Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs

REPUBLIQUE DU BENIN

Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique

Université d’Abomey Calavi

Ecole Polytechnique d’Abomey Calavi

DEPARTEMENT DE GENIE CIVIL

Notes de Cours :

MECANIQUE DES FLUIDES POUR INGENIEURS

Préparé et animé par :

Joël M. ZINSALO

Année Académique : 2012~2013

Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs

Professeur : ZINSALO Joël M. /EPAC-UAC Page 2

Objectifs

A la fin du cours, l’étudiant doit être capable de :

� Décrire et expliquer la notion de fluide et le comportement des fluides

� Calculer les forces exercées par les fluides au repos.

� Appliquer les équations du mouvement d’un fluide dans des cas

d’écoulement simple.

� Expliquer et calculer les forces générées par le mouvement d’un fluide

� Évaluer l’énergie nécessaire à la mise en mouvement d’un fluide dans les

machines et circuits hydrauliques.

� Faire le dimensionnement des installations de transport des fluides dans

les canalisations libres ou les colonnes garnies et procéder aux choix des

pompes.

Contenu

Généralités. Définition du fluide. Propriétés des fluides. Viscosité. Loi de Newton.

Équations d'échange pour des systèmes isothermes: continuité, mouvement

(Navier-Stokes, Euler), énergie mécanique. Applications: écoulements laminaires

et turbulents. Distribution de vitesse. Analyse dimensionnelle. Fonctions de

courant et fonctions potentiel. Coefficient de transfert de quantité de mouvement.

Bilans macroscopiques de matière, quantité de mouvement d'énergie mécanique.

Applications. Théorème de Bernoulli. Réseaux de conduites. Mesure de débits.

Aperçu sur les pompes (calculs des pertes de charges et choix des pompes).

Théorème de transport de Reynolds et applications. Hydrodynamique de la

Couche limite.

Laboratoire

Déversoirs, pertes de charge, mesures de pression. Impact d’un jet sur un disque,

un cône.

Mode d’évaluation

1 contrôle continu et 1 examen terminal



Bibliographie

1- Mécanique des fluides appliquée de Jean-Paul Beaudry et Jean-Claude

Rolland, 2011.

2- Mécanique des fluides : cours et exercices corrigés, Sakir Amiroudine et de

Jean Luc Battaglia, 2011.

3- Mécanique des fluides : cours et problèmes résolus tomes 1 et 2

CANDELS, 1995.

4- Mini Manuel de Mécanique des fluides : rappels de cours et exercices

corrigés, Arnault Monavon, Dunod, 2010

5- Mécanique expérimentale des fluides, Dunod, 2002, 5ème éd. Tome I :

Statique et dynamique des fluides non visqueux. Tome III : Recueil

d'exercices corrigés avec rappels de cours (Université Pierre et Marie Curie,

Paris).

6- Mécanique des Fluides et Hydraulique, Cours et Problèmes, 475 exercices

résolus, Série Schaum, Michel LOBENBERG, McGraw-Hill, 1975.



Chapitre 1

GENERALITES SUR LA MECANIQUE DES FLUIDES

1. Définitions

La mécanique des fluides est une discipline qui étudie le comportement des

fluides (liquide et gaz) et des forces internes associées.

C’est une branche de la mécanique des milieux continus qui modélise la matière

à l’aide de particule assez petite pour relever de l’analyse mathématique mais

assez grande par rapport aux molécules pour être décrite par des fonctions

continues.

La mécanique des fluides se divise en deux grandes parties.

- La statique des fluides : L’étude des fluides au repos qui se réduit pour

l’essentiel à l’hydrostatique ;

- La dynamique des fluides : C’est l’étude des fluides en mouvement.

L’étude de la mécanique des fluides remonte au moins à l’époque de la Grèce

antique avec Archimède qui fut à l’origine de la statique des fluides.

Aujourd’hui, la dynamique des fluides est un domaine actif de la recherche avec

de nombreux problèmes non résolus ou partiellement résolus. Elle utilise

systématiquement des méthodes numériques qu’on regroupe en Anglais sous le

nom « Computational fluid dynamics ».

Dans certains problèmes particuliers, faute de modélisation numérique correcte

des phénomènes, des modèles réduits sont utilisés. Pour cette raison la

mécanique des fluides utilise des nombres sans dimension.

2. Les fluides

La matière existe globalement sous deux grandes formes : fluides (liquide et gaz)

et solide.

On appelle fluide un corps susceptible de s’écouler facilement. Un fluide doit

donc être déformable c’est-à-dire qu’il n’a pas de forme propre.

L’état fluide englobe principalement deux états fluides : l’état liquide et l’état

gazeux.



Un fluide est soit un liquide soit un gaz, et n’a pas de forme propre.

Pour un liquide :

– Il prend la forme du récipient qui le contient

– Il est inexpansible : il n’occupe pas tout le volume qui lui est offert.

– Si on le comprime, il conserve environ son volume initial : un liquide est

pratiquement incompressible.

Pour un gaz :

– Il se répand.

– Il est expansible et occupe tout l’espace qui lui est offert.

– I l est compressible.

Un fluide est un milieu isotrope : propriétés du fluide les mêmes dans toutes les

directions de l’espace qu’il occupe.

Les gaz sont des fluides compressibles et les liquides sont des fluides

incompressibles.

3. Écoulement des fluides et principaux types d’écoulement

L’écoulement d’un fluide est le mouvement du fluide comme continuum. Un

fluide s’écoule tandis qu’un solide se déplace en bloc.

On distingue deux grands types d’écoulements :

� les écoulements en charge, dans lesquels l’eau remplit complètement la

canalisation, c’est le cas notamment des réseaux d’eau potable,

� les écoulements à surface libre, c’est le cas des rivières et des réseaux

d’assainissement. La surface libre est l’interface entre l’air et l’eau. La

pression y est égale le plus souvent à la pression atmosphérique. Les

écoulements dans les canaux naturels (rivière) et artificiels (irrigation,

assainissement) sont, dans la plupart des cas, des écoulements à surface

libre.

L’écoulement le plus général dépend de trois variables spatiales x, y et z : on

l’appelle écoulement tridimensionnel. Il existe des cas particuliers où les



variables sont ramenées à deux : on l’appelle écoulement bidimensionnel ou

écoulement plan.

Si toutes les quantités d’écoulement dépendent d’une seule variable l’écoulement

est dit unidimensionnel.

Un écoulement est dit permanent ou stationnaire lorsque la vitesse du fluide ne

dépend pas du temps mais peut varier d’un pont à l’autre dans l’espace.

L’écoulement est dit uniforme lorsque la vitesse ne dépend pas de la position

dans l’espace par conséquent dans cet écoulement les vecteurs vitesses sont

parallèles en tout point.

On peut aussi caractériser un écoulement comme :

- Écoulement laminaire : c’est le cas où le fluide se déplace en formant des

lames ou couches parallèles.

- Écoulement turbulent : l’écoulement désordonné d’un fluide réel est dit

turbulent s’il se déplace en formant des bouffées ou tourbillons de tailles

différentes accompagnées d’un mélange ou brassage intensif des particules

fluides.

La caractérisation du régime d’un écoulement se fera dans les écoulements

visqueux en conduite et canaux.

4. Classification des Écoulements Confinés

Les écoulements confinés par des surfaces solides peuvent être classifiés dans

deux régimes :

� Écoulement tout près de surface avec

– gradients de vitesse considérables

– contraints de cisaillements considérables

Cette région s’appelle la "couche limite."

� Écoulement loin de surface avec

– gradients de vitesse négligeables

– contraints de cisaillements négligeables

– effets d’inertie considérables



Cette région s’appelle comme "écoulement libre" ou "la région de

l’écoulement sans friction."

5. Lois de conservation

Les forces qui agissent sur le fluide situé à l’intérieur d’un volume quelconque et

limitées par une surface fermée sont de deux types :

• Les forces de volume : ce sont les forces de pesanteur et les forces d’inerties

(accélération)

• Les forces de surface : ce sont les forces dues à la pression et les forces

dues aux frottements.

Pour établir les équations du mouvement d’un fluide, il faut déterminer : la

relation entre les différentes forces agissant sur un volume quelconque du fluide.

En appliquant les principes généraux de la mécanique et de la thermodynamique

à un volume de fluide, on obtient les trois lois suivantes de conservation pour

décrire les mouvements d’un fluide :

� Conservation de la masse ou équation de continuité

� Conservation de la quantité de mouvement (principe fondamental de la

dynamique)

� Conservation de l’énergie (1er principe de la thermodynamique).



CHAPITRE 2

PROPRIETES DES FLUIDES

Les propriétés des fluides en générale, sont l’ensemble des caractères physiques

qui conditionnent leurs comportements (au repos ou en mouvement). On essaie

d’exprimer les propriétés du fluide au moyen d’un nombre limité d’unités de base.

1. Système international d’unités (S.I)

Les principaux termes utilisés sont résumés dans le tableau suivant :

Grandeur Nom Symbole Expressions en autre unité

Expressions en unités fondamentales

Longueur Mètre m m m

Masse Kilogramme kg kg kg

Temps Secondes S s s

Température Kelvin K K K = °C + 273,15

Courant électrique

Ampère A A A

Intensité lumineuse

Candela Cd Cd Cd

Force Newton N kgf kg.m/s² Pression Pascal Pa N/m² m. kg. s� Energie, travail, quantité de chaleur

Joule J N.m m�. kg. s� Puissance Watt W �. . � �. ��. �� Fréquence Hertz Hz Cycle/sec �

2. La pression

La pression est l’une des propriétés de base de tout fluide. La pression (�) est la

force (�) exercée sur un fluide ou par un fluide sur une unité de surface (�). Cela s’exprime mathématiquement comme suit :



� = ��(2.1)L’unité de base de la pression est le pascal (Pa). Si un fluide exerce une force de

1N sur une surface de 1 �, la pression produite est égale à un pascal, c.-à-d. 1�� = 1�/ � La pression atmosphérique est la pression exercée par l'atmosphère à la surface

de la terre. Au niveau de la mer cette pression est équivalente à celle exercée par

une colonne d'environ 760 mm de mercure. Elle varie tous les jours légèrement:

elle est néanmoins toujours voisine de 1 bar.

On a : 1�� = 10 ��

La pression absolue est la pression mesurée par rapport au vide absolu (c'est à-

dire l'absence totale de matière). Elle est toujours positive.

La pression relative se définit par rapport à la pression atmosphérique existant

au moment de la mesure: cette pression peut donc prendre une valeur positive si

la pression est supérieure à la pression atmosphérique ou une valeur négative si

la pression est inférieure à la pression atmosphérique.

La relation suivante permet de passer de l'une à l'autre : �!"#$%&' = �('%!)*+' + �!)-$#./é(*0&'(2.2)

On parle parfois de pression différentielle : il s'agit de la différence de pression

mesurée entre deux points. Cette différence a évidemment la même valeur pour

des pressions exprimées en pression absolue ou en pression relative.

On parle de dépression quand la pression absolue est inférieure à la pression

atmosphérique : la pression relative est négative dans le cas d'une dépression.

La pression relative est mesurée par le manomètre. La pression atmosphérique

est mesurée par un baromètre et le vide est mesuré par le vacuomètre.

On a : 1234 = ��4��256�7 5��ℎé�2:;4 − ��4��256��5=;4 1234 = ��4��256�7 5��ℎé�2:;4 − >��4��256�4=�72?45; �65 é7�2:;4 +��4��256�7ℎ 5��ℎé�2:;4 @ 1234 = −��4��256�4=�72?45; �65 é7�2:;4



Faire le vide signifie abaisser la pression à une valeur inférieure à la pression

atmosphérique.

3. Masse volumique

La masse volumique est une autre propriété de base des fluides. La masse

volumique d’un fluide (désignée par la lettre grecque rho A) représente le rapport

entre la masse ( ) d’un fluide et son volume (1). Son unité de base est le ��/ �. Mathématiquement, cela s’exprime comme suit :

A = 1 (2.3)À toute fin pratique, on considère les liquides comme étant incompressibles, c.-à-

d. que la pression n’a pas d’effet sur leur volume et leur masse volumique.

Bien que cela ne soit pas vrai dans l’absolu, ces modifications sont négligeables.

Toutefois, on ne peut pas ignorer l’effet de la température sur la masse volumique

des liquides, car les liquides se dilatent et se contractent lorsque la température

change. La pression et la température influent toutes deux sur la masse

volumique des gaz. Si on garde la température constante et on augmente la

pression, la masse volumique augmente. Si on garde constante la pression et on

augmente la température, la masse volumique diminue.

4. Poids spécifique ou poids volumique d’un fluide

Le poids spécifique C est le rapport entre le poids du liquide est son volume,

l’unité est le �/ �. Elle se calcule par la formule : C = A�(2.4) Le volume spécifique 1# d’un fluide est le volume par masse du fluide. C’est donc

l’inverse de la masse volumique A.

1# = 1A(2.5)5. Densité d’un fluide

La densité ou densité relative ou densité spécifique (specific gravity) d’un fluide

est définie comme étant le rapport entre la masse volumique A du fluide et la



masse volumique A'!& de l’eau dans les conditions standard (�!)- = 1�7 ,G = 4°H). On a :

IJ = KKLMN (2.6) Pour un gaz, la densité spécifique est :

IJ = KKMPQ (2.7) 6. Compressibilité

La compressibilité S représente la propriété du fluide à se comprimer sous l’effet

de sollicitations. Le coefficient de compressibilité est défini comme étant l’inverse

du module d’élasticité T qui est le rapport entre l’effort de compression et le

changement de volume.

On a :

U = − VWVXX (2.8) La compressibilité S vaut :

Z = [U(2.9) La variation de la masse volumique 3A en fonction de la variation de pression 3�

est : VKK = ZVW(2.10) Pour l’eau, on prend généralement � = 5.10]��. Un fluide incompressible est un fluide dont la masse volumique A est constante,

indépendante de la pression P. Un fluide compressible est un fluide pour lequel il

faut tenir compte des variations de A avec P.

Dans la pratique on nomme fluide incompressible un fluide pour lequel A est

indépendante de P et de la température ^.

7. Viscosité d’un fluide

La viscosité d’un fluide est la mesure de sa résistance à l’écoulement. C’est une

propriété qui permet de distinguer un fluide parfait d’un fluide réel. Les

phénomènes dus à la viscosité des fluides ne se produisent que lorsque ces

fluides sont en mouvement.



On distingue :

- La viscosité dynamique _ en ��/ . �ou en ��. �. On l’exprime également en

Poiseuille (�=). On a : 1�= = 1��/ . �. Dans certains documents, on utilise le

poise (Po) tel que : 1�= = 10�5.

La viscosité cinématique ` qui est définie étant le rapport de la viscosité

dynamique _ et la masse volumique A.

On a :

a = bK(2.11) ` est en �/�. Dans d’autres ouvrages, elle est exprimée en Stocke (St) : 1c7 = 10d �/� Tableau 1 : Ordre de grandeur de la viscosité dynamique

Fluide _(��. �) Eau (0°C) 1,787 × 10� Eau (20°C 1,002 × 10� Eau (100°C 0,2818 × 10� Huile d’olive (20°C) ≈ 100 × 10� Glycérol (20°C) ≈ 1,0

H2 (20°C) 0,860 × 10 g�(20°C) 1,95 × 10 La viscosité des liquides diminue beaucoup lorsque la température augmente. Il

n'existe pas de relation rigoureuse liant _ et la température T.

Contrairement à celle des liquides, la viscosité des gaz augmente avec la

température.

La viscosité des liquides est beaucoup plus grande que celle des gaz ou de la

vapeur. Pour tous les fluides, la viscosité augmente avec la pression.

L’écoulement d’un fluide est caractérisé par :

- un champ de vitesse,

- la pression,

- certaines propriétés de ce fluide telles que la masse volumique et la

viscosité.



8. Tension de frottement

Soit deux couches de liquide en mouvement l’une sur l’autre comme le montre la

figure.

Figure 1 : Profil de vitesse

Il y a un effort tangentiel par unité de surface qui se forme entre les deux couches

directement proportionnel au gradient de vitesse : 3;3h

Cet effort tangentiel par unité de surface portant aussi le nom de force de

frottement par unité de surface ou force tangentielle par unité de surface ou

tension de frottement agit dans le sens opposé à l’écoulement et s’exprime par :

i~3;3h(2.12) Lorsque le fluide se déplace en couches parallèles (écoulement laminaire), le

facteur de proportionnalité est la viscosité dynamique _ :

k = bVNVl (2.13) C’est la loi de Newton.

Par rapport aux faits expérimentaux, on est conduit à considérer deux types de

fluides :

- D’une part les fluides newtoniens qui satisfont à la loi de Newton. Ces

fluides ont un coefficient de viscosité indépendant du gradient de vitesse.

C’est le cas des gaz, des vapeurs, des liquides purs de faible masse molaire.

3;

; + 3;h

;

3hh

;



- D’autre part les fluides non-newtoniens qui n’obéissent pas à la loi de

Newton.

La viscosité varie selon la contrainte appliquée. Par exemple, on remue du yaourt

dans un pot : il devient moins visqueux si on le bat rapidement (il se fluidifie).

Une boue saturée d'eau diminue de viscosité si elle reçoit une secousse: c'est le

cas des glissements de terrain déclenchés par les séismes. Les forces de liaison

entre les particules sont modifiées; ce phénomène de thixotropie explique le

phénomène des sables mouvants.

Exemple de fluides non-Newtoniens : les solutions de polymères, les purées, les

gels, les boues, le sang, la plupart des peintures, etc … L’étude de ces fluides

relève de la rhéologie : fluides pseudo plastiques, rhéoplastiques, thixotropiques,

rhéopectiques. Les fluides non newtoniens ont généralement une forte masse

moléculaire, les molécules sont liées les unes aux autres. Si ces liaisons sont

brisées, la viscosité diminue et la déformation, ou le mouvement, est facilitée. Si

un fluide coule, ou se déforme, à partir d'un certain seuil de contrainte et garde

ensuite sa viscosité, on parle de comportement plastique.

Figure 2 : Types de fluides

Solide idéal Plastique idéal

Non Newtonien

Newtonien

Fluide idéal 3;/3h

k



9. Mesurage de viscosités

9.1. Viscosimètre d'Ostwald

On mesure la durée d'écoulement t d'un volume V de liquide à travers un tube

capillaire. On montre que la viscosité cinématique ` est proportionnelle à la durée

t. Si on connaît la constante de l'appareil (K) fournie par le constructeur : ` = T. 7 Si on ne connaît pas cette constante, on la détermine préalablement à l'aide de

l'eau.

9.2. Viscosimètre à chute de bille ou viscosimètre d'Hoepler

Une bille sphérique tombe lentement dans un tube bien

calibré renfermant le liquide visqueux. On mesure la durée

t que met la bille pour parcourir une certaine distance.

On montre que la viscosité dynamique _ est

proportionnelle à la durée t : _ � T. 7

9.3. Viscosimètre rotatif ou viscosimètre de Couette

Un cylindre plein (A) tourne à vitesse constante dans un liquide contenu dans un

récipient cylindrique (B) ; celui-ci, mobile autour de son axe de révolution, est

entraîné par le liquide.

Un ressort, exerçant un couple de torsion après

avoir tourné d'un angle m , retient (B) en

équilibre.

On montre que la viscosité dynamique _ est

proportionnelle à l’angle m : _ � m. T

10. Tension superficielle

La tension superficielle notée n se manifeste à la

surface libre d’un liquide ou à la surface de

séparation entre deux fluides non miscibles.

Observations :

- Deux plaques de verre entre lesquelles on

a déposé un mince film d’eau, semblent



collées l’une à l’autre. La plaque inférieure peut supporter une masse de

plusieurs centaines de grammes avant de tomber.

- Dans un tube, la surface libre de l'eau forme un ménisque près des bords.

- L’eau monte dans un tube capillaire au-dessus du niveau dans le récipient

initial.

Les phénomènes observés précédemment sont dus à l’existence de forces F

existant à la surface libre du liquide.

On a : � � n. o(2.14�où n est la tension superficielle. Dans le système international (SI), l'unité de

tension superficielle n'a pas de nom particulier : (� p ). La tension superficielle encore appelée énergie superficielle, se manifeste à la

surface libre d’un liquide ou à la surface de séparation entre deux fluides non

miscibles.

Les molécules d’un liquide s’attirent mutuellement et sont attirées également par

les molécules d’autres matériaux. C’est cette force d’attraction qui donne sa forme

à la surface libre d’un liquide. La force tangentielle d’attraction nécessaire pour

arracher des molécules agissant le long d’un segment de longueur unitaire tracé

sur la surface libre d’un liquide est appelé tension superficielle.

La tension superficielle est déterminée en mesurant la montée ou la descente

d’un liquide dans un tube capillaire.

Un tube de verre de faible diamètre est plongé dans un liquide mouillant, de l’eau

par exemple.



Dans le tube, le niveau du liquide est supérieur au

niveau de la surface libre du récipient. Le

ménisque concave fait un angle θ avec la surface

du tube.

L’ascension capillaire est due aux forces

superficielles appliquées en tout point du contour

du ménisque. La résultante F de ces forces

équilibre le poids P du liquide soulevé.

L’élévation du liquide dans le tube compense la

différence de pression entre les deux côtés de la paroi.

Le poids de la colonne de liquide dans le tube P :

q � rs � tuvwKs

est équilibré par la force de tension superficielle F :

� � 2xyn cos ^

s'exerçant sur la ligne de raccordement entre le liquide et la paroi du tube.

On obtient ainsi la relation :

w � v| }~� �uKs (2.15� que l’on appelle Loi de Jurin.

y : rayon intérieur du tube, A : masse volumique du liquide,� : accélération de la

pesanteur, ℎ : est la dénivellation.

n : tension superficielle du liquide,^ : angle de raccordement liquide/solide

cos ^: parce que seule la composante verticale contribue à la résultante F.

Dans le cas du mouillage parfait, cos ^ � 1.



Si l’angle θ dépasse 90° , la loi de Jurin donne 8négatif. On parle alors de

dépression capillaire. C’est le cas du mercure au contact du verre et de tous les

liquides non mouillants.

Cette fois les forces de cohésion sont supérieures aux forces d’adhésion, le liquide

ne mouille pas les parois du tube.

Le niveau du liquide s’abaisse dans le tube au-

dessous du niveau de la surface libre du récipient.

Le ménisque est convexe et forme l’angle ^ � 90°

avec la paroi du tube.

Les forces de tension superficielle tirent le liquide

vers le bas. La résultante � de ces tensions

équilibre maintenant le poids P du liquide

manquant.

Une goutte de liquide déposée sur une plaque solide plane et horizontale peut :

- soit s’étaler, on dit que le liquide mouille parfaitement le solide.

- soit former une lentille, avec deux cas de figure : ^ � 90° : le liquide mouille imparfaitement le solide

^ � 90° : le liquide ne mouille pas le solide

^ � 0°

^ � 90°

^ � 90°



CHAPITRE 3

STATIQUE DES FLUIDES

On dit que le fluide est au repos s’il existe un référentiel dans lequel ?�� = 0�� partout.

On étudie alors ce fluide dans ce référentiel. On y étudiera les conditions

d’équilibres des liquides. La force d’inertie est ainsi nulle et la force due à la

viscosité ne se manifeste pas, puisqu’il n’y a pas de mouvement relatif entre les

particules liquides.

On étudiera la variation de la pression, notamment en fonction de la distance

verticale, ainsi que les forces qui en résultent et qui se manifestent sur les

surfaces et les corps immergés.

Pour étudier un fluide, on isole une partie du fluide limitée par une surface S qui

constitue une particule.

A la particule, on applique les lois de la Mécanique :

- principe fondamental,

- conservation de la masse,

- conservation de l’énergie.

Les dimensions de la particule sont très grandes à l’échelle moléculaire (elle

contient donc un grand nombre de molécules). Elles dépendent du phénomène

étudié : de plusieurs km en météorologie à quelques mm dans un circuit

hydraulique.

1. La grandeur PRESSION

Dans un milieu quelconque, donc aussi dans un milieu fluide, la force que la

partie (1) exerce sur la partie (2) à travers un élément

de surface réel ou fictif dS a une direction

quelconque.

Mais cette force 3��peut toujours être décomposée en :

• une composante tangentielle 3��

• une composante normale 3��



La quantité 3��/3c représente la contrainte tangentielle et 3��/3c la contrainte

normale.

Par définition, on appelle Pression la contrainte normale :

W � V��VI (3.1� Remarque : En statique des fluides, seules interviennent les forces de

pression3��, normales à l'élément dS.

Les forces tangentielles 3�� n'apparaissent qu'en dynamique des fluides : elles

correspondent aux frottements visqueux des couches fluides en mouvement les

unes par rapport aux autres et par rapport à la paroi de la conduite.

2. Pression en un point d’un fluide

Théorème de Pascal : La pression agit de façon égale dans toutes les directions

en un point donné d’un fluide au repos.

Tous les points d’un même fluide situés dans un même plan horizontal sont à la

même pression, et ce quelle que soit la forme du récipient.

La surface libre d’un liquide, qui est le lieu des points à la même pression (vide

ou pression atmosphérique), est un plan horizontal, et ce quelle que soit la

forme du récipient.

Exercice :

On considère un petit prisme triangulaire d’eau de largeur unitaire au repos.



1- Écrire une relation géométrique entre 3� et 3c puis 3h et 3c.

2- Que représente :

A� 3h3�2

3- Faire le bilan des forces hydrostatiques dans la direction horizontale et

dans la direction verticale.

4- Montrer que la pression agit de façon égale dans toutes les directions en un

point donné d’un fluide au repos.

3. Équation fondamentale de l’hydrostatique

L’équation fondamentale de l’hydrostatique s’écrit :

A�� < ��3�� 0��(3.2�

�� = ��h�� 47��3�� =��h��

��

�� est le vecteur force de volume par unité de masse dont les composantes sont (�, h, ��. Interprétation physique :

A��$(�'#�'+$%&-'#.!(&�*)é�'+$%&-' + −��3��$(�'#�'.('##*$�.!(&�*)é�'+$%&-' = 0��



En hydrostatique, on ne considère en général que le champ gravitationnel

terrestre, de sorte que :

�� = ��h�� = � 0−�0 (3.3) où � est l’accélération de la pesanteur ( /��) La relation (3.3) dans (3.2) donne :

A ��h�� −��h��= �000 ⇒

¢£¤£¥ �� = 0�� = −A�� = 0

(3.4)

Par conséquent dans la direction �, on a : �� = 0 ⇒ � = ¦74(3.5�) Dans la direction �, on a : �� = 0 ⇒ � = ¦74(3.5�)

Les relations (3.5.a) et (3.5.b) montrent que la pression est constante dans le plan

horizontal (��). Dans la direction h, on a :

��h = −� ⇒ 3�3h = −A� = −C(3.5¦) L’expression différentielle de la relation fondamentale de la statique des fluides

s'écrit : 3� = −A�3h = −C3h(3.6) La relation (3.6) montre que la pression varie non seulement avec la distance

verticale h, mais aussi avec le poids volumique du fluide C.

Dans le cas d'un liquide, (ou pour un gaz dans lequel la variation de pression est

faible), la masse volumique A ne dépend pas de la pression. De plus, si on



suppose la température uniforme, la masse volumique sera considérée comme

constante.

D'autre part, pour des différences d'altitude courantes, l'accélération de la

pesanteur g peut aussi être considérée constante. Dans ce cas on peut intégrer la

relation précédente :

§ 3�� § <A�3h�

� <A� § 3h�

Soit : �� < � � <A��h� < h� �� , A�h� � � , A�h

Soit � , �A��h � ¦74(3.7� On écrit fréquemment : �∗ � � , �A��h � ¦74(3.8� Donc, dans tout le champ de pesanteur occupé par un fluide en équilibre, la

pression �∗ reste constante.

où :

�∗A��/!(©'.*'ª$-é)(*0&'$&%*©�'.*éª$-é)(*0&'� �A��/!(©'�&'à%!.('##*$�

+ h��/!(©'.$)'�)*'%%'(3.9� NB : Les lois de la statique des fluides s’appliquent aussi bien aux fluides parfaits

qu’aux fluides visqueux.

4. Mesure des pressions

4.1. Baromètre à mercure

Considérons du mercure dans un récipient comme le montre figure suivante :

�¬ � �!)- 47� = �+*�' = 0



�¬ < � � A®¯�� < �¬� � A®¯�8 ⇒ 8 � �!)-A®¯�

8 est donc une mesure de la pression extérieure A®¯ � 13600��/ �; �!)- = 1,013.10 ��

La pression atmosphérique correspond à une hauteur ℎ :

ℎ = 1,013.10 13600 × 9,81 = 0,76 = 760 ±�.

4.2. Le manomètre à liquide

Considérons un Tube en U contenant un liquide de masse volumique A connue

(eau, huile, ou mercure pour pressions élevées). On désire mesurer la pression p

d’un gaz ou d’un autre liquide (non miscible avec celui du tube).

L’ouverture A du tube est à la pression �!)- , l’autre à la pression p. Il s’agit

d’exprimer p en fonction deℎ :

A l’intérieur du liquide, le point B est à la pression p.

On a : W² − W³ = Ksw⟹ W = WMµr + Ksw(3.10)

La grandeur Ksw s’appelle la pression manométrique ou pression de jauge.

La différence de pression (en Pa) entre A et B est numériquement égale au poids

d'une colonne de liquide de section unité 1 � et de hauteur ℎ en m : on pourra

dire que � –�¬ exprimée en pascals est donc égale à une pression de ℎ m de

colonne de liquide de masse volumique A(��/ �). On peut toujours exprimer une

pression avec une unité de hauteur après avoir précisé le liquide choisi.

P

A

B

h



APPLICATIONS

• Mesure de la pression des pneus

• Mesure de la tension artérielle. C’est la méthode par cathétérisation : Elle

consiste à insérer une canule dans une artère (s’effectue sur des êtres

vivants anesthésiés, et encore…).

• Barométrie : prévision du temps.

Remarque : La pression peut donc s’exprimer en « hauteur de fluide » (unité SI :

le mètre).

4.3. Instruments de mesure de la pression

La relation fondamentale de la statique des fluides est à la base même de la

conception des manomètres et baromètres à liquides.

- Baromètres : Ce sont des appareils permettant la mesure absolue de la

pression ; plus particulièrement la mesure de la pression atmosphérique. On

retrouve les baromètres à mercure et les baromètres anéroïdes.

- Pour mesurer la pression relative, on utilise :

Le piézomètre :

Le piézomètre est l’instrument de mesure de la pression le plus simple,

c’est un tube raccordé au point ou on veut déterminer la pression, celle-ci

n’est autre que la hauteur d’eau qui monte dans ce tube.



Figure : piézomètres verticale et incliné.

Manomètres à tube en U :

Pour une mesure de pression relative ils sont ouverts à l'atmosphère à une de

leurs extrémités et remplis par un liquide (couramment eau ou mercure. L'autre

extrémité est reliée à l'enceinte dont on veut connaître la pression relative. Pour

une mesure de pression différentielle les deux extrémités du tube sont reliées aux

deux points entre lesquelles on cherche à connaître la pression différentielle.

La mesure se lit dans les deux cas directement par différence de niveau du

liquide dans les deux branches de tube. L'utilisation de l'eau ou du mercure est

fonction du but poursuivi: l'eau convient mieux pour de faibles pressions

(inférieures à 0,1 bar) grâce à une bien meilleure précision. Par contre le mercure

s'impose pour des valeurs supérieures à cause de la trop grande taille des tubes

nécessaires.

Il consiste en un tube en U dont une extrémité est raccordée au point de mesure

et l’autre à l’aire libre, le tube contient soit du mercure ou autre liquide plus

dense que le fluide dont la pression est à mesurer pour la mesure des pression

manométriques, ou contient un liquide plus léger (moins dense que le liquide

dont on veut mesurer la pression) pour le cas des mesures de la pression

vacuométrique.



Figure : Manomètres à tube en U ou Piézomètres en U

Pour une pression manométrique (1er cas) : �¬ � A��8� < A�8

Pour une pression vacuométrique (2e cas) : �¬ � <�A��8� , A�8�

Manomètre de Bourdon :

Le tube de bourdon, sous sa forme plus simple est composé d'un tube aplati

formant une section circulaire d'environ 270°. Une extrémité du tube est scellée

et libre de ses déplacements, l'autre extrémité est fixe et connectée à la chambre

ou au conduit dont la pression doit être mesurée.

Lorsque la pression à mesurer augmente, le tube à tendance à se dérouler,

lorsqu'elle diminue le tube tend à s'enrouler davantage. Ce mouvement est

transmis par une liaison mécanique à un système d'engrenages connecté à une

aiguille. L'aiguille est placée devant un cadran portant les indications de valeur

de la pression relative à la position de l'aiguille.



Face avant d'un manomètre à tube Le tube de Bourdon est visible sur

de Bourdon. la face arrière du manomètre.

5. Forces hydrostatiques sur les surfaces

La force hydrostatique ou poussée hydrostatique est définie comme étant la

force de pression exercée par un liquide au repos sur une surface de contacte,

cette force est toujours normale à la surface.

Les caractéristiques des forces hydrostatiques sont :

- Le point d’application ou centre de poussée

- La direction

- Le sens

- La grandeur.

La force hydrostatique � exercée par un liquide sur une surface plane c est égale

à : � � KswJI(3.11�où : A : la masse volumique du liquide � : L’accélération de la pesanteur ℎ© : la profondeur du centre de gravité de la plaque.

5.1. Cas d’une plaque plane verticale immergée dans un liquide

Soit une plaque plane AB immergée dans un liquide de masse volumique A.



Figure : Plaque plane verticale de forme quelconque

G est le centre de gravité de la plaque et ��· , h·� le centre de poussée. La ligne

d’action de la force hydrostatique passe par le centre de poussée. Le centre de

poussée P est déterminé en utilisant le principe des moments :

Qui stipule que la somme des moments des forces exercées par rapport à un axe

est égale au moment de la résultante de ces forces par rapport au même axe.

On a :

wq � wJ , ¸JwJ. I (3.12�

lq � lJ , ¸JlJ. I (3.13� ¹ : est le moment d’inertie par rapport à un axe passant par le centre de gravité.



ºJ � »v ; lJ = wv ; ¸J = »w¼[v (3.14�

ºJ � »v ; lJ = wv ; ¸J = »w¼[v (3.15�

G 8

�

h

�



ºJ � Vv ; lJ = Vv ; ¸J = tV½¾½ (3.16�

I � »wv ; ºJ = M + »v ; lJ = w¼ ; ¸J = »w¼¼¾ (3.17�





5.2. Cas d’une plaque plane inclinée

Soit une plaque de forme quelconque immergée et inclinée d’un angle ^.



Figure : Plaque plane inclinée de forme quelconque

On procède de la même manière que le cas de plaque verticale, sauf que l’axe des

moments passe par le point « O ».

La pression sur l’élément 3¿ est :

q � Ksw(3.18�On a : V� = qVI(3.19� Avec : VI � »VÀ Alors : V� = Ksw»VÀ(3.20�



La force hydrostatique � exercée par un liquide sur la surface est : � � KswJI(3.21) avec : wJ = ÀJ �ÁÂ �(3.22) Le centre de poussée P est tel que :

h· = Ã h�3cÄÃ h3cÄ= h¯ + ¹h¯ . c

On a :

lq = wq�ÁÂ � ; lJ = wJ�ÁÂ � (3.23) On trouve donc :

wq = wJ + ¸J �ÁÂv �wJ. I (3.24) Plan de charge

On appelle plan de charge d'un liquide le lieu des pressions nulles. Ainsi, dans

un bassin, la surface libre du liquide est le plan de charge des pressions relatives

(ou effectives). Le plan de charge des pressions absolues est plus haut. Les deux

plans sont distants de la hauteur représentative de la pression atmosphérique

locale.

5.3. Cas d’une plaque plane horizontale

Dans ce cas, le point d’application P est confondu avec le centre de gravité. La

force hydrostatique s’applique perpendiculairement à la surface.

La paroi est immergée jusqu’à une profondeur ℎ. L’intensité de la force

hydrostatique � est :

� = KswI(3.25) donc égale au poids de la colonne d’eau au–dessus de la paroi.



Figure : Paroi plane en position horizontale

6. Paroi à surface gauche

La force hydrostatique s’appliquant sur une surface gauche peut être obtenue par

le calcul des composantes horizontale et verticale. La première méthode

permettant le calcul de la force résultante F sur une paroi gauche consiste donc

à décomposer la force élémentaire 3�� suivant les axes � et h : 3�� 3�Æ�� , 3�Çh� �3.26�

Figure : Paroi à surface gauche



L’évaluation des projections de 3�� et h, peut se faire de la manière suivante : 3�Æ � ¦5�m ∙ � ∙ 3c � ¦5�m ∙ A ∙ � ∙ 8 ∙ 3c 3�Ç � �26m ∙ � ∙ 3c � �26m ∙ A ∙ � ∙ 8 ∙ 3c

L’intégration de 3�Æ et 3�Ç sur toute la surface de l’élément courbe permet

d’évaluer le force résultante F. Compte tenu de la surface courbe, l’angle m est

variable, ce qui complique le calcul de l’intégrale.

Une deuxième méthode consiste à isoler un volume de fluide et à faire l’équilibre

des forces extérieures agissant sur ce volume.

Dans l’exemple suivant, le volume de fluide isolé est composé d’un ensemble de

surfaces planes horizontales et verticales et de la surface gauche (2-3). Le choix

des surfaces planes se justifie par l’utilisation des relations précédentes.

Figure : Paroi à surface gauche

En faisant l’équilibre des forces suivant l’horizontale, on en déduit que la

composante horizontale de la force hydrostatique ( �É ) est donnée par �Æ . La

composante verticale est la somme de la force �Ê et du poids de l’eau Ë . En

faisant la composition vectorielle des forces �Æ et �Ê , on en déduit �É . Il suffit

d’écrire ensuite le moment des forces par rapport un point quelconque pour

localiser la position de �É.



7. Poussée et flottaison : le principe d’Archimède

Théorème d’Archimède

Énoncé : Tout corps totalement immergé dans un fluide en équilibre est soumis à

une force opposée au poids de fluide déplacé.

La résultante des forces de pression sur un corps immergé dans un fluide au

repos est une poussée verticale, dirigée de bas en haut et égale au poids du

volume ? de fluide déplacé c'est-à-dire : � � ÌÍ(3.27� Cette force est directement opposée au poids du liquide déplacé C? . Elle est

couramment appelée force d’Archimède force de portance.

La force d’Archimède est appliquée au centre de gravité du liquide déplacé : on

l’appelle centre de poussée P.

THÉORÈME D’ARCHIMÈDE GÉNÉRALISÉ : Tout corps immergé partiellement ou

totalement dans un fluide à l’équilibre subit de la part de celui-ci une force,

appelée poussée d’Archimède, qui est l’opposée de la force extérieure que subirait

le volume de fluide déplacé.

Pour un corps de poids volumique homogène et entièrement immergé, le centre

de gravité du liquide déplacé P est confondu avec le centre de gravité du corps

solide.

Figure : Corps immergé



Figure : Corps flottant

Un corps flottant est un corps partiellement immergé. Un corps flottant est en

équilibre stable si son centre de gravité G est situé au-dessous de son centre de

poussée P.

Un corps est en équilibre si le poids W et la force d’Archimède sont égaux,

opposés et situés sur la même ligne verticale. Dans le cas contraire, il en résulte

un mouvement.

La stabilité peut se définir de la façon suivante : si on incline un corps d’un angle

par rapport à la verticale, le corps est soumis à un couple de redressements qui le

fait tourner jusqu’à ce qu’il revienne à sa position initiale.

L’instabilité est donc définie par un couple qui tend à augmenter l’inclinaison.

La quille est un élément profilé de faible allongement fixé à la partie inférieure du

fuselage en vue d’augmenter la stabilité latérale de l’avion. C’est aussi un

morceau de bois long et rond que l’on cherche à renverser avec une boule.



Figure : Stabilité et instabilité d’un corps

Dans cet exemple, on constate que la position d’équilibre stable est vérifiée pour

un angle Θ’, et que la position instable correspond à un angle Θ’’ qui a la

particularité : Θ’< Θ’’.

On en déduit qu’il existe donc un angle limite Î%*-*)' de basculement entre l’état

stable et instable.

Soit M un point tel que :

ÏJÐÐÐÐÐ � ¸JÍ < JqÐÐÐÐ(3.28� Ce point s’appelle métacentre.

Position d’équilibre Position stable Position instable



Il permet d’étudier la stabilité d’un corps. Ainsi, si : ÑÒÐÐÐÐÐ � 0 ⟹ =4¦5��4�746�5�27256�7��=4 ÑÒÐÐÐÐÐ = 0 ⟹ =4¦5��4�746�5�2725664;7�4 ÑÒÐÐÐÐÐ < 0 ⟹ =4¦5��4�746�5�2725626�7��=4

8. Translation et rotation de masses de liquides

On peut soumettre un fluide à une translation ou à une rotation à accélération

constante sans occasionner de mouvement relatif entre les particules du fluide.

Dans ces conditions, il y a équilibre relatif et absence de tensions internes. Il

n’existe, en général, pas de mouvement relatif entre le fluide et le récipient qui le

contient.

Les lois de la statique des fluides continuent à s’appliquer, avec des modifications

tenant compte des effets de l’accélération.

7.1. Translation des masses de liquide

8.1.1. Mouvement horizontal

Dans un mouvement horizontal, la surface du liquide devient un plan incliné. La

pente du plan se calcule par :

ÓÔÂ� = Ms (3.29)

où : � est l’accélération linéaire du récipient en /�� l’accélération de la pesanteur en /��.

8.1.2. Mouvement vertical

Pour un mouvement vertical, la pression en tout point du liquide est donnée par :

W = Ìw>[ ± Ms@ (3.30) où : � est l’accélération linéaire du récipient en /�� l’accélération de la pesanteur en /��. C est le poids volumique du liquide en �/ �.



On met le signe + s’il s’agit d’une accélération constante vers le haut et le signe –

s’il s’agit d’une accélération constante vers le bas.

7.2. Rotation des masses de liquides

7.2.1. Récipients ouverts

La forme de la surface libre d’un liquide en rotation dans un récipient est celle

d’un paraboloïde de révolution.

Tout plan passant par l’axe de rotation coupe le fluide selon une parabole.

L’équation de la parabole est :

l � Övvs ºv(3.31) où : � et h sont les coordonnées en mètres de tout point de la surface, l’origine étant

prise sur l’axe au sommet de la parabole, et × est la vitesse angulaire supposée constante exprimée en rad/s.

7.2.2. Récipients fermés

La pression régnant à l’intérieur d’un récipient fermé augmente lorsqu’on le fait

tourner. L’augmentation de la pression entre un point situé sur l’axe de rotation

et un point situé à � mètres de cet axe est :

W = ÌÖvvsºv(3.32) ou encore, l’augmentation de la hauteur de pression en m est : WÌ = l = Övvsºv(3.33) qui est semblable à celle des récipients ouverts.



PLANCHE D’EXERCICES

Exercice 1

On considère un tube en forme de U. On a d’abord versé

de l’eau (de masse volumique A' � 1000��. � , puis

d’un côté du tube on a ajouté une hauteur 8 = 20¦

d’huile non miscible dans l’eau (de masse volumique A/ = 800��. �).

Calculer la dénivellation L entre les surfaces libres de l’huile et l’eau.

Exercice 2

On dispose d’un tube en U.

On verse du mercure au fond du tube, puis d’un côté,

on verse de l’eau sur une hauteur e = 96 mm.

Ensuite, on verse de l’autre côté le liquide à mesurer

jusqu’à ce que les deux surfaces libres soient sur une

même horizontale. On mesure la hauteur du liquide

inconnu et on trouve 8 = 103 .

Sachant que A' = 1000��. � etA®© � 13600��. �, trouver la densité du liquide

inconnu (rapport entre sa masse volumique et celle de l’eau).

Exercice 3

On considère un tube fin, vertical, de diamètre d = 2 mm dont une des extrémités

est plongée dans l’eau. On suppose que le verre est très propre et que le liquide

mouille parfaitement les parois. Calculer la remontée capillaire H dans le tube.

A.N. n = 75. 10��. . Même question si l’eau ne mouille pas parfaitement le

verre (angle de contact 30°). Quelle serait la hauteur pour un tube dans du

mercure, non mouillant parfait �n = 450. 10��. �.

Exercice 4

On plonge un tube capillaire cylindrique ouvert aux deux extrémités dans un

liquide de masse volumique A contenu dans un cristallisoir.

D'après la loi de Jurin, la hauteur h du liquide



8 � � 2. cos ^A. �. �

où A est la tension superficielle du

liquide.

1) Dans le cas de l'eau, on

constate que pour un tube

capillaire de rayon � = 0,75 , la

hauteur du liquide est ℎ = 19

et l'angle ^ = 0° . Calculer la

tension superficielle A de l'eau.

Données : A'!& � 1000��. �; � = 9,8 . ��

2) On place maintenant ce tube capillaire dans un cristallisoir contenant du

mercure ; le mercure est 13,6 fois plus dense que l'eau. Calculer la hauteur

h sachant que ^ = 130° et � = 0,480�. . Faire un schéma pour décrire

le phénomène.

Exercice 5

Un viscosimètre est construit à partir de deux cylindres concentriques de 30 cm

de long, l’un des cylindres ayant 20 cm de diamètre et l’autre 20,2 cm de

diamètre. Un couple de moment 0,13 N.m est requis pour faire tourner le cylindre

intérieur à 400 tr/mn. Calculer la viscosité dynamique du fluide en écoulement

entre ces deux cylindres.

Exercice 6

Soit une vanne rectangulaire 5m e 3m , de masse négligeable (voir fig. 1).

Déterminer la profondeur d de l’eau pour que la vanne, inclinée à 60°, reste en

équilibre. On donne ρÙÚÛ � 1000kg. m�



Exercice 7

On considère un barrage de largeur L = 10 m et de hauteur h = 5 m. Sur une face

du barrage, l’eau affleure jusqu’en haut, sur l’autre face, le barrage est au contact

de l’air.

1. Représenter le système

2. Calculer la résultante des forces de pression sur le barrage.

3. Calculer le point d’application de la force.

4. Si le barrage est incliné vers l’eau d’un angle de 30°, que devient la force

horizontale sur cette vanne ?

Exercice 8

Deux fluides de masse volumique A et A� remplissent le réservoir de la figure 2.

Calculer la hauteur 8] de la colonne de mercure utilisée pour mesurer la pression

dans le bas du réservoir si la pression au-dessus du liquide 1 est la pression

atmosphérique.

Fig. 1



Figure 2

Données : A � 750��/ �, 8 � 5 , A� � 1000��/ �, 8� � 1

Exercice 9

Pour mesurer une faible surpression ∆� entre 2 enceintes d’air, on utilise un

manomètre en U contenant de l’alcool de masse volumique ra (figure 3).

Le plan du tube est incliné d’un angle m = 3°. Calculer Ý� en Pascal si les 2 ménisques sont séparés de la distance d = 19,2 cm.

Figure 3

Donnée : A! = 780��/ �.

Exercice 10

Soit un piston A de section SA = 38,71 cm2 agissant sur une huile de masse

volumique A � 750��/ �. Le cylindre B de la presse hydraulique a une surface



c � 3871¦ � et une masse M = 4080,724 kg. La distance entre les bases du

piston A et du piston B est ℎ = 487,68¦ à l’équilibre (figure 4).

Figure 4

Quelle est la masse du piston A ?

Exercice 11

Pour connaître la pression absolue à l’intérieur d’une conduite (figure 5), on

dispose d’un baromètre et d’un manomètre, tous 2 remplis de mercure.

On mesure les côtes suivantes : 8] � 0,7565 , 8 � 0,3245 47ℎ� = 0,1925 .

Figure 5



1. Calculer la pression atmosphérique grâce au baromètre.

2. Calculer la pression sur l’axe de la conduite si celle-ci contient de l’eau.

3. Même question si la conduite contient de l’air (densité nulle).

Exercice 12

Soit une écluse dont le sas est fermé par une porte rectangulaire de largeur L et

de hauteur H (figure 6).

1- Déterminer les intensités et les points d’application des 2 forces s’exerçant

sur la porte dues à la présence d’eau de part et d’autre.

2- En déduire la résultante des forces de pression qui s’exercent sur la porte

et son point d’application.

Figure 6

Données : L = 6m ; H = 5 m ; h = 2 m.

Exercice 13

Une vanne rectangulaire ABCD est placée sur une paroi verticale à la profondeur

H d’un bassin contenant de l’eau (figure 7).

1- Déterminer l’expression littérale de la force de pression qui s’exerce sur

cette vanne.

2- Déterminer l’expression littérale de la position de son point d’application.

3- Application numérique :



Figure 7

Données : H = 3 m ; hauteur de la vanne : d = 25 cm et largeur de la vanne :

L = 40 cm.

Exercice 14

Soit un réservoir (volume o × = × ±) surmonté d’une conduite verticale de

diamètre d (figure 8). Initialement le réservoir est complètement rempli d’eau et

la conduite est vide.

1- Déterminer la force résultante et son point d’application, sur la surface AB

(largeur l et hauteur H)

2- On remplit la conduite en versant un volume d’eau V :

a) déterminer la force s’exerçant sur la surface AB et son point d’application.

b) déterminer la force s’exerçant sur le fond du réservoir et son point

d’application.



Figure 8

Données : L= 6 m ; l = 2,4 m ; H = 1,8 m ; d = 2 cm et V = 3,1416 litres

Exercice 15

Un réservoir contient de l’eau sur une hauteur BC, surmontée d’une épaisseur

AB d’huile de masse volumique A/&*%' (figure 9).

1- Calculer la force exercée sur la paroi AB et son point d’application.

2- Calculer la hauteur d’eau équivalente à l’huile et en déduire la force

exercée sur la paroi BC et son point d'application.

3- En déduire la résultante des forces agissant sur la totalité de la paroi

verticale et la position du point d’application.

Figure 9

Données : w²Þ= 1,8 m ; w³²= 3 m ; L = 1,2 m ; KwNPßL � àááâs/r¼.



Exercice 16 :

Un cylindre de 0,25 m de diamètre et de 0,25 m de longueur est fait d’un

matériau ayant comme poids spécifique 8000�/ �.

1) Calculer le volume d’eau déplacé.

2) Calculer la longueur du cylindre mouillée.

3) Déterminer la distance entre le centre de poussée et le centre de gravité du

cylindre.

4) Le cylindre devra – t – il flotter dans l’eau en présentant ses extrémités

horizontales ?

Exercice 17

1- Un cube de bois de côté a, de masse m, flotte sur un liquide de masse

volumique A. Les arêtes du cube sont verticales ou horizontales (figure 10).

2- Quelle est la profondeur h immergée quand il est en équilibre ?

3- Soit une sphère de masse volumique A � 3300��/ � et de masse = 5��,

suspendue à un fil et entièrement immergée dans un réservoir d’eau

(figure 10). Déterminer la tension du fil.

Figure 10

Exercice 18

Un réservoir cylindrique ouvert de 2 m de haut et de 1 m de diamètre, contient

1,5 m d’eau. Si le cylindre tourne de son axe.

a) Quelle vitesse angulaire constante peut – on atteindre sans renverser d’eau ?

b) Quelle est la pression au fond du réservoir en C et D quand × = 6��3/� ?



Figure 11

Exercice 19

Un réservoir rectangulaire de 8 m de long, 3 m de profondeur et 2 m de large

contient 1,5 cm d’eau. S’il est soumis à une accélération linéaire de 2,45 m/s2

dans le sens de la longueur.

a) Calculer la force totale provoquée par l’action de l’eau sur chaque extrémité

du réservoir

b) Montrer que la différence entre ces forces est égale à la force non

compensée nécessaire à l’accélération de la masse de liquide.

Se reporter à la figure 1.



Figure 12

Exercice 20

Un récipient ouvert, partiellement rempli de liquide tourne autour d’un axe

vertical à une vitesse angulaire constante. Déterminer l’équation de la surface

libre du liquide une fois qu’il a acquis la même vitesse angulaire que le récipient.

Figure 13



CHAPITRE 4

CINEMATIQUE DES FLUIDES

1. Notions générales sur la cinématique des fluides

Il s’agit d’étudier le mouvement des particules fluides sans faire intervenir les

forces qui entrent en jeu. Nous nous intéressons donc à la caractérisation du

mouvement des particules fluides indépendamment de ce qui provoque ou

modifie ce mouvement. Nous allons alors déterminer la vitesse et l’accélération

des particules fluides.

La cinématique est donc la description du mouvement sans référence aux

forces en jeu.

La description mathématique de l’état d’un fluide en mouvement se fait au moyen

de fonctions déterminant la distribution de la vitesse du fluide1�� = 1��(�, h, �, 7) et de

deux quelconques de ses grandeurs thermodynamiques : la pression �(�, h, �, 7) et

de sa masse volumique A(�, h, �, 7) La vitesse 1�� est un vecteur de composantes ;, ?, ã qui dépendent des

coordonnées �, h, �du point considéré et l’instant 7 de l’observation. L’ensemble de

ces vecteurs constitue un champ de vecteurs appelé champ de vitesses.

Donc l’état d’un fluide en mouvement est complètement déterminé par cinq

grandeurs : les trois composantes de la vitesse 1��, la pression � et la masse

volumique A. Toutes ces grandeurs sont en général des fonctions des coordonnées �, h, � et du temps 7. Soulignons que la vitesse 1��(�, h, �, 7) est la vitesse du fluide en chaque point �, h, � et à l’instant 7 c'est-à-dire qu’elle est liée à des points déterminés de l’espace et



non pas aux particules qui se déplacement au cours du temps dans l’espace ; il

en est de même pour � et A.

Pour décrire le mouvement d’un système, nous avons deux méthodes : la

description lagrangienne (Méthode de Lagrange) et la description eulérienne

(Méthode d’Euler).

1. Méthode de Lagrange

La description lagrangienne (Louis Joseph Lagrange 1736-1813) consiste à

étudier les vecteurs positions, vitesse et accélération et éventuellement la

trajectoire du système étudié en fonction du temps. Cette description est

particulièrement bien adaptée pour décrire le mouvement d’un point ou d’un

solide indéformable. En revanche, compte tenu du nombre de particules fluides,

cette voie est quasiment non envisageable.

A un instant 7], on isole à l’intérieur d’une masse de fluide une particule fixée Ñ].

Les coordonnées de cette particule de fluide Ñ] à l’ instant 7] sont �], h] et �].

Dans cette description, l'observateur suit chaque particule fluide à partir de

l'instant initial.

Figure 4.1 : Représentation lagrangienne



Les coordonnées indépendantes �], h], �] et 7 sont appelées variables

lagrangiennes ou variables de Lagrange. Le mouvement du fluide est connu si on

se donne �, h, � en fonction de �], h], �] et 7. Donc :

ä� = �(�], h], �], 7)h = ��(�], h], �], 7)� = ��(�], h], �], 7) (4.1) En description lagrangienne, les inconnues cinématiques sont les fonctions �, �� et ��. Les positions successives de cette particule fluide au cours du temps décrivent

une courbe appelée trajectoire. On l’obtient expérimentalement en immergeant

dans le fluide des granulés colorants de même densité que lui. Chaque granulé

dessine alors la trajectoire de la particule fluide qui le contient.

Les composantes de la vitesse 1��sont déterminées comme suit :

¢£¤£¥; = ��7? = �h�7ã = ��7

(4.2) Les composantes de l’accélération �� sont :

¢££¤££¥�Æ =

�;�7 = ��7��Ç = �?�7 = ��h�7��ª = �ã�7 = ��7�(4.3)

Par la méthode lagrangienne, on étudie chaque particule fluide individuellement

en suivant son mouvement.

Cependant, dans beaucoup de cas pratiques, il n’est pas très important de

connaître la trajectoire de chaque particule. En considérant le fluide comme un

milieu déformable et continu l’intérêt majeur ne se porte pas sur l’évolution d’une

particule fluide distincte, mais plutôt sur les propriétés de l’écoulement en

certains points déterminés c'est-à-dire dans le champ de vitesse. Il est alors plus

intéressant de connaître la vitesse en un point donné. On y parvient au moyen

des variables d’Euler.



2. Méthode d’Euler

La description eulérienne (Léonard Euler 1703-1783) consiste à définir les

champs de vitesse en fonction du temps. On s’intéresse alors à caractériser, à

chaque instant et en chaque point de l’espace, la vitesse et l’accélération des

particules fluides. Ceci revient à filmer le système.

Figure 4.2 : Représentation eulérienne.

Cette fois l'observateur est placé en un point M fixe du repère, et regarde passer

les particules fluides devant lui.

Soient ;, ?, ãles composantes de la vitesse 1�� de la particule qui passe par le point Ñ(�, h, �, 7�. La vitesse d’une particule fluide à chaque instant peut être obtenue à

partir des variables indépendantes �, h, � et 7 appelées variables d’Euler.

Les inconnues du mouvement sont les fonctions �, �� et �� telles que :



ä; � ��, h, �, 7)? = ��(�, h, �, 7)ã = ��(�, h, �, 7) (4.4) On détermine donc en fonction du temps la vitesse 1��des particules qui passent

successivement par ce point M.

L’accélération �� est telle que :

M�� = VX��Vµ (4.5)Les composantes de l’accélération �� sont :

¢£¤£¥�Æ = 3;37�Ç = 3?37�ª = 3ã37

(4.6) En tenant compte des relations (4.4), la variation totale de la vitesse selon � est

donnée par :

3; = �;�7 37 + �;�� 3� + �;�h 3h + �;�� 3�(4.7) En divisant chacun des termes de l’équation (4.7) par 37, on a :

3;37 = �;�7 3737 + �;�� 3�37 + �;�h 3h37 + �;�� 3�37 (4.8) Soit : 3;37 = �;�7 + �;�� 3�37 + �;�h 3h37 + �;�� 3�37 (4.8) Or on sait que :

¢£¤£¥; = 3�37? = 3h37ã = 3�37

(4.9)

La relation (4.8) devient :

3;37 = �;�7 + ; �;�� + ? �;�h + ã �;�� (4.10)



C’est l’accélération selon l’axe �.

Suivant l’axe h, on a donc :

3?37 � �?�7 , ; �?�� , ? �?�h , ã �?�� (4.11) Suivant l’axe �, on a donc :

3ã37 = �ã�7 + ; �ã�� + ? �ã�h + ã �ã�� (4.12) Au total,

�� = 31��37 =�� 3;37 = �;�7 + ; �;�� + ? �;�h + ã �;��3?37 = �?�7 + ; �?�� + ? �?�h + ã �?��3ã37 = �ã�7 + ; �ã�� + ? �ã�h + ã �ã��

��(4.13)

Soit sous forme matricielle, on a :

��3;373?373ã37 �

�� =

��;�7�?�7�ã�7 �

��+

��;�� ;�h �;��?�� ?�h �?��ã�� ã�h �ã��

��;?ã�(4.14)

Soit vectoriellement :

�� = dV��dt�!��é%é(!)*$�)$)!%'= ∂V��∂t�!��é%é(!)*$�%$�!%'

+ V�� ∙ grad��V��!��é%é(!)*$��$�+'�)*+' (4.15) 31��37 �4��é�4674¦4:;4=′56��4==43é�2?é4��72¦;=�2�4



3. Ligne de courant

Une ligne tangente en chacun de ses points au vecteur vitesse 1�� à l’instant

considéré, est appelé ligne de courant.

Les lignes de courant changent d’un instant à l’autre. Mais dans un écoulement

permanent, ces lignes de courant ne varient pas et coïncident avec les

trajectoires.

Les lignes de courant satisfont aux équations différentielles suivantes : VºN = VlÍ = Vëì (4.16� où ;, ?, ã sont en général fonction du temps 7.

Ligne de courant : En régime stationnaire, on appelle ligne de courant la courbe

suivant laquelle se déplace un élément de fluide. Une ligne de courant est

tangente en chacun de ses points au vecteur vitesse du fluide en ce point.

Tube de courant : Ensemble de lignes de courant s'appuyant sur une courbe

fermée.

Filet de courant : Tube de courant s'appuyant sur un petit élément de surface ∆c.

On appelle trajectoire la courbe orientée décrite par une particule au cours de

son mouvement, c’est-à-dire l’ensemble de ses positions occupée successivement

entre deux instants.

La section de base ∆c du tube ainsi définie est suffisamment petite pour que la

vitesse du fluide soit la même en tous ses points (répartition uniforme).

Figure 4.3 : Ligne de courant - Tube de courant - Filet de courant.



4. Équation de continuité

L’équation de continuité est une équation fondamentale de la mécanique des

fluides qui exprime le principe de conservation de la masse.

Cette équation exprime le principe de conservation de la masse : la variation de

masse de fluide d’un élément de volume 3? pendant un temps 37 est égale à la

masse de fluide entrante dans ce volume déduite de la masse de fluide sortante.

Figure 4.4 : Variation de masse entre 7 et 7 , 37

La masse de fluide contenue dans le volume 3? � 3�. 3h. 3� est égale au temps 7 à: A. 3�. 3h. 3�

Après un temps 37 dans ce même volume, la masse est égale à :

>A , �A�7 37@ 3�3h3�

On constate donc une variation de cette masse de : �A�7 3�3h3�37(4.17�

D’autre part, la différence des masses fluides entrant par la face (1) et sortant par

la face (2) pendant l’intervalle de temps 37, est donnée, en utilisant la définition :



; � 3�37

par :

íA;î3h3�37 − ïA; + �(A;)�� 3�ð 3h3�37 = −�(A;)�� 3�3h3�37 On fait la même opération pour les faces opposées (3) et (4), ainsi que pour les

faces (5) et (6) ; donc on écrit :

ï�(A?)�h ð 3�3h3�37 ï�(Aã)�� ð 3�3h3�37

Alors, la somme des masses fluides qui entrent dans le parallélépipède diminuée

de celles qui en sortent, est :

− ï�(A;)�� + �(A?)�h + �(Aã)�� ð(4.18) En égalant les équations (3.17) et (3.18), et après divisions par 3�3h3�37, on

obtient : �A�7 + �� (A;) + ��h (A?) + �� (Aã) = 0(4.19) ou ñKñµ + ò. óKX��ô = á(4.20) C’est l’équation de continuité générale, dans le cas où le flux est conservatif.

Supposons maintenant qu’il existe à l’intérieur du parallélépipède, 3�3h3� (voir

figure …) des sources ou des puits qui débitent une masse pendant l’intervalle de

temps, 37, soit : íA:#î3�3h3�37 où :# est le débit par unité de volume, positif pour une source et négatif pour un

puits. Dans ce cas l’équation (4.19) devient : �A�7 + �� (A;) + ��h (A?) + �� (Aã) = A:#(4.21�) �A�7 + ò. óA1��ô = A:#

C’est l’équation de continuité pour un écoulement non conservatif.



Cas particuliers

� Si le fluide est en mouvement permanent et conservatif, la masse

volumique, A, est indépendante du temps et l’équation (4.19) devient : �� A;� , ��h �A?� , �� Aã� � 0(4.20) ou

∇. óA1��ô = 0¦�� A�7 = 0 Dans le cas d’un fluide incompressible, la masse volumique, A , est

constante et l’équation (4.19) devient à :

Aò. 1�� = 0 ⟹ ò.1�� = 0(4.21�) �;�� + �?�h + �ã�� = 05;div1�� = 0(4.21�) où 1�� = (;, ?, ã) est le vecteur vitesse.

Par exemple, pour l’écoulement plan en �h; 1��(;, ?, 0), on écrit : �;�� + �?�h = 0(4.21¦) � Prenons un volume élémentaire, 3�, 3h, 3� = 3? , et multiplions–le par

l’équation (4.21b) ; intégrons ensuite cette quantité par rapport au volume,

on obtient :

§ div1��Ê

3? = 0

Selon le théorème de Gauss, on peut transformer une intégrale de volume

en intégrale de surface (fermée) :

§ div1��Ê

3? = ø 1.3cÊ= 0(4.22)

où 1. est la composante de la vitesse qui est perpendiculaire à la surface du

volume. Donc pour un fluide incompressible, l’interprétation physique de

l’équation (4.22) est la suivante : les débits entrant et sortant à travers une

surface quelconque fermée doivent être égaux.

Par définition, le débit total, ù traversant une surface est donné par :



§ 1.3c+ � ú. c = ù(4.23) où U est la vitesse moyenne sur cette surface, S.

L’équation de continuité telle qu’elle est donnée par l’équation (4.22) est

d’une grande utilité dans toute l’hydrodynamique.

Figure 4.5 : Courant fluide de dimension finie

� Considérons un courant fluide ; un tube de courant ; de dimension finie

(figure 4.5) : on prend ici une conduite de section variable, c et c�, limitée

par des parois solides, c#. Selon l’équation (4.22), le débit ù, passant au

travers des surfaces. c et c# et c� , est égal à zéro. Considérons le débit

sortant comme positif et celui entrant comme négatif, on écrit :

−ù ± ù# + ù� = 0 ou −úc ± ú#c# + ú�c� = 0

il n'y a pas de débit passant au travers des parois solides, ù# = 0; on en

déduit que :

û[ = ûv = û~üý[I[ = ývIv(4.24)

5. Fonction de courant

5.1. Définitions

Considérons l'écoulement conservatif d'un fluide incompressible. Dans ce cas,

l'équation de continuité se formule simplement par : ò. 1�� = 0.

ù ú ú�

c

2 1

c� c#

c#



Par ailleurs, quelle que soit la quantité vectorielle ��, en tout point de l'espace la

relation mathématique ∇��ó∇�� ∧ ��ô � 0¦�4�7 − à − 32�432?ó�57��ô = 0 doit être vérifiée.

Donc, par identification, on peut définir en tout point de l'espace le vecteur

vitesse comme résultant de 1�� = ∇�� ∧ �� , où �� peut alors être qualifié de « potentiel

vecteur ». La connaissance de ce potentiel vecteur en tout point de l'espace

permet donc d'en déduire les trois composantes du vecteur vitesse en ce même

point :

1�� = ∇�� ∧ �� =��; = ��ª�h − ��Ç��? = ��Æ�� − ��ª��ã = ��Ç�� − ��Æ�h �

��

Considérons maintenant que l'écoulement est bidimensionnel, dans le plan (�, h), impliquant que ã = 0 et qu'il y ait invariance par translation suivant � , d'où � ��⁄ = 0. Il reste alors :

1�� =��; = ��ª�h ? = −��ª��ã = 0�

��

Dans ces conditions, on note que chaque vecteur vitesse est défini au moyen de

seulement deux composantes et que celles-ci dérivent d'une seule composante

parmi les trois du potentiel vecteur. On peut donc en conclure que le champ de

vecteurs vitesse d'un écoulement plan dérive d'une quantité scalaire, la fonction

de courant Ψ(�, h) = �ª . La connaissance de cette seule fonction de courant

permet alors d'en déduire le champ de vecteurs vitesse en tout point de

l'écoulement, par simple application de :

¢£¤£¥N = ñ�ñlÍ = −ñ�ñº

(4.25�)



Dans un système de coordonnées cylindriques, la démarche reste la même et

conduit à définir Ψ(�, ^) pour exprimer les composantes cylindriques du vecteur

vitesse comme :

¢£¤£¥; = 1� �Ψ�^? = −�Ψ��

(4.25�)

5.2. Propriétés de la fonction de courant

Partant de la fonction de courant pour définir le vecteur vitesse, l'équation de

continuité appliquée dans le cadre d'un écoulement plan et conservatif d'un

fluide incompressible permet d'établir une propriété remarquable de la fonction

de courant :

ò. 1�� = 0 ⇒ �u�� + �v�h = 0 ⇒ �� >�Ψ�h@ + ��h >−�Ψ��@ = 0 d'où :

ñv�ñºñl = ñv�ñlñº(4.25¦) On en déduit par conséquent que V� est une différentielle totale exacte et

que :

3Ψ = �Ψ�� 3� + �Ψ�h 3h

possède une seule et unique primitive. En pratique, lorsqu'on intègre 3Ψ d'un

point A à un point B du plan, le résultat de l'intégration ne dépend donc pas du

chemin suivi entre ces deux points :

§ 3Ψ"¬ = Ψ −Ψ¬ = Ψ(�, h) −Ψ(�¬, h¬)

Dans le plan de l'écoulement, l'ensemble des points pour lesquels la fonction de

courant renvoie une valeur constante définit une courbe particulière : il s'agit

d'une courbe le long de laquelle Ψ = 0 , où doit être vérifié :



�Ψ�� 3� , �Ψ�h 3h = 0

Or, puisque :

N � ñ�ñl Í = −ñ�ñº

on peut écrire : −?3� , ;3h = 0 , ce qui signifie qu'en chaque point de cette

courbe, doit être vérifié :

3h3� � ?;

Autrement dit, la tangente à la courbe est en tout point identique à l'orientation

du vecteur vitesse (voir figure 4.6). Une courbe qui présente cette propriété est

alors une courbe que l'on a déjà définie comme étant une ligne de courant. Il en

résulte que la fonction de courant est constante le long d'une ligne de

courant.

Figure 4.6 : Fonction de courant



Remarque

A chaque ligne de courant correspond une constante différente comme valeur de

la fonction de courant. On peut ainsi faire l'analogie avec les lignes de niveau des

cartes topographiques : l'ensemble des lieux se trouvant à la même altitude

constitue une courbe de niveau ; la fonction de courant est ainsi l'analogue de

l'altitude. L'analogie peut être poussée en considérant que le passage d'une

courbe de niveau à une autre induit une dénivellation qui est indépendante du

chemin emprunté. Il en est de même pour la fonction de courant dont, on l'a vu,

la différentielle est totale exacte.

5.3. Débit et lignes de courant

Figure 4.7 : Débit et lignes de courant

Considérons, au sein d'un écoulement plan, deux lignes de courant infiniment

voisines (voir figure 4.7) et caractérisées par des fonctions de courant dont les

constantes sont infiniment proches : � et �, ��.

;

?



Considérons par ailleurs deux points M et M' appartenant à chacune de ces deux

lignes de courant et donnons- nous pour objectif de calculer le débit volumique

de l'écoulement à travers le segment [MM']. Il s'agit d'un débit volume élémentaire

qui peut se décomposer en considérant la somme des débits volumes traversant

les projections selon � et h du segment MM'. On a ainsi :

Vû = NVl − ÍVº

où le signe (−) rend compte du fait que le débit à travers 3� contribue

négativement au débit global. Or, les composantes de la vitesse peuvent se

formuler en fonction des dérivées partielles de la fonction de courant :

N = ñ�ñlÍ = −ñ�ñº

on obtient alors cette nouvelle formulation du débit volume élémentaire :

Vû = ñ�ñl Vl , ñ�ñº Vº

On vient ainsi de montrer que :

Vû = V�

Évidemment, l'intérêt de cette équivalence est qu'il est possible de calculer

simplement le débit volumique de fluide s'écoulant entre deux lignes de courant

quelconques en intégrant V� entre deux points quelconques A et B appartenant à

chacune de ces deux lignes (voir figure 4.8) :

û = § Vû²³ = § V�²

³ = �² −�³



Figure 4.8 : Débit volume et lignes de courant

6. Ecoulement irrotationnel et potentiel des vitesses

6.1. Ecoulement irrotationnel

Un écoulement est qualifié d'irrotationnel lorsque les particules fluides ne

subissent pas de rotation pure, autrement dit quand le tenseur des rotations

pures Ö� est nul. Rappelons que ce tenseur antisymétrique est constitué des

composantes du vecteur tourbillon Ω�� et qu'en conséquence ce dernier doit être

nul en tout point de l'écoulement :

Ö� = á −Ωë ΩlΩë á −Ωº−Ωl Ωº á = á� ⇔ �� = ΩºΩlΩl = 0�� Le vecteur tourbillon ��óÖº, Öl, Öëô ou vorticité est un vecteur tel que :

�� [v Q µ��X��(4.26�



Il en résulte donc qu'un écoulement irrotationnel doit vérifier :

Q µ��X�� = 0�� Un écoulement irrotationnel est donc un écoulement pour lequel le vecteur

tourbillon est nul.

On a :

Ω�� = 12 �57��1�� = 12 �� ;�� h ?�� ã�

�

= 12¢¤¥�� h ?�� ã�� − �� ;�� ã� , �� ;��h ?��

�

�� [v >ñìñl < ñÍñë@ �� < [v >ñìñº < ñNñë@ �� , [v >ñÍñº < ñNñl@ â��(4.27)

On peut donc écrire :

¢££¤££¥×Æ = [v>ñìñl − ñÍñë@×Ç = −[v>ñìñº − ñNñë@×ª = [v>ñÍñº − ñNñl@

(4.28)

Pour un écoulement plan en �h, avec la composante ×ª, on définit :

2 �12 >�?�� − �;�h@�3�3h = 3Γ(4.29�) et après intégration, on obtient :

Γ = § 2×ªÄ 3�3h(4.29�) où Γ est la circulation du vecteur vitesse. On déduit donc que la vitesse angulaire

vaut 2×ª lorsque l’écoulement n’est pas irrotationnel.



Le flux du vecteur tourbillon à travers une surface S ouverte quelconque est égal

à la circulation du vecteur vitesse le long du contour C sur lequel cette surface

s’appuie : c’est le théorème de Stokes. Pour un écoulement plan, il se traduit

par :

§ 2×ªÄ 3�3h = Γ = § (;3� , ?3h)� (4.29¦)

Pour les écoulements irrotationnels, la circulation est évidemment nulle.

6.2. Potentiel des vitesses

6.2.1.Définitions

Puisque le vecteur tourbillon n'est autre que le rotationnel du vecteur vitesse :

�� = [v Q µ��X�� il en résulte qu'un écoulement irrotationnel doit vérifier :

Q µ��X�� = á�� Or, quelle que soit la fonction scalaire Φ, la relation mathématique ∇�� ∧ ó∇��Φô = 0�� est toujours vraie. Donc, par identification de 1�� avec ∇��Φ , on peut définir le

champ de vecteurs vitesse d'un écoulement à partir de la seule fonction

scalaireΦ, que l'on nommera désormais potentiel des vitesses. Il en résulte que

les composantes du vecteur vitesse s'expriment en fonction des dérivées partielles

du potentiel des vitesses :

; = �Φ�� ,? = �Φ�h ,ã = �Φ�� (4.30) Sur la base des mêmes hypothèses que celles posées pour définir la fonction de

courant, supposons que l'écoulement soit conservatif en plus d'être irrotationnel :

dans ces conditions, on doit vérifier l'équation de continuité sous sa forme :

∇��Φ = 0��; ce qui conduit à :

�u�� + �v�h + �w�� = 0 ⇒ ��Φ�� + ��Φ�h� + ��Φ�� = 0 ⇒ ∆Φ = 0



On en conclut que le potentiel des vitesses doit vérifier l'équation de Laplace.

La fonction Φ est donc harmonique.

Remarque

Si l'écoulement est irrotationnel, la fonction de courant doit également vérifier

l'équation de Laplace. En effet, on a :

�57��1�� = ∇�� ∧1�� 0�� ⇒��h0 �� ∧

��ñ�ñl<ñ�ñº0 �

�� 0�� ⇒ <ñv�ñºv < ñv�ñlv � á ⇔ ∆� � á

6.2.2. Propriétés du potentiel des vitesses

Figure 4.9



Au sein d'un écoulement plan, l'équation Φ(�, h� � ¦74 définit une courbe qu'on

nommera « équipotentielle ». Le potentiel des vitesses étant constant le long

d'une telle courbe, on doit vérifier :

3Φ � �Φ�x 3� , �Φ�y 3h

Or,

; � �Φ�x 47? = �Φ�y

d'où : ;3� , ?3h = 0 devant être vérifiée en tout point de l'équipotentielle.

Autrement formulé, on a : 3h3x � < ;?

ce qui signifie qu'en chacun de ses points, la courbe est orthogonale au vecteur

vitesse (voir figure 4.9). Il en résulte par ailleurs que les équipotentielles sont

partout orthogonales aux lignes de courant. La figure 4.10 illustre cette

propriété à partir d'un exemple d'écoulement plan où les lignes de courant sont

représentées en traits pleins et les équipotentielles en traits pointillés.

Figure 4.10 : Equipotentielles



Figure 4.11 :

La signification physique de ces équipotentielles se comprend à travers le calcul

de la longueur d'un élément d'arc le long d'une ligne de courant entre deux

équipotentielles (voir figure 4.11). Si les deux équipotentielles sont infiniment

proches, on peut considérer que leurs deux constantes respectives diffèrent d'une

quantité élémentaire 3Φ (l'une est de constante Φ, l'autre de constante Φ , dΦ). Si

on note 3� la longueur de l'élément d'arc, il peut se décomposer en :

3� � �3�� , 3h�

Par ailleurs, on a déjà établi que :

3Φ � �Φ�x 3� , �Φ�y 3h � ;3� , ?3h

avec localement le long de la ligne de courant : 3h3� � ?;

d’où :

3h � ?; 3�



et donc :

3Φ = udx , ?�; 3� � ;� , ?�; 3� � 1�; 3�

On obtient de même

3Φ � 1�; 3�

et on en déduit que :

3� � ;1� 3Φetdy � ?1� 3Φ Ainsi, la longueur de l'élément d'arc se reformule :

3� � ! ;1� 3Φ"� , ! ?1� 3Φ"� � ;� , ?�1d 3Φ��5273� � 3Φ1 (4.31)

Ce résultat permet de statuer sur le fait que la distance entre deux

équipotentielles est inversement proportionnelle à la vitesse locale de

l'écoulement. L'exemple de la figure 4.10 illustre bien qu'en choisissant un écart ∆Φ constant entre les équipotentielles tracées, un resserrement de celles-ci

traduit une accélération de l'écoulement, alors qu'à l'inverse un espacement

traduit une décélération. On comprend alors l'intérêt de représenter, en plus des

lignes de courant, les équipotentielles qui permettent d'avoir une vision complète

de l'écoulement en terme d'évolution spatiale des vitesses.

7. Conditions de Cauchy Riemann

Pour un écoulement en �, h le potentiel des vitesses est tel que :

¢£¤£¥; = �Φ��? = �Φ�h

La fonction de courant � est telle que :



¢£¤£¥; = �Ψ�h; = −�Ψ��

On tire :

¢£¤£¥ñ#ñº = ñ�ñlñ#ñl = −ñ�ñº

(4.32)

Les équations (4.32) représentent les conditions de Cauchy-Riemann.

8. Potentiel complexe des vitesses et exemples d'écoulements plans

8.1. Définition et contexte

Lorsqu'un écoulement plan est conservatif et irrotationnel, il peut être

complètement décrit au moyen d'une fonction analytique complexe appelée

« potentiel complexe des vitesses ». Cette fonction complexe �(�) comporte une

partie réelle correspondant au potentiel des vitesses Φ(�, h) et une partie

imaginaire correspondant à la fonction de courant Ψ(�, h). On définit ainsi :

�(�) � $ + 2%5ù� � � + 2h � �4*'

Remarque

La définition d'une telle fonction analytique est légitime dans la mesure où le

potentiel des vitesses et la fonction de courant vérifient les relations de Cauchy :

�Φ�� = �Ψ�h 47 �Φ�h = −�Ψ�� . L'intérêt de l'utilisation du potentiel complexe des vitesses est double :

• il réunit en une seule fonction les deux fonctions descriptives de

l'écoulement ;

• il permet la construction d'écoulements évolués par simple superposition

d'écoulements élémentaires : �(�) � �(�) + �� , ⋯



8.2. Écoulement uniforme

Considérons l'écoulement plan dont le potentiel complexe des vitesses est donné

par la formule : �(�) = ú�5ùú4�7;64¦56�7�674�é4==4

Par identification des parties réelle et imaginaire avec respectivement le potentiel

des vitesses et la fonction de courant, on obtient :

�(�) = ú(� , 2h) = $ , 2% ⟹ )$ = ú�% = úh

Les lignes de courant sont alors définies par % = ¦74 ⟹ úh = ¦74, d'où h = ¦74∀�: il s’agit donc de droites horizontales (toutes parallèles à l'axe �). Tandis que les

équipotentielles sont définies par $ = ¦74 ⟹ ú� = ¦74 , d'où � = ¦74∀h : il s'agit

alors de droites verticales (toutes parallèles à l'axe h ). Comme il se doit, on

remarque que les lignes de courant sont de fait orthogonales aux équipotentielles.

On peut par ailleurs en déduire le champ de vecteurs vitesse en utilisant soit la

fonction de courant, soit le potentiel des vitesses :

; = �$�� = �%�h = ú ? = �$�h = −�%�� = 0

d'où : 1�� = ú4Æ�� en tout point de l'écoulement, correspondant à un écoulement uniforme de

vitesse ú selon l'axe �, comme le montre la figure 4.12.



Figure 4.12 : Ecoulement rectiligne uniforme de vitesse ú

Remarque

L'utilisation d'une constante ú complexe permet d'orienter l'écoulement uniforme

selon une direction quelconque.

8.3. Écoulement plan autour d'une source ou d'un puits

Considérons l'écoulement plan dont le potentiel complexe des vitesses est

formulé comme suit : �(�) = H=6� où H est une constante réelle.

Pour faciliter le traitement mathématique, il conviendra de travailler

préférentiellement en coordonnées cylindriques ;

ainsi : � = �4*'47�(�) = H=6ó�4*'ô = H=6� , 2H^ = $ , 2% On peut identifier le potentiel des vitesses (partie réelle) et la fonction de courant

(partie imaginaire) :



)$(�, ^� � H=6�%(�, ^� � H^

Les lignes de courant sont telles que %��, ^� � H^ � ¦74 ⟹ ^ � ¦74∀�, autrement

dit il s'agit de droites passant toutes par l'origine du repère. Les équipotentielles

doivent vérifier que $(�, ^� � H=6� = ¦74 ⟹ � � ¦74∀^ : il s'agit de cercles tous

centrés sur l'origine du repère. On vérifie bien ainsi qu'en tout point de

l'écoulement les équipotentielles sont orthogonales aux lignes de courant. Par

ailleurs, le champ de vecteurs vitesse s'obtient en calculant :

¢£¤£¥ ; = �$�� = 1� �%�^

? � 1� �$�^ � < �%�� ⟹ +; � H�

? � 0 3�5ù1�� = H� 4(��

On a donc un écoulement radial, centré sur l'origine du repère, où la vitesse est

inversement proportionnelle à la distance à l'origine (voir figure 4.13). On

remarquera que selon le signe de la constante H, l'écoulement peut être divergent

ou convergent : si H � 0 alors l'écoulement est divergent et correspond à l'effet

d'une source à l'origine ; si H � 0, l'écoulement est convergent et correspond à

l'effet d'un puits à l'origine.

Figure 4.13 : Ecoulement radial autour d’une source



La signification physique de la constante H est en rapport avec le débit généré par

cette source ou ce puits. Pour s'en rendre compte, calculons le débit volumique

de l'écoulement radial à travers un cylindre d'axe g� (perpendiculaire au plan de

l'écoulement), de rayon �, et de hauteur ∆� = 1. L'écoulement ayant lieu à travers

la surface latérale du cylindre, on peut calculer le débit volume ù :

ù =, 1��Ä ∙ 6��3c = § 1�� ∙ 6��-] �3^∆�

où6�� = 4(��et1�� = H� 4(�� On obtient donc :

ù = § H��-] �3^ = 2xH∀�

Ainsi, indépendamment du cylindre choisi, la constante Hest égale, à 2x près, au

débit généré par la source ou le puits.

C'est la raison pour laquelle on formule communément l'écoulement généré par

un puits (ù < 0) ou une source (ù � 0) par :

�(�) = ù2x =6� où ù est le débit volumique par unité de hauteur de l'écoulement plan

(en � ∙ �).

Remarque

Cette formulation vaut pour un puits ou une source centré à l'origine du repère.

On peut très bien envisager un écoulement centré en un point quelconque du

plan, de coordonnées �] � �] , 2h], en formulant simplement :

�� ù2x =6(� − �]). 8.4. Vortex ou tourbillon libre

Considérons l'écoulement plan dont le potentiel complexe des vitesses est formulé

comme suit : �(�) � <2H=6� où H est une constante réelle.



Une nouvelle fois, il est plus approprié de travailler dans un système de

coordonnées cylindriques.

Développons cette fonction pour identifier le potentiel des vitesses et la fonction

de courant : �(�) = −2H=6ó�4*'ô = H^ − 2H=6� = $ , 2% d'où :

)$(�, ^� � H^%(�, ^� � <H=6�

Les lignes de courant sont telles que %(�, ^� � <H=6� = ¦74 ⟹ � � ¦74∀, autrement

dit il s'agit de cercles tous centrés sur l'origine du repère. Les équipotentielles

doivent vérifier que $(�, ^� � H^ = ¦74 ⟹ ^ � ¦74∀� : il s'agit de droites passant

toutes par l'origine du repère. On vérifie encore qu'en tout point de l'écoulement

les équipotentielles sont orthogonales aux lignes de courant. Par ailleurs, le

champ de vecteurs vitesse s'obtient en calculant :

¢£¤£¥ ; = �$�� = 1� �%�^

? � 1� �$�^ � < �%�� ⟹ +; � 0

? � H� 3�5ù1�� = H� 4'��

Figure 4.14 : Ecoulement orthoradial



On a donc un écoulement orthoradial, tournant autour de l'origine du repère,

où la vitesse est inversement proportionnelle à la distance à l'origine (voir figure

4.14). On notera la différence avec l'écoulement radial généré par un puits ou

une source : les lignes de courant et les équipotentielles sont inter-changées. Par

ailleurs, le signe de la constante H définit le sens de rotation : si H � 0 le vortex

tourne dans le sens trigonométrique ; si H � 0, il tourne dans le sens horaire.

La signification physique de la constante H est en rapport avec la circulation du

vecteur vitesse autour de l'origine du vortex. Pour le comprendre, calculons la

circulation du vecteur vitesse le long d'une ligne de courant définie par un cercle

de rayon � centré sur l'origine ; on a ainsi :

Γ = ø 1�� 3=�� = § 1��-] �3^4'�� § H� �3^ � 2xH∀�.�-

]

On en déduit que la circulation est une propriété intrinsèque du vortex. En

conséquence, on formulera plus communément le potentiel complexe des vitesses

correspondant à un vortex en faisant apparaître sa circulation :

�� <2 Γ2x =6� où Γ � 0 le fait tourner dans le sens trigonométrique et Γ < 0 dans le sens horaire.

Remarque

Cette formulation vaut pour un vortex tournant autour de l'origine du repère. On

peut très bien envisager un vortex tournant autour d'un point quelconque du

plan, de coordonnées�] = �] , 2h] , en formulant simplement :

�(�) = −2 Γ2x =6(� − �])

8.5. Doublet et dipôle

Considérons l'association d'un puits et d'une source au sein d'un même

écoulement plan. Positionnons la source de débit ,ù en (� = ,�, h = 0) et le puits

de débit −ù en (� = −�, h = 0) . Il s'agit alors de l'écoulement généré par un

« doublet ». Puisque la superposition d'écoulements élémentaires s'opère par



simple addition de leurs potentiels complexes des vitesses, l'association du puits

et de la source se formule par :

�(�) = , ù2x =6(� − �) − ù2x =6(� , �) Le traitement mathématique de cette fonction est simplifié en faisant appel à

deux systèmes de coordonnées ; définissons alors deux repères cylindriques tels

que :

� � � < � � �4*' �� , � � ��4*'

et reformulons �� en conséquence :

�� ù2x =6(� < =6�� ù2x (=6� , 2 < =6�� < 2^�� ù2x �=6 �� , 2� < ^��

Par identification de la partie réelle avec le potentiel des vitesses et de la partie

imaginaire avec la fonction de courant, on obtient :

$ � ù2x =6 �� % = ù2x ( < ^��

Par définition, les lignes de courant sont telles que % � ¦74 et conduisent à tracer

des courbes vérifiant : m � < ^� � ¦74. La figure 4.15 montre alors que de telles

courbes sont des cercles passant par l'origine du puits et l'origine de la source et

ayant comme centre un point de l'axe h.

Sans faire le calcul du champ de vecteurs vitesse, on oriente intuitivement le

parcours des particules fluides en constatant logiquement que l'écoulement

diverge depuis la source et converge vers le puits.



Figure 4.15 : Doublet

Remarque

Intervertir les positions de la source et du puits ne change que le sens de

parcours des particules le long des lignes de courant, ces dernières restant

inchangées. Par ailleurs, les équipotentielles étant orthogonales en tout point aux

lignes de courant, on comprend graphiquement (voir figure 4.15) qu'elles

prennent la forme de cercles centrés sur l'axe �.

Faisons tendre à présent vers zéro la distance entre le puits et la source : 2� → 0.

Dans ces conditions, on superpose le puits et la source à l'origine, en créant ainsi

un « dipôle ». Il convient alors de reformuler la fonction complexe dans un

système de coordonnées unique :

�� ù2x =6�� < �� < ù2x =6�� , �� ù2x =6 !� < �� , �" � ù2x =6 ��1 < � �⁄ ��1 , � �⁄ �� ù2x =6 �1 < � �⁄1 , � �⁄ �

et comme

lim!→] 11 , � �⁄ � 1 < � �⁄

au premier ordre, on approxime :

�� f ù2x =6�1 < � �⁄ �� ù2x 2=6�1 < � �⁄ � f ù2x 2 !< ��" � < 12x 2�ù�



Posons alors � = 2�ù, le moment dipolaire caractérisant ce dipôle. Il en résulte la

formulation suivante pour le dipôle :

�(�) = − 12x �� où � est une constante, qui peut être considérée complexe et permettre ainsi

d'orienter à loisir le dipôle dans le plan de l'écoulement.

Faisons l'hypothèse d'un moment dipolaire réel positif et étudions l'écoulement

qui en résulte. Il convient logiquement de travailler une fois encore dans un

repère cylindrique et de développer �(�) pour identifier la fonction de courant et le

potentiel des vitesses :

�(�) = − 12x ��4*' = − 12x�� 4*' � < 12x�� (¦5�^ < 2�26^� � $ , 2%

d'où :

$(�, ^) = − 12x�� ¦5�^

%(�, ^) = 12x�� 26^ Une ligne de courant devant vérifier % = ¦74, son équation se formule : �26^� = ¦74 Montrons alors qu'il s'agit de l'équation d'un cercle : �26^� = ¦74 ⟺ ��26^ = ¦74�� ⟺ h = ¦74(�� , h�� ⟺ �� , h� < ¦74h = 0

Appelons 1 la constante et poursuivons :

�� , h� < 1h = 0⟺ �� , >h < 12@� � >12@�

où l'on reconnaît l'équation d'un cercle de rayon 1 2⁄ et de centre se trouvant à 1 2⁄ sur l'axe h. Ainsi, à chaque valeur différente de 1correspond une ligne de

courant prenant la forme d'un cercle passant par l'origine et dont le centre se

trouve sur l'axe h (voir figure 4.16). On remarquera que, logiquement, les

équipotentielles sont aussi des cercles passant par l'origine mais dont les centres

se trouvent sur l'axe �.



Figure 4.16 : Dipôle

Remarque

Les écoulements élémentaires présentés ici peuvent ensuite être associés pour

former des écoulements plus évolués et susceptibles de décrire des situations

concrètes. L'exemple le plus typique étant la superposition d'un écoulement

uniforme avec un dipôle qui conduit à la description d'un écoulement autour d'un

cylindre. Ce même cylindre peut ensuite être considéré en rotation autour de son

axe en introduisant un vortex : l'analyse des vitesses au contact de la paroi du

cylindre montre alors que la répartition des pressions (par simple application

l'équation de Bernoulli) est à l'origine d'une force qui s'exerce perpendiculairement

à la direction de l'écoulement uniforme. Il s'agit de la portance générée par l'effet

Magnus.




Exercice 1

La vitesse dans l'orifice convergent montré à la figure 3 ci-dessous est donnée par :

1�� = 1] >1 , 2�o @ �� , 0�� 1. Calculer l'accélération du fluide à � � o. 2. Calculer le temps nécessaire d'une particule de fluide pour aller de � � 0 à � � o.

3. On suppose à présent que l'écoulement est

bidimensionnel, potentiel, incompressible et donné par la

composante du vecteur vitesse ; � 2��h < h� , 1� où 24�746 /��. �. La masse volumique du fluide est A. Il y

a un point d’arrêt en �1; 1� et 3�0; 0� � 0 avec 3 la fonction

de courant. Quel serait alors le débit masse de fluide qui

passe entre les points ��0; 0� et 4�1; 1�. Exercice 2

On considère l’écoulement bidimensionnel plan donné par les composantes du

vecteur vitesse :

); � <4h? � 4�

1. Justifier que cet écoulement possède une fonction de courant puis l’établir.

2. L'écoulement est-il potentiel ? Déterminer l’expression du potentiel des vitesses

et en déduire si elle existe, la vitesse angulaire locale de l’écoulement.

Exercice 3

Le potentiel des vitesses d’un écoulement permanent et incompressible est donné

par la relation :

Φ = −�2 �� , 2h < �� 1. Trouver les composantes du vecteur -vitesse.

2. Trouver l’équation des lignes de courant dans le plan ��. 3. Prouver que la continuité est satisfaite.

Exercice 3

Pour un écoulement bidimensionnel permanent et incompressible, les

composantes de la vitesse sont données par :

Fig. 3



; = �� , h� < 347? = −2�h , 1 1) Montrer que l’écoulement satisfait à l’équation de continuité.

2) Trouver l’expression de la fonction de courant telle que Ψ(1,0) = −3. 3) L’écoulement est – il potentiel ? Si oui, déterminer le potentiel des vitesses.

Exercice 4

On considère deux écoulements plans stationnaires (5) et (5�� d’un fluide parfait

dont les champs de vitesse locale au point Ñ��, h, �) sont respectivement donnés

par : 1�� 3�h�� < 3��h��, 0��471�� <3�h�� , 3��h��, 0�� 1) Déterminer l’équation cartésienne et la forme des lignes de courant du fluide

pour chacun des deux écoulements plans stationnaires (5� et �5��. 2) Déterminer les équations paramétriques �(7) et h(7) pour chacun des deux

écoulements, de la particule P du fluide de coordonnées (�], h],0) à l’instant 7 = 0 et que l’on suit dans son mouvement.

3) Exprimer la vitesse instantanée ?·(7) de la particule P et l’accélération �(7) de

cette particule dans l’écoulement (5�� à l’aide des constantes �] et h], à partir

de la description lagrangienne.

4) Retrouver l’accélération a de la particule du fluide de l’écoulement �5�� en

utilisant une description eulérienne : on se place au point d’observation M

fixe.

Exercice 5

Soit le potentiel complexe donné par : �� ¦5�8�x� �⁄ �5ù�47��56734�¦56�7�674�. 1) Trouver la fonction de courant Ψ et le potentiel de vitesse Φ. 2) Trouver les composantes de la vitesse ; et ?. On rappelle que

¦5�ℎm � 46 + 462

4. La fonction de courant d’un écoulement plan polaire est 3 � H^ < T=6�, C

et K sont constants. Trouvez le potentiel de vitesse. Tracez les lignes

équipotentielles et dire de quel écoulement il s’agit.



CHAPITRE 5

DYNAMIQUE DES LIQUIDES PARFAITS INCOMPRESSIBLES

La dynamique des fluides consiste à étudier le mouvement des particules fluides

soumises à un système de forces.

Dans la dynamique des liquides couramment appelée hydrodynamique, les forces

de compressibilités sont négligées. Si les forces dues à la viscosité ne se

manifestent pas, il n’y a donc pas de mouvement relatif entre les particules du

liquide : on parle alors de l’hydrodynamique du liquide parfait.

Ce chapitre traite du développement et des applications des équations

fondamentale de la dynamique des fluides.

1. Equations de la dynamique des fluides parfaits

Soit un petit cylindre d’eau qui se déplace comme l’indique la figure 5.1.

Figure 5.1 : Canal avec déversoir

En raisonnant, dans un premier temps, suivant la verticale (�), les forces qui

agissent sur cet élément de volume 3? = 3c. 3�, sont :

� La force de volume : A. �. 3c3�

� Les forces de pression :

�3c47 >� , �� 3�@ 3c

� La force d’inertie (accélération) :

A 3ã37 (3c3�).



où ã est la composante de la vitesse 1��(;, ?, ã) selon la direction � et 7 représente

le temps.

Etant donné que la masse volumique reste constante, l’ensemble des forces

satisfait l’équation de Newton : 7(�5�¦4�� 4� e ��¦¦é=é��7256) La condition d’équilibre des forces selon � s’écrit comme suit :

�3c −>� , �� 3�@ 3c , A. �. 3c3� � A 3ã37 3c3�

et par unité de volume, on a :

<�� + A. � � A 3ã37 La condition d’équilibre des forces dans les autres directions peut s’écrire de

façon analogue et on a :

¢££¤££¥5� ∶ A. � < �� A 3;375h ∶ A. h < ��h � A 3?375� ∶ A. � < �� A3ã37

⟹ A ��h�� <��h��

�� A

��3;373?373ã37 �

��

ou

K9�� < sQMV��W � KVX��Vµ (5.1) L’équation (3) est appelée équation générale de la dynamique des fluides

parfaits ou Equation d’Euler.

L’interprétation physique de l’équation (3) est la suivante :

K9�� Q:L;VLÍ ßNrLWMQN<PµéVLÍ ßNrL, ó−sQMV��Wô�� Q:L;VLWQL;;P <WMQN<PµéVLÍ ßNrL = KVX��Vµ=� Q:L;V>P<LQµPLWMQN<PµéVLÍ ßNrL



2. Equations de l’hydrodynamique

Dans l’équation (5.1), �� représente le vecteur de force de volume par unité de

masse, dont les trois composantes sont (�, h, �). En hydrodynamique comme en hydrostatique, on ne considère en général que le

champ gravitationnel terrestre, soit :

�� = �� ⟹ ��h�� = � 00−� (5.2) où � est l’accélération de la pesanteur.

Ainsi l’équation (5.1) devient :

KVX��Vµ � Ks�� < sQMV��W

⟹ K��VNVµVÍVµVìVµ�

�� A� 00−� <

��h��

��

⟹¢££¤££¥KVNVµ = −��K VÍVµ = −��hK VìVµ = −A� < ��h

(5.3) Les équations (5.3) sont appelées équations de l’hydrodynamique pour

l’écoulement d’un fluide parfait à masse volumique constante dans le champ de

pesanteur.

Le vecteur vitesse 1��(;, ?, ã) est une fonction de l’espace et du temps, donc :

1�� ;?ã� � �(�, h, �; 7) La dérivée totale de la vitesse 31�� 37⁄ s’écrit : 3;37 � �;�7 + ; �;�� + ? �;�h + ã �;��3?37 � �?�7 + ; �?�� + ? �?�h + ã �?��3ã37 � �ã�7 + ; �ã�� + ? �ã�h + ã �ã��



⟹ VX��Vµ�³::éßéQMµP <µ µMßL= ñX��ñµ�M::éßéQMµP <ß :MßL

, X�� ∙ sQMV????????X��M::éßéQMµP <: <ÍL:µPÍL (5.4)

En utilisant la définition de la dérivée totale de la vitesse, équation (5.4), les

équations de l’hydrodynamique, équation (5.3), s’écrivent : �;�7 + ; �;�� + ? �;�h + ã �;�� < 1A �� ?�7 , ; �?�� , ? �?�h , ã �?�� = −1A ��h �ã�7 , ; �ã�� , ? �ã�h , ã �ã�� = −1A �� − �

⟹ ñX��ñµ , X�� ∙ sQMV????????X�� = −[KsQMV��(W , Ksw)(5.5) Si l’écoulement est stationnaire (permanent), l’accélération locale

@A��@) est nulle.

Si l’écoulement est uniforme alors l’accélération convective X�� ∙ sQMV????????X�� est nulle.

Dans un écoulement stationnaire uniforme, l’accélération totale VX��Vµ est donc nulle.

Le mouvement de fluide en écoulement parfait (de viscosité négligeable) obéit à

deux équations fondamentales :

- L’équation fondamentale de la dynamique des fluides parfaits ou Equation

d’Euler

- L’équation de Bernoulli.

3. Equation de Bernoulli

L’équation de Bernoulli traduit le bilan énergétique du fluide. En partant de

l’équation d’Euler (5.1) dans le champ gravitationnel

31��37 � �1��7 + 1�� ∙ sQMV????????1�� < 1A��3�� , A�8� On sait que :

1��. sQMV????????1�� 12��3��1� < 1�� ∧ �57��1��



Alors l’équation d’Euler peut s’écrire : ñX��ñµ , 12��3��1� < 1�� ∧ �57��1�� = −[KsQMV��(W , Ksw)(5.6) Si l’écoulement est permanent

@A��@) � 0

Si l’écoulement est irrotationnel alors �57��1�� = 0�� alors on a : 12��3��1� � < 1A��3�� , A�8� ��3�� 1�2 � , 1A ��3�� , A�8� � 0

Si le fluide est incompressible alors on a :

��3�� 1�2 � , ��3�� >�A , �8@ � 0 ��3�� 1�2 , �A , �8� � 0

Xvv , WK , sw = :;µL(5.7) C’est l’équation de Bernoulli. Cette équation est valable en tout point du fluide

incompressible en mouvement permanent et irrotationnel.

L’équation de Bernoulli est une équation de base de la dynamique des fluides.

L’équation de Bernoulli peut encore s’écrire :

Xvvs + WKs + B � :;µL(C. à) Avec : 1�2� :ℎ�;74;�3;4à=�?274��4 �A� ∶ 8�;74;�3;4à=��4��256

D ∶ =�¦ô743;�5267 1�2� , �A� , D � �)A� ��4=é4¦ℎ��4757�=4



� ∗A��/!&)'&(.*'ª$-)(*0&'� �A� , D

L’équation de Bernoulli appliquée entre les points 1 et 2 donne : 1�2� , �A� , D � 1��2� , ��A� , D�

4. Applications de l’équation de Bernoulli

Gardant à l'esprit que l'équation de Bernoulli établie précédemment s'applique

dans un cadre restreint (écoulement stationnaire d'un fluide incompressible non

visqueux), il est néanmoins possible de l'utiliser pour décrire le fonctionnement

d'un certain nombre d'applications concrètes ou de phénomènes naturels sur

lesquels s'appuient certains dispositifs technologiques.

Parmi ces applications, nous proposons ici d'en détailler quelques -unes, choisies

pour leur simplicité et leur caractère édifiant : le tube de Pitot, permettant une

mesure de la vitesse d'écoulement ; l'effet Venturi, sur lequel repose le principe

d'une mesure de débit en conduite ; la caractérisation de la vidange d'un

réservoir (formule de Torricelli) ; l'origine du phénomène de cavitation.

4.1. Tube de Pitot

Dans son principe, il s'agit d'un dispositif extrêmement simple qui permet une

mesure de la vitesse d'écoulement d'un fluide. L'objet présente une forme profilée,

et creux afin d'être rempli du fluide dans lequel il est immergé, et doit être muni

1

2



de deux prises de pression (tubes manométriques). Comme le montre le schéma

de la figure 5.2, l'un des deux tubes manométriques est relié au front d'attaque

de l'objet (point d'arrêt caractérisé par une vitesse d'écoulement nulle), alors que

l'autre est en prise avec le fluide statique remplissant l'objet.

Figure 5.2 : Tube de Pitot

En supposant que le fluide est non visqueux, incompressible et que l'écoulement

est stationnaire et uniforme en amont de l'objet, on va pouvoir identifier un

certain nombre de lignes de courant et y appliquer l'équation de Bernoulli. On

supposera par ailleurs que toutes ces lignes de courant sont approximativement

à la même altitude.

Le long de la ligne de courant passant par le point d'arrêt A et le point O, on a :

�] , A��] , 12 A?]� � �¬ , A��¬ , 12 A?¬��?4¦�] f �¬, ?] � ú47?¬ = 0. Par conséquent, on obtient la pression de stagnation :

�¬ � �] , 12 Aú�

où �] et ú sont respectivement la pression et la vitesse de l'écoulement uniforme

(écoulement amont, non perturbé par la présence de l'objet sonde). Par

application de la loi de l'hydrostatique, cette pression de stagnation est liée au

niveau affiché dans le premier tube manométrique.



Le long de la ligne de courant passant par les points O' et B', on a :

�] , A��] , 12A?]� � �� , A�� , 12A?�� ?4¦�] f �� Les points O et O' étant infiniment proches, on peut considérer que �F� = �F et ?F� = ?F = ú; d'autre part, le point B' est situé dans une zone où l'écoulement

redevient uniforme (les lignes de courant redeviennent rectilignes et parallèles) : il

s'ensuit que ?G� f ú, et l'équation de Bernoulli se résume à : �� = �F� = �F.

Le point B est situé au niveau de l'orifice permettant au dispositif d'être rempli

par le fluide. En conséquence, la pression en B est la même que celle qui règne de

manière uniforme à l'intérieur et qui est mesurée par le second tube

manométrique. Par ailleurs, puisqu'à l'aplomb du point B, les lignes de courant

sont rectilignes et parallèles, la loi de l'hydrostatique s'applique pour donner :

�� , A�� , A��?4¦�� = �

Ce qui conduit simplement à �� f �

Pour résumer, on vient de montrer que � f �F et �¬ = �] , � Aú� . Or, la différence

de niveau ∆ℎ lue grâce aux deux tubes manométriques permet d'évaluer la

différence de pression entre les points A et B :

�¬ − � = A�∆ℎ�¬ − � = 12Aú�H⟹ ú = �2�∆ℎ

Il en résulte que ce dispositif permet une mesure quasi directe de la vitesse

d'écoulement uniforme.

Remarque

La fiabilité de cette mesure repose essentiellement sur la qualité de la prise de

pression statique (point B) : la paroi doit être lisse et sans imperfection au

voisinage de l'orifice (évitant ainsi une surévaluation ou sous-évaluation de la



pression). Bien qu'extrêmement simple et rudimentaire, ce dispositif équipe

notamment les avions modernes pour évaluer leur vitesse de vol.

4.2. Effet Venturi

Associé au principe de conservation du débit d'un écoulement en conduite, la

conservation de la pression totale le long des lignes de courant (équation de

Bernoulli) conduit naturellement à observer l'effet Venturi : un élargissement

(rétrécissement) local de la conduite provoque localement une surpression

(dépression).

Figure 5.3 : Effet de Venturi

Cet effet est à la base d'un dispositif simple permettant la mesure du débit d'un

écoulement.

Exemple

Il suffit d'aménager un rétrécissement le long d'une conduite cylindrique dans

laquelle s'écoule un fluide supposé parfait et incompressible. Comme le montre le

schéma de la figure 5.3, le fluide s'écoule à travers une section c¬ à la vitesse

uniforme ?¬ avant d'atteindre le rétrécissement où la section c < c¬ implique une

vitesse ? � ?¬. En effet, la conservation du débit volumique :Aimpose :



:+ � c? = ¦74, 47356¦c¬?¬ = c? ⟹ c¬c = ??¬ � 1

On peut ensuite appliquer l'équation de Bernoulli sur une ligne de courant

passant par les deux points A et B :

�¬ , A��¬ , 12A?¬� � � , A�� , 12A?�

La conduite étant horizontale, on a �¬ � � ; par ailleurs, on supposera que la

pression est uniforme sur une même section : on a donc �¬ � �¬� et � � �� , où A'

et B' appartiennent aux mêmes sections que respectivement A et B, et sont situés

à l'entrée de deux tubes manométriques. Par conséquent, la dénivellation lue ∆ℎ = �¬� − �� est une mesure de la différence de pression entre A' et B' :

�] = �¬� − A��¬> < �¬� � �> < A��> < �� ⟹ �¬> − �> = A� ��¬> < �>��I∆/ , � < �¬��I]

Donc : �¬ − � = �¬> − �> = A�∆ℎ , et par ailleurs : �¬ − � = � A�?� < ?¬�� . Par

identification des deux résultats, on obtient :

?� < ?¬� � 2�∆ℎ

On peut alors introduire le débit :A � c¬?¬ � c?, pour exprimer :

?¬ � :Ac¬? � :Ac¬�£�

£�⟹ ?� < ?¬� � :A� � 1c� < 1c¬�� 2�∆ℎ

et obtenir une formulation du débit directement fonction de la dénivellation

observée à l'aide des deux manomètres :

:A � J 2�∆ℎ1c� < 1c¬�



Il est évidemment possible d'en déduire les vitesses d'écoulement au niveau du

rétrécissement et en amont :

?¬ = :Ac¬ � J 2�∆ℎc¬�c� < 1 47? = :Ac � J 2�∆ℎ1 − c�c¬�

Remarque

Ce dispositif est couramment utilisé comme élément intégré aux circuits

hydrauliques et permet une mesure simple du débit d'écoulement. Il génère

toutefois des pertes de charge : c'est donc un dispositif de mesure qui dissipe de

l'énergie. La perte de charge peut facilement être évaluée en plaçant en amont du

rétrécissement un troisième tube manométrique. Compte tenu du principe de

conservation du débit, à section égale, la vitesse y est la même que ?¬ .

L'application de l'équation de Bernoulli entre l'amont et l'aval impose donc d'avoir

la même pression si le fluide est parfait (non visqueux). Or, une mesure réelle

montre que la pression en aval est inférieure à celle en amont : cela signifie

simplement que lorsque les frottements ne peuvent être négligés (viscosité non

nulle) l'équation de Bernoulli établie pour un fluide parfait n'est pas valable ; le

rétrécissement génère en pratique une chute de la pression totale que l'on

qualifiera de perte de charge singulière (voir chapitre à venir sur les pertes de

charge).

4.3. Vidange d'un réservoir - formule de Torricelli

Considérons un réservoir de grande section, rempli d'un liquide qui s'écoule à

travers un orifice de section faible (devant celle du réservoir) et situé à une

hauteur ± sous la surface libre (voir figure 5.4). La pression atmosphérique

s'exerce à la fois sur la surface libre et sur le jet à la sortie de l'orifice. En

supposant que le liquide est incompressible et non visqueux, il est possible

d'utiliser l'équation de Bernoulli pour déterminer la vitesse de vidange du

réservoir.



Figure 5.4 : Vidange d'un réservoir - formule de Torricelli

Considérons un point A de la surface libre et un point B situé dans le jet. Il existe

une ligne de courant passant par ces deux points et le long de laquelle on peut

appliquer l'équation de Bernoulli :

�¬ , A��¬ , 12 A?¬� � � , A�� , 12 A?�

Compte tenu du rapport de section entre le réservoir et l'orifice, on peut y négliger ?¬ devant ?. Par ailleurs, le point A étant situé sur la surface libre, on a : �¬ � �].

Dans le domaine du jet où se trouve le point B, les lignes de courant sont

rectilignes et parallèle et par conséquent la pression motrice �∗ est uniforme sur

une même section. En négligeant les variations d'altitude au sein du jet, il

s'ensuit que la pression statique est également à peu près uniforme sur une

même section. Or, par continuité de la pression à l'interface jet-atmosphère, la

pression atmosphérique règne donc en tout point du jet (ce résultat peut être

généralisé à toute situation dans laquelle un liquide s'écoule sous la forme d'un

jet libre).



Fondamental

On en déduit donc que � = �], et l'équation de Bernoulli prend la forme suivante :

�¬ , A��¬ , 0 = �] , A�� , 12A?� ⟹ 12A?� � A��¬ < �� A�±

qui, après simplification, permet d'écrire la formule de Torricelli :

Í² � �vsK

Remarque

La vitesse d'écoulement du liquide est indépendante de sa masse volumique ; le

seul paramètre dont dépend la vitesse de vidange est donc la hauteur de liquide

séparant l'orifice de la surface libre.

L'évaluation du débit de vidange nécessite de prendre en compte la contraction

du jet. Comme le montre l'encart de la figure 5.5, la vitesse évaluée

précédemment correspond à une section plus faible que celle de l'orifice. En

conséquence, le débit volumique de vidange s'obtient en calculant :

:A � ?n

où n est la section du jet où les lignes de courant peuvent être considérées

rectilignes et parallèles. On peut ainsi définir un coefficient de contraction H� = n c⁄ , lequel dépend essentiellement du type de paroi ainsi que du profil de

l'orifice dans la paroi. On peut alors reformuler le débit de vidange ainsi :

:A � ?cH� Exemple

La figure 5.6 donne de manière non exhaustive quelques valeurs typiques de ce

coefficient de contraction.



Figure 5.6 : Valeurs typiques de quelques coefficients de contraction



PLANCHES D’EXERCICES

Exercice 1 :

Le champ des vitesses d’un écoulement incompressible est donné par :

1�� = �h��, �� où � = 3 /�/ et les coordonnées � et h étant en m.

Sachant que la masse volumique du fluide est A � 750��/ �, calculer :

1) L’accélération des particules au point (1, 0) 2) Le gradient de pression au point (1, 0)�2�� <��

Exercice 2

Un réservoir clos de grandes dimensions contient un liquide surmonté d’air à

pression � = 70 �� au – dessus de la pression atmosphérique. A 1,20 au –

dessus de la surface libre se trouve un petit orifice par où s’échappe le fluide.

Calculer la vitesse d’écoulement dans la section contractée dans les trois cas

suivants.

1) Le liquide est de l’eau

2) Le liquide est de l’huile de masse volumique 700��/ �. 3) Le liquide est formé d’une couche de 30¦ d’eau surmontée d’une couche

de 90¦ d’huile de masse volumique 700��/ �. On donne � � 10 /��

Exercice 3

Un siphon permet l’écoulement de l’eau d’un réservoir de grande dimension. Il est

constitué d’un tuyau de 0,10 de diamètre dont la ligne centrale s’élève de 4 au

– dessus de la surface libre.

1) Quelle débit maximal peut – être espérer obtenir avec ce dispositif sans

qu’il ne se produise de cavitation ?

2) Quelle doit – être alors la côte de la sortie c?

AirP]1,20 1��



Prendre � � 10 /��, ��7 � 1��. 3) Tracer alors les lignes de charge et piézométrique de l’installation. On

admettra que la pression atmosphérique est égale à 1��.

Corrections des exercices

Exercice 1

a) Calcul de l’accélération

On a :

1�� ); = �h? = ��

On sait que

�� = 31��37

��:¢£¤£¥�Æ = 3;37�Ç = 3?37

⟹¢£¤£¥�Æ = �;�7 , ; �;�� , ? �;�h�Ç = �?�7 , ; �?�� , ? �?�h

�� ä�Æ = �� ∙ ��Ç = �h ∙ � ⟹ �� ä�Æ = ��

�Ç � ��h

Aux points �1, 0) on a :

�� ä�Æ = ��Ç � 0 3�5ù�� = �� , 0��

‖��‖ = �(�� , 0� � ��

0,1

c

��7

Ñ

� ��7



‖��‖ = �� /�� ‖��‖ = 9 /��

b) Calcul du ��3�� on a :

A 31��37 = A�� − ��3��

A�� = A�� − ��3��

��3�� = Aó�� − ��ô ⟹

¢£¤£¥�� = A(�Æ − �Æ)��h = Aó�Ç − �Çô ⟹ ¢£¤

£¥�� = −A��h � <A�

D’où

��3�� = (−A�� − A�� Exercice 2 :

On applique la formule de Bernoulli entre un point de la section contractée et un

point de réservoir à vitesse nulle et à la même côte :

Avec 1 � 047D � D� 1�2� , �A� , D � 1��2� , ��A� , D�

Donc : 1��2� � � < ��A�

1) Le liquide est de l’eau A� � 10d�/ �D] < D� � 1,20 � < �� ] , A��D] < D�� 7 × 1000 , 10d × 1,2 1� � 1 � √38 = 6,16 /� 2) Le liquide est de l’huile : A′� � 7000�/ �D] < D� � 1,20 � < �� ] , A′��D] < D�� 7 × 1000 , 7 × 10� e 1,2 1��2� � 2,2

1� � 1 � √44 = 6,63 /�



3) cas de l’eau surmontée d’huile. En appelant D la côte de la surface de

séparation nous avons : � < �� ] , A��D < D�� , A��D] < D� = 7 × 10� , 10d × 0,3 , 7 × 10� e 0,9

ou : 1��2� � 32,6 (3�4�;). 1� � 1 � 5,7 /�.

Cette vitesse n’est pas intermédiaire entre les 2 autres comme on aurait pu

le penser à priori.



CHAPITRE 6 :

DYNAMIQUE DES FLUIDES REELS

L’écoulement d’un fluide réel engendre des forces de frottements dues à la

viscosité. La présence de ces forces induit une perte d’énergie qui est une

transformation inversible de l’énergie thermique. Dans ce chapitre, on étudiera

les conditions d’équilibre des fluides réels et incompatibles c’est – à – dire des

liquides réels où les forces de frottement jouent un rôle important. Dans

l’écoulement des liquides réels ; il s’impose de faire la distinction entre les

écoulements laminaires et les écoulements turbulents.

1. Les équations de Navier–Stokes

Les équations générales de la dynamique des fluides réels sont appelées les

équations de Navier-Stockes et sont valables pour un écoulement laminaire d’un

fluide incompressible. Elles s’écrivent de la façon suivante :

A 31��37 = A�� − ��3�� , _∇�1��(6.1) avec :

A 31��37 ∶ �5�¦43�264�724��;627é34?5=; 4 A�� ∶ �5�¦434?5=; 4��;627é?5=; 4

��3�� ∶ �5�¦434��4��256��;627é34?5=; 4 _∇�1�� ∶ �5�¦434?2�¦5�27é��;627é34?5=; 4

Sous la forme développée, en divisant (6.1) par A, on a : 31��37 = �� − 1A��3�� , `∇�1��?4¦1�� ;?ã�, �� h�� 47` = _A

¢££¤££¥3;37 = � − 1A �� , `∇�. ;3?37 � h < 1A ��h , `∇�. ?3ã37 � � < 1A �� , `∇�. ã



En hydrodynamique comme en hydrostatique, on ne tient compte en général que

du champ gravitationnel terrestre �� où �� est l’accélération de la pesanteur.

¢££¤££¥ �;�7 , ; �;�� , ? �;�h , ã �;�� = 1A �� , `∇�. ;

�?�7 + ; �?�� + ? �?�h + ã �?�� 1A ��h , `∇�. ?�ã�7 + ; �ã�� + ? �ã�h + ã �ã�� 1A �� , `∇�. ã < �

ñX��ñµ + X��sQMV��X�� <[KsQMV��(W + Ksw) + aòv. X��(6.2) • Pour plus des fluides parfaits, où ` � 0, les équations (6.2) se réduisent aux

équations d’Euler.

• Pour des fluides parfaits ou réels qui ne sont pas en mouvement donc 1�� = 0��, les équations (6.2) se réduisent aux équations de l’hydrostatique.

Les équations de Navier – Stokes et l’équation de continuité sont les quatre

équations simultanées nécessaires pour résoudre les problèmes de la mécanique

des fluides. Elles comportent quatre inconnues, à savoir les composantes du

vecteur vitesse 1��(;; ?; ã) et la pression �. La solution de ce système d’équation

requiert des conditions aux limites.

Dans le cas des fluides réels, la condition d’adhérence à la paroi doit être

satisfaite c’est – à – dire les composantes normale et tangentielle de la vitesse à la

paroi doivent être nulles.

2. Exercices

Exercice 1

Le champ de vitesse d’un écoulement bidimensionnel est donné par :

1�� = (�� < h� , �� − (2�h , h)�� 1) Déterminer au point (1, 2):

a- Les composantes �Æ et �Çdu vecteur accélération ��. b- La composante de la vitesse dans la direction ^ = 40°.



2) En supposant que le champ de pression est : � = 3�� < 4h� est associé à ce

champ de vitesse, déterminez le taux de variation 3�/37de la pression au

point (1, 2). Exercice 2

Simplifier les équations de Navier Stokes pour un écoulement incompressible

permanent entre deux plaques parallèles et horizontales, sachant que ;(h) = ; et ã = 0.



CHAPITRE 7 :

ECOULEMENT VISQUEUX DANS LES CONDUITES ET CANAUX

Nous allons étudier dans ce chapitre, l’écoulement visqueux dans les conduites et

canaux et présenter les méthodes de calcul pour déterminer la chute de pression

et les effets visqueux. La première étape consiste à déterminer le régime de

l’écoulement (laminaire, transitoire ou turbulent).

1- Caractérisation du régime d’écoulement

Le paramètre principal qui permet de caractériser un régime d’écoulement est le

Nombre de Reynolds (Re) qui est défini par :

y4 = 1 ∙ 3 (7.1) où 1 est la vitesse moyenne (vitesse débitante) en m/s. 3 est le diamètre de la canalisation en m ` est la viscosité cinématique en m/s y4 est sans unité

5�` = _A 356¦y4 = 1. 3_/A � A. 1. 3_

où _ est la viscosité dynamique.

L’expérience montre que dans une conduite si :

- y4 < 2000 alors l’écoulement est laminaire

- 2000 < y4 < 3000 alors l’écoulement est transitoire ou intermédiaire

- y4 � 3000 alors le régime est turbulent.Lorsqu'un écoulement en conduite est turbulent, le profil de vitesse n'est plus

parabolique comme c'est le cas en régime laminaire. Il s'uniformise sur un large

domaine autour de l'axe et présente en conséquence une brusque variation au

voisinage des parois.



Figure 6.1 : Profils d’écoulement laminaire et turbulent 2- Calcul des pertes de charges

Lorsqu’on considère un fluide réel les pertes d’énergies spécifiques appelées

pertes de charge dépendent de la forme, des dimensions et de la rugosité de la

canalisation, de la vitesse d’écoulement et de la viscosité du liquide. La différence

de pression ∆� � � < �� entre les points 1 47 2 d’un circuit hydraulique a pour

origine :

� Les frottements du fluide sur la paroi interne de la tuyauterie, on les

appelle perte de charge linéaire ou régulière ou systématique.

� La résistance à l’écoulement provoquée par les accidents de parcours

(coudes, élargissement ou rétrécissement de section, organe de réglage,

etc.) est les pertes de charge singulières ou accidentelles.

Le problème du calcul de ces pertes de charge met en présence les principales

grandeurs suivantes :

• Un fluide caractérisé par : sa masse volumique et sa viscosité cinématique

• Un tuyau caractérisé par : sa section (forme et dimension) en générale

circulaire, sa longueur o et sa rugosité Q. Ces éléments sont liés par des grandeurs, par la vitesse moyenne d’écoulement

ou le débit volume et le nombre de Reynold qui joue un primordial dans le calcul

des pertes de charge.



2.1. Pertes de charge singulière

Ces pertes de charge sont proportionnelles au carré de la vitesse. On a

R = T ∙ 1�2� (7.2) où T est le coefficient de pertes de charge singulière sans unité 1 : vitesse moyenne ou vitesse débitante R : en mètre de colonne de fluide ou liquide.

On peut écrire :

∆� = T ∙ A 1�2 (7.3) ∆� est une différence de pression (Pa).



Raccordement d’une conduite avec un grand réservoir

Départ

Sans saillie à l’intérieur du réservoir, avec raccordement à angles vifs

Sans saillie à l’intérieur du réservoir, avec raccordement à angles vifs

Avec saillie à l’intérieur du réservoir

Sans saillie à l’intérieur du réservoir, avec raccordement de profil arrondi

T = 0,5

T � 1

T � 1

Pour une saillie dont la

longueur est comprise

T � 0,05

Cette valeur est une moyenne, elle

dépend du profil de l’arrondi.



Arrivée

Coudes

Arrondi

r/d => 1 1,5 2 2,5 3 ^(°�

11,25 0,037 0,021 0,018 0,017 0,017

22,5 0,074 0,043 0,036 0,034 0,034

30 0,098 0,057 0,048 0,046 0,045

45 0,147 0,085 0,073 0,069 0,067

60 0,196 0,114 0,097 0,092 0,090

90 0,294 0,170 0,145 0,138 0,134

180 0,589 0,341 0,291 0,275 0,269

T � 1

T � >1 < cc�@� , 19 >cc�@�

c� ≫ c ⟹ T � 1.

T � �0,131 , 1,847 > 12y]@�, � 90°

^4634��é�

^



Brusque

T(°� 22,5 30 45 60 90

K 0,07 0,11 0,24 0,47 1,13

Tés

Branchement de prise à 90° de même diamètre et à angles vifs

ù"/ù) ù"/ù) → 0 0,2 0,4 0,6 0,8 ù"/ù) → 1

T) 0,40 0,26 0,15 0,06 0,02 0,00

T" 1,00 1,01 1,05 1,15 1,32 1,45

Branchement d’amenée à 90° de même diamètre et à angles vifs

K est indépendant du diamètre

∆±( � T( 1)�2�

∆±" � T" 1)�2�

∆±( � T( 1)�2�

∆±" � T"1)�2�



ù"/ù) ù"/ù) → 0 0,1 0,2 0,4 0,8 ù"/ù) → 1

T) 0 0,16 0,27 0,46 0,60 0,55

T" -0,60 -0,37 -0,18 0,26 0,94 1,20

Cônes

Convergent

Divergent

>11�@ ^ 3 6 8 10 12 14 16 20 24 30 40

0 0,03 0,08 0,12 0,15 0,19 0,23 0,28 0,37 0,46 0,62 0,90

0,05 0,03 0,07 0,10 0,14 0,17 0,21 0,25 0,33 0,42 0,56 0,82

0,1 0,03 0,06 0,09 0,12 0,16 0,19 0,22 0,30 0,37 0,50 0,73

0,2 0,02 0,05 0,07 0,10 0,12 0,15 0,18 0,23 0,30 0,39 0,58

0,3 0,02 0,04 0,06 0,07 0,09 0,11 0,13 0,18 0,23 0,30 0,44

0,4 0,01 0,03 0,04 0,05 0,07 0,08 0,10 0,13 0,17 0,22 0,33

0,5 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,09 0,12 0,15 0,23

0,6 0,01 0,01 0,02 0,02 0,03 0,04 0,06 0,06 0,07 0,10 0,14

Changement brusque de diamètre

Rétrécissement

La perte de charge est négligeable.

T � 3,2. >tan >2@@,� . �>1 < 11�@�� Si ^ � 20° il y a décollement et le

comportement est identique à celui d’un

élargissement brusque

T � 0,5. �1 < >1�1@��



1�/1 0,01 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

T 0,500 0,495 0,480 0,455 0,420 0,375 0,320 0,255 0,180 0,095

Elargissement

1�/1 0,01 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

T 1,000 0,980 0,922 0,829 0,708 0,569 0,424 0,287 0,175 0,109

Appareils de robinetterie

Vanne opercule

�1 18

28 38

48 58

68 78

T 0,07 0,26 0,81 2,06 5,52 17 98

T � >1 < cc�@� , 19 >cc�@�



Vanne à papillon

m° 5 10 15 20 30 40 45 50 60 70 T 0,24 0,52 0,90 1,5 3,9 11 19 33 118 750

Robinets à Boisseau

m° 5 10 15 20 30 40 45 50 55 60 T 0,05 0,29 0,75 1,6 5,5 17 31 53 110 206

Clapet à battant

2.2. Pertes de charge linéaire

Ce genre de perte est causé par le frottement intérieur qui se produit dans le

liquide. Il se rencontre dans les tuyaux lisses aussi bien que dans les tuyaux

rugueux. Entre deux points séparés par une longueur o dans un tuyau de

diamètre 1 apparaît :

m° 20 30 40 45 50 55 60 65 70 75 T 1,7 3,2 6,6 9,5 14 20 30 42 62 90



- Une perte de charge exprimée en mètre de colonne de liquide ( . ¦. o) R � V ∙ o1 ∙ 1�2� (7.4)

Où V : le coefficient de perte de charge linéaire

o: la longueur (m)

1: le diamètre (m)

1: la vitesse moyenne (m/s)

Différence de pression(��) ∆� = V ∙ o1 ∙ A ∙ 1�2� 46��(7.5)

Cas de l’écoulement laminaire (uL < vááá) Dans ce le coefficient V se calcule par la formule :

V � 64y4 �?4¦y4 = 11 (7.6) Loi de Poiseuille

Pour un écoulement laminaire, dans une conduite cylindrique horizontale, de

longueur o, de rayon � (diamètre 1), le débit-volume du fluide est donné par :

:+ � x�d8Wo (� < �� x�d8Wo Δ� = x1d128Wo Δ�(7.7)

� �� v

o

2�

Ýℎ



Cas de l’écoulement transitoire et turbulent

Si le nombre de Reynold est tel que 2000 < y4 < 3000 l’écoulement est transitoire.

On calcule V en utilisant la formule de Blasius.

Y = á, ¼[¾. uLá,vC(7.8) Si y4 > 3000 le régime est turbulent et V = �(y4, Q/1) avec (Q/1) la rugosité relative

et (Q) la rugosité absolue et (1) le diamètre en mm.

Les phénomènes d’écoulement sont beaucoup plus complexes et la détermination

du coefficient de perte de charge résulte de mesures expérimentales. C’est ce qui

explique la diversité des formules anciennes qui ont été proposées pour sa

détermination.

En régime turbulent l’état de la surface devient sensible et son influence est

d’autant plus grande que le nombre de Reynolds y4 est grand. Tous les travaux

ont montré l’influence de la rugosité et on s’est attaché par la suite à chercher la

variation du coefficient V en fonction du nombre de Reynolds y4 et de la rugosité Q du tuyau.

On utilise l’abaque de Moody pour déterminer Y dans ce cas.

Remarques :

On fait souvent appel à des formules empiriques plus simples valables pour des

cas particuliers et dans un certain domaine du nombre de Reynolds.

Formule de Nikuradse (10Z < y4 < 10[)Y = á, áá¼v , á, vv[. uLá,v¼\(7.9) En conclusion pour diminuer l’ensemble des pertes de charge dans une

canalisation, afin de diminuer les coûts de fonctionnement dus aux machines

hydrauliques il faut :

- Diminuer la longueur de la canalisation

- Diminuer le nombre de la singularité sur la canalisation. Comme

singularité on peut citer :

� Les coudes

� Les tés (T)



� Les rétrécissements ou élargissement brusque

� Les vannes

� Les robinets

� Les clapets.

- Diminuer le débit de circulation

- Augmenter le diamètre des canalisations

- Faire circuler des liquides le moins visqueux possibles

- Utiliser des matériaux de faible rugosité.

Il est néanmoins évident que les procédés de fabrication impose parfois des

contraints d’ordre supérieur (viscosité élevée des produits utilisés, débit fort

imposé).

3- Applications aux machines hydrauliques : Pompes et Turbines

4.1. Pompes

Les pompes sont des appareils permettant un transfert d’énergie entre le fluide et

un dispositif mécanique convenable. Suivant les conditions d’utilisation, ces

machines communiquent au fluide soit principalement de l’énergie cinétique par

la mise en mouvement du fluide.

L’énergie requise pour faire fonctionner ces machines dépend donc des nombreux

facteurs rencontrés dans l’étude des écoulements :

� Les propriétés du fluide : masse volumique, viscosité, compressibilité.

� Les caractéristiques de l’installation : longueur, diamètre, rugosité,

singularités…

� Les caractéristiques de l’écoulement : vitesse, débit, hauteur d’élévation,

pression…

Devant la grande diversité de situations possibles, on trouve un grand nombre de

machines que l’on peut classer en deux grands groupes :

� Les pompes volumétriques comprenant les pompes alternatives (à piston,

à diaphragme, …) et les pompes rotatives (à vis, à engrenage, à palettes,

hélicoïdales, péristaltiques…)



� Les turbo –pompes sont toutes rotatives ; elles regroupent les pompes

centrifuges, à hélices, hélico-centrifuges.

Une pompe centrifuge est une machine tournante destinée à communiquer au

liquide pompé une énergie suffisante pour provoquer son déplacement dans un

réseau hydraulique comportant en général une hauteur géométrique d’élévation

de niveau (Z), une augmentation de pression (p) et toujours des pertes de charge.

Une pompe centrifuge est constituée principalement par une roue à ailettes ou

aubes (rotor) qui tourne à l’intérieur d’un carter étanche appelé corps de pompe.

Pour améliorer le rendement de la pompe, on peut intercaler entre le rotor et la

volute une roue fixe appelée diffuseur qui est munie d’aubes de courbure

convenable.

Le calcul de la puissance hydraulique d’une pompe se fait par la formule :

qw = K. s. ûÍ.Kr](7.10� où

ûÍ est le débit volume.



Le débit volume ù+ fourni par une pompe centrifuge est le volume refoulé

pendant l’unité de temps. Il s’exprime en mètres cubes par seconde ( �/�) ou

plus pratiquement en mètres cubes par heure ( �/ℎ). Kr] est la hauteur manométrique totale. On appelle Hauteur manométrique H

d’une pompe, l’énergie fournie par la pompe à l’unité de poids du liquide qui la

traverse.

Elle est évaluée à partir de l’équation de Bernoulli entre deux points :

q[Ks + X[vvs + B[ +Kr] � qvKs + Xvvvs + Bv + ^M;W + ^QL9(7.11)

Ecoulement dans les conduits non circulaires

L’analyse développée et utilisée pour le cas de conduits circulaires est applicable

dans ce cas aussi pourvu que la conception d’un diamètre équivalent ou diamètre

hydraulique soit utilisé. Le diamètre hydraulique est défini comme :

1/ � 4(�4¦725634��43;�=;234)�é�2 è7�4 5;2==é = 4��

où � est la section de passage de fluide actuelle et � = périmètre mouillé i.e.

périmètre sur lequel le cisaillement visqueux agit. Le coefficient de frottement est

déterminé à partir de ce diamètre hydraulique.



Le choix d’une pompe se fait souvent sur la base de la puissance électrique �' qui

se calcule par la formule suivante :

qL � qw (7.12) où W est le rendement global de l’installation.

On a : W = W- × W·(7.13) W- est le rendement du moteur W· est le rendement de la pompe

En pratique, on prend W = 80%.

P

2

1



4.2. Turbines

L’équation de Bernoulli généralisée devient dans ce cas :

q[Ks , X[vvs , B[ −Kr] = qvKs , Xvvvs , Bv , ^M;W , ^QL9(7.14) Le calcul de la puissance hydraulique d’une turbine se fait par la formule :

�/ � A. �. ù+. ±-� et la puissance électrique �' par :

�' � �/W

où W est le rendement global de l’installation.

5. Phénomène de cavitation

La cavitation est la vaporisation du liquide contenu dans la pompe quand il est

soumis à une pression inférieure à la tension de vapeur correspondant à sa

température.

Ce phénomène se produit à l’orifice d’aspiration de la pompe ; des bulles

apparaissent dans les zones où la pression est la plus faible (entrée des aubes de

roue des pompes centrifuges) : elles sont transportées dans les zones de

pressions plus fortes où se produit leur recondensation. Des implosions se

produisent alors à des fréquences élevées et créent des surpressions locales très

élevées (jusqu’à des centaines de bars).

La cavitation est un phénomène à éviter absolument, car il entraîne de graves

conséquences :

� érosion du matériau pouvant aller jusqu’au perçage des aubes de turbine,

des pompes centrifuges.

� augmentation du bruit et des vibrations générées par la pompe

� chute des performances des pompes avec diminution importante de la

hauteur manométrique totale, du débit et du rendement.



6. Coup de bélier

Le coup de bélier est un phénomène de surpression qui apparaît au moment de

la variation brusque de la vitesse d'un liquide, par suite d’une

fermeture/ouverture rapide d’une vanne, d'un robinet ou du démarrage/arrêt

d’une pompe.

Cette surpression peut être importante, elle se traduit souvent par un bruit

caractéristique, et peut entraîner la rupture de la conduite dans les grosses

installations, du fait de la quantité d'eau en mouvement. Ce problème peut être

résolu avec la mise en place d'un antibélier.

En utilisant le phénomène du coup de bélier, il est possible de concevoir un

dispositif permettant de pomper de l'eau à une certaine hauteur sans autre

énergie que la force de la même eau, c'est le bélier hydraulique.

Causes et conséquences

Lorsqu'une tuyauterie est brutalement fermée, la masse de liquide avant la

fermeture est toujours en mouvement avec une certaine vitesse, générant une

pression élevée ainsi qu'une onde de choc. Dans une plomberie courante, cela se

manifeste par un bruit sourd, rappelant le son d'un coup de marteau. Les coups

de bélier peuvent provoquer la rupture d'une tuyauterie si la pression atteinte

devient trop élevée. Des poches d'air peuvent être ajoutées sur le réseau de

tuyauteries afin d'obtenir un effet amortisseur, protégeant le système.

Dans le cas d'une centrale hydroélectrique, l'eau circulant dans les tuyauteries

ou tunnels peut être isolée de la turbine génératrice au moyen d'une vanne.

Toutefois, si par exemple, le tunnel acheminant l'eau est un tube long de 14 km,

de 7,7 m de diamètre et rempli d'eau circulant à 3,75 m/s, cela représente une

très grande d'énergie cinétique qui doit être arrêtée. Pour cela, une chambre

d’équilibre, ouverte en son sommet, peut être utilisée.

Dans une installation domestique, des coups de bélier peuvent se produire

lorsqu'une machine à laver ou lave-vaisselle coupe son alimentation en eau. Cela

se traduit généralement par un bang assez fort.

D'autres causes des coups de béliers peuvent découler des défaillances d'une

pompe ou encore la fermeture d'un clapet anti-retour.



Moyens de prévention

Les coups de bélier peuvent être à l'origine d'accident, mais le plus souvent, cela

se limite à une rupture de tuyauteries ou du matériel qui y est raccordé. Les

lignes transportant des fluides dangereux bénéficient d'une attention toute

particulière lors de la conception, de la construction et de l'exploitation.

Les éléments suivants permettent de diminuer ou supprimer les coups de bélier:

• Réduire la pression de l'alimentation en eau, par l'installation d'un

régulateur de pression.

• Réduire la vitesse du fluide dans la tuyauterie. Afin de réduire l'importance

du coup de bélier, certains guides de dimensionnement recommandent une

vitesse égale ou inférieure à 1,5 m/s.

• Installer de robinets avec une vitesse de fermeture lente.

• Utiliser des procédures d'ouverture et de fermeture sur une installation.

• Installer d'une bouteille anti-coup de bélier, également appelée bouteille

anti-pulsatoire.

• Mettre en place une chambre d'équilibre.

• Réduire les longueurs de tuyauterie droite par des coudes ou des lyres de

dilatation, les coudes réduisant l'influence des ondes de pression.

• Employer des éléments de tuyauteries conçus pour des pressions élevées

(solution coûteuse).

• Installer un volant d'inertie sur la pompe.

• Installer un by-pass de la pompe.

7. Conditions de fonctionnement d’une pompe : Notion de NPSH

Le NPSH est un paramètre important à prendre en compte dans la conception

d'un circuit : lorsque la pression d'un liquide descend sous la valeur de la

pression de vapeur, le liquide se vaporise. Ce phénomène est très dangereux à

l'intérieur d'une pompe centrifuge car il s'agit de cavitation qui endommage le

corps de pompe tout en réduisant le rendement.

Le NPSH (Net Positive Suction Head) qui est la capacité pratique d’aspiration est

simplement une mesure permettant de quantifier la hauteur manométrique

d’aspiration disponible pour éviter la vaporisation au niveau le plus bas de la



pression dans la pompe. Cette vaporisation s’appelle la cavitation. On distingue le

NPSH requis donné par le constructeur et le NPSH disponible qui est calculé

selon le type d’installation de pompage. Le NPSH requis est le NPSH disponible

minimal que doit avoir la pompe sous peine de cavitation.

Pour qu’une installation de pompage puisse fonctionner, il faut que : ��c±�*#.$�*"%' ≥ ��c±('0&*#

Le NPSH est une hauteur, il est donc exprimé en mètre (m). Une pression

généralement exprimée en PASCAL ou en Cm de mercure peut parfaitement être

exprimée en mètre d’eau.

Le NPSH disponible pour un circuit et un débit donné correspond, en mCL, à la

marge de pression au-dessus de la pression de vapeur saturante du fluide.

Tableau 1 : Classement des paramètres ayant une influence sur le NPSH disponible et la cavitation

Augmentation du risque de cavitation Réduction du risque de cavitation

augmentation température d'aspiration (pression de vapeur saturante plus

élevée) baisse température d'aspiration

baisse pression d'aspiration augmentation pression d'aspiration

pertes de charge à l'aspiration élevée (filtre encrassé, vanne partiellement

fermée)

baisse du niveau du fluide pompé si montage en aspiration (puits,

rivière,...)

augmentation du niveau du fluide pompé

augmentation du débit (augmentation des pertes de charge à

l'aspiration) réduction du débit

Le NPSH disponible se calcule comme suit :

��c±�*#.$�*"%' � �] < �+A� , �D] < D'� < R!#.

� �] est la pression à la surface du réservoir (ici, la pression atmosphérique) ;



� D] − D' est la hauteur géométrique (dans le cas d'une pompe, elle est

positive si la pompe est en charge et négative si aspiration) ; D] est la cote

du point à la surface libre de l’eau dans le réservoir d’aspiration et D' est la

cote du point d’entrée de la pompe.

� R!#. est la perte de charge totale (linéaire et singulière) en aspiration;

� �+ est la pression de vapeur saturante ;

� A est masse volumique du fluide ;

� � est l'accélération de la pesanteur.

Conclusion : Pour éviter la cavitation dans une pompe, il faut veiller à limiter les

pertes de charge à l’aspiration. Il faut éviter que la pression du réservoir soit trop

faible. Pour une pompe en aspiration, il faut éviter que la hauteur d’aspiration

soit trop importante.

Signalons aussi que 80% des pompes centrifuges sont utilisées sur le terrain et le

choix d’une pompe peut se faire connaissant les 3 principaux paramètres :

- Le débit volume Q en m� s⁄

- La hauteur manométrique totale Hef (en m)

- Le rendement global de l’installation η.




Exercice 1

De l’eau de viscosité cinématique ` = 1,3 ∙ 10Z � �⁄ s’écoule dans un tuyau en

acier zingué de rugosité absolue Q � 0,3 de diamètre 1 � 30¦ . La perte de

charge est de 2 m pour un tronçon de 1 km. Déterminer le débit Q.

Exercice 2

Déterminez la chute de pression dans un conduit horizontal de 300 m long et de

0,20m de diamètre. La vitesse moyenne de l’eau est de 1,7 m/s, la densité de

l’eau est de 999 kg/m3, sa viscosité cinématique est de 1,12 ∙ 10Z m2/s et la

rugosité absolue est de 0,26 ∙ 10� m.

Exercice 3

L’air est transporté par un canal d’acier de section carré de 30 × 30¦ et d’une

longueur de 150 m. La vitesse moyenne de l’air est de 25 m/s.

Calculez :

(a) la chute de pression en m de colonne de fluide,

(b) la chute de pression en Pa,

(c) (c) la puissance de ventilateur en kW si son rendement est de 60%.

On donne la rugosité absolue de l’acier = 0.046 mm, la densité de l’air 1,205��/ � , la viscosité dynamique de l’air est 1,8 ∙ 10 ��/ . �.

Exercice 4

L’écoulement dans le système montré à la figure ci-après est achevé par l’air

comprimé. Déterminez la pression manométrique p1 pour avoir un débit de ù � 60 m3/s. Les données : ρ = 998 kg/m3, µ = 0,001 kg/m.s, Ke=0.5, Ks=1,

Kcoude=0,15.



Figure de l’exercice 4

Exercice 5

Pour le système montré à la figure suivante, la contraction à l’entrée du conduit

est de Ke = 0,5 et Kvanne = 6,9. Le débit est de 0,004 m3/s. Les données : A = 998��/ �, µ = 0.001 kg/m.s, Q = 0.26 . Calculez la puissance développée

par la turbine en W.



Exercice 6

On considère l’installation suivante :

1. Calculer la hauteur manométrique totale de cette pompe.

2. Calculer la puissance électrique de cette pompe sachant que le rendement

global est estimé à 80%.

3. Calculer le NPSHijklmnjopÙ de la pompe. L’installation peut – elle fonctionner

sachant que le constructeur indique un NPSHqÙrÛjk de 2 mètres (mCE) pour le

point de fonctionnement considéré ? On donne la pression de vapeur

saturante de l’eau : pÊk � 2340Pa.

T � 3; ℎ = �t − �] = 42 ; T� = 1,2; �d − �] = 6

Td � 1; �d = � ; Q = 0,1 ; ù+ = 10o/�; 1 � 125

T� ∶ o4��h5634¦5;��;�43;¦5;343 < 44�7é��=à375

�5;�;632� è7�41 = 11 � 125

Données de l’exercice :

A � 1000��/ �; 1� � 80 ; ` = 10Z �/�; o � 15

o� � 925 ; �!)- � 101300��; � � 10 /��



CHAPITRE 8 :

THEOREME DE TRANSPORT DE REYNOLDS

1. Lois fondamentales de la mécanique des fluides

Les quantités intéressant les ingénieurs sont souvent exprimées en termes

intégrales.

Les quantités intégrales d’intérêt principal en mécanique des fluides sont régies

par trois lois fondamentales : conservation de la masse, première loi de la

thermodynamique et la seconde loi de Newton. Ces trois lois sont exprimées en

fonction d’un système, un ensemble fixé de particules de matériau. Par exemple,

en considérant l’écoulement à travers une tuyauterie, on peut identifier une

quantité fixée de fluide à l’instant t comme le système (voir figure)

Figure 8.1

Ce système pourrait donc mouvoir à la vitesse à la position 7 , ∆7. Chacun de ces

3 lois peut être appliquée à ce système.

1.1. Conservation de la masse

La loi régissant que la masse doit être conservée est « la masse d’un système reste

constante ».

La masse d’une particule fluide est A3? où 3? est le volume occupé par une

particule et A est sa densité. Sachant que la densité peut changer d’un point à un

autre dans le système, la conservation de la masse peut – être exprimée par :

Système à l’instant t

Système à

l’instant 7 , ∆7



117 § A3?#Ç#) � 0(8.1) Où

uu) est utilisé car on considère un sens spécifique de particules de matériau

que constitue le système.

1.2. Première loi de la thermodynamique

Elle s’énonce comme suit :

« le taux de transfert de chaleur à un système mois le taux auquel le système ne

peut travailler est égal au taux auquel l’énergie du système est changeante. »

Sachant que la densité et l’énergie spécifique peuvent changer d’un point à un

autre dans le système, la première loi de la thermodynamique peut être exprimée

par :

ùv < Ëv � 117 § A3?#Ç#) � 0(8.2) où l'énergie spécifique comporte l’énergie cinétique, l’énergie potentielle et

l’énergie interne.

1.3. Deuxième loi de Newton

La 2e loi de Newton, appelée aussi l’équation de mouvement, s’énonce comme

suit :

« La force résultante agissant sur un système est égale au taux auquel le

mouvement du système est changeante. »

Le mouvement d’une particule fluide de masse A3? est une quantité vectorielle

donnée par A13?; par conséquent la 2e loi de Newton est exprimée par :

7� � 117 § 1A3?#Ç#) (8.3) �?4¦§ 1A3?#Ç#) =�:;�6727é34 5;?4 46746í��. /�î

Sachant que la densité et la vitesse toutes deux changent d’un point à un autre

dans le système. Cette équation se réduit à ∑� � .� si 1 et A sont constantes à

travers tout le système ; A est souvent content mais en mécanique des fluides, le

vecteur vitesse change invariablement d’un point à un autre. De même, 1/17 est



utilisé pour exprimer le taux de changement, car la 2nde loi de Newton, est

appliquée à un système.

2. Equation « mouvement de moment »

Cette équation résultant de la seconde loi de Newton s’énonce comme suit :

« le moment résultant agissant sur un système est égal au taux de changement

du moment angulaire du système ».

Cette équation est exprimée comme suit :

où Q × XKVÍ représente le mouvement angulaire d’une particule fluide de masse A3?. Le vecteur Q situe la position de l’élément de volume 3? et est mesurée de

l’origine des axes de coordonnées, le point relatif par rapport auquel le moment

résultant est mesuré.

Notes (Remarques) :

1) Dans chacune de ces lois fondamentales, la quantité intégrale est une

propriété extensive du système. On notera �#Ç#) pour exprimer cette

propriété extensive ; par exemple �#Ç#) peut – être la masse, le mouvement

ou l’énergie du système. Le membre gauche de l’équation (1) et les membres

droites des équations (2), (3) et (4) peuvent être exprimés par : 1�#Ç#)17 (8.5) Où �#Ç#) représente une quantité intégrale.

2) Il est aussi utile d’introduire la variable W pour la propriété intensive, c’est-

à-dire la propriété du système par unité de masse. La relation entre �#Ç#) et W est donnée par :

�#Ç#) � § WA3?#Ç#) (8.6) Comme exemple, la propriété extensive de la 2nde loi de Newton est le

mouvement,

5;?4 467#Ç#)è-' � § 1A3?#Ç#) (8.7)

7Ñ � 117 § Q × XKVÍ⬚#Ç#) (8.4)

��53;27?4¦75�24=



IciW = 1

Qui est une quantité vectorielle. La propriété intensive correspondante

serait le vecteur V. Donc la densité et la vitesse qui varient d’un point à un

autre dans le système peuvent être une fonction du temps comme dans un

écoulement transitoire.

3. Volume de contrôle

L’intérêt ici est de considérer une région de l’espace dans laquelle le fluide entre

et/ou en sort. Cette région est identifiée à la figure 8.2 suivante :

Figure 8.2

Où, on a montré la différence entre un volume de contrôle et un volume. Cette

figure montre ou indique que le système occupe le volume de contrôle à l’instant 7 et s’est partiellement déplacé du volume de contrôle à l’instant (7 , 37). Puisqu’il est souvent plus convenable de se baser sur un volume de contrôle que

sur un système, la première tâche est de trouver une transformation qui nous

montrera comment exprimer la dérivée totale d’un système en fonction des

quantités relatives au volume de contrôle de sorte que les lois fondamentales

précédemment énumérées puissent être appliquées directement à un volume de

contrôle.

Système et volume de

contrôle identiques à

l’instant 7

Système à

l’instant 7 , ∆7 Volume de

contrôle à

l’instant 7 , ∆7



4. TRANSFORMATION SYSTEME – VOLUME DE CONTROLE

1. Considérons un élément d’aire 3� de la surface de contrôle, l’aire de la surface

qui couvre entièrement le volume de contrôle. Le flux à travers l’aire

élémentaire 3� (voir figure 8.3) est exprimé par : �=;�à7��?4��3� = WA6��. 1��3�(8.8)

Figure 8.3

Où 6�� un vecteur normal unitaire à l’élément d’air 3� toujours dirigé à l’extérieur

du volume de contrôle. W représente la propriété ou grandeur intensive associée à a grandeur extensive �#Ç#) L’expression (8.8) donne une valeur négative si elle est relative à un influx (influx

interne) ;

Seule la composante normale 6��. 1�� participe à ce terme de flux. S’il n’ya pas de

composante normale de la vitesse à une aire particulière, comme par exemple, la

paroi d’un tuyau, aucun flux n’apparaît à travers la surface.

- Si 6��. 1�� > 0, alors il y a un flux sortant du volume de contrôle.

- Si 6��. 1�� < 0, alors 1��476�� ont des directions opposées, un flux entrant est

noté dans le volume de contrôle.

1�� 6��

6�� 6��

6��

1��

1��

1��

3�



Le vecteur vitesse 1�� peut faire un angle avec la direction de la normale unitaire 6��, le produit vectoriel 6��. 1�� prend en compte la composante appropriée de 1�� qui

produit un flux à travers l’aire.

La propriété de flux net sortant de la surface de contrôle (s.c.) est obtenue par :

Si le flux net est > 0, le flux sortant est supérieur au flux entrant.

2. Considérons maintenant la dérivée totale de la propriété extensive �#Ç#) par

rapport au temps, soit u�z{z|u)

1�#Ç#)17 � lim}~→]Nk�k~(t + ∆t) − Nk�k~(t)∆7 (8.10)

Le système est montré à la figure 8.4 aux instants 747(7 + ∆7). � Volume de contrôle fixé occupe les régions (1) et (2).

� Système à l’instant t occupe les volumes (1) et (2)

� Système à l’instant (7 + ∆7) occupe les volumes (2) et (3).

Figure 8.4

Supposons que le système occupe tout le volume de contrôle à l’instant t. ce

volume de contrôle est supposé fixé dans l’espace, et le système se déplace à

travers ce volume de contrôle. Ainsi l’équation (10) devient :

1�#Ç#)17 = lim∆)→]��(7 + ∆7) + ��(7 + ∆7) − ��(7) − �(7)∆7

3? 3?�

1

2

3



1�#Ç#)17 � lim∆)→]��(7 + ∆7) + �(7 + ∆7) − ��(7) − �(7)∆7+ lim∆)→]��(7 + ∆7) − �(7 + ∆7))∆7 (8.11)

Où, dans cette 2nde expression, on a simplement ajouté et retranché �(7 + ∆7) au

numérateur, et où par exemple, ��(7) signifie la propriété extensive dans la

région 2 à l’instant t.

La 1ère limite dans le membre de droite se rapporte au volume de contrôle et on

peut écrire : 1�#Ç#)Dt = lim∆~→]NÊ�(t + ∆t) − NÊ�(t)∆7+ lim∆~→]N�(t + ∆t) − N(t + ∆t)∆7 (8.12)

Le premier rapport du nombre de droite est ��) , ce qui revient à écrire :

1�#Ç#)Dt = dNÊ�dt + lim∆~→]N�(t + ∆t) − N(t + ∆t)∆7 (8.13) A présent, on doit exprimer les quantités extensives ��(7 + ∆7) et �(∆7 + 7); elles

dépendent des masses contenues dans des éléments de volume montées à la

figure 8.4 et à la figure 8.5 suivante :

3? = −6��. 1∆73�3?� = 6��. 1∆73�� Figure 8.5

Notons que le vecteur unitaire 6�� est toujours à l’extérieur du volume, et donc

pour obtenir un volume différentiel positif, un signe négatif est requis pour la

région 1. De même, le cosinus de l’angle entre le vecteur vitesse et la normale

3� 3��

6�� 1∆7 1∆7

6��



unitaire est requis, donc la présence du produit vectoriel. Considérant la figure 5,

on a :

��7 , ∆7) = § WA6��. 1��Δ73��¬�

�(7 + ∆7) = −§ WA6��. 1��Δ73�¬� (8.14) Reconnaissant que � et �� entourent entièrement le volume de contrôle, on peut

combiner les deux intégrales en une seule. Il vient :

��7 , ∆7) − ��7 , ∆7) = § WA6��. 1��Δ73�Ä.� (8.15) Où la surface de contrôle (s.c) est l’aire entourant entièrement le volume de

contrôle. Substituant l’équation (8.15) dans l’équation (8.13), on obtient

l’équation de transformation système – volume de contrôle appelée couramment

le théorème de transport de Reynolds :

1�#Ç#)17 � 337 § WA3?+.� +§ WA6��. 1��Ä.� 3�(8.16) La première intégrale représente le taux de variation de la propriété extensive

dans le volume de contrôle. La seconde intégrale représente le flux de la

propriété extensive à travers la surface de contrôle.

Autre forme de l’équation (8.16) : 1�#Ç#)17 � § ��7 �WA�3?+.� +§ WA6��. 1��Ä.� 3�(8.17) Où on a utilisé

@@) puisque A et W sont en général dépendantes des variables de

position.

→ Simplifications de la transformation système – volume de contrôle

De nombreux écoulements d’intérêts sont des écoulements permanents, si

bien que @@) (ηρ) = 0, l’équation (8.17) devient : 1�#Ç#)17 � § WA6��. 1��Ä.� 3�(8.18)



En outre, il y a souvent une seule aire � à travers laquelle le fluide entre

dans le volume de contrôle et une aire �� à travers laquelle le fluide sort du

volume de contrôle. En supposant que le vecteur vitesse est normal à l’aire

(voir figure 6).

Figure 8.6

On peut écrire : 6��. 1�� = −1 à travers l’aire � et 6��. 1�� = 1� à travers l’aire �� .

Alors l’équation (8.18) devient : 1�#Ç#)17 � § W�A�1�3�¬� < § WA13�¬� (8.19� Il y a beaucoup de situations qui sont modélisés en supposant des propriétés

uniformes à chaque aire de plan et donc les équations simplifiées sont : 1�#Ç#)17 � W�A�1�� < WA1�(8.20� Où plus généralement : 1�#Ç#)17 � 7W*A*1��. 6��. �*

�*I (8.21�

Où N est le nombre d’aire.

Pour un écoulement transitoire dans lequel les propriétés sont supposées

uniformes à travers le volume de contrôle, l’équation de transformation système-

volume de contrôle prend la forme :

��

� 6��

6��

1��

1��

Dispositif



1�#Ç#)17 � �+.� 3(WA)37 + W�A�1�� < WA1�(8.22)

Pour une entrée et une sortie ayant des propositions uniformes.

5. CONSERVATION DE LA MASSE

Un système est un ensemble donné de particules fluides, donc sa masse doit être

fixée : 1�#Ç#)17 � 117 § A3?#Ç#) � 0(8.23) Ici, tout simplement W � 1, �#Ç#) représentant la masse du système,

�#Ç#) � § WA3?#Ç#)

Où W � 1. Donc le théorème de transport de Reynolds devient :

0 = 337§ A3?+.� +§ A6��. 1��3�#.� (8.24) 0 = § �A�7 3?+.� +§ A6��. 1��3�#.� (8.25)

- Si l’écoulement est permanent, on a :

§A6��. 1��3� � 0(8.26) Qui pour un écoulement uniforme avec une entrée et une sortie, devient : A��1� � A�1(8.27) Où 6��. 1�� <1 et 6��. 1�� = −1�

- Si la densité est constante dans le volume de contrôle, @�@) � 0 même si

l’écoulement est transitoire. L’équation de continuité (8.25) se réduit à : �1 � ��1�(8.28) Cette forme de l’équation de continuité est assez souvent utilisée

particulièrement pour l’écoulement des liquides et des gaz à faible vitesse.

Cas où les profils de vitesse à l’entrée et à la sortie ne sont pas uniformes

• Si la densité est uniforme sur chaque aire de surface, l’équation de

continuité devient :



A § 13�¬� � A § 1�3�¬� (8.29) ou A1ÐÐÐÐ� � A�1�� (8.30)

où 1� et 1�� sont des vitesses moyennes respectivement aux sections 1 et 2

(voir figure 8.7).

Figure 8.7

• Le flux masse v ou taux de masse de l’écoulement ou débit masse est :

v � § A1�3�¬ (8.31) En ��/� ; 1� est la composante normale de la vitesse.

• Le taux de l’écoulement Q ou le débit volume de l’écoulement est :

ù � § 1(¬ 3�(8.32) En �/� . Le débit masse est souvent utilisé en spécifiant la quantité

d’écoulement d’un fluide compressible et le débit volume pour un fluide

incompressible.

En fonction de vitesse moyenne, on a : ù � �1� (8.33) v � A�1� (8.34) Où, pour le débit masse, on suppose un profil de densité uniforme et la

vitesse normale à l’aire.

1��

1�

1

2



6. EQUATION D’ENERGIE

Pour un système, l’expression de l’équation d’énergie dans un volume de contrôle

est :

ùv −Ëv = 117 § 4A3?#Ç#) (8.35) ùv représente le taux de transfert d’énergie à travers la surface de contrôle, due à

la différence de température.

Ëv est le taux de travail 4 est l’énergie spécifique :

4 � 1�2 ��*�é)*0&', ��.$)'�)*'%%' , ;� ��jn~ÙqnÙ

(8.35) s’écrit encore :

ùv −Ëv = 337§ 4A3?+.� +§ A41��#� . 6��3�(8.36) En général, Ëv est défini par :

Ëv � § �6��#.� . 13� +Ëv Ä +Ëv #/ , Ëv'(8.37) Où

§ �6��#.� . 13� ∶ tauxdetravailrésultantdelaforcedueàlapressionmouvante àlasurfacedecontrôle; onl�appelleaussidébitdetravail. Ëv Ä : taux de travail résultant de la rotation des arbres 70 ceux d'une pompe

ou d'une turbine où la puissance électrique équivalente

Ëv #/: taux de travail du à la frontière mouvante Ëv % : taux de travail qui apparaît quand le volume de contrôle se déplace par

rapport à une référence fixée.

(8.37) dans (8.36) donne :

ùv −Ëv Ä −Ëv #/ < Ëv % � 337 § 4A3?+.� +§ >4 , �A@#.� A6��. 1��3�(8.38) Où : (puisque 4 � A�� , �� , ;� ) :



ùv −Ëv Ä −Ëv #/ < Ëv %� 337 § �1�2 , �� , ;��A3?+.� +§ �1�2 , �� , ;� , �A�A6��. 1��3�#.� (8.39)

Cette forme générale de l’équation d’énergie est utile pour analyser les problèmes

d’écoulement de fluide qui comportent des effets transitoires et des profils non

uniformes.

• On définit les pertes comme étant la somme des termes représentant les

formes non utilisés de l’énergie :

�4�74� � <ùv , 337 § ;�+.� A3? + § ;�A3?#.� +§ ;�A6��. 1��3�#� (8.40) Donc (8.39) s’écrit encore : Ëv Ä −Ëv #/ < Ëv %

� 337 § �1�2 , �� A3?+.� + § �1�2 , �� , �A� A6��. 1��3�#.� + �4�74�(8.41)

Les pertes sont dues aux effets primaires :

1. La viscosité engendre les frottements internes qui se manifestent par

l’accroissement de l’énergie interne (de la température) ou du transfert

de chaleur.

2. Les changements de géométrie engendrent des écoulements séparés qui

nécessitent de l’énergie utile pour maintenir les mouvements

secondaires résultants résultant qui sont générés.

6.1. Ecoulement uniforme en régime permanent

Considérons une situation d’écoulement permanent dans laquelle il y a une

entrée et une sortie avec des profils uniformes. Supposons que Ëv #/ � Ëv % � 0. Pour

un tel écoulement, le terme !A�� , �� , .�" dans l’équation (8.41) est constant à

travers la section car 1 est constante, le profil de vitesse étant uniforme, et la

somme �� , .� est constant si les lignes de courant à chaque section sont

parallèles. Dans ce cas, l’équation d’énergie (8.41) se simplifie pour donner :



−Ëv Ä = A�1�� 1��2 , �� , ��A�� < A1� �1�2 , �� , �A� , �4�74�(8.42) Où les indices 1 et 2 sont référés respectivement à l’entrée et la sortie. Le flux

massique est donné par v � A1� � A�1��

En divisant par v � on a :

< Ëv Ä v � � 1�� < 1�2� , ��C� < �C , �� < � , 8�(8.43) Où on a introduit la perte de chargeℎ� définie par :

ℎ� � < ù v �v + ;�� < ;�� (8.44) ℎ� est souvent exprimé en termes de coefficient de perte de charge par :

ℎ� � T 1�2� (8.45) Où V peut – être 1 ou 1�.

Dans sa forme (8.43), l’équation d’énergie est utile dans beaucoup d’applications

et est, parfois la forme la plus souvent utilisée. Si les pertes sont négligeables, s’il

n’y a aucun travail mécanique d’arbre et si l’écoulement est incompressible,

l’équation d’énergie devient l’équation de Bernoulli suivante : 1��2� , ��C , �� 1�2� , �C , �(8.46) L’équation d’énergie (8.41) peut être appliquée à tout volume de contrôle ; par

exemple, en considérant la figure 8.8 :

Figure 8.8

1�

� ��

1

3 �. ¦

1� ��

1 2



L’équation d’énergie pour l’écoulement uniforme, incompressible et permanent à

travers une canalisation en T dans laquelle on note une entrée et 2 sorties peut –

être écrite pour le flux massique qui sort de la section 3 : 1�2� , �C , � � 1��2� , ��C , �� , 8�� 1�2� , �C , � � 1��2� , ��C , �� , 8�� (8.47)

Où les termes de pertes comportent les pertes entre l’entrée et les sorties

respectives.

Pour une pompe, le terme d’énergie associé �v z-v ©est appelé la perte de la pompe ±..

Pour une turbine, ce terme est noté ±�. Ainsi l’équation d’énergie prend la forme :

±. , 1�2� , �C , � � ±� , 1��2� , ��C , �� , 8�(8.48) La puissance générée par la turbine de rendement W� est calculée par :

Ëv � � v �±�W� � ùC±�W�(8.49) De même, la puissance d’une pompe le rendement W· est :

Ëv · � v �±·W· � ùC±.W. (8.50)

6.2. Ecoulement non uniforme en régime permanent

Dans ce cas, en pratique, on introduit le facteur de correction m d’énergie

cinétique, définie par :

m = Ã1�3�1Ð �� (8.51) Où 1�est la vitesse moyenne sur l’aire A et donc :

A§ 1�3�¬ � mA1Ð��(8.52) Avec ce facteur, on peut exprimer les distributions non uniformes de la vitesse en

modifiant l’équation (8.48) comme suit :

±. , m 1�ÐÐÐÐ2� , �C , � � ±� , m� 1��ÐÐÐÐ2� , ��C , �� , 8�(8.53)



Pour un écoulement avec un profil parabolique dans la canalisation m = 2. Pour la

plupart des écoulements turbulents internes, cependant le profil est presque

uniforme avec m = 1,05 f 1.

7. Equation de mouvement

7.1. Equation générale

La seconde loi de Newton appelée souvent l’équation du mouvement s’énonce ou

stipule que la force résultante agissant sur un système est égal au taux de

variation du mouvement du système lorsqu’il est mesuré (ou par rapport) dans le

système de référence inertielle, c’est – à – dire :

7� = 117 § A1��3?#Ç#) (8.54) En remplaçant dans un théorème de transport de Reynolds W par 1��, (8.54) il

s’écrit pour un volume de contrôle sous la forme :

7� � 337§ A1��3?+.� +§ A1��#.� ó1��. 6��ô3�(8.55)

7.2. Equation de l’écoulement uniforme (application)

L’équation (8.55) se simplifie considérablement lorsqu’elle est appliquée à un

dispositif ayant des entrées et des sorties à travers desquelles la vitesse est

supposée uniforme et si l’écoulement est permanent. Dans ce cas,

7�� 7A*�* . 1*ó1��. 6��ô�*I* (8.56)

Où N est le nombre d’aires de section, d’entrée et de sortie d’écoulement

Exemple 1 :



L’équation de mouvement devient : 7� = A��1�1�� < A�11� (8.57) En utilisant l’équation de continuité v � A�1 � A��1�(8.58) 7� � v (1� < 1�(8.59) Notons que l’équation de mouvement est une équation vectorielle. Si en

considérant l’exemple précédent on veut déterminer la composante �Æ de la force

du joint agissant sur le dispositif, (1)Æ � 1 et (1��Æ � 0 et l’équation du

mouvement dans la direction � devient : 7�Æ = −(�Æ)�$*�) , �� < v 1(8.60) De façon similaire, on obtient ó�Çô�$*�).

Exemple 2 : écoulement à surface libre dans un canal rectangulaire est montré à

la figure suivante :

ó�ÇôR5267 ó�Æ��ôR5267

h

��

��

�5267 �



Force de l’écoulement sur une vanne dans un écoulement à surface libre.

En appliquant l’équation de mouvement, on a : 7�Æ = −�+!��' , � < �� v �1� < 1�(8.61) Où � et ��sont des formes de pression.

7.3. Ecoulement permanent non uniforme

Dans ce cas, on suppose des profils de vitesse uniformes en posant :

§ 1�3�¬ � 21�ÐÐÐÐ�(8.62) Où on introduit le facteur de correction du mouvement 2 défini par :

2 � Ã1�3�1�ÐÐÐÐ� (8.63) L’équation du mouvement, pour un écoulement permanent, devient :

7� �7A*2*�*1��(1*. 6��)�*I (8.64)

Pour un écoulement laminaire avec un profil parabolique de la vitesse dans un

canal circulaire, 2 � 4/3 . Si un profil est donné, cependant il est simplement

habituel d’intégrer en utilisant l’équation (8.55).

7.4. Equation du mouvement appliqué aux propulseurs

Considérons un propulseur illustré par la figue suivante :

�+!��' ℎ ℎ�

1��

1�� 12 Cℎ��

�� 12 Cℎ��

�. ¦



Figure 8.9 : propulseur dans un écoulement de fluide

L’équation de mouvement appliqué au volume de contrôle large montré sur la

figure donne : � = v �1� < 1�(8.65) Si le volume de contrôle est interne au propulseur de sorte que 1� � 1d, l’équation

de mouvement donnerait : � ≠ �� < �d� � 0(8.66) � � (�d < ��)�(8.67) Maintenant puisque les effets de viscosité devraient être assez faibles dans cet

écoulement, l’équation de l’énergie en aval du propulseur et en amont de celui-ci

est utilisé pour donner : 1� < 1��2 , � < ��A � 0(8.68) 1d� < 1��2 , �d − ��A � 0(8.68)

En combinant ces équations, sachant que � � �� !)-, on a : A2 (1�� < 1�� d < ��

En tenant compte de (8.67) dans (8.65), on a :

1� � 12 (1� , 1�(8.69) Où on a utilisé v � A�1� La poussée hydraulique pour produire l’effet que la vitesse de l’écoulement du

fluide en mouvement à travers le propulseur est la moyenne des vitesses amont

1�� 1��

�2�4�

o2�6434¦5;��67

1

2

3 4



et aval est calculé en appliquant l’équation de l’énergie entre les sections 1 et 2

où les pressions sont atmosphériques.

En négligeant les pertes,

Ëv /Ç�( � 1�� < 1�2 v (8.70) Le propulseur mouvant a une pression donnée Ëv.($. � � e 1 = v 1�1� < 1�(8.71) D’où le rendement théorique du propulseur est alors :

W. � Ëv.($.Ëv /Ç� � 11� (8.72)



Exercices

Exercice 1 :

De l’eau s’écoule à la vitesse uniforme de 3m/s à travers un tuyau dont le

diamètre est de 10cm à 2cm. Calculer la vitesse de l’eau sortant du tuyau et le

débit volume.

Figure 8.10

Solution : Le volume de contrôle est l’intérieur du tuyau comme indiqué sur la

figure. Le fluide entre dans le volume de contrôle à la section 1 et en sort à la

section 2. L’équation de continuité simplifiée (8.28) est utilisée : �1 � ��1�

1� � 1 ��

� 3 x(0,1)�/dx(0,02)�/d � 75 /� Le débit volume : ù � 1� � 3 × x × (0,1)�/d � 0,0236 �/�

Exercice 2 :

De l’eau tiède s’écoule à l’entrée et à la sortie d’un dispositif comme le montre la

figure suivante :

Prendre 3 � 0,04

� � 10¦ � � 2¦ �. ¦ 1�� 1��

1 2



Figure 8.11

Calculez le taux de variation de la masse d’eau (3 /37)dans le dispositif.

Solution

Le volume de contrôle est choisi comme indiqué sur la figure. Pour la surface de

contrôle entourant le dispositif, l’équation de continuité, avec 3 surfaces à travers

lesquelles l’eau s’écoule, s’écrit (équation 8.24).

0 = 337§ A3?+.��-,§ AW��. 1��3�#.�

� 3 37 + �<A�1 + A��1��-v , A��1��

Car 6��. 1�� <1 ; 6��. 1�� 1� et 6��. 1�� 1� 0 = 3 37 < A�1 , �v , A�ù�

⟹ 3 37 � A�1 < �v < A�ù�

� 1000x(0,02)��12) − (20) − (1000 × 0,01) = −14,9��/� Donc la masse est décroissante à un taux de 14,9 kg/s.

Exercice 3 :

Un écoulement uniforme se rapproche d’un cycliste tel indiqué à la figure

suivante :

Dispositif 1 � 12 /�

W��

W�� 1

2

3 ù� � 0,01 �/�

v � � 20��/�

Volume de

contrôle



Figure 8.12

La distribution de la vitesse à la position montrée en amont de la zone de sillage

du cylindre est approximée par :

;(h) = 1,25 , h�4 ,− 1 < h < 1

Où ;(h) est en m/s et y en m. déterminer le flux masse à travers la surface AB

par mètre de profondeur. Utiliser A = 1,23��/ �.

Solution

Choisissons ABCD comme volume de contrôle. A l’extérieur du sillage (région de

l’écoulement retardé) la vitesse est constante à 1,5m/s. Donc la vitesse normale

au plan AD est 1,5m/s. Visiblement, aucun flux massique ne traverse la surface

CD. En supposant un écoulement permanent, l’équation de continuité devient :

0 = § A1��#.� . 6��3�

Du flux massique apparait à travers les surfaces AB, BC et AD. Donc l’équation

de continuité devient :

0 = § A1��¬�� . 6��3� + § A1��¬�� . 6��3� + § A1��¬�� . 6��3�

� v ¬ +§ A;(h)3h®] < A± × 1,5

1,5 /�

1

l

;�h�

6�� 1

4 �

H

?5=; 434 ¦567�ô=4

6��

6��

� 4

±

Zone de sillage

1,5 /�



On intègre à l’extérieur de 1m au lieu de Hm, puisque la masse qui entre sur la

surface à gauche de 1m seulement, suivant la surface à droite avec aucun gain

ou aucune perte nette. Donc, posant ± = 1 , on a :

0 = v ¬ , § 1,23�1,25 , h�4 �3h − 1,23 × 1 × 1,5]

⟹ v ¬ � 0,205��/�� è7�4

Exercice 4 :

Déterminer le taux auquel le niveau d’eau (vitesse d’élévation) s’élève dans un

réservoir ouvert si l’eau entrant à travers une canalisation de 0,10 � à une

vitesse de 0,5 /� et le débit sortant est de 0,2 �/�. Le réservoir a une section

latérale circulaire de 0,5 de diamètre.

Solution

Figure 8.13

En choisissant un volume de contrôle qui s’étend au – dessus de la surface d’eau

comme indiqué à la figure, l’équation de continuité devient : 337 § A3?+.� + A(<1)� + A1�� 0

⟹ 337 (A?) − A1� , Aù� � 0

337 �Ax1�84 � − A1� , Aù� � 0

x1�4 3ℎ37 − 1� , ù� � 0 ⟹ 3ℎ37 = 1� < ù�x1�/4

0,5 /�ù� � 0,2 �/�

ℎ

�;��¦434 ¦567�ô=4

� � 0,1 �



Donc 3ℎ37 = (0,5)(0,1) − 0,2x × (0,5)�/4 � <0,764 /� Le signe (-) indique que le niveau d’eau est actuellement en baisse.

Exercice 5

Un venturi réduit le diamètre d’une tuyauterie de 10cm à 5cm.

Calculer le débit volume et le flux massique en supposant les conditions idéales.

Figure 8.14

Solution

Calcul du débit volume

eau

� � 1,2

D

±©



� < �� CD , 13,6 × 1,2C − C(� , 1,2) = C� , 16,32C − C� − 1,2C � < �� 15,12C D’après l’équation de continuité :

�1 � ��1� ⟹ 1� � 1 �� ⟹1� � 11�1��

⟹ 1� � 41

Equation d’énergie dans les conditions idéales et sans pompes et turbines : � < ��C , 1� < 1��2� , � < �� 05�� ⟹ � < �� 0

Donc � < ��C , 1� < 161�2� � 0 ⟹ 151� � 2� >� < ��C @

Or � < ��C � 15,12

⟹ 1 � 2� e 15,1215 = 4,45 /�

±©

eau ��

D

D

0



ù � 1. � � x1�4 1 � 3,14 × (0,1)�4 × 4,45 ⟹ ù = 0,035 �/� Flux massique : v � A.ù ⟹ v � 1000 × 0,035 ⟹ rv = ¼Câs/;

Exercice 6

De l’eau s’écoule d’un réservoir à travers une canalisation de 0,8 de diamètre à

une turbine et sont dans une rivière qui est 30m au – dessous de la surface du

réservoir. Si le débit est 3 �/� et le rendement de la turbine est 80%, calculer la

puissance de sortie. Prendre le coefficient de perte de charge dans la canalisation

(incluant la sortie) égal à T = 2.

Solution

Le volume de contrôle utilisé s’étend de la section 1 à la section 2. En supposant

les surfaces de l’eau assez larges, les vitesses aux surfaces sont négligeables. La

vitesse dans la canalisation est :

1 = ù� = 3x × (0,8)�/d � 5,968 /� Considérons les pressions de jauge (relatives) telles que � � �� 0 . En

considérant le plan de référence à la section 2 la plus basse, c’est-à-dire �� 0; les vitesses 1 et 1� sont sensiblement petites ou faibles ; T est supposé être basé

sur la vitesse dans la canalisation de 0,8m de diamètre. L’équation d’énergie (14)

devient alors :

±.�I] , 1�ÐÐÐÐ2��I] ,�C�I], � � ±� , 1��ÐÐÐÐ2��I]

, ��C�I], ��I], T 1�2�

30 = ±� , 2 5,968�2 × 9,81 ⟹ ±� = 26,4

Rivière

Réservoir V

Turbine

Ëv �

2

1



L’équation (8.49) s’écrit : Ë� = ùC±�W� = 3(9810)(26,4)(0,8) = 622000Ë Ë� = 622�Ë

Exercice 7

La distribution de vitesse pour un certain écoulement dans une canalisation est

1�� 1-!Æ �1 − ��]��

Où �]est le rayon de la canalisation :

Déterminer le facteur de correction de l’énergie cinétique.

�] 1(�) Q

�]

3�

3� = 2x�3�

�



CHAPITRE 9 :

HYDRODYNAMIQUE DE LA COUCHE LIMITE

L’hydrodynamique de la couche limite traite de l’écoulement au voisinage d’une

paroi pour de grands nombres de Reynolds. Dans de tels mouvements,

l’écoulement peut – être approximativement divisé en deux zones : i) une zone

proche de la paroi, de très faible épaisseur, appelée couche limite, où l’influence

des forces de frottement est importante et ii) une zone éloignée de la paroi,

appelée fluide libre, où l’influence des forces de frottement est négligeable.

Dans ce chapitre, on étudiera les équations de la couche limite. Les conséquences

de la couche limite sur l’écoulement le long d’une plaque sans et avec gradient de

pression y seront également abordées, ainsi que la résistance des obstacles

(objets) de forme différente en mouvement relatif.

1. Description de la couche limite

1.1. Notion de couche limite

Pour un écoulement à nombre de Reynolds important, on peut considérer le

fluide comme étant parfait. Cependant, une telle approximation n’est plus valable

pour un mouvement de fluide au voisinage d’une paroi (rigide).

On a constaté expérimentalement que pour les écoulements à nombre de

Reynolds élevé les effets des tensions totales sont limités à une couche de faible

épaisseur située près de la paroi, appelée couche limite, dont le concept et la

théorie ont été avancés par Prandtl.

La notion de couche limite est développée ici pour le cas d’une plaque ayant un

angle d’attaque nul par rapport à un écoulement de vitesse d’approche, ú� (voir

figure 1 et 2). Il n’y a pas de variation de pression �(�, �), dans les directions

parallèle ou normale à la plaque.

Dans un écoulement à couche limite, on distingue deux domaines :



i) un domaine où l’influence des tensions totales (voir équation 9.20) est

limitée à une région d’épaisseur T proche de la paroi (surface du corps),

qu’on appelle couche limite.

ii) un domaine extérieur à cette couche limite, où se situe l’écoulement du

fluide libre et parfait, dans lequel l’influence des tensions totales est nulle.

Figure 9.1

Dans la couche limite, les tensions totales, iªÆ(�), changent rapidement dans le

plan normal à l’écoulement ; la variation de la vitesse, ;Ð(�), est importante :

i) elle est égale à zéro à la paroi, ;Ð = 0, - adhérence des particules de fluide-

ii) elle s’approche à une valeur confondue avec la vitesse de l’écoulement à

fluide libre, ;Ð � ú�, à la distance T. Par conséquent, dans la couche limite où a lieu la déperdition d’énergie, le

gradient de vitesse, 3;Ð/3�, est élevé et l’écoulement retardé.

L’extension de la couche limite à partir de la paroi est définie par l’épaisseur de

la couche limite, T. Il faut cependant signaler que ces domaines ne sont pas

nettement délimités, il y a transition entre eux et le flux de masse est continu.

L’épaisseur de la couche limite, T��, croît le long de la paroi dans le sens de

l’écoulement du fluide.



L’écoulement dans la couche limite peut aussi bien être laminaire que turbulent.

1.2. Développement de la couche limite

Quand la couche limite se développe (voir figure 9.2) le long d’une paroi, on

constate qu’à partir du bord d’attaque, g, l’écoulement reste laminaire, mais qu’à

partir d’une certaine distance, �� = gg′ÐÐÐÐÐ, l’écoulement peut devenir turbulent. Le

passage entre ces deux types d’écoulement se fait dans une zone de transition. A

l’intérieur de l’écoulement turbulent, tout près de la paroi, il subsiste une couche

très mince appelée sous – couche visqueuse.

La distance, ��, sur laquelle la couche limite reste laminaire, est déterminée à

partir d’un nombre de Reynolds critique ainsi défini :

y4�( � ú��` ≡ H74(9.1) Pour une plaque plane, on donne :

5.10 < y4�( � 3.10Z valeur qui dépend du degré de turbulence dans l’écoulement du fluide libre

Le développement de la couche limite le long de deux plaques parallèles ou le long

d’une conduite cylindrique droite (voir figure 9.3) est semblable à son

développement le long d’une seule plaque (voir figure 9.2). a une certaine

distance, appelée longueur d’entrée, ∆= , les couches limites – laminaires ou

turbulentes se rencontrent. Après cette longueur d’entrée, l’écoulement est

complètement développé.



Figure 9.2

Pour une conduite de section circulaire, on a trouvé expérimentalement pour la

longueur d’entrée :

∆= 1⁄ � 0,06y4couchelimitelaminaire 50 � ∆= 1⁄ � 100couchelimiteturbulente

où 1 est le diamètre de la conduite et y4 � ú�1 `⁄ un nombre de Reynolds de

l’écoulement.

Pour un écoulement permanent dans une conduite, la région où la couche limite

est complètement développée représente un cas particulier et important.



Figure 9.3

1.3. Variation longitudinale de la pression

Jusqu’ici on a traité du développement d’une couche limite le long d’une plaque

plane (figure 9.2) avec une variation de pression longitudinale nulle :

�� = 0

On suppose à présent que la variation des pressions longitudinales est différente

de zéro :

�� 0ou �� 0(9.2� On admet que (voir équation 9.14) qu’il n’y a pas de variation de pression

perpendiculairement à la plane à travers la couche limite :

�� 0

A noter que la pression dans la couche limite est soumise aux mêmes gradients

de pression que le fluide libre.

La présence d’un gradient de pression, �3� 3�⁄ � � 0 , exerce une influence

importante sur la formation de la couche limite (voir figure 9.15)



Figure 9.4

Le gradient de pression négatif ou favorable, 3�/3� � 0 , est accompagné (voir

figure 9.4a) d’une augmentation de vitesse, (écoulement extérieur accéléré) 3ú�/3� � 0, dans le sens de l’écoulement (convergent) selon �. Cela s’explique par

l’équation intrinsèque du mouvement stationnaire du fluide libre (équation 9.3)

selon � : ú� 3ú�3� , 1A 3�3� � 0 �9.3�

Par conséquent, les profils de vitesse, ;Ð, s’adaptent selon la variation de vitesse, ú� , dans le fluide libre. L’épaisseur de la couche limite, T�� , laminaire ou

turbulente, augmente moins vite que pour un écoulement avec variation de

pression nulle.



Le gradient de pression positif ou défavorable, 3�/3� > 0, est accompagné (voir

figure 9.4b) d’une diminution de vitesse, (écoulement extérieur décéléré) 3ú�/3� < 0, dans le sens de l’écoulement (divergent) selon � (voir équation 9.3).

Une forte décélération dans la couche limite, T(�), laminaire ou turbulente, peut

provoquer un décollement. Près de la paroi, où la vitesse devient très faible,

l’énergie cinétique, usée par le frottement de la paroi, peut devenir insuffisante

pour combler l’augmentation de la pression. Par conséquent, il peut se produire

un renversement de l’écoulement : c’est le décollement. Le point, c , à partir

duquel, ce phénomène se produit, est appelé point de séparation ou de

décollement. La zone de décollement dite sillage, s’étend souvent, mais pas

toujours, à l’infini. Quand il y a décollement, la notion de couche limite perd sa

signification et l’écoulement ne reste plus parallèle à la paroi.

Le décollement, qui est accompagné d’une formation de tourbillons, joue un rôle

important dans les écoulements importants autour d’obstacles (sphère, cylindre,

etc.) et peut avoir de graves conséquences au point de vue technique, ceci par

une augmentation de la traînée et de la perte.

Pour retarder voire supprimer un décollement, il existe des remèdes :

i) Eviter une forte décélération quand l’angle d’attaque demeure m ≤ 7°, ii) Provoquer artificiellement par la mise en place d’un petit obstacle une

couche limite turbulente, reconnue pour se décoller moins facilement

que la couche limite laminaire, ou

iii) Aménager dans les parois une série de trous ou de fentes, par lesquels

on aspirera la couche limite.

2. Epaisseur de la couche limite

Pour l’étude d’un écoulement à couche limite, la définition de son épaisseur, T, joue un grand rôle. Il est devenu courant de la définir de la façon suivante :

a) T ≡ T� épaisseur conventionnelle

b) T ≡ T∗ épaisseur de déplacement

c) T ≡ ^ épaisseur d’impulsion ou de quantité de mouvement



On définit également un facteur de forme de la couche limite qui est donné par le

rapport :

± = T∗/^ Chacune de ces épaisseurs a un sens physique et on constate que T� > T > ^ Les expériences montrent que l’épaisseur de la couche limite, T (voir figure 9.2),

est proportionnelle à la distance du bord d’attaque, � , et au coefficient de

viscosité, _ (ou de coefficient de mélange, Q), et inversement proportionnelle à la

vitesse à l’infini, ú�, et à la masse volumique, A. On écrit :

T ∝ _. �A. ú� (9.4) et, avec des considérations dimensionnelles, on trouve :

T� ∝ `�ú� ∙ 1� = `ú��(9.4�) Cette relation peut être généralisée comme suit :

T� = ¤ ∙ 1y4Æ- (9.5) avec y4Æ � ú��/`; ¤ est un coefficient de proportionnalité et est une constante,

les deux dépendant du type d’écoulement, laminaire ou turbulent, et du gradient

de pression selon l’équation (9.4a), l’épaisseur relative, T/�, de la couche limite

est d’autant plus grande que le nombre de Reynolds, ú��/`, est petit.

Si l’on admet une épaisseur de T ≡ T� , on pourra donner et ¤ pour les

écoulements uniformes laminaire (voir équation 9.33) et turbulent (voir équation

9.43) respectivement :

% � 12 ; ¤% � 5,0 ) � 15 ; ¤) � 0,37



En général, l’épaisseur d’une couche limite turbulente est plus importante que

celle d’une couche limite laminaire.

L’épaisseur conventionnelle, T�, est la hauteur à laquelle la vitesse, ;Ð, atteint 99%

de la vitesse de l’écoulement libre, ú� ; par conséquent, ;Ð � 0,99ú� (voir figure

9.5).

Figure 9.5

L’épaisseur de déplacement, T∗ , est la hauteur à laquelle il faut déplacer

fictivement la paroi pour maintenir le flux de masse. Ainsi, on écrit (voir figure

9.5) :

Aú�T∗ � A § �ú� < ;Ð�3��]

L’épaisseur de déplacement est donnée par :

T∗ � 1ú� § �ú� < ;Ð�3��] � § >1 < ;Ðú�@ 3��

] �9.6� L’épaisseur d’impulsion ou de la quantité de mouvement, ^ , est la hauteur à

laquelle il faut déplacer fictivement la paroi pour maintenir le flux de quantité de

mouvement. Ainsi, on écrit :

Aú�� ^ � A § �ú� < ;Ð� ;Ð 3��]



L’épaisseur de l’impulsion , ^, est donné par :

^ = § ;Ðú� >1 − ;Ðú�@ 3��] (9.7)

Ainsi, l’épaisseur d’impulsion, ^ , exprime la perte de quantité de mouvement

nécessaire pour surmonter les forces de frottement dans la couche limite.

3. Equation hydrodynamique de la couche limite

3.1. Etablissement des équations

Le mouvement du fluide dans la couche limite, � < T, et celui du fluide libre, � > T, sont étroitement liés.

Supposons que l’écoulement laminaire dans la couche limite soit permanent,

�/�7 � 0 , et bidimensionnel, 1��(;, 0, ã) , et que le fluide soit incompressible. La

couche limite se développe le long d’une plaque plane. L’écoulement du fluide

libre est donné par la vitesse libre, ú�, et par la pression � = ��.

L’écoulement est décrit par :

i) Les équations de Navier–Stokes , selon � et � ii) L’équation de continuité.

Pour un écoulement à couche limite, certaines approximations sont justifiées.

On propose d’introduire pour les directions selon � et � les grandeurs

caractéristiques suivantes (voir figure 9.6) :

i) longueurs caractéristiques : o et T ii) vitesses caractéristiques :ú� et Ë¥ iii) pressions caractéristiques : ∏ Æ et ∏ ª

L’épaisseur de la couche limite étant mince par rapport aux distances

longitudinales, la longueur caractéristique T selon � est d’un ordre de grandeur

inférieure à la longueur caractéristique o selon �; on écrit :

To ≪ 1(9.8)



On considère ensuite pour chacune des équations de Navier – Stokes et de

continuité l’ordre de grandeur de chaque terme.

Figure 9.6

L’équation de continuité est donnée par :

�;�� , �ã�� = 0(9.9� ú�o Ë¥T

L’ordre de gradient de ces deux termes doit être le même ; par conséquent, on

écrit :

Ë¥ ~ú� To (9.10� Dans cette équation, étant donné que �T/o� ≪ 1 , on a �Ë¥ ú�⁄ � ≪ 1 . Par

conséquent, l’écoulement dans la couche limite est presque parallèle à la paroi.

L’équation de Navier–Stokes selon �, est donnée par :

; �;�� , ã �;�� = −1A �� , ` ��;�� , ��ã�� (9.11� ú��o Ë¥ú�

T~ú��o ∏ÆAo νú�o� νú�

T�



a) On constate que les deux termes dus aux forces d’inertie sont du même ordre

de grandeur.

b) Les deux termes dus aux forces de frottement sont d’un ordre de grandeur

différent, étant donné que (T o⁄ ) ≪ 1 ; donc le premier terme peut être négligé

par rapport au deuxième.

c) L’ordre de grandeur des termes d’inertie et des termes de frottement implique

que : ú��o ~ νú�T� L’épaisseur peut être alors estimée ainsi :

T ∝ o�y4� ; y4� = ú�oν

qui confirme bien la relation donnée par l’équation (9.4a), où � = o.

d) Etant donné la faible épaisseur relative, T/o, de la couche limite (voir équation

9.8), le nombre de Reynolds de l’écoulement est très grand.

L’équation de Navier–Stokes selon �, en négligeant la gravité est donnée par :

u �w�� + w�w�� <1A �� , ν��w�� ,��w�� (9.12) ú�Ë¥o ~ ú��o� Ë¥�T ~ ú�� To� ∏ªAT νË¥o� ~ νú�To� νË¥T� ~ νú�oT

i) On constate que les deux termes dus aux forces d’inertie sont du même de

grandeur ; étant donné que (T/o� ≪ 1 (voir équation 9.8) tous les deux sont

très petits.

ii) Les deux termes dus aux forces de frottement sont d’un ordre de grandeur

différent ; le premier terme peut être négligé par rapport au deuxième, mais

le dernier est très petit également.

Dans les deux équations (9.11 et 9.12), on constate que les termes de pression

doivent être du même ordre de grandeur que les autres termes les plus

importants, donc :

∏ÆAo ~ú��o ~νú�T�



∏ªAT ~ ú�� To� ~ νú�oT

et par conséquent on écrit :

∏ª∏Æ ~ T�o� (9.13� Etant donné que �T/o� ≪ 1, il est évident que ∏ª ≪ ∏Æ; la variation verticale de la

pression est donc négligeable et l’équation de Navier – Stokes selon �; équation

9.12, s’écrit :

0 = −1A �� 9.14� La pression reste constante à travers la couche limite et sa valeur est la même

que celle dans le fluide libre, � = ��. Ceci est une conclusion importante de la

théorie de la couche limite.

En résumé, les équations de Navier – Stokes et de continuité s’écrivent ainsi :

NñNñº + ìñNñë = −[KñWñº + a ñvNñëv �©. [C�

á = − [KñWñº �©. [CM� ñNñº + ñìñë = á�©. [¾�

Telles sont les équations hydrodynamiques de la couche limite laminaire

bidimensionnelle, ou équations de Prandtl, valables dans la couche limite, � < T,

avec les conditions aux limites suivantes :

; = ã = 0�5;�� = 0�9.17� ; = ú��5;�� = T�� → ∞�

On remarque que l’écoulement permanent dans le fluide libre, � > T, est décrit par

l’équation intrinsèque selon �, (voir équation 9.3) :



ú� 3ú�3� , 1A3��3� = 0(9.18� et après intégration, on obtient l’équation de Bernoulli :

A ú��2 + �� = H74�9.18�� Dans le fluide libre, il n’y a évidemment pas de variation de la pression selon �. La

pression, ��, reste constante, � = ��, et s’imprime à travers la couche limite.

En remplaçant l’équation 9.18 dans l’équation 9.15, les équations de la couche

limite s’écrivent :

; �;�� + ã �;�� = ú� 3ú�3� + ν ��;�� 9.19� �;�� + �ã�� = 0�9.16�

Les caractéristiques du mouvement bidimensionnel et permanent d’un fluide

incompressible dépendent de deux inconnues, ; et ã; donc les deux équations,

équations 9.19 et 9.16, sont suffisantes pour les résoudre. La vitesse libre, ú�,

est donnée par l’équation 9.18a.

3.2. Ecoulement turbulent

Les équations de la couche limite, équations 9.19 et 9.16, sont valables pour un

écoulement laminaire, où les tensions visqueuses sont données par l’équation

(9.19b). on peut aussi écrire l’équation 9.15 ainsi :

�;�� + �ã�� = −1A�� + �� >iA@ �9.19�� Où i = iªÆ, défini par :

iªÆ = _ �;�� 9.19�� Pour un écoulement turbulent, les tensions tangentielles totales sont donnés par :



iªÆ = _ �;Ð�� − A(;�ã�ÐÐÐÐÐÐ)(9.20� on peut alors écrire les équations de la couche limite ainsi :

;Ð �;Ð�� + ã� �;Ð�� = − 1A�� + ` ��;Ð�� − �� ;�ã�ÐÐÐÐÐÐ��9.21�

0 = − 1A�� 9.14�� ;Ð�� +�ã�� = 0�9.22�

où ;Ð et ã� ainsi que � sont des vitesses et des pressions moyennes temporelles et

Aó;�ã′ÐÐÐÐÐÐô représente les tensions de Reynolds.

3.3. Ecoulement uniforme

Les équations de la couche limite sont simplifiées pour un écoulement à vitesse,

ú�, constante et l’équation �9.18� donne :

3ú�3� = 0et 3�3� = 0

Les équations �9.21� et �9.22� se réduisent donc à :

;Ð �;Ð�� + ã� �;Ð�� = �� >iªÆA @�9.23� �;Ð�� +�ã�� = 0�9.22�

Lorsqu’on a affaire à un écoulement le long d’une plaque à incidence nulle, ces

équations sont utilisées avec l’équation �9.19�� ou l’équation �9.20� , selon que

l’écoulement considéré est laminaire ou turbulent.

4. Equation intégrale de Karman

4.1. Etablissement de l’équation

Le calcul de la couche limite à l’aide des équations différentielles données par les

équations �9.21� et �9.22� est en général peu commode et assez long.



On propose donc de trouver une solution globale en prenant l’intégrale des

équations différentielles, ce qui donne une méthode approximative pour le calcul

de la couche limite. Une relation utile entre la tension de frottement sur la paroi, i], et la répartition de la vitesse longitudinale, ;Ð, peut ainsi être établie.

Les équations de la couche limite pour un écoulement bidimensionnel permanent

et incompressible, équation (9.21� et �9.22� seront intégrées par rapport à �, entre

� = 0 et � = ℎ, où ℎ ≥ T. On les écrit respectivement comme suit :

§>;� �;Ð�� , ã� �;Ð�� − ú� 3ú�3� @ 3�/]

� § �� >iªÆA @3�/]

(9.24� ã� = §>�ã�� @ 3�

/]

� < § >�;Ð��@/]

3�(9.25� La substitution de l’équation �9.25� dans l’équation �9.24� donne :

§ ¬;� �;Ð�� −�;Ð�� § >�;Ð��@/

]3� − ú� 3ú�3� 3�

/]

= − i]A (9.24�� où la tension de frottement sur la paroi, i] est obtenue par :

§�iªÆ�� 3�/]

� í0 −i]î En intégrant par partie le deuxième terme dans la parenthèse, on obtient :

§�;Ð�� § �;Ð�� 3�/

]3�/

]� ú�§�;Ð�� 3�

/]

< § ;Ð �;Ð�� 3�/

]

et ensuite on récrit l’équation (9.24�� comme suit :

§>2;Ð �;Ð�� − ú� �;Ð�� −ú� 3ú�3� @3�/]

� < i]A (9.24�� Cette relation peut aussi être écrite ainsi :



33�§;Ð(ú� − ;Ð)3�/]

, 3ú�3� §(ú� − ;Ð)3�/]

� , i]A (9.26� Dans les deux intégrales, il est possible de prendre ℎ → ∞ du fait que l’intégrant

s’annule en dehors de la couche limite.

En utilisant les définitions d’épaisseur d’écoulement, T∗ , données par l’équation (9.6� et d’épaisseur d’impulsion ^ , donnée par l’équation �9.7� on peut écrire

l’équation �9.26� ainsi :

i]A = 33� �ú�� ^� + T∗ú� 3ú�3� (9.27� Telle est l’équation intégrale de Karman, ou équation globale de la quantité de

mouvement dans la couche limite, applicable aux écoulements laminaires ou

turbulents.

Pour pourvoir utiliser l’équation intégrale de Karman, équation �9.27� , il faut

connaître au préalable les répartitions de la vitesse longitudinale, ;Ð, à travers la

couche limite.

L’équation �9.27� peut aussi s’écrire comme suit :

i]Aú�� = �2^ + T∗) 1ú� 3ú�3� , 3^3� (9.28� ou encore

i]Aú�� = ^�± + 2� 1ú�3ú�3� + 3^3� �9.28��

où ± = T∗ ^⁄ est le facteur de forme de la couche limite.

Au lieu de i] = A;∗� , on utilise souvent une définition du coefficient de frottement

global sur la paroi, telle que :

¦� � i]Aú�� /2 = 2 ;∗�ú�� (9.29� qui est un nombre adimensionnel



4.2. Ecoulement uniforme

Pour un écoulement permanent, uniforme et sans gradient de pression (voir

équation (9.18�), on a :

3ú�3� � 047 3��3� = 0

Ensuite l’équation 9.27 se réduit à :

i]A � ú�� 3^3� (9.30� Le taux de variation de l’épaisseur d’impulsion, ^, suffit alors pour déterminer les

tensions de frottement sur la paroi, i].

La croissance de l’épaisseur d’impulsion, ^ , peut être calculée avec l’équation

9.30 où

3^3� � i]�Aú�� ¦�2 (9.31� L’équation 9.31 met en évidence que la variation de l’épaisseur d’impulsion, T ≡ ^,

diminue le long d’un écoulement à couche limite (voir figure 9.7) ; l’épaisseur T,

elle – même croît ; et que la tension de frottement sur la paroi, i] , diminue

également.

Figure 9.7



4.3. Ecoulement à gradient de pression

En utilisant l’équation 9.18 selon x :

ú� 3ú�3� = − 1A 3�3� (9.18� On écrit l’équation 9.27 ainsi :

A 33� �ú�� ^� = i] >1 + T∗i] 3�3�@(9.27�� On définit :

T∗i] 3�3� = 2 comme étant le paramètre d’équilibre de Clauser, qu’on utilise pour paramétriser

un écoulement avec gradient de pression longitudinale.

5. Ecoulement sans gradient de pression

On étudie ici le cas de l’écoulement plan le long d’une plaque mince, d’envergure

et de longueur L, infinies. L’angle d’attaque par rapport à la vitesse d’approche,

ú�, est nul.

Dans ce cas, la vitesse d’écoulement du fluide libre est constante partout, ú� = ¦56�7; aucune variation de pression n’a lieu. On écrit (voir équation 9.18b) :

3ú�3� = 047 3��3� = 0 Les équations de couche limite prennent alors la forme suivante :

;Ð �;Ð�� , ã� �;Ð�� = �� >iªÆA @(?52�é:;�7256(9.23�� ;Ð�� +�ã�� = 0�?52�é:;�7256(9.22��

Avec les conditions aux limites :



;Ð = ã� = 0�5;�� = 0 ;Ð = ú��5;�� = T(9.17��

Les tensions tangentielles totales sont données par :

iªÆ � _ �;Ð�� < A(;�ã�ÐÐÐÐÐÐ)(9.20� valables pour les écoulements turbulents et laminaire si les tensions de Reynolds, A�;�ã�ÐÐÐÐÐÐ�, sont négligeables.

5.1. Couche limite laminaire (figure 9.8)

Pour un écoulement laminaire, les tensions tangentielles totales, iªÆ,données par

l’équation �9.20�, sont confondues avec les tensions dues à la viscosité, donc :

iªÆ � _ �;�� (9.19��

Figure 9.8 :

On obtient une solution aux équations de la couche limite équation 9.23 et

équation 9.19b avec équation 9.22, en prenant les hypothèses de Blasius :

i) Les profils de vitesse sont auto-similaires ou affines le long de la plaque ;



ii) La répartition de vitesse est donnée par :

;ú� = �" !�T" (9.32� où �"��/T� est la même fonction quelle que soit sa position �, le long de la

plaque.

Pour l’écoulement laminaire, l’épaisseur de la couche limite, T, est donnée par :

T ∝ �y4Æ �⁄ �9.4��

avec y4Æ = ú�� ?⁄ . Donc l’équation (9.32) peut être écrite comme suit :

;ú� = �" !�� y4Æ �⁄ " (9.32�� La solution théorique proposée par Blasius, ainsi que des résultats

expérimentaux sont donnés à la figure 9.9 pour les composantes de vitesse selon

�et�, donc pour u et w.

L’épaisseur conventionnelle de la couche limite, T�, est donnée par la relation :

T� ≅ 5 ��y4Æ ,^ = 0,992�9.33� Les épaisseurs de déplacement, équation (9.6) et d’impulsion équation (9.7) sont

calculés respectivement par les relations :

T∗ = 1,73 ��y4Æ ,^ = 0,664 ��y4Æ (9.34� et ± = T∗ ^⁄ = 2,59.

On remarque que : 0 < T∗ < T�.

La couche laminaire se développe donc selon une parabole à partir du bord

d’attaque (voir figure 9.8) donc T ∝ √�.



Figure 9.9

Sur la figure 9.9, on constate aussi que :

Ëú� = 0,86�y4Æ à ;ú� = 0,992

Par cette frontière, où � b T�, le fluide pénètre dans la couche limite.

La tension de frottement sur la paroi, i], est donnée par :

i] � �Aú�� 3^3� (9.30� En utilisant l’équation �9.34�, et après différentiation, on obtient :

i] � 12 ∙ 0,664�y4Æ (Aú�� qui montre que i] ∝ 1 √�⁄ (voir figure 9.8). avec la définition du coefficient de

frottement local sur la paroi, (équation �9.29�), on a :

¦� � i]A ú�� 2⁄ � 0,664�y4Æ (9.35�



où y4Æ = ú�� `⁄ .

On peut en déduire que la force de frottement moyenne s’exerçant sur une face

de la plaque de longueur o et de largeur � est :

�� = �§i](�)3��

] = �1,328�y4�� A ú��2 ��o�(9.36� où y4� � �ú�o/`� et ��o� est une surface sur laquelle i]�� est intégré.

Utilisant la relation générale pour la force hydrodynamique due au frottement, on

écrit :

�� H��o�A ú��2 (9.37� où ��o� est la surface pour une plaque mouillée sur une seule face ; pour une

plaque mouillée sur les deux faces, on prendra �2�o�. H� représente le coefficient

de frottement moyen sur la plaque ; on le définit ainsi :

Figure 9.10



H� = 1o§¦�3��

] donnée ici par :

H� = 1,328�y4� (9.38� A la figure 9.10, l’équation �9.38� est comparée avec des données expérimentales.

La loi de frottement, équation �9.38� est valable en écoulement laminaire,

y4� < 5. 10 (figure 9.13). on constate une bonne concordance pour y4� > 5. 10� .

une déviation par rapport à la théorie est évidente pour de faibles y4�. Les erreurs

introduites par l’intégration de i]�� peuvent expliquer cette déviation.

5.2. Couche limite turbulente

A partir d’une certaine distance, �� , du bord d’attaque O, de la plaque (voir

équation 9.1) l’écoulement laminaire devient turbulent.

En mouvement turbulent les tensions totales tangentielles, iªÆ sont données par :

iªÆ = _ 3;Ð3� − A�;�ã�ÐÐÐÐÐÐ��9.20� Une solution aux équations de la couche limite, donnée par les équations 9.23 et

9.20, était possible pour une couche limite laminaire (paragraphe 5.1) mais elle

est impossible pour une couche limite turbulente. On est alors obligé d’utiliser

des méthodes approximatives en faisant l’hypothèse d’une répartition de vitesse.

La répartition de vitesse pour un écoulement turbulent est développée en détail

au chapitre FR3 ; elle est donnée par :

i) les relations

;Ð;∗ = �;∗` ; ;Ð;∗ = 5 ln !�;∗` " ; ú-!Æ < ;Ð;∗ = 1 ln >T�@ , Π ±2 − ã² !�T"³ ii) la relation empirique proposée par Prandtl.



Figure 9.11

Cette relation empirique, encore appelée loi de puissance est donnée par

l’expression :

;Ðú� = !�T"/t (9.39� qui est valable pour y4Æ � 10t, aussi bien pour une plaque lisse que pour une

plaque rugueuse. Mais cette relation n’est pas valable au voisinage de la paroi, où

une autre relation de Prandtl donnée sous la forme :

ú�;∗ � 8,74 >T;∗` @/t (9.40� peut être proposée ; elle est valable pour de faibles nombres de Reynolds.

Dans la relation (9.40), ;∗ est la vitesse de frottement et vaut ;∗ � �i] A⁄ .

La répartition de vitesse pour un écoulement turbulent (9.39) peut être comparée

avec celle pour un écoulement laminaire, équation (9.32), comme le montre la

figure 9.12.




i] = (Aú�� 3^3� (9.30�

Figure 9.12

avec la définition de l’épaisseur d’impulsion :

^ � § ;Ðú� >1 < ;Ðú�@ 3�(9.7��

]

Puis on écrit une expression pour i] � A;∗� en utilisant l’équation �9.40�: i] = 0,0225(Aú�� (` Tú�⁄ )d(9.30��

La substitution de l’équation (9.7) dans l’équation (9.30) tout en utilisant

l’expression de la répartition de vitesse, équation (9.39), donne :

i] � �Aú�� ) 33�§ !�T"t ´1 < !�T"tµ3��

] ¶ (9.41� Après intégration et en l’égalant à l’équation �9.30��, on obtient :



7723T3� = 0,0225 > `T�ú�@/d �9.42� où T ≡ T�. Après séparation des variables et intégration, on obtient l’expression

pour l’épaisseur conventionnelle de la couche limite turbulente :

T� = 0,37 �y4Æ/ �9.43�

A noter que la couche limite turbulente croît selon �d/ (voir figure 9.11), donc

plus rapidement que la couche limite laminaire qui se développe suivant �/� (équation �9.33�). Les épaisseurs d’impulsion et de déplacement sont données par :

^ = 772T�; T∗ = 18T�; 47± = T∗ ^⁄ = 1,28 L’équation (9.42� permet de calculer le coefficient de frottement local sur la paroi,

soit :

¦� = i](Aú�� 2⁄ = 0,045 > `T�ú�@/d �9.42�� qui devient en utilisant l’équation (9.43) :

¦� = 0,0576y4Æ ⁄ (9.42�� où y4Æ = ú� � `⁄ .

La force de frottement qui s’exerce sur une face de la plaque, de longueur o, et de

largeur �, est calculée à partir de :

�� = H��o�Aú��2 �9.37� et avec le coefficient de frottement moyen de la plaque :

H� = 0,074y4� ⁄ �9.44� où y4� = ú� o `⁄ .



Il faut cependant noter que l’équation (9.39), donc l’équation (9.44) également,

n’est pas valable pour y4� � 10t, mais qu’il est possible d’utiliser une relation de

Schlichting en remplacement :

H� = 0,455(logy4�)�. [(9.44�) Cette équation a été obtenue en admettant une répartition logarithmique de

vitesse ; rappelons que pour obtenir l’équation (9.44), on a admis une relation

exponentielle (9.39).

Les deux relations pour l’écoulement turbulent équations (9.44) et (9.44a) sont

représentés à la figure 9.13, ainsi que l’équation (9.38), pour l’écoulement

laminaire. On note ici que le coefficient de frottement de la couche limite

laminaire est inférieur à celui de la couche limite turbulente, d’où l’intérêt de

maintenir autant que possible un écoulement laminaire.

Si la plaque de longueur o , se trouve dans une couche limite laminaire et

turbulente (figure 9.11), le coefficient de frottement, H� , englobe la fraction

laminaire de g��ÐÐÐÐÐ, plus la fraction turbulente de ��oÐÐÐÐÐ. Le coefficient de frottement

de la plaque, H�, est moins important que son estimation avec l’équation (9.44) ou

l’équation (9.44�) . une formule pour la zone de transition est donnée par

Schlichting :

H� = 0,455(logy4�)�, [ −� y4�⁄ (9.45) où la contrainte A, est donnée par :

ú��/` 3.10 10Z 3.10Z � 1050 3300 8700

Cette relation, équation (9.45) est aussi indiqué à la figure 9.13.

On voit cependant à la figure 9.13 qu’au – delà de y4� � 3. 10t la couche limite est

presque totalement turbulente, la contribution de la fraction laminaire étant

négligeable. La relation donnée par l’équation (9.44) est alors valable quelle que

soit la longueur de la plaque.



Dans la couche limite turbulente, tout près de la paroi, il existe une très mince

couche appelée semi – couche visqueuse. Son épaisseur est exprimée par :

�� = 5 ;∗ En utilisant l’équation �9.29�, on peut écrire :

T� � 5` 1ú� 2¦�

Où ¦� est le coefficient de frottement local donné par l’équation �9.42��.

Figure 13



Figure 14

La rugosité de la surface d’une paroi exerce une grande influence sur les

caractéristiques de la couche limite, donc sur la référence.

En partant des études de Nikuradse, Schlichting a proposé des valeurs de

coefficient de frottement moyen de la plaque, H�, qui sont représentées à la figure

9.14, où chaque courbe correspond à une valeur constante de la rugosité relative, �# o⁄ . La rugosité est donc paramétrisée par une rugosité relative �# o⁄ , où �# est la

rugosité standard, considérée comme la rugosité de grain de sable selon

Nikuradse, et o est la longueur de la plaque. Des valeurs de rugosité standard,�#, utilisées habituellement pour les surfaces (conduites) industrielles sont données

au chapitre PP.2.4 (voir Tableau PP.2.)

La figure 9.14 montre une relation de la forme suivante :

H� � ��y4� ,o �#⁄ 5; ú��# `⁄ �(9.46�



où la ligne pointillée délimite (à droite la région où l’écoulement est pleinement

rugueux et où le coefficient de frottement, H�, ne dépend que de l’inverse de la

rugosité relative, o �#⁄ ; Schlichting propose la relation suivante :

H� � �1,89 , 1,62 log > o�#@��, [ �9.47� qui est valable pour 10� < �o/�#� < 10Z. A noter que la figure 9.14 est établie pour

une couche limite turbulente commençant instantanément au bord d’attaque,

donc OO′ÐÐÐÐÐ = zéro (voir figure 9.11)

6. Ecoulement avec gradient de pression

On étudie ici le cas de l’écoulement plan le long d’une plaque mince, d’envergure

et de longueur, o, infinies, (voir figure 9.4) soumis à un gradient de pression

longitudinal.

Dans ce cas, la vitesse de l’écoulement du fluide libre varie le long de la plaque. Il

est rappelé que l’équation intrinsèque d’un mouvement stationnaire s’écrit

comme suit :

ú� 3ú�3� , 1A 3�3� = 0 �9.18� Pour simplifier, on néglige le poids du liquide ; mais on peut toutefois en tenir

compte en substituant � ∗ = (� , A�� pour �.

Ensuite on distingue deux cas :

a) l’écoulement accéléré : la vitesse augmente, 3ú� 3�⁄ � 0, et par conséquent

la pression diminue, 3� 3�⁄ < 0 ; dans le sens de l’écoulement ;

b) l’écoulement décéléré : la vitesse diminue, 3ú� 3�⁄ � 0, et par conséquent la

pression augmente, 3� 3�⁄ � 0 ; il peut y avoir décollement.

Les deux types d’écoulement sont décrits un peu plus haut. (paragraphe 1.3) et

représenté à la figure 9.4



Les équations pour l’écoulement dans la couche limite selon � sont représentés

par :

;Ð �;Ð�� , ã� �;Ð�� = ú� 3ú�3� , �� >iªÆA @ (9.21� �;Ð�� + �ã�� = 0�9.22�

avec les conditions aux limites suivantes :

;Ð = ã� = 0�5;�� = 0 ;Ð = ú��5;�� = T�9.17��

Les tensions tangentielles totales sont données par :

iªÆ = _ �;Ð�� − A�;�ã�ÐÐÐÐÐÐ��9.20� valables pour l’écoulement turbulent et pour l’écoulement laminaire où les

tensions de Reynolds, Aó;′ã′ÐÐÐÐÐÐô, sont négligeables.

La vitesse du fluide libre le long de la plaque peut être donnée sous la forme

d’une simple fonction de puissance :

ú�� = H�-�9.48� où Het sont des constantes. Pour > 0 il y a écoulement accéléré et pour

< 0 il y a écoulement décéléré le long de la plaque ; pour = 0, l’écoulement

reste uniforme.

A la figure 9.15, on représente schématiquement la répartition de vitesse dans

une couche limite pour les écoulements suivants :

a) uniforme, avec

3�3� = 047 = 0 b) accéléré, avec

3�3� < 047 > 0



c) décéléré, avec 3�3� � 047 � 0

Par rapport à l’écoulement uniforme, l’écoulement accéléré a un profil de vitesse

avec un plus grand coefficient de remplissage, l’écoulement décéléré, par contre,

présente un profil de vitesse avec un coefficient de remplissage plus petit.

Figure 9.15


i]Aú�� 3^3� , ^(± , 2� 1ú� 3ú�3� (9.28�� ou

i]Aú�� 3^3� , ^(± , 2� 1Aú�� >−3�3�@ (9.28�� où ± � T∗ ^⁄ est un facteur de la forme de la couche limite.

On peut écrire :

i] = � > ;Ðú� , 3�3�@ La forme de cette fonction sera donnée ci – après.



6.1. Couche limite laminaire

Pour une méthode approximative de calcul de la couche limite laminaire, donnée

par les équations (9.19) et (9.16) est proposée par Pohlhausen, en supposant que

la répartition de la vitesse est donnée par :

;ú�(�) = �. !�T", ΛÒ. !�T" (9.49� où �.etÒ.sont des polynômes de 4e degré, et ensuite Λ étant le facteur de forme

de Pohlhausen ainsi défini :

Λ � T��` ∙ 3ú�3� (9.50� Pour une valeur donnée de Λ , on obtient une répartition de vitesse comme

indiquée à la figure 9.16.

Le domaine de validité est :

−12 < Λ < +12 Si Λ < −12, un décollement se produit (figure 9.4) ; si Λ > +12, on a ; ú�⁄ > 1, ce

qui est exclu pour un écoulement stationnaire.

Pour un écoulement uniforme, ú� = H74 et 3� 3�⁄ = 0 , la valeur de Λ devient : Λ = 0



Figure 9.16

On écrit alors la répartition de vitesse donnée par l’équation (9.49) comme suit :

;ú� =�. !�T" ≡ �" !�T" qui est une expression qu’on utilise pour remplacer celle de Blasius, �", donnée

par l’équation (9.32).

Avec la répartition de vitesse de l’équation (9.49), on peut calculer :

i) l’épaisseur de déplacement donnée par l’équation �9.6�: T∗T� � 310 < Λ120 (9.51�

ii) l’épaisseur d’impulsion donnée par l’équation (9.7)

T� = 37315 − Λ945 , Λ�9072 (9.52� A noter que les valeurs obtenues pour Λ � 0 sont comparables aux valeurs

données par les équations �9.33� et �9.34�.



La tension due au frottement à la paroi, i] = _(�; ��⁄ )ªI] , et le coefficient de

frottement, ¦�, sont donnés respectivement par :

i] = ú�T� _ >2 , Λ6@ (9.53� ¦�2 = i]Aú�� > ?T�ú�@ >2 , Λ6@

Il existe un autre facteur de forme tel que :

T = ^�` 3ú�3� où ^ est l’épaisseur d’impulsion. On écrit également :

T = Λ >T�@� en utilisant l’équation (9.50�. Le facteur de forme de Pohlhausen, équation �9.50� , est une quantité

adimensionnelle qui peut être aussi écrite ainsi :

Λ = T��` 3ú�3� = T��_ú� >−3�3�@ = T�i] >−

3�3�@�9.50�� Avec i] = _�ú� T�⁄ � comme tension de frottement sur la paroi.

Λ est interprété comme le rapport entre les forces dues aux pressions et celles

dues aux viscosités, ou encore comme le rapport du gradient longitudinal des

forces de pression au gradient transversal des forces de viscosité.

6.2. Couche limite turbulente

La répartition de vitesse pour un écoulement turbulent est donné par la loi

vitesse déficitaire selon Coles :

ú� − ;Ð;∗ = 1 ln >T�@ , Π ±2 − ã² !�T"³ (9.54�



Cette relation est valable à travers toute la couche limite, à l’exception de la

couche visqueuse, donc dans la zone délimitée par 0,01 < (�/T� < 1,0. On a défini

la fonction de sillage de Coles par :

ã² !�T" ≅ 2 sin� !x2 �T" �9.54�� où Π est une constante qui dépend du gradient de pression longitudinal ; n peut

donc écrire :

Π = � >3�3�@ �9.55� Le gradient de pression adimensionnel suivant est ainsi proposé (paragraphe

4.3) :

2 = T∗i] 3�3� (9.56� On l’appelle paramètre d’équilibre de Clauser, où i] est la tension de frottement

sur la paroi et T∗ l’épaisseur de déplacement. Pour un écoulement en équilibre, la

valeur de 2 doit rester constante.

Le paramètre de Clauser, 2, qui donne le gradient de pression adimensionnel,

représente un rapport entre les forces dues à la pression et celles dues au

frottement. Pour l’écoulement turbulent, on paramétrise le gradient de pression

par 2, et pour un écoulement laminaire par Λ (voir équation (9.50a)) ; les deux

peuvent être comparés.

Ensuite une expression empirique proposée par White pour les écoulements en

équilibre mais valables approximativement aussi pour ceux en non – équilibre est

donnée par :

Π ≅ 0,8(2 , 0,5)],t (9.57� D’où l’on tire les conclusions suivantes :

a) Pour les écoulements sans variations de pression :

3�3� = 0; 2 = 0; 47Π ≅ 0,5



b) Pour les écoulements avec augmentation de pression :

3�3� � 0; 2 � 047Π � 0,5 c) Pour les écoulements avec diminution de pression :

3�3� < 0; 2 < 047Π < 0,5 A noter que pour 2 = −0,5 on obtient Π = 0; donc le terme de sillage dans

l’équation (9.54) va disparaître.

Il faut signaler que l’influence due à un gradient de pression, 3� 3�⁄ ,

i) est en général limitée à la zone extérieure de la couche limite,

ii) peut-être remarquée dans la zone intérieure, où s’applique la loi

logarithmique – à noter qu’avec une forte diminution du gradient de

pression une tendance à une diminution de la turbulence (laminarisation)

se manifeste –,

iii) est sans influence sur la région visqueuse.

La répartition de vitesse pour des surfaces lisses et rugueuses, selon l’équation

(9.54), est représentée à la figure 9.17 pour des variations longitudinales de

pression. On constate :

a) 2 = 0

Π ≅ 0,55

dans le cas d’un écoulement à couche limite

sans gradient de pression, déterminés à partir

des données de Zippe et Graf et de Klebanoff ;

b) 2 � 0

Π � 0,55


avec gradient de pression positif, déterminés à

partir des données de Clauser (2 ≅ 2472 ≅ 7); c) 2 < 0

Π < 0,55


avec faible gradient de pression négatif,

déterminés à partir des données de Herring et

Norbury (2 = −0,35472 = −0,53);



et dans le cas d’un écoulement dans les canaux,

déterminés à partir des données de Reichardt (2 < 0�.

Figure 9.17

Le coefficient de frottement est donné par (voir équation (28.a)) :

¦�2 � i]Aú�� 3^3� , ^(± , 2� 1Aú�� >− 3�3�@ (9.28�� Qualitativement, on voit que :

i) pour 3� 3�⁄ � 0, on a 2 � 0 et le coefficient de frottement, ¦� ≅ ¦�$ , est

donné par :

¦�] � 0,0225 >ú�T�` @/d (9.42�� puis avec �^ T�⁄ � � 7 72⁄ , on obtient :

¦�$ � 0,0126 >ú�^` @/d (9.58� ii) pour 3� 3�⁄ � 0, on a 2 � 0 et selon l’équation (9.28b), le coefficient de

frottement, ¦�º, est : ¦�º � ¦�$ iii) pour 3� 3�⁄ < 0, on a 2 � 0 et on obtient l’inverse, donc : ¦� � ¦�$



Il n’existe actuellement pas de relation entre la répartition de vitesse, équation

(9.54), et le coefficient de frottement ¦�, mais on dispose de différentes relations

empiriques :

i) Schlichting propose d’utiliser le coefficient de frottement, ¦�, de la même

façon que pour un écoulement sans gradient de pression, mais pour

une vitesse d’approche variable, ú�(�) ; donc l’équation (9.40a) ou

plutôt de l’équation (9.58).

ii) A partir de résultats expérimentaux, Ludwieg et Tillmann proposent la

relation empirique suivante : ¦�2 = i]Aú�� 0,123 . 10],Zt[® >ú�^` @],�Z[ �9.59� où ± = T∗/^ est un facteur de forme qui est :

�3� 3�⁄ � < 0 ± � 1,4 accélératif �3� 3�⁄ � = 0 ± ≅ 1,4 5; �1,27) �3� 3�⁄ � � 0 ± � 1,4 décélératif

L’équation (9.59) est valable pour 1,2 < ± < 2,4 et devient l’équation (9.58) pour

± ≅ 1,36.



Exercices

Exercice 1

Une plaque plane lisse de 15 m de long et de largeur unitaire se trouve immergée

dans un écoulement d’eau à 20°C. L’angle d’attaque par rapport à la vitesse

d’approche est nul. Il s’établit un courant parallèle à la plaque.

i) Déterminer la vitesse d’approche pour que la couche limite reste laminaire

sur toute la longueur de la plaque.

ii) Calculer et tracer l’épaisseur de la couche limite, laminaire ou turbulente,

le long de la plaque pour une vitesse d’approche de 0,5 m/s supérieure à

celle déterminée au cas (2). iii) Quelle est la répartition des tensions de frottement le long de la plaque, i],

pour le cas (i) ?

iv) Quelle est la force hydrodynamique de frottement, ��, sur la plaque lisse

pour le cas (ii) ?

On donne ` = 1,004.10Z � �⁄ .

Exercice 2

Une plate–forme sous–marine carrée de 80m de côté est immergée en mer. Sa

rugosité relative est estimée à ��# o⁄ � = 2.10 . i) Déterminer la force de frottement exercée sur la plate – forme pour un

courant marin moyen de 1cm/s.

ii) Pendant une tempête, le courant est multiplié par le facteur 100. Quelle

est alors la force de frottement en résultant ?

iii) Pour quelle vitesse de courant l’influence de la rugosité est – elle

négligeable ?

iv) Un caisson de 5m de haut est placé au centre de la plate – forme. Est –

il entièrement compris dans l’épaisseur de la couche limite dans les

conditions (i) et (ii)



Exercice 3

Un fluide incompressible se déplace le long d’une plaque poreuse avec une vitesse

U dans la zone à l’extérieur de la couche limite. Une partie de ce fluide pénètre

dans le milieu poreux à une vitesse uniforme ?] telle que ?] ≪ ú . Trouver la

relation intégrale de quantité de mouvement ("intégral momentum relation") pour

ce cas spécial de couche limite.

Exercice 4

Une bonne approximation de la distribution de vitesse dans une couche limite

laminaire pour un écoulement incompressible sur une plaque plane est : ; ú�⁄ = �W , �W� , ¦W�; 5ùW = h/T

a) Ecrire les conditions aux frontières.

b) Trouver les constantes a, b, et c.

c) Calculer T∗, ^, i],47T.

ú

; T

1



CHAPITRE 10 :

SIMILITUDE ET ANALYSE DIMENSIONNELLE

Jusqu’à maintenant nous avons traité les méthodes analytiques pour solutionner

les problèmes de mécanique de fluide. Pourtant dans la pratique, ces méthodes

ne sont pas toujours satisfaisantes pour les raisons suivantes :

(2) souvent des simplifications sont nécessaires pour résoudre les

problèmes;

(3) une analyse détaillée peut être chère.

La méthode alternative est d’utiliser la méthode expérimentale et de dériver des

corrélations applicables aux tous les cas rencontrés du même type de problème.

Pour mener à bien une telle étude et analyse, il faut planifier et organiser bien les

procédures expérimentales ; si non, on aura :

• des difficultés techniques,

• de perte de temps,

• un coût élevé.

Ceci sera surtout le cas puisqu’on utilise souvent des modèles dans les

conditions expérimentales et certaine fois des fluides différents. L’analyse

dimensionnelle nous offre une procédure pour éviter les problèmes éventuels et

assurer d’obtenir des corrélations sans dimension qu’on peut utiliser dans les

conditions pratiques et d’une façon quasi universelle, i.e. dans les conditions

dynamiques similaires incluant avec d’autre fluide qu’on a obtenu ces

corrélations.

4. Similitude des écoulements

Les équations de Navier Stokes avec les conditions aux limites souvent complexes

bien que présentant dans la plupart des cas un intérêt pratique, sont difficiles et

parfois impossibles à résoudre analytiquement.



On fait alors recours à des méthodes expérimentales, c’est-à-dire effectuer des

essais sur prototypes et/ou sur des modèles.

Les modèles sont en général moins coûteux que les prototypes et se prêtent

souvent à une étude plus facile.

En construction hydraulique et navale, ou en aéronautique, les essais sur

modèles réduits houent un rôle important.

Si l’on préfère avoir recours aux essais sur modèles, il faut connaître les rapports

ou échelles de similitude.

L’exigence est d’avoir similitude entre le modèle et ses conditions expérimentales

et le prototype et ses conditions d’opération. Dans ce contexte la similitude est

définit comme ‘tous les nombres sans dimension ont les mêmes valeurs pour le

modèle et le prototype.’

Il existe deux méthodes de recherche des conditions de similitude :

- La méthode directe qui utilise les forces physiques dans les équations

réduites du mouvement

- L’analyse dimensionnelle.

La similitude en mécanique de fluide est classifiée en trois :

� Similitude dynamique

� Similitude géométrique,

� Similitude cinématique,

1.1. Similitude géométrique

On peut considérer le système représenté sur la figure suivante comme

l’illustration d’un système modèle/prototype.



La similitude géométrique exige que toutes les dimensions géométriques

homologues sur le modèle o- et sur le prototype o. soient proportionnelles : o-o· � o( � 1-1· � ¦74(10.1� où o( est une échelle des longueurs de référence sans dimension et l’indice � représente le rapport modèle/prototype : � = �⁄ .

Par conséquent, l’échelle des surfaces et des volumes homologues du système

modèle/prototype sera respectivement :

c-c· = o(� = 1-�1·� = ¦74(10.2� ?-?· = o(� = 1-�1·� = ¦74(10.3�

1.2. Similitude cinématique

La similitude cinématique exige que toutes les vitesses en des points homologues

sur le modèle, ú- et sur le prototype, ú· soient proportionnelles :

ú-ú· = ú( = ?-?· = ¦74(10.4� ú( étant une échelle des vitesses de référence sans dimension.

Grandeur caractéristique

Vitesse de décantation ? d’une particule de diamètre D subissant une

force d’Archimède A¬ dans un liquide de masse volumique

v

1·

�·

��

1·

�-

1-

�-�

?-

prototype modèle

similtude



En utilisant l’équation (5), on obtient l’échelle des temps comme suit :

G-G· = G( = o(ú( = H74(10.5� 1.3. Similitude dynamique

Les conditions de similitude dynamique impliquent que l’échelle des longueurs,

l’échelle des vitesses et l’échelle des forces demeurent constantes.

La similitude dynamique exige que toutes les forces en des points homologues sur

le modèle, �- et sur le prototype sur le modèle, �· soient proportionnelles :

�-�. = �( = �-¬�·¬ = ¦74(10.6� où �( représente une échelle des forces de référence sans dimension.

Etant donné que la masse reste constante, les forces dans les deux systèmes

satisfont à l’équation de Newton :

7 �5�¦4� = ( ��4� × (�¦¦é=é��7256) On écrit :

�-�· = �( � (A(o(��-¼>o(G(�@=!¼

= A(o(� >o(G( @� = A(o(�ú� = H74(10.7� Où A( est l’échelle des masses volumiques. Par conséquent, les échelles des

puissances et des débits sont respectivement :

�-�. = �( = �(ú( = A(o(�ú(�. ú( = A(o(�ú(� = H74�10.8� ù-ù· = ù( = ú(o(� = H74�10.9�

La similitude dynamique est la conséquence des similitudes géométrique et

cinématique.



2. Equations réduites

• Supposons qu’un écoulement laminaire soit bidimensionnel, 1��(;, ?, 0) et que

le fluide soit incompressible, pesant et de densité constante. L’écoulement est

décrit par :

1) L’équation de continuité : �;�� ,�?�h = 0(10.10� 2) Les équations de Navier – Stokes dans les directions �eth ;

�;�7 + ; �;�� + ? �;�h = − 1A�� + ` ��;�� + ��?�h��10.11� �?�7 + ; �?�� + ? �?�h = −1A��h − � + ` ��?�� + ��?�h��10.12�

• Une méthode de normalisation de ces équations sera appliquée en admettant

les grandeurs caractéristiques suivantes :

i) o� est une longueur caractéristique ; par exemple une dimension d’un

corps solide ou le diamètre d’une conduite ;

ii) ú� est une vitesse caractéristique ; elle peut – être la vitesse d’approche

ou la vitesse moyenne.

• Au lieu de considérer les variables indépendantes, �, � et 7, on prendra les

variables adimensionnelles suivantes :

� = �o� ; hÐ = ho� ; 7 = 7o� ú�⁄ (10.13� Ensuite, au lieu de considérer les variables dépendantes ; , ? et � , on

choisira :

;Ð = ;ú� ; ? = ?ú� ; �� = �∗ �⁄ú�� (10.14� Où � est remplacé par �∗ = � , A�8 pour un écoulement en perte.

Une seule équation de mouvement suffit pour connaître les coefficients

adimensionnels qui ont un intérêt majeur pour la compréhension de la

similitude dynamique.

Les équations (10.13) et (10.14) permettent d’écrire :

� � �o� ; h = hÐo�; 7 = o�ú� 7 ; ; = ú�;Ð; ? = 1�?; � = Aú�� − A�o�8Ð



Ainsi, on a successivement : �;�� = ú�o� �;Ð�� ; �?�h = 1�o� �?�hÐ ; �;�7 = ú��o� �;Ð�7 ; �;�� = ú��o� ;Ð �;Ð�� ; ? �;�h = ú��o� ? �;Ð�hÐ ; −1A �� = −ú��o� �� , � �8Ð�hÐ ��;�� ú�o�� ;Ð�� ; ��;�h� � ú�o�� ;Ð�hÐ� les équations (10) et (11) deviennent : ú�o� �;Ð�� , ú�o� �?�hÐ = ú�o� >�;Ð�� , �?�hÐ@ = 0 ⟹ �;Ð�� , �?�hÐ = 0(10.15�

ú��o��;Ð�7 + ú��o� ;Ð

�;Ð�� + ú��o� ?�;Ð�hÐ = −ú��o�

�� + � �ℎÐ�� + ` ú�o� ��;Ð�� + ��;Ð�hÐ��

�;Ð�7 + ;Ð �;Ð�� + ? �;Ð�hÐ = −�� + 1�(� �ℎÐ�� + 1y4∇�;Ð�10.16�

Les équations (10.15) et (10.16) ainsi écrites sont appelées équations réduites ;

elles sont sans dimension, mais font apparaître des coefficients adimensionnels

dépendant des données de l’écoulement.

3. Nombres adimensionnels

Dans l’équation (16), on a successivement :

�(� = ú��o� ⟹ �( � ú��o� (10.17� Appelé Nombre de Froude : c’est le rapport entre les forces de gravité (accélération

de la pesanteur) et les forces d’inertie, par volume unitaire.

Le nombre de Froude est d’une importance capitale lorsque les forces de gravité

influencent le mouvement d’un fluide (parfait) et que les forces de viscosité sont

négligeables par rapport aux forces d’inertie et de pesanteur.

Le nombre de Froude joue un rôle important dans tous les problèmes relatifs aux

écoulements à surface libre comme exemple.

� l’écoulement dans les canaux

� l’écoulement dans des ouvrages (déversoir, seuil, etc.)



� le mouvement des ondes aquatiques de surfaces

y4 = ú�o�` (10.18� Appelé le nombre de Reynolds exprimant le rapport entre les forces d’inertie et les

forces de viscosité, par volume unitaire.

Le nombre de Reynolds est d’une importance capitale lorsque les forces de

viscosité influencent le mouvement d’un fluide réel ; les forces de pesanteur sont

alors négligées. Le nombre de Reynolds s’avère très utile pour caractériser un

écoulement, qu’il soit laminaire ou turbulent.

Le nombre de Reynolds joue un rôle important dans tous les problèmes

d’écoulement des fluides non pesants où les forces de frottement dues à la

viscosité et à la turbulence sont prépondérantes, comme par exemple :

- l’écoulement en charge ;

- l’écoulement autour d’un corps immergé ;

- l’écoulement à couche limite, etc.

4. Analyse dimensionnelle : Théorème Π de Buckingham

Nous allons faire les définitions suivantes :

6 = le nombre de paramètres indépendants du problème ;

�’ = le nombre de dimensions de base trouvées dans les n paramètres ;

�= le nombre de dimensions de base nécessaires à considérer simultanément ;

� = le nombre de termes Π indépendants qui peut être identifié pour décrire le

problème, � = 6– �

Les étapes à suivre pour l’analyse dimensionnelle sont :

� Lister les n paramètres du problème

� Exprimer les dimensions de chaque paramètre en utilisant les dimensions

de base, (Ñ, o, 7, ^).



� Compter le nombre des dimensions de base utilisé, �’, dans l’ensemble des

paramètres considérés

� Trouver le nombre � en supposant initialement � = �’ et chercher les

paramètres répétés qui ne forment pas un produit Π . Si ce n’est pas

possible, réduire � par un et répéter la procédure.

� Choisir j paramètres répétés qui ne forment pas le produit Π

� En choisissant les paramètres non répétés, un par un, et mettant ensemble

avec les paramètres répétés, former les Π ; trouver algébriquement les

puissances de chaque paramètre répété pour faire les Π sans dimension

� Écrire la combinaison de Π ainsi trouvé dans une forme de fonction :

Π� = �(Π1,Π2,…Π2).

Exercice

Considérons l’écoulement visqueux dans un conduit cylindrique. Le problème

consiste à trouver la chute de pression sans dimension en fonction des autres

paramètres sans dimension. Les paramètres de ce problème sont : ∆P = chute de

pression, 1 = vitesse moyenne, 1 = diamètre, o = longueur, A = densité, μ =

viscosité, Q = rugosité. Donc, nous avons ∆� = paramètre dépendant et (1,1, o, A, μ, Q) = paramètres indépendants.

Mécanique des Fluides Pour Ingénieurs

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