1 MECÂNICA DOS SÓLIDOS II (RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II) Bibliografia: Ferdinand Beer, E. Russel Johnston – Resistência dos Materiais Timoshenko – Mecânica dos Sólidos William Nash – Resistência dos Materiais Vladimir Arrivabene – Resistência dos Materiais Professor: Eduardo Moura Lima Versão 01/02/2015
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MECÂNICA DOS SÓLIDOS II
(RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II)
Bibliografia:
Ferdinand Beer, E. Russel Johnston – Resistência dos Materiais Timoshenko – Mecânica dos Sólidos William Nash – Resistência dos Materiais Vladimir Arrivabene – Resistência dos Materiais
Professor: Eduardo Moura Lima
Versão 01/02/2015
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Cap I: Análise de tensões e deformações
1. Estado Tri-Axial de tensões:
Notação: σi – tensão normal na direção i
τji – tensão tangencial no plano j, direção i
Colocamos todas as tensões normais e tangenciais possíveis em cada face visível. Nas faces opostas (invisíveis) teremos as mesmas tensões, com mesmos módulos e sentidos opostos. Em torno de um ponto, num mesmo
P X
Z
X
Y
dx
dy
dz
σx
σy
σz
τyz
τyx τxy
τzy
τzx
τxz
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plano, as tensões normais sempre atuam em duplas, e as tangenciais, em quatro.
Outros estados de tensão:
Bi-axial ou plano: tensões em duas direções Uni-axial: tensões em uma direção
2. Estado Plano de tensões – método analítico: a. Introdução:
Estado mais comum de ocorrer. Teremos tensões apenas no plano XY. Eliminaremos todas as tensões fora deste plano.
A visualização pode ser simplificada, com todas as tensões num único plano, eliminando-se a terceira dimensão (Z). E a notação das tensões tangenciais também poderá ser simplificada, por não existir a direção Z, e τxy = τyx (provaremos mais tarde).
Notação: σi – tensão normal na direção i
τj – tensão tangencial no plano j
X
Y
dx
dy
dz
σx
σy
τyx
τxy
Z
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Então, podemos visualizar assim: Ou por uma forma mais simplificada:
Diagonal de corte: sobre ela convergem as tensões tangenciais
Convenção de sinais:
b. Tensões em um plano qualquer perpendicular ao plano XY (σα e τα):
σx σx
σy
σy
τx τx
τy
τy
Diagonal
de corte
X
Y
X
Y
τx
τy
σy
σx
\\=\\=\\=
|| =
|| =
\\=\\=\\=
σ > 0 σ < 0
\\=\\=\\=
τ < 0 τ > 0
σx τx
σy
τy X
Y
dx
dy
σα
τα
α
α
α
α
dL
Y
X
Z
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Estudo do equilíbrio das FORÇAS que atuam no prisma:
Projeção das forças na direção de σα:
σα = ((σx + σy) / 2) + (((σx - σy) /2). cos 2α) + τx . sen 2α (A)
Para converter de um estado para outro εx = (1/E) (σx – (σy/m)) εI = (1/E) (σI – (σII/m)) εy = (1/E) (σy – (σx/m)) εII = (1/E)(σII – (σI/m)) δα = ((m + 1)/(Em)).τα com m = 1/μ
5. Estado Plano de deformações – método gráfico – círculo de Mohr
Análogo ao círculo das tensões: σ ε e τ δ
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6. Utilização do mesmo círculo para determinação de tensões e deformações
a. Tensão Deformação
K – módulo de desenho para tensão
Por exemplo: escala: 100 kgf/cm2 – 1cm K = 0,01
K’ – módulo de desenho para deformação
Por exemplo: escala: 0,2 x 10-3 – 1 cm K’ = 1 / (0,2 x 10-3)
Ponto O: origem do círculo de tensões
Ponto O’: origem do círculo de deformações
O’ sempre entre O e C
K’ = (K.m.E)/(m + 1)
2 OC / (m + 1)
b. Deformação Tensão
K = K’.(m + 1) / (m.E)
2 O’C / (m - 1)
X X X O O’ C
X X X O O’ C
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7. Resolução de exercícios pelo método gráfico: a. Exercício 1 da apostila:
Escala: 1 cm = 50 kgf/cm2 k = 0,02 k’ = (0,02x4x2 x 106)/(4+1)=32000
OO’ = (2/(4+1)) OC = (2/5) OC
εI = (O’B)/k’ = 0,275 x 10-3
εII = (O’A)/k’ = -0,175 x 10-3
δmax = (CR)/k’ = 0,225 x 10-3 rad
σ
τ (-)
O F E
M
C O’
δ (-)
B A
R
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c. Dados:
εx = 0,2 x 10-3; εy = -0,4 x 10-3; δx = 0,4 x 10-3 rad;
m = 4; E = 2 x 106 kgf/cm2
Determinar tensões principais e τmax
Escala: 1 cm = 0,05 x 10-3 k’ = 20000 k = (20000x5)/(4x2 x 106) = 0,01250
OO’ = (2/(4 – 1)) O’C = (2/3) O’C
δ (-)
ε O’ E F C A B
R
II
I
M x
αI
O
τ (-)
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σI = (OB)/k = 533,3 kgf/cm2
σII = (OA)/k = -1066,7 kgf/cm2
τmax = (CR)/k = 800 kgf/cm2
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Polo: Ponto da circunferência tal que, se traçarmos por ele uma paralela a um plano, esta reta cortará a circunferência num ponto cujas coordenadas são as tensões no plano.
O ponto P é obtido traçando paralelas a 2 planos ortogonais a partir dos pontos correspondentes no círculo de Mohr.
F O σ
τ
E C
N
M
σx – OF > 0
σy – OE > 0
τy – FN > 0
A B
x
I αI
P
//=//
||
||
αI
I
Y II
// ao plano x
// ao plano y
// ao plano I
// ao plano II
plano x
plano y
plano I plano II
II
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Cap II: Flexão Simples Oblíqua
1. Flexão Simples Reta:
σ= (M.y)/ JLN
Sinais das tensões:
M+ M-
OU
Simples: ocorrem Q e M na seção reta
Reta: ES coincide com um dos dois eixos centrais principais de inércia da seção. A LN será o outro.
Na LN as tensões normais são NULAS
X = LN Y = ES
Z
M
M C T
C T
M -
-
+
+
ES
LN - -
+ +
-
+
σC
σT
DTN
M CG
CG
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2. Flexão Simples Oblíqua: Oblíqua: ES não coincide com nenhum dos dois eixos centrais principais de inércia
α – ângulo entre o ES e o eixo X
MX = M.senα
MY = M.cosα
Sinais das tensões:
Tensões normais: σ = (MX.y)/ JX + (MY.x)/ JY
Posição da LN: Como na LN a tensão normal é ZERO σ = 0
1. Flexão Composta com tração: Reta: ES coincide com um dos dois eixos principais de inércia da seção Oblíqua: ES não coincide com um dos dois eixos principais de inércia da seção
Visão tri-dimensional da seção reta:
C.A. = Centro de Ataque
Z MX
Y X
MY
CG
N
N
Y
X CG
N
N
yC
xC C.A.
MX
MY
ES
α LN
y0
x0
β
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Seção reta vista de frente:
tg α = yC/xC
Coordenadas do CA: xC e yC
Mx = N.yC
My = N.xC
Tensões num ponto qualquer da seção: σ = Mx.y/Jx + My.x/Jy + N/S
Solução da equação diferencial: y = C1.senkx + C2.coskx - e
\\=\\=\\
P
P
e
P M1
P M1
y
x
S
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2. Peças com cargas centradas (e = 0)
Solução: y = C1.senkx + C2.coskx
Peça bi-rotulada
Condições iniciais:
x = 0 y = y0 dy/dx = 0
dy/dx = k.C1. cos kx - k.C2. sen kx
0 = k.C1. cos 0 - k.C2. sen 0 = K.C1 – k.C2. 0
k.C1 = 0
Como k ≠ 0 C1 = 0
A solução fica: y = C2.coskx
Se x = 0 y = y0 y0 = C2. cos 0 C2 = y0
Solução: y = y0. cos kx
Se x = L/2 y = 0 0 = y0. cos (kL/2)
Como y0 ≠ 0 cos (kL/2) = 0 kL/2 = π/2 kL = π k = π/L
K2 = π2/L2
Como k2 = P / (E.J) P / (E.J) = π2/L2 Pfl = π2.E.J / L2
Como o cálculo foi feito para a peça bi-rotulada, generalizando teremos:
Pfl = π2.E.J / Lfl2 , onde Lfl = γ.L
comprimento de flambagem coeficiente de extremidade
\\=\\=\\
L/2
L/2
y0
x
y
P
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Coeficientes de extremidade
γ = 1 γ = 0,5 γ = 0,7 γ = 2
bi-rotulada bi-engastada rotulada e engastada mono-engastada
Concluindo:
Pfl = π2.E.J / Lfl2 com Lfl = γ.L
σfl = Pfl/S (tensão de flambagem)
i2 = J/S (raio de giração em torno do Jmínimo)
λ = Lfl / i (coeficiente de esbeltez)
σfl = Pfl/S = π2.E.J / S.Lfl2 = π2.E. i2 / Lfl
2 = π2.E/ λ2 σfl = π2.E/ λ2
Representando a equação num gráfico:
σE – limite de elasticidade
λE – esbeltez limite
\\=\\=\\
P
L
\\=\\=\\
P
\\=\\=\\
\\=\\=\\ \\=\\=\\
P P
0,5L
0,7L
σfl
λ
λE
σE
Região elástica
(equação de Euler)
Região não
elástica
(equações
empíricas)
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Verificou-se que a equação só chegava a valores que correspondiam aos valores obtidos na prática a partir de um determinado λ (λE, que recebeu o nome de esbeltez limite) (região elástica). O σ corresponte a este λE foi o limite de elasticidade do material (σE). Como σfl = π2.E/ λ2
σE = π2.E/ λE2 λE = π √ E/σE
Então:
Se λ ≥ λE Região elástica
Valem as equações de Euler:
Pfl = π2.E.J / Lfl2 ou σfl = π2.E/ λ2
Se λ < λE Região não elástica
Valem fórmulas empíricas para a obtenção de tensões
Alguns valores de λE :
Aço doce: λE = 100
Ferro fundido: λE = 80
Madeira: λE = 60 a 100
Concreto: λE = 85
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Algumas fórmulas empíricas:
a. Gordon-Rankine: σfl
* = σ0 / (1 + β.λ2) onde: σ0 = tensão limite de resistência à compressão
β = coeficiente do material, obtido em laboratório
β ϵ [0,8 a 1,5] x 10-4 (aço doce)
β ϵ [5,0 a 6,0] x 10-4 (ferro fundido)
β ϵ [1,0 a 1,5] x 10-4 (madeiras rijas)
Coeficiente de segurança usual: 2 a 3,5
b. Tetmayer: σfl
* = σ0 – a.λ + b.λ2 onde: a, b = coeficientes do material
Coeficiente de segurança usual:
Aço: 2 a 3 Madeira e ferro fundido: 3 a 5
c. Johnson:
σfl* = σS – a.λ2 onde:
σS = tensão de escoamento do material na compressão
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3. Peças com cargas excêntricas (e > 0)
Equação diferencial: d2y/dx2 + k2.y = - k2.e
Solução: y = C1.senkx + C2.coskx - e
Para x = 0 y = 0
0 = C1.sen 0 + C2.cos 0 – e C2 = e
Solução:
y = C1.senkx + e.coskx - e
Para x = L y = 0:
0 = C1.senkL + e.coskL - e
C1.senkL = e (1 – coskL) C1 = e (1 – coskL) / senkL Como senkL = 2.sen (kl/2). cos (kl/2) e 1 – cos kl = 2 sen2(kl/2) C1 = e.( 2 sen2(kl/2)) / (2.sen (kl/2). cos (kl/2)) C1 = e. tg (kl/2) y = e. tg (kl/2).senkx + e.coskx – e y = e [tg (kl/2).senkx + coskx – 1] O valor da deflexão máxima (ymáx) é calculado para x = L/2: ymax = e [tg (kl/2).sen(kL/2) + cos(kL/2) – 1] = = e [(sen (kl/2)/cos(kl/2).sen(kL/2) + cos(kL/2) – 1] = = e [((sen2 (kl/2)+cos2(kl/2))/cos(kL/2)) – 1] = = e [(1/cos(kL/2)) – 1] = e [ sec (kL/2) – 1] ymax = e [ sec (kL/2) – 1]
\\=\\=\\
L/2
L/2
ymax
x y
P
P.e
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Como k2 = P / (EJ) k = √ P/(EJ) ymax = e [ sec (√ P/(EJ) . L/2) - 1)] ymax = e [ sec (√ Pfl/(EJ) . Lfl/2) - 1)] em radianos
A tensão máxima σmax ocorrerá na seção da coluna onde o momento fletor é máximo (onde y = ymax)
Mmax = P.ymax + P.e = P (ymax + e)
σmax = Mmax . c / J + P/S = (compressão)
= (P (ymax + e)) . c / J + P/S =
= (P (ymax + e)) . c.S / (J.S) + P/S =
= (P (ymax + e)) . c / (i2.S) + P/S =
= P/S [1 + ((ymax + e).c / i2)]
σmax = P/S [ 1 + ]
\\=\\=\\
L/2
L/2
ymax
P
P.e
Seção reta e
c
X
Mmax
e. sec (√ Pfl/(EJ) . Lfl/2).c i2
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Pfl / S = (fórmula da secante)
Para valores muito pequenos de λ (λ = Lfl / i) para valores muito pequenos de Lfl sec 0 ≈ 1
Pfl / S =
1 + e.c.sec (√ Pfl/(EJ) . Lfl/2)/i2
σmax
σmax
1 + e.c/i2
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Cap V: Fadiga
1. Introdução:
Recordemos o diagrama σ x ε, visto na Mecânica dos Sólidos I.
a. Diagrama característico de material dúctil, com região de escoamento (aço estrutural)
Em 4: limite de escoamento. b. Diagrama característico de material dúctil, sem região de
escoamento (alumínio)
Em 4: limite de escoamento
σ
ε X
X X
X
X
X
1
0
2
3
4
5
Retas paralelas
Tensão atingida
εP εE
σ
0
Retas paralelas
1 X
X 4
0,2% convencional
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c. Diagrama característico de material frágil (ferro fundido, vidro, pedra)
Observaçao:
Material dúctil: apresenta grandes deformações antes do rompimento (aço ou alumínio)
Material frágil: deforma-se relativamente pouco antes do rompimento (ferro fundido e concreto)
2. Fadiga: Na Mecânica dos Sólidos I vimos que, se a tensao aplicada não ultrapassar o limite de elasticidade do material, este volta às condições iniciais quando o carregamento é retirado. Somos levados a concluir que um carregamento pode ser repetido inúmeras vezes, desde que as tensões permaneçam dentro do regime elástico. Tal conclusão é correta para um número de repetições da ordem de dezenas ou centenas, mas para um número da ordem de milhares ou milhões, deixa de ser válida. Neste caso, a ruptura ocorre num valor de tensão abaixo da tensão de ruptura obtida com o carregamento estático. Tal fenômeno é a fadiga. A falha por fadiga começa com pequena fissura, tão pequena que pode ser imperceptível a olho nu. A fissura ocorre num ponto de descontinuidade do material (mudança de seção reta, rasgo de chaveta ou um furo).
ε
σ
0
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Iniciada a fissura, o efeito de concentração de tensões torna-se maior e a fissura progride mais depressa. A zona da fratura assemelha-se muito à fratura de um material frágil (como o ferro fundido), que tenha falhado à tração, mesmao para um material dúctil. As tensões que originaram a fadiga podem ser de tração, compressão, cisalhamento, fleão, torção, ou combinações destas tensões. Limite de fadiga: É obtido colocando-se um corpo de prova individualmente submetido a uma tensão específica cíclica até sua falha. Repetindo-se o processo para n tensões diferentes, podemos traçar o gráfico denominado de diagrama σ-N (diagrama tensão – número de ciclos). Veja o exemplo obtido para 2 materiais dúcteis (aço e alumínio): Ksi – kilolibra por polegada ao quadrado
N (106)
σ (ksi)
0
10 -
20 -
30 -
40 -
50 -
0,1 1 |
10 |
100 |
500 |
1.000 |
aço
alumínio
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Cap VI: Plasticidade
1. Flexão no regime plástico:
A equação para determinação das tensões normais devidas à flexão é válida se o comportamento do material for elástico linear (σ = (My)/JLN).
Se o momento fletor aplicado causar o escoamento do material, uma análise plástica deverá ser feita para a determinação da distribuição das tensões.
Tanto no comportamento elástico quanto no plástico, devemos lembrar que, para a flexão de elementos retilíneos, 3 condições devem ser satisfeitas (vide Mecânica dos Sólidos I).
Distribuição linear das deformações específicas normais: varia sempre linearmente de zero na L.N. da seção transversal até o valor máximo na fibra mais afastada desta L.N.
Força resultante nula: a força resultante causada pela distribuição das tensões normais deve ser nula. σ ds = 0 (equação 1) Com esta operação podemos determinar a localização da L.N.
Momento fletor resultante: M = σ ds. y (equação 2)
Façamos o estudo para uma seção retangular:
⌠ ⌡S
⌡S
⌠
h
b
M
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Momento fletor elástico máximo:
Suponhamos que o momento fletor aplicado na seção (MY) coloque o material na iminência de apresentar as deformações específicas plásticas nas superfícies superior e inferior da viga.
Assim, os pontos mais afastados da L.N. estarão com as tensões com os valores da tensão de escoamento (σY) σY = [MY. (h/2)] / [(bh3)/12]
σY = (6MY)/(bh2) MY = (σY.bh2)/6 (equação 3)
MY momento fletor na seção reta que gera tensões normais, nos pontos mais afastados da L.N., iguais às tensões de escoamento
Visão plana do DTN
Momento plástico:
Seja o momento fletor na seção igual a M > MY. O material nas superfícies superior e inferior começará a escoar, de fora para dentro da seção.
Visão tri-dimensional do DTN
-
+
σY
σY
-
+
yY
yY
h/2
h/2
σY
σY
b
C2
C1
T1
T2
39
C1 força de compressão resultado das tensões ocorrentes no trecho de regime elástico comprimido
C2 força de compressão resultado das tensões ocorrentes no trecho de regime plástico comprimido
T1 força de tração resultado das tensões ocorrentes no trecho de regime elástico tracionado
T2 força de tração resultado das tensões ocorrentes no trecho de regime plástico tracionado
Da equação 1:
C1 = T1 volume da região do diagrama no trecho de regime elástico comprimido/tracionado
C2 = T2 volume da região do diagrama no trecho de regime plástico comprimido/tracionado