Mecanica Clasica

,$

#,€

Notación vectorial cartesiana. También es posible ,epresentar ias$cornponenies de una fterza en términos de vectores unitarios cartesianos. De$esta forma se aplican más fácilmente los métodos del álgebra vectorial, lfficual hace en particular ventajosa la resolución de problemas en tres.ffidimensiones. En do's dimensiones,Ios vectores unitarios cartesianos i y j seffi

utilizan para designarlas dírecciones de 1os ejes -x y y, respectivamente; veffifigura 2-15a.* Estos vectores poseen una magnitud adimensional igud a lffiunidad, y su sentido (punta de la flecha) se describirá analíticamente por un@

signo positivo o negativo, dependiendo de si señalan a lo largo de los ejes.v ffi) en sentido positivo o negativo. F

Como se muestra en la figura 2-I5a,la magnitud de cada componente de$i

, F es siempre una cantidad positiva,que se representa con los escalares iposiStivos) F, y F.r. Por lo tanto, habiendo estabiecido la notación para representa$la magnitud y 1a dirección de cada componente, podemos expresar F en la fiffgara2-15a como un vector cartesiano, es decir: g

F=F,i+Frj &s

Y de la misma forma, F'en Ia figura 2- l5b puede expresarse como: €,#F=Fii+rj(_j) ffi

o simplemente 6ffi

F,= Fir - r; j .ff'

&1

-:';i&

Resultantes de fuerzas coplanares. Cualquiera de los dos métodffique se acaban de describir para representar los componentes rectangulares dffiuna fuerza puede utilizarse para determinar la fuerza resultante de variffifuerzas coplanares. Para logrdrlo, en primer lugar se descompone cada fueffiza en sus componentes en r y en ); después se suman ias respectivas compffinentes utilizando el álgebra escalar, ya que éstas son colineales. La fuerffi'resultante se obtiene sumando las resultantes de las componentes r y ) utilffi,zando la regla del paralelogramo. Por ejemplo, considere las tres fuerzas ffila figura 2-16a, que tienen las componentes x y y mostradas en Ia figuiffi2-16b. Para resolver este problema utilizando notación yectorial cartesianfficadafuerza se representa primero como un vector cartesiano, es decir: ''ffi

W.F1 =.F1"i +Fryj ffiFz= *Fui + Fz,i ,#€

F3 = F3,i - Frrj :ffiffiffi.ffi.#=

*En escritura manual. los vectores unitarios normalmente se indican utiiizando.f u..ffi].circunflejo, por ejemplo, i y j. ffi I

ffir&iffi¡ffi

CAP. 2 VE,CTÜRE,S DE F'UERZA

(b)

Fig. 2-I5

3il

-yI

$ljilIr

I

I

trii

l_ %JT-F

¡

(a)

,.$ El vector resultante es por lo tanto:

]X Fn=Fr +F"+F,1 ^Tr

;l = Fr_.i + Fr,j - Fr.i + Fz,,i+ Fr..i - Fr., j-$ = (Ft.,-F2.,+F,,;i+(Fr-,+F,,,-F:,I'eS =(Fo_,)i+(F^,)jla-

;ffi Entonces, si se utiliza la notación escalarde la figura 2-l6b¡,puesto que xr ffi es positivo a la derecha y hacia arriba, tenemos

SF,CI" ?.,1 SLihtA DE Lili SiSTfjUrq llg F'LiERZAS C{fPtr,¡'r^FjARE,S

{c)

F ig. 2-16

4't_)t

dj-)$1",'¡

rrail

fi:'

,-'(-),). ,1....

{+ll

Fo.,.=f,1.r*f,r.*F:...

FR,, = Fl-r, * F zt,* F¡.r,

Estos resultados son los mismos que las componentes i y j de Fo que se de-

terminaron anteriormente.

Por lo general, las componentes .x y y de la resultante de cualquier núme-

ro de fuerzas coplanares pueden representarse simbólicamente por la suma

algebraica de las componentes.r y y de todas las fuerzas, es decir

(2- 1)

Cuando se aplican estas ecuaciones es importante usar los signos conyen-cionalmente establecidos para las componentes; esto es, las componentes que

tienen una dirección a 1o largo de los ejes coordenados en sentido positivo se

consideran escalares positivos, mientras que aquellas con dirección a 1o largode los ejes coordenados en sentido negativo se consideran escalares negati-vos. Si se sigue esta convención, entonces los signos de las componentes re-sultantes especificarán el sentido de éstas. Por ejemplo, un resultado positivo

.indica que la componente tiene un sentido que corre en la dirección positivadel eje coordenado.

,,,,Unu vez que las componentes resultantes se determinan, éstas pueden serdibujadas a lo largo de 1os ejes -r y ) con dirección coffecta, y la fuerza resul-tante puede determinarse por la suma de vectores, como se muestra en la fi-gUla2-16c. A partir de este diagrama, se puede determinar la magnitud de Fopor medio del teorema de Pitágoras, esto es,

También, el ángu1o 0, que especifica la orientación de la fuerza, se determinacon la ayuda de la trigonometría.

-, lr-, Ig = tan*'l I

lr-" I

u""* Los conceptos mencionados se ilustran numéricamente en los siguientes

; e¡emplos.

{a)

(b)

v

32 CAP. 2 VE,CTTRE,S DE FTJERZA

f,jemaPÁg ?*S .".''',','',',,,,',,,",.,,,,..,:',' -',

Determine las cümponentes xfigura 2-17 a. Expre se cad a fuerua

y ) de las fuerzas Fr y F2 mostradas

como un vector cartesiano.

en la

F'¡ = 200 N

F2y= ?00 cos ó0o N

200 sen 60'l.{

(b)(a) Fig. 2-L7

SOLUCIONNotación escalar. Puesto que F1 acfúa a lo largo del sentido negativo del eje

de las y, y la magnitud de F, es de 100 N, las componentes representadas en

forma escalar son

Fr,. 0,

o" de otra f,orma.

^F1;,= -100 N

Ftr=100NJ

Respuestü

Respwesta

Respuestü

Respuestü

R,espuestü

Fr, - 0,

Por medio de la regla del paraielogramo, F, se puede descomponer en

sus componentes r y y, figura 2-I7b. La magnitud de cada componente se

determina por ffigonometría. Puesto que F¡ actúa en la dirección -x, y Fzy

actúa en la dirección + v. tenemos

Notación vectorial cartesiana. Habiendo calculado las magnitudes de los

componentes de F2; ver figura 2-I7b, podemos expresar cada una de las fuer-zas como un vector cartes:ano.

Fr = 0i + 100 N(-j)= {_100j } hT R espuestü

Fr,= .200 sen 60o i.{ - -173 I{ = 173 b{ +-

F2,. - 200 cos 60o ¡{ - 100 $ - 100 N T

Fz = 200 sen 60' I.{(-i) + 2AA cos 60o N(i)= {*1 l3i + 100j } i{

100 I.J

(b)(a)

,ñ\.)'*I¡

i.11

¡i

i:

)j

!

I

i

ii

¿

i

I

t

i

ia

.;

it1

1

a

iaj

i

iiit

i

Iii

I¡',r

{*ré4

T

SEC. 2.4 SLIMA DE T]N SISTEMA DE FUERZAS COPLANARES 33

Ejemplo L6

Determine los comporrentes r y y de la fuerza F mostrada en la figura :

2-18a.

f=260NF = 260 I.{

Fig. 2-18

SOLUCION

La fierza se descompone en sus componentes Í y y como se muestra enla figura 2-r8b. En ésta, se indica la pendiente de la línea de acción de lafuena,. Podemos obtener de este "ffiiángulo de pendientes', €I ángulo de di_rección 0, es decir, 0 = tan-l (fr), y posteriormente proceder a determina¡ lasmagnitudes de las componentes de la misma manera como se hizo para F, enel e.iemplo 2-5.unmétodo más fácil, consiste en utilizar partes propofciona-les de triiángulos similares, es decir,

F*=260N = 240 hl260 hr 13

De igual man era,

F,=260N

observe que la magnitud dera componente horizontal F,,se obtuvo multipli-cando la magnitud de la fuerza por el cociente de la pierna horizontal de lapendiente del triránguio y la hipotenusa; mienffas que la magnitud dela com-

,ponente vertícal, F,, se obtuvo multioliultiplicando la magnitud de ra fuerza por el

12F, (12.)t 13 J

f:l =looN\131

i,rii1

cóciente de la pierna vertical y la hipotenusa. De aquí que, utilizando nota-

'ción escalar,

v,

expresa como un vector cartesiano, tenemos

F-{-2!0i-100j}N

F*= *240Ir{ :_

F,=-100N-240Ir{ +-

I

100 b{ ü

Respuesta

Respuest&

Respw€st&

34 cAI). 2 vECToREs DE FUERZA

Ejennplo 2-7

El enlace de la figura 2-19a está sujeto a dos fuerzas Fr y Fz. Determinela magnitud y orientación de la fiterza resultante.

SOLUCION I

Notación escalar. Este probiema se puede resolver utilizando la regla delparalelogramo; sin embargo, aquí descompondremos cada fuerza en sus

componentes r y y; ver figura 2-19b, y sumaremos estas componentes alge-

braicamente. Tomando el sentido "positivo" de las componentes de la fuerza

en los ejes ,r y y de acuerdo con las ecuaciones 2-1, tenemos

4Fo. = IF.rt

, f r -\t I r'fir - )F ,',

La fuerza resultante,

Fn, = 600 cos 30" I'{ * 400 sen 45o }*T

- 236.8 ltJ-+

Fft.,,= 600 sen 30" N + 400 cos 45o hJ

= JBZ.B N T

mostrada en la figuraZ-I9c, tiene una nxagnitwd de

450

Ft = ó00 i{

-r

1¡ffi/!

236.8 I.{

\¿"¿-\ - 629 I.{

De la suma de vectores, figura 2-19c', e\ ángulo 0 director es

Respuest{t

R.espuestü(b) 0 - ran-' fssz's x)

= 67 .s,\ 236.8 I\T I

v

s82 8 ].{ I FR

SOLUCION II

Notación vectorial cartesiana. De la figura z-lgb, cada una de las fuerzas

expresadas como un vector cartesiano se representa así:

F1 = {600 cos 30"i + 600 sen 30"j} NFz = {- 400 sen 45"i + 400 cos 45"j } N

De esta forma

Fn = Fr * F, = {600 cos 30" N - 400 sen 45" N)i

+ (600 sen 30o N + 400 cos 45'N)j

= {236.8i + 582.8j } N

La magnitud y dirección de F* están determinadas igual que en la solución Ide este problema.

Comparando los dos métodos de solución del problema, se puede ver Que

el uso de la notación escalar es más eficiente, puesto que las componentes es-

calares pueden enconÍarse directament¿, sin tener que expresar cadafuerzacomo un vector cartesiano antes de sumar las componentes. El análisis vecto-

rial cartesiano, sin embargo, resulta más ventajoso pala la resolución de pro-

blemas en tres dimensiones, como se mostrará más adelante.

ic)

Fig. 2-I9

(a)

(236.8 (s 82. B

Fg=200NFt = 250 I{

* El extremo del anclaje O mostrado en la figura 2-Z0a,'ffierzas coplanares concurrentes. Determine 1a rnagnitud y

,.,'lüell,a re s ultante.

;iii,ro.

j -',: .l ;,-

SEC. 2.4 SUMA DE UN SISTEMA DE FUE,RZAS COPLANARES 35

está sujeto a tres

orientación de la

:ilr: l:

''iit"

SOLUCION

Cada fuerza se

on la figura 2-20b.rit'

..t\ P- - ttr ',,.,-! k{ - L^ ¡ sr:#:ii¡ 1

descompone en sus componentes x y y como se muestraSumando los componentes en x, tenemos:

FR* = -400 lt{ + 25A sen 45" I.{ - 200(+) hl5

-383.2N - 383.2 Ir{<-

Fny = 250 cos 45" N + 20AG) N

= 296.8 Nt

Respuestü

+

N

mostrada en la figura 2-20c, tiene una magnitud de

suma de vectores de la figura 2-20c,el ángulo 0 director es:

_ I,F,,,

$ = tan-l

irnportante darse cuenta que

tiene el misnto efecto en el

( zgs.8 )| - - l=37.8o\¡s¡.2)

la únic a fuerzaanclaje que las

Respuesta

Fo rnostrada en la figuratres fuerzas de la fisura

FR

200 b{

t-'".i\ 5

:t; {'*"1^\

(*3 83.2)2 {2e6,ü2

= 485 I.{

383.2 hr

Fig. 2-20

36 CAP. 2 VECTORES DE FIJERZA

PRSffitHMASZ-33. Determine las

1lbras.

Prob. 2-33

2-34. Determine la magnitud de la fuerza resultante y

ción, medidas en sentido contrario al de las manecillas

con respecto al eje positivo de las x.

componentes x y y de la fuerza de 800 *2-36. Exprese las fuerzas Fr, Fz y F, como vectores cartesiai

nos.

800 rb ?-37,: Determine la magnitud rle la fuerza resultante y su dil'ecr

cién, meclida en sentido contrario al de las rnanecillas del reloj

con respectc al eje positivo de las x.

Ft = 750 I\

su direc-

del reloj

Ft=850 I{

Frobs. 2-3612.-37

2-38. Exprese Fr y Fz corno vectores cartesianos.

2-39. Determine la magnitud de la fuerza resultante y

ción, medida en sentido contrario al de las manecillas

con respecto al eje positivo de las x.

Fz= 26 kI'{

Probs. 2-3812-39

625 N

su, dire¿i

del relol

Prob. 2-34

Z-35. Determine la magnitud de la fuerza

ción, medida en el sentido de las manecillas

al eje positivo de las x.

50N

3007%t450

resultante y su direc-

del reloj con respecto

65N

Prob. 2"35

*2$,,. Determine las componentes,r y .Y de las fuerzas Fr y F:.::'::.,:'l

.,t' 1::,: '

7,.A1" Detennine la magnitud de ia fuerza resultante y su direc-

cidü, medida en sentido contrario al de las maneciilas del reloj

,oi,rerpecto al eje positivo de 1as ,r.

Fi = 200 ¡{

i' ?-Mll",Resuelva el problem a 2-1 sumando el rectángulo o las com-:l' ponenies r y )' de las fuerzas para obtener la fuerzaresultante.

., 2-43, , Resuelva el problerna}-Z sumando el rectángulo o las com-.l' ponentes x y y de las fuerzas para obtener la fuerzaresultante.

.,t

l

'xZ-44. Resuelva el problema 2-3 sumando el rectángulo o 1as com-

:

" Fo-,nrnt0s ¡ y J de las fuerzas para obtener 1a fuerzaresultante.

,

j. , '

: 2-45,. Resuelva el problema 2-15 sumando el rectángulo o las

¡ componentes' x y y de las fuerzas para obtener la fuerza resultante...,-' 2-¿6, Resuelva el problema 2-27 surnando el rectángulo o las

,. '.'componentes x y y de las fuerzas para obtener la fuerza resultante.[1f00i,.

'] ,.

ieloi ,2-17, Determine las componentes x y y de cada una de las fuer-za$ que se encuentran actuando en el plato triangular del refuerzo

.,! del puenie Demuestre que el valor de'la fuerza resultante es igual

PROBLEh4AS 37

*2--48, Si 0 = ó0o y F = 2A khl, determine 1a magnitucl de la fuer-za tesllltante y su dirección rneclida siguiendo el sentido de lasmanecillas de1 reloj con respecto al eje positivo de las x.

2-49. Deterrnine la magnitud tr y 1a clirección 0 cie la fuerza F

de tal forma que la resultante de las tres fuerzas que actúan en 1a

argolla sea igual a cero.

50 kN

*--:*****T',**

0i

40 kN

Probs. 2-4812-49

2-50" Exprese cada una de las tres fuerzas que actúan sobre lacolumna en forma vectorial cartesiana y calcule la magnitud de lafuerza resultante.

Fz= 400 lbFt=150 lb

v

t

= 215 lb

Fz= 75 lb

600

Prob. 2-17 Prob. 2-50

38 cAP. 2 vECTcRES DE FUERZA

2-ST. En una ménsula están actuando tres fuerzas. Detennlne ia

magnitud y la direcCiOn CI de F, de tal fcrma que 1a fuerza resui-

tante e sté dirigida a 1o largo del eje positivo x', y tenga una mag-

nitud e 1 kb{.

*2-52. Si Fj = 300 N y 0 = 20", determine la rnagnitud y la direc-

ción, medida en sentidc contrario al de las manecillas del reloj

con respecto al eje ;', .de ia fuerza resultante de las tres qlle actúan

en la nréusula.

2-54. Deteimine ia magnitud y dirección S de Fo de tal fonna

que la fuerza resultante esté dirigida a io largo del eje positiva de

las x y tenga una magnitud de 1250 i'{.j

2-55. Si F, = 750 N y $ = 45", detemine ia rnagnitud y direc*

ción, medida en sentido contrario al de las manecillas del reloj

con respecto al eje positivo de las x, de la fuerza resultante que

actúa sobre el anillo en ei punto O.

450 I{

Probs. 2-SLl7-52

2-53. Tres fuerzas se encuentran actuando sobre un anillo. De-

termine el rango de valores que puede tener el vector P de tal for-

ma qüe,la magnitud de la fuerzaresultante no exceda el valor de

2500 N,. La fuerza P está siempre dirigida a la derecha.

Probs. 7-5112-55 ,.,''at.

:::''"

"t'-,.,t::

'.

*2-56. Tres fuerzas actúan en la ménsula. Detetmine la magnitüi

y dirección 0 de F, de tal forma que la fuerza resultante se'dirijál

1o largo de1 eje positivo de las x'y tenga una magnitud de,,800 Nii.,j

2-57. Si Fl = 300 N y 0 - 10o, determine la magnitud y direQ

ción, medida ésta en sentido contrario al de las manecillas,del re

loj con respecto al eje positivo de las F', de la fuerza resultantt

que está actuando sobre la ménsula.

1500 i.{

300

2-s412-s5

Fz= 200 I'{

Prob. 2-53 Probs. 2-5612^57

2-58. Exprese cada una de las tres fuerzas que actúan en la

urénsula en 1a forma vectorial cartesiana con respecto a los ejes x

y y.Determine ia magnitud y dirección 0 de Fi, de ta1 forma que

la f*erza resultante esté clirigida a 1o largo del eje positivo de las

x'y tenga uila magnitud de Fn = 600 N.

j'

Id

II

t:

.15{l }j

Frob. 2-58

2-5:9,, Las tres fuerzas concurrentes que actúan en el poste gene-

ran una fuerzaresultante F¡ - 0. Si F, =tFr, y Fi deberá tener un

ángulo de 90o con respecto u Fr, como se muestra en la figura,deterrnine la magnitud de la fuerza F, requerida, expresada en

términos de F t y el ángulo 0.

x

PROÍ}LEMAS 39

0"2-6S. Determine la ciirección S del cable y la tensión que se re-qi"riere F,,, de tal forma que la fuerza resultante esté dirigicla verti-cairnente hacia arriba y tenga una magnitud cie 800 hl.

Z-{}t. Determine la magnitud y dirección de la fuerza resultantede la su$ia de tres fuei'zas que actúan sobre el anillo A. Tomar losvalores de F' = 500 N v 0 = 20o"

Probs. 2-6912-61

2-62. Determine la magnitud de la fuerza F Ce tai forma que lamagnitud de la resultante F¡ de las tres fuerzas tenga un valor tan

pequeño como sea posible. ¿Cuál será la rnagnitud mínima de Fu?

5KI\T

4kN

x$i

: ,i¡;,''ll'iú

, ,, i.ii

IÑ. :,.:

=

.li .'i."

'

lno.lñ 0',

ili *

:' ', .:.

't."tl

rtil,I iüT$

anie=l,',.:.:,:il.

.r,;;rl:.--it

,,.,:$,,

Frob. 2-59 Prob. 2-62

4Ü CAP, 2 VL,CTORES DE FUERZA

2"5 \fueÉsres cargesüasg#s

X'-

Sistema coordenado de mano derecha

Fig. 2-21

Las operaciones del álgebra vectorial, cuando se aplican a la resolución de

problemas en tres dimensiones, se simplifican en gran medida si los vectores

se representan en forma vectorial cartesiana. En esta sección se presentará un

método general para hacerlo; luego, en la sección 2.6 aplicaremos este méto-

do para la resolución de problemas que involucren la suma de vectores. En

secciones posteriores de este libro se ilustrarán aplicaciones similares para

los vectores momento y posición.

Sistema coordenado de mano derecha. Un sistema coordenado de

mano derecha se utilizará para el desanollo de la teoría del álgebra vectorialque veremos a continuación. Se dice que un sistema de coordenadas cartesia-

nas o rectangulares es de mano derecha siempre y cuando e1 dedo pulgar de

la mano derecha apunte en la dirección del eje positivo de las z cuando los

dedos de la mano derecha se enrollen con respecto a este eje y se dirijan del

eje positivo de las x al eje positivo de las y; ver figura 2-2I. Además, de

acuerdo con esta regla, el eje z paru un problema en dos dimensiones como el

mostrado en la figura 2-20 estaría dirigido hacia afuera, en dirección perpen-

dicular a la página.

Componentes rectangulares de un vector. Un vector A puede te-

ner uno, dos o tres componentes rectangulares a lo largo de los ejes coorde-

nados x, y, z, dependiendo de la forma como el vector se encuentre orientado

en relación con'sus ejes. Sin embargo, cuando A está dirigido denffo de un

octante del cuadrante x, J, z (figura 2-22) aplicando dos veces en forma suce-

siva la regla del paralelogramo, podemos descomponer el vector en sus com-

ponentes como A = A'+ A, y después A'= A" + Ar. Combinando estas ecua-

ciones, A se representa por la suma vectorial de sus ffes componentes rectan'gulares'

A=A+an+A, (z-z)

Fig" ?-22

SE,C. 2,5 VECTORES CAITTESIANOS 41

l'ector unitario. En general. un vector unitario es un vecror que tieneuna magnitud igual a 1. si A es un vector cuya magnitud A * 0, entonces unvector unitario que tenga la misma dirección que A se representa como

{2"3)

Rescribiendo esta ecuación tenemos que

A=Auo (2-4)

puesto que el vector A es de cierto tipo, por ejemplo, un vector fuerza, se

acostumbra utilizar un conjunto de unidades apropiadas para su descripción.La magnitud A también posee este mismo conjunto de unidades; de aquí que,

de la ecuación 2-3 se infiere, el vector unitario no tendrá dimensiones, pues-

to'que las unidades se cancelarán mutuamente. La ecuación z-4 por 1o tantoindica que el vector A puede expresarse en términos tanto de su magnitudcomo de su dirección en forma separada, es decir, A (un escalar positivo) de-fine la magnitud de A y u, (un vector adimensional) define la dh ección v elsentido de A, figva 2-23.

Vectores unitarios cartesianos. En rres dimensiones, el conjunto devectores unitarios cartesianos: i, j y k, se utiliza para designar las direccionesde los ejes x, y y z respectivamente. Como se mencionó en la sección 2.4, elsentido (o punta de la flecha) de estos vectores se describirá analíticamentepor un signo más o por un signo menos, dependiendo de si ésfos apuntan a lolargo del eje positivo o negativo de los ejes x, y y z. De esta forma, los vecto-rd-S positivos unitarios se muestran enlafigura2-24.

F ig. 2-24

, Representación vectorial cartesiana. urilizando los vectores unira-' rios cartesianos, los tres componentes vectoriales de la ecuación z-z pueden

' escribirse en "forma vectorial cafiesiana". puesto que ios componentes ac-

; tuan en las direcciones positivas de i , j y k , figura Z-25, fenemos que:

(2-s)

Existe una ventaja al escribir los vectores en términos de sus componenr.escartesianas. Puesto que cada una de estas componentes tiene la misma formaque la ecuación 2-4,la magnitud y la dirección de cada vector componenteestán separadas; se mostrará que esto simplifica las operaciones del árgebravectorial, particularmente en el caso de."tres dimensiones.

tl¡= 4A

Fig. 2-23

A

il

'i

r=

i$

--=

'=$,.=+

-,$.

',ii-$

i

Ari*)

A"i

Irig. 2-25

€4

Magnitud de un vector cartesiano. Se puede obtener la magnituO ffi

de un vector A siempre y cuando el vector se expfese en forma carteslana. ,dfr

Como se muestra en la figura 2-26, del triángulo lectángulo en gris claro, ffi

e = {Ad- + ü, y del triángulo rectángulo en gris oscuro A' = \iE +Ai €

Combinando estas ecuaciones se obtiene ffi

^?r& ,r t $$

De aquí que la magnitud de a sea igual a la raíz cuadrada de la suma de 1os ffi

cuadrados de sus comPonentes. 'g

DireCCión de un VeCtOr Cartesiano. La orientación de un vector A '$

se define por los ángulos rlirectores coordenados u (aifa), B fteta¡'y (e1ma¡, 5medidos éntre la cola de A y los ejes positivos x,y, z ubicados en la cola de,.ff

A, figura 7-2'.7. Observe sin tomal en consideración de hacia dónde se diti- $

ja A, que cada uno de estos ángulos tendrá un valor entre 0o y 180'. Para de.;ffi

i"rrni*,. cr, F y y, considere la proyección de A sobre los ejes ,r' y' z; vea $

figura 2-28. Si nos referimos a los triángulos rectángulos enazr0'l mostrados'ffi

en cada una de las figuras, tenemos: ,ffi

,rr]'#

Estos números se conocen como los cosenos clirectoresde a' una u., ou. *ffihan obtenido, ios ángulos directores coordenados 0(, P y y pueden determi-ffi

narse a partir de los cosenos inversos. trUna manera fácil de obtener los cosenos directores de A es formando unw

vectol unitario en la direcc A; ver ecuación 2-3' Siempre V cuando Affi

ffi."ffitwo,kf\ €'r\ gt¡ €| ll ffiI II

ffiVl uA-,r | tr"/{J-,l_gr, ffil\ t/ &o,r/-- :a/

€tr

Fig.2'27 '

ffiiffi

ff

Añ4¿ CAP. 2 VE,CTOR.E,S DE FTJE,RZA

Fig.2-26

(a) (b)

SEC ,2.5 VEC'|ÜRES CARTESTAI'JüS 43

Fig. 2-28

(c)

se exprese en forma

2-5), tendremos

vectorial cartesiana ccrno A = A,i + Ari + A-k (ecuación

donde A = { (4)2 + (Ar)z + (A,)2 (ecuación 2-6). Comparando esta ecuación

con las ecuaciones 2-7, se puede ver que los componentes i, j y k de rr¡ r€-

Dresentan los cosenos directores de A, es decir,

(2-8)

{2-e}

(2- i0)

{2-rr)

rr¿ = cos u,i + cos Fj + cos Y k

Puesto que la magnitud de un vector es igual alaran cuadrada de la su-

ma de los cuadrados de las magnitudes de sus componentes, Y ü¿ tiene una

magnitud de 1, entonces de la ecuación 2-9 se puede formular una relación

importante entre los cosenos directores de ia siguiente forma:

. Siempre y cuando el vector A se encuentre en un octante conocido, esta

ecuación puede utilizarse para determinar uno de los ángulos directores coor-

,- denados si se conocen los otros dos. (Ver ejemplo 2-10').. Por último, si se proporcionan la magnitud y ios ángulos directores coor-

denados de A, A puede expresarse en forma vectorial cartesiana como

44 CAP. 2 VECTORES DE FLTERZA

2"6 Saxsxea y res€a de vecÉ#tres carÉesÉagass

{4, + B,)k

(4,,* Br)j

Fig. 2-29

Las operaciones de suma y resta de dos o más vectores son simplificadas en

forma significativa si se expresan en términos de sus componentes caltesia-

nos. Por ejemplo, considere los dos vectores A y B, los cuales están dirigidos

dentrordel octante positivo x, y y z: ver figura 7-29. Si A = 4i + Ari + A,kVB = Bri + B ,

j +' B,k entonces el vector resultante, R, tiene componentes que

representan las sumas escalares de las componentes i,i y k de A y B,.es

decir,

R = A + B = (A" +B,)i + (A, +B}I + (A,+ B,)k

La resta de vectores, al ser un caso especial de suma vectorial, simpie-

mente requiere de una resf.a escalar de las componentes i' i y k respectivas

tanto de A como db B. Por ejemplo,

R' = A _ B = (4, _Br)i + (A, _ Br)j + (A,_ B,)k

Sistemas de fuerzas concurrentes. En particular, el concepto de su-

ma de vectores descritó anteriormente puede generalizarse y aplicarse a un

sistema de varias fuerzas concunentes. En eSte caso, la fuetza resultante es la

suma vectorial de todas las fuerzas en el sistema y puede escribirse como

i,1 11\| /r | ,/ |ltu -L9I

Aquí IF,,, 2Fry 2F,representan las sumas algebraicas de las componentes r,y y z, o i, j, k de cada fuerza en el sistema.

Los siguientes ejemplos ilustral en forma numérica los métodos uflliza-

dos para aplicar lateoríaya estudiáda a la sofución de problemas que involu-

cran a lafuerzacomo una cantidad vectorial.

+

il::'i:

:i,i

;t

tt,ll

:i;lr.

rii.

Ejemplo 2-9

Determine 1a magnitud y los ángulos directores coordenados de la fuerzaresultante que actúa en el anillo de 1a figura 2-30a.

Fn={50i-40j+

Fig. 2-30

soLUctoNPuesto que cada fuerza se representa en forma vectorial cartesiana, la

fuerza resultante mostrada en la figura 2-30b, es

Fn=E =Fr *F2= {60j + 80kl lb+ {50i- 100j + 100k} lb

= {50i - 40j + 180k} lb .

-La magnitud de F¡ se obtiene de la ecuaci ón2-6,es decir,

í191.0 lb

Los ángulos directores coordenados o, F y y se determinan de ias compo-nentes del vector unitario que acúan en la dirección de F¡.

SEC. 2.6 SUMA Y RESTA DE VECTORES CARTESIAhTOS 45

R espu.est&

Respuestü

Respuest&

Respuests

observe que p >

""n

(a) (b)

DIR-

=

FR 50 4A. 180,Ur"

FR 191 .0 191.0 " 19 1 .0

. $.2617i * 0.2094i + 0.9 422k

i

De tal forma que

Estos ánguios se

,90o puesto que la

cos fr - 0.2611

cos B = *0.2094

cos 1/ = 4.9422

muestran.en la figuracomponente j de üFo

fi: J4.8"

B = l02o

]= 19'6"

2-30b:En particular,es negativa.

46 cAP.2

ff Ejexaep$oI

iII

i

VE,CTORES DE FUERZA

2*á$

Exprese la fuerza F mostrada en la figura 2-31 como un vector cartesiano.

F=200N

Fig. 2-3L

SOLUCIONPuesto que sólo se especifican dos ángulos directores coordenados, el ter-

cer iíngulo cr se determina de la ecuación 2-10; es decir,

De aquí que,

cx, - cos-l (0.5) = 60o o

Al observ ar la figura, 2-3I, se deduce

que F- está en la dirección +r.Uti1izando1aecuación2-11,conp=200|{,tenemoS

F -fcos u,i +Fcos $i +Fcos Yk ;''

200 cos 60o bli + 200 cos 60o Ni + 200 cos 45o I{k

= { 100.0i + 100.0j * 14,1,4k },N .. "' Respuesta

A.plicando la ecuación 2-6, observe que realmente la magnitud de F = 200 N.

cos2cx,+cos2B+coszy-cos2 cx, + cos2 60o + cos2 45o =

f = \11 -r{lfi= "r,,,"n W

l

fl = cos-l (- 0.5) = L200 :

que es necesario que ff = 60n, puesto-' ,-.... ,,:t:1.¡¡;,

,.

, , r,,,i1,,i,;.,,

1

1

r 0.5

nnn l\,T- ¿uu 11{

EjempHo 2*L1

Exprese \afuerza F mostrada actuando en el gancho de la frgura2-32a

como un vector carteslano.

F=4kN

SEC .2.6 SUMA Y RESTA DE VECTORES CARTE.SIA}iOS 17

F=4kh{

Respwestü

F es en realidad de

F.r

(a) (b)

SOLUCION

h,n este

son ángulos

logramo dos

x,y y z cOmo

De esta forma,

Fig. 2-32

caso 1os ángulos de 60o y 30o que definen la dirección de F no

directores coordenados. ¿Por qué? Aplicando 1a regla de1 parale-

veces sucesiv?s, F puede ser descompuesta en sus componentes

se rnuestra en la figura 2-32b. Prirnero, del triángulo en color,

cos 30o kI{ - 3.4-6 kh{

sen 30o kI{ - ).00 kI'{

Luego , uttlízando F'y el triángulo sambreado,

F'=4Fr= 4

F,=Er \.-

ri; A4 kt{,

manera

y que el

3.46 cos 60o kh{ - 1.73 k}{

3.46 seR 60o kI{ = }"00 kl{

S'= ll"73i + 3.00j + 2.00k) k1'{

de ejercicio, demuestre que la rnagnitud de

ánsulo director coordenado rr = 64.3".

48 cAP. z vECToRES DE FUE,pIZA

Ejemp$o }-Lz

F= i00 lb

30.0"

1110

(c)

F'ig. 2-33

(a)

Exprese 1a fuerza F mostrada en la figura 2-33a como un vector carte-

siano.

SOLUCIONComo en el ejemplo 2-1l,'los ángulos de 60o y 45' que definen la direc-

ción de F no son ángulos directores coordenados. La aplicación de la regla

del paralelogramo dos veces seguidas que se necesitaba para descomponel a

F en sus componentes r, y y z, se muestra en la figura 2-33b. Por trigonome-

tría, las magnitudes de las componentes son

F, =,1Q0 sgn 60o ib = 86.6 1b

F' = 100 cos 60o lb = 50 lb

F" = 50 cos 45o lb = 35.4 lb

.F., = 50 sen 45o lb = 35.4 lb

Tomando en cuenta que F,, tiens una dirección definida por -j, tenemos

S'=F"i+Ffj+f,rkF - {35.4i- 35.4j + 86.6k} lb Respuesta

Para demosffar que la magnitud de este vector es en realidad de 100 libras,

aplique laecuación2-6

P-\W= 100 lb

Si fuera nece5ario, los ángulos dfuectores coordenados de F pueden determi-

narse de las componentes del Vector unitario actuando en la dirección de F.

De aquí que:

(D)

Fr.

TJ

Z

II!I

iI

¡¡1

.-J1

ll*F'-1 .

F,35.4

FT-+

F

35.1 . 86.6 ._i + k10c " 100

0.354j + 0.866k

100

0.354i -

de tal forma quq,

Estos resultados

' I .l " .

,1.Í

fi = co¡-' (0.354) = 69.3"^:1

B=cós-'(-0.354)= 111o

y = cos-i (0.866) = 3o.oo

se.tnuestran en la figura 2-33c "

(35 .4)' (-3s .4)' (86.6)2

Ejemplo 2-13

En la figura 2-34a se muestran dos fuerzas actuando

Especifique los ángr"rlos directores coordenados de F2 de

fuerza resultante FR actue a 1o largo dei eje positivo de

magnitud de 800 hl.

SOLUCION .:

Para resolver este probleffiá, 1a fuerza resultante y

tes, Fi y Fr, se representarán cada,una en su formaPosteriormente, .como se muestra en la figura 2-34b, será necesario que

Fr=Fr*Fz'Aplicando.la ecuación 2-1 1,

F, = F1u¡, = Fr cos uri + F., cos p1j + F, cos 11k

= 300 cos 45o Ni + 300 cos 60" Nj + 300 cos 120'Nk

- {21 2. li + 150j - 150k} F{

Fz = FzLtr,= F2j * Fzri + Fr-k

De acuerdo con el enunciado

rnagnitud de 800 I{ y actúa en

Fn = (800 lt{)(+j) = {800j } I.{

Requerimos que

Fn=Fl+Fz800j - 212.1i + 150.i -'150k +

B00j - (212.1+ F2,)i + (150 +

esta ecuación, las componentes correspondientes i, j y k delizquierdo deberán ser iguales. Esto equivale a decir que las

y y z de F¡ sean iguales a las coffespondientes componentesFr). De aquí que,

SE,C ,2.6 STJMA Y RES,IA DE VECTORE,S CARTE,SIANOS 49

sobre un ganctro.

tal forma que lalaslytengauna

sus dos cümponen-vectorial cartesiana"

(a)

del problema, la fuerza resultante Fo tiene una

la dirección + j. De aquí que,

Frri*Fztj+FrrkFúj+(-150+F,,)k

P;ára satisfacer

lado derecho e

Componentes x,"xi-,y, y z de (Fl +

Fz= 700 t{0-712.1 *Fzr

800=150*Fzt0-*150 *F,.

Fr, - -212.1 t{

Fzt' =' 650 N

Fr, = 150 N

Yz = 7J .6o

\F,&z = 108'

= 300 I{

al::.:;;i!,

;iLii.T¡

'tti

que 1as magnitudes de Fz Y sus componentes son conocidas,ecuaci ón 2-1 1 para determinar ü, B y.

\F1

podemos

--212.7 = 700 cos

650 = 700 cos

150 = 700 cos

Fig. 2-31Fr = cos R espuesta

Respwesta

resultados se muestran en la figr-rra 2-34b.

5ü CAP. 2 VF,L]TOR.I:S DE, FLIERZA

trK#ffiIHrugAS -* .* ül' 1*1* 3 j'-, - *; '.'- -

?-63. El cabie en el extremo del pLlnto de sujeción

ejerce una fuerza de F = 250 libras en el anclaje como

en la figura" Exprese F como Lln vector carte siano.

2-6ó. tsl eie S montaclo eil el torno se encuentia sujeto a ur

fuerza de 60 N. la cual es ejercida por el dado ü. Deten:rine el ár

gr-r1o rlilecior cooldenado B J" exprese la fuerza cofflo un vectr

cariesiano.

:a:::

..::

:.; ¡t

:.1

Pnctr" 2-66

2-67. Exprese cada fuerza colno un vector

determine la fuerza resultante F*. Determine

gulos directores coordenados y dibuje este

coordenado. f* ;f {/.,*i "{j i = Y' **'' {

*?igd'I doS de

denado"

2-69.' Especifique los ángulos directores coordenados

y exprese cada fuerza como un'vector cartésiano. ' '

1 ,.,1

de la grúa

se mltestra

r*: ; ,"*: ..j4'::

s#r#{}"#. -* ü JT I l :*.r' f* it áiiÁ f *Jn'b}i

Pnob. 2-63

*i-64. La iverza F que actúa en la estaca tiene una componente

'Oe'+ON'áótuanclol'en el plano r-) como se muestra. Exprese F co-

mo url,vector cartesiano.

?-65. Determinq la magnitud y los ángulos directores coordena-

estaca.

d-i,** {iir s's-.f*

ryV_t

', "loJ

¡il

S= l3.?#s *J?- d ¡ +* **

f :5f¡* d:?'- 'fo ¡3s

Z

i\T

Pnctr" 2-66

"{

Frobs. 2-6112-65 Frsbs. 2-6812-69

::: ll'-., " Probs,, : t- -.',-

*2,,1 t,"' Determine la rnagnitud

noi'¿¿ 1á fuerza resultante.i . ,

",1, ,, ¡,,,

,,,t',,t"t-.,t' l,,

,

lr,tl ¡,,.1,,.,,tt',,,11 ,t,,, ,.,1 ,':, ...:,r

:

¡;.r, 1::ii,'t,.. r

,,;r.tr,..]. ., i .

r.,,t

,:lti :. :.i'j:': : a..

. .* '

2-7*12-7L , /'lfy los ángulos directores coordena-

:

i:Ug: Exprese cada fuerza como un vector cartesiano. ij

i-ril, ''Detennine la magnitud y ios ángulcls directores coordena,/

;*i; la fuerza resultante y dibuje este vector en el sisrema cod:

denado'

F: = 250 I{

$**'-'-"''I ¡qol-'I

Fr = 350 I{

PROBLEh¡IAS 5l

2-7A"=- El rnástil se encuentra sujeto a las tres fuerzas mostraclas.Determine los ángulos directores coordena{ios o"r, Fr, yi de F, detal foi'rna que ia fuerza resultante que actúa en el inástil seíi F¡, ={350i } N"

2'75. El mástil se etlcuentra sujeto a las tres fuerzas mostradas.Detennine los ángulos direciores coordenados ü.,,Fr,yr, de F, cle

tal forrna qlle la fuerza resultante actuando en el mástil sea isual acero"

. ,. :, , Probs. 2-7 412-7 5.a"

'"" ii it' to ,,,,-.,.

*2'76. Las dos fuerzas Fr y F2 actuando en el punto A'proporcio-nan una fuerza resultante de Fn = {- 100k } libras Deiennine lamagnitrrd y los ángulos directores coor,Cenados de F2. , . ,.,*

'

"t

t-'"t"t'

2-77. Determine los ángulos Cirectores coordenados d'é'lá fuerzaFr e indíquelos en la figura, ''-" '.'",,r ''.'

\\.\ \\

i lii::-:19

'i'ii,itÉi

I,.iij,*',t¡ffi'.

=l,'.'r,.'n

j,.l..f¡

,l¡i.j¡s

,l:,#i,$,,.

.-*i

tt -i i'

.'. i'

.. ::::¡;:*l;,f Lit ::!ajj

::::-r:+J

.i.,;.F

, .'i-*

i-*:::.i-':,:::::,j

55 lb: Prob. 2-72," t. 'r,' , '

z#;. 'Únu viga se encuentra sujeta a las dos fuerzas que ,.muestran Exprese cada fuerza en la forma vectorial cartesiana ydércnnine la'rnagnitud y los ángulos directores coordenados de la

;'

600

Ft = 630 lb

Prob. 2-73 Probs.2-7612-77

52 cAP. 2 vEcloRES IIE F-LIERZA

2-78" El poste inostrado en la figura se encuentra

fuerza F, la cuai tiene componentes actu¿inclo a lc largo

r, t'', z. Si la magnitud de F es de 3 ki\, y fl = 30o y Y=mine ias rnagnitudes de sus tre s componentes . . -!"

2-79. Ei poste mostrada en la figura se eucuentta

fuerza F clue tiene las componentes F., - I "5 kN ,v f,- =

$ = ?:o, determine las magnitudes rle F y F,,.

2-81. Ei tornillo mostrada en la figura se encuentra su.leto a la

fuerza F, cuyas colltponentes actúan a lo largo de ios ejes J, Ji, 3"

Si ia rnagnitud de F es de 80 I.{, y fi 60o y T - 45o. detelmine

las rnagnitudes de sus componentes"

2-82. El tornillo rnostrado en la figura se encuentra sujeto a la

fuerza F, cuyas componentes son F.- = 20 N , F, = 20 N. Si P =120", detennine 1as magnitudes de F Y F,.

Probs. 2-8112-82

2-83. Dos fuerzas F 1

resultante Fp tiene una

coordenados f[ = 110"

magnitud de F2 y sus

su.jeto a lade los ejes

J 5", deter-

sujeto a la1.25 kN. Si

Probs. 2-7812-79

*2-80. Una fuerza F se aplica en la parte superior de una torre en

el. punto A" Si ésta actúa en la dirección mostrada, de tal forma

que una de sus componentes sobre el plano sombreado y-z tiene

una magnitud de 80 libras, determine la rnagnitud de F y sus án-

gulos,directores coordenados o., $, Y.

!q"r#i-

¡i '.,,ii :

í+i!".i ii,.

i A,¡8""'

. .{--t'"; *a

¡lj *t

.js

i-:"."'

{- rtgt:':l

/: i, ¡' .{.'*ía

.¡¿ #

3:f ';"'¿.t*

,,.;4

uéf

'i..'r' :.:

,iF. Y

t:

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l:i,,€!i ':

{.

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-r- | 1A.i"ü/-; i{' Í

?* a r{rL#rl

É. * .¿-5¿.rÉíág

i . ' .r-.''i¡i

80 rb

Prob. 2:80 Frob, 2-83

SE,C. 2.7 YECTORE,S DE PSSICIO}i 53

2;"3 VecÉ*res de p*sácÉ*xl

En esta sección presentaremos el concepto de vector de posición. En la si-

euiente se mostrará que este vector es de gran imponancia cuando se desea

Iipt"rut un vector fuetza cartesiano dirigido entre cualquier par de puntos en

el espacio. Después, en el capítulo 4, lo utilizaremos para determinar el mo-

nrento de una fuetza.

Coordenadas x, !¡ z. Alo largo del texto utilizaremos un sistema de co-

ordenadas de mano-derecha para hacer referencia a la ubicación de puntos

en el espacio. Además, utilizaremos la convención que se sigue en muchos

libros técnicos, esto significa hacer que el eje positivo de las z se encuentre

dirigido hacia at'riba (en dirección del zenit) de tal foma que éste mida laalgra dg un objeto o la altitud de un punto. Los ejes x, y, entonces, recaen en

el plano horizontal; ver figura 2-35. Los puntos en el espacio se ubican en re-

lación con el origen de las coordenadas, O, por medio de mediciones sucesi-

vas a lo largo de los ejes x, y, z.Por ejemplo, en la figura 2-35 las coordena-

das del punto A se obtienen comenzando en el phnto O y midiendo -x¿ = + 4 ma1o largo del eje x,lA= + 2ma 1o largo del eje !,Y z¿= - 6 m a 1o largo del

eje z.De esta forma, A(4,2, - 6). De manera similar, las mediciones realiza-das a lo largo de los ejes x, y y z desde O hasta B nos dan las coordenadas de

B, es decir, B(0,2,0). También observe que C(6, -I,4).

Yector de posición.jo:que ubica un punto en

si r se extiende desde el origen de las coordenádas, O, al punto P(x, y, z); verfigura 2-36a, entonces r puede expresarse en forma vectorial cartesianacomo

+zk

Fig. 2-35

,. 'j:, ... or-.rI+vlJ.t' i-::' :. : '

En particuTar; observecomponentes nos da el

O, uno recoffe el ej e xúltimo z en la dirección

x/i

i,

córno la suma vectorial de punta a cola de las tresvector r; ver figura 2-36b. Comenzando en el origencon dirección +i, después y en la dirección +j, y por+k para llegar alpunto P(x, j*,,2).

7 .t /

(a) (b)

Fig. 2-36

CAP. 2 VECTORE,S DE FIJE,RZA5,4

Con frecuencia, el vector de posición puede dirigirse del punto A al punto

B en el espacio; ver figura 2-31a. Como se puede ver, este veclor se denota

también con el símbolo r. De manera convencional, sin embatgo, nos referi-

remos en algunas ocasiones a este vector con dos subíndices para indicar el

origen y destino hacia donde el vector está dirigido, por lo que r puede tam-

bién expresarse como 1o3. También, obsetve que rA y rB en la figuta 2-37 a

están señalados con un subíndice solamente puesto que se extienden desde el

origen del sistema coordenado.

De la figura 2-37a, por la suma vectorial cabeza-cola, requerimos que:

ÍA+r=rB i*::s

:..$

Si despejamos r y expresamos r¿ Y r¡ en forma vectorial cartesiana obte-:il,ii*jnemos: i

r - Fs * rA = (xri + ye¡ + ;Bk) - (x¿i * lej + zak)

.-a¡

:1 ,'::tl,,i

'=i

)i *'qy;:y¿)j¡',t*:',,{zj;,.- z[,¡,1q.', (2-13)''

'-$

t,ectot' de posición r pueden forntat"se tomaffictel tlector, A(xe,JA,ze) , y restóndolas de laS:$

a la cabeza, B(xs,!n, ril. Otra Yez puede ver,i

stas tres componentes nos da r, es decir, yen- j:

, uno primero viaja una distan cra (xB - x¿)

listancia (yu - )¿) en la dirección +i, y por úli'$

a dirección +k. 'i$

';i$

,:ffffiffi

'uu$

t: ' .oT.!

| 't$

l.lia : ? rr

-4ri -\,. r

l,l y re\'n:a)k $ll .E

''.É

.t' G./ t (.t', - .\',i ii i€

-/-*(b) $,:i$,.--r{

'' r::::i+l'E,t$.,..i€.ii$.,$€

,:.r-:#..:-&."l

Así, Ias coptponentes i, i , k del '

,l'o lot coót'{Jenadas de la cola ,

cooráenádas cot'r"espondientes t

córl1o 14 guma cabeza-cola de es

.do de A hacia B (figura 2-31b),

la dirección +i, y después una d

timo una distan cra (z 6 - z i en l¿

,

,.' ',

f B(ru, )'B,iB)

,'( '\s * "q)i

,/JI

Fig. 2-37

(a)

A(-{Á, .}r¿, 14)

SEC. 2.7 VECTÜRE,S DE PCSJCIi}1\ 55

B colxomediclas

i ¡ SOLUCTON"Tl* | Primero establecemos un ivector de posición desde A hasta B, figura

$ I 2-38b. De acuerdo con la ecuación 2-13,las coordenadas de la cola A(l m, 0I ¡\ ¡ rr¡, v,

-3 m) se restan de las coordenadas de la cúeza B(-Z m,2 m,3 m), lo que, i nos da:-r I ll\-/r uu'i

$ r-{-2m-1m)i+(2m-0)j+[3m-(-3m)]k.,. i.',: l,:,, i ={_3i+Zj+6k}m'., }

.ri,11 ,l-* | Como se muesffa,.las tres componentes de r representan la dirección y#, I r:^+^-^.i^ ¿:^-^ ^,,^ ^^^--:,- ^ r^ r^,--- r- --r, r r$ | distancia que uno tiene que seguir a lo largo de cada uno de los ejes cóorde-

ry | nados con la finalidad de moverse desde el punto A hasta el punto B, es de-

4 I .it, alo largo del eje¡{-3i} m, alo largo del ejey\zj} m, y por úlrimo, alo'.' I largo del eje z {6k } m.

'.' { t-a magnitud de r representa la longitud de la banda de hule.sr -=-é | ,=iF t;¿tl(6)' =r m Respuesta,;:.. E. r -- V\ J/ , \k) r\,./,/¡i.r Il

,'i, , I

# l. ErtuUt".iendo la fórmula de un vector unitario en la dirección de r, tenemosTtr I-

iñ.f 1 . z

l, -.

ffi" i .,L,as componentes de este vector unitario nos da los ángulos directords coor-',, i denados+

EjexxapEo Z*k4

LJn banela de hule elástica se encuenrase muestra en la figura 2-38a. Determinedesde A hacia B.

fija entre los puntos A ysu longitud y dirección

{6 k}rn

:+,..i,

i;+:.r,i:i

,i:i. r=

É,;:Eií

*ir

{b)

ffi I ü'= cos-r[-3] =rrs' Respuesta

ffi | \1)

ffi l, p = cos-' (?) =n.+ Respuesta\1 )

I_

CX,= 1

i

ffiriu$i

(c)

Fig. 2-38

ffi | T= cos-' (9) =:r.o' R,spue'sta¡.K l: \.'I/ffi, I

*ffi . tl, , F,stos ángulos se miden desde los ejes p.ositittos de un sistema coordenado 1o-.H I' noli-^¡^ - - rffi i,.,.

calizado en la cola de r, punto A, como se muestra en la figura Z-38c.ffi r "l¡1.'s- {.F;! 'l*l*:**=t::i-:.,:.'iii#

rt .

'i'..,-i ,

$=+*li:

56 CAP. 2 VE,CTORL,S DE FUERZA

2.8 Vector faerzadirigido a lo largo de una línea

Con frecuencia, en problemas de estática en tres dimensiones, la dirección de

una fugrza se especifica por medio de dos puntos a través de los cuales pasa

su línea de acción. Esto se muestra en la figura 2-39, en donde la fuerza F se

dirige a lo largo de la cuerda AB. Podemos expresar F como un vector cafie-

siano y nos daremos cuenta de que ésta tiene la misma dirección y sentido

que el vector de posición r dirigido desde el punto A hacia el punto B en la

cuerda. Esta dirección'común se encuentra especificada por el t¡ector wtita-rio r, = rlr. De aquí qúe:

F-Fu= o |'rl\rlAunque hemos representado F sirnbólicarnente en

que ésta tiene unidades de fuerza, pero, a diferencia

das x, J,z, ias cuales tienen unidades de longitud, Flargo de los ejes coqrdenados.

la figura 2-39, observe

de r o de ias coordena-

no puede escalarse a 1o

' r Fig. 2-39

PROCEDIMIENTO PARA Et,. A.NALISffi

Cüando F se dirise a 1o larso de

pünto A hasta el púnto B, entonces

rial cartesiana como sigue:

üna 'líneá qüe',5e eXtiende desde sl.,....,..,F puede exprésarie en forma vecto-

Veútb.l

Vécto,r uñttario. Determine el'vectof :unitario u = rlr 4üe define tanto

Yector fuerzn. Determine F combinando su magnitud F y su dirección

Fig. 2-39

Este procedimiento se ilustra en forma num énca en los ejemplos siguientes:

SEC .2.8 VECTOR F'UERZA DIRIGIDO A LO LAR.GO DE T]NA L{i{E,A 57

SOLUCIONLafuerza F mostrada en la figura 2-40b. La dü"ección de e'ste vector uni-

tario, u, se detetmina del vector de posición r, el cual se extiende desde A. hasta B, figura 2-40b. Para representar F como un vector cartesiano utiliza-mos el siguiente procedimiento.

Vector de posición Las coordenadas de los puntos extrémos de la cuerda

son A(0, 0, 30 pies) y B(12 pies, -8 pies, 6 pies). Al construir el vector de po-

sición restando las coordenadas correspondientes x, y y z de| vector A a las

del vector B, tenemos:

r = (lzpies - 0)i + (- 8 pies - 0I + (6 pies - 30 pies)k' = [Izi - 8j - 24k] pies

En la figura 2-40a se muestra cómo uno puede escribir r directamente yendo

de AllZil pies, después {- 8j } pies, y por riltimo 1-24k} pies para llegar a B.La magnitud de r, que representa la longitud de la cuerda AB, es

= 28 pies

Vectar unitario. Al construir el vector unitario que define la'dirección y sen-

tido tanto del vector r como de F. obtenemos:(a)

r 12. 8'. '24,u-.r 28 28" 28

Vector fuerza. Puesto que F úene una magnitud de 7A Hbras y una direcciónespecificada por u, entonces:' '

F- Fiu*70

= {3oi - zo j-- 6ok} tb Respuest&

Como se muestra en la figura 2-40b;1os ángulos directores coordenados se

mtden entre r (o F-) y los ejes positivos de un sistema coordenado cuyo ori-$bn está ubicado en el punto A. De las componentes del vector unitario:

tr[fr-* t-X.). -'ii i

" ,

, (12\a- cos-'I

I\28l. t_8)

P - cos-r | -

|\28)

= 64.60

= L07"

Respuest&

Respuesta

Respuestü

Ejemplo 2-15

El hombre que aparece en la figura 2-40a jala

T0 libras" Represente esta fuerza, Qüe actúa sobre

tor cartesiano y cletermine su dirección.

1a cuerda con una fi-rerza de

el soporte A, como Lln vec-

B(12,-9,6)

(b)

Fig, 2-40

30 pies

''-¡-"

+ (-B)' +?2q2

A(0, 0, 30)

,( 24\T- cos l, * J=

119"

I't-Éti¡s

Wt

t;:iI¡

i

Ii-ti

5I cAP. 2 vECToR.ES DE FUERZA

Ejemplo 2-n6

A(0, 0, 2)

-_-.r.___.\_

F=500N --Ti

i

2m

1 cos 45' rn

(b)

Fig, 2-41

S{.}LUCION

Como se muestra en laque e1 vector de poslciórt r,

figura 2-"41b, F tiene la misma Cirección y sentidoque se extiende desde A hasta L

La placa circular mostrada en la figura 2-41a se encuentra parcialmentesoportada por el cable AB. Si lafuerza del cable en el punto de fijación A es

de,F = 500 N. exprese F como un vector cartesiano.

II

1 sen 45o rn

B(1 .101, 0.707, 0) Vectar fuerza. Puesto que f - 500 b{ y F tiene Llna dirección u, tenemos:

p = Fu = 500 N(0:627 t + 0.260j * A.7 35k)':'

= {314i+ 130j -368k}i\f

m

'Vector de posición Las coordenadas de los extremos del cable son A(0, 0,2m) y B(1.70V m,0.107 m, 0), como se indica en la figura. Así:

¡ = (1.707 m - 0)i + $.147 m - 0X + (0- 2 m)k

= lIJAii + 0.707 j- 2k) m ri'

Observe cómo se puede calcular estas componentes directamente recorriendodesde A{- 2k} m a lo largo del eje z; después II.707il m a lo largo del eje,r,y por último {0.707 j} rn a lo largo del eje y para llegar a B. I

::¡.+La magnitud de r es

f- - 2.72m

Y ector r{nit$rrío. Así,

r 1,74J . A.Jü7 . 2u = = _l + _i _

--kr 2"J2 2.12 " 2,J2

= Q.627i + 0.260t - A.l35k

Respuestü

Utilizando estas componentes, puede verse que en realidad la magnitud de Fes de 500 N; es decir: t;'1,'

=500N

Demuestre que elgura.

Q.7AT2 + (0 .7ffi)z + (-2)'

(3 14)2 + ( 130)' + (*368)t

árrgulo director coorCenado T'= 137 o, e indíquelo en la fi-

SE,C. 2.8 VECTOR F'UERZA DIRIGIDO A LO LARGO DE UNA T-lhIEA 59

Ejemplo 2-17

Los cables ejercen una fuerza F¿¡ = 100 N y Foc = 120 N en el anillo, so-

bre el punto A como se muestra en la figura 2-42a. Determine la magnitud de

lafiierza resultante que actúa en el punto A.

SOLUCIONLafuerza resultante F¡ se muestra en la figura 2-42b. Podemos expresar

dicha fuerza como un vector cartesiano definiendo Fe¡ y F¿c como vectores

cartesianos y después sumando sus componentes. Las direcciones de Fo¡ yFo6, se especifican formando los vectores unitarios ü¿s y u¿c a 1o largo de los

cables. Estos vectores unitarios se obtienen'de los vectores de posición aso-

ciados rmy r,qc. En referencia al vector F¿6 de la figura 2-42b tenemos.

r¿s = (4 m - 0)i + (0 - 0X + (0 - 4 m)k

={4i*4k} m

l"AB =

&u=

-,'Gi;(_4r

&u = {10Ji1''

Pal:a el vector FAC tenemos:

k] i\r

rec = (4m - 0)i + (2m - 0X + (0 - 4m)k

:{4i+2j-4k} m

rtc=.''Gji+(f;"ff=6m

100 hr Itou )I;J

I A.l

= i.66 m

.^^-- ( 4 . 4.\100 I{l-i---kt

\ 5.66 s.66 )

4r. = 120 I{

{BOi +

= 120 I.{

BOk) t\i

l'* )Io.J40j

(\ +?i 1uj\6 6 6 )

i;"i:.ü'á"fuerza resultante es por 1o tanto:

,; = {150.7i+40i- 150.7k} I{¡1,'" i:;,¡,¡," '

11..;i'r:r'':r "*.

ffi*agnirud de Fs es:

]'-l

(b)

Fig. 2-42

Fou * F¿c = {70.7i*7AJk} t{ + {BOi + 40j - BOk} F{

A (0, 0, 4)

B (4,0, 0)

c (4,2, A)

( 150.7)2 + (40)2

- 117-/-L

I Respuest{t

Át)\J \.' CAP. 2 VECTORES DE F'UERZA

trR#ffig,He/gAS{'2-84. F,xprese e1 vector de posición r

siana. después, determine su magnitud

caordinados

en forma vectorial carte-

y sus ángulos directores

2-87'. Determine la longitud del miernbro AB de la estructn¡¿,,

e stableciendo un vector de posición cartesiatro descle A hasta B $',

cleterminando su masnitud.

i).3 rn

Prob. 2-87

J

2-85. Explese el vector

siana; después, deteminerr

coordena0Os.

2 pies

de posición rsu magnitud

Prob. 2-84

en forma r¡ectorial carte-

y sus ángulos directores

-T2 oiesl'?7

pies

Frob. 2-85

en forma vectorial carte-

y sus ángulos directores

f-4 pies -l *2-88. El cable de I metros de longitud está anciado át súeto,,g$¿-óü. -Dl UAUfC LIC O lllUlfub Utr tlrrlgrluLr EDL4 úLtlr ,,i,i,, i\r ultii

el punto A. Si x * Q rn y | =2m, determine la coordená¿at enei"l; cue{ jpunto de sujeción más alto de la columna. .:1. -r -_ :

t.ir

:ii',i

2-89.' '''El

cable de B metros de longitud está anclado al piso en ei'j

punto A" Si z = 5 m, determine la ubicación * x, + )'Escoja un valor tal que x = !.

det punto Á*]

1 pie

2-86. Exprese.. 11/slana; oespues,

coordenados.

el vector de posición rdetermine su magnitud

piesis**T*

1

,/ i2pies{..,,i. "..,.'i-*,,,.-.,, -* ;,

- --773 pies

Prob. 2-86 Probs. 2,-8812-89

?-g8, Detenriine

vectCIr de Posición::.. :::.'..''|:

ña$utuA

la longitud del cigüeñ al A,B estableciendo un

cartesiano desde A hasta B y determiniindo su

PRí]BLL.h4AS Ú i

2-93. En un instante dado, las pcsiciones de un avión en A y de

un tren en B se miden en relacién con la antena radar en O" Deter-

inine la distancia r/ entre A y B en ese instante" Para resolver el

problema. exprese Lin vector de posición dirigida desde A hasla B,

1,' después cleternine su magnitud.

Prob. 2-93

.-"1

r X,[

d{.}* {l¡itx

Frob. 2-9*

.it

instante mostrado, los vectores de posición a 1o lar-

de robot descle O hasta B y desde B hasta A son { oB =

+400k) mmyrr¿= {350i +225i-640k} mrn,res-

Determine la distancia de O a la agarradera del

}-gL. " En el

g'o del brazo

{ 100i + 300j

pe ctivamente.

punto A"

*'I-9'7r,'''

e'xprese

Si rpo = {0.5i + 4i + 0.25k} m ! ros= {0.3i +2i + 2k} m,

ruo como un vector cartesiano.

Probs. 2-9112-92j

2-94. Detemine las longitudes de los

El anillo en el punto D está a la mitad de

i.f

¡)'

alambres AD , BD y CD "

la distancia qntre A y B.

rn1t-/50.5 rn i""

4t

1.5 m

l

Prob" 2-94

*2 cAP.2 vECToRES DE FUER¿A

2-95. Exprese la fuerza F como un vector cartesiano y después

cletermine sus ángulos directores coordenados.

I'¡

ijr

3 pies

Z-97, Expre se cada una de las fuerzas en foma vectorial carte- ,

siana. .,.1''*ii

2-98" Determine la magnitud y los ángulos clirectores coorclenal'l

dos de la fuerza resultante que actúa en el punto A. ti '.,a

)7=

Ct2

.liL''

3m

/(-/ .. _Í,

,/-z *

Probs. 2-97 12-98

2-99. Exprese cada una de las dos fuerzas en forma vectorial

.i/ DleS "*qri

i@"uF=60 lb

P¡'CIb. 2-95

*2-96. Exprese la fuerza F como un vector cartesiano; después

detbrmine sus áneulos directores coordenados.

Determine la magnitud y los ángulos directores'coola fuerza resultante que actita en el punto A.

tesiana.

*2-1{}0"

nados de

'i

'"ii

,,-ll

T

,it'ii

'itd

l

:j.jijt¡$

'iu$.,,,,tii:,,':'¡t

, , I:nia,.iffi

'.l'i.i

L+$

':i¡:ir$'ffirit'

cai:ij'.=

'':....!.=

€G

rde:E' ...-€

:¡I

' lE:

t:=-:l=

'$

! .;.$ ,,!df']ts"'

5 pies

8 pies

12 pies

B pies *-l ¿

Prob. 2-96 Probs. ?-9912-100

1-I*t. La cuerda ejerce una fuerza de F = { 12i + 9i *Bk } libras

án el gancho. Si la cuerda tiene una longitud de B pies. determine

ü ubicacrón r, )' del puirto de unión B, y 1a aitura ; ciel gancho.

Z-Lfi1. La cuerda ejerce ura fuerza de F = 30 libras sobre el

gancho" Si la cuerda tiene una longitr-rd de 8 pies , z = 4 pies y la

conponente ,r de la fuerza eS F ^

= 25 libras, cietermine la *bica-

cién ,{, }' del punto de unión B de la cuerda al piso.

Probs. 2-18\12-182

21103. La fuerzaF tiene una magnitud de B0 libras y actúa en e1. l.

punto medio C de una varilla delgada. Exprese la fuerza como un

vector carteslano,

PROBLE,MAS 63

*2-T04. L,a r¡entana se mantiene abierta por meclio de la cadena

AB " Detennine la longitud de la cadena, y exprese la fuerza cle 50

libras que actúa en el punto A de la cadelta colno un vector carte-

siano" Detennine sus ángulos directores coordenados"

Prob. 2-104

2-105. El cable unido

de 350 libras sobre la

vector cartesiano.

al tractor en el punto B ejerce una fuerza

estructura. Exprese esta tuerza colno un

5 pies

l2 pies

F=80 lb

2 pies

Prob. 2-1fi3 Prob. 2-tr05

:::

i.'

il:.¡ii:::i

64 cAP. 2 vECToRES DE FLTERZA

2-1ü6. Exprese la f.uerza F como un vecior cartesiano; ciespués"

determine sus ángulas .directores coorclenados.

*2-188. Los tres cables de soporte ejercen las fuerzas que **'lmuestran en el señalamiento. Represente cada fuerza como uh'=

r¡ector cartesiano. 'i"ir'"i

2-1S9. Deterrnine la magnitud ), los ángulos directores cartesia- iitos de la fuerza'resultante de las dos fuerzas actuanda en el señáltÍlarniento sobre el punto A. .l$

2m

2m

Fc=400N 3m

135 lb

Fr = 350IB.gl--

7 pies"-" --*-*"'*'*

2-L07 " Exprese cada. una de las

siana y determine la rnagnitud ydos de la fuerza resultante.

fuerzas en forma vectorial carte-

los ángulos directores coordena-

Fn=400N

2m

Probs. 2-L0812-109

2-LL0. La ventana se mantiene abierta gracias

Determine la longitud de la cadena y exprese laque actúa en el punto A a lo largo de la cadena

cartesiano.

a'

Prob. 2-10ó

a la cadena #$fuerua de' 30:Ñi

como un vecd

6 pies

,/-v.2.5 pies

Ft=B0ib

/ Fz= 50 lb

tji

'jf:: .

!:,25A mrn'':Í

..ít'

vo'"0

Prob.,2-.110' ij:r i:i ir:i::rr ::: '

, l:ir,rt::.rl ..

Fnob. 2-\87

Z-LIL. Cada una cle las cuatro fuerzas que actúan en el punto E

tiene una magnitud de 28 kI{. Exprese cacla fuerza como un vec-

tor cartesiano y determine la fuerza resultante.

Z-1L3. Exprese 1a fuerza Fpunto B se encuentra ubicadodelgada.

PROBLEMAS ó5

en fbrma vectorial cartesiana si etr

a 3 m del punto C sobre la varilla

I ,r]ü{} N

-*'\*'''*'

.\

6 m "n, ¡,t

.

'4'1:..?:l\.

,,,ri" .... '_.^.*.**^*lt

''

.5-- Ii; -":** *-.4m ---

D ""'rt.i

*2-rL2.:

actúa en

Prob. }-LIl

Exprese la fuerza F en forma vectorial cartesiana si ésta

el punto medio B de la varilla delgada.

,**'fg'f'4'€-

m '\... ,.\,

\'a 't- 'a't _!

1 "'n

\

":i.\

Prob" ?-1L3

2-t74. La torre se mantiene en su lugar por los tres cables. Si se

rnuestrala fuerza de cada cable actuando sobre la torre, determinela posición (x, y) para fijar el cabl e DA, de tal forrna qlte la fuerzaresultante ejercida sobre la torre está dirilida a lo largo de su eje,

desde D hacta O.

a

2-L15. La torre se mantiene en su lugar por tres cables" Si se

muestrala fuerza que cada cable ejerce sobre la torre, determinela magnitud y los ángulos directores coordenados a, P, y de lafuerzaresultante. Tome los valores dex =2A m, ),'= 15 m.

400 i{

24m

'\--..""'1.*''84-

D '''"

ur*^'*^'o* **

...',,

Prob. Z-lI2

Foo

A

18 ;l-"ar% ! \\+

Frobs. 2-ll4l2-115

ó6 cAP. 2 vL,croR.ES DE FUERZA

?.9 Fr*dapcÉo px'Áxx$o

En ocasiones, en,estática se tiene que determinar el ángulo enffe dos líneas

los componentes de una fuerza paralela o perpendicula¡ a una línea. En

caso de dos dirnensiones, estos probiemas pueden resolverse fácilmente ¡

Íigonometría, puesto que la foma geométrica es fácil de analizar. En tres

mensiones, con frecuencia resulta difícil y se debe utilizar métodos vector

les para encontrar la solución. El término producto punto se refiere aun n

todo particular para "multiplicar" dos vectores y se ulliza para resolver

problemas mencionados.

El producto punto de los vectores A y B se expresa como A ' B, y se

como "A punto 8", se define como el producto de las magnitudes de A yy el coseno del ángulo 0 entre sus colas; ver figura 2-43.Expresado en for:

de ecuación tenemos:

donde 0o < 0 S 180". El producto punto se llama con frecuencia pt'aducto

calar de vectores, puesto que el resultado es un escnlür'y no ul vector.

Fig. 2-43

Leyes de operación

1. Ley conmutativa:

A'B = B'A

2. Multiplicación por un esc alar:

a(A 'B) = (aA)' B = A" (aB) = (A' B)a

3. Ley distributiva:

A'(B + D) = (A'B) + (A'n), ,]]:

Es fáctl comprobar 1as prirneras dos leyes utrlizando \a ecuación Z titprueba de la Ley distributiva se deja como ejercicio (ver problenla 2-116)i.

(2-

SEC. 2.9 PRODUCTO PUI{'] O ú7

Forma de expresar un vector cartesiano.súItzarse para determinar el producto punto de cada

prios cartesianos. Por ejemplo, i' i * (lX1) cos 0o =

= A. De forma similar,

La ecuación 2-14 puede

uno de los vectores uni-1 o i'j = (1X1) cos 90o

=1r,_.$

=0j=;; _TL

t..n{*\ I r- I '

\*-Fa a'-i'j=o

1r:0

kktaKJ

Estos resultados no deben ser memorizados; en su lugar, debe entenderse cla-

rarnente cómo se obtienen.

Considere ahora el producto punto de dos vectores generales A y B, que

esún expresados en forma vectorial cartesiana. Tenemos:

A . B = (4.,i * 4.,,j + A,k) . (B.i + B.,j + B-k)

= A,B.,(i ' i) + A.,Br(i ' j) + ArB,{i. k)* ArB,(i ' i) + A'B'(i . j) + Ar3,(i . k)

+ A,B,(k . i) + 4"8,,(k . j) + A,B-(k. k)

Luego de 1levar a cabo las operaciones del producto punto, el resultado es:

(2- 1s)

Así, para deternxi.nar el producto punto de dos vectores certesianos, multipli-que sus respectivas componentes x, !,2 y sume sus productos algebraica-menÍe.PuesÍo que el resultado es un escalar, tenga cuidado de no incluir nin-gún vector unitario en el resultado final.

'

AplicaciOnes. El producto punro tiene dos aplicaciones importantes enmecánica.

1,,.,,E1 ángulo formado entre dos vectores o líneas cle intersección.87 rángulo 0i, enhe las colas de los vectores A y B en la figura 2-43 puede determinarse., de la ecuación 2-14 y expresarse como:

Aquí A . ts se calcula a partir Ce

o,'o = cos-l o = 9o'" de tal forma

00<0s 1800

la ecuación 2-15. Observe que si A ' $ =que A será perpeÍzdicular a B"

, { A'ts)$-cos-'i I\ AB)

{ {',oó CAP. 2 VF,CTORES DF, FUE.RZA

7. Las conlponentes cle un vector paralelo y perpendicular a una línea.Ificomponente de un vector A paralelo o coiineal a la línea aa' en la figu¡62-44 se define por A,,, donde Ar= A cos 0. Esta componente con frecue¡{cia es conocida como la proyección de A sobre la línea, puesto que se forjma un ángulo recto en la figura. Si Ia dirección de la línea se especifiCf;

por el vector unitario u, entonces, puesto QU€ z = l, podemos determin¿¡

A,,directamente del producto punto (ecuación2-14); es decir, jr$

A,, = {:?t0=A'u i$

Fig. 2-44

o de una lín e

unttürto lI.sultado es p

de u, mienes opuesta a

or 10 tanto:

Observe que la componente de A que es perpendicular a la línea üa'plde también obtenerse; ver figura 2-44. Puesto que A - A,, * Ar,enton0

A, = A - A,,. Existen dos maneras posibles de obtener A L. La primerafdría ser determinando 0 del producto punto, 0 = cos-' (Al ,JlA), y despiü

A,, =.A,cos 0 u

se dtcual t;itivo,que i

.deu

neQ

eltpos

tras

ala

'$t

tr

re

)1

tepc

,¡'Í

ol:f

el

n

De aquí que, Ia proyección escalür de L a lo lanxina a p{trtir del producto putxto de L y el t¡€ctt

ne Ia dirscción de la \ínea. Observe que si este

tonces A,, tiene un sentido direccional igual que

es un esc alar ne$ativo, entonces 4,, su direcciói

componente A',, representada como vn vector es,

Ar=A sen 0. Como forma alterna, si 4,, sr conole,€ntolces por el teol

ma de Pitágoras podemos también escribir A,= { Az - Au'. " 'ii

Las aplicaciones descritas anteriormente

en los ejemplos siguientes: ''

se ilustran en forma num

SE,C. 2.9 PR.ODTJCTO PL]¡{TO 69

astrada en 1a figura 2-45s se encuentra bajo la influenciaantal p = { 300j } I{ que actúa en una esquina. Deterinineccmponentes perpendicular y paralela a1 miembro AB de

Ejeneplo 2-18

La estructura m

de una fuerza horiz

la magnitud de las

esta fuerza.

.a

3m

SOLTJCION

La magnitud de la componente de

punto de F y el vector unitario uB,

2-45b. Puesto que

uB

Entonces

Fen= Fcos0=F(0X0.286) +

25J .1 I{

-it

F a 1o largo de AB es igualque define la dirección de

F'ig. 2-45

al producto

AB, figura

rB 2i+6j+3k\.'(2)t + (6)t +l¡)' = S.2B6i + 0.857j + 0.129\<

rB

uB = (300j)' (0. 286i + 0.857j + 0 .429k)

(300X0.8s7) + (0X0 .429)

Puesto que el resultado es un escalardirección que u6, figura 2-45b.

Respuesta

positivo, F¿¡ tiene el mismo sentido de

Expresando Fos en forrna vectorial cartesiana, tenemos:

FA B = F entls - 257. 1 F{(0.286i + 0.S57j + A.429k)

= {73.5i + 220j + 110k} I{

La componente perpendicular, figura 2-45b, es por 1o tanto

F, - F - F^u = 300j - (73.5i + 220j+ 1 1 0k)

Respuesta

={*n 5i+Boj-ltok} N

su magnitud puede determinarse tanto con este vector como a partir del teo-rgma de Pitágoras, figura 2-45b:

F,= \F, - 4,$-¡lII$

¡

;t¿"=-***'**{

F,,,.,rlu

B F= {300j}i{

(3oo)2 /AFn --. 1

(z) t .t )-

Respuesta

i=

i..,t..i.t;l

3.,'.ii:;i:,i :'i:

ii'iltii,¡li]:.::,jtfi,

i .,,f

.,.:'';

'l:¡,,lii

ii$il¡Í1l{

i.:1,.$

7 0 cAP" z vECToRES DE F{.;ERZA

Ejemplo 2-t9$

i¡

Angulo 0. Primero establecemos vectores de

desde S hast a C ,luego determinamos el ángulo

¡."^ vectores.

La tubería mostrada en

una fuerza F * B0 libras en

segmento de tubería BA, yparalelas y pbrpendiculares

SOL{JCXON

forma

la figura 2-46a se encuentra bajo la influencia desu extremo E. Determine el ángulo 0 entre F y ellas magnitudes Ce las ccmponentes de F, que sona BA.

:

pcsición desde-B hacia A y0 entre las colas de estos dos

r,r= {-2i*2j+ 1k} pies

rBC = {-3j + 1k} pies

cos 0 = Fr¿' F¡rc - (-2) (0) + (-2) (-3i + ( 1) ( 1 )

.F!1' . i"*'-"'-r^^-

I pie;i

t 3-.,,fu0F=80 lb

(a),

fneTac

= 0.7379

.0 = 42.5o

Componentes.de F. Lafierza F se descompone en sus componentes comose muestra en la figura 2-46b. Puesto que F so= F . ur¡, debemos expresar losvectores unitarios.a lo largo de BA y la fuerza F como vectores cartesianos.

l lu,figura 2-46b,, este mismo resultado pueden ers e dire c tam entb utiliz'ándo [á' tri g o nometría.

Fuo

Respuesta

Respués,

(b)

i'']:11::,

lF,rn, =.,80,.Co s 42,5o lb = 59.0 lb.'

.. , ...,:1.: :,,,,i . ,.-

La componente peqpendiCutár pu'b obtenerse por trigonomet ría,

= F se{I 0,,

J'80's en 12.5' lb* 54.0,lb

. . t l, ...- ..,: r

R.,eSpUe:St-,

' ::.: .'::jr::ir::rI

,,,...-,. .,,, ,,

,''":,1:

: .i,:r:.:.lr :-,. .... :

j : r,,,.

por el tearema de Pitág*ráj,

DI ffi*

lb,;,,ry

!

Fig. 2-46

* 54.0 lb

PROBLEh4AS 11T}

PR#ffifuHrugAS

*?,-L16"

D)=(A

2-L17.

tores.

2-l-18.

de rr, Y

Dados los tres vectores A, B y f), muestre que A - (B +.fi)+(A'ü)

Determine el ángulo 0 entre las colas de los dos vec-

Determine la rnagnitud de 1a proyección de r, a 1o largola componente proyectada de r, a 1o largo de r1.

2-12L. Determine las dos componentes de la fuerza F a 1o largocle las tríneas Oa y Oh tales que F - F¿ * Fr. También determinela componente proyectacla de F a 1o largo de Oa y Ob. h{uestregráficamente cómo se obtienen las componentes y pr oyecciones.

Frob. 2-l2X

2-122. Detemine el ánsulo 0 entre las orillas de la ménsula me-

tálica.3m

'*

Probs. 2-LL7 12-118

Determine el ángulo 0 entre las

Determine la magnitud de las

1o iargo de r,, y la proyección de

2m

colas de los dos vectores.

componentes proyectadas

rz & lo largo de r,.

Frob. 2-L22

2-!23. Determine

vector de posición r

-ÉI

I

3mI

I

-:--l--l.'

, 2-L\9,.¡,:lt t

r2"I28.

'de 11 a..r:::'.::

,r;,.:::::;:.:',

.;llt..'r: :'"'

i; r.

i1'r.i.,j;it'l] :

ll,;:;i;,i i r

fi ;,' :ill ii:::.;l:r i', : i

,li,j:r:i:iri¡ rr . 'rr::r ti:i:r: i;-.. ;

'

la magnitud de la componente proyectada dela lo largo del eje Oa. "

' 7' :r':'''

f

1

Probs. 2-IL9|2-I20 Prob. 2-LZ3

72 CAP. 2 YECTORE,S DE FUERZA

82-í24. Detemine ia

It{ que actúa a lo largo

2-L25. Detennine el

v- sc.

componenie proyectada de la fuerza de B0-

del eje AB de la rubería" Fo*? F .. * t " q s j

ángnlo 0 entre los segmentos de tubería tsA

4 pies* _ 1.1*+..

*3,"

2-127 . g1 sujetador se utiliza en una guía. Si la fuerza vertici

que actúa en el tornilla es F = {-500k } I'{, determine 1as magnitr

des de las componentes F r y Fz que actúan a 1o largo del eje ÜA

pelpendiculares a é1"

*2-tr,28. El sujetador es utilizado en una guía. Detennine el ángr

1o S entre la línea de acción de F y el eje del sujetador OA.

40 mm-i

t

¡

ii,t

20 rnrn

**xt I'ri i{,ts* i

!

*-*,\^r.

""'4 **-\' '\'\^

-9,.-_

_¡* ..;-,

12

Probs. 2,-l}4.lZ-LZs

2-126. La fue rza F actúa en el extremo A de una parte de una

tubería. Determine las magnitudes de las componentes F1 y F2

que actúan a lo largo del eje Ats y son pe{pendiculares a é1.

i20i + 10j - 30klhT :

F = {_500k} hr -

,Frobs. 2-L27 l2-L28

2-129. Cada uno de los cables ejerce una fuerza de 400 N en

poste. Determinar la magnitud de la componente proyectada de l

a lo largo de la línea de acción de F2. , ,',, ;

':

2-L30. Determine el ángulo 0 entre los dos cables. :

Fl

1tLt.r i¿Í

Ft "]

Prob. 2,L26

A

Probs. 2-12912-í38

Z-!31. I)eternrine las componentes de F que actúan

1¿ r,arilla delgada AC y perpendiculares a ésta. El

ubicado alamitad de la varilla delgada.

a 1o largo de 2-135.pnnto B está OC "

*.2-í36.

oD.

PROBLEMAS 73

Determine ei ángulo 0 que el cable OA foma con la viga

Determine el ángulo Q que el cabi e ÚAfcrma con la viga

*?_I32. Determine las componentes de F que actúan a lo largo de

1a varilla delgada AC y perpendiculares a ésta. E1 punto B se ubica

a 3 m sobre la varilla delgada desde el punto C.

Prcbs. 2-L3\12-I32

Z-L33. Determine los ángulos 0 y $ que se forrnan entre los ejes

0A rjel asta de la bandera y AB y AC, respectivamente de cada

cable.

2-!34. Los dos cables de soporte ejercen las fuerzas mostradas,'en el asta de la bandera. Determine la componente proyectada cle

'iáda fuerzaque actúa a 1o largo del eje OA del asta.

I 4mBm

Frobs. 2-L351?,-136

7-137, Deteimine la rnagnitucl de la cornponente proyectada cle

la fuerza de'100 libras que actúaa 1o largo del eje BC de la tube-/

1'14.

2-138" Deterrnine el án-{ulo S entre los segmentos rle tubería BA

Y BC.

."-'.x"

'¿t "-^ ,.

,tq-- -'"*\

h . -'-*4 nies-

-*'\d'l

i^ ,|

¿ plesj^l.-'.3'

-_'"+W#'.**d'"-'-'w:¡'!d!d*:sf"" D

100 1bC

W9**

Fs= 55 N

Probs. 2;:7'3312-131 Fs"$bs. 2-137 l2-13S

7 4 cAP. 2 vECToRES DE FUERZA

trR#ffiilKrugA$ ffitr RHFAS*2-139. El bote se va a sacar a ia piaya utilizando dos cuerdas.

Determine las magnitudes de las fuerzas T y F que actúan en cada

cuerda con la finalidad de desarrollal una fuerza resultante de 80

iibras, dirigida a 1o largo de la quilla #G como se muestra. Tomarel valor de 0 = 40o.

*2-X4$. El bote se saca ú ala playa utilizando dos cuerclas" Si lafuerza resultante será de 80 libras, dirigida a 1o largo de la c1uilla

a{;, ean{ro se muestra, detennine las rnagnitucles de las fuerzas T yP que actúan en cada cuerda y el ángulo 0 de P para que la mag-

nitud de F tenga un valor míninto. T actúa a 30o de la quilla comose muestra.

Probs. 2-13912-L40

2-142" Determine la rnagnitud y los ángulos directores coorde.naclos de F3 para qüe la resultante de las tres fuerzas actúen a 1o

largo del eje positivo de las _r y tenga una rnagnitud de 600 libras"

2-!43. Determine 1a magnitud y los ángulos directores coorde-

nados de F, para q{re la resultante de las tres fuerzas sea cere.

Ft=180 1b

Fz= 300 lb

Frobs. 2-T4212-143

254 N que *2-144. Dos fuerzas Fr y F2 actúan sobre un gancho. Si sus Kné!

v

2-14I. Determineactúan a 1o larso de

las componentes de la fuerza de

los ejes u y v. as de accién se encuentran separadas entre sí con un ángulo 0 y

magnitud de cada fuerza es F1 = Fz. F, determine la magnituC

la fuerza resultante Fn y el ángulo entre Fn y Fi.

ury9

\74"

250 N

Frob. 2-L4l Prob. 2-114

Z-L45. Exprese Fr Y Fz como vectores cartesianos.

?-L46. Determine la magnitud de la fuerza resultante y su direc-

ción medida en sentido contrario al de las manecillas del reloj con

respecto al eje Positivo de las x.

Probs. 2-L4512-L16

82-L48. Determine las magnitudes

das de la fuerzap = {60i + 12j *cables AB y AC "

PROBLE}VIAS DE REPASO 75

de 1as cüinponentes proyecta-

4ük l N en la ilirección cle los

2-L47. Determine

alambre.

los ángulos e y 0 entre los segmentos del

Prob. 2-1,48

2-!4g. El motor principal de un helicóptero desarrolla una fuer-

za de 23 kN mientras vuela hacia adelante. Descomponga esta

fuerza en sus componentes x ! y; explique qué efectos físicos cau-

san cada una de estas componentes en el helicóptero"

Prob. 2-747 Frob. 2-149