1 BAGIAN I PENDAHULUAN A. Pengantar Isi Merujuk pada Peraturan Menteri Pendayagunaan Aparatur Negara dan Reformasi Birokrasi (Permenpan dan RB) Nomor 16 tahun 2009 tentang Jabatan Fungsional Guru dan Angka Kreditnya memuculkan paradigma baru profesi guru. Guru tidak lagi dianggap sekedar pelaksana teknis di kelas, tetapi dianggap sebagai suatu jabatan fungsional. Jabatan fungsional guru adalah jabatan fungsional yang mempunyai ruang lingkup, tugas, tanggung jawab, dan wewenang untuk melakukan kegiatan mendidik, mengajar, membimbing, mengarahkan, melatih, menilai, dan mengevaluasi peserta didik pada pendidikan anak usia dini jalur pendidikan formal, pendidikan dasar, dan pendidikan menengah sesuai dengan peraturan perundang-undangan yang diduduki oleh Pegawai Negeri Sipil (Pasal 1 ayat 1). Konsekuensinya adalah guru dituntut melakukan pengembangan keprofesian berkelanjutan (PKB) sehingga guru dapat menjalankan tugas dan fungsinya secara profesional. B. Target Kompetensi 1. Peserta diklat atau pembaca mampu menjelaskan tentang sistem bilangan dan operasi hitung bilangan. 2. Peserta diklat atau pembaca mampu menentukan aproksimasi (pendekatan) dan estimasi (penaksiran) dari suatu perhitungan. 3. Peserta diklat atau pembaca mampu menjelaskan sifat bilangan berpangkat dan bentuk akar. 4. Peserta diklat atau pembaca mampu menentukan hasil operasi pada bilangan berpangkat. 5. Peserta diklat atau pembaca mampu menjelaskan perbedaan antara pernyataan dan bukan pernyataan dan dapat menentukan nilai kebenaran suatu pernyataan. 6. Peserta diklat atau pembaca mampu menentukan nilai kebenaran suatu pernyataan majemuk dan nilai kebenaran dari negasi suatu pernyataan majemuk.
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
1
BAGIAN I
PENDAHULUAN
A. Pengantar Isi
Merujuk pada Peraturan Menteri Pendayagunaan Aparatur Negara dan Reformasi
Birokrasi (Permenpan dan RB) Nomor 16 tahun 2009 tentang Jabatan Fungsional
Guru dan Angka Kreditnya memuculkan paradigma baru profesi guru. Guru tidak lagi
dianggap sekedar pelaksana teknis di kelas, tetapi dianggap sebagai suatu jabatan
fungsional. Jabatan fungsional guru adalah jabatan fungsional yang mempunyai ruang
lingkup, tugas, tanggung jawab, dan wewenang untuk melakukan kegiatan mendidik,
mengajar, membimbing, mengarahkan, melatih, menilai, dan mengevaluasi peserta
didik pada pendidikan anak usia dini jalur pendidikan formal, pendidikan dasar, dan
pendidikan menengah sesuai dengan peraturan perundang-undangan yang diduduki
oleh Pegawai Negeri Sipil (Pasal 1 ayat 1). Konsekuensinya adalah guru dituntut
melakukan pengembangan keprofesian berkelanjutan (PKB) sehingga guru dapat
menjalankan tugas dan fungsinya secara profesional.
B. Target Kompetensi
1. Peserta diklat atau pembaca mampu menjelaskan tentang sistem bilangan dan
operasi hitung bilangan.
2. Peserta diklat atau pembaca mampu menentukan aproksimasi (pendekatan) dan
estimasi (penaksiran) dari suatu perhitungan.
3. Peserta diklat atau pembaca mampu menjelaskan sifat bilangan berpangkat dan
bentuk akar.
4. Peserta diklat atau pembaca mampu menentukan hasil operasi pada bilangan
berpangkat.
5. Peserta diklat atau pembaca mampu menjelaskan perbedaan antara pernyataan
dan bukan pernyataan dan dapat menentukan nilai kebenaran suatu pernyataan.
6. Peserta diklat atau pembaca mampu menentukan nilai kebenaran suatu
pernyataan majemuk dan nilai kebenaran dari negasi suatu pernyataan majemuk.
2
7. Peserta diklat atau pembaca mampu menentukan konvers, invers, dan
kontraposisi suatu implikasi dan menentukan nilai kebenarannya serta nilai
kebenaran dari negasi bentuk-bentuk tersebut.
8. Peserta diklat atau pembaca mampu menentukan nilai kebenaran suatu kalimat
berkuantor universal dan eksistensial serta dapat menentukan nilai kebenaran
dari negasi suatu pernyataan berkuantor.
9. Peserta diklat atau pembaca mampu menentukan kesahihan suatu penarikan
kesimpulan dan mampu menarik kesimpulan yang sahih dari premis-premis yang
ada.
C. Strategi dan Penilaian
Pembahasan pada modul ini lebih menitikberatkan pada pengertian sistem bilangan
dan operasi hitung bilangan, aproksimasi (pendekatan) dan estimasi (penaksiran)
dari suatu perhitungan, sifat bilangan berpangkat dan bentuk akar, operasi pada
bilangan berpangkat, pengertian logika, konjungsi, disjungsi, implikasi, konvers,
invers, kontraposisi, kuantor dan penarikan kesimpulan. Setiap bagian modul ini
dimulai dengan teori-teori, diikuti beberapa contoh dan diakhiri dengan latihan. Di
samping itu, dikemukakan juga tentang hal-hal penting yang perlu mendapat
penekanan para guru di saat membahas pokok bahasan ini di kelasnya. Karenanya,
para pemakai modul ini disarankan untuk membaca lebih dahulu teorinya sebelum
mencoba mengerjakan latihan yang ada, yang untuk mempermudahnya telah
disiapkan juga kunci jawabannya. Saran dan masukan untuk modul ini dapat
disampaikan kepada kami di PPPPTK Matematika dengan alamat: Jl. Kaliurang KM. 6,
Disjungsi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan perakit "atau".Contohnya,
pernyataan Adi berikut.
53
"Fahmi makan nasi atau minum kopi."
Suatu disjungsi p q akan bernilai salah hanya jika komponen-komponennya, yaitu
baik p maupun q, keduanya bernilai salah, yang selain itu akan bernilai benar.
Karenanya, negasinya adalah ~(p v q) atau “Tidak benar Fahmi tmakan nasi atau minum
kopi”. Apakah pernyataan ini bernilai sama dengan “Fahmi tidak makan nasi atau tidak
minum kopi?” ataukah ada pernyataan lain yang senilai? Mari kita lihat tabel kebenaran
dari beberapa pernyataan berikut ini.
Jadi dapat disimpulkan, dengan melihat tabel kebenaran berikut bahwa ingkaran dari
pernyataan tersebut adalah "Fahmi tidak makan nasi dan tidak minum kopi."
p q Pp q ~p ~q ~p ~q ~(p q) ~p ~q B B S S
B S B S
B B B S
S S B B
S B S B
S S S B
S S S B
S B B B
3. Negasi Suatu Implikasi
Perhatikan pernyataan berikut yang merupakan suatu implikasi:
“Jika hari hujan maka Adi membawa payung.”
Telah dibahas di bagian depan bahwa pada suatu implikasi p q, pernyataan p
memuat pernyataan q. Karenanya, negasi pernyataan tersebut adalah suatu
pernyataan yang pernyataan p-nya bernilai benar namun pernyataan q-nya bernilai
salah. Pada contoh di atas, negasinya adalah: “Hari hujan namun Adi tidak membawa
payung,” seperti ditunjukkan tabel kebenaran berikut ini.
p q ~q p q p~q B B S S
B S B S
S B S B
B S B B
S B S S
Berdasar penjelasan di atas, p q ~[~ (p q)] ~( p ~q) ~p q
4. Negasi Suatu Biimplikasi
Biimplikasi atau bikondisional adalah pernyataan majemuk dari dua pernyataan p
dan q yang dinotasikan dengan p q yang ekuivalen (p q) (q p); sehingga:
~ (p q) ~[(p q) (q p)]
~[(~p q) (~q p)]
54
~(~p q) ~(~q p)]
(p ~q) (q ~p)
Tabel kebenaran dari suatu negasi, konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi di
atas merupakan dasar dalam mencari nilai kebenaran pernyataan-pernyataan
majemuk seperti di saat menentukan nilai kebenaran pernyataan majemuk (~p r)
(~r q) seperti berikut ini.
p q r ~p ~r (~p r) (~r q) (~p r) (~r q) B B B B S S S S
B B S S B B S S
B S B S B S B S
S S S S B B B B
S B S B S B S B
S S S S B S B S
B B B S B B B S
B B B S B B B S
Lembar Kerja
1. Tentukan negasi dari pernyataan berikut ini lalu tentukan nilai kebenarannya.
a. 3 + 2 = 6 4 + 2 = 5
b. 3 + 2 = 5 4 + 2 = 5.
c. 3 + 2 = 5 atau Jakarta ibukota DI Aceh.
d. Jika saya makan maka saya menjadi kenyang
e. Amir makan nasi dan minum kopi
f. Amir ke rumah Anto atau ia nonton film bersama chandra
2. Jika p: 10 habis dibagi 5.
q: 8 adalah bilangan prima.
Tentukan negasi dari pernyataan-pernyataan di bawah ini lalu tentukan nilai
kebenarannya.
a. ~p b. ~q c. p q
d. p q e. ~p ~q f. ~p q
g. p ~q h. p q i. p q.
j. (p ~q) (~p q)
3. Jika a: Lisa gadis cantik dan
b: Lisa gadis cerdas,
55
Nyatakan pernyataan di bawah ini dengan menggunakan a, b dan simbol-simbol
logika matematika lalu tentukan negasinya.
a. Lisa gadis yang cantik namun tidak cerdas.
b. Lisa gadis yang tidak cantik dan juga tidak cerdas.
c. Meskipun Lisa bukanlah gadis yang cantik namun ia gadis yang cerdas.
d. Lisa gadis yang cantik sekaligus juga gadis yang cerdas.
e. Tidak benar bahwa Lisa gadis yang cantik dan cerdas.
f. Jika Lisa gadis yang cantik maka ia tidak cerdas.
g. Jika Lisa gadis yang tidak cantik maka ia tidak cerdas.
4. Buatlah negasi dari pernyataan ini.
a. p q ~p q
b. p q (q ~q r q)
[(~pr) (p ~q)] r
56
BAB VII
KONVERS, INVERS DAN KONTRAPOSISI SUATU IMPLIKASI
A. Konvers, Invers, dan Kontraposisi
Perhatikan pernyataan berupa implikasi ini:
Jika suatu bendera adalah bendera RI maka bendera tersebut berwarna
merah dan putih.
Sudah dipelajari, bentuk umum suatu implikasi adalah: p q
Pada kasus diatas,
p: Bendera RI
q: Bendera berwarna merah dan putih
Dari implikasi di atas, dapat dibentuk implikasi berikut.
a. Jika suatu bendera berwarna merah dan putih maka bendera tersebut adalah
bendera RI.
b. Jika suatu bendera bukan bendera RI maka bendera tersebut tidak berwarna
merah dan putih.
c. Jika suatu bendera tidak berwarna merah dan putih, maka bendera tersebut
bukan bendera RI.
Berdasar penjelasan di atas, jawablah pertanyaan berikut.
Jika implikasinya dinotasikan dengan p q, maka nyatakan implikasi pada a, b, dan c
di atas dalam p, q, ~p, atau ~q dan .
Manakah yang menjadi konvers, invers, dan kontraposisi dari implikasi p q jika:
Konversnya adalah q p
Inversnya adalah ~p ~q
Kontraposisinya adalah ~q ~p
Tentukan nilai kebenaran dari implikasi, konvers, invers, dan kontraposisinya.
Hal menarik apa saja yang Anda dapatkan dari kegiatan c di atas?
57
B. Ingkaran Implikasi, Konvers, Invers, dan Kontraposisinya
Sudah dibahas di bagian depan tentang negasi atau ingkaran suatu pernyataan,
termasuk ingkaran dari suatu implikasi. Untuk mengingatnya, tentukan ingkaran
pernyataan berikut.
1. p q
2. p q
3. p q
4. q p
5. ~p ~q
6. ~q ~p
ITentukan negasi atau ingkaran pernyataan-pernyataan di atas.
Lembar Kerja
1. Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari implikasi berikut:
a. Jika suatu bendera adalah bendera Jepang, maka ada bintang pada bendera
tersebut.
b. a> 0 a3> 0
c. a = 0 ab = 0
d. Jika dua persegipanjang kongruen maka luasnya sama.
e. x = 3 x2 = 9
f. Jika segitiga ABC adalah segitiga samasisi maka sisi-sisi segitiga tersebut sama
panjang.
2. Tentukan nilai kebenaran implikasi, konvers, invers, dan kontraposisi dari soal di
atas.
3. Apa yang anda dapatkan dari hasil pada kegiatan 2 itu?
4. Buatlah ingkaran dari implikasi, beserta konvers, invers, dan kontraposisinya.
5. Apa yang anda dapatkan dari hasil pada kegiatan 4 itu?
Tugas selama on the job learning (OJL)
Bagaimana sebaiknya langkah-langkah guru dalam membantu siswanya
mempelajari materi ‘Konvers, Invers dan Kontraposisi Suatu Implikasi.’
58
BAB VIII
PERNYATAAN BERKUANTOR DAN NEGASINYA
Bagian ini dimulai dengan membahas perbedaan antara kalimat terbuka dan
pernyataan sebagai suatu pengetahuan prasyarat.Soal-soal berikutnya adalah
menyusun beberapa kalimat yang didapat dengan menambahkan kata-kata tertentu
terhadap suatu kalimat terbuka.Kata-kata tertentu yang ditambahkan terhadap suatu
kalimat terbuka itulah yang dikenal sebagai kuantor (quantifier), sehingga didapat
pernyataan berkuantor yang bernilai benar saja atau salah saja. Dari contoh-contoh
tersebut, pengertian kuantor yang terdiri atas dua macam yaitu kuantor universal
dan kuantor eksistensial secara terinci akan dibahas. Pembahasan materi ini akan
menggunakan pertanyaan-pertanyaan sehingga memungkinkan bagi Anda untuk
mengalami sendiri proses pembelajaran ‘Kuantor’ yang berbasis pada pemecahan
masalah (problem-solving), dengan harapan pengalaman itu dapat diaplikasikan
langsung di dalam proses pembelajaran tentang ‘Kuantor’ ini di kelasnya masing-
masing.
A. Kalimat Terbuka, Pernyataan, dan Kuantor
Perhatikan tiga kalimat berikut.
1. 3 + 4 = 6
2. – 5x + 6 = 0, xA
3. 2x + 5 > 4, xA
Ada beberapa pertanyaan berkait dengan kalimat di atas, di antaranya:
1. Mengapa kalimat pertama disebut dengan pernyataan? Mengapa kalimat kedua
dan ketiga disebut dengan kalimat terbuka?
2. Dapatkah Anda mengubah kalimat terbuka menjadi pernyataan? Bagaimana
caranya?
Kalimat 1 bernilai salah, sedangkan kalimat 2 dan 3 belum dapat ditentukan nilai
kebenarannya sebelum peubah atau variabel x-nya diganti dengan salah satu anggota
semesta pembicaraannya. Karenanya, kalimat pertama dapat dikategorikan sebagai
2x
59
pernyataan, sedangkan kalimat kedua dan ketiga dikategorikan sebagai kalimat
terbuka.
Yang perlu mendapat perhatian adalah, kalimat terbuka – 5x + 6 = 0, xA akan
bernilai benar hanya jika peubahnya diganti dengan x = 2 atau x = 3. Artinya, hanya
ada dua anggota bilangan asli A yang jika digantikan atau disubstitusikan ke kalimat
terbuka tersebut akan menyebabkan kalimat terbuka tersebut menjadi bernilai
benar. Sedangkan kalimat terbuka 2x + 5 > 4, xA akan bernilai benar jika peubah x-
nya diganti oleh setiap anggota semesta pembicaraannya.
Cara lain mengubah kalimat terbuka menjadi suatu pernyataan adalah dengan
menambahkan kata-kata yang berkait dengan banyaknya pengganti variabel atau
peubah x-nya, seperti contoh berikut.
1. Untuk setiap bilangan asli x, – 5x + 6 = 0.
2. Terdapat bilangan asli x sedemikian sehingga – 5x + 6 = 0.
3. Tidak ada bilangan asli x, sedemikian sehingga – 5x + 6 = 0.
4. Untuk semua bilangan asli x, 2x + 5 > 4
5. Ada beberapa bilangan asli x sedemikian sehingga 2x + 5 > 4
6. Tidak ada bilangan asli x sedemikian sehingga 2x + 5 > 4
Perhatikan sekali lagi ke-enam kalimat di atas. Beberapa pertanyaan yang dapat
diajukan kepada siswa adalah:
1. Dapatkah Anda menentukan nilai kebenaran ke-enam kalimat di atas?
2. Tentukan nilai kebenaran setiap kalimat di atas. Jelaskan jawaban Anda.
Dari beberapa contoh di atas, dapat disimpulkan bahwa terhadap suatu kalimat
terbuka dapat ditambahkan kata-kata seperti:
“Untuk semua x … ” atau “Untuk setiap x … ”;
“Beberapa x … ”; “Terdapat x … ”; ataupun “Ada x …”.
“Tidak ada x …”
Karena itulah Wheeler (1977:23) menyatakan: “Quantifiers are most useful in
rewriting assertions that cannot be classified as true or false … so that they can be
classified either as true or false.” yang dapat diterjemahkan menjadi: “Kuantor sangat
berguna dalam mengubah kalimat berita yang tidak dapat dinyatakan bernilai benar
2x
2x
2x
2x
60
atau salah … sedemikian sehingga kalimat berita tersebut dapat dikategorikan
sebagai kalimat yang bernilai benar saja atau salah saja.”
Menurut jenisnya kuantor dibedakan menjadi 2, yaitu Kuantor Universal (Kuantor
Umum) yang menggunakan kata “untuk setiap” atau “untuk semua” dan Kuantor
Eksistensial (Kuantor Khusus) yang menggunakan kata “beberapa”, “terdapat’” atau
“ada”. Sedangkan kuantor “tidak ada x” dapat diubah ke bentuk “semua x tidak” atau
“setiap x tidak”. Secara lengkap kedua macan kuantor tersebut akan dibahas pada
bagian berikut ini.
B. Kuantor Universal
Kuantor jenis ini mempunyai lambang dan dibaca “untuk setiap” atau “untuk
semua”. Misalkan p(x) adalah suatu kalimat terbuka, pernyataan x . p(x) dibaca
“untuk setiap x berlaku p(x)” atau “untuk semua x berlaku p(x)”. Berikut ini adalah
beberapa contoh pernyataan berkuantor universal:
Contoh 1
‘Semua artis adalah cantik.’ Pernyataan berkuantor universal ini menggambarkan
adanya dua himpunan, yaitu himpunan artis dan himpunan orang cantik.Di samping
itu, pernyataan tadi menjelaskan tentang semua artis namun tidak menjelaskan
tentang semua orang cantik.Pernyataaan itu menjelaskan bahwa setiap anggota
himpunan artis adalah merupakan anggota himpunan orang cantik, namun
pernyataan itu tidak menjelaskan bahwa setiap anggota himpunan orang cantik
adalah merupakan anggota himpunan artis. Hal terpenting yang pada akhirnya
didapat adalah, pernyataan berkuantor: “Semua artis adalah orang cantik,”
menunjukkan bahwa himpunan artis termuat atau menjadi himpunan bagian dari
himpunan orang cantik.
Pernyataan “Semua artis adalah cantik,” ini akan bernilai benar jika telah ditentukan
kriteria artis dan kriteria cantik serta dapat ditunjukkan bahwa setiap artis yang
merupakan anggota himpunan artis adalah cantik. Namun pernyataan berkuantor
universal tadi akan bernilai salah jika dapat ditunjukkan adanya satu atau beberapa
orang yang dapat dikategorikan sebagai artis namun ia tidak termasuk pada kriteria
cantik. Contoh yang menunjukkan salahnya suatu pernyataan berkuantor universal
ini disebut dengan counterexample atau contoh sangkalan sebagaimana dinyatakan
61
Clemens, O’daffer, dan Cooney (1984: 49) berikut: “A counterexample is a single
example that shows a generalization to be false. ”
Contoh 2
Jika p(x) adalah “x + 4 > 1” dengan x adalah peubah pada himpunan bilangan bulat B
maka ( B) p(x) adalah ( B) x + 4 > 1 dan dibaca: “Untuk setiap bilangan bulat
x berlaku x + 4 > 1.” Pernyataan ini bernilai salah, karena jika x-nya diganti dengan
bilangan bulat –5 misalnya akan didapat pernyataan –5 + 4 > 1 yang bernilai salah.
Contoh 3
Jika q(n) berarti: 2n – 1 adalah bilangan prima untuk n bilangan bulat, maka (n B)
q(n) berarti: (n B) 2n – 1 adalah bilangan prima, dan dibaca: “Untuk setiap
bilangan bulat n berlaku 2n – 1 adalah bilangan prima”. Pernyataan ini bernilai salah.
Mengapa salah?
Bagaimana dengan pernyataan (x R) x2 = x, bernilai
salah juga. Mengapa?
Jika pernyataan berkuantor universal, seperti “Semua artis
adalah cantik” bernilai benar maka pernyataan itu dapat
ditunjukkan dengan Diagram Venn di sebelah kanan ini.
Sebagaimana dijelaskan di bagian depan, himpunan artis A harus termuat atau
menjadi himpunan bagian dari himpunan manusia cantik C; atau A C. Paling tidak, A
dan C bisa saja sama atau A = C.
M = {semua manusia}
A = {artis}
C = {cantik}.
Berdasarkan Diagram Venn di atas, para siswa diharapkan dapat menyimpulkan
bahwa suatu pernyataan berkuantor universal dapat diubah menjadi suatu implikasi.
Pada contoh di atas, pernyataan berkuantor universal: “Semua artis adalah cantik.”
adalah ekivalen dengan implikasi: “Jika x adalah artis maka x adalah cantik.”
Sebagaimana dinyatakan di bagian depan, pernyataan berkuantor dengan kata awal
“Tidak ada… .” dapat diubah ke bentuk pernyataan berkuantor universal. Contohnya,
jika pernyataan berkuantor “Tiada murid SMU yang senang mendapat nilai ulangan
M
A C
62
jelek,” bernilai benar, maka pernyataan tersebut dapat digambarkan dengan Diagram
Venn berikut.
M = {semua manusia}
U = {murid SMU}
J = {manusia yang senang mendapat nilai jelek}.
Dengan demikian, jika pernyataan “Tiada murid SMU yang senang mendapat nilai
ulangan jelek,” bernilai benar dan jika digambarkan dengan Diagram Venn,
pernyataan itu akan menyebabkan UJ = . Alasannya, tidak ada satupun siswa SMU
yang senang mendapat nilai jelek, sehingga kedua himpunan tersebut akan saling
asing. Karenanya, pernyataan “Tiada murid SMU yang senang mendapat nilai ulangan
jelek,” itu adalah sama dengan pernyataan berkuantor universal: “Semua murid SMU
tidak senang mendapat nilai ulangan jelek.”
C. Kuantor Eksistensial
Kuantor jenis ini mempunyai lambang dan dibaca “beberapa”, “terdapat”,
atau “ada”. Jika dimisalkan p(x) adalah suatu kalimat terbuka maka x p(x) dibaca
“untuk beberapa x berlaku p(x)” atau “ada x sedemikian sehingga berlaku p(x)”.
Contoh 1
“Terdapat bilangan asli x sedemikian sehingga x2 – 5x + 6 = 0,” atau “Beberapa
bilangan asli x memenuhi – 5x + 6 = 0.”
Kata “beberapa” atau “some” menurut Copi (1978:179) adalah indefinite atau tidak
terdefinisikan secara jelas. Apakah kata “beberapa” berarti “paling sedikit satu,”
“paling sedikit dua,” ataukah berarti “paling sedikit seratus”?.Karena itu, meskipun
dapat berbeda dengan pengertian sehari-hari, kata ‘beberapa’ adalah berarti “paling
sedikit satu”.
Dengan demikian, untuk menentukan nilai kebenaran suatu pernyataan berkuantor
eksistensial adalah cukup dengan menunjukkan adanya satu anggota Himpunan
Semesta yang memenuhi. Karena dapat ditunjukkan bahwa untuk x = 2 atau x = 3
memenuhi persamaan – 5x + 6 = 0 sehingga dapat disimpulkan bahwa
2x
2x
M
U J
63
pernyataan berkuantor eksistensial “Beberapa bilangan asli x memenuhi – 5x + 6
= 0,” memiliki nilai benar.
Contoh 2
Jika p(x) adalah “x2 + 4x + 3 = 0 dengan x bilangan asli A, ” maka (x A) p(x) adalah
(x A) x2 + 4x + 3 = 0 yang dibaca “Ada bilangan asli x sedemikian sehingga x2 + 4x
+ 3 = 0”. Pernyataan ini bernilai salah. Mengapa?
Jika p(x) adalah “x2 + 4x + 3 = 0 dengan x bilangan real R, ” maka (x R) p(x) adalah
(x R) x2 + 4x + 3 = 0 yang dibaca “Ada bilangan real x sedemikian sehingga x2 + 4x
+ 3 = 0”. Pernyataan ini bernilai benar. Mengapa?
(x B) 2x + 3 = 4. Pernyataan ini bernilai salah. Mengapa?
Pernyataan berkuantor eksistensial “Ada pria yang baik,” menunjukkan adanya
himpunan manusia sebagai himpunan semestanya (E), adanya himpunan pria (P) dan
adanya himpunan manusia yang baik (B). Jika pernyataan berkuantor eksistensial
“Ada pria yang baik,” bernilai benar maka dapat ditarik suatu kesimpulan akan
adanya anggota Himpunan Semesta (minimal satu anggota) yang merupakan anggota
himpunan pria dan juga merupakan anggota manusia yang baik. Artinya, kedua
himpunan tersebut tidak saling asing.Dengan demikian, PB ≠ , yang dapat
ditunjukkan dengan Diagram Venn berikut.
E = {semua manusia}
P = {semua pria}
B = {semua orang baik}.
Berdasar Diagram Venn di atas yang menunjukkan PB ≠ , maka pernyataan
berkuantor eksistensial dapat dinyatakan dalam bentuk konjungsi. Contohnya,
pernyataan berkuantor eksistensial: “Ada pria yang baik,” adalah sama dengan
konjungsi berikut: “Ada x sedemikian sehingga x adalah pria dan x adalah baik”.
Lembar Kerja
1. Dengan semesta pembicaraan himpunan bilangan bulat, gunakan kuantor
dengan urut-urutan: “Semua…”, “Beberapa…”, “Tidak ada…”, pada kalimat
2x
E B P
64
terbuka di bawah ini, sehingga didapat pernyataan berkuantor yang bernilai
benar.
a. 2x – 4 = –5
b. x + 2 = –5
c. x2 – 16 = 0
d. x + 3 = 3 + x
2. Tentukan nilai kebenaran dari setiap pernyataan berikut ini.
a. Setiap perwira TNI adalah laki-laki.
b. Beberapa Gubernur di Indonesia adalah perempuan.
c. Setiap bilangan jika dipangkatkan 0 akan bernilai sama dengan 1.
d. Setiap bilangan memiliki lawan (invers penjumlahan).
e. Setiap bilangan memiliki kebalikan (invers perkalian).
f. Setiap persegi adalah jajargenjang.
g. Setiap jajargenjang adalah trapesium.
h. Terdapat bilangan sedemikian sehingga setiap bilangan jika ditambahkan ke
bilangan tersebut akan menghasilkan bilangan itu sendiri.
i. Terdapat bilangan sedemikian sehingga setiap bilangan jika dibagi dengan
bilangan tersebut akan menghasilkan bilangan itu sendiri.
j. Setiap jajargenjang memiliki simetri setengah putaran.
k. Beberapa siswa menganggap matematika sulit.
l. Setiap tahun yang habis dibagi 4 adalah tahun kabisat.
3. Tentukan nilai kebenaran dari setiap pernyataan berikut ini dengan semesta
pembicaraan himpunan bilangan real.
a. x (x2 = x) e. x (x2 – 2x + 1 = 0)
b. x (|x| = 0) f. x (x2 + 2x + 1 > 0)
c. x (x < x + 1) g. x (|x| 0)
d. x (x – 1 = x) h. x (x2 – 3x + 2 = 0)
4. Tentukan nilai kebenaran dari setiap pernyataan di atas dengan semesta
pembicaraan himpunan bilangan asli.
5. Dengan menggunakan huruf yang disarankan, buatlah Diagram Venn-nya lalu
tulis implikasi atau konjungsi yang sesuai dengan pernyataan-pernyataan
berikut:
65
a. Senua anjing mempunyai empat kaki (A, K).
b. Beberapa matriks tidak memiliki invers (M, I).
c. Semua laki-laki dapat dipercaya (L, P).
d. Ada segitiga sama kaki yang bukan segitiga sama sisi (K, S).
e. Tidak semua pulau di Indonesia didiami oleh penduduk (P, D).
6. Tentukan nilai kebenaran setiap pernyataan di bawah ini dengan semesta
pembicaraannya adalah X = {1,2,3,4,5}.
a. x (4 + x < 10)
b. x (4 + x = 7)
c. x (4 + x 7)
d. x (4 + x > 8)
D. Negasi Pernyataan Berkuantor Universal
Sudah dibahas di bagian depan bahwa pernyataan p (contohnya 10 habis
dibagi 5) yang bernilai benar akan mengakibatkan pernyataan ~p (yaitu 10 tidak
habis dibagi 5) bernilai salah. Sebaliknya, pernyataan q (contohnya 8 adalah bilangan
prima) yang bernilai salah mengakibatkan pernyataan ~q (yaitu 8 adalah bukan
bilangan prima) bernilai benar. Secara umum, suatu pernyataan p yang bernilai benar
akan menyebabkan ~p bernilai salah, dan jika p bernilai salah maka ~p akan bernilai
benar seperti ditunjukkan tabel kebenaran di bawah ini.
p ~p B S
S B
Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa negasi pernyataan berkuantor
adalah pernyataan lain yang bernilai benar jika pernyataan awalnya bernilai salah
dan akan bernilai salah jika pernyataan awalnya bernilai benar. Kesimpulan inilah
yang menjadi dasar penentuan negasi atau ingkaran suatu pernyataan berkuantor.
Bagian berikut ini akan membahas tentang negasi atau ingkaran pernyataan
berkuantor, dimulai dengan negasi pernyataan berkuantor universal, lalu negasi
pernyataan berkuantor eksistensial, dan diakhiri dengan negasi pernyataan
berkuantor yang memuat dua peubah atau lebih.
Perhatikan dua pernyataan berkuantor r dan s berikut:
66
r: Semua Guru Indonesia kaya.
s: Semua bilangan jika dibagi 1 akan menghasilkan bilangan itu sendiri.
Pertanyaan tantangan yang dapat diajukan Bapak atau Ibu Guru kepada siswa di
antaranya adalah: “Bagaimana menentukan negasi dari dua pernyataan berkuantor
universal di atas?” dan “Apa yang dapat Anda lakukan untuk menjawab pertanyaan di
atas?” Untuk menjawab pertanyaan di atas, dengan bantuan Bapak atau Ibu Guru
para siswa harus mengingat dan menyimpulkan lebih dahulu bahwa: Karena
pernyataan: “Semua Guru Indonesia kaya,” merupakan pernyataan awal yang bernilai
salah, maka untuk mencari negasi atau ingkaran dari pernyataan tadi adalah
menurunkan dari pernyataan awal tersebut suatu pernyataan lain yang bernilai
benar. Sedangkan negasi atau ingkaran dari pernyataan “Semua bilangan jika dibagi 1
akan menghasilkan bilangan itu sendiri”, yang bernilai benar adalah suatu pernyataan
lain yang bernilai salah.
Di dalam kehidupan sehari-hari, jika ada orang yang menyatakan di depan Bapak atau
Ibu Guru bahwa “Semua Guru Indonesia kaya”, apa yang Bapak atau Ibu akan
lakukan? Mungkin Bapak atau Ibu akan menyatakan “Yang benar saja, masak saya
yang berprofesi guru sampai saat ini belum punya rumah termasuk orang kaya?” Hal
ini menunjukkan bahwa satu orang gurupun yang tidak termasuk kategori kaya dapat
dijadikan dasar untuk mengingkari atau menegasikan pernyataan berkuantor tadi.
Dengan demikian, negasi dari pernyataan berkuantor universal tadi adalah
pernyataan berkuantor eksistensial yang dapat dipenuhi oleh minimal satu orang saja
yang tidak memenuhi kriteria kaya tadi. Dengan demikian, negasi atau ingkaran
“Semua Guru Indonesia kaya” adalah pernyataan berkuantor eksistensial yang tidak
memenuhi kriteria kaya, yaitu “Beberapa Guru Indonesia tidak kaya”
Pernyataan berkuantor “Semua Guru Indonesia kaya”, sebagaimana dibahas pada
Bagian III di depan, menunjukkan bahwa himpunan Guru Indonesia (G) termuat atau
merupakan himpunan bagian dari
himpunan orang-orang kaya (K),
sebagaimana ditunjukkan pada
Diagram Venn ini.
Berdasar Diagram Venn di atas, negasi dari pernyataan “Semua Guru Indonesia kaya”
yang bernilai salah adalah adanya minimal satu anggota G yang berada di luar K.
K G
E
67
Dengan kata lain, ada anggota G yang tidak menjadi anggota K sebagaimana
ditunjukkan Diagram Venn berikut.
Dengan cara sama, negasi atau ingkaran dari pernyataan berkuantor universal
“Semua bilangan jika dibagi 1 akan menghasilkan bilangan itu sendiri,” dengan nilai
benar adalah pernyataan berkuantor eksistensial “Beberapa bilangan jika dibagi 1
akan tidak menghasilkan bilangan itu sendiri.” Negasi atau ingkaran dari “Semua
bunga indah” adalah “Tidak benar bahwa semua bunga indah” atau “Beberapa bunga
tidak indah”. Dengan simbol, negasi dari “x (x2 0)” adalah “x (x2< 0)”.
Secara umum negasi pernyataan kuantor universal dapat dinyatakan sebagai berikut.
Pernyataan Negasi
x p(x) ~ (x p(x)) x ~p(x) Negasi Pernyataan Berkuantor Eksistensial
Beberapa contoh pernyataan berkuantor eksistensial adalah: “Beberapa Guru
Indonesia kaya,” dan “Beberapa segitiga merupakan segitiga siku-siku samakaki.”
Di dalam kehidupan nyata sehari-hari, jika ada orang yang menyatakan di depan
Bapak atau Ibu Guru bahwa “Beberapa Guru Indonesia kaya”, apa yang Bapak atau
Ibu akan lakukan? Mungkin Bapak atau Ibu akan menyatakan “Memang benar bahwa
beberapa Guru Indonesia kaya”. Pernyataan lain yang jelas salahnya dari pernyataan
tadi adalah “Semua Guru Indonesia tidak kaya.” Dengan demikian, negasi dari suatu
pernyataan berkuantor eksistensial adalah pernyataan berkuantor universal yang
seluruh anggotanya tidak memenuhi kriteria kaya tadi. Intinya, negasi atau ingkaran
“Beberapa Guru Indonesia kaya” adalah pernyataan berkuantor universal yang tidak
memenuhi kriteria kaya, yaitu “Semua Guru Indonesia tidak kaya” yang bernilai salah.
Pernyataan berkuantor “Beberapa Guru Indonesia kaya”, sebagaimana dibahas pada
Bagian III di depan, menunjukkan adanya (paling sedikit satu dan tidak tertutup
kemungkinan untuk semua) anggota himpunan Guru Indonesia (G) yang sekaligus
merupakan himpunan bagian dari himpunan orang-orang kaya (K), sebagaimana
ditunjukkan pada Diagram Venn berikut.
E
K G
68
Berdasar Diagram Venn di atas, dapatlah disimpulkan bahwa negasi pernyataan
“Beberapa Guru Indonesia kaya” bukanlah “Semua Guru Indonesia kaya”, dan juga
bukan “Beberapa Guru Indonesia miskin”. Alasannya, dua pernyataan terakhir ini
dapat bernilai benar juga, padahal yang akan dicari adalah pernyataan yang bernilai
salah. Sekali lagi, berdasar Diagram Venn di atas, dapatlah disimpulkan bahwa negasi
“Beberapa Guru Indonesia kaya” dengan nilai benar adalah ‘semua’ Guru Indonesia
harus tidak termasuk himpunan K. Dengan kata lain, semua anggota G harus tidak
menjadi anggota K sebagaimana ditunjukkan Diagram Venn berikut.
Dengan cara sama, negasi atau ingkaran dari pernyataan berkuantor eksistensial
lainnya, yaitu “Beberapa segitiga merupakan segitiga siku-siku samakaki,” dengan
nilai benar adalah “Semua segitiga tidak ada yang merupakan segitiga siku-siku
samakaki.” Negasi dari pernyataan “Ada siswa yang senang matematika” adalah
“Tidak benar bahwa ada siswa yang senang matematika” atau “Semua siswa tidak
senang matematika”. Secara umum negasi pernyataan kuantor eksistensial dapat
dinyatakan sebagai berikut:
Pernyataan Negasi
x p(x) ~ (x p(x) x ~p(x)
Lembar Kerja
1. Tentukan negasi dari pernyataan berikut:
a. x (x2 = x) e. x (x2 – 2x + 1 = 0)
b. x (|x| = 0) f. x (x2 + 2x + 1 > 0)
c. x (x < x + 1) g. x (|x| 0)
d. x (x – 1 = x) h. x (x2 – 3x + 2 = 0)
K G
E
K G
E
69
2. Tuliskan negasi pernyataan-pernyataan berikut.
a. Semua laki-laki dapat dipercaya.
b. Ada segitiga sama kaki yang bukan segitiga sama sisi.
c. Beberapa matriks tidak memiliki invers.
d. Setiap perwira TNI adalah laki-laki.
e. Beberapa Gubernur di Indonesia adalah perempuan.
f. Setiap bilangan jika dipangkatkan 0 akan bernilai sama dengan 1.
g. Setiap bilangan memiliki kebalikan (invers perkalian).
h. Setiap jajargenjang adalah trapesium.
i. Tidak semua pulau di Indonesia didiami oleh penduduk.
3. Tentukan negasi pernyataan-pernyataan berikut, lalu tentukan nilai kebenaran
negasi pernyataan itu dengan semesta pembicaraannya adalah X = {1,2,3,4,5}.
a. x (4 + x < 10)
b. x (4 + x = 7)
c. x (4 + x 7)
d. x (4 + x > 8)
4. Tentukan negasi pernyataan-pernyataan berikut ini.
a. x p(x) y q(y)
b. x p(x) y q(y)
c. x p(x) V y q(y)
d. x p(x) y ~q(y)
E. Negasi Pernyataan Berkuantor Yang Memuat Lebih Dari Satu Peubah
Pernyataan berkuantor dengan dua peubah atau lebih sering juga ditemui,
terutama pada mata pelajaran Aljabar.Contohnya, pernyataan berikut.
1. Ada (terdapat) bilangan asli x sehingga untuk setiap bilangan asli y akan berlaku x
y = y. Pernyataan tersebut akan bernilai benar, karena 1 yang merupakan salah
satu anggota himpunan bilangan asli jika dikalikan dengan bilangan asli lainnya
akan menghasilkan bilangan asli itu sendiri. Notasi matematisnya adalah (x A)(
y A) x y = y. Pernyataan berkuantor dengan dua peubah di atas bernilai
benar.
70
2. Ada (terdapat) bilangan asli x sehingga untuk setiap bilangan asli y akan berlaku x
+ y = y. Pernyataan seperti ini bernilai salah karena tidak ada bilangan asli yang
memenuhinya. Pengganti x yang memenuhi adalah 0, namun 0 bukan anggota
himpunan bilangan asli namun 0 anggota himpunan bilangan cacah. Bagaimana
notasi matematisnya?
Ada empat variasi untuk pernyataan berkuantor dengan dua peubah (Bunarso
Tanuatmodjo, 1987:45–46) beserta artinya yaitu:
x y p(x, y): “Untuk setiap x dan untuk setiap y berlaku p(x, y).”
x y p(x, y): “Untuk setiap x, ada y sehingga berlaku p(x, y).”
x y p(x, y): “Ada x sehingga untuk setiap y berlaku p(x, y).”
x y p(x, y): “Ada x dan ada y sehingga berlaku p(x, y).”
Contoh
1. (x A)(y A) x < y.
Dibaca “Untuk setiap bilangan asli x ada bilangan asli y sedemikian sehingga x < y”.
Untuk x = 10 misalnya dapat ditentukan y = 12 yang memenuhi x < y. Begitu juga
untuk nilai x lainnya, dapat ditentukan nilai y yang memenuhi x < y. Dengan
demikian, untuk setiap nilai x, dapat ditentukan satu atau lebih nilai y yang
memenuhi x < y. Karena itu, pernyataan ini bernilai benar.
2. (x A)(y A) x < y.
Dibaca: “Ada bilangan asli x sehingga untuk setiap bilangan asli y berlaku x < y.”
Pernyataan ini bernilai salah, Anda tahu sebabnya?
Negasi dari kuantor yang memuat lebih dari satu peubah menggunakan pola yang
sama dengan negasi pernyataan berkuantor dengan satu peubah, yaitu:
Pernyataan Negasi
x p(x) x p(x)
~ (x p(x)) x ~p(x) ~ (x p(x) x ~p(x)
3. ~ [ x y p(x, y) ] ~ [ x {y p(x, y)} ]
x ~[ y p(x, y)]
x y ~p(x, y).
4. ~ [ x y (p(x) q(y))] x y ~[p(x) q(y)]
x y (p(x) ~q(y)).
71
Contoh ini menunjukkan bahwa untuk menentukan negasi pernyataan berkuantor
dengan dua peubah atau lebih haruslah menggunakan kombinasi pola atau aturan
dasar yang bersesuaian.
Lembar Kerja
1. Tentukan nilai kebenaran dari setiap pernyataan berikut ini dengan semesta
pembicaraan A = {1, 2, 3}.
a. x y (x + y = 4) h. x y (x2< y + 1)
b. x y (x + y = 4) i. x y (x2< y + 1)
c. x y (xy = x) j. x y (x2 + y2< 10)
d. x y (xy = y) k. x y (x2 + y2> 10)
e. x y (x2< y + 1) l. x y (x2 + y2> 10)
f. x y z (x2 + y2< z2) m. x y z (x2 + y2< z2)
g. x y z (x2 + y2< z2) n. x y z (x2 + y2< z2)
2. Tentukan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan berikut dengan semesta
himpunan bilangan real R.
1
a. xy (x + y = 6)
b. xy (x + y = 6)
c. xy (x + y = 6)
d. xy (x + y = 6)
e. xy (x + y = x)
f. xy (x + y = x)
g. xy (x + y = y)
h. xy (x + y > 0)
i. xy (xy = 6)
3. Tentukan negasi pernyataan-pernyataan berikut.
a. xy [p(x) q(y)]
b. xy [~p(x) V q(y)]
c. xy [p(x) q(y)]
d. xy z (x2 + y2< z2)
e. xy ( |x y| = | x | | y | )
F. Negasi Pernyataan Berkuantor Yang Memuat Lebih Dari Satu Peubah
Pernyataan berkuantor dengan dua peubah atau lebih sering juga ditemui, terutama
pada mata pelajaran Aljabar.Contohnya, pernyataan berikut.
1. Ada (terdapat) bilangan asli x sehingga untuk setiap bilangan asli y akan berlaku x y
= y. Pernyataan tersebut akan bernilai benar, karena 1 yang merupakan salah satu
anggota himpunan bilangan asli jika dikalikan dengan bilangan asli lainnya akan
menghasilkan bilangan asli itu sendiri. Notasi matematisnya adalah (x A)( y A)
x y = y. Pernyataan berkuantor dengan dua peubah di atas bernilai benar.
2. Ada (terdapat) bilangan asli x sehingga untuk setiap bilangan asli y akan berlaku x + y
= y. Pernyataan seperti ini bernilai salah karena tidak ada bilangan asli yang
memenuhinya. Pengganti x yang memenuhi adalah 0, namun 0 bukan anggota
himpunan bilangan asli namun 0 anggota himpunan bilangan cacah. Bagaimana
notasi matematisnya?
Ada empat variasi untuk pernyataan berkuantor dengan dua peubah (Bunarso
Tanuatmodjo, 1987:45–46) beserta artinya yaitu:
x y p(x, y): “Untuk setiap x dan untuk setiap y berlaku p(x, y).”
x y p(x, y): “Untuk setiap x, ada y sehingga berlaku p(x, y).”
x y p(x, y): “Ada x sehingga untuk setiap y berlaku p(x, y).”
x y p(x, y): “Ada x dan ada y sehingga berlaku p(x, y).”
Contoh
(x A)(y A) x < y.
Dibaca “Untuk setiap bilangan asli x ada bilangan asli y sedemikian sehingga x < y”.
Untuk x = 10 misalnya dapat ditentukan y = 12 yang memenuhi x < y. Begitu juga untuk
nilai x lainnya, dapat ditentukan nilai y yang memenuhi x < y. Dengan demikian, untuk
setiap nilai x, dapat ditentukan satu atau lebih nilai y yang memenuhi x < y. Karena itu,
pernyataan ini bernilai benar.
(x A)(y A) x < y.
Dibaca: “Ada bilangan asli x sehingga untuk setiap bilangan asli y berlaku x < y.”
Pernyataan ini bernilai salah, Anda tahu sebabnya?
Negasi dari kuantor yang memuat lebih dari satu peubah menggunakan pola yang sama
dengan negasi pernyataan berkuantor dengan satu peubah, yaitu:
Pernyataan Negasi
x p(x) x p(x)
~ (x p(x)) x ~p(x) ~ (x p(x) x ~p(x)
~ [ x y p(x, y) ] ~ [ x {y p(x, y)} ]
x ~[ y p(x, y)]
x y ~p(x, y).
~ [ x y (p(x) q(y))] x y ~[p(x) q(y)]
x y (p(x) ~q(y)).
Contoh ini menunjukkan bahwa untuk menentukan negasi pernyataan berkuantor
dengan dua peubah atau lebih haruslah menggunakan kombinasi pola atau aturan dasar
yang bersesuaian.
Lembar Kerja
1. Tentukan nilai kebenaran dari setiap pernyataan berikut ini dengan semesta
pembicaraan A = {1, 2, 3}.
a. x y (x + y = 4) h. x y (x2< y + 1)
b. x y (x + y = 4) i. x y (x2< y + 1)
c. x y (xy = x) j. x y (x2 + y2< 10)
d. x y (xy = y) k. x y (x2 + y2> 10)
e. x y (x2< y + 1) l. x y (x2 + y2> 10)
f. x y z (x2 + y2< z2) m. x y z (x2 + y2< z2)
g. x y z (x2 + y2< z2) n. x y z (x2 + y2< z2)
2. Tentukan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan berikut dengan semesta himpunan
bilangan real R.
a. xy (x + y = 6)
b. xy (x + y = 6)
c. xy (x + y = 6)
d. xy (x + y = 6)
e. xy (x + y = x)
f. xy (x + y = x)
g. xy (x + y = y)
h. xy (x + y > 0)
i. xy (xy = 6)
3. Tentukan negasi pernyataan-
pernyataan berikut.
a. xy [p(x) q(y)]
b. xy [~p(x) V q(y)]
c. xy [p(x) q(y)]
d. xy z (x2 + y2< z2)
e. xy ( |x y| = | x | | y | )
Tugas selama on the job learning (OJL)
Bagaimana sebaiknya langkah-langkah guru dalam membantu siswanya
mempelajari materi ‘Pernyataan Berkuantor dan Negasinya’?
BAB IX
PENARIKAN KESIMPULAN
A. Penarikan Kesimpulan atau Argumen
Jika pernyataan atau proposisi dilambangkan dengan kalimat yang memiliki nilai
benar saja atau salah saja, maka istilah sahih atau tidak sahih berkait dengan
penarikan kesimpulan, penalaran, ataupun argumen.Beda kedua istilah menurut
Soekardijo (1988) adalah, kalau penalaran itu aktivitas pikiran yang abstrak maka
argumen ialah lambangnya yang berbentuk bahasa atau bentuk-bentuk lambang
lainnya.Dikenal dua macam penarikan kesimpulan.Yang pertama adalah induksi atau
penalaran induktif dan yang kedua adalah deduksi atau penalaran deduktif. Yang
akan dibicarakan pada modul ini adalah penalaran deduktif atau deduksi.
Contoh deduksi atau penalaran deduktif adalah:
Premis 1: Semua manusia akan mati.
Premis 2: Amri manusia.
Kesimpulan: Jadi, Amri pada suatu saat akan mati.
B. Sahih Tidaknya Penarikan Kesimpulan
Perhatikan contoh penarikan kesimpulan ini:
(1) Semarang terletak di sebelah barat Surabaya.
(2) Jakarta terletak di sebelah barat Semarang.
Jadi, Jakarta terletak di sebelah barat Surabaya.
Pada proses pembelajaran di kelas, ketiga kota tersebut sebaiknya dimodifikasi
sehingga sesuai dengan lingkungan siswa. Dengan cara seperti itu, diharapkan proses
pembelajarannya akan lebih bermakna bagi para siswa. Berilah kesempatan kepada
para siswa untuk berpikir dengan mengajukan pertanyaan ini:
“Jika kedua premis argumen tadi bernilai benar, apakah mungkin kesimpulannya
bernilai salah?”
Jawabannya adalah tidak mungkin. Untuk meyakinkan mereka, dapat saja digunakan
peta pulau Jawa atau diagram berikut.
Semarang
Surabaya Jakarta
Contoh di atas menunjukkan penarikan kesimpulan yang valid atau sahih
sebagaimana dinyatakan Giere (84:39) berikut: “Any argument in which the truth of
the premises makes it impossible that the conclusion could be false is called a
deductively valid argument." Yang artinya, setiap argumen di mana kebenaran dari
premis-premisnya tidak memungkinkan bagi kesimpulannya untuk salah disebut
dengan argumen yang sah atau valid.
Giere (1984) mencontohkan bahwa dari suatu premis-premis yang bernilai salah
akan dapat dihasilkan suatu kesimpulan yang bernilai benar melalui suatu proses
penarikan kesimpulan yang valid seperti:
Kuda adalah binatang bersayap. (Salah)
Semua binatang bersayap tidak dapat terbang. (Salah)
Jadi, kuda tidak dapat terbang (Benar)
Giere (1984) mencontohkan juga bahwa dari suatu premis-premis yang bernilai salah
akan dapat dihasilkan suatu kesimpulan yang bernilai salah melalui suatu contoh
proses penarikan kesimpulan yang valid berikut ini.
Bulan lebih besar daripada bumi. (Salah)
Bumi lebih besar daripada matahari. (Salah)
Jadi, bulan lebih besar daripada matahari (Salah)
C. Beberapa Penarikan Kesimpulan yang Sahih
Beberapa penarikan kesimpulan yang sahih atau valid yang akan dibahas pada
bagian ini di antaranya adalah modus ponens, modus tolens, dan silogisme.
1. Modus Ponens
Perhatikan contoh berikut.
Premis 1: Semua manusia akan mati
Premis 2: Amri manusia.
Kesimpulan: Jadi, Amri pada suatu saat akan mati.
Premis 1 adalah senilai dengan: ”Jika x manusia maka x akan mati.” Pada contoh
ini, premis-premis yang bernilai benar tidak akan memungkinkan bagi
kesimpulannya untuk bernilai salah, sehingga penarikan kesimpulan bentuk
seperti itu disebut dengan penarikan kesimpulan sah, sahih, valid, atau correct.
Bentuk umumnya adalah:
p q p q
Untuk mengetahui validitas suatu argumen deduktif adalah dengan membentuk
kondisional atau implikasi di mana konjungsi premis-premis dari argumen
tersebut dijadikan sebagai antesedennya dan konklusi dari argumen tersebut
dijadikan sebagai konsekuennya. Sebagai contoh, untuk mengetahui valid
tidaknya argumen berikut:
p q (Premis 1)
p (Premis 2)
Jadi q (Kesimpulan)
adalah dengan membentuk konjungsi dari premis 1 dan 2, yaitu:
(p q) p lalu konjungsi tersebut diimplikasikan dengan konklusi argumen
yang ada sehingga menjadi: (p q) p q.
Bentuk terakhir ini harus dibuktikan melalui tabel kebenaran apakah termasuk
tautologi atau tidak. Jika bentuk terakhir tadi merupakan tautologi maka argumen
tadi valid. Jika tidak dihasilkan suatu tautologi maka argumen tadi tidak valid.
Untuk membuktikannya, dapat ditunjukkan bahwa [(p q) p] q merupakan
suatu tautologi lewat tabel kebenaran di bawah ini.
p q [(p q) p] q
B B B B B B B B B B S B S S S B B S S B S B B S S B B S S S B S S S B S
Langkah ke 1 2 1 3 1 4 1
Pada langkah terakhir (langkah ke-4) terlihat nilai kebenaran pada semua kolom
adalah benar (tautologi), sehingga modus ponens termasuk penarikan
kesimpulan yang sah, valid, absah, atau sahih.
Contoh modus ponens:
a. Jika seseorang berada di Jakarta maka ia berada di Jawa.
Anita berada di Jakarta.
Jadi, Anita berada di pulau Jawa.
b. Pada hari Senin di sekolah ada pelajaran logika.
Tanggal 2 April 2001 adalah hari Senin.
Jadi, pada tanggal 2 April 2001 ada pelajaran logika.
c. Jika suatu segitiga mempunyai 2 sisi yang sama panjang maka segitiga itu
sama kaki.
Pada segitiga ABC, AB = AC.
Jadi, segitiga ABC sama kaki.
2. Modus Tolens
Perhatikan contoh berikut.
Premis 1: Jika seseorang adalah siswa SMK maka ia pintar
Premis 2: Orang itu tidak pintar.
Kesimpulan: Orang itu bukan siswa SMK.
Pada contoh ini, premis-premis yang bernilai benar tidak memungkinkan bagi
kesimpulannya untuk bernilai salah juga, sehingga penarikan kesimpulan bentuk
seperti itu disebut dengan penarikan kesimpulan sah, sahih, valid, atau correct.
Bentuk umum modus tolens adalah:
p q
~q
~p
Argumen di atas dapat dibuktikan sendiri seperti pada saat membuktikan modus
ponens, yaitu dengan membuktikan implikasi [(p q) (~ q)] ~ p sebagai
suatu tautologi.
Contoh Modus Tolens
a. Seorang vegetarian tidak makan daging ataupun hasil olahannya.
Amin makan ayam goreng.
Jadi, Amin bukan vegetarian
b. Bilangan prima adalah bilangan yang faktornya adalah 1 dan dirinya sendiri
x mempunyai 3 buah faktor.
Jadi, x bukan bilangan prima.
c. Seluruh grafik y = ax2 + bx + c di atas sumbu-X bila a > 0 dan b2 – 4ac < 0
y = 2x2 + 4x – 5 dengan a = – 2 0
Jadi, tidak seluruh grafik y = 2x2 + 4x – 5 terletak di atas sumbu-X
3. Silogisme
Perhatikan contoh ini.
(1) Rumah Amin terletak di sebelah barat rumah Akbar.
(2) Rumah Akbar terletak di sebelah barat rumah Abdur.
Jadi, rumah Amin terletak di sebelah barat rumah Abdur.
Tentunya para siswa dan Anda sendiri tidak akan mengetahui apakah ketiga
orang tersebut benar-benar memiliki rumah seperti yang dinyatakan kalimat
tersebut. Tetapi Anda dapat menyatakan bahwa jika premis-premisnya bernilai
benar maka kesimpulannya tidaklah mungkin bernilai salah, sehingga penarikan
kesimpulan seperti itu merupakan contoh penarikan kesimpulan yang sahih atau
valid. Bentuk umum penarikan kesimpulan yang dikenal dengan nama silogisme
itu adalah:
p q
q r
p r
Kesahihan argumen silogisme ini dapat dibuktikan sendiri seperti di atas, yaitu
dengan menunjukkannya pada tabel kebenaran bahwa bentuk (p q) (q r)
(p r)
Contoh Silogisme:
a. Setiap hari Sabtu ayah tidak bekerja (libur).
Ayah berkebun jika tidak bekerja.
Jadi, setiap hari Sabtu ayah berkebun.
b. Jika x dan y adalah dua bilangan bulat berurutan maka yang satu genap dan
yang satunya lagi ganjil.
Jika salah satu bilangan genap dan yang satunya lagi ganjil maka jumlah kedua
bilangan itu ganjil.
Jadi, jika x dan y bilangan bulat berurutan maka jumlah kedua bilangan itu
ganjil.
Perlu diingatkan sekali lagi bahwa dalam penarikan kesimpulan, premis-premisnya
diasumsikan atau dianggap benar dan argumennya harus valid, dan berikut ini
adalah beberapa contoh soal tentang penarikan kesimpulan.
Contoh 1
Perhatikan premis-premis ini.
(1) Jika Anita mendapat nilai A pada ujian akhir maka Anita mendapat nilaiA untuk
mata kuliah itu.
(2) Jika Anita mendapat nilaiA untuk mata kuliah itu maka ia dinominasikan
menerima beasiswa.
(3) Anita tidak dinominasikan menerima beasiswa.
Buatlah suatu kesimpulan dari tiga premis tersebut.
Penyelesaian
Misal p: Anita mendapat nilai A pada ujian akhir
q: Anita mendapat nilai A untuk mata kuliah itu
r: Anita dinominasikan mendapat beasiswa
Peryataan-pernyataan di atas dapat diterjemahkan secara simbolik:
(1) p q
(2) q r
(3) ~ r
Dari premis (1) dan (2), dengan silogisme, akan diperoleh p r. Jika dilanjutkan
dengan premis (3) akan terjadi modus tolens berikut:
p r
Kesimpulannya, Anita tidak mendapat nilai A pada ujian akhir.
Contoh 2
Contoh 2 berikut ini meskipun di bawah sub judul ‘silogisme’, tetapi bukan contoh
silogisme, namun untuk memperdalam pemahaman pembaca.
Apakah penarikan kesimpulan berikut ini valid?
Jika x = 3 maka x2 = 9
x2 = 9
Jadi, x = 3
Penyelesaian:
Bentuk simbolik penarikan kesimpulan di atas adalah:
p~
r~
p q
q
Jadi, p
Bentuk di atas bukan modus ponens, modus tolens, maupun silogisme. Untuk
menentukan valid atau tidaknya, dibuat tabel kebenaran [(p q) q] p berikut.
p q [(p q) q] p
B B B B B B B B B B S B S S S S B B S B S B B B B S S S S S B S S S B S
Langkah 1 2 1 3 1 4 1
Nilai kebenaran [(p q) p] q yang diperlihatkan dalam langkah 4 ternyata
bukan tautologi. Dengan demikian bentuk penarikan kesimpulan di atas tidak valid.
Argumen yang tidak valid lainnya berbentuk:
p q
~p
~q
LembarKerja
Untuk soal nomor 1 sampai 5, buatlah suatu kesimpulan dari pernyataan-pernyataan
berikut.
1. (1) Suatu fungsi disebut fungsi bijektif jika fungsi itu fungsi injektif (satu-satu) dan
fungsi onto.
(2) Fungsi f bukan fungsi bijektif.
2. (1) Jika petani merabuk dua kali sebulan maka ia akan panen raya.
(2) Jika rabuk harganya mahal maka petani akan menangis.
(3) Jika orang tidak merabuk dua kali sebulan maka petani tidak menangis.
3. (1) Lingkaran dapat digambar melalui 3 titik jika ke-3 titik tidak segaris.
(2) Suatu lingkaran tidak dapat digambar.
4. (1) Nilai sinus akan positif jika di kuadran I atau II.
(2) di kuadran II.
5. (1) Jika A B maka A B = A.
(2) A B A.
Untuk soal nomor 6 sampai 10, tentukan apakah penarikan kesimpulan di bawah ini
valid ? Berikan penjelasannya.
6. Jika besar sudut negatif maka cosinus positif.
Sudut A = 600
Jadi, cosinus A negatif
7. Jika n bilangan ganjil maka n2 bilangan ganjil.
Jika n2 bilangan ganjil maka n2 + 1 bilangan genap.
n2 + 1 bilangan ganjil.
Jadi, n bilangan genap.
8. Jika hujan lebat turun maka akan terjadi banjir.
Sekarang tidak banjir.
Jadi, hujan tidak lebat.
9. Wanita cantik adalah artis film.
Wanita yang pintar tidak cantik.
Jadi, artis film tidak pintar.
10. Jika ia tidak sakit maka ia masuk sekolah.
Jika ia tidak lelah maka ia masuk sekolah.
Ia tidak sakit dan tidak lelah.
Jadi, ia masuk sekolah.
11. Tentukan penarikan kesimpulan yang sahih di bawah ini:
a. (p q) , ~p. Jadi: q
b. p q, q r, r s. Jadi p s
c. p q, ~p. Jadi ~q
d. p, q. Jadi: p q
e. p. Jadi p q
f. p q r, p s, q s, r s. Jadi: s
g. p q, r s, ~q ~s. Jadi ~p ~q
h. p q, r s, p r. Jadi q s
Tugas selama on the job learning (OJL)
Bagaimana sebaiknya langkah-langkah guru dalam membantu siswanya
mempelajari materi ‘Penarikan Kesimpulan’?
DAFTAR PUSTAKA
Chong, Lai Chee, Low Wai Cheng, Leong May Kuen, 2008, Mathematics Matters (Normal/Academic), Singapore: EPB Pan Pacific.
Huo, Fan Liang, Cheang Wai Kwong, Dong Feng Ming, dkk, 2007, New Express
Mathematics, Singapore: Panpac Education Pte. Ltd. Meng, Sin Kwai, 2004, Exploring Mathematics (Special/Express), Singapore: SNP
Panpac Pte. Ltd. Seng, Teh Keng, Looi Chin Keong, 2003, New Syllabus Mathematics 5th Edition,
Singapore: Shinglee Publishers Pte. Ltd. Seng, Teh Keng, Loh Cheng Yee, 2010, New Syllabus Mathematics 6th Edition,
Singapore: Shinglee Publishers Pte. Ltd. Wono Setya Budhi, 2004, Matematika untuk SMP, Jakarta: Penerbit Erlangga. Wuan, Lee Yee, Leong May Kuen, Low Wai Cheng, 2004, Exploring Mathematics
(Normal/Academic), Singapore: SNP Panpac Pte. Ltd. Copi, I.M, 1978, Introduction to Logic. New York: Macmillan. Giere, R. N., 1984, Understanding Scientific Reasoning (2ndEdition). New York: Holt,
Rinehart and Winston. Kusumah, Y. S., 1986, Logika Matematika Elementer. Bandung: Tarsito. Krismanto, Al., 1991, Prima EBTA Matematika SMA. Klaten: PT Intan Pariwara. Lipschutz, S., Silaban, P., 1985, Teori Himpunan. Jakarta: Erlangga. Prayitno, E., 1995, Logika Matematika. Yogyakarta: PPPG Matematika. Soekardijo, R. G., 1988, Logika Dasar, Tradisionil, Simbolik dan Induktif. Jakarta:
Gramedia. Suriasumantri, J. S., 1988, Filsafat Ilmu. Jakarta: Sinar Harapan. Tirta Seputro, Theresia, 1992, Pengantar Dasar Matematika Logika dan Teori
Himpunan. Jakarta: Erlangga. Tim Matematika, 1980, Matematika 12 untuk SMA. Jakarta: Depdikbud. Vance, E. P., 19.., Modern College Algebra. London: Addison Wesley.
BAGIAN 4
UMPAN BALIK DAN TINDAK LANJUT
A. Evaluasi Diri
Untuk mengukur ketercapaian peserta diklat dalam mempelajari bahan belajar ini
lakukan evaluasi diri sebagai berikut secara jujur
Petunjuk:
Evaluasi terdiri dari sepuluh soal. Pada masing-masing soal, pengerjaan yang benar
mendapatkan skor maksimal 5. Jadi skor total 50. Capaian kompetensi (CK)
dirumuskan sebagai
CK =Skor yang diperoleh
50× 100%
Setelah mengerjakan semua soal evaluasi cocokkan jawaban Anda dengan jawaban
evaluasi pada lampiran untuk mengukur capaian kompetensi (CK).
Soal evaluasi:
Bilangan
1. Menggunakan hanya angka-angka 5 dan 6 serta tanpa menggunakan tanda akar,
buatlah:
a. Sebuah bilangan irrasional
b. Tiga bilangan irrasional di antara 5 dan 6
c. Tiga bilangan irrasional di antara 0,55 dan 0,56
2. Bulatkan 0,1235 sampai:
a. Sepersepuluhan terdekat.
b. Seperseratusan terdekat.
c. Seperseribuan terdekat.
3. Taksirlah hasil perhitungan berikut sampai 1 angka penting:
a. 65,8×24,1
32,3 .
b. 65,8×√24,1
3,232 .
4. Sederhanakan bentuk berikut:
a. (23
22)4
b. (2𝑚
32)3
, dengan 𝑚 bilangan asli
c. (𝑎2
25)2
d. (𝑎𝑚
𝑏𝑛)𝑝
, dengan 𝑚, 𝑛 dan 𝑝 bilangan asli
Logika
1. Apa yang dapat Anda nyatakan pada kalimat berikut: “Murid kelas X ini
berkacamata.”
2. Apa yang dapat Anda nyatakan pada kalimat berikut: “2𝑛 untuk 𝑛 𝐴 adalah
bilangan genap.”
3. Bagaimana cara Anda mengajarkan nilai kebenaran Konjungsi?
4. Bagaimana cara Anda mengajarkan nilai kebenaran Implikasi?
5. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut beserta konversnya: “𝑥 =
3 𝑥2 = 9.” Jelaskan mengapa?
6. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut beserta konversnya: Jika
segitiga 𝐴𝐵𝐶 adalah segitiga samasisi maka sisi-sisi segitiga tersebut sama
panjang. Jelaskan mengapa?
7. Jelaskan perbedaan ‘benar’ dengan ‘valid.’
8. Selesaikan masalah ini.
On January 29, the standing of Group B in the 2008 Africa Cup was shown in the
following table. At that time, every team had played two games.
Team Game Win Draw Lost Goal For-Against
Ivory Coast 2 2 0 0 5-1
Mali 2 1 1 0 1-0
Nigeria 2 0 1 1 0-1
Benin 2 0 0 2 1-5
Reading the table, what is the score of the game between Ivory Coast and Benin?
(Soal/Tes Bentuk Uraian Nomor 13 pada Olimpiade Sains Nasional 2008, 10 Agustus
2008 di Makassar).
9. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut dengan semesta pembicaraan
𝐴 = {1, 2, 3}.𝑥 𝑦 (𝑥 + 𝑦 = 4)
10. Tentukan apakah penarikan kesimpulan di bawah ini valid? Berikan
penjelasannya.
Jika 𝑛 bilangan ganjil maka 𝑛2 bilangan ganjil.
Jika 𝑛2 bilangan ganjil maka 𝑛2 + 1 bilangan genap.
𝑛2 + 1 bilangan ganjil.
Jadi, 𝑛 bilangan genap.
B. Tindak Lanjut
Seperti telah dijelaskan pada bagian sebelumnya bahwa evaluasi yang dilakukan
oleh diri sendiri secara jujur adalah kunci keberhasilan mengukur capaian
kompetensi (CK). Berkaitan dengan itu, pertimbangkan hal berikut
Perolehan CK
(dalam %)
Deskripsi dan tindak lanjut
91 ≤ CK ≤ 100 Sangat Baik, berarti Anda benar-benar memahami
pengertian bilangan dan logika. Selanjutnya
kembangkan pengetahuan dan tuangkan dalam
pembelajaran
76 ≤ CK < 91 Baik, berarti Anda cukup memahami pengertian
bilangan dan logika walaupun ada beberapa bagian
yang perlu dipelajari lagi. Selanjutnya pelajari lagi
beberapa bagian yang dirasakan belum begitu
dipahami.
50 ≤ CK < 76 Cukup, berarti Anda belum cukup memahami
pengertian bilangan dan logika. Oleh karena itu Anda
perlu mempelajari lagi bagian yang belum dikuasai dan
menambah referensi dari sumber lain
CK < 50 Kurang, berarti Anda belum dapat memahami
pengertian bilangan dan logika. Oleh karena itu Anda
perlu mempelajari lagi dari awal dan menambah
referensi dari sumber lain
C. Jawaban Evaluasi
Bilangan
1. Soal terbuka. Coba eksplorasikan berbagai kemungkinan bilangan yang dapat
dibentuk.
2. Penyelesaian
a. 0,1235 akan dibulatkan sampai sepersepuluhan terdekat, artinya sama saja
dengan membulatkan sampai 1 tempat desimal. Kita cek angka yang berada
pada posisi kedua di sebelah kanan tanda koma, yaitu 2. Karena nilainya
kurang dari 5 (2 < 5), maka lakukan pembulatan ke bawah menjadi 0,1. Kita