Mathematik 2 für Ingenieure Vektoranalysis Teil 2eitidaten.fh-pforzheim.de/daten/mitarbeiter/hoeptner/Mathe2_VA2_V_HOE.pdf · Skriptum zur Vorlesung Mathematik 2 für Ingenieure

Skriptum zur Vorlesung

Mathematik 2

für Ingenieure

Vektoranalysis

Teil 2

Prof. Dr.-Ing. Norbert Höptner

(nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsten Benkner)

Fachhochschule Pforzheim

FB2-Ingenieurwissenschaften, Elektrotechnik/Informationstechnik

Vorlesungsskript "Mathematik 2: Vektoranalysis“, Teil 2

Prof. Dr.-Ing. Norbert Höptner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsten Benkner) 2

Inhalt

3. Vektoranalysis

3.1 Einführung

3.1.1 Vektoren

3.1.2 Felder

3.1.3 Multiplikation von Vektoren

3.2 Differentiation und Integration von Vektoren

3.2.1 Differentiation

3.2.2 Integration

3.3 Raumkurven

3.3.1 Parameterform von Raumkurven

3.3.2 Differentialgeometrie

3.4 Ebenen in R3

3.5 Divergenz, Rotation, Gradient

3.5.1 Nabla-Operator 3.5.2 Gradient 3.5.3 Divergenz 3.5.4 Rotation 3.5.5 Potential 3.5.6 Laplace-Operator 3.5.7 Rechenregeln

3.6 Integrale mit Vektoren

3.6.1 Kurven-, Weg- bzw. Linienintegrale 3.6.1.1 Wegintegral über Skalarfeld 3.6.1.2 Wegintegral über Vektorfeld 3.6.2 Oberflächenintegrale 3.6.2.1 Oberflächenintegral über Skalarfeld 3.6.2.2 Oberflächenintegral über Vektorfeld 3.6.3 Integralsätze der Vektoranalysis 3.6.3.1 Gaußscher Integralsatz 3.6.3.2 Stokescher Integralsatz

Ergänzungsaufgaben zur Vektoranalysis / Lösungen



3.5 Divergenz, Rotation, Gradient

Ableitung von Vektorfeldern und Skalaren

3.5.1 Nabla-Operator

symbolischer Vektor, eingeführt von Hamilton, nützlicher Differentialoperator

r r r r∇ = + + =

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂x

iy

jz

k

x

y

z

3.5.2 Gradient

Die Änderung eines Skalarfeldes Φ(x,y,z) (z.B. räumliche Temperaturverteilung) in benach-barten Punkten x + dx, y + dy, z + dz kann durch das folgende totale Differential beschrieben werden:

dx

dxy

dyz

dzΦΦ Φ Φ

= ⋅ + ⋅ + ⋅∂

∂

∂

∂

∂

∂

Für den Gradienten von Φ gilt:

grad Φ Φ

Φ

Φ

Φ

= ∇ =

r

∂

∂∂

∂∂

∂

x

y

z

(r∇Φ ist ein Vektorfeld!)

und damit erhalten wir für das totale Differential dΦ:

d grad drΦ Φ= ⋅r



Beispiel: Φ(x,y,z) = 3x²y - y³z² Bestimme r∇ =Φ Φgrad in P(1,-2,-1).

r∇Φ = ∂(3x²y - y³z²)/∂x

ri + ∂(3x²y - y³z²)/∂y

rj + ∂(3x²y - y³z²)/∂z

rk

= 6xy ri + (3x² - 3y²z²)

rj - 2y³z

rk

⇒ r∇Φ

P = -12

ri - 9

rj - 16

rk (Vektor !)

3.5.3 Divergenz

Ist jedem Punkt P(x,y,z) eines Gebietes ein Vektor rA x y,z

A x y,z

A x y,z

A x y,z

( , )

( , )

( , )

( , )

=

1

2

3

zugeordnet, nennt

man rA eine Vektorfunktion (Vektorfeld).

Def.: Die Divergenz div rA eines Vektorfeldes ist:

div A AA

x

A

y

A

z

r r r= ∇⋅ = + +

∂

∂

∂

∂

∂

∂1 2 3

also das Skalarprodukt von Nabla-Operator r∇ und Vektorfeld

rA . Das Ergebnis ist ein

Skalarfeld.

physikalische Bedeutung: Beispiel: Stömung durch Volumenelement ∆V = ∆x ∆y ∆z.

Der Vektor ( )rA x y,z, beschreibe die zeitlich konstante Stromdichte einer Flüssigkeits-

strömung. Es ist rA parallel der Stromrichtung und

rA = A die Stromstärke, d.h. die

Flüssigkeitsmenge, die pro Zeiteinheit durch ein senkrecht zu rA liegendes

Flächenelement ∆F fließt. In dem unten skizzierten Volumenelement ∆V liefert in die

zur xy-Ebene parallelen Flächen nur die z-Komponente von rA einen Beitrag.



Pro Zeiteinheit fließt die Menge A3(x,y,z) ∆x ∆y in die untere Fläche hinein und A3(x,y,z+∆z)

∆x ∆y aus der oberen Fläche heraus. Wenn die Differenz beider Anteile > 0 ist, spricht man

von einer Quelle bzw. von einer Senke wenn sie < 0 ist.

( ) ( )

∆∆

∆∆ ∆ ∆ ∆ ∆A

A x y z z A x y z

zV mit V x y z3

3 3=

+ −⋅ = ⋅ ⋅

, , , ,

bzw. wenn ∆z → 0:

dAA

zdV3

3= ⋅∂

∂

Für die anderen beiden Richtungen erhalten wir:

dAA

xdV1

1= ⋅∂

∂ dA

A

ydV2

2= ⋅∂

∂

Addition liefert:

dA divA dV= ⋅r

d.h. wir können divAr

als Quellenstärke pro Volumenelement (Quellendichte) bezeichnen.

divA

Quelle

quellenfrei

Senke

r=

> →

→

< →

0

0

0



Beispiel: Strömung im Rohr

y

z

x

-1 +1

z = 1 - x - y2 2

kreisförmiges Rohr

rv

x y

=

− −

0

0

1 2 2

div rv = 0, da gleichviel rein wie raus

Geschwindigkeits-Profil durch Randreibung

Nachweis, daß div rv = 0 (keine Flüssigkeit geht verloren):

divvv

x

v

y

v

z x y

x y

z

x y zr= + + = + +

− −=

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

0 0 10

2 2( )

Falls Abzweig bei 1/0/0:

rv

x

x y

=

− −

0 1

0

1 2 2

,

div rv = 0,1 + 0 + 0 ≠ 0 !



3.5.4. Rotation

Rotation eines Vektorfeldes rA :

rot A Ar r r

= ∇ ×

vektorielle Multiplikation → Ergebnis ist ein Vektor!

in karthesischen Koordinaten: rot A

i j k

x y z

A A A

A

y

A

z

A

z

A

x

A

x

A

y

r

r r r

= =

−

−

−

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

1 2 3

3 2

1 3

2 1

Physikalische Bedeutung:

rotAwirbelfrei

Wirbel Turbulenzen

rr

r=→

≠ →

0

0 ,

ein Feld ist dann wirbelfrei, wenn es ein Gradientenfeld ist, d.h., rot grad Φ = 0:

- Erdschwerefeld rF grad Epot=

- E-Feld rE grad U= −

Beweis: r r

rE cr

r= ⋅

2

rotE c

i j k

x y zx

r

y

r

z

r

c

yz

r

yz

rxz

r

xz

rxy

r

xy

r

r

r r r

r= ⋅ = ⋅

− +

− +

− +

=∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

2 2 2

4 4

4 4

4 4

2 2

2 2

2 2

0



Beispiel: Wirbel in Strömung ?

y

z

x

-1 +1

z = 1 - x - y2 2

v

x = 1/2

Kugel um P(0,5/0/0) dreht sich im

Uhrzeigersinn, da v des Wassers links

und rechts unterschiedlich groß ist.

Drehachse ist die y - Achse: rω ω=

0

0

berechne rot:

( )rot v P

v

y

v

z

v

z

v

x

v

x

v

y

y

x Kugel dreht sich

z y

x z

y x

P P

r r= =

−

−

−

=

− −

+

=

≡

=

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

ω ω

2 0

0 2

0

0

1

0

0

0

!

→ rot = Rotation !

Kugel (0/0/0): rot rv = 0 → dreht sich nicht !

Zusammenfassung: Operatoren im Karthesischen Koordinatensystem

div grad rot

div AA

x

A

y

A

z

r= + +

∂

∂

∂

∂

∂

∂1 2 3

rA grad

x

y

z

= =

Φ

Φ

Φ

Φ

∂

∂∂

∂∂

∂

rot A

A

y

A

z

A

z

A

x

A

x

A

y

r=

−

−

−

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

3 2

1 3

2 1

div Br

= 0 : es gibt keinen

magnetischen Monopol

div Er

= ρ : Ladungen sind Quellen

des E-Feldes

E-Technik:

Maxwell-Gleichungen in

differentieller Form

rot E Br r

= −&

E-Feld erzeugt B-Feld



3.5.5 Potential

geg.: Vektorfunktion rA = A1

ri + A2

rj + A3

rk

Ist rA ein konservatives Feld (z.B. Gravitation, E-Feld), dann gilt:

rot rA = 0 → ein Potential existiert

d.h. rA muß sich als Gradientenfeld schreiben lassen (da rot grad Φ immer Null ist):

rA grad= Φ

mit rot rA = 0 kann nachgewiesen werden, ob ein Feld konservativ ist!

E-Technik : rE = -grad U

MB : rF = grad Epot / 1D : F = mg = d(mgx) /dx

anders herum: ein Potential Φ existiert nur, wenn rot rv = 0, d.h. wirbelfrei ist (Helmholtz-

Bedingung)

Beispiel: Potential Φ = 1/r : Potential einer Punktladung. Berechne das zugehörige E-Feld.

rE grad grad

r= − = −Φ

1

karthesische Koord.: ( )r x y z x y z= + + = + +² ² ² ² ² ²,0 5

→ r r

E

x

ry

rz

r

r

r= −

−

−

−

=

3

3

3

3 →

rE

r~

12



3.5.6 Laplace-Operator

Sei Φ ein Skalarfeld, dann ist r rV grad= = ∇Φ Φ ein Vektorfeld und

( ) ( )divV V div gradr r r r r

= ∇ = = ∇⋅ ∇Φ Φ wiederum ein Skalarfeld.

Diese zweimalige Anwendung des Nabla-Operators bezeichnet man als ∆-Operator (Delta-

oder Laplace-Operator).

( )r r∇⋅ ∇ =

⋅

= + + = + +

⋅Φ

Φ Φ Φ Φ Φ ΦΦ

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂x y z x y z x y z x y z, , , ,

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Laplace-Operator: ∆ = ∇⋅∇ = + +

r r ∂

∂

∂

∂

∂

∂

2

2

2

2

2

2x y z

Potentialtheorie: Lösungen der Differentialgleichung ∆Φ = 0 für vorgegebene Randbe-

dingungen finden.

Bezeichnung: ∆Φ = 0 Laplace-Gleichung

∆Φ ≠ 0 Poisson-Gleichung

Lösungen beider Gleichungen oft sehr schwierig !



3.5.7 Rechenregeln

Es folgen ohne Beweis einige Rechenregeln, die manchmal sehr hilfreich sein können. Alle

Regeln lassen sich leicht komponentenweise bestätigen (gute Übung!).

a) ( )r r r∇ + = ∇ + ∇Φ Ψ Φ Ψ

b) ( )r r r r r r r∇ + = ∇ + ∇V W V W

c) ( )r r r r r r r∇ × + = ∇ × + ∇ ×V W V W

d) ( ) ( ) ( )r r r r r r∇ = ∇ + ∇Φ Φ ΦV V V

e) ( ) ( ) ( )r r r r r r∇ × = ∇ × + ∇ ×Φ Φ ΦV V V

f) ( ) ( ) ( )r r r r r r r r r∇ × = ∇ × − ∇ ×V W W V V W

g) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )r r r r r r r r r rr r r r r∇ × × = ∇ − ∇ − ∇ + ∇V W W V W V V W V W

h) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )r r r r r r r r r r r r r r r∇ = ∇ + ∇ + × ∇ × + × ∇ ×VW W V V W W V V W

i) ( ) ( )r r r r r r r r r r∇ × ∇ × = ∇ ∇ − = −V V V bzw rot rot V grad div V V∆ ∆. ; ( )∆ ∆ ∆ ∆

rV V V V= 1 2 3, ,

j) ( )r r r∇ × ∇ = =Φ Φrot grad 0

k) ( )r r r r∇ ∇ × = =V div rot V 0



3.6 Integrale mit Vektoren

3.6.1 Kurven- , Weg- bzw. Linienintegrale

3.6.1.1 Wegintegral über Skalarfeld

geg.: skalare Funktion Φ(x,y,z)

Parameterdarstellung: Φ(x(t),y(t),z(t)) = Φ(t)

Weg r rr r t= ( ) von P1 (

rr t( )1

) → P2 (rr t( )2

):

r r r rr t x t i y t j z t k( ) ( ) ( ) ( )= + +

x

y

r1

r2

P1

P2

z

Cr(t)

Definition: Integral über Weg entlang der Kurve c

Φ Φds t r dtc t

t

=∫ ∫ ( ) &r

1

2

(c von "curve")

mit ds dx dy dzdx

dt

dy

dt

dz

dtdt r dt= + + =

+

+

⋅ = ⋅2 2 2

2 2 2r&

(vgl. Bogenlänge, Kap. 3.3.2.1)



Beispiel: Schraubenlinie

Gegeben: Skalarfeld Φ(x,y,z) = x² + y² + z²

Weg entlang Kurve c, die durch rr beschrieben wird:

rr

x t

y t

z t

t

t

t

t=

=

≤ ≤

( )

( )

( )

cos

sin ; 0 2π (eine Umdrehung)

x

y

z

r

2 h

→ Parameterform des Skalarfeldes: Φ(t) = cos²t + sin²t + t² = 1 + t²

r r&

sin

cos ; & sin ² cos ²r

t

t r t t=

−

= + + =

1

1 2

2π ≡ 1 Umlauf

( )

Φ Φds t r dt t dt

tt

c t

t

= = +

= +

= +

= +

∫ ∫ ∫( ) & ( ²)

³ ³²

r

1

2

1 2

23

2 28

3

2 2

33 4

0

2

0

2

π

π

ππ π

π



3.6.1.2 Wegintegral über Vektorfeld

geg.: Vektorfeld

r r r rA A i A j A k= + +1 2 3

Weg r rr r t= ( ) von P1 nach P2 (wie 3.6.1.1)

Beispiel: Erdfeld : rA = - mg

rk → |F| = mg

x

y

r1

r2

P1

P2

z

C

r(t)

A

dr

Definition: Integral der Tangentialkomponente von rA längs c ("orientiertes Kurveninte-

gral"):

r r r r

1 244444 344444

A dr A dr A dx A dy A dz A dx A dy A dzcP

P

c x

x

y

y

z

z

keine Information über Kurvenverlauf

= = + + = + +∫∫∫ ∫ ∫ ∫1 2 3 1 2 3

1

2

1

2

1

2

1

2

Achtung: Weg nur in Achsenrichtung, beliebige Wege mit Parameterdar-

stellung möglich!

in Parameterdarstellung (vgl. Skalarfeld):

( ) ( )r rAdr A dx A dy A dz A x A y A z dt

c c t

t

= + + = + +∫ ∫ ∫1 2 3 1 2 3

1

2

& & &

Hier geht Kurvenform in Integration ein!

r r rA x y z t

A x t y t z t

A x t y t z t

A x t y t z t

r t

x t

y t

z t

r Tangentenvektor( , , , )

( ( ), ( ), ( ) )

( ( ), ( ), ( ) )

( ( ), ( ), ( ) )

; ( )

( )

( )

( )

; &=

=

≡

1

2

3

→ ( )r r r rA t dr A t r dt

c t

t

( ) ( ) &⋅ = ⋅∫ ∫1

2

(s.o.)



Integration auch direkt mit Linienelement drr

möglich, aber meistens kompli-

zierter!

Bemerkungen:

• Integral hängt i.A. nicht nur vom Anfangs- und Endpunkt des Integrationsweges, sondern

auch vom eingeschlagenen Verbindungsweg c ab.

• wird der Integrationsweg in umgekehrter Richtung durchlaufen, gilt:

r r r rA dr A dr

c c

⋅ = − ⋅∫ ∫−

• Bezeichnungen: r rA dr

c

⋅∫ = Integral entlang Weg bzw. Kurve c

r rA dr

c

⋅∫ = Integral entlang geschlossener Kurve c: Zirkulation von

rA längs c (Anwendung: z.B. Strömungs-/Aerodynamik)

• Physik, Technik: r r r r r r r rA Kraft F r Weg s A dr F ds W Arbeit

c c

≡ ≡ → ⋅ = ⋅ =∫ ∫; ( )

• für Ebene (2D) analog

Beispiel 1: Berechne Linienintegral mit Parameterdarstellung

( ) ( ) ( )

[ ]

r r r

r r

r r

Ax y

xyr t

t

tr t

A dr A x A y dt x y xy dt t t t t dt

A dr t dt t

cWeg

x

y

t

ty x

c

=

=

=

≤ ≤

→ ⋅ = + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅

→ ⋅ = =

∫ ∫ ∫ = ∫

∫ ∫

≡

=

²

²; ( ) ; & ;

& & ² ² ² ²

³

:

2 2

10 1

2 1 4 2 2 1

105

2

1 20

1

0

1

2 0

1

0

1

4

0

1

2

1 5

2=

Prinzipielles Vorgehen: Wegdarstellung (in Parameterform) in rA für x, y, z einsetzen



Beispiel 2: Berechne das Linienintegral über d. Vektorfeld rA auf den Wegen P P1 2 und P P1 3 .

x

y

P1 P2

z

r(t)

P3

A

A

P P1 2 : ohne Parameterdarstellung (entlang Achse)

( )

r

1 24 34 1 24 34

r r

r r

r r

A

x y

yz

xz

Weg von P P

A dr A dx A dy A dz

hier entlang x Achse y z dy dz x

A dr A dx x dx x dx

A A

c c

c x

=

+

−

−

→ ⋅ = + +

− = = = = ≤ ≤

→ ⋅ = = + ⋅ =

= =

=

∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

3 6

14

20

0 0 0 1 0 0

0 0 1

3 6 0 3

1

0

2

3

1 2 3

1

0

1

0

1

0

1

²

²

; ( , , ) ( , , )

: ;

( ² ) ²

∆ ∆

[ ]= =x³0

11

P P1 3 : mit Parameterdarstellung

rA

x y

yz

xz

=

+

−

3 6

14

20

2

2

; Weg von P1(0,0,0) → P3(1,1,1)

Parameterdarstellung Weg ( )rr t

t

t

t

=

mit 0 ≤ t ≤ 1 → ( )r&r t =

1

1

1

rA

x y

yz

xz

=

+

−

3 6

14

20

²

²

P P1 3 : Integration mit Parameterdarstel-

lung des Weges.



( ) ( )[ ]

( ) ( )

3

13

3

11245

3

1135³

3

11²3

³20²116³20²146²3

1²2011416²3

1

0

4

1

0

1

0

:

1

0

1

0

221

=−

=+−=

+−=⋅→

+−=+−+

⋅+⋅−⋅+=++=⋅→

∫

∫∫=

∫∫∫

==

≡

==

tttrdA

dttttdttttt

dtxzyzyxdtzAyAxArdA

c

tt

t

t

t

z

y

x

Weg

ttc

rr

&&&rr

Wegunabhängigkeit

Ein Kurvenintegral r rA dr

c

⋅∫ ist wegunabhängig, wenn die Integrabilitätsbedingung für ein

ebenes Vektorfeld räumliches Vektorfeld

∂

∂

∂

∂

A

y

A

x1 2=

∂

∂

∂

∂

A

y

A

x1 2= ,

∂

∂

∂

∂

A

z

A

x1 3= ,

∂

∂

∂

∂

A

z

A

y2 3=

erfüllt ist.

Bemerkung:

• Ein Kurvenintegral ist dann wegunabhängig, wenn das Vektorfeld rA als Gradient einer

ortsabhängigen Funktion Φ (Potential) darstellbar ist:

r r rA grad d h A

x

y

z

x partielle Ableitung n x= ∇ = =

Φ Φ

Φ

Φ

Φ

Φ, . . ( : . )

( ) ( ) ( )r r rA dr grad dr dx dy dz d Q P

P

Q

x y z

P

Q

P

Q

P

Q

= = + + = = −∫ ∫ ∫∫ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ

Das Vektorfeld heißt dann konservativ bzw. Potentialfeld



Beispiel: - ET : rE grad U= −

- MB : rF grad E pot= / 1D: Epot = m g x → (Epot)x = m g = FG

Wegintegral kann durch Potentialdifferenz berechnet werden:

dEpot/dx = mg → dEpot = mg dx → Epot = mgx + C

• Ist das Linienintegral über rA wegunabhängig (

rA konservativ), so gilt ebenfalls:

rot A Ar r r

= ∇ × = 0 (Wirbelfreiheit)

• Im Falle der Wegunabhängigkeit ist das Kurvenintegral längs eines geschlossenen Weges

Null:

r rA dr⋅ =∫ 0

Beispiel: Zeigen Sie, daß für das ebene Vektorfeld rA = 3x²y²

ri + 2x³y

rj das Linieninte-

gral über einen geschlossenen Weg Null ist.

a) mit Integrabilitätsbedingung ∂

∂

∂

∂

A

y

A

x

1 2=

( )∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

A

y

x y

yx y

A

x

x y

xx y q e d

1 36

2 26

= =

= =

² ²²

( ³ )² . .

b) mit Weg z.B. von P1(0,0) nach P2(1,0), P2(1,0) nach P3(0,1) und nach P1(0,0) zurück.

r r r r r r r rA dr A dr A dr A dr

P

P

P

P

P

P

⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅∫∫ ∫∫2

3

1

2

3

1



( ) ( ) ( )

P P x y dx

P P Parameterdarstellung

r tt

tmit t r t

A dr A r dt A x A y dt t t t t dt

y dy x

P

P

t t t

Bem Gerade y x

1 20 0

1

2 3

0

1

1 2

0

1

0

1

3 0

10 1

1

1

3 1 1 2 1 1

3

1

2

3

− =

−

=−

≤ ≤ =

−

⋅ = ⋅ = + = − ⋅ − + − ⋅

=

= = =

= = =

= ∫

∫ ∫ ∫ ∫

= −

² ²

:

( ) ; & ( )

& & & ( )² ² ( ) ( )³

:r r

r r r r

( ) ( )

( ) [ ]

( ²) ² ( ) ( ² ³) ² ³ ² ³

² ³ ³ ²

³

!

1 2 1 2 1 3 3 3 6 3 2 6 6 2

9 12 5 2 3 3 3 3 1 1 0

2 0

0

0

14 4

0

1

4

0

14 5

0

1

3 10 1

0

− + ⋅ − + − + − = − + − + − + −

= − + − + = − + − + = − + − + =

− =

→ ≡

= =

=

= = =

∫ ∫

∫

= ∫

t t t t t t t dt t t t t t t t dt

t t t t dt t t t t

P P x ydy

Summe aller Teilstrecken

t t

t

x dx y

Beispiel: Konservatives Kraftfeld, Potential und Arbeit

a) Beweise, daß rA = (2xy + z³)

ri + x²

rj + 3xz²

rk ein konservatives Kraftfeld ist.

Bedingung: rot rA = 0 bzw. Integrabilitätsbedingung für räumliches Vektorfeld

rot A z z

x x

r=

−

−

−

=

0 0

3 3

2 2

0

0

0

² ²

b) Berechnen Sie das zugehörige Skalarpotential.

rA grad= Φ (da rot A

r= 0 muß ein Skalarfeld existieren!)

r r∇ =

=

+

=Φ

Φ

Φ

Φ

∂

∂

∂

∂

∂

∂

x

y

z

xy z

x

xz

A

2

3

³

²

²



→ 3 Gleichungen für das Potential:

∂Φ/∂x = 2xy + z³ (*)

∂Φ/∂y = x² (**)

∂Φ/∂z = 3xz² (***)

das sind 3 DGL’s, die integriert werden:

(*) : Φ = x²y + xz³ + C1(y,z)

(**) : Φ = x²y + C2(x,z)

(***) : Φ = xz³ + C3(x,y)

Alle 3 Gleichungen beschreiben das Potential Φ, d.h., sie müssen übereinstimmen.

Dies ist nur der Fall, wenn:

C1 = 0 , C2 = xz³ und C3 = x²y

→ ΦΦΦΦ = x²y + xz³ ( + evt. Konstante, die beim Differenzieren herausfällt) (Probe!)

c) Berechnen Sie die verrichtete Arbeit W, wenn ein Massepunkt von P1(1,-2,1) nach

P2(3,1,4) bewegt wird.

W A drP

P

= ⋅ = − = ⋅ + ⋅ − ⋅ − + ⋅ = + =−∫

r rΦ Φ( , , ) ( , , ) ( )3 1 4 1 2 1

1

2

9 1 3 64 1 2 1 1 201 1 202



3.6.2 Oberflächenintegrale

3.6.2.1 Oberflächenintegral über Skalarfeld

S

R

dS

.

nzy

x

S: surface (Oberfläche)

mit

dS.

n

S positiv gekrümmt

R: Projektion von S auf xy-Ebene

rn : Normalenvektor, ⊥ auf dS,

rn = 1

Flächenintegral über Skalarfeld Φ(x,y) über geschlossene Fläche:

Φ( , )x y dSS

∫∫

mit dS = dx dy karthesische Koordinaten für Flächen parallel zur xy-Ebene

dS = r dr dϕ bei Polarkoordinaten

Beispiel:

geg.: Φ(x,y) = x² + y² und Würfel mit Kantenlänge a

ges.: Oberflächenintegral durch obere Fläche (in z-Richtung)

SR

dS

nzy

x

=

a

a

[ ] ( )

[ ]

Φ( , ) ( ² ²) ³ ² ³ ²

³ ³

x y dS x y dx dy x x y dy a a y dy

a y a y a

S x

a

y

aa

y

a

y

a

a

∫∫ ∫∫ ∫ ∫= + = + = +

= + =

== = =00

13 0

0

13

0

13

13 0

23

4



3.6.2.2 Oberflächenintegral über Vektorfeld

Flächenintegral über Vektorfeld rA über geschlossene Fläche:

r r r rA dS A n dS

SS

⋅ = ⋅∫∫∫∫

entspricht Fluß von rA durch Fläche S (

rn = 1)

in karthesischen Koordinaten:

( )

r r r r r rr rA dS A n dS A n

S

dx dy

n k

RS

⋅ = ⋅ = ⋅∫∫ ∫∫∫∫ ⋅

rk : Einheitsvektor in z-Richtung

Bsp: Maxwell: r rD dS Q

S

=∫∫ (Ladung)

S

R

dS

.

nzy

x

dx dy

k

Koordinaten Karthesische - Zylinder- Kugel-

dS

Flächenelement ( )dx dy

n kr r

⋅

bzgl. xy-Ebene

r dϕ dz

r : Radius

0 ≤ ϕ ≤ 2π

r² sinϑ dϑ dϕ

r : Radius

0 ≤ ϑ ≤ π, 0 ≤ ϕ ≤ 2π

gilt auch für Skalarfeld (n. Kap. 3.6.2.1)

vgl. Doppelintegrale Mathematik 1



Beispiel 1: Berechnen Sie den Fluß des Vektorfeldes rA durch den skizzierten Würfel mit

der Kantenlänge 1.

zy

x1

1

1

n für rote Fläche = -j

Einzelintegration über alle 6 Würfelseiten, anschließend alle Komponenten addieren:

Iges = I1 + I2 + I3 + I4 + I5 + I6

1. Fluß durch xz-Ebene y = 0 (r rn j= − ):

( )I A dS A n dS A j dS

xz

y

yz

dx dzS S S S

12

1 1 1 1

4 0

1

0

= ⋅ = ⋅ = ⋅ − = −

⋅ −

∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫r r r r r r

= −

⋅ −

=

⋅ −

= ⋅ ==

= ===

∫ ∫∫∫ ∫∫4 0

1

0

4

0

0

0

1

0

0 02

00

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1xz

y

yz

dx dz

xz

dx dz dx dzy

x xzz

2. Fluß durch xz-Ebene, y = 1 (r rn j= ):

I A dS A n dS

xz

y

yz

dx dzS S S

22

2 2 2

4 0

1

0

= ⋅ = ⋅ = −

⋅

∫∫ ∫∫ ∫∫r r r r

rA

xz

y

yz

= −

42

Ges.: I A dSS

= ⋅∫∫r r



( ) [ ]= −

⋅

= −

⋅

= − ⋅ = −=

= ===

∫ ∫∫∫ ∫ ∫∫4 0

1

0

4

1

0

1

0

12

10

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1xz

y

yz

dx dz

xz

z

dx dz dx dz x dzy

x xzz

[ ]= − = − = −∫ dz z0

1

0

11

3. Fluß durch xy-Ebene z = 1 (r rn k= ):

I A dS A n dS

xz

y

yz

dx dy

x

y

y

dx dyS S S

zxy

32

1

2

0

1

0

1

3 3 3

4 0

0

1

4 0

0

1

= ⋅ = ⋅ = −

⋅

= −

⋅

∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫===

r r r r

[ ]= = ⋅ = =

=

== = =

∫∫ ∫ ∫y dx dy y x dy y dy yxy y y0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

2

0

11

2

1

2

4. Fluß durch yz-Ebene x = 1 (r rn i= ):

∫ ∫∫∫∫∫∫∫= =

=

⋅

−=

⋅

−=⋅=⋅=1

0

1

0

2

1

24

0

0

14

0

0

14

444 z yx

SSS

dzdy

yz

y

z

dzdy

yz

y

xz

dSnASdAIrrrr

[ ]= = ⋅ = =

=

== = =

∫∫ ∫ ∫4 4 4 41

22

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

2

0

1

z dy dz z y dz z dz zyz z z

restliche Flächen (I5 und I6) als Übungsaufgabe:

Iges = I1 + I2 + I3 + I4 + I5 + I6 = 0 - 1 + 0,5 + 2 + 0 + 0 = 1,5



Beispiel 2: Berechnen Sie den Fluß des Vektorfeldes rA durch eine Halbkugel mit Radius r:

rA

x

y

z

=

−

2

Halbkugel mit Normalenvektor rn

r

x

y

z

= ⋅

1

Lösung: ( )∫∫∫∫∫∫∫∫ ⋅−+=

⋅⋅

−

=⋅=⋅=SSSS

dydxrz

rzyx

rz

dydx

z

y

x

rz

y

x

dSnASdAI222 2

1

2

rrrr

mit z r x y= − −2 2 2 (obere Halbkugel)

→ längere Rechnung führt auf I = 0.

(relativ aufwendig, einfacher mit Integralsätzen, s.u.)



3.6.3 Integralsätze der Vektoranalysis

Bedeutung: leichtere Integration von Vektoren bei

- Elektrizität und Magnetismus

- Hydromechanik und Wärmeausbreitung

- Differentialgleichungen mit Potentialen (Maxwell-Gl.) (hier nicht behandelt)

3.6.3.1 Gaußscher Integralsatz

V sei ein dreidimensionaler Bereich (Volumen), der von einer geschlossenen Fläche S be-

grenzt wird. Ist rA ein Vektorfeld mit stetiger Ableitung, so gilt mit

rn als positive (nach

außen gerichtete) Flächennormale:

div A dV A n dSV S

r r r∫∫∫ ∫∫= ⋅

‘wörtlich’: Das Oberflächenintegral der Normalkomponente eines Vektorfeldes rA über

eine geschlossene Fläche ist gleich dem Volumenintegral der Divergenz von rA

über den durch die Fläche umschlossenen Bereich.

Beispiel: Maxwell: ∫∫ =→=S

DdivQSdD )hteLadungsdic(ρrrr

in Karthesischen Koordinaten:

mit div A AA

x

A

y

A

z

r r= ∇⋅ = + +

∂

∂

∂

∂

∂

∂1 2 3

→

( )r r∇⋅ = + +

= + +∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫A dV

A

x

A

y

A

zdx dy dz A A A dS

V V S

∂

∂

∂

∂

∂

∂α β γ1 2 3

1 2 3cos cos cos



wobei α, β und γ die Winkel zwischen rn und den positiven Achsen bilden. Berechnung über

Richtungskosinusse:

r r r r r rn i n j n k⋅ = ⋅ = ⋅ =cos ; cos ; cosα β γ

Physikalische Deutung: Wenn rA das Geschwindigkeitsfeld

rv einer Strömung ist, so

kann das Flüssigkeitsvolumen VF, das dS in ∆t durchströmt, ausgedrückt werden als (S gesamte Oberfläche, welche das Volumen V umschließt):

( )V v t n dS v n dS tF = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅r r r r

∆ ∆ (VF = Quader mit Basis dS und schräger Höhe rv ∆t)

n

dS

v t

S

Vol

einerseits gilt für das Flüssigkeitsvolumen, welches pro Sekunde durch dS strömt:

V v n dSF = ⋅r r

gesamtes Flüssigkeitsvolumen pro Sek. durch S: V v n dSF ges

S

, = ⋅∫∫r r

andererseits gilt: Die Menge der Flüssigkeit, die im Inneren erzeugt bzw. abgeführt wird ist:

V div v dVF erzeugt in V

V

, = ∫∫∫r

(div rv = Quelldichte)

Massen- / Volumenerhaltung: VF, ges durch S = VF, erzeugt in V

→ r r rv n dS div v dV

S V

⋅ =∫∫ ∫∫∫



Beispiel: Berechnen Sie den Fluß des Vektorfeldes rA durch den unten skizzierten

Würfel mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes.

zy

x1

1

1

Lösung: r r rA n dS div A dV

S V

⋅ =∫∫ ∫∫∫

IA

x

A

y

A

zdx dy dz

xz

x

y

y

yz

zdx dy dz

V V

= + +

= − +

∫∫∫ ∫∫∫

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂1 2 3

24

( ) ( )= − = −∫∫∫ ∫∫∫===

4 40

1

0

1

0

1

z y dx dy dz z y dx dy dzV xyz

dx: dx0

1

1∫ =

dy: ( )4 41

24

1

20

1

2

0

1

z y dy zy y z− = −

= −∫

dz: 41

22

1

22

1

2

3

20

1

2

0

1

z dz z z−

= −

= − =∫

⇒ I = 1,5

vgl. Rechnung mit Oberflächenintegral (Bsp. Würfel, s.o): gleiches Ergebnis

Fazit: Rechnung mit Gaußschem Integralsatz einfacher!

rA

xz

y

yz

= −

42

Gesucht: I A dSS

= ⋅∫∫r r



3.6.3.2 Stokesscher Integralsatz

Mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes kann ein Volumenintegral in ein Oberflächenintegral (bzw. umgekehrt) überführt werden. Der nun behandelte Integralsatz von Stokes erlaubt dage-gen die Darstellung eines Oberflächenintegral durch ein Kurvenintegral (bzw. umgekehrt).

S sei eine Fläche, die eine geschlossene Randkurve c besitzt. Ist rA ein Vektorfeld mit stetiger

Ableitung, so gilt mit rn als positive (nach außen gerichtete) Flächennormale:

∫∫∫ =⋅Sc

SdArotrdArrrr

mit dS n dSr r

= ⋅

‘wörtlich’: Das Kurvenintegral der Tangentialkomponente eines Vektors rA längs einer ge-

schlossenen Kurve C ist gleich dem Oberflächenintegral der Normalkomponen-

te der Rotation von rA über eine beliebige Fläche S, die C als Randkurve be-

sitzt.

Beispiel: Maxwell ∫ =→=c

ErotrdE 00rrr

in Karthesischen Koordinaten:

mit rot A

A

y

A

z

A

z

A

x

A

x

A

y

r=

−

−

−

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

3 2

1 3

2 1

∫∫

⋅

−+⋅

−+⋅

−

S

dSy

A

x

A

x

A

z

A

z

A

y

Aγ

∂

∂

∂

∂β

∂

∂

∂

∂α

∂

∂

∂

∂coscoscos 123123

( )= ⋅ + ⋅ + ⋅∫ A dx A dy A dzc

1 2 3

wobei α, β und γ die Winkel zwischen rn und den positiven Achsen bilden. Berechnung über

Richtungskosinusse:

r r r r r rn i n j n k⋅ = ⋅ = ⋅ =cos ; cos ; cosα β γ



Beispiel: Verifikation des Satz von Stokes

z

y

x

1

Konventionell mit Wegintegral:

( ) ( )r rA dr A dx A dy A dz x y dx y z dy y z dz

c c c

⋅ = + + = − − −∫ ∫ ∫1 2 3 2( ) ² ²

Der Rand c von S ist der Kreis in der xy-Ebene mit Mittelpunkt im Ursprung und Radius 1.

Verwendung von Polarkoordinaten (z = 0):

x = cos t ; y = sin t ; z = 0 für 0 ≤ t ≤ 2π (1 Umlauf)

( ) ( ) ( )

( ) ( )

A dx A dy A dz A x A y A z dt A t A t dt

x y t y z t dt t t t dt t t t dt

t tt

c t

t

Parameterdarstellung einsetzen

1 2 3 1 2 3 1 2

0

2

0

2

0

2

0

2

0

2

1

2

2 2 2

2

2

4

2

2

+ + = + + = − +

= − − −

= − − = −

= − −

=

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

& & & sin cos

( ) sin ²cos ( cos sin ) sin sin ² sin cos

sinsin ²

π

π π π

π

1 24444 34444

π

rA

x y

yz

y z

=

−

−

−

22

2

S sei die obere Hälfte der Kugelschale:

x² + y² + z² = 1

c sei der Rand von S.



Mit Satz von Stokes:

Rotation: rot A

A

y

A

z

A

z

A

x

A

x

A

y

yz y z

kr r

=

−

−

−

=

− +

−

+

=

=

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

3 2

1 3

2 1

2 2

0 0

0 1

0

0

1

∫∫∫∫∫∫ =⋅=⋅RSS

dydxdSnkdSnArotrrrr

(R: Projektion auf xy-Ebene)

Berechne Flächenintegral über Kreis mit r = 1:

[ ]x xy x

x

dy dx x dx x x x= −

−= −= − −

−

∫ ∫∫ = − = − +

= +

− −

=

1

1

1

1

1

1

1

1

2 12

21

02

02

² ² arcsin²

²

π ππ

(= Fläche eines Kreises mit Radius 1)

Mathematik 2 für Ingenieure Vektoranalysis Teil 2eitidaten.fh-pforzheim.de/daten/mitarbeiter/hoeptner/Mathe2_VA2_V_HOE.pdf · Skriptum zur Vorlesung Mathematik 2 für Ingenieure

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