Mecanica Clasica

1.- TRABAJO Y ENERGIA

1.1.- CONCEPTO DE TRABAJO

En mecánica clásica, el trabajo que realiza una fuerza sobre un cuerpo equivale a

la energía necesaria para desplazar este cuerpo. El trabajo es una magnitud

física escalar que se representa con la letra (del inglés Work) y se expresa en

unidades de energía, esto es en julios o joules (J) en el Sistema Internacional de

Unidades.

Ya que por definición el trabajo es un tránsito de energía, nunca se refiere a él

como incremento de trabajo, ni se simboliza como ΔW.

Matemáticamente se expresa como:

Donde F es el módulo de la fuerza, d es el desplazamiento y α es el ángulo que

forman entre sí el vector fuerza y el vector desplazamiento.

Cuando el vector fuerza es perpendicular al vector desplazamiento del cuerpo

sobre el que se aplica, dicha fuerza no realiza trabajo alguno. Asimismo, si no hay

desplazamiento, el trabajo también será nulo.

1.2.- POTENCIA

En física, potencia (símbolo P) es la cantidad de trabajo efectuado por unidad

de tiempo.

Si ΔW es la cantidad de trabajo realizado durante un intervalo de tiempo de

duración Δt, la potencia media durante ese intervalo está dada por la relación:

La potencia instantánea es el valor límite de la potencia media cuando el

intervalo de tiempo Δt se aproxima a cero.

Donde

P es la potencia,

W es el trabajo,

t es el tiempo.

1.3.- ENERGIA CINETICA

Cuando un cuerpo está en movimiento posee energía cinética ya que al chocar

contra otro puede moverlo y, por lo tanto, producir un trabajo.

Para que un cuerpo adquiera energía cinética o de movimiento, es decir, para

ponerlo en movimiento, es necesario aplicarle una fuerza. Cuanto mayor sea el

tiempo que esté actuando dicha fuerza, mayor será la velocidad del cuerpo y, por

lo tanto, su energía cinética será también mayor.

Otro factor que influye en la energía cinética es la masa del cuerpo.

Por ejemplo, si una bolita de vidrio de 5 gramos de masa avanza hacia nosotros a

una velocidad de 2 km / h no se hará ningún esfuerzo por esquivarla. Sin

embargo, si con esa misma velocidad avanza hacia nosotros un camión, no se

podrá evitar la colisión.

La fórmula que representa la Energía Cinética es la siguiente:

E c = 1 / 2 •

m • v 2

E c = Energía cinética

m = masa

v = velocidad

Cuando un cuerpo de masa m se mueve con una velocidad v posee una

energía cinética que está dada por la fórmula escrita más arriba.

En esta ecuación, debe haber concordancia entre las unidades empleadas. Todas

ellas deben pertenecer al mismo sistema. En el Sistema Internacional (SI), la

masa m se mide en kilogramo (kg) y la velocidad v en metros partido por

segundo (m / s), con lo cual la energía cinética resulta medida en Joule ( J ).

1.4.-ENERGIA POTENCIAL

Todo cuerpo que se ubicado a cierta altura del suelo posee energía potencial.

Esta afirmación se comprueba cuando un objeto cae al suelo, siendo capaz de

mover o deformar objetos que se encuentren a su paso. El movimiento o

deformación será tanto mayor cuanto mayor sea al altura desde la cual cae el

objeto.

Otra forma de energía potencial es la que está almacenada en los alimentos,

bajo la forma de energía química. Cuando estos alimentos son procesados por

nuestro organismo, liberan la energía que tenían almacenada.

Para una misma altura, la energía del cuerpo dependerá de su masa. Esta energía

puede ser transferida de un cuerpo a otro y aparecer como energía cinética o

de deformación. Sin embargo, mientras el cuerpo no descienda, la energía no se

manifiesta: es energía potencial.

Todos los cuerpos tienen energía potencial que será tanto mayor cuanto mayor

sea su altura. Como la existencia de esta energía potencial se debe a la

gravitación (fuerza de gravedad), su nombre más completo es energía potencial

gravitatoria.

Entonces:

Energía potencial gravitatoria es aquella energía que poseen los cuerpos

que se encuentran en altura. Esta energía depende de la masa del cuerpo

y de la atracción que la Tierra ejerce sobre él (gravedad).

¿Cómo calcular la Energía Potencial Gravitatoria?

Si un cuerpo de masa m se sitúa a una altura h arriba de un nivel de referencia,

este cuerpo posee una energía potencial gravitatoria con respecto a este nivel, la

cual se expresa mediante la siguiente fórmula:

m = masa

g = constante de la fuerza de gravedad

h = altura Ep = m · g · h

1.5.- FUERZA CONSERVATIVA

En física, un campo de fuerzas es conservativo si el trabajo realizado para

desplazar una partícula entre dos puntos es independiente de la trayectoria

seguida entre tales puntos. El nombre conservativo se debe a que para un campo

de fuerzas de ese tipo existe una forma especialmente simple de la ley de

conservación de la energía.

1.6.- PRINCIPIO DE CONSERVACION DE LA ENERGIA

La ley de la conservación de la energía afirma que la cantidad total de energía en cualquier sistema aislado (sin interacción con ningún otro sistema) permanece invariable con el tiempo, aunque dicha energía puede transformarse en otra forma de energía. En resumen, la ley de la conservación de la energía afirma que la energía no puede crearse ni destruirse, sólo se puede cambiar de una forma a otra.

Aunque la energía no se pierde, se degrada de acuerdo con la segunda ley de la termodinámica. En un proceso irreversible, la entropía de un sistema aislado aumenta y no es posible devolverlo al estado termodinámico físico anterior. Así un sistema físico aislado puede cambiar su estado a otro con la misma energía pero con dicha energía en una forma menos aprovechable. Por ejemplo, un movimiento con fricción es un proceso irreversible por el cual se convierte energía mecánica en energía térmica. Esa energía térmica no puede convertirse en su totalidad en energía mecánica de nuevo ya que, como el proceso opuesto no es espontáneo, es necesario aportar energía extra para que se produzca en el sentido contrario.

Desde un punto de vista cotidiano, las máquinas y los procesos desarrollados por el hombre funcionan con un rendimiento menor al 100%, lo que se traduce en pérdidas de energía y por lo tanto también de recursos económicos o materiales. Como se decía anteriormente, esto no debe interpretarse como un incumplimiento del principio enunciado sino como una transformación “irremediable” de la energía.

1.7 CONSERVACION EN EL TRABAJO MECANICO

Aunque en la vida cotidiana es compón asociar la idea de trabajo con el esfuerzo o cualquier otra acción en la que se requiera energía, en física y en mecánica en particular, el trabajo tiene una definición bastante restringida. Decimos que una fuerza realiza trabajo sobre un cuerpo cuando al actuar sobre éste lo desplaza en la misma dirección en que actúa. Por ejemplo:

En este caso, la fuerza realiza trabajo porque el cuerpo es desplazado una distancia d de manera paralela a la fuerza. Operacionalmente el trabajo (W) se determina como:

W = F∙d

Sus unidades están dadas por:

W = F∙dà [N∙m] = joule = [J]

Es muy importante tener en cuenta algunas situaciones especiales, por ejemplo, cuando aplicamos una fuerza, pero no somos capaces de producir desplazamiento, el trabajo en ese caso es nulo. Esto es independiente de la energía que empleemos, si no hay desplazamiento no hay trabajo. Algo similar ocurre cuando sostenemos una maleta o un bulto en el hombro en reposo. Aunque nos cansemos, no hay trabajo porque no hay desplazamiento. También es importante considerar que el desplazamiento debe ser realizado en la dirección en que actúa la fuerza. Si la fuerza es perpendicular al desplazamiento, esa fuerza no realiza trabajo. Por ejemplo, si sostenemos una maleta verticalmente para evitar que el peso la haga caer y nos movemos horizontalmente, entonces esa fuerza vertical, al igual que el peso no realizan trabajo porque actúan de manera perpendicular al desplazamiento.

1.8.-FUERZAS NO CONSERVATIVAS

Fuerzas no conservativas

Las fuerzas no conservativas son aquellas en las que el trabajo realizado por las

mismas es distinto de cero a lo largo de un camino cerrado. El trabajo realizado

por las fuerzas no conservativas es dependiente del camino tomado. A mayor

recorrido, mayor trabajo realizado.

Ejemplos de fuerzas no conservativas serían:

• Fuerza de rozamiento

• Fuerza magnética

Campos no conservativos

El campo magnético es un ejemplo de campo no conservativo que no puede ser

derivado de un potencial escalar. Esto se refleja por ejemplo que las líneas de

campo del campo magnético son cerradas.

Propiedades

Dado un campo vectorial definido sobre una región simplemente conexa el campo

es conservativo si cumple cualquiera de estas condiciones (de hecho puede

demostrarse que si cumple una de ellas cumple las otras dos también):

1. Un campo es conservativo si, y sólo si, el trabajo que realiza la fuerza que

genera el campo entre dos puntos no depende del camino que haya seguido el

móvil entre esos dos puntos.

1.9.- EJERCICIOS

1. Calcula la energía cinética de un vehículo de 1000 kg de masa que circula a

una

Velocidad de 120 km/h.

Solución: Se extraen los datos del enunciado. Son los siguientes:

m = 1000 kg

v = 120 km/h

Ec =?

Todas las magnitudes deben tener unidades del SI, en este caso es necesario

convertir 120

Km/h en m/s

V= 120 km/h * 100m/1 km * 1h/3600s = 33, 3 m/s

Una vez que tenemos todas las magnitudes en el SI sustituimos en la fórmula: Ec = 0,5. M. v2 = 0,5. 1000. (33,3)2 = 554445 J

2. Calcula la energía potencial de un saltador de trampolín si su masa es de 50 kg y está sobre un trampolín de 12 m de altura sobre la superficie del agua. Solución: Se extraen los datos del enunciado. Son los siguientes: m = 50 kg h = 12 m Ep =? Todos los datos se encuentran en unidades del SI; por tanto, sustituimos en la fórmula: Ep = m. g. h = 50. 9,8. 12 = 5880 J

3. Una fuerza de 100 N actúa sobre un cuerpo que se desplaza a lo largo de un plano horizontal en la misma dirección del movimiento. Si el cuerpo se desplaza 20 m. ¿Cuál es el trabajo realizado por dicha fuerza? Solución: Se extraen los datos del enunciado. Son los siguientes: F = 100 N α = 0º Ox = 20 m W =? Todos los datos se encuentran en unidades del SI; por tanto, sustituimos en la fórmula: W = F. cos α. Ox = 100. 1. 20 = 2000 J

2.- SISTEMA DE PARTICULAS

2.1.- Dinámica de un sistema de partículas

Sea un sistema de partículas. Sobre cada partícula actúan las fuerzas exteriores al sistema y las fuerzas de interacción mutua entre las partículas del sistema. Supongamos un sistema formado por dos partículas. Sobre la partícula 1 actúa la fuerza exterior F1 y la fuerza que ejerce la partícula 2, F12. Sobre la partícula 2 actúa la fuerza exterior F2 y la fuerza que ejerce la partícula 1, F21.

Por ejemplo, si el sistema de partículas fuese el formado por la Tierra y la Luna: las fuerzas exteriores serían las que ejerce el Sol (y el resto de los planetas) sobre la Tierra y sobre la Luna. Las fuerzas interiores serían la atracción mutua entre estos dos cuerpos celestes.

Para cada unas de las partículas se cumple que la razón de la variación del momento lineal con el tiempo es igual la resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula considerada, es decir, el movimiento de cada partícula viene determinado por las fuerzas interiores y exteriores que actúan sobre dicha partícula.

Sumando miembro a miembro y teniendo en cuenta la tercera Ley de Newton, F12=-F21, tenemos que

Donde P es el momento lineal total del sistema y Fext es la resultante de las fuerzas exteriores que actúan sobre el sistema de partículas. El movimiento del sistema de partículas viene determinado solamente por las fuerzas exteriores.

2.2.- Movimiento del centro de masa

El centro de masas de un sistema de partículas es un punto que, a muchos efectos, se mueve como si fuera una partícula de masa igual a la masa total del sistema sometido a la resultante de las fuerzas que actúan sobre el mismo.

Se utiliza para describir el movimiento de traslación de un sistema de partículas.

Vector de posición del centro de masas

El vector de posición del centro de masas se define como:

Donde M es la masa total del sistema de partículas. La posición del centro de masas no tiene por qué coincidir con la posición de ninguna de las partículas del sistema, es simplemente un punto en el espacio.

Velocidad del centro de masas

La velocidad del centro de masas es la derivada de su vector de posición:

El segundo miembro de la ecuación anterior es el momento lineal total del sistema de partículas dividido por la masa total del sistema, por lo que este último puede obtenerse a partir de la velocidad del centro de masas:

Este último resultado significa que el momento lineal total de un sistema de partículas es igual al momento lineal que tendría la masa total del sistema situada en el CM, por lo que el movimiento de traslación del sistema de partículas está representado por el de su centro de masas.

Si el sistema de partículas está aislado, su momento lineal será constante, por lo que la velocidad de su centro de masas también lo será.

Si colocamos un sistema de referencia en el centro de masas de un sistema de partículas aislado, dicho sistema de referencia (llamado sistema-C) es inercial. Resulta particularmente útil para estudiar las colisiones.

Aceleración del centro de masas

Cuando un sistema de partículas no está aislado, sobre él actuarán fuerzas internas y externas, representadas respectivamente en la siguiente figura (a) en rojo y en verde; por tanto las partículas de dicho sistema tendrán en general aceleración, y el centro de masas también estará acelerado.

Sistema constituido por dos partículas. Sobre él actúan fuerzas internas y externas. En la parte (b) de la figura, se observan las fuerzas externas aplicadas en el centro de masas.

Para calcular la aceleración del centro de masas del sistema, vamos a aplicar la segunda a cada una de las partículas del sistema:

Masa 1:

Masa 2:

Sumando ambas,

En el primer miembro aparece la derivada del momento lineal total del sistema (igual al momento de su centro de masas), y en el segundo miembro la suma de las fuerzas internas se anula puesto que cumplen la tercera ley de Newton.

La expresión anterior queda entonces:

Para un sistema constituido por N partículas, el segundo miembro es la suma de las fuerzas externas que actúan sobre el sistema y por tanto:

Que no es más que la segunda ley de Newton para el centro de masas de un sistema de partículas. En la parte (b) de la figura anterior se observa el centro de masas del sistema con las fuerzas externas aplicadas en él.

la aceleración del centro de masas de un sistema de partículas es debida

únicamente a las fuerzas externas que actúan sobre el sistema.

2.3 Teorema de conservación de la cantidad de movimiento Si sobre un sistema no actúa ninguna fuerza exterior, la cantidad de movimiento

de éste

Permanece constante.

Por tanto, si debido a acciones mutuas entre los componentes de un

sistema se produce un fenómeno en él (p. ej. un choque entre ellos o una

explosión interna), la suma de las cantidades de movimiento de cada uno de los

componentes antes de la explosión debe ser igual a la suma de las cantidades de

movimiento de cada uno de los componentes después del Fenómeno, es decir:

M1v1 + m2 v2 +........... = m1v1+ m2v2+……………….

El retroceso de las armas de fuego se debe precisamente a este principio. Sean

"m" y "M" las masas del proyectil y arma respectivamente, "V" la velocidad de

salida del proyectil y "v" la de retroceso del arma. Si antes del disparo el conjunto

arma-proyectil estaba en reposo significa que su cantidad de movimiento inicial es

cero y por tanto será igualmente cero después del disparo ya que no ha actuado

ninguna fuerza exterior, por tanto tendremos que:

0 = mV + Mv es decir mV = - Mv

Y como las masas deben ser positivas y al tomar la velocidad del proyectil

igualmente positiva resulta que la velocidad del arma debe ser necesariamente

negativa, es decir, de retroceso.

El movimiento de los cohetes y aviones a reacción se basan igualmente en este

principio, así el avión, al expulsar grandes cantidades de gases a elevada

velocidad, avanzará en dirección contraria a la de salida de los gases.

2.4.- Teorema de conservación de la energía

El teorema de la conservación de la energía mecánica establece que el trabajo

realizado sobre un cuerpo se invierte, exactamente, en aumentar algún tipo de

energía.

Cuando en un sistema sólo hay fuerzas conservativas: la energía mecánica

permanece constante. La energía cinética se transforma en energía potencial y

viceversa.

2.5.- Colisiones elásticas e inelásticas

En física, se denomina choque elástico a una colisión entre dos o más cuerpos

en la que éstos no sufren deformaciones permanentes durante el impacto. En una

colisión elástica se conservan tanto el momento lineal como la energía cinética del

sistema, y no hay intercambio de masa entre los cuerpos, que se separan después

del choque.

Las colisiones en las que la energía no se conserva producen deformaciones

permanentes de los cuerpos y se denominan inelásticas.

Un choque inelástico es un tipo de choque en el que la energía cinética no se

conserva. Como consecuencia, los cuerpos que colisionan pueden sufrir

deformaciones y aumento de su temperatura. En el caso ideal de un choque

perfectamente inelástico entre objetos macroscópicos, éstos permanecen unidos

entre sí tras la colisión. El marco de referencia del centro de masas permite

presentar una definición más precisa.

La principal característica de este tipo de choque es que existe una disipación de

energía, ya que tanto el trabajo realizado durante la deformación de los cuerpos

como el aumento de su energía interna se obtiene a costa de la energía cinética

de los mismos antes del choque. En cualquier caso, aunque no se conserve la

energía cinética, sí se conserva el momento lineal total del sistema.

2.6.- Cuerpo rígido

Qué es un cuerpo rígido?

Un cuerpo rígido es aquel que no se deforma. En la física es importante estudiar

los cuerpos rígidos debido a que con los métodos anteriores solo se podía estudiar

una partícula en particular, lamentablemente esto en la

vida real, no es posible debido a que la gran mayoría de los elementos a estudiar

están conformados de diferentes puntos de aplicación de fuerzas.

Nota: Ningún elemento real es inalterable, es decir 100% cuerpo rígido, a pesar de

esto se siguen estudiando

con estos métodos debido a que sus deformaciones son mínimas y no tienen el

valor suficiente como para ser

escatimadas, acepto en algunos casos, claro.

En un cuerpo rígido, existen dos tipos de fuerzas: fuerzas externas y fuerzas

internas. Las primeras

(externas) son las fuerzas que se aplican sobre el cuerpo a estudiar, para

deformarlo; Las segundas (internas)

son las que internamente mantienen a la estructura o cuerpo, como por ejemplo

las fuerzas de adhesión.

Principio de transmisibilidad - fuerzas equivalentes:

Nos dice que en un cuerpo rígido se puede sustituir una fuerza A por otra B,

siempre y cuando ambas tengan

la misma intensidad, dirección y línea de acción, pero sin importar donde se

encuentre su punto de aplicación.

2.7 EJERCICIOS

1.- Por el carril circular sin rozamiento de radio R de la figura se lanza una masa m de dimensiones despreciables con una velocidad v. En el tramo rectilíneo siguiente de longitud d el coeficiente de rozamiento cinético entre la masa y el suelo es μ. Suspendida de una cuerda y en reposo se encuentra una masa M = 2m.

Datos: v = 10 m/s; μ = 0.6; R = 1 m; d = 4 m. Tomar g = 10 m/s2

a. ¿Se conserva la energía mecánica de la masa m en el tramo circular de la pista? Determinar su velocidad cuando llega al final de dicho tramo circular (punto A).

b. Determinar la velocidad de la masa m cuando ha recorrido el tramo

horizontal de longitud d (en el punto B).

c. Cuando la masa m llega a la posición donde se encuentra M choca

elásticamente con ella. Determinar la velocidad de ambas masas después

del choque.

d. Calcular la altura que alcanza la masa M después del choque. ¿Hacia

dónde se moverá la masa m?

2.- Un sistema que está formado por tres partículas de masas m1 = m, m2 = 2m ym3 = 3m se ve sometido a la acción de una única fuerza externa conservativa F. La cantidad de movimiento total del sistema con respecto a O (origen de un sistema de referencia inercial) en función del tiempo viene dada por p = 3 t3 i - 6 t j, en kgms-1 .

Dato: m = 0.5 kg.

a. ¿Se conserva la energía total del sistema? Expresar la velocidad y el

vector posición del centro de masas del sistema en función del tiempo,

suponiendo que la posición inicial del centro de masas es ro = - i + 3 j,

expresado en m.

b. Determinar la fuerza externa F y la aceleración del centro de masas del

sistema en función del tiempo.

c. Si la energía cinética total del sistema medida en t = 2 s con respecto a

O vale 200 J, calcular la energía cinética orbital y la energía cinética

interna del sistema en ese mismo instante.

3.- Tres masas, de 2.0 kg, 3.0 kg y 6.0 kg, están localizadas en posiciones (3.0, 0), (6.0, 0) y (4.0, 0), respectivamente, en metros a partir del origen ¿En dónde está el centro de masa de este sistema?

Dados: m1 =2.0kg Encontrar: X cm (coordenadas CM)

m2=3.Okg

m3=6.Okg

X1 =3.0m

X2=6.0m

X3=-4.Om

Luego, simplemente realizamos la sumatoria como se indica en la ec. 6.19,

X cm = Sumatoria m1 x1

M

(2.0 kg)(3.0 m) + (3.0 kg)(6.0 m) + (6.0 kg)( 4.0 m)

2.0kg + 3.0kg + 6.0kg

La resolución = 0, por lo que sabemos que el centro de masa está en el origen