PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT

-1-

PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT

A. PERSAMAAN KUADRAT

1. PENYELESAIAN PERSAMAAN KUADRAT

Bentuk umum persamaan kuadrat adalah , dimana dan a,b,c.

Pembuat nol dari persamaan di atas merupakan penyelesaian persamaankuadrat. Himpunan dari penyelesaian di atas disebut Himpunan Penyelesaian(HP). Menentukan penyelesaian persamaan kuadrat sama dengan menentukanakar-akar persamaan kuadrat. Secara geometri, menentukan penyelesaianpersamaan kuadrat berarti menentukan titik-titik potong kurva

dengan sumbu X.Cara menentukan penyelesaian persamaan kuadrat ada 3 cara, yaitu :1. memfaktorkan2. melengkapkan kuadrat sempurna3. rumus kuadrat (rumus abc)

1.1 Penyelesaian persamaan kuadrat dengan memfaktorkan

Jika suatu persamaan kuadrat dapat diubah menjadi bentuk AB = 0, makapenyelesaiannya adalah A = 0 atau B = 0. Langkah pertama untuk menentukanpenyelesaian persamaan kuadrat dengan pemfaktoran yaitudengan menentukan faktor dari perkalian ac yang jumlahnya adalah b,misalnya faktornya p dan q. Sehingga perkalian luar dan perkalian dalamdari koefisiennya besarnya p dan q. Perhatikan pola di bawah ini :

Perkalian dalam

(…x + …)(…x + …) = 0

Perkalian luar

Contoh 1: Tentukan Himpunan Penyelesaian dari

Jawab : (x - ….)(x + ….) = 0

Jadi HP:{….,…..}

Contoh 2: Tentukan penyelesaian dari

Jawab : (…...-……)(……+……) = 0

LATIHAN SOAL

Tentukan HPnya dengan menggunakan cara pemfaktoran !

1.

Persamaan dan Fungsi Kuadrat

-2-

2.3.4.5.6.7.8.9.10.11. 12. 13. 14. 15.

1.2 Penyelesaian persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadratsempurna

Yaitu dengan mengubah persamaan menjadi bentuk sehingga penyelesaiannya . Pertama, usahakan menjadi bentuk

. Kemudian menjadikan ruas kiri menjadi bentuk kuadrat

sempurna, yaitu dengan menambahkan kedua ruas dengan .

Contoh 3: Tentukan HP dari dengan melengkapkan kuadrat sempurna

Jawab : …. = …..

………………………….

Jadi HP : {……,…….}

Contoh 4: Tentukan HP dari dengan melengkapkan kuadrat sempurna

Jawab : …. = …. ………………………………..


-3-

Jadi HP:{ …. }

LATIHAN SOAL

Tentukan HPnya dengan melengkapkan kuadrat sempurna, dari :

1. 11. 2. 12. 3. 13. 4. 14. 5. 15. 6.7.8.9.10.

1.3 Penyelesaian Persamaan Kuadrat Dengan Rumus Kuadrat (Rumus abc)

…. = … …. = … …. + …. = …. + …. … + … = … x = …

Sehingga : dimana disebut dengan

diskriminan (D)

Jadi D = Rumus di atas dikenal dengan nama rumus kuadrat atau sering dikenal denganrumus abc.

Contoh 5: Tentukan HP dari dengan menggunakan rumus kuadrat

Jawab : a = … , b = …. , c = ….

= …

= …


-4-

Jadi HP:{ …. }

Contoh 6: Tentukan HP dari dengan menggunakan rumus kuadrat

Jawab : a = … , b= …. , c = ….

= …

Jadi HP:{ …. }

LATIHAN SOAL

Tentukan HPnya dengan menggunakan rumus kuadrat (abc) dari :

1. 11. 2. 12. 3. 13. 4. 14. 5. 15. 6.7.8.9.10.

2. JENIS-JENIS AKAR PERSAMAAN KUADRAT

Jenis-jenis akar persamaan kuadrat :- Jika D < 0 maka akar-akarnya imajiner/ireal/tidak nyata- Jika D = 0 maka akar-akarnya real dan sama (akar kembar)- Jika D > 0 maka akar-akarnya real dan berlainan

Jika D > 0 dan merupakan bentuk akar, maka akar-akarnya irasionaldan berlainanJika D > 0 dan bukan bentuk akar, maka akar-akarnya rasional danberlainan

Harga a pada menentukan kurva parabola menghadap ke atasatau ke bawah. - Jika a < 0 maka parabola menghadap ke bawah


-5-

- Jika a > 0 maka parabola menghadap ke atas

Definit negatif dan definit positif- Jika a < 0 dan D < 0 maka berapapun nilai x selalu menghasilkan nilai

yang negatif (definit negatif)- Jika a > 0 dan D < 0 maka berapapun nilai x selalu menghasilkan

yang positif (definit positif)

Perhatikan gambar berikut : Definit positif a >0 D <0 a > 0 a >0 D=0 D >0

Sb X a < 0 a < 0

D > 0 D = 0 a < 0

D < 0 Definit negatif

Contoh 1: Tentukan jenis akar-akar dari

Jawab : D = … = … Karena D … 0 maka akar-akarnya …

Contoh 2: Tentukan nilai n agar persamaan mempunyai akar kembar!

Jawab : Syarat akar kembar, yaitu D …. 0 … = 0 … = 0 … = 0

( … )( … ) = 0 n = … atau n = …

LATIHAN SOAL

1. Tentukan jenis-jenis akar persamaan berikut :a. d. b. e. c.

2. Tentukan n, agar persamaan berikut mempunyai akar kembar !


-6-

a.b.c.d.

e.

3. JUMLAH DAN HASIL KALI AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT

Akar-akar adalah dan .

Sehingga jika dijumlahkan dan dikalikan akar-akarnya akan mendapatkan rumus:

Contoh 1: Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar :a. b.

Jawab : a. a = … , b = … , dan c = …

= ….. b. a = … , b = …. dan c = ….

= …..

Contoh 2: Jika dan akar-akar maka tentukan nilai :

a. b. c. d.

Jawab : = …..


-7-

a. =

b. =

c. =

d. =

LATIHAN SOAL

1. Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar dari :a. b.

2. Jika dan akar-akar persamaan , maka tentukanharga :

a. b. c. d.

3. Tentukan n agar hasil kali akar-akarnya 1 atau akar-akarnyasaling berkebalikan.

4. Tentukan n agar akar-akarnya berlawanan tanda.

5. Tentukan n agar hasil kali akar-akarnya 5.

4. MENYUSUN PERSAMAAN KUADRAT

4.1 Persamaan Kuadrat Yang Akar-akarnya dan .

Digunakan rumus sebagai berikut :

Contoh 1: Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 5 dan –3

Jawab : Cara I :

Cara II :

4.2 Persamaan Kuadrat Yang Akar-akarnya Berhubungan Dengan Akar-akarPersamaan Kuadrat Lainnya

Misal dan akar-akar dari , sedangkan akar-akar persamaan kuadrat baru, dimana , maka caramenentukan persamaan kuadrat baru itu ada 2 cara, yaitu :


-8-

1. Cara I : Substitusi y = kx atau ke , lalu ganti y

dengan x2. Cara II: dengan menggunakan rumus :

Contoh 2: Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2 kali akar-akar

Jawab : Cara I : y = 2x maka x = …. Substitusi x = …. ke ….= 0 ….= 0 Ganti y dengan x, maka diperoleh : ….

Cara II: …. ….

LATIHAN SOAL

1. Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya :a. 3 dan 4 c. 5 dan –1/2b. 2 dan –7 d. –3/2 dan 4/5

2. Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 3 kali akar-akar

3. Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 1/2 kali akar-akar

4. Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2 lebihnya dari akar-akar

5. Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya kebalikan akar-akar

B. PERTIDAKSAMAAN KUADRAT

Pertidaksamaan kuadrat diselesaikan dengan bantuan garis bilangan, yaitudengan menguji pada masing-masing daerah pada garis bilangan denganmencantumkan akar-akar persamaan kuadrat. Tentukan penyelesaiannya sesuaidengan soal dan tanda “+” atau “-“ pada garis bilangan.

Contoh 1: Tentukan HP dari :


-9-

a. b. c.

Jawab : a.

… … … … …

HP:{x/ … }

b.

… … … … … HP:{x/ … }

c.

… … … … … HP:{x/ … }

LATIHAN SOAL

1. Tentukan HPnya dari pertidaksamaan :a. e.

b. f.

c. g.

d.

2. Tentukan n agar akar-akarnya imajiner

3. Tentukan n agar akar-akarnya real dan berlainan


-10-

4. Tentukan interval x sehingga f(x) = berada di atas sumbu X

5. Tentukan interval x sehingga f(x) = berada di atas sumbu X

C. FUNGSI KUADRAT

1. MELUKIS PARABOLA

Bentuk umum fungsi kuadrat adalah f(x) = .Kurvanya berupa Parabola.

Cara melukis sketsa Parabola, yaitu :1. Tentukan titik-titik potong dengan sumbu koordinat

a. Dengan sumbu X syarat y = 0 b. Dengan sumbu Y syarat x = 0

2. Tentukan Titik Puncak dengan rumus TP:

3. Jika a > 0, maka parabola menghadap ke atasJika a < 0, maka parabola menghadap ke bawah

4. Gunakan beberapa buah titik bantu jika perlu5. Lukis kurvanya dengan menghubungkan titik-titik yang sudah diketahui

Contoh 1: Lukis parabola berikut : a. b.

Jawab : a. - Titik potong dengan sumbu X syarat y = 0, maka : = …. ….

- Titik potong dengan sumbu Y syarat x = 0, maka :y = …

- Titik Puncak : = ….

- Karena a = … , maka parabola menghadap ke …- Beberapa titik bantu :

x … … … … … …y … … … … … …

- Gambar kurvanya : Y

0 X


-11-

b. - Titik potong dengan sumbu X syarat y = 0, maka : = …. ….

- Titik potong dengan sumbu Y syarat x = 0, maka :y = …

- Titik Puncak : = ….

- Karena a = … , maka parabola menghadap ke …- Beberapa titik bantu :

x … … … … … …y … … … … … …

- Gambar kurvanya : Y

0 X

LATIHAN SOAL

1. Tentukan koordinat titik puncaknya dari :a. c. b. d.

2. Lukislah sketsa parabola berikut ini :a. e. b. f. c. g. d. h.


-12-

2. MASALAH-MASALAH OPTIMUM

Jika suatu persoalan yang ada pada sehari-hari dapat dinyatakan dengan fungsi kuadrat, maka tentulah ada batas tertinggi atau terendahnya, karena kurvanya berupa parabola. Maka nilai optimum (maksimum/minimum) dari persoalan tersebut dapat ditentukan dengan nilai y pada koordinat titik

puncak, yaitu

Contoh 1: Suatu persegi panjang kelilingnya 24 cm. Tentukan luas maksimumnya !

Jawab : K = 2(p + l) 24 = 2(p + l) maka p + l = … sehingga p = … L = p.l Substitusi p = … ke L = p.l, maka : L = … = … merupakan fungsi kuadrat.

L maks = = ….

Contoh 2: Dua bilangan jumlahnya 10. Tentukan kedua bilangan itu, agar hasil kalinya maksimum

Jawab : Misal kedua bilangan itu x dan y, maka x + y = … atau x = … Misal hasil kali x dan y dinyatakan dengan z, maka z = xy. Substitusi x = … ke z = xy sehingga : z = … = … merupakan fungsi kuadrat

z maks = = …

Karena x + y = … dan xy = … maka x = … dan y = …

LATIHAN SOAL

1. Suatu persegi panjang kelilingnya 100 cm. Tentukan luas maksimumnya

2. Dua bilangan jumlahnya 16. Tentukan kedua bilangan itu agar hasil kalinya maksimum

3. Dua bilangan selisihnya 6. Tentukan kedua bilangan itu agar hasil kalinya minimum

4. Persamaan gerak bola yang dilempar ke atas yaitu . S(t) merupakan jarak yang ditempuh setelah waktu t. S(t) dalam satuan meter dan t dalam satuan detik. Tentukan :a. tinggi maksimum yang dapat dicapai bolab. saat bola mencapai tinggi maksimumc. saat bola mencapai tanah

5. Suatu kolam renang akan dikeringkan. Jika hubungan antara air di kolam dengan waktu adalah . V(t) yaitu isi air dalam kolam


-13-

renang setiap waktunya ( ) dan t yaitu waktu dalam satuan menit. Kapan isi air kolam itu minimum dan tentukan isi minimumnya !


PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT

Documents