Matric At

Ushtrime nga Matematika

www.valmirnurewdini.tk

Matricat

A =

a11 a12 a13 …a1n

a21 a22 a23…a2n

am1 am2 am3 …amn

a23

Tregon rreshtin

Tregon kolonën

A

B

X

…

K

J

I

HGFE

DC

YZ

Rreshtat e matricës

Kolonat e matricës

Matrica është një bashkësi e elementeve të renditura në rreshta dhe

shtylla (kolona)

www.valmirnurewdini.tk

Mbledhja e dy matricave

A=2 -1

3 4B=

-3 -2

3 0

2 -1

3 4

-3 -2

3 0A + B= =

=-1 -3

6 4

+

2+(-3) -1+(-2)

3+3 4+0

Kujdes! –Mund ti mbledhim vetëm

matricat e rendit të njëjtë!

I mbledhim numrat me ngjyrë të njejtë!

www.valmirnurewdini.tk

Zbritja e dy matricave

A=2 -1

3 4B=

-3 -2

3 0

A - B=2 -1

3 4-

-3 -2

3 0=

2-(-3) -1-(-2)

3-3 4-0=

5 1

0 4=

Kujdes! –Mund ti zbresim vetëm

matricat e rendit të njëjtë!

I zbresim numrat me ngjyrë të njëjtë

www.valmirnurewdini.tk

Trego se cilat shumëzime janë të mundshme

1 3 4

1 5 6*

1 -4 12

2 7 4

3 0 -5

=A mund të shumëzohen këto dy matrica? Le ti

analizojmë!

Nëse elementet e një rreshti nga matrica e parë

janë të barabarta me me numrin e elementeve të një kolone nga matrica e dytë!

Numrojmë sa elemente i ka marica e parë në

rresht.

Numrojmë sa elemente i ka matrica

e dytë ne kolonë.

Mund ti shumëzojmë ato dy

matrica!

www.valmirnurewdini.tk

Trego se cilat shumëzime janë të mundshme

1 3 4

1 5 6*

1 -4 12

2 7 4=

A mund të shumëzohen këto dy matrica? Le ti

analizojmë!

Nëse numri i elementeve të një rreshti nga matrica e

parë janë të ndryshëm me me numrin e elementeve të një kolone nga matrica e dytë!

Numrojmë sa elemente i ka marica e parë në

rresht.

Numrojmë sa elemente i ka matrica

e dytë ne kolonë.

S’mund ti shumëzojmë ato dy

matrica!

www.valmirnurewdini.tk

Shumëzimi i dy matricave

A=2 -1

3 4B=

-3 -2

3 0

A * B=2 -1

3 4*

-3 -2

3 0

=2*(-3) + (-1)*3 2*(-2) + (-1)*0

3*(-3) + 4*3 3*(-2) + 4*0=

=- 6- 3 - 4- 0

- 9+12 - 6+0=

-9 -4

3 -6

I shumëzojmë numrat me ngjyrë të njëjtë

www.valmirnurewdini.tk

Shumëzimi i matricës me një

skalar

A=2 -1

3 4Si skalar le të jetë numri 5

5*A=2 -1

3 4=5* =

10 -5

15 20

5*(-1)5*2

5*3 5*4A* 5=

Është njësoj!

D.m.th., numri 5 i shumzëzon të gjithë anëtarët e matricës!

www.valmirnurewdini.tk

Plotësimi i matricës me anëtarë

A=

a21=a12=

a13=

a11=

a22=

a23=

a31= a32=

a33=

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

A=

6 3 0

1 8 -2

-1 10 2

Nga ne kërkohet që ti plotësojmë me numra hapësirat e zbrazta, të

ngjyrosura me të verdhë!

Forma e përgjithshme e matricës së rendit të tretë!

Shembull:

www.valmirnurewdini.tk

Njehsoni katrorin e matricës

A=

-2 3 0

1 4 2

5 0 -1

2

=

-2 3 0

1 4 2

5 0 -1

-2 3 0

1 4 2

5 0 -1

* =

= =-2*(-2)+3*1+0*5 -2*3+3*4+0*0 -2*0+3*2+0*(-1)

1*(-2)+4*1+2*5 1*3+4*4+2*0 1*0+4*2+2*(-1)

5*(-2)+0*1+(-1)*5 5*3+0*4+(-1)*0 5*0+0*2+(-1)*(-1)

=

7 6 6

12 19 6

-15 15 1

2

www.valmirnurewdini.tk

Gjeni të panjohurat!

Duke u nisur nga kushti që dy matricat e mëposhtme të jenë të barabarta, të gjenden të panjohurat x dhe a.

x -2

-1 2a=

3 -2

-1 2

Për të qenë matricat e barabarta duhet që numrat me ngjyra të

njëjta të jenë të barabartë

x=3

2a=2 a=2/2 a=1

2=2-1=-1

www.valmirnurewdini.tk

Definimi i përcaktorëve

2 -1 3

5 6 11A=

Matrica s’është katrore. S’ka përcaktor.

2 -1 3

5 6 11

-3 7 1

A=

Matrica është katrore. Mund t’ia gjejmë përcaktorin.

|A| =

2 -1 3

5 6 11

-3 7 1

=

Dmth. Ekziston një numër që e përcakton tërë matricën katrore.

|A| Ose detA

Janë dy mënyrat e shënimit të përcaktorit/determinantës

2X3

3X3

www.valmirnurewdini.tk

Përcaktorët e rendit të dytë

|A|=- 2 1

0 - 3

+

-

= -2*(-3) - 0*1 = 6- 0 = 6

Ky është numri që e përcakton apo determinon matricën katrore

|B|=x a

2 - 3

+

-

= x*(-3) - 2*a = -3x- 2a

www.valmirnurewdini.tk

Përcaktorët e rendit të tretë

|A|= =

Duke zbatuar metodën e plotësve algjerbrik dhe sipas reshtit të dytë të zgjidhet përcaktori (link formula)

- 2*0 -1

5 2

a21

Meqë 2+1=3 dmth numër tek atëherë para 2 e kemi

– (minus)

+(-1)*1 -1

7 2+0*

1 0

7 5=

=

a22 a23

-2*(0+5) -1*(2-7) +0 = -10+5=-5

1 0 -1

2 -1 0

7 5 2

www.valmirnurewdini.tk

Metoda e Sarusit dhe e trekëndëshit

A=2 3 0

3 -1 7

0 1 4

2 3

3 -1

0 1

=

+

-

www.valmirnurewdini.tk

Ekuacionet matricoreTë zgjidhet ekuacioni matricor, dmth të gjendet matrica X: 2X+5E = 3A

A=3 2 0

0 1 -2

1 4 -1

E=

1 0 0

0 1 0

0 0 1

2X = 3A - 5E =

3*

3 2 0

0 1 -2

2 4 -1

- 5*1 0 0

0 1 0

0 0 1

=

9 4 0

0 3 -6

6 12 -3

-5 0 0

0 5 0

0 0 5

=

4 4 0

0 -2 -6

6 12 -8

=

I zbresim numrat me ngjyrë të njëjtë nga të

dy matricat.

2X =

4 4 0

0 -2 -6

6 12 -8

Duhet ta gjejmë veç matricën X sa është.

X =

4 4 0

0 -2 -6

6 12 -8

=4/2 4/2 0/2

0/2 -2/2 -6/2

6/2 12/2 -8/2

=2 2 0

0 -1 -3

3 6 -4

1

2

www.valmirnurewdini.tk

Të zgjidhet ekuacioni matricor

x² -2 21 -1 14 2 1

= 2

x² -2 21 -1 14 2 1

=

x² -2

1 -1

4 2

2

Përcaktorin e zgjedhim duke përdorur metodën e Sarusit ( duke i

shtuar dy kolonat e para

- x² - 8 + 4 + 8- 2x²+ 2 = 2

-3x²+ 6 = 2-3x² = 2 - 6 - 3x² = - 3

x² = 1x = ±√ 1x = ± 1

Katrori kur të del në anën tjetër të barazimit bëhet rrënjë katrore!

www.valmirnurewdini.tk

Valmir Nuredini

www.valmirnuredini.tk Email address per kontakt:

[email protected]

www.valmirnurewdini.tk