MECÂNICA QUÂNTICA DE DE SCHRÖDINGER cap 5

NOTAS DE AULAS DE FSICA MODERNAProf. Carlos R. A. Lima

CAPTULO 5

PROPRIEDADES ONDULATRIAS DA MATRIA

Edio de janeiro de 2009

CAPTULO 5 PROPRIEDADES ONDULATRIAS DA MATRIA NDICE5.1- Postulados de de Broglie 5.2- Interpretao Probabilstica da Dualidade Onda - Partcula 5.3- Propriedades das Ondas de Matria 5.4- Princpio da Incerteza

Nessa apostila aparecem sees, sub-sees e exemplos resolvidos intitulados como facultativos. Os assuntos que se referem esses casos, podem ser dispensados pelo professor durante a exposio de aula sem prejuzo da continuidade do curso de Estrutura da Matria. Entretanto, desejvel que os alunos leiam tais assuntos e discutam dvidas com o professor fora do horrio de aula. Fica a cargo do professor a cobrana ou no dos tpicos facultativos. Excluindo os tpicos facultativos, esse captulo deve ser abordado no mximo em 2 aulas de quatro crditos.

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Lista de Exerccios1- Por que a natureza ondulatria da matria no evidente em nossas observaes dirias? O comportamento ondulatrio de uma partcula clssica pode ser obtido assumindo-se m na frmula de de Broglie? Explique. 2- O comprimento de onda de de Broglie pode ser menor que a dimenso da partcula? Pode ser maior? necessrio que haja alguma relao entre essas grandezas? 3- A difrao de eltrons pode ser utilizada para se estudar a estrutura de slidos cristalinos? Explique. 4- Discuta a analogia: A ptica ondulatria para a ptica geomtrica assim como a mecnica quntica para a mecnica clssica. 5- Afinal de conta o que um eltron, uma partcula ou uma onda? Explique. 6- Discuta semelhanas e diferenas entre uma onda de matria e uma onda eletromagntica 7- Um projtil de massa m = 40 g move-se a uma velocidade v = 1000 m / s . (a) Qual o comprimento de onda de de Broglie que se pode associar a ele? (b) Por que sua natureza ondulatria no se revela por meio de efeitos de difrao? 8- O comprimento de onda da emisso espectral amarela do sdio eltron teria o mesmo comprimento de onda de de Broglie?

= 5890 A0 . Com que energia cintica um0

9- Um eltron e um fton tm ambos um comprimento de onda = 2,0 A . Quais so (a) seus momentos? (b) suas energias totais? (c) Compare as energias cinticas do eltron e do fton. 10- Um nutron trmico tem uma energia cintica ( 3 2 ) kT , onde T = 300 K a temperatura ambiente. Estes nutrons esto em equilbrio trmico com o ambiente. (a) Qual a energia em eltrons - volt de um nutron trmico? (b) Qual o comprimento de onda de de Broglie? 11- Um feixe de nutrons de 1eV atinge um cristal cujos planos cristalinos esto separados por Determine o ngulo de fase para o qual o primeiro mximo de interferncia observado.0

d = 0,025 nm .

12- O espaamento planar em um cristal de cloreto de potssio d = 3,14 A . Compare o ngulo de reflexo de Bragg de primeira ordem, por esses planos, de eltrons com energia cintica 40 keV com o de ftons com energia 40 keV . 13- Considere a interferncia de duas ondas 1 e 2 , emitidas de duas fendas estreitas e paralelas de distncia d ,como mostra a figura ao lado. As ondas tm mesmas amplitude A , mesma freqncia e diferena de fase . Construa a superposio 1 + 2 usando a notao complexa para a funo de onda e mostre que a dependncia do padro de interferncia resultante com o ngulo2 kd sen . ( Sugesto: mostre primeiramente que, , I = 4 A cos 2 2 i 2 i 2 + e e i(t + 2 ) , em seguida escreva as = 1 + 2 = A e

1 = Aeit

d

1 = Aei b t + g dsen

exponenciais complexa entre colchetes na forma trigonomtrica. Escreva a distribuio de intensidades do padro de interferncia

I = , e observe que2

a diferena de fase entre as duas ondas pode ser escrita na forma

=

2

dsen = kdsen ).

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14- Na representao complexa da onda plana no espao r ,t = Ae

(

)

i k r t

(

)

, o vetor de propagao, ou

nmero de ondas, k = kx i + ky j + kz k definido para ter mesma direo e sentido da propagao da onda, como mostra a Fig. (a). Para evitar complicaes desnecessrias, nessa Figura foi escolhido um plano particular em

t = t0 = 0 , no qual est contido um vetor r r0 , onde r = xi + yj + zk e r0 = x0 i + y0 j + z0 k . (a)zk r = cons tan te

Mostre que a condio de que o vetor k seja perpendicular ao vetor

r r0 resulta em:

k

que a equao do plano, uma vez que este o lugar geomtrico de pontos do espao com mesma projeo do vetor r sobre o vetor k , como mostrado na Figura (b). (b) Usando a propriedade de periodicidade da onda plana oscilante

r r0

rr0 t = t = 0 0x

(r ) = r + k

(

)

para cada comprimento de onda

, onde k = k k o vetor unitrio na

(a)k

y

direo do vetor k , mostre que o mdulo do vetor de propagao

k = 2 . (Sugesto: Escreva a identidade ( r ) = r + k para

(

)

( r ) = ( r ,0 ) = Aeik r e lembre-se que 1 = e i 2 ).15- Referindo-se ao princpio da incerteza de Heisenberg, d exemplo de algum caso em que o processo de medida perturba o sistema que est sendo medido.

r

r cos

(b )

16- D uma justificativa partir do princpio da incerteza de Heisenberg ( E t 2 ) que a energia de um oscilador harmnico no pode ser nula. (Sugesto: Ser que o perodo de um oscilador pode ser infinito? Pense nisso). 17- Qual seria a voltagem aceleradora necessria dos eltrons em um microscpio eletrnico para que se tenha a mesma resoluo mxima que pode ser obtida em um "microscpio de raios " usando raios de 0, 2 MeV ? 18- A resoluo mxima atingida por um microscpio limitada apenas pelo comprimento de onda utilizado, isto , o menor detalhe que se pode distinguir aproximadamente igual ao comprimento de onda. Suponhamos que se queira ver o interior de um tomo, com detalhes da ordem de 0,1 A . (a) Se usarmos um microscpio eletrnico, qual seria a energia mnima necessria para os eltrons? (b) Se usarmos um microscpio ptico, qual seria a energia mnima para os ftons? Em que regio do espectro eletromagntico esses ftons so encontrados? (c) Qual dos microscpios seria mais prtico para esse objetivo? Explique.0

x 2 4 , onde x a incerteza na posio da onda e a incerteza simultnea no comprimento de onda. (Sugesto: assuma que a incerteza no comprimento de onda da ordem de grandeza do prprio comprimento de onda ).20- Mostre que se a incerteza na posio de uma partcula for aproximadamente igual a seu comprimento de onda de de Broglie, ento a incerteza em sua velocidade aproximadamente igual a sua velocidade. 21- Um microscpio ptico utilizado para localizar um eltron em um tomo em uma regio de dimenso linear 0 de 0, 2 A . Qual a incerteza na velocidade de um eltron localizado dessa forma?

19- Mostre que para uma partcula livre pode-se escrever a relao de incerteza tambm na forma

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22- Uma partcula de massa m est confinada em uma regio unidimensional de comprimento a . Use o princpio da incerteza para obter uma expresso para a energia mnima da partcula. Calcule o valor dessa energia para uma gota de massa m = 1g mantida sobre um fio de comprimento a = 10 cm , e para um eltron em uma regio de comprimento

a = 0,1nm .0

23- (a) Considere um eltron em algum ponto dentro de um tomo de dimetro 1 A . Qual a incerteza no momento do eltron? Esse resultado consistente com a energia de ligao de eltrons em tomos? Pense em termos de energias das transies atmicas pertencente a regio visvel do espectro eletromagntico. (b) Imagine que um eltron esteja em algum ponto no interior de um ncleo de 10 cm . Qual a incerteza no momento do eltron? Esse resultado consistente com a energia de ligao de partculas constituintes do ncleo? Pense em termos de energias das transies nucleares pertencente regio dos raios X e do espectro eletromagntico. (c) Considere um nutron, ou um prton, no interior desse ncleo atmico. Qual a incerteza no momento do nutron, ou do prton? Esse resultado consistente com a energia de ligao de partculas constituintes do ncleo? 24- A vida mdia de um estado excitado de um ncleo normalmente de cerca de fton de raio emitido?12

10 12 s . Qual a incerteza na energia do

vx

25- um garoto no alto de uma escada de altura H est jogando bolas de gude de massa m em uma abertura existente no solo, como mostra a Figura ao lado. Para atingi-la, ele utiliza a maior preciso possvel. (a) Use a cinemtica de lanamento de projteis e o princpio da incerteza para mostrar que as bolas de gude deixaro de atingir a abertura por uma distncia horizontal da ordem de

vy

H

x m

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H g

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, onde g a acelerao da gravidade. (b)

Utilizando valores razoveis de H e

m , calcule esta distncia.

x

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