SEMESTRE 5 Semestre 5 (UE) nb d'heures CM TD TP Connaissance scientifique 65 65 Méthode Mathématiques de l'Ingénieur 4 60 30 30 Analyse Numérique I 4 70 35 35 Méthodes et techniques 106 73 51 Algorithmie+Unix+Outil du Calcul Scientifique (Fortran90, verification/validation de code)+git 4 70 35 14 21 optimisation continue 4 60 25 25 10 Probabilité+ Chaine de Markov+ simulaton aleatoire 6 100 46 34 20 METHODES MATHEMATIQUES DE L'INGENIEUR (30HCM, 30HTD, 4 ECTS) Objectifs pédagogiques : Fonction de variable complexe, transformées de Fourier, méthode de séparation des variables, et transformée de Laplace (10 HCM, 10HTD) Elément de calcul vectoriel (Théorème de Green, Ostrogradski) (5HCM, 5HTD) Théorie de l'intégration (mesure de Lebesgue, espace LP, distribution et propriéte de base , espace de Sobolev ) (15HCM -15HTD) ANALYSE NUMERIQUE I (35HCM, 35HTD, 4 ECTS) Objectifs pédagogiques : Acquérir les méthodes de base de résolution numériques de problèmes linéaires et non linéaires (avec des discrétisations de type différences finies). Contenu : 1. Discrétisation différences finies : Principes de bases (formule de Taylor), exemple 1D et 2D (explication sur la numérotation 2D->1D, utilisation maple), Extrapolation de Richardson 2. Méthodes directes: Factorisation LDU (Condition d'existence et unicité de la décomposition, conditionnement de la matrice, influence du conditionnement sur l'erreur, technique de pivotage, calcul du determinant), Conservation du profil (application au traitement des conditions aux limites périodique), Complément de Schur et ses propriétés 3. Interpolation et Intégration numérique : Polynôme de Lagrange, formule de quadrature (Newton Côtes, méthodes de Romberg), phénomène de Gibbs, polynôme orthogonaux, Interpolation d'Hermite (Formule des difference divisées, expression de l'erreur avec les différences divisées), Interpolation par fonctions rationnelles (approximant de Padé)
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SEMESTRE 5
Semestre 5 (UE) nb
d'heures CM TD TP
Connaissance scientifique 65 65
Méthode Mathématiques de l'Ingénieur
4 60 30 30
Analyse Numérique I 4 70 35 35
Méthodes et techniques 106 73 51
Algorithmie+Unix+Outil du Calcul Scientifique (Fortran90, verification/validation de code)+git
4 70 35 14 21
optimisation continue 4 60 25 25 10
Probabilité+ Chaine de Markov+ simulaton aleatoire
6 100 46 34 20
METHODES MATHEMATIQUES DE L'INGENIEUR (30HCM, 30HTD, 4 ECTS)
Objectifs pédagogiques :
Fonction de variable complexe, transformées de Fourier, méthode de séparation des
variables, et transformée de Laplace (10 HCM, 10HTD)
Elément de calcul vectoriel (Théorème de Green, Ostrogradski) (5HCM, 5HTD)
Théorie de l'intégration (mesure de Lebesgue, espace LP, distribution et propriéte de base
, espace de Sobolev ) (15HCM -15HTD)
ANALYSE NUMERIQUE I
(35HCM, 35HTD, 4 ECTS)
Objectifs pédagogiques : Acquérir les méthodes de base de résolution numériques de
problèmes linéaires et non linéaires (avec des discrétisations de type différences finies).
Contenu :
1. Discrétisation différences finies : Principes de bases (formule de Taylor), exemple 1D et
2D (explication sur la numérotation 2D->1D, utilisation maple), Extrapolation de
Richardson
2. Méthodes directes: Factorisation LDU (Condition d'existence et unicité de la
décomposition, conditionnement de la matrice, influence du conditionnement sur l'erreur,
technique de pivotage, calcul du determinant), Conservation du profil (application au
traitement des conditions aux limites périodique), Complément de Schur et ses propriétés
3. Interpolation et Intégration numérique : Polynôme de Lagrange, formule de quadrature
(Newton Côtes, méthodes de Romberg), phénomène de Gibbs, polynôme orthogonaux,
Interpolation d'Hermite (Formule des difference divisées, expression de l'erreur avec les
différences divisées), Interpolation par fonctions rationnelles (approximant de Padé)
4. Méthodes de Newton/point fixe: Principes de bases (méthode du point fixe, de Newton),
Théoreme d'invariances affine, méthodes de quasi-Newton
5. Méthodes itératives de bases: Méthode de spliting: (Jacobi, Gauss-Seildel, SOR),
Théorèmes généraux de convergence (basé sur le rayon spectral, SOR optimal), Méthodes
de Krylov: (principes, GC, GMRES), Théorèmes de convergence (basé sur la répartition
des valeurs propres)
6. Méthodes de résolution des EDOs: Théories des méthodes à un pas (consistance, stabilité,
convergence, effet des erreurs d'arrondis, lemme de Grownwall, Méthodes d'euler
implicite, explicite, point milieu, méthodes a pas adaptatif, problème raide), Introduction
aux schémas multipas (BDF)
Bibliographie: J.Stoer & R. Bulirsh: Introduction to numerical analysis, Springer text in applied Math. 15
G.H. Golub & C.F. Van Loan: Matrix computation, J. Hopkins University press
E. Hairer & G. Wanner : Solving Differential Equations I, Springer series in Comput. Math 14
Y. Saad : Iterative methods for sparse linear systems, SIAM
OUTILS DU CALCUL SCIENTIFIQUE (35HCM, 14HTD, 21HTP, 4 ECTS)
Objectifs pédagogiques : Maîtrise de l'algorithmique de base, des commande unix, des systèmes de version de code, la
programmation impérative, des techniques de Vérification de code , des techniques de
validation de code.
Pré-requis : Cours d’Analyse Numérique I
Programme :
1. Structures algorithmiques: Identifiants, expressions arithmétiques et booléennes,
déclarations et leur syntaxe, sémantique des déclarations, constructions algorithmiques
classiques. (6HCM+6HTD)
2. Unix: aide en ligne, système de fichiers, variable d'environnement, commandes pour la
manipulation des fichiers, création de makefile, création de shell scripts. (3HCM/3HTP)
3. Gestionnaire de version de code: introduction a GIT. Créer un dépot, commiter les
sources. récupérer les sources d'un dépôt; créer des branches de développements, revenir
sur une version précédente. (2HCM/2HTP)
4. Arithmétiques finies des ordinateurs et ses conséquences: conditionnement d'un calcul,
analyse rétrograde ou a posteriori. (2HCM/2HTD)
5. Programmation impérative: Fortran90, Tableaux, structures complexes de données,
procédures et fonctions, récursivité, allocation dynamique, module. Mise en oeuvre de
méthodes d'analyse numérique I (stockage CSR, méthodes itératives et Krylov).
introduction aux bibliothèques scientifiques BLAS et LAPACK. (16HCM/16HTP)
6. Vérification de code: certification de qualité logiciel (analyse statique, dynamique, notion
de tests unitaires, consistance et convergence, ordre de précision formel, ordre de
précision observée, Méthodes des solutions manufacturées (4HCM/4HTD)
7. Validation de code: guide des bonnes pratiques, exemple de la cavité entrainée
(2HCM/2HTD)
Logiciels d’appuis : Fortran90, BLAS, LAPACK, Maple
Bibliographie: R. Séroul: Programming for Mathematicians, springer 1995
M. Metcalf, J.Reid, M.Cohen: Fortran 95/2003 explained, Oxford University press, 2007
P. Roache: Verification and Validation in Computational Science and Engineering, Hermosa
publishers, 1998
OPTIMISATION CONTINUE
(25h CM, 25h TD, 10h TP ; 4 ECTS)
Objectifs pédagogiques : Reconnaître un problème d'optimisation ; résoudre le problème d'existence de solution(s) de
ce problème, et donner une valeur approchée de la (ou les) solution(s) au moyen de méthodes
numériques adaptées.
Programme : Optimisation sans contrainte, avec contraintes égalité et inégalité. Conditions d"extremum.
Méthode de Newton et de Quasi-Newton pour la résolution de F(X)=0 ; application à
l'optimisation. Multiplicateurs de Lagrange, point-selle, dualité.
Logiciel d'appuis : Matlab.
PROBABILITE ET SIMULATION ALEATOIRE (50h CM,24h TD,16h TP, 6 ECTS)
STATISTIQUE DESCRIPTIVE AVEC R - 4h CM , 6h TP
Objectifs pédagogiques
A l’issue de ce cours, les élèves devront être capables d’analyser une variable statistique à
l’aide de différents indicateurs classiques, ainsi que la liaison entre deux variables. Il
Biliographie: P.G. Ciarlet: The finite element method for elliptic problems. North-Holland 1978.
A. Quarteroni et A. Valli : Numerical Approximation of partial differential equations, Springer-Verlag, Berlin, 1994.
O. Pironneau: Méthode des éléments finis pour les fluides. Collection Mathématiques appliquées Masson, 1988. O.C.
Zienkiewicz: The finite element method in engineering sciences, Mac Graw Hill, 1971.
B. Lucquin et O. Pironneau: Introduction au calcul scientifique. Collection Mathématiques appliquées Masson, 1995.
ANALYSE NUMERIQUE II (25h CM, 20hTD, 15h TP, 10h HP4 ECTS ) Objectifs pédagogiques: Maîtrise des méthodes de résolution des grands systèmes linéaires déduits de la
discrétisation d'équations aux dérivées partielles et des méthodes de calcul de valeurs propres de matrices de
grande dimension. Connaissance de base des méthodes de décompositions de domaine.
Pré-requis : Cours Analyse Numérique I et outils du calcul scientifique
Programme :
Méthodes pour le calcul des valeurs propres: méthode de la puissance principes de réduction de matrice a
une forme plus simple, (Hessenberg, rotation de givens, méthodes de Householder, hermitienne en
Techniques d'accélération de méthodes de Krylov: Preconditionnement ILU, préconditionnement multigrille
géométrique et algébrique, Méthodes de déflations
Méthodes de décomposition de domaine: Méthodes de complément de Schur primal , dual (Feti), Méthodes
de décomposition de domaine de type Schwarz Accélération de la convergences (ORAS, Aiken-
Schwarz),DDM comme préconditionneur de méthodes de Krylov (BPS, RAS,...)
Méthodes pour la résolution de problèmes d'EDO/EDA raides: Méthodes de tir, Méthodes de Runge Kutta,
Schémas d'intégration symétriques , schémas symplectiques pour les systèmes hamiltoniens,Notions d'index
d'une EDA , techniques de résolutions.
Bibliographie:
J.Stoer & R. Bulirsh: Introduction to numerical analysis, Springer text in applied Math. 15
G.H. Golub & C.F. Van Loan: Matrix computation, J. Hopkins University press
E. Hairer & G. Wanner : Solving Differential Equations II, Springer series in Comput. Math 14
Y. Saad : Iterative methods for sparse linear systems, SIAM
PROBLEMES INSTATIONNAIRES (35hCM, 25hTD, 15hTP , 5 Ects) Objectifs : Acquérir les techniques de calcul, de consistance, stabilité (dispersion diffusion), et de conservation
d'un schéma obtenu par une approche théorique basée sur les opérateurs différentiels. Les méthodes de
discrétisations vues dans ce cours seront principalement les différences finies et les volumes finis.
Pré-requis : Cours de MMI I, cours de méthodes numériques de base
Contenu :
a) Schémas numériques pour les EDPs d’évolution du premier et du second ordre en temps. Equations : de la
chaleur, d'advection-diffusion, de Burger, des ondes, de réaction-diffusion. Schémas aux différences finies :
analyse de la stabilité (méthode de von Neumann, Fourier, méthode de l'énergie), analyse de la dispersion et de
la diffusion. Erreur et ordre de consistance de schémas aux différences finies. Condition CFL. Schémas
décentrés.
b) Lois de conservation, applications, difficultés, exemples : équations d'advection, de Burgers, du trafic routier.
Systèmes de lois de conservation : équations des ondes, d'Euler, de Navier-Stokes, de Saint-Venant. Solution
classique et méthode des caractéristiques :cas linéaire et non linéaire. Limites de la méthode des caractéristiques
et nécessité d’introduire les notions plus générales de solutions faibles et entropiques. Etude d'une loi de
conservation : formes différentielles et intégrales, solutions faibles, les relations de Rankine-Hugoniot, notion
d'entropie, choc entropique, ondes de détente. Le problème de Riemann.
Résolution du problème de Riemann pour des lois de conservations non linéaires
Notion de schéma conservatif. Méthodes conservatives pour les problèmes non linéaires : méthodes
conservatives, consistance, conservation discrète, le théorème de Lax-Wendroff, la condition d'entropie. Le
schéma de Godunov. Stabilité non linéaire : méthodes TVD et monotones.
c) Méthodes de volumes finis décentrées.
Les solveurs de Riemann approchés : théorie générale. Les solveurs de Riemann HLL et HLLC, Rusanov, Roe,
Osher, WAF. Introduction de ces méthodes par une approche PVM récente, plus globale et peu coûteuse.
Méthodes d'ordre élevé et schémas TVD : méthodes de reconstruction, approche MUSCL, problème de Riemann
généralisé, schémas monotones et précision, limiteurs de flux et limiteurs de pente. Extension des méthodes
TVD. Le problème des termes source, les schémas well balanced.
Bibliographie :
* Grégoire Allaire, Analyse numérique et optimisation, Les Editions de l'Ecole Polytechnique, 2006
* Randall J. LeVeque, Numerical methods for conservation laws, Birkhäuser, 1992
* E. Godlewski, P.A. Raviart, Numerical approximation of hyperbolic systems of conservation laws, Applied
Mathematical Sciences, 118, Springer, 1996
SERIE TEMPORELLES ET MODELE DE DUREE
( 30hCM, 20hTD, 10hTPn 10hHP, 4Ects)
SERIES TEMPORELLES - 20h CM, 14h TD 6h TP
Objectifs pédagogiques
Ce cours a pour but de présenter les méthodes de traitement statistique liées aux séries
temporelles : lissage, désaisonnalisation et prévision. A l’issue de ce cours, les élèves doivent
être capables d’analyser une série temporelle à l’aide de sorties de logiciels. Ils seront
sensibilisés aux applications des série temporelles dans l’industrie, l’économie,...
Pré-requis: Cours de modélisation aléatoire des semestres S5 et S6, cours de modèles de régression.
Contenu
Analyse descriptive de séries temporelles (décomposition saisonnière, lissage exponentiel) ;
Modélisation aléatoire d’une série temporelle : processus de second ordre, stationnarité,
fonction d’autocovariance, fonction d’autocorrélation, fonction d’autocorrélation partielle,
densité spectrale ;
Les processus univariés :MA, AR, ARMA, ARIMA, SARIMA ;
Pratique des modèles SARIMA(Méthodologie de Box-Jenkins) : identification, estimation,