COMPETENE N CINEMATICA MECANISMELOR PLANETARE DIN COMPONENA
ROBOILOR INDUSTRIALIProfesor drd.ing. Ciortan Marinela 1.
GENERALITI Difiniii n studiul mecanismelor cu roi dinate se
utilizeaz o serie de termeni ale cror semnificaie sunt: - angrenaj
mecanism simplu format din dou roi danate, care are rolul de a
transmite micarea de rotaie i momentul de torsiune de la un arbore
conductor la un arbore condus; - angrenare procesul continuu de
contact intre dinii conjugai a dou roi dinate care formeaz un
angrenaj; - dini conjugai dinii care vin n contact n procesul
angrenrii; - raport de transmitere relaia dintre vitezele
unghiulare a dou roi dinate care formeaz un angrenaj. Angrenajele
din componena mecanismelor cu roi dinate pot fi cu dantur exterioar
sau interioar, dup cum ambele roi ale angrenajului sunt cu dantur
exterioar, respectiv una este cu dantur interioar iar cealalt este
cu dantur exterioar. n acest sens se vor deduce formule de calcul
cinematic corespunztoare fiecrui tip de angrenaj. 2. ANALIZA
CINEMATICA A MECANISMELOR CU ROTI DINTATE CU AXE FIXE n figura 2.1
se prezint schema cinematic a unui mecanism cu roi dinate
(angrenaj) cu axe fixe cu angrenare exterioar. Mecanismul are dou
cuple inferioare A i C, i o cupl superioar B. Mobilitatea
mecanismului fiind M = 1, parametrul absolut independent va fi
viteza unghiular 1 . Dac roata dinat 1 are vectorul vitez unghiular
1 orientat dup versorul i , roata dinat 2 va avea vectorul vitez
unghiular 2 orientat n sens invers, deci raportul de transmitere
dintre cele dou roi va fi: z i12 = 1 = - 2 . 2 z1
Dac se consider cunoscute numerele de dini ale celor dou roi
rezult: z 2 = -1 1 . z2kk
1
A
1j
A
1
1
iBC
B2
C
2
22
Fig. 2.1. Mecanism cu roi dinate cu angrenare exterioar
n figura 2.2 se prezint schema cinematic a unui mecanism cu roi
dinate cu axe fixe i angrenare interioar. Elementele cinematice 1 i
2 se articuleaz la baz prin cuplele inferioare A, respectiv C.
Cupla superioar, format de ctre cele dou elemente, este cupla
B.k
B A
B 1 2C
k
1
AC
1
1
j2
i2
2
Fig. 2.2. Mecanism cu roi dinate cu angrenare interioar
Mobilitatea mecanismului fiind M = 1, se va considera ca parametru
absolut independent viteza unghiular 1. n cazul acestui mecanism se
observ c vectorii ambelor viteze unghiulare, 1 i 2 , au acelai
sens, deci raportul de transmitere va fi: i12 = 1 z 2 = 2 z1
Cunoscndu-se numerele de dini ale celor dou roi dinate, rezult:
2 = 1 z1 . z2
Pentru un mecanism format din mai multe angrenaje legate n
serie, cum este cel prezentat n figura 2.3, rapoartele de
transmitere intermediare sunt: i12 = z 1 z = - 2 ; i2'3 = 2' = - 3
. 2 z1 3 z 2'
Deoarece roile dinate 2 i 2 sunt solidarizate ntre ele, rezult:
2 = 2 , i deci 2 = - 1 z 2' z1 , 3 = - 2 . z2 z32
A
1
2
3
B
C
D
E
1Fig. 2.3. Mecanism cu roi dinate cu axe fixe Raportul de
transmitere total este egal cu produsul rapoartelor de transmitere
intermediare, adic: z z i13 = 1 = i12 i2'3 = (- 2 )(- 3 ) , 3 z1 z
2' z1 z 2' de unde rezult: 3 = 1 . z 2 z3 3. ANALIZA CINEMATICA A
MECANISMELOR CU ROTI DINTATE CU AXE MOBILE n cazul mecanismelor cu
roi dinate cu axe mobile nu se mai pot aplica formulele anterioare
pentru scrierea raportului de transmitere n funcie de vitezele
unghiulare, deoarece sunt elemente care au att micare de rotaie
proprie, ct i micare de revoluie. Mecanismele cu axe mobile se mai
numesc i mecanisme planetare. n figura 3.1 se prezint schema
cinematic a unui mecanism planetar simplu. Micrile elementelor sunt
dup cum urmeaz:
- roata dinat 1 se rotete n jurul axei AD, care este o ax fix, i
de aceea se mai numete i roat central, sau roat solar; - roata
dinat 2 are o micare de rotaie proprie n jurul axei BB i o micare
de revoluie n jurul axei AD (aceast roat se mai numete roat
satelit, sau chiar satelit); - elementul 3 se rotete n jurul axei
fixe AD i poart numele de bra portsatelit (sau mai simplu
portsatelit). Pentru analiza cinemaic a mecanismelor cu axe mobile
se folosesc mai multe metode, care sunt prezentate n continuare.
3.1. Metoda lui Willis Pentru a se putea scrie raportul de
transmitere dintre roile 1 i 2, n funcie de vitezele unghiulare, R.
Willis a propus o micare a ntregului ansamblu egal i de sens
contrar micrii portsatelitului 3. n acest fel, elementele
mecanismului i vor diminua vitezele unghiulare cu 3 (viteza
unghiular a portsatelitului), obinnduse viteze unghiulare relative
fa de elementul 3.2 BC 3 3A, D
2
BC
1
A
1
D
Fig. 3.1. Mecanism planetar simplu
n tabelul 3.1 se prezint, pentru fiecare element cinematic al
mecanismului planetar, vitezele unghiulare absolute, precum i cele
relative. Tabelul 3.1 Viteza unghiular relativ 13 = 1 - 3 23 = 2 -
3 33 = 0
Element cinematic 1 2 3
Viteza unghiular absolut 1 2 3
Presupunnd portsatelitul 3 ca fiind fix, se poate scrie raportul
de transmitere ntre roile dinate 1 i 2 de forma:3 i 12 =
1 - 3 z2 = , 2 - 3 z1
de unde rezult viteza unghiular 2 i anume: 2 = - 1 z1 z1 + 3 (1
+ ). z2 z2
Exemple de calcul n continuare, se va aplica metoda lui Willis
pentru analiza cinematic a diferitelor mecanisme planetare din
componena diferitelor maini i utilaje. Exemplul 1 n figura 3.2.a se
prezint schema cinematic a unui mecanism planetar utilizat la
realizarea unui dispozitiv de lefuit, iar n figura 3.2.b schema
structural corespunztoare. n figura 6, se prezint schema cinematic
a ntregului mecanism Mecanismul are gradul de mobilitate M = 1 i
numrul de contururi independente N = 4. Se consider ca parametru
independent viteza unghiular 1, a elementului 1. Se cere s se
determine vitezele unghiulare ale elementelor 2, 4, 5 i 6.5 G 3 2
A,B 1 D C 5 4 F E 4 H 6 J 2' 1 2 C D B A 5 E H 4 J 6 G
3
F
a) b) Fig. 3.2. Mecanismul planetar al unei maini de lefuit
Pentru scrierea relaiilor de calcul ale vitezelor unghiulare,
trebuie s fie gsite mecanismele planetare simple, n parte. Astfel,
elementele 1, 2 i 5 formeaz un mecanism planetar simplu, unde: -
roata 1 este roat solar; - roata 2 este roat satelit;
- elementul 5 este bra portsatelit. Relaia care se scrie pentru
acest planetar simplu este:5 i12 =
1 5 z = 2, 2 5 z1 (3.1.1)
de unde rezult: 2 z 2 5 ( z1 + z 2 ) = 1 z1 .
Elementele 3, 4 i 5 formeaz un alt mecanism planetar simplu, i
anume: - roata 3 este roat solar; - roata 4 este roat satelit; -
elementul 5 este bra portsatelit. Relaia de calcul este:5 i43 =
4 5 z3 = , 3 5 z 4 ( 3 = 0 ) (3.1.2)
de unde rezult: 4 z 4 + 5 ( z3 z 4 ) = 0 .
Dac se consider axa DE fix, pentru mecanismul planetar simplu
format din elementele 4, 5 i 6 se scrie relaia:4 i65 =
6 5 z5 = , 5 5 z 6 (3.1.3)
de unde rezult: 4 ( z5 6 ) 5 z5 + 6 z 6 = 0 .
Pentru mecanismul planetar simplu, format din elementele 2,4 i 6
se scrie relaia: z 4 4 i2'5 = 2 = 5 , 5 4 z 2' de unde rezult:' ' 2
z 2 4 ( z 2 + z 6 ) + 6 z 6 = 0 .
(3.1.4)
Folosind relaiile (3.1.1), (3.1.2), (3.1.3) i (3.1.4) se formeaz
un sistem de 4 ecuaii liniare cu patru necunoscute, i anume: 2 z 2
5 ( z1 + z 2 ) = 1 z1 4 z 4 + 5 ( z3 z 4 ) = 0 4 ( z5 6 ) 5 z5 + 6
z 6 = 0' ' 2 z 2 4 ( z 2 + z 6 ) + 6 z 6 = 0
(3.1.5)
n necunoscutele: 2 , 4 , 5 i 6 . Considerndu-se:1 = 1 s 1 , z1 =
30, z 2 = 41, z 2 = 21, z 3 = 91 , z 4 = 20, z 5 = 61, z 6 = 20
,
rezult:
0 .663204 2 =
s-1 , 4 = 0.140421 s-1 , 5 = 0.039555 s-1 , 6 = 0.145539 s-1
.
5 G 3 2 A,B 1 D C 4 F E 5 4
H 6 J 2'
Fig. 3.3. Schema cinematic a mecanismului planetar folosit la o
maina de lefuit
Sistemul de ecuaii neliniare (3.1.5) s-a rezolvat prin metoda
eliminrii gaussiene.
Exemplul 2
Fie mecanismul planetar din figura 3.4.75
3 C
2' 2 B 1
4 5 F E H 2" D 6
G
L K 7 2"'25
A
Fig. 3.4. Mecanism planetar utilizat la realizarea unei freze de
abataj
Se cunosc: - numerele de dini ale roilor dinate din componena
mecanismului planetar, i anume: z1 = 31 ; z 2 = 40 ; z = 20 ; z =
21 ; z 2= 21 ; z 3 = 91 ; z 4 = 20 ; z 5 = 61 ; 2 2 z 7 = 21 ; -
viteza unghiular a elementului 1 se consider egal cu unitatea,
adic: 1 = 1 [rad/s]. Se cer vitezele unghiulare absolute ale
elementelor 2, 4, 5 i 6, precum i viteza unghiular relativ 75 .
RezolvarePentru determinarea vitezelor unghiulare absolute 2 , 4
, 5 i 6 se aplic metoda lui Willis i se obine urmtorul sistem de
ecuaii liniare 6 ( z1 z 2 + z 2 z 3 ) = 1 z1 z ; 2 z 6 ( z1 + z 2 )
= 1 z1 ; 2 2 6 ( z + z 4 ) = 0; 2 2 2 z + 4 z 4 4 z 4 5 z 5 + 6 ( z
5 z 4 ) = 0. Rezolvarea sistemului de ecuaii liniare obinut se face
prin metoda eliminrii gaussiene. Dup rularea programului de calcul
rezult soluia sistemului liniar, i anume:
SOLUTIA SISTEMULUI ESTE: X[1]= -0.51667 X[2]= 0.84086 X[3]=
0.37351 X[4]= 0.14554, adic: 2 = 0.51667 [rad/s]; 4 = 0.84086
[rad/s]; 5 = 0.37351 [rad/s]; 6 = 0.14554 [rad/s]. Viteza unghiular
relativ 75 este dat de relaia (se folosete metoda axei instantanee
): 75 = 25 z / z 7 , unde: 25 = 2 5 = 0.890178 [rad/s]. Schema
cinematica complet a mecanismului planetar este prezentat n figura
3.5.75
4 5 F 3C E 2" H 2' 2 D A B 1 6
G
L K 7 2"'25
Fig. 3.5. Schema cinematic a unei freze de abataj.
3.2. Metoda contururilor In construcia diferitelor utilaje cum
sunt mainile unelte, frezele de abataj, roboii industriali etc.,
apar mecanisme planetare deosebit de complexe, care fac destul de
greoaie aplicarea metodei Willis. In cazul acestor mecanisme se
poate aplica metoda contururilor pentru determinarea parametrilor
cinematici ai
mecanismelor cu bare, metod adaptat la mecanismele cu roi
dinate. Aplicarea metodei contururilor i la mecanismele cu roi
dinate este favorizat de faptul c suprafeele axoidale sunt suprafee
de revoluie. Ca urmare a acestui fapt, pentru un contur format din
bare (portsatelii) i roi dinate (solare i satelii) se poate asimila
o reprezentare simplificat prin bare drepte i cuple inferioare de
rotaie (fig.3.6). Pe conturul nchis ABC...NA se scrie ecuaia
vectorial AB + BC + CD + ... + NA = 0 .
Y 2
C 2
3
3
D
B1
1
n
nA
N
O
X
Fig. 3.6. Contur nchis de bare i cuple inferioare de rotaie
Prin derivare n raport cu timpul se obine: 1 AB i + 2 BC i + 3
CD i + ... + n NA i = 0 , unde :i
. i=e Dup simplificare cu i i proiecie pe axa de coordonate
paralel cu vectorii AB, BC , CD, ..., se obine o ecuaie scalar din
care se poate calcula o singur necunoscut. Pentru N contururi
independente se obine un sistem liniar de N ecuaii cu N necunoscute
( 1 , 2, ,..., N), care se rezolv printr-o metod numeric adecvat.
Exemple de calcul Exemplul 1 Se consider mecanismul planetar din
figura 3.7. Mobilitatea mecanismului fiind M = 2, se consider
cunoscute vitezele unghiulare 1 i 4, precum i numele de dini ale
roilor dinate. Conform schemei cinematice (fig. 3.7.a), vectorii AH
, HG , GB , ... , sunt paraleli cu axa Oy, deci proieciile
contururilor se fac numai pe aceast ax. Astfel, pentru conturul
independent AHGBA rezult: 1 z1 + 2 z2 - 4(z1 + z2) = 0. (3.2.1)
Cunoscndu-se 1 i 4, se calculeaz:
2
2 = 1
z1 z1 + 4 (1 + ). z2 z2
Ecuaia scalar corespunztoare conturului GFEG este: 2 z2 + 3 z3 -
4(z2 + z3) = 0, de unde rezult:3 = 2 z2 z2 + 4 (1 + ). z3 z3
(3.2.2)
3'
E4
3
F2
3
D5
D
F 2
G
E H 1G40
5
H 1A
C
B, C
a)
A H
B
b)
AR(1)
R(R T )
GZ (0)
(2) FR(R T )
B
R(4)
EC c)
DR(R T )(5)
Fig. 3.7. Mecanism planetar cu dou grade de mobilitate
In mod analog, pentru conturul CDEC se scrie: 5 z5 + 3 z3 - 4(z3
+ z5) = 0, de unde rezult:5 = 3 z 3' z + 4 (1 + 3' ) . z5 z5
(3.2.3)
Exemplul 2
Fie mecanism planetar din figura 3.8. Mecanismul are gradul de
mobilitate M = 2 . Se cunosc vitezele unghiulare 1 i 4 , precum
numerele de dini ai roilor dinate. Se menioneaz faptul c z1 = z3
.
Fig. 3.8. Punerea n eviden a paradoxului Fergoson
Folosind metoda contururilor, pentru conturul independent ABCDA
rezult: 1 z1 + 2 z 2 4 ( z1 + z 2 ) = 0 . Din relaia (3.2.4)
rezult:2 = 1 z1 z1 + 4 (1 + ). z2 z2
(3.2.4)
(3.2.5)
Ecuaia scalar corespunztoare conturului AFEBCDA este: 1 z1 + 22
z 2 + 3 z3 4 ( z1 + 2 z 2 + z3 ) = 0 . (3.2.6)
Din relaia (3.2.6) se obine viteza unghiular a elementului 3, i
anume: 3 = 1 z1 z + 4 (1 1 ) . z3 z3 (3.2.7)
n figura 3.8 se prezint schema cinematic a mecanismului planetar
simetric (echilibrat perfect)3
F F
4E 2 BC1A, D
4
3
E
2 BC 1
A
D
Fig. 3.8
Dac elemental 1, al mecanismului planetar din figura 3.8, are
viteza unghiular egal cu zero ( 1 = 0 ), iar roile dinate 1 i 3 au
acelai numr de dini ( z1 = z3 ), din relaia (3.2.7) rezult 3 = 0 ,
adic roata dinat 3 are o micare de translaie circular. Acest
fenomen poart denumirea de paradoxul Ferguson. Dreapta , de pe
roata dinat 3, ramne permanent n aceeai poziie. n continuare, se
prezint o ecluz construit pe acest principiu. Mecanismul este
perfect echilibrat. DAI CLICK PE POZA DE MAI JOS
Canalul Forth and Clyde, care leaga Glasgow -ul de coasta
vestica, a fost construit in 1777 intre portul Grangemouth si
Falkirk. Intre Falkirk si Edinburgh s -a dat in folosinta canalul
Union in 1822. Datorita reliefului accidentat traficul fluvial
dintre Glasgow si Edinburgh se putea desfasura doar cu ajutorul
unui sistem de 11 ecluze. Intre cele doua canale diferenta de nivel
era de 24 m.
3.3. Analiza cinematic a mecanismelor planetare cu roi conice,
prin metoda axei instantanee n continuare se prezint un procedeu
unitar pentru analiza cinematic a mecanismelor planetare cu roi
dinate conice. Metodele tradiionale de analiz cinematic a
mecanismelor planetare cu roi dinate cilindrice utilizeaz metoda
lui Willis sau metoda contururilor i in cont de semnul raportului
de transmitere. Acest lucru nu este posibil pentru un mecanism
planetar conic simplu (cu dou roi conice n angrenare), deoarece nu
sunt paraleli toi vectorii vitez unghiular. n acest caz, se
utilizeaz o relaie vectorial ntre vitezele unghiulare relative, n
raport cu braul port-satelit, i vectorii ataai roilor care formeaz
angrenajul. Pe baza schemei cinematice a mecanismului, se realizeaz
schema versorial, schem care se utilizeaz pentru vizualizarea
poziiei iniiale a mecanismului. Metoda este de asemenea utilizabil
i pentru analiza cinematic a mecanismelor cu roi dinate conice cu
axe fixe, precum i a mecanismelor planetare cu roi dinate
cilindrice. Un exemplu de studiu este prezentat pentru un mecanism
de orientare, avnd trei grade de mobilitate. n cazul mecanismului
planetar cu roi conice (fig. 3.9.a), cu o singur angrenare, nu toi
vectorii vitez unghiular sunt paraleli ntre ei, astfel c metoda lui
Willis nu se poate aplica. n acest caz raportul de transmitere este
de forma: 2 1 z 3 i1 = = , (3.3.1) 23 3 1 z 2
ceea ce arat ca nu se poate determina semnul raportului de
transmitere. Dac se dorete determinarea vitezei unghiulare a
elementului 2, se pot scrie relaii vectoriale de forma: 2 = 1 + 21
; 2 = 3 + 23 , (3.3.2)
cu ajutorul crora se construiete poligonul vectorial din figura
3.6.b. Se observ ca metoda este greoaie i nu se preteaz la
aplicarea calculului analitic. .
Fig. 3.9. Mecanism planetar cu roi conice: a) schema cinematic;
b) poligonul vitezelor unghiulare
3.3.1. Metoda axei instantanee n cazul metodei axei instantanee,
se folosete o relaie ntre parametrii cinematici i geometrici ai
mecanismului planetar simplu cu roi conice, astfel nct s se poat
aplica metodele analitice i analitic-numerice de studiu cinematic.
n figura 3.10 se prezint: a) schema cinematic, b) schema
structural, c) schema multipolar, d) schema versorial a unui
mecanism planetar cu roi conice, avnd dou grade de mobilitate.
Acest mecanism se compune din roata solar 3, roata satelit 2 i
portsatelitul 1.
e2 2 1C(i ) n0
2B 1QR3 1
e3
n1 1 0
n0 e
2
3 P(k ) e1
O( j ) e1 n0
con p o lo d ic
e1
A, D
O
n1 e23
con h e r p o l o d i ce
2 1
C 3
a)2
e1
n2CR R T ( 2)
d)R(3)
DBZ (0)
D 1b)A
A
R(1)
B
c)
Fig. 3.10. Mecanism planetar cu roi conice: a) schema cinematic
cu punerea n eviden a versorilor axelor; b) schema structural; c)
schema multipolar, d) schema versorial.
Relaia structural a mecanismului este: Z (0) + R (1) + R(3) + (
R RT )(2) , ceea ce nseamn c mecanismul se compune din baza Z(0),
grupele motoare R(1), respectiv R(3), precum i din rodiada 2. Se
ataeaz bazei mecanismului triedrul final Hartenberg-Denavit, (n0 ,
e n0 , e1 ) , cu versorul e1 orientat dup axa OO. Se ataeaz, de
asemenea, versorul e2 axei OB i versorul e3 pe o direcie dat n
planul roii satelit 2. Axele conturului vectorial, format din
versorii e1 , e2 i e3 , se numesc axe principale. Cele dou conuri,
polodic 2 i herpolodic 3, tangente dup generatoarea comun, se
rostogolesc unul pe cellalt fr alunecare. Fie P un punct situat pe
axa instantanee a micrii relative a roilor 2 i 3, iar Q i R
proieciile acestuia pe axele OO i OB. n punctul P (i n oricare
altul de pe axa instantanee a micrii relative) exist egalitatea: 31
x QP = 21 x RP . Dac folosim versorii triedrului bazei, rezult: 31
e1 x QP n 0 = 21 n 0 x RP (- e1 ) . (3.3.4) (3.3.3)
Vitezele unghiulare 31 i 21 se consider pozitive n sensul
versorilor e1 , respectiv e2 . Pentru uurina calculului, peste
triedrul bazei se suprapune triedrul O( i, j , k ). Relaia de mai
sus devine: 31 QP j = 21 RP j . (3.3.5)
Dup proiecia relaiei (5) pe direcia lui j , se obine relaia de
legtur ntre parametrii cinematici i cei geometrici ai mecanismului
din figura 2.a, i anume: 21 = 31 QP . RP (3.3.6)
Considerndu-se cunoscute vitezele unghiulare ale elementelor 1 i
3, precum i numerele de dini ale celor dou roi, se obine : z 21 =
31 3 , (3.3.7) z2 31 = 3 1 . unde: Pentru determinarea unghiului
rotaiei axiale 21 , se integreaz ecuaia (3.3.7), de viteze
unghiulare relative, i rezult: z 21 = 31 3 dt + C , (3.3.8) z2 sau
z 21 = ( 30 - 10 ) 3 + C , (3.3.8) z2 unde 30 este unghiul dintre
versorul n0 i un vector marcat pe roata 3. Determinarea constantei
de integrare se face folosind schema versorial din figura 3.10.d
(pentru o poziie iniial a mecanismului). Astfel, pentru 10 = / 2 ,
30 = 0 i 21 = , rezult: C = (1 + z3 ). 2z 2 (3.3.9)
Se menioneaz faptul c, metoda este aplicabil i mecanismelor
ordinare sau planetare cu roi dinate cilindrice.
3.3.2. Exemple de calculExemplul 1 Fie mecanismul de orientare
cu bare i roi dinate, pentru roboi industriali, a crui schem
cinematic este prezentat n figura 3.11.a. In figurile 3.11.b, c, d
sunt desenate schema structural, schema bloc i respectiv schema
versorial a mecanismului. Dup cum se observ din schema structural i
din schema bloc, mecanismul se compune din baza Z(0), grupele
motoare R(4) i R(5), precum i din rodiadele (R-RT)(1), (R-RT)(2) i
(R-RT)(3). Schema versorial a mecanismului servete pentru punerea n
eviden a unghiurilor rotaiei axiale i pentru stabilirea poziiei
iniiale a mecanismului. Versorii e1 , i respectiv e 2 sunt ataai
axelor principale ale mecanismului. Versorul e3 este anexat axei
obiectului de manipulat sau unui segment din acesta. Cinematica
direct Se consider cunoscute: - variabilele independente 40, 50,
40, 50 ale cuplelor active A i H; - poziia iniial a mecanismului,
definit prin: 0 0 0 = 0, 50 = 0, 10 = , 0 = . 40 21 2 2 Se cer: 10,
30, 31, 21 - vitezele unghiulare relative; 10, 21 - unghiurile
rotaiilor axiale dup e1 , respectiv e 2 . Pentu determinarea
vitezelor i acceleraiilor unghiulare relative folosete metoda axei
instantanee. - cupla B: 50 x AB = 10 x CB ; dup nlocuirea
vectorilor prin mrimile i 50 i x AB(-k ) = 10 k x CB(-i ) ,
versorii corespunztori, rezult: sau z5 50 z 5 j = 10 z1 (- j ) .
Prin identificare, se obine: 10 = 50 ; z1 z4 - cupla G: 40 x HG =
30 x FG , de unde rezult: 30 = 40 ; z3' z3 - cupla E: 21 x DE = 31
x FE , de unde rezult: 21 = 31 , z2 z z z4 + 50 5 ) 3 . unde: 31 =
30 - 10, sau 21 = ( 40 z 3' z1 z 2
e2 2 1T
e 2 n010
(i ) n0
e3Ce1
P3 2E 3 O F
D
n1
e1
( j)
O (k ) 1
e1 n0 B 5A
0
50D
a)
1 0 e2 4 G 30 e3 H 31 n1 2 1 40 n2 e1
d)
2F
A3G Z (0) F
1B
R(5)
B
R -R T (1 ) D R -R T E (3 )
R -R T (2 )
5
4
R(4)
A 0 H
G
b)
c)
Fig. 3.11. Mecanism de orientare cu dou grade de mobilitate
Acceleraiile unghiulare relative se determin n acelai mod i au
expresiile: 10 = 50 z4 z5 z z z4 + 50 5 ) 3 . ; 30 = 40 ; 21 = ( 40
z 3' z1 z 3' z1 z 2
Pentru determinarea unghiurilor rotaiei axiale 10 i 21, se
integreaz ecuaiile vitezelor unghiulare corespunztoare: 10 = 50 z5
z z z dt + A ; 21 = (40 4 + 50 5 ) 3 dt + B . z1 z 3' z1 z 2
Impunnd condiiile iniiale, se obin expresiile rotaiilor axiale:
10 = 50 z5 z z z + ; 21 = ( 40 4 + 50 5 ) 3 + . z1 2 z 3' z1 z 2
2
Se menioneaz faptul c determinarea constantelor de integrare se
face pentru poziia iniial din care se pornete calculul. Exemplul 2
In figura 3.12.a este schematizat un mecanism de orientare cu bare
i roi dinate, avnd trei grade de mobilitate. In figurile 3.12.b, c,
d sunt prezentate schema structural, schema multipolar i schema
versorial a mecanismului. Mecanismul se compune din baza Z(0),
grupele motoare R(8), R(9), R(10) i din rodiadele (R-RT)(1),
(R-RT)(2), (R-RT)(3), (R-RT)(4), (R-RT)(5), (R-RT)(6) i (R-RT)(7).
Unghiurile rotaiilor axiale se pun n eviden cu ajutorul schemei
versoriale. Schema versorial este folosit pentru vizualizarea
poziiei curente a mecanismului i pentru stabilirea poziiei iniiale
a acestuia. Axele principale ale mecanismului sunt: OO ' , O' O" i
O" P . La axele principale ale mecanismului sau ataat versorii e1 ,
e2 , respectiv e3 . Axei obiectului de manipulat, sau a unui
segment din acesta, i s-a ataat versorul e4 . Analiza cinematica
direct. Se cunosc: - coordonatele generalizate 80 , 90 , 10,0 , 80
, 90 , 10,0 din cuplele motoare A, B i C; - poziia iniial a
mecanismului: 0 0 0 0 10 = , 80 = 0 , 90 = 0 , 0 = / 2 , 32 = / 2 .
21 2 Se cer: - vitezele unghiulare relative: 10 , 21 , 60 , 70 , 51
, 61 , 71 , 41 , 42 , 32 ; - unghiurile rotaiilor axiale 21 i 32 ,
dup versorii e2 i respectiv e3 ; Pentu determinarea vitezelor i
acceleratiilor unghiulare relative, se folosete metoda axei
instantanee, dup cum urmeaz: - cupla D: 80 AD = 10 ED ; dup
nlocuirea vectorilor prin mrimile i versorii corespunztori, rezult:
80 i AD k = 10 k ED (-i ) , sau 80 z 8 ( j ) = 10 z1 ( j ) . Dup
proiectie pe direcia versorului j se obine z8 viteza unghiular
relativ dintre elementul 1 i 0, i anume: 10 = 80 ; z1 z9 - cupla G:
90 BG = 60 FG , de unde rezult: 60 = 90 ; z6
b)
a)
d)
c)
- cupla Q: 10.0 CQ = 70 NQ , de unde rezult: z 70 = 10.0 10 ; z7
- cupla H: 41 IH = 61 FH , de unde rezult: z 41 = 61 6 , z 4 z z 61
= 60 10 = 90 9 80 8 ; unde: z6 z1 - cupla M: 51 LM = 71 NM , de
unde rezult: z 51 = 71 7 , z 5
unde: 71 = 70 10 = 10.0
z10 z 80 8 ; z7 z1
- cupla K: 21 JK = 51 LK , de unde rezult: z 21 = 51 5 ; z2 -
cupla R: 32 SR = 42 IR , de unde rezult: z 32 = 42 4 , z3 z6 z + 51
5 . unde: 42 = 41 21 = 61 z 4 z2 z8 z 7 z z 10.0 10 ) 5 ; Dup
locuiri, rezult: 21 = (80 z1 z 5 z 5 z 2 z z z z 32 = (80 8 6 + 90
9 ) 4 z1 z 4 z 4 z 3 z z z z z (80 8 7 10.0 10 ) 5 4 . z1 z 5 z 5 z
2 z 3 Pentru determinarea unghiurilor rotaiilor axiale 10 , 21 i 32
, se integreaz funciile de transmitere ale vitezelor unghiulare
corespunztoare: z 10 = 80 8 dt + A ; z1 z z z z 21 = (80 8 7 10.0
10 ) 5 dt + B ; z1 z 5 z 5 z 2 z z z z z z z 32 = [80 ( 6 + 5 7 ) 8
4 + 90 9 4 z 4 z 2 z 5 z1 z 3 z 4 z 3 z z z -10.0 5 4 10 ]dt + C z
2 z 3 z 5 Dup integrarea ecuaiilor de mai sus, se determin
constantele de integrare din condiiile iniiale, i rezult: z 10 = 80
8 + ; z1 2 z z z z 3 21 = ( 80 8 7 10.0 10 ) 5 + ; z1 z 5 z 5 z 2 2
z z z z z z z z z z 32 = 80 ( 6 5 7 ) 8 4 + 90 9 4 + 10.0 5 4 10 +
z 4 z 2 z5 z1 z3 z 4 z3 z 2 z3 z5 2
Alte exemple de mecanisme care se rezolva prin aceeai metod de
calcul (metoda axei instantanee).