Généralités - Rappels Statique des uides Relation de Bernoulli Cou he limite laminaire
Mé anique des uides
Olivier Boiron
E ole Centrale Casablan a
Janvier 2018
Olivier Boiron E ole Centrale Casablan a
MF
Généralités - Rappels Statique des uides Relation de Bernoulli Cou he limite laminaire
Sommaire
Généralités - Rappels
Equations générales
Eléments de rhéologie
Equations sans dimension
Eorts sur les orps
Statique des uides
Relation de Bernoulli
Cou he limite laminaire
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Sommaire
Généralités - Rappels
Equations générales
Eléments de rhéologie
Equations sans dimension
Eorts sur les orps
Statique des uides
Relation de Bernoulli
Cou he limite laminaire
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Généralités - Rappels Statique des uides Relation de Bernoulli Cou he limite laminaire
Equations générales
Introdu tion - Rappels
Généralités
Les uides onsidérés dans le adre de e ours sont assimilés à des milieux
ontinus.
La parti ule uide est le volume élémentaire ma ros opique de uide onsidéré
La des ription du mouvement des uides est usuellement réalisée via le
formalisme d'Euler.
Un hamp ve toriel ou tensoriel est identié en tout point de l'espa e par la
donnée de la fon tion
f (~x , t),~f (~x , t) ou f (~x , t)
La dérivée d'un hamp au ours du temps en suivant la parti ule dans son
mouvement où dérivée parti ulaire s'é rit :
Df (~x , t)
Dt
=∂f (~x , t)
∂t+∂f (~x , t)
∂x.∂x
∂t
Soit
Df (~x , t)
Dt
=∂f (~x , t)
∂t+∇f (~x , t).~u
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Equations générales
Généralités - Rappels
Conservation de la masse
On onsidère un domaine uide Ω entouré par une surfa e Σ
Soit ρ(~x , t) et ~u(~x , t) respe tivement la masse volumique et le hamp de
vitesse du uide ontenu dans Ω, le prin ipe de onservation de la masse
indique que :
∫
Ω
∂ρ(~x , t)
∂tdv +
∫
Σρ(~x , t)~u(~x , t)~nds = 0 (1)
ou en ore
∫
Ω
∂ρ
∂t+∇ · (ρ~u)dv = 0 (2)
La forme lo ale s'é rit alors :
∂ρ
∂t+∇ · (ρ~u) =
Dρ
Dt
+ ρ∇ · ~u (3)
Lorsque le uide est homogène (ρ = Cte) le hamp de vitesse doit être à
divergen e nulle : ∇ · ~u = 0.
∇ · ~u mesure le hangement de volume au ours du mouvement.
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Equations générales
Généralités - Rappels
Conservation de la quantité de mouvement
On onsidère un domaine uide Ω entouré par une surfa e Σ
Le prin ipe de onservation de la quantité de mouvement s'é rit :
∫
Ω
∂ρ~u
∂tdv +
∫
Σ(ρ~u)~u~nds =
∫
Σσ~nds +
∫
Ω
~f
v
dV (4)
σ est le tenseur des ontraintes de Cau hy du uide. Pour un uide
Newtonien il s'é rit :
σ = (−p + λ∇ · ~u)I + µ(∇~u +∇~uT ) (5)
λetµ sont respe tivement la 2ième vis osité et la vis osité dynamique du
uide. Elles sont liées par la relation de Stokes 3λ+ 2µ = 0 qui indique que les
for es de frottement ne parti ipent pas au hangement de volume du uide.
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Equations générales
Généralités - Rappels
Conservation de la quantité de mouvement
En utilisant la onservation de la masse et Ostrogradski on obtient la forme
dite non onservative de la onservation de la quantité de mouvement
∫
Ωρ∂~u
∂tdv +
∫
Ωρ(~u · ∇)~udv =
∫
Ω∇ · σdV +
∫
Ω
~f
v
dV (6)
et en ore sous forme lo ale en onsidérant des volumes élémentaires
ρ∂~u
∂t+ ρ(~u · ∇)~u = ∇ · σ + ~
f
v
(7)
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Equations générales
Généralités - Rappels
En résumé
Finalement l'é oulement d'un uide autour d'un obsta le quel onque est régi par
les 2 équations suivantes appelées équations de Navier-Stokes :
∂ρ∂t
+∇ · (ρ~u) = 0
ρ ∂~u∂t
+ ρ(~u · ∇)~u = ∇ · σ + ~f
v
σ = (−p + λ∇ · ~u)I + µ(∇~u +∇~uT )
(8)
Dans la situation la plus simple d'un uide in ompressible newtonien et d'un
é oulement isotherme, les ara téristiques de l'é oulement sont onnues lorsque
l'on sait déterminer en tout point la vitesse,~u, et la pression statique p.
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Equations générales
Généralités - Rappels
Fluide parfait
On appelle uide parfait un uide qui n'est pas visqueux !
Sa vis osité est nulle
Le tenseur des ontraintes de Cau hy se réduit alors au tenseur sphérique :
σ = −pI
Les évolutions du uide sont alors dé rites par les équations suivantes ou
équations d'Euler :
∂ρ∂t
+∇ · (ρ~u) = 0
ρ ∂~u∂t
+ ρ(~u · ∇)~u = −∇p + ~f
v
(9)
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Equations générales
Généralités - Rappels
Equations en notation tensorielle
Il est utile de onnaître également la forme tensorielle des équations.
Pour Navier-Stokes :
∂ρ∂t
+∂ρu
i
∂xi
= 0
ρ∂u
i
∂t+ ρu
j
∂ui
∂xj
= − ∂p∂x
i
+ ∂∂x
j
(µ(∂u
i
∂xj
+∂u
j
∂xi
)) + f
vi
(10)
Pour Euler :
∂ρ∂t
+∂ρu
i
∂xi
= 0
ρ∂u
i
∂t+ ρu
j
∂ui
∂xj
= − ∂p∂x
i
+ f
vi
(11)
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Equations générales
Généralités - Rappels
Fluide parfait in ompressible
On appelle uide parfait in ompressible un uide homogène à masse volumique
onstante.
ρ(x , t) = Cte (12)
La ondition d'in ompressibilité s'é rit :
∇ · ~u = 0 (13)
Le hamp de vitesse est à divergen e nulle
En géométrie plane ou axisymétrique on a alors aussi ∇∧ ~u = 0
Il existe alors un hamp s alaire Ψ(x, t), appelée fon tion de ourant telle que :
u
x
= − ∂Ψ∂y
u
y
= ∂Ψ∂x
(14)
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Eléments de rhéologie
Généralités - Rappels
Fluide visqueux newtonien
Un uide visqueux est qualié de newtonien lorsqu'il existe une relation linéaire
entre les ontraintes visqueuses et les vitesses de déformation.
Soit l'é oulement isaillé pur i-dessous :
PSfrag repla ements
~uℓ
Figure E oulement isaillé 1D
On dénit le taux de isaillement ou vitesse de déformation par
γ =u
ℓ
La ontrainte tangentielle visqueuse asso iée s'é rit pour un uide newtonien :
τ = µγ
µ est la vis osité dynamique du uide. Son unité SI est le (kg .m−1.s−1)
On utilise souvent également la vis osité inématique du uide :
ν =µ
ρ(m2.s−1)
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Eléments de rhéologie
Généralités - Rappels
Fluide visqueux newtonien
Pour les uides usuels l'approximation uide newtonien est susante.
La vis osité dynamique est souvent très sensible à la température du uide
On généralise au as d'é oulements quel onques en introduisant :
Le tenseur des vitesses de déformation (ou des taux de déformation) :
D = 1
2
(∇~u + ∇~
u
T )
Le tenseur des ontaintes visqueuses : σ
v
= (λ∇ · ~u)I + 2µD où λ est la
deuxième vis osité du uide
λ et µ sont reliées par la loi de Stokes : 3λ + 2µ = 0. Cette loi exprime le
prin ipe que les ontraintes visqueuses ne parti ipent pas à la ompression du
uide
Pour un é oulement in ompressible on a : σ
v
= 2µD = µ(∇~u + ∇~
u
T )
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Eléments de rhéologie
Généralités - Rappels
Fluide visqueux non newtonien
Lorsque l'hypothèse de linéarité entre vitesse de déformation et ontrainte
n'est plus vériée on parle de uide non-newtonien.
Pour l'é oulement isaillé pur ren ontré i-dessus on pose : τ = µ(γ)γ
La vis osité µ dépend elle même du isaillement.
Suivant l'évolution de µ en fon tion de γ on parle de :
Fluide rhéo-uidiant : la vis osité diminue ave γ
Fluide rhéo-épaississant : la vis osité augmente ave γ
Fluide à seuil (ou à ontrainte seuil) : le uide ne s'é oule (γ 6= 0) que lorsque
la ontrainte est supérieure à un seuil σ0
:
σ = σ0
+ µγ (15)
PSfrag repla ements
σ
Figure Comportements rhéologiques type
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Eléments de rhéologie
Généralités - Rappels
Fluide visqueux non newtonien
Lorsque l'é oulement devient plus omplexe la mesure de la vitesse de
déformation est plus déli ate à dénir.
En toute rigueur on doit poser pour un uide in ompressible :
σ = 2µ(D)D (16)
Généralement, an de onserver une dénition obje tive de la vis osité, µ est
fon tion des trois invariants de D
En pratique on ne retient souvent que le deuxième invariant de D, dénit par
γ =
√
2D.D
On a alors :
σ = µ(γ)D et γ =
√
1
2
D.D (17)
Il existe un grand nombre de lois plus ou moins empiriques pour al uler la
vis osité d'un uide non newtonien.
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Eléments de rhéologie
Généralités - Rappels
Fluide visqueux non newtonien
La loi de Carreau :
µ = µ∞ +(µ0
−µ∞)[1− (H(T )γλ)2]n−1
2
et H(T ) = e
α( 1
T−T
0
+ 1
Tα−T
0
)(18)
n, λ, T0
, Tα, µ0
et µ∞ sont des onstantes
La loi de Hers hlel-Bulkley
σ = σ0
+ µ(D)D
µ =σ0
+k[γn−(σ0
/µ0
)n ]γ
(19)
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Eléments de rhéologie
Généralités - Rappels
Fluide visqueux non newtonien
Anisotropie des ontraintes normales
En prin ipe en présen e d'un é oulement isaillé pur et pour un uide
newtonien les ontraintes visqueuses sont tangentielles à la dire tion de
l'é oulement et normale à la dire tion de son gradient de vitesse :
σxx
= µu
h
ave ~u = ux (20)
Les ontraintes normales à la dire tion du isaillement sont isotropes et
limitées à la pression. Dans le as du isaillement pur on a :
σyy
= −p (21)
Dans ertains uides on observe une dépendan e des ontraintes normales au
isaillement :
σxx
− σyy
= −ψ1
(γ)γ2 et σyy
− σzz
= −ψ2
(γ)γ2 (22)
où ψ1
et ψ2
sont des fon tions de γ et dépendent du type de uide.
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Eléments de rhéologie
Généralités - Rappels
Fluide visqueux non newtonien
Cet eet permet d'expliquer par exemple l'eet Weissenberg lorsque l'on
plonge un barreau tournant dans une solution de polymères.
Figure Eet Weissenberg
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Equations sans dimension
Généralités - Rappels
Equations sans dimension
Utilité :
Permet de s'aran hir des dimensions : théorie des maquettes
Permet de jauger l'inuen e relative des termes les uns par rapport aux
autres : ompréhension physique
Prin ipe : on dénit des grandeurs de référen e :
Une longueur L
Une vitesse U
0
Une pression ρU2
0
Un temps T
Une ontrainte visqueuse µU
0
L
puis des variables sans dimension :
Les oordonnées : x
+i
=x
i
L
Une vitesse
~u
+ = ~u
U
0
Une pression p
+ = p
ρU2
0
Un temps t
+ = t
T
Une ontrainte visqueuse σ
+= σ
+
µU
0
L
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Equations sans dimension
Généralités - Rappels
Equations sans dimension
Obtention
Les équations sans dimension s'obtiennent en substituant terme à terme dans
les équations dimensionnelles les variables physiques par les variables sans
dimension
Pour l'équation de la onservation de la quantité de mouvement pour un
uide visqueux in ompressible (7) on obtient :
ρU0
T
∂~u+
∂t++ρU2
0
L
(~u+ · ∇)~u+ = −ρU2
0
L
∇p
+ +µU
0
L
2
∇ · σ++ ~f
+v
(23)
Ou en ore en divisant l'équation par
ρU2
0
L
:
L
U
0
T
∂~u+
∂t++ (~u+ · ∇)~u+ = −∇p
+ +µ
ρU0
L
∇ · σ++
L
ρU2
0
~f
+v
(24)
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Equations sans dimension
Généralités - Rappels
Equations sans dimension
Les nombres sans dimension usuels
Le groupement St = ρU
0
T
est appelé nombre de Strouhal. Il pilote les eets
d'instationnarité dans l'é oulement en omparant un temps ara téristique
d'adve tion à un temps ara téristique de l'é oulement (une période par
exemple pour un é oulement pulsé).
Le groupement Re = ρU
0
L
µest le nombre de Reynolds. Il ompare for e
d'inertie et for e de frottement.
Le nombre de Reynolds joue un rle entral en mé anique des uides ar il
permet de distinguer les régimes d'é oulement laminaire et turbulent.
C'est Osborne Reynolds (1842-1912) qui a mis en éviden e e nombre au
ours d'une expérien e élèbre (vidéo).
Si la for e de volume est la gravité
~f
v
= ρ~g = −ρg .~z le dernier terme du
membre de droite peut se re-é rire :
L
ρU2
0
~f
+v
= −gL
U
2
0
~z (25)
Le groupement
U
0√gL
est appelé nombre de Froude. Il ompare for e d'inertie
et for e de pesanteur. Il joue un rle prépondérant notamment dans les
é oulements dits à surfa e libre.
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Equations sans dimension
Généralités - Rappels
Equations sans dimension
Rle des nombres sans dimension
Les nombres sans dimension jouent un rle doublement important en
mé anique des uides.
Ils permettent :
De dis erner dans les équations l'importan e relative des termes qu'ils
représentent. Par exemple si Re >> 1 les for es de frottement sont supposées
négligeables. A l'inverse si Re << 1 e sont les for es d'inertie qui deviennent
négligeables.
Ils permettent d'établir les relation dites de similitude permettant de
omparer des phénomènes identiques e passant à des é helles spatiale
diérentes. C'est la théorie des maquettes.
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Equations sans dimension
Généralités - Rappels
Classi ation des é oulements
Classi ation ave le Reynolds
En fon tion du nombre de Reynolds on peut distinguer diverses lasses
d'é oulement.
Figure Classi ation des é oulements par le Reynolds
La nature non linéaire des équations de Navier-Stokes induit une grande
variété de formes d'é oulements autour d'un même objet.
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Equations sans dimension
Généralités - Rappels
E oulements autour d'un ylindre
Classi ation ave le Reynolds
A petit nombre de Reynolds, les termes d'inertie deviennent négligeables.
L'é oulement est dominé par la vis osité
Les lignes de ourant sont symétriques par rapport au plan médian du
ylindre.
Figure E oulement rampant autour d'un ylindre
Ces é oulements à très bas Reynolds sont appelés é oulements rampants ou
de Stokes
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Equations sans dimension
Généralités - Rappels
E oulements autour d'un ylindre
Classi ation ave le Reynolds
Pour Re = 50 l'é oulement n'arrive plus à suivre omplètement la ourbure
imposée par la paroi du ylindre.
On observe un dé ollement de l'é oulement sur la partie arrière du orps
suivie par la présen e d'une zone de re ir ulation.
Les tourbillons dans la zone de re ir ulation sont ontra-rotatifs àd qu'ils
tournent dans des sens opposés
Figure E oulement dé ollé autour d'un ylindre
L'é oulement demeure stationnaire (si l'é oulement amont est également
stationnaire et que le ylindre ne bouge pas ! !).
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Equations sans dimension
Généralités - Rappels
E oulements autour d'un ylindre
Classi ation ave le Reynolds
Pour Re = 100 l'é oulement n'arrive plus à suivre omplètement la ourbure
imposée par la paroi du ylindre.
On observe un dé ollement de l'é oulement sur la partie arrière du orps
suivie par la présen e d'une zone de re ir ulation instationnaire
Les tourbillons dans la zone de re ir ulation sont ontra-rotatifs et se
déta hent alternativement du ylindre.
Figure Allée de Von Karmann
L'é oulement est instationnaire. C'est l'allée de Von Karmann (videos)
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Equations sans dimension
Généralités - Rappels
E oulements autour d'un ylindre
Classi ation ave le Reynolds
Pour Re < 10
5
l'é oulement demeure laminaire.
Le point de dé ollement avan e vers l'amont. Le sillage est tourmenté
Figure E oulement sub ritique
L'é oulement est instationnaire. Il est qualié de sub ritique
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Equations sans dimension
Généralités - Rappels
E oulements autour d'un ylindre
Classi ation ave le Reynolds
Pour Re > 10
5
l'é oulement est turbulent.
Le sillage est très tourmenté, d'extension transverse plus importante que pour
le as sub ritique
Figure E oulement sur ritique
L'é oulement est instationnaire. Il est qualié de sur ritique
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Equations sans dimension
Généralités - Rappels
Traînée du ylindre
Ces formes d'é oulements très diérentes vont induire des eorts également
diérents sur le ylindre.
Pour al uler la résultante des eorts exer és par le uide sur le orps on doit
al uler :
~F =
∫
S
σ~nds (26)
La proje tion de la résultante dans la dire tion de l'é oulement amont
s'appelle la traînée du orps
T =
∫
S
σ~nds.~x (27)
Le oe ient de traînée est un nombre sans dimension qui permet de
ara tériser la traînée du orps. Il est tel que :
T =
∫
S
σ~nds .~x =1
2
ρU2
0
C
x
S (28)
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Equations sans dimension
Généralités - Rappels
Traînée du ylindre
La valeur du C
x
évolue de près de deux ordres de grandeur sur l'é helle des
Reynolds
On note les valeurs très élevées du C
x
à petit nombre de Reynolds (eets
visqueux importants)
La transition laminaire turbulent (sub ritique/sur ritique) se traduit par une
dimunition brutale du C
x
Figure Coe ient de traînée du ylindre
A retenir le C
x
est voisin de 1 sur une large gamme de Reynolds
(10
3 < Re < 5.105)
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Eorts sur les orps
Généralités - Rappels
Eorts sur les orps
D'une manière générale pour un orps quel onque la résultante des eorts
n'est pas alignée ave la dire tion de l'é oulement.
On appelle traînée la proje tion de la résultante dans la dire tion de
l'é oulement amont.
On appelle portan e la proje tion de la résultante dans la dire tion
perpendi ulaire à l'é oulement amont.
Portan e et traînée sont toujours dénies dans le repère lié à la dire tion de la
vitesse du uide observée depuis le orps. C'est le repère Eiel, du nom de son
inventeur.
Par ailleurs l'eort exer é sur le orps peut se dé omposer en une omposante
liée à la pression et l'une liée aux eets visqueux.
~F =
∫
S
σ~nds =
∫
S
−p~nds +∫
S
σv
~nds (29)
ave σv
= µ(∇~u +∇~uT ) le tenseur des ontraintes visqueuses.
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Eorts sur les orps
Généralités - Rappels
Eorts sur les orps
La traînée et la portan e engendrées par les for es de pression s'appellent
traînée et portan e de forme. La distribution de pression autour du orps
dépend de sa forme....
Les omposantes visqueuses s'appellent traînée et portan e visqueuses ou de
frottements.
L'évaluation par al ul dire t des for es de portan e et de traînée s'avère être
une tâ he ardue ar elle requiert la onnaissan e non seulement du hamp de
pression en tout point de la surfa e du orps mais également du tenseur
gradient de vitesse pour évaluer le frottement. Cela n'est généralement
a essible que (di ilement) par voie expérimentale ou par voie digitale à
l'aide de simulations numériques.
C'est la raison pour laquelle on été introduits les oe ients de portan e et de
traînée, qui déduits des mesures ou des simulations, permettent d'a éder
fa ilement aux al uls :
T =1
2
ρU2
0
C
x
(Re)S (30)
P =1
2
ρU2
0
C
z
(Re)S (31)
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Eorts sur les orps
Généralités - Rappels
Eorts sur les orps
Figure Répartition de la pression statique autour d'une voiture
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Eorts sur les orps
Généralités - Rappels
Eorts sur les orps
Les oe ients C
x
et C
z
ne sont généralement pas onstants.
Ils dépendent prin ipalement du régime d'é oulement don du Re mais
peuvent également dépendre d'autres paramètres.
Pour une aile d'avion les eets de la ompressibilité mesurés par le nombre de
Ma h, M et bien sûr l'in iden e du prol interviennent.
T =1
2
ρU2
0
C
x
(Re,M, α)S (32)
P =1
2
ρU2
0
C
z
(Re,M, α)S (33)
a
cz
cz
cz
cx
cx
cx
theta
theta
Figure Coe ients aérodynamique d'un prol NACA 0012
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Eorts sur les orps
Généralités - Rappels
Moments sur les orps
On peut dénir de la même manière le moment exer é par les for es
aérodynamiques sur un axe donné
~M∆ =
∫
S
~HM ∧ σ~nds (34)
On dénit également le oe ient de moment, C
M
par :
M∆ =1
2
ρU2
0
C
M
S .L (35)
Pour obtenir le torseur omplet des eorts
autour du orps il faut al uler les moments sur
les 3 axes de roulis, tangage et la et.
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Eorts sur les orps
Généralités - Rappels
Centre de poussée
Il est souvent utile pour déterminer l'équilibre d'un objet de onnaître le point
d'appli ation de la résultante des eorts aérodynamiques ou hydrauliques.
Ce point est appelé entre de poussée. Il se al ule en onsidérant l'égalité
entre moment de la résultante appliqué au entre de poussée, P, et somme des
moments élémentaires, soit en onsidérant le moment par rapport à un point
O :
~OP ∧ ~F =
∫
S
~OM ∧ σ~nds (36)
On déduit de ette relation la position du point P
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Généralités - Rappels Statique des uides Relation de Bernoulli Cou he limite laminaire
Sommaire
Généralités - Rappels
Equations générales
Eléments de rhéologie
Equations sans dimension
Eorts sur les orps
Statique des uides
Relation de Bernoulli
Cou he limite laminaire
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Généralités - Rappels Statique des uides Relation de Bernoulli Cou he limite laminaire
Statique des uides
Introdu tion
En statique des uides on onsidère que le uide utilisé est au repos soit
~u = 0 !
Les for es qui s'exer ent sur le uide se résument, sauf as parti uliers , aux
for es de pression et de volume.
L'équation de la dynamique du uide se réduit alors à :
−∇p + ~f
v
= 0 (37)
Si on onsidère que les for es de volume se réduisent à la pesanteur on a don :
∇p + ρg~z = 0 (38)
Soit après intégration :
∫
dp
ρ+ gz = Cte) (39)
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Hydrostatique
L'hydrostatique fait référen e à l'eau hoisie omme uide. On onsidère don
que elle- i est in ompressible et que ρ = Cte
L'équation (39) s'é rit alors :
p + ρgz = Cte (40)
Conséquen es :
Dans un uide (eau) pla é dans le hamp de pesanteur les isobares (surfa es
de même pression) sont des surfa es horizontales.
Si l'on onsidère deux uides homogènes, in ompressibles et non mis ibles de
masse volumique diérentes, l'interfa e est une surfa e horizontale.
Paradoxe hydrostatique : la pression sur le fond des ré ipients ne dépend pas
du volume ! !
PSfrag repla ements
h
Figure Paradoxe de l'hydrostatique
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Hydrostatique
Théorème d'Ar himède
"Tout orps plongé dans un uide reçoit de la part de elui- i une poussée
verti ale, dirigée de bas en haut, égale au poids du volume de uide dépla é"
Eau
mg
n
z
M
PSfrag repla ements
h
Figure Poussée d'Ar himède
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Hydrostatique
Théorème d'Ar himède
La seule for e en l'absen e de mouvement exer ée par le uide sur le orps est
la for e de pression.
La pression en un point M de la surfa e du orps est donnée à l'aide la
relation (40) :
p + ρgz = Cte dans tout le uide
Une référen e peut être hoisie à la surfa e du uide où règne la pression
atmosphérique :
p
atm
+ ρgh = p
M
+ ρgz
La pression en M s'é rit alors :
p
M
= p
atm
+ ρg(h − z)
La for e totale exer ée par le uide sur le orps en hoisissant une normale
extérieure dirigée vers le uide s'é rit :
F =
∫
S
−p~nds
soit en utilisant le théorème d'Ostrogradski :
~F =
∫
V
−∇pdv =
∫
V
ρgdv~z = ρgV~z
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Hydrostatique
Théorème d'Ar himède
Le ρ étant elui du uide la masse ρgV représente bien la masse du volume
dépla é !
La poussée nette s'é rit alors :
~P = ρgV~z −mg
~z = (ρ− ρ
s
)gV~z (41)
ave ρ
s
la masse volumique du orps
Si ρ
s
> ρ on oule ! !
Si ρ
s
< ρ on otte ! !
PSfrag repla ements
h
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Hydrostatique
Evangelista Torri elli et le pompage
Autour des années 1600, les fontainiers de Floren e s'a harnent sans su ès à
aspirer l'eau de l'Arno à plus de 18 brasses (trente-deux pieds ou 10,33 m) de
hauteur
C'est Evangelista Torri elli (plus onnu pour le baromètre éponyme) qui
apportera la réponse !
Patm
Arno
Za−Zb
Figure Pompage dans un puits
La pression à l'aspiration de la pompe
s'é rit :
p
asp
= p
atm
− ρg(zA
− z
B
) = p
atm
− ρg∆z
La pression d'aspiration dans la pompe
peut devenir inférieure à la pression de
vapeur saturante (≈ 1.7kPa à 15
o
C) si
∆z > 10.3m. L'eau bout et la vapeur
d'eau désamor e la pompe ! !
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Equations générales
Eléments de rhéologie
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Relation de Bernoulli
Cou he limite laminaire
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Relation de Bernoulli
Intégrales premières du mouvement
Le théorème de Bermoulli se déduit des équations de onservation de la
quantité de mouvement.
Il exprime la onservation de l'énergie dans le uide onsidéré omme parfait
(non visqueux) et in ompressible et homogène (ρ = Cte).
Considérons les équations d'Euler (9)
ρ∂~u
∂t+ ρ(~u · ∇)~u = −∇p + ~
f
v
(42)
Ave la pesanteur pour for e de volume l'équation s'é rit et en dé omposant
le terme onve tif il vient :
ρ∂~u
∂t+ ρ∇
u
2
2
+ ρ(∇ ∧ ~u) ∧ ~u = −∇p + ρ~g (43)
Le pesanteur dérivant d'un potentiel peut s'é rire :
~g = −∇(gh) où h est la
te altimétrique au point onsidéré. L'équation pré édente s'é rit alors :
ρ∂~u
∂t+∇(
ρu2
2
+ p + ρgh) + ρ(∇ ∧ ~u) ∧ ~u = 0 (44)
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Relation de Bernoulli
Intégrales premières du mouvement
Si on onsidère un é oulement permanent (ou stationnaire) la dérivée lo ale
de la vitesse est nulle
Si de plus (∇ ∧ ~u) ∧ u = 0 on peut é rire :
∇(ρu2
2
+ p + ρgh) = 0 (45)
On obtient la relation de Bernoulli en intégrant la relation pré édente :
ρu2
2
+ p + ρgh = Cte (46)
La onstante est i i la même dans tout le uide
Deux as de gure peuvent se présenter :
∇ ∧ u = 0 l'é oulement est dit irrotationnel
∇ ∧ u parallèle à~u. C'est l'é oulement de Beltrami-Gromeka (é oulement
héli oïdal)
La relation de Bernoulli est importante à plus d'un titre :
elle montre les diverses manières dont l'énergie peut se transformer dans un
uide.
elle permet d'introduire la pression dynamique : ρ u
2
2
la pression totale : p + ρu2
2
+ ρghOlivier Boiron E ole Centrale Casablan a
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Relation de Bernoulli
Pression d'arrêt
Une des onséquen es de l'équation de Bernoulli est qu'elle permet de al uler
fa ilement la pression sur un point d'arrêt de l'é oulement.
Un point d'arrêt est un point de vitesse nulle.
En uide parfait où en prin ipe la vitesse est tangentielle à la paroi, le point
d'arrêt est ommun à la paroi et à une ligne de ourant dont la dire tion est
parallèle à la normale à la paroi en e point.
Si la vitesse et la pression à l'inni amont sont respe tivement p∞ et u∞ on
a :
ρu2∞
2
+ p∞ + ρgh∞) = p
A
+ ρghA
(47)
Eau
p U
A
Figure Point d'arrêt
Si la ligne de ourant est horizontale (h∞ = h
A
) on a don :
p
A
=ρu2
∞
2
+ p∞ (48)
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Relation de Bernoulli
Tube de pitot
Le tube de pitot est un appareil de mesure qui utilise la relation pré édente pour
déterminer la valeur de la vitesse dans un é oulement par deux mesures de
pression.
En eet on voit que l'on a fa ilement : u =
√
2(pA
−p∞)ρ
La mesure de p
A
est immédiate pour peu qu'une prise de pression soit
disposée au point d'arrêt.
Pour mesurer p∞, la pression statique, une autre prise de pression doit être
aménagée sur le orps du tube de pitot à un endroit où les lignes de ourant
sont redevenues parallèles à la dire tion de l'é oulement amont.
Figure Tube de pitot
In onvénient du pitot il est sensible à la dire tion de l'é oulement amont.
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Relation de Bernoulli
Equations intrinsèques
Les équations intrinsèques désignent les équations du mouvement é rites dans
un référentiel lié à la ligne de ourant.
Le repère utilisé est le repère intrinsèque omposé de la tangente, la normale
et la binormale.
Dans e repère les équations d'Euler (9) ave les hypothèses pré édentes
s'é rivent pour un é oulement plan :
−∂
∂s(p + ρ
u
2
2
+ ρgh) = 0 (49)
ρu
2
R
= −∂
∂n(p + ρgh) (50)
l.d.c.un
Figure Repère intrinsèque
où s et n sont respe tivement l'abs isse urviligne et la normale et R le rayon
de ourbure
La deuxième équation est extrêmement importante. Si on suppose que le
terme ρgh n'intervient pas (uide non pesant) on voit que le gradient de
pression normal à la ligne de ourant dépend de sa ourbure.
Autrement dit si la ligne de ourant est horizontale (R = ∞) le gradient de
pression normal est nul (ou hydrostatique si le uide est pesant).
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Relation de Bernoulli
Cou he limite laminaire
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Cou he limite laminaire
Généralités
La théorie de la ou he limite joue un rle entral en mé anique des uides
Elle s'intéresse à la zone à proximité immédiate de la paroi où, en uide réel
visqueux, la ondition d'adhéren e du uide à la paroi impose un gradient de
vitesse dé itaire
Les phénomènes visqueux y sont don prépondérants et "pilotent"
omplètement l'allure des hamps de vitesse.
La théorie de la ou he limite date de la première moitié du XXime siè le, les
ontributions de Prandtl (1875-1953) et de Blasius (1883-1970), deux
ingénieurs allemands, y sont prépondérantes.
Les théories de la ou he limite laminaire puis turbulente sont parmis les
avan ées qui ont permis de mieux maîtriser les é oulements sur les prols
d'ailes et ouvrir la voie à l'aérodynamique moderne
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Cou he limite laminaire
Résultats d'expérien e
Expérien e réalisée en souerie sur une plaque plane
E oulement permanent laminaire Re ≈ 5.5105
Le uide est de l'air supposé in ompressible
Figure Prols de vitesse dans une ou he limite laminaire sur plaque plane
On remarque la diéren e très marquée entre le gradient longitudinal de
vitesse
∂u∂x
et le gradient transversal
∂u∂y
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Cou he limite laminaire
Hypothèses
On onsidère l'expérien e pré édente d'é oulement sur une plaque plane
L'é oulement est permanent laminaire (Re ≤ 5.5105), plan (2D)
Le uide est de l'air supposé in ompressible
Le point de départ de l'étude est de onsidérer qu'il existe deux é helles
d'évolution très diérentes suivant que l'on s'intéresse à la dire tion
longitudinale 0x ou à la dire tion transverse 0y .
Suivant la dire tion transverse le gradient de vitesse est onné dans une
ou he d'épaisseur δ(x)
Suivant la dire tion longitudinale l'évolution de l'é oulement s'établit sur une
longueur assimilable à elle de la plaque.
On a bien sur :
δ(x) << L (51)
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Cou he limite laminaire
Hypothèses
L'é oulement sur plaque laminaire
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