Tipos de Matriz
Uma matriz recebe certo tipo de nome dependendo da quantidade de
elementos em suas linhas e colunas ou apenas por caractersticas
especficas.
Matriz linhas
Recebe o nome de Matriz linha toda matriz que possui apenas uma
linha. O nmero de colunas independente. Por exemplo:
1 x 3
Matriz coluna
Recebe o nome de Matriz coluna toda matriz que possuir apenas
uma coluna. O nmero de linhas independente. Por exemplo:
5 x1
Matriz nula
Recebe o nome de Matriz nula toda matriz que independentemente
do nmero de linhas e colunas todos os seus elementos so iguais a
zero. Por exemplo:
Podendo ser representada por 03 x 2.
Matriz quadrada
Matriz quadrada toda matriz que o nmero de colunas o mesmo do
nmero de linhas. Por exemplo:
Quando a matriz quadrada nela podemos perceber a presena de uma
diagonal secundria e uma diagonal principal.
Matriz diagonal
Ser uma matriz diagonal, todamatriz quadradaque os elementos
queno pertencemdiagonal principalsejam iguais a zero. Sendo que os
elementos da diagonal principal podem ser iguais a zero ou no. Por
exemplo:
Matriz identidade
Para que uma matriz seja matriz identidade ela tem que ser
quadrada e os elementos que pertencerem diagonal principal devem
ser iguais a 1 e o restante dos elementos iguais a zero. Veja o
exemplo:
Matriz oposta
Dada uma matriz B, a matriz oposta a ela - B. Se tivermos uma
matriz:
A matriz oposta a ela :
Conclumos que, para encontrar a matriz oposta de uma matriz
qualquer basta trocar os sinais dos elementos.
Matrizes iguais ou igualdade de matrizes
Dada uma matriz A e uma matriz B, as duas podero ser iguais se
somente seus elementos correspondentes forem iguais.
As matrizes A e B so iguais, pois seus elementos correspondentes
so iguais.
Multiplicao de MatrizesA multiplicao de matrizes realizada de
acordo com a seguinte condio: o nmero de colunas da 1 matriz deve
ser igual ao nmero de linhas da 2 matriz. Observe alguns modelos de
matrizes que podem ser multiplicadas, considerando o formato m x
n.
A4x3* B3x1
A4x2* B2x3
A1x2* B2x2
A3x4* B4x3
Nesse modelo de multiplicao, os mtodos so mais complexos. Dessa
forma, precisamos ter muita ateno na resoluo de uma multiplicao de
matrizes. Vamos atravs de exemplos, demonstrar como efetuar tais
clculos.A operao dever ser feita multiplicando os membros da linha
da 1 matriz pelos membros da coluna da 2 matriz, onde os elementos
devem ser somados, constituindo um nico item posicional da
matriz.Observe um modelo padro de multiplicao:
Exemplo 1
Realizamos uma multiplicao entre uma matriz A de ordem 2 x 3 por
uma matriz B de ordem 3 x 2. Observe que a condio o nmero de
colunas da 1 matriz deve ser igual ao nmero de linhas da 2 matriz,
foi vlida, pois 3 = 3. O interessante que a matriz, produto da
multiplicao, de ordem 2 x 2, isto , 2 linhas e 2 colunas, possuindo
o mesmo nmero de linhas da 1 e o mesmo nmero de colunas da 2.
Portanto, todas essas condies so observadas na multiplicao entre
matrizes. Caso alguma dessas condies no seja vlida, a operao da
multiplicao estar efetuada de forma incorreta. Sempre que realizar
multiplicao entre matrizes, faa de forma atenciosa, desenvolvendo
completamente o processo, procurando no utilizar meios diretos para
obter o resultado.
Exemplo 2
Operaes com Matrizes
A operao com qualquer matriz sempre resultar em outra matriz,
independentemente da operao utilizada.
Antes de falarmos da adio e da subtrao de matrizes, iremos
relembrar do que uma matriz formada: toda matriz tem seus elementos
que so dispostos em linhas e colunas.
A quantidade de linhas e colunas deve ser maior ou igual a 1.
Cada elemento vem representado com a linha e a coluna que pertence.
Exemplo: Dada uma matriz B de ordem 2 x 3 o elemento que se
encontra na 1 linha e 2 coluna ser representado por b12.
Adio
As matrizes envolvidas na adio devem ser da mesma ordem. E o
resultado dessa soma ser tambm outra matriz com a mesma ordem.
Assim podemos concluir que:
Se somarmos a matriz A com a matriz B de mesma ordem, A + B = C,
teremos como resultado outra matriz C de mesma ordem e para formar
os elementos de C somaremos os elementos correspondentes de A e B,
assim:a11+ b11= c11.
Exemplos:Dada a matriz A=3 x 3 e matriz B=3 x 3, se somarmos a A
+ B, teremos:
+=3 x 3
Observe os elementos em destaques:
a13= - 1 e b13= - 5 ao somarmos esses elementos chegaremos a um
terceiro que oc13= -6. Pois-1 + (-5)= -1 5 =- 6
O mesmo ocorre com os outros elementos, para chegarmos ao
elemento c32, tivemos que somar a32+ b32. Pois, 3 + (-5) = 3 5 = -
2
Assim: A + B = C, onde C tem a mesma ordem de A e B.
Subtrao
As duas matrizes envolvidas na subtrao devem ser da mesma ordem.
E a diferena delas dever dar como resposta outra matriz, mas de
mesma ordem.
Assim temos:Se subtrairmos a matriz A da matriz B de mesma
ordem, A B = C, obteremos outra matriz C de mesma ordem. E para
formarmos os elementos de C, subtrairemos os elementos de A com os
elementos correspondentes de B, assim:a21 b21= c21.
Exemplos:
Dada a matriz A =3 x 3 e B =3 x 3, se subtrairmos A B,
teremos:
-=3 x 3
Observe os elementos destacados:
Quando subtramos a13 b13= c13,-1 (-5)= -1 + 5 =4
Quando subtramos a31 b31= c31,- 4 (-1)= -4 + 1 =-3
Assim A B = C, onde C uma matriz de mesma ordem de A e B.
Matriz transpostaDada umamatrizA do tipo m x n,
chama-setranspostade A e indica-se porAta matriz que se obtm
trocando-se ordenadamente as linhas pelas colunas de A. A operao de
obteno de uma matriz transposta de A denominada transposio da
matriz. Observe o exemplo:
Note que A do tipo 3 x 2 eAt do tipo 2 x 3 e que, a matriz
transposta , a primeira linha corresponde primeira coluna da matriz
original e a segunda linha segunda coluna, tambm da matriz
original.Igualdade de matrizesDuas matrizes, A e B, sero iguais se
forem do mesmo tipo e se os elementos correspondentes forem iguais.
Assim, se A=(aij) e B=(bij) so matrizes do tipo m x n, ento:
Exemplo: determine x e y para que as matrizes A e B sejam
iguais
Soluo:
Adio de matrizesDadas duas matrizesde mesmo tipo, A e B,
denomina-se matrizsoma(A+B) a matriz obtida adicionando-se os
elementos correspondentes de A e B.
Exemplo: Dada as matrizes A e B determine A+B.
Soluo:
Propriedades da adioSendo A, B, C e O(matriz nula) matrizes de
mesmo tipo e p, q R, valem as propriedades:- Comutativa: A+B = B+A-
Associativa: A+(B+C) = (A+B)+C- Elemento neuto: A+O = O+A = AMatriz
opostaChama-se matriz oposta de A a matriz A, cuja soma com A
resulta na matriz nula. Exemplo:Dada a matriz:
A oposta de A ser
pois:
Subtrao de matrizesDadas duas matrizesde mesmo tipo, A e B,
denomina-se matriz diferena (A-B) a matriz obtida subtraindo-se os
elementos correspondentes de A e B.
Propriedades Determinante de uma MatrizAs propriedades
envolvendo determinantes facilitam o clculo de seu valor em
matrizes que se enquadram nessas condies. Observe as
propriedades:
1 propriedade
Ao observar uma matriz e verificar que os elementos de uma linha
ou uma coluna so iguais a zero, o valor do seu determinante tambm
ser zero.
2 propriedade
Caso ocorra igualdade de elementos entre duas linhas ou duas
colunas, o determinante dessa matriz ser nulo.
3 propriedade
Verificadas em uma matriz duas linhas ou duas colunas com
elementos de valores proporcionais, o determinante ter valor igual
zero. Observe a propriedade entre a 1 e a 2 linha.
4 propriedade
Ao multiplicarmos todos os elementos de uma linha ou coluna de
uma matriz por um nmero K, o seu determinante fica multiplicado por
K.
Os elementos da 1 linha de P foram multiplicados por 2, ento:
det P = 2 * det P
5 propriedade
Caso uma matriz quadrada A seja multiplicada por um nmero real
k, seu determinante passa a ser multiplicado por kn.
det (k*A) = kn* det A
6 propriedade
O valor do determinante de uma matriz R igual ao determinante da
matriz da transposta de R, det R = det (Rt).
det R = ps-- qr
det Rt = ps rq
7 propriedade
Ao trocarmos duas linhas ou duas colunas de posio de uma matriz,
o valor do seu determinante passa a ser oposto ao determinante da
anterior.
8 propriedade
O determinante de uma matriz triangular igual multiplicao dos
elementos da diagonal principal.Lembre-se que em uma matriz
triangular, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal so
iguais a zero.
9 propriedade
Considerando duas matrizes quadradas de ordem iguais e AB matriz
produto, temos que: det (AB) = (det A) * (det B), conforme teorema
de Binet.
10 propriedade
Ao multiplicarmos todos os elementos de uma linha ou de uma
coluna pelo mesmo nmero e adicionarmos os resultados aos elementos
correspondentes de outra linha ou coluna, formamos a matriz B, onde
ocorre a seguinte igualdade: det A = det B. Esse teorema atribudo a
Jacobi.