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J JI⇐⇒
Mécanique des fluides géophysiques(partim I)MECA053
i nombre imaginaire pur, i 2 = −1a est un vecteur, ei les vecteurs unitaires des axes, · le produitscalaire et Λ le produit vectoriel.A est un tenseur d’ordre 2A est une matrice(A)ij ou Aij désigne l’élément ij de la matrice A ou du tenseur A
x est une matrice colonneA
? est la transposée conjugée (ou matrice adjointe) de la matrice A
A est la conjuguée et AT la transposée de la matrice A
V désigne le volume, S la surface et Γ la courbe délimitant le domaine d’intégration avecle vecteur normal n vers l’extérieur. s le vecteur tangent le long de Γ dans le sens de larègle classique du tire-bouchon ou de la main droite.
Objectif: Ne pas devoir calculer les interactions entre molécules.Moyen: Considérer comme volume "infinitésimal" un volume detaille finie suffisamment petit pour justifier la notion de dérivée, maissuffisamment grand pour contenir un grand nombre de molécules.
µ I?6* Ij
I*j
K¾µ
Rµ*jR
Rj-
UR 1
ÁIY
¸+*
111 * Y
*
K6
1j*
Volume "infinitésimal" sur lequel on définit les variables macroscopiques
Variation d’énergie totale= Entrées/sorties advectifs, flux de chaleurpar conduction et éventuellement radiation q, sources de chaleurlocales Qe et travail des forces appliquées,e énergie spécifique (en J/kg) doit satisfaire:
Entropie spécifique s doit également satisfaire une loi de ce type:
∂
∂t(ρs) + ∇· (ρsv) = ρQs − ∇·ds (26)
où Qs représente le taux de production (destruction) d’entropie (parunité de masse) et ds le flux moléculaire d’entropie.Production d’entropie: chaleur apportée (ou exportée), par radiationet d’autres transformations irréversibles (contribution positive ounulle)
On définit g comme la gravité apparente mesurée pour un point aurepos sur la surface de la terre et γ accélération due à la gravité sila terre ne tournait pas.En première approximation, le terre sphérique est symétrique et gne varie que par la force centrifuge. g a déformé en réalité lasurface du globe.
k conductivité supposée isotrope (autrement, il faudrait remplacer lescalaire par un tenseur de conduction K)Flux par radiation: terme additionnel de ∇· i où le rayonnement i
doit faire l’objet d’une modélisation propre. Le plus simple dans unenvironnement qui atténue l’intensité I de la lumière est une loi dutype
Même si tous les flux sont connus en fonction des variables d’état, ily a plus d’inconnues que d’équations et il faut compléter le systèmepar les équations d’état
ρ = ρ(e, s, p, ...) (55)
Pour un gaz parfait, p = ρRT et e = cvT .On y reviendra dans le cadre des fluides géophysiques réels
Le volume se déplace à une vitesse vV et la dérivée ddt désigne la
dérivée quand on se déplace à la vitesse vV . Si vV = v alors on suitune particule fluide et on obtient une approche lagrangienne.Pour la démonstration du théorème de Reynolds, on utilise
d
dt(dV) = ∇·vV dV (59)
dont on essaiera de donner une interprétation.Note: si le volume ne bouge pas à la vitesse du fluide, il y a lieu detenir compte des flux advectifs à travers le volume (faire apparaîtrevV − v)
Analyse d’importance de la force de Coriolis [N]En sachant que l’on a observé la tache rouge de Jupiter depuis 300ans et que ses dimensions sont de l’ordre de 20000 km, est-ce quela rotation de Jupiter autour de lui-même (un jour jupitérien dure 9.9heures) doit être prise en compte dans l’étude de cette tache? Onsuppose que les vitesses du courant sont de l’ordre de 100 m/s
En connaissant le rayon de Jupiter (448600 km) et l’accélération degravité mesurée à l’équateur g = 26.4 m s−2, que peut-on dire de laforce centrifuge?
Est-ce que, à votre avis, les ingénieurs qui ont construit la ligneTGV Liège-Bruxelles (max 300 km/h) ont dû tenir compte de larotation de la terre? Pourquoi?Suggestion:Comparer la force aux autres forces en jeu.
Soit un lac allongé de longueur Lx, de largeur Ly et de profondeurconstante h. On suppose que l’eau du lac est de densité constanteet qu’un vent a soufflé pendant un certain temps aboutissant à créerune surélévation du niveau d’eau de hauteur d à l’extrémité x = Lx
du bassin. Si l’on suppose que l’on peut approximer la forme de lasurface libre par un plan incliné dans la direction x, calculezl’augmentation de l’énergie potentielle par rapport à la situation derepos initiale où l’élévation était nulle partout. On suppose que la
quantité d’eau a été conservée. Chiffrez le résultatpour ρ = 1000 kg/m3, Lx = 15 km, Ly = 2 km, h = 50 m d = 30 cm etestimez le temps qu’il faudrait à une centrale nucléaire pour fournircette énergie.
où Qa désigne le taux de production (destruction, lorsqu’il estnégatif) du constituant a par unité de masse du fluide et où n est levecteur unitaire selon la normale à S (pointant vers l’extérieur)
où Qa désigne le taux de production (destruction, lorsqu’il estnégatif) du constituant a par unité de masse du fluide et où n est levecteur unitaire selon la normale à S (pointant vers l’extérieur)
pour un fluide géophysique, par exemple, rapporté à des axes enrotation (Ω)
ρf = −2ρΩΛv + ρg (71)
où p est la pression. Les forces astronomiques, comme les forcesde marées dérivent d’un potentiel et on peut considérer qu’ellessont implicitement contenues dans p
où Qs représente le taux de production (destruction) d’entropie (parunité de masse) et ds le flux moléculaire d’entropie.La production d’entropie est due à la chaleur apportée (ouexportée) par radiation et à l’ensemble des transformationsirréversibles se produisant au sein du fluide. Cette secondecontribution, toujours positive ou nulle en vertu du second principede la thermodynamique, peut se mettre sous la forme d’une sommede produits de flux moléculaires et d’affinités associées.
Ici, cα désigne l’ensemble des concentrations de tous lesconstituants moins 1 (variables d’état indépendants).Si l’entropie est la variable d’état, la température doit être donnéepar
T = T (p, s, ca). (77)
Cette dernière est souvent donnée : -soit sous forme différentielle
en utilisant finalement l’équation pour l’énergie interne (72):
cpDT
Dt− αT
ρ
Dp
Dt= Qe − 1
ρ∇·q +
1
ρTv:∇v. (87)
Effets d’augmentation de température par le travail des forcesvisqueuses, de la radiation et de la compression. Le travail desforces visqueuses est négligeable en mer et seules la radiation et lacompression doivent être retenues:
L’équation indique que, si l’on déplace une masse d’eau de façonadiabatique (pas d’échange de matière et de chaleur avec sonenvironnement : Qe = 0, q = 0, Tv:∇v = 0), elle sera plus chaude sion l’amène vers des zones plus profondes. Ceci est dû à une faiblecompressibilité de l’eau ou à la compressibilité de l’air.Notion de température potentielle θ: par définition, c’est latempérature que l’eau aurait si on l’amenait de son niveau depression donné à la surface de façon adiabatique. La températurepotentielle s’obtient par intégration l’équation différentielle suivante(déduite de (88)) :
cpdT − αT
ρdp = 0 (89)
entre le niveau de pression de l’eau in situ p à la température T estla surface ou la température cela par définition la températurepotentielle
L’utilisation de la température potentielle permet alors également detravailler avec une équation de conservation plus classique
Dθ
Dt= − 1
ρcp∇·q +
Qe
cp. (93)
1
ρcp∇·q ∼ ∇·
(λT ∇θ
)(94)
où λT est le coefficient de diffusion thermique.En pratique, choisir la température potentielle θ ou la température insitu T dans le terme de diffusion/conduction importe peu.
Dans l’océan, les différents sels dissous se rencontrent quasimenttoujours dans les mêmes proportions ( table ) et on peut ainsi lesregrouper en une seule variable d’état: la salinité S.
ρ = ρT (T, S, p). (95)
ρT (T, S, p) =ρT (T, S, 0)
1 − p/K(T, S, p)(96)
où ρ(T, S) et K(T, S, p) sont des fonctions polynomiales en T ,√
En observant la flamme d’un brûleur, imaginer quels "ingrédients"un modèle décrivant ce processus devrait contenir et quels effetssont probablement négligeables
En particulier comment interviendraient les facteurs suivants:
• Composants chimiques
• Thermodynamique
• Inertie
• Gravité
• CoriolisMécanique des fluides géophysiques – p. 86
Diffusion de sel [F]En considérant que l’océan peut être représenté par une massed’eau au repos, homogène horizontalement, dont la salinité initialeest donnée par
S = S0 − ∆S cos(π
z
H
)(100)
et qui ne diffuse pas de sel à travers le sol et la surface.Quel signe devrait avoir ∆S si la température est uniforme?Calculer comment le sel est diffusé verticalement dans un systèmeau repos, si le coefficient de diffusion moléculaire est λS .Combien de temps faut-il pour que la différence de salinité ∆S entrela surface et le fond soit réduite de moitié?Chiffrer pour H = 1000 m, λS = 10−9 m2/s
Est-ce un modèle réaliste pour l’évolution de la salinité dans lesocéans?Suggestion:Chercher une solution du type S = S0 + a(t) cos
Soient deux bassins au repos, de même profondeur (1000m) et demême niveau d’eau, séparés par un détroit fermé. Le bassin 1possède une salinité nulle (du type lac) et une température de 15degrés.L’autre bassin est de température constante de 20 degrés , mais sasalinité vaut 37.Lors d’un tremblement de terre, le détroit s’ouvre sur une hauteur de100m. Quelle est la différence de pression dans le détroit entre lesdeux bassins a) en surface b) sur le seuil? A quelle hauteur d’unecolonne d’eau pure correspond cette différence de pression?Décrivez sans calculs ce qui se passera après l’ouverture du détroit.Note: pour le calcul de la densité, on négligera l’effet de pressionsur la densité.Pour le calcul de la densité, on peut utiliserhttp://gaea.es.flinders.edu.au/ mattom/Utilities/density.html
Comment doit-on calculer l’énergie potentielle d’un fluide dont ladensité n’est pas constante?Quelle est la valeur de l’énergie potentielle (par rapport au niveaude référence z = 0) dans le cas de la figure d’un bassin carré (voirfigure) où dans chaque couche, la densité est constante et que lesgradients horizontaux sont nuls?Dans ce dernier cas, analyser si le fait de mélanger de l’eau qui eststratifiée (de l’eau plus lourde en dessous de l’eau plus légèreρ1 < ρ2 ) augmente ou diminue l’énergie potentielle.Suggestion:Calculer l’energie potentielle en ajoutant les contributionsindividuelles des masses d’eau de densite ρ(x, t)
Comment pourrait-t-on évaluer la vitesse de sédimentation d’untraceur constitué de particules sphériques de densité ρs de rayon ren supposant que les particules sédimentent de façon lente parrapport au fluide en mouvement (écoulement de Stokes)?Comment pourrait-t-on modifier l’équation d’état de l’eau de merpour tenir compte de ce traceur en supposant qu’il ne modifie pas lastructure moléculaire du mélange mais remplace seulement lemélange d’eau?Est-ce que l’utilisation d’une vitesse de migration pourrait êtrejustifiée si la concentration du traceur devient comparable aucontenu en eau ?
• Pour une stratification (statiquement) stable (N2 > 0), lafréquence de Brunt-Väisälä est la fréquence à laquelle laparcelle d’eau va osciller autour de sa position d’équilibre.
• Dans le cas d’une stratification instable (N2 < 0), la parcelles’écartera d’avantage de sa position d’équilibre.
• Le force de rappel (poussée d’Archimède) rendra possible lapropagation d’ondes.
Nombre de Froude FrSi le déplacement à vitesse horizontale U sur une distance L suit latopograpie, on aura donc un déplacement vertical de δz ∼ D.Comme nous devons déplacer une masse d’eau de hauteur ∼ D,cela induit une perturbation dans le champ de densité et depression:
δp = (ρ(z0) − ρ(z0 + δz))gD ∼ ρ0N2δzD
de sorte que le rapport du terme d’advection et du gradient depression est (pour δz ∼ D)
Pour un écoulement typique en anticipant l’effet de la turbulence(ν → diffusion turbulente O(10−2 m2 s−1)) (en ms−2 pour un rapportd’aspect D/L = 0.01 et U ∼ 0.1 − 1 m/s):
Equilibre hydrostatiquePour D ¿ L, on a donc en première approximation:
∂q
∂z= b (127)
• Il s’agit de l’équilibre hydrostatique des perturbations parrapport à l’état de référence ρ0.
• Les variations de densité (b) vont induire des gradients depression.
• L’équation dynamique pour la vitesse verticale est remplacéepar une équation diagnostique pour la pression. La contrainted’indivergence (∇·v = 0) devient une équation diagnostiquepour la vitesse verticale
• Comme W ¿ U et pour que le force de Coriolis ne travaillepas il faut supposer f? = 0 quand on utilise l’équilibrehydrostatique
en utilisant le fait que ∇· $ = 0. Cette équation montre que lavorticité absolue est changée par des effets baroclines (variationsde densité horizontales) et le "vortex stretching" $· ∇v.
Un stratification uniforme peut-être idéalisée par une succession decouches de hauteur variable avec un saut de densité entre lescouches de ∆ρ (positif vers le bas).
Figure 2 : Conservation de la masse+ conservation du moment cinetique = con-
servation de Π
Pour un système continu, on imagine que le tube entre deuxisopycnes est conservé (conservation de la masse ayant unedensité entre ρ et ρ + ∆ρ) et que sa hauteur est h−1 = − 1
Il est aisé de montrer que PE1 contient une contribution due à latopographie. Etant donné que celle-ci reste constante dans letemps et que le potentiel n’est, de toute façon, défini qu’à uneconstante près, nous pouvons alors remplacer PE1 par
PE1 =
∫
Sρ0g
η2
2dS, (162)
où η désigne la hauteur du niveau d’eau,S la surface de la mer,V le volume étudié.
Nous pouvons à présent calculer la loi d’évolution de ces énergies,ceci en utilisant notamment le fait que
Les termes sources S∗, quant à eux, s’obtiennent en intégrant, parle théorème de Gauss, les termes en divergence. Si le domaine estfermé (sans friction aux côtes) et sans flux de poussée, sanstension de vent et sans variations de la pression atmosphérique ensurface, on montre que les termes sources sont nuls.
SKE ≡ ρ0
∫
V∇· (νv· ∇v) dV, = ρ0
∫
Sv· tdS (175)
où t est la tension du fluide sur S. En l’absence de friction t = 0.
On verra à titre d’exercice que la condition cinématique de lasurface d’eau permet de calculer
n· v =∂η
∂t, (178)
et nous voyons que
PE1KE = −dPE1
dt. (179)
Ceci permet de constater que l’énergie totale du système resteconservée s’il n’y a pas de dissipation et qu’il y a un transfertd’énergie entre les énergies potentielles et cinétiques par lesmouvements verticaux.
Démontrer que pour un gaz parfait adiabatique, l’oscillation autourd’une position d’équilibre dans un environnement stratifié a lieu àune fréquence N donnée par
En utilisant l’équation d’état linéarisée pour l’eau de mer autour deT0 et S0, comment écrit-on la loi d’évolution pour la densité ensupposant que la radiation de l’insolation (en surface I0 (en W/m2))pénètre verticalement dans les océans avec un coefficientd’atténuation k ?
Analyser l’équation du travail mécanique dans le cadre del’approximation hydrostatique et de Boussinesq. En particulier, quese passerait-il si on n’avait pas poséf? = 0 dans l’équation de laquantité de mouvement horizontal?
• les modes propres et échelles inhérentes du système
• les mécanismes de propagation
Comment:
• Simplification des équations:? Effets diffusifs/visqueux négligeables? Perturbation par rapport à une situation de repos
(linéarisation)? Equation d’état linéarisée
• Simplification des conditions auxiliaires? Domaine à géométrie simplifiée? Pas de forçage extérieur? Pas de conditions initiales (solutions périodiques)
• Pour l’approximation hydrostatique f? doit être considéré nul(sinon incompatibilité énergétique). De toute façon, dans cecas f? est multiplié par w dans l’équation pour u.
• Parfois on néglige f? également pour un écoulementnon-hydrostatique
• Utilisation d’une équation pour b (111) en lieu et en place deséquations pour T et S
Etat de référence: repos et stratification ∂b0∂z = N2 uniforme dans un
domaine infini
6ez
b = N2z
Figure 3 : Section verticale a travers le champ de densite de referenceMécanique des fluides géophysiques – p. 159
Ici, on réutilisera l’ hypothèse d’un rapport d’aspect faible , maisavec f=f0 + βy. On ne peut donc plus a priori chercher une solutiondu type onde dans cette direction:
Ici on peut supposer à présent f = f0 et une solution du typeV(y) = ei kyy nous fournit la relation de dispersion
ω(k2y + k2
x) + ω(f2 − ω2)N−2k2z + βkx = 0 (215)
Equation cubique: pour β = 0, nous retrouvons lesondes internes hydrostatiques . Les deux solutionscorrespondantes seront peu perturbées par β. La troisième racines’écrit alors ω = 0 + O(β) et satisfait ω2 ¿ f2
Les ondes se propagent de la source avec un angle imposé par lafréquence de forçage. Si la fréquence de forçage est plus élevéeque la fréquence de Brunt-Väisälä, il n’y a pas d’ondes
Phase du fond à droite vers haut à gauche, vitesse de groupe d’enhaut à droite vers le fond à gauche (image de gauche). Fréquenceprès de la surface proche de la fréquence de Brunt-Väisälä (droite).
En observant une oscillation dans l’enregistrement d’uncourantomètre d’une période de 15 h et une rotation du vecteurvitesse dans le sens antihorlogique, que peut-on dire de l’endroit oùse trouve le courantomètre?
Une dépendence en z et/ou y ne permet plus a priori une solutionbasée sur des fonctions du type ekyy+kzz.Premier essai: entre deux couches en z = −h et z = 0imperméables, maintenues à la même poussée (perturbation b nulleaux parois).Recherche de solutions du type
(u, v, q) = (U(y),V(y),Q(y)) ei (kxx−ωt) cos(kzz) (221)
(w, b) = (W(y),B(y)) ei (kxx−ωt) sin(kzz) (222)
avec kz = nπh pour satisfaire les conditions aux limites.
Solution du type ei kyy donnera l’équation de dispersion du plan f
ω2 =f2k2
z + N2(k2x + k2
y)
k2x + k2
y + k2z
(233)
mais où les valeurs admises de kz forment un spectre discret.
ω2n =
f2(
nπh
)2+ N2(k2
x + k2y)
k2x + k2
y +(
nπh
)2 (234)
Si en y=0, on introduit une côte, la solution reste valable et lacondition aux limites V(y) = 0 en y = 0 imposera simplement laréflexion de l’onde sur cette côte.
Une onde interne est générée par une marée M2 de période 12.42heures. Si la fréquence de Brunt-Väisälä N vaut 10−3 s−1, dansquelles directions l’énergie des ondes internes peut-elle êtrepropagée si l’on suppose la rotation de la terre négligeable?Suggestion:Calculer la vitesse de groupe qui est perpendiculaire a lavitesse de phase.
Lee waves [D]Soit une topographie cosinusoïdale h = H cos(kxx) de nombred’onde kx. Un vent uniforme de vitesse U souffle au dessus dans unenvironnement stratifié uniformément. En négligeant la rotation dela terre, calculez les ondes générées au dessus de la topographieen supposant que les variations de h sont faibles. Distinguer le casN2 ≥ U2k2
x et N2 ≤ U2k2x. Suggestion:Reformuler le probleme par un
deplacement uniforme de referentiel dans lequel le fond bouge a unevitesse −U et y appliquer la condition d’impermeabilite pour la vitesseu dans le nouveau systeme d’axes. Negliger la friction et appliquer seulla condition d’impermeabilite. Simplifier la condition d’impermeabiliteen utilisant le fait que les variations de h sont faibles de sorte que l’onpeut negliger les termes en u· ∇ h.
Pour les ondes d’inertie gravité dans un domaine infini du plan f ,calculez l’énergie cinétique moyenne (sur une longueur d’onde).Pour calculer l’énergie potentielle moyenne associée à une onde,constatez que le déplacement vertical η d’une isoligne de densitépermet de calculer la variation d’énergie potentielle associée.Que se passe-t-il en absence de rotation f = 0 ?Suggestion:Etablir que w = ∂η
Pour f? = 0, β = 0 et une hauteur d’eau h, établir la relation dedispersion
tanh(γh)
γh=
ω2 − f2
gh(k2x + k2
y)(247)
γ =
√(k2
x + k2y)(ω2 − f2)(N2 − ω2)
ω2 − f2(248)
Analysez ce qui se passe pour γ imaginaire et |γ|h À 1
D’autre part, analysez le mode de plus basse fréquence etdémontrez qu’il disparaît quand on utilise une condition aux limitesw = 0 en surface (rigid lid). Démontrez aussi que ce mode(barotrope) possède une vitesse horizontale qui ne s’annule nullepart sur la verticale (pour cette partie, supposez que ky = 0).
Etablir la relation de dispersion pour les ondes internes d’un fluidestratifié uniformément près de l’équateur en supposant f? = 0 etf = βy. Démontrer que l’équation pour la composante sud-nord dela vitesse se réduit à
ω(ω2 − N2
) d2Vdy2
+[(
ωk2x(N2 − ω2) + βkx(N2 − ω2) + ωk2
z(β2y2 − ω2))]
V = 0.
(249)
La relation de dispersion s’obtient alors en imposant que la solutionde cette équation (des fonctions paraboliques cylindriques) estbornée à l’infini (et est alors liée aux polynômes d’Hermite).
Comme déjà montré aux grandes échelles, seule laviscosité/diffusion verticale importe (rapport d’aspect). Ici, cela serala diffusion turbulente ν, car le nombre de Reynolds moléculaire UL
ν
montre que les fluides géophysiques sont toujours turbulents. Avecv = u + wez, nous avons
Les airs froids et plus denses ont tendance à glisser en dessousdes airs chauds. Par la force de Coriolis, ils sont déviés, un ventthermique apparaît et toute l’énergie potentielle n’est pas libérée.
Par mesure de la pression pmes à une profondeur donnée ?
q =
∫ z
zref
b dz +pmes
ρ0+ gzref (271)
En atmosphère OK, en mer KO:Les mesures en mer utilisent la mesure de la pression pourdéterminer la profondeur et on ne connait pas à la fois pmes et zref .
En utilisant comme niveau de référence la surface de la merpuisqu’on y connait la pression (atmosphérique) ?
q =
∫ z
η
b dz +patm
ρ0+ gη (272)
Non, car sur un bateau on ne connait pas la position de la surfacede la mer avec la précision requise (quelques centimètres).N.B.: Pour un océan homogène,
q =patm
ρ0+ gη (273)
et à une haute pression dans l’océan correspond un niveau d’eauplus élevé
Si l’on utilise l’hypothèse du level of no motion:
q =
∫ z
zref
b dz +pref
ρ0+ gzref (276)
de sorte que l’on définit la hauteur dynamique par rapport au niveaude référence zref par
g ηd =
∫ 0
zref
b dz (277)
C’est donc (à une constante indépendante de x, y près et sans tenircompte de la pression atmosphérique) la position de la surface librequi assure qu’à la profondeur zref , la pression est constante dans leplan. On a évidemment négligé
Comparer l’indication de la surface libre avec la circulation généraleen constatant que près de la surface
q =patm
ρ0+ gη (279)
fv =∂q
∂x(280)
fu = −∂q
∂y(281)
Dans l’hémisphère nord, circulation dans la sens antihorlogiqueautour d’une basse pression (niveau d’eau plus bas) et horlogiqueautour d’une haute pression (niveau d’eau plus élévé).
Calculez le débit d’eau à travers la section. Chiffrer pour unelatitude de 40 nord, N2
x = 10−7 s−2, N2 = 10−5 s−2, d = 0.1 m,L = 100 km, h = 200 m.Suggestion:Constater que selon la direction y, aucune informationn’est necessaire si l’on calcule l’equilibre geostrophique de gradient depression selon x.
Supposons que deux profils verticaux de densité ont été mesurés
en deux endroits différents: ρ1 = ρ0(1 − ε1zh ) et ρ2 = ρ0(1 + ε2
(zh
)2)
(z = 0 en surface et négatif vers le bas). En supposant qu’à uneprofondeur de z = −h, il existe un level of no motion, quelledifférence du niveau d’eau observera-t-on entre les deux points?
Un gyre observé de rayon R et de profondeur h possède unestructure de densité que l’on peut approximer par
ρ = ρ0
(1 + ε tanh(r2 − z)
)
z = z/h, R2r2 = x2 + y2. Quelle sera la forme de la surface libre, sil’on suppose qu’à une profondeur de 10h, il n’y a plus demouvement? Quelle est la circulation en surface? Chiffrer pourd = 100 m, R = 50 km, ε = 0.01
Un observateur sur la mer Caspienne constate que la températurede l’air à la surface de la mer diminue de 1, tous les 20 km, vers lenord. Si l’on suppose que ce gradient ne change pas avec l’altitudeet qu’il n’y a pas de vent à la surface de la mer, quel est le vent àune altitude de 2 km ? On pourra en première approximationnégliger l’effet du gradient de pression horizontal dans le calcul dugradient horizontal de densité. Comment pourrait-on néanmoinstenir compte de ce gradient de pression?
En utilisant l’équilibre géostrophique et hydrostatique sans utiliserl’approximation de Boussinesq
ρfezΛug = −∇hp
∂p
∂z= −ρg
démontrer que le courant géostrophique s’écrit
ug =g
fezΛ∇hZ
où ∇hZ est le gradient horizontal de la position verticale Z d’uneisobare, autrement dit la pente des isobares.Suggestion:Utiliser un changement de coordonnees qui utilise lapression comme coordonnee verticale x = x, y = y, z = p(x, y, z)
Observation de Nansen sur le FRAM (1893) en Arctique: labanquise ne dérive pas dans la direction du vent mais entre 20 et40 vers la droite. Explication d’Ekman: effet de la force de Coriolis(1905).
Dans l’hémisphère nord, le déplacement est perpendiculaire à latension du vent et vers la droite par rapport à la direction du vent(voir aussi équilibre géostrophique ).
L’ équilibre géostrophique était valable loin des frontières. Près desfrontières, soit L, soit D, devient très petit, car la solution auxéquations complètes doit satisfaire des conditions aux limites.
La vitesse géostrophique ne satisfait pas la condition aux limitesimposée par la tension du vent τ . Analyse des ordres de grandeurdes termes en fonction des nombres sans dimensions:
∂u
∂t︸︷︷︸+ ∇· (vu)︸ ︷︷ ︸+ fe3Λu︸ ︷︷ ︸ = −∇hq︸︷︷︸+
∂
∂z
(ν
∂u
∂z
)
︸ ︷︷ ︸
fU · Rot Ro 1Q
fULEk
Dans la couche limite, le nombre d’Ekman (Ek) ne sera plusnégligeable, car la hauteur δE de la couche limite est faible et lenombre d’Ekman associé Ek ∼ ν
fδ2E
n’est plus petit. En fait, νfδ2
E∼ 1
pour pouvoir satisfaire les conditions aux limites de surface (d’oùδE ∼
Tension du vent• La tension τ du vent (N par m2 de surface de l’océan) est
proportionnelle au carré de la vitesse V du vent et à la massevolumique de l’air ρair (en kg/m3)
• Direction de la force= Direction du vent
• Le coefficient de drag cd est un coefficient de friction,l’équivalent du coefficient cx des voitures, qui dépend de l’étatde la mer (vagues) et de la stabilité de la colonne d’air(cd ∼ 10−3).
Ici, w ∼ 0 en surface (car on suppose que la couche de mélange desurface est homogène horizontalement et stationnaire) et par lacontinuité , w = 0 partout. En toute hypothèse, si l’on supposew ¿ δEf , alors le terme advectif est négligeable. On suppose queRot ¿ 1 et Ro ¿ 1
Ici, w ∼ 0 en surface (car on suppose que la couche de mélange desurface est homogène horizontalement et stationnaire) et par lacontinuité , w = 0 partout. En toute hypothèse, si l’on supposew ¿ δEf , alors le terme advectif est négligeable. On suppose queRot ¿ 1 et Ro ¿ 1
Ici, w ∼ 0 en surface (car on suppose que la couche de mélange desurface est homogène horizontalement et stationnaire) et par lacontinuité , w = 0 partout. En toute hypothèse, si l’on supposew ¿ δEf , alors le terme advectif est négligeable. On suppose queRot ¿ 1 et Ro ¿ 1
de sorte que, dans la couche limite, le gradient de pression peutêtre considéré constant selon z.Il en va alors de même avec la vitesse géostrophique (ug, vg)
• On peut aussi étudier directement le déplacement moyen de lacouche de surface, si l’on néglige la friction à la base de lacolonne d’eau déplacée. On doit alors considérer une couchesuffisamment grande (quelques dizaines de mètres, À δE), endessous de laquelle l’effet direct du vent et du mélangeassocié est négligeable. Dans ce cas, on analyse une couchedans son ensemble, sans regarder les détails intérieurs et onconsidère le déplacement moyen de cette masse d’eau à unevitesse u, vitesse responsable du transport d’eau.
• Par l’équilibre des forces sur la colonne d’eau, on retrouvealors le transport d’Ekman
Dans l’hémisphère nord, le transport d’eau (transport d’Ekman) estperpendiculaire à la tension du vent et vers la droite par rapport à ladirection du vent.
Dans l’hémisphère sud, le transport d’eau (transport d’Ekman) estperpendiculaire à la tension du vent et vers la gauche par rapport àla direction du vent.
Si le transport d’Ekman n’est pas uniforme, nous pourrions être enprésence d’un mouvement vertical. En prenant la conservation de lamasse dans la couche limite (avec la vitesse géostrophique qui estindivergencielle)
Si le transport d’Ekman n’est pas uniforme, nous pourrions être enprésence d’un mouvement vertical. En prenant la conservation de lamasse dans la couche limite (avec la vitesse géostrophique qui estindivergencielle)
Si le transport d’Ekman n’est pas uniforme, nous pourrions être enprésence d’un mouvement vertical. En prenant la conservation de lamasse dans la couche limite (avec la vitesse géostrophique qui estindivergencielle)
∂u′
∂x+
∂v′
∂y+
∂w
∂z= 0 (299)
et en intégrant de la surface jusqu’en dehors de la couche limite(c.a.d z → −∞), nous avons:
Ici, w = 0 au fond et par la continuité aux grandes échelles, w = 0partout. De toute façon, si l’on suppose w ¿ δEf , alors le termeadvectif est négligeable. On applique la même approche queprécédemment avec les conditions aux limites
(u, v) = (0, 0) z → 0 soit (u′, v′) = −(ug, vg), z → 0
(u, v) = (ug, vg) z À δE soit (u′, v′) = (0, 0) z À δE
Spirale d’Ekman au fond pour une vitesse géostrophique ug = Uex.En rouge, courant sur le fond, puis successivement des courants àdes distances plus élevées du fond.
Couche d’Ekman pour un écoulement cyclonique (gauche) etanticyclonique (droite). La circulation est créée en accélérant oudécélérant légèrement la plaque tournante à partir d’une rotationsolide. Trois tâches d’un colorant violet sont déposées sur le fond.
Supposons qu’un champ de vents dans un cyclône de rayon R dansl’atmosphère peut être approximé par
τ = cdρairU2 re−(r−1)2 eθ (315)
en coordonnées cylindriques situées au centre du gyre avec r = rR .
Quelle est l’intensité de la remontée d’eau au centre de ce cycloneatmosphérique à une latitude de 30N , si l’on suppose que lecoefficient de drag est cd = 10−3, que la vitesse U = 10 m/s, que laviscosité turbulente vaut ν = 10−2 m2/s et que le rayon R = 100 kmSuggestion:Utiliser les formules des coordonnees cylindriques
Expliquer pourquoi au fond d’une tasse de café, en ayant tournéavec une cuillère, les graines du café moulu se concentrent aucentre, indépendamment du sens de la rotation.Suggestion:Supposer que la rotation du fluide est une rotation solide.Travailler dans un systeme d’axes en rotation a cette vitesse. Pour unpoint donne, refaire les calculs d’une couche limite au fond, mais avecune condition aux limites qui assure que, sur le fond de la tasse, lavitesse absolue s’annule.
Supposons que vous voulez déposer des déchets à une profondeurde 3000 m à une latitude de 30N dans une région connue pour êtredominée par une circulation océanique cyclonique de rotationuniforme à la vitesse angulaire de 10−5 s−1. Combien de tempsfaudrait-il pour que les déchets remontent en surface, en supposantqu’ils aient la même densité que l’eau? La viscosité turbulente vautν = 10−2 m2/s
Les vents dominants entre 15N et 45N dans le Pacifique sont lesalizes et les westerlies qui exercent une friction à la surface duPacifique que l’on peut modéliser par
τ = τ0 sin(πy
2L
)ex, −L ≤ y ≤ L (316)
En prenant la fréquence de Coriolis correspondant à 30N, calculerla vitesse verticale de l’Ekman pumping pour τ0 = 0.15 N/m2 etL = 1670 km. Calculer le débit d’eau qui remonte dans le pacifique(largeur 8700 km) en Sverdrup (1Sv=106 m3/s).
Les vents dominants à l’équateur sont les alizés soufflant de l’estvers l’ouest: sans faire de calcul, expliquer si cette situation estfavorable à une remontée ou à une descente d’eau à l’équateur?Note: la force de Coriolis devient importante, dès que l’on s’écarted’une centaine de kilomètres de l’équateur.
L’effet du vent n’agit directement que dans une couche mince où letransport associé est perpendiculaire au vent ( transport d’Ekman ).C’est le champ de pression modifié qui crée la circulationgéostrophique profonde et qui peut persister après l’arrèt du vent(équilibre géostrophique)
• Puisque les masses d’eau sont stratifiées, l’eau qui remonteen surface sera plus froide que les eaux habituellementtrouvées en surface (signal thermique)
• et l’apport (par la remontée) de sels nutritifs activera laphotosynthèse (signal Seawifs).
En supposant que les remontées sont uniformes sur une distance Lde la côte, la quantité d’eau qui sort par le transport d’Ekman (U)doit être égale à la quantité d’eau qui remonte (W L). D’oùl’estimation:
Estimation de l’apport de nitrates par upwelling[N]
A l’aide des images du cours et une intensité du vent dominant aularge de l’Afrique du Sud de V = 10m/s, estimer la quantité denitrates qui remontent en surface par l’upwelling Suggestion:Estimerla taille de l’upwelling a partir de l’image SeaWifs et la concentrationen nitrates du fond a partir de la section hydrographique.
Remontée d’une interface de densité. Expliquer pourquoi onobserve un cisaillement vertical de la vitesse tangentielle à la côteet dans quelle direction le cisaillement a lieu.
L’équation de continuité pour un écoulement purementgéostrophique impose:
∂w
∂z= 0
et pour un écoulement géostrophique, la vitesse verticale est nulle(si elle est nulle en surface: rigid-lid ), de sorte que l’écoulement aufond suivra les lignes de h constant: u· ∇h = 0. Comme enl’absence de stratification et donc de vent thermique ∂u
∂z = 0, il s’ensuite que l’écoulement en surface suit également les lignes de hconstant.
Pour un écoulement au-dessus d’un obstacle situé sur le fond, toutse passe pour l’écoulement géostrophique comme si l’obstacle étaitune colonne virtuelle qui s’étend du fond à la surface. L’écoulementgéostrophique contourne l’obstacle sur toute la hauteur de lacolonne d’eau (Taylor columns).
Si l’on force l’écoulement au-dessus d’une topographie tropimportante, le système ne peut pas rester géostrophique et lenombre de Rossby augmente: effets non-linéaires et déviations ducourant
Nombre de FroudeSi le nombre de Froude Fr ¿ 1 , alors l’inertie n’est pas suffisantepour vaincre l’obstacle (car le gradient de pression adverse seraittrop grand) et en réalité, la vitesse verticale n’est pas W ∼ D
LU mais
sera donnée par l’égalité entre la force d’inertie et le gradient depression associé à la perturbation dans le champ de densité:
δp
ρ0L∼ U2
L→ ρ0N
2δzD
ρ0L∼ U2
L(325)
soit δz = U2
N2D, de sorte que la vitesse verticale associée est
W ∼ δz UL
W /D
U/L= Fr2 (326)
et une forte stratification réduit la vitesse verticale.
Energie potentielle utile ? Sans mélange, le déplacement qui libèreun maximum d’énergie potentielle donne lieu à une stratificationhorizontalement uniforme: la différence entre l’énergie potentiellede la situation de départ et l’énergie potentielle de la situation de lastratification uniforme est appelée l’énergie potentielle disponible.
Comment calculer l’énergie potentielle disponible associée à unefaible perturbation du champ de densité (ρ + ρ′)? Si l’on supposeque la densité est stratifiée uniformément au repos b = b0(z), undéplacement des masses d’eau fournira, par définition, une énergiepotentielle disponible.
Comment calculer l’énergie potentielle disponible associée à unefaible perturbation du champ de densité (ρ + ρ′)? Si l’on supposeque la densité est stratifiée uniformément au repos b = b0(z), undéplacement des masses d’eau fournira, par définition, une énergiepotentielle disponible.
et nous pouvons calculer l’énergie potentielle disponible APE
APE =ρ0
2
∫
Vη2N2dV,
où η est le déplacement de chaque isoligne de densité. Comme ledomaine est considéré fermé, la position moyenne de l’interface nebouge pas, puisque les masses d’eau sont conservées et nousavons dans ce cas: ∫
Comme au départ le système est au repos, seule l’énergie cinétiqueassociée aux mouvements générés par la perturbation du champ dedensité doit être prise en considération. Comme on s’intéresse auxmouvements dans lesquels la force de Coriolis domine, on peutdonc utiliser l’équation du vent thermique pour calculer
∥∥∥∥∂u′
∂z
∥∥∥∥2
=1
f2‖∇b′ ‖2 (333)
de sorte que l’énergie cinétique KE se comporte comme
Nous constatons que le rapport de l’énergie cinétique géostrophiquepar rapport à l’énergie potentielle disponible associée à uneperturbation du champ de densité se comporte comme
KEAPE
∼ D2N2
f2L2∼ Bu (335)
• Si Bu ¿ 1, une grande partie de l’énergie potentielle associéeaux fronts n’est pas transformée en énergie cinétique et lefront est maintenu avec une grande APE par la force deCoriolis
• Dans le cas contraire, Bu À 1, l’énergie potentielle est petitepar rapport à l’énergie cinétique. Peu d’énergie potentiellepeut encore être libérée et l’échelle L du front est grande parrapport au rayon de déformation RI = ND
• Pour les échelles plus grandes que celles des ondes internes:système essentiellement géostrophique. Les dynamiques
seront différentes selon la valeur de Bu et l’importance del’effet β aux très grandes échelles elles devront être étudiéespar des modèles particuliers ("quasi-géostrophiques").
• Pour les échelles plus petites, les non-linéarités deviennentimportantes et nous devons introduire la notion de turbulenceet d’instabilité.
Soit un système au repos de densité uniforme. Si nous refroidissonsune région isolée dans une couche de surface, comment vont êtremodifiées l’énergie potentielle habituelle et la APE? Qu’en est-il sinous chauffons à la place de refroidir? Suggestion:On considere quela situation est 2D dans un plan vertical et que L = 2l
Pour la situation suivante, dans laquelle un fluide plus dense dedensité ρ2 se trouve en dessous d’un fluide plus léger de densité ρ1,calculer l’énergie potentielle en fonction de la pente ε = d/L. Laposition de l’interface est donnée par η = d
Lx Pour quelle valeurl’énergie potentielle est-elle minimale? Que vaut l’énergie potentielledisponible en fonction de ε? On distinguera les cas d ≤ h et d > h.Suggestion:On considere que la situation est 2D dans un plan vertical
• Décomposer l’écoulement en l’écoulement de base 0, dont onétudie la stabilité et une perturbation ′:
v = v0 + v′
• Exprimer que cet écoulement satisfait les lois d’évolution
• Exploiter le fait que l’écoulement de base satisfait aussi leslois d’évolution
• Supposer que les perturbations sont faibles au départ et quel’on peut négliger les produits des perturbations par rapportaux perturbations elles-mêmes.
On vérifie sans peine que l’écoulement de base (v′ = 0, b′ = 0,q′ = 0) est une solution stationnaire du système. (ρref désigne ladensité de référence habituellement désignée par ρ0)
Pour ce qui est de l’écoulement perturbé, il satisfait également leséquations de conservation de la masse et de quantité demouvement et on obtient en tenant compte de l’écoulement de base
Comme indiqué dans l’introduction, l’analyse de la stabilité parpetites perturbations suppose que l’on peut négliger les produits deperturbations devant les termes d’ordre un en les perturbations.Ceci rend les équations linéaires en les perturbations et nouspouvons à présent supposer une perturbation du type onde:
• Problème linéaire avec conditions aux limites homogènes
• Valeurs propres déterminent les valeurs de c admises
• Si c est réel, seules des ondes sont propagées et on obtientleur vitesse de propagation (relation de dispersion)
• Si c est complexe, son complexe conjugé c? constitueégalement une solution pour la fonction W?.
• Si c est complexe, l’écoulement est instable. La partie réellede c donne alors la vitesse de propagation de la perturbationinstable et la partie imaginaire son taux de croissance
On considère un écoulement cisaillé, uniforme dans chaque couchehomogène. On désigne par ρ0 la densité de référence habituelle (àne pas confondre avec la densité de l’écoulement de base ρo(z)
qui vaut ρ2 pour z < 0 et ρ1 pour z > 0). On cherchera alors unesolution dans chaque couche et imposera des conditions deraccord.
• si N2? ≤ 0, l’écoulement est toujours instable et la perturbation
est advectée à la vitesse moyenne
• si N2? ≥ 0, l’écoulement est toujours instable s’il y a un
cisaillement pour des ondes très courtes k → ∞ , mais laperturbation pour les ondes courtes est concentrée près del’interface (solution en sinh(k(z ± h)) ).
Comme la solution se concentre près de l’interface sur une distance1/k, il faudrait kh ∼ 1 pour qu’une instabilité soit présente dans toutle domaine, ce qui demande
(ρ2 − ρ1)gh
ρ0(U1 − U2)2≤ O(1) (369)
Pour des stratifications plus importantes, les instabilités possiblessont de longueurs d’ondes plus courtes et donc localisées près del’interface.
Le mélange complet (augmentation de l’énergie potentielle) n’estpossible que si l’énergie cinétique est suffisante pour augmenterl’énergie potentielle, ce qui demande
En utilisant des arguments énergétiques, démontrer que le mélangecomplet d’un écoulement cisaillé de vitesse u = (z − h/2)M = et depoussée b = (z − h/2)N2 entre deux parois en z = 0 et z = h pour Met N constants n’est possible que si
N2
M2≤ Ricr
et déterminer la valeur critique Ricr. On néglige la force de Corioliset on suppose que le mélange conserve la densité moyenne et laquantité de mouvement moyenne.
• La plupart des écoulements de base ne permettent pas unerésolution explicite du problème aux valeurs propres entermes de fonctions analytiques
• La recherche de solutions numériques des problèmes auxvaleurs propres qui peuvent devenir complexes n’est pastoujours facile (est-on sûr de ne pas avoir "raté" une solution?)
• Des approches intégrales permettent de cerner le domainestabilité/instabilité
Puisque cette égalité ne peut pas être vraie si M2 < 4N2 (car, dansce cas, le membre de gauche est de signe opposé au membre dedroite), nous avons une condition de stabilité suffisante que l’onexprime à l’aide du nombre de Richardson:
Ri =N2
M2(379)
Si Ri > 1
4partout dans le fluide, alors l’écoulement est stable. A
l’inverse, pourqu’une instabilité soit possible, il faut au moins queRi < 1
4quelque part dans le domaine.
Le nombre de Richardson mesure donc l’effet stabilisant de lastratification (si N2 est positif) par rapport à l’effet déstabilisant ducisaillement.
• L’instabilité n’est donc possible que si le nombre complexe ctombe dans le demi-cercle de Howard (la partie inférieure ducercle correspond à une situation stable, car il y adécroissance exponentielle des perturbations).
• Notons que le rayon est plus faible en réalité, étant donné leterme en N2.
• cr ∈ [Umin, Umax] : l’onde instable est quelque-part stationnairepar rapport au mouvement du fluide: ceci permet l’extractionde l’énergie cinétique (critical layer )
• Le critère de Howard permet de limiter les recherchesnumériques à un domaine bien défini
Sur la seule base de critères globaux (sans calculer la solution auxvaleurs propres), que peut-on dire de la stabilité de l’écoulement(entre deux parois rigides en z = ±h) suivant:
u = u0
(1 − (z/h)2
)
b = N2z
Suggestion:On suppose que l’ecoulement est 2D, sans viscosite et sansdiffusion et on neglige la force de Coriolis
Profils typiques de couche de mélange [N]Sur base du nombre de Richardson Ri, que peut-on dire de lastabilité de la colonne d’eau dont le profil de température et desalinité est donné par (z = 0 en surface et négatif dans l’eau)
T = T0 + ∆T ez/δE ,
S = S0 + ∆S ez/δE
alors que le profil de vitesse est donné par
u = −u0 ez
δE sin
(z
δE− π
4
)(392)
v = u0 ez
δE cos
(z
δE− π
4
)(393)
On utilisera l’approximation de l’équation d’état linéarisée et lesvaleurs suivantes: δE = 20 m, ∆S = −1, ∆T = 8, u0 = 0.1 m/s
Si le spectre d’énergie possède des maxima bien séparés, on peutessayer de filtrer les hautes fréquences en utilisant une échelle Tpour les moyennes temporelles
• Nous allons établir des équations pour les variables d’états"moyennes": 〈v〉, 〈T 〉, 〈S〉, 〈ca〉. L’écoulement dépendra ausside la pression 〈q〉
• L’équation d’état est généralement non-linéaire mais onconsidère les fluctuations locales relativement faibles :
〈ρ〉 ≈ ρ(〈T 〉 , 〈S〉 , 〈p〉) (400)
• Les autres paramètres des équations (coefficients de diffusionmoléculaire, conductivité moléculaire etc) sont considérésconstants ou non soumis à des fluctuations rapides.
Le problème de fermeture nécessite de formuler les processusnon-résolus en fonction des seules variables que l’on calculeexplicitement. Cette fermeture devra faire appel à la connaissanceet l’observation des processus modélisés/paramétrisés.
La turbulence mélange toujours par diffusion moléculaire mais lesgradients augmentent (échelles plus petites) et les surfaces de"contact" deviennent plus importantes ( instabilités )
La microturbulence agit comme le mélange moléculaire mais plusefficacement.⇒ La paramétrisation sera analogue aux équations constitutives dela diffusion et la friction moléculaire, mais où l’on remplace lesvaleurs moléculaires par des coefficients de diffusion turbulente etles gradients des champs par les gradients des champs moyens:
jS = 〈v′S′〉 = −λS∇ 〈S〉 (412)
et de même pour la température et les traceurs biochimiques pourlequels on considère que le coefficient de diffusion est égalementλS , car il s’agit du même processus de mélange.
Equation pour k, soit en multipliant l’équation pour les fluctuationsscalairement par v′, soit en contractant les indices (calcul de latrace) de l’équation pour les tenseurs des tensions de Reynolds
Equation pour k, soit en multipliant l’équation pour les fluctuationsscalairement par v′, soit en contractant les indices (calcul de latrace) de l’équation pour les tenseurs des tensions de Reynolds
Equation pour k, soit en multipliant l’équation pour les fluctuationsscalairement par v′, soit en contractant les indices (calcul de latrace) de l’équation pour les tenseurs des tensions de Reynolds
∂t = ν∇2, ce qui indique quela fréquence de dissipation ωv se comporte comme ωv ∼ νk2
v
• Si un tourbillon a une vitesse de rotation ω = ku À νk2 (c.a.d.ul À ν), il ne sera pas amorti
• Ces tourbillons ne peuvent donc dissiper et transmettentl’énergie à des plus petits tourbillons
• Seuls les plus petits tourbillons vont finalement dissiperl’énergie (dans le "puits visqueux")
• L’énergie à dissiper ε est donc "conservée" dans la cascade
• ω ne peut alors être fonction que de ε et k , car la viscosité n’apas le temps d’agir et l’écoulement aux grandes échelles a étéoublié. Par une analyse dimensionnelle
Temps caractéristiqueTant que ω À νk2, la cascade continue. Dans la partie noninfluencée par la viscosité ω ∼ ε1/3k2/3, alors que la viscositéintervient quand en k = kv où νk2 ∼ ε1/3k2/3, soit kv ∼ ε1/4ν−3/4
Coupure de la cascade dans le modèle en l0, les plus petiteséchelles n’étant pas résolues: il faut remplacer ν par ν de sorte quela dissipation (modélisée) aux échelles l0 soit cohérente avec letransfert réel vers la cascade de Kolmogorov:
• il faut dissiper à cette longueur:
u0l0ν
∼ 1 ⇒ ν ∼ u0l0 (440)
• il faut s’assurer que dans l’écoulement moyen, on extrait ε
La diffusion moléculaire est liée à la déviation standard des vitessesdes molécules
√〈u2〉 et leur libre parcours moyen 〈l〉 à la fin duquel
elles rentrent en collision avec une autre molécule et interagissent.La turbulence au sein du fluide agit similairement: les tourbillons àmacro-échelle l0 font en sorte que des parcelles de fluide serencontrent et interagissent rapidement.
On peut écrire une équation d’évolution pour ε en utilisant l’évolutiondes fluctuations et des hypothèses de fermeture plus sévères quepour k.Equation typique:
N2 = ∂〈b〉∂z est le carré de la fréquence de Brünt-Väisälä de
l’écoulement moyen. M2 = 2D:D est le carré de la fréquence dePrandtl de l’écoulement moyen. Ensuite, il reste à remplacer lesautres ∼ par une égalité et un facteur numérique obtenu par desmesures. C’est ici que l’équation de la dissipation montre le plus deproblèmes de calibration.
∂u∂z et l0 = κz (κ = 0.4) pour calculer la viscosité
turbulente ν = l0u0, établir que dans une couche limite au fond enl’absence de rotation de la terre u(z) = C1 ln(C2z),en supposant quel’équation de la quantité de mouvement se réduit à la seule actionde la viscosité turbulente:
∂
∂z
(ν
∂u
∂z
)= 0 (450)
Déterminer les constantes pour que la vitesse soit nulle en z = z0 etvaut U en z = h. Que vaut la tension dans la couche limite enfonction de U ?
Par la suite on omettra l’indication de la moyenne 〈〉 pour désignerles écoulements à macroéchelle pour lesquels on a filtré lesfluctuations à microéchelle.Adaptations des paramétrisations de la turbulence proprement diteen exploitant le fait que l’écoulement des fluides géophysiquesmoyen possède un rapport d’aspect faible :
Par la suite on omettra l’indication de la moyenne 〈〉 pour désignerles écoulements à macroéchelle pour lesquels on a filtré lesfluctuations à microéchelle.Adaptations des paramétrisations de la turbulence proprement diteen exploitant le fait que l’écoulement des fluides géophysiquesmoyen possède un rapport d’aspect faible :
2D =
0 0 ∂u∂z
0 0 ∂v∂z
∂u∂z
∂v∂z 0
2D:D ∼(
∂u
∂z
)2
+
(∂v
∂z
)2
=
∥∥∥∥∂u
∂z
∥∥∥∥2
= M2
u étant la composante horizontale du courant moyen.
• Tenseurs et gradients de densité simplifiés par lerapport d’aspect .
• Dans la cascade de Kolmogorov, si N2 ∼ M2 où N2 ≥ M2 lastratification peut interagir avec la cascade, car la générationde turbulence a lieu par interaction avec l’écoulement moyenprès de la fréquence ω = u0
l0∼ M et la dissipation à plus haute
fréquence ωv
• La stratification réduit à la fois la taille de l0 et l’énergie desfluctuations.
Modification des équations par rapport à la paramétrisation de laturbulence classique isotrope: dépendance des paramètresturbulents en Ri ou N2 et M2
Dissipation ε (en couleur) en fonction de la profondeur et du tempsmodélisé (à gauche) et observé (à droite). Courbes de niveau de ladensité superposées
Que se passe-t-il si l’on veut résoudre seulement lesgrandes échelles ?
• problème de fermeture,
• mais les processus sont de moins en moins aléatoires etchaotiques. Ils sont même souvent très structurés,
• de plus, ils peuvent alimenter en énergie un écoulement à plusgrande échelle (alors que les paramétrisations classiquessupposent unflux d’énergie des grandes échelles vers les plus petites ).
Nécessité d’adapter les paramétrisations classiques de laturbulence
Tenseur des tensionsComme il faut que les tensions de Reynolds permettent le calcul de〈v〉0, il faudrait que 〈〈vv〉1〉0 = 〈vv〉0, ce qui suppose que :
〈〈v′v′〉1〉0 = 〈v′v′〉0 (468)
〈v′v〉0 + 〈vv′〉0 = 0 (469)
Si l’on veut en plus utiliser les fermetures turbulentes de lamicroéchelle en fonction des gradients de l’écoulement à trèsgrande échelle, il faut de plus
〈〈v′v′〉1〉0 = 〈v′v′〉1 (470)
c’est-à-dire que la micro-turbulence n’est pas modulée à uneéchelle T0. Dans ce cas, on peut utiliser la fermeture classique pourles termes en 〈v′v′〉1, mais il faut encore paramétriser 〈vv〉0
Les fluctuations v sont des fluctuations à plus grande échelle detemps et d’espace. Les vitesses sont soumises au rapport d’aspectfaible et les tensions de Reynolds associées engendrent des fluxquasi-horizontaux:
• Instabilités à petite échelle (type Kelvin-Helmholtz ):paramétrisations en termes de diffusion dépendante de N2,M2, k et ε
• A plus grande échelle, instabilités d’écoulementsgéostrophiques cisaillés et stratifiés ( instabilités baroclines ):paramétrisations comme diffusion isopycnale et advectionqui diminue l’intensité de fronts
• Effets de marées structurées sur circulation générale: calculexplicite du tenseur des tensions de Reynolds par un modèlede marée.
• Mélange associé aux gyres quasi-horizontaux:diffusion horizontale
Paramétrisations en fonction de la fenêtrespectrale
Pour chaque processus étudié dans une fenêtre spectrale donnée,il faudrait en principe paramétriser correctement les processusd’échelle inférieure. Les processus d’échelles plus grandesinterviennent alors via les conditions aux limites et initiales.
En supposant que la production de l’énergie cinétique turbulente esten équilibre avec la dissipation ε et l’extraction par la poussée,analyser comment le modèle de Prandtl doit être modifié quand ontient compte de la stratification. On suppose que la diffusionturbulente des scalaires λb est proportionnelle à la viscositéturbulente ν
λb =ν
σb(473)
On appelle σb le nombre ou coefficient de Schmidt turbulent; il peutdépendre de la stratification et du cisaillement, mais il est engénéral > 1
Au large de la côte américaine est, le Gulf stream à 40N prend unedirection de l’ouest vers l’est. Sur une section sud-nord, on peutreprésenter la structure schématique de densité associée de lafaçon suivante (on suppose la salinité constante S = S0):
Si l’on suppose que l’écoulement est géostrophique, en équilibre hydrostatique et sansturbulence,
• calculer la pression réduite q en supposant que vers les profondeurs z → −∞,cette pression est constante, constante que l’on choisira nulle.
• en déduire l’expression de la surface libre
• calculer l’expression de la vitesse géostrophique selon l’axe ex en tout point etindiquer la structure du courant sur un dessin
• calculer le nombre de Rossby (basé sur la largeur L) en fonction de y, z et savaleur en (y, z) = (0, 0). Chiffrer pour d = 300 m, L = 100 km,
T0 = 4C, ∆T = 20C
• quel est dans ce dernier cas la différence de niveau d’eau entre les deux côtésdu courant
• sans calculer des intégrales mais en utilisant une estimation grossière de lavitesse dans le courant principal et de son étendue dL, estimer le débit associéau Gulf Stream.
h , où κ est un paramètreconstant sans dimensions. Chercher la forme de la couche limited’Ekman du fond en supposant un équilibre entre la frictionturbulente et la force de Coriolis. On néglige la viscosité moléculaireet admet que la vitesse s’annulle en z = z0, alors qu’elle peut croitreen z et qu’elle vaut Uex en z = h.On notera le facteur hf
κu0= a où f est la fréquence de Coriolis.
Démontrer que la solution tourne avec les z croissants. Que vaut letransport entre z = z0 et z = h ?
Suggestion: On cherchera la solution en utilisant la variable complexew = u + i v. Les solutions d’une equation du type
z2 d2φ
dz2+ b z
dφ
dz+ cφ = 0,
avec b, c constants, s’obtient en cherchant une solution du type zα, ouα doit prendre des valeurs particulieres a determiner pour quel’equation soit satisfaite pour tout z. Pour chaque valeur de α, onobtient alors une solution de l’equation que l’on combinera ensuite poursatisfaire la condition w(z0) = 0 et w(h) = U
Si l’on suppose que l’écoulement est géostrophique, en équilibrehydrostatique et sans turbulence en dehors des couches limites
• calculer la pression réduite q en supposant qu’en hauteurz → ∞, cette pression est constante, constante que l’onchoisira nulle.
• calculer l’expression de la vitesse géostrophique selon l’axe ex
en tout point et indiquer la structure du courant sur un dessin
• calculer le nombre de Rossby (basé sur la largeur L) enfonction de y, z et sa valeur en (y, z) = (0, 0)
• Calculer le transport d’Ekman dans la couche limite du fond ensupposant que la viscosité turbulente est constante. Dansquelle direction ce transport est-il dirigé? Est favorable à unedescente ou une montée d’eau? Quel effet cela aura-t-il sur lemaintien du courant de densité?
Positif: tendance de descente le long de la côte et remontée aularge par convergence divergence. Loin des côtes on peut aussicalculer la vitesse vertical due à l’Ekman pumping
Les masses d’eau méditerranéennes qui se déversent en Atlantiqueforment des "meddies", masses d’eau salées et chaudes dans unenvironnement plus froid et moins salé. La forme de cette masseressemble à un "smartie" et sa structure peut être représenté par
Une explication de l’observation du monstre du Loch Ness est laprésence d’ondes internes dans le lac rendues visibles par uneréfraction de lumière particulière. On voudrait tester lavraisemblance de cette hypothèse et l’on suppose que le monstreest du type sinusoïdal.
Si l’on suppose que la taille du monstre observé vaut L = 30 mètres,à quelle vitesse se déplacerait-il si le lac a une profondeur de2h = 200m à l’endroit où l’on observe le monstre, et qu’unestratification de ρ2 − ρ1 = 10 kg/m3 est présente.Cela vous semble-t-il une vitesse réaliste?Suggestion:Exploiter l’etude de l’instabilite d’un ecoulement a deuxcouches. Discuter et analyser aussi le fait d’utiliser une vitesse dephase ou de groupe pour l’estimation de la vitesse observee.
En supposant que l’océan est en équilibre hydrostatique selon laverticale, démontrer à l’aide de l’équation de la quantité demouvement (dans un système en rotation), que le fluide ne peutêtre au repos que si la densité est uniforme horizontalement.Suggestion:Ne pas utiliser l’equilibre geostrophique a priori, maissupposer que les forces de frictions sont nulles en l’absence demouvement
Calculer la structure de la couche d’Ekman en dessous d’unecouche de glace fixe en supposant que
• l’écoulement géostrophique en dehors de la couche limite estdirigé selon ey
• la viscosité turbulente ν est constante dans la couche limite
• la condition aux limites impose que la vitesse totale soit nulleau contact de la glace
• l’on soit dans l’hémisphère nord
Dans quelle direction sera le transport d’Ekman?Si l’écoulement géostrophique est uniforme, qu’observera-t-on aubord d’une banquise: une remontée ou une descente d’eau ?Justifier.
Relation de dispersion, fluide discontinu dansun plan f [TD]
Soit un fluide entre deux parois rigides en z = 0 et z = −h. Un sautde densité est présent en z = −d avec l’eau moins dense (ρ1 < ρ2)au dessus. Etablir que la relation de dispersion est
ω =
√g
hn(ρ2 − ρ1)
ρ2 coth
[ω
(h − d)√ghn
]+ ρ1 coth
[ω
d√ghn
]−1
(495)
hn =ω2 − f2
g(k2x + k2
y)(496)
On suppose que f? = 0 et β = 0. Comment se simplifie cetterelation si d = h/2 et ρ2 ∼ ρ1 pour les ondes longues?
• Sea Surface Temperature: température de surface de la mer.
• Image composite: image obtenue en superposant plusieursimages (habituellement successives dans le temps) afin deproduire une vue moyenne qui élimine également lesproblèmes de couverture nuageuse.
• Diagramme de Hovmöller: lignes de niveau dans un espace(x, t). A partir de la pente des isolignes, on peut facilementidentifier le sens et la vitesse de propagation d’un signal lelong de l’axe x.
• εijk: vaut 0, si deux ou plus d’indices sont identiques, 1 quandles indices sont dans un ordre cyclique, -1 sinon
⊕ Comme les fluctuations sont plus aisees quand elles ne doivent pasvaincre une stratification, on suppose que les fluctuations sontessentiellement dirigees le long des surfaces d’egale densite (isopycnes).Si la parametrisation du tenseur des fluctuations associees est du type”diffusion”, on tourne l’operateur de diffusion:
[1] J.-M. Beckers. La Méditerranée Occidentale: de la modélisation mathématique à lasimulation numérique. Collection des Sciences Appliquées ULG N136, 1992. Ph.DThesis 350pp.
[2] J.-M. Beckers. Mécanique des fluides géophysiques. GHER, pages 1–216, 2000.revised version; first edition 1991.
[3] B. Cushman-Roisin. Introduction to Geophysical fluid dynamics. Prentice Hall, 1996.
[4] E. Delhez and J.C.J. Nihoul. Mécanique Rationnelle - Modèle mathématique deNewton. Etienne Riga éditeur, 1996.
[5] P. H. LeBlond and L.A. Mysak. Waves in the ocean. Elsevier, New York, 1978. 602pp.
[6] J.C.J. Nihoul. Modèles mathématiques et Dynamique de l’environnement. é. t. a. b.é. t. y. p. Liège, 1977.
[7] J. Pedlosky. Geophysical Fluid Dynamics. Springer-Verlag, 1979.
[8] H. von Storch and F. Zwiers. Statistical analysis in climate research. CambdridgeUniversity Press, 1999.
Pour un débit faible et un h(x) donné, deux racines sont possibles.Si le courant doit passer par des hauteurs variables h, la courbe(503) se déplace et le couple (η, u) également. Si le courant passepar un point où h est minimum et tel que u2 = g (h + η) Fr = 1, lecouple (η, u) peut suivre deux chemins possibles après cet endroit.De plus, pour un h avec un minimum donné, le débit maximal quel’on peut faire passer pour un niveau d’énergie donné, correspond àla situation où h est minimum quand u2 = g (h + η) Fr = 1
0.5 1 1.5 2 2.5 3
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
Figure 23 : Relations (503) (rouge clair et rouge fonce) et (504) (jaune). Pour une
On utilise Z (hauteur géopotentielle) comme coordonnée verticaleque l’on notera z. L’origine sera choisie à l’endroit du geoïde (unegéopotentielle particulière).