Matrices diapositivas

MATEMÁTICAS Cuarto Año Común

• Unidad 4• Clase 4.3

• Matrices: Definiciones, tipos de matrices

especiales y operaciones con

matrices

Msc. Isabel Ma. Badillo [email protected]

GANCHOS

ISABEL BADILLOINSTRUCTORA DE BRAIN GYM



MATRICESLas matrices son de suma importancia en las ciencias, como la ingeniería, la economía y otras ciencias aplicadas.Son útiles para representar datos en forma ordenada, para modelar problemas y resolver sistemas de ecuaciones, para indicar las interrelaciones que existen en los diferentes sectores de la economía (Matriz Insumo – Producto), entre otras.

20-Mar-06 21-Mar-06 22-Mar-06 23-Mar-06 24-Mar-0609:00 553.1 554.1 551.1 551.7 554.210:00 551.4 548.2 550.1 549.8 556.411:00 554.2 549.7 550.3 547.9 560.212:00 555.0 550.3 550.7 547.6 559.7

Cotización del Oro(Londres, US$/oz.)

Sector de origen 1.- Agricultores2.- Molinos y productores de insumos para agricultura 3.- Panaderías

1.- Agricultores 10 100 02.- Molinos y productores de insumos para agricultura 20 0 1503.- Panaderías 0 0 0

Sector de destino

Matriz Insumo - ProductoTabla de transacciones intersectoriales

Matriz

aij es el elemento situado en la i-ésima fila y en la j-ésima columna. La matriz tiene m filas y n columnas.

mnmmm

n

n

n

aaaa

aaaaaaaaaaaa

A

321

3333231

2232221

1131211

521042505813

x

B

Igualdad de matrices

Dos matrices A y B del mismo orden son iguales si todos sus elementos correspondientes son iguales.

ijijmxnmxn baBA

Matrices especiales: Matriz fila y matriz columna

naaaA 11211

1

21

11

mb

bb

B

B es una matriz columna. A es una matriz

fila.

Matrices especiales: Matriz diagonal

n

A

000

000000000

3

2

1Es la matriz cuadrada Anxn = [aij] definida por:

aij =i si i = j

0 si i ≠ j

Matrices especiales: Matriz identidad

Es un caso particular de la matriz diagonal, en la cual los elementos de la diagonal principal son todos iguales a 1.

1000

010000100001

nI

Matrices especiales: Matriz cuadrada

Matrices especiales: Matriz rectangular

𝐴=[−2 13

5

35

−10 7

√8 −1 9]

𝐵=[√10 −18 310

3 −45 5,6 ]

Tiene igual número de filas y de columnas.

i=j

Tiene diferentes número de filas y de columnas.

i ≠ j

Matrices especiales: Matriz TriangularMatriz triangular inferior: es una matriz cuadrada cuyos elementos situados por encima de la diagonal principal son todos iguales a cero.

Matriz triangular superior: es una matriz cuadrada cuyos elementos situados por debajo de la diagonal principal son todos iguales a cero.

E

𝑀=[ 28

1254 √6

0 18 110 0 −7]

Matriz transpuesta

Dada una matriz Amxn = [aij], llamaremos matriz transpuesta de A a la matriz que resulta de intercambiar en A las filas por columnas. Esta matriz estará denotada por At

nxm = [aji].

113512

A

131

152tA

Propiedades:

ttt

ttt

tt

tt

ABBA

BABA

RkkAkA

AA

.. )4

)3

, )2

)1

Matrices especiales: Matriz simétrica y antisimétrica

Una matriz cuadrada A se llama simétrica si At = A y antisimétrica si At = -A.

965641512

A

06236074

27013410

B

A es una matriz simétrica, pues At = A. B es una matriz antisimétrica, pues Bt = -B.

Aplicaciones:Ejercicio La compañía Widget tiene sus reportes de ventas mensuales dados por medio de matrices cuyos renglones (filas), en orden, representan el número de modelos regular, de lujo y extra lujo vendidos, mientras que las columnas dan el número de unidades rojas, blancas, azules y púrpuras vendidas. Las matrices de enero (E) y febrero (F) son:

E=0972

5310

2162F=

6204

2332

4820

a) En enero, ¿cuántas unidades de los modelos de extra lujo blancos se vendieron?b) En febrero, ¿cuántos modelos de lujo azules se vendieron?c) ¿En qué mes se vendieron más modelos regulares púrpuras?d) ¿De qué modelo y color se vendió el mismo número de unidades en ambos meses?

Adición y sustracción de matricesDadas las matrices Amxn = [aij] y Bmxn = [bij] del mismo orden, la suma (A+B) o diferencia (A-B) es una matriz cuyos elementos son las sumas o diferencias de cada uno de los elementos respectivos de las matrices.

A + B = [aij + bij] ; A – B = [aij – bij]

Multiplicación de un escalar por una matrizEl producto de un escalar k por una matriz es otra matriz kA que se obtiene multiplicando cada elemento de A por k.

2820

12168: 4 si

25342

21

kAtienesekA

MULTIPLICACIÓN DE MATRICES

Se multiplica filas x columnas N =

Mx N =

Ejercicios:

Dadas las matrices:

07

-10

21A= B=

-14

31C=

21

01

201-121D=

Ejercicio Calcule: 3AT + D (B – C)T

(D – 2AT)T

A X D D X A

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