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Lothar Papula
Mathematik für Ingenieure und NaturwissenschaftlerKlausur- und
ÜbungsaufgabenÜber 600 Aufgaben mit ausführlichen Lösungen zum
Selbststudium und zur Prüfungsvorbereitung
3., durchgesehene und erweiterte Auflage
Mit 293 Abbildungen
STUDIUM
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Bibliografische Information der Deutschen NationalbibliothekDie
Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der
Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten
sind im Internet über abrufbar.
1. Auflage 20042., durchgesehene und erweiterte Auflage 20073.,
durchgesehene und erweiterte Auflage 2008
Alle Rechte vorbehalten© Vieweg+Teubner |GWV Fachverlage GmbH,
Wiesbaden 2008
Lektorat: Thomas Zipsner | Gabriele McLemore
Vieweg+Teubner ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer
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besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im
Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu
betrachten wären und dahervon jedermann benutzt werden dürften.
Technische Redaktion: Hartmut Kühn von Burgsdorff,
WiesbadenUmschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung,
HeidelbergBilder: Graphik & Text Studio Dr. Wolfgang
Zettlmeier, BarbingSatz: Druckhaus Thomas Müntzer GmbH, Bad
LangensalzaDruck und buchbinderische Verarbeitung: Těšínská
Tiskárna, a. s., TschechienGedruckt auf säurefreiem und chlorfrei
gebleichtem Papier.Printed in Czech Republic
ISBN 978-3-8348-0609-3
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Vorwort
Entwicklung und Erwerb der Fähigkeit, die im Grundstudium
vermittelten mathematischen Kennt-nisse auf Problemstellungen aus
Naturwissenschaft und Technik erfolgreich anwenden zu können,sind
ein wesentliches Ziel der Grundausbildung und somit zugleich auch
Voraussetzung für ein er-folgreiches Studium. Dieses Ziel ist aber
nur erreichbar durch ständiges und intensives Training(�ben),
zumal die Defizite der Studienanfänger in den Grundlagenfächern
wie Mathematik nach wievor enorm sind.
Die vorliegende Sammlung enthält über 600 ausführlich und
vollständig gelöste �bungs- und Klau-suraufgaben und bietet dem
Studienanfänger Hilfestellung und Unterstützung auf dem Wege
zumgenannten Ziel. Dieses Buch ermöglicht
� als ständiger Begleiter zur Vorlesung das intensive Einüben
und Vertiefen des Vorlesungs-stoffes,
� eine gezielte und optimale Vorbereitung auf die Prüfungen und
Klausuren des Grundstudiums� und eignet sich in besonderem Maße zum
Selbststudium.Die Lösung der Aufgaben wird dabei Schritt für
Schritt vorgeführt, der Lösungsweg ist damit
leichtnachvollziehbar. Alle verwendeten Regeln werden genannt und
erklärt, wobei besondere Sorgfalt aufdie elementaren
Rechenschritte gelegt wird. Denn die tägliche Arbeit mit den
Anfangssemesternbringt es immer wieder zu Tage: Die größten
Probleme treten meist im Bereich der Elementarma-thematik auf (Wer
kann heutzutage noch fehlerfrei mit Logarithmen, Wurzeln und
Potenzen umge-hen? Wie werden eigentlich Brüche addiert?). Daher
werden in diesem Buch auch die beim Löseneiner Aufgabe
auftretenden elementarmathematischen Probleme behandelt und alle
nötigen Rechen-schritte besprochen.
Welche Stoffgebiete wurden berücksichtigt?
Die Auswahl der Stoffgebiete ist auf die Mathematikvorlesungen
im Grundstudium abgestimmt.Zahlreiche der über 600 Aufgaben sind
dabei anwendungsorientiert formuliert und beschreiben ein-fache
Problemstellungen aus Naturwissenschaft und Technik.
Berücksichtigt wurden folgende Gebiete:
� Funktionen und Kurven � Gewöhnliche Differentialgleichungen�
Differentialrechnung � Laplace-Transformationen (im Zusammenhang
mit
linearen Differentialgleichungen)� Integralrechnung�
Vektorrechnung� Taylor- und Fourier-Reihen� Lineare Algebra�
Partielle Differentiation
� Mehrfachintegrale
Veränderungen gegenüber der 2. Auflage
Es wurden weitere Aufgaben aufgenommen.
V
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Ein Wort des Dankes . . .
. . . an Frau Ivonne Voirin und Herrn Stefan Koob (beide
studierten an der Fachhochschule Wiesba-den Maschinenbau) für
zahlreiche wertvolle Hinweise,
. . . an Herrn Ewald Schmitt vom Vieweg-Verlag für die
hervorragende Unterstützung bei der Erstel-lung dieses Werkes,
. . . an Herrn Hölzer und Herrn Wunderlich vom Druck- und
Satzhaus „Thomas Müntzer“ für diesenausgezeichneten
mathematischen Satz.
Wiesbaden, im Sommer 2008 Lothar Papula
Hinweise für den Benutzer
� Die �bungs- und Klausuraufgaben sind kapitelweise
durchnummeriert.� Zu Beginn eines jeden Kapitels bzw. Abschnitts
finden Sie Hinweise auf das Lehrbuch
„Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler“ (Band
1––3) sowie auf die Mathemati-sche Formelsammlung des Autors. Hier
können Sie die zum Lösen der Aufgaben benötigtenmathematischen
Hilfsmittel nachlesen und gegebenenfalls nacharbeiten. Beachten Sie
auch dieweiteren nützlichen Informationen.
� Die vollständige Lösung der jeweiligen Aufgabe finden Sie
direkt im Anschluss an die Auf-gabenstellung. So wird lästiges
Blättern vermieden.
� Folgen Sie meiner Empfehlung:Versuchen Sie zunächst, die
Aufgaben selbst zu lösen (Lösungsteil vorher abdecken).
Skizzenerleichtern dabei in vielen Fällen den Lösungsweg.
Vergleichen Sie dann Ihre Lösung mit derangegebenen Lösung.
Sollten Sie bei einem Zwischenschritt „hängen bleiben“, so greifen
Sie aufdie vorgegebene Lösung zurück und versuchen einen neuen
Start. Denn auch aus Fehlern lerntman.
� Verwendete AbkürzungenBd. 1 ! Band 1 des Lehr- und
Lernsystems „Mathematik für Ingenieure und Naturwissen-
schaftler“FS ! Mathematische FormelsammlungDgl !
DifferentialgleichungLGS ! Lineares Gleichungssystem
VI Hinweise für den Benutzer
-
A Funktionen und Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1 Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen) . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Gebrochenrationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 9
3 Trigonometrische Funktionen und Arkusfunktionen . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4 Exponential- und Logarithmusfunktionen . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
5 Hyperbel- und Areafunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
6 Funktionen und Kurven in Parameterdarstellung . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
7 Funktionen und Kurven in Polarkoordinaten . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
B Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 61
1 Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 611.1 Produktregel . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
1.2 Quotientenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 64
1.3 Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
1.4 Kombinationen mehrerer Ableitungsregeln . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
1.5 Logarithmische Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 77
1.6 Implizite Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 80
1.7 Differenzieren in der Parameterform . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 83
1.8 Differenzieren in Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 86
2 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 892.1 Einfache Anwendungen in
Physik und Technik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 89
2.2 Tangente und Normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 95
2.3 Linearisierung einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 106
2.4 Krümmung einer ebenen Kurve . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 108
2.5 Relative Extremwerte, Wende- und Sattelpunkte . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
2.6 Kurvendiskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 120
2.7 Extremwertaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 131
2.8 Tangentenverfahren von Newton . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 142
2.9 Grenzberechnung nach Bernoulli und de L’Hospital . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
C Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 151
1 Integration durch Substitution . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 151
2 Partielle Integration (Produktintegration) . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 161
VII
Inhaltsverzeichnis
-
3 Integration einer echt gebrochenrationalen Funktiondurch
Partialbruchzerlegung des Integranden . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
4 Numerische Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 175
5 Anwendungen der Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 180
5.1 Flächeninhalt, Flächenschwerpunkt,
Flächenträgheitsmomente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
180
5.2 Rotationskörper
(Volumen, Mantelfläche, Massenträgheitsmoment, Schwerpunkt) .
. . . . . . . . . . . . . . . . 186
5.3 Bogenlänge, lineare und quadratische Mittelwerte . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
5.4 Arbeitsgrößen, Bewegungen (Weg, Geschwindigkeit,
Beschleunigung) . . . . . . . . . . 203
D Taylor- und Fourier-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
1 Potenzreihenentwickungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 208
1.1 Mac Laurin’sche und Taylor-Reihen . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 208
1.2 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 220
2 Fourier-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
E Partielle Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
247
1 Partielle Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 247
2 Differentiation nach einem Parameter (Kettenregel) . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
3 Implizite Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 268
4 Totales oder vollständiges Differential einer Funktion
(mit einfachen Anwendungen) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 272
5 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
5.1 Linearisierung einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 281
5.2 Lineare Fehlerfortpflanzung . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 285
5.3 Relative Extremwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 290
5.4 Extremwertaufgaben mit und ohne Nebenbedingungen . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
F Mehrfachintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 301
1 Doppelintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
1.1 Doppelintegrale in kartesischen Koordinaten . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
301
1.2 Doppelintegrale in Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 318
2 Dreifachintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
2.1 Dreifachintegrale in kartesischen Koordinaten . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
334
2.2 Dreifachintegrale in Zylinderkoordinaten . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
341
VIII Inhaltsverzeichnis
-
G Gewöhnliche Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 357
1 Differentialgleichungen 1. Ordnung . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 357
1.1 Differentialgleichungen mit trennbaren Variablen . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
1.2 Integration einer Differentialgleichung durch Substitution .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
1.3 Lineare Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 375
1.4 Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
1.5 Exakte Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 393
2 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten
Koeffizienten . . . . . . . . . 401
2.1 Homogene lineare Differentialgleichungen . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
401
2.2 Inhomogene lineare Differentialgleichungen . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
405
3 Integration von Differentialgleichungen 2. Ordnung durch
Substitution . . . . . . . . . . . 425
4 Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung mit
konstanten Koeffizienten 429
4.1 Homogene lineare Differentialgleichungen . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
429
4.2 Inhomogene lineare Differentialgleichungen . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
433
5 Lösung linearer Anfangswertprobleme mit Hilfe der
Laplace-Transformation 440
5.1 Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten
Koeffizienten . . . . . . . 440
5.2 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten
Koeffizienten . . . . . . . 447
H Vektorrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 452
1 Vektoroperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 452
2 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465
I Lineare Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 489
1 Matrizen und Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 489
1.1 Rechenoperationen mit Matrizen . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 489
1.2 Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 497
1.3 Spezielle Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 511
2 Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 531
3 Eigenwertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 553
Inhaltsverzeichnis IX
-
A Funktionen und Kurven
Hinweise für das gesamte Kapitel
Kürzen eines gemeinsamen Faktors wird durch Grauunterlegung
gekennzeichnet.
1 Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen)
Hinweise
Lehrbuch: Band 1, Kapitel III.5
Formelsammlung: Kapitel III.4
A1
Zerlegen Sie die folgenden ganzrationalen Funktionen
(Polynomfunktionen) in Linearfaktoren :
a) y ¼ � 2 x 3 þ 20 x 2 � 24 x � 144b) y ¼ 2 x 4 þ 12 x 3 � 44 x
þ 30c) y ¼ 3 x 5 þ 3 x 4 � 36 x 3 � 36 x 2 þ 81 x þ 81d) y ¼ x 5 þ
4 x 4 þ 4 x 3 � 6 x 2 � 37 x � 30
Lösungsweg: Durch Probieren eine Nullstelle bestimmen, dann das
Polynom mit Hilfe des Horner-Schemas reduzie-ren. Das Verfahren so
lange wiederholen, bis man auf eine quadratische Gleichung stößt,
aus der man die restlichenNullstellen erhält. Fehlen Potenzen (ist
also das Polynom unvollständig), so sind im Horner-Schema die
entsprechendenKoeffizienten gleich Null zu setzen.
a) Eine Nullstelle liegt bei x 1 ¼ � 2; das Polynom ist
vollständig:
� 2 20 � 24 � 144x 1 ¼ � 2 4 � 48 144
� 2 24 � 72 0 ) 1. reduziertes Polynom: � 2 x 2 þ 24 x � 72
Restliche Nullstellen: � 2 x 2 þ 24 x � 72 ¼ 0 j : ð� 2Þ ) x 2 �
12 x þ 36 ¼ 0 )
x 2=3 ¼ 6
�ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi36 � 36p
¼ 6 �ffiffiffi0p¼ 6 � 0 ¼ 6
Nullstellen: x 1 ¼ � 2 ; x 2 ¼ 6 ; x 3 ¼ 6
Produktform (Zerlegung in Linearfaktoren):
y ¼ � 2 ðx þ 2Þ ðx � 6Þ ðx � 6Þ ¼ � 2 ðx þ 2Þ ðx � 6Þ 2
1
-
b) Eine Nullstelle liegt bei x 1 ¼ 1; das Polynom ist
unvollständig (es fehlt das quadratische Glied):
2 12 0 � 44 30x 1 ¼ 1 2 14 14 � 30
2 14 14 � 30 0 ) 1. reduziertes Polynom: 2 x 3 þ 14 x 2 þ 14 x �
30
Eine weitere Nullstelle liegt bei x 2 ¼ 1; das 1. reduzierte
Polynom ist vollständig :
2 14 14 � 30x 2 ¼ 1 2 16 30
2 16 30 0 ) 2. reduziertes Polynom: 2 x 2 þ 16 x þ 30
Restliche Nullstellen: 2 x 2 þ 16 x þ 30 ¼ 0 j : 2 ) x 2 þ 8 x þ
15 ¼ 0 )
x 3=4 ¼ � 4
�ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi16 � 15p
¼ � 4 �ffiffiffi1p¼ � 4 � 1 ) x 3 ¼ � 3 ; x 4 ¼ � 5
Nullstellen: x 1 ¼ 1 ; x 2 ¼ 1 ; x 3 ¼ � 3 ; x 4 ¼ � 5
Produktform (Zerlegung in Linearfaktoren):
y ¼ 2 ðx � 1Þ ðx � 1Þ ðx þ 3Þ ðx þ 5Þ ¼ 2 ðx � 1Þ 2 ðx þ 3Þ ðx þ
5Þ
c) Eine Nullstelle liegt bei x 1 ¼ � 1; das Polynom ist
vollständig:
3 3 � 36 � 36 81 81x 1 ¼ � 1 � 3 0 36 0 � 81
3 0 � 36 0 81 0 ) 1. reduziertes Polynom: 3 x 4 � 36 x 2 þ
81
Die restlichen Nullstellen erhalten wir aus der bi-quadratischen
Gleichung 3 x 4 � 36 x 2 þ 81 ¼ 0; die wir durchdie Substitution u
¼ x 2 wie folgt lösen:
3 x 4 � 36 x 2 þ 81 ¼ 0 j : 3 ) x 4 � 12 x 2 þ 27 ¼ 0 ) u 2 � 12
u þ 27 ¼ 0 )u 1=2 ¼ 6 �
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi36 �
27p
¼ 6 �ffiffiffi9p¼ 6 � 3 ) u 1 ¼ 9 ; u 2 ¼ 3
Rücksubstitution: x 2 ¼ u 1 ¼ 9 ) x 2=3 ¼ � 3 ; x 2 ¼ u 2 ¼ 3 )
x 4=5 ¼ �ffiffiffi3p
Nullstellen: x 1 ¼ � 1 ; x 2 ¼ 3 ; x 3 ¼ � 3 ; x 4
¼ffiffiffi3p
; x 5 ¼ �ffiffiffi3p
Produktform (Zerlegung in Linearfaktoren):
y ¼ 3 ðx þ 1Þ ðx � 3Þ ðx þ 3Þ ðx �ffiffiffi3pÞ ðx þ
ffiffiffi3pÞ
d) Eine Nullstelle liegt bei x 1 ¼ � 1 ; das Polynom ist
vollständig :
1 4 4 � 6 � 37 � 30x 1 ¼ � 1 � 1 � 3 � 1 7 30
1 3 1 � 7 � 30 0 ) 1. reduziertes Polynom:x 4 þ 3 x 3 þ x 2 � 7
x � 30
2 A Funktionen und Kurven
-
Eine weitere Nullstelle liegt bei x 2 ¼ 2 ; das 1. reduzierte
Polynom ist vollständig:
1 3 1 � 7 � 30x 2 ¼ 2 2 10 22 30
1 5 11 15 0 ) 2. reduziertes Polynom: x 3 þ 5 x 2 þ 11 x þ
15
Eine weitere Nullstelle liegt bei x 3 ¼ � 3 ; das 2. reduzierte
Polynom ist vollständig :
1 5 11 15
x 3 ¼ � 3 � 3 � 6 � 151 2 5 0 ) 3. reduziertes Polynom: x 2 þ 2
x þ 5
Es gibt keine weiteren Nullstellen, da die Gleichung x 2 þ 2 x þ
5 ¼ 0 keine reellen Lösungen hat. Der quadrati-sche Faktor x 2 þ 2
x þ 5 lässt sich daher nicht weiter zerlegen.
Produktform (Zerlegung in Linearfaktoren):
y ¼ ðx þ 1Þ ðx � 2Þ ðx þ 3Þ ðx 2 þ 2 x þ 5Þ
A2Wie lautet die Gleichung der in Bild A-1
skizzierten Polynomfunktion 3. Grades?
Bei x 1 ¼ � 3 liegt eine doppelte Nullstelle (relatives Minimum,
Berührungspunkt), eine weitere einfache Nullstellegibt es bei x 2
(noch unbekannt, 0 < x 2 < 3). Wir verwenden den
Produktansatz (Zerlegung in Linearfaktoren)
y ¼ a ðx þ 3Þ 2 ðx � x 2Þ ðmit a 6¼ 0Þund bestimmen die noch
unbekannten Konstanten a und x 2 aus der Schnittstelle der Kurve
mit der y-Achse unddem Kurvenpunkt A wie folgt:
y ðx ¼ 0Þ ¼ 36 ) a ð3Þ 2 ð� x 2Þ ¼ � 9 a x 2 ¼ 36 j : ð� 9Þ )
ðIÞ a x 2 ¼ � 4A ¼ ð3 ; � 72Þ ) a ð3 þ 3Þ 2 ð3 � x 2Þ ¼ 36 a ð3 � x
2Þ ¼ � 72 j : 36 ) ðIIÞ a ð3 � x 2Þ ¼ � 2
Gleichung (I) in Gleichung (II) einsetzen:
ðIIÞ ) a ð3 � x 2Þ ¼ 3 a � a x 2|{z} ¼ 3 a þ 4 ¼ � 2 ) 3 a ¼ � 6
) a ¼ � 2� 4
ðIÞ ) a x 2 ¼ � 4 ) � 2 x 2 ¼ � 4 ) x 2 ¼ 2
Ergebnis: y ¼ � 2 ðx þ 3Þ 2 ðx � 2Þ ¼ � 2 ðx 2 þ 6 x þ 9Þ ðx �
2Þ ¼¼ � 2 ðx 3 þ 6 x 2 þ 9 x � 2 x 2 � 12 x � 18Þ ¼ � 2 ðx 3 þ 4 x
2 � 3 x � 18Þ
1 Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen) 3
y
x
3
–3
–72 A
36
Bild A-1
-
A3
y ¼ 2 x 3 þ 12 x 2 þ 19 x þ 9
a) Zeigen Sie mit Hilfe einer Koordinatentransformation , dass
diese ganzrationale Funktion bezüglich des
Kurvenpunktes A ¼ ð� 2 ; 3Þ punktsymmetrisch verläuft.b) Wo
liegen die Nullstellen?
c) Wie lautet die Produktdarstellung?
a) Wir führen eine Parallelverschiebung des x;
y-Koordinatensystems durch und wählen dabei den Punkt A als
Null-punkt des neuen u; v-Koordinatensystems. Die
Transformationsgleichungen können wir an Hand einer Skizze
direktablesen (Bild A-2):
u ¼ x þ 2 ; v ¼ y � 3bzw.
x ¼ u � 2 ; y ¼ v þ 3
Gleichung der Polynomfunktion im neuen u; v-System ðx durch u �
2 ; y durch v þ 3 ersetzenÞ :y ¼ 2 x 3 þ 12 x 2 þ 19 x þ 9 )
v þ 3 ¼ 2 ðu � 2Þ 3 þ 12 ðu � 2Þ 2 þ 19 ðu � 2Þ þ 9 ¼¼ 2 ðu 3 �
6 u 2 þ 12 u � 8Þ þ 12 ðu 2 � 4 u þ 4Þ þ 19 u � 38 þ 9 ¼¼ 2 u 3 �
12 u 2 þ 24 u � 16 þ 12 u 2 � 48 u þ 48 þ 19 u � 29 ¼ 2 u 3 � 5 u þ
3
Ergebnis: v ¼ f ðuÞ ¼ 2 u 3 � 5 uDiese Funktion enthält nur
ungerade Potenzen (ungerade Funktion) und verläuft somit
punktsymmetrisch :
f ð� uÞ ¼ 2 ð� uÞ 3 � 5 ð� uÞ ¼ � 2 u 3 þ 5 u ¼ � ð2 u 3 � 5
uÞ|fflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflffl} ¼ � f
ðuÞf ðuÞ
b) Durch Probieren finden wir eine Nullstelle bei x 1 ¼ � 1 :
Mit dem Horner-Schema erhalten wir das 1. reduziertePolynom und
daraus die restlichen Nullstellen:
2 12 19 9
x 1 ¼ � 1 � 2 � 10 � 92 10 9 0 ) 1. reduziertes Polynom: 2 x 2 þ
10 x þ 9
Restliche Nullstellen: 2 x 2 þ 10 x þ 9 ¼ 0 j : 2 ) x 2 þ 5 x þ
4;5 ¼ 0 )
x 2=3 ¼ � 2;5
�ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi6;25
� 4;5
p¼ � 2;5 �
ffiffiffiffiffiffiffiffiffi1;75
p¼ � 2;5 � 1;3229 ) x 2 ¼ � 1;1771 ; x 3 ¼ � 3;8229
Nullstellen: x 1 ¼ � 1 ; x 2 ¼ � 1;1771 ; x 3 ¼ � 3;8229
c) Produktdarstellung: y ¼ 2 ðx þ 1Þ ðx þ 1;1771Þ ðx þ
3;8229Þ
4 A Funktionen und Kurven
A
0
P
v
v
xx
y
yu
u
2
3
–2
3
Bild A-2
-
A4Die Flugbahn eines Geschosses laute wie folgt:
y ¼ � 158ðx 2 � 100 x � 416Þ ðx; y in mÞ
(Abschussort: x ¼ 0Þ . Bestimmen Sie Flugweite W und Steighöhe
(maximale Höhe) H .
Die Flugbahn ist eine nach unten geöffnete Parabel (Bild A-3).
Wir berechnen zunächst die Nullstellen und den Schei-telpunkt S ¼
ðx 0; y 0Þ der Parabel und daraus dann die gesuchten Größen.
Nullstellen: y ¼ 0 )x 2 � 100 x � 416 ¼ 0 )
x 1=2 ¼ 50
�ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2500
þ 416
p¼ 50 �
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2916
p¼ 50 � 54
x 1 ¼ � 4 ; x 2 ¼ 104
Flugweite: W ¼ x 2 ¼ 104 ðin mÞ
Die Steighöhe H ist die Ordinate y 0 des Scheitelpunktes S ,der
genau in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen liegt:
x 0 ¼ x 1 þ x 22
¼ � 4 þ 1042
¼ 50 ðin mÞ
H ¼ y 0 ¼ y ðx 0 ¼ 50Þ ¼ � 158ð50 2 � 100 � 50 � 416Þ ¼ 50;28
ðin mÞ
A5 Welche zur y-Achse spiegelsymmetrische Polynomfunktion 6.
Grades besitzt bei x 1 ¼ � 2 ; x 2 ¼ 3 undx 3 ¼ 5 jeweils
(einfache) Nullstellen und schneidet die y-Achse an der Stelle y
ð0Þ ¼ 450?
Wegen der Spiegelsymmetrie können nur gerade Potenzen
auftreten, die gesuchte Funktion hat also die Form
y ¼ a x 6 þ b x 4 þ c x 2 þ dZu jedem Kurvenpunkt gibt es ein
Spiegelbild . Dies gilt auch für die Nullstellen , d. h. es gibt
weitere Nullstellen beix 4 ¼ 2, x 5 ¼ � 3 und x 6 ¼ � 5. Damit
kennen wir sämtliche Nullstellen der noch unbekannten
Polynomfunktion6. Grades. Sie lauten also (in neuer paarweiser
Nummerierung):
x 1=2 ¼ � 2 ; x 3=4 ¼ � 3 ; x 5=6 ¼ � 5
Als Lösungsansatz für die Funktionsgleichung verwenden wir
jetzt zweckmäßigerweise den Produktansatz (mit a 6¼ 0Þ :y ¼ a ðx �
2Þ ðx þ
2Þ|fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl}
ðx � 3Þ ðx þ
3Þ|fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl}
ðx � 5Þ ðx þ
5Þ|fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl}
¼ a ðx 2 � 4Þ ðx 2 � 9Þ ðx 2 � 25Þ
x 2 � 4 x 2 � 9 x 2 � 25
Die Berechnung von a erfolgt aus der Schnittstelle mit der
y-Achse:
y ð0Þ ¼ 450 ) a ð� 4Þ ð� 9Þ ð� 25Þ ¼ � 900 a ¼ 450 ) a ¼ �
0;5
Ergebnis: y ¼ � 0;5 ðx 2 � 4Þ ðx 2 � 9Þ ðx 2 � 25Þ ¼ � 0;5 ðx 4
� 4 x 2 � 9 x 2 þ 36Þ ðx 2 � 25Þ ¼¼ � 0;5 ðx 4 � 13 x 2 þ 36Þ ðx 2
� 25Þ ¼ � 0;5 ðx 6 � 13 x 4 þ 36 x 2 � 25 x 4 þ 325 x 2 � 900Þ ¼¼ �
0;5 ðx 6 � 38 x 4 þ 361 x 2 � 900Þ ¼ � 0;5 x 6 þ 19 x 4 � 180;5 x 2
þ 450
1 Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen) 5
Flugbahn
Abschussort
x1 x2x0 x
Sy
y0H
W
Bild A-3
-
A6
Kennlinie einer Glühlampe
Eine Glühlampe stellt einen nichtlinearen elektrischen
Widerstand dar. Aus einer Messung sind die folgen-
den Strom-Spannungs-Wertepaare bekannt ( I : Stromstärke in
Ampere; U : Spannung in Volt):
I /A 0 0,1 0,2 0,5
U /V 0 21,0 48,0 225,0
a) Bestimmen Sie aus diesen Messwerten ein Näherungspolynom 3.
Grades für die unbekannte Kennlinie
U ¼ f ðIÞ der Glühlampe.b) Welcher Spannungsabfall ist bei
einer Stromstärke von I ¼ 0;3 A zu erwarten?Anleitung: Verwenden
Sie die Interpolationsformel von Newton (! Band 1, Kap. III.5.6 und
FS,
Kap. III.4.7.3)
a) Interpolationsformel von Newton :
U ¼ f ðIÞ ¼ a 0 þ a 1 ðI � I 0Þ þ a 2 ðI � I 0Þ ðI � I 1Þ þ a 3
ðI � I 0Þ ðI � I 1Þ ðI � I 2Þ ¼¼ a 0 þ a 1 ðI � 0Þ þ a 2 ðI � 0Þ ðI
� 0;1Þ þ a 3 ðI � 0Þ ðI � 0;1Þ ðI � 0;2Þ ¼¼ a 0 þ a 1 I þ a 2 I ðI
� 0;1Þ þ a 3 I ðI � 0;1Þ ðI � 0;2Þ
Berechnung der Koeffizienten a 0; a 1; a 2 und a 3 aus dem
Steigungs- oder Differenzenschema :
k I k U k
0
1
2
3
0
0,1
0,2
0,5
a 0
0
21
48
225
a 1
210
270
590
a 2
300
800
a 3
1000
Somit:
a 0 ¼ 0 ; a 1 ¼ 210 ;a 2 ¼ 300 ; a 3 ¼ 1000
Näherungspolynom 3. Grades für die unbekannte Kennlinie U ¼ f
ðIÞ :U ¼ f ðIÞ ¼ 0 þ 210 I þ 300 I ðI � 0;1Þ þ 1000 I ðI � 0;1Þ ðI
� 0;2Þ ¼¼ 210 I þ 300 I 2 � 30 I þ 1000 I ðI 2 � 0;1 I � 0;2 I þ
0;02Þ ¼¼ 180 I þ 300 I 2 þ 1000 I ðI 2 � 0;3 I þ 0;02Þ ¼¼ 180 I þ
300 I 2 þ 1000 I 3 � 300 I 2 þ 20 I ¼ 200 I þ 1000 I 3
Unter Berücksichtigung der Einheiten:
U ¼ f ðIÞ ¼ 200 VA� I þ 1000 V
A3� I 3
(siehe Bild A-4)
Anmerkung: Es ist kein Zufall, dass der Zusammenhang
zwischenSpannung und Stromstärke punktsymmetrisch ist (nur
ungeradePotenzen). Denn: Bei einer �nderung der Stromrichtung
ändertsich lediglich die Richtung der abfallenden Spannung!
b) U ¼ f ðI ¼ 0;3 AÞ ¼ 200 VA� 0;3 A þ 1000 V
A 3� ð0;3 AÞ 3 ¼
¼ 60 V þ 27 V ¼ 87 V
6 A Funktionen und Kurven
250
200
150
100
50
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 I/A
U/V
Bild A-4
-
A7
Biegelinie eines Trägers
Ein im Punkt A eingespannter Träger mit einem
zusätzlichen Gelenklager (Punkt B) wird durch eine
konstante Streckenlast q belastet (Bild A-5). Die
Biegelinie lässt sich dabei durch die folgende Polynom-
funktion 4. Grades beschreiben (y ist die Durchbiegung
an der Stelle x):
y ðxÞ ¼ q l3
48E I� x 1 � 3 x
l
� �2þ 2 x
l
� �3" #
(0 � x � l; l : Länge des Trägers; E I :
Biegesteifigkeit).
An welchen Stellen des Trägers findet keine Durchbiegung statt,
wo ist die größte Durchbiegung?
Skizzieren Sie den Verlauf der Biegelinie (Wertetabelle
erstellen).
Hinweis: Die Stelle der größten Durchbiegung lässt sich exakt
nur mit Hilfe der Differentialrechnung
bestimmen.
Zur Vereinfachung führen wir eine neue Variable u ¼ x = l mit 0
� u � 1 ein. Die Gleichung der Biegelinie lautetdann (wir erweitern
zunächst mit l ):
y ðxÞ ¼ q l3
48E I� x 1 � 3 x
l
� �2þ 2 x
l
� �3" #¼ q l
4
48E I� x
l
� �1 � 3 x
l
� �2þ 2 x
l
� �3" #)
y ðuÞ ¼ K � u ð1 � 3 u 2 þ 2 u 3Þ ¼ K � u ð2 u 3 � 3 u 2 þ 1Þ
mit K ¼ q l4
48E I> 0 und 0 � u � 1
Berechnung der Nullstellen im Intervall 00 � u � 1Aus
physikalischen Gründen ist einleuchtend, dass in den Randpunkten A
und B keine Durchbiegung stattfindenkann. Somit sind u 1 ¼ 0 und u
2 ¼ 1 Nullstellen der Biegelinie. Sämtliche Nullstellen erhält
man aus der Glei-chung y ðuÞ ¼ 0 , d. h.
K � u ð2 u 3 � 3 u 2 þ 1Þ ¼ 0u ¼ 0 ) u1 ¼ 02 u 3 � 3 u 2 þ 1 ¼
0
u 1 ¼ 0 ist dabei die (bereits bekannte) Lösung der linearen
Gleichung u ¼ 0 , u 2 ¼ 1 eine Lösung der kubischenGleichung 2 u 3
� 3 u 2 þ 1 ¼ 0 (ebenfalls schon bekannt). Die restlichen Lösungen
der kubischen Gleichung erhal-ten wir mit Hilfe des Horner-Schemas
durch Reduzierung des Polynoms 2 u 3 � 3 u 2 þ 1 (Abspaltung des
Linearfak-tors u � 1; das Polynom ist unvollständig):
2 � 3 0 1u 2 ¼ 1 2 � 1 � 1
2 � 1 � 1 0 ) 1. reduziertes Polynom: 2 u 2 � u � 1
Restliche Nullstellen: 2 u 2 � u � 1 ¼ 0 j : 2 ) u 2 � 0;5 u �
0;5 ¼ 0 )
u 3=4 ¼ 0;25
�ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi0;0625
þ 0;5
p¼ 0;25 �
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi0;5625
p¼ 0;25 � 0;75 ) u 3 ¼ 1 ; u 4 ¼ � 0;5
Am Ort der Einspannung (Punkt A) liegt somit eine doppelte
Nullstelle ðu 2=3 ¼ 1Þ , der Wert u 4 ¼ � 0;5 dagegenhat keine
physikalische Bedeutung (er liegt außerhalb des Trägers).
Folgerung: Zwischen den Randpunkten A und B des Trägers gibt es
keine weiteren Stellen ohne Durchbiegung.
1 Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen) 7
q = const.
Träger
Biegelinie
AB
y l
x
Bild A-5
-
Ort der maximalen Durchbiegung
Eine exakte Berechnung dieser Stelle ist nur mit Hilfe der
Differentialrechnung über die 1. und 2. Ableitung der Biege-linie
möglich:
y ¼ K ð2 u 4 � 3 u 3 þ uÞ ) y 0 ¼ K ð8 u 3 � 9 u 2 þ 1Þ ; y 00 ¼
K ð24 u 2 � 18 uÞAus der notwendigen Bedingung y 0 ¼ 0 erhalten wir
eine kubische Gleichung, von der wir bereits eine Lösungkennen
(nämlich u 1 ¼ 1 ; an dieser Stelle besitzt die Biegelinie
bekanntlich eine doppelte Nullstelle!) :
y 0 ¼ 0 ) K ð8 u 3 � 9 u 2 þ 1Þ ¼ 0 j : K ) 8 u 3 � 9 u 2 þ 1 ¼
0Die restlichen Lösungen dieser Gleichung bestimmen wir mit Hilfe
des Horner-Schemas (Abspalten des Linearfaktorsu � 1; das Polynom
ist unvollständig):
8 � 9 0 1u 1 ¼ 1 8 � 1 � 1
8 � 1 � 1 0 ) 1. reduziertes Polynom: 8 u 2 � u � 1
Restliche Nullstellen: 8 u 2 � u � 1 ¼ 0 j : 8 ) u 2 � 18u �
1
8¼ 0 )
u 2=3 ¼ 116�
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi1
16 2þ 1
8
r¼ 1
16�
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi1 þ 3216
2
r¼ 1
16�
ffiffiffiffiffiffiffiffiffi33
16 2
r¼ 1 �
ffiffiffiffiffi33p
16¼ 1 � 5;7446
16)
u 2 ¼ 0;4215 ; u 3 ¼ � 0;2965 < 0 ðohne physikalische
BedeutungÞ
Umformungen: Brüche des Radikanden gleichnamig machen
(Hauptnenner: 16 2), den 2. Bruch also mit 2 � 16 ¼ 32erweitern,
dann Teilwurzeln ziehen.
Wegen y 00 ðu 2 ¼ 0;4215Þ ¼ K � ð� 3;3231Þ ¼ � 3;3231K < 0
liegt ein Maximum vor. Die größte Durch-biegung findet daher an
der Stelle u 2 ¼ 0;4215 und somit x 2 ¼ 0;4215 l statt. Sie hat den
Werty ðu 2 ¼ 0;4215Þ ¼ 0;2600K. An der Stelle u 1 ¼ 1 (Punkt A)
liegt ein Minimum (keine Durchbiegung).Der Kurvenverlauf (ermittelt
mit Hilfe der folgenden Wertetabelle) bestätigt diese Ergebnisse
(Bild A-6).
Wertetabelle (ohne den Faktor K > 0Þ
u 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
y 0 0,097 0,179 0,235 0,259 0,25 0,211 0,151 0,083 0,025 0
8 A Funktionen und Kurven
0,5 1 u
0,4215
y
Biegelinie
Bild A-6
-
2 Gebrochenrationale Funktionen
Hinweise
Lehrbuch: Band 1, Kapitel III.6
Formelsammlung: Kapitel III.5
A8y ¼ ðx � 1Þ ðx þ 5Þðx þ 1Þ 2 ðx � 3Þ
Bestimmen Sie folgende Eigenschaften: Definitionslücken,
Nullstellen, Pole, Asymptoten, Schnittpunkt
mit der y-Achse. Skizzieren Sie den Kurvenverlauf.
Definitionslücken: Nenner ¼ 0 ) ðx þ 1Þ 2 ðx � 3Þ ¼ 0 ) x ¼ � 1
; x ¼ 3
Nullstellen: Zähler ¼ 0 , Nenner 6¼ 0 ) ðx � 1Þ ðx þ 5Þ ¼ 0 ) x
1 ¼ 1 ; x 2 ¼ � 5
Pole: Nenner ¼ 0 , Zähler 6¼ 0 ) ðx þ 1Þ 2 ðx � 3Þ ¼ 0 ) x 3=4
¼ � 1 ; x 5 ¼ 3Bei � 1 liegt ein Pol ohne Vorzeichenwechsel, bei 3
ein solcher mit Vorzeichenwechsel.
Polgeraden (senkrechte Asymptoten): x ¼ � 1 ; x ¼ 3
Verhalten der Funktion im „Unendlichen“
Die Funktion ist echt gebrochen (Zähler: quadratisch, Nenner:
kubisch), sie nähert sich daher für x ! �1 asympto-tisch der
x-Achse ðy ¼ 0Þ .
Asymptote im „Unendlichen“: y ¼ 0
Schnittpunkt mit der y-Achse: y ð0Þ ¼ ð�1Þ ð5Þð1Þ 2 ð� 3Þ ¼5
3
Kurvenverlauf: siehe Bild A-7
Die Kurve nähert sich für x ! �1 von unten der x-Achse, links
von der Nullstelle x 2 ¼ � 5 besitzt sie dahernoch ein relatives
Minimum (die genaue Lage lässt sich nur mit Hilfe der
Differentialrechnung bestimmen).
2 Gebrochenrationale Funktionen 9
2
1
–1
–2
–8 –6 –4 –2 1 2 4 6 x
x = –1 x = 3
5/3
y
Bild A-7
-
A9
Diskutieren Sie den Verlauf der gebrochenrationalen Funktion
y ¼ 2 x4 � 2 x 3 � 20 x 2 þ 8 x þ 48
x 3 þ x 2 � 4 x � 4
(Definitionslücken, Nullstellen, Pole, Asymptoten, Schnittpunkt
mit der y-Achse). Gibt es hebbare Defini-
tionslücken? Wie lautet gegebenenfalls die „erweiterte“
Funktion? Skizzieren Sie den Kurvenverlauf.
Sinnvoller Weise zerlegen wir zunächst Zähler und Nenner in
Linearfaktoren.
Zähler: Z ðxÞ ¼ 2 x 4 � 2 x 3 � 20 x 2 þ 8 x þ 48 ¼ 0Durch
Probieren findet man die Lösung x 1 ¼ 2, mit dem Horner-Schema
wird dann reduziert :
2 � 2 � 20 8 48x 1 ¼ 2 4 4 � 32 � 48
2 2 � 16 � 24 0 ) 1. reduziertes Polynom: 2 x 3 þ 2 x 2 � 16 x �
24
Eine weitere Nullstelle liegt bei x 2 ¼ 3:
2 2 � 16 � 24x 2 ¼ 3 6 24 24
2 8 8 0 ) 2. reduziertes Polynom: 2 x 2 þ 8 x þ 8
Restliche Zählernullstellen: 2 x 2 þ 8 x þ 8 ¼ 0 j : 2 ) x 2 þ
4 x þ 4 ¼ ðx þ 2Þ 2 ¼ 0 ) x 3=4 ¼ � 2Zähler: Z ðxÞ ¼ 2 x 4 � 2 x 3
� 20 x 2 þ 8 x þ 48 ¼ 2 ðx � 2Þ ðx � 3Þ ðx þ 2Þ 2
Nenner: N ðxÞ ¼ x 3 þ x 2 � 4 x � 4 ¼ 0Durch Probieren erhält
man die Lösung x 1 ¼ � 1, mit dem Horner-Schema wird reduziert
:
1 1 � 4 � 4x 1 ¼ � 1 � 1 0 4
1 0 � 4 0 ) 1. reduziertes Polynom: x 2 � 4
Restliche Nennernullstellen: x 2 � 4 ¼ 0 ) x 2 ¼ 4 ) x 2=3 ¼ �
2Nenner: N ðxÞ ¼ x 3 þ x 2 � 4 x � 4 ¼ ðx þ 1Þ ðx � 2Þ ðx þ 2ÞDie
(unecht) gebrochenrationale Funktion lässt sich damit auch wie
folgt darstellen:
y ¼ 2 x4 � 2 x 3 � 20 x 2 þ 8 x þ 48
x 3 þ x 2 � 4 x � 4 ¼2 ðx � 2Þ ðx � 3Þ ðx þ 2Þ 2ðx þ 1Þ ðx � 2Þ
ðx þ 2Þ ðx 6¼ � 1; 2; � 2Þ
Es gibt drei Definitionslücken bei � 1, 2 und � 2 (dort wird
der Nenner jeweils gleich Null). Zähler und Nennerhaben bei x ¼ 2
und x ¼ � 2 gemeinsame Nullstellen, diese Definitionslücken sind
jedoch beide behebbar, da diejeweiligen Grenzwerte vorhanden
sind:
limx! 2
2 ðx � 2Þ ðx � 3Þ ðx þ 2Þ 2ðx þ 1Þ ðx � 2Þ ðx þ 2Þ ¼ limx! 2
2 ðx � 3Þ ðx þ 2Þ 2ðx þ 1Þ ðx þ 2Þ ¼
2 ð� 1Þ ð4Þ 2ð3Þ ð4Þ ¼ �
8
3
limx!�2
2 ðx � 2Þ ðx � 3Þ ðx þ 2Þ 2ðx þ 1Þ ðx � 2Þ ðx þ 2Þ ¼ limx!�
2
2 ð x � 2Þ ðx � 3Þ ðx þ 2Þ ðx þ 2Þðx þ 1Þ ðx � 2Þ ðx þ 2Þ ¼
¼ limx!�2
2 ðx � 2Þ ðx � 3Þ ðx þ 2Þðx þ 1Þ ðx � 2Þ ¼
2 ð� 4Þ ð� 5Þ ð0Þð� 1Þ ð� 4Þ ¼ 0
10 A Funktionen und Kurven
-
„Erweiterte“ Funktion und ihre Eigenschaften
Die „erweiterte“ Funktion y * erhalten wir durch kürzen der
gemeinsamen Faktoren:
y ¼ 2 ðx � 2Þ ðx � 3Þ ðx þ 2Þ ðx þ 2Þðx þ 1Þ ðx � 2Þ ðx þ 2Þ !
y* ¼ 2 ðx � 3Þ ðx þ 2Þ
x þ 1 ðx 6¼ � 1Þ
Wir bestimmen zunächst die Eigenschaften dieser Funktion.
Definitionsbereich: x 6¼ � 1
Nullstellen: ðx � 3Þ ðx þ 2Þ ¼ 0 ) x 1 ¼ 3 ; x 2 ¼ � 2
Pole: x þ 1 ¼ 0 ) x 3 ¼ � 1 (Pol mit Vorzeichenwechsel)
Polgerade (senkrechte Asymptote): x ¼ � 1
Verhalten im „Unendlichen“
Die Funktion ist unecht gebrochenrational (Grad des Zählers
> Grad des Nenners). Wir zerlegen sie durch Polynom-division wie
folgt:
y * ¼ 2 ðx � 3Þ ðx þ 2Þx þ 1 ¼
2 ðx 2 � 3 x þ 2 x � 6Þx þ 1 ¼
2 ðx 2 � x � 6Þx þ 1 ¼
2 x 2 � 2 x � 12x þ 1
y * ¼ ð2 x 2 � 2 x � 12Þ : ðx þ 1Þ ¼ 2 x � 4 � 8x þ
1|fflffl{zfflffl}�ð2 x 2 þ 2 xÞ
� 4 x � 12 echt gebrochen�ð� 4 x � 4Þ
� 8Für große x-Werte (d. h. für x ! �1) wird der echt
gebrochenrationale Anteil vernachlässigbar klein (er strebtgegen
Null). Unsere Kurve nähert sich daher „im Unendlichen“
asymptotisch der Geraden y ¼ 2 x � 4.
Asymptote im Unendlichen: y ¼ 2 x � 4
Schnittpunkt mit der y-Achse: y ðx ¼ 0Þ ¼ � 12
Kurvenverlauf: siehe Bild A-8
Gezeichnet ist die „erweiterte“ Funktion; nimmt man die beiden
dick gekennzeichneten Punkte heraus, erhält man denVerlauf der
Ausgangsfunktion (Definitionslücken bei � 1, � 2 und 2).
2 Gebrochenrationale Funktionen 11
x = –1
20
10
–10–12
–20
–5 –2
1 2
3 5
y x= 2 – 4
y
xBild A-8
-
A10
Bestimmen Sie den Verlauf der gebrochenrationalen Funktion
y ¼ 2 ðx2 � 6 x þ 9Þðx þ 3Þ 2 ðx 6¼ � 3Þ
aus den Null- und Polstellen, den Asymptoten und dem
Schnittpunkt mit der y-Achse.
Wir zerlegen zunächst den Zähler Z ðxÞ in Linearfaktoren: Z
ðxÞ ¼ 2 ðx 2 � 6 x þ 9Þ ¼ 2 ðx � 3Þ 2 . Somit gilt :
y ¼ 2 ðx2 � 6 x þ 9Þðx þ 3Þ 2 ¼
2 ðx � 3Þ 2ðx þ 3Þ 2 ðx 6¼ � 3Þ
Wir stellen fest: Zähler und Nenner haben keine gemeinsamen
Nullstellen. Damit ergeben sich folgende
Funktions-eigenschaften:
Nullstellen: Z ðxÞ ¼ 2 ðx � 3Þ 2 ¼ 0 ) x 1=2 ¼ 3(doppelte
Nullstelle, d. h. Berührungspunkt und relativer Extremwert)
Pole: N ðxÞ ¼ ðx þ 3Þ 2 ¼ 0 ) x 3=4 ¼ � 3 (Pol ohne
Vorzeichenwechsel)
Polgerade (senkrechte Asymptote): x ¼ � 3
Verhalten im „Unendlichen“
Die Funktion ist unecht gebrochenrational ðZ ðxÞ und N ðxÞ sind
jeweils Polynome 2. Grades), wir müssen sie daherzunächst durch
Polynomdivision zerlegen:
y ¼ 2 ðx � 3Þ2
ðx þ 3Þ 2 ¼2 ðx 2 � 6 x þ 9Þðx þ 3Þ 2 ¼
2 x 2 � 12 x þ 18x 2 þ 6 x þ 9
y ¼ ð2 x 2 � 12 x þ 18Þ : ðx 2 þ 6 x þ 9Þ ¼ 2 � 24 xx 2 þ 6 x þ
9|fflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl}�ð2
x 2 þ 12 x þ 18Þ
� 24 x echt gebrochen
Im „Unendlichen“, d. h. für x ! �1 verschwindet der echt
gebrochenrationale Anteil und die Kurve nähert sichasymptotisch
der Geraden y ¼ 2 (Parallele zur x-Achse).Asymptote im
„Unendlichen“: y ¼ 2Schnittpunkt mit der y-Achse: y ðx ¼ 0Þ ¼ 2
Kurvenverlauf: siehe Bild A-9
12 A Funktionen und Kurven
x = –3
y = 2
y
x–15 –10 –3 3 10 15
2
20
10
Bild A-9
-
A11
Diskutieren Sie den Verlauf der gebrochenrationalen Funktion
y ¼ ðx þ 1Þ2 ðx 2 þ x � 2Þ
x 3 þ 5 x 2 þ 6 x(Definitionslücken, Null- und Polstellen,
Asymptoten, Schnittpunkt mit der y-Achse). Prüfen Sie, ob es
hebbare Definitionslücken gibt und skizzieren Sie die Funktion
bzw. die „erweiterte“ Funktion.
Wir zerlegen zunächst Zähler Z ðxÞ und Nenner N ðxÞ in
Linearfaktoren :
Zähler: Z ðxÞ ¼ ðx þ 1Þ 2 ðx 2 þ x � 2Þ ¼ 0Faktor x 2 þ x � 2
in Linearfaktoren zerlegen:
x 2 þ x � 2 ¼ 0 ) x 1=2 ¼ � 0;5
�ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi0;25 þ
2
p¼ � 0;5 �
ffiffiffiffiffiffiffiffiffi2;25
p¼ � 0;5 � 1;5 )
x 1 ¼ 1 ; x 2 ¼ � 2Z ðxÞ ¼ ðx þ 1Þ 2 ðx 2 þ x � 2Þ ¼ ðx þ 1Þ 2
ðx � 1Þ ðx þ 2Þ
N ðxÞ ¼ x 3 þ 5 x 2 þ 6 x ¼ 0 ) x ðx 2 þ 5 x þ 6Þ ¼ 0x ¼ 0 ) x 1
¼ 0x 2 þ 5 x þ 6 ¼ 0
Nenner:
x 2 þ 5 x þ 6 ¼ 0 ) x 2=3 ¼ � 2;5
�ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi6;25 �
6
p¼ � 2;5 �
ffiffiffiffiffiffiffiffiffi0;25
p¼ � 2;5 � 0;5 )
x 2 ¼ � 2 ; x 3 ¼ � 3N ðxÞ ¼ x 3 þ 5 x 2 þ 6 x ¼ ðx � 0Þ ðx þ 2Þ
ðx þ 3Þ ¼ x ðx þ 2Þ ðx þ 3Þ
Somit gilt:
y ¼ ðx þ 1Þ2 ðx 2 þ x � 2Þ
x 3 þ 5 x 2 þ 6 x ¼ðx þ 1Þ 2 ðx � 1Þ ðx þ 2Þ
x ðx þ 2Þ ðx þ 3ÞDefinitionslücken liegen bei 0, � 2 und � 3.
Da Zähler und Nenner an der Stelle x ¼ � 2 eine gemeinsame
ein-fache Nullstelle haben, ist der Grenzwert an dieser Stelle
jedoch vorhanden:
limx!�2
ðx þ 1Þ 2 ðx � 1Þ ðx þ 2Þx ðx þ 2Þ ðx þ 3Þ ¼ limx!�2
ðx þ 1Þ 2 ðx � 1Þx ðx þ 3Þ ¼
ð� 1Þ 2 ð� 3Þ� 2 ð1Þ ¼
3
2
Die Definitionslücke bei x ¼ � 2 lässt sich daher beheben , in
dem wir nachträglich diesen Grenzwert zum Funktions-wert an der
Stelle x ¼ � 2 erklären. Wir erhalten dann die „erweiterte“
Funktion
y * ¼ ðx þ 1Þ2 ðx � 1Þ
x ðx þ 3Þ ðx 6¼ 0 ; � 3Þ
(sie entsteht aus der Ausgangsfunktion durch Kürzen des
gemeinsamen Faktors x þ 2). Diese Funktion besitzt nurnoch zwei
Definitionslücken bei 0 und � 3. Wir ermitteln nun die
Eigenschaften der „erweiterten“ Funktion y *.
Definitionslücken: x ¼ 0 ; x ¼ � 3
Nullstellen: Z ðxÞ ¼ ðx þ 1Þ 2 ðx � 1Þ ¼ 0 ) x 1=2 ¼ � 1 ; x 3 ¼
1Die doppelte Nullstelle x 1=2 ¼ � 1 ist zugleich ein
Berührungspunkt mit der x-Achse und somit ein relativer
Extrem-wert .
Pole: N ðxÞ ¼ x ðx þ 3Þ ¼ 0 ) x 4 ¼ 0 ; x 5 ¼ � 3 (bei Pole mit
Vorzeichenwechsel)
Polgeraden (senkrechte Asymptoten): x ¼ 0 ðy-AchseÞ ; x ¼ �
3
2 Gebrochenrationale Funktionen 13
-
Verhalten im „Unendlichen“
Die Funktion ist unecht gebrochenrational (Grad des Zählers
> Grad des Nenners), wir zerlegen sie daher zunächst mitHilfe
der Polynomdivision in einen ganzrationalen und einen echt
gebrochenrationalen Anteil :
y * ¼ ðx þ 1Þ2 ðx � 1Þ
x ðx þ 3Þ ¼ðx 2 þ 2 x þ 1Þ ðx � 1Þ
x 2 þ 3 x ¼x 3 þ 2 x 2 þ x � x 2 � 2 x � 1
x 2 þ 3 x ¼x 3 þ x 2 � x � 1
x 2 þ 3 x
y * ¼ ðx 3 þ x 2 � x � 1Þ : ðx 2 þ 3 xÞ ¼ x � 2 þ 5 x � 1x 2 þ 3
x|fflfflfflfflffl{zfflfflfflfflffl}�ðx 3 þ 3 x 2Þ
� 2 x 2 � x � 1 echt gebrochen�ð� 2 x 2 � 6 xÞ
5 x � 1
Für x ! �1 verschwindet der echt gebrochenrationale Anteil, die
Kurve nähert sich dann asymptotisch der Geradeny ¼ x � 2.
Asymptote im „Unendlichen“: y ¼ x � 2
Schnittpunkt mit der y-Achse: nicht vorhanden (Polstelle bei x ¼
0Þ
Funktionsverlauf: siehe Bild A-10
Gezeichnet wurde die „erweiterte“ Funktion y *.Die
Ausgangsfunktion y hat an der fett gezeich-neten Stelle ðx ¼ � 2Þ
eine weitere Definitions-lücke, ansonsten aber den gleichen
Verlauf wie die„erweiterte“ Funktion.
A12
Eine gebrochenrationale Funktion besitzt an den Stellen x 1 ¼ �
2 und x 2 ¼ 5 einfache Nullstellenund bei x 3 ¼ 0 und x 4 ¼ 6 Pole
1. Ordnung. Für große x-Werte, d. h. für x ! �1 nähert siesich
asymptotisch der Geraden y ¼ � 2. Durch welche Gleichung lässt
sich diese Funktion beschrei-ben? Skizzieren Sie den
Kurvenverlauf.
Die Nullstellen der gesuchten Funktion sind die Nullstellen des
Zählerpolynoms Z ðxÞ, die Pole die Nullstellen desNennerpolynoms N
ðxÞ (gemeinsame Nullstellen gibt es nicht). Wir wählen daher für
Zähler und Nenner den Produkt-ansatz :
y ¼ Z ðxÞN ðxÞ ¼
a ðx þ 2Þ ðx � 5Þðx � 0Þ ðx � 6Þ ¼
a ðx þ 2Þ ðx � 5Þx ðx � 6Þ ðx 6¼ 0 ; 6Þ
Die Asymptote im „Unendlichen“, deren Gleichung bekannt ist ðy ¼
� 2Þ , erhält man durch Polynomdivision. Sieentspricht dabei dem
ganzrationalen Anteil, der bei dieser Division entsteht:
y ¼ a ðx þ 2Þ ðx � 5Þx ðx � 6Þ ¼
a ðx 2 þ 2 x � 5 x � 10Þx 2 � 6 x ¼ a �
x 2 � 3 x � 10x 2 � 6 x
14 A Funktionen und Kurven
10
5
–5
–10x = –3
y x= – 2
–8 –6 –4 –2 –1 2 4 x
y
Bild A-10
-
Polynomdivision (der Faktor a 6¼ 0 wird zunächst
weggelassen):
ðx 2 � 3 x � 10Þ : ðx 2 � 6 xÞ ¼ 1 þ 3 x � 10x 2 � 6 x�ðx 2 � 6
xÞ
3 x � 10Damit erhalten wir die folgende Zerlegung:
y ¼ a � x2 � 3 x � 10x 2 � 6 x ¼ a 1 þ
3 x � 10x 2 � 6 x
� �|fflfflfflfflffl{zfflfflfflfflffl}
echt gebrochen
Im „Unendlichen“ verschwindet der echt gebrochenrationale Anteil
und die Funktion nähert sich asymptotisch derGeraden y ¼ a
(Parallele zur x-Achse). Sie ist identisch mit der Geraden y ¼ � 2,
woraus folgt: a ¼ � 2. Diegesuchte Funktionsgleichung lautet
somit:
y ¼ � 2 ðx þ 2Þ ðx � 5Þx ðx � 6Þ ¼
� 2 ðx 2 � 3 x � 10Þx 2 � 6 x ðx 6¼ 0 ; 6Þ
Kurvenverlauf: siehe Bild A-11
A13
Eine gebrochenrationale Funktion besitze folgende
Eigenschaften:
Doppelte Nullstelle bei x 1=2 ¼ 2 ;Einfache Polstellen bei x 3 ¼
� 4; x 4 ¼ 0 und x 5 ¼ 10 ;Punkt P ¼ ð1; 0;2Þ liegt auf der
Kurve.
a) Wie lautet die Funktionsgleichung?
b) Skizzieren Sie den Kurvenverlauf.
a) Die Nullstellen der gesuchten Funktion sind die Nullstellen
des Zählerpolynoms, die Polstellen dagegen die Null-stellen des
Nennerpolynoms. Die Linearfaktorenzerlegung von Zähler und Nenner
ist somit (bis auf einen nochunbekannten Faktor a 6¼ 0) bekannt.
Wir wählen daher den folgenden Ansatz (Zähler und Nenner jeweils
in derProduktform):
y ¼ a � ðx � 2Þ ðx � 2Þðx þ 4Þ ðx � 0Þ ðx � 10Þ ¼ a �ðx � 2Þ
2
x ðx þ 4Þ ðx � 10Þ ðx 6¼ � 4 ; 0 ; 10Þ
Die Konstante a bestimmen wir aus dem Kurvenpunkt P ¼ ð1 ; 0;2Þ
:
y ðx ¼ 1Þ ¼ 0;2 ) a � ð� 1Þ2
1 ð5Þ ð� 9Þ ¼ 0;2 ) �1
45a ¼ 0;2 ) a ¼ � 9
y ¼ � 9 � ðx � 2Þ2
x ðx þ 4Þ ðx � 10ÞFunktionsgleichung:
2 Gebrochenrationale Funktionen 15
y
x
x = 6
2 4 5 6 8 10
10/3
6
4
2
–2
–4
–6
–6 –4
–2
y = –2
x = 0
Bild A-11
-
b) Nullstellen: x 1=2 ¼ 2 (Berührungspunkt und relativer
Extremwert)Pole: x 3 ¼ � 4 ; x 4 ¼ 0 ; x 5 ¼ 10 (alle mit
Vorzeichenwechsel)Asymptote im „Unendlichen“: y ¼ 0 (die Funktion
ist echt gebrochenrational)Schnittpunkt mit der y-Achse: nicht
vorhanden (Polstelle bei x ¼ 0ÞKurvenverlauf: siehe Bild A-12
Es ist hier sinnvoll, einige Kurvenpunkte zu berechnen
(insbesondere im Intervall � 4 < x < 0 wissen wir wenigüber
den Verlauf der Kurve).
Wertetabelle:
x y
� 10 1;08� 8 1;56� 5 5;88� 3 � 5;77� 2 � 3� 1 � 2;45
1 0;2
5 0;36
8 1;69
9 3;77
11 � 4;4215 � 1;0720 � 0;61
A14
Eine gebrochenrationale Funktion y ¼ Z ðxÞ =N ðxÞ schneide die
y-Achse bei 3. Sämtliche Nullstellendes Zählerpolynoms Z ðxÞ und
des Nennerpolynoms N ðxÞ sind bekannt:
Z ðxÞ : x 1 ¼ 2 ; x 2 ¼ � 1 ; N ðxÞ : x 3=4 ¼ 1 ; x 5 ¼ 4a)
Bestimmen Sie die Gleichung dieser Funktion und skizzieren Sie den
Kurvenverlauf.
b) Wie lautet die Partialbruchzerlegung der Funktion?
a) Zähler und Nenner können in der Produktform angesetzt
werden, da alle Nullstellen des Zähler- und Nennerpoly-noms
bekannt sind:
y ¼ a ðx � 2Þ ðx þ 1Þðx � 1Þ ðx � 1Þ ðx � 4Þ ¼a ðx � 2Þ ðx þ
1Þðx � 1Þ 2 ðx � 4Þ ðx 6¼ 1 ; 4Þ
Die Berechnung der Konstanten a 6¼ 0 erfolgt aus dem (bekannten)
Schnittpunkt mit der y-Achse:
y ðx ¼ 0Þ ¼ 3 ) a ð� 2Þ ð1Þð� 1Þ 2 ð� 4Þ ¼� 2 a� 4 ¼
a
2¼ 3 ) a ¼ 6
Funktionsgleichung : y ¼ 6 ðx � 2Þ ðx þ 1Þðx � 1Þ 2 ðx � 4Þ ðx
6¼ 1 ; 4Þ
Eigenschaften der Funktion
Nullstellen: x 1 ¼ 2 ; x 2 ¼ � 1Pole: x 3=4 ¼ 1 (Pol ohne
Vorzeichenwechsel); x 5 ¼ 4 (Pol mit Vorzeichenwechsel)Polgeraden
(senkrechte Asymptoten): x ¼ 1 ; x ¼ 4
16 A Funktionen und Kurven
6
4
2
–2
–4
–6
2 4 8 12
16
–8 –4
x = 10
x
y
x = –4
Bild A-12
-
Asymptote im „Unendlichen“: y ¼ 0 (die Funktion ist echt
gebrochenrational)Schnittpunkt mit der y-Achse: y ðx ¼ 0Þ ¼
3Kurvenverlauf: siehe Bild A-13
Wertetabelle:
x y
� 10 � 0;38� 8 � 0;43� 6 � 0;49� 4 � 0;54� 2 � 0;44
3 � 65 6;75
10 1;09
b) 1. Schritt: Berechnung der Nennernullstellen
N ðxÞ ¼ ðx � 1Þ 2 ðx � 4Þ ¼ 0 ) x 1=2 ¼ 1 ; x 3 ¼ 42. Schritt:
Zuordnung der Partialbrüche
x 1=2 ¼ 1 ðdoppelte NullstelleÞ ! Ax � 1 þB
ðx � 1Þ 2
x 3 ¼ 4 ðeinfache NullstelleÞ ! Cx � 4
3. Schritt: Partialbruchzerlegung (Ansatz)
6 ðx � 2Þ ðx þ 1Þðx � 1Þ 2 ðx � 4Þ ¼
A
x � 1 þB
ðx � 1Þ 2 þC
x � 44. Schritt: Alle Brüche werden gleichnamig gemacht, d. h.
auf den Hauptnenner ðx � 1Þ 2 ðx � 4Þ gebracht.Dazu müssen die
Teilbrüche der rechten Seite der Reihe nach mit ðx � 1Þ ðx � 4Þ,
ðx � 4Þ bzw. ðx � 1Þ 2erweitert werden:
6 ðx � 2Þ ðx þ 1Þðx � 1Þ 2 ðx � 4Þ ¼
A ðx � 1Þ ðx � 4Þ þ B ðx � 4Þ þ C ðx � 1Þ 2ðx � 1Þ 2 ðx � 4Þ
Da die Nenner beider Seiten übereinstimmen, gilt dies auch für
die Zähler:
6 ðx � 2Þ ðx þ 1Þ ¼ A ðx � 1Þ ðx � 4Þ þ B ðx � 4Þ þ C ðx � 1Þ
2
Um die drei Konstanten A; B und C zu bestimmen, benötigen wir
drei Gleichungen. Diese erhalten wir durchEinsetzen der Werte x ¼
1; x ¼ 4 (es sind die Nullstellen des Nenners) und x ¼ 0:
x ¼ 1 6 ð� 1Þ ð2Þ ¼ � 3B ) � 3B ¼ � 12 ) B ¼ 4
x ¼ 4 6 ð2Þ ð5Þ ¼ 9C ) 9C ¼ 60 ) C ¼ 609¼ 20
3
x ¼ 0 6 ð� 2Þ ð1Þ ¼ A ð� 1Þ ð� 4Þ � 4B þ C ) 4A � 4B þ C ¼ 4A �
4 � 4 þ 203¼ � 12 )
4A ¼ � 12 þ 16 � 203¼ 4 � 20
3¼ 12 � 20
3¼ � 8
3) A ¼ � 2
3
Ergebnis: y ¼ 6 ðx � 2Þ ðx þ 1Þðx � 1Þ 2 ðx � 4Þ ¼ �2
3� 1x � 1 þ
4
ðx � 1Þ 2 þ20
3� 1x � 4
2 Gebrochenrationale Funktionen 17
10
5
3
–5
–10
–6 –4 –2 –1 2 4 6 8 x
y
x = 4
x = 1
Bild A-13
-
Magnetfeld in der Umgebung einer stromdurchflossenen
elektrischen Doppelleitung
Die in Bild A-14 skizzierte elektrische Doppelleitung besteht
aus zwei langen parallelen Leitern, deren
Durchmesser gegenüber dem Leiterabstand d ¼ 2 a
vernachlässigbar klein ist. Die Ströme in denbeiden Leitern L 1
und L 2 haben die gleiche Stärke I, fließen jedoch in
entgegengesetzte Richtun-
gen. Der Verlauf der magnetischen Feldstärke H längs der
Verbindungslinie der beiden Leiterquer-
schnitte (x-Achse) wird durch die Gleichung
H ðxÞ ¼ I ap� 1a 2 � x 2 ; j x j 6¼ a
beschrieben. Bestimmen Sie die wesentlichen Eigenschaften dieser
gebrochenrationalen Funktion und
skizzieren Sie den Feldstärkeverlauf.
A15
Definitionsbereich: j x j 6¼ a (am Ort der beiden Leiter
verschwindet der Nenner)Symmetrie: Nur gerade Potenzen )
Spiegelsymmetrie zu H-AchseNullstellen: keine
Pole: a 2 � x 2 ¼ 0 ) x 1=2 ¼ � a (Pole mit
Vorzeichenwechsel)Physikalische Deutung: Die magnetische
Feldstärke wird unendlich groß am Ort der Leiter und ändert ihr
Vorzeichen(Richtungsänderung), wenn man auf die andere Seite des
Leiters geht!
Polgeraden (senkrechte Asymptoten): x ¼ � a
H ðx ¼ 0Þ ¼ I ap� 1a 2¼ I
p aSchnittpunkt mit H-Achse:
Verhalten im „Unendlichen“
Die Funktion ist echt gebrochenrational (Zähler: konstante
Funktion; Nenner: quadratische Funktion), für große Wertevon x, d.
h in großer Entfernung von der Doppelleitung nimmt die magnetische
Feldstärke H rasch gegen Null ab.
Asymptote im „Unendlichen“: H ¼ 0 (x-Achse)
Verlauf der magnetischen Feldstärke: siehe Bild A-15
Deutung aus physikalischer Sicht
Kleinster Wert (Minimum) zwischen den beiden Leitern
genau in der Mitte ðx ¼ 0Þ : H ðx ¼ 0Þ ¼ Ip a
H nimmt in Richtung der Leiter zunächst zu, wird am Ortder
Leiter unendlich groß ðPolstellen x 1=2 ¼ � aÞ undfällt dann nach
außen hin gegen Null ab, wobei sich gleich-zeitig die Richtung des
Feldstärkevektors umkehrt :
H ðxÞ > 0 für j x j < aH ðxÞ < 0 für j x j > a
18 A Funktionen und Kurven
y
x x a=
L1 L2
x a= –
2a
H x( )
xBild A-14
x
x a=
L1 L2
–a
x a= –
H
I a/π
a
Bild A-15
-
3 Trigonometrische Funktionen und Arkusfunktionen
Hinweise
Lehrbuch: Band 1, Kapitel III.9 und 10
Formelsammlung: Kapitel III.7 und 8
A16 Zeige: sin ðarccos xÞ
¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi1 � x 2
p; � 1 � x � 1
Wir setzen y ¼ arccos x ðmit 0 � y � pÞ: Durch Umkehrung folgt x
¼ cos y . Dann gilt :
sin ðarccos xÞ ¼ sin y
¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi1
� cos 2 y
q¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi1 � x 2
p(unter Berücksichtigung der trigonometrischen Bezeichnung sin
2 y þ cos 2 y ¼ 1 und sin y � 0 im Intervall0 � y � pÞ . Damit ist
die Formel bewiesen.
Welche Lösungen besitzen die folgenden trigonometrischen
Gleichungen?
a) 2 ðsin x þ cos 3 xÞ ¼ � sin x � sin ð2 xÞb) cos ð2 xÞ ¼ 2 �
sin 2 x
A17
a) Unter Verwendung der trigonometrischen Formeln sin 2 x þ cos
2 x ¼ 1 und sin ð2 xÞ ¼ 2 � sin x � cos x (! FS)werden beide Seiten
zunächst wie folgt umgeformt:
Linke Seite: 2 ðsin x þ cos 3 xÞ ¼ 2 � sin x þ 2 � cos 3 x ¼ 2 �
sin x þ 2 � cos x � cos 2 x ¼|fflffl{zfflffl}1 � sin 2 x
¼ 2 � sin x þ 2 � cos x ð1 � sin 2 xÞ ¼ 2 � sin x þ 2 � cos x �
2 � cos x � sin 2 xRechte Seite: � sin x � sin ð2 xÞ ¼ � sin x � ð2
� sin x � cos xÞ ¼ � 2 � cos x � sin 2 x|fflfflffl{zfflfflffl}
2 � sin x � cos xDie trigonometrische Gleichung 2 ðsin x þ cos 3
xÞ ¼ � sin x � sin ð2 xÞ geht damit über in:
2 � sin x þ 2 � cos x � 2 � cos x � sin 2 x ¼ � 2 � cos x � sin
2 x ) 2 � sin x þ 2 � cos x ¼ 0 j : 2 )
sin x þ cos x ¼ 0 ) sin x ¼ � cos x j : cos x ) sin xcos x
¼ tan x ¼ � 1
ðunter Berücksichtigung der trigonometrischen Beziehung tan x ¼
sin x = cos xÞDie Lösungen dieser Gleichung lassen sich anhand
einer Skizze leicht bestimmen (Bild A-16). Sie entsprechen
denSchnittstellen der Tangenskurve mit der Geraden y ¼ � 1
(Parallele zur x-Achse).
3 Trigonometrische Funktionen und Arkusfunktionen 19
-
Der Schnittpunkt A liegt dabei an der Stelle x ¼ arctan ð� 1Þ ¼
�p = 4, die weiteren Schnittpunkte im Abstandvon ganzzahligen
Vielfachen der Periode p ¼ p links und rechts von A . Wir erhalten
somit folgende Lösungen:
x k ¼ arctan ð� 1Þ þ k � p ¼ �p = 4 þ k � p ðmit k 2 ZÞb) Unter
Verwendung der trigonometrischen Beziehungen cos ð2 xÞ ¼ cos 2 x �
sin 2 x und sin 2 x þ cos 2 x ¼ 1ð! FSÞ lässt sich die linke Seite
der Gleichung wie folgt umformen:
cos ð2 xÞ ¼ cos 2 x � sin 2 x ¼ ð1 � sin 2 xÞ � sin 2 x ¼ 1 � 2
� sin 2 x|fflffl{zfflffl}1 � sin 2 x
Somit folgt aus cos ð2 xÞ ¼ 2 � sin 2 x :
1 � 2 � sin 2 x ¼ 2 � sin 2 x ) 4 � sin 2 x ¼ 1 ) sin 2 x ¼ 0;25
) sin x ¼ �ffiffiffiffiffiffiffiffiffi0;25
p¼ � 0;5
Wir untersuchen zunächst die Lösungen dieser beiden einfachen
trigonometrischen Gleichungen im Perioden-intervall 0 � x < 2p .
Sie entsprechen den Schnittstellen der Sinuskurve mit den beiden
zur x-Achse parallelenGeraden y ¼ 0;5 bzw. y ¼ � 0;5 (siehe Bild
A-17).
sin x ¼ 0;5 Die Umkehrung dieser Gleichung im Intervall 0 � x �
p liefert die Lösung x ¼ arcsin 0;5 ¼ p = 6(Punkt A), eine weitere
Lösung liegt spiegelsymmetrisch zur eingezeichneten Symmetrieachse
an der Stellex ¼ p � arcsin 0;5 (Punkt B). Somit ergeben sich für
die Gleichung sin x ¼ 0;5 insgesamt folgende Lösungen (mitk 2
Z):
x 1 k ¼ arcsin 0;5 þ k � 2p ¼ p = 6 þ k � 2p
x 2 k ¼ ðp � arcsin 0;5Þ ¼ p � p6
� �þ k � 2p ¼ 5
6p þ k � 2p
Denn wegen der Periodizität der Sinusfunktion wiederholen sich
die Schnittstellen im Abstand von ganzzahligenVielfachen der
Periode p ¼ 2p .
20 A Funktionen und Kurven
–π π
π
2π
A
y = –1
y x= tanarctan (–1)
x
y
Bild A-16
Symmetrieachse
π + arcsin 0,5y = sin x
π 2π
A*B*
1
–1y = –0,5
arcsin 0,5
y = 0,5A B
y
x
2 – arcsin 0,5π
π – arcsin 0,5
Bild A-17
-
sin x ¼ � 0;5 Die Lösungen dieser Gleichung erhalten wir aus
den Lösungen der ersten Gleichung sin x ¼ 0;5durch eine einfache
Symmetriebetrachtung. Die im Periodenintervall 0 � x < 2p
gelegenen Schnittstellen A * undB * liegen bezüglich der
Nullstelle x ¼ p der Sinusfunktion punktsymmetrisch zu den Punkten
A und B (sieheBild A-17). Der Schnittpunkt B * liegt daher an der
Stelle x ¼ p þ arcsin 0;5; der Schnittpunkt A * beix ¼ 2p � arcsin
0;5.
Weitere Schnittstellen ergeben sich, wenn wir wiederum
ganzzahlige Vielfache der Periode p ¼ 2p addieren odersubtrahieren
(mit k 2 Z):
x 3 k ¼ ðp þ arcsin 0;5Þ þ k � 2p ¼ p þ p6
� �þ k � 2p ¼ 7
6p þ k � 2p
x 4 k ¼ ð2p � arcsin 0;5Þ þ k � 2p ¼ 2p � p6
� �þ k � 2p ¼ 11
6p þ k � 2p
Lösungsmenge der Ausgangsgleichung (mit k 2 Z):
x 1 k ¼ p6þ k � 2p ; x 2 k ¼ 5
6p þ k � 2p ; x 3 k ¼ 7
6p þ k � 2p ; x 4 k ¼ 11
6p þ k � 2p
Bestimmen Sie sämtliche Nullstellen der periodischen
Funktion
y ¼ 5 � sin 12
x
� �� 3 � cos 1
2x � p
3
� �a) unter Verwendung des Additionstheorems der
Kosinusfunktion,
b) mit Hilfe des Zeigerdiagramms.
Hinweis zu b): Fassen Sie die beiden Summanden als
gleichfrequente (mechanische) Schwingungen
auf ðx : Zeit; y : Auslenkung; Kreisfrequenz: w ¼ 1 = 2Þ und
ersetzen Sie die beidenEinzelschwingungen durch eine resultierende
Sinusschwingung gleicher Frequenz,
deren Nullstellen dann leicht bestimmt werden können.
A18
y ¼ 0 ) 5 � sin 12
x
� �� 3 � cos 1
2x � p
3
� �¼ 0 )a) Nullstellen:
5 � sin 12
x
� �|fflffl{zfflffl} ¼ 3 � cos
1
2x � p
6
� �|{z} ) 5 � sin u ¼ 3 � cos u �
p
6
� �Substitution : u ¼ 1
2x
� �u u
Mit dem Additionstheorem der Kosinusfunktion ð! FSÞ erhalten
wir:5 � sin u ¼ 3 � cos ðu � p = 6Þ ¼ 3 ½ cos u � cos ðp = 6Þ þ sin
u � sin ðp = 6Þ � ¼
¼ 3 � cos ðp = 6Þ � cos u þ 3 � sin ðp = 6Þ � sin u ¼ 2;5981 �
cos u þ 1;5 � sin u )
3;5 � sin u ¼ 2;5981 � cos u j : 3;5 � cos u ) sin ucos u
¼ 2;59813;5
) tan u ¼ 0;7423
(unter Verwendung der trigonometrischen Beziehung tan u ¼ sin u
= cos u)Die Lösungen der Gleichung tan u ¼ 0;7423 entsprechen den
Schnittstellen der Tangenskurve mit der zuru-Achse parallelen
Geraden y ¼ 0;7423 und lassen sich aus Bild A-18 leicht
ermitteln:
3 Trigonometrische Funktionen und Arkusfunktionen 21
-
Lösung im Periodenintervall �p = 2 < u < p = 2 (Punkt A
in Bild A-18): u ¼ arctan 0;7423 ¼ 0;6386Weitere Lösungen liegen
im Abstand von ganzzahligen Vielfachen der Periode p ¼ p :
u k ¼ arctan 0;7423 þ k � p ¼ 0;6386 þ k � p ðk 2 ZÞDurch
Rücksubstitution erhalten wir die gesuchten Nullstellen ðx ¼ 2 uÞ
:
x k ¼ 2 u k ¼ 2 ð0;6386 þ k � pÞ ¼ 1;2772 þ k � 2p ðk 2 ZÞ
b) Die gleichfrequenten Einzelschwingungen
y 1 ¼ 5 � sin 12
x
� �und y 2 ¼ � 3 � cos 1
2x � p
3
� �¼ � 3 � cos 1
2x � p
6
� �ergeben bei ungestörter �berlagerung eine gleichfrequente
resultierende Schwingung in der Sinusform
y ¼ y 1 þ y 2 ¼ A � sin 12
x þ j� �
ðmit A > 0Þ
Zunächst aber müssen wir die Kosinusschwingung y 2 in eine
Sinus-schwingung mit positiver Amplitude verwandeln. Dies geschieht
be-sonders anschaulich mit Hilfe des Zeigerdiagramms (Bild
A-19):
Drehwinkel: 240 ¼b 43p
y 2 ¼ � 3 � cos 12
x � p6
� �¼ 3 � sin 1
2x þ 4
3p
� �Auf die Berechnung der Amplitude A können wir verzichten,
dadiese keinen Einfluss auf die Lage der Nullstellen hat.
Berechnung des Nullphasenwinkels j
Mit A 1 ¼ 5; A 2 ¼ 3; j 1 ¼ 0 und j 2 ¼ 240 folgt dann:
tan j ¼ A 1 � sin j 1 þ A 2 � sin j 2A 1 � cos j 1 þ A 2 � cos j
2
¼ 5 � sin 0 þ 3 � sin 240
5 � cos 0 þ 3 � cos 240 ¼0 � 2;59815 � 1;5 ¼ � 0;7423
Aus dem Zeigerdiagramm entnehmen wir, dass der resultierende
Zeiger im 4. Quadranten liegt (siehe Bild A-20).Somit gilt:
tan j ¼ � 0;7423 )j ¼ arctan ð� 0;7423Þ ¼ � 0;6386
22 A Funktionen und Kurven
y
u
y u= tan
y = 0,7423
–π π
π
2π
arctan0,7423
A
Bild A-18
+ cos
+ sin
–3 · cos
3 · sin
30°3
y2
240°
Bild A-19
5 y1
y2y
3 30°
f
A
Bild A-20
-
Resultierende Schwingung: y ¼ y 1 þ y 2 ¼ A � sin 12
x � 0;6386� �
ðmit A > 0Þ
Die Nullstellen der Funktion sin u liegen bekanntlich an den
Stellen u k ¼ k � p mit k 2 Z . Somit besitzt dieresultierende
Schwingung genau dort Nullstellen, wo ihr Argument u ¼ x = 2 �
0;6386 einen der Werte k � pannimmt:
1
2x k � 0;6386 ¼ k � p ) 1
2x k ¼ 0;6386 þ k � p ) x k ¼ 1;2772 þ k � 2p ðmit k 2 ZÞ
Das Weg-Zeit-Gesetz einer periodischen Bewegung laute wie
folgt:
s ðtÞ ¼ 2 � sin 2 t � cos t ; t � 0(s : Auslenkung; t : Zeit).
Zu welchen Zeiten hat die Auslenkung den Wert s ¼ 2?
A19
Uns interessieren also die positiven Lösungen der
trigonometrischen Gleichung
2 � sin 2 t � cos t ¼ 2 :Umformung mit Hilfe des
„trigonometrischen Pythagoras“ sin 2 t þ cos 2 t ¼ 1 führt zu:
2 � sin 2 t � cos t ¼ 2 ) 2 ð1 � cos 2 tÞ � cos t ¼ 2 ) 2 � 2 �
cos 2 t � cos t ¼ 2 )
� 2 � cos 2 t � cos t ¼ 0 ) cos t ð� 2 � cos t � 1Þ ¼ 0cos t ¼
0� 2 � cos t � 1 ¼ 0
cos t ¼ 0 ) Lösungen sind die positiven Nullstellen des Kosinus
: t 1 k ¼ p2þ k � p ðk 2 NÞ
� 2 � cos t � 1 ¼ 0 oder cos t ¼ � 0;5
Die Lösungen dieser Gleichung entsprechen den Schnittpunkten
der Kosinuskurve mit der zur Zeitachse parallelenGeraden y ¼ � 0;5
(Bild A-21):
Im Periodenintervall 0 � t < 2p gibt es genau zwei Lösungen
(Punkte A und B). Die erste Lösung (Punkt A) er-halten wir aus der
Gleichung cos t ¼ � 0;5 durch Umkehrung : t ¼ arccos (� 0;5). Die
zweite Lösung (Punkt B) liegtbezüglich der eingezeichneten
Symmetrieachse spiegelsymmetrisch zur ersten Lösung bei t ¼ 2p �
arccos (� 0;5).Wegen der Periodizität der Kosinusfunktion liegen
weitere Lösungen rechts der Punkte A bzw. B im Abstand
jeweilsganzzahliger Vielfacher der Periode p ¼ 2p. Damit ergeben
sich insgesamt folgende Lösungen (zu diesen Zeitpunktenhat die
Auslenkung jeweils den Wert s ¼ 2 ; k 2 N):
t 1 k ¼ arccos ð� 0;5Þ þ k � 2p ¼ 23p þ k � 2p
t 2 k ¼ ð2p � arccos ð� 0;5ÞÞ þ k � 2p ¼ 2p � 23p
� �þ k � 2p ¼ 4
3p þ k � 2p
3 Trigonometrische Funktionen und Arkusfunktionen 23
2 – arccos (–0,5)πarccos (–0,5)
π 2π 3π
A B
y = cos t
y = –0,5
t
y
Symmetrieachse
p = 2π
1
–1
Bild A-21
-
Bestimmen Sie auf elementarem Wege die Nullstellen und relativen
Extremwerte der Funktion
y ¼ sin x þffiffiffi3p� cos x .
Hinweis: Bringen Sie die Funktion zunächst auf die Sinusform y
¼ A � sin ðx þ jÞ mit A > 0und 0 � j < 2p .
A20
Wir fassen die Funktionsgleichung als eine harmonische
Schwingung auf, die durch ungestörte �berlagerung
zweiergleichfrequenter Schwingungen entstanden ist (Periode: p ¼ 2p
; Winkelgeschwindigkeit: w ¼ 1). Aus demZeigerdiagramm können wir
die „Amplitude“ A und den „Nullphasenwinkel“ j leicht berechnen“
(siehe Bild A-22):
y 1 ¼ 1 � sin x
y 2 ¼ffiffiffi3p� cos x
y ¼ y 1 þ y 2 ¼ A � sin ðx þ jÞ
Satz des Pythagoras (im grau unterlegten Dreieck):
A 2 ¼ 1 2 þ ðffiffiffi3pÞ 2 ¼ 1 þ 3 ¼ 4 ) A ¼
ffiffiffi4p¼ 2
tan j ¼ffiffiffi3p
1¼
ffiffiffi3p
) j ¼ arctanffiffiffi3p¼ 60 ¼b p = 3
y ¼ y 1 þ y 2 ¼ sin x þffiffiffi3p� cos x ¼ 2 � sin ðx þ p =
3Þ
Die Resultierende ist also eine um p = 3 nach links verschobene
Sinuskurve mit der „Amplitude“ A ¼ 2 und derPeriode p ¼ 2p (siehe
Bild A-23)
Die Lage der Nullstellen und relativen Extremwerte lässt sich
unmittelbar ablesen ðk 2 ZÞ :Nullstellen: x 1 k ¼ �p = 3 þ k �
pRelative Maxima: x 2 k ¼ p = 6 þ k � 2p ; y 2 k ¼ 2
Relative Minima: x 3 k ¼ 76p þ k � 2p ; y 3 k ¼ � 2
24 A Funktionen und Kurven
+cos
+sin1
A
y
y1
y2
f
33
Bild A-22
Max Max
MinMin
7·
2·
p = 2π
2
–2
x
y
5·π6
π6
π3
π3
π3
–
Bild A-23
-
�berlagerung gleichfrequenter Wechselspannungen
Wie groß ist der Scheitelwert u 0 und der Nullphasenwinkel j
einer Wechselspannung, die durch
ungestörte �berlagerung der gleichfrequenten
Wechselspannungen
u 1 ðtÞ ¼ 100 V � sin ðw t � p = 6Þ und u 2 ðtÞ ¼ 200 V � cos ðw
t � p = 4Þmit w ¼ 100 s � 1 entsteht?a) Zeichnerische Lösung im
Zeigerdiagramm.
b) Rechnerische Lösung.
Hinweis: Verwenden Sie den Lösungsansatz
u ðtÞ ¼ u 1 ðtÞ þ u 2 ðtÞ ¼ u 0 � sin ðw t þ jÞ mit u 0 > 0
und 0 � j < 2p .
A21
a) Zeigerdiagramm: Bild A-24
abgelesene Werte:
u 0 246 Vj 22
b) Die kosinusförmige Wechselspannung u 2 ðtÞ bringen wir
zunächst mit Hilfe des Zeigerdiagramms (Bild A-24) aufdie
Sinusform (Drehung des entsprechenden Sinuszeigers aus der
unverschobenen Position um 45 ¼b p = 4):
u 2 ðtÞ ¼ 200 V � cos ðw t � p = 4Þ ¼ 200 V � sin ðw t þ p =
4Þ
Berechnung von Scheitelwert u 0 und Nullphasenwinkel j
Somit gilt: u 01 ¼ 100 V ; u 02 ¼ 200 V ; j 1 ¼ �p = 6 ¼b � 30 ;
j 2 ¼ p = 4 ¼b 45 u 20 ¼ u 201 þ u 202 þ 2 u 01 � u 02 � cos ðj 2 �
j 1Þ ¼¼ ð100 VÞ 2 þ ð200 VÞ 2 þ 2 � ð100 VÞ � ð200 VÞ � cos ð45 þ
30 |fflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflffl} Þ ¼
75
¼ ð10 000 þ 40 000 þ 10 352;76Þ V 2 ¼ 60 352;76 V 2 ) u 0 ¼
245;67 V
tan j ¼ u 01 � sin j 1 þ u 02 � sin j 2u 01 � cos j 1 þ u 02 �
cos j 2
¼ ð100 VÞ � sin ð� 30Þ þ ð200 VÞ � sin 45
ð100 VÞ � cos ð� 30 Þ þ ð200 VÞ � cos 45 ¼
¼ ð� 50 þ 141;4214Þ Vð86;6025 þ 141;4214Þ V ¼91;4214
228;0239¼ 0;4009
Da der gesuchte Nullphasenwinkel j im 1. Quadranten liegt (siehe
Zeigerdiagramm, Bild A-24), gilt :
j ¼ arctan 0;4009 ¼ 21;85 ¼b 0;3813Ergebnis: u ðtÞ ¼ u 1 ðtÞ þ u
2 ðtÞ ¼ 245;67 V � sin ðw t þ 0;3813Þ ðmit w ¼ 100 s � 1Þ
3 Trigonometrische Funktionen und Arkusfunktionen 25
+cos
+sin
200 V
u 2
u
u045°
30°100 V
u1
f
Bild A-24
-
Superposition gedämpfter Schwingungen
Die gedämpfte mechanische Schwingung mit der
Funktionsgleichung
y ðtÞ ¼ 5 cm � e � 0;1 t = s � ½ 2 � sin ð2 s � 1 � tÞ þ 3 � cos
ð2 s � 1 � tÞ � ; t � 0
kann als �berlagerung zweier gleichfrequenter gedämpfter
Schwingungen aufgefasst werden. Bringen
Sie diese Schwingung mit Hilfe des Zeigerdiagramms auf die
„Sinusform“
y ðtÞ ¼ A � e � 0;1 t = s � sin ð2 s � 1 � t þ jÞ ; t � 0mit A
> 0 und 0 � j < 2p .
A22
Aus der Gleichung
5 cm � e � 0;1 t = s � ½ 2 � sin ð2 s � 1 � tÞ þ 3 � cos ð2 s �
1 � tÞ � ¼ A � e � 0;1 t = s � sin ð2 s � 1 � t þ jÞfolgt
unmittelbar durch Kürzen der e-Funktion:
5 cm ½ 2 � sin ð2 s � 1 � tÞ þ 3 � cos ð2 s � 1 � tÞ � ¼ 10 cm �
sin ð2 s � 1 � tÞ þ 15 cm � cos ð2 s � 1 � tÞ ¼¼ A � sin ð2 s � 1 �
t þ jÞ
Die beiden gleichfrequenten ungedämpften Einzelschwingungen
x 1 ðtÞ ¼ 10 cm � sin ð2 s � 1 � tÞ und x 2 ðtÞ ¼ 15 cm � cos ð2
s � 1 � tÞkönnen durch die resultierende Sinusschwingung
x ðtÞ ¼ x 1 ðtÞ þ x 2 ðtÞ ¼ A � sin ð2 s � 1 � t þ jÞersetzt
werden, deren Amplitude A und Nullphasenwinkel j sich wie folgt aus
dem Zeigerdiagramm berechnenlassen (Bild A-25):
Satz des Pythagoras (im grau unterlegten Dreieck):
A 2 ¼ ð10 cmÞ 2 þ ð15 cmÞ 2 ¼ ð100 þ 225Þ cm 2 ¼ 325 cm 2
A ¼ffiffiffiffiffiffiffiffi325p
cm ¼ 18;03 cm
tan j ¼ 15 cm10 cm
¼ 1;5 ) j ¼ arctan 1;5 ¼ 56;31 ¼b 0;983Somit gilt:
x ðtÞ ¼ x 1 ðtÞ þ x 2 ðtÞ ¼ 18;03 cm � sin ð2 s � 1 � t þ 0;983Þ
; t � 0
Darstellung der gedämpften Schwingung in der Sinusform :
y ðtÞ ¼ e � 0;1 t = s � x ðtÞ ¼ e � 0;1 t = s � 18;03 cm � sin
ð2 s � 1 � t þ 0;983Þ ¼¼ 18;03 cm � e � 0;1 t = s � sin ð2 s � 1 �
t þ 0;983Þ
26 A Funktionen und Kurven
10 cm
10 cm
15 cm 15 cm
+cos
+sinx1
xx2
A
f
Bild A-25
-
Zünd- und Löschspannung einer Glimmlampe
Eine Glimmlampe liegt an der Wechselspannung
u ðtÞ ¼ 360 V � sin ð100p s � 1 � tÞ ; t � 0 s
Sie beginnt zu leuchten, wenn die Zündspannung u Z ¼ 180 V
erreicht wird und sie erlischt beiUnterschreitung der
Löschspannung u L ¼ 90 V. Wie lange leuchtet sie (bezogen auf eine
Periode derangelegten Wechselspannung)?
A23
Wir führen folgende Bezeichnungen ein (siehe hierzu Bild
A-26):
t 1 : Die Lampe beginnt zu dieser Zeit erstmals zu leuchten, d.
h. u ðt 1Þ ¼ 180 Vt 2 : Die Lampe erlischt erstmals, d. h. u ðt 2Þ
¼ 90 Vt 3 : Die Lampe beginnt wieder zu leuchten, d. h. u ðt 3Þ ¼ �
180 Vt 4 : Die Lampe erlischt wieder, d. h. u ðt 4Þ ¼ � 90 Vt *:
Die Spannung an der Lampe erreicht erstmals den Wert 90 V, d. h. u
ð t *Þ ¼ 90 V.
Sie leuchtet also in den beiden (wegen der Symmetrie der
Sinuskurve) gleichlangen Zeitintervallen t 1 � t � t 2 undt 3 � t �
t 4 , insgesamt also während der Zeit D t ¼ 2 ðt 2 � t 1Þ
(innerhalb einer Periode der angelegten Wechsel-spannung).
Berechnung der Zeitpunkte t1 und t2
Kreisfrequenz der Wechselspannung: w ¼ 100p s � 1
Periode (Schwingungsdauer) der Wechselspannung: T ¼ 2pw¼ 2 p
100 p s � 1¼ 0;02 s
Zeitpunkt t 1 : u ðt 1Þ ¼ 180 V )360 V � sin ð100p s � 1 � t 1Þ
¼ 180 V j : 360 V ) sin x ¼
0;5|fflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl}
x
Durch Umkehrung und anschließende Rücksubstitution folgt:
x ¼ arcsin 0;5 ¼ p6) 100 p s � 1 � t 1 ¼ p
6) t 1 ¼ 1
600s ¼ 0;001 667 s
Zeitpunkt t 2 : u ðt 2Þ ¼ 90 V )360 V � sin ð100p s � 1 � t 2Þ ¼
90 V j : 360 V ) sin y ¼
0;25|fflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl}
y
3 Trigonometrische Funktionen und Arkusfunktionen 27
t /st1t* t2
t3 t4
0,01
0,02
U /V
360
180
90
–90
–180
–360
Bild A-26
-
Beim Auflösen dieser Gleichung müssen wir beachten, dass die
Löschspannung von 90 V erstmals bereits zumfrüheren Zeitpunkt t *
< t 1 erreicht wird (siehe Bild A-26). Diesen Zeitpunkt t *
erhalten wir wie folgt durchUmkehrung der Gleichung sin y * ¼ 0;25
und anschließender Rücksubstitution :
sin y * ¼ 0;25 ) y * ¼ arcsin 0;25 ¼ 0;252 68 ) 100p s � 1 � t *
¼ 0;252 68 ) t * ¼ 0;000 804 sAus Bild A-26 entnehmen wir dann für
den gesuchten Zeitpunkt t 2 :
t 2 ¼ 0;01 s � t * ¼ ð0;01 � 0;000 804Þ s ¼ 0;009 196 s
„Leuchtintervall“ D t == 2 (t 2 — t 1)
D t ¼ 2 ðt 2 � t 1Þ ¼ 2 ð0;009 196 � 0;001 667Þ s ¼ 0;015 058
sIm Verhältnis zur Periode T der angelegten Wechselspannung:
D t
T¼ 0;015 058 s
0;02 s¼ 0;752 9 75;3%
Die Glimmlampe leuchtet also während einer Periode zu rund 3 =
4 dieser Zeit.
a) Wie lauten die Gleichungen der in Bild A-27 durch Zeiger
dargestellten gleichfrequenten Schwingungen (Kreisfrequenz:
w; t � 0 s)?
b) Bestimmen Sie zeichnerisch die durch ungestörte Super-
position erzeugte resultierende Schwingung.
c) Wie lautet die Gleichung der resultierenden Schwingung
(elementare Berechnung ohne fertige Formeln).
Hinweis: Alle Schwingungen sind in der Sinusform mit positiver
Amplitude anzugeben.
A24
a) Zeiger y 1 : A 1 ¼ 5 cm ; j 1 ¼ 45 ¼b p = 4 ) y 1 ¼ 5 cm �
sin ðw t þ p = 4Þ ; t � 0 sZeiger y 2 : A 2 ¼ 5 cm ; j 2 � 15 ¼b �
p = 12 ) y 2 ¼ 5 cm � sin ðw t � p = 12Þ ; t � 0 s
b) Zeigerdiagramm: siehe Bild A-28
abgelesene Werte:
A 8;7 cmj 15
c) Darstellung der resultierenden Schwingung in der Sinusform
:
y ¼ y 1 þ y 2 ¼ A � sin ðw t þ jÞ ðmit A > 0 und t � 0Þ
28 A Funktionen und Kurven
+cos
+sin
y2
y1
5 cm
5cm
45°15°
Bild A-27
y1
y
y2
45°
15°+sin
+cos
A
f
5cm
5 cm
Bild A-28
-
Das Parallelogramm ist eine Raute (Rhombus) mit der Seitenlänge
5 cm und Innenwinkeln von 60 und 120 (siehe Bild A-29). Da die
Diagonalen einer Raute bekanntlich die Innenwinkel halbieren, muss
der gesuchtePhasenwinkel j ¼ 15 ¼b p = 12 betragen. Die Berechnung
der Amplitude A erfolgt aus dem in Bild A-29 grauunterlegten
gleichschenkligen Dreieck mit Hilfe des Kosinussatzes (! FS):
A 2 ¼ ð5 cmÞ 2 þ ð5 cmÞ 2 � 2 � ð5 cmÞ � ð5 cm Þ � cos 120 ¼
¼ ð25 þ 25 þ 25Þ cm 2 ¼ 75 cm 2 ) A ¼ffiffiffiffiffi75p
cm ¼ 8;66 cm
Ergebnis: y ¼ y 1 þ y 2 ¼ 8;66 cm � sin ðw t þ p = 12Þ ; t � 0
s
Gegeben sind die gleichfrequenten Sinusschwingungen mit den
Gleichungen
y 1 ¼ 5 cm � sin ð2 s � 1 � t þ p = 3Þ und y 2 ¼ A 2 � cos ð2 s
� 1 � t þ 4p = 3Þ
ðt � 0 sÞ. Bestimmen Sie (zeichnerisch und rechnerisch) die
Amplitude A 2 > 0 so, dass die durchSuperposition entstandene
resultierende Schwingung zu einem unverschobenen Sinuszeiger mit
positi-
ver Amplitude A führt. Wie groß ist A?
A25
Für die resultierende Schwingung gilt also ðj ¼ 0Þ :y ¼ y 1 þ y
2 ¼ 5 cm � sin ð2 s � 1 � t þ p = 3Þ þ A 2 � cos ð2 s � 1 � t þ 4p
= 3Þ ¼ A � sin ð2 s � 1 � tÞ
Zeigerdiagramm: siehe Bild A-30
abgelesene Werte:
A 10 cmA 2 8;7 cm
Berechnung der Amplituden A2 und A
Aus dem Zeigerdiagramm entnehmen wir: die Zeiger y 1 und y 2
stehen senkrecht aufeinander, das Parallelogrammist somit ein
Rechteck und wir können daher auf fertige Berechnungsformeln
verzichten. Aus dem grau unterlegtenrechtwinkligen Dreieck folgt
dann:
tan 60 ¼ A 25 cm
) A 2 ¼ 5 cm � tan 60 ¼ 8;66 cm
cos 60 ¼ 5 cmA
) A ¼ 5 cmcos 60
¼ 10 cm
Resultierende Schwingung: y ¼ y 1 þ y 2 ¼ 10 cm � sin ð2 s � 1 �
tÞ ; t � 0 s
3 Trigonometrische Funktionen und Arkusfunktionen 29
120°
120°
60°
60°
5 cm
5 cm
5cm
5cm
A
Bild A-29
+ cos
+ sin
5cm
5cm
A
240°
y2
A 2
A 2
y1
y
60°
Bild A-30
-
�berlagerung sinusförmiger Wechselströme
Wie lauten die Funktionsgleichungen der in Bild A-31
dargestellten Wechselströme? Durch welche
Gleichung lässt sich der Gesamtstrom beschreiben, der durch
ungestörte �berlagerung der beiden
Einzelströme entsteht?
Hinweis: Sämtliche Ströme sind in der Sinusform i ðtÞ ¼ i 0 �
sin ðw t þ jÞ anzugeben mit i 0 > 0und 0 � j < 2p .
A26
Wechselstrom i 1 (t) == i 01 � sin (w 1 t + j 1)Scheitelwert: i
01 ¼ 6 A ; Nullphasenwinkel: j 1 ¼ 0 ; Schwingungsdauer: T 1 ¼ p
s
Kreisfrequenz: w 1 ¼ 2pT 1¼ 2 p
p s¼ 2 s � 1
Somit gilt:
i 1 ðtÞ ¼ i 01 � sin ðw 1 t þ j 1Þ ¼ 6 A � sin ð2 s � 1 � tÞ ; t
� 0 s
Wechselstrom i 2 (t) == i 02 � sin (w 2 t + j 2)
Scheitelwert: i 02 ¼ 4 A ; Schwingungsdauer: T 2 ¼ p s ;
Kreisfrequenz: w 2 ¼ 2pT 2¼ 2 p
p s¼ 2 s � 1
Die Sinuskurve
i 2 ðtÞ ¼ i 02 � sin ðw 2 t þ j 2Þ ¼ 4 A � sin ð2 s � 1 � t þ j
2Þist auf der Zeitachse um t 0 ¼ p = 4 s nach rechts verschoben.
Daraus lässt sich der Nullphasenwinkel j 2 wie folgtbestimmen:
i 2 ðt 0 ¼ p = 4 sÞ ¼ 0 ) 4 A � sin 2 s � 1 � p4
s þ j 2� �
¼ 4 A � sin p2þ j 2
� �¼ 0 j : 4 A )
sinp
2þ j 2
� �¼ 0 ) p
2þ j 2 ¼ 0 ) j 2 ¼ � p
2|fflfflfflfflffl{zfflfflfflfflffl}0
Somit gilt:
i 2 ðtÞ ¼ 4 A � sin ð2 s � 1 � t � p = 2Þ ; t � 0 s
30 A Funktionen und Kurven
ππ π t /s
6
4
–4
–6
i1
i2
i /A
π4
π2
54
34
Bild A-31
-
�berlagerung der Teilströme i 1 (t) und i 2 (t)
Da die Teilströme gleiche Schwingungsdauer und damit gleiche
Kreisfrequenz haben ðw 1 ¼ w 2 ¼ 2 s � 1Þ , entstehtbei der
�berlagerung ebenfalls ein Wechselstrom der Kreisfrequenz w ¼ 2 s �
1 :
i ðtÞ ¼ i 1 ðtÞ þ i 2 ðtÞ ¼ 6 A � sin ð2 s � 1 � tÞ þ 4 A � sin
ð2 s � 1 � t � p = 2Þ ¼ i 0 � sin ð2 s � 1 � t þ jÞDie Berechnung
des Scheitelwertes i 0 und des Nullphasenwinkels j erfolgt anhand
des Zeigerdiagramms (Bild A-32).Die Zeiger der beiden Teilströme
stehen aufeinander senkrecht, das Parallelogramm ist somit ein
Rechteck. i 0 und jlassen sich daher elementar wie folgt
berechnen:
Satz des Pythagoras (im grau unterlegten Dreieck):
i 20 ¼ ð4 AÞ 2 þ ð6 AÞ 2 ¼ ð16 þ 36Þ A 2 ¼ 52 A 2
i 0 ¼ffiffiffiffiffi52p
A ¼ 7;211 A
Phasenwinkel: j ¼ 2p � a
tan a ¼ 4 A6 A
¼ 23) a ¼ arctan 2
3
� �¼ 0;588 ) j ¼ 2p � a ¼ 2p � 0;588 ¼ 5;695
Ergebnis: i ðtÞ ¼ i 1 ðtÞ þ i 2 ðtÞ ¼ 7;211 A � sin ð2 s � 1 � t
þ 0;5695Þ ; t � 0 s
Zentrifugalkraftregler
Bild A-33 zeigt den prinzipiellen Aufbau eines
Zentrifugalkraftreglers. An den (als masselos angenom-
menen) Armen der Länge 2a hängt jeweils eine punktförmige
Masse m, die mit der Winkelgeschwin-
digkeit w um die eingezeichnete Drehachse rotiert. Zwischen dem
Winkel j, unter dem sich infolge
der Zentrifugalkräfte die Arme gegenüber der Achse einstellen,
und der Winkelgeschwindigkeit w be-
steht dabei der folgende Zusammenhang:
cos j ¼ g2 aw 2
ðg : ErdbeschleunigungÞ
a) Zeigen Sie, dass zum Abheben der Arme eine
Mindestwinkelgeschwindigkeit w 0 nötig ist.
b) Skizzieren Sie die Abhängigkeit des Winkels j von der
Winkelgeschwindigkeit w. Welcher maxi-
male Winkel j max ist möglich?
~GG : Gewichtskraft
~FFZ : Zentrifugalkraft
~FFr : Resultierende Kraft
A27
3 Trigonometrische Funktionen und Arkusfunktionen 31
+cos
+sin
i0
i
4A 4A
6A
6A
ai1
i2
Bild A-32
Drehachse
v
a
a
a a
a
a
f f
f
mm
r rFr
FZ
G
Bild A-33
-
a) Der kleinstmögliche Winkel ist j ¼ 0 . Zu ihm gehört der
Mindestwert w 0 der Winkelgeschwindigkeit:
cos 0 ¼ g2 aw 20
¼ 1 ) w 20 ¼g
2 a) w 0 ¼
ffiffiffiffiffiffiffig
2 a
r|fflffl{zfflffl}
1
b) Wir lösen die Gleichung cos j ¼ g2 aw 2
nach j auf und erhalten die gesuchte Beziehung zwischen j und
w
in Form einer Arkusfunktion :
j ¼ arccos g2 aw 2
� �¼ arccos g = 2 a
w 2
� �¼ arccos w
20
w 2
� �¼ arccos w 0
w
� �2; w � w 0
Kurvenverlauf: siehe Bild A-34
Wertetabelle: Wir setzen x ¼ w =w 0 und berechnen einige Werte
der Funktion
j ¼ arccos w 0w
� �2¼ arccos 1ðw =w 0Þ 2
� �¼ arccos ð1 = x 2Þ