabel('t')
ylabel('y')
axis([0 max(t) min(y) max(y)])
disp(' t y')
disp(' ===========')
disp([ t' y'])
%analitik
for k=2:q
t(k)=t(k-1)+0.2;
y(k)=-0.5*exp(t(k))+t(k)^2+2*t(k)+1;
end
hold on
plot(t,y,'r');
xlabel('t')
ylabel('y')
axis([0 max(t) min(y) max(y)])
disp(' t y')
disp(' ===========')
disp([ t' y'])
Program Error (Gambar 2.5) clc
clear
close all
n=10;
h=0.2;
x=0:h:2;
q=length(x);
z=zeros(1,q);
z(1)=0.5;
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
51
t=zeros(1,q);
t(1)=0;
%analitik
for k=2:q
t(k)=t(k-1)+0.2;
z(k)=-0.5*exp(t(k))+t(k)^2+2*t(k)+1;
end
n=10;
h=0.2;
x=0:h:2;
q=length(x);
y=zeros(1,q);
y(1)=0.5;
z=zeros(1,q);
z(1)=0.5;
t=zeros(1,q);
t(1)=0;
%euler
for k=2:q
t(k)=t(k-1)+0.2;
y(k)=y(k-1)+h*(y(k-1)-t(k)^2+1);
z(k)=-0.5*exp(t(k))+t(k)^2+2*t(k)+1;
er(k)=abs(z(k)-y(k));
end
plot(t,er)
hold on
%heun
n=10;
h=0.2;
x=0:h:2;
q=length(x);
y=zeros(1,q);
y(1)=0.5;
z=zeros(1,q);
z(1)=0.5;
l=zeros(1,q);
l(1)=0.5;
t=zeros(1,q);
t(1)=0;
for k=2:q
t(k)=t(k-1)+0.2;
z(k)=y(k-1)+h*(y(k-1)-t(k)^2+1);
y(k)=y(k-1)+h/2*((y(k-1)-t(k)^2+1)+(z(k)-
t(k)^2+1));
l(k)=-0.5*exp(t(k))+t(k)^2+2*t(k)+1;
err(k)=abs(l(k)-y(k));
end
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
52
plot(t,err,'g')
xlabel('t')
ylabel('error')
disp(' t analitik euler heun
eror euler eror heun')
disp('============================================
============================')
disp([t' l' z' y' er'
err' ])
Program Fraksi Infeksi (Gambar 3.1) clc
clear
close all
m=log10(3)/10;
a=log10(2)/90;
b=log10(8/7);
p_prime= 1/3;
p=1/4;
n_star_per_N=a*m/(b^2*p*p_prime)
x=0:0.01:5;
y=(b^2*p*p_prime*x-a*m)./(b^2*p*p_prime*x+a*b*p);
plot(x,y)
xlabel('n/N')
ylabel('I/N')
axis([0 5 0 1])
disp(' n/N I/N')
disp(' ===========')
disp([ x' y'])
Program Metode Euler Untuk Model Ross (Gambar 3.2)
clc
clear
closeall
m=log10(3)/10;
a=log10(2)/90;
b=log10(8/7);
p_prime= 1/3;
p=1/4;
n=10;
N=100;
h=0.01;
t=0:h:100;
q=length(t);
I=zeros(1,q);
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
53
I(1)=0.5;
i=zeros(1,q);
i(1)=0.25;
for k=2:q
f1=b*p_prime*i(k-1)*(N-I(k-1))/N-a*I(k-1);
f2=b*p*(n-i(k-1))*I(k-1)/N-m*i(k-1);
I(k)=I(k-1)+h*f1;%*t(k-1)*I(k-1)*i(k-1);
i(k)=i(k-1)+h*f2;%*t(k-1)*I(k-1)*i(k-1);
end
subplot(3,1,1),plot(t,I,'r');
xlabel('t')
ylabel('I')
axis([0 max(t) min(I) max(I)])
disp(' t I')
disp(' ===========')
disp([ t' I'])
subplot(3,1,2),plot(t,i,'g');
xlabel('t')
ylabel('i')
axis([0 max(t) min(i) max(i)])
disp(' t i')
disp(' ===========')
disp([ t' i'])
subplot(3,1,3),plot(i,I,'b');
xlabel('i')
ylabel('I')
axis([min(i) max(i) min(I) max(I)])
disp(' i I')
disp(' ===========')
disp([ i' I'])
disp(' min(i) max(i) min(I) max(I)')
disp([ min(i)' max(i)' min(I)' max(I)'])
Program Metode Heun Untuk Model Ross (Gambar 3.3)
clc
clear
closeall
m=log10(3)/10;
a=log10(2)/90;
b=log10(8/7);
p_prime= 1/3;
p=1/4;
n=10;
N=100;
h=0.01;
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
54
t=0:h:100;
q=length(t);
I=zeros(1,q);
I(1)=0.5;
i=zeros(1,q);
i(1)=0.25;
for k=2:q
f1=b*p_prime*i(k-1)*(N-I(k-1))/N-a*I(k-1);
f2=b*p*(n-i(k-1))*I(k-1)/N-m*i(k-1);
z1(k)=I(k-1)+h*f1;
z2(k)=i(k-1)+h*f2;
I(k)=I(k-1)+h/2*(f1+(b*p_prime*z2(k)*(N-z1(k))/N-
a*z1(k)));
i(k)=i(k-1)+h/2*(f2+(b*p*(n-z2(k))*z1(k)/N-
m*z2(k)));
end
subplot(3,1,1),plot(t,I,'r');
xlabel('t')
ylabel('I')
axis([0 max(t) min(I) max(I)])
disp(' t I')
disp(' ===========')
disp([ t' I'])
subplot(3,1,2),plot(t,i,'g');
xlabel('t')
ylabel('i')
axis([0 max(t) min(i) max(i)])
disp(' t i')
disp(' ===========')
disp([ t' i'])
subplot(3,1,3),plot(i,I,'b');
xlabel('i')
ylabel('I')
axis([min(i) max(i) min(I) max(I)])
disp(' i I')
disp(' ===========')
disp([ i' I'])
disp(' min(i) max(i) min(I) max(I)')
disp([ min(i)' max(i)' min(I)' max(I)'])
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI