[MATH-EDUCARE]_Bai Tap Xac Suat Thong Ke_Nguyen Trung Dong

8/17/2019 [MATH-EDUCARE]_Bai Tap Xac Suat Thong Ke_Nguyen Trung Dong

1/142

M A T H E D U C A R E . C O M

ThS. NGUYỄN TRUNG ĐÔNG

Bài tập

XÁC SUẤT THỐNG KÊ

TP. HỒ CHÍ MINH - 2013


2/142


1

Chươ ng 0. GIẢI TÍCH TỔ HỢ P

0.1. Tóm tắt lý thuyết

0.1.1. Quy tắc đếm

Ta chỉ khảo sát tập hữu hạn: { }1 2 n X x , x , ..., x= , X có n phần tử,

ký hiệu .X n =

0.1.2. Công thứ c cộng

Cho X, Y là hai tập hữu hạn và X Y = ∅∩ , ta có X Y X Y = +∪

Tổng quát: Nếu cho k tập hữu hạn 1 2, , ..., k X X X sao cho ∩ ,i j X Y i j = ∅ ≠ ,

ta có

= + + +∪ ∪ ∪1 2 1 2

... ...k k

X X X X X X

0.1.3. Công thứ c nhân

Cho X, Y là hai tập hữu hạn, định ngh ĩ a tập tích nhý sau

( ){ }× = ∈ ∧ ∈, /X Y x y x X y Y , ta có X Y X Y × = ⋅

Tổng quát: Nếu cho n tập hữu hạn1 2, , ...,

k X X X , ta có

× × × = ⋅ ⋅ ⋅1 2 1 2

... ...k k

X X X X X X

0.1.4. Quy tắc cộng

Giả sử một công việc có thể thực hiện một trong k phươ ng pháp, trong đó

Phươ ng pháp 1 có 1n cách thực hiện,

Phươ ng pháp 2 có 2n cách thực hiện,…,

Phươ ng pháp k có k n cách thực hiện,

và hai phươ ng pháp khác nhau không có cách thực hiện chung.

Khi đó, ta có 1 2 ... k n n n + + + cách thực hiện công việc.

0.1.5. Quy tắc nhân

Giả sử một công việc có thể thực hiện tuần tự theo k bướ c, trong đó

Bướ c 1 có 1n cách thực hiện,


3/142


2

Bướ c 2 có 2n cách thực hiện,…,

Bướ c k có k n cách thực hiện,

Khi đó, ta có 1 2 ... k n n n × × × cách thực hiện công việc.0.1.6. Giải tích tổ hợ p

a. Chỉnh hợ p

Định ngh ĩ a: Chỉnh hợ p chập k từ n phần tử là một bộ có kể thứ tự gồm k phần tử

khác nhau lấy từ n phần tử đã cho.

Số chỉnh hợ p: Số chỉnh hợ p chập k từ n phần tử, ký hiệu là : k n A

Công thức tính :

( )

!( 1)...( 1)

!k

n

n A n n n k

n k = − − + =

−

b. Chỉnh hợ p lặp

Định ngh ĩ a: Chỉnh hợ p lặp chập k từ n phần tử là một bộ có kể thứ tự gồm k phần tử

không cần khác nhau lấy từ n phần tử đã cho.

Số chỉnh hợ p lặp: Số chỉnh hợ p lặp chập k từ n phần tử ký, hiệu là : k n A

Công thức tính:k k

n A n = c. Hoán vị

Định ngh ĩ a: Một hoán vị từ n phần tử là một bộ có kể thứ tự gồm n phần tử khác nhau

đã cho.

Số hoán vị: Số hoán vị từ n phần tử, ký hiệu là n P

Công thức tính:

! ( 1)( 2)...(1)n P n n n = = − −

d. Tổ hợ pĐịnh ngh ĩ a: Một tổ hợ p chập k từ n phần tử là một tập con gồm k phần tử lấy từ n

phần tử.

Số tổ hợ p : Số tổ hợ p chập k từ n phần tử ký hiệu là : k n C

Công thức tính:

( )

!

! !k

n

n C

k n k =

−


4/142


3

e. Nhị thứ c Newton

0( )

n n k n k k

n

k a b C a b−

=+ = ∑

0

(1 )n

n k k

n

k

x C x =

+ = ∑

Bài tập mẫu

Bài 1. Đêm chung kết hoa khôi sinh viên thành phố có 12 thí sinh, chọn 3 thí sinh trao giải:

Hoa khôi, Á khôi 1, Á khôi 2. Có bao nhiêu cách chọn ?

Giải

Nhận xét: thí sinh đượ c trao giải, đượ c chọn từ 12 thí sinh, và có thứ tự (A, B, C cùng

đượ c trao giải, nhưng trườ ng hợ p A là hoa khôi, khác trườ ng hợ p B là hoa khôi).

Suy ra mỗi cách chọn là một chỉnh hợ p chập 3 từ 12 phần tử.

Vậy số cách chọn là: 312 A 12.11.10 1320= = .

Bài 2. Giả sử có một vị thần có quyền phân phát ngày sinh cho con ngườ i, có bao nhiêu cách

phân bố ngày sinh cho 10 em bé ra đờ i trong nm 1999 tại 1 khu tập thể c!a công nhân viên

chức.Giải

Nhận xét: Mỗi ngày sinh c!a một em bé là 1 trong 365 ngày c!a nm 1999, nên các

ngày sinh có thể trùng nhau.

Suy ra mỗi cách phân bố 10 ngày sinh là một chỉnh hợ p lặp chập 10 từ 365 phần tử.

Vậy số cách phân bố ngày sinh là: 10 10365 A 365=ɶ

Bài 3. có 3 bộ sách:

Toán cao cấp C : 6 tập,

Kinh tế quốc tế : 2 tập,

Xác suất thống kê : 3 tập,

Đượ c đặt lên giá sách. Có bao nhiêu cách s"p:

a) Tu# ý;

b) Các tập sách đượ c đặt theo từng bộ.

Giải


5/142


4

a) Nhận xét: 3 bộ sách có tất cả 11 tập; đặt lên giá sách, mỗi cách s"p là hoán vị c!a 11

phần tử.

Suy ra số cách s"p tu# ý: 11P 11!=

b) Nhận xét:

• Xem mỗi bộ sách là một phần tử.

⇒ có 3 ! cách s"p xếp 3 phần tử này.

• Các cặp sách trong mỗi bộ sách xáo trộn vớ i nhau.

Toán cao cấp C : 6 !

Kinh tế lượ ng : 2 !

Xác suất thống kê : 3!

Suy ra: số cách s"p xếp 3 bộ sách theo từng bộ là: 3!6!2!3!

Bài 4. Giải bóng đá ngoại hạng Anh có 20 đội bóng thi đấu vòng tròn, có bao nhiêu trận đấu

đượ c tổ chức nếu:

a)

Thi đấu vòng tròn 1 lượ t.

b) Thi đấu vòng tròn 2 lượ t.

Giải

a) Nhận xét: Mỗi trận đấu ứng vớ i việc chọn 2 đội chọn từ 20 đội. Suy ra mỗi trận đấu là

một tổ hợ p chập 2 từ 20 phần tử.

Số mỗi trận đấu đượ c tổ chức là :

220

20!C 190

2!18!= = trận

b) Nhận xét: Mỗi trận đấu ứng vớ i việc chọn 2 đội chọn từ 20 đội. (đội ch!, đội khách).

Suy ra mỗi trận đấu là một chỉnh hợ p chập 2 từ 20 phần tử.

Vậy số trận đấu là : 22020!

A 38018!

= = trận

Bài tập rèn luyện

Bài 1. Trong một lớ p gồm 30 sinh viên, cần chọn ra ba sinh viên để làm lớ p trư$ ng, lớ p phó

và th! qu%. H&i có tất cả bao nhiêu cách bầu chọn ?

Bài 2. Có bao nhiêu cách xếp 10 ngườ i ngồi thành hàng ngang sao cho A và B ngồi cạnh

nhau.


6/142


5

Bài 3. Một hộp đựng 6 bi tr"ng và 4 bi đen.

a) Có tất cả bao nhiêu cách lấy ra 5 bi ?

b) Có bao nhiêu cách lấy ra 5 bi trong đó có 2 bi tr"ng ?

Bài 4. Trong một nhóm ứng viên gồm 7 nam và 3 nữ,

a) có bao nhiêu cách thành lập một !y ban gồm 3 ngườ i ?

b) có bao nhiêu cách thành lập một !y ban gồm 3 ngườ i trong đó có đúng 1 nữ ?

c) có bao nhiêu cách thành lập một !y ban gồm 3 ngườ i trong đó có ít nhất 1 nữ ?

Bài 5. Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. H&i từ các chữ số này:a) Lập đượ c bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau trong đó nhất thiết có mặt chữ số 5?

b) Lập đượ c bao nhiêu số có 7 chữ số trong đó chữ số 5 có mặt đúng 3 lần còn các chữ số

khác có mặt không quá một lần?


7/142


6

Chươ ng 1. ĐẠI CƯƠ NG VỀ XÁC SUẤT

1.1.

Tóm tắt lý thuyết

1.1.1. Định ngh ĩ a xác suất

Xét biến cố A vớ i không gian mẫu Ω tươ ng ứng, ta có định ngh ĩ a cổ điển

AP(A) =

Ω,

trong đó A và Ω lần lượ t là số phần tử của A và của Ω và định ngh ĩ a bằng tần suất

= Soá tröôøng hôïp thuaän lôïi cho A

P(A)Soá tröôøng hôïp xaûy ra

1.1.2.

Tính chất cơ bản của xác suất

a) 0 P(A) 1, P( ) 0, P( ) 1≤ ≤ ∅ = Ω = .

b) Công thức cộng: Cho họ biến cố 1 2 n

A ,A ,, A xung khắc vớ i nhau từng đôi một

(ngh ĩ a lài !

A A , "hi i != ∅ ≠ ), ta có

( ) ( ) ( ) ( )1 2 n 1 2 nP A A A P A P A P A+ + + = + + + .

c) Vớ i A, B là hai biến cố bất k ỳ, ta có

( )P A # P(A) P(#) P(A#)+ = + − .

d) P(A) 1 P(A)= −

1.1.3.

Xác suất có điều kiện

Xác suất để biến cố A xảy ra khi biết biến cố B đã xảy ra

( ) P(A#)

P A #P(#)

=

vớ i P(#) 0> , và ta có công thức nhân

( ) ( )P(A#) P A # P(#) P # A P(A)= = .

Khi biến cố B xảy ra hay không xảy ra không ảnh hưở ng đến việc biến cố A xảy ra hay

không xảy ra, ta nói A, B là hai biến cố độc lập và khi đó


8/142


7

P(A#) P(A)P(#)= .

Ta có công thứ c nhân t ổ ng quát ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 n 1 2 1 $ 1 2 n 1 2 n 1P A A A P A P A A P A A A P A A A A −=

Khi 1 A , 2 A , …, n A là họ các biến cố độc lập, ngh ĩ a là một biến cố xảy ra hay không

xảy ra không ảnh hưở ng đến việc xảy ra một hay nhiều biến cố khác, ngh ĩ a là vớ i bất k ỳ họ

hữu hạn các biến cố 1i

A ,2i

A , …,"i

A , ta có

( ) ( ) ( ) ( )1 2 " 1 2 "i i i i i i

P A A A P A P A P A= .

1.1.4.

Công thứ c xác suất toàn phần – công thứ c Bayes

Cho1 2 n

# ,# , ,# là họ đầy đủ các biến cố, ngh ĩ a là

i)i !

# # = ∅

ii)1 2 n

# # #+ + + = Ω

vớ i A là một biến cố bất k ỳ, ta có

a) Công thứ c xác suất toàn phần

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 n n n nP(A) P A%# P # P A%# P # P A%# P #= + + +

b) Công thứ c Bayes

( ) ( ) ( )

( )" "

"

P A%# P #P # %A , " 1,2, ,n

P A= = .

1.1.5.

Dãy phép thử Bernoulli

Khi thực hiện n lần phép thử độc lập nhau và gọi X là số lần biến cố A xảy ra trong n

lần thực hiện phép thử, thì biến cố ( ) & "= ch trư! ng hợ p biến cố A xảy ra đúng k lần

trong n lần thực hiện phép thử, ta có

( ) " " n "nP & " ' p (1 p) , " 0,1, 2, , n−

= = − =

vớ i p P(A)= . Ta ký hiệu & #(np)∼ .

1.2. Bài tập mẫu

Bài 1. Cho A, B, C là ba biến cố. Chứng minh


9/142


8

P(A # ') P(A) P(#) P(') P(A#) P(A') P(#') P(A#')+ + = + + − − − +

Giải

Ta có

( ) ( ) [ ]P A # ' P P(A #) P(') P A # ' (A #)' + + = = + + −+ + + ,

P(A #) P(A) P(#) P(A#)+ = + − ,

[ ] [ ]P P P(A') P(#') P(A#')(A #)' A' #'= = + −+ +

nên

( )P A # ' P(A) P(#) P(') P(A#) P(A') P(#') P(A#')+ + = + + − − − +

Bài 2. Cho 1 1P(A) , P(#)$ 2

= = và$

P(A #)

+ = .

Tính P(A#) , P(A#) , P(A #)+ , P(A#) và P(A#) .

Giải

Do

P(A #) P(A) P(#) P(A#)+ = + − ,

ta suy ra

1P(A#) P(A) P(#) P(A #)

12= + − + = .

Do A# A #= + , nên

( ) ( ) ( ) 1

P A# P A # 1 P A #

= + = − + = .

Tươ ng tự, vì A # A#+ = ta suy ra

( ) ( ) 11

P A # 1 P A#12

+ = − = .

Xuất phát từ đ"ng thức A A# A#= + và vì A# , A# là các biến cố xung khắc, ta đượ c

( ) ( )P(A) P A# P A#= + và do đó


10/142


9

( ) ( ) 1

P A# P(A) P A#

= − = .

Tươ ng tự, ta có

( ) ( ) *

P A# P(#) P A#12

= − = .

Bài 3. T# lệ ngư! i mắc bệnh tim trong một vùng dân cư là 9%, mắc bệnh huyết áp là 12%,

mắc cả hai bệnh là 7%. Chọn ngẫu nhiên một ngư! i trong vùng. Tính xác suất để ngư! i đó

a) Bị bệnh tim hay bị bệnh huyết áp.

b) Không bị bệnh tim c$ng không bị bệnh huyết áp.

c) Không bị bệnh tim hay không bị bệnh huyết áp.

d) Bị bệnh tim nhưng không bị bệnh huyết áp.

e) Không bị bệnh tim nhưng bị bệnh huyết áp.

Giải

Xét các biến cố A : “nhận đượ c ngư! i mắc bệnh tim”,

B : “nhận đượ c ngư! i mắc bệnh huyết áp”,

Ta có P(A) 0,0+= ; P(#) 0,12= ; P(A#) 0,0= .

a) Biến cố “nhận đượ c ngư! i bị bệnh tim hay bị bệnh huyết áp” là A+B, vớ i

P(A #) P(A) P(#) P(A#) 0,0+ 0,12 0,0 0,1+ = + − = + − =

b) Biến cố “nhận đượ c ngư! i không bị bệnh tim c$ng không bị bệnh huyết áp” là A# ,

vớ i

P(A#) P(A #) 1 P(A #) 1 0,1 0,-.= + = − + = − =

c) Biến cố “nhận đượ c ngư! i không bị bệnh tim hay không bị bệnh huyết áp” là A #+ ,

vớ i

P(A #) P(A#) 1 P(A#) 1 0,0 0,+$+ = = − = − =

d) Biến cố “nhận đượ c ngư! i bị bệnh tim nhưng không bị bệnh huyết áp” là A# , vớ i


11/142


10

P(A#) P(A) P(A#) 0, 0+ 0,0 0, 02= − = − =

e) Biến cố “nhận đượ c ngư! i không bị bệnh tim nhưng bị bệnh huyết áp” là A# , vớ i

P(A#) P(#) P(A#) 0,12 0,0 0,0*= − = − =

Bài 4. Theo dõi dự báo th! i tiết trên đài truyền hình (nắng, sươ ng mù, mưa) và so sánh vớ i

th! i tiết thực tế xảy ra, ta có bảng thống kê sau

Dự báo

Thực tế

Nắng Sươ ng mù Mưa

Nắng 30 5 5

Sươ ng mù 4 20 2

Mưa 10 4 20

ngh ĩ a là có 30 lần dự báo nắng, tr! i nắng, 4 lần dự báo nắng, tr! i sươ ng mù; 10 lần dự báo

nắng, tr! i mưa, v.v…

a) Tính xác suất dự báo tr! i nắng của đài truyền hình.

b) Tính xác suất dự báo của đài truyền hình là đúng thực tế.

c) %ượ c tin dự báo là tr! i nắng. Tính xác suất để thực tế thì tr! i mưa ? tr! i sươ ng mù ?

tr! i nắng ?

Giải

Xét các biến cố A : “%ài truyền hình dự báo tr! i nắng”, 1 A : “Thực tế tr! i nắng”.

B : “%ài truyền hình dự báo tr! i sươ ng mù”, 1# : “Thực tế tr! i sươ ng mù”.

C : “%ài truyền hình dự báo tr! i mưa”, 1' : “Thực tế tr! i mưa”.

a) Do trong 100 lần theo dõi dự báo đài truyền hình, ta thấy có $0 10+ + lần dự báo

tr! i nắng nên xác suất dự báo tr! i nắng của đài truyền hình là

$0 10P(A) 0,

100

+ += = .


12/142


11

b) Do trong 100 lần theo dõi, ta thấy có $0 20 20+ + dự báo của đài truyền hình đúng

so vớ i thực tế nên xác suất dự báo của đài truyền hình đúng so vớ i thực tế là

$0 20 20 0,100

+ + =

c) Do trong 44 lần đài truyền hình dự báo là tr! i nắng có 30 lần thực tế tr! i nắng, 4 lần

thực tế tr! i sươ ng mù và 10 lần thực tế tr! i mưa nên xác suất để thực tế thì tr! i mưa, tr! i

sươ ng mù, tr! i nắng lần lượ t là

( )

( )

( )

1

1

1

$0P A A 0,.-2,

P # A 0,0+1,10

P ' A 0,22

= =

= =

= =

Bài 5. Bạn quên mất số cuối cùng trong số điện thoại cần gọi (số điện thoại g&m 6 chữ số)

và bạn chọn số cuối cùng này một cách ngẫu nhiên. Tính xác suất để bạn gọi đúng số điện

thoại này mà không phải thử quá 3 lần. Nếu biết số cuối cùng là số l' thì xác suất này là bao

nhiêu ?

Giải

Gọi i A là biến cố “gọi đúng ở lần thứ i”, i 1,2,$= . Ta có 1 A là biến cố “gọi đúng khi

thử một lần” , 1 2 A A là biến cố “gọi đúng khi phải thử hai lần” và 1 2 $ A A A là biến cố “gọi

đúng khi phải thử ba lần”. Do đó biến cố “gọi đúng khi không phải thử quá ba lần là

1 1 2 1 2 $ A A A A A A A= + + vớ i

1 1 2 1 2 $

1 1 2 1 1 2 1 $ 1 2

P(A) P(A A A A A A )

P(A ) P(A ) P(A %A ) P(A ) P(A %A ) P(A %A A )

1 + 1 + - 1 $0,$

10 10 + 10 + - 10

= + +

= + ⋅ + ⋅ ⋅

= + ⋅ + ⋅ ⋅ = =

Khi đã biết số cuối cùng là số l' thì khi đó các số để chọn quay ch c (n giớ i hạn lại trong

5 trư! ng hợ p (số l') nên công thức trên trở thành

1 1 $ 1 $P(A) 0, .

* * * $ *= + ⋅ + ⋅ ⋅ = = .


13/142


12

Bài 6. Có hai hộp đựng bi :

- Hộp 1/ đựng 20 bi trong đó có 5 bi đ) và 15 bi trắng,

- Hộp 2/ đựng 15 bi trong đó có 6 bi đ) và 9 bi trắng.

Lấy một bi ở hộp 1/ , b) vào hộp 2/ , trộn đều r&i lấy ra một bi. Tính xác suất nhận

đượ c bi đ) ? bi trắng ?

Giải

Xét các biến cố

A : “Bi nhận đượ c từ hộp 2/ là bi đ)”,

B : “Bi từ hộp 1/ b) sang hộp 2/ là bi đ)”.

Do giả thuyết, ta có

( ) * 1

P #20

= = ; ( )

P A #1.

= ; ( ) . $

P A #1. -

= = .

Từ đó, suy ra xác suất nhận đượ c bi đ)

( ) ( ) 2*P(A) P A # P(#) P A # P(#).

= + = ,

và xác suất nhận đượ c bi trắng là

$+P(A) 1 P(A)

.= − = .

Bài 7. Một c*p tr' sinh đôi có thể do cùng một trứng (sinh đôi thật) hay do hai trứng khác

nhau sinh ra (sinh đôi giả). Các c*p sinh đôi thật luôn luôn có cùng giớ i tính. Các c*p sinh

đôi giả thì giớ i tính của m+i đứa độc lập vớ i nhau và có xác suất là 0,5. Thống kê cho thấy

34% c*p sinh đôi là trai; 30% c*p sinh đôi là gái và 36% c*p sinh đôi có giớ i tính khác nhau.

a) Tính t# lệ c*p sinh đôi thật.

b) Tìm t# lệ c*p sinh đôi thật trong số các c*p sinh đôi có cùng giớ i tính.

Giải


14/142


15/142


14

b) Phép kiểm định cho k ết quả đúng.

Giải


A : “nhận đượ c ngư! i có bệnh”,

B : “nhận đượ c ngư! i có kiểm định dươ ng tính”.

Do giả thiết, ta có

( )P A 0, -= ; ( )P A # 0, += ; ( )P A # 0, *= .

a) Do công thức xác suất toàn phần,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

P A P A # P # P A # P #

P A # P # P A # 1 P #

P A # P A # P A # P # ,

= +

= + −

= + −

mà ( ) ( )P A # 1 P A # 0,*= − = , nên xác suất để phép kiểm định là dươ ng tính cho bở i

( ) ( ) ( )

( ) ( )

P A P A # 0,- 0,*P # 0,*

0,+ 0,*P A # P A #

− −= = =

−−

.

b) Xác suất để phép kiểm định cho k ết quả đúng là

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A# A# P A# P A# P A # P # P A # P # 0, 12*+ = + = + =

Bài 9. Một dây chuyền lắp ráp nhận các chi tiết từ hai nhà máy khác nhau. T# lệ chi tiết do

nhà máy thứ nhất cung cấp là 60%, của nhà máy thứ hai là 40%. T# lệ chính ph,m của nhà

máy thứ nhất là 90%, của nhà máy thứ hai là 85%. Lấy ngẫu nhiên một chi tiết trên dây

chuyền và thấy rằng nó tốt. Tìm xác suất để chi tiết đó do nhà máy thứ nhất sản xuất.

Giải


A : “nhận đượ c sản ph,m tốt”,


16/142


15

i# : “nhận đượ c sản ph,m do nhà máy thứ i sản xuất”, vớ i i 1, 2= . Từ giả thuyết, ta có

1

.0P(# ) 0,.

100

= = ;2

0P(# ) 0,

100

= = ;

( )1P A # 0, += ; ( )2P A # 0, -*= .

Do 1# , 2# tạo thành họ đầy đủ các biến cố nên từ công thức Bayes, ta đượ c xác suất để

chi tiết tốt nhận đượ c trên dây chuyền là do nhà máy thứ nhất sản xuất

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )1 1

1

1 1 2 2

P A # P #P # A 0,.1

P A # P # P A # P #= =

+

.

Bài 10. Trong một vùng dân cư, cứ 100 ngư! i thì có 30 ngư! i hút thuốc lá. Biết t# lệ ngư! i

bị viêm họng trong số ngư! i hút thuốc lá là 60%, trong số ngư! i không hút thuốc lá là 30%.

Khám ngẫu nhiên một ngư! i và thấy ngư! i đó bị viêm họng. Tìm xác suất để ngư! i đó hút

thuốc lá. Nếu ngư! i đó không bị viêm họng thì xác suất để ngư! i đó hút thuốc lá là bao

nhiêu.

Giải

Khám ngẫu nhiên một ngư! i trong vùng dân cư, xét các biến cố

A : “nhận đượ c ngư! i hút thuốc lá”,

B : “nhận đượ c ngư! i bị viêm họng”.

Giả thiết cho

( )P A 0, $= ; ( )P # A 0, .= và ( )P # A 0, $= .

Do ngư! i đó đã bị viêm họng nên từ công thức Bayes, ta suy ra xác suất để ngư! i đó

hút thuốc lá là

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

P # A P A 0,. 0,$P A # 0,.1*

0,. 0,$ 0,$ 0,P # A P A P # A P A

×= = =

× + ×+

Khi ngư! i đó không bị viêm họng thì xác suất để anh ta hút thuốc lá là


17/142


16

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

P # A P A 0, 0,$P A # 0,1+.

0, 0,$ 0, 0,P # A P A P # A P A

×= = =

× + ×+

Bài 11. Một thiết bị g&m 3 c-m chi tiết, m+i c-m bị h)ng không ảnh hưở ng gì đến các c-m

khác và ch cần một c-m bị h)ng thì thiết bị ngừng hoạt động. Xác suất để c-m thứ nhất bị

h)ng trong ngày là 0,1, c-m thứ hai là 0,05 và c-m thứ ba là 0,15. Tìm xác suất để thiết bị

không ngừng hoạt động trong ngày.

Giải


i A : “C-m chi tiết thứ i bị h)ng”, vớ i i 1,2,$= ,

B : “thiết bị không ngừng hoạt động”.

Do giả thiết, ta có

( )1P A 0,1= , ( )2P A 0, 0*= , và ( )$P A 0,1*= .

Do 1 A , 2 A và $ A là họ các biến cố độc lập nên xác suất để thiết bị không ngừng hoạt

động là

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 $ 1 2 $P # P A A A P A P A P A0,+ 0, +* 0, -* 0,2.

= =

= × × =

.

Bài 12. Một ngư! i bắn bia vớ i xác suất bắn trúng là p 0, = .

a) Bắn liên tiếp 3 phát. Tính xác suất có ít nhất 1 lần trúng bia.

b) H)i phải bắn ít nhất mấy lần để có xác suất ít nhất một lần trúng bia 0,+≥ .

Giải

Gọi X là số viên đạn trúng bia trong 3 phát. Ta có ( ) & # np∼ , vớ i n $= và p 0, = .

a) Xác xuất có ít nhất một lần trúng bia khi bắn liên tiếp 3 phát là


18/142


17

( ) ( )0 0 $ 0

$

$

P & 1 1 P & 0

1 ' (0,) (1 0,)

1 (0,$) 0,+$

−

≥ = − =

= − −

= − =

b) Gọi n là số lần bắn để xác suất ít nhất một lần trúng bia 0+≥ . Do ( ) & # np∼ vớ i

p 0= , nên xác suất có ít nhất 1 lần trúng bia trong n phát là

( ) ( )0 0 n 0

n

n

P & 1 1 P & 0

1 ' (0,) (1 0,)

1 (0, $)

−

≥ = − =

= − −

= −

%ể ( )P & 1 0+≥ ≥ , ta giải bất phươ ng trình

n1 (0,$) 0,+− ≥ ,

hay tươ ng đươ ng

n(0,$) 0,1≤ .

Lấy lôgarít hai vế của bất phươ ng trình trên, ta đượ c

n ln(0, $) ln(0,1)× ≤ .

Do ln(0$) 0< , ta suy ra

ln(01)n 1,+1

ln(0$)≥ ≈ .

Vậy, cần phải bắn ít nhất 2 phát đạn để xác suất có ít nhất 1 lần trúng bia 0,+≥ .

Bài 13. T# lệ phế ph,m của một lô hàng (lớ n) là 1%. Từ lô hàng này, lấy ra n sản ph,m. H)i

n ít nhất phải là bao nhiêu để xác suất nhận đượ c ít nhất một phế ph,m lớ n hơ n 0,+*

Giải

Gọi X là số phế ph,m nhận đượ c trong n sản ph,m lấy ra từ lô hàng. Ta có

( ) & # n0,01∼ . Khi đó xác suất để nhận đượ c ít nhất một sản ph,m h)ng là

( ) ( )0 0 n 0 n

n

P & 1 1 P & 0

1 ' (0,01) (1 0,01) 1 (0,++) −

≥ = − =

= − − = −


19/142


18

%ể tìm n sao cho xác suất nhận đượ c ít nhất một sản ph,m h)ng lớ n hơ n 0,+* , ngh ĩ a là

( )P & 1 0, +*≥ > , ta giải bất phươ ng trình

n1 (0,++) 0,+*− > .

Từ đó, suy ra n 2+-,0$> . Vậy cần phải lấy ra ít nhất 299 sản ph,m để xác suất trong

đó có ít nhất một sản ph,m h)ng lớ n hơ n 0,+* .

Bài 14. Trong một lô thuốc (rất nhiều) vớ i xác suất nhận đượ c thuốc h)ng là p 0,1= . Lấy

ngẫu nhiên 3 lọ để kiểm tra. Tính xác suất để

a) Cả 3 lọ đều h)ng,

b) Có 2 lọ h)ng và 1 lọ tốt,

c) Có 1 lọ h)ng và 2 lọ tốt,

d) Cả 3 lọ đều tốt.

Giải

Gọi X là số lọ h)ng trong 3 lọ lấy ra để kiểm tra. Ta có ( ) & # $0,1∼ . Do đó xác suất

để

a) cả 3 lọ đều h)ng

( ) $ $ 0 $$P & $ ' (0,1) (1 0,1) (0,1) 0,001= = − = = ,

b) có hai lọ h)ng và một lọ tốt

( ) 2 2 $ 2$P & 2 ' (0,1) (0,+) $ 0,01 0,+ 0,02−

= = = × × = ,

c) có một lọ h)ng và hai lọ tốt

( ) 1 1 $ 1$P & 1 ' (0,1) (0,+) $ 0,1 0,-1 0,2$−

= = = × × = ,

d) cả 3 lọ đều tốt

( ) 0 0 $ $$P & 0 ' (0,1) (1 0,1) (0,+) 0,2+= = − = = .


20/142


19

1.3.

Bài tập rèn luyện

Bài toán về biểu diễn các biến cố.

Bài 1. Kiểm tra 3 sản ph,m. Gọi " A là biến cố sản ph,m thứ k tốt. Hãy trình bày các cách

biểu di.n qua " A và qua giản đ& Venn các biến cố sau đây :

A : tất cả đều xấu,

B : có ít nhất một sản ph,m xấu,

C : có ít nhất một sản ph,m tốt,

D : không phải tất cả sản ph,m đều tốt,

E : có đúng một sản ph,m xấu,

F : có ít nhất 2 sản ph,m tốt.

Bài 2. Ba ngư! i, m+i ngư! i bắn một phát. Gọi i A là biến cố thứ i bắn trúng. Hãy biểu di.n

qua i A các biến cố sau :

A : ch có ngư! i thứ nhất bắn trúng,

B : ngư! i thứ nhất bắn trúng và ngư! i thứ hai bắn trật,

D : cả 3 ngư! i đều bắn trúng,

E : có ít nhất 2 ngư! i bắn trúng,

F : ch có 2 ngư! i bắn trúng,

G : không ai bắn trúng,

H : không có hơ n 2 ngư! i bắn trúng,

I : ngư! i thứ nhất bắn trúng, ho*c ngư! i thứ hai và ngư! i thứ ba cùng bắn trúng,

K : ngư! i thứ nhất bắn trúng hay ngư! i thứ hai bắn trúng,

C : có ít nhất 1 ngư! i bắn trúng.

Bài 3. Ba sinh viên A, B, C cùng thi môn xác suất thống kê. Xét các biến cố:

A : sinh viên A đậu,


21/142


20

B : sinh viên B đậu,

C : sinh viên C đậu.

Hãy biểu di.n qua A, B, C các biến cố sau :

a) ch có A đậu,

b) A đậu và B rớ t,

c) có ít nhất một ngư! i đậu,

d) cả 3 cùng đậu,

e) có ít nhất 2 ngư! i đậu,

f) ch có 2 ngư! i đậu,

g) không ai đậu,

h) không có quá 2 ngư! i đậu.

Bài 4. Quan sát 4 sinh viên làm bài thi. Kí hiệu !# (! 1, 2,$, )= là biến cố sinh viên j làm bài

thi đạt yêu cầu. Hãy viết các biến cố sau đây

a) Có đúng một sinh viên đạt yêu cầu,

b) có đúng 3 sinh viên đạt yêu cầu,

c) có ít nhất 1 sinh viên đạt yêu cầu,

d) không có sinh viên nào đạt yêu cầu.

Xác suất bằng định ngh ĩ a.

Bài 5. Một công ty liên doanh cần tuyển một k ế toán trưở ng, một trưở ng phòng tiếp thị, có40 ngư! i dự tuyển trong đó có 15 nữ. Tính xác suất trong 2 ngư! i đượ c tuyển có:

a) k ế toán trưở ng là nữ,

b) ít nhất 1 nữ.

Đáp số : a) 0,75;b) 0,6154.


22/142


21

Bài 6. Một lô hàng có 10 sản ph,m, trong đó có 7 sản ph,m tốt, 3 sản ph,m xấu. Lấy ngẫu

nhiên từ lô hàng ra 4 sản ph,m. Tính xác suất để 4 sản ph,m lấy ra có 3 sản ph,m tốt.

Đáp số : 0,5.

Bài 7. Một hộp có 7 bi đ) và 3 bi đen.

a) Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp ra để kiểm tra, tính xác suất nhận đượ c bi đen.

b) Lấy ngẫu nhiên lần lượ t có hoàn lại 2 bi. Tính xác suất để lấy đượ c 2 bi đen.

c) Lấy ngẫu nhiên ra 2 viên bi từ hộp. Tính xác suất để lấy đượ c 2 bi đen.

Đáp số : a) 0,3; b) 0,09; c)1

1* .

Công thứ c cộng – nhân – xác suất có điều kiện.

Bài 8. Trong 100 ngư! i ph)ng vấn có 40 ngư! i thích dùng nướ c hoa A, 28 ngư! i thích dùng

nướ c hoa B, 10 ngư! i thích dùng cả 2 loại A, B. Chọn ngẫu nhiên 1 ngư! i trong số 100

ngư! i trên. Tính xác suất ngư! i này :

a) thích dùng ít nhất 1 loại nướ c hoa trên,

b) không dùng loại nào cả.

Đáp số : a) 0,58; b) 0,42.

Bài 9. Một cơ quan có 210 ngư! i, trong đó có 100 ngư! i ở gần cơ quan, 60 ngư! i trong 100

ngư! i là nữ, biết rằng số nữ chiếm gấp đôi số nam trong cơ quan.

Chọn ngẫu nhiên 1 ngư! i trong cơ quan. Tính xác suất :

a) ngư! i này là nam,

b) ngư! i này ở gần cơ quan,

c) ngư! i này phải trực đêm (ngư! i trực đêm phải ở gần cơ quan ho*c là nam).

Đáp số : a)1

$; b) 0,476; c) 0,619.


23/142


22

Bài 10. M+i sinh viên đượ c thi tối đa 2 lần một môn thi. Xác suất để một sinh viên đậu môn

xác suất thống kê ở lần thi thứ 1 là1

P , lần thi thứ 2 là2

P . Tính xác suất để sinh viên này

vượ t qua đượ c môn xác suất thống kê.

Đáp số : ( )1 1 2P 1 P P+ − .

Bài 11. Cho A và B là 2 biến cố sao cho P(A) = 12

, P(B) =1

$, P(AB) =

1

. . Hãy tính :

1) P(A+B) , 8) P(A #) ,

2) P(A #)+ , 9) P(A #) ,

3)P(A #)+ , 10) P(A# #) ,

4)P(A#) , 11) P(A# #) ,

5) P(A#) , 12) P(A# #) ,

6) P(A#) , 13) P(A # A#)+ ,

7) P(A #)+ , 14) P(A# A #)+ .

Bài 12. %ội tuyển cầu lông của Trư! ng %ại học Tài chính - Marketing có 3 vận động viên,

m+i vận động viên thi đấu một trận. Xác suất thắng trận của các vận viên A, B, C lần lượ t là

: 0,9; 0,7; 0,8. Tính xác suất :

a) %ội tuyển thắng ít nhất 1 trận,

b) %ội tuyển thắng 2 trận,

c) C thua, biết rằng đội tuyển thắng 2 trận.

Đáp số : a) 0,994; b) 0,398; c) 0,317.

Bài 13. Một lớ p học có 50 học sinh trong k ỳ thi gi)i Toán và V/n, trong đó có 20 ngư! i gi)i

Toán, 25 ngư! i gi)i V/n, 10 ngư! i gi)i cả Toán lẫn V/n. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh của

lớ p này. Tính xác suất để học sinh đượ c chọn gi)i Toán ho*c V/n.

Đáp số : 0,7.


24/142


23

Bài 14. Trong 1 khu phố, t# lệ ngư! i mắc bệnh tim là 6%; mắc bệnh phổi là 8% và mắc cả

hai bệnh là 5%. Chọn ngẫu nhiên 1 ngư! i trong khu phố đó. Tính xác suất để ngư! i đó

không mắc cả 2 bệnh tim và bệnh phổi. Đáp số : 0,91.

Bài 15. Cho 3 biến cố A, B, C sao cho

P(A) = 0,5; P(B) = 0,7; P(C) = 0,6;

P(AB) = 0,3; P(BC) = 0,4; P(AC) = 0,2

và P(ABC) = 0,1.

a) Tìm xác suất để cả 3 biến cố A, B, C đều không xảy ra.

b) Tìm xác suất để có đúng 2 trong 3 biến cố đó xảy ra.

c) Tìm xác suất để ch có đúng 1 biến cố trong 3 biến cố đó xảy ra.

Đáp số : a) 0; b) 0,6; c) 0,3.

Bài 16. Một ngư! i có 5 con gà mái, 2 con gà trống nhốt chung trong một cái l&ng. Một

ngư! i đến mua, ngư! i bán gà bắt ngẫu nhiên 1 con. Ngư! i mua chấp nhận con đó.

a) Tính xác suất để ngư! i đó mua đượ c con gà mái.

Ngư! i thứ hai lại đến mua, ngư! i bán gà lại bắt ngẫu nhiên ra 1 con.

b) Tìm xác suất để ngư! i thứ hai mua đượ c con gà trống.

c) Xác suất này s0 bằng bao nhiêu nếu ngư! i bán gà quên mất rằng con gà bán cho

ngư! i thứ nhất là gà trống hay gà mái.

Đáp số : a)*

; b)

1

$; c)

2

.

Bài 17. Hai công ty A, B cùng kinh doanh một m*t hàng. Xác suất để công ty A thua l+ là

0,2; xác suất để công ty B thua l+ là 0,4. Tuy nhiên trên thực tế, khả n/ng cả 2 công ty cùng

thua l+ là 0,1. Tìm xác suất để

a) ch có một công ty thua l+,


25/142


26/142


25

c) Nếu việc kiểm tra dừng lại ở lần chọn thứ 3, tính xác suất lần chọn đầu đượ c sản

ph,m xấu.

Đáp số : a) 0,0667; b) 0,0222; c) 0,0222.

Bài 22. %ội tuyển bóng bàn Thành phố có 4 vận động viên A, B, C, D . M+i vận động viên

thi đấu 1 trận, vớ i xác suất thắng trận lần lượ t la : 0,6, 0,7, 0,8, 0,9. Tính

a) xác suất đội tuyển thắng ít nhất 1 trận,

b) xác suất đội tuyển thắng 2 trận,

c) xác suất đội tuyển thắng 3 trận,

d) xác suất D thua, trong trư! ng hợ p đội tuyển thắng 3 trận.

Đáp số : a) 0,9976; b) 0,1496; c) 0,4404; d) 0,0763.

Bài 23. 2 một cơ quan nọ có 3 chiếc ôtô. Khả n/ng có sự cố của m+i xe ôtô lần lượ t là 0,15 ;

0,20 ; 0,10.

a) Tìm khả n/ng 3 ôtô cùng bị h)ng.

b) Tìm khả n/ng có ít nhất 1 ôtô hoạt động tốt.

c) Tìm khả n/ng cả 3 ôtô cùng hoạt động đượ c.

d) Tìm xác suất có không quá 2 ôtô bị h)ng.

Đáp số : a) 0,003; b) 0,997; c) 0,612; d) 0,997.

Công thứ c xác suất đầy đủ – Công thứ c Bayès.

Bài 24. Một nhà máy sản xuất bóng đèn, máy A sản xuất 25%, máy B: 35%, máy C: 40% số

bóng đèn. T lệ sản ph,m h)ng của m+i máy trên số sản ph,m do máy đó sản xuất lần lượ t là

3%, 2%, 1%. Một ngư! i mua 1 bóng đèn do nhà máy sản xuất.

a) Tính xác suất để sản ph,m này tốt.

b) Biết rằng sản ph,m này là xấu. Tính xác suất để sản ph,m do máy C sản xuất.

Đáp số : a) 0,981;b) 0,22.


27/142


26

Bài 25. Trong một trạm cấp cứu b)ng : 80% bệnh nhân b)ng do nóng, 20% b)ng do hóa

chất. Loại b)ng do nóng có 30% bi biến chứng, loại b)ng do hóa chất có 50% bị biến chứng.

a) Chọn ngẫu nhiên một bệnh án. Tính xác suất để g*p một bệnh án của bệnh nhân bị biến chứng.

b) Rút ngẫu nhiên đượ c một bệnh án của một bệnh nhân bị biến chứng. Tính xác suất

để bệnh án đó là của bệnh nhân bị biến chứng do nóng gây ra? do hóa chất gây ra?

Đáp số : a) 0,34; b) 0,71; 0,2942.

Bài 26. Một lô hạt giống đượ c phân thành ba loại. Loại 1 chiếm 2/3 số hạt cả lô, loại 2

chiếm 1/4, còn lại là loại 3. Loại 1 có t lệ n,y mầm 80%, loại 2 có t lệ n,y mầm 60% vàloại 3 có t lệ n,y mầm 40%. H)i t lệ n,y mầm chung của lô hạt giống là bao nhiêu ?

Đáp số : 0,72.

Bài 27. Hai nhà máy cùng sản suất 1 loại linh kiện điện tử. N/ng suất nhà máy hai gấp 3 lần

n/ng suất nhà máy một. T# lệ h)ng của nhà máy một và hai lần lượ t là 0,1% và 0,2%. Giả sử

linh kiện bán ở Trung tâm ch do hai nhà máy này sản xuất. Mua 1 linh kiện ở Trung tâm.

a) Tính xác suất để linh kiện ấy h)ng.

b) Giả sử mua linh kiện và thấy linh kiện bị h)ng. Theo ý bạn thì linh kiện đó do nhà

máy nào sản xuất.

Đáp số : a) 0,175%; b) nhà máy 2.

Bài 28. Có 3 loại súng bề ngoài hoàn toàn giống nhau, vớ i xác suất bắn trúng bia tươ ng ứng

là 0,6, 0,7, 0,8. Loại thứ I có 5 kh,u, loại thứ II có 3 kh,u, loại thứ III có 2 kh,u. Chọn ngẫu

nhiên 1 kh,u và bắn vào bia. Tính xác suất bắn trúng bia.

Đáp số : 0,67.

Bài 29. Có 8 bình đựng bi, trong đó có :

2 bình loại 1: m+i bình đựng 6 bi trắng 3 bi đ),

3 bình loại 2: m+i bình đựng 5 bi trắng 4 bi đ),

3 bình loại 3: m+i bình đựng 2 bi trắng 7 bi đ).


28/142


27

Lấy ngẫu nhiên một bình và từ bình đó lấy ngẫu nhiên 1 bi.

a) Tính xác suất để bi lấy ra là bi trắng.

b) Biết rằng bi lấy ra là bi trắng. Tính xác suất để bình lấy ra là bình loại 3.

Đáp số : a) 0,458; b) 0,182.

Bài 30. Một chu&ng gà có 9 con gà mái và 1 con gà trống. Chu&ng gà kia có 1 con mái và 5

con trống. Từ m+i chu&ng lấy ngẫu nhiên 1 con đem bán. Các con gà còn lại đượ c d&n vào

chu&ng thứ ba. Nếu ta lại bắt ngẫu nhiên 1 con gà nữa từ chu&ng này ra thì xác suất để bắt

đượ c con gà trống là bao nhiêu?

Đáp số : 0,36.

Bài 31. Có 2 hộp áo; hộp một có 10 áo trong đó có 1 phế ph,m; hộp hai có 8 áo trong đó có

2 phế ph,m. Lấy ngẫu nhiên 1 áo từ hộp một b) sang hộp hai; sau đó từ hộp này chọn ngẫu

nhiên ra 2 áo. Tìm xác suất để cả 2 áo này đều là phế ph,m.

Bài 32. Có 3 xạ thủ cùng bắn vào một con thú, m+i ngư! i bắn 1 viên đạn, vớ i xác suất bắn

trúng lần lượ t là 0,6; 0,7; 0,8. Biết rằng nếu trúng 1 phát đạn thì xác suất để con thú bị tiêu

diệt là 0,5; trúng 2 phát thì xác suất để con thú bị tiêu diệt là 0,8; còn nếu trúng 3 phát đạnthì chắc chắn con thú bị tiêu diệt.

a) Tính xác suất con thú bị tiêu diệt.

b) Giả sử con thú bị tiêu diệt. Tính xác suất nó bị trúng 2 phát đạn.

Đáp số : a) 0,7916; b) 0,4567.

Bài 33. Có 3 hộp bi; hộp một có 10 bi trong đó có 3 bi đ); hộp hai có 15 bi trong đó có 4 bi

đ); hộp ba có 12 bi trong đó có 5 bi đ). Gieo một con xúc xắc. Nếu xuất hiện m*t 1 thì chọn

hộp một, xuất hiện m*t hai thì chọn hộp 2, xuất hiện các m*t còn lại thì chọn hộp ba. Từ hộp

đượ c chọn, lấy ngẫu nhiên 1 bi

a) Tính xác suất để đượ c bi đ),

b) Giả sử lấy đượ c bi đ). Tính xác suất để bi đ) này thuộc hộp hai.

Đáp số : a) 0,372; b) 0,1194.


29/142


28

Bài 34. Một hộp có 15 quả bóng bàn, trong đó có 9 mớ i 6 c$, lần đầu chọn ra 3 quả để sử

d-ng, sau đó b) vào lại, lần hai chọn ra 3 quả.

a) Tính xác suất 3 quả bóng chọn lần hai là 3 bóng mớ i.

b) Biết rằng lần hai chọn đượ c 3 bóng mớ i, tính xác suất lần đầu chọn đượ c 2 bóng mớ i.

Đáp số : a) 0,0893; b) 0,4091.

Bài 35. Có 3 cái thùng. Thùng 1 có 6 bi trắng, 4 bi đ); thùng 2 có 5 bi trắng, 5 bi đ) và

thùng 3 có 10 bi trắng. Giả sử ngư! i ta lấy ngẫu nhiên 2 bi từ thùng 1 b) vào thùng 2. Sau

đó, lại lấy ngẫu nhiên 1 bi từ thùng 2 b) vào thùng 3 r&i từ thùng 3 lấy ngẫu nhiên ra 1 bi.

Tìm xác suất để bi lấy ra là đ).

Đáp số : 0,044.

Công thứ c Bernoulli

Bài 36. Một bác s ĩ chữa kh)i bệnh A cho một ngư! i vớ i xác suất là 95%. Giả sử có 10 ngư! i

bị bệnh A đến chữa một cách độc lập nhau. Tính xác suất để

a) Có 8 ngư! i kh)i bệnh,

b) Có nhiều nhất 9 ngư! i kh)i bệnh.

Đáp số : a) 0,0746; b) 0,389.

Bài 37. Một thiết bị có 10 chi tiết vớ i độ tin cậy của m+i chi tiết là 0,9. (Xác suất làm việc

tốt trong khoảng th! i gian nào đó).

Tính xác suất để trong khoảng th! i gian ấy :

a) Có đúng một chi tiết làm việc tốt,

b) Có ít nhất 2 chi tiết làm việc tốt.

Đáp số : a) ++ 10−⋅ ; b) 1≈ .

Bài 38. Một cầu thủ đá thành công quả phạt 11m vớ i xác suất 80%.

- %á 4 thành công 2.

- %á 6 thành công 3.


30/142


31/142


30

Đáp số : 0,31744.

Bài 44. Một máy sản xuất lần lượ t từng sản ph,m. Xác suất sản xuất ra một phế ph,m của

máy là 0,01.

a) Cho máy sản xuất 10 sản ph,m. Tính xác suất để có 2 phế ph,m.

b) Máy cần sản xuất ít nhất bao nhiêu sản ph,m để xác suất có ít nhất một chính ph,m

trên 0,99.

Đáp số : a) 0,0041; b) 2.


32/142


31

Chươ ng 2. BIẾN SỐ NGẪU NHIÊN

2.1. Tóm tắt lý thuyết2.1.1. Biến số ngẫu nhiên rờ i rạc

a) Bảng phân phối xác suất

Biến số ngẫu nhiên rờ i rạc X đượ c xác định bằng bảng phân phố i xác suấ t

X 1x 2x … nx …

P 1p 2p … np …

trong đó 1 2 nx x ... x ...< < < < là các giá trị nhận đượ c bở i X và ( )i ip P X x= = , vớ i mọi i.

b) Hàm xác suất

Hàm số f(x) đượ c gọi là hàm xác suất biến số ngẫu nhiên rờ i rạc X, nếu f(x) đượ c xác

định như sau:

i i

i

p khi x xf(x)

0 khi x x , i

==

≠ ∀

c) Hàm phân phối xác suất

Hàm số F(x) đượ c gọi là hàm phân phối (xác suất) của biến số ngẫu nhiên rờ i rạc X,nếu F(x) đượ c xác định như sau:

( ) ( )i

i

x x

F(x) P X x f x≤

= ≤ = ∑

d) Trung bình và phươ ng sai

Giá trị trung bình (k ỳ vọng) của X cho bở i

( )i

X i i i i

x i

E X x f (x ) x pµ = = =∑ ∑ ,

và phươ ng sai của X là

( ) ( )i

2 22

X i X i i X i

x i

Var(X) x f (x ) x pσ = = − µ = − µ∑ ∑ .

Căn bậc hai của phươ ng sai gọi là độ lệch chuẩ n,

2

X Xse(X)σ = = σ .


33/142


32

2.1.2. Biến số ngẫu nhiên liên tục

a) Hàm mật độ xác suất

Hàm số f : →ℝ ℝ

đượ c gọi là hàm mật độ (xác suất) biến số ngẫu nhiên liên tục X,nếu f(x) đượ c xác định như sau:

( )b

a

P a X b f (x)dx≤ ≤ = ∫ , vớ i a, b , a b∈


34/142


33

a) Xét các biến cố

A : “nhận đượ c lọ hỏng từ thùng A”,

B : “nhận đượ c lọ hỏng từ thùng B”,

và gọi X là số lọ hỏng trong hai lọ lấy ra. Ta có X lấy các giá trị 0, 1 và 2. Chú ý rằng A, B

là các biến cố độc lập. Ta có

18 17 306P(X 0) P(!) P()P(!) 0, 76"

20 20 #00= = = = ⋅ = = ,

P(X 1) P(! !) P()P(!) P()P(!)

2 17 18 3 880,22,20 20 20 20 #00

= = + = +

= ⋅ + ⋅ = =

2 3 6P(X 2) P(!) P()P(!) 0, 01"

20 20 #00= = = = ⋅ = = .

Từ đó, ta đượ c bảng phân phối xác suất

X 0 1 2

P 0,765 0,22 0,015

và hàm mật độ của X

0, 76" khi x 0

0, 22 khi x 1f(x)

0, 01" khi x 2

0 khi x 0, 1, 2

=

==

= ≠

b) Gọi Y là số lọ hỏng trong 3 lọ lấy ra từ thùng B. Ta có ( , , ) $ % 20 3 3∼ , ngh ĩ a là

k 3 k

3 17

3

20

& &

P($ k) &

−

= =

và ta nhận đượ c bảng phân phối xác suất

Y 0 1 2 3

P 0,596 0,358 0,045 0,001

cũng như hàm mật độ của Y


35/142


34

0, "'6 khi x 0

0, 3"8 khi x 1

f (x) 0, 0#" khi x 2

0, 001 khi x 30 khi x 0, 1, 2, 3

=

=

= =

=≠

Bài 2. Có hai lô sản phẩm.

- Lô 1: Có 8 chính phẩm và 2 phế phẩm

- Lô 2: Có 7 chính phẩm và 3 phế phẩm

Từ lô 1 lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm bỏ sang lô 2, sau đó từ lô 2 lấy ra 2 sản phẩm.

a) Tìm bảng phân phối xác suất của số chính phẩm đượ c lấy ra

b) Tìm hàm phân phối xác suất của số chính phẩm đượ c lấy ra

Giải

a) Xét các biến cố

A : “nhận đượ c 2 phế phẩm từ lô 1”,

B : “nhận đượ c 1 chính phẩm và 1 phế phẩm từ lô 1”,

C : “nhận đượ c 2 chính phẩm từ lô 1”,

và gọi X là số chính phẩm lấy ra từ lô 2. Ta có X lấy các giá trị 0, 1 và 2.

Nhận xét A, B, C là họ đầy đủ các biến cố

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 0 2 1 1 2 22

" 8 # 8 2 3 82

2 2 2 2 2 2

12 10 12 10 12 10

P X 0 P X 0 P P X 0 ! P ! P X 0& P &

& & & & & & &&

& & & & & &

10 1 6 16 3 28 1'0

66 #" 66 #" 66 #" 2'70

= = = + = + =

= ⋅ + ⋅ + ⋅

= ⋅ + ⋅ + ⋅ =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 1 1 22

7 " 8 # 8 2 ' 3 82

2 2 2 2 2 2

12 10 12 10 12 10

P X 1 P X 1 P P X 1! P ! P X 1& P &

& & & & & & & & &&

& & & & & &

3" 1 32 16 27 28 1303

66 #" 66 #" 66 #" 2'70

= = = + = + =

= ⋅ + ⋅ + ⋅

= ⋅ + ⋅ + ⋅ =


36/142


35

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 1 2 22

7 8 8 2 ' 82

2 2 2 2 2 2

12 10 12 10 12 10

P X 2 P X 2 P P X 2 ! P ! P X 2& P &

& & & & & &&

& & & & & &21 1 28 16 36 28 1#77

66 #" 66 #" 66 #" 2'70

= = = + = + =

= ⋅ + ⋅ + ⋅

= ⋅ + ⋅ + ⋅ =


X 0 1 2

P 1'0

2'70

1303

2'70

1#77

2'70

b) Tìm hàm phân phối xác suất của số chính phẩm đượ c lấy ra

0 khi x 0

1'0khi 0 x 1

2'70F(x)1#'3

khi 1 x 22'70

1 khi 2 x

< ≤ <

= ≤ <

≤

Bài 3. Thực hin ba lần b!n bia vớ i xác suất trúng bia tươ ng "ng là 0,3; 0,4; 0,6. Tìm trung

bình và phươ ng sai của số lần b!n trúng bia.Giải

Gọii

“biến cố b!n trúng bia lần th" i”

Ta có: ( ) ( ) ( )1 2 3P 0, 2 P 0, 3 P 0, 6= = =

Gọi X là số lần b!n trúng bia trong 3 lần b!n, X lấy các giá trị 0, 1, 2, 3. Chú ý rằng

1 2 3 , , là các biến cố độc lập. Ta có

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 3P X 0 P P P P 0, 7 0, 6 0, # 0, 168,

= = =

= × × =

( ) ( )

( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 2 33 1 2 33 1 2 3

P X 1 P

P P P

= = + +

= + +


37/142


36

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 3 1 2 3P P P P P P P P P 0, 3 0, 6 0, # 0,7 0, # 0, # 0, 7 0, 6 0, 6 0, #36,

= + +

= × × + × × + × × =

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 2 33 1 2 33 1 2 3

1 2 3 1 2 3 1 2 3

P X 2 P

P P P

P P P P P P P P P

0, 3 0, # 0, # 0, 3 0, 6 0, 6 0, 7 0, # 0, 6 0, 32#

= = + += + +

= + +

= × × + × × + × × =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 3P X 3 P P P P 0, 3 0, # 0, 6 0, 072= = = = × × = .


X 0 1 2 3

P 0,168 0,436 0,324 0,072

Trung bình EX 1, 3= ; phươ ng sai 2 X

0,6'σ = .

Biế n số ngẫ u nhiên liên tụ c

Bài 4. Gọi X là tu#i thọ của con ngườ i. Một công trình nghiên c"u cho biết hàm mật độ của

X là

2 2*x (100 x) khi 0 x 100

f(x) 0 khi x 0 ha+ x 100

− ≤ ≤= < >

a) Xác định hằng số c.

b) Tính trung bình và phươ ng sai của X.

c) Tính xác suất của một ngườ i có tu#i thọ 60≥ .

d) Tính xác suất của một ngườ i có tu#i thọ 60≥ , biết rằng ngườ i đó hin nay đã 50 tu#i.

Giải

a) $% f(x) là hàm mật độ, ta cần

f ( x)dx 1

+∞

−∞

=∫ .

mà


38/142


37

( )

2101003 # "

22 # 2

00

x x xf (x)dx *x 100 x dx * 10 2.10

3 # "

+∞

−∞

= − = − +

∫ ∫,

nên ta đượ c phươ ng trình

2103 # "

# 2

0

x x x* 10 2.10 1

3 # "

− + =

.

Giải phươ ng trình này, ta đượ c '* 3, 10−= .

b) Ta có trung bình

( )

2

100

23 X

0

100

# 3 2 # "

0

10# " 6

# 2

0

E(X) xf (x)dx * x 100 x dx

* (10 x 2.10 x x )dx

x x x* 10 2.10 "0,

# " 6

+∞

−∞

µ = = = −

= − +

= − + =

∫ ∫

∫

và phươ ng sai

( )

2

10022 2 2 2 2 #

X X

0

100

# # 2 " 6

0

10" 6 7

# 2

0

1# "'

E(X ) x f (x)dx "0 * x 100 x dx 2"00

* (10 x 2.10 x x )dx 2"00

x x x* 10 2.10 2"00

" 6 7

10 10 2"003.10 2"00 2"00 .

10" 3" 7

+∞

−∞

−

σ = − µ = − = − −

= − + −

= − + −

= − = − =

∫ ∫

∫

c) Xác suất của một ngườ i có tu#i thọ 60≥ là


39/142


38

( )

2

1002

2

60 60

100

# 2 2 3 #

60

103 # "

# 2

60

10"

#' "

P(X 60) f (x)dx *x 100 x dx

* (10 x 2.10 x x )dx

x x x* 10 2.10

3 # "

10 216 12'6 7776* 10 100. 20.

30 3 # "

10 11376 ''23,10 10 0, 317##.

3 " 312"

+∞

−

≥ = = −

= − +

= − +

= − − +

= − = =

∫ ∫

∫

d) $% tính xác suất của một ngườ i có tu#i thọ 60≥ , khi biết ngườ i đó đã 50 tu#i, ta tính

xác suất có đi&u kin

( ) ( ) ( )( )

( )

( )

( )

P X 60 X "0P X 60 X "0

P X "0

P X 60 0,317##0,63#88,

0,"P X "0

≥ ≥≥ ≥ =

≥

≥= = =

≥

vớ i ( )P X "0≥ đượ c tính như ở phần c và bằng 0,5.

Bài 5. Cho biến số ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất

( )

( )

sin xkhi x 0,

2f(x)

0 khi x 0,

∈ π= ∉ π

a) Tìm hàm phân phối xác suất của X.

b) Tìm P 0 X #

π ≤ ≤

c) Tìm trung bình và phươ ng sai của X.

Giải

a) Tìm hàm phân phối xác suất của X.

Trườ ng hợ p 1. Nếu x 0≤ thìx

F(x) f (t)dt 0−∞

= =∫ .


40/142


39

Trườ ng hợ p 2. Nếu 0 x< ≤ π

x 0 x

0

xx

00

F(x) f (t)dt f (t)dt f (t)dt

sin t *s t 1 *s xdt

2 2 2

−∞ −∞

= = +

−= = − =

∫ ∫ ∫

∫

Trườ ng hợ p 3. Nếu xπ < < +∞

x 0 x

0

00

F(x) f (t)dt f (t)dt f (t)dt f (t)dt

sin t *s t

dt 12 2

π

−∞ −∞ π

ππ

= = + +

= = − =

∫ ∫ ∫ ∫

∫

Vậy hàm phân phối xác suất của X là

0 khi x 0

1 *s xF(x) khi 0 x

2

1 khi x

≤ −= < ≤ π π


41/142


40

Vớ i

2 2

0

1EX x sin xdx

2

π= ∫

$'t

2- x d- 2xdx

d sin xdx *s x

= ⇒ == ⇒ = −

22 2

0 0

1EX x *s x x *s xdx /

2 2

ππ π= − + = +∫

Tính0

/ x *s xdxπ

= ∫

$'t

- x d- dx

d *s xdx sin x

= ⇒ == ⇒ =

0 00/ x sin x sin xdx x sin x *s x 2

ππ π= − = + = −∫

Vậy

22 2

Var(X) 2 22 2 #

π π π = − − = −

2.3. Bài tập rèn luyện

Biế n số ngẫ u nhiên rờ i rạ c

Bài 1. Cho X là một biến số ngẫu nhiên có phân phối xác suất như sau

X 0 1 2 3 4 5 6 7

XP 0 a 2a 2a 3a2a 22a 27a a+

a) Xác định a.

b) Tính [ ]P X "≥ , [ ]P X 3< .

c) Tính k nhỏ nhất sao cho [ ] 1

P X k2

≤ ≥ .

Đáp số : a) a 0,1= ; b) P X " 0, 2 ≥ = P X 3 0, 3 < = ; c) k 3= .


42/142


43/142


44/142


43

Tính ( )( )P X E X #− < .

Đáp số : 0,7.

Bài 9. Lợ i nhuận X thu đượ c khi đầu tư 50 triu đồng vào một dự án có bảng phân phối xác

suất như sau (đơ n vị : triu đồng).

X -2 -1 0 1 2 3

P 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,1

a) Tìm m"c lợ i nhuận có khả năng nhi&u nhất khi đầu tư vào dự án đó.

b) Vic đầu vào dự án này có hiu quả hay không? Tại sao?

c) Làm thế nào đ% đo đượ c m"c độ rủi ro của vụ đầu tư này? Hãy tìm m"c độ rủi ro đó.

Đáp số : a) d(X) 2= ; b) EX 0, 8= ; 2 X

3,2#σ = .

Bài 10. Tại một c)a hàng bán xe máy Honda ngườ i ta thống kê đượ c số xe máy bán ra hàng

tuần (X) vớ i bảng phân phối xác suất như sau :

X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

P 0,05 0,12 0,17 0,08 0,12 0,2 0,07 0,02 0,07 0,02 0,03 0,05

a) Tìm số xe trung bình bán đượ c mỗi tuần.

b) Tìm phươ ng sai và độ lch chuẩn của số xe bán đượ c mỗi tuần và giải thích ý ngh ĩ a

của k ết quả nhận đượ c.

Đáp số : a) 4,33; b) 2 X X

8, 3#11 2, 8'σ = σ = .

Bài 11. Sản phẩm nhà máy đượ c đóng thành từng hộp, mỗi hộp có 10 sản phẩm. Gọi X là số

sản phẩm loại một có trong hộp. Cho biết X có bảng phân phối xác suất như sau:

X 6 7

P 0,7 0,3

Khách hàng chọn cách ki%m tra đ% mua hàng như sau : Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên ra 3 sản

phẩm đ% ki%m tra, nếu thấy có ít nhất 2 sản phẩm loại một thì mua hộp đó. Lấy ngẫu nhiên 3

hộp đ% ki%m tra. Tính xác suất đ% có 2 hộp đượ c mua.

Đáp số : 0,381.

Biế n số ngẫ u nhiên liên tụ c


45/142


44

Bài 12. Tu#i thọ của một loại bóng đèn nào đó là một biến số ngẫu nhiên liên tục X (đơ n vị

năm) vớ i hàm mật độ như sau

2kx (# x) khi 0 x #f(x)0 khi x 0, #

− ≤ ≤= ∉

a) Tìm k và v+ đồ thị f(x).

b) Tìm xác suất đ% bóng đèn hỏng trướ c khi nó đượ c 1 năm tu#i.

Đáp số : a)3

k6#

= ; b) 0,0508.

Bài 13. Khối lượ ng của một con vịt 6 tháng tu#i là một biến số ngẫu nhiên X (đơ n vị tính là

Kg) có hàm mật độ

2k(x 1) khi 1 x 3f(x)

0 khi x 1, 3

− ≤ ≤=

∉

a) Tìm k.

b) Vớ i k tìm đượ c, tính

(i) khối lượ ng trung bình của vịt 6 tháng tu#i,

(ii) t* l vịt chậm lớ n, biết vịt 6 tháng tu#i chậm lớ n là vịt có khối lượ ng nhỏ hơ n 2Kg,

(iii) hàm phân phối xác suất của X.

Đáp số : a)3

k20

= ; b) EX 2, #= ; ( )P X 2 0, 2< =

3

0 khi x 1

x 3x 2F(x) khi 1 x 3

20

1 khi x 3

≤ − += < ≤ >

Bài 14. Cho hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X có dạng

2 2

2 2

a *s x khi x ,f(x)

0 khi x ,

π π

π π

∈ − =

∉ −


46/142


45

a) Tìm a và xác định hàm phân phối xác suất của X.

b) Tính xác suất đ% X nhận giá trị trong khoảng ,#

π π

.

Đáp số : a) a 0, "=

0 khi x2

sin x 1F(x) khi x

2 2 2

1 khi x2

π ≤ − + π π= − < ≤ π >

b) 0,1465.

Bài 15. Cho X là biến số ngẫu nhiên liên tục có hàm phân phối xác suất sau:

1 1F(x) ar*tan x

#= +

π

a) Tính ( )P 0 X 1< < .

b) Tìm hàm mật độ xác suất của X.

Đáp số : a) 0,25; b) ( )21

f(x) 1 x= π + .

Bài 16. Cho X là biến số ngẫu nhiên liên tục có hàm phân phối xác suất sau:

1 1 xF(x) ar*tan

2 2= +

π

Tìm giá trị 1

x thỏa mãn đi&u kin: ( )11

P X x#

> = .

Đáp số : 1x 2= .Bài 17. Thờ i gian xếp hàng chờ mua hàng của khách là biến số ngẫu nhiên liên tục X vớ i

hàm phân phối xác suất như sau:

3 2

0 khi x 0

F(x) ax 3x 2x khi 0 x 1

1 khi x 1

≤

= − + < ≤ >

a) Tìm h số a.


47/142


46

b) Tìm thờ i gian trung bình.

c)Tìm xác suất đ% trong 3 ngườ i xếp hàng thì có không quá 2 ngườ i phải chờ quá 0,5

phút. Đáp số : a) a 2= ; b) EX 0, "= ; c) 0,875.

Bài 18. T* l m!c một loại bnh trong một vùng dân cư là biến số ngẫu nhiên liên tục X có

hàm mật độ như sau:

1khi x ", 2"

20f(x)

0 khi x ", 2"

∈ =

∉

a) Tính ( )P X 10 2, "− > .

b) Tính t* l m!c bnh trung bình và phươ ng sai của X.

Đáp số : a) 0,75; b) 2 X

EX 1" 33, 3= σ = .

Bài 19. Tu#i thọ (tính theo giờ ) của một trò chơ i đin t) bấm tay là một biến số ngẫu nhiên

liên tục có hàm mật độ xác suất như sau:

x

100ke khi x 0f(x) 0 khi x 0

− ≥=


48/142


47

Chươ ng 3. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

1. Phân phối nhị thứ c B(n; p)

1.1. Định ngh ĩ aBiến số ngẫu nhiên rờ i rạc X đượ c gọi là phân phối nhị thức, ký hiệu X B(n; p)∼

nếu hàm xác suất của X có dạng sau

x x n x

nC p (1 p) khi x 0, 1, 2, ..., n

f(x)0 khi x 0,1, 2, ..., n

− − ==

≠

Công thức xác suất

( ) k k n k

nP X k C p (1 p) ,

−

= = − vớ i k 0,1, 2,..., n=

1.2. Mệnh đề:

Cho X B(n; p)∼ , ta có

i) Trung bình: X

npµ = ,

ii) Phươ ng sai: 2 X

np(1 p)σ = − ,

iii) Giá trị tin chắc:0

Mod(X ) k= thỏa0

np q k np q 1− ≤ ≤ − + , vớ i

q 1 p= − .

2. Phân phối siêu bội H(N,K,n)

2.1. Định ngh ĩ a

Biến số ngẫu nhiên rờ i rạc X đượ c gọi là phân phối siêu bội, ký hiệu

X H(N, K, n)∼ nếu hàm xác suất của X có dạng sau

x n x

K N K

nN

C Ckhi x max{0, n N K }, min{n, K }

Cf(x)

0 khi x max{0, n N K}, min{n, K}

−

−

∈ − + =

∉ − +


( )k n k

K N K

n

N

C CP X k ,

C

−

−= = vớ i max{0, n N K} k min{n, K }− + ≤ ≤

2.2. Mệnh đề:

Cho H(N,K,n) , ta có


49/142


48

i) Trung bình: X

npµ = ,


N nnp(1 p)

N 1

−σ = −

− .

3. Phân phối Poisson P( )µ


Biến số ngẫu nhiên rờ i rạc X đượ c gọi là phân phối poisson, ký hiệu X P( )µ∼

nếu hàm xác suất của X có dạng sau

x

e khi x 0,1, 2, ..., nf(x) x

0 khi x 0,1, 2, ..., n

−µ µ

==

≠


( )k

P X k e ,k

−µ µ= = vớ i k 0,1, 2,..., n=

3.2. Mệnh đề:

Cho X P( )µ∼ , ta có

i) Trung bình: X

µ = µ ,

ii) Phươ ng sai:2

Xσ = µ ,

iii) Độ lệch chuẩn: X

σ = µ .

3.3. Chú ý: Nếu X B(n, p)∼ , trong đó p đủ nhỏ và n đủ lớ n thì X đượ c xem như có

phân phối Poisson X P( )µ∼ , vớ i npµ = .

Bằng cách viết

( )

k k n k k n k

n

kn k

k

n(n 1)...(n k 1)C p (1 p) p (1 p)

k 1 n(n 1)...(n k 1)

np (1 p)k n

− −

−

− − +− = −

− − += ⋅ −

và vớ i npµ = không đổi, khi n → ∞ , ta có p 0→ và

kn

kn k p

n p 0

n(n 1)...(n k 1)!im 1

n

!im(1 p) !im(1 p) e

→∞

µ−

− −µ

→∞ →

− − +=

− = − =

Vậy


50/142


49

kk k n k

nC p (1 p) e

k

− −µ µ− ≈

4. Phân phối Chuẩn ( )2N ,µ σ


Biến số ngẫu nhiên liên tục X đượ c gọi là phân phối chuẩn, ký hiệu

( )2 X N ,µ σ∼ nếu hàm mật độ của X có dạng sau

( )2

2

x

21

f (x) e , x2

−µ−

σ= − ∞ < < +∞σ π

,


( )2

2" (x )

2

a

1P a X " e dx ,

2

−µ−σ≤ ≤ =

σ π ∫ vớ i a, " , a "∈ ≤ℝ

4.2. Mệnh đề:

Cho ( )2 X N ,µ σ∼ , ta có

i) Trung bình: X

µ = µ ,

ii) Phươ ng sai: 2 2 X

σ = σ ,

iii) Độ lệch chuẩn: X

σ = σ .

4.3. Chú ý:

i)

Nếu ( )2 X N ,µ σ∼ thì đặt X

# − µ

=σ

, ta có # N(0,1)∼ (Y: phân phối Gauss

hay là phân phối chuẩn tắc). Do đó, vớ i a, " , a "∈ ≤ℝ , ta có

( ) a " " a

P a X " P # − µ − µ − µ − µ

≤ ≤ = ≤ ≤ = ϕ − ϕ σ σ σ σ

vớ i2x $

2

0

1(x) e dx

2

−

ϕ =π ∫

ii) Phân phối chuẩn dùng để khảo sát các hiện tượ ng bình thườ ng. Cụ thể, nếu

( ) X B n; p∼ vớ i tích np lớ n thì ta xấp xỉ phân phối nhị thức ( )B n;p bằng phân phối

chuẩn ( )2

N ;µ σ , vớ i2

np, npqµ = σ = .


51/142


50

iii) Sự liên hệ giữa các phân phối nhị thức, siêu bội, Poisson và chuẩn đượ c cho trong

sơ đ sau:

Pha%n pho' i nh $h*+B(n;p)

Pha%n pho' i +ha-nN( ; )µ σ2

Pha%n pho' i PoionP( )µ

Xa' p x/ khi n N,*i p 3 K4N

Xa' p x/ khi n !*n,np 5 6 a7 nq 5 6,*i 3np, 3 npqµ σ2

Xa' p x/ khi n !*n,p 0.01, np 6,*i 3 npµ

Pha%n pho' i ie% "o8iH(N,K,n)

5. Phân phối Gamma và phân phối chi bình phươ ng

Định ngh ĩ a: hàm Gamma ( )9 0,Γ ∞ → ℝ

x 1 $

0

(x) $ e d$

∞

− −Γ = ∫


Biến số ngẫu nhiên liên tục X đượ c gọi là phân phối Gamma, ký hiệu

( ) X ,Γ α β∼ , vớ i , 0α β > , nếu hàm mật độ của X có dạng sau

x

11 x e khi x 0f(x) ( )

0 khi x 0

−α − β

α

>

= Γ α β

≤

,

5.2. Mệnh đề

Cho X ( , )Γ α β∼ , ta có

i) Trung bình: X

µ = αβ ,

ii) Phươ ng sai: 2 2 X

σ = αβ .


Biến số ngẫu nhiên liên tục X đượ c gọi là phân phối chi bình phươ ng, ký hiệu

2 X (:)χ∼ , nếu hàm mật độ của X có dạng sau


52/142


51

: x1

2 2:

2

1x e khi x 0

:f(x) 2

2

0 khi x 0

− −>

= Γ

≤

,

ngh ! a là:

X , 22

Γ

∼

5.4. Mệnh đề

Cho2 X (:)χ∼ , ta có

i) Trung bình: X

:µ = ,


2:σ = .

6. Phân phối Student $(n)


Cho X là biến số ngẫu nhiên liên tục có phân phối Gauss, ( ) X N 0,1∼ ; Y là biến

số ngẫu nhiên liên tục có phân phối Chi bình phươ ng vớ i n bậc tự do, 2 # (n)χ∼ và

X, Y là hai biến số độc lập.

Đặt

X<

#n

=

thì T có phân phối Student vớ i n bậc tự do, < $(n)∼ .

6.2. Mệnh đề

Cho < $(n)∼ , ta có

i) Trung bình: < 0

µ = ,

ii) Phươ ng sai: 2<

n

n 2σ =

−.

6.3. Chú ý : Nếu X $(n)∼ , vớ i n =0≥ , thì X N(0,1)∼ .

7. Phân phối Fisher >(n, m)


Cho X, Y là hai biến số ngẫu nhiên liên tục có phân phối Chi bình phươ ng,

2 X (n)χ∼ , 2 # (m)χ∼ và X, Y là hai biến số độc lập.


53/142


52

Đặt

Xn>

#m

=

thì F có phân phối Fisher vớ i n, m bậc tự do, ( )> > n, m∼ .

7.2. Mệnh đề

Cho ( )> > n, m∼ , ta có

i) Trung bình:>

m

m 2µ =

−,

ii) Phươ ng sai:2 2

2

> 2

2m (n m 2)

n(m 2) (m ?)

+ −σ =

− −.

3.1.

Bài tập mẫu

Bài 1. Giả s" t# lệ sinh con trai và con gái là bằng nhau và bằng 12

. Một gia đ ình có 4

ngườ i con. Tính xác suất để 4 đứa con đó gm

a) 2 trai và 2 gái,

b) 1 trai và 3 gái,

c) 4 trai.

Giải

Gọi X là số con trai trong một gia đ ình có 4 con thì ( ) X B ?; 0,6∼ .

a) Xác suất để có hai trai và hai gái trong bốn đứa con là

( ) ( )2 2

2

?

=P(X 2) C 0, 6 0, 6 0, [email protected]= = = =

b) Xác suất để có một con trai trong số bốn đứa con là

( ) ( )1 =

1

?

1P(X 1) C 0, 6 0, 6 0, 26.

?= = = =

c) Xác suất để cả bốn đ$u là trai

( ) ( )

? 0?

?

1

P(X ?) C 0, 6 0, 6 0, 026.1= = = =


54/142


53

Bài 2. Một nhà máy sản xuất vớ i t# lệ phế phẩm là 7%

a) Quan sát ngẫu nhiên 10 sản phẩm. Tính xác suất để

i) có đúng một phế phẩm,

ii) có ít nhất một phế phẩm,

iii) có nhi$u nhất một phế phẩm.

b) Hỏi phải quan sát ít nhất bao nhiêu sản phẩm để xác suất nhận đượ c ít nhất một phế

phẩm 0,≥ .

Giải

a) Gọi X là số phế phẩm nhận đượ c trong 10 sản phẩm thì ( ) X B 10;0,0@∼ .

i) Xác suất để có đúng 1 phế phẩm trong 10 sản phẩm là

( ) ( )

( )

1 10 11

10

P(X 1) C 0, 0@ 1 0, 0@

10 0, 0@ 0, = 0, =?=.

−

= = −

= ⋅ ⋅ =

ii) Xác suất để có ít nhất một phế phẩm là

( ) ( ) ( )0 10 10

0

10

P(X 1) 1 P(X 0)

1 C 0, 0@ 0, = 1 0, = 0, 61.

≥ = − =

= − = − =

iii) Và xác suất để có nhi$u nhất một phế phẩm là

( ) ( ) ( ) ( )0 10 1

0 1

10 10

P(X 1) P(X 0) P(X 1)

C 0, 0@ 0, = C 0, 0@ 0, = 0, A?A=.

≤ = = + =

= + =

b) Gọi n là số sản phẩm quan sát để xác suất nhận đượ c ít nhất một phế phẩm 0, ≥ . Vớ i

biến số X chỉ số phế phẩm nhận đượ c trong n l%n quan sát này thì ( ) X B n; 0.0@∼ . Do

( ) ( ) ( )0 n n0

n

P(X 1) 1 P(X 0)

1 C 0, 0@ 0, = 1 0, = .

≥ = − =

= − = −

T& P(X 1) 0, ≥ ≥ , ta đượ c bất phươ ng t' nh

( )n

1 0, = 0, − ≥ .


55/142


54

Giải bất phươ ng t' nh trên, ta nhận đượ c giá trị n =1, @=≥ . Vậy phải quan sát ít nhất

32 sản phẩm.

Bài 3. Trong số 20 công nhân của một công ty có 12 ngườ i có tay ngh$ khá. Tìm xác suất

để kiểm tra ngẫu nhiên tay ngh$ của 5 công nhân thì có ít nhất 3 ngườ i có tay ngh$ khá.

Giải

Gọi X là số công nhân có tay ngh$ trong 5 công nhân kiểm tra thì ( )H 20,12, 6∼ .

Xác suất để có ít nhất 3 công nhân có tay ngh$ là

( ) ( ) ( )= 2 ? 1 6 0

12 A 12 A 12 A

6 6 620 20 20

P(X =) P X = P X ? P X 6

C C C C C C 10120,@0?.

1660?C C C

≥ = = + = + =

= + + = =

Bài 4. Để thanh toán 1 triệu đng ti$n hàng, một khách hàng gian lận đã xếp lẫn 5 tờ 50

ngàn đng ti$n giả vớ i 15 tờ ti$n thật. Chủ c"a hàng rút ngẫu nhiên 3 tờ giấy bạc đem đi

kiểm tra và giao h(n nếu phát hiện có bạc giả thì cứ m)i tờ giả khách hàng phải đ$n hai

tờ thật. Tìm số ti$n phạt mà khách có thể phải trả.

Giải

Gọi X là số tờ giả trong 3 tờ rút ra thì ( ) X H 20,6, =∼ .

Bảng phân phối xác suất của X

X 0 1 2 3

P ?66

11?0

626

11?0

160

11?0

10

11?0

Gọi Y là số ti$n bị phạt, ta có # 100X=

Y 0 100 200 300

P ?66

11?0

626

11?0

160

11?0

10

11?0

Trung bình số ti$n bị phạt: D# @6= ngàn đng.


56/142


55

Bài 5. Một trung tâm bưu điện nhận đượ c trung bình 3 cuộc điện thoại trong m)i phút.

Tính xác suất để trung tâm này nhận đượ c 1 cuộc, 2 cuộc, 3 cuộc gọi trong 1 phút, biết

rằng số cuộc gọi trong một phút có phân phối Poisson.

Giải

Gọi X là số cuộc gọi nhận đượ c trong 1 phút thì X có phân phối Poisson vớ i trung

bình 3, ngh ! a là X P(=)∼ .

Xác suất để trung tâm bưu điện nhận đượ c 1 cuộc, 2 cuộc và 3 cuộc gọi trong 1 phút

l%n lượ t là

1= =P(X 1) e 0,1??

1

−= = = ,

2= =P(X 2) e 0, 22?

2

−= = = ,

và=

= =P(X =) e 0, 22?=

−= = = .

Bài 6. Khi tiêm truy$n một loại huyết thanh, trung bình có một trườ ng hợ p phản ứng trên

1000 trườ ng hợ p. Dùng loại huyết thanh này tiêm cho 2000 ngườ i. Tính xác suất để

a) có 3 trườ ng hợ p phản ứng,

b) có nhi$u nhất 3 trườ ng hợ p phản ứng,

c) có nhi$u hơ n 3 trườ ng hợ p phản ứng.

Giải

Do xác suất để một ngườ i bị phản ứng vớ i loại huyết thanh này là 11000

nên vớ i X chỉ

số ngườ i bị phản ứng vớ i loại huyết thanh này trong 2000 ngườ i thì X B(2000; 0, 001)∼ .

Vì p 0, 001 0, 01= < và np 2 6= < nên phân phối nhị thức có thể xấp xỉ bằng phân

phối Poisson, ngh ! a là

X P(2000 0, 001) P(2)⋅ =∼ .

a) Vậy, xác suất để có ba trườ ng hợ p phản ứng trong 1000 trườ ng hợ p là

=2 22 ?

P(X =) e e 0,1A= =

− −

= = = = .


57/142


56

b) Xác suất có nhi$u nhất 3 trườ ng hợ p phản ứng trong 1000 trườ ng hợ p là

2 2 2 2 2

P(X =) P(X 0) P(X 1) P(X 2) P(X =)

? 1e 2e e e e 0, @22.

= =

− − − − −

≤ = = + = + = + =

= + + + = =

c) Và xác xuất có nhi$u hơ n 3 trườ ng hợ p phản ứng là

2

P(X =) 1 P(X =)

11 e 0, 2@A.

=

−

> = − ≤

= − =

Bài 7. T# lệ một loại bệnh bẩm sinh trong dân số là p 0, 01= . Bệnh này c%n sự ch*m sóc

đặc biệt lúc mớ i sinh. Một nhà bảo sinh thườ ng có 20 ca sinh trong một tu%n. Tính xác

suất để

a) không có trườ ng hợ p nào c%n ch*m sóc đặc biệt,

b) có đúng một trườ ng hợ p c%n ch*m sóc đặc biệt,

c) có nhi$u hơ n một trườ ng hợ p c%n ch*m sóc đặc biệt.

Tính bằng quy luật nhị thức ri dùng quy luật Poisson để so sánh k ết quả khi ta xấp

xỉ phân phối nhị thức B(n; p) bằng phân phối poisson P(np) .

Giải

Gọi X là số trườ ng hợ p c%n ch*m sóc đặc biệt

[MATH-EDUCARE]_Bai Tap Xac Suat Thong Ke_Nguyen Trung Dong

Documents