Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1 Megoldások 1. Rajzolj olyan egyszerű gráfot melynek fokszám sorozata: a) ; ; ; ; ; ; ; ; ; b) ; ; ; ; c) ; ; ; ; ; ; ; ; ; d) ; ; ; ; ; ; ; ; ; e) ; ; ; ; Megoldás: Mivel egyszerű gráfokról van szó, ezért nem tartalmazhatnak hurokélt, illetve többszörös élt. A gráfok megrajzolása előtt meg kell vizsgálnunk a következő feltételeket: Minden egyszerű gráfban a csúcsok fokszámainak összege páros szám. Minden egyszerű gráfban van legalább kettő azonos fokszámú csúcs. Azonban, ha ezek a feltételek teljesülnek, még nem jelenti azt, hogy biztosan rajzolható az adott fokszámoknak megfelelő gráf. A gráfok megrajzolásához a következő eljárást célszerű követnünk: Először kijelöljük a legnagyobb fokszámú csúcsokat, majd behúzzuk a hozzájuk tartozó éleket. Ezt követően kijelöljük a legkisebb fokszámú csúcsokat, s behúzzuk a hozzájuk tartozó éleket is. Ezután a megmaradt fokszámokból ismét a legnagyobbakat használjuk fel, majd ismét a legkisebb fokszámokat. Ezt az eljárást addig végezzük, amíg minden fokszámot fel nem használunk a gráf megrajzolásához. Így könnyebben rájöhetünk, ha mégsem rajzolható meg a gráf. a) 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 2; 2; 9 Mivel a fokszámok összege 20 és vannak azonos fokszámú csúcsok, megpróbálhatjuk megrajzolni a gráfot. Egy ilyen lehetséges gráf a következő: b) 1; 1; 2; 3; 4 Mivel a fokszámok összege 11, így nem rajzolható ilyen gráf.
41
Embed
Megoldások - BZmatek · Egy társaságban nő és férfi szórakozik együtt. Mind enkit megkérdezünk az este végén, hogy hány ellenkező nemű emberrel táncolt az este folyamán.
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
1
Megoldások
1. Rajzolj olyan egyszerű gráfot melynek fokszám sorozata:
a) 𝟏; 𝟏; 𝟏; 𝟏; 𝟏; 𝟏; 𝟏; 𝟐; 𝟐; 𝟗
b) 𝟏; 𝟏; 𝟐; 𝟑; 𝟒
c) 𝟎; 𝟏; 𝟐; 𝟑; 𝟒; 𝟓; 𝟓; 𝟔; 𝟕; 𝟗
d) 𝟑; 𝟒; 𝟔; 𝟔; 𝟖; 𝟗; 𝟗; 𝟗; 𝟗; 𝟗
e) 𝟎; 𝟏; 𝟐; 𝟐; 𝟑
Megoldás:
Mivel egyszerű gráfokról van szó, ezért nem tartalmazhatnak hurokélt, illetve többszörös élt.
A gráfok megrajzolása előtt meg kell vizsgálnunk a következő feltételeket: Minden egyszerű
gráfban a csúcsok fokszámainak összege páros szám. Minden egyszerű gráfban van legalább
kettő azonos fokszámú csúcs. Azonban, ha ezek a feltételek teljesülnek, még nem jelenti azt,
hogy biztosan rajzolható az adott fokszámoknak megfelelő gráf.
A gráfok megrajzolásához a következő eljárást célszerű követnünk: Először kijelöljük a
legnagyobb fokszámú csúcsokat, majd behúzzuk a hozzájuk tartozó éleket. Ezt követően
kijelöljük a legkisebb fokszámú csúcsokat, s behúzzuk a hozzájuk tartozó éleket is. Ezután a
megmaradt fokszámokból ismét a legnagyobbakat használjuk fel, majd ismét a legkisebb
fokszámokat. Ezt az eljárást addig végezzük, amíg minden fokszámot fel nem használunk a
gráf megrajzolásához. Így könnyebben rájöhetünk, ha mégsem rajzolható meg a gráf.
a) 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 2; 2; 9
Mivel a fokszámok összege 20 és vannak azonos fokszámú csúcsok, megpróbálhatjuk
megrajzolni a gráfot. Egy ilyen lehetséges gráf a következő:
b) 1; 1; 2; 3; 4
Mivel a fokszámok összege 11, így nem rajzolható ilyen gráf.
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
2
c) 0; 1; 2; 3; 4; 5; 5; 6; 7; 9
Mivel a fokszámok összege 42 és van azonos fokszámú csúcs, így megpróbálhatjuk
megrajzolni a gráfot. Az eljárást használva azonban adódik, hogy nem rajzolható ilyen gráf:
Mivel 10 csúcsa van a gráfnak, így a 9 fokszámú csúcsot minden másik csúccsal össze kell
kötnünk, de ezután nem tudunk kijelölni 0 fokszámú csúcsot.
d) 3; 4; 6; 6; 8; 9; 9; 9; 9; 9
Mivel a fokszámok összege 72 és van azonos fokszámú csúcs, így megpróbálhatjuk
megrajzolni a gráfot. Az eljárást használva azonban adódik, hogy nem rajzolható ilyen gráf:
Mivel 10 csúcsa van a gráfnak, így az 5 darab 9 fokszámú csúcsot minden másik csúccsal
össze kell kötnünk, de ezután nem tudunk kijelölni 3 fokszámú csúcsot.
e) 0; 1; 2; 2; 3
Mivel a fokszámok összege 8 és van azonos fokszámú csúcs, így megpróbálhatjuk
megrajzolni a gráfot. Egy ilyen lehetséges gráf a következő:
2. Az alábbi ábrán egy sakkverseny öt versenyzője között már lejátszott mérkőzéseket
láthatjuk. A versenyzők nevei: Anita, Boldizsár, Cecília, Dénes, Elemér. Sorold fel a
még hátralevő mérkőzéseket, ha minden játékos minden játékossal pontosan egy
mérkőzést játszik.
Megoldás:
Amennyiben a verseny összes meccse lezajlik, akkor egy teljes gráfot kapunk. Mivel az
5 csúcsú teljes gráfnak összesen 5 ∙ 4
2= 10 éle van, így hiányzik még 3 meccs. Az ábra alapján
ezek a következők: Anita – Dénes, Boldizsár – Cecília és Cecília – Elemér.
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
3
3. Aladár és Betti ismerik egymást, Betti ismeri Gábort is. Karcsi mindhármukat ismeri.
Ábrázold gráffal az ismeretségeket! (Az ismeretség kölcsönös.)
Megoldás:
Egy ilyen lehetséges gráf a következő:
4. Igaz - e, hogy egy hatfős társaságban mindig van két olyan ember, akik ugyanannyi
embert nem ismernek a társaságból?
Megoldás:
Tekintsük azt a gráfot, melynek csúcsai az emberek, s élekkel azok vannak összekötve, akik
nem ismerik egymást. Mivel minden egyszerű gráfban van két azonos fokszámú csúcs, így
mindig lesz két ember, akik ugyanannyi embert nem ismernek.
5. Előfordulhat - e, hogy egy 𝟕 fős társaságban mindenki pontosan 𝟑 embert ismer?
Megoldás:
Mivel az ismertségeket szemléltethetjük gráffal, így egy olyan gráfot kapnánk, ahol a csúcsok
fokszámainak összege 7 ∙ 3 = 21 lenne. Mivel egy gráf csúcsai fokszámának összege mindig
páros, így nem rajzolható ilyen gráf, vagyis nem fordulhat elő a feladatban szereplő szituáció.
6. Tíz csapat egyfordulós körmérkőzéses bajnokságot játszik. Negyven mérkőzést már
lejátszottak. Hány mérkőzés van még hátra?
Megoldás:
Mivel mindenki mindenkivel játszik egy meccset, így a bajnokság végén a párharcokat teljes
gráffal szemléltethetjük. A 10 csúcsú teljes gráf összes élének száma: 10 ∙ 9
2= 45. Ezek alapján
45 − 40 = 5 mérkőzés van még hátra.
7. Egy hét pontú egyszerű gráfban van izolált pont. Legfeljebb mennyi éle lehet?
Megoldás:
Mivel az izolált csúcsot nem köthetjük össze a többi csúccsal, így a legtöbb élt akkor kapjuk,
ha a többi csúcs egy teljes gráfot alkot. A 6 pontú teljes gráf éleinek a száma: 6 ∙ 5
2= 15.
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
4
8. Egy ötfős társaságban 𝟑 nő és 𝟐 férfi található és tudjuk, hogy az azonos neműek nem
ismerik egymást. Mindenki felírta egy darab papírra, hogy hány ismerőse van a
társaság tagjai között. Lehetséges - e, hogy a papíron szereplő számok: 𝟏; 𝟐; 𝟐; 𝟐; 𝟑?
Megoldás:
Tekintsük azt a gráfot, melynek csúcsai az emberek, s élekkel azok vannak összekötve, akik
ismerik egymást. Mivel a fokszámok összege 10 és van azonos fokszámú csúcs, így
megpróbálhatjuk megrajzolni a gráfot. A feladat alapján a 3 fokszámú csúcs csak férfi lehet.
Ezek alapján egy ilyen lehetséges gráf a következő:
9. Egy társaságban 𝟓 nő és 𝟓 férfi szórakozik együtt. Mindenkit megkérdezünk az este
végén, hogy hány ellenkező nemű emberrel táncolt az este folyamán. A nők válaszai
rendre: 𝟐; 𝟐; 𝟑; 𝟑; 𝟓. A férfiak válaszai pedig: 𝟏; 𝟐; 𝟐; 𝟒; 𝟓. Bizonyítsd be, hogy valaki
rosszul számolt!
Megoldás:
Tekintsük azt a gráfot, melynek csúcsai az emberek, s élekkel azok vannak összekötve, akik
táncoltak egymással. Ezek alapján ugyanannyi élnek kell kiindulnia a nőket, illetve a férfiakat
jelölő csúcsokból. A feladat szerint 15 él indul ki a női csúcsokból és 14 a férfiakéból, vagyis
valaki tévedett a számolás során.
10. Egy estélyen 𝟏𝟏 - en vettek részt. Akik ismerték egymást, koccintottak egymással egy
pohár pezsgővel. Akik nem ismerték egymást, azok kézfogással bemutatkoztak
egymásnak. Lehetséges – e, hogy ugyanannyi koccintás volt, mint kézfogás?
Megoldás:
Tekintsük azt a gráfot, melynek csúcsai az adott emberek, s az élek pedig a koccintásokat,
illetve kézfogásokat jelölik. Ezek alapján minden csúcs össze van kötve minden másik csúccsal,
vagyis egy teljes gráfot kaptunk. A 11 csúcsú teljes gráf éleinek száma: 11 ∙ 10
2= 55. Mivel az
élek számát nem lehet két egyenlő részre osztani, így nem lehetséges a szituáció.
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
5
11. Egy 𝟏𝟔 csúcsú egyszerű gráfnak negyedannyi éle van, mint a komplementerének.
Hány éle van a gráfnak?
Megoldás:
Legyen a gráf éleinek száma 𝑥, s ekkor a komplementer gráf éleink száma pedig 4𝑥.
Mivel a gráf és komplementere teljes gráffá egészítik ki egymást, így tekintsük a 11 csúcsú
teljes gráfot, melynek 16 ∙ 15
2= 120 éle van. A feladat szerint 𝑥 + 4𝑥 = 120, vagyis 𝑥 = 24.
Ezek alapján 24 éle van a gráfnak és 96 éle van a komplementer gráfnak.
12. Melyek izomorfak egymással az alábbi gráfok közül?
Megoldás:
Miután a csúcsokat eljelöljük betűkkel, a következő gráfok megegyeznek egymással:
Az első és ötödik fokszámsorozata 2; 3; 3; 4; 4, s ezek izomorfak.
A második, tizedik és tizenegyedik fokszámsorozata 3; 3; 3; 3; 4, s ezek izomorfak.
A harmadik és hatodik fokszámsorozata 3; 3; 4; 4; 4, azonban nem izomorfak, mert az egyik
gráfban a két 3 fokszámú csúcs össze van kötve, a másikban pedig nem.
A negyedik, hetedik, nyolcadik és tizenkettedik fokszámsorozata 3; 3; 3; 3, s ezekből a 4. és 7.
(van bennük többszörös él), illetve a 8., 9. és 12. (4 csúcsú teljes gráfok) izomorfak.
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
6
13. Egy iskolai kirándulás 𝟐𝟖 résztvevőjét megkérdezték, hogy hány osztálytársa van a
kirándulás résztvevői között. Az első 𝟏𝟓 válasz a következő volt: 𝟖 - an mondtak
𝟓 - öt, 𝟐 - en mondtak 𝟒 - et és 𝟓 - en mondtak 𝟑 - at. Mi lehetett a hiányzó
𝟏𝟑 válasz, ha tudjuk, hogy mindenkinek volt osztálytársa a kiránduláson?
Megoldás:
Abból az osztályból 6 - an jöttek, amelynek egy tanulója 5 - öt mondott. Ehhez hasonlóan: akik
4 - et mondtak, ők 5 - en jöttek egy osztályból, s akik 3 - at mondtak, azok pedig 4 - en.
Szemléltessük gráffal az egyes eseteket, s jelöljük teli karikával a már megkérdezetteket, s üres
karikával az eddig kimaradt tanulókat.
Ezek alapján az üres karikákat tekintve, 4 - en mondtak 5 - öt, 3 - an 4 - et, 3 - an 3 - at és
3 - an pedig 2 - t.
14. Egy ökölvívó edzésen 𝟒 egymást követő súlycsoport összesen 𝟔 versenyzője készül a
bajnokságra. Mind a 𝟔 versenyző megmérkőzik minden olyan klubtársával, aki
legfeljebb egy súlycsoportban tér el az ő súlycsoportjától. Hányan tartoznak az egyes
súlycsoportokba, ha összesen 𝟕 edzőmérkőzést kell vívniuk?
Megoldás:
A lejátszott mérkőzéseket szemléltethetjük gráfokkal.
Először írjuk fel, hogy az egyes súlycsoportokba mennyi versenyző tartozhat, de azokat a
lehetőségeket ne tekintsük külön esetnek, melyek ugyanazt a gráfot adják:
(1) 3; 1; 1; 1 (vagy 1; 1; 1; 3) (2) 1; 3; 1; 1 (vagy 1; 1; 3; 1)
(3) 2; 2; 1; 1 (vagy 1; 1; 2; 2) (4) 1; 2; 2; 1
(5) 2; 1; 2; 1 (vagy 1; 2; 1; 2) (6) 2; 1; 1; 2
A gráfok megrajzolásánál a játékosokat szemléltessük csúcsokkal, a lejátszott mérkőzéseket
pedig élekkel. Az egy súlycsoportba tartozó versenyzőket rajzoljuk egy oszlopba:
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
7
Ezek alapján az egyes esetekben lejátszott mérkőzések száma: 8; 10; 9; 10; 8; 7.
Mivel az utolsó esetben fognak 7 mérkőzést játszani, így a legmagasabb és legalacsonyabb
súlycsoportba 2 − 2 sportoló, míg a két középsőbe 1 − 1 versenyző tartozik.
15. Hat fiú közül pontosan kettő almát lopott, s a vallomások a következők:
Hugó: Csaba és Gábor a tettes. János: Dénes és Tamás a bűnös.
Dénes: Tamás és Csaba tette. Gábor: Hugó és Csaba a tolvaj.
Csaba: Dénes és János követték el.
A vallomások közül négyben az egyik bűnöst helyesen, a másikat helytelenül nevezték
meg. Az ötödik (sorrendben nem feltétlenül ötödik) vallomásban megnevezettek
mindketten ártatlanok. Kik lopták el az almákat?
Megoldás:
Készítsünk olyan gráfot, melynek csúcsai a fiúk, s élekkel azok vannak összekötve, akik egy
állításban egyszerre szerepelnek.
A feladat szerint egyik állításban sincsenek egyszerre megemlítve a tolvajok, így őket nem köti
össze él. Továbbá tudjuk azt is, hogy a tolvajokat jelölő csúcsok fokszámainak összege
4, mert az egyik állításban nincsenek megemlítve a tolvajok, míg a többi állításban az egyik
név tolvaj a másik pedig ártatlan. Mivel a gráfban a 2 fokszámú csúcsok össze vannak kötve
éllel, ezért csak az 1 és 3 fokszámú csúcsok lehetnek a tolvajok.
Ezek alapján Csaba és János lopott almát.
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
8
16. Rajzolj olyan fagráfot, amelyben a csúcsok fokszáma: 𝟏; 𝟏; 𝟏; 𝟏; 𝟐; 𝟐; 𝟒!
Megoldás:
Egy lehetséges összefüggő, körmentes fagráf a következő:
17. Döntsd el, hogy melyik fa az alábbi gráfok közül! Mennyi a levelek a száma?
Megoldás:
Mivel a második gráfban van kör, a harmadik gráf pedig nem összefüggő, így azok nem
fagráfok. Az első gráfban a levelek (első fokú csúcsok) száma 4, a harmadikban pedig 5.
18. Mennyi pontja és mennyi levele lehet annak a fának, amelyben a pontok
fokszámainak összege 𝟏𝟔?
Megoldás:
Mivel a fokszámok összege 16, így az élek száma 16
2= 8, a csúcsok száma pedig: 8 + 1 = 9.
Mivel minden fának van legalább két elsőfokú csúcsa, így a levelek száma ezek alapján lehet
2; 3; 4; 5; 6; 7 vagy 8.
19. Lehetséges – e 𝟑𝟎 gépet összefüggő hálózatba kötni 𝟐𝟖 kábellel?
Megoldás:
A rendszert tekintsük gráfként. A minimális összefüggő gráfok a fagráfok. Mivel egy
30 csúcsú fa gráfnak 30 − 1 = 29 éle van, így nem lehetséges a megvalósítás.
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
9
20. Írjuk fel a 𝟑𝟗𝟔𝟎 prímtényezős felbontását és ábrázoljuk fagráffal!
Megoldás:
A 3960 prímtényezős felbontása: 3960 = 23 ∙ 32 ∙ 5 ∙ 11. Egy lehetséges fagráf a következő:
21. Mennyi pontból áll az az erdő, melynek 𝟓 fájában összesen 𝟏𝟔 él van?
Megoldás:
Az erdő olyan gráf, melynek komponensei fák.
Legyen a komponensek csúcsainak a száma: 𝑎; 𝑏; 𝑐; 𝑑; 𝑒.
Ekkor az élek száma: 𝑎 − 1; 𝑏 − 1; 𝑐 − 1; 𝑑 − 1; 𝑒 − 1.