Page 1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH THỪA THIÊN HUẾ TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VINH XUÂN
------------------
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆMMÔN: TOÁN HỌC
Đề tài:
“TÌM TỌA ĐỘ TIẾP ĐIỂM, BIẾT TIẾP TUYẾN TẠI
ĐIỂM ĐÓ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC”
Họ và tên: ĐỖ VĂN SƠN Tổ Toán
Chức vụ: Phó bí thư Đoàn Trường Đơn vị : Trường THPT Vinh Xuân
Vinh Xuân, tháng 3 năm 2014MỤC LỤC
Trang
Phần A - MỞ ĐẦU……………………………………........……......……....... 2
trang 0
Page 2
1. Lý do chọn đề tài
2. Mục đích nghiên cứu đề tài
3. Phạm vi nghiên cứu đề tài
4. Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài
5. Phương pháp nghiên cứu đề tài
Phần B - NỘI DUNG………………………….……………..........….…….…..3
1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT..……… ……………………….........…………...............3
2. MỘT SỐ BÀI TOÁN “ TÌM TỌA ĐỘ TIẾP ĐIỂM, BIẾT TIẾP
TUYẾN TẠI ĐIỂM ĐÓ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC”....................4
3. CÁC BƯỚC TÌM TỌA TỘ TIẾP ĐIỂM, KHI BIẾT TIẾP TUYẾN
TẠI ĐÓ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC................................................4
4. CÁC VÍ DỤ .........................……………......……….…............……….......... 5
5. BÀI TẬP… ………………………………………...…..........…......…….. .......15
Phần C - KẾT LUẬN ---------------------------------------------------------------------16
�
trang 1
Page 3
PHẦN A . MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Bài toán: “Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số” là bài toán rất quen
thuộc ở chương trình toán phổ thông, ở bậc THPT, và thường xuyên xuất hiện trong
các đợt kiểm tra học kỳ dành cho khối 12, kỳ thi tốt nghiệp cuối cấp THPT và các kỳ
thi đại học cao đẳng.
Tuy nhiên, bài toán lập phương trình tiếp tuyến ở bậc THPT thường tại điểm
hoặc có hệ số góc k hoặc cho hoành độ tiếp điểm ,hoặc cho tung độ
tiếp điểm ….Nhưng thi đại học cao đẳng với mức độ yêu cầu cao hơn . “Lập phương
trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số thỏa mãn một điều kiện nào đó cho trước”, mà
không biết tọa độ tiếp điểm hoặc hệ số góc k... Do đó muốn lập phương trình tiếp
tuyến thì phải tìm tọa độ tiếp điểm dựa vào điều kiện của tiếp tuyến tại điểm đó.
2. Mục đích nghiên cứu đề tài
Đề tài “Bài toán “Tìm tọa độ tiếp điểm, biết tiếp tuyến tại điểm đó thỏa mãn
điều kiện cho trước”, là bài toán ngược của bài toán viết phương trình tiếp tuyến tại
điểm cho trước.
Bài toán này là cơ sở để lập phương trình tiếp tuyến một cách dễ dàng khi biết
tiếp điểm của nó. Nhằm khắc sâu và nắm chắt lý thuyết về vấn đề tiếp tuyến cho học
sinh và giúp cho học sinh khối 12 thi vào các trường đại học cao đẳng khi gặp bài
toán này.
3. Phạm vi nghiên cứu đề tài
- Chương trình toán trung học phổ thông
- Các bài toán thi đại học của các năm trước.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài
Chuyên đề “Tìm tọa độ tiếp điểm, biết tiếp tuyến tại điểm đó thỏa mãn điều kiện cho
trước”, cung cấp cho học sinh về phương pháp, kỹ năng và hệ thống các bài tập để
chuẩn bị kỷ về kiến thức lập phương trình tiếp tuyến.
5. Phương pháp nghiên cứu đề tài
Đề tài được nghiên cứu bằng phương pháp phân tích và tổng hợp lý thuyết.
trang 2
Page 4
y M T
(C) f(x0) M0
O x0 H.1 x
PHẦN B . NỘI DUNG
1. CƠ SỞ LY THUYẾT
1.1Khái niệm về tiếp tuyến.
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường cong (C).
Giả sử (C) là đồ thị của hàm số y=f(x) và M(x0; f(x0))(C).
Kí hiệu M(x; f(x)) là một điểm di chuyển trên (C).
Đường thẳng M0M là một cát tuyến của (C) (hình vẽ H.1)
Nhận xét rằng: khi x x0 thì M(x; f(x)) di chuyển
trên (C) tới điểm M(x0; f(x0)) và ngược lại. Giả sử cát tuyến M0M có vị trí giới hạn, kí
hiệu là M0T thì M0T được gọi là tiếp tuyến của (C) tại M0. Điểm M0 được gọi là tiếp
điểm. (Đại số&Giải tích 11, trang 151, nxb GD 2007)
1.2 Y nghĩa hình học của đạo hàm
Định lí:
Đạo hàm của hàm số y=f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến M0T của (C)
tại điểm M(x0; f(x0)). (Đại số&Giải tích 11, trang 151, nxb GD 2007)
1.3Phương trình tiếp tuyến
Định lí:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y=f(x) tại điểm M(x0; f(x0)
là trong đó y0= f(x0)
(Đại số&Giải tích 11, trang 152, nxb GD 2007)
Lưu ý:
Nếu tiếp tuyến M0T cắt hai trục tọa độ Ox, Oy lần lượt tại A và B thì hệ số góc của tiếp
tuyến M0T là .Với là góc tạo bởi trục Ox và tiếp tuyến M0T theo chiều dương.
2. MỘT SỐ BÀI TOÁN “ TÌM TỌA ĐỘ TIẾP ĐIỂM, BIẾT TIẾP TUYẾN TẠI
ĐIỂM ĐÓ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC”trang 3
Page 5
Cho hàm số ( là hàm số bậc ba hoặc hàm nhất biến ) có đồ thị (C).
Tìm tọa độ tiếp điểm của đồ thị (C) biết rằng tiếp tuyến tại thỏa mãn một trong các
điều kiện sau:
2.1 - Cắt hai trục tọa độ Ox, Oy tại hai điểm A và B sao cho , .
2.2 - Cắt hai trục tọa độ Ox, Oy tại hai điểm A và B sao cho tam giác vuông
cân.
2.3 - Cắt hai trục tọa độ Ox, Oy tại hai điểm A và B sao cho tam giác có diện
tích S cho trước.
2.4 - Tạo với hai tiệm cận cùng với điểm I thành tam giác có chu vi nhỏ nhất , với
I là giao điểm của hai tiệm cận.
2.5 - Cắt các đường tiệm cận của (C) tại A và B sao cho đường tròn ngoại tiếp tam
giác có diện tích nhỏ nhất, với I là giao điểm của hai tiệm cận.
2.6 - Cắt các đường tiệm cận của (C) tại A và B sao cho đoan thẳng AB ngắn nhất.
2.7 - Tạo với đường thẳng một góc cho trước.
2.8 - Vuông góc với đường thẳng cho trước .
2.9 - Cắt hai tiệm cận tại A và B sao cho , với I là giao điểm của hai
tiệm cận và .
3. Các bước tìm tọa độ tiếp điểm, biết tiếp tuyến tại điểm đó thỏa mãn điều kiện cho
trước
Bước 1: Gọi M(x0; f(x0)) là tọa độ tiếp điểm
Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến tại là
Bước 2: Từ điều kiện của bài toán suy ra hệ số góc của tiếp tuyến tại là k.
Giải phương trình tìm được tọa độ tiếp điểm.
hoặc viết phương tiếp tuyến tại M(x0; f(x0)) là
Từ điều kiện của bài toán suy ra trực tiếp tọa độ tiếp điểm.
Bước 3: Kết luận.
4. CÁC VÍ DỤ
trang 4
Page 6
Ví dụ 1: Cho hàm số có đồ thị (C) .Tìm tọa độ tiếp điểm của
của đồ thị (C) biết rằng tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm M cắt hai trục Ox, Oy lần
lượt tại A và B sao cho , với O là gốc tọa độ.
Giải: Gọi M(x0; f(x0)) là tọa độ tiếp điểm .
Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến tại là
Cách 1: Vì tiếp tuyến tại cắt trục Ox, Oy tại A và B sao cho
nên hệ số góc của tiếp tuyến tại là hoặc
ta có
Vậy có hai tọa độ tiếp điểm hoặc
Cách 2: Phương trình tiếp tuyến tại M là với
Đường thẳng d cắt trục Ox tại và cắt trục Oy tại
Ta có
Với phương trình tiếp tuyến loại vì A,B phân biệt
Với
Vậy có hai tọa độ tiếp điểm hoặc
trang 5
Page 7
Ví dụ 2: Cho hàm số có đồ thị (C) .Tìm tọa độ tiếp điểm của của đồ thị
(C) biết rằng tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm M cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A và B
sao cho , với O là gốc tọa độ.
Giải: Ta có TXĐ: D=\ , Gọi M(x0; y0) là tọa độ tiếp điểm với .
Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến tại là
Cách 1: Tiếp tuyến tại cắt trục Ox, Oy tại A và B sao cho
Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến tại là hoặc
Nhưng do nên hệ số góc của tiếp tuyến là
ta có phương trình
Vậy có hai tọa độ tiếp điểm hoặc
Cách 2: Phương trình tiếp tuyến tại M là với
Đường thẳng d cắt trục Ox tại và cắt trục Oy tại
Ta có
Với phương trình tiếp tuyến loại vì A,B phân biệt
trang 6
Page 8
Với , nhưng do
nên hệ số góc của tiếp tuyến là
Vậy có hai tọa độ tiếp điểm hoặc
Ví dụ 3: Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C) của hàm số , biết tiếp tuyến
của (C) tại M cắt hai trục Ox, Oy lần lượt tại hai điểm A và B sao cho tam giác
cân tại gốc tọa độ O.
Giải: Ta có TXĐ: D=\ , Gọi (C) nên
Hệ số góc của tiếp tuyến tại M là
Vì tiếp tuyến tại M cắt hai trục Ox, Oy lần lượt tại hai điểm A và B sao cho tam giác
vuông cân tại gốc tọa độ O suy ra nên hệ số góc tiếp tuyến
hoặc , nhưng nên hệ số góc của tiếp tuyến
Ta có phương trình
Với ta có phương trình tiếp tuyến là (loại vì đi qua gốc tọa độ)
Với ta có phương trình tiếp tuyến là thỏa mãn
Vậy là điểm cần tìm.
trang 7
Page 9
Ví dụ 4: Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C) của hàm số , biết tiếp tuyến của
(C) tại M cắt hai trục Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho tam giác OAB có diện tích
bằng .
Giải: TXĐ: D=\ , Gọi (C).
Hệ số góc của tiếp tuyến tại M là
Phương trình tiếp tuyến tại M là
Mà d cắt trục Ox tại và cắt trục Oy tại
Cách 1: Vì tam giác OAB vuông tại O, nên
Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến d là hoặc
nhưng nên hệ số góc của tiếp tuyến
Ta có phương trình
Vậy có hai điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là M (1;1),
Cách 2: Vì tam giác OAB vuông tại O, nên
trang 8
Page 10
Vậy có hai điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là M (1;1); .
Ví dụ 5: Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C) của hàm số , biết tiếp tuyến
của (C) tại M tạo với hai tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất.
Giải: Ta có TXĐ: D=\
Gọi (C), hệ số góc của tiếp tuyến tại M là
Phương trình tiếp tuyến tại M là
Ta có d cắt tiệm cận đứng tại và cắt tiệm cận ngang tại
, giao điểm của hai tiệm cận
và
Chu vi của tam giác IAB là
Để chu vi nhỏ nhất là đạt được khi
Vậy có hai điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là
Ví dụ 6: Cho điểm M bất kỳ thuộc đồ thị (C) của hàm số , biết tiếp tuyến
trang 9
Page 11
của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) tại A và B ,gọi I là giao điểm của hai
đường tiệm cận . Tìm tọa độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB
có diện tích nhỏ nhất.
Giải: : Ta có TXĐ: D=\
Gọi (C), hệ số góc của tiếp tuyến tại M là
Phương trình tiếp tuyến tại M là
Tiếp tuyến d cắt tiệm cận đứng tại và cắt tiệm cận ngang
tại , giao điểm của hai tiệm cận .
Ta có suy ra M là trung điểm AB
Mặt khác vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác có tâm là M và
bán kính IM, nên diện tích đường tròn ngoại tếp tam giác là
Suy ra diện tich đường tròn ngoại tếp tam giác nhỏ nhất là
Đạt được khi
Vậy có hai điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là
Ví dụ 7: Cho hàm số có đồ thị (C). Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp
tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại A và B sao cho AB ngắn nhất.
trang 10
Page 12
Giải: Ta có TXĐ: D=\
Gọi (C), hệ số góc của tiếp tuyến tại M là
Phương trình tiếp tuyến tại M là
Tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng tại và cắt tiệm cận ngang
tại , ta có
Do đó AB ngắn nhất là đạt được khi và chỉ khi
Vậy có hai tọa độ điểm M cần tìm là
Ví dụ 8: Cho hàm số có đồ thị (C). Tìm trên (C) những
điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) tạo với đường thẳng một góc bằng
.
Giải: Gọi (C), với
Hệ số góc của tiếp tuyến tại M là
Phương trình tiếp tuyến tại M là
Góc hợp bởi và đường thẳng d một góc
ta có
trang 11
Page 13
Với
Với vô nghiệm
Vây có hai tọa độ điểm M thảo mãn là ;
Ví dụ 9: Cho hàm số có đồ thị (C). Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp
tuyến tại M của (C) tạo với đường thẳng một góc bằng .
Giải: Ta có TXĐ: D=\ , Gọi (C), với
Hệ số góc của tiếp tuyến tại M là
Phương trình tiếp tuyến tại M là
Góc hợp bởi và đường thẳng d một góc
ta có
Với
Vây có hai tọa độ điểm M thỏa mãn là ;
Ví dụ 10: Cho hàm số có đồ thị (C). Gọi I là giao điểm hai đường tiệm
cận của đồ thị (C).Tìm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với
đường thẳng IM.
(Đề dự bị Đại học, Cao đẳng năm 2003, khối B)
trang 12
Page 14
Giải: TXĐ: D=\ , hệ số góc tiếp tuyến tại M là .
Ta có I(1;2) là giao điểm hai đường tiệm cận của (C).
Gọi (C) nên là vec-tơ pháp tuyến
của đường thẳng IM.
Khi đó tiếp tuyến tại M có dạng
có vec-tơ pháp tuyến
Đường thẳng IM vuông góc với tiếp tuyến
Vậy có hai điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là M1(0;1), M2(2;3) .Ví dụ 11: Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị (C) của hàm số
. Tìm điểm M trên đồ thị (C), có hoành độ dương sao cho tiếp tuyến tại M
với đồ thị (C) cắt hai đường tiệm cận tại A và B thỏa mãn
Giải: Ta có TXĐ: D=\
Gọi (C), , hệ số góc của tiếp tuyến tại M là
Phương trình tiếp tuyến tại M là
Tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng tại , cắt tiệm cận ngang
tại và giao điểm của hai tiệm cận .
Theo giả thiết
trang 13
Page 15
+Với ( loại vì )
+Với
Vậy có điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là. �
trang 14
Page 16
5. BÀI TẬP
5.1Cho hàm số có đồ thị (C) .Tìm tọa độ tiếp điểm của của đồ thị (C) biết
rằng tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm M cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho
, với O là gốc tọa độ.
5.2Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C) của hàm số , biết tiếp tuyến của (C) tại
M cắt hai trục Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng
.
5.3 Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị (C) của hàm số . Tìm
tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai tiệm cận tại A
và B sao cho tam giác IAB có chu vi nhỏ nhất.
5.4 Cho hàm số có đồ thị (C). Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp
tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cân của (C) tại A và B sao cho AB ngắn nhất.
5.5Cho hàm số có đồ thị (C) .Tìm tọa độ tiếp điểm của
của đồ thị (C) biết rằng tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm M cắt trục Ox, Oy lần lượt
tại A và B sao cho , với O là gốc tọa độ.
trang 15
Page 17
PHẦN C . KẾT LUẬN
Qua đề tài “Tìm tọa độ tiếp điểm, biết tiếp tuyến tại điểm đó thỏa mãn điều kiện
cho trước”. Nhằm hệ thống lại một số dạng toán tìm tọa độ tiếp điểm, làm cơ sở để giải
bài toán tiếp tuyến trong chương trình THPT khi biết một số điều kiều kiện nào đó cho
trước như đã nêu trong chuyên đề.
Đây cũng là tài liệu nhằm giúp cho học sinh khối 12 chuẩn bị cho các kỳ thi tốt
nghiệp, đại học cao đẳng sắp đến.
Trong khi viết chuyên đề này, tôi chân thành cám ơn quý thầy cô giáo trong tổ đã
đóng góp nhiều ý kiến giúp đỡ để chuyên đề được hoàn thành. Rất mong quý thầy cô
trong tổ và đồng nghiệp có nhiều ý kiến hơn nữa, để chuyên đề lần sau tôi viết tốt hơn.
Chân thành cám ơn!
Vinh Xuân, ngày 29 tháng 03 năm 2014
Người thực hiện
Đỗ Văn Sơn
trang 16
Page 18
PHẦN ĐÁNH GIÁ VÀ XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG
XÉT SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM CỦA TRƯỜNG THPT VINH XUÂN
(Chủ tịch HĐ xếp loại, ký và đóng dấu)
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
Xếp loại: ……………………………………………………………………
Vinh Xuân, ngày …..tháng ..….năm …..…
CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG
PHẦN ĐÁNH GIÁ VÀ XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG
XÉT SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SỞ GD&ĐT THỪA THIÊN HUẾ
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
trang 17